tema 6 divizibilitatea 16.12.2017 prof. gr. i mariana baculatema 6 – divizibilitatea 16.12.2017...

Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-2017-2018 1

https://2017cjemcta.wikispaces.com/home

Tema 6 – Divizibilitatea

16.12.2017

Prof. Gr. I Mariana Bacula

Liceul Teoretic “Traian” Constanța

Partea I: Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale, proprietăți

ale relației de divizibilitate, criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10, 3, 9.

Definiție: Spunem că numărul natural b divide numărul natural a și notăm |b a ,

dacă există un număr natural c astfel încât a b c . În acest caz, b este un divizor

al lui a, iar a este un multiplu al lui b. Se mai folosește scrierea a b , care se citește

a este divizibil cu b.

Observație: Dacă a este un număr natural mai mare sau egal cu 2, atunci numerele

1 și a se numesc divizori improprii ai lui a, iar ceilalți divizori se numesc divizori

proprii.

Observație: Orice număr natural este un divizor al lui 0. Singurul multiplu al lui

zero este zero. Numărul 1 are un singur divizor, pe 1. Orice număr natural este un

multiplu al lui 1.

Observație: Notația |b a se folosește când b nu divide pe a, iar notația

a b semnifică faptul că a nu este divizibil cu b.

Proprietățile relației de divizibilitate:

a) este reflexivă, adică |a a , oricare ar fi numărul natural a

b) este antisimetrică, adică dacă |a b și |b a , atunci a b

c)este tranzitivă, adică dacă , ,a b c sunt numere naturale cu |a b și |b c , atunci |a c .

2 Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-2017-2018


Alte proprietăți ale relației de divizibilitate:

1. 1| a , oricare ar fi numărul natural a

2. a număr natural și |1 1 a a

3. | 0a , oricare ar fi numărul natural a . În particular 0 | 0 și 0 0 .

4. 0 | 0a a

5. | |a b a b c , oricare ar fi numărul natural c

6. |a b și | |a c a b c și |a b c , cu b c

7. | |a b a c b c , oricare ar fi numărul natural c

8. |ac bc și 0 |c a b

9. |a b și | |c d a c b d

Spunem că două numere a și b sunt prime între ele și notăm , 1a b dacă nu au

alți divizori comuni în afara lui 1.

Sunt utile și proprietățile:

10. Dacă un număr natural este divizibil cu două numere prime între ele, atunci este

divizibil și cu produsul lor.

, 1

n a

n b n a b

a b

11. Dacă un număr natural divide produsul a două numere și este prim cu unul

dintre ele, atunci îl va divide pe celălalt.

||

, 1

n a bn b

n a

12. n n

aa b M b , oricare ar fi numărul natural n

n n

aa b M b , dacă n este par

n n

aa b M b , dacă n este impar

Am notat aM un multiplu al lui a


https://2017cjemcta.wikispaces.com/home®copyrightVasile Arsinte

Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10, 3, 9:

Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6, 8.

Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5.

Un număr este divizibil cu 10 dacă ultima cifră este 0.

Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor este un număr divizibil cu 3.

Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor este un număr divizibil cu 9.

Vom folosi și principiul cutiei sau principiul lui Dirichlet: Dacă 1n obiecte se

repartizează în n cutii, atunci cel puțin o cutie conține mai mult de un obiect.

Probleme propuse:

1. Câte numere naturale de trei cifre se divid cu 2 și nu se divid cu 5?

GM nr. 9/2014

Soluție: Fie abc un astfel de număr. Dacă numărul abc se divide cu 2 și nu se

divide cu 5, atunci 2,4,6,8c . Acum, pentru a avem 9 posibilități (toate cifrele

de la 1 la 9), pentru b avem 10 posibilități (toate cifrele de la 0 la 9), iar pentru c

avem 4 posibilități. În concluzie, avem 9 10 4 360 numere.

2. Aflați toate numerele naturale de forma abc , divizibile cu 5, știind că media

aritmetică a numerelor ,abc bca este egală cu media aritmetică a numerelor abb și

baa . GM nr. 5/2015

Soluție: Dacă cele două medii aritmetice sunt egale, atunci abc bca abb baa .

Folosind descompunerea în bază 10 obținem cc ab , de unde a b c . Cum abc

este divizibil cu 5, deducem că numărul căutat este 555.

3. Demonstrați că numerele 2025 20265 5a și 3005 30064 4b au cel puțin trei

divizori comuni diferiți de 1. GM nr. 9/2014

Soluție: 2025 20255 1 5 5 6a , iar 3005 30054 1 4 4 5b . Cele două numere

au sigur ca divizori comuni pe 2, pe 5 și pe 10.

4. Fie 1 2 3 2013, , , , a a a a numere naturale nenule. Arătați că numărul

1 2 2 3 2013 12014 6a a a a a a

A

are cel puțin trei divizori diferiți de 1.



GM nr.6,7,8/2014

Soluție: Exponentul 1 2 2 3 2013 1a a a a a a este număr par deoarece din

trei numere naturale cel puțin două au aceeași paritate și atunci cel puțin o

paranteză este număr par. Cum ultima cifră a lui 24 k este 6, deducem că ultima

cifră a lui A este 0. Atunci A se divide cu 2, cu 5 și cu 10, prin urmare are cel

puțin trei divizori diferiți de 1.

5. Arătați că numărul 43 3n k k este divizibil cu 30, oricare ar fi ,n k numere

naturale nenule.

Soluție: 4 43 3 3 3 1 3 81 1n k k k n k n . Cum 3 3k , oricare ar fi k număr

natural nenul, iar 81 1 0nu , deci 81 1 10n , oricare ar fi n număr natural

nenul, rezultă că 43 3n k k este divizibil cu 30, oricare ar fi ,n k numere naturale

nenule.

6. Aflați numărul abaaba , știind că se divide cu cinci numere impare consecutive.

RMT nr.1/2007

Soluție: Avem 1001 7 11 13abaaba aba aba , deci numărul se divide cu 5, 7,

9, 11, 13 sau cu 7, 9, 11, 13, 15. În ambele cazuri se divide cu 5 (deci a=5) și cu 9.

Rezultă 9 | 9 | 5 5 8aba b b . Numărul căutat este 585585.

7. Arătați că dintre oricare 5 puteri ale lui 3, există cel puțin două, a căror diferență

este divizibilă cu 5. OM, faza locală, 2016, Bihor

Soluție: Deoarece ultima cifră a numărului 3x poate fi 1 , 3, 9 sau 7 , din cele

cinci puteri ale lui 3, vor fi cel puțin două având aceeași ultima cifră, conform

principiului cutiei. Diferența acestora are ultima cifră 0, deci este divizibilă cu 5.

8. Determinați numerele de forma 1024abc divizibile cu 102 .

Soluție: 4 10 4 4 101024 0000 1024 10 2 2 5 2abc abc abc abc .



Cum 10 10 4 4 62 | 1024 2 | 2 5 2 |abc abc abc . Avem 62 64abc k abc k .

Pentru k de la 2 la 15, obținem că abc poate fi 128,192,256,320, ,960 .

9. Fie , a b numere naturale. Arătați că dacă unul dintre numerele 3 11a b și

3a b se divide cu 9, atunci 3 11 3 81a b a b . GM nr.10/2014

Soluție: Trebuie arătat că numărul 3 11m a b este divizibil cu 9 dacă și numai

dacă 3n a b este divizibil cu 9.

Avem 2 3 11 2 3 9 9m n a b a b a b care se divide cu 9.

De aici 9 | 2m n și 9 | m implică 9 | n și reciproc, 9 | 2m n și 9 | n implică 9 | m .

Dacă și m și n se divid cu 9, atunci m n se divide cu 81.

10. Fie numerele naturale , , , , a b c d e . Demonstrați că numărul

7 3 4 6a b c d e se divide cu 13 dacă și numai dacă numărul

5 9 2 7 4a b c d e se divide cu 13.

RMT nr.1/2007

Soluție: Notăm numerele 7 3 4 6a b c d e m și 5 9 2 7 4a b c d e n

Avem 3 2 13 3 2 2 13m n a b c d e

De aici 3 2 13m n și 13m implică 13n și reciproc, 3 2 13m n și 13n implică

13m

11. Determinați n, număr natural nenul, pentru care A este multiplu de 5,

unde 2014 2014 2014 20141 2 3 2014n n n nA . GM nr.11/2014

Soluție: Avem

2014 2014 2014 20141 1, 2 4 , 3 9 , 4 6, n n n n n nu u u u u u

2014 2014 2014 2014 20145 5, 6 6, 7 9 , 8 4 , 9 1, n n n n n n nu u u u u u u

201410 0nu . Cu acestea obținem

2014 2014 2014 2014 20141 2 3 ... 9 10n n n n nu 9 2 4 2 9n nu u u t .

Dacă 2n k obținem 3t , iar dacă 2 1n k obținem 5t .



Acum, numărul A conține 2014 termeni. Putem forma 201 grupe de câte 10 termeni

și mai rămân 4 termeni: 2014 2014 2014 20142011 , 2012 , 2013 , 2014n n n n .

Pentru 2n k , cele 201 de grupe au ultima cifră 3, deci suma lor are ultima cifră 3

și cum 2014 2014 2014 20142011 2012 2013 2014 4n n n nu , obținem 7u A .

Pentru 2 1n k , cele 201 de grupe au ultima cifră 5, deci suma lor are ultima

cifră 5 și cum 2014 2014 2014 20142011 2012 2013 2014 0n n n nu , obținem

5u A . În concluzie, A este multiplu al lui 5 pentru orice n număr impar.

12. Un număr natural de patru cifre diferite două câte două, având forma abcd , se

numește interesant dacă · · 33a d b c . Arătați că suma tuturor numerelor

interesante de patru cifre este multiplu de 11.

ONM, Sighișoara, 2013

Soluție: Dacă abcd este număr interesant, atunci și numerele

, , , , , badc cdab acbd bdac cadb dbca și dcba sunt numere interesante. Din

observația de mai sus deducem că numerele interesante se pot grupa, după această

regulă, câte opt.

Avem 2222· + + + + + abcd badc cdab acbd bdac cadb dbca a b c d

care este multiplu de 11. În concluzie, suma tuturor numerelor interesante de patru

cifre este multiplu de 11.

13. Fie A un număr natural care nu se divide cu 5 și B câtul împărțirii lui A la 5.

Arătați că dacă 5u A , atunci B este număr par, iar dacă 5u A , atunci B

este număr impar. Am notat u A ultima cifră a numărului A .

GM nr.10/2014

Soluție: Numărul A se scrie 10 5 2A x a x a , unde a u A . Dacă 5a ,

din teorema împărțirii cu rest obținem că restul împărțirii lui A la 5 este egal cu a

și câtul este 2x . Prin urmare 2B x , care este număr par. Dacă 5a , atunci

1 5a r cu 5r . Din teorema împărțirii cu rest deducem restul egal cu r , iar

câtul este 2 1x . Așadar 2 1B x , adică număr impar.



14. Fie numărul 2016

9 99 999 ... 99 9 2016. cifre

n

a) Arătați că numărul n este divizibil cu 90.

b) Aflați câtul și restul împărțirii lui n la 11111.

Soluție: a) Avem

2016

10 1 100 1 1000 1 100...0 1 2016 n

2016 2016

10 100 1000 ... 100...0 2016 2016 111...10 10- . Cum suma cifrelor este

2016, deci divizibilă cu 9, iar (9;10)=1⇒ 90n .

b) 2012 2007 5 2 2

2016

111...10 11111 10 11111 10 11111 10 11111 10kn

2012 20107 210 11111 10 10, 10 10 10c r c .

15. Arătați că 2008 20082 3 se divide cu 17.

Soluție: Observăm că 24 8

17 17 172 16 1 2 1 1M M M

251 2512008 8

17 172 2 1 1M M .

Apoi 4

173 81 85 4 4M , deci 502 5022008 4 502

17 173 3 4 4M M .

Dar 502 1004 8125 4

17 174 2 2 2 1 16 16M M , deci 2008

173 16M .

Rezultă 2008 2008

172 3 M .

Partea a II-a: Numere prime și compuse, descompunerea în factori

primi. Numărul divizorilor unui număr natural.

Spunem că un număr natural 1p este prim dacă are ca divizori doar pe 1 și pe el

însuși. Un număr natural 1n care nu este prim se numește număr compus.

Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse. Singurul număr prim și par este

2.

Orice număr natural se descompune în produs de puteri de numere prime

(descompunere în factori primi). Dacă un număr natural se descompune



1 2

1 2 ... kaa a

kn p p p , unde 1 2, ,..., kp p p sunt numere prime diferite, atunci numărul

divizorilor săi naturali este egal cu 1 21 1 ... 1 . ka a a

Dacă un număr natural are un număr par de divizori naturali, atunci numărul nu

este pătrat perfect.

Probleme propuse:

16. Determinați numerele prime , , ,a b c știind că 1998a b c și 42b c .

Soluție: Diferența numerelor b și c este număr par, deci b și c au aceeași

paritate. Dacă ar fi pare, atunci 2b c și 42b c . În concluzie, b și c sunt

numere impare. Atunci b c este număr par și din egalitatea 1998a b c ,

cum a este număr prim, obținem 2a . Rezultă 1996b c . Din

42 42b c b c . Atunci 2 42 1996, 1954: 2, 977 c c c , care este

prim. 977 42, 1019 b b , care este număr prim. Numerele cerute sunt 2, 1019

și 977 .

17. Arătați că numărul 20172 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 2 1n este compus.

Soluție: Numărul este impar, deci căutăm divizori impari ai lui n .

Verificăm divizibilitatea numărului prin cel mai mic număr prim impar, 3.

20172017 2017

3 32 1 3 1 1 1 1M M .

Deoarece și produsul 2 3 5 31 este divizibil cu 3, rezultă că n admite ca

divizori numerele 1, 3, n , deci este număr compus.

18. Aflați valorile numărului natural n pentru care numărul 16 6 5n nP se

scrie ca o sumă de două numere prime.

GM nr.6,7,8/2014

Soluție: Dacă 0n , atunci 7 2 5P este sumă de două numere prime. Dacă

1n , atunci P este număr impar, iar dacă P a b , atunci a și b au parități

diferite. Fie a par și b impar. Cum a și b trebuie să fie numere prime deducem că

2a și 16 6 3n nb . Dar 16 6 3n n are ultima cifră 5, deci se divide cu 5.

Pentru 1n , numărul 16 6 3 5n n , în concluzie nu este număr prim. Prin

urmare, pentru 1n nu avem soluții.



19. Pentru ce valori naturale ale lui n , numărul 1 13 6 6 2 3n n n nm are exact

șapte divizori formați dintr-o singură cifră?

Soluție:

1 1 1 1 13 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 1 6 2 3 7n n n n n n n n n n n n n nm

Pentru 1, 3 7 n m cu 3 divizori de o singură cifră: 1, 3, 7.

Pentru 22, 2 3 7 n m cu 6 divizori de o singură cifră: 1, 2, 3, 6, 7, 9.

Pentru 2 33, 2 3 7 n m cu 7 divizori de o singură cifră: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9.

Pentru 3 44, 2 3 7 n m cu 8 divizori de o singură cifră: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.

Pentru 4n evident divizorii de o singură cifră rămân neschimbați, adică 8.

Numărul m are exact 7 divizori de o singură cifră pentru 3n .

20. Determinați numărul 2 3 , , a bA a b numere naturale, știind că numărul 2 A

are cu 3 divizori mai mulți decât A , iar numărul 3 A are cu 4 divizori mai mulți

decât A .

Soluție: Numărul 2 3a bA are 1 1a b divizori, 12 2 3a bA are

2 1a b divizori, iar 13 2 3a bA are 1 2a b divizori.

Se obțin egalitățile 2 1 1 1 3a b a b și

1 2 1 1 4a b a b . Prima egalitate se mai scrie

1 1 1 1 1 3a b a b 1 1 1 1 1 3a b b a b , de

unde 2b . A doua egalitate se mai scrie

1 1 1 1 1 4a b a b 1 1 1 1 1 4a b a a b ,

de unde 3a . Deci 3 22 3 72A .

21. Determinați cel mai mic număr natural care are exact 2015 divizori.

ONM, București, 2015

Soluție: Cum 2015 1 · 2015 5 · 403 13 ·155 31 · 65 5 ·13 · 31

rezultă că numărul căutat are una dintre formele 2014 402 4 154 12 64 30 30 12 42 , 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3 5 a b c d e , deoarece pentru a

obține numere cât mai mici trebuie ca exponenții cei mai mari să corespundă celor

mai mici numere prime. Avem a e deoarece din 2014 30 12 42 2 3 5 obținem

10 Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-2017-

2018


1984 12 42 3 5 , care este evident adevărată. Avem b e deoarece din 402 4 30 12 42 3 2 3 5 obținem 372 8 42 3 5 , care este evident adevărată. Avem c e

deoarece din 154 12 30 12 42 3 2 3 5 obținem 124 42 5 , care este evident adevărată.

Avem d e deoarece din 64 30 30 12 42 3 2 3 5 obținem 34 18 42 3 5 , care este

evident adevărată. Prin urmare, cel mai mic număr natural cu exact 2015 divizori

este 30 12 42 3 5 .

22. Să se determine numerele naturale m și n știind că numărul 2 5m n are cu 6

divizori mai mult decât numărul 3n . GM nr.5/2015

Soluție: Numărul divizorilor lui 2 5m n este 1 1m n , iar numărul divizorilor

lui 3n este 1n . Atunci 1 1 1 6m n n de unde 1 6m n . Obținem

soluțiile 0, 6; 1, 3; 2, 2 n m n m n m și 5, 1 n m .

Temă:

1. Se consideră sumele: 2 3 2011

1 1 2 2 2 2S și 2 1 2 3 2009S .

Arătați că 1 2S S se divide cu 10.

2.a) Fie ,a b numere naturale nenule. Demonstraţi că 15 | 9 8a b dacă şi numai

dacă 15 | 2016 2017 .a b

b) Se dau numerele 20137 3x și 20139 1y . Arătați că x și y au cel puțin trei

divizori comuni diferiți de 1.

3. Să se arate că oricum am alege 7 pătrate perfecte distincte, există cel puțin două

a căror diferență este un număr divizibil cu 10.

4. Arătați că numărul 201415 3a se divide cu 24. GM nr.10/2014

5. Aflați numerele de forma 2 3 ,m n unde ,m n sunt numere naturale nenule, care au

exact 15 divizori.

6. Determinați numerele naturale nenule n , pentru care numerele

1, 3, 7, 9, 15 n n n n n sunt simultan numere prime.

7. Fie numărul natural 3 5 7x y zA , unde , , x y z sunt numere naturale nenule.

Determinați numărul A știind că 27 A are cu 36 divizori mai mulți decât A , iar

49 A are cu 12 divizori mai mulți decât A .

Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-2017-2018

11


Bibliografie:

[1] Gazeta Matematică, seria B.

[2] M.Linț – Matematică de excelență: pentru concursuri, olimpiade și centre de excelență,

clasa a V-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2013, ISBN-978-973-47-1721-7.

[3] N. Grigore, S.Ion, R. Mâinea, T.Popa– Matematică: olimpiade și concursuri școlare,

Editura Nomina, Pitești, 2013, ISBN-978-606-535-560-6.

Mariana Bacula

Liceul Teoretic “Traian”

Constanța

Romania

E-mail: marianabacula@yahoo

tema 6 divizibilitatea 16.12.2017 prof. gr. i mariana baculatema 6 – divizibilitatea 16.12.2017...

Documents