TCAI Lista de probleme nr. 2Spaii normate

2 decembrie 2015

1 Spaii vectorialeExerciiul 1. a) Fie 0 < t1 < < tn < 1. Pentru 1 i n denimfi : [0, 1] C prin

fi(t) :=

{t(t ti), t [0, ti]0, t (ti, 1].

Artai c M := { fi | 1 i n } formeaz o mulime liniar independentn C[0, 1].b) Expunei o mulime liniar independent nenumrabil din C[0, 1].c) Ce putei spune despre orice baz Hamel a spaiului C[0, 1]?Exerciiul 2. Fie c0 colecia tuturor irurilor (xk) din C astfel nct xk 0.a) Este c0 spaiu vectorial peste C?b) Fie e0 := (1, 0, 0, . . . ), e1 := (0, 1, 0, 0, . . . ), e2 := (0, 0, 1, 0, 0, . . . ), . . . .Este B := { ek | k = 0, 1, 2, . . . } o baz pentru c0?Exerciiul 3. Fie X i Y spaii vectoriale i L : X Y o aplicaie liniar. Fieker L := { x X | L(x) = 0 }.a) Artai c L este injectiv dac i numai dac ker L = { 0 };b) Artai c dac L este injectiv, atunci L(A) este liniar independentn Y pentru orice A X liniar independent.Exerciiul 4. Fie X un spaiu vectorial innit dimensional peste K. FieX colecia tuturor aplicaiilor liniare T : X K (acesta este spaiul dualal lui X). Pentru T, S X i K denim (T + S)x := Tx + Sx i(T)x = (Tx) pentru orice x X.

1

a) Artai c operaiile denite i confer lui X o structur de spaiuvectorial peste K.b) Fie BX o baz a lui X. Artai c acestei baze i corespunde o bazBX a lui X i o aplicaie injectiv f : BX BX . Este adevrat c f (BX)este o baz a lui X?Exerciiul 5. FieW1 iW2 subspaii vectoriale ale unui spaiu vectorial X.Presupunem c B1 i B2 sunt baze pentruW1, respectivW2. Este B1 B2 obaz pentruW1 W2?Norme i spaii normateExerciiul 6. Admind c pentru orice spaiu vectorial exist o baz Ha-mel, artai c pe orice spaiu vectorial se poate deni o norm.Exerciiul 7. Denim f 1 := ba | f (t)|dt pentru orice f C[a, b]. Artaic 1 este o norm pe C[a, b].Exerciiul 8. Pentru k N, e n `p vectorii ek denii astfel nct sin-gurul eantion nenul s e eantionul k, egal cu 1: e0 := (1, 0, 0, . . . ),e1 := (0, 1, 0, 0, . . . ), e2 := (0, 0, 1, 0, 0, . . . ), . . . . Artai c pentru oricex := (xk) `1 i orice 1 p < avem(

kNxkekpp

) 1p

x1.

Exerciiul 9. 1. Fie o norm pe un spaiu vectorial X. Furnizaicondiii necesare i suciente asupra lui X astfel nct : X [0,) se surjectiv.2. Fie d metrica indus pe un spaiu normat (X, ). Pentru ce a < i ce X este adevrat c supx,yX d(x, y) = a?Exerciiul 10. Fie X spaiu vectorial peste K. Furnizai condiii necesarei suciente asupra lui X astfel nct, pentru oricare dou norme 1 i2 s existe o constant pozitiv C astfel nct x1 = Cx2 pentru oricex X.Exerciiul 11. Fie X colecia funciilor continue f : [0, 1] R astfel nctsupx[0,1]| f (x)| < . Artai c X este un subspaiu vectorial al lui C[0, 1].Denim : X [0,) prin f := supx[0,1]| f (x)|. Este o normpe X?

2

Exerciiul 12. Fie (X, ) spaiu normat i e S := { x X | x = 1 }.Pentru orice u X, determinai d(u, S).Exerciiul 13. Fie X spaiu vectorial peste K. Fie d o metric pe X astfelnct

d(x, y) = d(x+ z, y+ z) i d(x, y) = ||d(x, y)pentru orice x, y, z X i orice K. Denim x := d(0, x) pentru oricex X. Artai este norm pe X i c metric indus pe X indus deaceast norm coincide cu d.Exerciiul 14. Dac X i Y sunt spaii vectoriale i exist o aplicaie liniarbectiv : X Y, atunci este izomorsm de spaii vectoriale, iarspaiile X i Y sunt izomorfe. Este posibil s se deneasc o norm Xpe X i o norm Y pe Y astfel nct (u)Y = uX? (n acest caz devine izomorsm izometric).Concepte topologice n spaii normateExerciiul 15. Fie 1 p < q . Artai c incluziunea i : `p `q,i(x) := x este uniform continu.Exerciiul 16. Fie 1 i 2 norme pe un spaiu vectorial X. DenimB1 := { x X | x1 1 } i B2 := { x X | x2 1 }. Artai c 1i 2 sunt norme echivalente pe X dac i numai dac exist constantestrict pozitive c i d astfel nct cB2 B1 dB2.Exerciiul 17. a) Fie 1 i 2 norme pe un spaiu vectorial X. Pre-supunem c exist o constant C < astfel nct 2 C1. DenimT : (X, 1) R prin T(x) := x2. Artai c T este uniform continu.b) Este { f (C[a, b], ) | ba | f (t)|dt < 1 } mulime deschis a lui(C[a, b], )? (Aici este norma standarddepeC[a, b]). Indicaie: Folosiirezultatul Exerciiului 7.Exerciiul 18. Artai c orice submulime deschis nevid a unui spaiunormat nenul X este nenumrabil. Deducei c orice spaiu normat estespaiu metric perfect: orice punct x X este un punct-limit al lui X nsensul c exist (xn) X astfel nct xn x cu xk 6= xl de ecare datcnd k 6= l.Exerciiul 19. Fie X spaiu normat, x0 X, r > 0. Artai c B(x0, r) =B(x0, r).

3

Exerciiul 20. Fie (X, ) spaiu normat,M X i z X. Artai c z Mdac i numai dac exist un ir (xn) nM ce satisface limnxn z = 0.Concluzionai c M este dens n X dac i numai dac pentru orice z Xi orice r > 0, exist x M astfel nct z x < r.Exerciiul 21. FieMdens n (X, ). Artai c oricemulimeM1 obinutprin nlturarea unui numr nit de puncte dinM este de asemenea densn X. Dar dac se nltur o mulime numrabil de puncte? Indicaie: Esteutil prima parte a Exerciiului 18.Exerciiul 22. Fie (X, ) spaiu normat peste K. Fie x0 X i c K,c 6= 0 xate. Denim T : X X prin T(x) := 1c (x + x0). Artai cT : (X, ) (X, ) este omeomorsm.Exerciiul 23. Folosii Exerciiul 16 pentru a arta c peRn normele 1 i2 sunt echivalente.Spaii vectoriale topologiceExerciiul 24. Fie X un spaiu vectorial topologic i e A X astfel nctA s nu e nchis n X. Artai c x+ A ( x+ A pentru orice x X.Exerciiul 25. Fie X un spaiu vectorial topologic i e M X. Artai cpentru orice v0 X i orice scalar nenul , mulimea v0 + M este densn X dac i numai dac M este dens n X.Exerciiul 26. Fie T topologia peR generat de colecia B := { [a, b) R |a < b }. Artai c (R, T ) nu este un spaiu vectorial topologic peste R.Indicaie: Artai c exist R astfel nctM s nu e omeomorsm (nsensul c pentru o mulime deschis [a, b) T ,M([a, b)) nu este n T ).Operatori pe spaii normateExerciiul 27. Pentru c := (ck) `2 xat, denim T(x) := (ckxk) de ecaredat cnd x := (xk) `2. Artai c T : `2 `1 este un operator liniarmrginit.Exerciiul 28. Fie (X, X) i (Y, Y) spaii normate i e T un operatorliniarmrginit. Date ind r > 0 i u X, e B := { x X | x uX < r }.a) Artai c orice x B poate scris sub forma u+ z, unde zX = 1i || < r.

4

b) Artai cT(u)Y rT sup

xBT(x)Y T(u)Y + rT.

Exerciiul 29. Fie T : X Y un operator liniar mrginit ntre spaii nor-mate, cu X 6= { 0 }. Denim SX := { x X | x = 1 }. Artai curmtoarele armaii sunt echivalente:1. T = M.2. T(x) M pentru orice x SX i exist (xn) SX culimnT(xn) = M.

Exerciiul 30. Fie T : X Y o aplicaie liniar ntre spaii normate. Artaic urmtoarele armaii sunt echivalente:1. Dac (xn) X i xn 0, atunci (T(xn)) este mrginit n Y.2. T este continu.Exerciiul 31. Fie X i Y spaii normate peste acelai corp. Fie M unsubspaiu vectorial dens n X. Artai c dac T : X Y i S : X Ysunt operatori liniari mrginii i T(z) = S(z) pentru orice z M, atunciT(x) = S(x) pentru orice x X.Exerciiul 32. Fie (X, ) un spaiu normat complet i T : X X unoperator liniar mrginit. Dac T0(x) := x, pentru orice numr naturaln > 0 denim Tn(x) := T(Tn1(x)). n aceste condiii, presupunem c

k=0Tk(x) < , x X.

1. Fie u, x0 n X. Denim xn := u+ T(xn1) pentru orice numr naturaln > 0. Artai c (xn) este ir Cauchy n X.2. Artai c pentru orice u X, exist un x X unic astfel nctx = u+ T(x).3. Artai c T < 1 este o condiie sucientpentruaavean=0Tn(x) < pentru orice x X.

Exerciiul 33. Fixm 1 p < i o becie : N N. DenimT : `1 `p prin T(a) := (a(n)) de ecare dat cnd a := (an) `1.Artai c T este operator continuu i gsii T.Exerciiul 34. Fie 1 p q i m N.1. Denim Tm : `p `q prin Tm(x) := (xm, xm+1, . . . ) pentru orice

x := (xn) `p. Artai c Tm este operator liniar mrginit i cTm = 1.

5

2. Fixm un ir c := (cn) de numere complexe. Denim T(x) := (cnxn)pentru orice x := (xn) `p. Artai c T este operator liniar mrginitdac i numai dac c `; n acest caz, artai c T = c.Exerciiul 35. Fie Rn cu norma Euclidian x2 := (nk=1|xk|2) 12 . FieT : Rn R o aplicaie liniar i e { e1, e2, . . . , en } baza canonic din Rn.Artai c

T =( nk=1

[T(ek)

]2) 12 .Exerciiul 36. Fie 1 i 2 norme pe un spaiu vectorial X. Fie I : X X aplicaia identitate, I(x) := x. Artai c urmtoarele armaii suntechivalente:1. Exist un ir (xn) n X astfel nct (xn) este mrginit n raport cu onorm, dar nu i cu cealalt.2. Cel puin una dintre aplicaiile I : (X, 1) (X, 2) i I1 :

(X, 2) (X, 1) nu este continu.Exerciiul 37. Fie p norma p pe Rn:

xp :={(nk=1|xk|p

) 1p , 1 p <

max1k|xk|, p = .

Fie I : (Rn, 1) (Rn, p) aplicaia identitate, Ix := x.1. Pentru 1 p , artai cI = 1 i I1 = n1 1p ,

unde 1p := 0 dac p = .2. Deducei c r i s sunt norme echivalente pe Rn pentru orice1 r, s .

6