bazele elth automatica 2015 partea i

BAZELE ELECTROTEHNICII

Suport de curs

Se adreseaz studenilor de la programe de studii de licen: Automatic i Informatic Aplicat Mecatronic Robotic Ingineria Sistemelor Multimedia Electronic Aplicat

Autor: Prof. dr. ing. Lucian Mandache Universitatea din Craiova Facultatea de Inginerie Electric

An universitar 2014-2015

BAZELE ELECTROTEHNICII suport de curs (AIA, MCT, ROB, ISM, ELA) An universitar 2014-2015

Pag. 2/36

Partea I

NOIUNI FUNDAMENTALE DE TEORIA CMPULUI

ELECTROMAGNETIC

Noiuni introductive

Bazele electrotehnicii este o disciplin tehnic care studiaz fenomenele electrice i

magnetice din perspectiva aplicaiilor lor practice.

Din cauz c fenomenele electromagnetice nu pot fi percepute direct de simurile

umane, studiul lor este dificil i se bazeaz pe un suport matematic relativ complicat. Astfel

de fenomene sunt percepute prin unele efecte sau consecine, cum sunt: efecte mecanice,

efecte luminoase, efect termic, etc. Dei au fost percepute de om din cele mai vechi timpuri

(sub forma descrcrilor electrice atmosferice, spre exemplu), studiul lor sistematic a devenit

posibil odat cu dezvoltarea matematicilor superioare.

Au fost dezvoltate mai multe teorii care explic fenomenele electromagnetice, dup

cum urmeaz:

- teoria macroscopic Maxwell-Hertz;

- teoria microscopic (Lorentz);

- teoria cuantic;

- teoria relativist.

Teoria macroscopic Maxwell-Hetz, dezvoltat n a doua jumtate a secolului al XIX-

lea, are o serie de limitri, dar rspunde suficient de bine aplicaiilor comune din ingineria

electric, energetic, ingineria sistemelor i electronic, astfel nct va fi considerat ca

referin pentru studiul fenomenelor electromagnetice n cadrul cursului. Limitrile acestei

teorii apar la viteze de deplasare comparabile cu viteza absolut sau frecvene ce depesc

spectrul specific aplicaiilor tehnice comune. Celelalte teorii au valoare teoretic indiscutabil,

ns complexitatea lor nu le justific utilizarea pentru aplicaii inginereti obinuite.

Teoria Maxwell se bazeaz pe principiul transmiterii la distan a aciunilor mecanice

de origine electromagnetic (fore i cupluri) prin intermediul celor dou componente ale

materiei: substana i cmpul concepte fundamentale ale acestei teorii; acestea sunt

considerate medii continue, fcndu-se abstracie de caracterul discret al substanei.

Substana este constituit din corpuri care prezint mas.


Pag. 3/36

Cmpul este o form de existen a materiei care poate exista att n interiorul, ct i n

afara substanei, respectiv n spaiul vid.

La baza tuturor fenomenelor electromagnetice st conceptul de sarcin electric. Dei

sarcina electric are caracter discret, purttorii elementari fiind, la nivel microscopic,

electronii ( C106.1 19=eq ) i protonii ( C106.1 19=pq ), teoria Maxwell o consider ca avnd caracter continuu perceptibil la nivel macroscopic.

Instrumentele cu care opereaz teoria Maxwell-Hertz sunt:

- Mrimi fizice (primitive i derivate);

- Uniti de msur (fundamentale i derivate);

- Legi;

- Teoreme.

Mrimile fizice sunt concepte asociate unor fenomene sau corpuri cu scopul de a

aprecia calitativ anumite nsuiri ale acestora. Mrimile primitive au fost introduse n cadrul

teoriei pe baza unor experimente asociate cu aciuni mecanice (fore i cupluri). Cmpul

electric exercit aciuni mecanice asupra corpurilor ncrcate cu sarcini electrice aflate n

repaus, iar cmpul magnetic exercit aciuni mecanice asupra corpurilor ncrcate cu sarcini

electrice aflate n micare. Mrimile primitive ale teoriei Maxwell sunt:

1. Sarcina electric q;

2. Intensitatea cmpului electric n vid vE ;

3. Inducia magnetic n vid vB ;

4. Momentul electric p ;

5. Momentul magnetic m ;

6. Intensitatea curentului electric de conducie i.

Sarcina electric i intensitatea cmpului electric n vid sunt introduse n cadrul teoriei

pe baza forei lui Coulomb ce acioneaz asupra unui corp de mici dimensiuni ncrcat cu

sarcina q aflat n vid, ntr-un cmp electric cu intensitatea vE (fig. 1):

vEqF =


Pag. 4/36

vE F q

vE p

Tendin de rotire

Tendin de rotire

l q+q

A

i

A

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Momentul electric este introdus pe baza cuplului mecanic ce se manifest asupra unui

dipol electric elementar aflat n vid, ntr-un cmp electric cu intensitatea vE (fig. 2):

vEpC = . Un dipol electric elementar (fig. 3) este format dintr-o pereche de sarcini electrice de

polariti diferite ( qq + , ) i dimensiuni foarte mici n raport cu spaiul la care se raporteaz (punctiforme), situate la o distan relativ mic n raport cu spaiul la care se raporteaz ( l ). Momentul electric asociat acestui dipol este definit prin expresia:

lqp = , unde mrimea vectorial l este vectorul de poziie al sarcinii pozitive n raport cu cea negativ.

Inducia magnetic n vid este introdus prin intermediul forei care se manifest

asupra unei sarcini electrice q de mici dimensiuni aflat n micare cu viteza v ntr-un cmp

magnetic cu inducia magnetic vB (fora Lorentz):

vBvqF = . Momentul magnetic este introdus prin intermediul cuplului mecanic ce se manifest

asupra unei spire de dimensiuni foarte mici (bucl de curent) aflat n vid, ntr-un cmp

magnetic cu inducia magnetic vB :

vBmC = Momentul magnetic este asociat cu o spir de mici dimensiuni (fig. 4), parcurs de curentul i

i avnd aria A : Aim = , unde mrimea vectorial A este perpendicular pe planul spirei i orientat n sensul opus de naintare a unui burghiu care se rotete n sensul curentului i.

Intensitatea curentului electric de conducie este introdus n cadrul teoriei prin

intermediul forei ce se manifest asupra unui conductor rectiliniu filiform de lungime l

parcurs de curent aflat n vid, n prezena unui cmp magnetic cu inducia magnetic vB (fora

Laplace):


Pag. 5/36

vBliF = , unde vectorul l are modulul egal cu lungimea conductorului, direcia conductorului i sensul

curentului.

Mrimile fizice derivate sunt introduse n cadrul teoriei pe baza unor raionamente

care folosesc mrimi primitive i, eventual, alte mrimi derivate (exemple: fluxul electric,

fluxul magnetic, intensitatea cmpului electric n corpuri, curentul electric de conducie,

tensiunea electric, puterea electromagnetic, intensitatea cmpului magnetic, etc.). Dac

numrul mrimilor primitive este fixat n cadrul teoriei, numrul mrimilor derivate este

nelimitat.

Unitile de msur sunt concepte asociate mrimilor fizice, care permit evaluarea

cantitativ, respectiv compararea mrimilor de aceeai natur. Vom folosi unitile

fundamentale ale sistemului internaional MKSA raionalizat (metru, kilogram, secund,

Amper) i mrimi derivate specifice, care vor fi definite pe parcurs.

Observaie: A nu se confunda mrimile fizice primitive cu unitile de msur

fundamentale.

Legile sunt adevruri (afirmaii) demonstrate experimental al cror grad de

generalitate este nelimitat. Legile teoriei Maxwell-Hertz sunt grupate n dou categorii: legi

generale i legi de material:

Legile generale Legea fluxului electric

Legea fluxului magnetic Legea conservrii sarcinii electrice Legea legturii ntre mrimile PED ,, n cmp electric Legea legturii ntre mrimile MHB ,, n cmp magnetic Legea transformrii energiei n procesul de conducie (Joule) Legea induciei electromagnetice (Faraday) Legea circuitului magnetic (Ampre)

Legile de material Legea polarizaiei temporare Legea magnetizaiei temporare Legea conduciei electrice (Ohm)

Teoremele sunt afirmaii cu caracter de generalitate restrns, deduse prin raionament

pe baza legilor. Gradul lor de generalitate este limitat la anumite regimuri sau condiii de


Pag. 6/36

funcionare. Prin urmare, teoremele reprezint cazuri particulare ale unor legi. Exemplu:

teoremele lui Kirchhoff, teorema lui Ampre, etc.

Teoria Maxwell folosete dou constante universale: permitivitatea dielectric a

vidului ( 0 ) i permeabilitatea magnetic a vidului ( 0 ), ale cror valori n sistemul internaional de uniti sunt:

H/m104F/m;1094

1 7090

== .

ntre acestea i viteza absolut exist relaia evident:

m/s1031 800

==c .

Regimurile de evoluie ale fenomenelor electromagnetice Din punctul de vedere al teoriei Maxwell, se disting urmtoarele regimuri de evoluie

ale fenomenelor electromagnetice:

1. Regim static

Se caracterizeaz prin corpuri n repaus, toate mrimile fizice sunt constante n timp i

nu au loc transformri energetice:

0=v corpuri n repaus;

( ) 0=t

mrimi constante n timp;

0=W lipsa transformrilor energetice.

Au loc numai interaciuni de echilibru ntre corpuri i nu se produc variaii ale strii

sistemelor fizice. n acest regim, fenomenele electrice (regim electrostatic) i magnetice

(regim magnetostatic) se produc independent unele de celelalte i pot fi studiate separat.

2. Regim staionar

n regim staionar sarcinile electrice care stau la baza fenomenelor electromagnetice se

deplaseaz cu viteze constante, percepute la nivel macroscopic sub forma curentului de

conducie continuu. Toate mrimile fizice sunt constante n timp i au loc transformri

energetice sub form de fluxuri de cldur:


Pag. 7/36

.ct=v sarcini electrice n micare uniform (curent continuu);

( ) 0=t

mrimi constante n timp;

0W prezena transformrilor energetice.

n acest regim, n conductoarele parcurse de curent energia electromagnetic se

transform n cldur, fenomen explicat de legea lui Joule.

n regim staionar cmpurile electric i magnetic coexist, dar pot fi studiate separat.

3. Regim cvasistaionar (lent variabil)

n regim cvasistaionar se manifest viteze ale sarcinilor electrice i altor mrimi fizice

variabile n timp, precum i transformri energetice. Variaia este suficient de lent pentru a

nu favoriza radiaia cmpului electromagnetic la distane mari n raport cu dimensiunile

sistemului fizic.

.ctv sarcini electrice n micare;

( ) 0t

mrimi variabile n timp;


Acest regim caracterizeaz circuitele electrice i fenomenele care nsoesc

funcionarea lor la frecvene suficient de mici care permit concentrarea cmpurilor magnetice

n miezurile magnetice ale bobinelor i a cmpurilor electrice numai n dielectricii

condensatoarelor.

4. Regim nestaionar (variabil)

n regim cvasistaionar se manifest viteze ale sarcinilor electrice i altor mrimi fizice

variabile n timp, precum i transformri energetice. Variaia poate favoriza radiaia cmpului

electromagnetic la distane mari n raport cu dimensiunile sistemului fizic.

.ctv sarcini electrice n micare;

( ) 0t

mrimi variabile n timp;


Acest regim caracterizeaz aplicaiile specifice comunicaiilor radio, TV, telefonie

mobil.


Pag. 8/36

Strile substanei din punct de vedere electromagnetic

1. Starea de electrizare

Starea de electrizare caracterizeaz corpurile a cror sarcin electric total,

perceptibil la nivel macroscopic, este nenul ( 0q ). Mrimea primitiv care caracterizeaz aceast stare este sarcina electric:

C1=SIq (Coulomb) n legtur cu starea de electrizare, se definesc mrimile derivate: densitatea volumic

de sarcin electric, densitatea superficial de sarcin electric i densitatea lineic de sarcin

electric:

a) Pentru corpuri masive se definete densitatea volumic de sarcin electric ca

mrime ce caracterizeaz local starea de electrizare. Dac se consider o poriune de volum de

mici dimensiuni v (element de volum) creia i corespunde sarcina electric q (fig. 5), densitatea volumic de sarcin electric se definete astfel:

vq

vq

v

defv d

dlim0

. == ;

3mC/1= SIv

v q

s

q

l q

Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 b) Pentru suprafee aflate n stare de electrizare se definete densitatea superficial de

sarcin electric ca mrime ce caracterizeaz local aceast stare. Dac se consider o poriune

de mici dimensiuni din suprafa s (element de suprafa) creia i corespunde sarcina electric q (fig. 6), densitatea superficial de sarcin electric se definete astfel:

sq

sq

s

defs d

dlim0

.=

= ; 2C/m1= SIs


Pag. 9/36

c) Pentru corpuri filiforme aflate n stare de electrizare se definete densitatea lineic

de sarcin electric ca mrime ce caracterizeaz local aceast stare. Dac se consider o

poriune de mici dimensiuni din lungimea firului l (element de lungime) creia i corespunde sarcina electric q (fig. 7), densitatea lineic de sarcin electric se definete astfel:

lq

lq

l

defl d

dlim0

.=

= ; C/m1= SIl .

2. Starea de polarizare

Starea de polarizare se caracterizeaz prin dou proprieti importante ale unor

materiale:

- sarcina total a corpului polarizat este nul ( 0=q ); - exist concentrri de sarcini electrice de aceeai polaritate n anumite zone ale

corpului.

n cele mai multe cazuri, fenomenul de polarizare se manifest n prezena unui cmp

electric exterior i nceteaz la dispariia acestuia (polarizare temporar). Spre exemplu, n

dielectricul unui condensator apar concentrri de sarcini pe feele aflate n vecintatea

armturilor; concentrrile de sarcini din dielectric au polaritate diferit fa de sarcina depus

pe armtura nvecinat (fig. 8).

n natur exist ns i materiale la care fenomenul de polarizare exist chiar n

absena unui cmp electric (polarizare permanent); astfel de materiale se numesc electrei.

+ + + + + +

qq+

0E

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+

+

pE

v

p P

Fig. 8 Fig. 9 Fig. 10

Explicaia fenomenului de polarizare temporar se gsete la nivel microscopic,

apelnd la modelul atomic propus de Bohr. Dac n absena uni cmp electric exterior norul

electronic al atomului este aproximativ sferic, cu nucleul n centrul de simetrie, sub aciunea

unui cmp electric exterior care exercit fore de sensuri opuse asupra electronilor i respectiv

protonilor din nucleu, acesta capt o form elipsoidal orientat pe direcia cmpului electric,


Pag. 10/36

cu nucleul n unul dintre focare. O astfel de structur poate fi asociat cu un dipol elementar

(descris ntr-un paragraf anterior). Cu referire la cazul condensatorului plan, dac toi atomii

sunt orientai dup o direcie preferenial, fenomenul de polarizare este perceptibil la nivel

macroscopic prin concentrri de sarcin electric pe feele laterale ale materialului dielectric

(fig. 9). n figur a fost reprezentat sensul cmpului electric exterior 0E i sensul cmpului

creat de sarcinile de polarizare pE , cu sens opus fa de cmpul exterior. Prin urmare, cmpul

electric rezultant este mai slab dect cmpul exterior:

ptotalptotal EEEEEE =+= 00 ; . Aa se explic cum cmpul electric n dielectricii condensatoarelor este mai slab dect cmpul

electric care ar exista ntre armturi n absena dielectricului (n aer) n condiii similare de

ncrcare.

O mrime fizic derivat care caracterizeaz local starea de polarizare este polarizaia

electric P i reprezint densitatea de volum a momentului electric (fig. 10):

vp

vpP

v

def

ddlim

0

. == ;

2C/m1=SIP

Semnificaia lui p este suma vectorial a momentelor electrice ale tuturor dipolilor elementari care ocupa volumul v .

3. Starea de magnetizare

Starea de magnetizare poate fi explicat tot apelnd la un model atomic. Atomii pot fi

asociai cu bucle de curent elementare (descrise intr-un paragraf precedent) ntruct norul

electronic poate fi comparat cu un curent de conducie t

qi ee d

d= , momentul magnetic

elementar fiind:

nt

qAm e =

dd ,

unde cu A s-a notat aria traiectoriei electronului i cu n versorul normalei la suprafaa

delimitat de aceast traiectorie.

n absena strii de magnetizare, orbitele electronilor sunt poziionate aleatoriu (fig.

11.a), astfel nct momentul magnetic rezultant (egal cu suma vectorial a momentelor

magnetice ale buclelor de curent ce compun un domeniu) este nul ( 0=m ). Pentru corpuri magnetizate, traiectoriile electronilor au o orientare preferenial, astfel

nct momentul magnetic rezultant devine nenul (fig. 11.b).


Pag. 11/36

Corp neutru d.p.v. magnetic

(nemagnetizat) Corp magnetizat

(a) (b)

Fig. 11 Fenomenul se manifest n anumite corpuri sub aciunea unui cmp magnetic exterior

i nceteaz la dispariia acestuia (magnetizare temporar). Este cazul miezurilor

feromagnetice ale bobinelor, transformatoarelor i mainilor electrice rotative.

Exist i materiale la care fenomenul de magnetizare exist n mod natural (minereuri

de magnetit), precum i materiale la care fenomenul de magnetizare persist dup

ndeprtarea cmpului magnetic care l-a generat. Fenomenul se numete magnetizare

permanent i este specific magneilor permaneni (naturali sau artificiali).

O mrime fizic derivat care caracterizeaz local starea de magnetizare este

magnetizaia M i reprezint densitatea de volum a momentului magnetic:

vm

vmM

v

def

ddlim

0

. == ; A/m1=SIM

Semnificaia lui m este suma vectorial a momentelor magnetice ale tuturor buclelor de curent elementare care ocup volumul v .

4. Starea de conducie electric

Starea de conducie electric se manifest n corpuri conductore solide sau lichide

(electrolii) i const n deplasri ordonate de sarcini electrice dup direcii prefereniale.

La corpurile conductoare solide purttorii de sarcini electrice n micare sunt electronii

liberi, iar la electrolii purttorii de sarcini electrice n micare sunt ionii pozitivi i negativi.

Mrimea fizic primitiv ce caracterizeaz starea de conducie este intensitatea

curentului electric de conducie, definit ca sarcina electric ce strbate seciunea transversal

a unui conductor n unitatea de timp:

tqi

def

dd.=

Intensitatea curentului electric de conducie (sau curentului electric de conducie)

este mrime scalar afectat de sens, considerndu-se, prin convenie c sensul este opus celui


Pag. 12/36

de deplasare a electronilor liberi in conductoare solide, respectiv coincide cu sensul de

deplasare a ionilor pozitivi n electrolii.

O mrime fizic derivat care caracterizeaz local starea de conducie electric este

densitatea de curent J , definit drept curentul electric de conducie care strbate unitatea de

suprafa a seciunii transversale a unui conductor (fig. 12):

sinJ

s

def

= 0

.lim ; 2A/m1=SIJ ,

unde n este versorul normalei la seciunea transversal a conductorului.

si

J n

Fig. 12


Pag. 13/36

Legile generale ale teoriei macroscopice Maxwell-Hertz

Breviar

1. Legea legturii ntre mrimile de stare n cmp electric

D inducia electric;

E intensitatea cmpului electric n corpuri;

P polarizaia electric.

Expresia matematic a legii:

PED += 0 , valabil n orice regim de funcionare i n orice material.

n cazul particular al mediului vid (mediu nepolarizabil) 0=P i ED 0= . n consecin, n medii polarizabile sunt necesare dou mrimi fizice pentru a descrie

complet starea cmpului electric, a treia mrime fiind o combinaie a primelor dou, iar n

medii nepolarizabile este suficient o singur mrime.

Unitile de msur ale mrimilor care intervin n lege: 2C/m1=SIP (vezi starea de polarizare); V/m1=SIE ; 2C/m1=SID

2. Legea fluxului electric Fluxul electric printr-o suprafa este o mrime fizic derivat. Pentru a o defini, se

consider o suprafa oarecare (S) aflat n cmp electric (fig. 13) pe care se pune n eviden

un punct (P) n jurul cruia se alege o poriune de mici dimensiuni din suprafa ps .

(S)

P

pD

ps

pn

ns

2s1s

(S)

Fig. 13 Fig. 14

Versorul normalei la acest element de suprafa este pn , iar n punctul P inducia

electric este pD . Elementul de suprafa se consider suficient de mic pentru ca pD s nu


Pag. 14/36

prezinte variaii de la un punct la altul al lui. Fluxul electric prin elementul de suprafa ps , numit flux elementar, este produsul scalar:

( )pppppppp DnDsDns ,cos==

Fluxul electric prin ntreaga suprafa (S), divizat n n elemente de suprafa 1s ,

2s , , ns (fig. 14) se calculeaz nsumnd toate fluxurile elementare. Calculul este cu att mai precis, cu ct elementele de suprafa au dimensiuni mai mici, deci cu ct numrul lor

este mai mare:

======= )(111

dlimlimlimS

n

kkk

n

n

kkkk

n

n

kk

nsDDsDns ,

unde s-au folosit notaiile:

ssnssn

kkk == limd; .

Din expresia de definiie, rezult unitatea de msur pentru fluxul electric n sistemul

internaional de uniti:

C1= SI .

Enunul legii fluxului electric: Fluxul electric prin orice suprafa nchis este

numeric egal cu sarcina electric total existent n volumul delimitat de acea suprafa.

Pentru a exprima analitic forma integral a legii, se consider o suprafa nchis n interiorul creia exist corpuri ncrcate cu sarcini electrice, a cror sarcin total se noteaz

q (fig. 15). Acestea provoac apariia unui cmp electric n spaiul din vecintate. Pentru a

exprima fluxul electric prin suprafa nchis, se pune n eviden un element de suprafa

infinitesimal sd pe . Notnd cu n versorul normalei la acesta, orientat spre exterior, se exprim vectorul

nss = dd , reprezentat n fig. 15, care are modulul egal cu aria sd i orientarea normalei n . Acesta se

numete element de suprafa orientat.

Cu aceste notaii, se exprim forma integral a legii fluxului electric:

= q sau

= qsD d .


Pag. 15/36

Legea fluxului electric explic cum liniile de cmp electric sunt curbe deschise.

Aceast concluzie decurge n mod evident din forma local a legii ( vD =div ) , care ns nu face obiectul studiului de fa.

sd

q

D

sd

sd D

q r

Fig. 15 Fig. 16

Consecin a legii fluxului electric

Se consider o sarcin punctiform q amplasat n vid. Ne propunem s calculm

inducia electric i intensitatea cmpului electric produs de aceasta ntr-un punct din

vecintate situat la distana r.

n acest scop, prin punctul considerat construim o suprafa sferic cu centrul n sarcina punctiform (fig. 16), pentru care vom aplica legea fluxului electric. Din motive de

simetrie, cmpul electric are direcie radial i are aceeai intensitate (n modul) n toate

punctele aflate la aceeai distan fa de sarcina electric care l produce, astfel nct vectorii

sd i D sunt colineari, avnd ambii direcia razei, indiferent de poziia elementului de

suprafa pe sfera de raz r. Prin urmare, fluxul electric prin suprafa sferic (membrul stng din legea fluxului electric) este:

24d0cosdd rDsDsDsD ====

.

Membrul drept din legea fluxului electric este:

qq = , de unde rezult

qrD = 24 i 24 r

qD =

Din legea legturii n cmp electric, cu 0=P rezult

200 4 r

qDE == .

S-a regsit teorema lui Coulomb, n forma cunoscut.


Pag. 16/36

3. Legea legturii ntre mrimile de stare n cmp magnetic

B inducia magnetic n corpuri;

H intensitatea cmpului magnetic;

M magnetizaia.

Expresia matematic a legii:

( )MHB += 0 , valabil n orice regim de funcionare i n orice material.

n cazul particular al mediului vid 0=M i HB 0= . n consecin, n medii aflate n stare de magnetizare sunt necesare dou mrimi fizice

pentru a descrie complet starea cmpului magnetic, a treia mrime fiind o combinaie a

primelor dou, iar n medii nemagnetizate este suficient o singur mrime.

Unitile de msur ale mrimilor care intervin n lege:

A/m1=SIM (vezi starea de magnetizare); A/m1=SIH ; T1=SIB (Tesla)

4. Legea fluxului magnetic Fluxul magnetic printr-o suprafa este o mrime fizic derivat care se definete n

mod similar cu fluxul electric, dar cu referire la inducia magnetic. Pentru o suprafa

oarecare (S) aflat n cmp magnetic, fluxul magnetic este:

=)(

dS

sB

Unitatea de msur pentru fluxul magnetic se numete Weber:

Wb1= SI ; 2m1T1Wb1 = .

Enunul legii fluxului magnetic: Fluxul magnetic prin orice suprafa nchis este

egal cu zero.

Expresia analitic a formei integrale a legii face referire la o suprafa nchis , care poate avea n interior i n vecintate orice corpuri aflate n oricare dintre strile specifice ale

substanei din punct de vedere electromagnetic. Cu notaii similare celor folosite la legea

fluxului electric, se exprim forma integral a legii fluxului magnetic:


Pag. 17/36

0= sau 0d =

sB .

Legea fluxului magnetic explic cum liniile de cmp magnetic sunt curbe nchise.

Aceast concluzie decurge n mod evident din forma local a legii ( 0div =B ) , care ns nu face obiectul studiului de fa.

5. Legea induciei electromagnetice (Faraday)

Legea induciei electromagnetice explic o legtur ntre fenomenele electrice i cele

magnetice, fiind valabil n orice mediu i n orice regim de funcionare, pentru corpuri n

repaus i n micare.

Pentru a enuna legea, este necesar introducerea unei noi mrimi derivate tensiunea

electromotoare. Aceasta se definete pentru o curb nchis aflat total sau parial n cmp

electric, care traverseaz corpuri sau spaiul vid i aflat n repaus sau n micare. Notnd

curba cu i elementul de lungime asociat cu ld (fig. 17), tensiunea electromotoare se exprim ca integrala intensitii cmpului electric de-a lungul curbei:

= lEe d .

Sub integral este produsul scalar al celor dou mrimi vectoriale.

Tensiunea electric este o alt mrime derivat, care se definete n mod similar ntre

dou puncte oarecare ale unei curbe. Notnd curba cu C cu punctele de capt a i b (fig. 18),

tensiunea electric ntre punctele de capt ale curbei este:

=b

Ca

ab lEu

)(

d .

Unitatea de msur n sistemul internaional de uniti pentru tensiunea electromotoare

i tensiunea electric este Volt-ul:

V1=SIe ; V1=SIu .

Enunul legii induciei electromagnetice: Tensiunea electromotoare de-a lungul

oricrei curbe nchise este egal cu viteza de scdere a fluxului magnetic prin orice suprafa

care se sprijin pe acea curb.

Pentru a exprima analitic forma integral a legii, se consider o curb nchis ( ) aflat n cmp magnetic i o suprafa care se sprijin pe aceasta ( S ), reprezentate n fig. 19.


Pag. 18/36

Curbei i este asociat elementul de lungime ld al crui sens se alege arbitrar i suprafeei i

este asociat elementul de suprafa sd a crui orientare este corelat cu sensul lui ld dup

regula burghiului: direcia vectorului sd este perpendicular pe suprafaa infinitesimal sd ,

iar sensul este cel de naintare al unui burghiu care se rotete n sensul indicat de ld (fig. 19).

E

ld

)(C

a

E ld

b

B sd

ld

S

E

Fig. 17 Fig. 18 Fig. 19

Cu aceste notaii, forma integral a legii induciei electromagnetice este:

te S

dd = .

Dac sistemul fizic considerat este n micare fa de un referenial solidar cu

observatorul, cmpul magnetic n punctele sale este o funcie de timp i de poziie:

( )trBB , , unde cu r s-a notat vectorul de poziie al punctului n care se evalueaz inducia magnetic n

raport cu originea sistemului de referin.

Prin urmare, membrul drept al legii se poate dezvolta astfel (se prezint mai jos numai

rezultatul):

( )

==

lBvstBsB

ttSS

S ddddd

dd

,

unde v este viteza de deplasare a elementului de lungime ld asociat conturului ; trv

dd= .

Ca urmare, se exprim forma integral dezvoltat a legii:

( )

+=

lBvstBlE

S

ddd ,

unde cei doi termeni din membrul drept au urmtoarele semnificaii:

=

St st

Be d


Pag. 19/36

este componenta transformatoric a tensiunii electromotoare, fiind cauzat de variaia

cmpului magnetic n raport cu timpul ( 0

tB ).

( )

= lBvem d

este componenta de micare a tensiunii electromotoare, fiind cauzat de starea de micare a

curbei ( 0v ). Este evident c legea induciei electromagnetice explic apariia unui cmp electric

(membrul stng al formei integrale dezvoltate) n prezena unui cmp magnetic variabil n

timp (primul termen din membrul drept) i/sau dac exist micare relativ fa de un cmp

magnetic, care poate fi constant sau variabil n timp (al doilea termen din membrul drept).

Componenta transformatoric a tensiunii electromotoare explic funcionarea

transformatoarelor electrice; acestea nu au elemente n micare ( 0=v ) i funcioneaz numai n regim variabil (n particular, n curent alternativ sinusoidal).

Componenta de micare a tensiunii electromotoare explic funcionarea mainilor

electrice rotative. n particular, funcionarea generatoarelor sincrone la care cmpul magnetic

este creat de un curent continuu ( 0=

tB ) apariia tensiunii la borne este explicat prin

micarea relativ ntre cmpul magnetic i nfurrile principale care joac rolul curbei .

6. Legea circuitului magnetic (Ampre)

Ca i legea induciei electromagnetice, legea circuitului magnetic explic o legtur

ntre fenomenele electrice i cele magnetice, fiind valabil n orice mediu i n orice regim de

funcionare, pentru corpuri n repaus i n micare.

Pentru a enuna legea, este necesar introducerea unei noi mrimi derivate tensiunea

magnetomotoare. Aceasta se definete pentru o curb nchis aflat total sau parial n cmp

magnetic, care traverseaz corpuri sau spaiul vid i aflat n repaus sau n micare. Notnd

curba cu i elementul de lungime asociat cu ld (fig. 20), tensiunea magnetomotoare se exprim ca integrala intensitii cmpului magnetic de-a lungul curbei:

= lHum d .

Sub integral este produsul scalar al celor dou mrimi vectoriale.

Tensiunea magnetic este o alt mrime derivat, care se definete n mod similar

ntre dou puncte oarecare ale unei curbe. Notnd curba cu C cu punctele de capt a i b (fig.

21), tensiunea magnetic ntre punctele de capt ale curbei este:


Pag. 20/36

=b

Ca

mab lHu

)(

d .

Unitatea de msur n sistemul internaional de uniti pentru tensiunea

magnetomotoare i tensiunea magnetica este Amper-ul:

A1=SImu .

H

ld

)(C

a

ld b

H

D sd

ld

S

H

S

Fig. 20 Fig. 21 Fig. 22

Enunul legii circuitului magnetic: Tensiunea magnetomotoare de-a lungul oricrei

curbe nchise este egal cu suma ntre curentul de conducie total care strbate orice

suprafa care se sprijin pe acea curb i viteza de cretere a fluxului electric prin acea

suprafa.

Pentru a exprima analitic forma integral a legii, se consider o curb nchis ( ) aflat n cmp electric i n vecintatea unor conductoare aflate n stare de conducie (fig. 22).

Este pus n eviden o suprafa care se sprijin pe curb ( S ). Curbei i este asociat

elementul de lungime ld al crui sens se alege arbitrar i suprafeei i este asociat elementul

de suprafa sd a crui orientare este corelat cu sensul lui ld dup regula burghiului (vezi

legea induciei electromagnetice).

Cu aceste notaii, forma integral a legii circuitului magnetic este:

tu SSm d

d

+= .

Curentul de conducie total prin S (notat S , se mai numete solenaie) ine seama

de toate conductoarele aflate n stare de conducie secionate de S (n fig. 22 a fost

reprezentat un singur conductor filiform), astfel nct n cazul general se exprim ca integrala


Pag. 21/36

de suprafa a densitii de curent pe domeniul S (vezi paragraful despre starea de conducie

electric):

=S

S sJ d .

Termenul

=S

S sDtt

ddd

dd

se mai numete curent hertzian i apare n prezena

cmpurilor electrice variabile n timp.

Ca urmare, legea circuitului magnetic se poate exprima n forma:

+= SS

sDt

sJlH ddddd .

care arat, n mod evident, c legea explic apariia unui cmp magnetic (membrul stng al

expresiei de mai sus) n vecintatea conductoarelor parcurse de curent (primul termen din

membrul drept) i/sau n prezena cmpurilor electrice variabile n timp (al doilea termen din

membrul drept).

n absena curentului hertzian, care presupune i lipsa micrii, se obine forma

particular

= S

sJlH dd .

cunoscut ca teorema lui Ampre.

7. Legea conservrii sarcinii electrice

Enun: Curentul electric de conducie care prsete orice suprafa nchis este egal

cu viteza de scdere a sarcinii electrice din interiorul suprafeei.

Cu referire la fig. 23, notnd cu suprafaa nchis care delimiteaz volumul V , i curentul total care iese din aceasta (pentru cazul reprezentat n figur 21 iii = ) i q sarcina electric din interiorul suprafeei, forma integral a legii conservrii sarcinii electrice se

exprim analitic sub forma:

tq

id

d =

Consecine:

a) Teorema I a lui Kirchhoff pentru circuite electrice

Se nconjoar un nod de circuit cu o suprafa nchis (un exemplu este ilustrat n fig.

24). ntruct pe conductoarele de conexiune nu exist acumulri de sarcin electric

(acumulrile de sarcin au loc numai pe armturile condensatoarelor), sarcina din interiorul


Pag. 22/36

suprafeei nchise este nul ( 0=q ) i aplicnd legea conservrii sarcinii pentru suprafaa se obine teorema I a lui Kirchhoff pentru circuite electrice:

0=i . Pentru cazul exemplificat n fig. 24

321 iiii ++= , deci 0321 =++ iii . Curenii au semnul plus dac sensul lor convenional coincide cu sensul elementului de

suprafa sd (sens de ieire din suprafaa nchis sau din nod) i au semnul minus n caz

contrar.

1i

i

sd

q V

2i

sd

1i

2i

3i

sd

1C

2C

3C

1q+

2q+ 3q+

1q

2q

3q

Fig. 23 Fig. 24 Fig. 25

b) Teorema I a lui Kirchhoff pentru reele de condensatoare

Se consider un nod de circuit n care sunt convergente numai laturi cu condensatoare

(fig. 25) i o suprafa nchis care nconjoar nodul i trece numai prin dielectricii condensatoarelor, fr a fi intersectat de conductoare de conexiune. Prin urmare, nu exist

curent electric de conducie care strbate suprafaa ( 0=i ). Aplicnd legea conservrii sarcinii electrice n aceste condiii pentru suprafaa , se obine expresia:

0d

d =t

q sau constant)( = tq

care exprim teorema I a lui Kirchhoff pentru reele de condensatoare: Sarcina electric

total a armturilor condensatoarelor conectate la un nod de reea se conserv.

Cum condensatoarele incidente la nodul considerat (de capaciti 321 ,, CCC ) au cte o

singur armtur n interiorul suprafeei i conform polaritilor de ncrcare alese arbitrar i

reprezentate n fig. 25 sarcinile electrice ale armturilor din interiorul suprafeei sunt

321 ,, qqq + , sarcina total q este:


Pag. 23/36

321 qqqq += . n urma schimbrii strii sistemului, se pstreaz aceeai convenie de semne, sarcinile

armturilor se redistribuie i devin ',',' 321 qqq , dar suma lor se conserv:

''' 321321 qqqqqq +=+ . S-a obinut expresia teoremei I a lui Kirchhoff particularizat pentru reeaua de condensatoare

reprezentat n fig. 25. n cazul general al unui nod n care sunt incidente n condensatoare,

expresia teoremei este:

==

=n

kk

n

kk qq

11' .

8. Legea transformrii energiei electromagnetice n procesul de conducie

electric (Joule)

Enunul formei locale a legii: Densitatea volumic a puterii absorbit de un corp n

stare de conducie electric i transformat ireversibil n cldur este egal cu produsul

scalar ntre intensitatea cmpului electric ( E ) i densitatea curentului electric de conducie

( J ).

Expresia matematic a formei locale este:

JEp j = ; 3mW1=

SIjp .

Se consider un tronson MN dintr-un conductor parcurs de curentul i (fig. 26). Se pune

n eviden un element de volum de forma unui paralelipiped cu baza sd (element de

suprafa asociat unei seciuni transversale, cu elementul vectorial sd ) i generatoarea ld

(element de lungime asociat unei fibre medii a conductorului, cu elementul vectorial ld ).

Elementul de volum va fi:

lsv ddd =

iJ S

M

Nsd ld

E

u

vd

Fig. 26


Pag. 24/36

Acest volum fiind de foarte mici dimensiuni, se poate afirma c densitatea volumic

de putere electromagnetic corespunztoare este constant n toate punctele lui, astfel nct se

poate calcula puterea corespunztoare acestui volum:

lspvpP jjj dddd == . Integrnd expresia pentru ntregul domeniu ocupat de conductorul considerat, rezult puterea

electromagnetic absorbit de acesta i transformat n cldur:

iusJlElsJEvpPPS

N

M

N

M Sjjj =====

)(

medie)(Fibra

la)transversa(Sectiune

)(corp)(Volum

corp)(Volum

dddddd .

S-a obinut forma integral a legii lui Joule care exprim faptul c puterea

electromagnetic absorbit de un conductor (omogen sau neomogen) i transformat n

cldur este egal cu produsul ntre tensiunea la borne i curentul prin conductor.

Legile de material ale teoriei macroscopice Maxwell-Hertz

Breviar

1. Legea polarizaiei temporare

Legea polarizaiei temporare se refer la starea de polarizare i stabilete legtura ntre

polarizaia electric ( P ) i intensitatea cmpului electric ( E ):

)(EfP = . n particular, pentru materiale liniare dependena ntre cele dou mrimi este de forma:

EP e= 0 , unde e este o constant de material adimensional pozitiv care se numete susceptivitate electric.

nlocuind P n expresia legii de legtur ntre mrimile de stare n cmp electric i

neglijnd polarizaia permanent (vezi paragraful despre starea de polarizare), se obine:

EEEPED ee )1(0000 +=+=+= . Cu notaiile er += 1 (permitivitate dielectric relativ a materialului, mrime adimensional supraunitar) i r= 0 (permitivitate dielectric absolut a materialului,

F/m1= SI ) rezult

EED r == 0 .


Pag. 25/36

Materialele dielectrice folosite n mod curent n practica inginereasc (cum sunt

izolaiile cablurilor i dielectricii condensatoarelor) prezint neliniariti nensemnate din

punct de vedere al fenomenului de polarizare, astfel nct pot fi aproximate cu materiale

liniare. pentru materiale Ca ordin de mrime, aceste materiale au 63 =r .

2. Legea magnetizaiei temporare

Legea magnetizaiei temporare se refer la starea de magnetizare i stabilete legtura

ntre magnetizaie ( M ) i intensitatea cmpului magnetic ( H ):

)(HfM = . n particular, pentru materiale liniare dependena ntre cele dou mrimi este de forma:

HM m= , unde m este o constant de material adimensional care se numete susceptivitate magnetic. nlocuind M n expresia legii de legtur ntre mrimile de stare n cmp magnetic i

neglijnd magnetizaia permanent (vezi paragraful despre starea de magnetizare), se obine:

( ) ( ) HHHMHB mm )1(000 +=+=+= . Cu notaiile mr += 1 (permeabilitate magnetic relativ a materialului, mrime adimensional) i r= 0 (permeabilitate magnetic absolut a materialului, H/m1= SI ) rezult

HHB r == 0 . Materialele magnetice liniare au susceptiviti foarte apropiate de zero ( 0m sau

1r ), astfel nct sunt considerate materiale nemagnetice (exemple: aerul, apa, metale i aliaje neferoase, materiale ceramice, etc.). Astfel de materiale perturb cmpurile magnetice

n care sunt introduse.

Materialele magnetice folosite n mod curent n practica inginereasc (cum sunt

miezurile magnetice ale transformatoarelor i mainilor electrice) prezint neliniariti

puternice din punct de vedere al fenomenului de magnetizare. Sunt aliaje pe baz de fier, se

numesc materiale feromagnetice i prezint fenomenul de saturaie magnetic care nu permite

magnetizaiei s creasc peste o anumit valoare. Spre exemplificare, n fig. 27 este

reprezentat caracteristica de magnetizare a unui material real (miezul magnetic al unui

transformator de putere).


Pag. 26/36

Materialele feromagnetice au permeabiliti magnetice relative ntr-un spectru foarte

larg: ( )52 1010 =r . Ele au rolul de a concentra cmpuri magnetice intense n spaii ct mai mici.

]/[ mAH

]/[ mAM

Fig. 27

3. Legea conduciei electrice (Ohm)

Legea conduciei electrice se refer la starea de conducie i stabilete legtura ntre

densitatea de curent ( J ) i intensitatea cmpului electric ( E ):

)(EfJ = . Pentru o mare parte dintre materialele folosite n practic, aceast dependen este

liniar i poate avea dou forme n funcie de natura materialelor aflate n stare de conducie.

a) Materiale neomogene

n cazul general al materialelor liniare neomogene, n care purttorii de sarcini

electrice (electronii liberi) pot fi supui, pe lng forele de natur electric (fore de tip

Coulomb EqF = ), i unor fore de natur neelectric (magnetic, chimic, cum este cazul bateriilor chimice sau al generatoarelor rotative), expresia formei locale a legii conduciei

electrice este:

( )iEEJ += , unde este o constant de material numit conductivitate electric, iar iE se numete intensitatea cmpului electric imprimat.

S/m1m1 11 == SI (Siemens/metru) V/m1=SIiE


Pag. 27/36

Noua mrime fizic, intensitatea cmpului imprimat ( iE ) permite exprimarea forelor

de natur neelectric n mod similar cu cele de natur electric, respectiv ii EqF = , astfel nct fora total creia i este supus un purttor de sarcin este ( )itot EEqF += .

b) Materiale omogene

n cazul materialelor liniare omogene, cmpul imprimat nu apare i expresia formei

locale a legii conduciei electrice devine:

EJ = ,

Cu notaia =1 ; m1= SI , unde se numete rezistivitate electric, expresiile

formei locale a legii n cele dou situaii devin:

JEE i =+ pentru materiale neomogene; JE = pentru materiale omogene

Pentru a exprima legea conduciei electrice pentru ntregul domeniu al unui corp

conductor (forma integral), se consider un tronson MN dintr-un conductor parcurs de

curentul i (fig. 28). Se pune n eviden un element de lungime asociat fibrei medii a

conductorului ld (cu elementul vectorial corespunztor ld ) i se integreaz forma local a

legii de-a lungul fibrei medii a conductorului MN:

( ) =+ NM

N

Mi lJlEE

medie)(Fibra

medie)(Fibra

dd

iJ

S

M

NiE

ld E

u

Fig. 28


Pag. 28/36

Dac lJ d|| , deci ( ) o0d, = lJ i lJlJlJ d0cosdd == o . n ipoteza distribuiei uniforme a curentului n seciunea transversal a conductorului (S), densitatea de curent se

exprim n funcie de curent (vezi paragraful despre starea de conducie electric):

SiJ =

i se nlocuiete n relaia de mai sus:

=+N

M

N

Mi

N

M

lS

ilElE d1dd ,

n care se identific urmtorii termeni:

==N

MMN lEuu d - tensiunea la bornele MN ale poriunii de conductor;

==N

MieMN lEue d - tensiunea electromotoare corespunztoare poriunii de conductor;

=N

M

lS

R d1 - rezistena electric a poriunii de conductor; = 1SIR .

Cu aceste notaii, forma integral a legii conduciei electrice, valabil pentru o

poriune de conductor neomogen, este:

iReu =+ . n cazul conductoarelor omogene, tensiunea electromotoare nu apare i legea conduciei

electrice n forma integral este:

iRu = . Pentru poriuni de conductor omogen, filiforme, cu seciunea constant S i lungimea l,

expresia rezistenei electrice devine:

Sll

Sl

SR

N

M

N

M

=== dd1 . Reprezentarea simplificat a poriunilor de conductor sub forma schemelor electrice:

Fig. 29 - pentru conductoare neomogene (cu surs de tensiune electromotoare);

Fig. 30 - pentru conductoare omogene.

R

u

ei

iReu =+

R

u

i

iRu =

Fig. 29 Fig. 30


Pag. 29/36

Observaie: Dac sensul uneia dintre mrimi este diferit fa de sensul indicat n fig.

29 i fig. 30, atunci termenul corespunztor din formele integrale ale legii conduciei

electrice se ia cu semn schimbat.

Bobina ca element de circuit

Construcie i principiu de funcionare

Din punct de vedere constructiv, bobinele constau n fire conductoare nfurate (sub

form de spire) pe suporturi realizate din materiale magnetice (uzual) sau nemagnetice. La

trecerea curentului electric prin firul conductor, n spaiul din vecintate apare un cmp

magnetic, fenomen explicat de legea circuitului magnetic. n fig. 31 este ilustrat o bobin cu

spirele realizate pe un miez magnetic prevzut cu un interstiiu ocupat de un material

nemagnetic (numit ntrefier). n figur sunt puse n eviden curentul bobinei, tensiunea la

borne i o linie de cmp magnetic. Cu s-a notat fluxul magnetic prin seciunea transversal a miezului.

)(t

N

)(tu

)(ti

uuMN =

i M

ld

N M N

S

Fig. 31 Fig. 32

Din punct de vedere al comportrii ca element de circuit, prezint interes relaia ntre

curentul bobinei (i) i tensiunea la borne (u).

Pentru a determina aceast dependen, se consider bobina cilindric fr miez

magnetic din fig. 32 i se construiete o curb nchis ( ) care urmrete spirele bobinei i se nchide prin exterior ntre bornele acesteia, pe un traseu arbitrar. Curbei i se asociaz

elementul de lungime ld orientat n sensul curentului. Curba delimiteaz suprafaa S . Se

aplic legea induciei electromagnetice pentru curba :

tlE S

dd

d =

.


Pag. 30/36

Integrala din membrul stng se calculeaz considernd cele dou tronsoane ale curbei: firul

conductor al bobinei ntre bornele M i N, respectiv zona de aer din vecintate, de la borna N

la borna M:

+=

M

aerN

N

firM

lElElE

)()(

ddd .

Al doilea termen din membrul drept este chiar tensiunea electric ntre punctele N i M, iar

dac se inverseaz limitele de integrare se obine tensiunea la bornele bobinei cu sensul

indicat n fig. 32, dar cu semnul minus:

uulElEu MNN

aerM

M

aerN

NM ==== )()(

dd .

Firul bobinei este parcurs de curent ( 0J ) i este un conductor omogen cu rezistena neglijabil ( 0= ); prin urmare, din legea conduciei electrice rezult:

0== JE i 0d)(

=N

firM

lE .

Prin urmare, tensiunea electromotoare de-a lungul conturului este: ulE =

d .

Sistemul fizic fiind liniar, fluxul magnetic prin suprafaa S din membrul drept al

expresiei legii induciei electromagnetice este proporional cu curentul bobinei, fapt explicat

de legea circuitului magnetic. Factorul de proporionalitate se noteaz cu L, se numete

inductivitatea proprie a bobinei i este o constant care depinde numai de caracteristicile

constructive ale acesteia:

iLS = sau iLSdef =

.; H1=SIL (Henry)

Cu aceast observaie, derivata fluxului devine:

( )tiLiL

ttS

dd

dd

dd ==

nlocuind acum membrul stng i membrul drept n expresia legii induciei electromagnetice

exprimat anterior pentru curba , rezult relaia cutat ntre tensiune i curent pentru bobina liniar:

tiLu

dd= .

Aceasta se numete ecuaia de evoluie a bobinei.


Pag. 31/36

Observaie: Ecuaia de evoluie arat c dac curentul bobinei este constant n timp

(curent continuu), tensiunea la borne este nul, deci bobina se comport ca un scurtcircuit n

curent continuu.

Exemplu de calcul al inductivitii proprii a unei bobine

Se consider bobina din fig. 33 cu N spire i un miez magnetic cu permeabilitatea

magnetic , de form toroidal (inelar), cu raza medie medR i seciunea transversal S .

S

ld

medR

H

i

N

S

sd

Fig. 33

Pentru calculul inductivitii proprii, se parcurg urmtorii pai:

1) Se consider bobina parcurs de un curent de valoare arbitrar i. Acesta determin

apariia unui cmp magnetic concentrat n miez, conform legii circuitului magnetic.

2) Considernd cmpul magnetic distribuit uniform n seciunea transversal a

miezului magnetic, se calculeaz intensitatea lui (H) aplicnd legea circuitului magnetic pe o

linie de cmp care urmrete fibra medie a miezului (curba ): =

SlH d .

Tensiunea magnetomotoare din membrul stng se calculeaz innd seama c vectorii

H i ld , fiind tangeni la linia de cmp, sunt colineari: lH d|| , ( ) o0d, = lH i lHlHlH d0cosdd == o . Din considerente de simetrie, H are acelai modul n toate

punctele curbei : HRlHlH med==

2dd .

Solenaia S prin suprafaa S de forma unui disc cu raza medR , cu elementul de

suprafa sd orientat n corelaie cu sensul lui ld , este suma curenilor tuturor spirelor care

intersecteaz suprafaa S :

iNS = .


Pag. 32/36

Aici toi curenii au semnul plus pentru c sensul lor coincide cu sensul lui sd (explicaia

provine din faptul c vectorii J i sd au aceeai direcie i acelai sens, unghiul dintre ei este

zero i n produsul scalar din expresia general a solenaiei apare 10cos =o ). nlocuind expresiile tensiunii magnetomotoare solenaiei n legea circuitului

magnetic, rezult:

iNHRmed =2 , de unde medRiNH =

2.

3) Se calculeaz fluxul total al bobinei

Fluxul magnetic prin seciunea transversal a miezului magnetic (numit flux

fascicular), n ipoteza deja enunat a cmpului distribuit uniform n seciune, este:

SR

iNSHSBsBmedS

f ==== 2d

)(

.

Acesta este identic cu fluxul prin suprafaa delimitat de o singur spir a bobinei. Fluxul total

corespunztor celor N spire este:

med

f RiSNN ==

2

2.

4) Se exprim inductivitatea proprie din relaia ei de definiie:

med

r

med RSN

RSN

iL

===

22

20

2,

de unde se observ c aceasta depinde numai de caracteristicile constructive ale bobinei i nu

depinde de curent.

Aplicaie numeric: .2000;cm4cm;4;100 2 ==== rmed SRN

mH40H1041042

1041002000104 22

427==

=

L .

Condensatorul electric ca element de circuit

Construcie i principiu de funcionare

Din punct de vedere constructiv, condensatorul electric const n dou armturi

realizate din materiale conductoare care pot acumula sarcini electrice, separate de un material

dielectric (de regul, un material polarizabil). Armturile pot avea diverse forme (plane,

cilindrice, sferice). n fig. 34 este reprezentat un condensator plan i au fost puse n eviden

cteva linii de cmp electric.


Pag. 33/36

La aplicarea unei tensiuni ntre borne, pe armturi se acumuleaz sarcini electrice de

polariti opuse care determin apariia unui cmp electric n spaiul dielectric. Specific

funcionrii condensatorului este c sarcina electric total a celor dou armturi este nul:

021 =+ qq sau 21 qq = , deci armturile se ncarc cu sarcini electrice egale n modul, dar opuse ca semn.

u

i q+

q

u

i

q+

q

sd

Fig. 34 Fig. 35

Din punct de vedere al comportrii ca element de circuit, prezint interes relaia ntre

curentul condensatorului (i) i tensiunea la borne (u). Pentru a determina aceast dependen,

una dintre armturi se nconjoar cu o suprafa nchis ( ) cu elementul de suprafa sd orientat ctre exterior, pentru care se aplic legea conservrii sarcinii electrice (fig. 35):

tq

id

d = .

Singurul conductor care intersecteaz suprafaa este borna superioar a condensatorului, astfel nct termenul din membrul stng va fi:

ii = Semnul minus provine din faptul c sensul curentului i este opus fa de sensul elementului

sd , deci ( ) o180d, = sJ . Exprimnd curentul i ca integral a densitii de curent pe seciunea conductorului, rezult:

iSJsJsJsJiSSS

===== )()()(

d180cosdd o

Singurul corp ncrcat cu sarcini electrice aflat n interiorul suprafeei este armtura superioar a condensatorului, deci

qq = Sistemul fizic fiind liniar, sarcina electric de pe armturile condensatorului este

proporional cu tensiunea aplicat la borne. Factorul de proporionalitate se noteaz cu C, se


Pag. 34/36

numete capacitatea electric a condensatorului i este o constant care depinde numai de

caracteristicile constructive ale acestuia:

uCq = sau uqC

def .= ; F1=SIC (Farad)

Ca urmare, derivata din membrul drept al legii conservrii sarcinii se exprim astfel:

( )tuCuC

ttq

tq

dd

dd

dd

dd === .

nlocuind membrul stng i membrul drept n expresia legii conservrii sarcinii

electrice exprimat anterior pentru suprafaa , rezult relaia cutat ntre tensiune i curent pentru condensatorul liniar:

tuCi

dd= .

Aceasta se numete ecuaia de evoluie a condensatorului.

Observaie: Ecuaia de evoluie arat c dac tensiunea aplicat la borne este

constant n timp (tensiune continu), curentul prin condensator este nul, deci acesta se

comport ca latur ntrerupt n curent continuu.

Exemplu de calcul al capacitii unui condensator

Se va calcula capacitatea unui condensator plan cu aria armturilor S, grosimea

dielectricului d, i permitivitatea dielectric a acestuia (fig. 36).

q+

q

sd

D

E

ld

M

NMNuu =

d

S Fig. 36

Se parcurg urmtorii pai:

1) Se consider condensatorul ncrcat cu sarcin electric de valoare arbitrar q.

Aceasta este sursa unui cmp electric n spaiul dielectric.

2) Se calculeaz inducia electric (D). Din motive de simetrie, liniile de cmp sunt

perpendiculare pe suprafaa armturilor i cmpul este uniform n plane paralele cu armturile


Pag. 35/36

(cmp cu simetrie plan). Aplicnd legea fluxului electric pe o suprafaa nchis de form

paralelipipedic care nconjoar armtura superioar ( ), i neglijnd cmpul electric n afara dielectricului, rezult:

qsD =

d ,

unde membrul stng este:

SDsDDsDsDsDSSS

==== )()(

)dielectric(in)(

d0cosddd .

Rezult expresia induciei electrice n dielectric:

SqD =

3) Se exprim tensiunea la bornele condensatorului conform definiiei tensiunii

electrice ntre dou puncte, ca integral a intensitii cmpului electric pe o curb care unete

cele dou armturi. n acest scop, se alege segmentul MN perpendicular pe planurile

armturilor (o linie de cmp).

SdqdDdElElElEu

N

M

N

M

N

M====== d0cosdd .

4) Se exprim capacitatea condensatorului din relaia de definiie:

d

SdS

Sdqq

uqC r

==

==

0

1,

de unde se observ c aceasta depinde numai de caracteristicile constructive ale

condensatorului i nu depinde de tensiunea aplicat la borne.

Aplicaie numeric: .5mm;1.0;cm20 2 === rdS

pF884F1084.8101.0

102051094

110

3

49 ==

=

C .


Pag. 36/36

BIBLIOGRAFIE

[1] M. Badea, L. Mandache, lments dlectrodynamique, Ed. Aius, Craiova 2004.

[2] M. Preda, P. Cristea, F. Spinei, Bazele electrotehnicii, vol. I, Ed. Didactic i Pedagogic,

Bucureti, 1980.

[3] Timotin, V. Hortopan, A. Ifrim, M. Preda, Lecii de bazele electrotehnicii, Ed. Didactic

i Pedagogic, Bucureti, 1970.

[4] E. Philippow, Grundlagen der Elecktrotechnik, Verlag Technik GmbH, Berlin-Mnchen,

1992.

Untitled

bazele elth automatica 2015 partea i

Documents