[MAI]MecanicaanaliticaIntroducere

Mecanica analitica reprezinta o parte a mecanicii clasice carestudiaza deplasarea sistemelor, folosind distante, viteze siimpulsuri generalizate, pe baza unor principii mecanicevariationale:

formalismulLagrange; formalismulHamilton.

Vom compara metodele mecanicii analitice cu metodele mecaniciinewtoniene(mecanicavectoriala):

Mecanicaanalitica Mecanicaclasica(newtoniana)

Elementcentral: Energiilecineticesipotententialealesistemelor;

Conceptuldeinteractiesiforta;

Lacesefaceapel: Rigoareaecuatiilormatematice;

Intuitie(carepoatedausorgres);

Numarlegidemiscare:

Nlegidemiscaretemporalaacoordonateigeneralizateqi(corespunzatoarecelorNgradedelibertate);

3nlegidemiscare(n=numaruldepunctematerialedinsistem),carevortinecontdelegaturiprinintermediuluneifortedeinteractie;

Marimialemecaniciianalitice: grade de libertate ale sistemului mecanic : toate miscarile

independenteposibilealecomponentelorsistemului;Exemple: Uncorpinmiscareliberain3Dare3gradedelibertate:pe

axeleOx,Oy,Oz; douabilepemasadebiliardau4gradedelibertate; untrenpesinasaareungraddelibertate; douapunctematerialeinmiscarelibera,legateprintrotija

rigidaau5gradedelibertate; legatura a sistemului : orice limitare impusa miscarii

componentelorsale,exprimabilamatematicastfel:f(x,y,z)=0;Observatie:dacasistemulmecanicarenpunctematerialesillegaturi=>numarulgradelordelibertateN=3*nl;Legaturilepotfi: stationare,dacaecuatiilecorespunzatoaref(x,y,z)=0nu

continexplicitcoordonatatimp; nestationare,incazcontrar; olonome,dacaimpunrestrictiidoarasupracoordonatelor;

neolonome,dacaimpunconstrangeriatatasupracoordonatelor,catsiderivatelorlortemporale(vitezelorgeneralizate);

Fiecarui grad de libertate i se asociaza o coordonatageneralizataqisiovitezageneralizataqi'=dqi/dt,i=1:N=>inmecanicaanalitica,miscareasistemuluivafidescrisadeNlegideevolutietemporalaacoordonateigeneralizateqi;

spatiudeconfiguratie :unspatiuNdimensional,dimensiunilefiinddescrisedecoordonatelegeneralizateqi;

punctreprezentativinspatiuldeconfiguratielamomentult:punctuldecoordonateP(q1(t),q2(t)qN(t));Incursulevolutieisistemuluimecanic,punctulreprezentativdescrieotraiectorieinspatiuldeconfiguratie:

traiectorievirtuala:oriceevolutiecompatibilaculegaturilesistemului;

Dintreacestea,distingem traiectoriilereale :oevolutieinspatiuldeconfiguratie,compatibilaatatculegaturile,catsicuinteractiilefizicedinsistem;

deplasarevirtuala:oricemodificareacoordonatelorinspatiuldeconfiguratie,compatibilaculegaturile;

deplasarereala :oricemodificareinspatiuldeconfiguratie,compatibilaatatculegaturile,catsicuinteractiilefizicedinsistem;

Operatorii de variatie izocrona si derivare temporala suntcomutativi:

[MAL]MecanicaanaliticaEcuatiileluiLagrangesuntecuatiidiferentialedeordin2,satisfacutedecoordonatelegeneralizate; o problema se rezolva cu ajutorul unui sistem de N ecuatiiLagrange;functiiledeenergiecineticasipotentialaalesistemului:

T(qi,qi')=>Ec(energiedemiscare); U(qi)=>Ep(energiedepozitie);

deducereaacestorecuatiisebazeazapeunprincipiuvariational,formulatdeHamilton,numitprincipiulminimeiactiuni:dintretoatetraiectoriilevirtualecareunescinspatiuldeconfiguratiepozitiileinitialaP1(qi(t1))sifinalaP2(qi(t2)),sevarealizainmod real doar traiectoria (traiectoria reala din spatiul deconfiguratie)pentrucaremarimeaS (actiuneintremomentelet1sit2)atingeunextrem,adicaS=0:

S= t1

t2

[T (qi , qi ' )U (qi)]dt [S]SI=Js

marimeaSdepindedetraiectorie,sinudetimp,inspatiuldeconfiguratie;Ingeneral,extremulactiuniiesteunminim.

Ecuatiile lui Lagrange sunt ecuatii diferentiale de ordin 2,deoarece,ingeneral, L/qi'suntfunctiidecoordonatesivitezegeneralizate.

Proprietati: functialuiLagrangeLesteaditiva=>sistemelesepotsepara

inoricatesubsistemeindependente(CONDITIE:intreacesteasanuexisteinteractiune):

L=j=1

p

L j ,Lj=functialuiLagrangeasubsistemuluij.

multiplicarea functiei Lagrange cu o constanta nu modificafunctiiledemiscare;

functiaLagrangeestedeterminatapanalauntermenaditivcarereprezinta derivata temporala a unei functii generalizate decoordonatesitimp:L'=L+d/dtf(qi,t)=>formaecuatieidemiscareesteconst.

Seintroducimpulsurilegeneralizate:pi=L/qi';Seintroducfortelegeneralizate:Fi=L/qi;a.i.EcuatiileLagrangedevinFi=dpi/dt,i=1:N.Observatie:Acesteformesuntsimilareexpresiilordevariatieaimpulsului din mecanica newtoniana (principiul II al mecaniciiclasiceF=ma=dv/dt*m,pentrumasaconstanta).In mecanica analitica, coordonatele generalizate pot fi distante,unghiuri,sarcinielectrice,etc.,decifortelegeneralizatenusuntmereumasurateinN.

[MAR]FunctiadedisipareRayleighForta disipativa = orice actiune exterioara care contribuie lascaderea energiei totale a sistemului mecanic. Pentru a includeefectulfortelordisipativeinecuatiileluiLagrange,seintroduceofunctiecedepindedepatratelevitezelor,numitafunctiedisipativaRayleigh:

[MAH]EcuatiilecanonicealeluiHamilton.FunctialuiHamilton

In formalismul Lagrange am introdus spatiul de configuratie cu Ndimensiuni,corespunzatorcoordonatelorgeneralizateqi,i=1:N.InformalismulHamilton,seintroducespatiulfazelor,2Ndimensional,ale carui dimensiuni corespund atat impulsurilor, cat sicoordonatelorgeneralizate=>Unpunctinspatiulfazelordeterminacomplet starea sistemului la un moment de timp dat (viteza sipozitie)=>Evolutiasistemuluisepoatedescrieprintrocurbasautraiectorieinspatiulfazelor.Punctulcaracteristicaluneistariestefaza,iarprocesulreprezintaschimbareadefazamecanica.SedefinesteastfelfunctialuiHamilton:(functiaesteegalacuenergiamecanicatotala)

[MAP]ParantezelePoissonOmarimefizicafdepindeingeneraldecoordonatelesiimpulsurilegeneralizate,qisipisi,eventual,explicitdetimp:f=f(qi,pi,t),i=1:N=>fare2n+1variabile.RelatiadedefinitieaparantezelorPoissonpentrufunctiilefsiH:

{f,H}=(def) i=1

N

( f /qi H / pi f / pi H /qi)

df/dt={f,H}+f/t;

Dacafunctiafnuaredependentaexplicitadetimp(f/t=0)si{f,H}=0,adicafesteconstantaintimp=>freprezintaintegralaprimaamiscarii.InformalismulPoisson,arezolvaoproblemainseamnaaidentificaunsetcompletdeintegraleprimealemiscarii.ProprietatialeparantezelorPoisson:

{f,const}=0; {f,f}=0; {f,g}={g,f}autocomutativitate; {f,g+h}={f,g}+{f,h}; {f+g,h}={f,h}+{g,h};

ConditienecesarasisuficientacahamiltonianasistemuluisafieintefgralaprimaamiscariiestecafunctiaHamiltonsanudepindaexplicitdetimp.Demonstratie:H/t=0;{H,H}=0=>dH/dt=0=>Hconstintimp=>HintegralaprimaamiscariiObservatie:P.A.M Dirac a introdus in mecanica cuantica ideea operatorilorasociativariabilelorcanonicepebazaformalismuluiPoisson.Introproblema de fizica cuantica, se identifica toate observabilelesistemului,adicatoatemarimilecepotfimasurate)sicaroroliseasociazaoperatorialgebricipebazaexpresiilorclasicedependentedevariabileleconjugatecanonic.

Exista si observabile fara corespondent clasic (spinulelectronului),pentrucareoperatoriinusepotintroduceprinaceastaregula.

[FS]Fizicastatistica[FSI]Introducere[FSIG]Generalitati

Fizicastatisticareprezintaundomeniualfiziciiceisipropunesaobtina estimari cantitative privind starea si evolutia sistemelormacroscopice, pornind de la comportarea la scara microscopica amoleculelor / atomilor sistemului. Aceste deductii (estimari) sebazeaza pe formule si rezultate din teoria probabilitatilor sistatistica matematica. Obtinerea acestor estimari este posibilatocmai datorita numarului urias de constituenti microscopici cealcatuiesc sistemele macroscopice. Astfel, teoria nu functiasatisfacatorpentrustudiulunorsistemecunumarmicdeelemente(cumseintamplainfizicanucleului).NumarulluiAvogadro:NA=(aprox.)1026kmol1

Ordinuldemarimealnumaruluimoleculelorunuiobiectmacroscopicdeinterespractic:N=(aprox.)1025

Exemplu:Opersoanaiadinapaunuirauoarecareocanadeapasimarcheazaintrunanumitfeltoatemoleculeledeapadincana(unexemplupurteoretic).Incanasuntaprox.1025moleculedeapamarcate.Persoanavarsalalocinraucanadeapasiasteaptacaapasaparcurgatotcircuitulspecific.adancimeamedieaoceanuluiplanetar:h=3*10^3mrazamedieaPamanatului:Rm=6*10^6m=>volumuloceanuluiplanetarV=4piR^2*hV=(aprox.)10^18m^3=10^21lvolumuluneicanideapav=(aprox.)1l=>proportiadintremoleculelemarcatesimoleculeletotaledepeplanetap=v/V=10^(21)numarmoleculedincanaN=10^25=>numarmoleculemarcateregasiteincanadupaexperimentn=N*p=10^4

Evolutia unui sistem macroscopic in timp este strans legata deconceptuldedezordine:sensultemporal=sensulcresteriidezordiniiinsistemTIMPordine>dezordine

Fenomenedeproducerespontanaaordiniiexista,darsuntincredibildeimprobabile.Fizicanuleinterziceexistenta.Exemplustupid:Saluam,deexempluunrezervordegaz,impartitindouaprintrunperetedespartitor,introparteomoleculadefaz,incealaltapartevid.Seeliminaperetele:probabilitateacaomoleculasaseafleindreaptasauinstangaestedepentru mai multe molecule, probabilitatea ca tot gazul sa ramanaspontanindreaptadupaanulareapereteluieste1/2^(10^25)

Dacaarfisaasteptamsaseintampleacestlucru,nearfinecesaraoperioada>>>decatperioadadeviataaUniversului.Fizicastatisticapermitecalcululunorvalorimediialemarimilormacroscopice,pebazaobservariicomportamentuluilanivelmolecularalsistemului=>nuselucreazacupozitiigeneralizatesiimpulsuri,cicusistemulcaansamblu.

[FSIT]Terminologie microstareaunuisistemdescriereacuanticaceamaicompletaa

sistemului.Dinpunctdevedereclasic,microstareareprezintacunoastereatuturorpozitiilorsivitezelordinsistemlaunmomentdetimpdat;

macrostaredescriereasistemuluiprinparametriimacroscopicilaunmomentdetimpdat;

stare accesibila orice microstare care nu contrazicemacrostareasistemului(compatibilacumacrostareasistemului);

numarulgradelordelibertateestedatdenumarulnumerelorcuanticececaracterizeazacompletsistemul.Infizicaclasica,reprezinta numarul pozitiilor si vitezelor tuturorconstituentilor;

energiatotalaasistemuluisumatuturorenergiilorcineticesipotententialedinsistem;

energiainternaasistemuluienergiatotalainreferentialulcentruluidemasa;

contacttermicinteractietermicaprincareseschimbaenergielanivelmicroscopic(princiocniridemolecule);

echilibruaceastareasistemuluipentrucareprobabilitateaca sistemul sa se gaseasca intro stare accesibila esteconstantaintimp.Valorilemediialeparametrilormacroscopicisuntinvarianteintimp;

constrangereoriceconditionareasistemului; procesreversibilprocescepoateavealoccuvariatieinversa

aparametrilormacroscopicidatoritauneiconstrangeri; procesireversibilprocesincareostaredintrecutnupoate

fireaccesata,oricarearficonstrangerilesistemului; interactietermicaprocesuldeschimbdeenergie,incursul

caruiaparametriiexternimacroscopicinusemodifica; procesadiabaticschimbdeenergiecumodificareaparametrilor

macroscopici,darfaraschimbdeenergielanivelmicroscopic; lucrul mecanic schimb de energie cu variatia parametrilor

macroscopici,cepoatefiinsotitsideschimbdecaldura.

[FSIP]Postulatestatistice1)Urmatoareleafirmatiisuntechivalente:

a)unsistemizolatesteinechilibru;b)unsistemsepoategasicuegalaprobabilitateinoricare

dintrestarilesaleaccesibile;2)Dacaunsistemsepoategasicuegalaprobabilitateinoricaredintrestarilesaleaccesibile,atuncielvatindeintimpspreostaredeechilibru.

[FSIT]Interactietermica(procesuldeschimbdeenergiepentrucareparametriimacroscopicinusemodificaintimp)[FSITDE]DistributiaenergieiintresistemelemacroscopiceFieunsistemA*compusdinsubsistemeleAsiA':A*=

A A'A*=A+A'

AsiA'seaflaincontact(interactietermica); AsiA'potschimbaenergieprinciocniriintermoleculare;

E*=E+E'E*energiatotalaasistemuluiA*esteinechilibru,dacaAsiA'suntinechilibru

*numarulstariloraccesibilesistemuluiA*dacaA*esteizolat=>E*constantaintimpvrem sa calculam probabilitatea ca sistemul A sa aiba energia E(P(E)):

P(E)=*(E)/*= starea accesibila sistemului global atunci cand

subsistemulAareenergiaEdaca A* este la echilibru, toate microstarile sale sunt egal

probabile=>P(E)=C**(E)CconstantacenudepindedeenergiaE

*(E)=(E)*'(E')=(E)*'(E*E)=>=>P(E)=C*(E)*'(E*E)Observatie: este extrem de rapid crescatoare, deci se preferacalculullogaritmic:

lnP(E)=lnC+ln(E)+ln'(E*E)lnP(E)/E=0+ln(E)/E+ln'(E')/E'*dE'/dEdE'/dE=d(E*E)/dE=1daca probabilitatea P isi atinge maximul in raport cu energiasistemuluiA*,lnP(E)/E=0=>

=>ln(E)/E=ln'(E')/E'

Fieurmatoarelenotatiisiconcepte:

=ln(E)/E factoruldetemperatura.Seobservaca=1/

=1/(kB*T)=1/(kt),kconstantaluiBoltzmannkunitatedeenergieasociatauneianumitealegeriaunitatiidetemperaturakB=(aprox.)1.38*10^23J/K

=>1/kT=ln(E)/E=>1/T=(kln(E))/E S=kln(E)=>1/T=S/E

Sentropiasistemului,functiecrescatoarecuenergiasistemului=J/KP=maxS=maxSistemulA*areoentropiemaximainraportcuenergiasubsistemuluiA, daca temperaturile T si T' sunt egale. Intrucat S masoaradezordinea din sistem, A si A' se intreapta spre atingerea detemperaturiegale.Ideiesentiale:

1. Sistemulevolueazamereuspredezordinemaxima(entropiemaxima)2. Doua subsiteme aflate in interactie termica vor tinde sa se

apropiedeacceasimarimetemperatura.

[FSITDC]DistributiacanonicaFieunsistemAininteractietermicacuunaltsistem,A',numitrezervor termic (termostat) (presupunem ca numarul gradelor delibertate>>>aleluiA).SepuneproblemadeadeterminacareesteprobabilitateacasistemulAsasegaseascaintrostareparticularar,incaresaE=Er,ovaloareparticulara.

Folosindcalcululdemaisus=>P(Er)=Pr=(aprox.)(E*Er)In cazul in care am precizat starea r, exista o singura stareaccesibilasistemuluiA.PresupunemcaE(A)

[FSDM]DistributiaMaxwellFolosinddistributiacanonica,dorimsadeterminamprobabilitateacaomoleculaaunuigazidealsaaibaovitezadata.

GazidealNmoleculeo>

o>o>