automatica budaciu cristina

UNIVERSITATEA TEHNICĂ “GH. ASACHI” IAŞI

FACULTATEA DE AUTOMATICĂ ŞI CALCULATOARE

Tehnici avansate de control

pentru procese energetice

Teză de doctorat

ing. Cristina Halaucă

Îndrumător ştiinţific

Prof. univ. dr. ing. Mihail VOICU

m.c al Academiei Române

-2009-

Membrii comisiei de analiză a tezei de doctorat:

• Prof. univ. dr. ing. VASILE MANTA Preşedinte Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” Iaşi

• Prof. univ. dr. ing. MIHAIL VOICU Conducător ştiinţific

Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” Iaşi

• Prof. univ. dr. ing. ŞTEFAN PREITL Membru Universitatea Politehnica din Timişoara

• Prof. univ. dr. ing. DUMITRU POPESCU Membru

Universitatea Politehnica din Bucureşti

• Prof. univ. dr. ing. CORNELIU LAZĂR Membru Universitatea Tehnică „Gh. Asachi” Iaşi

Menţiuni Lucrarea reprezintă rezultatul activităţii de cercetare desfăşurată în perioada octombrie 2005 – aprilie 2009 în domeniul Automatică din cadrul Facultăţii de Automatică şi Calculatoare, Universitatea Tehnică „Gh. Asachi” din Iaşi. Doresc să exprim sincere mulţumiri domnului prof. dr. ing. Mihail Voicu, membru corespondent al Academiei Române, pentru îndrumarea acordată în elaborarea tezei de doctorat, pentru modul atent şi perseverent în finalizarea acestei teze, precum şi pentru suportul moral oferit în toată această perioadă de cercetare. De asemenea, doresc să transmit mulţumiri membrilor comisiei de doctorat pentru onoarea pe care mi-au făcut-o acceptând să citească lucrarea şi pentru observaţiile şi comentariile făcute pentru îmbunătăţirea acestui material. Adresez întreaga mea recunoştinţă domnului prof. dr. ing. Corneliu Lazăr pentru generozitatea cu care mi-a împărtăşit din bogata sa experienţă, pentru colaborarea didactică şi de cercetare, pentru perseverenţa, încrederea şi colegialitatea oferite, fără de care nu ar fi fost posibilă concretizarea acestei lucrări. O parte dintre rezultatele prezentate au avut ca punct de plecare activitatea desfăşurată pentru pregătirea lucrării de licenţă la Unversitatea Sheffield, U.K. Cu această ocazie, adresez deosebite mulţumiri domnului prof. dr. ing. Visakan Kadirkamanathan şi domnului dr. ing. Sean Anderson din cadrul Universităţii din Sheffield, colaborare care a deschis perspective noi în activitatea mea de cercetare. Mulţumiri sincere doresc să transmit tuturor colegilor din Catedra de Automatică şi Informatică Aplicată, care prin atmosfera plăcută creată mi-au oferit un mediu de lucru deosebit. Adresez calde mulţumiri doamnei conf. dr. ing. Lavinia Ferariu pentru sugestiile şi comentariile oferite, pentru modelul de rigoare, precum şi pentru suportul moral oferit în toată această perioadă. De asemenea, adresez deosebite mulţumiri doamnei conf. dr. ing. Letiţia Mirea pentru frumoasa colaborare pe care am avut-o în perioada de cercetare. Cu această ocazie transmit încurajări şi urări de succes colegilor mai tineri de doctorat, mulţumindu-le pentru entuziasmul şi atmosfera deosebită creată. Deosebite mulţumiri se îndreaptă spre grupul Siemens PSE Braşov care mi-a acordat o bursă privată importantă în perioada 2005-2007. În final, doresc să mulţumesc familiei şi prietenilor mei pentru răbdarea şi încurajările oferite în toată această perioadă.

i

Cuprins

1. Introducere 1.1 Obiectivele şi structura tezei ................................................................................................ 1 1.2 Diseminarea rezultatelor cercetării....................................................................................... 4 2. Tehnici actuale de modelare şi conducere a proceselor energetice ................................. 6 2.1 Tendinţe de dezvoltare a strategiilor de modelare şi conducere ......................................... 7 2.2 Modele neliniare simplificate utilizate în proiectarea structurilor de reglare automată....... 8 2.3 Strategii de reglare automată clasice aplicate sistemelor industriale ................................. 17

2.3.1 Strategii de reglare automată clasice monovariabile........................................... 18 2.3.1.1 Structură de reglare automată cu o singură mărime măsurată .............. 18 2.3.1.2 Structură de reglare automată cu regulator feedforward ...................... 19 2.3.1.3 Structură de reglare automată în cascadă cu trei mărimi măsurate ...... 19

2.3.2 Strategii de reglare automată multivariabile aplicate proceselor energetice ....... 20 2.4 Tehnici adaptive de acordare a regulatoarelor .................................................................. 22 2.5 Reglarea cu predicţie bazată pe model ............................................................................... 25 2.6 Sistem de supervizare utilizând platforma SCADA în conducerea proceselor energetice 26 3. Proiectarea, modelarea şi implementarea unui simulator pentru sistemul tambur-boiler ....................................................................................................................................... 29 3.1 Descrierea procesului ......................................................................................................... 30 3.2 Modelarea analitică şi experimentală ................................................................................. 33

3.2.1 Modelarea matematică a tamburului .................................................................. 33 3.2.2 Modelarea matematică a ansamblului conducte ridicătoare-coborâtoare ........... 35 3.2.3 Modelarea matematică a subsistemului supraîncălzitor ..................................... 37

3.3 Dezvoltarea unui simulator pentru ansamblul tambur – boiler de abur, pentru instalaţia de la S.C. CET 1 S.A., Iaşi............................................................................................................ 38 3.4 Testarea şi validarea simulatorului pe seturi de date preluate din funcţionarea reală a unui tambur de 420t/h....................................................................................................................... 39

3.4.1 Funcţionarea simulatorului în circuit deschis...................................................... 40 3.4.2 Funcţionarea simulatorului în circuit închis........................................................ 43

3.5 Concluzii ............................................................................................................................ 51

ii

4. Parametrizarea modelelor cu operatorul de discretizare δ ........................................... 52 4.1 Operatorul δ. Definiţie ....................................................................................................... 54 4.1.1 Transformata discretă Delta ................................................................................ 54 4.1.2 Domeniul de stabilitate. Transformarea planului s în domeniul discret δ........... 56 4.2 Determinarea modelelor δ discrete..................................................................................... 59

4.2.1 Alegerea perioadei de eşantionare....................................................................... 59 4.2.2 Efectele introduse de perioadele mici de eşantionare ......................................... 60

4.2.2.1 Erorile de rotunjire ............................................................................... 60 4.2.2.2 Reprezentarea coeficienţilor................................................................. 61 4.2.2.3 Relaţii de legătură între perioada de eşantionare şi reprezentarea numerică internă în domeniul δ........................................................................ 62

4.2.3 Reprezentarea prin modele intrare-stare-ieşire ................................................... 65 4.2.4 Reprezentarea prin modele intrare-ieşire ............................................................ 68

4.2.4.1 Reprezentarea filtrului de ordin II în domeniul δ discret ..................... 69 4.2.4.2 Implementarea filtrului de ordin II în domeniul δ discret .................... 70

4.2.5 Polii şi zerourile de transmisie ale funcţiilor de transfer în domeniul discret δ . 71 4.3 Analiza calitativă a transferului intrare-ieşire .................................................................... 72

4.3.1 Controlabilitatea stării sistemelor dinamice liniare în domeniul δ...................... 73 4.3.2 Observabilitatea stării sistemelor dinamice liniare în domeniul δ ...................... 75

4.4 Estimarea parametrică în domeniul discret δ .................................................................... 77 4.4.1 Modele ARX în domeniul δ ................................................................................ 76 4.4.2 Modele ARMAX în domeniul δ.......................................................................... 77

4.5 Studiu comparativ între sisteme discretizate în domeniul clasic q, respectiv δ discret...... 78 4.5.1 Simulări şi discuţii pentru un proces monovariabil............................................. 78 4.5.2 Simulări şi discuţii pentru un proces energetic rapid monovariabil - sistem de conducere a excitaţiei unui generator sincron .............................................................. 82

4.6 Identificarea parametrică în domeniul δ ............................................................................ 91 4.6.1 Studiu aplicativ pentru determinarea modelului parametric al unui ansamblu boiler-tambur în domeniul discret δ ......................................................................................... 91 4.7 Concluzii ............................................................................................................................ 95 5. Tehnici avansate de reglare automată în conducerea proceselor energetice ............... 98 5.1 Reglarea cu predicţie bazată pe model ............................................................................ 101 5.2 Conducerea predictivă generalizată (GPC) ...................................................................... 101

5.2.1 Algoritmul emulator δ GPC ............................................................................. 105 5.2.1.1 Determinarea predictorilor din modelul intrare-stare-ieşire............... 105 5.2.1.2 Legea de reglare automată optimală................................................... 106

5.2.2 Algoritmul GPC pentru sisteme rapide în domeniul discret δ ......................... 106 5.2.2.1 Deducerea predictorului din modele intrare-stare-ieşire .................... 110

iii

5.2.2.2 Implementarea legii de reglare state-space δ GPC ............................ 108 5.2.2.3 Studiu în alegerea orizonturilor comenzii şi ieşirii ............................ 112 5.2.2.4 Avantajele si dezavantajele utilizării algoritmului state-space δ GPC 114

5.2.3 Studiu comparativ între algoritmul emulator δ GPC şi state-space δ GPC ...... 116 5.2.4 Implementarea legii de reglare automată pentru un proces rapid – Generator sincron conectat la o reţea de putere infinită.............................................................. 121

5.3 Algoritmul extended prediction self-adaptive control (EPSAC) ..................................... 124 5.3.1 Principiul algoritmului EPSAC pentru sisteme dinamice multivariabile.......... 125

5.3.1.1 Principiul metodei de conducere solidară EPSAC ............................ 127 5.3.1.2 Principiul metodei de conducere separată EPSAC ........................... 128 5.3.1.3 Implementarea si testarea strategiilor de reglare EPSAC multivariabil pentru conducerea dinamicii unui ansamblu boiler-turbină ........................... 129

5.3.2 Principiul algoritmului EPSAC neliniar (NEPSAC)......................................... 132 5.3.2.1 Determinarea legii de reglare automată neliniare .............................. 133 5.3.2.2 Regulator NEPSAC pentru conducerea nivelului în tamburul unui boiler de abur.................................................................................................. 135

5.4 Metode adaptive de acordare a regulatoarelor ................................................................ 137 5.4.1 Tehnica gain-scheduling .................................................................................. 138 5.4.2 Metode de reglare adaptivă pentru sisteme neliniare ....................................... 139 5.4.3 Structură neuro-predictivă de adaptare a parametrilor unui regulator PID....... 139 5.4.4 Structură neuro-predictivă pentru reglarea automată a nivelului în tamburul unui boiler de abur.............................................................................................................. 144

5.5 Aplicaţie SCADA pentru monitorizarea unui sistem de distribuţie a agentului termic ... 148

5.6 Concluzii .......................................................................................................................... 154

CONCLUZII FINALE......................................................................................................... 156 6.1 Contribuţii ........................................................................................................................ 156

6.1.1 Dezvoltarea, implementarea şi validarea unui simulator pentru ansamblul boiler-turbină de abur ........................................................................................................... 157 6.1.2 Parametrizarea modelelor cu utilizarea operatorului de discretizare δ ............. 158 6.1.3 Proiectarea şi implementarea algoritmului GPC în domeniul discret δ pornind de la modelul intrare - stare - ieşire................................................................................. 159 6.1.4 Tehnici avansate de reglare automată în conducerea proceselor energetice .... 159

6.2 Direcţii viitoare de cercetare ........................................................................................... 160 BIBLIOGRAFIE .................................................................................................................. 161

INTRODUCERE

1

Capitolul 1

Introducere Structurile de conducere automată joacă un rol esenţial în aplicaţiile industriale, ele garantând stabilitatea sistemelor, rejecţia perturbaţilor, siguranţa echipamentelor şi a mediului înconjurător, precum şi funcţionarea optimală cu obţinerea performanţelor dorite. În ultimul deceniu s-au consemnat cercetări importante cu referire la metodele de conducere automată şi aplicaţiile acestora în conducerea automată a proceselor energetice cu scopul de a răspunde solicitărilor de retehnologizare a instalaţiilor funcţionale deja existente. În acest context, este necesară includerea unor structuri de conducere avansate adecvate. Aceste strategii de conducere implică, în primul rând, găsirea unor modele matematice caracterizate printr-un grad ridicat de generalitate, în sensul că trebuie să fie valabile pentru o gamă largă de valori ale mărimilor de intrare, descriind comportarea procesului pe întreaga gama de funcţionare. Mai mult, modelul matematic adoptat trebuie să aibă o structură suficient de complexă pentru a surprinde dinamica procesului, dar suficient de simplă pentru a facilita proiectarea convenabilă a strategiilor de conducere automată. 1.1 Obiectivele şi structura tezei În acestă teză, discuţiile şi aria de aplicabilitate a strategiilor de modelare şi conducere automată propuse sunt orientate în mod special către procesele existente în lanţul energetic industrial. Progresul rapid în domeniul tehnicii de calcul şi al componentelor hardware din ultimii ani a permis elaborarea mai multor direcţii de dezvoltare a unor strategii de modelare şi conducere automată, bazate pe regulatoare predictive, adaptive, regulatoare neurale sau neuro-fuzzy în scopul perfecţionării funcţionalităţii instalaţiilor industriale. În acest sens, comunitatea ştiinţifică internaţională dedicată studiului acestor tipuri de procese energetice a elaborat perspective noi de analiză, oferind astfel o varietate largă de soluţii corespunzătoare fiecărei aplicaţii. Teza este constituită din 5 capitole şi un capitol ce concretizează concluziile şi direcţiile viitoare de cercetare. Studiul dezvoltă o serie de metode şi algoritmi de proiectare a unor strategii de modelare matematică şi conducere avansată adecvate unor procese din domeniul energetic.

INTRODUCERE

2

Capitolul 2 al tezei include formularea problemelor de reglare automată în aplicaţiile industriale şi sunt ilustrate câteva tendinţe de dezvoltare a strategiilor de modelare şi conducere. Sunt prezentate pe scurt, câteva structuri clasice de reglare utilizate în prezent în instalaţiile pentru producerea aburului necesar turbinelor, precum şi importanţa utilizării sistemelor SCADA ce permit monitorizarea şi reglarea automată a mărimilor din proces. În capitolul 3 este dezvoltat şi implementat un simulator pentru ansamblul boiler-turbină de abur. Simulatorul este proiectat şi configurat în concordanţă cu parametrii constructivi ai unei instalaţii de tip tambur – boiler de abur cu o capacitate de 420t/h de la S.C. CET 1 S.A., Iaşi. Modelul matematic neliniar introdus stă la baza implementării simulatorului şi ilustrează funcţionarea unui cazan de abur, fiind obţinut pe baza legilor fizice ce descriu repartizarea aburului şi a apei în sistem. Într-un prim pas se urmăreşte validarea modelului pe setul de date oferit din funcţionarea în timp real a boilerului în circuit deschis, urmând ca apoi performanţele simulatorului să fie testate în circuit închis pe trei tipuri de structuri clasice de reglare. De asemenea sunt discutate şi analizate condiţiile necesare apariţiei fenomenelor de comprimare şi expansiune, fiind propuse strategii de conducere care să atenueze efectele acestor fenomene nedorite. În cel de-al 4-lea capitol sunt prezentate fundamentele teoretice referitoare la discretizarea unui model matematic în domeniul discret delta şi compară proprietăţile operatorului delta cu cele ale operatorului clasic de discretizare. Studiul evidenţiază şi aspecte legate de alegerea perioadei de eşantionare, discutate din perspectiva erorilor de rotunjire produse de reprezentările numerice interne. În continuarea studiului sunt discutate aspecte legate de domeniul de stabilitate BIBO şi sunt ilustrate relaţiile de legătură între reprezentările obţinute în formalismul intrare-ieşire sau intrare-stare-ieşire, în cele două domenii discrete de timp şi domeniul continuu de timp. Mai mult, cu scopul de a estima reprezentarea internă necesară pentru garantarea stabilităţii BIBO a unui sistem se propune pentru analiză un sistem de ordinul 2 atât în formă “directă” cât şi în formă “cuplată”. Această investigaţie este necesară pentru acele sisteme ai căror poli se află în apropierea conturului cercului unitate, pentru care o cuantificare necorespunzătoare poate influenţa în mod negativ stabilitatea BIBO. În cadrul acestui capitol sunt enunţate definiţiile şi teoremele de caracterizare pentru controlabilitatea stării, atingibilitatea stării şi observabilitatea stării, valabile în domeniul discret delta. Principalele avantaje pe care le poate aduce operatorul δ rezultă din faptul că, pentru 0sT → , modelul discret din domeniul delta tinde către modelul din domeniul continuu de timp. De asemenea, toţi coeficienţii modelului discret din domeniul δ tind către valorile numerice corespunzatoare domeniului continuu şi semnificaţia lor fizică poate fi păstrată. În plus, operatorul delta nu introduce zerouri de fază neminimă pentru sistemele care au defect de rang maxim 2, spre deosebire de cazul reprezentărilor în domeniul q. Mai mult, operatorul delta îşi dovedeşte utilitatea şi la nivel conceptual, prin faptul că elimină anumite dezavantaje introduse în calculul numeric de operatorul clasic de discretizare. Astfel, este posibilă reducerea erorilor de rotunjire, în cazul implementărilor într-o aritmetică a virgulei fixe sau

INTRODUCERE

3

mobile şi evitarea unei proaste condiţionări numerice. În continuarea studiului este abordată şi problematica estimării parametrice în domeniul delta, pentru modele de tip ARX şi ARMAX. În finalul capitolului 4, proprietăţile operatorului discret delta sunt ilustrate prin simulare pe câteva studii de caz, cu referire şi la sisteme cu dinamică rapidă, frecvent întâlnite în domeniul industriei energetice. Printre studiile de caz analizate se remarcă modelul unui generator sincron conectat la o reţea de distribuţie de mare putere. Operatorul delta este utilizat şi în contextul unei metode de identificare pentru ansamblul boiler-tambur de abur, folosind aceleaşi date de test considerate în Capitolul 3. Capitolul 5 propune şi dezvoltă câteva strategii avansate de conducere automată cu scopul de a îmbunătăţi funcţionalitatea instalaţiilor existente în domeniul energetic. În prima parte a acestui capitol este propusă, proiectată şi implementată o nouă abordare a algoritmului predictiv în domeniul discret delta. Această metodă ce constituie un element de originalitate, se adresează conducerii predictive generalizate proiectate în domeniul discret δ, pornind de la reprezentarea pe model intrare-stare-ieşire. Acest algoritm este proiectat separat pentru procesele caracterizate de prezenţa unui element integrator, dar şi pentru acele sisteme ce nu încorporează o componentă integratoare. Elaborarea acestei metode de conducere predictivă în domeniul discret δ este dedicată în mod special reglării sistemelor considerate în acest studiu monovariabile cu dinamică rapidă şi cu defazaj neminim cu aplicabilitate în domeniul energetic, însă metoda poate fi extinsă şi pentru sistemele multivariabile. Mai mult, în acest capitol sunt discutate aspecte legate de performanţele algoritmului propus în comparaţie cu algoritmul emulator delta GPC pentru perioade mici de eşantionare. De asemenea, strategia de conducere propusă este comparată şi cu algoritmul GPC proiectat în domeniul clasic de discretizare. Analiza vizează şi aspecte legate de alegerea perioadei de eşantionare şi a parametrilor de acordare specifici algoritmilor predictivi în contextul unei anumite reprezentări interne pentru un model intrare – stare – ieşire reprezentativ. Algoritmul este propus şi pentru reglarea tensiunii unei maşini sincrone din cadrul unui ansamblu boiler – turbină de abur. În continuarea acestui studiu, este propus algoritmul neliniar NEPSAC pentru procesele complexe şi neliniare ce nu pot fi liniarizate. Acest algoritm a fost testat prin simulare pe un model matematic neliniar al tamburului unui boiler de abur prezentat detaliat în Capitolul 3 al acestei teze. Rezultatele simulărilor sunt discutate comparativ cu rezultatele obţinute cu regulatorul clasic PID. De asemenea, pentru procesele multivariabile este propus algoritmul de conducere predictivă EPSAC pentru procesele multivariabile. Procesul considerat se referă la reglarea nivelului de lichid din două rezervoare, aplicaţie ce îşi găseşte aplicabilitate practică şi în centralele termo-electrice. Experimentele au fost efectuate pe macheta de laborator “Sistemul cu trei rezervoare” existentă în Catedra de Automatică şi Informatică Aplicată a Facultăţii de Automatică şi Calculatoare, Iaşi. În ultima parte a acestui capitol este dezvoltată şi testată prin simulare o tehnică neuro – predictivă pentru reglarea nivelului de lichid din tamburul unui boiler de abur. Strategia de conducere este proiectată în contextul apariţiei unei perturbaţii de sarcină concretizată prin debitul masic al aburului solicitat de consumator, algoritmul fiind o extensie a metodei ilustrate în [Lazăr et al., 2004].

INTRODUCERE

4

Datorită complexităţii proceselor energetice, supervizarea sistemului complet este dificilă atât la nivel fizic cât şi funcţional. Prin urmare, în majoritatea proceselor termo-energetice moderne sunt implementate sisteme de supervizare utilizând conceptul SCADA. În acest context, în finalul capitolului 5 este dezvoltată şi implementată o aplicaţie Lookout pentru un sistem de distribuţie a agentului termic către mai mulţi consumatori. Prin intermendiul acestei aplicaţii sunt monitorizate mărimile fizice din proces, precum debitul apei de alimentare, debitele de abur spre consumatorii industriali şi presiunea aburului. 1.2 Diseminarea rezultatelor cercetării O parte dintre studiile realizate în această teză au fost prezentate (sau acceptate spre prezentare) în mai multe publicaţii: 5 reviste de specialitate şi 7 articole publicate la conferinţe ştiinţifice organizate atât în ţară cât şi în străinătate. Capitolul 3 conţine rezultate publicate sau acceptate spre publicare în: (Halaucă şi Lazăr, 2009b): Halaucă C., Lazăr C. (2009b). Dynamic Simulation Model

for a Steam Drum Boiler System, European Control Conference, 23-26 August 2009, Budapest, Hungary.

(Halaucă et al., 2006b): Halaucă C., Lazăr C. şi Mirea L. (2006b). Modeling and Simulation of a Power Plant Drum Boiler, Memoriile Secţiilor Ştiinţifice ale Academiei Române, Seria IV, XXIX, Editura Academiei Romane, Bucureşti, pp. 207-220. ISSN 1224-1407, ISBN 973-27-0971-5.

(Andrici et al., 2006a): Andrici C., Halaucă C., Lazăr C, Pătraşcu D. (2006a). A Non-Interacting Multivariable Approach to Pressure – Flow Control in Gas Pipelines, Buletinul Institutului Politehnic Iasi, Tomul LII (LVI), 1-4, pp.39-46.

Capitolul 4 conţine studii publicate în:

(Halaucă şi Lazăr, 2008a): Halaucă C., Lazăr C. (2008a). The δ Discrete Model Parameterization of a Steam Drum Boiler System, Proc. of the 27th IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control, Innsbruck, Austria, February 11-13, pp. 43-48, ISBN 978-0-88986-711-6.

(Halaucă şi Lazăr, 2008b): Halaucă C., Lazăr C. (2008b). Improving Discrete Model Representation of the Fast Systems in the Delta Domain, Advanced Modeling and Optimization, Volume 10, Number 2.

Rezultatele prezentate în Capitolul 5 sunt publicate în:

(Kadirkamanathan et al. 2009a): Kadirkamanathan V., Halaucă C. şi Anderson S. Predictive control of fast-sampled systems using the delta-operator, International Journal of Systems Science (acceptată spre publicare în 2009).

INTRODUCERE

5

(Halaucă şi Lazăr, 2008c): Halaucă C., Lazăr C. (2008c). Delta Domain Predictive Control for Fast, Unstable and Non-minimum Phase Systems, Control Engineering and Applied Informatics, 2008.

(Halaucă şi Lazăr, 2007b): Halaucă C., Lazăr C. (2007b). A Drum Boiler Simulator and the delta State Space Approach to the Discrete Model Identification, Proc. of 9th International Symposium on Automatic Control and Computer Science, Iaşi, November 16-17, CD-ROM, ISSN 1843-665-X.

(Halaucă şi Lazăr, 2007a): Halaucă C., Lazăr C. (2007a). Nonlinear predictive Method for Boiler Drum Level Control Proc. of 16th International Conference on Control Systems and Computer Science, Bucuresti, 22-25 May, 2007, pp. 675-679, ISBN 978-973-718-741-3.

(Postolache et al., 2007): Postolache, M. Halaucă C., Lazăr C., Ocheşel A. (2007). SCADA Systems for Water and Wastewater Networks Proc. of 9th International Symposium on Automatic Control and Computer Science, Iasi, November 16-17, CD-ROM, ISSN 1843-665-X.

(Andrici et al., 2006) Andrici C. Carari S., Halaucă C., Lazar C., Băluţă Gh. (2006) A Remote-Based Real-Time Control Laboratory Application Proc. of 3rd International Symposium on Remote Engineering and Virtual Instrumentation, Maribor, 29-30 June 2006, (CD-ROM), ISBN 3 89958 194 6.

(Halaucă şi Lazăr, 2005): Halaucă C., Lazăr C. (2005). A State Space Approach to the GPC Design in Delta Operator In Dumitrache I., Buiu C. (Eds.), Proc. of 15th Int. Conf. on Control Systems and Computer Science, 1, pp.128-133, Bucharest, 25-27 May, , ISBN 973-8449-89-8.

TEHNICI ACTUALE DE MODELARE ŞI CONDUCERE A PROCESELOR ENERGETICE

6

Capitolul 2

Tehnici actuale de modelare şi conducere

a proceselor energetice

Înlocuirea regulatoarelor clasice PID cu regulatoare moderne bazate pe strategii avansate de conducere a întârziat să se realizeze datorită barierelor impuse de metodele tradiţionale de proiectare şi limitărilor echipamentelor de calcul existente. În acest context, algoritmii moderni de conducere nu sunt uşor de implementat, regulatoarele obţinute având complexitate ridicată, iar acordarea acestor regulatoare impune anumite limite în proiectare [Fang, Liu, 2005]. [Lindsley, 2005] susţine faptul că tehnicile anti-windup pentru regulatoarele de ordin ridicat sunt mult mai complicate decât cele pentru regulatoare PID. Prin urmare, regulatoarele convenţionale PID au rămas cele mai folosite echipamente de reglare în procesele industriale, peste 90%, dintre care 30% dintre regulatoare operează în mod manual şi doar 20% dintre buclele de reglare sunt acordate folosind o metodă teoretică de determinare a parametrilor [Lazăr, 2004; Flynn, 2003]. De cele mai multe ori, parametrii regulatoarelor sunt fixaţi pentru anumite puncte nominale de funcţionare, pentru care problema reglării în conformitate cu restricţiile şi performanţele impuse este rezolvată. Sistemele de conducere automată pentru unităţile boiler-turbină folosesc regulatoare clasice, de tip PID implementate în diferite strategii de reglare, monovariabile sau multivariabile cu una, două sau trei mărimi măsurate. Această abordare a fost analizată dintr-o perspectivă inginerească de către [Flynn, 2005]. În cele ce urmează sunt prezentate pe scurt, tendinţele de dezvoltare a strategiilor de modelare şi conducere cu aplicaţii în domeniul enrgetic. În continuare sunt ilustrate cele mai utilizate modele matematice neliniare simplificate pentru analiza ansamblului boiler – tambur de abur. Paragraful 2.2 ilustrează câteva dintre structurile clasice de reglare utilizate în instalaţiile pentru producerea aburului necesar turbinelor. În secţiunea 2.2.1 sunt ilustrate cele 3 structuri de reglare consacrate, cu bucle monovariabile. Influenţele dintre mărimile de proces din buclele monovariabile sunt de obicei minimizate prin strategii de decuplare, o parte dintre aceste abordări sunt sintetizate pe scurt în secţiunea 2.2.2. Secţiunea 2.3 menţionează cele mai cunoscute tehnici avansate de conducere automată, şi anume: metode adaptive de acordare a regulatoarelor şi strategiile de conducere predictivă. Secţiunea 2.4 propune îmbunătăţirea performanţelor sistemului de reglare automată prin dezvoltarea mecanismelor de adaptare a parametrilor regulatorului. Secţiunea 2.5. Paragraful 2.6 propune supervizarea unui sistem


7

din industria termo-electrică, folosind sisteme SCADA ce permit monitorizarea şi reglarea mărimilor din proces. Aceste sisteme facilitează atât achiziţia datelor cât şi monitorizarea acestora, acest deziderat fiind dificil de îndeplinit din cauza complexităţii existente atât la nivel fizic cât şi funcţional. 2.1 Tendinţe de dezvoltare a strategiilor de modelare şi conducere Progresul rapid în domeniul tehnicii de calcul şi a componentelor hardware din ultimii ani, a permis elaborarea mai multor direcţii de dezvoltare a unor strategii de modelare şi conducere automată, bazate pe regulatoare predictive, adaptive, regulatoare neurale sau neuro-fuzzy în scopul perfecţionării funcţionalităţii instalaţiilor industriale. În acest sens, comunitatea ştiinţifică internaţională dedicată studiului acestor tipuri de procese energetice a elaborat proceduri noi de analiză, oferind astfel o varietate largă de soluţii corespunzătoare fiecărei aplicaţii. Cele mai implementate structuri de reglare în aria de producere a energiei termo-electrice se bazează pe conceptul clasic al reglării cu regulatoare PID. În cele mai multe cazuri buclele de reglare sunt implementate folosind structuri liniare pentru sisteme SISO cu regulatoare PI şi PID. În ultimele decenii s-a făcut posibilă implementarea unor structuri de tip MIMO liniare şi neliniare, predictive bazate pe model, adaptive sau structuri inteligente de forma unor sisteme expert, bazate pe modele neuronale sau algoritmi genetici. Printre lucrările bibliografice găsite ca reper pentru acest studiu pot fi menţionate articolele [Bikash şi Balark, 2005], în care autorii au analizat, din perspectiva teoriei sistemelor liniare, atât structurile de reglare clasice pentru procese instabile sau cu timp mort existente în centralele termo-electrice cât şi structurile adaptive de tip multi-model. În lucrările [Tan et al., 2005, Tan W, 2009], autorii propun o metodă simplă de a “evita” neliniarităţile modelului unui boiler de abur, utilizând funcţia distanţă (metrică), prin alegerea prudentă a punctelor de operare, întrucât unele dintre aceste puncte nu sunt întâlnite în practică, aşa încât un regulator liniar poate obţine performanţe globale bune din moment ce procesul nu trece prin aceste puncte de funcţionare. O structură multivariabilă simplificată cu regulatoare de tip PI este propusă în [Wen Tan et al., 2002] pentru conducerea unui boiler de abur de 145MW. În [Fang et al., 2005] se propune o structură de reglare cu regulatoare de decuplare pentru un boiler de 500MW. Alte structuri de conducere cu regulatoare de decuplare pentru procesele multivariabile existente în energetică au fost propuse în literatura de specialitate. O altă metodă posibilă propusă în [Marquez, 2004] constă în divizarea plajei de funcţionare în mai multe game „liniare” şi proiectarea unor regulatoare pentru fiecare punct de funcţionare, şi combinarea acestora într-un regulator multi-model. De asemenea, reglarea mărimilor de proces din cadrul unui cazan de abur se poate realiza după o strategie ierarhică complexă. O alternativă la structurile clasice de reglare ar fi includerea suplimentară în structura fizică de reglare a unui software de supervizare care să permită printr-un proces de optimizare


8

adaptarea on line a parametrilor unui regulator de tip PID. Această abordare se regăseşte în [Vrabie şi Lazăr, 2004; Lazăr et al., 2004]. De cele mai multe ori, în situaţii practice, instalaţia reală ce trebuie reglată este foarte complexă, fiind necesare soluţii moderne atât pentru monitorizarea parametrilor energetici şi tehnologici cât şi reglarea unor mărimi de proces. În [Jefferies, 2002] sunt tratate anumite aspecte ale restructurării serviciilor oferite de centralele ce produc energie electrică. Astfel, companiile ce lucrează pe o piaţă competitivă au nevoie de structuri de reglare mai sofisticate care să le asigure şi un management al calităţii necesar îndeplinirii obiectivelor propuse. Astfel, dezvoltarea şi implementarea unor noi tehnologii este accelerată în întreg ciclu de producţie de la generarea energiei, transmisiei până la livrarea acesteia. Tehnologia informaţională permite creşterea eficienţei producţiei şi monitorizării mărimilor de proces. Tehnologiile Combined Heat and Power propun eliminarea pierderilor provocate, de exemplu, atunci când instalaţiile preiau aburul la presiune joasă. Eliminarea pierderilor prin capturarea acestei energii conduce la creşterea eficienţei cu 90%. Sistemele de conducere distribuite proiectate pe platforme SCADA (Supervised Control and Data Acquisition) oferă posibilitatea de a monitoriza şi regla anumite mărimi critice dintr-un spaţiu de producţie, şi în funcţie de situaţie se pot activa alarme care să atenţioneze sau să împiedice apariţia unor avarii. Existenţa acestor sisteme de reglare distribuită combinată cu implementarea unor strategii avansate de conducere contribuie la optimizarea resurselor şi siguranţa în funcţionare. 2.2 Modele neliniare simplificate utilizate în proiectarea structurilor de reglare automată Deşi majoritatea proceselor industriale sunt neliniare, cei mai mulţi algoritmi de conducere automată se bazează pe modele liniarizate ale procesului. Folosirea unui model liniarizat conduce la rezultate acceptabile numai în cazul în care procesul este exploatat în jurul unui punct de funcţionare. Dacă procesul este puternic neliniar, se impune folosirea unui model neliniar care să descrie în mod adecvat comportarea acestuia. Folosirea modelelor neliniare necesită utilizarea unor algoritmi de optimizare neliniară, ceea ce influenţează în mod deosebit efortul de calcul. In plus, obţinerea unui model neliniar este o problemă a cărei dificultate creşte odată cu gradul de complexitate a procesului de modelat. Modelele liniare determinate pe răspunsul indicial sunt preferate, deoarece pot fi obţinute simplu, direct din setul de date din proces. Totuşi, de cele mai multe ori, realizarea unui asemenea experiment este restricţionată din considerente tehnice. In plus, scopul multor aplicaţii industriale este menţinerea funcţionării sistemului în jurul unui anumit punct de funcţionare, eventual cu treceri rapide de la un punct de funcţionare la altul. Datele măsurate din proces permit obţinerea prin identificare a unui model liniar cât se poate de precis, valabil în jurul punctului de funcţionare considerat. Cu toate acestea, pentru a proiecta diferite


9

structuri de reglare este necesar un model dinamic cu grad de generalitate ridicat, care să ilustreze funcţionarea reală a centralei termo-electrice în toate punctele de operare. Una dintre abordările utilizate atât in domeniul academic cât şi in cel industrial pentru a construi un model matematic este cea care descrie funcţionarea unui cazan de abur pe baza legilor fizice care descriu repartizarea aburului si a apei in sistem. Această metodă implică cunoaşterea a câtor mai multe informaţii din sistem, a legilor fizice care guvernează dinamica procesului, a parametrilor constructivi ai instalaţiei tehnologice cât şi a produselor software, dedicate sau nu, proceselor energetice. In multe articole se regăsesc diverse abordări pentru determinarea unui anumit model matematic neliniar cu diverse grade de complexitate. Astfel de modele pot fi găsite in [Tan, et al., 2002; Tan, et al., 2005; Ordys, et al., 1994]. Modele cu o complexitate ridicată au fost determinate de [Cori, 1977; Astrom et al., 2000]. Aceste modele neliniare au mai mult de zece ecuaţii diferenţiale şi peste 100 de ecuaţii statice liniare ce descriu fiecare componentă a ansamblului boiler-turbină. În cele ce urmează se ilustrează cele mai utilizate modele matematice neliniare de ordin doi, trei şi patru în formalismul intrare - stare - ieşire [Aström, 2000]. Astfel, construirea modelului matematic al sistemului se realizează prin prelucrarea corespunzatoare a ecuaţiilor de bilanţ. Legea de conservare a masei este:

[ ]s st w wt f sd V V q qdt

ρ ρ+ = − , (2.1)

în care mărimile care intervin, reprezentând: sρ este densitatea aburului din sistem, wρ - densitatea apei din sistem, stV - volumul de abur din sistem (atât din tambur cât şi din conductele ridicătoare - coborâtoare), wtV - volumul de apă din sistem, fq - debitul masic de alimentare cu apă, sq - debitul masic al aburului care iese din sistem. Legea de conservare a energiei are următoarea expresie:

[ ] ssffmptstwsstss hqhqQtCmVeVedtd

−+=++ ρρ , (2.2)

în care mărimile care intervin în ea reprezentând: se - energia specifică a aburului, we - energia specifică a apei, tm - masa totală a tamburului şi conductelor, pC - căldura specifică a metalului din care este construit cazanul, Q - fluxul de căldură furnizat de arzătoare, fh - entalpia specifică a apei de alimentare, sh - entalpia specifică a aburului. Ştiind că energia internă e este dată de:

ρphe −= , (2.3)

în care h este entalpia, p - presiunea şi ρ - densitatea, bilanţul total de energie se poate rescrie:


10

[ ] ssffmpttstwsstss hqhqQtCmpVVhVhdtd

−+=+−+ ρρ . (2.4)

Volumul total notat cu tV va fi suma dintre volumul aburului şi volumul apei din sistem:

wtstt VVV += . (2.5)

Temperatura metalului din care este construit cazanul, mt , poate fi exprimată funcţie de presiune, deoarece mt este strâns legată de valoarea temperaturii de saturaţie a aburului st care, la rândul ei, afectează presiunea. Temperatura metalului în regim staţionar este apropiată de temperatura de saturaţie. Diferenţele fiind mici, ele pot fi neglijate în descrierea matematică a sistemului. Modelul de ordinul doi Cu ajutorul relaţiilor (2.1), (2.4) şi (2.5) se poate obţine un model simplu, de ordinul doi al sistemului, descris prin ecuaţiile de stare [Astrom şi Bell, 2000]:

11 12

11 12

,

,

wtf s

wtf f s s

dV dpk k q qdt dt

dV dpk k Q q h q hdt dt

+ = −

+ = + − (2.6)

în care coeficienţii , , 1, 2ijk i j = , au următoarele expresii:

11

12

21

22 .

w s

s wst wt

w w s s

s s w w sst s s wt w w t t p

k

k V Vp p

k h h

h h tk V h V h V m Cp p p p p

ρ ρρ ρ

ρ ρ

ρ ρρ ρ

= −∂ ∂

= +∂ ∂

= −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.7)

Modelul (2.7) are ca intrări fluxul de căldură furnizat prin arderea combustibilului Q , debitul de apă care intră în tambur fq şi debitul de abur care merge la utilizator sq . O variabilă de

stare a sistemului este presiunea aburului în tambur (p), aceasta fiind uşor de măsurat, iar cea de a doua volumul apei din sistem. Se presupune faptul că sistemul se află în echilibru termic şi prin urmare, variabilele , , , ,s w s w sh h tρ ρ pot fi exprimate ca funcţii în variabila p. Ieşirile sistemului pot fi alese în mai multe moduri în funcţie de ceea ce ne interesează, o posibilitate fiind aceea de a alege printre ieşiri şi presiunea p. Pentru a folosi acest sistem avem nevoie de valoarea presiunii în punctul nominal de funcţionare şi de calculul variaţiei temperaturii aburului, variaţiilor densităţii apei, a aburului şi respectiv a variaţiilor entalpiilor corespunzătoare.


11

Modelul de ordinul doi prezintă ca avantaje simplitatea şi ordinul redus. De asemenea, el oferă o bună descriere a variaţiei presiunii şi volumului apei din sistem funcţie de căldura furnizată sistemului, debitul apei de alimentare şi debitul aburului care este eliminat din sistem. Dezavantajul major al modelului este acela că nu descrie nivelul din tambur deoarece nu este tratată distribuţia aburului şi a apei în sistem. Modelul de ordinul doi simplificat În cazul în care ne interesează doar presiunea, se pot face unele simplificări ale modelului. Înmulţind relaţia (2.1) cu wh şi scăzând din ea (2.4) se obţine:

( ) ( )s w sc s st s st w wt t t p f w f s c

dh dh td dph V V V V m C Q q h h q hdt dt dt dt p

ρ ρ ρ ∂+ + − + = − − −

∂ (2.8)

unde wsc hhh −= reprezintă entalpia de condensare. Dacă nivelul apei din tambur este reglat utilizând o structură în buclă închisă, variaţiile volumului de abur sunt mici, putând fi neglijate. Rezultă astfel modelul de ordinul doi simplificat:

( )1 f w f s cdpk Q q h h q hdt

= − − − , (2.9)

unde:

1s s w s

c st s st w wt t p th h tk h V V V m C V

p p p pρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + −∂ ∂ ∂ ∂

. (2.10)

Ţinând cont că în expresia coeficientului 1k termenii care conţin s

pρ∂∂

şi shp

∂∂

sunt dominanţi,

o bună aproximare pentru 1k este:

1w s

w wt t ph tk V m Cp p

ρ ∂ ∂≈ +

∂ ∂. (2.11)

Trebuie avut în vedere faptul că o parte din aburul produs prin fierbere va reveni în tambur sub formă de apă ca urmare a fenomenului de condensare. Condensarea poate avea loc atât în tambur cât şi în conductele ridicătoare, debitul total de condensare, ctq , având expresia:

1w f s w sct f s st w wt t t p

c c

h h dh dh tdpq q V V V m Ch h dt dt dt t

ρ ρ− ∂⎛ ⎞= + + − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

. (2.12)

Modelul (2.9) prezintă avantajul că, datorită simplificărilor efectuate, majoritatea parametrilor care intervin pot fi determinaţi experimental. Se păstrează dezavantajele de la modelul anterior, neputând fi oferite informaţii despre nivelul din tambur sau despre distribuţia aburului şi a apei în sistem.


12

Modelele de ordinul trei şi patru Dezavantajul major al modelelor anterioare poate fi înlăturat prin luarea în consideraţie a legilor fizice care descriu repartizarea aburului şi a apei în sistem. Această repartizare din sistem conduce la apariţia fenomenului de comprimare-expansiune, rezultând o comportare de fază neminimă a nivelului în tambur. Dacă se deschide ventilul de abur, va creşte debitul de abur şi în acelaşi timp se va micşora presiunea p din tambur. Scăderea presiunii va determina apariţia de noi bule de abur în tambur şi conductele ridicătoare având ca efect creşterea nivelului în tambur. Deoarece debitul de abur a crescut, nivelul apei în tambur va descreşte în timp. Fenomenul de comprimare-expansiune va fi descris cu ajutorul ecuaţiilor de bilanţ. Calitatea amestecului de apa şi abur în conductele ridicătoare poate fi estimată, pornind de la ecuaţiile de bilanţ de masă şi energie în conductele de încălzire:

0

1 ,

r

r r

qAt z

h qh Qt A z V

ρ

ρ

∂ ∂+ =

∂ ∂∂ ∂

+ =∂ ∂

(2.13)

unde: ρ este densitatea amestecului de apă şi abur, q - debitul de masă, rA - aria secţiunii transversale prin conductă, rV - volumul conductei, h - entalpia specifică, Q - căldura furnizată conductelor ridicătoare, z - coordonata verticală. Energia internă specifică amestecului de abur şi apă este exprimată ca fiind:

(1 ) ( )m s m w w m s w w m ch h h h h h h hα α α α= + − = + − = + . (2.14)

Notaţiile folosite în relaţia (2.14) au următoarele semnificaţii: mα - calitatea amestecului (fracţia masei de abur prezentă în amestecul de apă şi abur), sh -

entalpia specifică a aburului, wh - entalpia specifică a apei. În regim staţionar sunt obţinute relaţiile:

0

mc

qz

qh QAqhz z V

α

∂=

∂∂∂

= =∂ ∂

, (2.15)

cu ajutorul cărora se deduce următoarea expresie liniară pentru calitatea amestecului:

mc

QA zqh V

α = . (2.16)

Dacă se notează cu rα calitatea aburului la capătul superior al conductelor ridicătoare, atunci putem presupune că încălzirea are loc la capătul inferior şi:

( ) ,0 1m rα ξ α ξ ξ= ≤ ≤ , (2.17)


13

unde ξ denotă coordonata verticală normalizată. Aceasta înseamnă că mα creşte liniar de jos în sus de-a lungul conductelor ridicătoare. Transferul de masă şi energie între abur şi apă constituie elementele cheie ale modelării. Dacă se tratează separat cele două aspecte, transferul ar trebui descris explicit. Acest lucru poate fi însă evitat prin scrierea ecuaţiei de bilanţ unificate pentru abur şi apă. Bilanţul de masă pentru conductele ridicătoare este:

( (1 ) )v vs r w r dc rd V V q qdt

ρ α ρ α+ − = − , (2.18)

în care: vα - fracţia de volum mediu de abur în conductele ridicătoare, dcq - debitul masic de fluid

care intră în conductele de scurgere (egal cu cel care intră în conductele ridicătoare), rq - debitul masic de abur care iese din conductele ridicătoare. Bilanţul de energie pentru conductele ridicătoare este:

( (1 ) ) ( )v vs s r w w r r r p s dc w r c w rd h V h V pV m C t Q q h h h qdt

ρ α ρ α α+ − − + = + − + . (2.19)

În urma calculelor, după eliminarea debitului din conductele ridicătoare prin înmulţirea relaţiei (2.18) cu ( )v r ch hα− + şi adunând relaţia (2.19), rezultă relaţia de bilanţ unificată:

( ( ) ( ) (1 )

( ) ( (1 ) ) ) .

v v vs s r w r c s r w w r

svw r c w r r r p r c dc

d d dh V h h V h Vdt dt dt

dtd dph h V V m C Q h qdt dt dt

ρ α α ρ α ρ α

α ρ α α

− + + − −

− + − − + = − (2.20)

Determinarea modelelor de ordinul trei şi patru implică investigarea suplimentară a unor mărimi de proces, după cum urmează: Debitul de circulaţie, qdc, indică debitul de fluid ce intră în conductele de scurgere şi se obţine din relaţia:

21 ( )2

2 ( ) ,

vdc w dc w s r

vw dc w s rdc

f

kq A g V

A g Vqk

ρ ρ ρ α

ρ ρ ρ α

= − ⇒

−=

(2.21)

unde fk - coeficient de frecare, dcA - aria conductelor de scurgere, rV - volumul conductelor

ridicătoare. Debitul de abur din tambur, sdq , poate fi calculat astfel:


14

0( ) ( )ssd sd sd r dc r dc r

d

q V V q q qTρ α α β= − + + − , (2.22)

unde dT - timpul de rezidenţă al aburului în tambur, sdV - volumul de abur din tambur, 0sdV -

volumul aburului din tambur în ipoteza în care nu are loc condensare în tambur. Nivelul din tambur se poate obţine astfel:

wd sdw s

d

V Vl l lA+

= = + (2.23)

cu wdV - volumul de apă din tambur, sdV - volumul de abur din tambur, dA - aria suprafeţei de separaţie în tambur, wl - variaţiile de nivel cauzate de modificarea cantităţii de apă din tambur, sl - variaţiile de nivel cauzate de modificarea cantităţii de abur din tambur.

Debitul în conductele ridicătoare este determinat presupunând ca fiind cunoscute P şi rα :

( (1 ) )v vs r w r dc rd V V q qdt

ρ α ρ α+ − = − (2.24)

( ) ( (1 ) )

( (1 ))

( ( ))

v vr dc s r w r

v vdc r s w

vdc r w s w

d dq q V Vdt dt

dq Vdtdq Vdt

ρ α ρ α

ρ α ρ α

ρ α ρ ρ

= − − −

= − + −

= − + −

(2.25)

( (1 )) ( ) rv v vdc r s w r w s

r

ddpq V Vp dt dt

αρ α ρ α ρ ρ αα

∂ ∂= − + − + −

∂ ∂.

Debitul de condensare poate fi calculat conform relaţiei:

1 ( ( ) )w f s w scd f s sd w wd sd wd t p

c c

h h dh dh dtdpq q V V V V m Ch h dt dt dt dt

ρ ρ−

= + + − + + (2.26)

Ecuaţia de echilibru a aburului sub nivelul de lichid din tambur rezultă astfel:

( ) .s sd r r sd cdd V q q qdt

ρ α= − − (2.27)

Ecuaţia de echilibru (2.27) este rescrisa prin înlocuirea expresiilor din membrul drept obţinute în relaţiile (2.19), (2.20), (2.26):


15

0

1 ( ( )

) (1 ) ((1 ) )

( ) .

sd s s ws sd s sd w wd sd wd

c

sv vd p r r w s

f wssd sd f

d c

dV d dh dh dpV V V V Vdt dt h dt dt dt

dt dm C Vdt dt

h hV V q

T h

ρρ ρ ρ

α β α ρ α ρ

ρ

+ + + − + +

+ + + − + =

−= − +

(2.28)

Modelul intrare stare ieşire de ordinul patru obţinut este:

11 12

21 22

31 33

041 43 44 ( ) ),

wtf s

wtf f s f

rr c dc

f wsd srsd sd f

d c

dV dpe e q qdt dt

dV dpe e Q q h q hdt dt

ddpe e Q h qdt dt

h hdVddpe e e V V qdt dt dt T h

α α

ρα

+ = −

+ = + −

+ = −

−+ + = − +

(2.29)

unde:

32 ( )(1 ) ((1 ) ) )w w s sv vw r c r r c s r

h he h V h Vp p p p

ρ ρρ α α α ρ α∂ ∂ ∂ ∂= − − + − + +

∂ ∂ ∂ ∂

33

42

43

44

( ( ) )

(1 ) )

1 ( )

(1 ) ( (1 ) ( ) )

(1 )( )

.

v ss w s r c r r r p

vr s r w c r

r

s s w ssd s sd w wd sd wd d p

c

vs wvr r v s w

vr s w r

r

s

th V V m Cp p

e h V

h h te V V V V V m Cp h p p p

Vp p p

e V

e

αρ ρ ρ α

αα ρ α ρα

ρ ρ ρ

ρ ρ αα β α α ρ ρ

αα β ρ ρα

ρ

∂∂+ + − − +

∂ ∂

∂= − +

∂∂ ∂ ∂ ∂

= + + − − + +∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + − + −

∂ ∂ ∂

∂= + −

∂=

(2.30)

Primele trei ecuaţii din (2.29), împreună cu coeficienţii corespunzători din (2.30), desemnează modelul de odinul trei. Dezavantajul modelului de ordinul trei se referă la faptul că nu surprinde dinamica pentru aburul aflat sub nivelul apei din tambur. Modelul matematic admite ca intrări fluxul de căldură furnizat prin arderea combustibilului Q , debitul de apă care intră în tambur fq şi debitul de abur care merge la utilizator sq . Cele patru variabile de stare ale

modelului sunt: presiunea din tambur p, volumul total de apă, Vwt, calitatea aburului la capătul superior al conductei ridicătoare rα , volumul de abur aflat sub nivelul din tambur Vsd.


16

Estimarea parametrilor a fost investigată pentru modelele de ordin trei şi patru in multe studii desfăşurate pentru diferite cazane de abur [Graebe, 1990]. Modelele matematice neliniare simplificate sunt determinate în sensul de a facilita proiectarea unor structuri de conducere specifice (de exemplu pentru reglarea presiunii aburului din tambur). Aceste modele matematice nu pot fi folosite în cazul în care se doreşte şi reglarea nivelului apei în tambur. În plus, unii parametri constructivi sunt dificil de determinat. Un model multivariabil intrare-stare-ieşire neliniar folosit în structuri de conducere [Tan, et al., 2005] este următorul:

9/81 2 1 1 3

9 /82 2 1 2

3 3 2 1

1 1

2 2

3 3

0,0018 0,9 0,15 ,

[(0,73 0,16) ] /10,[141 (1,1 0,19) ] / 85,

,,

0,05(0,13073 100 / 9 67,975).cs e

x u x u u

x u x xx u u xy xy xy x a q

= − + −

= − −= − −=== + + −

(2.31)

Modelul dinamic (2.31) rezultă folosind legile de conservare, iar parametrii au fost estimaţi pe baza unor seturi de date preluate dintr-o centrală termică cu o putere de 160MW. Variabilele de stare 1x , 2x şi 3x simbolizează presiunea aburului în tambur (kg/cm2), puterea electrică (MW) şi respectiv densitatea amestecului de apă şi abur (kg/m3). Mărimile de intrare 1u , 2u şi

3u sunt poziţia servovalvei pentru debitul de combustibil, mărimea de comandă a aburului şi debitul de apă de alimentare de la economizor. Mărimile de ieşire considerate sunt presiunea aburului din tambur, puterea electrică şi nivelul apei in tambur (m), iar csa şi eq reprezintă calitatea aburului şi respectiv, rata de evaporare (kg/s).

3 1

3 1

2 1 3

(1 0,001538 )(0,8 25,6)(1,0394 0,0012304 )

(0,85 0,147) 2,514 2,096.

cs

e

x xax x

q u x u

− −=

−

= − − − (2.32)

Algoritmii de conducere liniară utilizează de cele mai multe ori modelele liniarizate in jurul unor puncte nominale de funcţionare. Un exemplu poate fi obţinut prin liniarizarea modelului (2.31) în jurul punctului nominal de funcţionare:

0 0 01 2 30 0 01 2 3

03

108 66,65 4280,34 0,69 0,433

0.

x x xu u u

y

= = == = ==

(2.33)

Modelul liniarizat în formalismul intrare-stare-ieşire:


17

0,0025 0 0 0,9 0,349 0,150,0694 0,1 0 0 14,155 0 ,0,0067 0 0 0 1,398 1,659

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 .

0,0063 0 0,0047 0,253 0,512 0,014

⎧ − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

x x u

y x u

(2.34)

Aceste modele neliniare, cu o complexitate medie pot fi utilizate in realizarea unor structuri de conducere bazate pe model prin simplificări adecvate sau pentru construirea unor simulatoare care să reflecte dinamica procesului. Model neliniar (2.31) va fi utilizat pentru reglarea nivelului în tamburul cazanului de abur, folosind o strategie predictivă neliniară (Capitolul 5 pp. 137 ). 2.3 Strategii de reglare automată clasice aplicate sistemelor industriale De obicei, sistemele de conducere automată existente în instalaţiile din centralele termoelectrice conţin mai multe bucle de reglare monovariabile şi regulatoare feedforward ce permit menţinerea variabilelor termodinamice în limite rezonabile. Succesul acestor structuri este motivat de faptul că operatorul poate interveni manual pe oricare din buclele de reglare, în situaţii de urgenţă. În plus, în mediul industrial, sistemele de conducere automată sunt organizate pe nivele ierarhice. Astfel, regulatoarele din buclele de reglare situate pe nivelele ierarhice inferioare primesc cererile sau valorile de referinţă de la regulatorul master. Câteva bucle de reglare importante în procesele energetice sunt menţionate după cum urmează:

• Reglarea furnizorului de combustibil destinat reglării alimentării boilerului. Timpul necesar acestei alimentări este deseori un factor de limitare atunci când se doreşte un răspuns rapid al procesului.

• Reglarea nivelului în tambur este în strânsă legătură cu reglarea debitului apei de alimentare. Efectul de “expansiune şi comprimare”, rezultat în urma modificării consumului de abur conduce la confuzionarea regulatorului. De obicei structura de reglare cu 3 mărimi măsurate este preferată, strategie ce combină reglarea nivelului în tambur, debitul de abur şi debitul apei de alimentare [Flynn, 2003].

• Reglarea temperaturii aburului se referă la reglarea temperaturii aburului ce părăseşte boilerul după procesul de supraîncălzire şi reîncălzire. Întârzierile asociate acestor etape duce la degradarea performanţelor sistemului de reglare.

În afara buclelor menţionate mai sus, în cadrul proceselor energetice există multe alte subsisteme esenţiale pentru funcţionarea instalatiei, ce trebuie reglate, precum debitul apei de răcire, tirajul boilerului, etc. Proiectarea unei structuri de reglare automate implică parcurgerea mai multor paşi [Doyle, 1990]:


18

• Modelarea sistemului ce trebuie reglat şi eventual, simplificarea modelului matematic; • Analiza modelului obţinut şi determinarea proprietăţilor acestuia; • Propunerea unei strategii de reglare automată; • Proiectarea unui regulator astfel încât să fie îndeplinite specificaţiile impuse, dacă este

posibil, în caz contrar se modifică specificaţiile sau tipul regulatorului propus. • Simularea sistemului cu regulatorul proiectat, pe un calculator sau pe un sistem pilot; • Reluarea pasului 1, în caz de eşec; • Alegerea sistemului hardware şi software necesar implementării regulatorului; • Acordarea on-line a regulatorului şi testarea în timp real a strategiei de conducere

propusă.

2.3.1 Strategii de reglare automată clasice monovariabile În cele ce urmează sunt ilustrate principalele structuri de reglare cunoscute şi aplicate în reglarea nivelului intr-un tambur al unui boiler de abur. Se folosesc trei strategii de reglare ce utilizează una, două sau trei variabile măsurate. Obiectivul reglării nivelului în tambur constă în menţinerea suprafaţei de separare a celor două faze (apă-abur) la un nivel optim, astfel încât să se obţină un echilibru continuu masă/încălzire prin înlocuirea aburului folosit de utilizator cu o cantitate corespunzătoare de apă. 2.3.1.1 Structură de reglare automată cu o singură mărime măsurată Această structură este cea mai simplă strategie ce utilizează o singură mărime măsurată şi anume nivelul apei în tamburul unui boiler de abur. În Fig. 2.1 este ilustrată structura de reglare automată.

Lm

L Lr + –

Fapa RL

Servo valvă

Tambur

TL

Fabur

Fabur – debit de abur, Fapa – debit de apa, L – nivel, Lr – nivel de referinţă Lm – nivel măsurat, RL – regulator de nivel, TL – traductor de nivel

Fig. 2.1 Structura de reglare cu o singură mărime măsurată Se utilizează numai pentru boilere mici cu variaţii lente spre foarte moderate ale sarcinii pentru a nu produce o funcţionare incorectă datorată efectului comprimare – expansiune [Lazăr, 2004].


19

2.3.1.2 Structură de reglare automată cu regulator feedforward Această structură cu două mărimi măsurate se utilizează pentru cazane cu variaţii moderate ale sarcinii, indiferent de mărimea acestora. Structura de reglare din Fig. 2.2 permite reglarea nivelului pentru regulatorul RL şi rejecţia perturbaţiei Fabur prin regulatorul feedforward Rff.

+ +

Lm

L Lr + –

Fapa RL Servo

valvăTambur

Fabur

Fabur – debit de abur; TFabur – traductor debit abur; Rff – regulator feedforward; Fapa – debit de apa; L – nivel; Lr – nivel de referinţă; Lm – nivel măsurat; RL – regulator de nivel; TL – traductor de nivel

Rff TFabur

TL

Fig. 2.2 Structura de reglare cu două mărimi măsurate

Din păcate strategiile cu o mărime, respectiv două mărimi măsurate nu pot elimina perturbaţiile care apar (presiunea aburului şi debit de lichid din tambur) pe conducta de alimentare cu apă. De asemenea, deoarece regulatorul RL este acordat pentru variabila nivel cu dinamică lentă, aceasta nu poate comanda variabila debit cu dinamică rapidă, fapt care conduce la alimentarea în exces cu apă a tamburului, fără a ţine seama de dinamica termică a cazanului. 2.3.1.3 Structură de reglare automată în cascadă cu trei mărimi măsurate Această strategie de reglare elimină dezavantajele de la celelalte stucturi de reglare prezentate mai sus. Astfel se adaugă o nouă buclă de reglare pentru debitul de apă Fapa care va avea drept referinţă ieşirea din sumatorul de mase.


20

Lr + –

Fr + –

Fm

+

+

Lm

L Fapa RL Servo

valvă Tambur

Fabur

RF

Fabur – debit de abur; TFabur – traductor debit abur; Rff – regulator feedforward; Fapa – debit de apă; L – nivel; Lr – nivel de referinţă; Lm – nivel măsurat; RL – regulator de nivel; TL – traductor de nivel; Fapa – debit de apă; Fm – debit de apă măsurat; TFapa – traductor de debit apa; RF – regulator de debit

TFapa

Rff

TL

TFabur

Fig 2.3 Structura de reglare cu trei mărimi măsurate

Regulatorul de debit RF pentru apă din Fig. 2.3 utilizează ca măsură debitul de apă Fapa şi ca referinţă Fr, suma dintre comanda feedforward obţinută cu regulatorul Rff prin prelucrarea perturbaţiei de sarcină Fabur şi comanda elaborată de regulatorul de nivel RL. În acest fel este menţinut nivelul în tambur prin reglarea debitului de apă şi menţinerea echilibrului masic/termic. Această structură permite acordarea independentă şi corectă a regulatoarelor în funcţie de dinamica mărimilor măsurate. 2.3.2 Strategii de reglare automată multivariabile aplicate proceselor energetice Principalul neajuns al structurilor cu bucle monovariabile, prezentate în paragraful 2.3.1 constă în faptul că interacţiunile dintre mărimile de proces sunt ignorate. O anumită variabilă de proces reglată poate influenţa comportarea celorlalte mărimi. Influenţele dintre mărimile de proces din buclele monovariabile sunt de obicei minimizate prin strategii de decuplare. În procesele în care există interacţiuni puternice între variabilele de stare, tehnicile multivariabile îmbunătăţesc performanţele dinamice ale întregului sistem. În aceste tipuri de instalaţii din domeniul energetic, înlocuirea stucturilor de reglare monovariabile cu tehnici de reglare multivariabil permite îmbunătăţirea funcţionării procesului. Trecerea la structurile de reglare multivariabile poate genera, insă, diferite probleme. Astfel, o strategie de reglare multivariabilă necesită o conducere centralizată; apariţia unei defecţiuni ar produce căderea întregului sistem. Structurile SISO sunt preferate în astfel de cazuri, căderea unei bucle de reglare neafectând funcţionrea celorlalte bucle. Un alt dezavantaj al structurii centralizate este determinat de complexitatea implementării fizice, necesitatea unor etape de testare şi întreruperea temporară a funcţionării fiind inevitabile. De asemenea, existenţa unei noi structuri de reglare necesită instruirea operatorilor. Ultimele modificări realizate în centralele


21

termo-electrice ţin cont şi de buclele monovariabile, cele două tipuri de strategii de reglare funcţionând în paralel. Principial există două metode ale structurilor de reglare multivariabile: 1. Structură cu bucle de reglare multiple reprezintă extensia directă a reglării unei singure mărimi la mai multe mărimi reglate, asociate procesului. 2. Structura de reglare coordonată constă în reglarea bazată pe folosirea unui singur algoritm de reglare utilizează toate măsurătorile pentru a calcula toate comenzile. În procesele reale, este dificilă găsirea soluţiei exacte de decuplare [Qing et al., 2008]. Rosenbrock considera că un sistem poate fi împărţit în mai multe subsisteme dacă interacţiunile între mărimi nu sunt puternice. În acest sens un sistem MIMO poate fi divizat într-un număr de bucle clasice descentralizate SISO dacă acesta poate fi reprezentat într-o formă diagonal dominantă. Avantajul acestei abordări constă în faptul că fiecare buclă poate fi tratată ca şi cum ar fi independentă. Mai mult, Rosenbrock a arătat că un sistem MIMO poate fi analizat utilizând diagramele Nyquist [Voicu, 2008; Mikleš şi Fikar, 2007]. Metodele precum locul caracteristic, criteriul Nyquist sau benzile Gherşgorin au fost dezvoltate în scopul analizei şi proiectării sistemelor multivariabile în domeniul frecvenţei. În articolele ce tratează structurile de reglare multivariabile sunt menţionate 3 tipuri de decuplări:

• Decuplarea în circuit deschis: în acest caz matricea de transfer corespunzătoare sistemului în circuit deschis va fi diagonală;

• Decuplarea în raport cu mărimile de referinţă: matricea de transfer corespunzatoare sistemului în circuit închis va fi diagonală;

• Decuplarea în raport cu perturbaţia: matricea de transfer corespunzătoare transferului perturbaţie-ieşire va fi diagonală;

În cadrul unui ansamblu boiler-turbină, decizia alegerii structurii de reglare este condiţionată de stabilirea perechii mărimii de intrare şi ieşire, astfel încât buclele de reglare să aibă interacţiuni tolerabile, în caz contrar interacţiunile puternice existente conduc la funcţionarea necorespunzătoare a structurii de reglare automată. În astfel de cazuri este necesară proiectarea unui algoritm de decuplare. În lucrarea [Wen et al., 2008] este prezentată o structură de reglare multivariabilă cu regulatoare de decuplare ce a fost implementată cu succes atât prin simulare cât şi pe un proces real - o centrală termoelectrică de putere electrică 330MW. Un sistem multivariabil MIMO poate fi scris într-o formă diagonală dacă se inserează în sistem regulatoare într-o structură în cascadă. De exemplu, structura de reglare propusă de Falb şi Wolovich pentru modele intrare-stare-ieşire se bazează pe acest principiu, însă regulatoarele obţinute sunt complexe dacă sistemul este de ordin mare. Pentru procesele cu


22

parametri incerţi aşa cum se întâlnesc des în practică, este dificilă găsirea unei soluţii potrivite de decuplare [Qing, 2008]. Modelele intrare-ieşire pot lua anumite forme structurale. Două tipuri de modele intrare - ieşire multivariabile cele mai cunoscute sunt repezentările în formă canonică P şi V [Isermann, 1979]. Scopul introducerii regulatoarelor de decuplare este de a descompune procesul multivariabil într-un număr de subsisteme independente. Îndeplinirea acestui deziderat permite reglarea utilizând bucle independente de reglare. 2.4 Tehnici adaptive de acordare a regulatoarelor Metodele de reglare adaptivă actuale se bazează pe cele două tehnici fundamentale de adaptare parametrică: reglarea adaptivă cu model de referinţă şi reglarea adaptivă autoacordabilă. În cazul proceselor neliniare, la schimbarea punctului nominal de operare, regulatorul cu parametrii ficşi nu asigură obţinerea performanţelor de reglare dorite [Astrom şi Wittenmark, 1995]. Ideea de bază în proiectarea metodelor adaptive de conducere este de a modifica parametrii regulatorului atunci când se modifică dinamica procesului. Tehnicile de conducere adaptivă au o istorie îndelungată, începând încă din anii ’50, fiind motivate de problema aparatelor de zbor la variaţii mari de viteză şi altitudine [Sastry şi Bodson, 1989]. În consecinţă, tehnica gain-scheduling bazată pe măsurători auxiliare ale vitezei aerului a fost implementată iniţial. Pe baza acestei structuri s-au dezvoltat metode rudimentare de reglare adaptivă bazate pe model de referinţă - principalul scop a fost crearea unui regulator cu autoacordare care să faciliteze găsirea unei funcţii de transfer corespunzătoare sistemului în circuit închis potrivită cu un model de referinţă cunoscut. Numeroase scheme de autoacordare a parametrilor de acord ai unui regulator au fost propuse, astfel că în 1958 Kalman a pus bazele teoretice ale reglării cu autoacordare cu exprimări clare în identificarea sistemelor liniare monovariabile şi utilizarea parametrilor estimaţi ai modelului în conducerea optimală. În anii ’70 odată cu aprofundarea teoriei stabilităţii Lyapunov, eforturile unor comunităţi ştiinţifice au fost încununate cu succes prin demonstrarea proprietăţilor de stabilitate a unor scheme adaptive de conducere automată. Primele scheme de structuri adaptiv au apărut în lucrările [Narendra et al., 1980], extinderea şi îmbunătăţirea acestor metode regăsindu-se într-o varietate mare de abordări în foarte multe lucrări. Lucrările [Narendra şi Parthasarathy, 1990; Polycarpou şi Ioannou, 1991] au fost primele care au introdus conceptul de aproximare on line a funcţiilor neliniare (aici incluzându-se şi abordarea neuronală şi fuzzy) în teoria conducerii adaptive. Câteva direcţii importante de dezvoltare a acestor tehnici adaptive s-au impus [Hunt et al., 1992; Vrabie et al., 2004], deosebirile faţă de structurile clasice constau în reformularea problemelor de proiectare folosind tehnici neuro-predictive pentru determinarea parametrilor modelului procesului. Pentru procese neliniare, precizia de predicţie poate fi îmbunătăţită prin folosirea unui model de tip reţea neuronală artificială, care să înveţe dinamica procesului, în locul tehnicilor standard de modelare neliniară. Dintre articolele de


23

referinţă ce folosesc ideea de aproximare a funcţiilor neliniare cu reţele neuronale pot fi menţionate următoarele: [Narendra şi Parthasarathy, 1990; Polycarpou şi Ioannou, 1991] în timp ce [Su şi Stepanenko, 1994; Wang, 1996] folosesc sistemele fuzzy pentru aproximarea sistemelor neliniare. Structura de principiu a unui sistem adaptiv cu model de referinţă din Fig 2.4 evidenţiază faptul că întreg sistemul este constrâns să aibă o comportare cât mai apropiată de comportarea unui model impus, de referinţă, prin specificarea căruia se impun indirect performanţele dorite ale sistemului de reglare [Schonberger, 1998]. Modelul de referinţă funcţionează paralel cu bucla convenţională de reglare fiind activat de acelaşi semnal de referinţă, r(k), ca şi sistemul regulator adaptiv - proces. Regulatorul işi ajustează parametrii pentru a compensa caracterul necunoscut al dinamicii procesului.

Fig. 2.4 Conducerea adaptivă directă bazată pe model de referinţă

Intrările în proces sunt: mărimea de comandă de la regulator ( )c ku şi perturbaţia de sarcină externă ( )p k . Astfel ieşirea procesului depinde de starea procesului ( )p kx , de mărimea de comandă ( )c ku , precum şi de perturbaţia de sarcină ( )p k , dar poate fi totodată afectată de zgomote de măsură. Regulatorul primeşte la intrare semnalul de referinţă ( )kr şi ieşirea din proces ( )p ky , iar ( )c kx este starea regulatorului şi q este vectorul parametrilor acestuia.

Modelul de referinţă impus este un sistem stabil de fază minimă, iar procesul se presupune a fi de fază minimă dar nu neaparat stabil. Scopul metodei este sa ajusteze vectorul q al parametrilor regulatorului astfel încât să fie minimizată norma euclidiană a erorii ec(k). Metoda de adaptare a parametrilor este numită directă în sensul ca nu este dependentă de o identificare a parametrilor procesului, parametrii regulatorului fiind însă modificaţi pentru a îmbunătăţi performanţele sistemului. Dezavantajul acestei metode constă în faptul că nu există informaţii privitoare la dinamica procesului, din acest motiv nu există metode de ajustare a parametrilor regulatorului pe baza erorii.

( )c kuRegulator: Proces:

Model de referinţă:

( )p kx

( )p k

I1−z

( )p ky

( )kr

( ),c kx q

( )r kx( 1)k +d

( 1)p k +y

( 1)c k +e

( )c ke

+

−


24

Conducerea adaptivă bazată pe model de referinţă şi reglarea adaptivă autoacordabilă au fost iniţial referite ca metode distincte de reglare adaptivă, însă singura deosebire între acestea constă în faptul că schemele MRAC sunt structuri adaptive directe, iar sistemele cu regulator cu autoacordare sunt indirecte. Mecanismul MRAC permite determinarea şi adaptarea parametrilor regulatorului în mod direct, fără a fi nevoie de o identificare a procesului. În cazul reglării adaptive autoacordabile, mecanismul de adaptare determină în mod recursiv parametrii procesului pe baza variabilelor de proces (intrări, ieşiri). Tehnicile de reglare adaptivă autoacordabilă se diferenţiază prin tipul algoritmului de identificare folosit şi prin metoda de proiectare a legii de reglare utilizată, selectarea acestora fiind dependentă de natura procesului reglat şi obiectivele tehnologice impuse. Însă din punct de vedere structural, se disting două clase de regulatoare autoacordabile în funcţie de rezultatele furnizate de către blocul de identificare: sisteme de reglare adaptivă autoacordabilă indirectă şi sisteme de reglare adaptivă autoacordabilă directă.

Fig. 2.5 Conducerea adaptivă indirectă

În primul caz, blocul de identificare on line a parametrilor modelului furnizează explicit modelul matematic asociat procesului, iar în cel de-al doilea caz, parametrii de acord ai regulatorului sunt determinaţi direct odată cu reparametrizarea modelului matematic. În general, metoda de reglare adaptivă indirectă implică folosirea unei proceduri cu parcurgerea următoarelor etape, pentru determinarea parametrilor regulatorului [Lazăr et al., 2005;Vrabie, 2004; Halaucă, 2005]: 1. Determinarea unui model al procesului P, pentru a putea realiza estimări cu privire la evoluţia procesului ca răspuns la comenzile viitoare, la perturbaţiile viitoare, şi la ieşiri trecute ale procesului;

Estimare model:

( )c kuRegulator: Proces:

( )p kx

( )p k

I1−z

( )p ky

( )kr

( )c kx

( 1)p k +y

q

P

( )p k

( 1)i k +e

Calcul parametri

−

+


25

2. Modelul construit este folosit pentru a putea obţine estimări ale variaţiei ieşirii procesului afectat de perturbaţii de sarcină, prin ajustarea parametrilor regulatorului. Rezolvarea efectelor variaţiilor nepredictibile ale parametrilor procesului, ce pot fi datorate perturbaţiilor, zgomotelor, interferenţelor, uzurii, etc. implică existenţa unui mecanism care să le depisteze apariţia pe toată durata funcţionării procesului precum şi folosirea unei metode de adaptare a parametrilor regulatorului, în vederea rezolvării problemei de reglare [Lazăr et al., 2005; Halaucă, 2005]. 2.5 Reglarea cu predicţie bazată pe model Una dintre direcţiile tehnicilor avansate de conducere automată se referă la conducerea cu predicţie bazată pe model ce a cunoscut o dezvoltare extrem de puternică şi rapidă, datorită interesului pe care i l-au arătat atât specialiştii din industrie cât şi comunitatea academică internaţională. Conducerea predictivă bazată pe model ( Model Based Predictive Control) face parte din categoria tehnicilor avansate de conducere, devenit un subiect important atât în cercetare cât şi în industrie încă din anii ‘80 [Cutler şi Ramaker, 1980; De Keyser şi Van Cauwenberghe, 1981]. Utilizarea frecventă s-a datorat robusteţii superioare în comparaţie cu metodologiile clasice precum GMV (Generalised Minimum Variance) şi metoda alocării polilor şi zerourilor. Conducerea predictivă bazată pe model MPC se referă la o clasă de algoritmi de conducere care calculează o secvenţă de comandă ce optimizează comportarea viitoare a procesului. Primele aplicaţii ale reglării predictive bazat pe model s-au realizat pentru a rezolva problemele de conducere automată ale rafinăriilor de petrol şi centralelor de producere a energiei electrice. Conceptul de predicţie este introdus de Richalet în algoritmul MAC (Model Algorithmic Control). Algoritmul de reglare cu predicţie MAC constă în utilizarea unui model de tip răspuns la impuls al procesului pentru a predicta comportarea viitoare a procesului; comenzile viitoare fiind obţinute prin minimizarea erorii de predicţie. Rezolvarea problemei reglării se face în mod ad-hoc şi nu se ponderează acţiunea comenzii în criteriul de performanţă. Din acest motiv, algoritmul nu este indicat pentru procese instabile sau de fază neminimă. Acest algoritm a fost implementat cu succes în câteva aplicaţii din domeniul petro-chimiei. In 1991 Demirgioglu şi Gawthrop au dezvoltat algoritmul CGPC în domeniul continuu în analogie cu algoritmul discret GPC şi au demonstrat performanţe bune obţinute în special pentru procese cu dinamică "dificilă": procese instabile, cu fază neminimă, de ordin mare sau procese cu timp mort, care generează greutăţi la conducerea automată prin metode clasice. Această strategie, spre deosebire de problema de reglare LQ (Linear Quadratic) are ca avantaj faptul ca nu este necesară rezolvarea ecuaţiilor Diophantice pentru legea de reglare. Mai mult,


26

această abordare s-a dovedit a fi potrivită pentru implementarea strategiilor de autoacordare. Principiul metodelor de proiectare a regulatoarelor predictive se bazează pe predicţia semnalului de ieşire al procesului, utilizând un model matematic al acestuia. La fiecare pas comanda procesului este calculată astfel încât să determine ieşirea predictată urmărind cu eroare cât mai mică o traiectorie dorită peste un orizont de timp prestabilit. Printre studiile realizate în domeniul conducerii predictive cu aplicabilitate în industria energetică se remarcă [Rossiter et al., 1990, Benyó et al., 2004; Xu et al., 2005; Liu et al., 2006]. 2.6 Sistem de supervizare utilizând platforma SCADA în conducerea proceselor energetice Sistemul SCADA este utilizat pentru a conduce şi monitoriza, dintr-o locaţie centrală, elementele ce ţin de funcţionarea unui subsistem al unui proces energetic, de exemplu funcţionarea unui boiler pentru producerea de abur industrial. Parametrii tehnologici ce trebuie urmăriţi sunt debitul apei de alimentare, debitul aburului consumat, nivelul apei în tambur, presiunea aburului, precum şi alte mărimi de proces. Informaţiile furnizate sunt importante în procesul de obţinere a aburului în concordanţă cu standardele de calitate impuse şi în utilizarea optimă a energiei termice rezultată. Principalele obiective ale unui sistem SCADA destinat reţelelor de monitorizare şi reglare al unui subsistem din domeniul energetic sunt următoarele [Postolache et al., 2007]:

Monitorizare subsistem; Sistem de comandă pentru sistemul energetic astfel incât să se obţină performanţele

impuse; Memorare date cu privire la comportarea subsistemului şi întocmire de rapoarte

privind evoluţia variabilelor de interes; Furnizare informaţii cu privire la performanţele obţinute şi stabilirea unui plan de

management; Implementarea unei structuri de reglare automată ce asigură atingerea obiectivelor şi a

performanţelor; Implementarea unui sistem de alarmă ce permite diagnosticarea defectelor apărute în

proces. Staţia centrală oferă posibilitatea vizualizării datelor achiziţionate din proces şi permite operatorului să realizeze operaţiuni de reglare. De cele mai multe ori staţia centrală este un calculator sau o reţea de calculatoare tip Server ce furnizează interfaţa om-maşina HMI cu platforma SCADA [Bailey şi Wright, 2003; Andrici et al., 2006; Postolache et al., 2007]. Serverul prelucrează semnalele preluate de la unităţile RTUs, respectiv informaţiile ce trebuie transmise unităţilor RTUs într-un limbaj accesibil operatorilor. Terminalele sunt conectate la


27

Server printr-o reţea de calculatoare astfel încât interfaţa grafică să poată fi inţeleasă şi utilizată de către operatori. In cadrul sistemelor SCADA pentru procesele care furnizează abur industrial este posibil ca mai mulţi operatori să solicite acces simultan la Server pentru a evalua performanţele obţinute în sistem. În acest sens sistemele SCADA sunt concepute să satisfacă aceste cerinţe incluzând canale de comunicaţie intre calculatorul central şi unităţile de conducere automată la distanţă. Staţiile de lucru ale operatorilor sunt calculatoare conectate în reţeaua SCADA şi sunt considerate clienţi, iar staţia centrală reprezintă serverul pe care rulează aplicaţia SCADA. Clienţii solicită şi transmit informaţii de la/spre Server în funcţie de anumite acţiuni sau situaţii în cadrul unei reţele locale. Reţeaua LAN permite schimbul de informaţii, mesaje sau resurse partajate între mai mulţi utilizatori situaţi intr-o arie geografică relativ mică, inclusiv cu calculatorul central Reţelele LANs utilizate in SCADA au fost iniţial topologii dedicate, urmând ca mai târziu acestea să fie inlocuite cu reţele utilizate în orice domeniu. Aplicaţia ce rulează pe o platformă SCADA este robustă având o interfaţă grafică prietenoasă, intuitivă destinată unei automatizări industriale. Prin intermediul ei se realizează comunicarea la distantă cu un PLC sau RTU pentru monitorizarea nivelului, a debitului de apă de alimentare, a temperaturii, a căldurii furnizată de arzătoare, a presiunii din tamburul boilerului şi utilizează protocoale sau alte dispozitive ce folosesc interfaţa serială [Postolache et al., 2007]. În funcţie de dimensiunea aplicaţiei SCADA, sistemul software utilizat trebuie să corespundă cerinţelor de dezvoltare, extindere şi mentenanţă. Implementarea cu succes a unui sistem SCADA depinde de un soft bine realizat, testat şi validat. Procesarea datelor achiziţionate din proces Sistemele informatice SCADA dau posibilitatea de a prevedea din timp anumite fenomene, prin analiza si procesarea datelor colectate, conducând astfel la importante economii financiare. Pot fi achiziţionate semnale analogice, semnale binare sau fluxuri numerice de date de la diverse echipamente. Serverul PC va asigura comunicarea cu alte calculatoare din reţea în scopul vizualizarii datelor, analizei şi emiterii de rapoarte. De asemenea, pentru construirea unei interfete grafice de operare cât mai fidelă procesului, se utilizează setul de instrumente puse la dispoziţie de Software-ul utilizat. Pentru implementarea unei structuri de supervizare pentru sistemele energetice s-a folosit ca aplicaţie SCADA, mediul Lookout. Acesta este un software care nu necesită programare sau scriere de scripturi, fiind un sistem orientat pe obiecte destinat PC-urilor cu Windows XP/NT/98/95/3.1. Prin intermediul pachetului software Lookout se pot furniza soluţii pentru aplicaţii de automatizare şi construi interfeţe grafice foarte sugestive.


28

Etapele proiectării unei aplicaţii Lookout

Proiectarea unei aplicaţii SCADA folosind mediul integrat orientat pe obiecte Lookout presupune parcurgerea succesivă a următorilor paşi [Postolache, et al. 2007]:

Planificarea resurselor necesare pentru proiectare: numărul de calculatoare, de module hardware specializate pentru achiziţie de date şi pentru transmisia datelor la distanţă, sistemele de operare folosite, reţeaua de interconectare, eventuale module de cod sau obiecte reutilizabile, numărul de utilizatori şi modul în care aceştia vor avea acces la componentele aplicaţiei, modalitatea de înregistrare a datelor, rezervarea resurselor critice.

Conectarea calculatoarelor la modulele hardware de monitorizare şi conducere. Crearea procesului sau proceselor server şi implementarea comunicaţiei directe cu modulele hardware ale aplicaţiei

Crearea procesului sau proceselor client – interfaţa necesară pentru operarea aplicaţiei SCADA: conectarea la procesul server, configurarea şi tratarea alarmelor, construirea interfeţei cu operatorul şi implementarea elementelor de reglare al accesului la aplicaţie.

Stabilirea formatului şi a condiţiilor de generare a rapoartelor despre situaţia aplicaţiei SCADA.

Încărcarea modulelor aplicaţiei în reţea, documentarea şi testarea finală a aplicaţiei SCADA.

Realizarea unei aplicaţii în Lookout implică crearea de obiecte Lookout care apoi sunt conectate între ele, nefiind necesară programarea, crearea de scripturi sau compilarea. Lookout are drept caracteristică execuţia obiectelor comandată de evenimente şi este utilizat în aplicaţii de sisteme discrete, continue etc. ce necesită performanţe ridicate şi/sau supravegherea unui număr foarte mare de puncte. Programul pune la dispoziţie clase de obiecte grupate după funcţionalitate (comutatoare, butoane, ventile, recipiente, filtre de alarmare, obiecte de prelucrare statistică, obiecte cu funcţii booleene sau expresii matematice, obiecte de reglare). De menţionat este faptul că reconfigurarea aplicaţiei este posibilă şi fără întreruperea procesului urmărit [Postolache et al., 2007]. În Capitolul 5 al acestei teze este prezentată şi implementată o aplicaţie SCADA pentru un sistem de distribuţie a agentului termic provenit din instalaţia ansamblu tambur-boiler de abur către mai mulţi consumatori industriali.

PROIECTAREA UNUI SIMULATOR PENTRU ANSAMBLUL TAMBUR-BOILER DE ABUR

29

Capitolul 3

Proiectarea, modelarea şi implementarea unui simulator pentru

ansamblul tambur-boiler de abur

În industria energetică, instalaţiile ce trebuie reglate au un grad ridicat de complexitate şi determinarea unor modele matematice capabile să descrie complet dinamica proceselor reprezintă o problemă foarte dificilă. Pentru retehnologizarea instalaţiilor funcţionale deja existente (eventual prin includerea unor structuri de conducere avansate), este necesară obţinerea unor modele matematice adecvate. Aceste modele trebuie sa fie caracterizate printr-un grad ridicat de generalitate, în sensul că trebuie să fie valabile pentru plaje largi de valori ale mărimilor de intrare, descriind comportarea procesului pe întreaga gama de funcţionare. În plus, modelul trebuie să aibă o structură suficient de complexă pentru a surprinde dinamica procesului, dar suficient de simplă pentru a facilita proiectarea convenabilă a strategiei de conducere automată. O variantă de abordare posibilă pentru obţinerea unor modele matematice este bazată pe folosirea legilor fizice ce caracterizează procesul energetic. Aceste modele matematice au un domeniu larg de valabilitate şi, în plus, toate variabilele şi toţi coeficienţii ce intervin în relaţiile matematice au semnificaţii fizice directe. Din acest motiv, spre deosebire de modelele de tip black-box, modelele obţinute pot oferi informaţii complete şi despre comportarea subsistemelor componente, în deplină concordanţă cu implementarea fizică a sistemului. Astfel, simulatoarele construite pornind de la aceste reprezentari matematice îşi găsesc utilizare atât in verificarea prin simulare a diverselor strategii de conducere, cât şi în instruirea personalului care exploatează instalaţiile industriale respective. Limitările pe care aceste modele le impun rezultă din faptul că relaţiile matematice sunt adesea scrise considerând o serie de ipoteze de lucru/simplificări. Mai mult, în situaţii practice, determinarea prin măsuratori a anumitor parametri este dificilă/costisitoare, iar aplicarea unor proceduri de estimare a valorilor acestora nu garantează obţinerea unei precizii adecvate. În funcţie de scopul urmărit si de informaţiile cunoscute despre proces, se poate adopta un anumit tip de model al procesului. Aceasta presupune stabilirea simplificărilor ce pot fi considerate în formularea matematică a legilor fizice corespunzătoare. De exemplu, se poate


30

decide neglijarea unor anumite fenomene sau aproximarea unor comportări neliniare cu unele liniare. Astfel, modelele rezultate pot fi formulate ca modele neliniare sau liniare, în formalism intrare – ieşire sau intrare – stare – ieşire, valabile pentru domeniu continuu sau domeniu discret de timp . În acest capitol sunt prezentate modele matematice pentru ansamblul boiler-turbină de abur. Primul model matematic neliniar introdus, ce ilustrează funcţionarea unui cazan de abur, este obţinut pe baza legilor fizice ce descriu repartizarea aburului si a apei în sistem. Acest model matematic stă la baza implementării unui simulator, descris în secţiunea 3.2. Simulatorul este configurat în concordanţă cu parametrii constructivi ai instalaţiei boiler de 420t/h de la S.C. CET 1 S.A., Iaşi şi validat, folosind două seturi de date reale măsurate în timp real prin intermediul unei platforme SCADA. În finalul capitolului sunt prezentate modele matematice neliniare simplificate, ce pot fi avantajos folosite din perspectiva proiectării structurilor de conducere a procesului energetic. 3.1 Descrierea procesului ansamblu boiler – tambur de abur În cadrul centralelor termoelectrice clasice, boilerele de abur sunt instalaţii folosite pentru producerea aburului necesar turbinelor de abur prin arderea unor combustibili. Se cunosc şi alte utilizări industriale sau urbane ale cazanelor de abur: încălzire, climatizare, obţinerea aburului tehnologic pentru industria textilă, chimică, petrochimică [Olah, et al., 2005]. Prin agregat de cazan de abur se înţelege un ansamblu de elemente care cuprinde: tamburul, supraîncălzitorul de abur, economizorul de apă, preîncălzitorul, conductele ridicătoare şi coborâtoare. Instalaţia de cazan de abur se referă la ansamblul cazan de abur, cu toate utilajele auxiliare. Cazanele pot funcţiona la presiune subcritică sau supracritică. În primul caz, agentul energetic care este apa, preia căldura din focar pentru:

• Ridicarea temperaturii lichidului până la temperatura de saturaţie (in economizorul şi preîncălzitorul de apă).

• Vaporizarea lichidului saturat (în vaporizator). • Supraîncălzirea vaporilor saturaţi (în supraîncălzitor).

În cel de-al doilea caz nu are loc o vaporizare propriu zisă, ci o schimbare treptată a parametrilor de stare cu creşterea continuă a temperaturii pe baza căldurii primite. În afara celor trei părţi principale, cazanul mai cuprinde, după schemele termice folosite, un supraîncălzitor intermediar şi un preîncalzitor de aer. În general suprafeţele de schimb de căldură, prin care trece agentul energetic, sunt formate dintr-un sistem de conducte legate în paralel şi conectate la un rezervor principal, numit tambur, prin intermediul unor colectoare . Pentru alimentarea cu apă şi combustibil, pentru evacuarea gazelor de ardere şi a reziduurilor solide ale arderii, cazanele sunt echipate cu pompe, alimentatoare, ventilatoare şi instalaţii de separare a cenuşii de gazele de ardere.


31

După natura circulaţiei agentului energetic, cazanele pot fi: • Cazane cu circulaţie normală, • Cazane cu circulaţie forţată.

În primul caz, circulaţia agentului energetic prin sistemul de conducte şi tambur, se realizează pe seama diferenţei de densitate între fluidele cuprinse în cele două ramuri ale circuitului. Această circulaţie a apei poartă denumirea de circulaţie naturală [Olah, et al., 2005]. Datorită fluxului de căldură primit, în conductele ridicătoare începe procesul de vaporizare, apărând un amestec apă-abur. Circulaţia apei este determinată de presiunea produsă prin diferenţa de greutate a celor două coloane de lichid. Circulaţia naturală se adoptă în general în cazul debitelor mari şi foarte mari de abur, neexistând limitări în acest sens. La cazanele cu circulaţie forţată, circulaţia apei prin sistemul de conducte se realizează prin intermediul unor pompe de circulaţie. Există cazane cu circulaţie forţată unică sau multiplă. În cazul cazanelor cu circulaţie forţată multiplă, din apa care circulă de-a lungul suprafeţelor de încălzire, numai o parte se transformă în abur, cealalată parte este recirculată. Atunci când întreaga cantitate de apă este transformată în abur, la o singură trecere, de-a lungul suprafeţelor de încălzire, se spune că avem de-a face cu cazane cu parcurgere forţată sau circulaţie unică [Olah et al., 2005]. Pentru a asigura o funcţionare corectă se cer menţinute constante raportul dintre debitul masic de apă de la intrare şi debitul masic de abur la ieşire, precum şi raportul dintre fluxul de căldură introdus şi fluxul de caldură preluat de apă. Un model fizic idealizat al unui cazan de abur, reprezentat în Fig. 3.1, este un dispozitiv de obţinere a aburului alcătuit dintr-un focar, care are rolul de a furniza energia necesară fierberii apei şi cazanul propriu-zis compus la rândul lui dintr-un tambur, conducte coborâtoare şi conducte ridicătoare. În tambur se introduce apă provenită de la sursa de alimentare după ce, în prealabil, a fost încălzită în economizor. Debitul masic de apă (We) poate fi modificat prin intermediul unui electroventil cu ajutorul comenzii u. Apa va ajunge apoi în conductele coborâtoare şi ridicătoare. Apa din conductele ridicătoare este încălzită în focar cu ajutorul unor arzătoare ce furnizează cantitatea de căldură (Qir). Aburul produs prin încălzire, fiind mai uşor decât apa, se ridică în tambur, de unde, după separarea de apă, va fi direcţionat către consumator via supraîncălzitor. Debitul masic de abur spre utilizator (Wv) poate fi modificat prin intermediul unui electroventil. Repartizarea apei şi a aburului din sistem conduce la apariţia fenomenului de comprimare şi expansiune, rezultând o comportare cu defazaj neminim a nivelului de apă în tambur [Halaucă şi Lazăr, 2009]. O primă manifestare constă în aceea că nivelul din tambur va creşte odată cu scăderea presiunii aburului, fenomen ce apare la evacuarea aburului [Lazăr et al., 2005].


32

A r z ă t o a r e

Alimentare apă Economizor

Supraîncălzitor

Combustibil

Aer Focar

Conducte ridicătoare

x, Wr

Wd Conducte coborâtoare

Wec L Tambur

Wv

We u

Qir

Fig. 3.1 Schema de principiu a unui cazan de abur

Scăderea presiunii va conduce la mărirea volumului de abur din tambur. Cele două manifestări sunt modelate matematic, utilizând ecuaţii cu derivate parţiale. Pentru tambur este foarte important ca nivelul apei să fie constant. Un nivel prea mic conduce la o răcire insuficientă a conductelor ridicătoare şi chiar la arderea acestora. Pe de altă parte, un nivel prea ridicat poate permite moleculelor de apă să ajungă la consumator, conducând astfel la avarierea acestuia. Cazanele de abur sunt procese complexe şi dificil de reglat. Obiectivul major al reglării nivelului apei în tambur este menţinerea suprafeţei de separare între apă şi abur la un nivel optim, astfel încât să se obţină un echilibru continuu masă/încălzire, prin înlocuirea aburului utilizat de consumator cu o cantitate corespunzătoare de apă. Prin urmare, comportamentul cazanului de abur poate fi descris cu ajutorul ecuaţiilor de bilanţ pentru conservarea masei şi a energiei din sistem. Producerea aburului în tambur şi reglarea nivelului apei sunt corelate cu ansamblul de conducte coborâtoare şi ridicătoare. Din acest motiv, pentru determinarea modelului matematic al tamburului s-a folosit schema bloc din Fig. 3.2. Sistemul poate fi separat în trei subsisteme, după cum urmează: subsistemul tambur, subsistemul conductelor coborâtoare şi ridicătoare şi subsistemul supraîncălzitor [Halaucă şi Lazăr, 2006; Halaucă şi Lazăr, 2009] Aşa cum este ilustrat in Fig. 3.2, ansamblul format din conducte coborâtoare şi ridicătoare admite cantitatea de căldură (Qir) emisă prin radiaţie de arzătoare, precum şi alte mărimi furnizate ca ieşiri din subsistemul tambur. Subsistemul tambur are două mărimi de intrare: debitul masic (We) şi entalpia (he) apei de alimentare, (Wv) fiind perturbaţia produsă de debitul masic de abur, iar ca mărimi de ieşire,


33

nivelul (L) al apei din tambur, presiunea aburului (Pv) şi debitul masic (Wd) al apei prin conductele coborâtoare.

Conducte ridicătoare-coborâtoare x, Wr

We, he

Tambur Wd

L Qir

hw, hwv, Tv, ρw

Supraîncălzitor hv , Pv ,ρv

Wv

Fig. 3.2 Schema bloc a ansamblului tambur, conducte coborâtoare-ridicătoare şi supraîncălzitor

Detalii referitoare la toate mărimile de proces care apar între cele două submodele vor fi oferite în cele ce urmează. 3.2 Modelarea procesului energetic ansamblul boiler – tambur de abur 3.2.1 Modelarea matematică a tamburului

Pentru determinarea modelului matematic al tamburului se porneşte de la ecuaţia de echilibru a masei de lichid:

(1 )dl e r d ecd m W x W W Wdt

= + − − − , (3.1)

unde mdl este masa de lichid din tambur, Wr – debitul masic al amestecului apă-vapori din conductele ridicătoare, x – calitatea aburului din conductele ridicătoare (definit prin relaţia 3.23), Wd – debitul masic apei în conductele coborâtoare şi Wec – debit masic de lichid ce se evaporă în tambur. Dinamica evaporării apei este descrisă de:

( )ec ec w vW K T T= − , (3.2)

unde TW este temperatura apei din tambur, Tv temperatura aburului saturat din tambur, iar Kec este constant. Pe baza masei de lichid si a densităţii apei din tambur (ρw), se poate determina volumul lichidului din tambur:

dlL

w

m Vρ

= (3.3)

şi ţinând seama de forma cilindrică a tamburului, cu două emisfere la cele două extremităţi orizontale, rezultă:


34

2 2

1

1 1( ) (3 ) ( 2 ) ( sin ),3 2

2cos ,

LV L L r L N r r

r Lr

π θ θ

θ −

= − + − −

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (3.4)

unde r este raza cilindrului, iar N este lungimea acestuia. Utilizând relaţia (3.4) se poate determina nivelul lichidului în tambur, calculând inversa funcţiei VL(L):

1( ).LL V L−= (3.5)

Debitul masic al apei prin conductele coborâtoare se obţine pe baza debitului volumetric Vd al apei in conductele coborâtoare, utilizând relaţia:

d d wW V ρ= . (3.6)

Următoarea ecuaţie diferenţială folosită pentru determinarea modelului matematic al tamburului se referă la echilibrul termic:

1 (1 )D e e r wv d w ec vd x W h x W h W h W hdt

= + − − − , (3.7)

unde:

1 1d d wx m h= , (3.8)

iar hwv este entalpia apei saturate, hw – entalpia apei din tambur care circulă prin conductele coborâtoare şi hv – entalpia aburului saturat. Debitul masic al vaporilor din tambur – ρvVv, se poate determina folosind ecuaţia de echilibru a masei de vapori:

2D ec r vd x W xW Wdt

= + − , (3.9)

unde:

2D v vx V ρ= (3.10)

şi ρv reprezintă densitatea aburului. Calculând volumul de vapori cu relaţia:

,v LV V V= − (3.11)

unde V indică volumul tamburului, se poate găsi cu uşurinţă densitatea aburului, ρv, folosind (3.10). Din Fig.3.1 şi Fig.3.2 se observă că o parte din intrările subsistemului tambur sunt ieşiri ale altor susbsisteme: - de la conductele ridicătoare-coborâtoare: x (calitatea aburului, definită în relaţia 3.23), Wr (debitul masic al amestecului apă-vapori); - de la economizor: We (debitul masic apei de alimentare), he (entalpia apei de alimentare); - de la supraîncălzitor: Wv (debitul masic de abur eliminat din tambur).


35

Modelul matematic al tamburului admite ca ieşiri nivelul lichidului L din tambur şi următoarele mărimi, folosite de subsistemele supraîncălzitor şi conducte ridicătoare-coborâtoare: - pentru ansamblul conducte ridicătoare-coborâtoare: Pv (presiunea aburului), ρw (densitatea apei), Wd (debitul masic de apă spre conductele coborâtoare); - pentru conductele ridicătoare: ρv (densitatea aburului), hw (entalpia apei), hv (entalpia aburului), hwv (entalpia apei saturate), Tv (temperatura aburului). Debitul masic de apă (Wd), entalpia apei (hw) şi densitatea aburului (ρv) se determină folosind relaţiile (3.6), (3.8) şi, respectiv, (3.10). Pentru celelalte mărimi de ieşire sunt folosite următoarele aproximări polinomiale [Ordys, 1996], [Halaucă et al., 2006]: - densitatea apei:

4 10 2

4 ( ) 1003.4 0.58372 10 1.1966 10w w w wf h h hρ − −= = − ⋅ − ⋅ , (3.12)

- temperatura apei:

3 10 25 ( ) 268.3632 0.26922 10 0.34182 10w w w wT f h h h− −= = + ⋅ + ⋅ , (3.13)

- entalpia vaporilor:

2 3

64 4 5 6

( ) 2700200 47574 117.6 526.3118

1.7344 10 60.579 5.3885 , ln( )v v v v v

v v v v v

h f n n n

n n n n

ρ

ρ

= = + + − −

− ⋅ − − =, (3.14)

- temperatura aburului:

27 ( ) 390.4075 35.5266 2.7876 , ln( )v v v v v vT f n n nρ ρ= = + + = , (3.15)

- presiunea vaporilor:

2 3 442819 217030 703.6933 23.5408 0.7483v v v v vP ρ ρ ρ ρ= + − − + , (3.16)

- entalpia apei saturate:

2 39 ( ) 483140 141310 16447 1373 , ln( )

v vwv v v v vh f n n n nρ ρ= = + + + = , (3.17)

Relaţiile (3.1) - (3.17) reprezintă modelul matematic al tamburului având ca parametri: V – volumul tamburului, r – raza cilindrului şi Kec – constantă ce influenţează dinamica procesului de evaporare. 3.2.2 Modelarea matematică a ansamblului conducte ridicătoare-coborâtoare

Conductele coborâtoare preiau din tambur debitul masic de apa Wd şi îl transmit către conductele ridicătoare. Dinamica transferului de la conductele coborâtoare către cele ridicătoare este dată de ecuaţia diferenţială:


36

( ) /r d r rd W W Wdt

τ= − , (3.18)

unde τr este o constantă de timp. Considerând volumul conductelor ridicătoare ca fiind Vr, ecuaţia de echilibru a masei este:

r r d rdV W Wdtρ = − , (3.19)

unde ρr este densitatea amestecului lichid-vapori din conductele ridicătoare. Conductele preiau căldura Qir de la arzătoare şi, în funcţie de masa conductelor Mr şi căldura specifică Crt a metalului din care sunt confecţionate conductele, rezultă căldura Qr cedată apei. Ecuaţia de echilibru a transferului termic de la arzătoare la apa din conductele ridicătoare este:

1 ( )rt ir rr rt

d T Q Qdt M C

= − , (3.20)

unde Trt este temperatura conductelor. Cu ajutorul temperaturii Trt se poate exprima acum cantitatea de căldură cedată apei din conductele ridicătoare:

3( )r r rt vQ K T T= − , (3.21)

unde Kr este o constantă. Cunoscând Qr, este posibil să se scrie ecuaţia de echilibru termic la nivelul conductelor ridicătoare:

( )r r r d w r r rdV h W h W h Qdt

ρ = − + , (3.22)

unde hr este entalpia amestecului lichid-vapori. Calitatea amestecului de lichid-vapori din conductele ridicătoare se defineşte prin relaţia:

r wv

v wv

h hxh h−

=−

. (3.23)

Legătura dintre calitatea aburului x şi densitatea amestecului lichid-vapori este dată de expresia:

1

1r

v wv

x xρρ ρ

−⎛ ⎞−

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (3.24)

Relaţiile (3.18)-(3.24) alcătuiesc modelul matematic al conductelor coborâtoare – ridicătoare, având ca mărimi de intrare Wd, Qir, hw, hv, hwv, Tv, ρwv şi ρv, ca mărimi de ieşire Wr şi x, iar ca parametri tehnologici Kr, Vr, Mr, Crt, τr..


37

3.2.3 Modelarea matematică a subsistemului supraîncălzitor Ecuaţiile matematice ce descriu comportarea subsistemului supraîncălzitor indică variaţia temperaturii aburului, presiunii aburului şi entalpiei aburului. Relaţia dintre entalpia aburului din supraîncălzitor şi densitatea aburului este dată de:

1ss

s

xhρ

= , (3.25)

unde cu hs s-a notat entalpia aburului existent în supraîncălzitor, xs1 reprezintă o variabilă stare a modelului a cărui dinamică va fi descrisă pe baza unor ecuaţiile diferenţiale, iar ρs este densitatea aburului. Temperatura aburului este dată de relaţia:

s refs ref

h hT T

cps−

= + , (3.26)

cu Tref temperatura de referinţă a aburului şi href entalpia de referinţă. Valoarea numerică a căldurii specifice a aburului, notată cu cps este dată în Tabel 3.1 (v. pag. 30). Dinamica presiunii este descrisă de:

,s s s sP R Tρ= (3.27)

cu Rs constanta gazului ideal. Entalpia specifică pentru aburul existent in supraîncălzitor poate fi determinată utilizând o aproximare polinomială:

62.2464 10 +0.0892s vh p= ⋅ . (3.28)

Debitul masic al aburului ce părăseşte tamburul este calculat cu expresia:

( )v s vv

s

p pwf

ρ−= . (3.29)

Transferul de căldură de la conducte la abur poate fi modelat astfel:

0.8 ( ),s s v st sQ k w T T= − (3.30)

unde Tst este temperatura conductelor metalice. Valorile numerice ale parametrilor utilizaţi în ecuaţiile (3.25-3.30) sunt prezentaţi în Tabelul 3.1 (v. pag. 41). Variaţia densităţii aburului este calculată utilizând ecuaţiile diferenţiale:

1 ( ),s v ss

d W Wdt Vρ = − (3.31)

unde Vs este volumul supraîncălzitorului. De asemenea, variaţia temperaturii conductelor depinde de diferenţa dintre căldura furnizată către supraîncălzitor Qgs şi căldura transferată aburului:


38

1 ( )st gs ss st

d T Q Qdt M C

= − . (3.32)

Starea subsistemului poate fi monitorizată prin ecuaţia diferenţială:

11 [ ( ) ]s s v v s s a f a

s

d x Q w h w h h h wdt V

= + − + − (3.33)

Descrierea dinamicii ansamblului tambur-boiler din cadrul unui sistem energetic, pornind de la legile fizice, ajută la găsirea unor soluţii pentru îmbunătăţirea instalaţiilor existente, sugerând astfel posibile strategii moderne pentru reglarea automată a mărimilor din proces. În contextul actual al progresului rapid în domeniul tehnicii de calcul şi al componentelor hardware au fost abordate mai multe direcţii de cercetare privind analiza dinamicii sistemului şi proiectarea unor algoritmi de conducere avansată.

3.3 Dezvoltarea unui simulator pentru ansamblul tambur - boiler de abur, pentru instalaţia SC. CET 1 S.A. din Iaşi În această secţiune, modelele matematice reprezentate prin ecuaţiile ce descriu dinamica sistemului (3.1)-(3.17) au fost implementate în mediul Matlab, utilizând blocuri din Toolbox-ul Simulink. Modelul matematic a fost configurat conform informaţiilor tehnice şi parametrilor reali privind funcţionarea tamburului, simulatorul reprezentând cazanul de abur de 420t/h din SC. CET 1 S.A., Iaşi [Halaucă et al., 2006; Halaucă şi Lazăr, 2009]. În mod asemănător modelului tamburului, modelul matematic al conductelor ridicătoare-coborâtoare descris de ecuaţiile (3.18) - (3.24) în secţiunea 3.2, este implementat în mediul Matlab/Simulink [Halaucă et al., 2006; Halaucă şi Lazăr, 2009]. Pentru a oferi o simplă utilizare a simulatorului, subsistemele tambur şi conducte ridicătoare realizate in Simulink/Matlab sunt încapsulate, conform Fig.3.3 [Halaucă et al., 2006]. Cele trei subsisteme implementate, tamburul, conductele coborâtoare-ridicătoare şi supraîncălzitorul sunt integrate, ca în Fig. 3.3, pentru a fi accesibile utilizatorilor.


39

Date din functionarea reala

Debit masic abur

Tambur

x

wr

wv

we

wd

hw

hv

hwv

Tv

ro_v

ro_w

pv

L

Supraîncalzitor

ro_v

pv

hv

wvro_sTst

Xs1

Qir

Presiune tambur

Nivel apa tambur

Marimi masurate

Debit masic apa [kg/s]Debit apa alimentare

Debit masic abur [kg/s]

Debit abur

Debit caldura [J/s]Qir

Conducte ridicatoare - coboratoare

wd

hw

hv

hwv

Tv

ro_v

ro_w

Qir

x

wr

Fig. 3.3 Schema bloc utilizată pentru simularea modelului boilerului cu tambur de abur

Mărimile de intrare considerate în Fig. 3.3 sunt: debitul masic al apei de alimentare în tambur şi debitul masic al consumului de abur, iar mărimile de ieşire: nivelul apei şi respectiv presiunea aburului în tambur. 3.4 Validarea simulatorului pe seturi reale de date preluate din funcţionarea reală a unui tambur de 420t/h Verificările experimentale sunt derulate pe simulatorul tamburului unui boiler de abur ce funcţionează la S.C. CET 1 S.A. din IAŞI, proiectat în paragrafele anterioare. Baza de date disponibilă include seturi de date preluate în timp real pentru cele 3 variabile de interes din proces şi evidenţiază variaţii ale mărimilor de intrare. Setul de date ce cumulează 3540 măsurători sunt colectate la interval de 5 secunde şi descriu funcţionarea normală procesului. Aceste seturi de date vor fi utilizate şi în Capitolul 5 (pp. 145). Simulatorul este verificat experimental, iar performanţele sunt apreciate prin comparaţii cu datele reale oferite din proces. În cele ce urmează, într-un prim pas se urmăreşte validarea modelului pe setul de date oferit din funcţionarea normală a boilerului în circuit deschis, urmând ca apoi performanţele simulatorului să fie testate în circuit închis.


40

3.4.1 Funcţionarea Simulatorului în circuit deschis În implementarea modelului dinamic neliniar al boilerului de abur s-au considerat stările iniţiale ale simulatorului, având în vedere parametrii tehnologici şi datele reale din proces, după cum urmează: - pentru modulul tamburului: 9

1 2[ ] [3817.6 4.27 10 100.39];D Dmdl x x → ⋅ - pentru modulul conductelor ridicătoare-coborâtoare: 6[ ] [1.17 10 567.9 564.11];r rt rh T W → ⋅ - pentru modulul supraîncălzitorului: 2 7

1[ ] [13.66 4.64 10 4.52 10 ].s st sT xρ → ⋅ ⋅

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45Aproximarea printr-un polinom de gradul 1

Nivel tambur[m]

Vol

um[m

3 ]

Fig. 3.4 Aproximarea datelor cu un polinom de gradul 1

Modelul matematic implementat este configurat ţinând cont de particularităţile constructive ale cazanului de abur de 420t/h din S.C. CET 1 S.A. din Iaşi. S-a ţinut cont de forma cilindrică a tamburului, prevăzut cu două emisfere la cele două extremităţi orizontale. Parametrii constructivi folosiţi ce caracterizează instalaţia reală sunt prezentaţi în Tabelul 3.1. Pentru aproximarea inversei (3.5) a fost considerată metoda celor mai mici pătrate, aplicată pe un set de date experimentale, achiziţionate pentru diverse valori ale nivelului apei în tambur, în limita parametrilor constructivi. În Fig. 3.4, sunt reprezentate cu „o” valorile măsurate ale volumului de apă în tambur, plasate in gama [0 ÷1,8] m. Limitarea gamei de variaţie a nivelului de apă în [0÷1,8] m a fost stabilită în concordanţă cu diametrul tamburului, respectiv diametrul cilindrului.


41

Tabel 3.1 Parametri tehnologici folosiţi în simulare Param Valori Reprezentare Param Valori Reprezentare

r 0,9m Raza cilindrului Cst 481,4(J/Kg K)⋅ Capacitatea calorică a conductelor Supraîncălzitorului

Qir 44,4843 10 (J/s)⋅

Debitul de căldură de la focar

fs -42615m Coeficient de frecare

he 31037,60 10 (J/kg⋅

Entalpia apei de alimentare pentru Tapa 0=240 C

Rs 3,5 Constanta de gaz ideal

Vr 329,63m Volumul conductelor ridicătoare

wa 0kg/s Debitul masic al apei din răcitorul cu injecţie

Mr 412,0029 10 (kg)⋅

Masa conductelor ridicătoare

ws 12kg/s Debitul masic al aburului ce părăseşte supraîncălzitorul

Kec 0,6124 Coeficientul de evaporare

ha 55,52 10 (J/kg)⋅ Entalpia specifică apei din răcitorul cu injecţie

Kr 444,2 Coeficient experimental de transfer al căldurii

Qgs 66,16 10 (J/s)⋅ Căldura livrată către supraîncălzitor

Crt 500(J/Kg K)⋅ Căldura specifică a metalului

ks 44,37 10 (J/(Kg K))⋅ ⋅

Coeficient experimental de transfer al căldurii

V 342,2m Volumul tamburului Tref 0374,14 C Condiţia de referinţă a temperaturii aburului

vd 30,71556m / s Debitul volumetric al apei prin conductele coborâtoare

href 32099,3 10 (J/kg)⋅ Entalpia de referinţă a aburului

Vs 38,46(m ) Volumul supraîncălzitorului

cps 33,4069 10⋅ Căldura specifică a aburului la presiune constantă

Ms 41,04 10 kg⋅ Masa conductelor supraîncălzitorului

Modelul neliniar al tamburului a fost testat prin simulare pe un set de date preluate de la cazanele 4 şi 5 de la S.C. CET 1 S.A. din Iaşi, considerând parametrii constructivi din Tabel 3.1. Mărimile de intrare preluate de la cazanele 4 si 5 considerate în Fig 3.5 sunt: debitul masic de apă de alimentare în tambur, debitul de căldură şi perturbaţia dată de debitul masic al consumului de abur. Două seturi de date au fost folosite în simulări cu scopul de a valida modelul matematic neliniar implementat in Fig. 3.3, valorile a trei variabile fiind modificate: debitul masic apei de alimentare, debitul masic al aburului viu şi debitul de căldură.


42

Fig. 3.5 ilustrează răspunsul nivelului apei în tambur la modificarea debitului masic al apei de alimentare în gama [94 98,5] /kg s÷ şi a debitului de căldură în intervalul 3 7[10 36 10 ] /J s÷ ⋅ în prezenţa perturbaţiei, concretizând debitul masic al aburului consumat. Din cele două reprezentări grafice comparative se observă că modelul neliniar implementat surprinde corect dinamica sistemului. Prezenţa treptei în debitul masic al aburului şi perturbaţiile din debitul de căldură sunt justificate de faptul că există o interdependenţă între mărimi, debitul masic al apei de alimentare variind pentru a menţine un nivel constant in regim manual de funcţionare, în caz contrar nivelul ar depăşi limita de siguranţă [Halaucă et al., 2006]. Aşa cum se observă în Fig. 3.5, simulatorul proiectat surprinde dinamica sistemului, după evoluţia regimului tranzitoriu - [0 200] ÷ secunde, dovedind o bună aproximare a procesului neliniar real. Cel de-al doilea experiment realizat, considerând alt set de date şi ilustrat în Fig. 3.6 ilustrează evoluţia nivelului de apă în tambur la variaţia în treaptă a debitului de abur cu 4 /kg s , la variaţia debitului masic al apei de alimentare în intervalul [93,02 97,47] /kg s÷ şi la variaţia

debitului de căldură în gama 7[1,11 49,7 10 ] /J s÷ ⋅ [Halaucă et al., 2006].

0 100 200 300 400 500 600 700 80090

92

94

96

Deb

it ab

ur [k

g/s]

0 100 200 300 400 500 600 700 80094

96

98

Deb

it ap

a al

imen

tare

[kg/

s]]

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

2

4 x 108

Deb

it ca

ldur

a [J

/s]

0 100 200 300 400 500 600 700 8000.22

0.24

0.26

Timp[s]

Niv

el ta

mbu

r [m

]

Fig. 3.5 Răspunsul modelului (linie punctată) şi răspunsul real (linie continuă)

la cele trei semnalele de intrare


43

Rezultatele simulării pun în evidenţă performanţe ridicate ale simulatorului în aproximarea dinamicii procesului. Prin urmare, simulatorul construit şi validat pe două seturi de date poate fi utilizat în analiza sistemului pentru a dobândi o mai bună înţelegere a funcţionalităţii acestuia şi pentru efectuarea unor experimente, imposibil de realizat pe instalaţia reală, din considerente de siguranţă şi eficienţă economică.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 90090

92

94

96

Deb

it ab

ur [k

g/s]

0 100 200 300 400 500 600 700 800 90092

94

96

98

Deb

it ap

a al

imen

tare

[kg/

s]

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9000

2

4

6 x 108

Deb

it ca

ldur

a [J

/s]

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9000.22

0.24

0.26

0.28

Timp [s]

Niv

el a

pa ta

mbu

r [m

]

Fig.3.6 Studiu comparativ între răspunsul modelului (linie punctată)

si răspunsul real (linie continuă)

De aceea, modelul poate fi folosit în diverse studii privind alegerea celei mai potrivite structuri de conducere, pentru a verifica strategii de conducere diverse, fără a afecta funcţionalitatea lanţului tehnologic SC. CET 1 S.A. Iaşi. 3.4.2 Funcţionarea Simulatorului în circuit închis Nivelul apei din tambur este un indicator al cantităţii de apă existent în interiorul boilerului. Dacă debitul masic al apei din sistem este mai mare decât debitul masic al aburului ce părăseşte tamburul, nivelul de lichid va creşte. În caz contrar, dacă debitul aburului evacuat este mai mare decât debitul de alimentare cu apă, atunci nivelul apei din tambur va scădea. Tamburul are rolul de a separa nu numai aburul de apă, ci permite şi stocarea celor două medii fluide pe durata dezechilibrului ce apare între alimentarea cu apă şi producerea


44

aburului. Sarcina subsistemului de conducere automată este de a menţine nivelul de lichid la o valoare constantă la mijlocul rezervorului. Fiind dat acest obiectiv, cea mai simplă soluţie este de a măsura nivelul din tambur şi de a ajusta ventilul apei de alimentare astfel încât suprafaţa de separare sa fie menţinută la valoarea dorită. Nivelul este afectat de variaţiile tranzitorii ale presiunii din tambur, iar modul în care nivelul variază nu este în mod necesar legat de modul în care trebuie ajustat ventilul sursei de alimentare [Lindslay, 2005]. Situaţiile neobişnuite sunt datorate comportării cu defazaj neminim cu efecte de comprimare şi expansiune. Apa în fierbere cuprinde o masă turbulentă de fluid ce conţine multe bule de abur, iar prin creşterea cantităţii de căldură necesare fierberii se intensifică şi cantitatea de abur. Volumul amestecului de apă şi abur este dictat atât de cantitatea de apă cât şi de abur existent în tambur. Odată cu creşterea ratei de fierbere, densitatea apei scade, dar din moment ce masa de abur şi apă nu s-a modificat, scăderea densităţii trebuie asociată de o creştere în volum a amestecului de apă-abur. Prin acest fenomen nivelul apei pare să crească, producându-se astfel expansiunea. Această expansiune nu este un indicator real al creşterii masei de apă din tambur, ce ar indica o deficienţă în alimentarea cu apă. De fapt, dacă scăderea presiunii ar fi o consecinţă a cererii bruşte de abur, ar fi nevoie de o suplimentare cu apă pentru a egala cantitatea de abur evacuată. Efectul de comprimare este fenomenul opus expansiunii: nivelul apei va scădea odată cu descreşterea cantităţii de abur, manifestare ce ar trebui compensată de o cantitate corespunzătoare de apă. Aceste efecte aparent nefireşti (dar explicabile prin defazajul neminim) care indică de fapt manifestări contrare ale cererii de apă apar doar dacă variaţiile de debit de abur sunt rapide. La creşterea bruscă a debitului masic de abur cu efect în scăderea presiunii, şi prin urmare creşterea nivelului, un regulator de nivel va comanda debitul masic de alimentare cu apă, numai în sensul limitării acestuia. Analog, o scădere bruscă a debitului de abur cu efect în creşterea presiunii şi micşorarea nivelului va determina regulatorul de nivel să crească debitul apei de alimentare. Ambele acţiuni sunt incorecte. În aceste situaţii inginerii automatişti au propus o varietate de soluţii, cele mai utilizate sunt cele cu două şi trei mărimi măsurate.

Tabel 3.2 Debit apa Debitul apei de alimentare [kg/s] Rff Regulatorul feedforwad RL Regulator de nivel RF Regulator pentru reglarea debitului apei de

alimentare TF Traductor debit de apă TL Traductor de nivel Tambur Modelul tamburului Conducte ridicatoare - coborâtoare

Subsistemul Conducte ridicătoare/coborâtoare


45

Fig. 3.7 este ilustrată structura de reglare clasică cu trei mărimi măsurate, în funcţie de poziţia comutatoarelor pot fi implementate structurile de reglare în cele trei combinaţii. [Lazăr et al., 2004]. Structura de reglare cu o mărime măsurată permite reglarea nivelului în tambur; cea cu două mărimi măsurate conţine şi regulatorul feedforward pentru rejecţia perturbaţiei - consum de abur. Structura completă cu trei mărimi măsurate conţine suplimentar o buclă în cascadă pentru reglarea debitului masic al apei de alimentare. În Tabelul 3.2 sunt reprezentate semnificaţiile blocurilor din Fig. 3.7 [Halaucă şi Lazăr, 2009]. Blocul VALVA din structura bloc din Fig.3.7 modelează sursa de alimentare cu apă a instalaţiei, ieşirea din acest bloc reprezentând debitul masic de alimentare cu apă care poate varia pentru modelul considerat în simulare între 0 şi 20 de Kg/s. În această secţiune sunt ilustrate câteva rezultate experimentale obţinute prin simulare, cu accent pe prezentarea structurilor de reglare realizabile într-o centrală termo-electrică. În procesele tehnologice destinate producerii, transportului, distribuţiei şi utilizării energiei termice sau electrice sunt des întâlnite situaţii în care parametrii regulatoarelor sunt fixaţi pentru anumite puncte nominale de funcţionare, pentru care problema reglării în conformitate cu restricţiile şi performanţele impuse este rezolvată [Flynn, 2003; Li, et al., 2006; Tan, et al., 2005]. În această situaţie, sistemele de reglare automată pentru unităţile boiler-turbină folosesc regulatoare clasice, de tip PID, singura grijă care trebuie avută în vedere este rejecţia perturbaţiilor ce pot apare, precum şi supervizarea si monitorizarea mărimilor din proces. În experimente, parametrii de acord ai regulatoarelor celor trei structuri de reglare au fost proiectaţi utilizând metode analitice [Farthing, 2001; Lindsley, 2005; Lazăr, et al., 2004; Mikleš, 2007]. Experimentele desfăşurate au rolul de a confirma capacitatea simulatorului de a surprinde dinamica reală a procesului. Simulările efectuate, considerând cele trei structuri clasice de reglare permit evidenţierea modului de comportare a simulatorului pentru diverse situaţii posibile in funcţionarea reală a procesului. Ca o completare la datele specifice care au fost considerate în implementarea simulatorului, se presupune că debitul de căldură este menţinut constant, iar mărimea de comandă este reprezentată de debitul masic de alimentare cu apă a boilerului. Debitul de abur la ieşirea din tambur este calculat în subsistemul supraîncălzitor, iar perturbaţia simulată este aplicată aditiv la debitul masic de abur.


46

Debit abur calculat

2 marimi masurate

2, 3 marimi masurate3 marimi masurate

Variatie debit apa alimentareNivel

Debit caldura [J/s]

Qir

Conducte ridicatoare -coboratoare

wd

hwhv

hwv

Tvro_v

ro_w

Qir

x

wr

2,1 marimi masurate

1, 3 marimi masurate

1 marime masurata

Tambur

x

wr

wv

we

wd

hw

hvhwv

Tv

ro_vro_w

pv

LSupraincalzitor

ro_v

pvhv

wvro_s

TstXs1

.

TF

RF

VALVA

TL

Rff

RLREFERINTA

Debit_apa

Fig. 3.7 Configuraţia celor 3 structuri de reglare pentru ansamblul tambur-boiler

Aşa cum era de aşteptat, simulările structurii de reglare cu o singură mărime măsurată, cu o singură reacţie negativă pe nivel eşuează atunci când debitul de abur consumat creşte foarte rapid sau debitul apei de alimentare variază [Halaucă şi Lazăr, 2009]. În Fig. 3.8 este ilustrat răspunsul nivelului din tambur, ca efect al variaţiei debitului masic de alimentare cu apă rece şi a debitului de abur [Halaucă şi Lazăr, 2009]. Dacă se doreşte creşterea presiunii aburului în tambur, o metodă constă în favorizarea creşterii nivelului de apă. Aşa cum este reprezentat în Fig. 3.8, la momentul de timp 500t = referinţa nivelului este crescută de la 0,72 m la 0,8 m , astfel încât mărimea de comandă elaborată de regulatorul de nivel determină ventilul sursei de alimentare să se deschidă, asigurând o cantitate suficientă de apă [Halaucă şi Lazăr, 2009]. Pentru a ilustra efectul de expansiune şi comprimare, au fost simulate condiţiile care determină apariţia acestor fenomene ce creează dificultăţi în exploatarea instalaţiei. Astfel, la


47

momentul de timp 600t = , debitul masic de abur este crescut, simulând o cerere bruscă de abur de către un consumator [Halaucă et al., 2006; Halaucă şi Lazăr, 2009].

200 300 400 500 600 700 800 9000

20

40

60

80

Deb

it ap

a al

imen

tare

[kg/

s]

200 300 400 500 600 700 800 900

20

30

40

50

60

Deb

it ab

ur [k

g/s]

200 300 400 500 600 700 800 9000.7

0.75

0.8

0.85

Niv

el t

ambu

r[m

]

Timp [s]

LevelReference

Fig. 3.8 Rezultatele simulării în buclă închisă cu o singură mărime măsurată

Perturbaţia introdusă prin creşterea consumului de abur peste 60kg/s are ca efect suplimentarea cu o cantitate de apă suficientă pentru a compensa consumul de abur. Creşterea cantităţii de apă nu este însă, însoţită de o creştere a nivelului în tambur, aşa cum ar fi de aşteptat. Motivul pentru care această situaţie apare, se datorează faptului că suplimentând cu apă rece tamburul, efectul este de a reduce nivelul, deoarece apa rece ajunsă în tambur va condensa o parte din bulele de abur existente, producându-se astfel fenomenul de comprimare (timp de 15 secunde). După acest efect, regulatorul de nivel din structura de reglare reuşeşte să menţină nivelul apei impus de referinţă prin reducerea debitul masic apei de alimentare. Regulatorul RL nu poate asigura o reglare promptă la acţiunea unei perturbaţii, ceea ce conduce la apariţia unor probleme în siguranţa funcţionării întregului sistem. Soluţiile adoptate în procesele reale se referă la structurile cu două sau trei mărimi măsurate [Halaucă et al., 2006; Halaucă şi Lazăr, 2009]. Structurile de reglare cu regulator feedforward şi cu trei mărimi măsurate sunt de asemenea testate prin simulare. Astfel structura de reglare automată cu două mărimi măsurate este


48

utilizată în rejecţia perturbaţiilor atunci când nu există variaţii mari în debitul de alimentare cu apă.

200 300 400 500 600 700 800 9000

10

20

30

40

50

Deb

it ap

a al

imen

tare

[kg/

s]

200 300 400 500 600 700 800 900

15

20

25

Deb

it ab

ur [k

g/s]

200 300 400 500 600 700 800 900

0.72

0.74

0.76

0.78

0.8

0.82

Niv

el ta

mbu

r [m

]

Timp[s]

NivelReferinta

Fig. 3.9 Rezultatele simulării în buclă închisă cu regulator feedforward

În Fig. 3.9 sunt ilustrate rezultatele simulării, considerând structura de reglare cu două mărimi măsurate [Halaucă şi Lazăr, 2009]. Se observă că efectul de comprimare este mai slab, nivelul apei în tambur fiind mai stabil. Singura problemă a structurii de reglare cu regulator feedforward se reduce la faptul că acesta va forţa ventilul apei de alimentare să se deschidă, în timp ce regulatorul de nivel va solicita o cantitate mai mică de apă. Debitul masic al apei de alimentare depinde atât de gradul de deschidere a servovalvei, cât şi de căderea de presiune de-a lungul orificiului acesteia. În sistemul de alimentare cu apă căderea de presiune în servovalvă poate varia în fiecare moment, producând variaţii în debitul apei. O metodă de a corecta eroarea introdusă de modificarea debitului masic de alimentare constă în introducerea celui de-al treilea element în structura de reglare şi anume, măsura debitului de apă de alimentare. Această structură poate fi implementată în mai multe moduri, însă toate variantele au la bază o idee comună şi anume, utilizarea măsurilor debitul de abur, de apă şi nivelul apei din tambur. Cunoaşterea debitului masic al apei de alimentare permite reglarea acestuia indiferent de natura erorilor aparute pe conducta de alimentare cu apă. Structura completă, cu parametrii regulatoarelor proiectaţi corespunzător este recomandată pentru acele procese pentru care există un consum considerabil de abur asociat cu un debit masic mare de alimentare cu apă.


49

În urma simulărilor efectuate, cele mai bune rezultate sunt obţinute de strategia de reglare automată completă cu trei mărimi măsurate. Figura 3.10 ilustrează performanţele structurii de reglare considerând acelaşi experiment [Halaucă şi Lazăr, 2009].

200 300 400 500 600 700 800 90010

20

30

40

50

Deb

it ap

a al

imen

tare

[kg/

s]

200 300 400 500 600 700 800 900

14

16

18

20

22

24

Deb

it ab

ur[k

g/s]

200 300 400 500 600 700 800 900

0.72

0.74

0.76

0.78

0.8

0.82

Niv

el ta

mbu

r [m

]

Timp [s]

NivelReferinta

Fig. 3.10 Rezultatele simulării în buclă închisă cu trei mărimi măsurate

Rezultatele experimentale pentru cele trei strategii de reglare au fost obţinute folosind simulatorul pentru ansamblul tambur-boiler de abur de 420t/h, de la S.C. CET 1 S.A. din Iaşi. Rezultatele prezentate subliniază avantajele folosirii acestor structuri de reglare simple, în cazul în care procesul lucrează în jurul unui punct nominal de funcţionare. Succesul acestor structuri de reglare este motivat de faptul că operatorul uman poate interveni manual pe oricare din buclele de reglare, în situaţii de urgenţă. Înlocuirea regulatoarelor clasice PID cu regulatoare moderne bazate pe strategii avansate de reglare automată, ce vor fi studiate in Capitolul 5 (regulatoare predictive, regulatoare neurale sau neuro-fuzzy etc.), ridică probleme în ceea ce priveşte implementarea, deoarece regulatoarele avansate au la bază algoritmi de complexitate ridicată, iar acordarea lor este mai dificilă. În acest sens, este necesară a analiză care să evalueze costurile implicate în implementarea unor structuri avansate de reglare automată, performanţele tehnice obţinute (precizie, energie utilizată), şi, nu în ultimul rând, fiabilitatea structurilor utilizate.


50

În concluzie, se poate aprecia că simulatorul dezvoltat constituie un instrument util în cercetare şi activitatea didactică. Modelul matematic implementat poate fi utilizat în diverse studii pentru simularea mai multor boilere de configuraţii diferite. Acest model dinamic neliniar construit pe baza legilor fizice oferă informaţii sugestive despre dinamica subsistemelor componente şi poate constitui suportul pentru analiza detaliată a proprietăţilor sistemului, respectiv pentru testarea unor strategii de conducere. Pe aceste baze pot fi propuse soluţii pentru retehnologizarea instalaţiilor funcţionale deja existente. Eventuale modele liniarizate simplificate pot fi construite simplu folosind facilitatile Matlab (vezi funcţia linmod).


51

3.6 Concluzii Acest capitol prezintă un studiu cu privire la modelele matematice ce pot fi utilizate în analiza dinamicii cazanelor de abur. Boilerele de abur reprezintă instalaţii folosite pentru producerea aburului necesar turbinelor de abur. Există însă şi alte aplicaţii industriale şi urbane ale acestor sisteme, care vizează echipamentele de încălzire sau climatizare. Pentru ansamblul tambur-boiler de abur este introdus un model matematic dinamic neliniar obţinut prin utilizarea legilor fizice ce descriu funcţionarea procesului. Construcţia modelului s-a bazat pe separarea în trei subsisteme componente: tambur, conducte ridicătoare-coborâtoare şi supraîncălzitor. Modelul obţinut a fost implementat în Matlab/Simulink, particularizat pentru un boiler existent la S.C. CET 1 S.A. Iaşi. Simulatorul construit a fost validat pe structuri în circuit închis şi deschis, folosind date achiziţionate în timp real din procesul industrial. Experimentele au ilustrat performanţe bune de aproximare, recomandând utilizarea simulatorului pentru cercetare şi activitate didactică. Simulatorul poate fi folosit pentru a dobândi o mai bună înţelegere a funcţionalităţii boilerului, efectuand experimente imposibil de realizat în mediul industrial. Mai mult, în funcţie de scopul urmărit, simulatorul poate fi folosit în diverse studii privind alegerea celei mai potrivite strategii de reglare automată. Utilizarea simulatorului nu este însă limitată doar la cazul instalaţiei particulare considerate. Pot fi avute în vedere alte configuraţii de boilere. Simulările efectuate, considerând cele trei structuri clasice de reglare, au evidenţiat comportarea sistemului pentru diverse situaţii posibile. În acest context, au fost explicate fenomenele de comprimare şi expansiune şi au fost simulate condiţiile necesare apariţiei acestor efecte nedorite. Pe baza cunoaşterii modelului procesului energetic pot fi proiectate diferite strategii avansate de conducere.

PARAMETRIZAREA MODELELOR CU UTILIZAREA OPERATORULUI DE DISCRETIZARE δ

52

Capitolul 4

Parametrizarea modelelor cu utilizarea operatorului de

discretizare δ pentru modelarea proceselor energetice

Algoritmii avansaţi de conducere sunt adesea implementaţi în domeniul discret. Aceste implementări se bazează pe utilizarea unor modele matematice ale sistemelor în domeniul discret de timp. În plus, este necesară şi discretizarea şi cuantificarea mărimilor de proces (intrări, stări, ieşiri) folosite pentru determinarea comenzilor. Datele achiziţionate în timp real ar trebui să ofere o descriere completă a mărimilor de proces. Din acest motiv, sunt preferate eşantionări la frecvenţe mari, dar acest lucru solicită recalcularea mărimilor de comandă, conform strategiei de conducere folosite, într-un interval de timp redus (o perioadă de eşantionare - sT ). Performanţele actuale ale echipamentelor de calcul ajută la îndeplinirea acestei restricţii de timp. În acest context, principala problemă pe care o ridică folosirea unei perioade mici de eşantionare este legată de dificultăţile introduse în calculul numeric de operatorul clasic de discretizare q. Este cunoscut faptul că, domeniul discret q nu are un corespondent în planul continuu, datorită faptului că pentru 0sT → , modelul discret nu tinde către echivalentul său reprezentat în domeniul continuu de timp, aşa cum ar fi de preferat. Pentru eliminarea acestui dezavantaj, în ultimele decenii, comunitatea ştiinţifică din domeniul reglării şi al procesării semnalelor şi-a îndreptat atenţia către un alt operator de discretizare, denumit operatorul δ [Middleton şi Goodwin, 1986]. Principalele beneficii pe care le poate aduce operatorul δ rezultă din faptul că, pentru 0sT → , modelul discret din domeniul δ tinde către modelul din domeniul continuu de timp. Această proprietate se regăseşte şi la nivelul polilor şi zerourilor de transmisie în formalismul intrare- ieşire, respectiv valorilor proprii din reprezentarea intrare-stare-ieşire. De asemenea, toţi coeficienţii modelului discret din domeniul δ tind către valorile numerice corespunzatoare domeniului continuu şi semnificaţia lor fizică poate fi păstrată. În plus, operatorul delta nu introduce zerouri cu partea reală strict pozitivă (cu efect de defazaj neminim) pentru sistemele care au defect de rang (diferenţa dintre numărul polilor şi numărul zerourilor) maxim 2, spre deosebire de cazul reprezentărilor în domeniul q [Naumovic, 2005; Hersh, 1997; Fan, 1993].


53

Pe lângă avantajele ilustrate la nivel conceptual, operatorul delta îşi dovedeşte utilitatea şi prin faptul că elimină anumite dezavantaje introduse în calculul numeric de operatorul clasic de discretizare. Este posibilă reducerea erorilor de rotunjire, în cazul implementărilor în aritmetica în virgulă fixă sau virgulă mobilă şi evitarea unei proaste condiţionări numerice [Li şi Gevers, 1993; Middleton şi Goodwin, 1990; Wu et al., 2000]. Metodologia a fost acceptată în mare măsură atât pentru modelarea şi identificarea proceselor [Kuznetsov et al., 1999; Gessing, 1997 Chadwick et al., 2006; Shim şi Sawan, 2006; Anderson şi Kadirkamanathan, 2007], procesarea semnalelor digitale de mare viteza [Fan şi De, 2001], în realizarea filtrelor eliptice [Reddy et al., 2001], cât şi în conducerea proceselor industriale [Lauritsen et al., 1997; Suchomski, 2003; Lennartson et al., 2004; Halaucă şi Lazăr, 2005; Kadirkamanathan, Halaucă, 2009]. Operatorul δ a fost studiat şi testat în diverse lucrări ştiinţifice [Neuman, 1993; Li şi Fan, 1997; Naumovic, 2005; Desyo şi Teodorescu, 2005], rezultatele obţinute subliniind atât avantaje numerice cât şi conceptuale în raport cu operatorul q. Numeroase studii au fost orientate în direcţia utilizării operatorului delta în implementarea regulatoarelor digitale, folosind procesoare ce suportă operaţii de calcul cu virgulă fixă. Aceste procesoare sunt mai căutate datorită costurilor reduse la performanţele de calcul ridicate. În [Sera et al, 2005] se analizează performanţele unui regulator proportional - resonant pentru un invertor de putere implementat pe un DSP de 16 biţi. În capitolul de faţă se prezintă fundamentele teoretice referitoare la discretizarea în domeniul delta şi se compară proprietăţile operatorului delta cu cele ale operatorului clasic de discretizare. Sunt discutate aspecte legate de domeniul de stabilitate BIBO şi sunt ilustrate relaţiile de legătură între reprezentările obţinute în formalismul intrare-ieşire sau intrare-stare-ieşire, în cele două domenii discrete de timp şi domeniul continuu de timp. Analiza vizează şi aspecte legate de alegerea perioadei de eşantionare, discutate din prisma teoremei lui Shannon şi din perspectiva erorilor de rotunjire produse de reprezentările numerice interne. Prin analogie cu domeniul discret q, sunt considerate definiţiile şi teoremele de caracterizare pentru controlabilitatea stării, atingibilitatea stării şi observabilitatea stării, valabile în domeniul discret delta. Este abordată şi problematica estimării parametrice în domeniul delta, pentru modele de tip ARX şi ARMAX. În final, proprietăţile operatorului discret delta sunt ilustrate prin simulare pe câteva studii de caz, cu referire şi la sisteme cu dinamică rapidă, frecvent întâlnite în domeniul industriei energetice. Printre studiile de caz analizate se remarcă modelul unui generator sincron conectat la o reţea de distribuţie de mare putere. Operatorul delta este utilizat şi în contextul unei metode de identificare pentru ansamblul boiler-tambur de abur, folosind aceleaşi date de test considerate în Capitolul 3.


54

4.1 Operatorul δ. Definiţie Operatorul diferential de incrementare delta [Goodwin et al., 1986; Middleton şi Goodwin, 1990] reprezintă o alternativă în discretizarea sistemelor dinamice. Conform lui [Hersh, 1997] există două posibilităţi de a defini operatorul delta, folosind fie operatorul diferenţial „în avans”, fie operatorul de „întârziere”. Prima variantă este definită prin relaţiile următoare:

1 ,

1 ,s

s

qT

q T

δ

δ

−=

= + (4.1)

0

(1 ) ( )

! ,!( )!

jj j n j

s j sn

nj

q T C T

jCn j n

δ δ=

= + =

=−

∑

(4.2)

unde sT este perioada de eşantionare şi q este tradiţionalul operator de discretizare în avans pentru care qu(k)=u(k+1). Operatorul δ are o proprietate valoroasă, furnizând astfel semnalul y diferenţiabil:

0

lims

k kT

dy ydt

δ→

= , (4.3)

sau

1k kk

s

y yyT

δ + −= , (4.4)

pentru orice secvenţă ky , 1, 2,...k = .

Aplicând transformata Ζ ecuaţiei (4.4) obţinem: 1( ) ( )s

zy z y zT

δ −= [Bakhtiar şi Hara, 2006].

Deşi acest operator este mai dificil de implementat, el oferă avantaje în contextul metodelor numerice de calcul [Cheng şi Chiu, 2007], aşa cum va fi detaliat în secţiunea 4.4. 4.1.1 Transformata discretă Delta Comparând expresiile funcţiilor din domeniul Laplace cu cele din domeniul Z, se observă că transformata Laplace şi, respectiv transformata Z, nu dovedesc o echivalenţă structurală. Intuitiv, este de aşteptat ca transformata Z să se apropie de transformata Laplace pe măsură ce frecvenţa de eşantionare creşte. Spre deosebire de transformata Z, transformata Delta reuneşte domeniul discret cu domeniul continuu, în contextul creşterii frecvenţei de eşantionare.


55

Pentru demonstrarea eficienţei transformatei Delta se consideră secvenţa , 0,1,

sk kTy y k= = … , ca urmare a eşantionării semnalului continuu ( )y t cu perioada de

eşantionare sT . Transformata Laplace a unui semnal ( )y t poate fi descrisă prin:

0

[ ( )] ( )stL y t e y t dt−

∞ −= ∫ . (4.5)

Versiunea discretă a transformatei Laplace poate fi obţinută utilizând suma Riemann:

0

( ) ( ),kstk

k

Y s e y tδ

∞−

=

= ∑

sau:

0

( ) [ ( )] ( ),kk

k

Y z Z y t z y t∞

−

=

= = ∑ (4.6)

unde k st kT= . Se introduce transformarea izomorfă a argumentului s în argumentul γ prin relaţiile:

1

1.

s

s

sTs

sT

s

e T

eT

γ

γ

= +

−=

(4.7)

În termenii argumentului γ , se defineşte transformata Delta discretă, şi respectiv transformata inversă Delta:

0

[ ( )] ( ) (1 ) ( ) ,ks s s s

k

D y kT Y T y kT Tδ γ γ∞

−

=

= = +∑ (4.8)

1 11[ ( )] ( ) (1 ) ( )2

ks sD Y y kT T Y d

jδ δγ γ γ γπ

− −= = +∫ . (4.9)

Transformata discretă Delta poate fi raportată la transformata Z, ţinând cont de relaţia de legătură dintre ele:

1( ) ( ) |ss q z TY T Y zδ γγ = += , (4.10)

unde ( ) [ ( )]q sY z Z y kT= . În mod analog,

11( ) ( ) |

s

q zs T

Y z YT δ γ

γ −=

= . (4.11)

Relaţiile (4.10) şi (4.11) ilustrează o transformare simplă liniară între cei doi operatori, q respectiv δ. Aceste transformări ne permit alcătuirea tabelelor cu transformate Delta discrete din transformatele Z asociate [Sinha şi Rao, 2002]. Deşi există o simplă legătură între cele două domenii discrete, reprezentările au semnificaţii distincte, aşa cum se va arăta în paragraful 4.4.3.


56

O proprietate importantă a transformatei Delta constă în convergenţa acesteia către transformata Laplace asociată, pentru 0sT → :

0

lim ( ) ( ) |s

sTY Y sδ γγ =→

= . (4.12)

Prin urmare, transformata Delta permite obţinerea unei tranziţii mai netede din domeniul discret în domeniul continuu de timp, odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare. Din punct de vedere istoric, analiza sistemelor discrete de timp a început cu utilizarea transformatei Delta, dar mai târziu atenţia s-a îndreptat către transformata Z. Mai recent, s-a constatat o revenire la operatorul discret δ, motivată de disponibilitatea din ce în ce mai mare a calculatoarelor rapide, care permit alegerea unei perioade mici de eşantionare. În astfel de cazuri, transformata Delta evidenţiază capacitatea acesteia de a oferi avantaje numerice şi conceptuale superioare operatorului clasic de discretizare. 4.1.2 Domeniul de stabilitate externă (BIBO). Transformarea planului s în domeniul discret δ Stabilitatea BIBO a sistemelor este analizată în funcţie de repartizarea polilor sistemului în planul complex. În domeniul q, stabilitatea BIBO a sistemelor dinamice este asigurată dacă şi numai dacă polii obţinuţi pe modelul discret se află în interiorul cercului unitate (de rază 1 şi centru (0,0)).

In planul discret δ, limita de stabilitate este un cerc de raza 1

sT şi centru 1 ,0

sT⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Astfel,

pentru 0sT → , domeniul de stabilitate BIBO converge către semiplanul stâng complex, care reprezintă şi domeniul de stabilitate BIBO, asociat modelului obţinut în domeniul continuu de timp (Fig. 4.1 c). Folosirea perioadei de eşantionare în parametrizarea modelului discret δ aduce anumite avantaje, astfel raza cercului unitate din planul q devine invers proporţională cu perioada de eşantionare în domeniul δ discret. De asemenea, structura modelului δ discret „copiază” structura indicată de ecuaţia diferenţială în domeniul continuu de timp, iar parametrii modelului în δ tind către valorile parametrilor modelului continuu, când 0sT → .


57

0 Re

ImDomeniul s

0 Re

Im Domeniul γ

0 Re

ImDomeniul z

-1

1ssT

s

eT

γ −=

1

sT−

Fig. 4.1 Regiunea de stabilitate pentru cele trei reprezentări a.Semiplanul stâng în domeniul s b. Cercul unitar de stabilitate în domeniul q c. Domeniul δ discret

de stabilitate Cu ajutorul transformatei Delta este posibilă transformarea polilor din domeniul s în domeniul discret δ. Se vor considera trei cazuri concludente:

Pe axa reală se obţine 0 0s γ= ⇒ = şi s

1-T

s γ→ −∞ ⇒ → de-a lungul axei reale. Prin

urmare, polii din domeniul γ situaţi între origine şi punctul 1

sTγ = − sunt asociaţi cu o

comportare suficient amortizată a răspunsului sistemului, odată cu apropierea acestora de origine, răspunsul devenind mai rapid, în mod analog cazului în domeniul continuu de timp (Fig. 4.2). Mai mult, această conversie subliniază faptul că există o limită finită care oferă informaţii cu privire la viteza de răspuns a unui sistem discretizat.

0 Re

ImDomeniul s

0 Re

ImDomeniul γ

1ssT

s

eT

γ −=

1

sT−

Fig. 4.2 Transformarea planului s în planul discret γ

În cel de-al doilea caz se presupune un pol în domeniul continuu de forma: s jα β= − + ,

0α ≥ . Substituind în (4.7), rezultă:


58

( )1 (cos sin )s sj T Ts s sT e e T j Tα β αγ β β− + −+ = = + . (4.13)

Presupunând că γ este număr complex cu expresia: x jyγ = + , se obţine:

cos (1 )

sin ( )

s

s

Ts s

Ts s

T e T x

T e T y

α

α

β

β

= +

= (4.14)

2 22

1 1( )( )sT

s s

x yT T eα⇒ + + = . (4.15)

În concluzie, dreapta s jα β= − + , cu 0α ≥ , devine conturul unui cerc de centru 1 ,0sT

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠, şi

rază 1sT

sT eα în domeniul δ, ilustrat în Fig. 4.3.

0 Re

ImDomeniul s

0 Re

ImDomeniul γ 1ssT

s

eT

γ −=

1

sT−

1sT

sT eα⋅

α−

Fig. 4.3 Transformarea planului s în planul discret γ

Acest rezultat reliefează faptul că polii situaţi aproape de axa reală, în domeniul δ corespunde

unui răspuns slab amortizat, dacă polii sunt situaţi la stânga punctului 1 ,0sT

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ [Sinha şi

Rao, 2002]. Poziţia polilor din planul s, cu un factor de amortizare constant, este definită de:

cos sins jω φ ω φ= − + , (4.16)

factorul de amortizare fiind definit de cosξ φ= . Polii ce respectă ecuaţia (4.16) devin poli în domeniul discret δ, definiţi de:

cos sin 1s sT jT

s

e eT

ω φ ω φ

γ− −

= . (4.17)

Semidreapta de ecuaţie y x= − , 0x ≥ se transpune în domeniul δ în curba reprezentată în Fig. 4.4.


59

0 Re

ImDomeniul s

0 Re

Im

Domeniul γ

-1 Τs

1ssT

s

eT

γ −=

Fig. 4.4 Transformarea planului s în planul δ

Cea de-a treia situaţie propusă corespunde valorii 0α = . Înlocuind 0α = în (4.14), frontiera

domeniului de stabilitate din s devine cercul de rază 1

sT şi centru 1 ,0

sT⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

4.2 Determinarea modelelor δ discrete Operatorul clasic de discretizare q este cel mai utilizat operator pentru determinarea modelelor discrete de timp. Totuşi, în unele aplicaţii, operatorul clasic de discretizare nu oferă cea mai bună soluţie pentru problema de discretizare. 4.2.1 Alegerea perioadei de eşantionare Într-o formulare realistă, implementarea soluţiilor de reglare automată moderne implică găsirea unei perioade de eşantionare potrivită. Teorema de eşantionare Nyquist-Shannon constituie un rezultat fundamental în domeniul teoriei informaţionale, în particular pentru procesarea semnalelor şi telecomunicaţii. Această teoremă rămâne valabilă şi în domeniul discret δ [Cheng şi Chiu, 2007]. În teoremă se afirmă că un semnal analogic care a fost eşantionat poate fi reconstituit din eşantioanele obţinute, dacă fecvenţa de eşantionare este mai mare decât max2 f , unde maxf este cea mai mare frecvenţă a semnalului analogic original. Cu alte cuvinte, perioada de eşantionare trebuie aleasă mai mare decât jumătate din cea mai mică constantă de timp a procesului. Cele mai recente exprimări ale acestei teoreme exclud condiţia de egalitate, deoarece eşantioanele unui semnal ce conţine o componentă de frecvenţă

maxf [Hertz] situate la max1/(2 )f [sec] nu permit reconstituirea completă a semnalului original. Dacă maxf este cunoscută, teorema lui Shannon permite determinarea frecvenţei minime de eşantionare ce asigură reconstituirea perfectă a semnalului, marginea inferioară a frecvenţei de eşantionare, max2 f , fiind frecvenţa Nyquist.


60

Aplicarea teoremei lui Shannon trebuie înţeleasă ca un ghid pentru a determina perioada de eşantionare de aşa manieră încât semnalul discretizat să conţină toate informaţiile semnificative din semnalul continuu [Păstrăvanu, 2002]. Câteva îndrumări generale pentru alegerea perioadei de eşantionare sunt discutate în [Astrom şi Wittenmark, 1990]. Regula propusă constă în alegerea frecvenţei de eşantionare de 4-10 ori lărgimea de bandă dorită a sistemului de tip filtru trece-jos. O frecvenţă prea redusă determină pierderea de informaţii care afectează performanţele de reglare. Pe de altă parte, o frecvenţă mare de eşantionare generează probleme numerice, în mod special în situaţia discretizării discrete cu tradiţionalul operator de discretizare. Middleton şi Goodwin propun ca frecvenţa de eşantionare să fie aleasă aproximativ de 10 ori lărgimea de bandă a sistemului în circuit închis, exceptând cazul în care viteza de calcul limitează frecvenţa de eşantionare. În 1990, aceeaşi autori aduc argumente conform cărora pentru sistemele de reglare moderne frecvenţa ar trebui aleasă de 10-50 ori lărgimea de bandă a sistemului în circuit închis presupus de tip filtru trece-jos. [Astrom şi Wittenmark, 1994] propun următoarea regulă: dacă polii sistemului sunt reali, perioada de eşantionare poate fi aleasă direct proporţională cu (2 4) fT÷ , fT fiind constanta de timp a procesului. Pentru cazul polilor complecşi cu factorul de amortizare în jurul valorii 0,7 , perioada de eşantionare poate fi aleasă (0,5 1) /s nT ω= ÷ . În general, alegerea perioadei de eşantionare se face în funcţie de tipul procesului, de constantele de timp ale acestuia şi nu, în ultimul rând, de performanţele impuse prin proiectare. 4.2.2 Efectele introduse de perioade mici de eşantionare O problemă ce trebuie rezolvată se referă la costurile necesare achiziţiei de date. În sistemele de reglare automată digitale, performanţele impuse echipamentelor electronice cresc odată cu creşterea ratei de eşantionare. Diversitatea sistemelor cu microcontroller atrage după sine scăderea preţurilor acestor echipamente, astfel încât, sub aspect economic, aceste implementări devin tot mai attractive.

4.2.2.1 Erorile de rotunjire În contextul utilizării operatorului clasic de discretizare, pentru eşantionarea cu perioade mici pot apărea probleme legate de proasta condiţionare numerică. Reprezentările în domeniul δ sunt obţinute folosind o schimbare de variabilă bazată pe diferenţa 1q − , ceea ce diminuează efectele negative produse de rotunjiri, în contextul implementărilor numerice [Middleton, 1986]. Pentru modelele implementate în domeniul q discret, erorile de rotunjire sunt mai mari în situaţia în care polii sunt situaţi în apropierea “frontierei” cercului unitate, situaţie


61

corespunzătoare unei eşantionări cu perioadă mică de eşantionare [Kamen şi Bauer, 2000]. Aceste erori de rotunjire sunt generate în contextul în care, pentru orice implementare numerică, valabile cu un număr infinit de zecimale se aproximează prin numere cu un număr finit de zecimale.

4.2.2.2 Reprezentarea coeficienţilor În general, un număr N se poate reprezenta în virgulă mobilă în forma EN M B±= ± ⋅ , unde M reprezintă mantisa - un număr subunitar cu semn, păstrat, de obicei în formă normalizată (prima zecimală nenulă), B este baza de numeraţie (uzual 2), iar E este exponentul. Pentru

2B = , această reprezentare poate fi memorată într-un şir binar cu trei câmpuri: semn, mantisă şi exponent, aşa cum este ilustrat în Fig. 4.5.

Mantisa ExponentS Fig. 4.5 Reprezentarea numerelor

Câmpul rezervat exponentului nu conţine exponentul real, ci o valoare numită caracteristică, care se obţine prin adunarea unui deplasament la exponent, astfel încât să rezulte întotdeauna o valoare pozitivă. Creşterea numărului de biţi pentru reprezentarea mantisei va conduce la creşterea preciziei numerelor, iar creşterea numărului de biţi ai exponentului va conduce la creşterea domeniului numerelor care pot fi reprezentate. Singura cale de a creşte atât precizia, cât şi domeniul numerelor, este aceea de a utiliza un număr mai mare de biţi pentru reprezentare. Middleton şi Goodwin au demonstrat faptul că pentru o reprezentare cu o acurateţe între 1 % şi 10% a coeficienţilor unei funcţii de transfer în domeniul clasic q, este nevoie de un număr mai mare de biţi pentru mantisă decât în cazul utilizării operatorului δ de discretizare. În cadrul aceluiaşi studiu [Middleton şi Goodwin, 1986], sunt ilustrate comparativ răspunsul unui sistem de reglare automată şi comanda elaborată de regulator, în cele două domenii de discretizare, în contextul unei reprezentări interne pe 6 biţi, în aritmetica virgulei mobile. Răspunsurile obţinute sunt raportate la rezultatele înregistrate pentru o reprezentare internă pe un număr mai mare de biţi. Performanţe bune în evoluţia comenzii regulatorului sunt raportate în cazul utilizării operatorului δ pentru reprezentarea pe 6 biţi, în timp ce, pentru aceeaşi reprezentare, rezultatele obţinute cu operatorul discret q sunt vizibil distorsionate. Transformata Delta conferă proprietăţi numerice superioare în implementarea regulatoarelor şi în procesarea semnalelor. La implementarea sistemelor de reglare utilizând dispozitive care lucrează pe un număr finit de biţi este de interes atât determinarea numărului de biţi necesar cât şi stabilirea frecvenţei de eşantionare pentru a îndeplini anumite performanţe impuse prin tema de proiectare. [Cheng şi Chiu, 2007] creionează o relaţie de legătură între frecvenţa de eşantionare şi lungimea cuvântului de reprezentare. Studiile efectuate au stabilit că frecvenţa


62

de eşantionare este restricţionată de rezoluţia echipamentului HW, iar acurateţea numerică a regulatorului digital este, de asemenea, limitată de reprezentarea internă (FWL). Acest observaţii sunt relevante în special pentru implementarea unor structuri de conducere pe sisteme încorporate, unde reprezentarea poate fi restricţionată la un număr finit de biţi. Aşa cum s-a demonstrat în paragraful 4.3, pe măsură ce frecvenţa de eşantionare devine mare, domeniul de stabilitate BIBO se extinde la un cerc de rază invers proporţională cu perioada de eşantionare. Pentru o anumită reprezentare a numerelor prestabilită, numărul valorilor complexe ce pot fi reprezentate este fix, aceste valori fiind amplasate pe „o reţea de locaţii” care rezultă din reprezentarea numerică folosită în baza de numeraţie. Aceste „locaţii” fixe introduc de fapt erori de reprezentare, inclusiv în cazul polilor obţinuţi în domeniul discret delta. Prin urmare, în contextul unei precizii impuse (număr cifre mantisă), o perioada foarte mică de eşantionare nu va putea asigura o acurateţe bună în aproximare. Pentru a îmbunătăţi erorile de reprezentare se poate creşte precizia.

4.2.2.3 Relaţii de legătură între perioada de eşantionare şi reprezentarea numerică internă în domeniul δ [Cheng şi Chiu, 2007] propun determinarea relaţiei dintre frecvenţa de eşantionare cunoscută şi numărul de biţi necesar implementării unui regulator digital utilizând operatorul δ, cu scopul de a estima reprezentarea internă necesară pentru garantarea stabilităţii BIBO a sistemului automat. Acest lucru este important pentru acele sisteme ai căror poli se află în apropierea conturului cercului unitate, pentru care o cuantificare necorespunzătoare poate influenţa în mod negativ stabilitatea BIBO. Astfel, şirul binar cu TB biţi, folosit pentru reprezentarea unui număr conţine atât componenta întreagă, cât şi mantisa:

1T I MB B B= + + , (4.18)

unde IB reprezintă numărul de biţi utilizaţi pentru reprezentarea părţii întregi şi MB - numărul de biţi necesari mantisei. Bitul 1 adiţional semnifică bitul de semn. Analiza este realizată considerând un sistem de ordinul 2 atât în formă “directă” cât şi în formă “cuplată”:


63

01

0

0

0

, forma directă,

( )( )

, forma cuplată,( )

mi

ii

nn i

ii

m

ii

n

ii

GK z

p

δ

β δ

δ α δδ

δ

δ

=−

=

=

=

⎧⎪⎪⎪ +⎪= ⎨⎪ ∏ +⎪⎪

∏ +⎪⎩

∑

∑ (4.19)

unde funcţia de transfer admite un numitor de forma: 21 0( )D δ δ α δ α= + + .

În reprezentarea cuantificată, numitorul poate fi rescris sub forma:

21 0ˆ ˆ( )D δ δ α δ α= + + , (4.20)

unde 1α şi 0α sunt valorile cuantificate care sunt strict localizate pe „reţeaua finită de puncte” din domeniul δ. Pentru implementarea pe TB biţi, coeficienţii polinomului (4.20) ce admit doar valori posibile în intervalul [ 1 1]− pot fi reprezentaţi astfel [Ralev şi Bauer, 2000]:

1

0

ˆ 2 , pentru ˆ 2 , pentru .

m

m

B

B

m m

n n

α

α

−

−

= ⋅ ∈

= ⋅ ∈

ZZ

(4.21)

Rădăcinile polinomului (4.20), (având coeficienţii (4.21)), plasate în „reţeaua finită de puncte” în intervalul [ 1 1]− , îndeplinesc condiţia [Cheng şi Chiu, 2007]:

221,2

1 1ˆ 2 2 4 22 2

m M MB B Bm m nδ − − −= − ⋅ ± ⋅ − ⋅ ⋅ . (4.22)

Dacă polii sunt complex conjugaţi, atunci partea reală încorporează prima componentă a sumei (4.22), iar partea imaginară este reprezentată de cel de-al doilea termen al sumei. În Fig 4.6 a), b) este reprezentat domeniul de stabilitate BIBO dat de un cerc de rază egală în modul cu sf ( 5sf Hz= , 0.2secsT = ) şi centru ( )5, 0j− şi punctele localizate pe „reţeaua de

puncte” în domeniul δ, pentru două cazuri a) reprezentare de 2 biţi a părţii întregi şi 4 biţi pentru mantisă (2+4+1) şi cazul b) cu (2+2+1) biţi. Liniile punctate ilustrează frecvenţa naturală, factorul de amortizare şi perioada de eşantionare pentru un sistem de ordinul 2 în formă “directă”. În Fig 4.6 a) se observă că valorile polilor sunt distribuite într-un mod împrăştiat în regiunea de frecvenţe joase.


64

Fig. 4.6 Amplasarea poli/zerouri realizabilă şi frontiera de stabilitate BIBO pentru 5sf Hz=

a) Reprezentare pe (2+4+1) biţi [Cheng şi Chiu, 2007]

Fig. 4.6 Amplasarea poli/zerouri posibilă şi frontiera de stabilitate BIBO pentru 5sf Hz=

b) Reprezentare pe (2+2+1) biţi [Cheng şi Chiu, 2007] Utilizând aceste rezultate se poate determina valoarea maximă a frecvenţei de eşantionare pentru un filtru de ordinul 2. Pentru a delimita frecvenţa maximă de eşantionare în zona de frecvenţe joase, aceasta se corelează cu polii filtrului de ordin 2. Astfel, perioada de eşantionare intervine în relaţia de calcul a unghiului θ :


65

221 | 2 4 2 || Im( ) |tan( )| Re( ) | 2

M M

m

B B

sB

m nT

mδθδ

− −

−

− ⋅ − ⋅ ⋅= =

⋅. (4.23)

Pentru o anumită implementare pe TB biţi se poate determina valoarea minimă a unghiului θ pentru care polii şi zerourile complexe nu sunt realizabili, adică:

22

1min ,

1 | 2 4 2 |min

2

M M

m

B B

sBm n

m nTarctg

mθ

− −

−−

⎧ ⎫⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ ⋅⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= ⎨ ⎬⋅⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

. (4.24)

Dacă se cunosc polii/zerourile complex conjugate cu cea mai mică frecvenţă naturală ω , pentru o reprezentare realistă pe TB biţi este necesar ca unghiul min sTθ ω< ⋅ , permiţând astfel reprezentarea caracteristicilor de frecvenţă ω . În acest sens, minθ corespunde cu cele mai mici frecvenţe realizabile în contextul unei rezoluţii precizate. Perioada de eşantionare îndeplineşte

condiţia minsT θ

ω≥ .

În (4.24) se observă că min 0θ → odată cu descreşterea perioadei de eşantionare:

1min0 ,

1 | Im( ) |lim min 0

| Re( ) |s

s

T m n

Tarctgδ

θδ

−

→

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

. (4.25)

Prin urmare, legătura între rezoluţie şi frecvenţa de eşantionare devine mai puţin semnificativă în contextul unei frecvenţe mari de eşantionare. Fig. 4.6 b) ilustrează locaţia polilor şi zerourilor în planul complex pentru o reprezentare pe (2+2+1) biţi a formei “cuplate” a unui filtru de ordin 2. Se observă că valorile polilor şi zerourilor sunt distribuite uniform în regiunea apropiată de axa reală. 4.2.3 Reprezentarea prin modele intrare-stare-ieşire Modelele deterministe nu pot oferi o descriere completă a sistemelor reale. Procesele sunt afectate de perturbaţii, considerate de cele mai multe ori, de tip stochastic. În cele ce urmează, se va trata cazul modelelor matematice discrete pentru procese stochastice. Se consideră modelul reprezentat în domeniul timpului pentru un sistem dinamic stochastic liniar, în formalismul intrare - stare - ieşire:


66

( )

.c c

c c

x t t tt t t

δ

δ

= A x( ) + B u( ) + vy( ) = C x( ) + D u( ) + e

(4.26)

Sistemul dinamic liniar analizat în acest studiu este reprezentat printr-un model intrare – stare - ieşire multivariabil cu m intrări, p ieşiri şi n stări, vectorul intrărilor m∈u R , vectorul ieşirilor p∈y R , iar vectorul stărilor este dat de n∈x R . Matricele , ,c c cA B C şi cD corespund modelului intrare - stare -ieşire din domeniul continuu de timp. Modelul intrare - stare ieşire în domeniul q, poate fi exprimat:

.

q q

q q

q k k k k

k k k k

x( ) = A x( ) + B u( ) + v( )

y( ) = C x( ) + D u( ) + e( ) (4.27)

Legătura dintre domeniul continuu şi cel discret q este sugerată de matricele (4.28). Prin discretizarea unui model din domeniul continuu se va obţine un model care oferă informaţii exacte sau aproximative despre evoluţia acelui sistem, urmărită discret în timp, cu o perioadă

sT .

.

c s

s

Tq

T-1q c c

q c

q c

e

e c

A

A

A =

B = A ( - I)B

C = C

D = D

(4.28)

Modelul intrare – stare - ieşire în domeniul δ , utilizat în acest studiu are forma:

.

k k kk k k

δ δ δ

δ δ δ

δ x( ) = A x( ) + B u( ) + vy( ) = C x( ) + D u( ) + e

(4.29)

unde , ,δ δ δA B C şi δD corespund modelului intrare - stare -ieşire din domeniul discret δ .

δv şi δe reprezintă procese aleatoare independente ergodice şi staţionare, având valori medii nule. Acestea sunt surse de zgomot considerate aleatoare, discrete în timp, independente, de tip zgomot alb. Introducând în (4.29), relaţia (4.1) ce defineşte operatorul δ, obţinem:

.

s s s

s s s

q k k T k T k T kT k T k T k

δ δ δ

δ δ δ

x( ) = x( ) + A x( ) + B u( ) + v ( ) = (I + A )x( ) + B u( ) + v ( )

(4.30)

Pentru a obţine o echivalenţă între cele două modele discrete se consideră satisfăcută relaţia:

1( ) ( )

( ) ( ).s

k kT

k k

δ

δ

=

=

v v

e e (4.31)

Spre deosebire de cazul determinist se pot pune în evidenţă varianţa pentru δv , respectiv pentru δe , care pot fi determinate în domeniul discret δ prin aplicarea operatorului de mediere, astfel:


67

2

1( ) ( )

( ) ( ) .

Tq

s

Tq

k kT

k k

δ δ δ

δ δ δ

= =

= =

Q v v Q

R e e R

E

E

(4.32)

Legătura între cele două modele discrete este evidenţiată prin relaţiile (4.29) şi (4.30), iar densităţile spectrale obţinute prin împărţirea/înmulţirea matricelor de varianţă la perioada de eşantionare sunt exprimate prin:

1

.

s qs

s s q

TT

T T

δ δ

δ δ

ϒ =

= =

Q Q

Γ R R

= (4.33)

Relaţia dintre matricele folosite în modelele intrare stare ieşire corespunzătoare celor două domenii discrete este evidentă:

.

q

q

q

q

T

T

δ

δ

δ

δ

s

s

A - IA =

BB =

C = C

D = D

(4.34)

Relaţiile (4.34) nu pot fi folosite direct în implementarea numerică, datorită faptului că pot genera o proastă condiţionare numerică. Middleton şi Goodwin propun următoarele relaţii de calcul pentru domeniul delta:

.

sT

cs

c

q c

q c

eTδ

δ

δ

δ

cA - IA = = ΩA

B = ΩBC = C = C

D = D = D

(4.35)

unde Ω este calculată din matricea de tranziţie şi aproximată prin seria Taylor:

2 2

1

0

1 1 ( ) .......2! 3!

ss

TT c s c s

cs s

T Te d eT T

τ τ −= = − = + + +∫ c cA A A AΩ I A I , (4.36)

dacă matricea de evoluţie cA este nesingulară. Se poate observa că pentru frecvenţe mari de eşantionare (în raport cu lărgimea de bandă a sistemului) termenul 0c sT →A astfel încât Ω I . In acest fel, matricele (4.35) în domeniul discret δ vor avea valori apropiate de matricele din domeniul continuu, spre deosebire de matricele modelului q discret. Legătura dintre domeniul discret δ şi cel continuu este evidentă, pentru 0sT → :


68

0

0

lim

lim .s

s

cT

cT

δ

δ

→

→

=

=

A A

B B (4.37)

În cazul limită 0sT → , matricele obţinute prin intermediul operatorului discret q nu-şi regăsesc însă corespondentul continuu:

0

0

lim

lim 0.s

s

qT

qT

I→

→

=

=

A

B (4.38)

Prin urmare, dacă evaluarea matricei Ω se realizează prin intermediul unui algoritm numeric, din punct de vedere al reprezentării numerelor în virgulă mobilă, operatorul δ permite reţinerea informaţiilor care in domeniul discret q sunt pierdute. Considerente legate de reprezentare - efectul de grupare Matricea de tranziţie reprezentată în domeniu clasic de discretizare (4.29) tinde către matricea unitate pentru cazul limită, fapt demonstrat de (4.38). Aceste rezultate justifică predispoziţia polilor şi zerourilor funcţiilor discrete de a tinde către punctul ( )1, 0j , în cazul limită. În cele

ce urmează, câteva detalii sunt discutate pentru a stabili eficienţa operatorului δ discret. Matricea de evoluţie discretă a unui sistem este calculată prin seria Taylor, astfel:

2 2

.......1! 2!

sT c s c sq

T Te= = + + +cA A AA I (4.39)

Pentru reprezentarea numerică în aritmetica virgulei mobile, partea fracţionară va fi neglijată pentru o perioadă foarte mică de eşantionare. Prin contrast, în domeniul δ discret, valorile proprii tind către valorile proprii în domeniul continuu.

2 2

( .......)2! 3!c s c s

cT T

δ = + + +A AA A I . (4.40)

Se observă în (4.40), odată cu scăderea perioadei de eşantionare, dinamica sistemului în domeniul δ va coincide cu dinamica sistemului în reprezentarea continuă. În [Middleton şi Goodwin, 1986] este demonstrată capacitatea operatorului δ de a reprezenta modele cu o frecvenţă de eşantionare de [5-10] ori mai mare decât acele modele ce pot fi reprezentabile în domeniul q, pentru aceeaşi eroare de reprezentare în contextul unei anumite reprezentări interne.

4.2.4 Reprezentarea prin modele intrare-ieşire Descrierea unui sistem prin matrice de transfer este realizată prin conversia:


69

1( ) ( )k

k

yGu δ δ δ δδ δ −= = − +nC I A B D . (4.41)

Din contextul prezentat mai sus deducem ( ) ( )G G sδ , pentru frecvenţe de eşantionare suficient de mari. Din punct de vedere empiric, în cazul sistemelor de tip filtru trece jos, frecvenţe mari de eşantionare înseamnă frecvenţe de 10 ori mai mari decât lărgimea de bandă a sistemului [Sinha şi Rao, 2002]. Se consideră un sistem reprezentat în domeniul continuu printr-o funcţie de transfer strict proprie:

1

1 01

1 0

( )( )( )

m mm m

n nn

b s b s bB sG sA s s a s a

−−

−−

+ += =

+ +……

. (4.42)

Funcţia de transfer discretă obţinută cu un extrapolator de ordin 0, pentru perioada de eşantionare sT este:

( )( )( )

BGA

δ

δ

δδδ

= . (4.43)

De obicei, procesul de discretizare are ca efect obţinerea polinomului zerourilor de transmisie ( )Bδ δ de grad 1n − şi a polinomului polilor, având gradul n [Lauritsen, 1997]. A fost

demonstrat în [Goodwin et al., 1986] faptul că pentru 0sT → , coeficienţii polinoamelor funcţiilor de transfer din domeniul δ tind către valorile corespondente din domeniul continuu:

,

,

,

, 1 ,, 0 ,

0, 1, , n-1.

i i

i i

i

a a i nb b i mb i m

δ

δ

δ

→ = …

→ = …

→ = + … (4.44)

(4.44) subliniază legătura între cele două domenii. Astfel, pentru frecvenţe mari de eşantionare, parametrii modelului continuu pot fi „recuperaţi” din reprezentarea δ discretă. Acest rezultat încurajează interesul în utilizarea acestui operator de discretizare, ţinând cont că estimările parametrilor fizici ai modelului rămân valabile şi semnificaţia fizică a variabilelor se păstrează. Se cunoaşte faptul că o relaţie similară nu se regăseşte şi în domeniul clasic de discretizare. Mai mult, efectele introduse prin procesul de discretizare sunt propagate în toţi parametrii celor două polinoame. Din păcate, din acest punct de vedere, este imposibilă utilizarea interpretărilor fizice ale parametrilor reprezentaţi în domeniul q.

4.2.4.1 Reprezentarea filtrului de ordin 2 în domeniul δ discret O idee general acceptată de comunitatea ştiinţifică se referă la faptul că diferenţa între două funcţii de transfer reprezentate în domeniul q, respectiv δ, se reduce la metoda de implementare şi nu la modul de proiectare.


70

Forma canonică a unui filtru de ordin 2 în reprezentarea q discretă este următoarea:

1 2

0 1 21 2

1 2

( )1b b z b zG z

a z a z

− −

− −

+ +=

+ +. (4.45)

În acelaşi mod poate fi definită şi forma canonică a aceluiaşi filtru în reprezentarea δ discretă, astfel:

1 2

0 1 21 2

1 2

( )1b b bG

a aδ δδδ δ

− −

− −

′ ′ ′+ +=

′ ′+ +, (4.46)

cu ib′ şi ia′ coeficienţii filtrului. Coeficienţii funcţiei de transfer (4.46) pot fi uşor determinaţi prin introducerea expresiei (4.47) obţinute din definiţia operatorului delta în (4.45):

1

11

s

zT

δδ

−−

−=+

. (4.47)

Relaţiile dintre coeficienţii celor două expresii discrete sunt date de:

0 0 0 0

0 1 11 1

0 1 2 1 222 22

12 2

1 .

s s

ss

b b a ab b ab a

T Tb b b a aab

TT

′ ′= = =+ +′ ′= =

+ + + +′′ ==

(4.48)

4.2.4.2 Implementarea filtrului de ordin 2 în domeniul δ discret Investigarea performanţelor unui filtru de ordin 2, implementat prin intermediul operatorului δ se poate realiza experimental prin simulări efectuate în Matlab/Simulink [Newman, 2002]. În mod asemănător implementării unui filtru discret clasic, corespondentul său în domeniul δ poate fi realizat prin înlocuirea operatorului de întârziere 1z− . Operatorul δ poate fi implementat în Simulink ca în Fig. 4.7.


71

Fig. 4.7 Structura de implementare a operatorului δ

Deşi implementarea operatorului 1δ − implică un volum mai mare de calcul, proprietăţile numerice superioare demonstrate [Goodall et al., 1993] permit utilizarea unei lungimi a cuvântului de reprezentare mai redus, în contextul unei perioade mici de eşantionare. 4.2.5 Polii si zerourile de transmisie ale funcţiilor de transfer în domeniul discret δ Se consideră un sistem dinamic liniar de model cunoscut, în formă „cuplată”:

1

1

( )( )( )( ) ( )

m

jjn

ii

s zB sG s KA s s p

=

=

−= =

−

∏

∏, (4.49)

unde jz şi ip desemnează zerourile şi polii funcţiei de transfer, iar n m> .

În domeniul discret q, polii funcţiei de transfer sunt obtinuţi prin transformarea polilor din domeniul Laplace :

, , 1,.....i sp Tq ip e i n= = . (4.50)

Pentru frecvenţe mari de eşantionare, polii sistemului în reprezentarea discretă q tind către punctul (1, 0)j din planul complex, astfel:

,0lim 1, 1,.....

sq iT

p i n→

= = . (4.51)

O bună acurateţe numerică ar putea fi garantată prin deplasarea punctului de coordonate (1, 0)j către (0, 0)j în planul complex, această transformare fiind posibilă prin utilizarea operatorului δ. Astfel polii sistemului, în noua reprezentare discretă, devin:

,1 , 1,.....

spiT

is

ep i nTδ

−= = . (4.52)

În cazul limită, 0sT → , polii sistemului din domeniul δ devin polii funcţiei de transfer din domeniul continuu:

1δ −


72

nipp iiTs

,.....1,lim ,0==

→ δ . (4.53)

Zerourile de transmisie ale sistemului discretizat nu pot fi determinate prin simpla transformare a zerourilor din domeniul continuu, în plus fiind introduse şi alte zerouri prin procedura de eşantionare, dacă defectul de rang al funcţiei de transfer continue este strict mai mare decât 1. Acest lucru este o consecinţă a faptului că ordinul polinomului de la numărătorul funcţie de transfer discrete, atât )(qBq cât şi )(δδB , este in general 1n − , în

timp ce în domeniul continuu gradul este m. Pentru a pune in evidenţă zerourile de eşantionare suplimentar introduse, polinomul zerourilor în domeniul clasic de discretizare devine pentru 0sT → de forma, ( )qB q :

)()1()( , qBqKqB mnqm

q −−= , (4.54)

unde , ( )q n mB q− este un polinom de grad 1n m− − care furnizează zerourile suplimentare obţinute din discretizare pentru 0sT → . Este demonstrat în [Astrom et al., 1984] faptul că pentru 0sT → m zerouri ale polinomului ( )qB q tind către 1 prin expresia i sz Te , iar restul

1n m− − zerouri converg către zerourile polinomului , ( )q n mB q− , unde ( )kB q are forma

generală :

1 21 2( ) ...k k k k k

k kB q b z b z b− −= + + + , (4.55)

cu coeficienţii:

1

1( 1) , 1,

ik i j ki

j

kb j i k

i j−

=

+⎛ ⎞= − =⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ . (4.56)

În (4.52) coeficienţii binomiali sunt exprimaţi astfel:

1 ( 1)! .

( )!( 1 )k ki j i j k i j

+⎛ ⎞ +=⎜ ⎟− − + − +⎝ ⎠

(4.57)

Din domeniul continuu m zerouri vor fi transformate în domeniul discret, prin relaţia siTze şi vor tinde către valoarea ( )1, 0j [Naumovic, 2005], [Neumann, 1999]. „Zerourile de

eşantionare”, suplimentar introduse prin discretizare, depind atât de gradul polinoamelor, cât şi de alegerea perioadei de eşantionare şi cel puţin unul dintre ele se află în afara cercului unitate dacă defectul de rang este mai mare decât 2 ( 2n m− > ). În consecintă, prin utilizarea unor perioade mici de eşantionare şi pentru 2n m− > , modelul va deveni de defazaj neminim, chiar dacă modelul în domeniul continuu de timp este de fază minimă. În aceste condiţii, multe strategii de conducere automată vor eşua, aceste modele neputând oferi suportul necesar pentru implementarea unor structuri avansate de reglare.


73

O serie de rezultate importante referitoare la discretizarea funcţiilor de transfer se regăsesc în [Wahlberg, 1987; Thygesen, 1993], iar zerourile obţinute prin eşantionare au fost studiate în mai multe lucrări, printre care [Hagiwara, 1996; Ishitobi, 1992]. 4.3 Analiza calitativă a transferului intrare-ieşire Analiza proprietăţilor structurale ale unui sistem liniar şi invariant în timp în formalismul intrare-stare-ieşire în domeniul discret δ se realizează în acelaşi mod ca şi pentru sistemele continue [Voicu, 2008] sau cele discrete în domeniul clasic de discretizare. 4.3.1 Controlabilitatea stării sistemelor dinamice liniare în domeniul δ Considerând cazul cel mai simplu, un model intrare - stare - ieşire în domeniul discret:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )k k k

k k kδ δ

δ δ

δ = += +

x A x B uy C x D u

, (4.58)

unde , ,n m p∈ ∈ ∈x u y reprezintă starea, intrarea şi ieşirea sistemului. Definiţii [Goodwin et al., 2000]: Un sistem dinamic liniar, descris prin modelul discret de timp (4.58), se numeşte de stare complet controlabilă dacă şi numai dacă există 0k > şi o secvenţă de intrare

[ ] (0) (1) (2) ... ( 1)k= −u u u u u care transferă starea sistemului, dintr-o stare iniţială

oarecare, 0 (0) 0x x= ≠ , în starea finală, 0fx = .

În cazul în care este posibilă numai evoluţia stării de la anumite stări iniţiale către starea finală

0fx = , sub influenţa unei secvenţe de intrare externe, sistemul este de stare parţial

controlabilă. Sistemul reprezentat prin modelul (4.58) este de stare necontrolabilă atunci când din orice stare iniţială nenulă, evoluţia sistemului către starea finală 0fx = , este imposibilă deoarece

nu există o secvenţă de intrare care să poată forţa această tranziţie. Soluţia ecuaţiei (4.58) se obţine plecând de la modelul matematic şi calculând δ derivatele stărilor de ordin j, astfel:


74

11

02 1

( ) (0) ( )

= (0) ( 1) ( 2) ( 3) (0)

jj j j i i

ij k

x k x u k

x u k u k u k u

δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ−

− −

=

−

= +

+ − + − + − + +

∑A A B

A B A B A B A B….

(4.59)

2 1

( 1)( 2)

( ) (0) [ ] ( 3)

(0)

j j k

u ku k

k x u k

u

δ δ δ δ δ δ δ δδ −

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⇒ = + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x A B A B A B A B…

C. (4.60)

În analiza controlabilităţii stării sistemului este deosebit de utilă construirea matricii de controlabilitate, de forma:

n-1 nxmjδ δ δ δ δ⎡ ⎤= ∈⎣ ⎦B A B ... A BC , (4.61)

respectiv determinarea rangului acestei matrici. Teoremă [Goodwin et al., 2000] Sistemul este de stare complet controlabilă dacă şi numai dacă:

rang =nC . (4.62)

Dacă

rang = <r nC , (4.63)

starea sistemului este parţial controlabilă, fiind necontrolabilă pentru r=0. Problema analizei controlabilităţii formulată în domeniul discret este strict legată de proprietatea de atingibilitate. Definiţie Un sistem dinamic liniar, descris prin modelul discret de timp (4.58), se numeşte atingibil dacă şi numai dacă pentru orice fx există 0, q q> ∈Z şi o secvenţă de intrare

[ ] (0) (1) (2) ... ( 1)q= −u u u u u care transferă starea sistemului, din starea iniţială

0 0x = într-o stare finală, ( )fx x q= .

Teoremă [Goodwin et al., 2000] Sistemul reprezentat prin modelul discret de timp (4.58) este atingibil dacă şi numai dacă

( )2 1 n nrang rangδ δ δ δ δ δ δ δ−⎡ ⎤ =⎣ ⎦B A B A B A B A… .


75

Cele două noţiuni controlabilitate şi atingibiliate sunt echivalente dacă matricea de evoluţie a sistemului discret este nesingulară [Zak, 2003]. În acest caz, completa controlabilitate a stării unui sistem sugerează faptul că există o secvenţă finită de intrări care poate produce orice evoluţie dorită a stării sistemului din orice stare iniţială (0) 0x ≠ în orice stare finală fx .

4.3.2 Observabilitatea stării sistemelor dinamice liniare în domeniul δ Observabilitatea stării poate fi analizată în mod similar în domeniul discret δ. Definiţii [Goodwin et al., 2000]: Un sistem dinamic liniar se numeşte de stare complet observabilă dacă şi numai dacă există

0, q q> ∈Z , astfel încât pe baza cunoaşterii secvenţei de intrare

[ ] (0) (1) (2) ... ( 1)q= −u u u u u şi secvenţei de ieşire corespunzătoare

[ ] (0) (1) (2) ... ( 1)q= −y y y y y este posibilă determinarea stării iniţiale 0nx ∈ oricare

ar fi aceasta. În cazul în care numai anumite traiectorii de evoluţie a stării sunt deductibile prin cunoaşterea secvenţei de intrare şi de ieşire corespunzătoare, sistemul are proprietatea de parţială (incompletă) observabilitate. În extremis, sistemul este de stare neobservabilă atunci când traiectoria stării, oricare ar fi aceasta, nu poate fi determinată pe baza cunoaşterii evoluţiei secvenţelor de intrare şi ieşire ale sistemului. Observabilitatea stării sistemului dinamic poate fi analizată prin determinarea rangului matricii de observabilitate:

1n

δ

δ δ

δ δ−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

CC A...C A

O , (4.67)

Teoremă [Goodwin et al., 2000] Astfel sistemul este de stare complet observabilă dacă şi numai dacă:

rang =nO . (4.68)

În caz contrar, pentru:

rang = <r nO , (4.69)

starea sistemului este parţial observabilă, fiind neobservabilă pentru r=0.


76

În cazul parţialei observabilităţi, cauza esenţială a imposibilităţii deducerii traiectoriei stării pentru un context dat de evoluţie a variabilelor externe (intrări, ieşiri) ale sistemului o constituie faptul că transferul stare - ieşire este incomplet realizat. Astfel, vor exista traiectorii de stare în spaţiul n-dimensional care, datorită decuplării stare - ieşire, nu generează evoluţii distincte ale ieşirii sistemului şi sunt, în consecinţă, neobservabile [Voicu, 2008; Zak, 2003; Goodwin et al., 2000]. 4.4 Estimarea parametrică în domeniul discret δ 4.4.1 Modele ARX în domeniul δ Un model δ ARX [Lauritsen, 1997; Wills, et al., 2007]:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A y k B u k e kδ δδ δ= + , (4.73)

unde ( )e k reprezintă secvenţa de zgomotul alb, iar polinoamele asociate sunt de forma:

1 1 0

1 1 0

( )

( ) .

n n n

m m m m

A a a

B b b bδ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

− −

− −

= + + +

= + + +

……

(4.74)

În conformitate cu principiul cauzalităţii, se ştie că m n< , în consecinţă relaţia ce defineşte legătura intrare-ieşire în domeniul discret δ se poate exprima astfel:

1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )n m

n i i i i

i i

y k a y k b u k e kδ δδ δ δ−

= =

= − + +∑ ∑ . (4.75)

Mărimile care apar în (4.75) reprezintă valorile viitoare ale ieşirii, deoarece operatorul δ nu este cauzal [Lauritsen, 1997]. Exprimarea relaţiei pe baza valorilor apriori disponibile se poate evidenţia prin aplicarea unui filtru de ordin n:

1 1 0

1 1( ) n n nF f fδ δ δ− −=

+ + +…, (4.76)

1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )n m

n f i i f i i f f

i i

y k a y k b u k e kδ δδ δ δ−

= =

= − + +∑ ∑ , (4.77)

unde valorile filtrate sunt:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f f fy k u k e ky k u k e kF F Fδ δ δ

= = = . (4.78)

Vectorul regresorilor poate fi rescris:

0( ) ( ) ( )n f T fy k k e kδ ϕ φ= + , (4.79)

unde:


77

0

11

0 0

( )

( )( )

( )

f

nn f

f

mm f

ay k

ay kbu k

bu k

δ

δ

δ

δ

δϕ φ

δ

−−

⎡ ⎤⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (4.80)

Toate componentele din vectorul ϕ sunt disponibile la momentul de timp k, în acest fel problema de estimare în domeniul discret δ devine o problemă de estimare clasică a unui model liniar. De remarcat că prin procedura de filtrare, secvenţa de zgomot alb devine o secvenţă de zgomot colorat. Acest rezultat ilustrează faptul că un model ARX formulat în domeniul δ nu este echivalent cu un model ARX din domeniul clasic de discretizare. Prin urmare, un model δ ARX nu face parte din clasa modelelor ce respectă metoda celor mai mici pătrate. În domeniul discret q modelul parametric este formulat astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nq qA q y k B q u k q e k= + . (4.81)

Respectând din definiţia operatorului δ, relaţia între cele două domenii discrete, (4.81) poate fi rescrisă:

1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

nq s q s sn n n

s s s

n

s

A T y k B T u k T e kT T T

A y k B u k e kTδ δ

δ δ δ

δ δ δ

+ = + + + ⇔

= + + (4.82)

Pentru a obţine secvenţa zgomotului alb în (4.80) se poate utiliza filtrul 1( ) ( )n

s

FT

δ δ= + , ce

corespunde formei clasice din domeniul discret q: 1 1( ) nF q q

= . Investigaţii suplimentare

referitoare la estimarea parametrilor în domeniul discret δ se găsesc în studiile [Li şi Gevers, 1993]. 4.4.2 Modele ARMAX în domeniul δ Un model δ ARMAX [Lauritsen, 1997; Wills, et al., 2007]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A y k B u k C e kδ δ δδ δ δ= + , (4.83)

unde ( )e k reprezintă secvenţa de zgomotul alb, iar polinomul C are forma:


78

1 1 0( ) n n nC c cδ δ δδ δ δ− −= + + +… . (4.84)

Utilizarea pre-filtrului 1 1( ) ( )F Cδδ δ

= asigură secvenţa de zgomot alb dacă estimarea

polinoamelor ( ), ( )A Bδ δδ δ se realizează în forma ARX. Oricum, acest lucru necesită informaţii apriori despre distribuţia spectrală a zgomotului, care de obicei nu sunt disponibile. Polinomul zgomotului ( )Cδ δ poate fi încorporat în problema de estimare prin exprimarea

într-un model de regresie neliniară utilizând prefiltrul 1( )F δ

. Se consideră rescrierea formei

(4.35):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

C A By k y k u k e kC C

δ δ δ

δ δ

δ δ δδ δ

−= + + . (4.85)

Modelul (4.85) este un model neliniar în parametri; prin urmare, determinarea parametrilor modelului se transformă într-o problemă de regresie neliniară, unde regresorii sunt obţinuţi

prin filtrarea cu 1( )Cδ δ

[Middleton, 1990]. Această procedură este predispusă la obţinerea

unui minim local, eliminarea acestui efect presupune măsuri suplimentare pentru a menţine o estimare corespunzătoare a parametrilor polinomului ( )Cδ δ . 4.5 Studiu comparativ între sisteme discretizate în domeniul clasic q, respectiv δ discret În această secţiune a lucrării vor fi prezentate modele discrete în domeniul δ, respectiv q, în formalismul intrare - ieşire, considerând într-un prim caz un sistem monovariabil de fază minimă. Studiile de caz ilustrate în acest paragraf vizează acele situaţii pentru care utilizarea operatorului de discretizare δ permite o îmbunătăţire a reprezentării modelelor discrete de timp. Cel mai important rezultat în acest sens se referă la faptul că, în domeniul δ, zerourile de eşantionare se deplasează în planul complex spre −∞ , pe măsură ce frecvenţa de eşantionare creşte, iar polii şi zerourile de transmisie ale sistemului tind, de asemenea, către semiplanul complex stâng. Analiza este extinsă apoi pentru un proces industrial - un generator sincron conectat la o reţea de distribuţie de putere mare, apoi studiul este dezvoltat considerând un sistem multivariabil. 4.5.1 Simulări şi discuţii pentru un proces monovariabil Metoda de discretizare bazată pe operatorul δ se dovedeşte a fi un instrument util în rezolvarea problemelor de identificare şi modelare, în special pentru acele procese considerate rapide şi care au defectul de rang mai mare strict decât 1. O concluzie importantă [Ortega şi Landau, 1984] se referă la faptul că toate aceste sisteme sunt caracterizate în domeniul clasic de discretizare de apariţia zerourilor de transmisie fie pe cerc, fie în afara cercului unitate. Un


79

exemplu ilustrativ pentru o analiză comparativă între plasarea zerourilor şi a polilor în cele două domenii discrete este considerat sub forma unei funcţii de transfer [Naumovic, 2005]:

2 2

2 2 2

( 1)( 0, 4 4)( )( 1)( 4)( 10)( 8)

s s s sG ss s s s

+ + + +=

+ + + + (4.86)

Defectul de rang al sistemului dinamic liniar este 3n m− = ( )2n m− > . Polii şi zerourile

sistemului considerat de fază minimă, pot fi vizualizati în Fig. 4.8. Se observă că sistemul considerat este instabil BIBO, având poli complex conjugaţi cu partea reală 0, iar zerourile de transmisie sunt situate în semiplanul complex stâng. Modelul discret obţinut utilizând operatorul classic pentru perioada de eşantionare 0,1sT = este:

2 2

2 2 2

0,00016( 3,717)( 0.2744)( 1,895 0,9048)( 1,922 0,9608)( )( 0,9048)( 1,96 1)( 1,911 1)( 1,842 1)z z z z z zG zz z z z z z z+ + − + − +

=− − + − + − +

(4.87)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Axa

Imag

inar

a

Axa Reala

Domeniul continuu

PoliZerouri

Fig. 4.8 Polii şi zerourile funcţiei de transfer G(s)

Fig. 4.9 ilustrează localizarea polilor, a zerourilor de transmisie şi a “zerourilor de eşantionare” pentru diferite valori ale perioadei de eşantionare 0.1, 0.2, 0.3, 0.4...1sT = . Parametrii modelului (coeficienţii funcţiei de transfer) obţinuţi în domeniul z sunt afectaţi de erori care se propagă prin transformarea sistemului din planul continuu în cel discret. În funcţia de transfer (4.87), valorile coeficienţilor polinoamelor sunt complet diferite faţă de cele corespunzătoare modelului continuu (4.86). Acest dezavantaj poate fi eliminat dacă se discretizează modelul matematic în planul discret δ.


80

Domeniul discret Z

Axa Reala

Axa

Imag

inar

a

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 4.9 Polii şi zerourile funcţiei de transfer G(z)

Aşa cum s-a discutat în paragraful 4.4.5, „zerourile de eşantionare”, suplimentar introduse prin discretizare depind atât de gradul polinoamelor cât şi de alegerea perioadei de eşantionare şi cel puţin unul dintre ele se află în afara cercului unitate dacă defectul de rang este mai mare strict decât 1. În acest exemplu, modelul reprezentat în domeniul clasic discret devine de fază neminimă, cele două zerouri de eşantionare 1 2n m− − = introduse converg către zerourile polinomului ,3 ( )qB q , ce are forma 2

,3 ( ) 4 1qB q q q= + + . Rădăcinile acestui polinom sunt

1 23,7321, 0,2679e ez z= − = − . În Fig. 4.9 corespunzătoare planului discret z se observă cum o parte din zerouri se deplasează în afara cercului unitate odată cu scăderea perioadei de eşantionare, ceea ce transformă sistemul iniţial continuu de faza minimă într-un sistem discret de fază neminimă. În aceste condiţii, multe strategii de reglare vor eşua, aceste modele neputând oferi suportul necesar pentru implementarea unor structuri avansate de reglare în contextul alegerii unei perioade mici de eşantionare.

Modelul discret obţinut utilizând operatorul δ pentru 0,1sT = : 2 2

2 2 2

0,0016633 ( +47,17) ( +12,74) ( + 1,047 + 0,9508) ( + 0,7829 + 3,908)( )( +0,9516) ( + 0,3987 + 3,987) ( + 0,8933 + 8,933) ( + 1,579 + 15,79)

G δ δ δ δ δ δδδ δ δ δ δ δ δ

=

(4.88)

Plasarea polilor şi a zerourilor de transmisie în cazul discret δ pentru funcţia de transfer G(δ) depinde esenţial de perioada de eşantionare.


81

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Axa

Imag

inar

a

Axa Reala

Domeniul discret delta

PoliZerouri

Ts 0

Fig. 4.10 Polii si zerourile funcţiei de transfer G(δ)

În domeniul δ, zerourile de eşantionare se deplasează în planul complex spre −∞ odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare, iar polii şi zerourile de transmisie ale sistemului tind, de asemenea, către semiplanul complex stâng. În domeniul δ discret zerourile introduse prin eşantionare devin conform definiţiei operatorului δ:

1 23,7321 1 0,2679 1_ , _e e

s s

z del z delT T

− − − −= = .

Analizând cele trei funcţii de transfer (4.86), (4.87), (4.88) se observă o concordanţă între valorile coeficienţilor funcţiei de transfer iniţiale şi cele corespunzătoare domeniului discret δ. În Tabel 4.1 sunt furnizate valorile polilor şi zerourilor de transmisie în cele trei domenii de reprezentare, pentru perioada de eşantionare 0,1sT = . Se observă că valorile polilor şi zerourilor de transmisie din domeniul discret δ sunt apropiate ca valoare numerică de polii şi zerourile modelului continuu de timp; mai mult, cele două zerouri introduse prin procesul de eşantionare sunt aflate la distanţă mult mai mare de axa imaginară, fiind considerate îndepărtate. Prin urmare, în general, aceste zerouri nu influenţează performanţele de regim tranzitoriu ale unui sistem dinamic liniar. Sunt în continuare descrise şi analizate avantajele şi dezavantajele operatorului, δ pentru rezolvarea problemelor de modelare şi identificare a unui proces dinamic. Pe de o parte acesta oferă o apropiere de domeniul continuu, iar pe de altă parte eliminarea zerourilor de eşantionare îndepărtate trebuie făcută cu precauţie în cazul frecvenţelor mari de eşantionare [Garnier şi Wang, 2008].


82

Tabel 4.1 Polii şi zerourile în cele două domenii discrete de timp

Poli Zerouri de transmisie

Domeniul continu 0,0000 4,0000i0,0000 3,0000i0,0000 2,0000i

-1,0000

±±±

-0,2000 1,9900i-0,5000 0,8660i

±±

Domeniul discret z

( )0,1sT =

0,9211 0,3894i0,9553 0,2955i0,9801 0,1987i

0,9048

±±±

3,71730,2744

0,9609 0,19380,9477 0,0823

ii

−−

±±

Domeniul discret δ

( )0,1sT =

-0,7894 3,8942i-0,4466 2,9552i-0,1993 1,9867i

-0,9516

±±±

47,172612,7444

0,3915 1,93770,5234 0,8227

ii

−−

− ±− ±

Un rezultat important în utilizarea operatorului δ în modelarea proceselor este acela că garantează o corespondenţă între planul continuu şi cel discret pentru 0sT → ; în acest sens, coeficienţii polinoamelor funcţiilor de transfer în domeniul δ îşi păstrează semnificaţiile mărimilor fizice. 4.5.2 Simulări şi discuţii pentru un proces energetic rapid monovariabil – Sistem de conducere a excitaţiei unui generator sincron În această secţiune sunt efectuate simulări experimentale ce se dovedesc utile în contextul utilizării tehnologiei moderne de procesare a semnalelor digitale pentru reglarea automată a unui generator sincron. În contextul modernizării centralelor electro-termice, sistemele de excitaţie a generatoarelor sincrone sunt înlocuite cu sisteme bazate pe microprocesoare. Această tehnologie permite un nivel ridicat al integrării hardware cât şi al implementării funcţiilor de reglare şi protecţie. Structura de reglare este bazată pe un regulator de excitaţie digital, care îmbină sistemul de reglare a tensiunii la generator, sistemul de reglare al curentului rotoric, funcţiile de limitare şi regulatorul de fază al convertorului. Deşi acest sistem dinamic poate fi modelat pe baza legilor fizice într-un mod convenabil, relativ simplu, [Guo et al. 2001] modelul liniar continuu ce se obţine nu prezintă interes pentru proiectarea unor strategii de reglare avansate. În ultimele două decenii, tehnicile de conducere automată digitale pentru astfel de procese rapide s-au extins cu introducerea unor dispozitive digitale dedicate, de preferinţă cu costuri reduse.


83

Deşi, o soluţie comună general acceptată de comunitatea ştiinţifică pentru discretizarea modelului o constituie domeniul clasic discret, acest operator generează pierderi de informaţii odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare, datorită calculelor numerice cât şi reprezentării numerice interne. Pentru analiză se consideră un model liniarizat pentru o maşină sincronă conectată la o reţea de distribuţie considerată de putere infinită. Generatorul sincron din cadrul unui sistem energetic are rolul de a asigura furnizarea puterii electrice. În Fig. 4.11 este ilustrată o structură bloc pentru ansamblul turbină de abur - generator. O caracteristică a generatorului sincron constă în alimentarea cu curent continuu a înfăşurării de excitaţie. O condiţie importantă ce se impune sistemului de excitaţie constă în realizarea unei viteze mari de răspuns, adică asigurarea într-un timp foarte scurt a tensiunii la bornele înfăşurării de excitaţie, în scopul restabilirii rapide a tensiunii la bornele generatorului sincron în cazul apariţiei unui avarii [Gogu, 2001]. Pentru a asigura furnizarea puterii electrice în condiţii de funcţionare normală, fiecare generator este prevăzut cu două sisteme de reglare. Astfel, sistemul de reglare automată a tensiunii (AVR) al cărui prim rol este de a comanda curentul de excitaţie în funcţie de mărimile de ieşire ale generatorului (putere, tensiune, curent, unghi intern). Un alt obiectiv constă în menţinerea frecvenţei sistemului la o valoare nominală. Cel de-al doilea sistem este dispozitivul de reglare automată a vitezei de rotaţie care comandă debitul agentului primar (abur, gaz, apă) prin vana de admisie.

Regulator Sistem de excitaţie

AVR

Abur ω, Pm Vt Xe

Vr

Vf

Turbină GeneratorReţea

ω – viteză rotor, Pm – putere mecanică, Vf – tensiune de excitaţie Vt – tensiune generator, Xe – reactanţa externă, Vr – tensiune reţea

Fig. 4.11 Structură de reglare automată pentru o turbină de abur

Dinamica sistemului este exprimată printr-un model intrare-stare-ieşire cu trei stări

T

qEγ ω⎡ ⎤= ⎣ ⎦x , o singură mărime de intrare fu u= , comanda de excitaţie a generatorului


84

şi una de ieşire ty V= , tensiunea generatorului, iar matricele ce descriu dinamica sistemului sunt exprimate astfel:

0 0' '

' '

' '0 0 0

0 1 0 0 1 0cos sin 2.7296 0.6250 22.925

2 2 20.1358 0 0.2809

( ) ( )1sin 0

s sc q q

ds ds

d d s d d

d ds d d ds

V VDE EHx H Hx

x x V x xT x T T x

ω ωγ γ

γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

A

0

0 00 0

0,1449c

c

d

kT

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B (4.89)

[ ]

' ' 2 '' '( ) ( )sin cos 0 (1 )

5,1430 0 0, 4303 .

q d d d q q d dd s dc s

t ds t ds t ds

E x I x I E x Ix V xVV x V x V x

γ γ⎡ ⎤− −−

= ⋅ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

C

unde γ reprezintă unghiul de rotire al rotorului, ω viteza rotorului, iar qE simbolizează

tensiunea electromotoare. Mai multe informaţii cu referire la parametrii modelului matematic reprezentat în domeniul continuu de timp se găsesc în [Guo et al., 2001]. Parametrii utilizaţi in simulări sunt ilustraţi în Tabel 4.2. Mărimea de intrare este considerată a fi excitaţia generatorului, iar tensiunea alternatorului reprezintă mărimea de ieşire. Funcţia de transfer asociată modelului intrare-stare-ieşire (4.89) este de forma:

2

0,06236( 16,95)( 16,33)( )( 1,772)( 2,678 2,191)

s sG ss s s

+ −=

− + +. (4.90)

Defectul de rang al sistemului dinamic liniar este n-m=1. Polii şi zerourile sistemului considerat de fază neminimă, pot fi vizualizati în Fig. 4.12. Se observă că sistemul considerat este instabil BIBO, având un pol cu partea reală pozitivă, iar un zero de transmisie este situat în jumătatea dreaptă a semiplanului complex, sistemul fiind şi de fază neminimă. În majoritatea sistemelor energetice reale perturbaţiile de intensitate redusă produc oscilaţii ale unghiului rotorului ce se propagă în lanţul energetic. În acest fel instabilitatea sistemului se poate manifesta dacă amplitudinea oscilaţiilor creşte în timp. În vederea determinării modelului discret, alegerea perioadei de eşantionare se bazează pe teorema de reconstrucţie a lui Shannon. A fost demonstrat faptul că, discretizând cu o rată mai


85

mică de 10 ori lărgimea de bandă, se pierd informaţii referitoare la comportarea sistemului între eşantioane.

Tabel 4.2 Parametrii utilizaţi in simulări

Prin urmare, alegerea unei rate de eşantionare de 50 ori mai mare decât lărgimea de bandă a sistemului în circuit inchis este preferabilă pentru implementarea pe sisteme de conducere automată digitală de mare precizie. Lărgimea de bandă a sistemului se determină de pe diagrama Bode, corespunzătoare valorii de 3 dB , şi anume 0 1.78 / secradω = . O sugestie în alegerea frecvenţei de eşantionare este

dată de 10 1,78 50 1,782 2sfπ π⋅ ⋅

≤ ≤ . Prin urmare, perioada de eşantionare trebuie aleasă în

intervalul 0,06 0,35sT≤ ≤ .

1.863dx = Reactanţa sincronă 1.54fI = Curent de excitaţie

' 0.257dx = Reactanţă sincronă tranzitorie

1.71adx = Reactanţa

1.711dsx = Reactanţa statorică pe axa d

q ad fE x I= ⋅ Tensiune electromotoare EMF

' 0.626dsx = 1.1tV = Tensiunea la borne a generatorului

0 100ω π= Viteză unghiulară a rotorului 4H =

1ck = 1sV = Tensiunea infinită în reţea

0 6.9dT = Cuplu mecanic '

cosq sd

ds

E VI

xγ−

= Curentul echivalent pe axa d

29.8γ = Unghiul de rotire al rotorului

'

sinsq

ds

VIx

γ= Curentul echivalent

pe axa q

5D =


86

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Domeniul continuu

Axa Reala

Axa

Imag

inar

a

PoliZerouri

Fig. 4.12 Polii si zerourile sistemului SMIB

Modelul discret obţinut utilizând operatorul clasic q de shiftare pentru perioada de eşantionare

0,06sT = este:

2

0,00037( 1,103)( 0,9033)( )( 1,011)( 1,984 0,9841)

z zG zz z z

− −=

− − +. (4.91)

Fig. 4.13 ilustrează plasarea polilor şi a zerourilor de transmisie sistemului discretizat cu ajutorul operatorului clasic de discretizare pentru diferite valori ale perioadei de eşantionare

0,06; 0,16; 0,26sT = . Comparativ cu studiul analizat în paragraful anterior, se observă că discretizarea în cele două domenii discrete nu introduce zerouri suplimentare de eşantionare. Acest lucru este posibil deoarece defectul de rang 2n m− < Prin urmare, analiza se va reduce la ilustrarea performanţelor esenţiale oferite de operatorul delta, şi anume apropierea de domeniul continuu odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare. Pentru procesul rapid considerat, alegerea perioadei de eşantionare are un rol decisiv, astfel o alegere a perioadei de eşantionare suficient de mică oferă posibilitatea unei exploatări mai eficiente ale informaţiilor din proces şi asigură un compromis între viteza de calcul şi efortul de calcul.

Modelul discret obţinut utilizând operatorul δ pentru 0,06sT = este:

2

0,0622 ( +16,12)( 17,16) ( )( 1,781) ( + 2,669 + 2,173)

G δ δδδ δ δ

−=

−. (4.92)


87

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Domeniul discret z

Axa Reala

Axa

Imag

inar

a

Ts=0.06Ts=0.16Ts=0.26PoliZerouri


Plasarea polilor şi a zerourilor de transmisie în cazul discret δ pentru funcţia de transfer G(δ) depinde esenţial de perioada de eşantionare (Fig. 4.14).


Axa Reala

Axa

Imag

inar

a

-250 -200 -150 -100 -50 0

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ts=0.06PoliZerouriTs=0.16PoliZerouriTs=0.26PoliZerouri


Analizând cele trei funcţii de transfer (4.90), (4.91), (4.92) se observă o concordanţă între valorile coeficienţilor funcţiei de transfer iniţiale şi cele corespunzătoare domeniului discret δ. În Tabelul 4.3 sunt furnizate valorile polilor şi zerourilor de transmisie în cele trei domenii de reprezentare, pentru perioada de eşantionare 0,06sT = .


88



Domeniul continu -1,3389 0,6309i1,77

±

16,950716,3257−

Domeniul discret z

( )0,06sT =

0,9919 0,0037i1,0106

±

1,10290,9032

Domeniul discret δ

( )0,06sT =

1,3347 0,62591,7813

− ± 17.159516.1236−

Se observă că valorile polilor şi zerourilor de transmisie din domeniul discret δ sunt apropiate ca valoare numerică de polii şi zerourile modelului reprezentat în domeniul continuu de timp, punând în evidenţă apropierea domeniului discret δ de planul corespondent continuu pentru

0sT → . Din perspectiva analizei sistemului, utilizarea unei frecvenţe mari de eşantionare produce o aglomerare a polilor spre punctul limită (1, 0)j al cercului unitate în domeniul q complex. Includerea perioadei de eşantionare in parametrizarea modelului discret conduce la creşterea acurateţei în reprezentarea numerică a modelului, astfel raza cercului unitate din planul q devine invers proporţională cu perioada de eşantionare în domeniul δ discret.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0-15

-10

-5

0

5

10

15

Axa

Imag

inar

a

Axa Reala

Domeniul continuu

PoliZerouri

Fig. 4.15 Polii şi zerourile modelului generatorului sincron conectat la o reţea de putere infinită


89

Continuând analiza comparativă a modelelor matematice în cele două domenii discrete de timp, se consideră de data aceasta defectul de rang 2n m− = al unui model dinamic liniar cu defazaj neminim, reprezentat prin (4.93). În cadrul proceselor energetice, astfel de modele obţinute pot genera unele probleme în alegerea structurilor de reglare. Această situaţie este posibilă dacă se va considera pentru maşina sincronă, mărimea de intrare comanda excitaţiei generatorului, iar ca mărime de ieşire tensiunea la ieşirea generatorului, funcţia de transfer care modelează dinamica procesului fiind de forma:

2

2

0,55( 17,78)( 0,5091 163,3)( )( 37,03)( 16,16)( 0,02849)( 0,8353 58,66)

s s sG ss s s s s

+ − +=

+ + − + +. (4.93)

Valorile numerice ale polilor şi zerourilor funcţiei de transfer (4.93) sunt illustrate în Tabelul 4.5. Repartizarea polilor şi a zerourile modelului considerat de fază neminimă, pot fi vizualizaţi grafic în Fig. 4.15. Modelul discret obţinut utilizând operatorul clasic q de shiftare pentru perioada de eşantionare

0,006sT = este:

6 2

2

9,2137 10 ( 0,9292)( 0,8988)( 1,997 1,003)( )( 1)( 0,9076)( 0,8008)( 1,993 0,995)

z z z zG zz z z z z

−⋅ + − − +=

− − − − +. (4.94)

Prin discretizarea modelului (4.93) în cele două domenii de reprezentare cu perioade de eşantionare cuprinse între 0,01: 0,01: 0,1sT = , sunt introduse zerouri suplimentare de eşantionare deoarece defectul de rang este 2n m− = . Modelul discret obţinut utilizând operatorul δ pentru ( )0,006sT = este:

2

2

0,00153 ( +321,5)( 16,87) ( + 0,4727 + 163,8)( )( 33, 21)( 15, 4)( 0,0284) ( + 1,184 + 58,5)

G δ δ δ δδδ δ δ δ δ

+=

+ + −. (4.95)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Domeniul discret z

Axa Reala

Axa

Imag

inar

a

PoliZerouri

Fig. 4.16 Polii şi zerourile modelului generatorului sincron conectat la o reţea de putere infinită


90

În mod analog cu primul studiu de caz discutat şi analizat în acest paragraf, zerourile de transmisie sunt în afara cercului unitate în domeniul clasic de discretizare, iar în domeniul delta discret, zerourile tind către valorile corespunzătoare domeniului continuu de timp, aşa cum este ilustrat în Fig. 4.17.

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-10

-5

0

5

10


Axa Reala

Axa

Imag

inar

a

PoliZerouri

Fig. 4.17 Polii şi zerourile modelului matematic în domeniul discret δ



Domeniul continu -0,41763 7,6473i

-37,0334-16,15980,028487

±

0, 2545 12,78817,7818

i±−

Domeniul discret z

( )0,006sT =

0,99644 0,04571,00010,90750,8007

i±

0,9985 0,07670,9291

0,8988

i±−

Domeniul discret δ

( )0.006sT =

0.5920 7.625533.207515.4011

0.02848

i− ±−−

0.23634 12.795016.8661321.531

− ±−−


91

Pentru o perioadă de eşantionare de ( )0,006sT = , zeroul de eşantionare suplimentar introdus

poate fi considerat ca fiind îndepărtat, acesta neavând o influenţează semnificativă în răspunsul forţat al ieşirii. De remarcat este şi faptul că, pentru această perioadă de eşantionare se obţine un rezultat deosebit, în sensul că toate zerourile de transmisie calculate în domeniul discret delta au partea reală strict negativă. 4.6 Identificarea parametrică în domeniul δ În acest paragraf este prezentată o metodă de identificare a unor modele polinomiale in domeniul discret delta, pe baza unor seturi de date preluate din funcţionarea normală a tamburului unui boiler de abur, a cărui dinamică a fost prezentată în detaliu în Capitolul 3 al acestui studiu. 4.6.1 Studiu aplicativ pentru determinarea modelului parametric al unui ansamblu boiler-tambur în domeniul discret δ Pentru obţinerea modelelor discrete atât în domeniul clasic de discretizare cât şi în domeniul δ s-a utilizat pentru simulare toolboxul UNIT (University Newcastle Identification Toolbox) ce rulează în mediul de programare Matlab [Wills et al., 2007; Halaucă şi Lazăr, 2008 a]. Pentru estimarea modelelor parametrice au fost utilizate cele două seturi de date preluate din funcţionarea în timp real a unui boiler de abur de la SC. CET 1 S.A. din Iaşi, date ce au fost folosite în validarea simulatorului prezentat în Capitolul 3. Sistemul considerat are 2 mărimi de intrare, debitul masic al apei de alimentare, respectiv, debitul masic de abur de la consumator, iar ca ieşire, nivelul apei în tambur. Conform procedurii de identificare a modelului ARX, dinamica sistemului este descrisă de modelul matematic:

1

1

( )( ) ( ) ( )( )

ii

i

B py k u k e kA p

−

−= + (4.96)

unde p poate reprezenta variabila din modelul clasic de discretizare q sau domeniul δ discret, iar 1 1

1, 1,( ), ( ), 1, 2i iB p A p i− − = sunt polinoamele celor două funcţii de transfer, respectiv, al

polilor celor două funcţii de transfer. În urma simulărilor efectuate în mediul Matlab, considerând perioada de eşantionare 510sT −= şi indicii de structură 3, [3;3]na nb= = cu timpul mort 0nk = se obţin cele două modele intrare - ieşire discrete de timp:

[ ]11 12(p)= G (p) G (p)G (4.97)

Funcţiile de transfer obţinute în domeniul δ discret [Halaucă şi Lazăr, 2008 a]:


92

-5 -1 4 -2 7 -311

11 -1 6 -2 8 -311

-1 4 -2 7 -312

12 -1 6 -211

B ( ) -9,395 10 + 34,57 4,052 10 4,35 10G ( )=( ) 1 +569,9 + 2,41 10 9,07 10

B ( ) 0,002886 - 34,46 3,56 10 4,28 10G ( )=( ) 1 +569,9 + 2,41 10 9,07

A

A

δ δ δ δδδ δ δ δ

δ δ δ δδδ δ δ

⋅ + ⋅ + ⋅=

⋅ + ⋅

− ⋅ − ⋅=

⋅ + ⋅ 8 -3 ,10 δ

(4.98)

respectiv q discret:

-1 -2 -311

11 -1 -2 -311

-1 -2 -312

12 -1 -2 -311

B ( ) 0,000799-0,000349 0,00017 0,00043G ( )=( ) 1 - 0,403 - 0,2954 0,3182

B ( ) 0,00195-0,000741 0,000669 0,00132G ( )= .( ) 1 - 0,403 - 0,2954 0,3182

q q q qqA q q q q

q q q qqA q q q q

− +=

−

− −=

−

(4.99)

Pe baza rezultatelor obţinute prin simulare se poate remarca o comportare asemănătoare a celor două modele discrete, operatorul delta fiind o alternativă în discretizarea modelelor dinamice [Halaucă şi Lazăr, 2008 a]. În urma mai multor experimente realizate cu diferite perioade de eşantionare mult mai mici decât perioada de eşantionare cu care s-au achiziţionat datele din proces s-a observat o mai bună precizie numerică pentru o reprezentare finită a numerelor. Marea majoritate a implementărilor prezentate în diverse articole adoptă discretizarea cu tradiţionalul operator de discretizare.

100 200 300 400 500 600 700

0.245

0.25

0.255

0.26

0.265

Timp [sec]

Niv

el ta

mbu

r [m

]

Studiu comparativ intre cele doua domenii discrete

Nivel realNivel-Delta operatorNivel-q operator

Fig. 4.18 Evoluţia mărimii de ieşire

Dacă se doreşte estimarea unui model matematic discret pentru acest proces energetic cu o dinamică lentă, considerând o perioadă mare de eşantionare, rezultatele simulărilor ilustrează faptul că, în acest caz, este preferabil a se utiliza operatorul clasic de discretizare.


93

În Fig. 4.18 şi Fig. 4.19 sunt ilustrate evoluţiile nivelului de apă în tambur în cele două domenii de discretizare, comparativ cu setul de date preluat din funcţionarea în timp real a procesului [Halaucă şi Lazăr, 2008 a]. Alte reprezentări matematice discrete ale modelului tamburului unui boiler de abur pot fi realizate în funcţie de mărimile de interes din sistem, de cerinţele de bază pe care trebuie să le îndeplinească boilerul în funcţionarea normală şi, nu în ultimul rând, de scopul urmărit în utilizarea modelului ales [Halaucă şi Lazăr, 2008 a].

0 50 100 150 200 250 300

0.245

0.25

0.255

0.26

0.265

Timp [sec]

Niv

el ta

mbu

r [m

]

Nivel realNivel - Delta operatorNivel - q operator

Studiu comparativ intre cele doua domenii discrete

Fig. 4.19 Evoluţia mărimii de ieşire

Descrierea liniară a modelului neliniar al tamburului prezentată în Capitolul 3 poate fi transformată într-un model liniar multivariabil în domeniul continuu, reprezentat sub forma unei matrici de transfer. Variabilele de intrare considerate sunt: 1u - debitul masic al apei de alimentare, 2u - debitul masic al aburului, 3u - debitul apei de la termoregulatorul de răcire, iar variabilele de ieşire sunt: 1y - nivelul apei in tambur, 2y - presiunea aburului in tambur şi

3y - temperatura aburului:


94

2 3 3

2 2

1 3 3 2 3

2 2

3

2

( 0,16 0,052 0,0014)10 (3,1 0,032)10 00,0168 0,0215

0,0395 10 2,51 10 0,588 0,2015 0,0009)100,018 0,0157 0,0352 0,000142)

0,00118 0,0001390,01852 0,0000

s s ss s s s

ys sy

s s s sy

ss s

− −

− − −

− + + −+ +

⎡ ⎤− ⋅ ⋅ + +⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + + + +

⎢ ⎥⎣ ⎦ − ++ +

1

2

3

2 2

.

0,448 0,0011 0,582 0,024391 0,0127 0,000095 0,1076 0,00104

uuu

s ss s s s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+ −⎢ ⎥

+ + + +⎣ ⎦

. (4.100)

Matricea de transfer în domeniul delta pentru 1sT = :

2 3 3

2 2

1 3 3 2 3

2 2

3

( 0,16 0,05226 0,001388)10 (3,051 0,0316)10 00,01666 0,02127

0,03915 10 2,49 10 (0,588 0,1985 0,000884)100,01784 0,01558 0,03473 0,0001395)

0,0011 0,0001377

yyy

δ δ δδ δ δ δ

δ δδ δ δ δ

δ

− −

− − −

− + + −+ +

⎡ ⎤− ⋅ ⋅ + +⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + + + +

⎢ ⎥⎣ ⎦ − +

1

2

3

2 2 2

.

0,4457 0,001093 0,54 0,023040,01844 0,000090 0,01271 0,000094 0,103 0,0009859

uuu

δ δδ δ δ δ δ δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+ −⎢ ⎥

+ + + + + +⎣ ⎦

(4.101)

Matricea de transfer în domeniul discret q pentru 1sT = :

2

2 2

2

2

0,00016 + 0,0003723 - 0,0002109 0,003051 - 0,003083 0 - 1,983 + 0,9833 - 1,979 + 0,9787

-3,915e-005 0,00249 0,000588 - 0,0009775 + 0,0003904G( )= - 0,9822 - 0,9844 - 1,965

q q qq q q q

q qqq q q q

2 2 2

. + 0,9654

-0,0011 + 0,001238 0,4457 - 0,4446 0,54 - 0,563 - 1,982 + 0,9817 - 1,987 + 0,9874 - 1,897 + 0,898

q q qq q q q q q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.102)

Utilizarea operatorului δ în modelarea unui astfel de proces multivariabil complex poate asigura o mai bună precizie numerică în contextul unei anumite reprezentări interne. Se observă că valorile coeficienţilor polinoamelor funcţiilor de transfer în domeniul δ din (4.101) pun în evidenţă, din nou, apropierea domeniului discret δ de planul corespondent continuu pentru 0sT → . Operatorul delta oferă o alternativă mult mai bună decât operatorul q în discretizarea modelelor dinamice rapide, caz în care sunt necesare perioade mici de eşantionare. În contextul în care nu sunt disponibile informaţii bogate despre structura modelului şi despre constantele de timp asociate, utilizarea unor perioade mici de eşantionare în achiziţia unor date experimentale semnificative pentru identificarea sistemelor dinamice constituie o soluţie convenabilă. În aceste situaţii, identificarea în domeniul delta se poate dovedi mai avantajoasă decât identificarea în domeniul q. În plus, chiar şi în cazul sistemelor lente se poate considera o perioadă de eşantionare mică şi o identificare în domeniul delta, deoarece parametrii modelului din domeniul delta se apropie foarte mult de parametrii din domeniul continuu de timp, şi, în consecinţă generarea modelului în domeniul continuu devine mult mai simplă, mai intuitivă.


95

4.7 Concluzii În acest capitol sunt analizate performanţele operatorului delta de discretizare, atât din perspectiva avantajelor numerice cât şi conceptuale. Metodologia general acceptată pentru discretizarea sistemului o constituie utilizarea operatorului clasic discret, însă acest operator generează pierderi de informaţii odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare, produse prin discretizarea în sine şi prin rotunjirile impuse de reprezentarea numerică internă. În ultimul deceniu dezvoltarea tehnicii de calcul a cunoscut o ascensiune fără precedent şi acest lucru a încurajat implementarea unor strategii numerice de reglare şi identificare, considerând perioade mici de eşantionare. În acest context, necesitatea de a îmbunătăţi performanţele metodelor de discretizare pentru cazul frecvenţelor mari de eşantionare devine o prioritate. O alternativă de interes în acest sens o constituie folosirea operatorul discret δ. Studiul de faţă demonstrează faptul că operatorul δ aduce anumite avantaje în cadrul implementărilor numerice. Structura modelului δ discret se apropie de structura modelului în domeniul continuu de timp, iar parametrii modelului δ discret tind către valorile parametrilor modelului din domeniul continuu de timp, atunci când 0sT → . Acest aspect aduce beneficii în contextul problemelor de identificare şi estimare parametrică, deoarece transformarea unui model din domeniul delta într-un model din domeniul continuu se poate face intuitiv, simplu, având în vedere că, pentru 0sT → , semnificaţiile fizice ale parametrilor se păstrează şi polinoamele/matricele folosite în model sunt la limită egale. O consecinţă importantă vizează polii şi zerourile de transmisie. Pentru 0sT → , polii şi zerourile de transmisie din domeniul discret delta tind către valorile din domeniul continuu, iar zerourile de eşantionare suplimentar introduse sunt îndepărtate. Astfel, proprietăţile sistemului condus determinate pe baza modelului din domeniul delta rămân neschimbate faţă de cele apreciate pe baza modelului din domeniul continuu de timp şi acest aspect aduce avantaje importante în proiectarea strategiilor numerice de conducere automată, la perioade mici de eşantionare. Prin contrast, operatorul clasic q poate genera la perioade de eşantionare mici modele de fază neminimă, chiar pentru modele din domeniul continuu de fază minimă. O altă proprietate utilă se referă la extinderea domeniului de stabilitate BIBO în domeniul δ faţă de cel din domeniul q, odată cu scăderea perioadei de eşantionare. Astfel, raza cercului unitate din planul q devine 1/ sT în domeniul δ discret şi, pentru 0sT → , domeniul de stabilitate BIBO tinde către cel din domeniul continuu. Mai mult, în cazul reprezentărilor intrare-stare-ieşire, matricea de controlabilitate şi de observabilitate tind pentru 0sT → către cele din domeniul continuu.


96

Capitolul de faţă a ilustrat şi avantajele numerice introduse de folosirea opreatorului delta în contextul aritmeticii în virgulă mobilă şi fixă. Este arătat faptul că efectul negativ al erorilor de rotunjire este mai redus faţă de cazul discretizării clasice. Coeficienţii ce intervin în funcţia de transfer pot fi determinaţi cu mai bună acurateţe în cazul discretizării în domeniul delta, dacă numărul de biţi ai mantisei rămâne neschimbat. De asemenea, în acest capitol sunt formulate condiţii pe care trebuie să le îndeplinească perioada de eşantionare, rezultate exploatând teorema lui Shanon şi restricţiile impuse de o reprezentare numerică internă pe număr finit de biţi. În al doilea caz, analiza este derulată considerând, pentru un sistem de ordinul 2 în formă “directă” şi în formă “cuplată”, variantele în care pot fi poziţionate rădăcinile polinomului caracteristic pe „reţeaua de puncte” finită asociată. Aspectele teoretice prezentate în detaliu în acest capitol sunt exemplificate prin simulare numerică pe câteva studii de caz. Primul exemplu consideră un sistem monovariabil de fază minimă reprezentat în domeniul continuu de timp cu defectul de rang egal cu 3. Studiile experimentale comparative, între cele două domenii de discretizare ilustrează avantajele modelului discret în domeniul delta, care evită apariţia zerourilor cu efect de defazaj neminim şi tinde către modelul din domeniul continuu de timp pentru 0sT → . Situaţia unor sisteme monovariabile cu defect de rang mai mic decât 3 este exemplificată pe sistemul de conducere al unei maşini sincrone, conectată la o reţea de distribuţie de putere infinită. Este tratat cazul modelului liniar. Rezultatele prezentate subliniază avantajele discretizării cu ajutorul operatorului δ în condiţiile alegerii unei perioade mici de eşantionare. Pentru cazul limită

0sT → , coeficienţii din funcţia de transfer obţinută în domeniul discret δ tind către coeficienţii din domeniul continuu de timp. De asemenea, în acest capitol este prezentată o metodă de determinare a unor modele în domeniul discret δ, pe baza unor seturi de date preluate din funcţionarea normală a unui boiler de abur. În acest context, s-au urmărit comparativ performanţele modelelor discrete în funcţie de alegerea perioadei de eşantionare. În urma simulărilor obţinute, se poate remarca o comportare asemănătoare a celor două modele discrete, deoarece perioada de eşantionare mare folosită nu ridică probleme pentru operatorul q. Metoda de discretizare bazată pe operatorul δ se dovedeşte a fi un instrument util în rezolvarea problemelor de identificare şi modelare, în special pentru acele procese considerate rapide. O problemă cunoscută legată de alegerea unei perioade mici de eşantionare constă în creşterea costului achiziţiei de date şi implicit al echipamentelor electronice necesare, deşi această chestiune devine din ce în ce mai puţin importantă datorită progresului considerabil în domeniul microprocesoarelor.


97

Utilizarea tehnicilor de discretizare bazate pe operatorul delta se dovedeşte o direcţie de interes pentru comunitatea sţiinţifică atât sub aspect teoretic cât şi aplicativ. La nivel teoretic, studiile urmăresc evidenţierea proprietăţilor modelelor discrete delta şi demonstrează legătura cu domeniul discret clasic şi domeniul continuu de timp. În ceea ce priveşte latura aplicativă, numeroase cercetări ilustrează utilizarea operatorului delta ca suport în implementarea avantajoasă a unor strategiilor numerice de conducere automată pe sisteme incorporate cu microprocesor.

TEHNICI AVANSATE DE REGLARE AUTOMATĂ ÎN CONDUCEREA PROCESELOR ENERGETICE

98

Capitolul 5 Tehnici avansate de reglare automată în conducerea proceselor

energetice Regulatoarele industriale clasice, proiectate pentru conducerea automată a proceselor utilizează valori fixe ale parametrilor acestora pentru a asigura performanţe optime în jurul unui punct nominal de operare. Regulatoarele industriale cel mai des utilizate sunt clasicele PID. Mai mult, cei mai mulţi algoritmi de conducere se bazează pe structuri de reglare automată implementate considerând modele liniarizate ale procesului cu obţinerea de rezultate acceptabile numai în cazul în care procesul funcţionează în jurul unui punct de echilibru. Restructurarea şi modernizarea unor sisteme energetice este posibilă prin promovarea unor tehnologii de reglare automată moderne care să asigure satisfacerea anumitor performanţe impuse prin proiectare. Astfel, în ultimele decenii au fost dezvoltate diferite metode de proiectare a tehnicilor avansate de conducere, printre care un rol deosebit îl au regulatoarele predictive, unele dintre acestea fiind prezentate în acest capitol şi sunt dedicate atât pentru procese liniare sau neliniare cât şi pentru procesele cu o dinamică dificilă. În acest studiu, procesele din domeniul energetic la care se face referire sunt acele sisteme considerate rapide, de fază neminimă sau cu timp mort. Una dintre direcţiile tehnicilor avansate de conducere se referă la conducerea cu predicţie bazată pe model. Tehnicile şi algoritmii de conducere predictivă permit rezolvarea unor probleme de reglare a proceselor complexe în situaţii specifice mediului industrial. Algoritmii de conducere predictivă se regăsesc într-o largă gamă de aplicaţii din industria energetică, chimică, a automobilelor, aerospaţială, a celulozei şi hârtiei, industria alimentară, etc. Progresul realizat în ultimele decenii cât şi succesul cu care a fost implementat în conducerea proceselor reale confirmă capacitatea acestor tehnici de a conduce sisteme reale din multe domenii de activitate. Este bine cunoscut faptul că, algoritmii de conducere predictivă sunt proiectaţi în domeniul clasic de discretizare cu utilizarea unei perioade mari de eşantionare datorită complexităţii de calcul al acestor strategii de reglare. Neajunsurile acestor tehnici de conducere sunt îndeosebi puse în evidenţă mai ales, atunci când procesele ce trebuie conduse sunt foarte rapide şi


99

implică frecvenţe mari de eşantionare. În acest context, alte strategii de conducere au fost propuse atât pentru îmbunătăţirea etapelor de proiectare cât şi implementării acestora pe dispozitive încorporate. Comunitatea ştiinţifică din domeniul automaticii a sugerat proiectarea unora dintre algoritmii de conducere în domeniul discret delta datorită avantajelor numerice şi conceptuale oferite de operatorul delta de discretizare, ilustrate în detaliu în Capitolul 4. Astfel, algoritmul de conducere predictivă generalizată a fost pus în discuţie şi în domeniul discret δ utilizând ecuaţiile Diophantice [Rostgaard et al., 1993] sau într-o abordare intrare-stare-ieşire [Ebert, 2001]. Mai înainte însă, [Rostgaard et al., 1996] au prezentat algoritmul EGPC (Emulator approach to Generalized Predictive Control) bazat pe reprezentarea din domeniul continuu de timp, însă acesta utilizează modele discrete bazate pe operatorul δ într-o abordare intrare - stare - ieşire, iar [Lauritsen et al., 1997] îşi bazează studiul considerând ecuaţiile diophantice. Stabilitatea algoritmului EGPC a fost discutată de [Suchomski şi Kowalczuk, 2002]. Mai mult, [Collins şi Song, 2002] propun dezvoltarea legii de reglare H∞ în domeniul discret δ. O nouă abordare propusă în această lucrare, ce nu se regăseşte în literatura de specialitate internaţională şi constituie un element de originalitate, se referă la conducerea predictivă ce a fost proiectată în domeniul discret δ, pornind de la reprezentarea pe model intrare-stare-ieşire. Rezultatele cercetării în această direcţie s-au concretizat în mai multe publicaţii, printre care şi un articol acceptat pentru publicare în 2009 în revista International Journal of Systems Science împreună cu prof. Visakan Kadirkamanathan de la Universitatea din Sheffield, departamentul Automatic Control and Systems Engineering, UK şi Sean Anderson din cadrul Active Touch Laboratory Centre for Signal Processing in Neuroimaging and Systems Neuroscience din cadrul aceleiaşi universităţi. Algoritmul denumit de autori SS δ GPC (State Space δ GPC) propus într-o abordare intrare - stare - ieşire pune în evidenţă proprietăţile numerice superioare oferite de reprezentarea în domeniul discret δ, efectul total al erorilor de rotunjire fiind redus în contextul alegerii unei perioade mici de eşantionare combinată cu o reprezentare internă pe un număr finit de biţi. Această strategie este proiectată separat pentru procesele caracterizate de prezenţa unui element integrator, dar şi pentru acele sisteme ce nu încorporează o componentă integratoare. Aceste abordări, testate prin simulare aduc îmbunătăţiri legii de reglare predictive, în primul rând datorită faptului că se poate considera o perioadă mică de eşantionare fără apariţia problemelor de calcul numeric. Elaborarea acestei metode de conducere predictivă în domeniul discret δ este dedicată în mod special reglării sistemelor considerate în acest studiu monovariabile cu dinamică rapidă şi de fază neminimă cu aplicabilitate în domeniul energetic, însă metoda poate fi extinsă şi pentru sistemele multivariabile. În continuarea acestui studiu sunt discutate aspecte legate de performanţele algoritmului propus în comparaţie cu algoritmii de conducere predictivă existenţi în literatura de specialitate. Analiza vizează şi aspecte legate de alegerea perioadei de eşantionare şi a parametrilor de acordare specifici algoritmilor predictivi în contextul unei


100

anumite reprezentări interne pentru un model intrare – stare – ieşire reprezentativ. Algoritmul este propus şi pentru reglarea tensiunii unei maşini sincrone din cadrul unui ansamblu boiler – turbină de abur. Alte metode de conducere avansată sunt dezvoltate în acest capitol, simulările realizate vizând în mod special subsistemele cu dinamică dificilă din cadrul proceselor energetice. Astfel, în cazul în care procesul prezintă un caracter puternic neliniar, utilizarea unui model matematic liniar nu mai oferă informaţii complete despre dinamica procesului, mai ales pentru procese pentru care referinţa variază într-o gamă largă de valori sau în cazul apariţiei perturbaţiilor. Folosirea modelelor neliniare nu modifică conceptul de bază al reglării cu predicţie, ci doar complică problema de optimizare peste un orizont finit. Pentru rezolvarea diferitelor probleme ce apar în conducerea predictivă neliniară, alegerea unui model potrivit care descrie neliniarităţile procesului trebuie să se facă astfel încât să uşureze găsirea soluţiei optime de reglare automată. Pentru aceste procese complexe şi neliniare ce nu pot fi liniarizate este propus algoritmul neliniar NEPSAC. Acest algoritm a fost testat prin simulare pe modelul matematic neliniar al tamburului unui boiler de abur prezentat detaliat în Capitolul 3 al acestei teze. De asemenea, pentru procesele multivariabile este propus algoritmul de conducere predictivă EPSAC pentru procesele multivariabile. Procesul considerat se referă la reglarea automată a nivelului de lichid din două rezervoare, aplicaţie ce îşi găseşte aplicabilitate practică şi în centralele termo-electrice. Experimentele au fost efectuate pe macheta de laborator “Sistemul cu trei rezervoare” existentă în catedra de Automatică şi Informatică Aplicată din cadrul facultăţii de Automatică şi Calculatoare, Iaşi. În continuarea studiului se propun şi câteva metode de conducere adaptivă, cu discuţii pentru sistemele neliniare. În acest context, în ultima parte a capitolului este dezvoltată şi testată prin simulare o tehnică neuro – predictivă pentru reglarea automată a nivelului de lichid din tamburul unui boiler de abur. Strategia de conducere este proiectată în contextul apariţiei unei perturbaţii de sarcină concretizată prin debitul masic al aburului solicitat de consumator, algoritmul fiind o extensie a metodei ilustrate în [Lazăr et al., 2004]. În ultima parte a acestui capitol este propusă o aplicaţie SCADA în mediul de lucru Lookout, având în vedere faptul că, în majoritatea proceselor energetice sunt monitorizate şi reglate mărimi de proces, printre care: debitul apei de alimentare, debitele de abur spre consumatorii industriali, presiunea aburului, nivelul amestecului de apă şi abur din cazan, cantitatea de combustibil necesar, etc. Prin intermediul platformei SCADA şi a interfeţei grafice sugestive implementate în mediul de lucru Lookout se pot transmite comenzi atât în regim manual cât şi automat pentru reglarea mărimilor de interes.


101

5.1 Reglarea cu predicţie bazată pe model Una dintre direcţiile tehnicilor avansate de conducere automată se referă la conducerea cu predicţie bazată pe model ce a cunoscut o dezvoltare extrem de puternică şi rapidă, datorită interesului pe care i l-au arătat atât specialiştii din industrie cât şi comunitatea academică internaţională. În studiul [Rossiter et al., 1993] se aduc îmbunătăţiri algoritmului GPC (Generalised Predictive Control), cu interes pentru sistemele multivariabile şi pentru algoritmul predictiv supus unor restricţii de tip egalitate sau inegalitate. Alte abordări ale MBPC au fost dezvoltate pentru procese rapide, de exemplu [Bemporad, et al. 2002], însă cu limitări în ceea ce priveşte numărul de stări ale procesului şi numarul de intrări. Printre studiile realizate în domeniul conducerii predictive cu aplicabilitate în industria energetică se remarcă [Rossiter et al., 1990, Benyó et al., 2004; Liu et al., 2006]. În cele ce urmează sunt tratate câteva metode de conducere predictivă. O nouă abordare constă în elaborarea unei metode de reglare predictivă în domeniul discret δ cu utilizare în reglarea sistemelor cu dinamică rapidă. Partea a doua a capitolului tratează algoritmul predictiv EPSAC pentru conducerea proceselor multivariabile, urmând apoi să fie prezentat algoritmul EPSAC pentru procese neliniare. În finalul acestui capitol este proiectată o structură neuro-predictivă. Principiile teoretice prezentate sunt susţinute prin studii de caz pentru fiecare strategie de conducere automată propusă. 5.2 Conducerea predictivă generalizată (GPC)

5.2.1 Algoritmul emulator δ GPC Propunerea de a îmbina algoritmul GPC cu avantajele oferite de operatorul δ a fost prima dată iniţiată de [Rostgaard, 1996]. Conceptul de reglare cu predicţie a fost asociat cu algoritmul GPC din domeniul continuu de reprezentare, într-o abordare intrare-stare-ieşire, purtând numele de emulator GPC. Mai târziu, emulator GPC în domeniul δ a fost investigat de [Lauritsen, 1997], din perspectiva algoritmului GPC discret proiectat cu ajutorul ecuaţiilor diofantice. Algoritmul emulator GPC dezvoltă un cadru general ce uneşte algoritmul de conducere predictivă elaborat atât în domeniul discret cât şi în domeniul continuu de timp.

5.2.1.1 Determinarea predictorilor din modelul intrare-stare-ieşire Predictorii necesari strategiei de reglare emulator GPC sunt determinaţi analitic având ca punct de plecare ideea prezentată de [Demircioglu şi Gawthrop, 1991] în algoritmul CGPC


102

din domeniul continuu care presupune predicţia ieşirii în mod continuu. Legea de reglare este proiectată în domeniul continuu şi bazată pe un model reprezentat în domeniul continuu de timp. Pentru a construi predictorii, trebuie să se ţină cont de volumul de informaţii disponibil. Două cazuri pot fi evidenţiate: - setul complet de mărimi de intrare-ieşire:

, ( ), ( )........ ( ), ( 2 ).....c t s s sI y t y t T u t T u t T= − − − ; (5.1)

- setul incomplet de mărimi de intrare-ieşire:

, ( ), ( 2 )........ ( ), ( 2 ).....i t s s s sI y t T y t T u t T u t T= − − − − . (5.2)

Singura diferenţă între cele două seturi de date considerate se referă la cunoaşterea sau nu a ultimei valori a mărimii de ieşire ( )y t . În situaţii practice este posibil cazul când ultima măsurătoare a mărimii de ieşire din proces nu poate fi folosită dacă timpul de răspuns impus regulatorului digital trebuie sa fie mic. Calculul ieşirilor predictate se bazează pe cunoaşterea unui model matematic reprezentat în domeniul δ discret, deoarece aşa cum a fost studiat în Capitolul 4, modelele matematice în acest domeniu de reprezentare prezintă numeroase avantaje numerice şi conceptuale în contextul unei perioade mici de eşantionare. Considerând cazul cel mai simplu, un model intrare stare ieşire în domeniul discret δ cu vectorul stărilor cunoscut, neafectat de perturbaţii sau zgomot:

,

,k k k

k k

δ δ

δ

δx = A x + B uy = C x

(5.3)

unde , ,n m pk k k∈ ∈ ∈x u y reprezintă vectorul stărilor, vectorul comenzilor şi vectorul

ieşirilor sistemului. Estimările stărilor bazate pe cunoaşterea setului incomplet de informaţii (5.2) pot fi calculate astfel:

1

1

0

jj j j i i

k k ki

x x uδ δ δδ δ−

− −

=

= +∑A A B . (5.4)

Pentru calculul predicţiilor de ordin j se porneşte de la modelul procesului (5.3). Predictorii estimaţi în domeniul δ pentru 0, yj N= , presupunând restricţia 0=k

juδ , pentru uNj ≥ :

min , 1

1

0.

j Nyj j j j i i

k k k ki

y C x x A uδ δ δ δ δ δδ δ δ−

− −

=

= = + ∑C A C B (5.5)


103

G este matricea extinsă Toeplitz ce conţine parametrii Markov bazaţi pe operatorul δ [Rostgaard et al., 1996]:

,

.... ... ...... 0(0,0)........... (0, 1)

.... ... ...... 0.

... ... ...... 0.

( ,0)....... ( 1)

u

y y u

g g N

g N g N N

δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦ y yN -1 N -2

0 C B

G = C A B C B

C A B C A B … C

,

δ δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦B

(5.6)

unde 1 ,0 min , 1

( , )0, ,

j iui k N

g j iin rest

δ δ δ− −⎧ ≤ ≤ −

= ⎨⎩

C A B

iar f reprezintă răspunsul liber:

k k

δ δ

δ δ

δ δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

1

Ny

C A

C Af = x = βx

.C A

, (5.7)

unde β este o matrice de dimensiune nN y ×+ )1( , n fiind ordinul sistemului iar G este de dimensiune uy NN ×+ )1( .

Secvenţa de comandă δu , precum şi vectorul ce conţine valorile predictate ale ieşirii ˆ δy sunt definite astfel:

[[

2 1

2

...... ]

ˆ ...... ] .

u

y

N Tk k k k

N Tk k k k

u u u u

y y y y

δ

δ

δ δ δ

δ δ δ

−=

=

u

y (5.8)

Predictorul poate fi rescris în formă matriceală:

ˆ ˆ= +Y βx Gu . (5.9)

Acest algoritm are la bază strategia de reglare GPC proiectată în domeniul continuu de timp. Astfel, criteriul integral de la care se porneşte determinarea comenzii optimale este [Demircioglu şi Gawthrop 1989]:

2

1

2 21, 2

0

( , ) ( ( ) ( )) ( )utt

s ut

J t t t y t w t u t dtλ= − +∫ ∫ . (5.10)

În [Demircioglu şi Gawthrop, 1989] mărimile viitoare ( ), ( )t ty w şi ( )tu nu sunt în general cunoscute, dar pot fi aproximate din seria Taylor de puteri. Această abordare implică derivatele de ordin yN ale mărimii de ieşire ( )ty şi derivatele de ordin uN ale mărimii de comandă ( )tu . În formularea emulator GPC bazată pe operatorul δ , aceste derivate continue


104

de timp pot fi înlocuite cu derivatele δ discrete astfel încât, în cazul limită, cele două domenii de reprezentare să coincidă pentru 0→sT . Pentru a elimina dezavantajul algoritmului convenţional GPC în ceea ce priveşte volumul de calcul ce trebuie realizat într-o periodă de eşantionare, alte strategii s-au impus prin oferirea unor soluţii convenabile prin avantajele aduse de operatorul δ . În acest sens, operatorul δ poate aproxima operatorul de diferenţiere. Astfel, utilizând seria Taylor:

1

( )( ) ( )!

yN j j

jj

y tt tj tττ

=

∂+ ≈ + ⋅

∂∑y y , (5.11)

aceasta poate fi aproximată cu:

1

( ) ( )!

y

y

N jj

t t Nj

t yjττ δ τ

=

+ ≈ + ⋅ = ⋅∑y y T y , (5.12)

unde vectorul ( )yN τT este definit ca un vector linie cu 1+yN elemente care sunt

independente de sT :

( ) 1 ........... ,

!

....................... .

y

y

y

N

Ny

TNt t t

N

y y y

ττ τ

δ δ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

T

y

(5.13)

Criteriul integral poate fi rescris, cunoscând aproximarea predictorilor (5.12) şi (5.13), [Boucher şi Dumur 1993]:

2

1

2 21, 2

0

( , , , ) ( ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) )

ˆ ˆ ( ) ( ) .

u

y u

tt

s u u y N Nt

T Ty u

J t t t N N y t w t d u dtτ τ λ τ

λ

= ⋅ − +

= − +

∫ ∫T T

y w T y - w u T u

(5.14)

Matricele ce intervin în funcţia de cost (5.14), yT şi uT au fost prima dată calculate de

[Demircioglu, 1989]:

2

1

0

( ) ( ) ,

( ) ( ) .

y y

u

u u

tT

y N Nt

tT

u N N

d

d

τ τ τ

τ τ τ

=

=

∫

∫

T T T

T T T

(5.15)

[Lauritsen, 1995] a determinat matriceal yT şi uT , considerând relaţiile:


105

1 12 1

[ , ]

1

[ , ]

,( 1)( 1)!( 1)!

.( 1)( 1)!( 1)!

r c r c

y r c

r cu

u r c

t tr c r c

tr c r c

+ − + −

+ −

−=

+ − − −

=+ − − −

T

T (5.16)

unde r reprezintă linia, respectiv c coloana din matricea yT sau uT . Ambele matrici sunt matrici simetrice şi pozitiv definite pentru 2 1 0, 0ut t t− > > , cu dimensiunile

)1()1( +×+ yy NN , şi respectiv ( )u uN N× .

5.2.1.2 Legea de reglare automată optimală Introducând relaţia predictorilor (5.5) în funcţia de cost (5.14) se obţine următoarea formă pătratică:

1, 2( , , , ) ( ) ( )T Ts u u y y uJ t t t N N λ= + − + − +Gu f w T Gu f w u T u . (5.17)

Minimizarea criteriului (5.17) în raport cu secvenţa de comandă u şi restricţiile impuse conduc la determinarea secvenţei optimale:

1( ) ( )T Ty u yλ −= +u G T G T G T w - f . (5.18)

Respectând principiul orizontului alunecător, regulatorul poate fi implementat, considerând vectorul linie 0[ ........ ]

yNα α=α :

1[1 0........0]( )T Ty u yλ −= +α G T G T G T . (5.19)

Din vectorul u obţinut, numai primul element va fi trimis către proces, acesta având expresia:

( )Tt tu = − + = −αβ x αw α w f , (5.20)

cu răspunsul liber f determinat în (5.7), sau:

ˆ ,T T Tt tu = − +L x αw L = β α (5.21)

Această formulare a strategiei de reglare pornind de la modelul intrare-stare-ieşire este atractivă deoarece satisface cerinţa de a combina reacţia feedback după stare de la )(tx şi reacţia feed –forward de la referinţa w.

5.2.2 Algoritmul GPC pentru sisteme rapide în domeniul discret δ Acest paragraf vizează elementele de originalitate introduse cu scopul de a aduce îmbunătăţiri algoritmului predictiv GPC în domeniul discret δ . Motivaţia acestui studiu este justificată de progresul realizat în domeniul conducerii predictive ce este confirmat prin aplicabilitatea practică în numeroase domenii de activitate. Mai mult, a fost demonstrat faptul că domeniul δ


106

de discretizare elimină anumite dezavantaje introduse în calculul numeric de operatorul clasic de discretizare. Astfel, este posibilă reducerea erorilor de rotunjire, în cazul implementărilor în aritmetica în virgulă fixă sau virgulă mobilă şi evitarea unei proaste condiţionări numerice. Algoritmul propus constă în elaborarea unei metode de conducere predictivă în domeniul discret δ cu utilizare în reglarea sistemelor rapide cu aplicabilitate în domeniul energetic. Sunt dezvoltate două abordări, pentru sistemele ce încorporează sau nu, un element integrator. Spre deosebire de algoritmul emulator δ GPC prezentat în paragraful anterior în care etapele de proiectare sunt transformate din domeniul continuu de timp în domeniul δ discret, algoritmul propus se evidenţiază prin faptul că strategia pentru determinarea comenzii optimale este dezvoltată în totalitate în domeniul δ . În acest fel, calculele numerice sunt realizate în acest domeniu discret, efectele erorilor de rotunjire care apar în domeniul clasic de discretizare sunt în acest caz reduse, mai ales pentru perioade mici de eşantionare în contextul unei reprezentări pe un număr finit de biţi. Analiza se extinde prin comparaţii realizate între algoritmului emulator GPC în reprezentarea δ discretă şi strategia proiectată în domeniul clasic de discretizare în situaţia utilizării unei perioade mici de eşantionare. De asemenea, sunt discutate aspecte legate de performanţele algoritmului propus în comparaţie cu algoritmii de conducere predictivă existenţi în literatura de specialitate, considerând două studii de caz: un model intrare-stare-ieşire analizat şi în alte articole de specialitate şi un model intrare-stare-ieşire al unui generator sincron conectat la o reţea de putere infinită.

5.2.2.1 Deducerea predictorului din modele intrare-stare-ieşire Se consideră cazul cel mai simplu, un model intrare stare ieşire în domeniul discret δ cu vectorul stărilor cunoscut, neafectat de perturbaţii sau zgomot reprezentat în (5.3). Plecând de la modelul matematic, δ derivatele stărilor de ordin j sunt obţinute prin (5.4) [Rostgaard et al., 1996]. Pentru calculul predicţiilor de ordin i se porneşte de la modelul procesului (5.3). Predictorii estimaţi în domeniul δ pentru 0, yj N= sunt calculaţi conform (5.5).

Forma matriceală a expresiilor predictorilor de ordin 0…Ny :

,

ˆ ,

jk δ δ

δ δ

δ = =y βx + Gu f + Guy = f + Gu

(5.22)

unde G este matricea extinsă Toeplitz ce conţine parametrii Markov bazaţi pe operatorul δ (5.6) iar f reprezintă răspunsul liber (5.7). Secvenţa de comandă δu ,precum şi vectorul ce conţine valorile predictate ale ieşirii ˆ δy sunt definite de (5.8).


107

Spre deosebire de abordarea propusă de [Rostgaard et al., 1996] în care modelul matematic este transformat în domeniul clasic de discretizare, şi prin urmare nu beneficiază de proprietăţile oferite de operatorul δ, algoritmul dezvoltat aici se bucură de toate avantajele acestui operator. Secvenţa de comandă optimală în domeniul δ se obţine prin minimizarea unei funcţii obiectiv. În următorul paragraf se va dezvolta legea de reglare obţinută, cunoscând transformarea binomială [Neumann, 1993]:

0(1 ) ( )

!!( )!

jj j n j

s j sn

nnotatien

j j

q T C T

jCn j n

δ δ=

= + =

⎛ ⎞= ⎯⎯⎯→⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∑ (5.23)

sau forma matriceală:

0

0 00 1

1 10 1 2s s

0 1

1 1 1 110 1 2

0 1 2 1

0 0 01 0 02

! !( 1)! ( )! !

y y y yyy

y

s

k ks s

k ks

jik

s s s

N N N NNN

ks s s sN

Tq y yT Tq y yT T T

j jq y T T Tj j i i

q y T T T T

δ

δ

− − − −−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

…………

… …

…

ˆ ˆ .

y

jk

Nk

q y

y

y

δ

δ

δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅y K y

, 0, yi N= , (5.24)

În mod asemănător expresiei (5.24) se obţine descrierea comenzii:

,0

0, 1j

j i i ik j s y

iq u C T u j Nδδ

=

= = −∑ , (5.25)

sau forma matriceală:

.q u δ= ⋅u K u (5.26)

Derivarea legii de reglare urmăreşte ideea reglării predictive generalizate în termenii operatorului clasic de deplasare q [Halaucă şi Lazăr, 2007b]. Din punct de vedere computaţional este de menţionat faptul că matricile , y uK K sunt implementate off-line

deoarece elementele lor depind doar de perioada de eşantionare specificată şi orizontul de predicţie yN , ce sunt cunoscute apriori.


108

5.2.2.2 Implementarea legii de reglare State-Space δ GPC În cele ce urmează este propusă o nouă abordare în ceea ce priveşte determinarea legii de reglare predictive în domeniul δ. Rezultatele cercetării în această direcţie s-au concretizat în câteva publicaţii printre care [Halaucă şi Lazăr, 2005] şi un articol acceptat pentru publicare în 2009 în revista International Journal of Systems Science. Dezvoltarea algoritmului SS δ GPC pentru procese ce nu încorporează o componentă integratoare Parametrii de proiectare specifici conducerii predictivă GPC, precum şi alegerea acestora se păstrează şi în cazul algoritmului SS δ GPC (State Space δ GPC). Orizontul comenzii uN este un parametru cheie a cărui semnificaţie poate fi explicată prin faptul că incrementele comenzii predictate devin nule pentru eşantioane mai mari decât uN . Aşa cum se ştie, în domeniul clasic discret:

1 0, jk j k j k j uu u u N+ + + −Δ = − = > . (5.27)

Utilizarea incrementelor comenzii sunt preferate în locul valorilor absolute pentru a evita erorile de regim staţionar pentru sistemele fără integrator. Numai factorul de ponderare 0λ = sau un integrator încorporat poate rezolva problema reglării. Incrementele comenzii sunt introduse în funcţia obiectiv prin matricea Q [Halaucă şi Lazăr, 2005; Anderson, Halaucă şi Kadirkamanathan, 2009]:

0

1

1 2

1

1 0 0 01 1 0 0

00 1 1 0

00

0 0 1 1u u

kk k

kk

u k

k N Nk

uu u

uu

u

uu

δδ

δ

δ

−

+

+ +

⎡ ⎤⎡ ⎤Δ⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Q

K . (5.28)

În mod obişnuit, restricţiile asupra vectorului comenzilor nu sunt indicate în cazul perioadelor mici de eşantionare [Lauritsen, 1997]. Relaţia de echivalenţă pentru restricţiile secvenţei de comandă (5.27) între formulările celor două domenii discrete este discutată în cele ce urmează. Pentru a facilita o reprezentare sugestivă, vectorul δu este divizat astfel:

1

2

1 0 1

11 22

[ ... ]

[ ... ] .

u

yu u

N T

NN N T

u u u

u u u

δδ

δ

δ

δ

δ δ δ

δ δ δ −+ +

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

=

uu

u

u

u

(5.29)


109

Implementarea algoritmului GPC în domeniul discret q ar trebui să satisfacă, conform metodologiei predictive:

0, 1, 1k i u yu i N N+Δ = = + − , (5.30)

funcţia de cost fiind definită de:

[ ] [ ]1

2 21

1

ˆ .y uN N

k i k i k ii N i

J λ+ + + −= =

= − + Δ∑ ∑y r u (5.31)

Incrementele comenzii în domeniul discret δ pot fi exprimate astfel [Anderson, Halaucă şi Kadirkamanathan, 2009]:

11k i u δ+ −Δ =u QK u , 1: ui N= . (5.32)

Odată ce s-a ajuns la valoarea orizontului comenzii nici o ajustare nu se mai poate face în secvenţa de comandă, aşa încât comanda rămâne constantă pe întreg intervalul rămas până la

yN . Aşadar trebuie impusă condiţia [Halaucă şi Lazăr, 2005; Anderson, Halaucă şi

Kadirkamanathan, 2009]:

, 1, 1uk i k N u yu u i N N+ += = + − . (5.33)

Acţiunea de comandă în domeniul δ peste orizontul comenzii poate fi rescrisă:

1

2 1

1

u u

u u

y u

k N k N

k N k N

k N k N

u uu u

u u

δ

+ + +

+ + +

+ − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Γ u , (5.34)

unde:

0 1

0 1

u u uu

u

N N NN

s s sNT T T

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ = ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

. (5.35)

Din relaţiile (5.30) şi (5.34) rezultă expresia:

1 2 1u yδ δ δ+ = ΓΓ u Γ u u , (5.36)

unde uΓ şi yΓ sunt submatrici ale matricii uK cu numărul de coloane egal cu dimensiunea

vectorilor 1δu şi, respectiv 2

δu . Din relaţia (5.36), componenta 2

δu poate fi determinată:

2 1 1( )y uδ δ−= −u Γ Γ Γ u . (5.37)

Alegerea funcţiei obiectiv ocupă un loc important în proiectarea algoritmilor de reglare cu predicţie. Funcţia obiectiv pentru sisteme fără integrator poate fi definită astfel în domeniul δ:


110

1

2 2

1

ˆ( ) ( ) .Ny Nu

j j jy k k u k

j N jJδ δ δ λ δ

= =

= − +∑ ∑K y w QK u (5.38)

Vectorul de referinţă are forma:

20 1 ...... ] .yN Tw w w wδ δ δ δ δ⎡= ⎣w (5.39)

Tinând cont de expresia (5.37), forma predictorului (5.22) poate fi rescrisă:

1 2

1 1

1

ˆ ( )

( )

.

u y

u y y u

δ δ δ

δ

δ

−

≈

+

⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦

= +

y = f + G u G u

f G G Γ Γ Γ u

f G u

, (5.40)

unde matricile ( 1) ( 1)y un N m Nu

+ × +∈G şi ( 1) ( 1)y y un N m N Ny

+ × − −∈G sunt submatrici din matricea G

cu numarul de coloane egal cu dimensiunea vectorilor 1δu şi, respectiv 2

δu . Funcţia obiectiv poate fi rescrisă în formă matriceală [Halaucă şi Lazăr, 2005; Anderson, Halaucă şi Kadirkamanathan, 2009]:

1 1 1 1

1 1 1 1

[ ( )] [ ( )] ( ) ( )

[ ( )] ( ( )) .

T Ty y u u

T T T T Ty y u u

Jδ δ δ δ δ

δ δ δ δ

λ

λ

≈ ≈

≈ ≈

= + − + − +

= + − + − +

K f G u w K f G u w QK u QK u

G u f w K K G u f w u K Q QK u

(5.41)

În urma calculelor matematice, Jδ devine:

1 1 1 1 1[ ( ) ] [ ( )]T T T T T Ty y u uJδ δ δ δ δ δλ

≈ ≈

= + − + − +u G u f w K K G u f w u K Q QK u . (5.42)

Se introduc notaţiile:

0

,

( ),

( ) ( ),

T T T Ty y u u

T Ty y

T Ty y

λ≈ ≈

≈

= +

= −

= −

H G K K G K Q QK

L G K K f w

f f w K K f - w

(5.43)

matricea H fiind simetrică. Funcţia obiectiv poate fi rescrisă, tinând cont de notaţiile făcute în (5.43):

1 1 1 1T T TJδ δ δ δ δ= + + + 0u Hu u L L u f . (5.44)

Secvenţa de comandă optimală se determină prin anularea gradientului funcţiei Jδ :

1

1 1

1 1

0 2 0

( ) .

T T T

T

dJ dJd d

δ δδ

δ δ

δ−

= ⇒ = + + =

⇒ = −

u H L Lu u

u H L (5.45)


111

Din secvenţa de comandă obţinută numai primul element va fi transmis spre proces:

1 11 ( ) ( )T T T

y yuδ

≈−= −H G K K w f . (5.46)

Conform principiului orizontului alunecător doar primul element din secvenţa de comandă optimală va fi aplicat procesului, urmând ca la pasul următor întregul algoritm să se repete, luând în considerare ieşirea curentă calculată. Dezvoltarea algoritmului SS δ GPC pentru procese ce încorporează un element integrator Algoritm dezvoltat în paragraful anterior poate fi formulat în mod diferit pentru procese ce conţin un element integrator în modelul matematic. Astfel, restricţia (5.36) poate fi reformulată în mod diferit [Anderson, Halaucă şi Kadirkamanathan, 2009]. În domeniul discret q, algoritmul GPC ar trebuie să satisfacă restricţia:

0, 1, 1k i u yu i N N+ = = + − . (5.47)

În reprezentările algoritmului GPC din domeniul continuu de timp, respectiv strategiei EGPC ilustrată în paragraful 5.2.1, restricţia (5.47) are ca şi corespondent în domeniul discret δ

0, 1, 1ik u yu i N Nδ = = + − . (5.48)

Cele două premise (5.47) şi (5.48) nu sunt echivalente [Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009]. Prin urmare, algoritmul SS δ GPC propune găsirea corepondenţei exacte a restricţiei (5.47). Astfel, membrul stâng al relaţiei (5.36) poate fi egalat cu 0:

1 2 0u yδ δ+ =Γ u Γ u . (5.49)

Astfel componenta 2δu ce conţine elementele vectorului comenzii pentru eşantioane mai mari

ca uN poate fi determinată [Halaucă şi Lazăr, 2005; Anderson, Halaucă şi Kadirkamanathan, 2009]:

2 1 1y uδ δ−= −u Γ Γ u , (5.50)

unde yΓ este o matrice inferior triunghiulară inversabilă cu elementele de pe diagonala

principală diferite de zero. Această expresie poate fi înlocuită în funcţia de cost (5.38) şi în forma predictorului (5.22). În acest fel, predictorul (5.22) depinde numai de 1

δu , acesta poate fi rescris:

1 2

1 1 1

1 1

ˆ ( )

( ( )

( ) ,

u y

u y y u

u y y u

δ δ δ

δ δ

δ

−

−

+

= + −

= −

y = f + G u G u

f + G u G Γ Γ u

f + G G Γ Γ u

(5.51)


112

dacă se notează cu 1u y y u

−= −G G G Γ Γ , funcţia de cost ce poate fi utilizată pentru algoritmul

GPC în domeniul discret delta pentru procesele ce conţin integrator are expresia:

1 1 1 1( ) ( ) )T Ty uJδ δ δ δ δλ= + − + − +f G u w Γ f G u w u Γ u . (5.52)

Secvenţa de comandă optimală se determină prin anularea gradientului funcţiei Jδ :

1 * 11 0 ( ) ( )T T

y u ydJd

δδ

δ

λ −= ⇒ = + −u G Γ G Γ G Γ w fu

. (5.53)

Mărimea de comandă aplicată procesului este primul element din secvenţa (5.54):

* 1 *[1 0 0]Tu δ= ⋅u… . (5.54)

Derivarea legii de reglare cu predicţie SS δ GPC în domeniul discret delta pentru procesele ce conţin integrator oferă un grad redus de complexitate şi poate fi implementată atât pe calculator cât şi pe anumite dispozitive încorporate ce joacă rolul de regulator.

5.2.2.3 Studiu în alegerea orizonturilor de comandă şi de ieşire În domeniul discret utilizând operatorul q s-au realizat numeroase simulări pe o varietate largă de modele şi instalaţii, incluzând procese stabile, instabile, cu defazaj neminim şi cu timp mort variabil. [Clarke et al., 1984] au determinat reguli de alegere a parametrilor de proiectare

yN , 1N şi uN . În urma rezultatelor obţinute s-a observat că algoritmul predictiv GPC este

extrem de robust, în ceea ce priveşte alegerea parametrilor [Lazăr, 1999]. Aceşti indici de proiectare îşi păstrează rolul şi în algoritmii de conducere predictivă din domeniul continuu, emulator GPC sau δ discret [Lauritsen, 1997, Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009].

• 1N - Orizontul minim de predicţie trebuie să fie egal cu valoarea timpului mort al dinamicii instalaţiei.

• yN - Orizontul de predicţie trebuie ales în funcţie de dinamica procesului ce trebuie

reglat. În practică se utilizează o valoare mai mare, corespunzătoare timpului de creştere al răspunsului părţii fixate.

• uN - Orizontul de comandă. Pentru procese simple (stabile, cu posibil timp mort şi fază minimă) o valoare 1uN = asigură conducerea cu bune performanţe a procesului. Crescând valoarea orizontului comenzii, comanda şi ieşirea reglată devin mai active până la atingerea unei anumite faze, după care orice creştere a orizontului comenzii produce schimbări nesemnificative. În cazul sistemelor descrise în spaţiul stărilor, un proces de ordinul n necesită n valori de comandă diferite pentru obţinerea, de exemplu, a unui răspuns în timp minim. Pentru un sistem complex aceste valori îşi pot schimba frecvent semnul, astfel că un orizont de comandă redus nu ar permite suficiente grade de libertate în obţinerea acţiunii curente [Lazăr, 1999].


113

• λ - Factorul de ponderare se alege în strategia GPC q discretă pentru amortizarea acţiunilor de comandă, acolo unde este cazul. Deşi incrementele comenzii sunt ponderate de acest factor in funcţia de cost pentru a anula eroarea de regim staţionar, GPC poate fi instabil pentru procesele cu defazaj neminim pentru o valoarea mică a lui λ , însă acest neajuns poate fi corectat printr-o alegere adecvată a orizonturilor comenzii si de predicţie.

Modelul intrare-stare-ieşire considerat în acest studiu a fost mai înainte utilizat în testarea algoritmului GPC continuu [Demircioglu şi Gawthrop, 1991] şi în algoritmul emulator GPC discret δ [Lauritsen, 1997; Halaucă şi Lazăr, 2005], [Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009]. Matricile modelului intrare-stare-ieşire în domeniul continuu de timp propus pentru studiu au forma:

0 1 0 11 0 0 , 0 , [0 0.2 1]0 1 0 0

c c c

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B C . (5.55)

Sistemul considerat reprezentat prin (5.55) este de stare complet controlabil şi complet observabil, cele 3 valori proprii 1 2 30, ,i iλ λ λ= = + = − fiind polii sistemului. Modelul intrare-ieşire asociat este instabil cu un zerou de fază neminimă 5z = . Pentru ilustrarea performanţelor algoritmului SS δ GPC şi influenţa parametrilor legii de reglare sunt realizate studii experimentale prin simulare pe modelul (5.55). În Fig. 5.1 este ilustrată dependenţa şi influenţa parametrilor de acordare ai legii SS δ GPC [Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009]. Simulările au fost realizate considerând variaţia orizontului comenzii şi al celui de predicţie pentru 0,01sT = şi 0,0001λ = . Regiunea de instabilitate în planul parametrilor yN şi uN este indicată atât de variaţia pătratului erorii

ilustrate în Fig. 5.1 a) cât şi de variaţia în pătratul mărimii de comandă Fig. 5.1 b). Aparent se observă că orizontul de predicţie are efectul cel mai dominant asupra erorii şi comenzii, cu cât

yN creşte, pătratul erorii scade, iar comanda devine mai intensă (Fig. 5.1 d). Acest fapt

demonstrează că acţiunea de comandă devine mai activă pentru valori mari ale orizontului de predicţie pentru o valoarea constantă a factorului de ponderare λ . De remarcat este şi durata de simulare de 4 secunde.


114

Fig. 5.1 Performanţe obţinute în urma variaţiei orizonturilor comenzii şi de predicţie pentru 0,01sT = şi 0,0001λ = (preluat din [Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009])

a) Modificarea pătratului erorii b) Modificarea pătratului mărimii de comandă c) Evoluţia mărimii de ieşire d) Evoluţia mărimii de comandă Alegerea unui orizont al ieşirii mai mare poate fi justificată datorită comportării de fază neminimă a procesului. Odată cu creşterea orizontului de predicţie se observă o scădere a erorii de predicţie şi o creştere a pătratului comenzii.

5.2.2.4 Avantajele şi dezavantajele utilizării algoritmului State-Space δ GPC din perspectiva reprezentării interne Avantajul algoritmului GPC în domeniul discret δ constă în îmbunătăţirea proprietăţilor numerice, comparativ cu operatorul q, în contextul alegerii unei perioade mici de eşantionare combinată cu o anumită reprezentare numerică. Acest scenariu are relevanţă pentru sistemele încorporate (embedded controllers) cu aplicaţii în diverse domenii. Pentru a analiza avantajele oferite de implementarea algoritmului SS δ GPC şi din perspectiva unei reprezentări pe un anumit număr de biţi s-au realizat studii experimentale prin simulare în mediul Matlab pentru reprezentări numerice de 4, 8, 12 şi 16 biţi.


115

Rezultatele obţinute prin simularea modelului matematic analiza anterior (5.55) demonstrează că erorile în acţiunea de comandă sunt comparabile în cele două domenii discrete pentru o reprezentare pe 4 biţi, însă operatorul δ este semnificativ mai precis pentru reprezentări de 8, 12 şi 16 biţi. Aceste rezultate care pun în valoare reprezentarea discretă δ pot fi examinate în Fig 5.2 în care sunt ilustrate comparativ cu rezultatele obţinute de operatorul q erorile în acţiunea de comandă în aceleaşi condiţii: 0,01sT = , 0,0001λ = , 100yN = şi 80uN = . O

explicaţie ar fi referitoare la efectele de rotunjire ale valorilor numerice în matricele algoritmului. Pentru perioade mici de eşantionare, răspunsul liber reprezentat de matricea f se manifestă prin modificări numerice mici între eşantioane. O codificare directă a acestui răspuns în domeniul q este probabil afectată de erori de rotunjire pentru o reprezentare pe un număr finit de biţi. Operatorul δ codifică răspunsul liber prin diferenţiere numerică, valorile numerice obţinute fiind mai robuste la efectele de rotunjire. Acest algoritm propus reprezintă un element de originalitate, fiind o abordare ce are avantajul că toate calculele numerice sunt realizate în termenii operatorului delta, păstrându-se astfel avantajele numerice cât şi conceptuale în contextul unei perioade mici de eşantionare.

Fig. 5.2 Performanţe comparative obţinute pentru eroare în mărimea de comandă

pentru o reprezentare în virgulă fixă (preluat din [Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009])

a) 4 biţi b) 8 biţi c)12 biţi d)16 biţi


116

În cazul unor perioade de eşantionare mai mari combinate cu o reprezentare pe un număr mai mare de biţi, operatorul clasic de discretizare este preferat în locul operatorului δ. Motivul este acela că prin scalarea valorilor numerice mari din matricele legii de reglare în formularea δ discretă se reduce numărul de biţi pentru reprezentarea fracţionară şi prin urmare este afectată rezoluţia. Cu toate acestea este de menţionat că erorile sunt de ordinul 110− , iar erorile în termenii legii de reglare nu sunt semnificative, acţiunea de comandă permiţând performanţe bune [Halaucă şi Lazăr, 2005; Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009]. Modelul matematic δ discret al procesului păstrează într-o oarecare măsură proprietăţile intrinseci ale modelului matematic din domeniul continuu, ceea ce constituie un avantaj semnificativ, prin discretizare nu se introduc zerouri de transmisie care să inflenţeze în mod negativ performanţele sistemului de reglare. Un neajuns al metodei îl constituie complexitatea de calcul, ce creşte odată cu mărirea orizontului de predicţie şi al comenzii.

5.2.3 Studiu comparativ între algoritmul emulator δ GPC şi State-Space δ GPC În această secţiune sunt prezentate câteva rezultate experimentale ce demonstrează performanţele de reglare obţinute prin implementarea algoritmilor predictivi în domeniul discret δ, utilizând modele matematice care descriu dinamica unor subsisteme existente în domeniul energetic. În procesele tehnologice destinate producerii, transportului, distribuţiei şi utilizării energiei termice sau electrice sunt des întâlnite subsisteme ce conţin elemente tip integrator şi zerouri de fază neminimă. Astfel de procese cu dinamică dificilă sunt greu de reglat utilizând legi clasice de reglare [Halaucă şi Lazăr, 2005; Anderson, Halaucă şi Kadirkamanathan, 2009]. Într-o primă etapă, experimentele au fost efectuate prin simulare, considerând legea de reglare predictivă GPC în domeniul discret δ şi aplicată în conducerea unui sistem liniar reprezentat printr-un model intrare-stare-ieşire. Rezultatele experimentale sunt comparate cu rezultatele obţinute prin implementarea algoritmului emulator δ GPC şi analizate din prisma proprietăţilor numerice oferite în contextul alegerii unei perioade mici de eşantionare. Modelul matematic utilizat pentru analiza comparativă cu algoritmul emulator δ GPC este (5.55) Modelul discret în domeniul δ obţinut în [Halaucă şi Lazăr, 2005], considerând perioada de eşantionare 0.1sT = este:


117

[ ]

0,0499 0,9983 0 0,9983 0,9983 0,0499 0 , 0,0499 , 0,0499 0,9983 0 0,0016

0 0,200 1 .

δ δ

δ

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −

A B

C

(5.56)

În domeniul discret δ, polii funcţiei de transfer corespunzătoare modelului (5.56) sunt 1 2,30, 0,04 0,99p p i= = − ± . Prin operaţia de discretizare este introdus un zerou de

eşantionare suplimentar 1 26, 49, 18, 49z z= = − .

Matricele modelului intrare-stare-ieşire din domeniul discret q pentru aceeaşi perioada de eşantionare sunt:

[ ]

0,9950 0,0998 0 0,09980,0998 0,9950 0 , 0,0049 ,0,0049 0,0998 1 0,0001

0 0, 200 1 .

q q

q

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −

A B

C

(5.57)

Găsirea secvenţei de comandă optimale se face prin minimizarea numerică a unei funcţii obiectiv de forma (5.52), ţinând cont de faptul că procesul conţine un integrator. Rezultatele simulării pentru 0,1sT = sunt ilustrate cu linie continuă în Fig. 5.3 a) iar cu linie întreruptă cele obţinute cu perioada de eşantionare 0, 4sT = . Compensarea efectului introdus de o perioadă mică de eşantionare se poate realiza prin creşterea orizontului de predicţie. În Fig. 5.3 b) sunt prezentate comparativ evoluţiile comenzii şi mărimii reglate dintre algoritmul GPC q discret considerat cu modelul matematic corespunzător şi algoritmul SS δ GPC. Parametrii de acord consideraţi în simulări sunt 21, 20, 1uN N λ= = = , iar 0.1sT = . Algoritmul predictiv GPC considerat în domeniul discret δ permite îmbunătăţirea proprietăţilor numerice comparativ cu algoritmul GPC expus în domeniul clasic de discretizare, în special pentru perioade mici de eşantionare.


118

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5

10

15

20

Com

anda

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

Timp[s]

Mar

imea

de

iesi

re

Marime reglata T=0.4, Nu=1, N2=20, lamda=1 ReferintaMarime reglata T=0.1, Nu=1, N2=20, lamda=1

T=0.1 T=0.4

Fig. 5.3 Performanţele algoritmului SS δ GPC la modificarea perioadei de eşantionare a) Evoluţia comenzii şi mărimii de ieşire cu SS δ GPC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-10

0

10

20

Com

anda

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-10

0

10

20

30

Timp[s]

Mar

imea

de

iesi

re


GPC delta discret Ts=0.4GPC delta discret Ts=0.1GPC q discret Ts=0.1

T=0.1 T=0.4

GPC q discret

GPC q discret

Fig. 5.3 Performanţele algoritmului SS δ GPC la modificarea perioadei de eşantionare b) Rezultate comparative cu algoritmul GPC q discret

Pentru obţinerea unui răspuns mai rapid în cazul algoritmului q GPC se poate seta o valoare mai mică a factorului de ponderare, însă cu preţul unui efort mai mare în acţiunea de comandă.


119

În Fig. 5.3 c) sunt prezentate comparativ evoluţiile comenzii şi mărimii reglate dintre algoritmul GPC q discret cu limitarea comenzii şi algoritmul SS δ GPC, considerând aceeaşi parametri de acord.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-10

0

10

20

Com

anda

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-10

0

10

20

30

Timp[s]

Mar

imea

de

iesi

re

GPC delta discret Ts=0.4GPC delta discret Ts=0.1GPC q discret Ts=0.1


T=0.1 T=0.4

GPC q discret

GPC q discret

GPC q discret cu limitarea comenzii

GPC q discret cu limitarea comenzii

Fig. 5.3 Performanţele algoritmului SS δ GPC la modificarea perioadei de eşantionare c) Rezultate comparative cu algoritmul GPC q discret cu limitarea comenzii

Din Fig. 5.3 b) se observă că acţiunea de comandă elaborată de algoritmul GPC în domeniul clasic de discretizare este mai activă comparativ cu comanda furnizată de algoritmul SS δ GPC pentru aceeaşi parametri de acord. De menţionat este şi faptul că perioadele de eşantionare au fost alese astfel încât să se poată ilustra comparativ evoluţiile ieşirii şi ale comenzii, o perioadă de eşantionare suficient de mică implicând instabilitate în evoluţia dinamicii structurii automate cu regulator GPC în domeniul q discret. Pentru simulările realizate în Matlab s-a considerat reprezentarea internă în virgulă fixă pe 16 biţi. În [Kadirkamanathan, Halaucă şi Anderson, 2009] este demonstrat faptul că operatorul de discretizare δ în conducerea predictivă îmbunătăţeşte acurateţea numerică în comparaţie cu operatorul clasic de discretizare, în cazul unei reprezentări de 8, 12 sau 16 biţi. Explicaţia constă în faptul că pentru perioade mici de eşantionare, matricea f ce încapsulează răspunsul liber se manifestă prin schimbări obţinute prin diferenţiere numerică, reprezentare ce este mai robustă la efectele de rotunjire. Prin contrast, operatorul clasic discret introduce erori de rotunjire. În cazul unei reprezentări fixe combinate cu o frecvenţă mare de eşantionare, algoritmul SS δ GPC se remarcă prin robusteţe, performanţele reglării şi a timpului de calcul fiind superioare. Algoritmul GPC formulat în domeniul q este însă superior în cazul unei


120

frecvenţe mai mici de eşantionare combinat cu o reprezentare numerică pe mai mulţi biţi, evoluţia ieşirii şi comenzii degradându-se odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare. În Fig. 5.4 a) şi 5.4 b) sunt ilustrate comparativ formele de undă ale ieşirii sistemului şi ale mărimii de comandă între algoritmul SS δ GPC şi emulator δ GPC. Tehnica emulator δ GPC bazată pe algoritmul GPC din domeniul continuu a fost propusă de [Rostgaard, 1997] pentru a elimina neajunsul oferit de q GPC şi anume considerarea unei perioade mari de eşantionare în care să se efectueze calculele necesare pentru determinarea secvenţei de comandă la fiecare pas [Halaucă şi Lazăr, 2007].

0 2 4 6 8 1010 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30-5

0

5

10

15

20

Com

anda

0 2 4 6 8 1010 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

10

20

30

40

50

60

Timp[s]

Mar

imea

de

iesi

re

SS delta GPCReferinta Emulator Delta GPCTs = 0.4

Nu = 2, N2 = 20,lamda = 0.5

Fig. 5.4 Rezultate comparative cu algoritmul emulator δ GPC a)Evoluţia comenzii şi mărimii de ieşire pentru 0,4sT =

În Fig. 5.4 a) se observă că ieşirea sistemului urmăreşte referinţa impusă doar în cazul utilizării algoritmului SS δ GPC, parametrii de acord fiind 2uN = , 2 20N = , 0,5λ = , iar perioada de eşantionare 0,4sT = . Pentru obţinerea unor performanţe asemănătoare cu cele obţinute de algoritmul SS δ GPC, în acest caz se poate creşte valoarea orizontului comenzii şi/sau de predicţie, preţul de plătit fiind mărirea dimensiunilor matricilor algoritmului şi prin urmare creşterea complexităţii de calcul.


121

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220-5

0

5

10

15

20

Com

anda

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200

5

10

15

20

25

Timp[s]

Mar

imea

de

iesi

re

Emulator Delta GPC Ts = 0.02, lam = 0.5ReferintaSS Delta GPC Ts = 0.02, lam = 0.5

Nu=1, N2=20

Nu=3, N2=10

Fig. 5.4 Rezultate comparative cu algoritmul emulator δ GPC b) Evoluţia comenzii şi mărimii de ieşire pentru 0,02sT =

În Fig. 5.4 b) se observă că pentru un pas mic de eşantionare 0,02sT = , algoritmul emulator δ GPC îşi demonstrează capacitatea de a regla procesul, urmărind cu acurateţe referinţa impusă, în condiţiile alegerii parametrilor de acord 3uN = , 2 10N = , 0,5λ = . În urma simulărilor efectuate, algoritmul emulator δ GPC demonstrează performanţe mai bune pentru perioade mici de eşantionare, fiind foarte sensibil la variaţiile lui sT şi mai puţin sensibil la variaţiile parametrilor de acord specifici algoritmului GPC.

5.2.4 Implementarea legii de reglare automată pentru un proces rapid - Generator sincron conectat la o reţea de putere infinită

Generatorul sincron din cadrul unui sistem energetic are rolul de a asigura furnizarea puterii electrice. O caracteristică a generatorului sincron constă în alimentarea cu curent continuu a înfăşurării de excitaţie. O condiţie importantă ce se impune sistemului de excitaţie constă în realizarea unei viteze mari de răspuns, adică asigurarea într-un timp foarte scurt a tensiunii la bornele înfăşurării de excitaţie, în scopul restabilirii rapide a tensiunii la bornele generatorului sincron în cazul apariţiei unui avarii [Gogu, 2001]. Pentru a asigura furnizarea puterii electrice în condiţii de funcţionare normală, fiecare generator este prevăzut cu două sisteme de reglare. Astfel, sistemul de reglare automată a tensiunii AVR (Automatic Voltage Regulator) al cărui prim rol este de a comanda curentul de excitaţie în funcţie de mărimile de ieşire ale


122

generatorului (putere, tensiune, curent, unghi intern). Un alt obiectiv constă în menţinerea frecvenţei sistemului la o valoare nominală. Cel de-al doilea sistem este dispozitivul de reglare automată a vitezei de rotaţie care comandă debitul agentului primar (abur, gaz, apă) prin vana de admisie. Dificultăţile specifice regulatorului AVR se datorează perturbaţiilor şi încărcărilor bruşte ce pot apărea în sistem cu efect în schimbarea frecvenţei. De obicei, corecţia acestui efect este îndeplinită prin adăugarea unei componente integrale în regulator pentru a regla viteza generatorului astfel încât generatorul să rămână sincronizat cu reţeaua de interconectare. O perturbaţie bruscă şi severă determină variaţii mari în parametrii sistemului, iar punctele de operare şi regulatoarele liniare clasice nu sunt capabile să menţină stabilitatea ansamblului. În astfel de cazuri pentru a elimina neliniarităţile apărute şi pentru a obţine un comportament intrare-ieşire dorit se utilizează o reacţie liniară care să permită o anulare exactă a acestei neliniarităţi. Însă, configuraţia sistemului nu rămâne aceeaşi şi prin urmare, este imposibilă determinarea cu precizie a modelului neliniar. Stabilizarea sistemului se poate realiza prin folosirea ca mărimi de reacţie puterea electrică şi frecvenţa (sau viteza de rotaţie). [Grimble, 2001]. Dar, din păcate, adăugarea acestor mărimi printr-o reacţie negativă duce la apariţia interacţiunilor între bucle, ce afectează performanţele de reglare a tensiunii. În acest studiu se propune proiectarea unui regulator State space δ GPC pentru reglarea tensiunii generatorului sincron. Se va utiliza modelul matematic monovariabil reprezentat într-o abordare intrare – stare - ieşire domeniul discret δ pentru perioada de eşantionare ( )0,006sT = ilustrat în (4.95) din Capitolul 4, ce are ca mărime de intrare comanda excitaţiei

generatorului şi ca mărime de ieşire, tensiunea furnizată de generator.

47,8370 605,2891 3156,3493 29766,9224 850,56040,8505 1,9067 9,8960 94,3213 2,6950

,0,0026 0,9960 0,0202 0,1937 0,0055370,0000 0,00299 0,9999 0,0002 0,00000,0000 0,0000 0,0029 0,9999 0,0000

0

δ

δ

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

A

B

[ ]

,85050,0026

,0,00000,0000

0 0,5500 9, 4999 84,999 1599,9 .δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=C

(5.58)

Sistemul considerat are în domeniul continuu zerouri de transmisie mici de fază neminimă şi este instabil BIBO. Astfel de proces este greu de reglat utilizând legi clasice de reglare. Pentru acest proces energetic cu dinamică rapidă sunt propuse experimente efectuate prin simulare,


123

considerând legea de reglare predictivă GPC în domeniul discret δ pornind de la modelul intrare - stare -ieşire: Sistemul reprezentat prin modelul (5.58) este de stare complet controlabilă şi complet observabilă, valorile proprii fiind polii sistemului (Tabel 4.5 din Capitolul 4). Scopul acestui studiu este de a scoate în evidenţă situaţiile des întâlnite în subsistemele din domeniul energetic în care apar elemente ce influenţează în mod negativ stabilitatea BIBO a procesului sau cu o comportare de fază neminimă.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5

0

5

10

15

20

Com

anda

exc

itatie

i gen

erat

orul

ui

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

Ten

siun

ea g

ener

ator

ului

Timp [Esantioane]

N2=25ReferintaN2=35

Fig. 5.5 Evoluţia comenzii de excitaţie şi tensiunea de ieşire a generatorului

Determinarea secvenţei de comandă optimale este posibilă prin minimizarea numerică a unei funcţii obiectiv de forma (5.44), ţinând cont de faptul că procesul nu conţine integrator. Rezultatele comparative pentru orizonturi de predicţie de 2 25N = , şi respectiv 2 35N = obţinute prin simulare pentru aceleaşi valori ale 0,006sT = , orizontului comenzii 1uN = şi factorului de ponderare 0,007λ = sunt ilustrate în Fig. 5.5. În urma simulărilor efectuate pentru această perioadă mică de eşantionare, atât algoritmul emulator δ GPC cât şi algoritmul GPC proiectat în domeniul clasic de discretizare eşuează încă din etapa de efectuare a calculelor necesare determinării comenzii optimale, din considerente de proastă condiţionoare numerică. Aceste strategii sunt foarte sensibile la variaţiile perioadei de eşantionare sT şi mai puţin sensibile la variaţiile parametrilor de acord specifici algoritmului GPC. Cu toate acestea, rezultatele experimentale atestă algoritmii GPC predictivi în domeniul discret δ ca fiind utili pentru conducerea proceselor rapide, cu o caracteristică instabilă sau de fază neminimă, atunci când aceste procese nu pot fi reglate cu


124

structuri clasice de reglare. Acest studiu este relevant în special pentru implementarea unor structuri de conducere automată pe sisteme încorporate, unde reprezentarea poate fi restricţionată la un număr finit de biţi. Algoritmul SS δ GPC cât şi emulator δ GPC sunt formulaţi pornind de la modelul intrare-stare-ieşire, datorită simplităţii şi complexităţii numerice reduse. 5.3 Algoritmul Extended Prediction Self-Adaptive Control (EPSAC) Algoritmul linear EPSAC se bazează pe principiul răspunsurile libere şi forţate ca şi în cazul algoritmului GPC.

( | ) ( | ) ( | )free forcedt k t t k t t k t+ = + + +y y y . (5.59)

Componenta freey corespunde secvenţei de comandă de bază, iar forcedy este răspunsul la intrările viitoare ale incrementelor comenzii. forcedy este efectul rezultat al secvenţei de semnale de intrare: de tip impuls de amplitudine ( | )t tΔu aplicat la momentul t, componenta răspunsului la momentul t + k fiind ( | )kg t tΔu , semnal de tip treaptă cu amplitudinea

( 1| )t tΔ +u aplicat la momentul t + 1, rezultând la momentul t + k, componenta de răspuns al procesului 1 ( 1| )kg t t− Δ +u , ş.a.m.d [De Keyser et al., 1985].

1 1( | ) ( | ) ( 1| ) ... ( 1| )uforced k k k N ut k t g t t g t t g t N t− − ++ = Δ + Δ + + + Δ + −y u u u , (5.60)

unde parametrii g1, g2, … , gk, … sunt coeficienţii răspunsului indicial al sistemului, iar Nu

reprezintă orizontul comenzii. Prin urmare, răspunsul procesului în formă matricială este:

GUYY free += . (5.61)

unde:

1 1 1

1 1 1

2 2 2

T1 2

T

T1 2

1 1

1

1 1

[ ( | )... ( | )]

[ ( | )... ( 1| )] , ( | ) 0 for ,

[ ( | )... ( | )] ,

...

....

... ... ... ......

u

u

u

u u

free free

N N N N

N N N N

N N N N

y t N t y t N t

u t t u t N t u t k t k N

y t N t y t N t

g g g

g g g

g g g

− − +

+ −

− − +

= + +

= Δ Δ + − Δ + ≡ ≥

= + +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

free

Y

U

Y

G

(5.62)

În algoritmul EPSAC se notează cu N2 orizontul de predicţie. Vectorul U ce minimizează funcţia obiectiv:

)(T1TfreeYRGI)G(GU −+= −λ , (5.63)


125

cu vectorul referinţă definit astfel: T

21 )]|(...)|([ tNtrtNtr ++=R ,

2,...,1,)|()1()|1()|( Nktktwtktrtktr =+−+−+=+ αα . (5.64)

r(.) este traiectoria referinţei , w(.) este referinţa dorită şi α este un parametru. Comanda aplicată procesului este:

)|()1()( ttututu Δ+−= . (5.65)

Conform strategiei orizontului alunecător, doar primul element )|( ttuΔ din U este necesar pentru a evalua comanda curentă, la pasul următor toată procedura fiind reluată.

5.3.1 Principiul algoritmului EPSAC pentru sisteme dinamice multivariabile In cele ce urmează algoritmul EPSAC pentru pocese multivariabile este prezentat în cele 2 abordări, una denumită solidară (solidary) şi cealaltă separată (selfish). Se consideră un sistem multivariabil cu numărul de intrări un egal numărul de ieşiri yn .

Algoritmul MIMO EPSAC foloseşte pentru determinarea comenzii optimale următoare structură, pentru 1, yi n= :

( ) ( ) ( )i i iy t x t n t= + . (5.66)

( )iy t - fiind ieşirea măsurată din proces, ( )ix t - ieşirea modelului ( )in t - perturbaţia, iar t este indexul discret de timp

Perturbaţa nemăsurabilă, ( )in t , ce are un caracter stochastic poate fi modelată de modelul zgomotului colorat:

1

1

( )( ) ( )( )

ii

i

C qn t e tD q

−

−= , (5.67)

cu ( )e t - zgomotul alb de medie zero, iar 1( )iC q− and 1( )iD q− sunt polinoame monice de ordin

cn şi respectiv dn . Ieşirea modelului ( )ix t este determinată de funcţiile presupuse cunoscute, liniare sau neliniare:

1 2( ) [ ( 1), ( 2),... ( 1), ( 1),... ( 1),. ( 2),...]u ui i i i n nx t f x t x t u t u t u t u t= − − − − − − . (5.68)

Ieşirile predictate sunt calculate astfel: ( 1, yi n= ):

( | ) ( | ) ( | ),i i iy k t t x k t t n k t t+ = + + + (5.69)


126

pentru 1 2,k N N= . Predicţiile pe mai mulţi paşi sunt determinate prin rezolvarea recursivă, obţinându-se

( | )ix t k t+ , iar ( | )in t k t+ se obţine prin tehnici de filtrare a modelului zgomotului. Răspunsul procesului, pentru 1, yi n= este suma a două efecte:

( | ) ( | ) ( | )i iB se iOptimmizey t k t y t k t y t k t+ = + + +a . (5.70)

Primul termen reprezintă efectul la intrările trecute şi perturbaţiile predictate. Al doilea termen reprezintă efectul acţiunilor de comandă viitoare optimale ( | )ju t k tδ + , 0, 1uk N= − .

( | ) ( | ) ( | )j j jBaseu t k t u t k t u t k tδ + = + − + , (5.71)

pentru 1, uj n= , unde ( | )ju t k t+ este acţiunea de comandă optimală dorită, iar ( | )jBaseu t k k+ este acţiunea de comandă viitoare de bază.

Acţiunea de comandă optimală juδ poate fi considerată o serie de semnale de tip impuls şi un

semnal treaptă astfel încât efectul cumulativ al ieşirii i la momentul t k+ poate fi scris:

Optimize 1 11

( | ) [ ( | ) ( 1| ) ( 1| )].un

ij ij iji k j k j k j u

j

y t k t h u t t h u t t h u t N tδ δ δ− −=

+ = + + + + −∑ … (5.72)

Parametrii kh şi kg sunt coeficienţii răspunsului sistemului la intrare de tip impuls si treaptă. Ecuaţia algoritmului EPSAC multivariabil este reprezentată de:

∑=

+=+=un

jjijiiii

1UGYYYY OptimizeBase , (5.73)

unde:

1 1 1 1

1 1

2 2 2 2

1 2 1

1

1 2 1

...

... ... ...

... ... ... ... ......

u u

u u

ij ij ij ijN N N N N N

ij ijN N

ij

ij ij ij ijN N N N N N

h h h g

h h

h h h g

− − + − +

+

− − + − +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

G , (5.74)

[ ]1 2( | ) ... ( | ) Ti i iy t N t y t N t= + +Y ,

[ ]Base 1 Base 2( | ) ... ( | ) Ti i iy t N t y t N t= + +Y , (5.75)

( | ) ... ( 1| )T

j j j uu t t u t N tδ δ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦U ,

pentru 1, yi n= şi 1, uj n= .


127

5.3.1.1 Principiul metodei de conducere solidară EPSAC

Pentru procesele multivariabile, obiectivul algoritmului predictiv EPSAC este conducerea solidară, care constă în determinarea vectorilor de comandă optimală *

1U şi *2U , care să

minimizeze funcţia de cost:

[ ] [ ]2 2

1 1

2 21 1 2 2( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ,

N N

k N k N

J r t k t y t k t r t k t y t k t= =

= + − + + + − +∑ ∑U (5.76)

unde .)|(.ir este traiectoria referinţei supusă restricţiei:

1 1( | ) ( 1| )uu t k t u t N t+ = + − şi 2 2( | ) ( 1| )uu t k t u t N t+ = + − pentru uk N≥ .

Se definesc matricile [ ]=1 11 12G G G şi [ ]=2 21 22G G G şi vectorul ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

UU

U. În urma

notaţiilor, funcţia obiectiv se rescrie în formă matriceală:

1 1 2 21 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ).T TJ = − − ⋅ − − + − − − −U R Y G U R Y G U R Y G U R Y G U (5.77)

Vectorul iR , unde 1, yi n= , reprezintă traiectoria

referinţei [ ]1 2( | ) ... ( | ) Ti i ir t N t r t N t= + +R .

Forma pătratică obţinută:

( ) 2 ,T TJ c= + +U U HU f U (5.78)

unde matricele care intervin în funcţia de cost sunt:

= +T T1 1 2 2H G G G G ,

⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦T T

1 21 1 2 2f G (R Y ) G (R Y ) , (5.79)

c = − − + − −T T1 1 2 21 1 2 2(R Y ) (R Y ) (R Y ) (R Y ) .

Minimizarea lui J(U) conduce la obţinerea soluţiei:

* 1−= −U H f . (5.80)

5.3.1.2 Principiul metodei de conducere separată EPSAC

Abordarea denumită separată (selfish) diferă de cealaltă abordare prin faptul că se vor minimiza două funcţii de cost, corespunzătoare celor două mărimi de comandă:


128

[ ]2

1

2( ) ( | ) ( | ) ,N

i i i ik N

J r t k t y t k t=

= + − +∑U (5.81)

cu condiţia ( | ) ( 1| )i i uu t k t u t N t+ = + − pentru uk N≥ . Acest lucru este posibil doar în cazul în care numărul de intrări este egal cu numărul de ieşiri ale sistemului: Funcţia de cost, pentru i=1, 2 este:

2 2

1 1

( ) ( ) ( ).Ti ii i i ij j i ij j

j j

J= =

= − − ⋅ − −∑ ∑U R Y G U R Y G U (5.82)

Forma pătratică în iU :

( ) 2T Ti i i i i i i iJ c= + +U U H U f U , (5.83)

cu notaţiile:

i ii ii= TH G G , ( )i ii i i ij j= − − −Tf G R Y G U , pentru j i≠ , şi

( ) ( ).Ti ii i ij j i ij jc = − − ⋅ − −R Y G U R Y G U (5.84)

Minimizarea formei pătratice (5.83) conduce la soluţia corespunzătoare celor două comenzi:

iii fHU 1* −−= (5.85)

Soluţia optimală pentru una din intrările i*U depinde de cealaltă comandă jU . Considerând

matricile definite 1G , 2G şi relaţia (5.85), soluţia este dată de:

1

111 111 1

222 2 22 2

( ).

( )

TT

T T

− ⎡ ⎤−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

* G R YG GU

G G G R Y (5.86)

Din acest vector doar două elemente ale lui *U sunt necesare pentru a determina acţiunea de comandă aplicată procesului:

*

1 1 1*

2 2 2

( ) ( | ) (1),

( ) ( | ) (1),Base

Base

u t u t t

u t u t t

= +

= +

U

U (5.87)

unde 1 1(1) ( | )u t tδ=*U şi 2 2(1) ( | )u t tδ=*U . La următorul pas toată strategia este repetată, ţinând cont de ieşirea curentă calculată.


129

5.3.1.3 Implementarea si testarea strategiilor de reglare EPSAC multivariabil pentru conducerea dinamicii unui sistem cu trei rezervoare În această secţiune este prezentat un studiu de caz asupra reglării cu predicţie EPSAC a unui proces neliniar multivariabil liniarizat în jurul unui punct nominal de funcţionare, pentru care modelul matematic a fost obţinut prin identificare pe un set de date preluat din funcţionarea procesului în buclă deschisă. Acest tip de proces se regăseşte în diferite aplicaţii din industria energetică. Pentru obţinerea secvenţei de comandă se utilizează procedura de proiectare a legii de reglare predictive EPSAC multivariabil în cele două abordări, separată şi solidară descrisă în paragrafele 5.3.1.1 şi respectiv 5.3.1.2. În Fig. 5.5 este prezentată schema constructivă a procesului de reglare a nivelului în trei rezervoare cuplate prin conducte de legătură la nivelul bazelor.

q32A

a20a32 a13

A

h1 h3 h2

qi1 qi2

q13 q20

Fig. 5.5 Sistemul DTS200 AMIRA

Recipientele au secţiune circularã de arie A=154 cm2 şi înãlţimi de 60 cm. Conductele de legãturã au ariile S=0,5 cm2 şi sunt prevãzute cu robinete de ajustare acţionate manual. Un robinet similar este amplasat pe conducta de evacuare. Gradul de închidere a fiecãrui robinet este modelat sub forma coeficienţilor de curgere az13=0,5163, az32=0,6127, az20=0,4629. Recipientele de la extremitãţi sunt alimentate cu debite variabile qi1, qi2 produse de electro-pompe comandate în tensiune; debitele maxime de alimentare sunt de 100 cm3/s. Mărimile reglate sunt nivelele din cele două rezervoare, h1, respectiv h2. Toate cele trei nivele sunt măsurabile, pentru aceasta folosindu-se senzori diferenţiali de presiune piezorezistivi. Acest proces reprezintă un sistem multivariabil cu două intrări şi două ieşiri în formă canonică P. Modelul matematic de tip matrice de transfer a fost obţinut în urma procedurii de identificare parametrică cu ajutorul pachetului de programe Identification Matlab Toolbox. Culegerea şi prelucrarea datelor necesare identificării au fost asigurate de placa de achiziţie PCI 6024E produsă de National Instruments. Datorită neliniarităţilor introduse de robinete s-a adus sistemul prin comandă manuală într-un anumit punct de funcţionare: 50% pe primul canal şi 50% pe al doilea canal, aşa cum este ilustrat în Fig 5.6. După atingerea regimului staţionar, s-a aplicat o comandă manuală doar pe primul canal, respectiv 30%, menţinând comanda u2 constantă. După atingerea unui alt regim staţionar o comandă manuală este aplicată pe cel de-al doilea canal, respectiv 70% menţinând comanda u1 constantă la 30%.


130

Funcţiile de transfer principale ce modelează dinamica transferului (u1, y1) şi respectiv (u2 ,y2) sunt G11(q-1) şi G22(q-1), iar G12(q-1) şi G21(q-1) pun în evidenţă interacţiunile dintre cele două canale.

1 1

1 11 211 1

12 22

( ) ( )( )

( ) ( )mG q G q

G qG q G q

− −−

− −

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.88)

În urma prelucrării setului de date din proces s-au realizat aproximări ale curbelor reale şi au fost furnizaţi parametrii fiecărei funcţii de transfer din matricea G(q-1). Modelele parametrice corespunzătoare transferului (u1, y1), (u1, y2) şi (u2 ,y2) au fost alese în forma ARMAX, forma generală fiind ilustrată de (5.89), iar dinamica transferului (u2 ,y2) a fost cel mai bine modelată de un model ARX.

1 1 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1).dA q y k q B q u k C q e k− − − −⋅ = ⋅ ⋅ − + − (5.89)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450010

20

30

40

50

60

70

80

90Setul de date achizitionate din proces

Timp (sec)

Niv

elul

in c

ele

2 re

zerv

oare

[%]

u1Nivel h1u2Nivel h2

Fig.5.6 Setul de date preluat din funcţionarea procesului în buclă deschisă

Pe baza acestor ecuaţii s-au construit funcţii de transfer discrete de forma:

1

11

B(q )G(q ) ,A(q )

−−

−= (5.90)

-1 -1

-1 -2 -1 -2 -31

-1 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -1 -2

0,0019 0,0039 1-1,805 0,806 1-0,4550 0,290 0,251

( )-0,0022 0,0023 0,011

1-1,3660 0,0213 0,0700 0,2700 1-0,561 0,43

q qq q q q q

G qq q q

q q q q q q

−

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − −⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎢ ⎥

+ + + −⎣ ⎦

. (5.91)


131

Cele două abordări ale algoritmului EPSAC, solidară/separată au fost testate prin simulare pentru reglarea automată nivelelor în cele două rezervoare. În Fig. 5.7 sunt ilustrate comparativ rezultatele simulării, considerând cele două variante ale algoritmul EPSAC destinat proceselor multivariabile. Parametrii de acord ai legii de reglare predictivă au fost consideraţi identici pentru cele două simulări, astfel orizontul comenzii pentru acţiunea de comandă 1u a fost considerată 1 1uN = , iar pentru calculul comenzii optimale 2u , 2 9uN = . Deoarece nu există un algoritm pentru determinarea cu exactitate a orizonturilor de predicţie şi de comandă, s-a ţinut seama, în alegerea unor valori potrivite, de influenţa polilor şi zerourilor funcţiilor de transfer asupra sistemului automat. Astfel, în alegerea orizontului comenzii s-a ţinut seama de numărul polilor slab amortizaţi ai procesului. Prin urmare, în urma numeroaselor simulări s-a observat că o valoare mare pentru 2uN conduce la rezultate mult îmbunătăţite, comanda 2u fiind foarte activă (maximă) pană la momentul 70t s= , când nivelul in rezervorul 2 atinge valoarea referinţei impuse 55%. Pentru amortizarea acţiunilor de comandă, se poate creşte valoarea factorului de ponderare λ , acesta fiind setat iniţial

0,001λ = . Alegerea orizonturilor de predicţie pentru determinarea predictorilor celor două ieşiri s-a realizat pe baza observaţiilor dobândite în timpul funcţionării procesului în buclă deschisă. Orizonturile maxime de predicţie 1 25yN = şi 2 10yN = au fost setate în funcţie de

valoarea timpului de creştere pentru cele două răspunsuri.

0 50 100 1500

20

40

60

80

100Comanda u1

0 50 100 1500

10

20

30

40

50

60

Mar

imea

de

iesi

re[%

]

Timp (sec)

0 50 100 150

20

40

60

80

100Comanda u2

0 50 100 1500

10

20

30

40

50

60

Mar

imea

de

iesir

e [%

]

Timp (sec)

Nivel rezervor h1 - Selfish EPSACNivel rezervor h2 - Solidary EPSACReferinta Nivel rezervor 2

Nivel rezervor h1 - Selfish EPSACNivel rezervor h2 - Solidary EPSACReferinta Nivel rezervor 1

Selfish EPSAC

Solidary EPSAC

Fig. 5.7 Rezultatele simulării algoritmului EPSAC multivariabil


132

În Fig. 5.7 se observă că în cazul metodei de conducere solidară EPSAC, scopul minimizării erorii de predicţie totale (pentru cele două canale) este de a obţine rezultate satisfăcătoare pentru ambele ieşiri din proces. În urma simulărilor s-a constatat existenţa unei erori de regim staţionar pe răspunsul nivelului din primul rezervor, o explicaţie ar fi datorată restricţiilor impuse celor două mărimi de comandă. Timpul de răspuns pe primul canal este de 90 secunde, în timp ce pe cel de-al doilea canal, regimul staţionar este atins mult mai repede, în 75 secunde, fără suprareglare.

5.3.2 Principiul algoritmului EPSAC neliniar (NEPSAC) Majoritatea proceselor industriale conţin neliniarităţi complexe, însă cei mai mulţi algoritmi de conducere predictivă se bazează pe modele liniare ale procesului. Modelele liniare bazate pe răspunsul la treaptă sunt preferate deoarece pot fi obţinute direct din setul de date din proces. De cele mai multe ori aplicaţiile industriale sunt reglate în jurul unui punct de funcţionare, însă pentru procesele industriale ce conţin neliniarităţi complexe folosirea unui model liniar conduce la rezultate acceptabile numai în cazul în care procesul funcţionează în jurul unui punct de echilibru. Dacă procesul este puternic neliniar, se impune folosirea unui model neliniar care să descrie în mod adecvat comportarea procesului. Folosirea modelelor neliniare nu modifică conceptul de bază al reglării cu predicţie, ci doar complică problema de optimizare peste un orizont finit. Pentru rezolvarea diferitelor probleme ce apar în conducerea predictivă neliniară, alegerea unui model potrivit care descrie neliniarităţile procesului trebuie să se facă astfel încât să faciliteze găsirea soluţiei optime de comandă. Întrucât unele procese care nu sunt de complexitate mare au permis folosirea cu succes a unor modele care prezintă neliniarităţi statice precum modele de tip Hammerstein, Wiener, Volterra compuse dintr-un subsistem liniar şi unul neliniar, comunitatea ştiinţifică a elaborat algoritmi de reglare specifici. Procesele care nu pot fi descrise folosind astfel de modele enumerate mai sus au o dinamică mult mai complexă şi prin urmare sunt mai greu de analizat şi condus. În cele ce urmează se va prezenta agoritmul predictiv neliniar EPSAC ce poate fi implementat pentru reglarea proceselor complexe neliniare.

5.3.2.1 Determinarea legii de reglare automată neliniare În algoritmul EPSAC, răspunsul predictat al sistemului este rezultatul a două efecte însumate:

( | ) ( | ) ( | )B se Optimizet k t t k t t k t+ = + + +ay y y , (5.92)

în care al doilea termen poate fi ales 0, în mod iterativ pentru sisteme neliniare. Componenta ybase corespunde secvenţei de comandă de bază, iar yoptimize este răspunsul la intrările viitoare ale incrementelor comenzii. yoptimize este efectul rezultat al secvenţei de semnale: de tip impuls de amplitudine )|( ttuδ aplicat la momentul t, componenta răspunsului la momentul t + k fiind )|( ttuhkδ , semnal de tip treaptă cu amplitudinea )|1( ttu +δ aplicat la


133

momentul t + 1, rezultând la momentul t + k, componenta de răspuns al procesului )|1(1 ttuhk +− δ , ş.a.m.d, iar la momentul t + Nu – 1 este aplicat un semnal treaptă de

amplitudine )|1( tNtu u −+δ , în urma căruia rezultă componenta răspunsului procesului )|1(1 tNtug uNk u

−++− δ .

1 1( | ) ( | ) ( 1| ) ... ( 1| )uoptimize k k k N uy t k t h u t t h u t t g u t N tδ δ δ− − ++ = + + + + + − , (5.93)

unde parametrii h1, h2, … , hk, … sunt coeficienţii răspunsului sistemului la un semnal de tip impuls. Aceşti coeficienţi ai răspunsului la impuls pot fi calculaţi din răspunsul indicial,

1−−= kkk ggh , relaţie validă doar pentru sisteme liniare. Prin urmare, răspunsul procesului în formă matricială este:

GUYY base += , (5.94)

cu notaţiile:

1 1 1

1 1 1

2 2 2

T1 2

T

1 1

1

1 1

[ ( | )... ( | )] ,

[ ( | )... ( 1| )] ,...

....

... ... ... ......

u

u

u

base base

u

N N N N

N N N N

N N N N

y t N t y t N t

u t t u t N th h g

h h g

h h g

δ δ

− − +

+ −

− − +

= + +

= + −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

baseY

U

G

(5.95)

Relaţia între incrementele comenzii uΔ şi uδ :

( | ) ( | ) ( 1) ( | ) ( | ) ( 1),( 1| ) ( 1| ) ( | ) ( 1| ) ( 1| ) ( | ) ( | ) ,

...

base

base base

u t t u t t u t u t t u t t u tu t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t

δδ δ

Δ = − − = + − −⎧⎪Δ + = + − = + + + − −⎨⎪⎩

(5.96)

Funcţia de cost poate fi scrisă în formă matriceală:

)()( TT bAUbAUGU)Y(RGU)Y(R basebase +++−−−− λ , (5.97)

unde s-au făcut notaţiile:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−+

−+−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

)|2()|1(...

)|()|1()1()|(

,

11...00...............0...0110...001

tNtutNtu

ttuttututtu

ubaseubase

basebase

base

bA . (5.89)

Minimizarea funcţiei de cost conduce conduce la obţinerea soluţiei optimale U:

])([ TT1TT bAYRGA)AG(GU base λλ −−+= − . (5.90)

Comanda aplicată procesului este:

)1()|()|()|()( U+=+= ttuttuttutu basebase δ . (5.91)


134

Pentru sistemele neliniare o importanţă deosebită este acordată alegerii secvenţei ...1,)|( 2Nktktubase =+ . Cea mai simplă alegere constă în alegerea valorii iniţiale a lui )1|()|( −+≡+ tktutktubase .

Continuând procedura iterativă este de dorit ca ubase(.|.) să conveargă către soluţia optimală. La fiecare moment de timp, ubase(.|.) este mai aproape de u(.|.), cu alte cuvinte δu(.|.) devine din ce în ce mai mic şi prin urmare yopt(.|.) tinde către 0. Când yopt(.|.) se anulează, principiul superpoziţiei nu mai este implicat iar comanda calculată va fi optimală şi pentru sistemele neliniare [Halaucă şi Lazăr, 2007a; Blet şi Megias, 2002]. De menţionat este faptul că deşi au fost abordate numeroase strategii de conducere predictivă, multe dintre acestea folosesc modele liniarizate ale proceselor, însă algoritmul neliniar EPSAC poate fi aplicat în reglarea proceselor neliniare, fără a fi nevoie de un model liniarizat al procesului.

5.3.2.2 Regulator NEPSAC pentru conducerea nivelului în tamburul unui boiler de abur În acest paragraf este prezentat un studiu de caz asupra reglării cu predicţie neliniară NEPSAC pentru reglarea unui proces neliniar [Halaucă şi Lazăr, 2007a]. Procesul neliniar ales pentru testarea algoritmului de reglare este un boiler industrial de abur al cărui model matematic a fost prezentat în Capitolul 4. Modelul matematic este reprezentat prin setul de ecuaţii intrare-stare ieşire:

9/81 2 1 3

9/82 2 1 2

3 3 2 1

1 1

2 2

3 3

0,0018 0,9 0,15

[(0,73 0,16) ] /10[141 (1,1 0,19) ] / 85

0,05(0,13073 100 / 9 67,975),cs e

x u x u u

x u x xx u u xy xy xy x a q

= − + −

= − −= − −=== + + −

(5.92)

unde mărimile suplimentare care intervin în descrierea procesului sunt calitatea aburului csa şi respectiv debitul de evaporare eq , exprimate prin:

3 1

3 1

2 1 3

(1 0,001538 )(0,8 25,6) ,(1,0394 0,0012304 )

(0,85 0,147) 2,514 2,096.

cs

e

x xax x

q u x u

− −=

−

= − − − (5.93)

Variabilele de stare ale procesului au semnificaţiile următoare: 1x presiunea aburului 2[ / ]kg cm , 2x puterea electrică la consumator [ ]MW , 3x densitatea fluidului 3[ / ]kg m .

Intrările în sistem sunt: 1u poziţia valvei pentru debitul de combustibil, 2u debitul de abur la ieşirea din tambur [ / ]kg s , 3u debitul de alimentare cu apă [ / ]kg s , iar ieşirile sunt desemnate


135

de primele două stări la care se adaugă 3y nivelul fluidului din tambur [ ]m . Mărimea din proces ce trebuie reglată este reprezentată de nivelul apei în tambur, presupunând constante debitul de gaz furnizat de arzătoare, poziţia ventilului fiind 1 0,4508 u = şi debitul de alimentare cu apă rece 3 0,5699 kg/su = . Implementarea legii de reglare cu predicţie a avut ca scop determinarea secvenţei de comandă optimale prin minimizarea numerică a funcţiei obiectiv, fără a liniariza modelul matematic. Structura de reglare neliniară a fost implementată în mediul de programare Matlab, impunând anumite valori pentru parametrii de acord ai regulatorului predictiv: orizontul maxim de predicţie 2N , factorul de ponderare λ . În Fig. 5.8 sunt reprezentate comparativ formele de undă ale ieşirii sistemului de conducere predictivă neliniară şi ale algoritmului PID, pentru parametri: 11 =N , 2 7N = , 7uN = şi 03.0=λ . Parametrii de acord ai regulatorului PID discret au fost acordaţi în prealabil, folosind o metodă empirică, apoi s-au realizat experimente în urma cărora parametrii au fost ajustaţi astfel încât performanţele să fie comparabile cu performanţele algoritmului NEPSAC [Halaucă şi Lazăr, 2007a]. Au fost aleşi următorii parametri de acordare: factorul de proporţionale 0,6rk = , timpul de integrare

1,8iT = şi timpul de derivare 0,001dT = . Comparaţia cu algoritmul clasic PID ilustrează însă faptul că, în cazul funcţionării procesului în jurul unui punct nominal de funcţionare, în mediul industrial este de preferat un regulator clasic, cu condiţia cunoaşterii cu aproximaţie a parametrilor de acord. Această restricţie este justificată deoarece, din motive de siguranţă, nu sunt permise experimente în timpul funcţionării. Este de menţionat că nivelul apei într-un tambur este un aspect crucial deoarece un nivel prea scăzut de apă poate deteriora întreg ansamblu tambur-boiler, şi un nivel prea ridicat poate determina pătrunderea apei în turbină [Halaucă şi Lazăr, 2007a]. Performanţele algoritmului neliniar NEPSAC sunt apreciate datorită faptului că modelul matematic utilizat pentru calculul predictorilor este neliniar, regulatorul fiind capabil să urmărească referinţa impusă pe toată gama de funcţionare a procesului. Din Fig. 5.9 observă că nivelul atinge regimul staţionar mult mai rapid în cazul algoritmului NEPSAC, în 5 secunde faţă de 20 secunde, timpul necesar algoritmului PID, cu preţul unei comenzi mai active.


136

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Niv

elul

de

apa

din

tam

bur

[m]

Timp [sec]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Deb

itul m

asic

de

abur

[kg

/s]

Timp [sec]

algoritmul NEPSAC referintastrategia PID

algoritmul NEPSAC strategia PID

Fig. 5.8 Rezultate comparative între algoritmul PID şi NEPSAC pentru

11 =N , 2 7N = , 7uN = şi 0,03λ = Acţiunea de comandă poate fi însă mai puţin intensă prin ponderarea ei cu factorul λ [Halaucă şi Lazăr, 2007a]. În Fig. 5.9 parametrii de acord ai regulatorului predictiv neliniar sunt aleşi corespunzător unei comenzi mai puţin active, astfel 1 21, 10N N= = , 1uN = , 0,1λ = .


137

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Niv

elul

de

apa

din

tam

bur

[m]

Timp [sec]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Deb

itul m

asic

de

abur

[kg/

s]

Timp [sec]

algoritmul NESAC referintastrategia PID

algoritmul NEPSAC strategia PID

Fig. 5.9 Rezultate comparative între algoritmul PID şi NEPSAC pentru

1 21, 10N N= = , 1uN = şi 0,1λ =

În urma simulărilor efectuate, cele mai bune rezultate sunt obţinute de strategia de conducere automată pentru procesele neliniare NEPSAC, avantajul principal constă în utilizarea modelului neliniar şi nu liniarizat în jurul unor puncte nominale de funcţionare Acţiunea de comandă poate fi însă mai puţin intensă prin ponderarea ei cu factorul λ [Halaucă şi Lazăr, 2007a]. 5.4 Metode adaptive de acordare a regulatoarelor În cazul proceselor neliniare, la schimbarea punctului nominal de operare, regulatorul cu parametrii ficşi nu asigură obţinerea performanţelor de reglare dorite [Astrom şi Wittenmark, 1995]. Ideea de bază în proiectarea metodelor adaptive de conducere este de a modifica parametrii regulatorului atunci când se modifică dinamica procesului. Tehnicile de conducere adaptivă au o istorie îndelungată, începând încă din anii ’50, fiind motivate de problema aparatelor de zbor la variaţii mari de viteză şi altitudine [Sastry şi Bodson, 1989]. În consecinţă, tehnica gain-scheduling bazată pe măsurători auxiliare ale vitezei aerului a fost implementată iniţial. Pe baza acestei structuri s-au dezvoltat metode rudimentare de conducere adaptivă bazată pe model de referinţă - principalul scop a fost crearea unui regulator cu autoacordare care să faciliteze găsirea unei funcţii de transfer corespunzătoare sistemului în circuit închis potrivită cu un model de referinţă cunoscut. Numeroase scheme de autoacordare a parametrilor de acord ai unui regulator au fost propuse, astfel că în 1958


138

Kalman a pus bazele teoretice ale reglării cu autoacordare cu exprimări clare în identificarea sistemelor liniare monovariabile şi utilizarea parametrilor estimaţi ai modelului în conducerea optimală. În anii ’70 odată cu aprofundarea teoriei stabilităţii Lyapunov, eforturile unor comunităţi ştiinţifice au fost încununate cu succes prin demonstrarea proprietăţilor de stabilitate a unor scheme adaptive de reglare automată. Primele scheme de structuri adaptiv au apărut în lucrările [Narendra et al., 1980; Morse, 1980], extinderea şi îmbunătăţirea acestor metode regăsindu-se într-o varietate mare de abordări în foarte multe lucrări. În această secţiune este dezvoltată o strategie de conducere neuro-predictivă care permite adaptarea on-line a parametrilor unui regulator de tip PI, cunoscând un model neuronal al procesului. Strategia de reglare ce urmează a fi proiectată este o extensie a strategiei propuse de [Lazăr et al., 2004], dar care permite şi considerarea unei perturbaţii de sarcină.

5.4.1 Tehnica gain-scheduling O metodă adaptivă utilizată atunci când apar modificări de dinamică în comportarea procesului, iar aceste modificări sunt predictibile şi pot fi corelate cu evoluţia unor semnale măsurabile, este utilizarea tehnicii gain-scheduling. Această tehnică presupune înregistrarea într-un tabel a mai multor seturi de parametri pentru regulator, corespunzătoare diferitelor puncte de operare ale procesului. În timpul funcţionării, folosind informaţii achiziţionate din proces, o structură de decizie precizează zona de operare şi determină alegerea din tabel a setului de parametri care asigură obţinerea performanţelor de reglare dorite. Pentru construirea tabelului se folosesc de cele mai multe ori proceduri de auto-tuning realizate în diferite condiţii de operare ale procesului [Lazăr et al., 2004].

gain - schedule

Proces Regulator

Parametri regulator

Condiţii operare

y u r

Fig. 5.10 Tehnica gain-schedule

În cazul proceselor puternic neliniare, formarea tabelului poate fi un proces de durată necesitând realizarea unui număr mare de experimente deoarece trebuie considerate toate situaţiile de operare [Lazăr et al., 2004].


139

5.4.2 Metode de reglare adaptivă pentru sisteme neliniare Performanţele sistemului de reglare pot fi îmbunătăţite prin existenţa unui mecanism de adaptare a parametrilor regulatorului pe toată zona de operare a procesului, variaţiile în comportarea procesului fiind compensate prin adaptarea parametrilor regulatorului [Hagglund, 1991; Astrom, 1995]. Rezolvarea efectelor variaţiilor nepredictibile ale parametrilor procesului, ce pot fi datorate perturbaţiilor, zgomotelor, interferenţelor, uzurii, etc. implică existenţa unui mecanism care să le depisteze apariţia pe toată durata funcţionării procesului precum şi folosirea unei metode de adaptare a parametrilor regulatorului, în vederea rezolvării problemei de reglare [Lazăr et al., 2005; Halaucă, 2005]. Scopul principal al unui sistem de reglare atunci cand procesul funcţionează în regim permanent este obţinerea erorii de poziţie nulă, precum si rejecţia perturbaţiilor de sarcină [Astrom, 1995]. Performanţele obţinute folosind un regulator cu parametri ficşi nu sunt caracterizate de uniformitate în întreaga zonă de operare a procesului. Din acest motiv schimbările în dinamica procesului trebuie compensate prin variaţii ale parametrilor regulatorului. Metodele de reglare adaptivă actuale se bazează pe cele două tehnici fundamentale de adaptare parametrică: reglarea adaptivă cu model de referinţă şi reglarea adaptivă autoacordabilă, menţionate în primul capitol al acestui studiu. Metoda ce urmează a fi prezentată în aceast capitol este o extensie a metodei de conducere adaptivă indirectă folosind un model neuronal pentru descrierea dinamicii procesului neliniar şi are ca scop urmărirea referinţei şi rejecţia perturbaţiilor de sarcină. Tehnica de reglare neuro-predictivă este utilizată spre a generaliza structura de conducere adaptivă indirectă folosind un model neuronal având ca variabile de intrare 3 tipuri distincte de mărimi: ieşirea de comandă furnizată de regulator, un semnal extern ce defineşte perturbaţia de sarcină şi mărimile de ieşire.

5.4.3 Structură neuro-predictivă de adaptare a parametrilor unui regulator PID Metodele de determinare a parametrilor regulatorului PID se bazează pe o acordare bazată pe măsurători efectuate din procesului real. Uzual aceste tehnici sunt utilizate pe scară largă în aplicaţiile industriale. În cazul proceselor neliniare menţinerea parametrilor legii de reglare pentru diverse puncte de operare determină variaţii ale performanţelor de reglare. În cazul sistemelor complexe, realizarea structurilor de conducere automată precum şi îndeplinirea performanţelor impuse sistemului de reglare în buclă închisă este dificilă şi devine din ce în ce mai complicată prin prezenţa altor factori precum perturbaţiile nemăsurabile de natură aleatoare sau a perturbaţiilor de sarcină măsurabile . Una din metodele clasice pentru acordarea unui regulator pentru procese neliniare este metoda releului-Astrom Hagglund aplicată într-o gamă largă de aplicaţii datorită avantajelor pe care


140

le prezintă [Lazăr, 2004]. Această metodă are însă unele limitări, printre care şi acurateţea estimării ce poate fi afectată de prezenţa perturbaţiilor [Hagglund, 1991]. În cazul unui proces a cărui dinamică este caracterizată doar de modificări predictibile, o alternativă pentru reglarea procesului ar fi tehnica gain-scheduling. La apariţiei unei perturbaţii în funcţionarea procesului, reacţia negativă din structura convenţională reuşeşte să elimine acest efect după ce variaţia semnalului perturbator modifică mărimea reglată. Pentru a elimina efectul perturbaţiei înainte ca aceasta să modifice mărimea reglată se foloseşte reglarea de tip feedforward sau reglarea directă. În cazul în care modificările ce apar în dinamica procesului nu pot fi corelate cu modul de evoluţie a unor mărimi de proces, se poate folosi o metodă adaptivă indirectă bazată pe un model determinat off line ce surprinde comportarea pe întreaga zona de operare. Tehnica de reglare automată este utilizată spre a generaliza structura de reglare adaptivă indirectă folosind un model neuronal având ca variabile de intrare 3 tipuri distincte de mărimi: ieşirea de comandă furnizată de regulator, un semnal extern ce defineşte perturbaţia de sarcină şi semnalele de ieşire întarziate [Halaucă, 2005]. Metoda presupune parcurgerea următorilor paşi [Vrabie, 2004]: 1. Determinarea modelului. Modelul identificat al procesului este determinat în urma unui experiment efectuat off-line, pe baza unor seturi reprezentative de date achiziţionate din timpul funcţionarii procesului, şi nu se modifică deoarece se presupune că parametrii procesului de reglat rămân constanţi pe durata funcţionării. Modelul ales este o reţea neuronală ce exprimă funcţionarea dorită a procesului având ca intrare aceeaşi referinţă aplicată si procesului real peste un orizont de predicţie. Ieşirea acestuia depinde de parametrii regulatorului care sunt adaptaţi la fiecare pas de eşantionare astfel încât ieşirea modelului neuronal să minimizeze un criteriu de performanţă peste orizontul de predicţie; 2. Minimizarea unei funcţii de cost pentru determinarea parametrilor regulatorului. Adaptarea parametrilor regulatorului se realizează prin minimizarea unei functii de cost în blocul de optimizare. Structura adaptivă simulează comportarea structurii de reglare reale pe baza unui model neuronal al procesului conectat în bucla închisă cu un regulator ce are aceeaşi structura ca a regulatorului din bucla de reglare în timp real. În blocul de adaptare se predictează comportarea viitoare a procesului, peste un orizont de predicţie, avand la dispoziţie informaţiile privitoare la mărimile de comandă (actuale si trecute), de perturbaţie (actuale şi trecute), de ieşire (trecute) şi a referinţei cunoscute peste orizontul de predicţie considerat. Erorile predictate constituie intrări pentru un bloc de optimizare care determină direcţia de căutare a parametrilor regulatorului. Predicţia erorii este realizată la fiecare pas al algoritmului de optimizare care se încheie la satisfacerea unui criteriu de stop. Funcţia de cost depinde de eroarea de predicţie, optimizarea fiind realizată considerînd eventuale restricţii pentru a putea satisface implementarea unui regulator PI.


141

Parametrii obţinuţi în urma optimizãrii comportamentului sistemului peste un orizont de predicţie sunt transferaţi regulatorului la fiecare perioadă de eşantionare, întregul proces de optimizare fiind reluat la pasul următor. Mecanismul de adaptare a parametrilor regulatorului, comparativ cu un regulator cu parametri ficşi, va determina îmbunătăţirea performanţelor obţinute precum şi rejecţia perturbaţiilor peste întreaga zonă de operare a procesului. Structura neuro-predictivă de acordare a regulatoarelor prezentată în Fig 5.11 pune în evidenţă funcţionarea în paralel a două bucle de reglare: o buclă de simulare a structurii de conducere cu un model neuronal şi bucla de reglare în timp real [Lazăr et al., 2005]. Cele două bucle de reglare conţin un acelaşi tip de regulator cu structură cunoscută ai cărui parametri sunt modificaţi ca rezultat al unui proces de optimizare. Prin simularea buclei neuro-predictive se analizează, la fiecare moment de timp, peste un orizont de predicţie răspunsul sistemului de reglare pe o traiectorie a referinţei. Dacă această traiectorie modifică punctul de funcţionare, vor apărea erori de reglare predictate a căror sumă pătratică este minimizată de blocul de optimizare, obţinîndu-se la pasul următor parametrii optimi de acord. În funcţionarea unui proces, modificarea punctului de operare poate fi determinată fie de prescrierea de valori diferite ale referinţei, fie de apariţia unor perturbaţii de sarcină în procesul reglat.

Fig. 5.11 Structură neuro-predictivă de adaptare a parametrilor regulatorului

Modificările ce apar în dinamica procesului conduc la modificările performanţelor de reglare. Metoda de acordare prezentată în acest paragraf utilizează pentru conducerea automată a procesului un regulator de tip PI discret descris de ecuaţia:

)1()()1()( 10 −++−= keqkeqkuku . (5.94)

Parametrii 0q şi 1q ai regulatorului vor fi obţinuţi la fiecare moment de eşantionare folosind o procedură de minimizare numerică a unei funcţii obiectiv. Funcţia de cost ce va fi

pp(k+i/k)

Regulator Modelul neuronal

Proces Regulator

qopt

ep(k+i/k) + -

up(k+i/k)

r(k) +

-

y(k) Buclă de conducere automată de timp

u(k)

rp(k+i/k)

Bloc de optimizare

qopt Funcţie de cost Restricţii

Buclă neuro-predictivă de conducere (Tp)

e(k)

P

Bloc de adaptare pp(k)

yp (k+i/k)


142

minimizată la fiecare pas de eşantionare, calculată peste orizontul de predicţie definit de N1 şi N2, este:

2

1

21 ( | ),2

N

predi N

J e k i k=

= +∑ (5.95)

unde 1 2( | ), :prede k i k i N N+ = este eroarea de reglare predictată peste orizontul de predicţie:

^

( | ) ( | ) ( | )prede k i k y k i k r k i k+ = + − + , (5.96)

^( | )y k i k+ fiind ieşirea predictată, iar ( | )r k i k+ este traiectoria referinţei.

Determinarea unui model al procesului se axează pe stabilirea unei structuri neuronale cu un strat ascuns, această configuraţie fiind deseori suficientă pentru a modela majoritatea proceselor neliniare. Reţelele neuronale statice de tip perceptron multistrat MLP sunt caracterizate prin neuroni la care operatorul de intrare este de tip produs scalar, iar funcţia de activare de tip sigmoidal [Ferariu, 2001]. Detalii privind determinarea modelului neuronal sunt oferite în [Ferariu, 2004; Lazăr, et al., 2005; Halaucă, 2005]. Pentru o reţea neuronală cu un strat ascuns şi un strat de ieşire, ieşirea reţelei neuronale la momentul k este dată de relaţia:

1

( ) ( ( 1) ( ) ( 1) ) ,sn

u T p T y Tp j j j j j j

jy k w k d p k h k b bσ

=

= − − + − + − + +∑ w u w w y (5.97)

( 1) [ ( ) ( 1) ( )],( ) [ ( ) ( 1) ( )],( 1) [ ( 1) ( 2) ( )],

k d u k d u k d u k d mk p k p k p k hk y k y k y k n

− − = − − − − −= − −− = − − −

upy

……

… (5.98)

unde: s

n reprezintă numărul de neuroni în stratul ascuns,

jσ este funcţia sigmoidală de activare pentru neuronul j din stratul ascuns, ujw este vectorul ponderilor pentru intrările neuronului j raportate la intrările corespunzătoare

vectorului u(k-d-1), pjw este vectorul ponderilor pentru intrările neuronului j raportate la intrările corespunzătoare

vectorului perturbaţiei p(k), yjw este vectorul ce ponderează intrările neuronului j corespunzătoare intrărilor vectorului

y(k-1), bj este valoarea deplasamentului corespunzătoare neuronului j, wj ponderează ieşirea neuronului j din stratul ascuns al reţelei, iar b este deplasamentul corespunzătoar neuronului de ieşire.


143

Pasul următor în cadrul procesului de antrenare este reprezentat de alegerea valorilor , ,m n h şi d care corespund regresorilor intrărilor în modelul neuronal. La acest pas în procesul de antrenare au o deosebită importanţă cunoştinţele privitoare la ordinul şi timpul mort al procesului, aceste cunoştinţe putând fi obţinute în urma identificării unui model liniar al acestuia. Cunoscând modelul procesului, eroarea de predicţie poate fi determinată:

1( | ) (w u( 1) w p(k i) w y( 1) )

( | ).

snu p y

pred j j j j j jj

e k i k w k d i k i b b

r k i k

σ=

⎛ ⎞+ = − + − + + + + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠− +

∑ (5.99)

Metoda de adaptare a parametrilor regulatorului admite ajustarea acestora astfel încât eroarea de reglare predictată să fie zero. Minimizarea a fost realizată impunând restricţii asupra mărimii de comandă şi parametrilor regulatorului. La fiecare pas mărimea de comandă calculată nu trebuie să iasă din zona în care evolua semnalul de intrare şi perturbaţie pentru care a fost antrenată reţeaua neuronală. În acest fel, aceasta va putea predicta corect evoluţia viitoare a procesului. Similar, parametrii regulatorului, obţinuţi la fiecare pas, trebuie să respecte relaţiile ce caracterizează un regulator de tip PI discret, şi anume:

0

1 0

0qq q

>< −

(5.100)

Parametrii optimi de acord se determină on line, la fiecare pas de eşantionare respectând următoarele etape:

• Se stabileşte traiectoria referinţei peste orizontul de predicţie; • Se iniţializează parametrii regulatorului din bucla de reglare neuro-predictivă; • Se simulează structura de reglare automată cu modelul neuronal; • Se determină erorile de reglare predictate (5.99) peste un orizont de predicţie,

calculând suma pătratelor acestora ; • Se minimizează funcţia de cost în contextul restricţiilor, obţinându-se parametrii

optimi ai regulatorului PI; • Se adaptează parametrii de acord ai celor două regulatoare din cele două bucle

paralele; • La următorul pas de eşantionare, procedura se reia cu pasul 1.

Metoda neuro-predictivă de acordare a unui regulator este avantajoasă deoarece permite adaptarea on line a parametrilor la modificarea dinamicii procesului, evitându-se astfel etapa de identificare off line. Trebuie remarcat faptul că deşi eficienţa acestei metode este sporită, soluţia de reglare implementată SW este complexă şi necesită resurse computaţionale ridicate [Vrabie et al., 2004]. Performanţele obţinute sunt convenabile atunci când setul de date pentru care s-a antrenat reţeaua neuronală este unul reprezentativ pentru dinamica procesului ce trebuie condus pentru întreaga zona de operare. Prin urmare, corectitudinea rezultatelor obţinute în urma minimizării funcţiei criteriu depinde de calitatea modelului obţinut.


144

Rezultatele dorite se obţin prin garantarea suplimentară a unor proprietăţi de convergenţă a soluţiilor. Convergenţa soluţiilor către valorile optime constă în utilizarea unor mecanisme de adaptare a parametrilor regulatorului care să garanteze obţinerea rezultatelor impuse prin proiectare. Realizabilitatea fizică a algoritmilor nu mai constituie o problemă esenţială datorită progresului tehnologic din ultimele decenii, însă implementarea practică a structurii de conducere adaptivă este limitată din considerente temporale de operare în timp real.

5.4.4 Structură neuro-predictivă pentru reglarea automată a nivelului în tamburul unui boiler de abur

Metoda de reglare neuro-predictivă dezvoltată în subcapitolul 5.4.3 este testată prin simulare pentru reglarea automată a nivelului în tamburul unui boiler de abur. Pentru implementarea structurii de reglare adaptive s-a determinat un model neuronal care să modeleze dinamica procesului neliniar. Setul de date folosit pentru antrenarea reţelei neuronale a fost preluat din funcţionarea reală a unui boiler de abur industrial, prezentat în detaliu în Capitolul 3, considerând evoluţia în buclă deschisă a procesului. În Fig. 5.12 a) sunt reprezentate evoluţiile mărimilor de intrare normate în intervalul [-1 1] şi anume debitul apei de alimentare cu apa în tambur şi semnalul perturbator - debitul de abur de la consumator. În Fig. 5.12 b) sunt reprezentate mărimile din setul de date de testare. Modelarea procesului s-a realizat cu o singură reţea neuronală de tip MLP, cu un strat ascuns având neuroni cu funcţia de activare de tip tangentă hiperbolică şi un singur neuron în stratul de ieşire cu funcţie de activare liniară. Modelul procesului a fost obţinut în urma antrenării unei reţele neuronale cu 2 neuroni pe stratul ascuns, avand 5 intrări, regresorii din vectorul [ (k 1) (k 1) (k) (k-1) (k-2) ]− −u v y y y , unde u este debitul masic al apei de alimentare, v, debitul masic al aburului de la consumator, iar y reprezintă nivelul apei în tambur. Stratul ascuns conţine un singur neuron liniar.


145

0 100 200 300 400 500 600 700-1

0

1Debit masic de abur [kg/s]

0 100 200 300 400 500 600 700-1

-0.5

0

0.5

1Debit masic al apei de alimentare [kg/s]

0 100 200 300 400 500 600 700-1

-0.5

0

0.5

1Nivelul apei din tambur [m]

Timp [sec]

Fig. 5.12 Setul de date preluat din funcţionarea în buclă deschisă

a)Setul de date de antrenare

Antrenarea reţelei s-a făcut off-line cu algoritmul de învăţare cu propagarea înapoi a erorii, şi rată de învăţare 0.1, iar numărul maxim de epoci de antrenare 100. Reţeaua neuronală a fost creată folosind funcţia newff din toolbox-ul Matlab Neural Network. Algoritmul de antrenare utilizat este de tip Backpropagation. Funcţia utilizată pentru antrenarea reţelei neuronale este trainlm din toolbox-ul Matlab NNET. Funcţia de activare pentru stratul ascuns este tansig şi respectiv purelin pentru stratul de ieşire.


146

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

-0.5

0

0.5

1Debit masic de abur [kg/s]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

-0.5

0

0.5

1Debit masic al apei de alimentare [kg/s]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

-0.5

0

0.5

1Nivelul apei din tambur [m]

Timp [sec]

Fig. 5.12 Setul de date preluat din funcţionarea în buclă deschisă

b) Setul de date de testare

Funcţia criteriu pentru evaluarea performanţelor utilizată este eroare pătratică. Rezultatul validării modelului neuronal obţinut este prezentat în Fig. 5.13, modelul de tip reţea neuronală artificială surprinde dinamica sistemului, dovedind o bună aproximare a procesului neliniar.

0 100 200 300 400 500 600 700-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Validare pe set antrenare-nivelul in tambur

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

-0.5

0

0.5

1Validare pe set testare-nivelul in tambur

Timp [sec]

Timp [sec]

Raspuns Retea neuronalaDate din functionarea reala

Fig. 5.13 Rezultatul validării modelului neuronal


147

Metoda de acordare adaptivă a fost aplicată, utilizând pentru conducerea automată a acestui proces un regulator de tip PI discret descris de (5.94). Parametrii 0q şi 1q ai regulatorului vor fi obţinuţi la fiecare moment de eşantionare folosind o procedură de minimizare numerică a unei funcţii obiectiv. În simulare a fost considerată o perioada de eşantionare de sT 0.5s= . Funcţia de cost ce va fi minimizată la fiecare pas de eşantionare, calculată peste orizontul de predicţie definit de N1 şi N2 este dată de (5.95). Orizontul maxim de predicţie considerat în simulare este N=8. Minimizarea funcţiei obiectiv a fost realizată impunând restricţii asupra mărimii de comandă şi parametrilor regulatorului astfel încât regulatorul sa fie de tip PI. La fiecare pas, mărimea de comandă calculată nu trebuie să iasă din zona în care evolua semnalul de intrare şi perturbaţie pentru care a fost antrenată reţeaua neuronală .În acest fel, aceasta va putea predicta corect evoluţia viitoare a procesului. Similar, parametrii regulatorului, obţinuţi la fiecare pas, trebuie să respecte relaţiile ce caracterizează un regulator de tip PI discret. Rezultatele simulării prezentate în Fig. 5.14 au fost obţinute, considerând o variaţie în trepte a referinţei nivelului în intervalul 25-40% si debitul de abur constant de 10kg/s.

0 50 100 1500

50

0 50 100 1500

50

100

0 50 100 150-10

0

10

20

Timp [esantioane]

q0q1

Debit apa alimentare[kg/s]Debit consum abur[kg/s]

Nivel in tambur[%]Referinta

Fig. 5.14 Rezultatele simulării considerând perturbaţia de sarcină constantă

Schimbările în dinamica procesului sunt compensate prin variaţii ale parametrilor regulatorului, aşa cum este ilustrat în Fig. 5.14.


148

Următorul experiment a fost realizat considerand aceeaşi variaţie în trepte a referinţei, în timp ce perturbaţia de sarcină variază in gama [20 -30 ]kg/s, rezultate ilustrate în Fig. 5.15. În reprezentările din Fig. 5.14 şi Fig. 5.15 este ilustrată capacitatea regulatorului PI cu parametri adaptivi de a regla nivelul apei în tamburul unui boiler de abur şi de a rejecta perturbaţiile de sarcină. Se observă că la momentele de timp s60T şi s110T , apare o perturbaţie de sarcină ce reflectă o scădere a debitului masic de abur de la 30kg/s la 25 kg/s, respectiv de la 25kg/s la 20kg/s.

0 50 100 1500

20

4060

0 50 100 1500

100

200

0 50 100 150-10

0

10

20

Timp [esantioane]

Nivel in tambur[m]Referinta

Debit apa alimentare[kg/s]Debit consum abur[kg/s]

q0q1

Fig. 5.15 Rezultatele simulării considerând variaţia perturbaţiei de sarcină

Scăderea debitului de abur conduce la o creştere a presiunii în tambur în timp ce nivelul apei scade. Aceste variaţii ale perturbaţiei de sarcină sunt rejectate de regulatorul PI implementat, performanţele obţinute ilustrează capacitatea acestuia de a menţine nivelul în tambur la o anumită valoare de referinţă impusă.

5.5 Aplicaţie SCADA pentru monitorizarea unui sistem de distribuţie a agentului termic In cadrul proceselor energetice, supervizarea sistemului complet este dificilă din cauza complexităţii existente atât la nivel fizic cât şi funcţional. Prin urmare, în majoritatea proceselor termo-energetice moderne sunt implementate sisteme de supervizare utilizând conceptul SCADA. În acest context este de interes integrarea strategiilor avansate de conducere în sistemele implementate de firmele cu tradiţie şi renume în domeniu, cum ar fi


149

sistemele proiectate de Honeywell. Acest sistem de supervizare este implementat în cadrul S.C. CET 1 S.A. din Iaşi pentru monitorizarea mărimilor de proces precum debitul masic de abur, debitul apei de alimentare, nivelul apei în tambur, presiunea aburului, etc. În cele ce urmează este implementată o aplicaţie SCADA pentru un sistem de distribuţie a agentului termic către mai mulţi consumatori industriali. Prin intermendiul acestei aplicaţii sunt monitorizate mărimile fizice din proces, precum debitul apei de alimentare, debitele de abur spre consumatorii industriali, presiunea aburului. De asemenea prin intermediul platformei SCADA si a interfeţei sugestive implementate in Lookout se pot transmite comenzi atât în regim manual cât şi automat pentru reglarea mărimilor de interes, precum nivelul amestecului de apă-abur din tamburul unui boiler de abur sau pentru rejectarea perturbaţiilor apărute pe coloana de alimentare cu apă rece. Este de menţionat faptul că, în ultimul deceniu, majoritatea centralelor termo-electrice sunt monitorizate şi controlate prin sisteme SCADA. Pentru testarea aplicaţiei SCADA s-a utilizat macheta de laborator PROCON seria 38 (Feedback Process Control Training System) produsă de firma FEEDBACK existentă în catedra de Automatică şi Informatică Aplicată din cadrul Facultăţii de Automatică şi Calculatoare, Iaşi. Instalaţia este dedicată studiului sistemelor de reglare automată, putând fi experimentate şi investigate structuri de conducere pentru reglarea automată a debitului, nivelului de apă şi a temperaturii. Având în vedere dimensiunea restrânsă a zonei de experimentare stabilite pentru conducerea prin supervizare, precum şi resursele hardware disponibile, proiectarea modulului SCADA a presupus proiectarea unui singur proces Lookout, care implementează atât funcţiile specifice serverului (interacţiunea cu modulele hardware de achiziţie şi comandă), cât şi pe cele specifice interacţiunii cu operatorul. În cadrul aplicaţieie SCADA sunt propuse spre monitorizare două zone de consumatori. Astfel sunt montate servovalve (SV1, SV2), precum şi traductoare de debit şi de presiune. Pentru consumatori sunt prevăzute ventile comandate electric (R1) sau robineţi acţionaţi manual (R2, R3, R4) (pentru zona 2 de consumatori). Cele două servovalve pot fi comandate manual de către operator sau cu ajutorul unor algoritmi de reglare a debitului, pentru a menţine presiunea la consumatori. De asemenea, scăderea presiunii sub o anumită limită este tratată ca o alarmă şi este semnalizată operatorului. Fig. 5.16 ilustrează detalii ale implementarii procesului Lookout (Retea de monitorizare) la nivel de obiecte amplasate pe panoul de supervizare şi la nivel de date membru definite pentru utilizarea acestor obiecte în cadrul aplicaţiei SCADA.


150

Pe Proces/ Server rulează aplicaţia SCADA ce permite o interfaţare a utilizatorului cu cele 2 procese simulate: Zona 1 - Consumatori şi Zona 2 – Consumatori, aşa cum este ilustrat în Fig. 2.5. Comenzile manuale pot fi modificate prin intermediul unor potenţiometre, reprezentate prin obiectele Valoare_comanda_SV1, Pot1_Sv3_electric, Pot1_Consumator1, Pot1_Consumator3, Pot1_Consumator4 corespunzătoare Zonei 1 şi, respectiv Valoare_comanda_SV2, Pot1_Consumator1, Pot1_Consumator2, Pot1_Consumator3 corespunzătoare Zonei 2.

Fig. 5.16 Arhitectura internă a modulului SCADA:proces, obiecte, date membru monitorizat

Aceste comenzi sunt transmise celor două instalaţii de laborator prin intermediul a două module de comunicaţie de tip Field Point. Traductoarele de debit din cele două machete de laborator furnizează evoluţia debitelor de apă şi sunt monitorizate grafic. În Fig. 5.17 a) sunt afişate mărimile monitorizate şi înregistrate în baza de date Citadel (debite şi presiuni) în condiţii de consum constant, respectiv la înregistrarea unor variaţii ale debitelor la consumatori [Postolache et al., 2007]. Pentru monitorizarea mărimilor din proces si pentru comenzi s-a utilizat un modul RTU de tip FieldPoint FP 1600 de la National Instruments, conectat la calculatorul principal prin cablu Ethernet şi folosind protocolul TCP/IP. În Fig. 5.17 b) se prezintă modul de acces din Lookout (în Edit Mode) la canalele de I/E şi la parametrii unui obiect de tip driver pentru acest modul RTU.


151

De asemenea, în Fig. 5.17b) se prezintă setarea unei alarme pentru depăşirea limitelor inferioară şi superioară a presiunii din zona de consumatori nr. 2. Pentru zona pilot formată din două grupuri de consumatori a fost proiectat un modul SCADA folosind mediul integrat orientat pe obiecte Lookout de la National Instruments. Aplicaţia SCADA a fost testată experimental pe macheta de laborator de la firma Feedback Ltd. şi a fost interfaţat cu aplicaţia GIS NetSET prin intermediul bazei de date Citadel şi prin mecanismul Dynamic Data Exchange (DDE) în cadrul proiectului de cercetare CEEX-M1-C2 2006, GISHIDRO intitulat Platformă GIS integrată pentru analiza, proiectarea, simularea şi optimizarea funcţionării reţelelor de alimentare cu apă şi de canalizare.

Fig.5.17 a) Înregistrarea şi monitorizarea debitelor şi presiunilor din sistem (consum variabil)

Fig.5.17 b) Setarea unei alarme pentru debitul din zona 2 de consum


152

Proiectarea modului SCADA şi testele efectuate ulterior pe standul experimental au pus în evidenţă facilităţile oferite de Lookout pentru dezvoltarea de aplicaţii SCADA şi interfaţarea uşoară cu aplicaţii externe.


153

5.6 Concluzii În acest capitol sunt dezvoltate şi analizate câteva strategii de reglare automată, în contextul mai larg al tehnicilor avansate de conducere cu posibilă aplicabilitate în procesele energetice. Lucrarea punctează câteva aplicaţii în reglarea automată atât pentru conducerea proceselor dinamice liniare cât şi neliniare. Modernizarea unor sisteme energetice este încurajată prin promovarea unor tehnologii de reglare moderne care să asigure o comportare dorită cu îndeplinirea cerinţelor impuse prin proiectare. În majoritatea aplicaţiilor energetice cei mai mulţi algoritmi de conducere automată se bazează pe structuri de reglare clasice cu obţinerea de performanţe numai în jurul unui punct nominal de operare. În unele situaţii au fost implementate şi strategii de reglare predictive proiectate în domeniul clasic de discretizare. Aceste strategii avansate de conducere dedicate în mod special proceselor cu dinamică dificilă necesită însă perioade mari de eşantionare datorită complexităţii de calcul. Prin urmare, aceste strategii avansate de conducere nu pot fi aplicate proceselor cu o dinamică rapidă. Mai mult, algoritmii predictivi proiectaţi în domeniul clasic de discretizare sunt expuşi efectelor negative ale erorilor de rotunjire, mai ales în cazul implementărilor în aritmetica în virgulă fixă sau virgulă mobilă, în contextul unei perioade mici de eşantionare. Elementele de originalitate introduse în acest capitol au ca scop dezvoltarea unor algoritmi avansaţi de conducere care să aducă îmbunătăţiri în mod special proceselor cu dinamică dificilă. Într-un prim pas a fost proiectat un algoritm de reglare predictivă în domeniul discret δ dedicat în mod special sistemelor considerate cu dinamică rapidă. Motivaţia acestui studiu este susţinută şi prin faptul că domeniul δ de discretizare elimină anumite dezavantaje introduse în calculul numeric de operatorul clasic de discretizare. Astfel, este posibilă reducerea erorilor de rotunjire şi evitarea unei proaste condiţionări numerice. Au fost dezvoltate două abordări: una pentru sistemele ce încorporează un element integrator, iar cealaltă abordare este dedicată sistemelor fără componentă integratoare. Algoritmul propus se remarcă prin faptul că etapele de proiectare pentru determinarea comenzii optimale sunt dezvoltate în totalitate în domeniul δ . În acest context, avantajele numerice şi conceptuale oferite de operatorul δ de discretizare sunt extinse în reprezentarea strategiei predictive GPC. Efectele erorilor de rotunjire care apar în domeniul clasic de discretizare sunt în acest caz reduse, mai ales pentru perioade mici de eşantionare în contextul unei reprezentări pe un număr finit de biţi. În continuarea acestui studiu au fost testate prin simulare cele două abordări. S-a urmărit în mod special dependenţa şi influenţa parametrilor de acordare ai legii de reglare SS δ GPC având ca studiu de caz un sistem de fază neminimă cu integrator, analizat şi în alte articole. De asemenea, au fost prezentate studii comparative între algoritmul SS δ GPC şi cel din domeniul clasic de discretizare pentru reprezentări numerice de 4, 8, 12 şi 16 biţi. Rezultatele obţinute dovedesc faptul că erorile în acţiunea de comandă sunt


154

comparabile în cele două domenii discrete pentru o reprezentare pe 4 biţi, însă operatorul δ este semnificativ mai precis pentru reprezentări de 8, 12 şi 16 biţi. Acest capitol propune şi o analiză comparativă între algoritmul emulator δ GPC, în care etapele de proiectare sunt transformate din domeniul continuu de timp în domeniul δ discret şi algoritmul propus SS δ GPC în contextul utilizării unei perioade mici de eşantionare. În acest sens, s-a observat faptul că, algoritmul emulator δ GPC este foarte sensibil la variaţiile lui sT şi mai puţin sensibil la variaţiile parametrilor de acord specifici algoritmului GPC Rezultatele cercetării în această direcţie s-au concretizat în câteva publicaţii printre care [Halaucă şi Lazăr, 2005] şi un articol acceptat pentru publicare în 2009 în revista International Journal of Systems Science. De asemenea au fost ilustrate comparativ formele de undă ale ieşirii sistemului şi ale mărimii de comandă în cazul utilizării algoritmului SS δ GPC şi a strategiei clasice q GPC, considerând aceleaşi valori ale parametrilor de acord specifici algoritmului predictiv. Performanţele algoritmului propus au fost testate prin simulare, considerând un sistem instabil BIBO cu un zerou de fază neminimă, concretizat prin modelul matematic al unui generator sincron conectat la o reţea de mare putere. Astfel de proces din domeniul energetic caracterizat şi de o dinamică rapidă este greu de reglat utilizând legi clasice de reglare. Legea de reglare predictivă GPC în domeniul discret δ, în special algoritmul SS δ GPC poate aduce îmbunătăţiri importante în ceea ce priveşte alegerea unei perioade mici de eşantionare. Mai mult, acest studiu este relevant în special pentru implementarea unor structuri de reglare pe sisteme încorporate, unde reprezentarea poate fi restricţionată la un număr finit de biţi. Performanţele obţinute atestă algoritmii GPC predictivi în domeniul discret δ ca fiind utili pentru conducerea automată a proceselor rapide, cu o caracteristică instabilă sau de fază neminimă, atunci când aceste procese nu pot fi conduse cu structuri clasice de reglare. Din punct de vedere al performanţelor structurii de reglare, SS δ GPC se remarcă prin robusteţe, performanţele reglării şi a timpului de calcul fiind superioare. Algoritmul GPC formulat în domeniul q este însă superior în cazul unei frecvenţe mai mari de eşantionare combinat cu o reprezentare a numerelor pe mai mulţi biţi, evoluţia ieşirii şi comenzii degradându-se odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare. De asemenea, în acest capitol sunt propuse alte abordări ale conducerii predictive pentru reglarea automată a unor sisteme liniare multivariabile şi respectiv neliniare. Algoritmul EPSAC destinat reglării sistemelor multivariabile demonstrează performanţe de reglare ce sunt apreciate din punctul de vedere al celor două funcţii obiectiv utilizate în cele două abordări solidară/separată. În urma rezultatelor experimentale obţinute pentru reglarea automată a nivelului în sistemul cu cele 3 rezervoare s-au observat evoluţii bune ale celor


155

două mărimi reglate, parametrii de acord ai legii de reglare având un rol decisiv în obţinerea unor performanţe superioare. Lucrarea de faţă abordează si problema reglării proceselor neliniare, algoritmul neliniar EPSAC fiind propus pentru reglarea nivelului de apă în tamburul unui boiler destinat producerii de abur industrial. Performanţele algoritmului neliniar NEPSAC sunt apreciate datorită faptului că modelul matematic utilizat pentru calculul predictorilor este neliniar, regulatorul fiind capabil să urmărească referinţa impusă pe toată gama de funcţionare a procesului. Rezultatele obţinute cu această strategie de conducere automată au fost comparate cu rezultatele obţinute în urma reglării procesului neliniar cu un regulator PI în jurul unor puncte nominale de funcţionare, nivelul din tambur urmărind cu acurateţe referinţa impusă. În ultima parte a acestui studiu este dezvoltată prin extensie o structură de reglare neuro-predictivă pentru reglarea nivelului în tamburul unui boiler de abur, considerând şi o perturbaţie de sarcină. Metoda de acordare adaptivă a fost implementată şi testată prin simulare numerică, utilizând pentru reglarea nivelului în tamburul cazanului de abur prezentat în detaliu în Capitolul 3, un regulator de tip PI discret ai cărui parametri sunt obţinuţi la fiecare moment de eşantionare folosind o procedură de minimizare numerică a unei funcţii obiectiv. Algoritmul a fost testat prin simulare în prezenţa perturbaţiei de sarcină, materializată prin consumul de abur de la consumator. Rezultatele experimentale ilustrează capacitatea regulatorului PI implementat de a regla procesul şi a rejectata perturbaţiile de sarcină. În finalul capitolului a fost dezvoltată şi implementată o aplicaţie SCADA pentru un sistem de distribuţie a agentului termic către mai mulţi consumatori industriali. Prin intermediul platformei SCADA şi a interfţei sugestive implementate în Lookout se pot transmite comenzi atât în regim manual cât şi automat folosind diferite strategii de reglare. În această lucrare au fost prezentate câteva dintre tehnicile avansate de conducere automată, incluzând aici şi algoritmii de conducere predictivă. Prin studiile de caz prezentate, aceşti algoritmi permit rezolvarea unor probleme de reglare a proceselor complexe în situaţii specifice mediului industrial.

CONCLUZII FINALE

156

Capitolul 6

Concluzii finale Lucrarea de faţă propune şi analizează anumite strategii de modelare şi conducere avansată automată cu referire în mod special la procesele existente în cadrul ansambului boiler – turbină de abur. Lucrarea este justificată de progresul rapid în domeniul tehnicii de calcul şi al componentelor hardware din ultimii ani, ce a permis elaborarea mai multor direcţii de dezvoltare a unor strategii de modelare şi conducere automată, în scopul perfecţionării funcţionalităţii instalaţiilor industriale. În acest context, comunitatea ştiinţifică dedicată studiului acestor tipuri de procese energetice a conceput perspective noi de analiză, oferind astfel o varietate largă de soluţii corespunzătoare fiecărei aplicaţii. Studiul dezvoltă o serie de metode şi algoritmi de proiectare a unor strategii de modelare matematică şi conducere avansată adecvate unor procese din domeniul energetic. O parte dintre studiile realizate în această teză au fost prezentate (sau acceptate spre prezentare) în mai multe publicaţii: 5 reviste de specialitate şi 7 articole publicate la conferinţe ştiinţifice organizate atât în ţară cât şi în străinătate. Rezultatele cercetării în domeniul conducerii predictive în domeniul discret delta s-au concretizat şi printr-un articol acceptat pentru publicare în 2009 în revista International Journal of Systems Science împreună cu prof. Visakan Kadirkamanathan de la Universitatea din Sheffield, departamentul Automatic Control and Systems Engineering, UK şi Sean Anderson din cadrul Active Touch Laboratory Centre for Signal Processing in Neuroimaging and Systems Neuroscience din cadrul aceleiaşi universităţi. Pe parcursul perioadei de cercetare am participat la următoarele proiecte de cercetare: - Proiectarea şi implementarea unor structuri de reglare pentru parametrii tehnologici debit, presiune gaz metan şi nivel tambur de la cazanele de 420t/h cu combustibil hidrocarburi, desfăşurată în cadrul contractului nr. 1475 din 29.07.2005 încheiat cu S.C. „CET Iaşi” S.A. cu două etape:

Etapa I, anul 2005: " Proiectarea şi implementarea structurii de reglare a debitului şi presiunii gazului metan " - C. Lazar (director), M. Voicu, T. Ganciu, L. Mirea, C. Halaucă, C. Andrici, D. Pătraşcu .

CONCLUZII FINALE

157

Etapa a II-a, anul 2006-2007: „Proiectarea şi implementarea structurii de reglare a nivelului în tambur” - C. Lazar (director), M. Voicu, T. Ganciu, L. Mirea, C. Halaucă, C. Andrici

- Implementarea unui sistem SCADA pentru reţelele de distribuţie a apei şi de canalizare în cadrul proiectului CEEX-M1-C2 2006, GISHIDRO intitulat „Platformă GIS integrată pentru analiza, proiectarea, simularea şi optimizarea funcţionării reţelelor de alimentare cu apă şi de canalizare” - D. Gâlea (director), C. Lazăr, M. Postolache, C. Halaucă, A. Ioan, A. Ciobanu, 2006-2008. 6.1 Contribuţii Elementele de originalitate pot fi delimitate după cum urmează: 6.1.1. Dezvoltarea, implementarea şi validarea unui simulator pentru ansamblul boiler-turbină de abur

• Dezvoltarea prin extensie a unor modele matematice neliniare pentru cele trei subsisteme din cadrul ansamblului tambur – boiler de abur: tamburul, conductele coborâtoare-ridicătoare şi supraîncălzitorul.

• Integrarea modelelor matematice ale celor trei subsisteme într-un simulator. Simulatorul este proiectat şi configurat în concordanţă cu parametrii constructivi ai unei instalaţii de tip tambur – boiler de abur cu o capacitate de 420t/h de la S.C. CET 1 S.A., Iaşi. Simulatorul poate constitui suportul pentru diverse comparaţii şi teste cu alte strategii de modelare şi identificare. De asemenea, acesta poate fi folosit pentru a dobândi o mai bună înţelegere a funcţionalităţii boilerului, efectuând experimente imposibil de realizat în mediul industrial. Utilizarea simulatorului nu este însă limitată doar la cazul instalaţiei particulare considerate, putând fi avute în vedere şi alte configuraţii de boilere.

• Evidenţierea efectelor de comprimare şi expansiune şi ilustrarea prin simulare a condiţiilor ce favorizează apariţia acestor efecte nedorite.

• Implementarea pe simulatorul dezvoltat a trei structuri clasice de conducere automată pentru reglarea nivelului în tamburul boilerului de abur.

În cadrul Capitolului 3, simulatorul este verificat experimental, iar performanţele sunt apreciate prin comparaţii cu datele reale oferite din funcţionarea în timp real a procesului în circuit deschis, iar cele trei structuri de reglare clasice au fost testate prin simulare numerică.

CONCLUZII FINALE

158

6.1.2 Parametrizarea modelelor cu utilizarea operatorului de discretizare δ

• Ilustrarea relaţiilor de legătură între reprezentările obţinute în formalismul intrare-ieşire sau intrare-stare-ieşire, în cele două domenii discrete de timp şi domeniul continuu de timp. Sunt prezentate fundamentele teoretice referitoare la discretizarea în domeniul delta şi se compară proprietăţile operatorului delta cu cele ale operatorului clasic de discretizare. Sunt discutate comparativ aspectele legate de domeniul de stabilitate BIBO în cele două domenii discrete de timp în raport cu proprietatea de stabilitate externă din domeniul continuu de timp.

• Formularea unor condiţii legate de alegerea perioadei de eşantionare în domeniul discret delta, discutate din prisma teoremei lui Shannon şi din perspectiva erorilor de rotunjire produse de reprezentările numerice interne.

• Investigarea unor modele matematice liniare continue şi discretizate din prisma apariţiei zerourilor suplimentar introduse prin eşantionare.

• Ilustrarea şi investigarea prin simulare a avantajelor oferite de parametrizarea cu operatorul δ discret pe modele matematice reprezentative. De asemenea, sunt evidenţiate avantajele oferite de operatorul discret delta, un rezultat important se referă la faptul că acest operator nu introduce zerouri cu efect de defazaj neminim pentru sistemele care au defectul de rang mai mare decât 2, spre deosebire de cazul reprezentărilor în domeniul q, în contextul alegerii unei perioade mici de eşantionare.

• Proprietăţile operatorului discret delta sunt ilustrate prin simulare pe câteva studii de caz, cu referire şi la sisteme cu dinamică rapidă, frecvent întâlnite în domeniul industriei energetice. Printre studiile de caz analizate se remarcă modelul unui generator sincron conectat la o reţea de distribuţie de putere infinită.

• Punerea în evidenţă a celei mai importante proprietăţi oferite de operatorul delta, şi anume, faptul că, coeficienţii modelelor discretizate cu operatorul delta tind către valorile numerice corespunzătoare domeniului continuu, odată cu creşterea frecvenţei de eşantionare. Printre studiile de caz analizate se remarcă modelul unui generator sincron conectat la o reţea de putere infinită din cadrul ansamblului boiler – turbină de abur. Pentru procesul considerat, alegerea perioadei de eşantionare are un rol decisiv, astfel alegerea unei valori suficient de mică oferă posibilitatea unei exploatări mai eficiente ale dinamicii acestuia. Mai mult, semnificaţiile mărimilor fizice din modelul continuu pot fi păstrate şi în domeniul discret.

• Adaptarea unor funcţii din toolbox-ului UNIT pentru modele de tip ARX şi ARMAX bazate pe operatorul δ discret. Pentru estimarea modelelor parametrice au fost utilizate cele două seturi de date preluate din funcţionarea în timp real a unui boiler de abur de la SC. CET 1 S.A. din Iaşi, date ce au fost folosite în validarea simulatorului prezentat în Capitolul 3.

Rezultatele prezentate subliniază avantajele discretizării cu ajutorul operatorului δ în condiţiile alegerii unei perioade mici de eşantionare. Pentru cazul limită 0sT → , coeficienţii

CONCLUZII FINALE

159

din funcţia de transfer obţinută în domeniul discret δ tind către coeficienţii din domeniul continuu de timp. 6.1.3 Proiectarea şi implementarea algoritmului GPC în domeniul discret δ pornind de la modelul intrare-stare-ieşire

• Proiectarea şi dezvoltarea unei noi strategii de reglare numită SS δ GPC pornind de la modelul intrare - stare - ieşire δ discret. Acest algoritm este proiectat separat pentru procesele caracterizate de prezenţa unui element integrator, dar şi pentru acele sisteme ce nu încorporează o componentă integratoare. Deosebirea între cele două abordări este justificată de expresia incrementelor comenzii. Elaborarea acestei metode de conducere predictivă în domeniul discret δ este dedicată în mod special reglării sistemelor cu dinamică rapidă cu aplicabilitate în domeniul energetic.

• Analiza performanţelor algoritmului propus SS δ GPC în comparaţie cu algoritmul emulator delta GPC pentru perioade mici de eşantionare, considerând un sistem de fază neminimă cu integrator. De asemenea, algoritmul propus a fost testat prin simulare comparativ cu algoritmul GPC proiectat în domeniul clasic de discretizare.

• Investigarea şi stabilirea unor aspecte legate de alegerea perioadei de eşantionare şi a parametrilor de acordare specifici algoritmilor predictivi în contextul unei anumite reprezentări interne (4, 8, 12 şi, respectiv, 16 biţi).

• Regulator predictiv în domeniul discret delta pentru reglarea tensiunii unei maşini sincrone conectată la o reţea de putere infinită din cadrul unui ansamblu boiler – turbină de abur. Algoritmul propus are avantajul că toate calculele numerice sunt realizate în termenii operatorului delta, păstrându-se astfel avantajele numerice cât şi conceptuale în contextul unei perioade mici de eşantionare.

6.1.4 Tehnici avansate de reglare automată în conducerea proceselor energetice

• Algoritm de reglare predictiv neliniar pentru reglarea nivelului de lichid din tamburul unui boiler de abur, considerând modelul matematic neliniar al tamburului unui boiler de abur. Rezultatele simulărilor sunt discutate comparativ cu rezultatele obţinute cu regulatorul clasic PID.

• Algoritm de conducere predictivă EPSAC, pentru procesele multivariabile. Procesul considerat se referă la reglarea nivelului de lichid din două rezervoare, aplicaţie ce îşi găseşte aplicabilitate practică şi în centralele termo-electrice. Experimentele au fost efectuate pe macheta de laborator “Sistemul cu trei rezervoare” existentă în catedra de Automatică şi Informatică Aplicată din cadrul facultăţii de Automatică şi Calculatoare, Iaşi.

• Metodă neuro-predictivă pentru acordarea parametrilor unui regulator PID pentru reglarea nivelului de lichid din tamburul boilerului de abur. Strategia de conducere

CONCLUZII FINALE

160

este proiectată în contextul apariţiei unei perturbaţii de sarcină concretizată prin debitul masic al aburului solicitat de consumator.

• Dezvoltarea şi proiectarea unui sistem de supervizare pe baza unei aplicaţii SCADA pentru reţelele de distribuţie a agentului termic către consumatori. Testarea experimentală s-a realizat pe macheta de laborator PROCON seria 38 (Feedback Process Control Training System) produsă de firma FEEDBACK existentă în catedra de Automatică şi Informatică Aplicată din cadrul Facultăţii de Automatică şi Calculatoare, Iaşi. În cadrul proiectului de cercetare CEEX-M1-C2 2006, GISHIDRO, aplicaţia realizată în Lookout a fost interfaţată cu aplicaţia GIS NetSET prin intermediul bazei de date Citadel şi prin mecanismul Dynamic Data Exchange (DDE) Aplicaţia poate fi utilizată pentru a conduce şi monitoriza, dintr-o locaţie centrală, elementele ce ţin de funcţionarea unui subsistem pentru reţele de distribuţie a agentului termic. Parametrii tehnologici ce trebuie urmăriţi sunt debitul apei de alimentare, debitul aburului consumat şi presiunea aburului. Proiectarea modului SCADA şi testele efectuate ulterior pe standul experimental au pus în evidenţă facilităţile oferite de Lookout pentru dezvoltarea de aplicaţii SCADA şi interfaţarea uşoară cu aplicaţii externe.

6.2 Direcţii viitoare de cercetare Cercetările viitoare se referă la extinderea algoritmilor de conducere în domeniul discret delta, pentru sisteme multivariabile şi analiza structurilor de conducere proiectate. De asemenea, este avută în vedere şi implementarea algoritmilor de conducere din domeniul discret delta pe sisteme încorporate. O altă direcţie de cercetare vizează aplicabilitatea operatorului delta şi în cadrul altor domenii de interes, precum domeniul energiei regenerabile.

BIBLIOGRAFIE

[1] Anderson S, Halaucă C. şi Kadirkamanathan, V., Predictive control of fast-sampled systems using the delta-operator, International Journal of Systems Science (acceptată spre publicare în 2009).

[2] Andrici C., Halaucă C., Lazăr C, Pătraşcu D. A Non-Interacting Multivariable Approach to Pressure – Flow Control in Gas Pipelines, Buletinul Institutului Politehnic Iasi, Tomul LII (LVI), 1-4, pp.39-46, 2006.

[3] Astrom K. J., Bell R.D. (2000). Drum Boiler Dynamics, Automatica, 36, 363-378.

[4] Astrom K. J. (1972). Modeling and identification of power system components, Proc.Symp. on Real-time Control of Electric Power System, Baden, Switzerland, 1-28.

[5] Astrom K.J., Wittenmark N. (1989). Adaptive Control, Addsison-Wesley Publishing Comp.

[6] Ayla Altinten. (2007). Generalized predictive control applied to a pH neutralization process, Computers & Chemical Engineering, Volume 31, Issue 10, pp. 1199-1204.

[7] Bailey D., Wright E. (2003) Practical SCADA for Industry, Elsevier, Great Britain.

[8] Bemporad A., Morari M., Dua V. , Pistikopoulos E.N. (2002). The explicit linear quadratic regulator for constrained systems, Automatica, vol. 38, no. 1, pp. 3–20.

[9] Benyó I., Kovács J., Hímer Z, şi Kortela U. (2004). Cascade GPC for Superheated Steam Temperature Control Proceeding of Modelling, Identification, and Control .

[10] Bikash P., Balarko C. (2005). Robust Control in Power Systems Series: Power Electronics and Power Systems.

[11] Blet, N., D. Megias, J. Serrano, C. De Prada. (2002). Nonlinear MPC versus MPC using On-Line Linearisation-A comprative Study, 15th Triennial World Congress, Barcelona.

[12] Camacho E.F., Bordons C. (1999). Model Predictive Control. Advanced Textbooks in Control and Signal Processing, Springer, London.

[13] Canale M., Milanese M., Novara C. (2006). Semi-active suspension control using fast model predictive techniques. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 14(6), 1034–1046.

[14] Carari S., Chirea O., Lazăr C. (2003). Distributed control system for educational training based on Lookout and FieldPoint, Proc. of NIWeek Worldwide Virtual Instrumentation Conference, Austin.

[15] Chadwick, M. A., Kadirkamanathan, V., Billings, S. A.(2006). Analysis of fast-sampled non-linear systems: Generalised frequency response functions for δ operator models. Signal Processing 86 (11), 3246–3257.

[16] Cheng H-M., Chiu T.C. (2007). Coupling between Sample Rate and Required Wordlength for Finite Precision Controller Implementation with Delta Transform, Proceedings of the 2007 American Control Conference Marriott Marquis Hotel at Times Square, New York City, USA, July 11-13.

[17] Clarke D.W., Mohthadi C., Tuffs P.S. (1987). Generalised predictive control-Part I. The basic algorithm, Part II. Extensions and Interpretations, Automatica, 23, pp. 137–160.

[18] Collins E. G. Jr., Song T. (2002). A Delta Operator Approach to Discrete-Time H∞ Control, International Journal of Control, Vol. 72, No. 4, pp. 315-320.

[19] Cori R. (1977), Parameter identification of a drum boiler power plant, Proceedings of the 3rd Power Plants Dynamics, Control and Testing Symposium, Knoxville, Tennessee.

[20] De Keyser, R. şi A Van Cauwenberghe. (1985). Extended Prediction Self-Adaptive Control. IFAC Symposium on Identification, York, 1317-1322.

[21] Diehl M., Findeisen, R., Schwarzkopf S., Uslu I., Allgo¨wer F., Bock H. G., Gilles E. D., Schlo¨der J. P. (2002). An efficient algorithm for nonlinear model predictive control of large-scale systems. Part I: Description of the method. Automatisierungstechnik, 50(12), 557–567.

[22] Ebert W. (2001). Optimal filtered predictive control-a delta operator approach, Systems&Control Letters 42.

[23] Eborn J., Sorlie J. (1997), Parameter Optimization of a nonlinear boiler model, Volume V: Systems Engineering, pp.114-125.

[24] Fang F., Tan, W., Liu J. (2005). Tunning of Coordinated Controllers for Boiler Turbine Units, Acta Automatica Sinica, Vol. 31, No 2.

[25] Ferariu L. (2004). Algoritmi evolutivi in automatică, Teză de doctorat, Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Iaşi.

[26] Ferreau H. J., Ortner P., Langthaler P., Re L., Diehl M. (2007). Predictive control of a real-world Diesel engine using an extended online active set strategy, Annual Reviews in Control.

[27] Flynn D. (2003). Thermal Power Plant Simulation and Control, Editor D. Flynn.

[28] Goodwin G.C., Graebe S.F., şi Salgado M.E. (2001) Control System Design, Cap 12, Ed. Prentice Hall.

[29] Goodall R. M., Donoghue B .J.(1993). Very high sample rate digital using the operator, IEE Proc. G, Vol.140., UK.

[30] Grimble M.J. (2001). Industrial Control Systems Design. John Wiley & Sons, April 2001

[31] Hagan M.T. şi Demuth H.B. (1990). Neural networks for control. In: Proceedings of American Control Conference (ACC), pp. 1642-1656.

[32] Hagiwara (1996). Analytic study on the intrinsic zeros of sampled-data systems. IEEE Transactions on Automatic Control. v41 i2. 261-263.

[33] Hagglund T., Astrom K.J. (1991). Industrial Adaptive Controllers based on frequency response techniques, Automatica, 27(4), pp. 599-609.

[34] Halaucă C., Lazăr C. (2005). A State Space Approach to the GPC Design in Delta Operator In Dumitrache I., Buiu C. (Eds.), Proc. of 15th Int. Conf. on Control Systems and Computer Science, 1, pp.128-133, Bucharest, 25-27 May, ISBN 973-8449-89-8.

[35] Halaucă C., Lazăr C. şi MIREA L. (2006). Modeling and Simulation of a Power Plant Drum Boiler, Memoriile Secţiilor Ştiinţifice ale Academiei Române, Seria IV, XXIX, Editura Academiei Romane, Bucureşti, pp. 207-220. ISSN 1224-1407, ISBN 973-27-0971-5.

[36] Halaucă C., Lazăr C. (2007a). Nonlinear predictive Method for Boiler Drum Level Control Proc. of 16th International Conference on Control Systems and Computer Science, Bucuresti, 22-25 May, 2007, pp. 675-679, ISBN 978-973-718-741-3.

[37] Halaucă C., Lazar C. (2007b). A Drum Boiler Simulator and the delta State Space Approach to the Discrete Model Identification, Proc. of 9th International Symposium on Automatic Control and Computer Science, Iasi, November 16-17, CD-ROM, ISSN 1843-665-X.

[38] Halaucă C., Lazăr C. (2008a). The δ Discrete Model Parameterization of a Steam Drum Boiler System, Proc. of the 27th IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control, Innsbruck, Austria, February 11-13, pp. 43-48, ISBN 978-0-88986-711-6.

[39] Halaucă C., Lazăr C. (2008b). Improving Discrete Model Representation of the Fast Systems in the Delta Domain, Advanced Modeling and Optimization, Volume 10, Number 2.

[40] Halaucă C., Lazăr C. (2008c). Delta Domain Predictive Control for Fast, Unstable and Non-minimum Phase Systems, Control Engineering and Applied Informatics.

[41] Halaucă C., Lazăr C. (2009b). Dynamic Simulation Model for a Steam Drum Boiler System, European Control Conference, 23-26 August 2009, Budapest, Hungary.

[42] Henson M., Seborg D. (1994). Adaptive nonlinear control of a pH neutralization process, IEEE Trans. Control Syst. Technol, 2,(3), pp. 169–182.

[43] Hersh M.A. (1994). A comparison of discrete time system representations based on delta and w operators. IMA J math. control and info.

[44] Jefferies D. (2002). Power System Restructuring and Deregulation, Trading Performance and Information Technology.

[45] Kauraniemi J., Laakso T.I., Hartimo I., Ovaska S.J. (1998). Delta Operator Realizations of Direct-Form IIR Filters. Ieee Transactions on Circuits and Systems—ii: Analog and Digital Signal Processing, vol. 45, no. 1, january 1998.

[46] Kwan H. W., Andersson J.H. (1970) A mathematical model of a 200MW boiler, International Journal of Control, 12, 977-998.

[47] Kuznetsov A, Bowyer R. şi Clarke D.W. (1999). Estimation of multiple order models in the δ-domain, International Journal of Control 72, pp. 629–642.

[48] Lauritsen M.B., Rostgaard M., Poulsen N. K. (1995). Generalised predictive control in the delta domain. Proceedings of the 1995 American Control Conference, Seattle Washington, USA. Vol. 5, pp. 3709-3713.

[49] Lauritsen M. B., Rostgaard M., Poulsen N. K. (1997). GPC using delta domain emulator-based approach. Int. J. Control, 68, pp. 219–232.

[50] Lazăr C. (1999). Conducerea predictivă a proceselor cu model cunoscut, Ed. Matrix Rom, Bucureşti.

[51] Lazăr C., Vrabie D. and Carari S. (2004)., Sisteme automate cu regulatoare PID, Editura MATRIX ROM, Bucuresti,

[52] Lazăr C., Vrabie D., Carari S., Ivana D. (2004). A neuro-predictive approach for tuning industrial controllers, WSEAS Transactions on Systems, (Greece), Issue 2, Vol. 3, pp. 730-735.

[53] Lazăr C., Vrabie D., Carari S. (2004). Sisteme automate cu regulatoare PID, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 2004.

[54] Li, G., and Gevers, M. (1996). On the structure of digital controllers in sampled data systems with FWL consideration In Proceedings of the 35th IEEEConference on Decision and Control (Kobe, Japan), pp. 919 - 920.

[55] Li Q. şi Fan H., (1997). On the properties of information matrices of delta-operator based adaptive signal processing algorithms, IEEE Transactions on Signal Processing 45 (1997), pp. 2454–2467.

[56] Lindsley D. (2005). Power-plant Control and Instrumentation: The Control of Boilers and Heat-recovery Steam Generator Systems.

[57] Maciejowski J.M. (2002). Predictive Control with constraints, Prentice Hall, New Jersey.

[58] Mayne E D.Q., Goodwin G.C, Leal R.L. şi Middleton R. (1986). A rapproachment between continuous and discrete model reference adaptive control. Automatica, 22:199–207.

[59] Middleton R., Goodwin G. (1986). Improved finite word length caracteristics in digital control using delta operators, IEEE Transactions on Automatic Control, 31.

[60] Middleton R., Goodwin G. (1990). Digital Control And Estimation, A unified Approach Prentice Hall,

[61] Mikleš J., Fikar M. (2007). Process Modelling, Identification, and Control. Springer Verlag, Berlin.

[62] Narendra K.S., Parthasarathy K. (1990). Identification and control of dynamical systems using neural networks, IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 1, no. 1, 1990, pp.4-26.

[63] Naumovic M. B. (2006). Comparative Study of Zero Effects in Pole-Placement Control System Design Via the Shift and Delta Transforms. FACTA UNIVERSITATIS (NI_S) SER.: ELEC. ENERG. vol. 18, no. 3, December 2005, 439-451.

[64] Neuman C.P. (1993a). Transformations between Delta and forward Shift operator transfer function models. IEEE Transactions on System, Man. And Cybernetics, 23, No 1.

[65] Neuman C. P. (1993b) Properties of the delta operator model of dynamical physical systems. IEEE Transactions on system, Man And Cybernetics, No. 1, 23: 296–301.

[66] Olah I.; Pal, C.; Mastacan, L.; Anita, L.: Procese si instalatii energetice cu conversie termodinamica, Editura MATRIX ROM, Bucuresti, 2005, ISBN 973-685-929.

[67] Ordys A. W., Pike A.W., JOHNSON M.A., KATEBI R. M. and GRIMBLE M. J. Modelling and Simulation of Power Generation Plant, Springer-Verlag, U.K, 1994.

[68] Parlos A.G., Parthasarathy S., Atiya A. F. (2001). Neuro-predictive Process Control Using On-Line Controller Adaptation, IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 9, no. 5.

[69] Pastravanu O., Barabula A. (2002). Sisteme automate: Elemente de curs, Probleme rezolvate analitic si asistat de calculator, Editura Gh. Asachi, Iasi, 198p, ISBN 973-8292-13-1.

[70] Postolache M. Halaucă C., Lazar C., Ocheşel A. SCADA Systems for Water and Wastewater Networks Proc. of 9th International Symposium on Automatic Control and Computer Science, Iasi, November 16-17, 2007, CD-ROM, ISSN 1843-665-X.

[71] Qing Q., Wang Q.-G., Ye Z., Cai W. J. Hang C.C. (2008). Pid Control for multivariable processes.

[72] Ralev K.R.; Bauer, P.H. (2000). Limit cycles elimination in delta-operator systems. Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, IEEE Transactions on Volume 47, Issue 5, pp. 769 – 772.

[73] Reddy H.C., Hung Khoo, Moschtyz G.S. (2001). Realization of Sampled Data Filters with Infinite Transmission Zeros Using Delta Operator, European Conference on Circuit Theory and Design, august 28-31, Espoo, Finland.

[74] Rostgaard M, Poulsen N.K., Ravn O. (1993). General predictive control using delta operator. 32nd IEEE CDC, San Antonio, Texas, 2, pp. 1769–1774.

[75] Rostgaard M., Lauritsen M. B.and. Poulsen N. K. (1996). A state space approach to the emulator based-GPC design. Systems and Control Letters, 28, pp. 291–301.

[76] Rostgaard M. Lauritsen MB. and Poulsen. N. K. (1997) GPC using delta domain emulator-based approach. Int. J. Control, 68:219–232.

[77] Sera D., Kerekes T., Lungeanu M., Nakhost P., Teodorescu R., Gert K., Liserre M. (2007). Low-Cost Digital Implementation of Proportional-Resonant Current Controllers for PV Inverter Applications Using Delta Operator.

[78] Sinha N.K., Rao G.P. (2002). Identification of Continuous Time Systems.

[79] Shim K. şi Sawan M.E. (2006). Singularly perturbed unified time systems with low sensitivity to model reduction using delta operators, International Journal of Systems Science 37 (4), pp. 243–251.

[80] Suchomski P., Kowalczuk Z. (1997). Robust performance and stability of control system. A unifying survey. Proc. of the 4th International Symposium on Methods and Models in Automation and Robotics MMAR'97, 1, 187-194. Miedzyzdroje, Poland.

[81] Tan W, Marquez H. J, Chen T.W. (2002). Multivariable robust controller design for a boiler system, IEEE Tran. on Control Systems Technology , 10, 5, 735-742.

[82] Tan W., Marquez H. J., Tongwen Chen, Jizhen L. (2004). Multimodel analysis and control Design for Nonlinear Processes, Computers & Chemical Engineering, Vol. 28, pp.2667-2675.

[83] Tan W., Marquez H. J., Tongwen Chen, Jizhen, L. (2005). Analysis and Control of a Nonlinear Boiler-Turbine Unit, Journal of Process Control, Vol. 15, pp. 883-891.

[84] Tan W., Marquez H.J, Chen T.W., Liu J. (2005). Analysis and control of a nonlinear boiler-turbine unit, Journal of Process Control, 15, 883-891.

[85] Tan W., Fang F., Liang T., Caifen Fu, Jizhen, L. (in press). Linear Control of a Boiler-Turbine Unit: Analysis and Design, ISA Transaction.

[86] Tham M.T. (1999). Multivariable Control: An Introduction to decoupling control, Dept. of Chemical and Process Engineering, University of Newcastle upon Tyne.

[87] Voicu M. (1993). Multivariable Automatic Control Systems, Editura „Gh. Asachi” (Politehnium), Iaşi.

[88] Vrabie D., Lazăr C. (2004a). Wiener type process control based on a neuro-predictive method, Proc. of 12th International Symposium on Modeling, Simulation and System's Identification, pp. 161-166, Galaţi.

[89] Vrabie D., Lazăr C. (2004b). Wiener type process control based on a neuro-predictive method, Proc. of 12th International Symposium on Modeling, Simulation and System's Identification, pp. 161-166, Galaţi.

[90] Voicu M., Teoria sistemelor. (2008). Editura Academiei (ISBN 978-973-27-1673-1), Iaşi.

[91] Wills A, Ninness B., Gibson S. (2007). An Identification Toolbox for Profiling Novel Techniques, 2007.

[92] Wu J., Chen S., Li G., Istepanian R.H., Chu, J. (2000). Shift and Delta Operator Realizations for Digital Controllers with Finite-Word-Length Considerations, CiteSeer, Pennsylvania State University.

[93] Yeung M. R., Chan P.L. (1990). Development and validation of steam generator simulation model, Nuclear Technology, 92, 309-314.

[94] Min Xu Shaoyuan Li şi Wenjian Ca. (2005). Cascade generalized predictive control strategy for boiler drum level, ISA Transactions, 44, pp. 399–411.

automatica budaciu cristina

Documents