solutii examen modelare

7/25/2019 Solutii Examen modelare

1/6

EXAMEN Modelarea deciziei nanciar-monetare.Solutii

2 iulie 2008

1. Presupunem ca pentru functia de utilitate data este aplicabila metoda prezentata lacurs.

(a) 1. Relatia de optim este@u@q1

p1=

@u@q2

p2

@u@q3

p3:

@u

@q1=

q1;

@u

@q2=

q2;

@u

@q3= 1 :

p1q1=

p2q2=

1

p3)

f1(p1; p2; p3; V) =q1 =

1

p3

p1;

f2(p1; p2; p3; V) =q2 =

1

p3

p2;

p1q1+ p2q2+ p3q3=V )

q3 = 1

p3(V p1q1 p2q2)

= 1

p3

V

p3

1

p3

1

= V

p3

+

1 :

Deci,

f3(p1; p2; p3; V) =q3= V

p3

+

1 :

2.

(p1; p2; p3; V) = ln

p1

+ ln

p3

1

+ln

p2

+ ln

p3

1

+ (1 )

Vp3

+

1

:

1


2/6

(p1; p2; p3; V) = ln

p1

+ ln

p2

+ (+ ) ln p3

1

+ V

p3 (1 ) (+ ) :

3. Conditia de optim este aceeasi, de unde rezulta:

h1(p1; p2; p3;u) =f1(p1; p2; p3; V) ;

h2(p1; p2; p3;u) =f2(p1; p2; p3; V) ;

ln h1+ ln h2+ (1 ) h3 = u )

h3 = (u ln h1 ln h2) 1

1

h3(p1; p2; p3;u) =u ln

p1

ln

p2

(+ ) ln

p3

1

1

1 :

4. Functia cheltuielilor minime se obtine prin inversarea functiei de utilitateindirecta:

(p; e (p; V)) = u )

u= ln

p1

+ ln

p2

+ (+ ) ln

p3

1

(+ ) + e (p;u)p3

(1 ) )

e (p;u) =

p3

1

u ln

p1

ln

p2

(+ ) ln

p3

1

+ (+ )

:

(b) q1 = c; q2=l; q3 = n: Restrictia de buget este n acest caz

p c + n= (1 l) w

saup c + w l+ 1 n= w;

adica p1=p; p2 = w sip3 = 1.

1. nlocuind n relatiile determinate la punctul (a), obtinem

c=

1

1

p;

l=

1

1

w;

n= w + 1

:

2


3/6

2. w se nlocuieste cu w (1 ), adica salariul net. Oferta de forta de muncaeste

1 l

= 1

1

1

w (1 ):

ncasarea bugetara este

(1 l) w =B () :

B () =w

1

/w/w (1 )

B () =w+

1

1

1

1

B0 () =w 1 1(1 )2

B00 () = 2

1

1

(1 )3


4/6

unde

k = 1 c + (g+ )l1

l21

A= cT+g+

l2

M

P + G CF0+ r

f:

N X = E X

= nYf + a" mY + b"

= nYf + (a + b) " mY

N X= CF0

r rf)

nYf + (a + b) " mY = CF0 r rf

)"= 1

a + b

mY CF0

r rf

nYf

:

(b) NX0 = 0 )N X+ N X= 0 )NX= NX:

BP =C F+ NX)

BP = CF+ N X:

CF =r )r= NX:

M

P =l1Y l2r )

MP =l1Y l2r )

Y = 1

l1

M

P + l2r

" = 1

a + b(mY r)

= 1

a + b

m

l1

M

P + m

l2

l1r r

= 1

a + bm

l1

M

P

+ 1 m l2l1NX :

Daca MP

= 0,

"= 1

a + b

1 m

l2

l1

N X:

(c) Efectund calculele, obtinem

k = 2; 7778;

A = 141; 512;

Y = 393; 0889;

r = 0; 0953;" = 3; 6283:

4


5/6

3. ...

(a)2P =x2

2A+ 2B 2AB

+ x

22B+ 2AB

+ 2B;

pentrux= xA si(1 x) =xB:Structura portofoliului de risc minim ce se poateforma cu cele doua active cu risc este:

xA = 2B AB

2A+ 2

B 2AB;

xB = 2A AB

2A+ 2

B 2AB:

= 4 2AB 2A2B2Pmin=

4a=

2A2

B 2

AB

2A+ 2

B 2AB:

E[RP] = 1

2A+ 2

B 2AB

2B AB

E[RA] +

2A AB

E[RB]

:

Din calcule rezulta xA = 0; 7941; xB = 0; 2059; E[RP] = 0; 12059 si Pmin =0; 0325.

(b) 1. Numai din active cu risc:

daca P < Pmin, nu exista niciun astfel de portofoliu; daca P =Pmin, exista un singur portofoliu; daca P > Pmin, exista doua portofolii, dintre care este optim cel care

are rentabilitatea medie mai mare.

2. Daca se include n portofoliu si activul fara risc exista o innitate de portofoliicare sa aiba un risc dat, deoarece avem o singura restrictie: riscul si douavariabile: xA = x, xB = y si xf = 1 x y: Optim este portofoliul de peCML, adica cel format din portofoliul pietei si din activul fara risc.

= 2A ABAB

2

B ; =

0; 052 4; 5 103

4; 5 103 0; 152

; 1 =

625 125125 69; 44

:

A= eT1e; unde e= (1; 1)T :

B=T1e; = (0; 1; 0; 2)T :

C=T1 siD= AC B2:

Din calcule: A = 944; 44; B = 113; 888; C = 14; 0276 si D = 277; 75:Porto-foliul pietei, notat cu Mare rentabilitatea medie si riscul:

E[RM] = C BRf

B ARf; E[RM] = 0; 1257:

5


6/6

M=

AR2f2BRf+ C

12

B ARf; M= 0; 0683:

Pentru a determina structura portofoliului pietei pe cele doua active cu riscputem utiliza restrictia de rentabilitate:

E[RM] =xMA E[RA] +

1 xMA

E[RB] ;

de unde rezulta

xMA = E[RM] E[RB]

E[RA] E[RB]:

Obtinem xMA = 0; 743 si xMB = 0; 257:Pentru a forma portofoliul Pcu riscul

P = 3; 5%trebuie sa se investeasca xM= PM

= 0; 5123 n portofoliul pietei

sixf = 0; 4877n activul fara risc. Rezulta ca structura portofoliului P este

A B f

0; 3806 0; 1317 0; 4877

:

(c) 1. Exista un singur portofoliu format din cele doua active cu risc care sa aibarentabilitateaE[RQ]. Acesta se determina din relatia

E[RQ] =xQA E[RA] +

1 xQA

E[RB] ;

de unde rezulta

xQA =

E[RQ] E[RB]

E[

RA] E

[RB]

:

2. Daca se include n portofoliu si activul fara risc exista o innitate de portofoliicare sa aiba rentabilitatea data, deoarece avem o singura restrictie: rentabil-itatea medie si doua variabile: xA=x, xB =y sixf= 1 x y:Optim este,din nou, portofoliul de pe CML:

E[RQ] =xM E[RM] + (1 xM) Rf;

de unde rezulta: xM= 1; 3699 si(1 xM) = 0; 3699. Structura portofoliu-

luiQeste A B f

1; 0178 0; 3521 0; 3699 :

6

solutii examen modelare

Documents