SIRURI RECURENTE

Profesor coordonator Sorina Cretu

Grupa 3

Cum pot utiliza matematica pentru a descoperi noi proprietati si relatii ?

Scopul proiectului

observarea legaturii inductive dintre siruri si numerele reale ca baza de plecare pentru a identifica noi proprietati.

descoperirea modului in care pot fi interpretate si rezolvate situatii reale si rezolvarea de situatii induse.

dezvoltarea competentelor de autonomie si de comunicare eficienta in grup si individual- competente necesare pentru lumea reala.

Siruri recurente = functii in care un termen din sir se exprima cu ajutorul celui anterior, incepand de la al doilea termen la care intervin cantitati egale numite ratii

 

Am formulat termenul general si am folosit procedeul inductiei matematice pentru sirurile:  

Am observat ca in relatia de recurenta:  

Am identificat descrierile din dreapta si le-am atribuit formulele din stanga.

1; 3; 9; 27;.........

𝑥𝑛+2=5 𝑥𝑛+1−6 𝑥𝑛 ,𝑥1=1 ,𝑥2=3

• Recurentele de orice fel se pot rezolva prin teorema Weierstrass

La ce folosesc?

 

 

CE AM OBSERVAT !

Am determinat valorile din tabel

Ne-am interesat si am aflat ca sunetele chitarei se obtin prin corzile masurate de noi astfel: daca o coarda de lungime L emite un sunet, de exemplu “mi”, atunci o coarda cu L/2 emite sunetul cu o octava mai sus. Notele mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si, do, do#, re, re#, mi, se obtin cu corzi de lungimi L0, L1,....,L12.

• Asa ne-am convins ca L0, L1,....,L12 formeaza o progresie geometrica.

• Oare Radu stie acest lucru?

Proprietati privind coardele vibrante si definitia gamei temperate

In antichitate Ptolemeu, cunoscut pentru sistemul cosmologic propus, a ramas in istorie pentru tratatul sau “Armoniile”, unde prezinta sistemul pitagorician, potrivit caruia notele trebuie sa fie reprezentate ca rapoarte de numere intregi. Principalele rapoarte sunt: patrimea – quarta asociata cu 3/4 si quinta asociata cu raportul 2/3 .

Calculand raportul dintre quinta si quarta am regasit valoarea 0,88

Am demonstrat ca distantele d1, d2,.....d12, din desenul anterior, formeaza termeni egali ai unei progresii geometrice cu aceeasi ratie.

Problema preluata din revista Pour la science, nr 151, PP108-114, mai 1990, articolul Calculs bien temperes de Ian Stewart

Lucrarea “Liber abacci”, scrisa de renumitul matematician Leonardo din Pisa (sec. XIII), cunoscut prin porecla Fibonacci (fiul lui Bonacci) si care cuprinde aproape toate cunostintele de aritmetica si algebra din acea perioada a evului mediu, este ilustrata printr-un mare numar de probleme, intre care şi cea analizată.

Sirul lui Fibonacci este un sir de numere izvorat din ”celebra problema a iepurilor de casa”, in jurul caruia s-a dezvoltat o intreaga teorie si care ramane unul din cele mai atractive capitole ale matematicii elementare

.

In problema se cere să se afle: “Cate perechi de iepuri se nasc într-un an dintr-o singura pereche de iepuri ?”

Pentru a afla câte perechi de iepuri se nasc într-un an, cineva a asezat o pereche de iepuri într-un loc îngradit cu un zid, stiind ca, dupa o luna, o pereche de iepuri aduce pe lume o alta pereche, iar iepurii încep să dea naştere la pui la varsta de o luna.

Raspunsul problemei este 1; 1; 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5;....

 

Numarul de aur=Ø-1=0,61

- Este o progresie aritmetica sau geometrica?- Am demonstrat ca = = 1,61803398874

Spirala este o curba plana ce descrie miscarea de revolutie in jurul unui punct fix sau pol, micsorandu-se din ce in ce mai mult. Caracteristica principala a spiralei este faptul ca raza de curbura variaza in timpul rotatiei

Spirala lui Arhimede = fiecare rotatie indeparteaza curba de centru, in mod uniform, iar spatiu dintre doua rotatii consecutive este constant

Spirala lituus = are forma asemanatoare varfului de capitoliu a colanei ionica, precum si a nebuloaselor astronomice

Spirala este o fascinanta figura geometrica. Cuvantul provine din greaca avand ca radacina “spar” ce semnifica raspandire, extensie ceea ce ne duce cu gandul la ideea de a te extinde prin cunoastere, de a disimina

Spirala logaritmica sau equiunghiulara = se caracterizeaza prin fatul ca vectorul raza este taiat de spirala sub acelasi unghi, numit unghi polar. Razele spiralei cresc in progresie geometrica, iar logaritmul razei in progresie aritmetica

NUMARUL DE AURPREZENT IN SPIRALA

tipuri de spirala

=

Spirala lui Arhimede

Spirala lituus

Spirala logaritmica

- in gheata formata din apa ce contine bule de aer regasim spirala;

- parafina cristalizeaza in forma de spirala

- o regasim in varful de capitoliu al coloanei ionice

- forma nebuloaselor astonomice

Natura ne ajuta

sa descoperim proprietati noi !

- apare in organizarea conului de pin- ananas- floarea soarelui, unde semintele sunt dispuse

astfel incat determina spirale in sensuri opuse- cochilia melcului

AM RASPUNS LA INTREBARE !

Am inteles ca diverse plante, flori si fenomenele din natura nu se dezvolta intamplator, ci dupa anumite legi ce pot fi exprimate matematic. Expresia matematica devine un sir recurent iar acest sir are limita finita sau infinita.Valoarea acestei limite a fost o preocupare pentru oamenii de stiinta.

Ca importanta practica am vazut ca prin simulari, optimizari si modelari se pot face previziuni privind dezvoltarea bacteriilor, se pot imbunatatii tehnicile de chirurgie estetica folosind proportia de aur.

Acest instrument matematic oferit de siruri se aplica in probleme concrete, din viata, din arta, arhitectura, pictura.