Serii de distribuie unidimensionale

Serii de distribuie unidimensionale

Studiul de caz nr.2

Conducerea unei societi comerciale a dorit s cunoasc distribuia celor 200 de angajai ai firmei n funcie de salariul brut lunar obinut. Rezultatele analizei efectuate pot fi prezentate ntr-un tabel de forma:Grupe de angajai dup

salariul brut lunar obinut (lei)Numr angajai

600 800 27

800 1.000 22

1.000 1.20024

1.200 1.40048

1.400 1.60036

1.600 1.80018

1.800 2.00025

TOTAL200

Pe baza datelor prezentate n tabelul anterior, se cere:

a) s se calculeze salariul mediu obinut de ctre angajaii societii considerate, utiliznd n acest sens media aritmetic;b) s se utilizeze i alte tipuri de medii i s se arate n ce raport de mrime se afl acestea comparativ cu media aritmetic;

c) s se calculeze indicatorii medii de poziie;

d) s se caracterizeze gradul de variaie al distribuiei, calculnd n acest sens indicatorii simpli i sintetici ai variaiei, precum i gradul de asimetrie.

Distribuia angajailor societii dup salariul brut lunar obinut formeaz o serie de repartiie unidimensional de frecvene de intervale egale.

n acest caz, media se va calcula ca o medie ponderat, utiliznd n acest sens urmtoarea relaie de calcul:

unde:

= media aritmetic ponderat;

xi = centrul de interval;

k = numrul de grupe;

ni = frecvena de apariie (absolut sau relativ).Pentru ca rezolvarea unei probleme de acest tip s fie mai uoar se recomand ntocmirea unui tabel de forma:Grupe de angajai dup salariul brut lunarCentrul intervalului (xi)Numr angajaiProduse de frecvene

Absolut (ni)Relativ (n*i)xinixin*i

01234=125=13

600 8007002713,518.9009.450

800 1.000900221119.8009.900

1.000 1.2001.100241226.40013.200

1.200 1.4001.300482462.40031.200

1.400 1.6001.500361854.00027.000

1.600 1.8001.70018930.60015.300

1.800 2.0001.9002512,547.50023.750

TOTAL-200100259.600129.800

n cazul n care se utilizeaz frecvenele absolute (ni), media aritmetic ponderat va fi egal cu:

n cazul n care se utilizeaz frecvenele relative (n*i), media aritmetic ponderat va fi egal cu:

Cu ajutorul datelor de care dispunem putem determina i alte mrimi medii i anume:

media armonic ();

media ptratic ();

media geometric ()

Relaia dintre cele patru tipuri de medie este:

Grupe de angajai dup salariul brut lunarxini(1/xi)nixi2xi2nilg xini lg xi

0123=2:145=4267=62

600 800700270,03857490.00013.230.0002,845176,8177

800 1.000900220,02444810.00017.820.0002,954264,9924

1.000 1.2001.100240,021811.210.00029.040.0003,041472,9936

1.200 1.4001.300480,036921.690.00081.120.0003,1139149,4672

1.400 1.6001.500360,0242.250.00081.000.0003,1761114,3396

1.600 1.8001.700180,010582.890.00052.020.0003,230458,1472

1.800 2.0001.900250,013153.610.00090.250.0003,278781,9675

TOTAL-2000,16947364.480.000618,724

1. Calculul mediei armonice ()

2. Calculul mediei ptratice ()

3. Calculul mediei geometrice ()

Indicatorii medii de poziie sunt:

mediana (Me);

modulul (Mo).

Calculul medianei presupune parcurgerea a dou etape succesive i anume:

aflarea locului medianei;

calculul valorii medianei.

Pentru a facilita calculul medianei poate fi utilizat urmtorul tabel:

Grupe de angajai dup salariul brut lunarxiniFrecvene cumulate

CresctorDescresctor

01234

600 8007002727200

800 1.0009002249173

1.000 1.2001.1002473151

1.200 1.4001.30048121127

1.400 1.6001.5003615779

1.600 1.8001.7001817543

1.800 2.0001.9002520025

TOTAL-200

Locul medianei se determin utiliznd urmtoarea relaie:

Dup cum se poate observa, locul medianei este situat ntre valorile unitilor de rang 100 i 101. Coloana frecvenelor cumulate ne indic apartenena acestor valori la intervalul 1.200 1.400.

Calculul propriu zis al valorii medianei se realizeaz cu ajutorul urmtoarei relaii de calcul:

unde:

x0 = limita inferioar a intervalului median;

h = mrimea intervalului median;

nMe = frecvena absolut a intervalului median;

= frecvena cumulat a intervalului ce precede intervalul median.

Calculul modului (dominantei)

Intervalul cu frecvena cea mai mare este considerat a fi interval modal. n cazul nostru, intervalul modal este cuprins ntre 1.200 i 1.400, deoarece n cadrul acestui interval regsim frecvena absolut maxim (48).

unde:

x0 = limita inferioar a intervalului modal;

h = mrimea intervalului modal;

1 = diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului precedent;

2 = diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului urmtor;

1 = nMo nMo-1 = 48 24 = 24

2 = nMo nMo+1 = 48 36 = 12

ntre valorile nregistrate de ctre medie, median i modul n cazul exemplului considerat exist urmtoarea relaie:

Relaia precedent indic faptul c, n cazul problemei considerate, ntlnim o asimetrie negativ (de dreapta).

Modulul prezint o abatere negativ de 35,33 lei fa de medie (1.298 1.333,33 = - 35,33), situaie ce ne indic faptul c frecvenele termenilor mai mici sunt mai numeroase comparatic cu frecvenele termenilor mai mari.Indicatorii simpli ai variaiei

Amplitudinea variaiei

amplitudinea absolut a variaiei (A)

A = xL - xl = 2.000 600 = 1.400 lei

amplitudinea relativ a variaiei (A%)

Abaterea individual

abaterea individual absolut (di) vezi coloana 3 din tabelul urmtor

di = xi -

abaterea individual relativ (di%) vezi coloana 4 din tabelul urmtor

Grupe de angajai dup salariul brut lunarxinixi -

012345678=72

600 80070027-598-46,0716.1469.655.3089243

800 1.00090022-398-30,668.7563.484.888488

1.000 1.2001.10024-198-15,254.752940.896124

1.200 1.4001.3004820,159619200

1.400 1.6001.5003620215,567.2721.468.944136

1.600 1.8001.7001840230,977.2362.908.872472

1.800 2.0001.9002560246,3715.0509.060.1009225

TOTAL-20059.30827.519.200-688

Indicatorii sintetici ai variaiei

Abaterea medie liniar ()

Dispersia ()

Calculul simplificat al dispersiei

Abaterea medie ptratic ()

Coeficienii de variaie

Deoarece valoarea coeficientului de variaie este mai mic de 35% se apreciaz c seria considerat este omogen, iar media este reprezentativ pentru ntreaga serie.

Indicatorii asimetriei

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1266284570.unknown

_1266286971.unknown

_1266287357.unknown

_1266287446.unknown

_1266287451.unknown

_1266287453.unknown

_1266287454.unknown

_1266287449.unknown

_1266287450.unknown

_1266287448.unknown

_1266287447.unknown

_1266287442.unknown

_1266287444.unknown

_1266287445.unknown

_1266287443.unknown

_1266287358.unknown

_1266287441.unknown

_1266287324.unknown

_1266287355.unknown

_1266287356.unknown

_1266287325.unknown

_1266287198.unknown

_1266287199.unknown

_1266287197.unknown

_1266286967.unknown

_1266286969.unknown

_1266286970.unknown

_1266286968.unknown

_1266286914.unknown

_1266286966.unknown

_1266285303.unknown

_1266284560.unknown

_1266284566.unknown

_1266284568.unknown

_1266284569.unknown

_1266284567.unknown

_1266284563.unknown

_1266284564.unknown

_1266284561.unknown

_1266284363.unknown

_1266284365.unknown

_1266284422.unknown

_1266284364.unknown

_1239597463.unknown

_1240477815.unknown

_1239594606.unknown

_1239597248.unknown