cap4-serii de puteri

Analiza matematica

Nicolae DanetUniversitatea Tehnica de Constructii BucurestiDepartamentul de Matematica si Informatica

Anul universitar 2011-2012c© Nicolae Danet 2011

Capitolul 4

Serii de puteri

Avertisment!Aceste note de curs sunt distribuite gratuit numai studentilor din anul

I, seria A, Facultatea „Cai Ferate, Drumuri si Poduri” din UniversitateaTehnica de Constructii Bucuresti pentru utilizare personala.Este interzista comercializarea sub orice forma sau afisarea pe orice site

a acestui text, fara acordul scris al autorului.c© Nicolae Danet 2011––––––––––

4.1 Serii de puteri. Definitie. Tipuri de con-vergenta

Se numeste serie de puteri o serie de forma

a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn + · · · =

∞∑n=0

anxn, (4.1)

sau de forma

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+ · · ·+an(x−x0)n+ · · · =∞∑n=0

an(x−x0)n. (4.2)

Daca notam y = x−x0, atunci seria (4.2) are forma (4.1). Prin urmare, estesuficient sa studiem numai serii de puteri de forma (4.1).Un numar real x0 se numeste punct de convergenta al seriei (4.1)

daca seria de numere reale∑∞

n=0 anxn0 este convergenta. Vom nota cu C

multimea numerelor reale x pentru care seria (4.1) este convergenta. DeciC = {x ∈ R | ∑∞

n=0 anxn este convergenta}. C se numeste multimea de

51

52 Capitolul 4. Serii de puteri

convergenta a seriei de puteri (4.1). Multimea C este întotdeauna nevidadeoarece 0 ∈ C.Daca x ∈ C, atunci seria de numere reale ∑∞

n=0 anxn este convergenta.

Aceasta înseamna ca sirul sumelor partiale

S0(x) = a0,

S1(x) = a0 + a1x,

S2(x) = a0 + a1x+ a2x2,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Sn(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

este convergent, adica, exista limn→∞

Sn(x) =: S(x). Prin urmare, exista o

functie S : C −→ R astfel ca Sn(x) → S(x), pentru orice x ∈ C. Aceastaînseama ca pentru orice x ∈ C si pentru orice ε > 0 exista un indice n(ε, x)astfel încât

|Sn(x)− S(x)| < ε,∀n ≥ n(ε, x).Acest tip de convergenta se numeste convergenta punctuala (sau simpla)a sirului de functii (Sn(x)) catre functia S(x). Vom scrie acest lucru subforma: Sn

p−→CS, sau Sn(x)

p−→ S(x), ∀x ∈ C.Daca pentru orice x ∈ C exista un singur indice n(ε) (care depinde

numai de ε nu si de x) astfel ca |Sn(x)− S(x)| < ε, ∀n ≥ n(ε) si ∀x ∈ C,atunci convergenta sirului de functii (Sn(x)) catre functia S(x) se numesteconvergenta uniforma si se noteaza Sn

u−→CS.

4.2 Intervalul de convergenta al unei serii deputeri

Vom investiga mai întâi structura multimii de convergenta a unei serii deputeri. Spre deosebire de serile de functii oarecare, care pot avea o multimede convergenta cu o structura mai complicata, seriile de puteri au întotdeaunamultimea de convergenta de forma unui interval al axei reale. Acesta poatefi de una din formele (−R,R), [−R,R), (−R,R], [−R,R], poate sa fie redusnumai la un singur punct, x = 0, sau poate coincide cu toata axa reala.Dupa cum s-a demonstrat în exemplul 2.2.1, seria geometrica

1 + x+ x3 + · · ·+ xn + · · · =∞∑n=0

xn

Nicolae Danet Analiza matematica 2011-2012

4.2. Intervalul de convergenta al unei serii de puteri 53

este convergenta pentru orice x din intervalul (−1, 1) si are suma S(x) =1

1− x. Vom da în continuare doua exemple: unul de o serie de puteri care

converge numai pentru x = 0 si altul de o serie de puteri care converge pentruorice x numar real.

Exemplul 4.2.1 Seria de puteri∞∑n=0

n!xn converge numai în x = 0.

Sa presupunem ca ar exista un punct x0 �= 0 astfel încât seria∞∑n=0

n!xn0 sa

fie convergenta. Atunci termenul sau general n!xn0 → 0, deci si |n!xn0 | → 0.Dar

limn→∞

(n+ 1)! |x0|n+1n! |x0|n = lim

n→∞(n+ 1) |x0| =∞.

Prin urmare, exista un indice n0 astfel ca raportul(n+ 1)! |x0|n+1

n! |x0|n > 1, sau

(n+ 1)! |x0|n+1 > n! |x0|n , ∀n ≥ n0. Deci nu putem avea limn→∞

|n!xn0 | = 0 asacum cere conditia necerasa de convergenta a unei serii. Contradictia obtinutaarata ca nu poate exista un x0 �= 0 astfel ca seria data sa fie convergenta.Deci seria converge numai pentru x = 0 ceea ce înseamna ca C = {0}. �

Exemplul 4.2.2 Seria de puteri∞∑n=0

xn

n!converge pentru orice x ∈ R

Fie x0 �= 0 un numar real oarecare. Consideram seria numerica∞∑n=0

|x0|nn!

.

Fiind o serie cu termeni pozitivi, pentru studiul convergentei sale folosimcriteriul raportului.

limn→∞

an+1an

= limn→∞

|x0|n+1(n+ 1)!

n!

|x0|n = limn→∞

|x0|n+ 1

= 0 < 1.

În consecinta, seria numerica∞∑n=0

|x0|nn!

este absolut convergenta, deci si con-

vergenta. Cum x0 a fost un punct oarecare din R, rezulta ca seria convergepentru orice x ∈ R. Deci C = R. �Teorema care urmeaza descrie care este structura multimii de convergenta

a unei serii de puteri si ce tip de convergenta exista pe aceasta multime.



Teorema 4.2.3 Teorema I a lui AbelPentru orice serie de puteri

∑∞n=0 anx

n exista un numar real R, 0 ≤ R ≤∞, astfel ca:(i) Daca R = 0 seria converge numai pentru x = 0.(ii) Daca R =∞ seria este absolut convergenta pe toata multimea R.(iii) Daca 0 < R <∞, atunci seria este:

(a) absolut convergenta pe intervalul deschis (−R,R);(b) divergenta pe (−∞,−R) ∪ (R,∞);(c) absolut uniform convergenta pe orice interval închis [a, b] ⊂

(−R,R).

Numarul R dat de teorema de mai sus se numeste raza de convergentaa serie de puteri

∑∞n=0 anx

n, iar intervalul (−R,R) se numeste intervalulde convergenta. Dupa cum se observa teorema nu afirma nimic despre cese întâmpla în punctele x = −R si x = R.Demonstratia teoremei se bazeaza esential pe urmatoarea lema.

Lema 4.2.4 Lema lui AbelDaca seria de puteri

∑∞n=0 anx

n este convergenta într-un punct x0 �= 0,atunci ea este absolut convergenta pentru orice numar real x care satisfaceinegalitatea |x| < |x0| .

Demonstratie. Fie x0 �= 0 un punct în care seria∑∞

n=0 anxn0 este conver-

genta. Atunci, conform conditiei necesare de convergenta, termenul generalanx

n0 → 0, deci sirul (anxn0 ) este marginit. Prin urmare, exista o constanta

M > 0 astfel ca |anxn0 | ≤M, ∀n ≥ 0.Fie x ∈ R asfel încât |x| < |x0| . Notam q :=

∣∣∣∣ xx0∣∣∣∣ . Evident, 0 ≤ q < 1.

Pentru orice n ≥ 0 avem

|anxn| = |anxn0 |∣∣∣∣ xx0∣∣∣∣n ≤Mqn.

Deoarece q < 1, seria∑∞

n=0 qn este convergenta. În baza primului criteriu de

comparatie pentru serii cu termeni pozitivi (propozitia 2.2.4) rezulta ca seria∑∞n=0 |anxn| este convergenta, deci seria

∑∞n=0 anx

n este absolut convergenta.�Demonstram acum teorema I a lui Abel.

Demonstratia teoremei I a lui Abel. Notam A := {|z| | z ∈ C}, undeC este multimea punctelor de convergenta a seriei de puteri

∑∞n=0 anx

n. FieR = supA. Evident, 0 ≤ R ≤ ∞.


4.2. Intervalul de convergenta al unei serii de puteri 55

(i) Daca R = 0, atunci C = {0} si teorema este demonstrata.Daca C contine si puncte diferite de zero, atunci 0 < R ≤ ∞.(ii) În cazul în care R = ∞, pentru orice x ∈ R exista un x0 ∈ C

astfel ca |x| < |x0| . Atunci, conform lemei lui Abel, seria∑∞

n=0 anxn este

absolut convergenta. Cum x era un punct oarecare din R seria este absolutconvergenta pe R.(iii) În continuare presupunem ca 0 < R <∞.(a) Fie x ∈ (−R,R), deci |x| < R = sup{|z| | z ∈ C}. Conform definitiei

marginii superioare exista x0 ∈ C astfel ca |x| < |x0| < R. Cum x0 ∈ C,conform lemei lui Abel, seria

∑∞n=0 anx

n este absolut convergenta în x.(b) Fie x ∈ (−∞,−R) ∪ (R,∞), adica |x| > R. Avem de demonstrat

ca seria∑∞

n=0 anxn este divergenta. Presupunem prin absurd ca x ar fi un

punct de convergenta al seriei. Cum R < |x| exista un numar real y astfel caR < |y| < |x| . Conform lemei lui Abel seria este absolut convergenta în y,ceea ce înseamna ca |y| ∈ A. Acest fapt contrazice definitia lui R ca marginesuperioara a multimii sup{|z| | z ∈ C}. Deci seria∑∞

n=0 anxn diverge în x.

(c) Daca [a, b] ⊂ (−R,R), exista 0 < r < R astfel ca [a, b] ⊂ [−r, r] ⊂(−R,R). Deoarece r este un punct de convergenta absoluta al seriei date,seria

∑∞n=0 |an| rn este convergenta. Pentru orice x ∈ [a, b] ⊂ [−r, r], avem

|x| ≤ r, deci|anxn| ≤ |an| rn, n ≥ 0.

Seria∑∞

n=0 |an| rn fiind convergenta, conform criteriului general de conver-genta a lui Cauchy, pentru orice ε > 0 exista un indice n(ε) astfel ca

|an+1| rn+1 + |an+2| rn+2 + · · ·+ |an+p| rn+p < ε,

∀n ≥ n(ε) si ∀p ≥ 0. Atunci, pentru orice x ∈ [a, b], avem∣∣an+1xn+1∣∣+ · · ·+ ∣∣an+pxn+p∣∣ ≤ |an+1| rn+1 + · · ·+ |an+p| rn+p < ε,∀n ≥ n(ε) si ∀p ≥ 0. Deoarece n(ε) nu depinde de x, seria

∑∞n=0 |anxn|

este uniform convergenta pe intervalul [a, b]. Cum [a, b] ⊂ (−R,R), seria∑∞n=0 anx

n este absolut uniform convergenta pe [a, b]. �

Observatia 4.2.5 În cazul 0 < R < ∞ teorema I a lui Abel nu afirmanimic despre natura seriei de puteri în punctele x = ±R. Aceasta poate ficonvergenta sau divergenta în aceste puncte.Putem însa observa ca daca în unul din punctele −R sau R seria este ab-

solut convergenta, atunci este absolut convergenta si în celalalt punct. (Într-adevar, ambele serii

∑∞n=0 an(−R)n si

∑∞n=0 anR

n au aceiasi serie a mod-ulelor

∑∞n=0 |an|R n, deci daca una este absolut convergenta atunci si cealalta



este absolut convergenta.) De aici rezulta ca daca în unul din punctele −Rsau R seria este divergenta, atunci în celalalt punct seria nu este absolutconvergenta. �

Teorema I a lui Abel afirma existenta numarului R dar nu indica si unmod de calcul al acestuia. Formula pentru calcul razei de convergenta estedata de teorema Cauchy-Hadamard.

Teorema 4.2.6 Cauchy-HadamardFie

∑∞n=0 anx

n o serie de puteri si R raza sa de convergenta. Presupunemca exista

l := limn→∞

n√|an|, 0 ≤ l ≤ ∞.

Atunci

R =

⎧⎪⎨⎪⎩

1

l, daca 0 < l <∞,0, daca l =∞,∞, daca l = 0.

Demonstratie. Fie x un numar real arbitrar. Consideram seria de numerereale pozitive

∑∞n=0 |anxn| si-i aplicam criteriul lui Cauchy pentru serii cu

termeni pozitivi (propozitia 2.2.10).

L := limn→∞

n

√|an| |x|n = lim

n→∞n√|an| |x| = l |x| .

Daca l = 0, atunci L < 1, ∀x ∈ R. Prin urmare seria ∑∞n=0 anx

n esteabsolut convergenta ∀x ∈ R. Aceasta înseamna ca R =∞.Daca l =∞ si |x| �= 0, atunci L =∞ > 1. Prin urmare seria

∑∞n=0 |anxn|

este divergenta. Atunci R = 0. Într-adevar, daca R ar fi nenul, atunci arexista un x ∈ (−R,R) si x �= 0. Conform teoremei I a lui Abel (teorema4.2.3) seria

∑∞n=0 |anxn| ar fi convergenta. Contradictia obtinuta arata ca

R = 0.Fie 0 < l < ∞. Pentru a proba ca R = 1/l avem de demonstrat ca seria

este absolut convergenta pentru |x| < 1/l si divergenta pentru |x| > 1/l.Daca |x| < 1/l, atunci L = l |x| < 1 si conform criteriului raportului seria∑∞n=0 |anxn| este convergenta, deci seria

∑∞n=0 anx

n este absolut convergenta.Daca |x| > 1/l, atunci exista un numar real x1 astfel ca |x| > |x1| > 1/l.

Deoarece L = l |x1| > 1, seria∑∞

n=0 |anxn1 | este divergenta. Atunci si seria∑∞n=0 |anxn| este divergenta, deoarece în caz contrar, conform lemei lui Abel,

seria∑∞

n=0 anxn1 ar fi absolut convergenta. Contradictia obtinuta arata ca,

într-adevar, seria∑∞

n=0 anxn este divergenta. �


4.3. Proprietatile sumei unei serii de puteri 57

Corolarul 4.2.7 Fie∑∞

n=0 anxn o serie de puteri si R raza sa de conver-

genta. Presupunem ca exista

l := limn→∞

|an+1||an| , 0 ≤ l ≤ ∞.

Atunci

R =

⎧⎪⎨⎪⎩

1

l, daca 0 < l <∞,0, daca l =∞,∞, daca l = 0.

Demonstratie. Corolarul trei la teorema Stolz-Cesaro (pag. 22) afirma ca

daca exista limn→∞

|an+1||an| si este egala cu l, atunci exista si lim

n→∞n√|an| care este

egala tot cu l. Se aplica apoi teorema Cauchy-Hadamard. �

Exemplul 4.2.8 Ne propunem sa determinam intervalul de convergenta al

serie de puteri∞∑n=1

(x− 2)nn 3n

. Pentru aceasta notam y = x − 3. Seria devine∞∑n=1

yn

n 3n. Determinam raza de convergenta a acestei serii folosind teorema

Cauchy-Hadamard. Avem

l = limn→∞

n√|an| = lim

n→∞n

√1

n 3n= lim

n→∞1

n√n · 3 =

1

3.

Atunci R =1

l= 3. Prin urmare, seria

∞∑n=1

yn

n 3neste absolut convergenta

pentru orice y ∈ (−3, 3).Studiem acum ce se întâmpla în capetele acestui interval. Daca y = 3,

seria devine∞∑n=1

1

nsi este divergenta. Daca y = −3, seria devine

∞∑n=1

(−1)nn

si

este convergenta. Prin urmare, intervalul de convergenta al seriei în variabilay este [−3, 3). (De remarcat faptul ca pe intervalul (−3, 3) seria este absolutconvergenta, iar în y = −3 este semiconvergenta.) Tinând seama ca y = x−3si y ∈ [−3, 3), obtinem pentru seria data intervalul de convergenta [−1, 5).�

4.3 Proprietatile sumei unei serii de puteri

Fie∑∞

n=0 anxn o serie de puteri, C multimea de convergenta si R raza sa

de convergenta. Pentru orice x ∈ C notam cu S(x) suma seriei∑∞

n=0 anxn.



Obtinem astfel o functie S : C −→ R definita prin

S(x) := a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn + · · · , x ∈ C.

Fie (Sn)n≥0 sirul sumelor partiale Sn : C −→ R, Sn(x) = a0 + a1x +a2x

2 + · · ·+ anxn. Conform definitiei, sirul (Sn)n≥0 este punctual convergentla functia suma S pe multimea C. Teorema I a lui Abel afirma ca sirul (Sn)n≥0este uniform convergent la S pe orice interval închis [a, b] inclus în intervalulde convergenta (−R.R).

Continuitatea sumei unei serii de puteri

Teorema 4.3.1 Suma unei serii de puteri este o functie continua pe inter-valul de convergenta (−R,R).

Demonstratie. Fie x0 ∈ (−R,R). Exista atunci un numar real r, 0 <r < R, astfel ca [−r, r] ⊂ (−R,R). Deoarece functiile Sn sunt continuepe intervalul [−r, r] si, conform teoremei I a lui Abel, Sn

u−→[−r,r]

S, în baza

teoremei 3.1.6 functia S este continua pe [−r, r]. În particular, S este continuaîn punctul x0. Cum x0 este un punct oarecare din (−R,R), functia S estecontinua pe (−R,R). �Daca o serie de puteri este convergenta în x = −R sau x = R, atunci

functia S este definita în aceste puncte, dar teorema de mai sus nu spunedaca S este sau nu continua aici. Continuitatea functiei suma S în capeteleintervalului de convergenta rezulta ca o consecinta a urmatoarei teoreme.

Teorema 4.3.2 Teorema a II-a a lui AbelDaca o serie de puteri

∑∞n=0 anx

n este convergenta în capatul x = R(respectiv, x = −R) al intervalului de convergenta (−R,R), atunci ea esteuniform convergenta pe intervalul închis [0, R] (respectiv, [−R, 0]).

Demonstratie. �

Corolarul 4.3.3 Daca o serie de puteri∑∞

n=0 anxn este convergenta în capa-

tul x = R (respectiv, x = −R) al intervalului de convergenta (−R,R),atunci suma sa S(x) este o functie continua pe intervalul (−R,R] (respectiv,[−R,R)). În particular,

limx→Rx<R

S(x) = S(R), respectiv limx→−Rx>−R

S(x) = S(−R).



Derivarea sumei unei serii de puteri

O serie de puteri se poate deriva termen cu termen pe intervalul deconvergenta. Mai precis avem:

Teorema 4.3.4 Fie∑∞

n=0 anxn o serie de puteri, R raza sa de convergenta

si S(x) suma seriei pentru x ∈ (−R,R). Atunci:(i) Seria derivatelor

∑∞n=1 nanx

n−1 are aceiasi raza de convergenta cuseria data.(ii) Functia S(x) este o functie derivabila pe intervalul (−R,R) si

S ′(x) =∞∑n=1

nanxn−1, x ∈ (−R,R),

adica, ( ∞∑n=0

anxn

)′=

∞∑n=1

nanxn−1, x ∈ (−R,R).

Demonstratie. (i) Seria derivatelor∑∞

n=1 nanxn−1 este convergenta într-

un punct x �= 0 daca si numai daca seria∑∞

n=1 nanxn (obtinuta prin în-

multirea cu x) este convergenta, ceea ce înseamna ca seriile au aceiasi razade convergenta. Prin urmare, este suficient sa determinam raza de conver-genta a celei de a doua serii. Aplicând teorema Cauchy-Hadamard, avem

limn→∞

n√n |an| = lim

n→∞n√n · lim

n→∞n√|an| = lim

n→∞n√|an|,

ceea ce demonstreaza ca seria data si seria derivatelor au aceiasi raza deconvergenta.(ii) Notam cu σ(x) suma seriei derivatelor, adica σ(x) =

∑∞n=1 nanx

n−1,si cu σn(x) = a1 + a2x+ · · ·+ anxn−1 sirul sumelor partiale ale acestei serii.Conform punctului (i), σn

p−→(−R,R)

σ, iar în baza teoremei I a lui Abel putem

afirma ca σnu−→[a,b]

σ, unde [a, b] ⊂ (−R,R).Pentru a demonstra ca S este derivabila pe (−R,R), fie x0 ∈ (−R,R).

Alegem un numar real r, 0 < r < R, astfel ca x0 ∈ [−r, r]. Constatam apoica: (a) Functiile Sn sunt derivabile pe intervalul [−r, r] si S ′

n = σn. (b)Sn

u−→[−r,r]

S. (c) S ′n = σn

u−→[−r,r]

σ. Atunci, în baza teoremei 3.1.8, functia S este

derivabila pe [−r, r] si S ′ = σ. În particular, S ′(x0) = σ(x0). Cum x0 este unpunct oarecare în intervalul de convergenta (−R,R) rezulta ca S ′(x) = σ(x),∀x ∈ (−R,R). �



Integrarea sumei unei serii de puteri

O serie de puteri se poate integra termen cu termen pe intervalul deconvergenta. Mai precis avem:

Teorema 4.3.5 Fie∑∞

n=0 anxn o serie de puteri, R raza sa de convergenta

si S(x) suma seriei pentru x ∈ (−R,R). Atunci:(i) Seria

∑∞n=0 an

xn+1

n+ 1are aceiasi raza de convergenta cu seria data.

(ii) Pentru orice x ∈ (−R,R) are loc egalitatea∫ x

0

S(t)dt =∞∑n=0

anxn+1

n+ 1.

Demonstratie. (i) Seria∑∞

n=0 anxn+1

n+ 1converge într-un punct x �= 0

daca si numai daca seria∑∞

n=0 anxn

n+ 1(obtinuta prin împartire cu x) este

covergenta. Conform teoremei Cauchy-Hadamard, avem

limn→∞

n

√|an|n+ 1

= limn→∞

n√|an|n√n+ 1

= limn→∞

n√|an|,

ceea ce arata ca seria data si seria∑∞

n=0 anxn+1

n+ 1au aceiasi raza de conver-

genta.(ii) Fie x un punct oarecare din intervalul de convergenta. Exista atunci

un interval închis [−r, r] astfel ca x ∈ [−r, r] ⊂ (−R,R). Folosind convergentauniforma a seriei de puteri pe intervalul [−r, r], avem∫ x

0

S(t)dt =

∫ x

0

( ∞∑n=0

antn

)dt = (convergenta uniforma pe [−r, r]) =

=∞∑n=0

an

∫ x

0

tndt =∞∑n=0

antn+1

n+ 1

∣∣∣∣x0

=∞∑n=0

anxn+1

n+ 1. �

Exemplul 4.3.6 Dupa cum se stie (vezi exemplul 2.2.1) este adevarata ur-matoarea dezvoltare în serie de puteri

1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · · = 1

1− x, |x| < 1. (4.3)

Prin derivarea acesteia termen cu termen obtinem:

1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · ·+ nxn−1 + · · · = 1

(1− x)2 , |x| < 1.



Daca se înmulteste relatia de mai sus cu x si se deriveaza termen cu termense obtine

12 + 22x+ 32x2 + · · ·+ n2xn−1 + · · · = 1 + x

(1− x)3 , |x| < 1.

Fie x ∈ (−1, 1). Consideram dezvoltarea (4.3) scrisa în variabila t

1 + t+ t2 + t3 + · · ·+ tn + · · · = 1

1− t , |t| < 1.

Prin integrarea termen cu termen a acestei dezvoltari∫ x

0

(1 + t+ t2 + · · ·+ tn−1 + · · · ) dt = ∫ x

0

dt

1− tobtinem

x+x2

2+x3

3+ · · ·+ x

n

n+ · · · = − ln(1− x), x ∈ (−1, 1). (4.4)

Dezvoltarea ramâne valabila si în x = −1. Într-adevar, pentru x = −1seria din membrul stâng este seria armonica alternata care este convergenta.

Atunci functia suma S(x) = x +x2

2+x3

3+ · · · + x

n

n+ · · · este continua pe

intervalul [−1, 1) (corolarul 4.3.3) si limx→−1x>−1

S(x) = S(−1). Deoarece oricare ar

fi x ∈ (−1, 1) avem egalitatea ln(1− x) = S(x), prin trecere la limita pentrux→ −1, x > −1, obtinem

ln 2 = limx→−1x>−1

ln(1− x) = limx→−1x>−1

S(x) = −1 + 12− 13+ · · ·+ (−1)

n

n+ · · · .

În concluzie, dezvoltarea în serie de puteri a functiei ln(1− x) este

ln(1− x) = −x− x2

2− x

3

3− · · · − x

n

n− · · · , x ∈ [−1, 1). (4.5)

Daca în formula (4.4) înlocuim pe x cu −x (ceea ce este posibil deoarece|−x| = |x| < 1) obtinem dezvoltarea în serie de puteri a functiei ln(1 + x) :

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− · · ·+ (−1)nx

n

n+ · · · , |x| < 1. (4.6)

O discutie ca aceea de mai sus arata ca dezvoltarea este valabila si în x = 1.Deci

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− · · ·+ (−1)nx

n

n+ · · · , x ∈ (−1, 1]. (4.7)



Folosind relatiile (4.6) si (4.4) obtinem

ln

√1 + x

1− x =1

2ln1 + x

1− x =1

2[ln(1 + x)− ln(1− x)] =

= x+x3

3+x5

5+ · · ·+ x2n+1

2n+ 1+ · · · , x ∈ (−1, 1).

Daca în (4.3) înlocuim x cu −x obtinem

1− x+ x2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn + · · · = 1

1 + x, |x| < 1.

Deoecere |x| < 1⇔ |x2| < 1, putem înlocui mai sus x cu x2. Atunci avem

1− x2 + x4 − x6 + · · ·+ (−1)nx2n + · · · = 1

1 + x2, |x| < 1.

Prin integrarea acestei dezvoltari putem obtine dezvoltarea în serie de puteria functiei arctg x.∫ x

0

dt

1 + t2=

∫ x

0

( ∞∑n=0

(−1)nt2n)dt =

∞∑n=0

(−1)n∫ x

0

t2ndt =

=∞∑n=0

(−1)n t2n+1

2n+ 1

∣∣∣∣x0

=∞∑n=0

(−1)n x2n+1

2n+ 1.

Deci

arctg x =∞∑n=0

(−1)n x2n+1

2n+ 1, |x| < 1. (4.8)

Dezvoltarea este valabila si în x = ±1 unde seria∑∞

n=0(−1)n x

2n+1

2n+ 1

devine seria alternata ±∑∞

n=0

(−1)n2n+ 1

, care este convergenta conform cri-

teriului lui Leibniz. Deoarece pe intervalul (−1, 1) avem egalitatea arctg x =S(x) data de (4.8) si ambele functii sunt continue la capetele intervalului,rezulta egalitatea

arctg x =∞∑n=0

(−1)n x2n+1

2n+ 1, x ∈ [−1, 1]. (4.9)

În particular, pentru x = 1 (sau x = −1) obtinem

1− 13+1

5− 17+ · · ·+ (−1)n

2n+ 1+ · · · = π

4.


4.4. Serii Taylor 63

4.4 Serii Taylor

4.4.1 Formula lui Taylor

Fie I un interval al axei reale R, f : I −→ R o functie de n+1 ori derivabilape I si a un punct din interiorul intervalului I. Pentru orice x ∈ I si oricen ≥ 1 definim polinomul

Tn(x) = f(a)+f ′(a)1!

(x−a)+ f′′(a)2!

(x−a)2+ · · ·+ f(n)(a)

n!(x−a)n. (4.10)

Tn(x) se numeste polinomul Taylor de gradul n atasat functiei f înpunctul a. Notam Rn(x) := f(x)−Tn(x). Atunci f(x) = Tn(x)+Rn(x), sau

f(x) = f(a)+f ′(a)1!

(x− a)+ f′′(a)2!

(x− a)2+ · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n+Rn(x).

Aceasta egalitate, valabila pentru orice x ∈ I, se numeste formula Tay-lor de ordinul n, corespunzatoare functiei f în punctul a. Functia Rn(x),definita pentru x ∈ I, se numeste restul de ordinul n al formulei Taylor.În cele ce urmeaza ne intereseaza care este expresia restului Rn(x) din

formula Taylor. Pe lânga punctul a ∈ I alegem un alt punct x ∈ I pe care-lfixam. Fie, de asemenea, p un numar natural oarecare. Restul Rn(x) sepoate pune sub forma

Rn(x) = (x− a)pK,

unde K este o constanta (care depinde de a si de x fixat). Atunci formulaTaylor de ordinul n în punctul a, pentru x ∈ I ales mai sus, are expresia:

f(x) = f(a)+f ′(a)1!

(x−a)+ f′′(a)2!

(x−a)2+· · ·+ f(n)(a)

n!(x−a)n+(x−a)pK.

(4.11)Consideram functia ϕ : I −→ R definita prin

ϕ(t) = f(t)+f ′(t)1!

(x− t)+ f′′(t)2!

(x− t)2+ · · ·+ f(n)(t)

n!(x− t)n+(x− t)pK.

Functia ϕ este derivabila pe I si are valori egale în punctele x si a. Într-adevar,ϕ(x) = f(x), iar ϕ(a) = f(x) conform (4.11). Atunci, în baza teoremei lui



Rolle, exista un punct ξ cuprins între a si x astfel ca ϕ ′(ξ) = 0. Dar

ϕ ′(t) = f ′(t) +

+f ′′(t)1!

(x− t)− f′(t)1!

+

+f ′′′(t)2!

(x− t)2 − f′′(t)2!

2(x− t) ++ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·++f (n+1)(t)

n!(x− t)n − f

(n)(t)

n!n(x− t)n−1 − p(x− t)p−1K,

de unde, dupa reducerea termenilor asemenea, obtinem

ϕ ′(t) =f (n+1)(t)

n!(x− t)n − p(x− t)p−1K.

Egalitatea ϕ ′(ξ) = 0 se scrie sub forma

f (n+1)(ξ)

n!(x− ξ)n − p(x− ξ)p−1K,

de unde rezulta

K =f (n+1)(ξ)

n! p(x− ξ)n−p+1.

Prin urmare, restul Rn(x) are expresia

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

n! p(x− a)p(x− ξ)n−p+1,

unde ξ este un punct între a si x. Aceasta forma a restului se numeste restulsub forma Schlömlich-Roche.Daca p = n+ 1 obtinem restul sub forma lui Lagrange

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− a)n+1. (4.12)

iar pentru p = 1 obtinem restul sub forma lui Cauchy

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

n!(x− a)(x− ξ)n, (4.13)

Punctul ξ care apare în formula restului de la formula Taylor depinde dea si de x, dar si de n si p. Prin urmare, punctul ξ din formula lui Cauchy(4.13) difera de punctul ξ din formula lui Lagrange (4.12).



Deoarece ξ este cuprins între a si x exista un numar θ ∈ (0, 1), caredepinde de a, x, n si p, astfel ca ξ = a + θ(x− a). Atunci restul din formulaTaylor are expresiile

Rn(x) =f (n+1)(a+ θ(x− a))

(n+ 1)!(x− a)n+1, Lagrange, (4.14)

Rn(x) =f (n+1)(a+ θ(x− a))

n!(x− a)n+1(1− θ)n, Cauchy. (4.15)

Daca a = 0 ∈ I, atunci formula Taylor se numeste formula MacLaurinsi are forma

f(x) = f(0) +f ′(0)1!

x+f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn +Rn(x), (4.16)

unde

Rn(x) =f (n+1)(θx)

(n+ 1)!xn+1, (4.17)

este restul sub forma lui Lagrange, iar

Rn(x) =f (n+1)(θx)

n!xn+1(1− θ)n (4.18)

este restul sub forma lui Cauchy. Numarul θ ∈ (0, 1) si depinde de x side n, adica, θ = θ(x, n).

Exemplul 4.4.1 Fie functia f(x) = ex, f : R −→ (0,∞).

Derivatele de ordinul n sunt: f (n)(x) = ex, ∀x ∈ R si f (n)(0) = 1, ∀n ≥ 0.Formula Taylor în punctul a = 0, de fapt, formula MacLaurin pentru functiaex este

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ x

n

n!+Rn(x), x ∈ R, (4.19)

iar restul sub forma lui Lagrange are expresia

Rn(x) =xn+1

(n+ 1)!eθx, x ∈ R, θ ∈ (0, 1). (4.20)

Exemplul 4.4.2 Fie functia f(x) = sin x, f : R −→ [−1, 1].



Calculam derivatele acestei functii si folosind formula cosα = sin(α +

π

2

)le scriem sub forma de mai jos:

f ′(x) = cosx = sin(x+

π

2

).

f ′′(x) = − sin x = cos(x+

π

2

)= sin

(x+ 2

π

2

).

f ′′′(x) = − cos x = cos(x+ 2

π

2

)= sin

(x+ 3

π

2

).

f (4)(x) = sin x = cos(x+ 3

π

2

)= sin

(x+ 4

π

2

).

Se demonstreaza apoi prin inductie matematica formula:

f (n)(x) = (sin x)(n) (x) = sin(x+ n

π

2

), ∀n ≥ 0.

Pentru x = 0 obtinem: f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = −1,f (4)(0) = 0, . . . . În general, avem

f (n)(0) = sinnπ

2=

{sin kπ = 0, daca n = 2k,

sin(kπ +

π

2

)= (−1)k, daca n = 2k + 1.

Formula MacLaurin (4.16) pâna la ordinul 2n inclusiv a functiei sin x este:

sin x = x−x3

3!+x5

5!−x

7

7!+· · ·+(−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)!+R2n+1(x), x ∈ R. (4.21)

Restul sub forma lui Lagrange are expresia

R2n+1(x) =x2n+1

(2n+ 1)!sin[θx+ (2n+ 1)

π

2

], 0 < θ < 1,

sau

R2n+1(x) =x2n+1

(2n+ 1)!(−1)n cos θx, 0 < θ < 1,

daca folosim faptul ca

f (2n+1)(θx) = sin[θx+ (2n+ 1)

π

2

]= cos (θx+ nπ) = (−1)n cos θx. �

Exemplul 4.4.3 Fie functia f(x) = cos x, f : R −→ [−1, 1].

Derivatele de ordinul n ale functiei cosinus sunt

f (n)(x) = (cos x)(n) (x) = cos(x+ n

π

2

), ∀n ≥ 0.



În x = 0 avem

f (n)(0) = cosnπ

2=

{cos kπ = (−1)k, daca n = 2k,

cos(2k + 1)π

2= 0, daca n = 2k + 1.

Formula MacLaurin (4.16) pâna la ordinul 2n inclusiv a functiei cos x este

cos x = 1− x2

2!+x4

4!− x

6

6!+ · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)!+R2n+1(x), x ∈ R. (4.22)

Restul sub forma lui Lagrange are expresia

R2n+1(x) =x2n+1

(2n+ 1)!cos[θx+ (2n+ 1)

π

2

], 0 < θ < 1,

sau

R2n+1(x) =x2n+1

(2n+ 1)!(−1)n+1 cos θx, 0 < θ < 1.

4.4.2 Serii Taylor

Fie f : I −→ R o functie indefinit derivabila pe intervalul I si a un punctoarecare din interiorul intervalului I. Seria de puteri

f(a) +f ′(a)1!

(x− a) + f′′(a)2!

(x− a)2 + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n + · · · (4.23)

sau ∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n

se numeste seria Taylor atasata functiei f în punctul a. Vom nota cuC multimea de convergenta a seriei (4.23). Aceasta multime este nevidadeoarece a ∈ C. Ca orice serie de puteri seria Taylor (4.23) are o raza deconvergenta R, 0 ≤ R ≤ ∞, si un interval de absolut convergenta (a−R, a+R) ⊂ C.Notam cu S(x) suma seriei (4.23) pe multimea de convergenta C. Functiile

care definesc sirul sumelor partiale

Sn(x) = f(a) +f ′(a)1!

(x− a) + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n

sunt definite pe toata axa reala, dar Snp−→ S pe multimea C. Trebuie

observat ca multimea C de convergenta a seriei Taylor nu este neaparat osubmultime a intervalului I pe care este definita functia f.



Functiile Sn(x) coincid cu polinoamele Taylor de ordinul n atasate functieif în punctul a si notate Tn(x) (vezi formula (4.10)). Conform formulei Tayloravem egalitatea

f(x) = Tn(x) +Rn(x), x ∈ I,iar convergenta seriei Taylor da

S(x) = Tn(x) + ρn(x), x ∈ C,unde ρn

p−→C0. Se pune întrebarea daca f(x) = S(x), pentru x ∈ C∩I. Acest

lucru nu se întâmpla întotdeauna dupa cum se arata în exemplul urmator.Mai mult, C poate sa nu fie o submultime a lui I.

Exemplul 4.4.4 Fie functia f : R −→ R, f(x) :=

{e−

1x2 , x �= 00, x = 0.

Functia f este continua în x = 0 deoarece

limx→0f(x) = lim

x→0e−

1x2 = e−∞ = 0 = f(0).

f are derivate de orice ordin în x = 0 si f (n)(0) = 0, ∀n ≥ 0. Într-adevar,

f ′(x) = e−1x22

x3, x �= 0, si

f ′(0) = limx→0e−

1x22

x3u=

1x= 2 lim

u→∞e−u

2

u3 = 2 limu→∞

u3

eu2=

= 2 limu→∞

3u2

eu2 · 2u = 3 limu→∞u

eu2= 3 lim

u→∞1

eu2 · 2u = 0.

Se demonstreaza apoi prin inductie ca f (n)(0) = 0, ∀n ≥ 0.Atunci seria MacLaurin a acestei functii f(x) este

0 + 0x+ 0x2 + · · ·+ 0xn + · · · .Evident, aceasta este convergenta pentru orice x ∈ R si suma sa S(x) = 0,∀x ∈ R. Dar f(x) �= 0 pentru x �= 0. Deci f �= S. �Se spune ca functia f se dezvolta în serie Taylor în jurul punctului

x = a pe o multime B ⊂ C ∩ I daca oricare ar fi x ∈ B are loc egalitatea

f(x) = f(a) +f ′(a)1!

(x− a) + f′′(a)2!

(x− a)2 + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n + · · · .

(4.24)Teorema de mai jos arata în ce conditii o functie f este dezvoltabila în

serie Taylor.



Teorema 4.4.5 Seria Taylor a functiei f în punctul a converge pe o sub-multime B ⊂ C ∩ I, sau, cu alte cuvinte, f se dezvolta în serie Taylor înjurul lui x = a pe multimea B, daca si numai daca

limn→∞

Rn(x) = 0, ∀x ∈ B.

Demonstratie. Sumele partiale ale seriei (4.23) sunt tocmai polinoameleTaylor ale functiei f în punctul a. Atunci, avem echivalenta:

∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n = f(x)⇔ lim

n→∞Sn(x) = f(x)⇔

⇔ limn→∞

Tn(x) = f(x)⇔⇔ lim

n→∞(Tn(x)− f(x)) = 0⇔

⇔ limn→∞

Rn(x) = 0,

pentru orice x ∈ B. �

Exemplul 4.4.6 Fie functia f(x) = ex, f : R −→ (0,∞).

Formula MacLaurin a functiei ex cu restul Rn(x) în forma lui Lagrangea fost obtinuta în exemplul 4.4.1. Vom arata aici ca lim

n→∞Rn(x) = 0, pentru

orice x �= 0 (Pentru x = 0 acest fapt este evident.)Mai întâi se observa ca, deoarece θ ∈ (0, 1), pentru ∀x ∈ R si ∀n ≥ 1

avem inegalitatea

|Rn(x)| = |x|n+1 eθx(n+ 1)!

≤ |x|n+1 e|θx|(n+ 1)!

≤ |x|n+1 e|x|(n+ 1)!

=: an(x). (4.25)

Fixam un x �= 0 si consideram seria cu termeni pozitivi∑∞n=0 an(x). Criteriul

raportului aplicat acestei serii da:

limn→∞

an+1(x)

an(x)= lim

n→∞

|x|n+2 e|x|(n+ 2)!

|x|n+1 e|x|(n+ 1)!

= limn→∞

|x|n+ 2

= 0 < 1,

ceea ce înseamna ca seria∑∞

n=0 an(x) este convergenta. Atunci limn→∞an(x) =

0, si, în baza inegalitatii (4.25), obtinem limn→∞

Rn(x) = 0.



Prin urmare, conform formului (4.19) obtinem pentru functia ex urma-toarea dezvoltare în serie Taylor:

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ x

n

n!+ · · · =

∞∑n=0

xn

n!, x ∈ R, �.

Teorema care urmeaza da conditii suficiente pentru ca limn→∞

Rn(x) = 0.

Teorema 4.4.7 Conditii suficiente pentru dezvoltarea unei functiiîn serie TaylorFie f : I −→ R o functie indefinit derivabila pe intervalul I si a un

punct oarecare din interiorul intervalului I. Presupunem ca sirul derivatelorde ordinul n ale functiilor f este uniform marginit pe o submultime B ⊂ C∩I,ceea ce înseamna ca exista o constanta M > 0 astfel ca∣∣f (n)(x)∣∣ ≤M, ∀x ∈ B si ∀n ≥ 1.

Atunci f se dezvolta în serie Taylor în jurul punctului x = a pe multimea B.

Demonstratie. Conform teoremei anterioare avem de demonstrat calimn→∞

Rn(x) = 0, ∀x ∈ B, x �= a. (În cazul x = a nu avem ce demonsta

dezvoltarea fiind evidenta.) Folosind restul sub forma lui Lagrange din for-mula Taylor obtinem inegalitatea

|Rn(x)| ≤ |(x− a)n+1|(n+ 1)!

∣∣f (n)(ξ)∣∣ ≤ |(x− a)n+1|(n+ 1)!

M =: cn(x), ∀x ∈ B.

Fixam un x din B, x �= a si consideram seria cu termenii pozitivi∞∑n=1

cn(x)

careia îi aplicam criteriul raportului.

limn→∞

cn+1(x)

cn(x)= lim

n→∞|(x− a)n+2|(n+ 2)!

· (n+ 1)!

|(x− a)n+1| = limn→∞

|x− a|n+ 2

= 0 < 1.

Deoarece seria∞∑n=1

cn(x) este convergenta, termenul sau general cn(x) → 0,

deci limn→∞

Rn(x) = 0 pentru acel x ales si fixat. Cum x a fost un element

oarecare din B, rezulta limn→∞

Rn(x) = 0, ∀x ∈ B. �

Exemplul 4.4.8 Fie functia f : R −→ [−1, 1], f(x) = sin x.



Derivatele de ordinul n ale functiei sinus sunt f (n)(x) = sin(x+ n

π

2

),

∀n ≥ 0. Deoarece ∣∣f (n)(x)∣∣ = ∣∣∣sin(x+ nπ2

)∣∣∣ ≤ 1, ∀x ∈ R, conform teoremei4.4.7 functia sin x se dezvolta în serie Taylor dupa puterile lui x pe R sidezvoltarea sa este

sin x = x− x3

3!+x5

5!− x

7

7!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ · · · , x ∈ R, (4.26)

sau

sin x =

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!, x ∈ R. �

Exemplul 4.4.9 Fie functia f : R −→ [−1, 1], f(x) = cos x.

Derivatele de ordinul n ale functiei sinus sunt f (n)(x) = cos(x+ n

π

2

),

∀n ≥ 0. Deoarece ∣∣f (n)(x)∣∣ = ∣∣∣cos(x+ nπ2

)∣∣∣ ≤ 1, ∀x ∈ R, conform teoremei4.4.7 functia cos x se dezvolta în serie Taylor dupa puterile lui x pe R sidezvoltarea sa este

cos x = 1− x2

2!+x4

4!− x

6

6!+ · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)!+ · · · , x ∈ R,

sau

cos x =

∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!, x ∈ R. �

Exemplul 4.4.10 Fie functia f : (−1,∞) −→ R, f(x) = (1 + x)α, α ∈ R.

Derivatele de ordinul n ale functiei f(x) sunt

f (n)(x) = α(α− 1)(α− 2) · · · (α− n+ 1)(1 + x)α−n, x > −1.

În x = 0 obtinem f (n)(0) = α(α−1)(α−2) · · · (α−n+1). Formula MacLaurin(4.16) pentru aceasta functie este

(1 + x)α = 1+ αx+α(α− 1)2!

x2 + · · ·+ α(α− 1) · · · (α− n+ 1)n!

xn +Rn(x),

(4.27)unde restul (4.17) sub forma lui Lagrange are expresia

Rn(x) =α(α− 1) · · · (α− n)

(n+ 1)!(1 + θx)α−(n+1)xn+1,



iar restul (4.18) sub forma lui Cauchy este

Rn(x) =α(α− 1) · · · (α− n)

n!(1 + θx)α−(n+1)xn+1(1− θ)n =

=α(α− 1) · · · (α− n)

n!xn+1(1 + θx)α−1

(1− θ1 + θx

)n.

Notam

Cnα :=

n factori︷︸︸︷α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!.

Daca α ∈ N si α ≥ n, atunci Cnα sunt combinari de α elemente luate câten. În celelate cazuri Cnα este doar o notatie pe care o citim „ce α n”. Cuaceasta notatie formula (4.27) se scrie sub o forma asemanatoare binomuluilui Newton

(1 + x)α = 1 + C1αx+ C2αx

2 + · · ·+ Cnαxn +Rn(x), (4.28)

cu resturile

Rn(x) = Cn+1α (1 + θx)α−(n+1)xn+1, Lagrange, (4.29)

Rn(x) = Cnα(α− n)xn+1(1 + θx)α−1(1− θ1 + θx

)n, Cauchy. (4.30)

Pentru dezvoltarea în serie Taylor a functiei (1 + x)α trebuie demonstratîn ce conditii asupra lui x avem lim

n→∞Rn(x) = 0. Demonstram mai întâi ur-

matoarea lema.

Lema 4.4.11 Fie sirul de functii an(x) =|α(α− 1) · · · (α− n+ 1)|

n!|x|n .

(i) Daca |x| < 1, limn→∞

an(x) = 0.

(ii) Daca x > 1, atunci limn→∞

an(x) =∞.

Demonstratie. (i) Consideram seria cu termeni pozitivi∑∞

n=0 an(x) careiaîi aplicam criteriul raportului

limn→∞

an+1(x)

an(x)= lim

n→∞

|α(α− 1) · · · (α− n+ 1)(α− n)|(n+ 1)!

|x|n+1

|α(α− 1) · · · (α− n+ 1)|n!

|x|n=

= limn→∞

|α− n| |x|n+ 1

= limn→∞

(n− α) |x|n+ 1

= |x| .



Daca |x| < 1, atunci seria∑∞n=0 an(x) este convergenta, deci limn→∞

an(x) = 0.

(ii) În cazul x > 1 consideram seria∑∞

n=0

1

an(x). Aplicându-i criteriul

raportului obtinem

limn→∞

1

an+1(x)1

an(x)

= limn→∞

an(x)

an+1(x)=1

x< 1.

Deci seria∑∞

n=0

1

an(x)este convergenta. În consecinta, lim

n→∞1

an(x)= 0, deci

limn→∞

an(x) =∞. �

Propozitia 4.4.12 Daca |x| < 1, atunci în dezvoltarea binomiala (4.28)avem lim

n→∞Rn(x) = 0.

Demonstratie. Daca 0 ≤ x < 1, folosind restul sub forma lui Lagrangedat de formula (4.29), pentru n+ 1 > α, obtinem

|Rn(x)| =∣∣Cn+1α

∣∣ xn+1

(1 + θx)n+1−α≤ |α(α− 1) · · · (α− n)|

(n+ 1)!xn+1 =: an+1(x).

Conform lemei anterioare, punctul (i), rezulta limn→∞

Rn(x) = 0.

Daca −1 < x < 0, folosind restul sub forma lui Cauchy dat de formula(4.30) obtinem

|Rn(x)| = |Cnα | |α− n| |x|n+1 |1 + θx|α−1∣∣∣∣ 1− θ1 + θx

∣∣∣∣︸︷︷︸<1

n

≤

≤ |Cnα | |α− n| |x|n+1 |1 + θx|α−1 .Deoarece 0 < θ < 1, avem 1 = |1 + θx− θx| ≤ |1 + θx|+ |x| , de unde rezulta

1− |x| ≤ |1 + θx| .Daca α− 1 < 0, atunci, din inegalitatea de mai sus, obtinem

|1 + θx|α−1 ≤ 1

(1− |x|)1−α .

Daca α−1 ≥ 0, atunci |1 + θx| ≤ 2 implica |1 + θx|α−1 ≤ 2α−1. Prin urmare,

|1 + θx|α−1 ≤ K := max

{1

(1− |x|)1−α , 2α−1},



unde K este un numar care depinde de x si de α, dar este independent de n.Atunci avem

|Rn(x)| ≤ K |Cnα | |α− n| |x|n+1 = K|α(α− 1) · · · (α− n)|

n!|x|n+1 → 0.

(A se vedea demonstratia punctului (i) din lema precedenta.)Daca x > 1 restul din formula lui Taylor nu tinde la zero. Într-adevar,

daca notam cu

Sn(x) = 1 + C1αx+ C

2αx

2 + · · ·+ Cnαxn,atunci avem

Sn(x) +Rn(x) = Sn+1(x) +Rn+1(x),

de unde se obtine

Rn(x)−Rn+1(x) = Sn+1(x)− Sn(x) = α(α− 1) · · · (α− n)(n+ 1)!

xn+1.

Prin urmare, folosind punctul (ii) al lemei anterioare, avem

|Rn(x)−Rn+1(x)| = |α(α− 1) · · · (α− n)|(n+ 1)!

xn+1 →∞.

De aici rezulta ca sirul (Rn(x)) nu poate fi un sir Cauchy, oricare ar fi x > 1.�Cele demonstrate mai sus arata ca functia f(x) = (1+x)α are urmatoare

dezvoltare în serie Taylor dupa puterile lui x :

(1 + x)α = 1 + C1αx+ C2αx

2 + · · ·+ Cnαxn + · · · , |x| < 1. (4.31)

Cu obtinerea acestei egalitatii se încheie exemplul 4.4.10. �

Exemplul 4.4.13 Fie functia f(x) =1√1 + x

, x > −1. Dezvoltarea sa înserie Taylor dupa puterile lui x se obtine folosind formula (4.31) pentru

α = −12. Aceasta dezvoltarea

1√1 + x

= (1 + x)−12 = 1− 1

1! · 2x+1 · 32! · 22x

2 − 1 · 3 · 53! · 23 x

3 + · · ·+

+(−1)n1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)n! · 2n xn + · · · ,

este valabila pentru orice x ∈ (−1, 1) si se poate extinde si în x = 1.


4.5. Probleme 75

Daca în dezvoltarea de mai sus înlocuim x cu −x2 obtinem dezvoltareafunctiei

1√1− x2 = 1 +

1

1! · 2x2 +

1 · 32! · 22x

4 +1 · 3 · 53! · 23 x

6 + · · ·+

+1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

n! · 2n x2n + · · · ,

valabila pentru orice x ∈ (−1, 1).Prin intergrarea dezvoltarii anterioare obtinem

arcsin x =

∫ x

0

dt√1− t2 = x+

1

1! · 2 ·x3

3+ 1

1 · 32! · 22 ·

x5

5+ · · ·+

+1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

n! · 2n · x2n+1

2n+ 1+ · · · .

Aceasta dezvoltare are loc pentru orice x ∈ (−1, 1), iar un calcul simplu nearata ca ea este adevarata si în punctele x = 1 si x = −1. În baza teoremeia II-a a lui Abel putem afirma ca

1 +1

1! · 2 ·1

3+1 · 32! · 22 ·

1

5+ · · ·+ 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

n! · 2n · 1

2n+ 1+ · · · = π

2.�

4.5 Probleme

Exercitiul 4.5.1 Determinati intervalul de convergenta al urmatoarelor seriide puteri:

1)∞∑n=1

xn

n2. 2)

∞∑n=1

(−1)nxnn

. 3)∞∑n=1

n!xn. 4)∞∑n=1

xn

2n + 3n. 5)

∞∑n=1

xn

(n+ 1)2n.

6)∞∑n=1

nn

(n!)2xn. 7)

∞∑n=1

(−1)n+1n

(x− 1)n. 8)∞∑n=1

(−1)n(x− 1)n√2n+ 1

.

9)∞∑n=1

(x+ 2)n

n2. 10)

∞∑n=1

n+ 2

n2 + 1(x− 2)n. 11)

∞∑n=1

(n!)2

(2n)!xn.

12)∞∑n=1

(−1)n−1n3n(x− 5)n . 13)

∞∑n=1

3n + (−2)nn (x− 1)n .

Exercitiul 4.5.2 Determinati intervalul de convergenta si suma urmatoarelorserii de puteri:

1)∞∑n=0

(n+ 1)xn. 2)∞∑n=1

n(n+ 1)xn−1. 3)∞∑n=0

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)xn.

4)∞∑n=1

(−1)n+1xn

n. 5)

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

2n+ 1.



Exercitiul 4.5.3 Folosind formula Taylor calculati limitele de mai jos.

1) limx→0

e2x + e−2x − 2x2

. 2)limx→0

tg x+ sin x

x3. 3) lim

x→0ln(1 + 2x)− sin x+ 2x2

x3.

4) limx→0

ex sin x− x(1 + x)x3

. 5)limx→0

x− arctg xsinh x− x .

Exercitiul 4.5.4 Dezvoltati în serie Taylor dupa puterile lui x functiile demai jos. La fiecare functie precizati care este domeniul de definitie si careeste domeniul în care este valabila dezvoltarea.

1) f(x) = ex + e−x + 2 cosx. 2) f(x) = sinh x. 3) f(x) = cosh x.

4) f(x) =5− 2x

x2 − 5x+ 6 . 5) f(x) =3x− 5

x2 − 4x+ 3 . 6) f(x) =x

9 + x2.

7) f(x) = cos2 x. 8) f(x) = sin 3x+ x cos 3x. 9) f(x) = sin3 x.

10) f(x) = ln(2− 3x+ x2). 11) f(x) = ln(1 + x− 2x2).12) f(x) =

1√4− x2 . 13) f(x) = 3

√8 + x.

Exercitiul 4.5.5 Dezvoltati în serie Taylor dupa puterile variabilelor indi-cate în dreptul fiecareia functiile de mai jos. Precizati care este domeniul încare este valabila dezvoltarea.

1) f(x) = ln x, dupa puterile lui x− 1.2) f(x) =

1

x, dupa puterile lui x− 1.

3) f(x) =1

x2, dupa puterile lui x+ 1.

4) f(x) =1

x2 + 3x+ 2, dupa puterile lui x+ 4.

5) f(x) =1

x2 + 4x+ 7, dupa puterile lui x+ 2.

6) f(x) = ex, dupa puterile lui x+ 2.

7) f(x) =√x, dupa puterile lui x+ 4.

Exercitiul 4.5.6 Folosind posibilitatea de derivare si integrare a unei seriide puteri, dezvoltati în serie dupa puterile lui x functiile de mai jos. Precizatide fiecare data domeniul pe care este valabila dezvoltarea.

1) f(x) = (x+ 1) ln(x+ 1). 2) f(x) = ln(x+√1 + x2).

3) f(x) = x arctg x− ln√1 + x2.


cap4-serii de puteri

Documents