1

SERII DE TIMP – CURSUL 5

Sezonalitate Stochastică SARIMA

SARIMA (P, D, Q)s : ts

QtDss

P aBYBB 01 , unde

sPP

sssP BBBB 2

211

sQQ

sssQ BBBB 2

211 .

Exemplu: SARIMA(0,0,1)12=SMA(1)12

120 ttt aaY .

• Condiția de invertibilitate: ||< 1.

• E(Yt) = 0.

• 221 atYVar

•

altfel

kACF k

,0

12,1: 2 .

Exemplu: SARIMA(1,0,0)12

tt aYB 0121 - model AR sezonal.

ttt aYY 012 .

• Condiția de staționaritate:||<1.

•

1

0tYE .

• 2

2

1 a

tYVar .

• ,2,1,0,: 12 kACF kk .

Modelul multiplicativ sezonal

SARIMA(p, d, q)(P,D,Q)s : ts

QqtDsds

Pp aBBYBBBB 011 .

2

Condiție: rădăcinile polinoamelor (B); (Bs); (B) și (Bs) sînt în afara cercului unitate!

• Exemplu: modelul SARIMA(0,1,1)(0,1,1)12

tt aBBYBB 1212 1111 , unde ||<1 și ||<1.

• Fie Wt = (1 B)(1 B12)Yt, unde Δ= (1 B) este diferența standard, iar Δ12= (1 B12) este diferența sezonieră.

•

0~

11

13121

12

IWaaaaW

aBBW

t

ttttt

tt

.

•

..,013,11,

12,1

1,10,11

2

22

22

222

wok

k

kk

a

a

a

a

k

.

•

..,0

13,11,11

12,1

1,1

22

2

2

wo

k

k

k

k

.

SARIMA(1, 1, 1)(1,1,1)12.

12 12 121 1 (1 )(1 ) ln 1 1t tB B B B Y B B

AR(1) ne-sezonier*AR(1) sezonier*diferență ne-sezonieră*diferență sezonieră=

MA(1) ne-sezonier*MA(1) sezonier

Exemplu – Numărul de pasageri transportați de liniile aeriene în Român, valori lunare.

3

a. Logaritmarea pentru inducerea staționarității în varianță: tt YY ln .

b. Eliminarea trendului prin diferențiere: 1lnlnln)1(ln tttt YYYBY

200,000

400,000

600,000

800,000

1,000,000

1,200,000

2005

m1

2006

m1

2007

m1

2008

m1

2009

m1

2010

m1

2011

m1

2012

m1

2013

m1

2014

m1

PASAGERI

-.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

DLNPAS

4

c. Corelograma seriei logaritmate și differentiate

d. Desezonalizare: Xt = (1 - B)(1 - B12)ln Yt

series dlnpas=d(lnpas,1) series x=dlnpas-dlnpas(-12)

e. Corelograma seriei Xt

5

f. Includerea termenului sezonier SMA(12)

Dependent Variable: X Method: Least Squares Date: 03/09/15 Time: 21:48 Sample (adjusted): 2006M02 2014M09 Included observations: 104 after adjustments Convergence achieved after 13 iterations MA Backcast: 2005M01 2006M01

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.002467 0.000847 -2.913685 0.0044

MA(1) -0.741865 0.067615 -10.97193 0.0000 SMA(12) -0.932179 0.030537 -30.52573 0.0000

R-squared 0.643076 Mean dependent var -0.000836

Adjusted R-squared 0.636008 S.D. dependent var 0.157868 S.E. of regression 0.095244 Akaike info criterion -1.836318 Sum squared resid 0.916222 Schwarz criterion -1.760037 Log likelihood 98.48852 Hannan-Quinn criter. -1.805414 F-statistic 90.98681 Durbin-Watson stat 1.702707 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted MA Roots .99 .86-.50i .86+.50i .74 .50-.86i .50+.86i .00+.99i -.00-.99i -.50+.86i -.50-.86i -.86+.50i -.86-.50i -.99

6

g. Includerea componentei sezoniere SAR(12)

Dependent Variable: X Method: Least Squares Date: 03/09/15 Time: 21:50 Sample (adjusted): 2007M03 2014M09 Included observations: 91 after adjustments Convergence achieved after 31 iterations MA Backcast: 2006M02 2007M02

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.003168 0.002761 -1.147497 0.2544

AR(1) 0.378653 0.135663 2.791137 0.0065 SAR(12) -0.330655 0.056928 -5.808277 0.0000 MA(1) -0.850327 0.079750 -10.66237 0.0000

SMA(12) 0.974889 0.015391 63.34215 0.0000 R-squared 0.742181 Mean dependent var -0.005014

Adjusted R-squared 0.730190 S.D. dependent var 0.148348 S.E. of regression 0.077057 Akaike info criterion -2.235168 Sum squared resid 0.510648 Schwarz criterion -2.097208 Log likelihood 106.7001 Hannan-Quinn criter. -2.179510 F-statistic 61.89199 Durbin-Watson stat 1.975411 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .88+.24i .88-.24i .64-.64i .64-.64i .38 .24-.88i .24+.88i -.24+.88i -.24-.88i -.64+.64i -.64-.64i -.88+.24i -.88-.24i

Inverted MA Roots .96+.26i .96-.26i .85 .71-.71i .71+.71i .26-.96i .26+.96i -.26+.96i -.26-.96i -.71-.71i -.71-.71i -.96-.26i -.96+.26i

Model final:

12 121 0.37 1 0.33 1 0.85 1 0.97t tB B X B B unde t este WN N(0, =0.07).

12 12 121 0.37 1 0.33 (1 )(1 ) ln 1 0.85 1 0.97t tB B B B Y B B unde t este WN N(0, =0.07).

7

Predicția

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

-.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Residual Actual Fitted

200,000

400,000

600,000

800,000

1,000,000

1,200,000

1,400,000

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

PASAGERIF ± 2 S.E.

Forecast: PASAGERIFActual: PASAGERIForecast sample: 2005M01 2014M09Adjusted sample: 2007M03 2014M09Included observations: 91Root Mean Squared Error 50852.49Mean Absolute Error 37763.02Mean Abs. Percent Error 5.429306Theil Inequality Coefficient 0.032662 Bias Proportion 0.000374 Variance Proportion 0.003338 Covariance Proportion 0.996288

8

Teste pentru sezonalitatea stochastică

TESTUL DICKEY-HASZA-FULLER

Presupunem că o serie de timp este un process SAR(1): .tstts ayy

Ipotezele testului:

0:0:0

AHH

.

Statistica testului:

n

tst

n

ttst

yn

aynt

1

22

1ˆ

1~

1

.

400,000

600,000

800,000

1,000,000

1,200,000

1,400,000

I II III IV I II III IV I II III

2012 2013 2014

UPPER PASAGERIFPASAGERI LOWER

9

UNOBSERVED COMPONENT MODEL – UCM

UCM descompune o serie de timp în componente: trend, component ciclică, componentă sezonieră, componentă aleatoare.

tjtjtttt xy , unde t i.i.d. ),0( 2N

- t - trendul

- t - componenta sezonieră

- t - componenta ciclică.

a. Modelarea trendului - Random walk

ttt 1 unde t i.i.d. ),0( 2N

- Local Linear Trend Level: tttt 1 unde t i.i.d. ),0( 2

N

Slope: ttt 1 unde t i.i.d. ),0( 2N

b. Modelarea componentei ciclice

)sin()cos( ttt , unde 0 c. Modelarea componentei sezoniere - Variabile dummy sau funcții trigonometrice

SAS 9.3proc ucm

http://support.sas.com/rnd/app/ets/examples/melanoma/index.htm