SERII DE TIMP

Facultatea de CSIE, Specializarea Informatică Economică

Cursuri 5 ianuarie 2011

Conf.univ.dr. Cristina BOBOC

Introducere

Timpul este o coordonată esenţială a existenţei umane.

Realitatea economică şi socială se localizează în timp şi spaţiu.

În general, fenomenele economice nu au caracter static, manifestându-se în cadrul unei evoluţii temporale.

Definţie O serie de timp reprezintă o mulţime de observaţii (Yt)t[0,T]

efectuate la diferite momente de timp asupra unei variabile aleatoare Y.

Staționaritate

Definiţia 3. O serie este staţionară în medie dacă:

Definiţia 4. O serie de timp este staţionară în sens larg dacă:

Media seriei (Yt)t este constantă pe orice perioadă de timp;

Matricea de corelaţie a vectorului aleator nu depinde de .

( ) , [0, ]tE Y t T

),...,,(21 nttt YYY

Staționaritate

Definiţia 5. O serie de timp care prezintă o anumită tendinţă de evoluţie se numeşte nestaţionară.

Cum recunoaştem o serie staţionară?

Analiza grafică

Evoluţia funcţiei de autocorelaţie(ACF) şi autocorelaţie parţială(PACF)

Testul Dickey-Fuller

Serii nestaţionare cu trend liniar

Analiza grafică

Indicele BET al Bursei de Valori Bucureştiîn perioada 1997-2006: 2304 observaţii zilnice

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

9/1

9/1

997

9/1

9/1

998

9/1

9/1

999

9/1

9/2

000

9/1

9/2

001

9/1

9/2

002

9/1

9/2

003

9/1

9/2

004

9/1

9/2

005

9/1

9/2

006

Funcţia de autocorelaţie-ACF

Măsoară corelaţia între valorile seriei la diverse distanţe temporale.

Graficul funcţiei de autocorelaţie pentru diverse lag-uri k se numeşte corelogramă.

Observații: Seriile nestaţionare au ACF care converge “încet” spre zero

În general, se consideră că dacă după 5 paşi valoarea ACF este mai mare decât 0.7, atunci seria este nestaţionară.

Seriile staţionare au ACF care converg rapid spre zero.

22

),(

)(

))(()(

Y

ktt

t

ktt

Y

YYCov

YY

YYYYk

Funcţia de autocorelaţie-ACF

În practică procedăm la estimarea funcţiei de autocorelaţie utilizând un eşantion de n valori. Ca urmare, se obţin coeficienţii de autocorelaţie, rk, pentru n valori, iar relaţia generală de calcul devine :

n

t

t

kn

t

ktt

k

yy

yyyy

r

1

2

1

)(

))((

Pentru k = 1, obţinem:

n

tt

n

ttt

yy

yyyy

r

1

2

1

11

1

)(

))((

Pentru k = 2, obţinem:

n

tt

n

ttt

yy

yyyy

r

1

2

2

12

2

)(

))((

Testul Bartlett

Verificarea semnificaţiei coeficienţilor de autocorelaţie se poate realiza cu ajutorul

testului Bartlett care se bazează pe ideea că, în cazul în care seria cronologică este

pur aleatoare, coeficienţii (estimaţi) de autocorelaţie r1, r2,… , rk sunt aproximativ normal

distribuiţi, de medie zero şi de dispersie .

Ca urmare, dacă avem în vedere repartiţia normală redusă (standard), putem stabili

intervalul de încredere în care se încadrează rk (K = 1, 2, .. k) cu o probabilitate P =

0,95, astfel –1,96 rk 1,96 , unde: .

În cazul în care estimaţiile, rk, se încadrează în intervalul menţionat ipoteza nulă, k = 0,

este confirmată. În caz contrar, rk se situează în afara intervalului, ipoteza nulă este

infirmată, ceea ce înseamnă că valoarea lui k diferă semnificativ de zero.

n

12

n

1

Testul Q (Box-Pierce)

G. P. Box şi D. A. Pierce au propus testul Q (Box-Pierce) privind ipoteza simultaneităţii

nesemnificaţiei tuturor coeficienţilor de autocorelaţie, H0: ρ1= ρ2=…= ρk=0, definind

astfel variabila:

care urmează asimptotic distribuţia χ2α;v cu v =m grade de libertate.

Dacă Q > χ2;m ipoteza nulă este infirmată, în sensul că cel puţin unul dintre coeficienţii k

diferă semnificativ de zero, iar dacă Q < χ2;m seria este considerată staţionară.

m

kkrnQ

1

2

Testul Ljung-Box (LB)

O variantă a testului anterior este testul Ljung-Box (LB), pentru care a fost

definită variabila:

Testul LB este recomandat în cazul în care eşantionul de date este redus

(n<30).

Dacă LB > χ2;m , ipoteza nulă este infirmată, nu toţi coeficienţii k = 0, spre

deosebire de LB< χ2;m , caz în care H0 este confirmată, coeficienţii de

autocorelaţie fiind nesemnificativi.

2

;

1

2

)2( m

m

k

k

kn

rnnLB

Testul rădăcinii unităţii (UNIT ROOT – TEST)

Pentru a alege între seria de tip TSP şi seria de tip DSP, sau între seria CI(1) şi seria

CI(2) se aplică testul rădăcinii unităţii (UNIT ROOT – TEST), bazat pe modelul:

yt = ρ yt-1 + ut

variabila „ut” fiind neautocorelată, de medie zero şi dispersie constantă şi este

cunoscută sub numele de zgomot alb (“white noise”).

Dacă ρ=1→ yt = yt-1 + ut,, ne aflăm în prezenţa unei rădăcini unitare, variabila

stochastică yt fiind rezultatul unui mers la întâmplare (“random walk”), rezultă că

seria nu este staţionară, fiind de tip DSP;

Dacă ρ>1, atunci seria este explozivă (tot nestaţionară, dar de regulă, astfel de

comportament nu este regăsit în economie);

Dacă |ρ|<1, atunci seria este staţionară.

Exemplu

Corelograma pentru Indicele BET

Funcţia de autocorelaţie parţială-PACF

Măsoară corelaţia între Yt şi Yt-k fără a ţine cont de corelaţiile dintre Yt şi Yt-1,Yt-2....

Fie şi

Se defineşte funcţia de autocorelaţie parţială între Yt şi Yt-k :

cu

Proprietate (demonstraţie folosind teorema Frisch şi Waugh): Coeficientulde autocorelaţie parţială de ordin k este egal cu valoarea parametruluivariabilei Yt-k din modelul liniar de regresie :

1

1

0ˆ

k

i

itit YaaY

1

1

0ˆ

k

i

itikt YbbY

)ˆvar()ˆvar(

)ˆ,ˆcov()(

ktkttt

ktkttt

YYYY

YYYYkPACF

1,1: ZPACF

k

i

itit YaY

1

ˆ

Procedee de staţionarizare

Cum inducem staţionaritatea în medie?

Prin diferenţe de ordinul I sau II: D(Y)= Yt - Yt-1

Prin diferenţiere sezonieră De exemplu dacă ACF la lagul 12 tinde foarte greu la 0, avem o sezonalitate de

ordinul 12 şi vom calcula diferenţe de ordinul 12: Yt – Yt-12

Cum inducem staţionaritatea în dispersie?

Dacă dispersia seriei iniţiale nu este constantă, atunci seria se logaritmează.

Dacă şi după logaritmare există un trend în date, se iau diferenţe de ordinul I:

Atenţie: NU se logaritmează după ce s-au efectuat diferenţe de ordinul I:

)ln( tY

1lnlnln ttt YYY

)ln( ! 1 tt YYNU

Serii integrate

În literatura econometrică de dată mai recentă întâlnim serii cronologice caracterizate prin termeni ca:

SERIE INTEGRATĂ – acea serie nestaţionară care poate fi transformată într-o serie

staţionară prin calculul diferenţelor de ordinul întâi (serie integrată de ordinul întâi –

I(1) ), adică: , iar dacă tendinţa nu a fost eliminată în

totalitate, se procedează la calculul diferenţelor de ordinul doi (serie integrată de

ordinul doi – I(2)), respectiv etc. Seria la care se ajunge

în final, întrucât nu mai include tendinţă, fiind deci staţionară, este considerată serie

integrată de ordinul zero –I(0).

1)1(1

tttt yyyy

1)2(1

tttt yyyy

Serii cointegrate

SERII COINTEGRATE – sunt considerate acele serii cronologice care, integrate fiind

de acelaşi ordin, admit o combinaţie liniară care este integrată de ordin zero sau, în

orice caz, este integrată de ordin mai mic decât ordinul de integrare a seriilor iniţiale.

Astfel, în cazul a două serii, xt , yt , fiecare fiind integrată de ordinul întâi, dacă există

o combinaţie liniară „z” care poate rezulta astfel: zt = yt + xt sau zt = yt-xt sau, mai

frecvent, zt = yt - (a0+a1xt), care este integrată de ordinul zero, afirmăm că cele două

serii sunt cointegrate de ordinul întâi. Aşadar, dacă ytI(1) , xtI(1) şi ztI(0)

afirmăm că xt ,yt CI(1;1). Astfel de serii sunt caracterizate ca fiind într-o relaţie de

echilibru pe termen lung.

Pentru a încadra o serie cronologică într-una dintre categoriile menţionate, se

apelează la reprezentări prin tabele, grafice (cronograme, corelograme) dar mai ales

la testele statistice.

Exemplu de serie nestaţionară

-600

-400

-200

0

200

400

600

500 1000 1500 2000

Indicele BET-diferente de ordinul I

1 ttt YYYDiferenţe de ordinul I:

Exemplu de serie nestaţionară

-.16

-.12

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

500 1000 1500 2000

Diferente de ordinul I ale logaritmului seriei

Seria logaritmată şi diferenţiată: 1lnlnln ttt YYY

Zgomot albWN(0,2)

Zgomotul alb, WN(0,2) este este cel mai simplu model staţionar pur aleator

Xt= t

unde termenul eroare, t, este presupus a avea următoarele proprietăţi:

E(t) = 0; Var(t) = 2

Cov(t, t-k) = 0, k0

Cov(t, yt-k) = 0, k>0

Funcţia de autocorelaţie a acestui model este:

0h 1

0h 0h

Model Autoregresiv de ordin pAR(p)

Un Model Autoregresiv de ordin p, AR(p) este un model în care valoarea curentă este influenţată de valorile anterioare

şi de perturbaţii aleatoare independente

o serie staţionară ce satisface relaţia:

yt= + 1yt-1+ ... + pyt-p + t

sau

(B)yt = + t

unde: 1, 2, ..., p – parametrii

(B) = 1 - 1B - ... - pBp

- termenul constant

t - WN(0,2), numite adesea inovaţii

Exemplu: Reprezentarea numărului şomerilor

numărul total al şomerilor în luna t este Yt şi o proporţie 1- dintre

şomerii fiecărei luni găsesc de lucru înaintea lunii următoare:

Yt= Yt-1+ t

unde t este numărul noilor şomeri ai lunii t

dacă E(Yt)=:

Yt- = (Yt-1 - ) + - + t

Xt = Xt-1 + t

Model Medie Mobilă de ordin qMA(q)

Un Model Medie Mobilă de ordin q, MA(q) este:

O serie economică influențată de factori economici, nu toţi acţionând

imediat

răspunsul unui instrument de măsură cu inerţie: valoarea la fiecare moment

este o medie a celor mai recente influenţe

proces staţionar definit de:

yt= + t - 1t-1 - ... - qt-q

sau

yt = + (B) t

unde: 1, ..., q sunt coeficienţi de medie mobilă

(B) = 1 - 1B - ... - qBq

- termenul constant

t - WN(0,2)

Model ARMA(p,q) şi ARIMA(p,d,q)

Un model ARMA(p,q) este:

o combinaţie a modelelor AR şi MA;

un proces staţionar ce satisface relaţia:

yt = + 1yt-1+ ... + pyt-p + t - 1t-1 - ... - qt-q

sau

(B)yt = + (B) t

unde: - (B) = 1 - 1B - ... - pBp

- (B) = 1 - 1B - ... - qBq

Un model ARIMA(p,d,q) este:

un proces ce satisface relaţia:

(B)wt = + (B) t

unde: wt=dyt serie staţionară obţinută prin diferenţierea de ordin d a seriei yt

Modele ARIMA(p,d,q) - Exemple

AR(1): yt= + 1yt-1 + t

AR(2): yt= + 1yt-1 + 2yt-2 + t

MA(1): yt= + t - 1t-1

MA(2): yt= + t - 1t-1 - 2t-2

ARMA(1,1): yt = + 1yt-1 + t - 1t-1

ARMA(2,1): yt = + 1yt-1 + 2yt-2 + t - 1t-1

ARMA(1,2): yt = + 1yt-1 + t - 1t-1 - 2t-2

ARIMA(1,1,1): yt – yt-1 = + 1 (yt-1 - yt-2 ) + t - 1t-1