rezolvate_monofazat

7/23/2019 rezolvate_monofazat

1/12

Teoria Circuitelor Electrice Aplicaii

-1-

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

R7.1. n circuitul din figura 7.R.1 se cunosc: 21R ,

,31

11

CL

22L , 11

3C, ]V[

4sin20)(1

tte ,

]A[2

sin210)(3

ttj . Se cer:

a) rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff;

b) rezolvarea circuitului cu metoda superpoziiei;c) bilanurile puterilor.

Fig. 7.R.1 Problema R7.1

Rezolvare:

Rezolvarea circuitelor de curent alternativ se face folosind reprezentarea ncomplex. n complex, elementele pasive de circuit sunt caracterizate de impedane,iar sursele de energie de fazori.Schema n complex a acestui circuit este reprezentat n figura 7.R.1a.

Fig. 7.R.1a Schema echivalent n complex


2/12

Capitolul VI1 Teoreme generale Probleme propuse

-2-

Pentru elementele pasive din circuit, impedanele se calculeaz astfel:

,31

,3,21

1C11L11Rj

CjZjLjZRZ

jLjZ 222L ,

jCj

Z

3

3C

1

.

Sursa de tensiune este reprezentat n complex de fazorul

)1(102

20 41 jeE

j

.

Sursa de curent este reprezentat n complex de fazorul jeJ j 102210 23

.

Grupnd toate impedanele dup o latur ntr-o impedan echivalent se obinefigura 7.R.1b, n care: 2

1C1L1R1 ZZZZ , jZZ 2

1L2 i

jZZ 1C3

.

a) Metoda teoremelor Kirchhoff

Elementelede topologie sunt: 2 noduri, 3 laturi i 2 bucle, necesare aplicriiteoremelor lui Kirchhoff.

Fig. 7.R.1b Aplicarea metodei ecuaiilor Kirchhoff

Se scrie teorema I Kirchhoff pentru nodulAi teorema II Kirchhoff pentru buclele1b i 2b alese ca n figura 7.R.1b. Sistemul de ecuaii obinut este:

0:).(.

:).(.

0:).(.

3j22332

122111

321

UIZJZbKIIT

EIZIZbKIIT

JIIAKIT

. Se obin:

0

5

5

3j

2

1

U

jI

jI

.

Se trec aceste valori n domeniul timp i se obin:


3/12


-3-

]A[2

sin25)(1

tti , ]A[2

sin25)(2

tti , ]V[0)(3j tu .

b) Metoda superpoziiei

Circuitul iniial (n complex) conine dou surse ideale de energie i astfel vomavea dou cazuri de rezolvat.

Cazul 1

n acest circuit sursa ideal tensiune se pasivizeaz (rmne rezistena sa intern),iar sursa ideal de curent este caracterizat de fazorul 3J (fig.7.R.1c). Determinm

curenii folosind relaiile de la divizorul de curent:

)(11

1

)(

11

1

3

21

23

21

2'2

3

21

13

21

1'1

J

ZZ

ZJ

YY

YI

J

ZZ

ZJ

YY

YI

. Obinem:

)1(5

)1(5'

2

'

1

jI

jI.

Fig. 7.R.1c Cazul 1 de la metoda superpoziiei

Pentru determinarea tensiunii '3j

U aplicm teorema a doua a lui Kirchhoff pe

bucla b astfel: 0:).(. '3j

'2233 UIZJZbKIIT . Rezult: jU 10

'

3j .


4/12


-4-

Cazul 2

n acest circuit sursa ideal curent se pasivizeaz (rmne rezistena sa intern), iarsursa ideal de tensiune este caracterizat de fazorul 1E (fig.7.R.1d).

Fig. 7.R.1d Cazul 2 de la metoda superpoziiei

Aplicm teorema a doua a lui Kirchhoff pe bucla b astfel:

1''22

''11:).(. EIZIZbKIIT . inem cont c

''

2

''

1 II . Rezult 5''2

''1 II . Se

observ c ''22''

3jIZU . Obinem: jU 10''

3j .

Rezultatele finale se obin suprapunnd rezultatele din cele dou cazuri studiateanterior. inem cont de sensurile mrimilor determinate n fiecare caz n parte fa

de sensurile din circuitul iniial:

''

3j'

3j3j

''2

'22

''1

'11

UUU

III

III

. Astfel rezultatele finale sunt:

0

5

5

3j

2

1

U

jI

jI

.

Se poate observa c rezultatele obinute cu metoda superpoziiei sunt identice cucele obinute cu metoda ecuaiilor Kirchhoff.

c)Bilanurile puterilor

Puterea activ consumat n circuit este: W50252211c IRP .

Puterea reactiv consumat n circuit se determin astfel: var50100250ImImIm

32 CL233

222

211c XXIZIZIZQ .

Puterea aparent complex generat se calculeaz astfel:

gg33j11g5050)10(0)5()1(10 jQPjjjjJUIES .

Extragem puterea activ generat ca fiind: W50Re gg SP . La fel i pentru

puterea reactiv generat: var50Im gg SQ .


5/12


-5-

Se observ c gcgc , QQPP . Aadar se verific bilanurile puterilor active i

puterilor reactive consumate, respectiv generate. Implicit se verific bilanulputerilor aparente complexe consumate, respectiv generate: gc SS .

R7.2. Se consider circuitul din figura 7.R.2 unde se cunosc: 11R ,

211

211

CCL

, 132 LL , ]A[4

3sin2)(3

ttj

Hz50f . Se cer:

a) rezolvarea circuitului cu metoda curenilor ciclici;b) rezolvarea circuitului cu metoda potenialelor la noduri;c) bilanurile puterilor.


Rezolvare:

Rezolvarea circuitelor de curent alternativ se face folosind reprezentarea ncomplex. n complex, elementele pasive de circuit sunt caracterizate de impedane,iar sursele de energie de fazori (fig.7.R.2a).


Pentru elementele pasive din circuit, impedanele se calculeaz astfel:


6/12


-6-

,21

,2,11

1C11L11Rj

CjZjLjZRZ

jCj

Z 21

22C

,

jLjZjLjZ 33L22L , .

Sursa de curent este reprezentat n complex de fazorul jeJj

12

2 43

3

.

Grupnd toate impedanele dup o latur ntr-o impedan echivalent se obinefigura 7.R.2b, n care: 1

1C1L1R1 ZZZZ , jZZZ

2C2L2 i

jZZ 3L3 .a) Pentru rezolvarea circuitului cu metoda curenilor ciclici, ecuaiile generale sunt:

'22b221b21

'12b121b11

EIZIZ

EIZIZ

Fig. 7.R.2b Aplicarea metodei curenilor ciclici

n care: jZZZ 12111 , jZZZ 22112 , 0'1E i

jJI 132b .

nlocuind n relaiile anterioare i rezolvnd sistemul de ecuaii obinut, rezult

jI 1b .Valorile intensitilor curenilor reali prin laturi se obin din valorile curenilorciclici, astfel:

21b1

1

j

ejII i jeIII 111b2b2

.

Scriind teorema Kirchhoff II se poate obine i tensiunea la bornele sursei ideale de

curent: jeJZIZU 1133223J .

Se face trecerea n domeniul timp:


7/12


-7-

]A[2

sin2)(1

tti , ]A[sin2)(2 tti ,

]V[sin2)(3j

ttu .

b)Alegem nodul 0 ca fiind nod de referin, unde 00 V (fig.7.R.2c).

Pentru rezolvarea circuitului cu metoda potenialelor la noduri, ecuaia general

este: sc1111 IVY , unde: jZZZ

Y

1111

32111 , jJI 13sc1 .

Fig. 7.R.2c Aplicarea metodei potenialelor la noduri

nlocuind n relaia anterioar i rezolvnd ecuaia obinut, rezult jV 1 .Lund fiecare latur n parte i scriind cderile de tensiune pe fiecare element de

circuit obinem: jZ

VVI

1

011 , 1

2

012

Z

VVI .

Scriind teorema Kirchhoff II pe bucla b se obine relaia pentru tensiune de labornele sursei ideale de curent: 133223j JZIZU .

Se face trecerea n domeniul timp:

]A[2

sin2)(1

tti ,

]A[sin2)(2

tti ,

]V[sin2)(3j

ttu .

c)Bilanurile puterilor

Puterea activ consumat n circuit este: W1211c IRP .Puterea reactiv consumat n circuit se determin astfel:

var1211ImImIm32211 LCLCL

233

222

211c XXXXXIZIZIZQ


gg3jg 1)1(13 jQPjjJUS .


8/12


-8-





R7.3. Pentru circuitul din figura 7.R.3 se cunosc: tte sin240)(1 [V],

10021 LL mH, tte sin220)(2 [V], 1043 RR ,

10005 C F,

2sin22)(6

ttj [A], Hz50f . Se cer:

a) rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff;b) rezolvarea circuitului cu metoda curenilor ciclici;c) rezolvarea circuitului cu metoda potenialelor la noduri;d) bilanurile puterilor .


Rezolvare:

Schema n complex a circuitului este cea din figura 7.R.3a, n care se consider: 1002 f , ,101L1 jLjZ jLjZ 102L2 , 103R3 RZ ,

104R4 RZ , jCjZ 10

1

5

C5

, 402

240 01

jeE ,

202

220 02

jeE , jeJj

22

22 26

.


9/12


-9-


a) rezolvarea circuitului cu metoda ecuaiilor Kirchhoff

Observm c avem 4 noduri, 6 laturi, iar numrul de bucle necesare metodeiKirchhoff este obinut cu relaia: 31 NLB (fig.7.R.3b). Astfel, seconsider sensurile alese ca n figura 7.R.3b.

Fig. 7.R.3b Aplicarea metodei ecuaiilor Kirchhoff

Sistemul aferent metodei este urmtorul:

0:).(.

:).(.

:).(.

0:)3.(.

0:)2.(.0:)1.(.

6j55C44R3

155C33R11L2

244R33R22L1

642

435

132

UIZIZbKIIT

EIZIZIZbKIIT

EIZIZIZbKIIT

JIIKIT

IIIKIT

IIIKIT


10/12


-10-

Rezolvnd sistemul de 6 ecuaii se obin:

41 21

j

ejI i n domeniul timp

4sin2)(1

tti [A];

42 21

j


4sin2)(2

tti [A];

03 22

jeI i n domeniul timp tti sin22)(3 [A];

4

3

4

21

j


4

3sin2)(

4

tti [A];

45 21

j


4sin2)(5

tti [A];

06j U i n domeniul timp 0)(

6j tu [V].

b) rezolvarea circuitului cu metoda curenilor ciclici

Avem 3 bucle, astfel 3 cureni ciclici (fig.7.R.3c). Deoarece pe latura de indice

6 avem o surs ideal de curent alegem 61b JI .

Fig. 7.R.3c

Astfel sistemul aferent metodei este:

'33b332b321b31

'23b232b221b21

61b 2

EIZIZIZ

EIZIZIZ

jJI

,

unde: jZZ 105C21

, 105C3R1L22

ZZZZ , 103R3223

ZZZ ,

104R31

ZZ , jZZZZ 10204R3R2L33

, 401'2 EE ,

202'3 EE .


11/12


-11-

Rezolvnd sistemul obinut, rezult c valorile curenilor ciclici sunt:jJI 26b1 , jI 12b , jI 13b .

Valorile intensitilor curenilor reali prin fiecare latur se determin n funcie decurenii ciclici:

jII 12b1

, iar n domeniul timp

4sin2)(1

tti [A];

jII 13b2

i n domeniul timp

4sin2)(2

tti [A];

23b2b3 III i n domeniul timp tti sin22)(3 [A];

jIII 13b1b4

i n domeniul timp

4

3sin2)(4

tti [A];

jIII 11b2b5

i n domeniul timp

4sin2)(5

tti [A].

Aplicm TK II pentru bucla unde circul curentul ciclic3b

I :

0:.654 j5C4R

UIZIZKIIT i obinem: 06j U , deci 0)(

6j tu [V].

c) rezolvarea circuitului cu metoda potenialelor la noduri

Fig. 7.R.3d

Alegem nodul 0 ca fiind nod de referin, unde 00 V .Ecuaiile generale pentru metoda potenialelor la noduri, considernd notaiile dinfigura 7.R.3d, sunt:

sc3333232131

sc2323222121

sc1313212111

IVYVYVY

IVYVYVY

IVYVYVY

,


12/12


-12-

n care:10

21111

321 RLL

11

j

ZZZY

,

10

11

3R

2112 Z

YY ,

10

1

1L

3113

j

ZYY ,

10

21111

3R4R5C22

j

ZZZY

,

10

11

4R3223

ZYY ,

10

1111

4R2L33

j

ZZY

, j

Z

E

Z

EI 6

2L

2

1L

1sc1 ,

0sc2I , jZ

EJI 4

2L

26sc3

nlocuind n relaia anterioar i rezolvnd ecuaia obinut, rezult jV 10301 ,

jV 10102 i 03 V .

Lund fiecare latur n parte i scriind cderile de tensiune pe fiecare element decircuit obinem:

jZ

VVEI

1

1L

1011 , j

Z

VVEI

1

2L

1322 , 2

3R

213

Z

VVI ,

jZ

VVI

1

4R

234 , j

Z

VVI

1

5C

025 , 0036j VVU .

Valorile intensitilor curenilor prin fiecare latur i a tensiunii de la bornele sursei

ideale de curent, n domeniul timp, sunt:

4sin2)(1

tti [A] ,

4sin2)(2

tti [A], tti sin22)(3 [A],

4

3sin2)(4

tti [A],

4sin2)(5

tti [A], 0)(6j tu [V].

d)Bilanurile puterilor

Puterea activ consumat n circuit este: W60244233c IRIRP .

Puterea reactiv consumat n circuit se determin astfel:

var20222ImImIm

521521 CLL

2

5C

2

2L

2

1Lc XXXIZIZIZQ .


gg6j2211g 2060)1(20)1(406 jQPjjjJUIEIES .





rezolvate_monofazat

Documents