1.5 Elemente de teoria relativitatii restranse 1

1.5.1 Generalitati

In mecanica newtoniana distantele si duratele dintre doua evenimente au un caracterabsolut, adica au aceeasi valoare n toate sistemele de referinta (SR). Drept urmare, latrecerea de la un SR S, la un sistem S care se misca fata de S cu viteza ~u, coordonatelese transforma conform transformarilor Galilei,

~r = ~r + ~ut

t = t

(n care s-a presupus ca la momentul t = t = 0 originile S si S coincid). Derivand nraport cu timpul, rezulta formula de transformare a vitezelor

~v = ~v + ~u

Principiul relativitatii al lui Galilei afirma ca toate SR inertiale sunt echivalente, legilemecanicii sunt acelesi n toate SR inertiale. Ca urmare a acestui fapt, prin nicio experientade mecanica nu putem pune n evidenta miscarea unui SR inertial fata de alt SR inertial.Legile mecanicii sunt invariante la transformarile lui Galilei.

In anul 1864, J. C. Maxwell a formulat legile campului electromagnetic. Initial oconsecinta teoretica a acestor formule, undele electromagnetice au fost confirmate exper-imental n 1888 de catre H. Hertz. In plus, egalitatea vitezei luminii cu cea a undeloeelectromagnetice, l-au condus pe Maxwell sa nglobeze fenomenele luminoase ntr-un cazparticular al undelor electromagnetice. Dar ecuatiile Maxwell nu sunt invariante la trans-formarile lui Galilei.

In mecanica, ecuatia de propagare a undelor elastice (de exemplu unde sonore ntr-unmaterial) nu este invarianta la transformarile lui Galilei, dar aceasta nu are consecintaasupra valabilitatii principiului relativitatii n mecanica. Undele elastice au nevoie deun mediu n care sa se propage. Ecuatia de propagare a undelor elastice este scrisa nsistemul de referinta n care acest mediu este n repaus, deci ntr-un SR privilegiat.

La fel, neinvarianta ecuatiilor electromagnetismului ar putea fi acomodata cu existentaunui mediu n care undele electromagnetice sa se propage, eterul. Determinarea pro-prietatilor eterului a dus la o serie de rezultate contradictorii. Eterul ar trebui sa posedeproprietati fizice neobisnuite. Sa nu opuna rezistenta miscarii corpurilor, dar sa fie ex-trem de rigid pentru a asigura valoarea mare a vitezei luminii n vid. Speranta detectariiprezentei eterului a fost legata de influenta miscarii corpurilor asupra vitezei de propa-gare a luminii. In 1810, Arago a ncercat sa determine schimbarea indicelui de refractie nfunctie de orientarea corpului n raport cu directia de miscare a Pamantului, dar rezultatula fost neconcludent. Stokes a propus ipoteza antrenarii totale a eterului de catre corpurilen miscare. In 1851, Fizeau realizeaza un experiment al carui rezultat poate fi interpretatprintr-o antrenare partiala a eterului la miscarea unui curent de apa printr-un factor egalcu 11/n2, unde n este indicele de refractie al mediului transparent. La sfarsitul secolului

1Materialul foloseste pe scara larga tratarea acestui subiect n A. Hristev - Mecanica si acustica -Editura Didactica si Pedagogica-1982. O excelenta lucrare de popularizare cu traducere (mai veche) nlimba romana este Max Born -Teoria relativitatii a lui Einstein- Editura Stiintifica, 1969

1

XIX, Michelson si Morlay au realizat (1881, reluat n 1887) un experiment interferomet-ric n care au ncercat sa puna n evidenta schimbarea vitezei de propagare a luminii pedirectie perpendiculara si n lungul vitezei de miscare a Pamantului. rezultatul a fostclar unul nul, nu s-a putut pune n evidenta influenta vitezei de miscare a Pamantului njurul Soarelui (aprox. 30km/s) asupra vitezei luminii.

In plus, folosirea legilor Maxwell n diverse SR duce la absurditati daca se pastreazainvarianta distantelor si a duratelor.

Aceste contradictii au fost rezolvate de catre A. Einstein in articolul Despre electrodi-namica corpurilor n miscare, aparut n revista Annalen der Physik (nr 17, 1905). Caleaaleasa de Einstein a fost diferita de celelalte ncercari de explicare a rezultatelor de maisus. El renunta la eter si extinde principiul relativitatii la fenomenele electromagnetice,cu pretul renuntarii la invarianta duratelor si distantelor, deci schimbarii fundamentalea notiunilor de spatiu si timp. Einstein introduce doua postulate pe baza carora estecreata o noua mecanica, teoria relativitatii restranse (speciale).

1.5.2 Postulatele teoriei relativitatii restranse

In anul 1905, Einstein a formulat aceste doua postulate:1. Toate legile fizicii, nu numai cele mecanice, sunt aceleasi n toate SR inertiale.2. Viteza luminii n vid (c) are aceeasi valoare n toate SR inertiale.Primul postulat extinde principiul relativitatii nu numai la fenomenele mecanice, ci

si la cele electromagnetice. Prin nicio experienta nu putem pune n evidenta miscareaunui sistem de referinta inertial. Nu exista un reper absolut, iar ipoteza eterului estesuperflua. Unii autori afirma ca, deoarece viteza luminii intervine ca o constanta necuatiile Maxwell n vid, al doilea postulat ar decurge din primul. Dar acest lucru estevalabil numai daca se renunta explicit la notiunea de eter. Eterul ar permite valabilitateaprincipiului relativitatii cu existenta unui SR preferential legat de acesta.

Intr-o serie de manuale, postulatul doi este completat cu precizarea ca viteza luminiin vid reprezinta viteza maxima de propagare a interactiunilor sau a energiei. Aceastanu apare n postulatele lui Einstein. Vom vedea ca din ele rezulta ca viteza maxima aunui corp material cu masa are ca limita superioara viteza luminii n vid. Exista o seriede particule care au masa de repaus zero (fotonii) care se deplaseaza cu viteza luminii.Nu exista un SR n care acestea sa se afle n repaus. In toate SR inertiale viteza lor esteaceeasi, c.

Aceste postulate au consecinte fundamentale asupra notiunilor de spatiu si timp.Toate experimentele ulterioare au confirmat validitatea acestor consecinte.

1.5.3 Transformarile Lorentz

Sa gasim transformarile coordonatelor spatiale si temporale care sa nlocuiasca trans-formarile Galilei si care sa corespunda postulatelor formulate mai sus. Ca si transformarileGalilei ele trebuie sa fie transformari liniare, acestea ducand la corespondente unice ntrecoordonate (corespondenta biunivoca). Ecuatiile de grad mai nalt au mai multe solutii,ceea ce nu este admisibil in transformarea de la un SR la altul. In plus, noile transformaritrebuie sa treaca n transformarile Galilei pentru mecanica corpurilor care se deplaseazacu viteze mici n comparatie cu viteza luminii.

2

Consideram sistemele de coordonate S si S

care se deplaseaza n lungul axei Ox, Oxcomune. Consideram ca Sse deplaseaza cuviteza u fata de S. Un eveniment oarecare aren sistemul S coordonatele (x, y, z, t). Ra-portat la S acelasi eveniment are coordo-natele (x, y, z, t). Presupunem ca ceasor-nicele din cele doua sisteme de referinta suntsincronizate n momentul n care originileO,O coincid.

Coordonatele transversale nu sunt afectate de miscarea sistemelor,

y = y ; z = z

In adevar, consideram transformarea liniara generala care satisface conditia de sincronizarespecificata, y = ax+ by+ cz + dt. Un eveniment n planul Oxz, y = 0, ramane n planulOx y = 0, astfel ca rezulta ax+ cz + dt = 0, oricare ar fi x, z, t, variabile independente,astfel ca a = c = d = 0. Deci y = by. b depinde doar de modulul lui u, nu de directiasi sensul deplasarii (el este legat de lungimea unei bare masurata n cele doua SR). Dacavom considera acum S fix, sistemul S se va misca cu viteza u fata de acesta si y = by.Rezulta b2 = 1 si b = 1. Cum orientarea axelor nu se schimba n urma transformarii,rezulta b = 1 si y = y ; z = z.

Determinam legatura dintre x si x. Pentru un punct oarecare din planul Oyz, x = 0n S si are coordonatele x = ut n S. Polinomul liniar al lui x trebuie sa fie divizibil cux ut, astfel ca

x = (x ut),unde nu depinde de coordonate, ci doar de modulul vitezei u.

Analog,x = (x + ut),

din echivalenta celor doua SR este acelasi n cele doua cazuri (n caz contrar am puteapune n evidenta miscarea SR prin masurarea lungimii unei bare).

La momentul initial originile celor doua SR coincid si ceasurile sunt sincronizate,t0 = 0, t

0 = 0. Presupunem ca n acest moment se emite din origine un semnal luminos

n directia axei comune Ox(Ox). Un punct n care ajunge semnalul are coordonatelex = ct n S si x = ct in S . Aceste coordonate sunt legate prin transformarea de maisus,

ct = (c u)t ; ct = (c+ u)tRezulta

c2 = 2(c2 u2)si

=1

1 u2c2

=1

1 2 cu =u

c

Se obtine

x =x ut1 u2

c2

; x =x + ut

1 u2c2

3

Introducand prima relatie n cea de-a doua, sau invers, se obtine

t =t u

c2x

1 u2c2

; t =t + u

c2x

1 u2c2

Se obtin astfel transformarile Lorentz:

x = xut1u2

c2

y = yz = z

t =t u

c2x

1u2c2

(1.1)

saux = x

+ut1u2

c2

y = y

z = z

t =t+ u

c2x

1u2c2

(1.2)

Pentru u c ( 1) se obtin transformarile Galilei. Conform principiului relativitatii,ecuatiile fizicii sunt invariante la transformarile Lorentz.

1.5.4 Consecinte cinematice ale transformarilor Lorentz

a) Contractia lungimilor

Pentru a masura o lungime trebuie sa determinam coordonatele capetelor lungimii laacelasi moment.

Fie o rigla orientata n lungul axei Ox(Ox). Presupunem ca rigla este n repaus fatade S . Lungimea riglei este l0 = x2 x1 (unde momentele t nu conteaza). Lungimeariglei n S este data de diferentele coordonatelor capetelor la acelasi moment t,

l = x2 x1|tRezulta

l0 =l

1 u2c2

sau

l = l0

1 u

2

c2

Lungimea riglei pe directia de miscare este maxima n SR n care ea este n repaus.Lungimile pe directii perpendiculare pe directia miscarii nu se contracta. Astfel un obiectsferic n SR n care este n repaus, va avea o forma ovala,turtit pe directia miscarii,deoarece lungimile se contracta doar pe directia miscarii. Elementul de volum se schimbala fel ca si x,

dV = dV0

1 u

2

c2

4

b) Dilatarea duratelor

Fie 0 durata unui proces ce se produce n acelasi punct n S. Se poate scrie 0 =

t2 t1, cu x2 = x1. Folosind transformarile Lorentz, rezulta durata procesului n S,

= t2 t1 = 01 u2

c2

Durata unui proces este mai mare masurata ntr-un sistem de referinta n care punctulunde se desfasoara procesul este n miscare, fata de durata procesului n sistemul dereferinta n care acel punct este n repaus.

Cu acest rezultat se vede ca produsul dV dt este invariant la transformarile Lorentz.Unul din primele experimente de verificare a dilatarii duratelor a constat n studiul

dezintegrarii miuonilor, particule produse n atmosfera de catre razele cosmice (primulexperiment Rossi si Hall n 1941).2 Mionii sunt particule instabile care se dezintegreaza nalte particule (electroni, neutrino si antineutrino). Considerand un numar N0 de miuonicu energie joasa (aproximativ n repaus), timpul n care se dezintegreaza jumatate departicule (timp de njumatatire, T1/2, este 0 = 1, 53 106s. Cu aceasta constanta,numarul de miuoni ramasi nedezintegrati dupa timpul t este dat de N = N0e

ln2T1/2

t.

Viteza masurata a miuonilor n SR legat de Pamnt a fost 99, 52% din viteza luminii.Masuratorile au aratat ca pe o diferenta de altitudine de 1908m, populatia se diminueazala 27.5 3%. Aceasta diferenta de altitudine este parcursa n intervalul de timp t =1908m0,9952c

= 6, 39 106s, aproximativ 40. Pentru acest timp, n SR n care miuonii sunt nrepaus numarul de mezoni ramasi este

N = N0e ln 2T1/2

4T1/2= N0

(e ln 2

)4= N0

(1

2

)4= N0

1

16,

adica 6% din cei initiali, ceea ce nu concorda clar cu masuratorile. Dar conform dilatariiduratelor, t n SR al laboratorului corespunde la o durata mai mica n sistemul propiual mezonilor

=

1 u

2

c2t =

1 (0, 9952)2t = 6, 25 107s.

Numarul de mezoni ramas nedezintegrat va fi

N = N0e ln 2T1/2

= N0

(1

2

)0

= N0

(1

2

) 0,6251,53

= N0

(1

2

)0,41= N0 0, 25

adica 25% din cei initiali, n perfect acord cu rezultatul masuratorilor.

Compunerea vitezelor

Diferentiem transformarile Lorentz

dx =dx + udt

1 u2c2

; dy = dy; dz = dz; dt =dt + u

c2dx

1 u2c2

2Prelucrat dupa R. Ferraro - Einsteins Space-Time. An Introduction in Special and General Rela-tivity - Springer, 2007

5

si mpartim variatiile coordonatelor la dt se obtin componentele vitezelor

vx =vx+u

1+vxu/c2

vy =vy 1u2

c2

1+vxu/c2

vz =vz 1u2

c2

1+vxu/c2

(1.3)

Acestea sunt formulele de transformare a vitezelor la trecerea de la un SR la altul.Pentru viteze mici n comparatie cu viteza luminii ele trec n formulele de compunere avitezelor Galilei.

Formulele inverse se obtin mutand accentele si trecand de la u la u. Se obtinvx = vxu

1vxu/c2

vy =

vy

1u2

c2

1vxu/c2

vz =

vz

1u2

c2

1vxu/c2

(1.4)

Daca un corp are vx = c n sistemul de referinta S , care se misca cu viteza u fata de

S, viteza corpului n S va fi vx =c+u

1+u/c= c. Prin compunerea vitezelor nu se obtin viteze

mai mari decat viteza luminii n vid.

Simultaneitatea este relativa

In mecanica newtoniana doua evenimente ce se produc n acelasi moment ntr-unsistem de referinta, vor fi simultane n oricare alt SR. Ordinea temporala a evenimenteloreste, la fel, o caracteristica absoluta, valabila n toate sistemele de referinta.

In mecanica relativista, considerand transformarile Lorentz, se poate scrie

t =t + u

c2x

1 u2c2

Doua evenimente simultane n S , t = 0, nu mai sunt simultane n S daca nu se producn acelasi loc (x = 0). Simultaneitatea depinde de sistemul de referinta.

1.5.5 Spatiul Minkowski. Intervalul relativist

Realitatea fizica este independenta de modul particular n care se alege sistemulde coordonate. In mecanica clasica, coordonatele spatiale si timpul formeaza douavarietati separate, independente. Varietatea spatiala formata cu coordonatele (x,y,z)este un spatiu euclidian cu 3 dimensiuni, n care distanta dintre doua puncte d =

(x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2 este un invariant la rotatii si translatii (transformarileGalilei formeaza un caz particular de translatii) ale coordonatelor. Aceasta structurageometrica a spatiului este independenta de modul particular n care aleg sistemul dereferinta.

Relativitatea restransa schimba radical conceptiile de spatiu si timp. Coordonatelespatiale si cele temporale prin care descriem matematic realitatea fizica nu mai formeazavarietati separate . Coordonatele spatiale si cele temporale formeaza o varietate cu 4

6

dimensiuni, Universul spatiu-timp, care are o structura diferita de cea a spatiului eu-clidian cu 4 dimensiuni. Structura acestei varietati trebuie sa fie invarianta la rotatiispatiale, translatii si transformari Lorentz ale coordonatelor temporale si spatiale. Unpunct al acestei varietati (un eveniment) este determinat de (x,y,z,ct). Evolutia unuipunct material n timp (x(t),y(t),z(t), ct) este reprezentata de o curba n aceasta vari-etate, linia de univers a punctului material. Consideram doua evenimente (x1, y1, z1, ct1),(x2, y2, z2, ct2). Consideram

s2 = (x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2 c2(t1 t2)2 (1.5)

Aceasta cantitate poarta numele de interval relativist dintre cele doua evenimente saucuadriinterval.

Se poate arata direct, folosind transformarile Lorentz, ca s2 este invariant la trans-formarile Lorentz,

s2 = s2

Cuadriintervalul dintre doua evenimente joaca rolul distantei din spatiul 3-dimensional.El nu mai este pozitiv definit ca si distanta din spatiul 3-dimensional. Universul spatiotemporalnzestrat cu distanta dintre evenimente data de cuadriinterval este un spatiu pseudoeu-clidian.

Cuadriintervalele se clasifica n:a) Intervale de tip temporal pentru care s2 < 0.Doua evenimente separate printr-un interval de tip temporal sunt n succesiune tem-

porala absoluta. Aceste evenimente pot fi legate cauzal: exista posibilitatea ca linia deunivers a unei particule sa lege cele doua evenimente. Nu exista un SR n care cele douaevenimente sa fie simultane (n acest caz intervalul relativist ar trebui sa fie s2 > 0, darel este invariant); Exista un SR n care cele doua evenimente sa se produca n acelasi loc.Acest SR este SR propriu al particulei care are linia de univers ce trece prin cele douaevenimente.

b) Intervale de tip spatial pentru care s2 > 0.Nu exista un SR n care aceste evenimente sa se produca n acelasi loc (n acest caz

s2

Acesta hipersuprafata reprezinta un con nUniversul spatiotemporal, cu varful n P. Else numeste hiperconul luminos al lui P. Infigura alaturata este reprezentat un aseme-nea hipercon luand pentru simplificare doardoua axe spatiale. Acest hipercon mparteUniversul n doua regiuni:a) viitorul absolut si trecutul absolut formatdin evenimentele din interiorul conului caresunt separate de P printr-un interval s2 0.Ordinea cauzala a acestor evenimente fata deP este absoluta;

b) regiunea evenimentelor absolut departate este regiunea din afara conului luminos.Aceste evenimente nu pot fi atinse din P prin niciun semnal fizic (ar trebui sa se propagecu o viteza mai mare decat viteza luminii). Ele nu pot fi legate cauzal de P. Ordineatemporala fata de P poate fi schimbata prin schimbarea SR.

1.6 Impulsul si masa n relativitatea restransa

Dorim sa pastram definitia impulsului ~p = m~v si valabilitatea legii conservarii impul-sului n sisteme izolate. Vom vedea ca acest lucru nu se poate realiza decat daca masaeste dependenta de viteza corpului. Masa corpului n SR n care acesta este n repauso numim masa de repaus, m0. Impulsul se conserva admitand legatura dintre forta sivariatia impulsului aceeasi ca n mecanica clasica

~F =d~p

dt

Masa corpului poate fi dependenta de modulul vitezei corpului (SR inertiale sunt echiva-lente). Consideram ciocnirea perfect elastica a doua bile identice (adica au aceeasi masacand modulul vitezei este acelasi)

1 + 2 1 + 2

Consideram SR S n care cele doua bile au viteze egale n modul si de semn opus (v. fig.partea a)). Prin ciocnirea elastica a doua bile cu viteze egale si de sens opus impulsultotal al sistemului este zero nainte si dupa ciocnire. Dupa ciocnire particulele si schimbavitezele pe directia y, n timp ce pe directia x vitezele raman neschimbate.

8

In SR S , care se deplaseaza fata de S cu viteza vx, ciocnirea este prezentata npartea b) a figurii. Folosind formulele relativiste de compunere a vitezelor se pot scriecomponentele vitezelor n SR S nainte si dupa ciocnire. Acestea sunt trecute n tabelulurmator.

Inainte ciocnire Dupa ciocnireBila 1 0 , vy

1v2x/c20 , vy

1v2x/c2

Bila 2 2vx1+v2x/c

2 , vy

1v2x/c21+v2x/c

22vx

1+v2x/c2 ,

vy

1v2x/c21+v2x/c

2

Conservarea impulsului pe directia axei Oy duce la ecuatia

m1vy1 v2x/c2

m2vy

1 v2x/c21 + v2x/c

2= m1vy

1 v2x/c2+m2vy

1 v2x/c2

1 + v2x/c2

de unde

m2 = m11 + v2x/c

2

1 v2x/c2.

Aceasta relatie este valabila pentru orice viteze. La limita vy > 0, m1 devine masa derepaus m0, iar m2 = m(v), unde v =

2vx1+v2x/c

2 . Cu aceasta viteza

1 + v2x/c2

1 v2x/c2=

11 v2

c2

Dependenta masei de viteza se poate scrie atunci

m =m01 v2

c2

, (1.6)

iar a impulsului

~p = m~v =m0~v1 v2

c2

9

Cand v > c masa tinde catre infinit. Astfel un corp cu masa de repaus diferita de zeronu poate fi accelerat la viteze mai mari decat viteza luminii. Exista particule care semisca cu o viteza egala cu viteza luminii (fotonii). In orice SR viteza lor este c. Spunemca masa lor de repaus este zero, desi nu exista un SR n care aceste particule sa fie nrepaus, pentru ca impulsul n relatia de mai sus sa fie finit. Astfel, c este viteza maximaa particulelor cunoscute si a semnalelor (care au nevoie de un suport fizic pentru a puteafi transmise).

1.7 Echivalenta masa si energie

Lucrul mecanic al fortei care actioneaza asupra punctului material de masa de repausm0 este egal cu variatia energiei cinetice. Calculam lucrul mecanic

dW = ~F d~r = d~pdt d~r = d

dt(m~v) ~vdt = d (m~v) ~v = v2dm+m~v d~v.

Dar, din dependenta masei de viteza rezulta

dm =mvdv

c2 v2 =m~v d~vc2 v2 ,

astfel cadW = v2dm+ (c2 v2)dm = d(mc2).

Rezulta variatia energiei cinetice

d(Ec) = dW = d(mc2)

De undeEc = mc

2 + E0

Conditia ca energia cinetica sa fie zero n repaus da E0 = m0c2. DeciEc = mc

2 m0c2

Dependenta de viteza a energiei cinetice este

Ec =m0v1 v2

c2

m0c2

Pentru viteze mici (v/c