proiect statistica (2)m

Proiectul de statistică “Utilizarea sondajului în caracterizarea fenomenelor economico-sociale”

Iovu Marcela

Universitatea Creștină Dimitrie Cantemir

Facultatea Management Turistic și Comercial

UTILIZAREA SONDAJULUI ÎN CARACTERIZAREA

FENOMENELOR ECONOMICO-SOCIALE

Titular disciplină:

Conf. univ. dr. Emilia Gogu

Iovu Marcela, gr. V

Bucuresti, 2015

Pag. 1 din 30


Iovu Marcela

Proiectul de statistică

“UTILIZAREA SONDAJULUI ÎN CARACTERIZAREA FENOMENELOR

ECONOMICO-SOCIALE”

TEMA PROIECTULUI:

Un agent economic dispune de o reţea de unităţi economice cu profilul alimentaţie

publică în care sunt angajaţi 500 de vânzători.

Pentru cei 500 de vânzători, consideraţi ca o colectivitate generală s-a întocmit o bază

de sondaj. Înscrierea în baza de sondaj a vânzătorilor s-a făcut în ordine alfabetică, ceea ce

constituie un criteriu aleator şi li s-a dat un cod (nr. crt.)

Considerând cei 500 de vânzători ca formând o colectivitate statistică, se cere:

1. să se extragă printr-un procedeu de sondaj un eşantion de 60 de unităţi şi să se centralizeze

nivelurile individuale ale fiecăreia din variabilele prezentate potrivit conţinutului lor;

2. să se grupeze datele înregistrate la punctul precedent folosind grupările simple pentru toate

caracteristicile înregistrate pe intervale egale şi neegale (se vor folosi minim 8 grupe pentru

intervale egale şi minim 3 grupe pentru intervale neegale) şi să se centralizeze datele

condiţionate de grupările folosite. Să se reprezinte grafic seriile obţinute;

3. să se calculeze toate mărimile relative posibile;

4. să se calculeze indicatorii tendinţei centrale, indicatorii variaţiei şi ai asimetriei pentru

variabilele înregistrate;

5. să se aplice metoda corelaţiei şi regresiei pentru datele din eşantion. Să se măsoare gradul de

intensitate al corelaţiei. Pentru date negrupate se vor lua în calcul primele 10 unităţi din

eşantion, la care se vor calcula şi coeficienţii de corelaţie a rangurilor.

Pag. 2 din 30


Iovu Marcela

REZOLVARE:

1. Din baza de sondaj se extrage un eşantion format din 60 de vânzători. La extragere vorm

utiliza procedeul selecției mecanice cu pasul de numărare:

k=Nn

în care: N - volumul colectivităţii generale

n – volumul eşantionului

k=Nn

=50060

=8 , 33≈8

Ca primă unitate de eșantionare vom utiliza ultimele două cifre ale numărului matricol

personal (89).

Tabelul 1

Nr. crt SexVârsta Zile

lucrateOre

lucrate

Valoarea încasărilor

Salariul brut lunar

(ani) lunare(lei) (lei)1. (89) F 26 17 135 11050 23622. (97) F 24 23 193 15525 3377

3. (105) F 26 17 135 11050 2362 4. (113) M 24 22 192 15620 3360 5. (121) M 21 21 150 11550 2625 6. (129) F 27 20 163 13200 2852 7. (137) M 25 21 173 15540 3027 8. (145) F 23 22 182 17160 3185 9. (153) F 27 20 163 13200 285210.(161) F 19 17 140 12325 220011. (169) M 22 24 211 18960 3692

12. (177) F 22 17 147 11900 257213. (185) F 24 22 158 15400 276514. (193) F 19 17 140 12325 220015. (201) F 23 24 183 16800 320216. (209) F 22 17 147 11900 257217. (217) F 22 17 147 11900 2572

Pag. 3 din 30


Iovu Marcela

18. (225) M 23 18 166 12510 290519. (233) M 23 18 142 11880 248520. (241) F 20 19 165 15200 288721. (249) M 23 22 187 14960 327222. (257) F 24 22 158 15400 276523. (265) M 21 22 196 16500 343024. (273) F 21 23 191 17940 334225. (281) F 19 17 140 12325 220026. (289) F 26 23 180 17250 315027. (297) M 24 22 179 16390 313228. (305) M 19 18 160 13410 280029. (313) M 24 22 192 15620 336030. (321) M 25 21 173 15540 302731. (329) F 19 18 150 13410 262532. (337) F 24 21 175 14760 306233. (345) F 20 19 165 15200 288734. (353) F 22 21 190 15645 332535. (361) F 25 23 178 18170 311536. (369) F 21 24 184 16590 294437. (377) F 24 21 175 14760 306238. (385) F 22 17 147 11900 257239. (393) M 23 22 176 15620 308040. (401) M 24 18 141 13140 246741. (409) F 22 17 147 11900 257242. (417) F 20 21 157 15645 274743. (425) F 21 21 170 16800 297544. (433) F 23 22 176 16060 308045. (441) M 25 23 184 13800 322046. (449) F 25 23 178 18170 311547. (457) M 24 18 141 13140 246748. (465) M 21 22 196 16500 343049. (473) M 25 21 173 15540 302750. (481) F 22 21 190 15645 332551. (489) M 20 20 153 13000 267752. (497) F 27 20 163 13200 2852

Pag. 4 din 30


Iovu Marcela

53. (01) F 26 23 180 17250 315054. (13) F 20 22 157 14520 274755. (21) F 19 18 146 14400 2555

56. (29) M 22 24 211 18960 369257. (37) F 25 23 178 18170 311558. (45) F 26 17 135 11050 236259. (53) M 23 18 166 12510 2905

60. (61) F 20 23 170 18400 2975Total - 1368 1226 10040 884185 174659

Interpretare: Cei 60 de vânzători extraşi din baza de sondaj ne oferă pentru început

următoarele informaţii: au lucrat în total într-o lună 1226de zile – 10040de ore; realizând o

valoare a încasărilor de 884185 lei. Iar fondul de salariu în această lună pentru cei 60 de

vânzători a fost 174659lei.

2. Gruparea datelor înregistrate

2.1. Gruparea pe intervale de variaţie egale

Gruparea pe intervale egale implică următoarele etape:

a) calculul amplitudinii absolute de variaţiei (A) care exprimă împrăştierea maximă a valorilor

serei.

Axa = Xmax – Xmin

Observaţie: Dacă variaţia este foarte mică (în cazul nostru Axa 10) se va forma o distribuţie pe

variante (valabil în cazul caracteristicilor: vârsta; zile lucrate).

b) stabilirea în parametrii într-un anumit număr de grupe (r) se poate stabili astfel:

dacă variaţia caracteristicii este relativ uniformă şi volumul de unităţi nu este suficient de

mare numărul de grupe se poate fixa anterior (din cerinţele proiectului se vor folosi

minimul 8 grupe pentru intervale egale);

iar dacă numărul grupelor nu este anterior cunoscut şi volumul unităţilor este suficient de

mare se recomandă stabilirea grupelor conform relaţiei lui Sturgers,

r = 1+3,322log n

Pag. 5 din 30


Iovu Marcela

unde: n - nr. caracteristicilor.

b) determinarea mărimii intervalului de grupare (h), se calculează ca raport între amplitudinea

absolută a variaţiei şi numărul de grupe:

h=A A

X

r sau h=

xmax−xmin

1+3 , 222 log n

Notă: Mărimea intervalului (h) se rotunjeşte la întreg în plus (ex.3,254)

Prima grupă se porneşte de la xmin adăugându-se succesiv mărimea intervalului de grupare

(h) rezultat din calculul anterior. Valoarea din stânga intervalului va fi considerată ca limită

inferioară, iar valoarea din dreapta ca limită superioară. Valorile care formează limitele

intervalelor se înregistrează fie numai ca limită superioară fie ca limită inferioară pentru a evita

înregistrări duble a caracteristicilor.

Analog se rezolvă pentru orice variabilă.

2A. Gruparea pe intervale egale avânzătorilor după vârstă

a) amplitudinea variaţiei Axa = Xmax – Xmin= 27 – 19 = 8

Repartiţia vânzătorilor după vârstă(Tabelul 2)

Vârsta

(ani)

Nr.

vânzători

Valori centralizate pentru:

Zile lucrate Ore lucrateValoarea încasărilor

(lei )

Fondul de salariu

lunar (lei)

19 6 105 876 78195 14580

20 6 124 967 91965 16920

21 6 133 1087 95880 18746

22 9 175 1537 128710 26894

23 8 166 1378 117500 24114

24 10 211 1704 149755 29817

25 7 155 1237 114930 21646

26 5 97 765 67650 13386

27 3 60 489 39600 8556

TOTAL 60 1226 10040 884185 174659

Pag. 6 din 30


Iovu Marcela

Reprezentarea grafică a repartiţiei vânzătorilor după vârstă se poate ilustra prin poligonul

frecvenţelor (Figura 1) şi curba cumulativă a frecvenţelor (Figura 2).

1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

6 6 6

98

10

7

5

3

Repartiția vânzătorilor după vârstă

Vârsta (ani)

Nr.

vânz

ător

i

Figura 1. Repartiția vânzătorilor după vârstă

Frecvențele cumulate crescător și descrescător (Tabel 3)

VârstaNr. vânzători

Frecvențe cumulate(ani) crescător descrescător19 6 6 6020 6 12 5421 6 18 4822 9 27 4223 8 35 3324 10 45 2525 7 52 1526 5 57 827 3 60 3

TOTAL 60 - -

Pag. 7 din 30


Iovu Marcela

19 20 21 22 23 24 25 26 270

10

20

30

40

50

60

70

612

18

2735

4552

57 606054

4842

3325

158

3

Curba cumulativă a frecvențelor

Vârsta

Frec

venț

e cu

mul

ative

Figura 2. Curba cumulativă a frecvențelor

2B. Gruparea pe intervale egale a vânzătorilor după zile lucrate

Amplitudinea variaţiei Axa = Xmax – Xmin= 24 – 17 = 7

Repartiţia vânzătorilor după numărul zilelor lucrate (Tabelul 4)

Zile

lucrate

Nr.

vânzători


Ore lucrate Valoarea încasărilor

lunare (lei )

Fondul de salariu

lunar (lei)

17 11 1560 129625 26546

18 8 1212 104400 21209

19 2 330 30400 5774

20 4 642 52600 11233

21 10 1726 151425 30202

22 12 2149 189750 37606

23 9 1632 154675 28559

24 4 789 71310 13530

TOTAL 60 10040 884185 174659

Reprezentarea grafică a repartiţiei vânzătorilor după zilele lucrate, se poate ilustra prin

poligonul frecvenţelor (Figura 3) şi prin curba cumulativă a frecvenţelor (Figura 4).

Pag. 8 din 30


Iovu Marcela

17 18 19 20 21 22 23 240

2

4

6

8

10

12

14

11

8

2

4

10

12

9

4

Repartiția vânzătorilor pe zile lucrate

Zile lucrate

Nr.

vânz

ător

i

Figura 3. Repartiția vânzătorilor după zile lucrate

Frecvențe cumulate crescător și descrescător (Tabel 5)

Zilelucrate

Nr.vânzatori

Frecvente cumulate

crescator descrescator

17 11 11 60

18 8 19 49

19 2 21 41

20 4 25 39

21 10 35 35

22 12 47 25

23 9 56 13

24 4 60 4

Total 60 - -

Pag. 9 din 30


Iovu Marcela

17 18 19 20 21 22 23 240

10

20

30

40

50

60

70

11

19 2125

35

47

566060

49

41 3935

25

13

4


Zile lucrate

Frec

venț

e cu

mul

ative


2C. Gruparea pe intervale egale avânzătorilor după ore lucrate

a) Amplitudinea variaţiei Axa = Xmax – Xmin= 211 – 135 = 76

b) Nr de grupe r = 8

c) Mărimea intervalului h=

A AX

r= 76

8 = 9,5 10

Centralizarea valorilor după orele lucrate se obţine astfel:

Repartiţia vânzătorilor după numărul de ore lucrate(Tabelul 7)

Grupe după nr. ore

lucrate

Nr.

vânzători


Zile

lucrate


lunare

Fondul de salariu

lunar (lei)

135 – 145 9 1249 123895 21105

145 – 155 9 1334 124020 23342

155 – 165 10 1609 151255 28154

165 – 175 9 1541 139695 26847

175 – 185 12 2158 178215 37606

Pag. 10 din 30


Iovu Marcela

185 – 195 7 1335 106975 23361

195 - 205 2 392 29220 6860

205 - 215 2 422 30910 7384

Total 60 10040 884185 174659

Nota: Limita superioară inclusă în interval.

Reprezentarea grafică a repartiţiei vânzătorilor după numărul de ore lucrate, se poate

ilustra prin histogramă, poligonul frecvenţelor (Figura 5) şi prin curba cumulativă a frecvenţelor

(Figura 6).

135 – 145 145 – 155 155 – 165 165 – 175 175 – 185 185 – 195 195 - 205 205 - 2150

2

4

6

8

10

12

14

9 910

9

12

7

2 2

Repartiţia vânzătorilor după numărul de ore lucrate

Nr. de ore lucrate

Nr.

vânz

ător

i

Figura 5. Repartiția vânzătorilor după numărul de ore lucrate

Frecvențe cumulate crescător și descrescător (Tabel 8)

Grupe după nr. ore lucrate

Nr. vânzători

Frecvențe cumulate

crescător descrescător

135 – 145 9 9 60145 – 155 9 18 51155 – 165 10 28 42165 – 175 9 37 32

Pag. 11 din 30


Iovu Marcela

175 – 185 12 49 23185 – 195 7 56 11195 - 205 2 58 4205 - 215 2 60 2

Total 60 - -

135 – 145 145 – 155 155 – 165 165 – 175 175 – 185 185 – 195 195 - 205 205 - 2150

10

20

30

40

50

60

70

9

18

28

37

49

56 58 6060

51

42

32

23

11

4 2


Nr. de ore lucrate

Frec

venț

e cu

mul

ative


2D. Gruparea pe intervale egale a vânzătorilor după salariul brut lunar

a) Amplitudinea variaţiei Axa = Xmax – Xmin= 3692 – 2200 = 1492

b) Nr de grupe r = 8

c) Mărimea intervalului h=

A AX

r= 1472

8 = 186,5 187

Pag. 12 din 30


Iovu Marcela

Repartiţia vânzătorilor în funcţie de salariul brut lunar (lei) (Tabelul 9)

Grupe după salariul brut

lunar

Nr.

vânzători


Zile

lucrateOre lucrate


lunare (lei )

2200 – 2387 6 968 77995 13686

2387 – 2574 9 1497 133610 22834

2574 – 2761 5 767 63390 13421

2761 – 2948 11 1906 168745 31414

2948 – 3135 13 2181 196190 39792

3135 – 3322 6 1062 92795 19179

3322 – 3509 8 1323 120550 26949

3509 – 3696 2 336 30910 7384

Total 60 10040 884185 174659

Nota: Limita superioară inclusă în interval.

Reprezentarea grafică a repartiţiei vânzătorilor după salariul brut lunarse poate ilustra

prin histogramă (Figura 9) şi curba cumulativă a frecvenţelor (Figura 10) .

2200 – 2387

2387 – 2574

2574 – 2761

2761 – 2948

2948 – 3135

3135 – 3322

3322 – 3509

3509 – 3696

0

2

4

6

8

10

12

14

6

9

5

11

13

6

8

2

Repartiția vânzătorilor în funcție de salariul brut lunar

Salariul brut lunar

Nr.

vânz

ător

i

Figura 9.Repartiția vânzătorilor în funcție de salariul brut lunar

Frecvențe cumulate crescător și descrescător (Tabelul 10)

Grupe după Nr. vânzători Frecvențe cumulate

Pag. 13 din 30


Iovu Marcela

salariul brut lunar crescător descrescător

135 – 145 9 6 60145 – 155 9 15 54155 – 165 10 20 45165 – 175 9 31 40

175 – 185 12 44 29185 – 195 7 50 16195 - 205 2 58 10

205 - 215 2 60 2Total 60 - -

2200 – 2387

2387 – 2574

2574 – 2761

2761 – 2948

2948 – 3135

3135 – 3322

3322 – 3509

3509 – 3696

0

10

20

30

40

50

60

70

615

20

31

4450

58 606054

4540

29

1610

2


Salariul brut lunar

Frec

venț

e cu

mul

ate


2.2. Gruparea vânzătorilor pe intervale neegale

Gruparea pe intervale egale ne-a permis structurarea colectivităţii pe grupe cât mai

omogene. De asemenea, după cum s-a observat gruparea statistică este cea mai semnificativă

modalitate a sistematizării datelor după o caracteristica numerică sau nominativă.

Sistematizarea datelor printr-o grupare pe intervale egale răspunde în primul rând

necesităţii de sistematizare şi omogenizare a datelor unei observaţii statistice de masă şi a

caracterizării independente a fiecărei variabile din propria observare .

Pag. 14 din 30


Iovu Marcela

Pentru analiza structurii colectivităţii pe grupe tipice se foloseşte gruparea pe intervale

neegale.

Gruparea pe intervale neegale presupune regruparea intervalelor egale.

Un prim principiu al grupării pe intervale neegale este trecerea de la variaţia liniară

(interval de mărime constantă) la variaţia neuniformă a unor intervale de grupare din ce în ce mai

mari. De exemplu, de la 8 grupe se poate trece la 5 grupe Analizând situaţia concretă se pot

păstra primele 3 grupe, grupa a patra de obţine cumulând-o cu grupa a cincia, iar ultimele trei

grupe se pot cupla. În cazul acesta se poate trece de la grupe pe variante la grupe pe intervale.

Un alt principiu de grupare are în vedere separarea unităţilor pe trei grupe: mici, mijlocii şi

mari, se porneşte de la nivelul mediu al caracteristicii, care se calculează ca o medie aritmetică

simplă sau ponderată pentru fiecare variabilă în parte:

x=∑i=1

n

x i

n sau

x=∑i=1

n

x i ni

∑i=1

n

ni

unde : xi - variabila

n – numărul unităţilor înregistrate (în cazul nostru n=60 sau dacă nu

avem datele iniţiale folosim media seriei în care, xi sunt valorile sau

centrele de interval şi cu frecvenţele seriei)

Algoritmul de stabilire a celor 3 grupe cu intervale neegale este următorul:

în grupa a II-a sunt cuprinse grupa care conţine nivelul mediu al variabilei şi intervalele

învecinate cu acesta;

grupa I-a este formată limita inferioară a primului interval şi limita inferioară a intervalului

II, iar

a III-a grupa intre limita superioară a intervalului II şi limita superioară a ultimului interval

de grupare.

2.2.A. Gruparea pe intervale neegale a vânzătorilor după vârstă

Nivelul mediu

Pag. 15 din 30


Iovu Marcela

x=∑i=1

n

x i

n=

136860 = 22,8 23 ani / vânzător

Tabelul 11

Grupe după

vârstă (ani)

Nr.

vânz.


Zile

lucrate

Ore

lucrate

Valoarea

încasărilor

(lei )

Fondul de

salariu

(lei)

Calificativul

19-22 27 544 4463 385760 77345 Cei mai tineri

22-24 18 369 3040 267970 52920 Tineri

24-27 15 313 2537 230455 44394 Mai puțin tineri

Total 60 1226 10040 884185 174659 -

3. Calculul mărimilor relative de structură

Din cele 5 mărimi relative întâlnite în statistică, în proiectul de faţă se pot determina trei:

3.1. Mărimile relative de structură se obţin ca raport între parte şi întreg. Forma cea mai

obişnuita de exprimare a mărimilor relative de structură este cea a procentelor care arată câte

unităţii din indicatorul raportat revin la 100 unităţi ale indicatorului bază de raportare. Se pot

calcula atât pe baza frecvenţelor absolute şi în acest caz au sens de frecvenţe relative (ni¿

)

ni (% )¿ =

ni

∑i=1

k

ni

⋅100

cât şi pe baza valorilor centralizate privind : vârsta, zilele lucrate, orele lucrate, volumul

desfacerilor şi salariul net, obţinându-se în acest caz pondereasaugreutatea specifică(gi ) a unei

valori (x i ) în totalul valorilor colectivităţii (∑i=1

n

x i):

gi(% )=xi

∑i=1

n

xi

⋅100

Pag. 16 din 30


Iovu Marcela

3.2. Mărimile relative de coordonare se obţin ca raport între două grupe sau între două

colectivităţi ce coexistă în spaţiu.

Pentru o colectivitate împărţită în două grupe pentru care nivelul pe grupe al variabilei

studiate este xA şi xB :

K A /B=x A

xB sau =

x B

x A¿

Dacă sunt mai multe grupe, se alege una ca bază de comparaţie şi se raportează, pe rând,

fiecare grupă la baza aleasă.

3.3. Mărimile relative de intensitate se obţin prin raportarea a doi indicatori cu conţinut

diferit dar între care există o relaţie de interdependenţă.

la nivel parţial: x i=

y i

zi ; la nivelul ansamblului: x=

∑ y i

∑ zi

3.A. Calculul mărimilor relative pe baza repartiţiei vânzătorilor după vârstă.

Repartiţia timpului lucrat (în zile şi ore), a valorii desfacerii şi a fondului de salarii şi a

structurii acestora în funcţie de vârstă

Tabelul 12

Intervalul de

variaţie al

vârstei

Calificativul

Mărimi relative de structură %

Frecvenţe

relative

ni¿

gi

Zile lucr Ore lucr Val. desf Fond

salariu

19 - 22 Cei mai tineri 45 44,4 44,5 43,6 44,3

22 - 24 Tineri 30 30,1 30,2 30,3 30,3

24 - 27 Mai puțin tineri 24 25,5 25,3 26,1 25,4

Total - 100 100 100 100 100

Interpretare: Cei mai tineri alcătuiesc 45% din totalul angajaţilor, lucrează 44,4% respectiv

44,5% din totalul zilelor şi orelor lucrate, realizează 43,6% din valoarea încasărilor şi primesc

44,3% din fondul de salarii.

Pag. 17 din 30


Iovu Marcela

4. Caracterizarea statistică a repartiţiilor obţinute

Caracterizarea statistică în cazul dat se referă la determinarea:

a) Indicatorilor tendinţei centrale:

Media aritmetică

x=∑i=1

k

xi ni

∑i=1

k

ni

Modul (modulul, dominanta)

Mo=x0+hΔ1

Δ1+Δ2 Mediana (Me)

Me=x0+h⋅

∑i=1

k

ni+1

2−∑

i=1

m−1

n i

nm

b) Indicatorii sintetici ai variaţiei şi ai asimetriei:

Abaterea medie liniară( d ) :

d=∑i=1

k

|x i− x| ni

∑i=1

k

ni

Dispersia σ2

σ 2=∑i=1

k

(x i− x )2ni

∑i=1

k

ni

Abaterea medie pătratică σ

σ=√σ2

Coeficientul de variaţie (v):

Pag. 18 din 30


Iovu Marcela

v'= dx⋅100

respectiv v= σ

x⋅100

Coeficientul de asimetrie

Cas=x−Mo

σ sau Cas

' =3( x−Me )

σ

4.A. Repartiţia vânzătorilor după vârstă (Tabelul 13)

Vârsta

(ani)

Nr,

vânzătorixini

Frecvenţe cumulate

crescător(x i− x)2 ni

19 6 114 6 94,57

20 6 120 12 52,93

21 6 126 18 23,28

22 9 198 27 8,47

23 8 184 35 0,0072

24 10 240 45 10,61

25 7 175 52 28,85

26 5 130 57 45,90

27 3 81 60 48,72

TOTAL 60 1368 - 313,34

a) Calculul indicatorilor tendinţei centrale:

Media aritmetică

x=∑i=1

k

x i ni

∑i=1

k

ni

= 136860

= 22,97 ani/ vânzător

Modul (modulul, dominanta)

Fiind o serie pe variante Modul este valoarea cu frecvenţa maximă

Mo=23 ani / vânz Mediana (Me)

Pag. 19 din 30


Iovu Marcela

locul medianei: U ( Me )=

∑i=1

k

ni+1

2=60+1

2=30 ,5

Variabila 23 ani este prima a cărei frecvenţă cumulată crescător este mai mare de 30,5.

b) Calculul indicatorii sintetici ai variaţiei şi ai asimetriei

Dispersia σ2

σ 2=∑i=1

k

(x i− x )2 ni

∑i=1

k

ni

= 313,460

= 5,22 ani/vânzător


σ=√σ2= √5,22 = 2,28 ani/vânzător


v= σx⋅100= 2,28

22,97∗100 = 9,93 %

v` şi v< 35% - seria este omogenă şi media este reprezentativă pentru serie


Cas=x−Mo

σ= 22,97−23

2,28 = -0,01

sau Cas

' =3( x−Me )

σ= 3(22,97−30,5)

2,28 = - 9,90

Rezultă asimetrie negativă foarte moderată

4.C. Repartiţia vânzătorilor după orele lucrate (Tabelul 14)

Pag. 20 din 30


Iovu Marcela

Grupe după ore

lucrate

Nr,

Vânz.

Centrul

intervalului

xi

xini

Frecvenţe

cumulate

crescător(x i− x)2 ni

135 – 145 9 140 1260 9 6806,25

145 – 155 9 150 1350 18 2756,25

155 – 165 10 160 1600 28 562,5

165 – 175 9 170 1530 37 56,25

175 – 185 12 180 2160 49 1875

185 – 195 7 190 1330 56 3543,75

195 - 205 2 200 400 58 2112,5

205 - 215 2 210 420 60 3612,5

Total 60 - 10050 - 21325


Media aritmetică

x=∑i=1

k

x i ni

∑i=1

k

ni

=. 1005060

= 167,5 ore/ vânzător

Modul

Locul Mo - intervalul cu frecvenţa maximă (165 – 175)

Mo=x0+hΔ1

Δ1+Δ2=.

165 + 10 9−10

(9−19 )+(9−12) = 43,7 ore/ vânzător

Mediana (Me)


∑i=1

k

ni+1

2=60+1

2=30 ,5

Deci intervalul (165 - 175) este primul interval a cărei frecvenţă cumulată crescător este mai

mare de 30,5.

Pag. 21 din 30


Iovu Marcela

Me=x0+h⋅

∑i=1

k

ni+1

2−∑

i=1

m−1

n i

nm = 165+ 10

30,5−289

= 49


Dispersia σ2

σ 2=∑i=1

k

(x i− x )2 ni

∑i=1

k

ni

= 2132560

= 355,42


σ=√σ2=√355,42 = 18,85 ore/vânzător


v= σx⋅100= 18,85

167,5 * 100 = 11,25 %



Cas=x−Mo

σ= 167,5−43,72

18,85 = 6,58

Cas' =

3( x−Me )σ

= 3(167,5−49)18,85 = 18,87

Rezultă asimetrie pozitivă.

Pag. 22 din 30


Iovu Marcela

4. E. Repartiţia vânzătorilor după salariu brut (lei) (Tabelul 15)

Grupe după

salariul brut

lunar

Nr,

vânz.

Centrul

intervalului

xi

xini

Frecvenţe

cumulate

crescător

|x i− x|ni (x i− x)2 ni

2200 – 2387 6 2293,5 13761 6 3665,22 2238972,94

2387 – 2574 9 2480,5 22324,5 15 3814,83 1616991,99

2574 – 2761 5 2667,5 13337,5 20 1184,35 294929,18

2761 – 2948 11 2854,5 31399,5 31 584,57 27357,19

2948 – 3135 13 3041,5 39539,5 44 1431,69 244460,28

3135 – 3322 6 3228,5 19371 50 1944,78 630361,54

3322 – 3509 8 3415,5 27324 58 4089,04 2090031,02

3509 – 3696 2 3602,5 7205 60 1396,26 974770,99

Total 60 - 174262 - 18110,74 8117875


Media aritmetică

x=∑i=1

k

x i ni

∑i=1

k

ni

= 17426260

=2904,37 lei/vânzător

Modul

Locul Mo - intervalul cu frecvenţa maximă (2948-3135)

Mo=x0+hΔ1

Δ1+Δ2 = 2948 + 187 13−11

(13−11 )+(13−6) = 689,7mii lei/vânzător

Mediana (Me)


∑i=1

k

ni+1

2=60+1

2=30 ,5

Pag. 23 din 30


Iovu Marcela

prin urmare intervalul (2948-3135) este primul interval a cărei frecvenţă cumulată crescător este

mai mare de 30,5.

Me=x0+h⋅

∑i=1

k

n i+1

2−∑

i=1

m−1

ni

nm

= 2948 + 187

30,5−3113

= -125,4


Dispersia σ2

σ 2=∑i=1

k

(x i− x )2 ni

∑i=1

k

ni

= 811787560

= 135297,92


σ=√σ2=√135297,92 = 367,83 mii lei/vânzător


v= σx⋅100= 367,83

2904,37 * 100 = 1,66 %



Cas=x−Mo

σ= 2904,37−689,7

367,83 = 6,02

Cas' =

3( x−Me )σ

= 3 (2904.37 )−(−125,4)367,83 = 24,71

Rezultă asimetrie pozitivă.

Pentru interpretarea rezultatelor se vor trece indicatorii obţinuţi într-un tabel sintetic (Tabelul 16)

Pag. 24 din 30


Iovu Marcela

Indicatori Vârsta Ore lucrate

Salariul brut lunar (lei)

Media aritmetică 22,97 167,5 2904,37Dispersie 5,22 355,42 135297,92

Abaterea medie pătratică 2,28 18,85 367,83

Coeficientul de variaţie % 9,93 11,25 24,71

5. Analiza corelaţiei dintre numărul de ore şi salariu brut lunar

5.1 Corelaţia liniară simplă (date negrupate)

Se aplică pentru primele 10 unităţi din eşantion, privind numărul de ore lucrate (xi) şi salariul

brut lunar (yi) - lei. Seria se va ordona crescător după numărul de ore lucrate (xi) menţinându-se

salariul brut lunar (yi) corespunzător.

Dintre metodele simple de cercetare a legaturilor statistice recurgem la :

A) Metoda seriilor paralele interdependente (Tabelul 17);

Nr.

crt

Ore lucrate

(xi)

Salariul brut lunar

(lei) (yi)

1. 135 2263

2. 135 2362

3. 140 2200

4. 150 2625

5. 163 2852

6. 163 2852

7. 173 3027

8. 182 3185

9. 192 3360

10. 193 3377

Concluzie: Valorile xi fiind ordonate crescător se poate observa că şi valorile yi cresc în cea mai

mare parte, ceea ce sugerează o legătură directă.

B) Metoda grafică este o altă cale de a stabili legătura dintre fenomene.

Pag. 25 din 30


Iovu Marcela

Pentru a obţine graficul de corelaţie, denumit şi corelograma, valorile caracteristicii factoriale

(xi) sau intervalele acesteia se trec pe abscisa, iar pe ordonate valorile caracteristicii rezultative

(yi) sau intervalele respective. Fiecare unitate observată a celor două caracteristici se reprezintă

grafic printr-un punct.

1 3 5 1 3 5 1 4 0 1 5 0 1 6 3 1 6 3 1 7 3 1 8 2 1 9 2 1 9 30

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Corelaţia dintre salariul brut lunar şi orele lucrate

Figura 11. Corelația dintre salariul brut lunar și orele lucrate

Graficul de asemenea confirmă o legătură directă de formă liniară.

Metoda grafica este utilizată cu bune rezultate pentru alegerea funcţiei analitice care se

studiază (y = 19.876x - 425.62 în cazul regresiei şi corelaţiei)

Metodele de studiere a legaturilor prezentate anterior au ca deficienţă principală faptul că

deşi permit constatarea legăturii şi caracterul ei, nu o pot măsura printr-un indicator sintetic.

Acest inconvenient este înlăturat prin utilizarea metodei regresie.

Metoda regresiei constituie o metoda statistică analitică de cercetare a legăturii dintre

variabile cu ajutorul unor funcţii denumite funcţii de regresie.

Notând cu Y variabile dependenta şi cu x1 , x2 ... xn variabilele independente obţinem

ecuaţia de regresie y = f (x1 , x2 ... xn).

În cazul de fata am apelat la modelul de regresie unifactorială liniar considerând legătura

dintre y şi x de tipul yxi = a +bxi. Parametri ecuaţiei în acest caz se determină prin rezolvarea

următorului sistem de ecuaţii:

Pag. 26 din 30


Iovu Marcela

{na+b∑ x i=∑ y i¿ ¿¿¿Dacă se foloseşte metoda determinanţilor se obţine:

a=

| ∑ y i ∑ x i

∑ x i y i ∑ xi2|

| n ∑ x i

∑ x i ∑ x i2|

=∑ y i∑ x i

2−∑ x i y i∑ xi

n∑ x i2−(∑ x i )

2

b=

|n ∑ yi

∑ x i ∑ x i y i

|

|n ∑ xi

∑ xi ∑ xi2|

=n∑ xi y i−∑ xi∑ y i

n∑ x i2−(∑ x i )

2

Datele necesare calculării celor doi parametri sunt prezentate în Tabelul 36

a= - 340,61

b= 19,38

Funcţia de regresie este: Yxi=i

Valorile funcţie de regresie se obţin înlocuind xi cu valorile empirice.

Parametrul b=19,38 se interpretează astfel: creşterea numărului de ore cu o unitate, ar determinat

o creştere a salariului net, în medie cu 19,38 lei.

Tabelul 18

Nr ctr. xi yi x i2 xiyi Yxi= - 340,61+18,38xi

1. 135 2263 18225 305505 2140, 69

2. 135 2362 18225 318870 2140, 69

3. 140 2200 19600 308000 2232,59

4. 150 2625 22500 393750 2416,39

5. 163 2852 26569 464876 2655,33

6. 163 2852 26569 464876 2655,33

7. 173 3027 29929 523671 2839,13

8. 182 3185 33124 579670 3004,55

Pag. 27 din 30


Iovu Marcela

9. 192 3360 36864 645120 3188,35

10. 193 3377 37249 651761 3206,73

Total 1626 28103 268854 4656099 22198,4

a) Raportul de corelaţie liniară simplă se ca calcula cu formula:

R y /x=√1−∑ ( y i−Y x i

)2

∑ ( y i− y )2

Tabelul 19

Nr. crt xi yi Yxi (yi - Yxi)2 (yi - y )2 y i2

1. 135 2263 2140, 69 14959,74 299537,29 51211692. 135 2362 2140, 69 14716,12 200972,89 55790443. 140 2200 2232,59 1062,11 372466,09 48400004. 150 2625 2416,39 43518,13 34336,09 68906255. 163 2852 2655,33 38679,09 1738,89 81339049. 163 2852 2655,33 38679,09 1738,89 81339047. 173 3027 2839,13 35295,14 46958,89 91627298. 182 3185 3004,55 32562,20 140400,09 101442259. 192 3360 3188,35 29463,72 302170,09 1128960010. 193 3377 3206,73 28991,87 321148,89 11404129

1626 28103 22198,4 278170,8 1721468,1 80699329

Unde: y=28103

10 = 2810,3

R y /x=0,9156477023

Se poate spune că legătură este strânsă (Ry/x=0,9156477023).

b) Metoda coeficientului de corelaţie

Intensitatea legăturii se măsoară prin coeficientul de corelaţie (ry/x).

Pag. 28 din 30


Iovu Marcela

r y /x=n∑ x i y i−∑ x i∑ yi

√ [n∑ x i2−(∑ x i)

2 ]⋅[ n∑ y i2−(∑ y i)

2 ]=

¿ 0,99

Rezultă că legătura dintre aceste două variabile este directă (rz/x>0) şi puternică. Există

legătură liniară intensă deoarece ry/x=Ry/x.

c) Calculul coeficientului de corelaţie a rangurilor

Coeficienul de corelaţie a rangurilorpropus de Spearman:

r s=1−6∑ d i

2

n3−nîn care: di - reprezintă diferenţa între rangurile perechii de valori (xi,yi);

n - numărul de perechi de valori.Coeficientul de corelaţie a rangurilor propus deKendall :

în care S=∑ ( Pi−Qi)în care: Pi - numărul rangurilor mai mari care urmează rangului curent pentru variabila

dependentă; Qi - numărul rangurilor mai mici care urmează rangului curent pentru variabila

dependentă.

Calculul coeficienţilor de corelaţie a rangurilorTabelul 20

Nr crt xi yiRanguri di=rxi-ryi di

2 Pi Qi Pi-Qirxi ryi

1. 135 2263 1 2 -1 1 7 1 62. 135 2362 1 3 -2 4 7 1 63. 140 2200 2 1 1 1 6 0 64. 150 2625 3 4 -1 1 5 0 55. 163 2852 4 5 -1 1 4 0 49. 163 2852 4 5 -1 1 4 0 47. 173 3027 5 6 -1 1 3 0 38. 182 3185 6 7 1 1 2 0 29. 192 3360 7 8 -1 1 1 0 110. 193 3377 8 9 -1 1 0 0 0

Total 1626 28103 -7 37

Pag. 29 din 30

rk=2⋅S

n⋅(n−1)


Iovu Marcela

rs = 1- 6−(−7)103−10

=¿1,42

rk= 2∗37

10(10−1)=¿0,82

Pag. 30 din 30

proiect statistica (2)m

Documents