probleme ss 2011

Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME

1

1. SEMNALE I SISTEME

1. Probleme rezolvate Problema 1

a. Artai, c dac [ ]x n este un semnal discret impar, atunci [ ] 0n

x n

=

= .

b. Dac [ ] [ ] [ ]i px n x n x n= + , unde [ ]ix n este un semnal impar, i [ ]px n este un semnal par, determinai [ ]ix n i [ ]px n n funcie de [ ]x n .

c. Artai, c [ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n

x n x n x n

= = =

= + . Rezolvare Problema 1 a. Pentru un semnal impar este valabil relaia: [ ] [ ]x n x n = Pentru 0n = , avem: [ ] [ ]0 0x x= , [ ]2 0 0x = , rezult c [ ]0 0x = .

[ ] [ ] [ ] [ ]1

1

0n n n

x n x n x x n

= = =

= + + (1)

[ ] [ ] [ ]1

1 1

n m

n m m

x n x m x m =

= = =

= = (2) Din (1) + (2) rezult, c

[ ] [ ] [ ]1 1

0n m n

x n x m x n

= = =

= + = b.

[ ] [ ] [ ]i px n x n x n= + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i p i px n x n x n x n x n = + = +

Avem, deci:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

i p

i p

x n x n x n

x n x n x n

= +

= +

Rezult:

[ ] [ ] [ ]2p

x n x nx n

+ = i [ ] [ ] [ ]

2ix n x n

x n

=


2

c.

[ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n

x n x n x n

= = =

= +

Se tie, c: [ ] [ ] [ ]i px n x n x n= +

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]22 2 22i p i i p pn n n n n

x n x n x n x n x n x n x n

= = = = =

= + = + +

Notm: [ ] [ ] [ ]i py n x n x n= . Trebuie demonstrat, c: [ ] 0n

y n

=

= .

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i p i py n x n x n x n x n y n = = = Rezult, deci c [ ] [ ]y n y n = este un semnal impar. Conform punctului a.) pentru un semnal impar este valabil relaia:

[ ] 0n

y n

=

= n final:

[ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n

x n x n x n

= = =

= + Problema 2 Pentru urmtoarele semnale:

1.) ( ) ( )4cos 5x t t= 2.) ( ) ( ) 1 2x t t= 3.) [ ] ( )4cosx n n= 4.) [ ] ( )2sin 3x n n=

a. Determinai analitic, care dintre ele sunt periodice (n caz afirmativ, determinai perioada semnalului) b. Reprezentai-le grafic Rezolvare Problema 2 1.

n cazul general, avem: ( ) ( )0cosgx t A t= . Iar ( ) ( )4cos 5x t t= . Prin identificare, se obine: 4A = , 0 5 = .

0

2 25

5T

T

= = = . Rezult, c este un semnal periodic, cu perioada:

2

5T = . n figura P2.1

este reprezentat grafic semnalul ( ) ( )4cos 5x t t= .


3

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

t

A

4cos(5*t)

Figura P2.1

2. ( ) ( ) 1 2x t t=

( )1, 0

0, 0

tt

t

=


4

4.

[ ] ( )2sin 3x n n= 2

3

=

pentru ntreg.

Semnalul [ ] ( )2sin 3x n n= nu este periodic.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n

A

2*sin(3n)

Figura P2.4

Problema 3

Fie un sistem, S , cu intrarea [ ]x n i ieirea [ ]y n , obinut prin conectarea n cascad a dou sisteme liniare i invariante n timp, 1S i 2S . Relaile de legtura intrare-ieire pentru sistemele

1S i 2S sunt:

1 :S [ ] [ ] [ ]1 1 12 4 1y n x n x n= +

2 :S [ ] [ ] [ ]2 2 21

2 32

y n x n x n= +

unde [ ]1x n i [ ]2x n indic semnalul de intrare. a. Gsii relaia de intrare-ieire pentru sistemul S b. Verificai relaia intrare-ieire a sistemului determinat la punctul a.) dac se inverseaz

ordinea sistemelor 1S cu 2S .

Rezolvare Problema 3

a.

Figura P3.1


5

Se poate observa din figura P3.1, c intrarea sistemului 2S , notat cu [ ]2x n este egal cu ieirea sistemului 1S , [ ]1y n . Prin urmare:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]

2 2 2 1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 12 3 2 3

2 21

2 2 4 3 2 3 4 42

2 2 5 3 2 4

y n x n x n y n y n

x n x n x n x n

x n x n x n

= + = + =

= + + +

= + +

n final, pentru sistemul S , avem:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 5 3 2 4y n x n x n x n= + + b.

Figura P3.2

Pentru schema din figura P3.2 se poate scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 1 1 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 4 1 2 4 1

1 12 2 3 4 3 4

2 2

2 2 5 3 2 2

y n x n x n y n y n

x n x n x n x n

x n x n x n

= + = + =

= + + +

= + +

Rezult n final:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 5 3 2 4y n x n x n x n= + + Deci, nu se schimb relaia intrare-ieire pentru sistemul S , dac se inverseaz ordinea sistemelor 1S cu 2S .

Problema 4 Se consider sistemul n timp continuu, descris de ecuaia diferenial:

( ) ( ) ( ) ( )2

22

2d y t dy t

t t y t x tdt dt

+ + =

avnd condiii iniiale nule. a. S se studieze liniaritatea sistemului b. S se studieze invariana n timp a sistemului


6


a.

( ) ( ) ( ) ( )2

22

2d y t dy t

t t y t x tdt dt

+ + =

Liniaritate=aditivitate+omogenitate

i. aditivitate

Dac la intrarea ( )1x t sistemul rspunde cu ( )1y t iar la intrarea ( )2x t sistemul rspunde cu ( )2y t , atunci aplicarea sumei celor dou semnale la intrare, ( ) ( )1 2x t x t+ va determina la ieire ( ) ( )1 2y t y t+ .

( ) ( )1 1:x t y t ( ) ( )2 2:x t y t ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2:x t x t y t y t+ +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21 1 2

1 12

22 2 2

2 22

2

2

d y t dy tx t t t y t

dt dt

d y t dy tx t t t y t

dt dt

= + +

= + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )2

1 2 1 2 21 2 1 22

2d y t y t d y t y t

x t x t t t y t y tdt dt

+ ++ = + + +

Deci, sistemul este aditiv

ii. omogenitate

Aplicarea unui semnal la intrare amplificat cu factorul va determina la ieire un semnal amplificat cu acelai factor.

( ) ( )x t y t

( ) ( ) ( ) ( )2

22

2d y t dy t

t t y t x tdt dt

+ + =

Deci sistemul este i omogen. n consecin el este liniar. b. Invariana n timp

( ){ } ( )S x t y t

( ){ } ( )?

0 0S x t t y t t


7

La excitaia ( )0x t t , sistemul rspunde cu ( )0ty t care reprezint soluia ecuaiei difereniale:

( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 20 02

2t t td y t dy t

x t t t t y tdt dt

= + +

iar ( )0y t t se obine nlocuind n ecuaia din enun variabila t cu variabila t-t0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

20 00 0 0 02

2d y t t dy t t

x t t t t t t y t tdt dt

= + +

ntruct membrii drepi ai celor dou relaii intrare-ieire nu sunt identice, sistemul considerat nu este invariant n timp. Problema 5

Se consider sistemul n timp continuu cu intrarea ( )x t i ieirea ( )y t unde: ( ) ( )( )siny t x t=

a. Este acest sistem cauzal ? b. Dar liniar ? Rezolvare Problema 5 a. Sistemul nu este cauzal, deoarece ieirea ( )y t poate precede intrarea. De exemplu: ( ) ( )0y x =

b. Se consider intrrile:

( )1 :x t ( ) ( )( )1 1 siny t x t= ( )2 :x t ( ) ( )( )2 2 siny t x t=

Fie

( ) ( ) ( )1 1 2 2x t a x t a x t= + ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

sin

sin sin

y t x t

a x t a x t

a y t a y t

=

= +

= +

Deci, sistemul n cauz este liniar. Problema 6 S se determine dac urmtoarele sisteme sunt liniare i invariante n timp: a. [ ] [ ]2 2y n x n= b. [ ] [ ] [ ]1 1y n x n x n= +


8

Rezolvare Problema 6 a. Fie

[ ] [ ] [ ]21 1 1 2x n y n x n = [ ] [ ] [ ]22 2 2 2x n y n x n =

[ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= +

[ ] [ ]

[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

2

2

1 1 2 2

2 2 2 21 1 1 2 1 2 2 2

1 1 2 2

2

2 2

2 2 2 2 2

y n x n

a x n a x n

a x n a a x n x n a x n

a y n a y n

= =

= +

= + +

+

Sistemul nu este liniar

[ ]{ } [ ] [ ]20 0 02S x n n x n n y n n = = unde

[ ] [ ]20 02y n n x n n = Deci:

[ ]{ } [ ]0 0S x n n y n n = Sistemul este invariant in timp

b. Fie

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 1x n y n x n x n = + [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 21 1x n y n x n x n = + [ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= +

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

y n x n x n

a x n a x n a x n a x n

a x n x n a x n x n

a y n a y n

= +

= + + +

= + + +

= +

Sistemul este liniar

[ ]{ } [ ] [ ] [ ]0 0 0 01 1S x n n x n n x n n y n n = + = [ ] [ ] [ ]0 0 01 1y n n x n n x n n = +

Sistemul este invariant in timp


9

1. Probleme propuse Problema 1

a. Se consider semnalul [ ] [ ]nx n a n= , cu 0 1a< < . Notnd cu [ ]is n partea sa impar,

calculai: [ ] ?in

s n

=

=

b. Artai c: [ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n

x n x n x n

= = =

= + .

c. Reprezentai grafic prile par i impar ale semnalului [ ] [ ]2x n n n= . Problema 2 Pentru semnalul din figura PP1.2, desenai: a.) ( )3x t + ; b.) ( )/ 2 2x t ; c.) ( )1 2x t ; d.) ( )4 / 4x t ; e.) ( ) ( )/ 2 1x t t + ; f.) ( )2 1x t ; g.) ( ) ( ) ( )1 1x t t t + ; h.) ( ) ( ) ( )0.5x t x t t+ .

Figura PP1.2

Problema 3 Se consider sistemul n timp discret, a crui relaie de intrare-ieire este dat de ecuaia:

[ ] [ ]2

2

n

k n

y n x k+

=

= a. S se studieze liniaritatea i invariana n timp a sistemului. b. S se determine rspunsul la impuls al sistemului i s se reprezinte grafic acest rspuns. c. Precizai, dac sistemul este cauzal i justificai rspunsul. Problema 4 S se determine, dac urmtoarele sisteme sunt: 1. liniare, 2. invariante n timp, 3. cauzale.

a. [ ]{ } [ ] [ ]S x n g n x n= , cu [ ]g n dat. b. [ ]{ } [ ]x nS x n e= c. [ ]{ } [ ]3 2S x n x n n= ,

d. [ ]{ } [ ]0

n

k n

S x n x k=

= , e. [ ]{ } [ ] [ ]3 1S x n x n n= + + ,


10

2. CONVOLUIA SEMNALELOR

1. Probleme rezolvate Problema 1

Calculai i reprezentai grafic [ ] [ ] [ ]y n x n h n= , unde:

[ ]1, 3 8

0, in rest

nx n

=

i [ ]1, 4 15

0, in rest

nh n

=


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k

y n x n h n x k h n k

=

= =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

n

x[n]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

n

h[n]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8y n x h n x h n x h n x h n x h n x h n= + + + + +

Rezult, n final: [ ]

6, 7 11

6, 12 18

24 , 19 23

0, in rest

n n

ny n

n n

=

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

7

n

y[n]


11

Problema 2 Se consider sistemul DLIT cu schema din figura 1:

Figura P2.1

unde [ ] [ ]2h n n= i D reprezint un bloc de ntrziere. a. Exprimai legtura dintre [ ]y n i [ ]u n i demonstrai c sistemul cu rspunsul la impuls,

[ ]2h n este un sumator. b. Determinai i schiai rspunsul sistemului din figura P2.1, la semnalele cu graficele din

figura P2.2. c. Determinai i reprezentai grafic rspunsul la impuls al sistemului din figura P2.1.

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

n

x1[n]

-2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n

x2[n]

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

n

x3[n]

Figura P2.2


a.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2n

k k

y n u n h n u n n u k n k u k

= =

= = = =

Deoarece [ ]y n se exprim ca i suma eantioanelor lui [ ]u k anterioare momentului n , se poate afirma ca sistemul descris de [ ]2h n este un sumator.

b.

Semnalul [ ]1u n are expresia: [ ] [ ] [ ]1 1 1 2u n x n x n= Rezult, c:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 1 1

1 1 1 2

2

2

k k k

n n

k k

y n u k n k x k n k x k n k

x k x k v n v n

= = =

= =

= = =

= =

unde [ ] [ ]1 1n

k

v n x k=

= i [ ] [ ]2 1 2n

k

v n x k=

=


12

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

v1[n]

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

v2[n]

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

y1[n]

Semnalul [ ]2x n se poate pune sub forma: [ ] [ ] [ ]2 1 1 3x n x n x n= . Avnd n vedere, c sistemul considerat este liniar i invariant n timp, rezult c:

[ ] [ ] [ ]2 1 1 3y n y n y n=

-2 0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3

n

y2[n]

Pentru [ ]3x n , avem: [ ] [ ] [ ] [ ]3 1 1 13 2 3x n x n x n x n= + + + . Utiliznd proprietatea de liniaritate i invariana n timp, avem:

[ ] [ ] [ ] [ ]3 1 1 13 2 3y n y n y n y n= + + +


13

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

n

y3[n]

c.

[ ] [ ] [ ]2u n n n = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]2 2y n u n n n n n n n h n = = = =

-2 0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n

y[n]

Problema 3

Se consider SLIT discret din figura P3.1. tiind, c [ ] [ ] [ ]2 2h n n n = i c rspunsul la impuls al sistemului are graficul din figura P3.2, determinai: a. Expresia analitic a lui [ ]1h n . b. Rspunsul sistemului la semnalul: [ ] [ ] [ ]1x n n n =

Figura P3.1


14

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

nh[n]

Figura P3.2

Rezolvare Problema 3 a.

[ ] [ ] [ ]2 1h n n n = + [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]2 2 1 1 2 1 2h n h n n n n n n n n = + + = + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 1 1 12 1 2 2 1 2h n h n h n h n h n n n n h n h n h n = = + + = + +

Pentru

0n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 0 2 1 2 0 1h h h h= + + = 1n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 15 1 2 0 1 1 3h h h h= + + = 2n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 110 2 2 1 0 2 3h h h h= + + = 3n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 111 3 2 2 1 3 2h h h h= + + = 4n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 18 4 2 3 2 4 1h h h h= + + = 5n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 14 5 2 4 3 5 0h h h h= + + = 6n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 6 2 5 4 6 0h h h h= + + = 7n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 10 7 2 6 5 7 0h h h h= + + =

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

h1[n]


15

b.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]1 1y n h n x n h n n n h n h n = = =

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-6

-4

-2

0

2

4

6

n

y[n]

Problema 4 Se consider SLIT discret, cu rspunsul la impuls:

[ ] [ ]15

n

h n n =

a. Determinai constanta A astfel nct:

[ ] [ ] [ ]1h n Ah n n = b. Folosind rezultatul de la punctul a), determinai rspunsul la impuls [ ]g n , al sistemului

invers, sistemului cu rspunsul la impuls [ ]h n . Obs. Rspunsul la impuls [ ]g n satisface condiia: [ ] [ ] [ ]h n g n n = Rezolvare Problema 4 a.

[ ] [ ]15

n

h n n =

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1

1

1 11 1

5 5

1 1 11

5 5 5

15 1

5

n n

n n

n

h n Ah n n A n

n A n

n A n

=

=

=

(1)

Este cunoscut relaia:

[ ] [ ] [ ]1n n n =


16

Pentru ca membrul drept al relaiei (1) s fie proporional cu [ ]n este necesar ca 5 1A = . n acest caz relaia (1) devine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0

1 11

5 5

n

h n Ah n n n n = = =

Deci relaia propus este satisfcut, dac 1

5A = .

b.

[ ] [ ] [ ]h n g n n = (2) Dar

[ ] [ ] [ ]1 15

h n h n n = (3)

Membrul stng al relaiei (3) se scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 11 1

5 51

15

11

5

h n h n h n h n n

h n n h n n

h n n n

=

=

=

(4)

De aceea relaia (3) se mai scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 15

h n n n n =

(5)

Identificnd membrii stngi ai relaiilor (2) i (5) se obine:

[ ] [ ] [ ]1 15

g n n n =

Problema 5 Fie

( ) ( ) ( )3 5x t t t = i

( ) ( )3th t e t= Calculai ( ) ( ) ( )y t x t h t= . Rezolvare Problema 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )30

3 5y t x t h t h x t d e t t d

= = =

n intervalul ( ) ( )5 3t t < < valoarea semnalului ( ) ( )3 5t t este diferit de zero. Se disting trei cazuri:


17

Cazul I: 3t , ( ) 0y t =

Cazul II: 3 5t<

( )( )3 3 3

3

0

1

3

t te

y t e d

= =

Cazul III: 5t >

( )( ) ( )3 563 3

5

1

3

tt

t

e ey t e d

= =

Prin urmare, rezultatul convoluiei poate fi exprimat sub forma:

( )( )

( ) ( )

3 3

3 56

0, 3

1, 3 5

3

1, 5

3

t

t

t

ey t t

e et

<

= <


18


Figura P6.2

a). ( ) ( )x t x t T= +

( ) ( ) ( ) ( )x t T x u T x u x t + = + = = unde u t =

( )( ) ( )y t x t h d +

=

( )( ) ( ) ( )y t T x t T h d y t +

+ = + =

n concluzie, semnalul ( )y t este periodic cu perioada T . b).

( )1( )n

x t t nT+

=

reprezint prelungirea prin periodicitate cu perioada T a semnalului ( )1x t ,

adic tocmai ( )x t . Ca urmare, se scrie: ( )1( ) ( )n

x t x t t nT+

=

=

1 1( ) ( ) ( )y t x t h t=

( )

1 1

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

T T

T

n n

y t x t h t x t t h t x t h t t

y t t y t t nT y t nT

+

=

= = = =

= = =

c).

Figura P6.3


19

Cazul I. 0t < , ( )1 0y t =

Cazul II. 1 0t < , 0t [ )0,1t 10

( )t

y t d t= =

Cazul III. 1 0t , 2t < [ )1, 2t 11

( )t

t

y t d t

= =

Cazul IV. 1 2t , 2t [ )2, 3t 2

1

1

( ) 3t

y t d t

= =

Cazul V. 3t > ( )1 0y t = Reprezentarea grafic a semnalului ( )y t este cea din figura P6.4 de mai jos:

Figura P6.4

Problema 7

Se consider sistemul cu rspunsul la impuls: ( ) [ ] ( )n

h t h n t nT

=

= .

a. Demonstrai c dac la intrarea acestui sistem se aduce semnalul ( )x t :

( ) [ ] ( )n

x t x n t nT

=

=

atunci la ieirea sa se obine semnalul ( )y t :

( ) [ ] ( )n

y t y n t nT

=

=

Care este legtura dintre secvenele: [ ]x n , [ ]h n i [ ]y n ?

b. n continuare se consider c secvena [ ]h n este de durat limitat: [ ] 0h n = pentru 0n < i n . Desenai o form de implementare a sistemului considerat folosind amplificatoare, sumatoare i linii de ntrziere, care realizeaz o ntrziere cu T . Un astfel de sistem se numete filtru transversal.


20

c. Care este legtura dintre semnalele de la intrarea i ieirea filtrului transversal de la punctul b). dac toate valorile nenule ale secvenei [ ]h n sunt egale cu 1 ? Cum ai denumi un astfel de sistem? d. Reprezentai grafic rspunsul sistemului de la punctul c) pentru 3 = la semnalul:

( ) ( ) ( )x t t t T =


( )

( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]

m n p

n n m

n p p n

y t x t h t x n h t nT x n h m t mT nT

x n h p n t pT x n h p n t pT

+ =

= = = =

= =

Dac se face notaia: [ ] [ ] [ ]

n

y p x n h p n= , rezult:

( )( ) [ ]p

y t y p t pT=

Relaia de legtur dintre secvenele [ ]x n , [ ]h n i [ ]y n este urmtoarea: [ ] [ ] [ ]y n x n h n= b.

1

0

( ) [ ] ( )

n

h t h n t nT

=

= Implementarea sistemului considerat folosind amplificatoare, sumatoare i linii de ntrziere cu T este prezentat n figura P7.1:

Figura P7.1

c. Relaia de legtur dintre semnalele de la ieirea i intrarea filtrului transversal de la punctul b) este de forma:

1

0

1( ) ( )

n

y t x t nT

=

= Un astfel de sistem s-ar putea numi "mediator".


21

d.

( ) ( )( )x t t t T = Rspunsul sistemului de la punctul c) pentru semnalul ( )x t , definit cu relaia de mai sus, i

pentru 3 = este urmtorul: [ ]1( ) ( ) ( ) ( 2 )3

y t x t x t T x t T= + +

Reprezentarea grafic a lui ( )y t este cea din figura P7.2.

Figura P7.2

1. Probleme propuse Problema 1 Fie sistemul discret, liniar i invariant n timp cu rspunsul la impuls:

[ ] [ ] [ ]1h n n n = unde este un numr ntreg, 0 < . Rspunsul acestui sistem la semnalul de intrare [ ] [ ] [ ]10x n n n = va fi [ ]y n . S se determine valoarea lui astfel nct [ ]4 5y = i [ ]14 0y = . Problema 2

Calculai convoluia [ ] [ ] [ ]y n x n h n= , unde [ ]x n i [ ]h n sunt reprezentate n figura P2.1

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

n

x[n]

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

1.5

n

h[n]


22

Problema 3

Se consider un sistem n timp discret cu intrarea [ ]x n , i cu rspunsul la impuls [ ]h n , dat de

urmtoarele ecuaii: [ ]0, 0

, 0

nx n

n n


23

3. SERII FOURIER

Problema 1

Se consider semnalele periodice [ ]1x n i [ ]2x n n timp discret de perioada, 4 = , avnd coeficienii seriei Fourier ka respectiv kb , 0 3 1a a= = , 1 2 2a a= = i 0 1b = , 1 1b = , 2 1b = , 3 1b = .

a. S se determine expresiile [ ]1x n i [ ]2x n . b. S se determine coeficienii seriei Fourier ai semnalului [ ] [ ] [ ]1 2g n x n x n= .


[ ] 01

0

jk n

k

k

x n c e

=

= , unde 02

4 2

= =

[ ]33

2 2 21

0

1 2 2jk n j n j n

j n

k

k

x n a e e e e

=

= = + + +

[ ]33

2 2 22

0

1jk n j n j n

j n

k

k

x n b e e e e

=

= = + + + b.

[ ] [ ]3 3

2 2 2 21 2

3 322 2 2 2

3 5 3 52 2 32 2 2 2

3

2 2

1 2 2 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2

6 6 6 6

j n j n j n j nj n j n

j n j n j n j nj n j n j n

j n j n j n j nj n j n j n j n

j n j nj n

x n x n e e e e e e

e e e e e e e

e e e e e e e e

e e e

= + + + + + + =

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

= + + +

Rezult, n final: 0 1 2 3 6c c c c= = = = Problema 2

Fie semnalul periodic, [ ]x n , avnd perioada fundamental, 5 = . Coeficienii seriei Fourier ataate semnalului sunt:

0 1c = , * /4

2 2jc c e = = ,

* /34 4 2

jc c e = =

S se exprime semnalul [ ]x n n forma:

[ ] ( )01

sink k kk

x n A A n

=

= + +


24


[ ]2

k

jk njk n

k k

k k

x n c e c e

= =

= =

[ ]2 2 2 2

2 2 4 4

0 2 2 4 4

2 2 2 22 2 4 4

4 5 4 5 3 5 3 51 2 2

41 2cos 4c

5 4

j n j n j n j n

j j n j j n j j n j j n

x n c c e c e c e c e

e e e e e e e e

n

= + + + +

= + + + +

= + + +

8os

5 3

4 3 8 51 2sin 4sin

5 4 5 6

n

n n

+

= + + + +

Problema 3 Se consider semnalul periodic n timp discret cu graficul din figur:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

0

1

2

3

4

n

x[n]

a. S se determine coeficienii seriei Fourier exponeniale ataate semnalului b. Evaluai puterea semnalului pe baza eantionelor [ ]x n i apoi pe baza coeficienilor kc . Rezolvare Problema 3 a.

Perioada semnalului, 4 = . Coeficienii seriei Fourier exponeniale se calculeaz, prin:

[ ]21

0

1 jk n

k

n

c x n e

=

= Pentru 0k = .

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]23 04

00

1 1 1 30 1 2 3 4 2 1 1

4 4 4 2

j n

n

c x n e x x x x

=

= = + + + = + + =


25

Pentru 1k = .

[ ] [ ] ( )2 33 1 04 2 2

10

1 1 1 14 2 4 2 1 3 3

4 4 4 4

j n j jj

n

c x n e e e e e j j j

=

= = + + = =

Pentru 2k = .

[ ] [ ]23 2 0 2 34

20

1 1 14 2 4 2 1 1 1

4 4 4

j nj j j

n

c x n e e e e e

=

= = + + = + + = Pentru 3k = .

[ ] [ ] ( )2 3 93 3 0 34 2 2

30

1 1 1 14 2 4 2 1 3 3

4 4 4 4

j n j jj

n

c x n e e e e e j j j

=

= = + + = + + = +

b.

[ ] [ ] ( )21 1

16 4 1 1 5.54 4x n

P x n W= = + + + = 2 2

2 3 3 3 31 91 5.5

4 4 16 16kc kj j

P c W +

= = + + + = Deci:

[ ] kcx nP P=

Problema 4

Se consider semnalul [ ]x n dat de expresia:

[ ] [ ]4k

x n n k

=

= .

Acest semnal se aplic la intrarea unui SLIT, avnd rspunsul n frecven, ( )jH e . Ieirea

sistemului este: [ ] 5cos2 4

y n n = +

. Determinai valorile funciei de transfer, ( )2jkH e

pentru 0,3k = .

Rezolvare Problema 4 Semnalul [ ]x n este periodic, avnd perioada 4 = . Coeficienii seriei Fourier sunt:

[ ]234

0

1 1

4 4

jk n

k

n

c x n e

=

= =

[ ] ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

32 / 4 2 / 4

0

/ 2 / 2 3 / 2 3 / 20 01 1 1 1

4 4 4 4

j k j n

k

k

j j n j j n j j nj j n

ky n c H e e

H e e H e e H e e H e e

=

=

= + + +


26

[ ]3

2 4 2 4 2 4 2 45 1 1 1 1cos cos2 4 2 4 2 2 2 2

j n j n j n j n

y n n n e e e e

+ + + = + = + = + = +

Prin identificare, avem:

( ) ( )0 0j jH e H e = = ( )( ) ( )2 42j jH e e = ( )( ) ( )3 2 42j jH e e =

Problema 5

Se consider semnalul periodic, ( )x t , de perioad 2T = , cu restricia la perioada principal:

( )1, 0 1

2 1 2rt

x tt

=

<


27

Figura P5.3

( ) ( ) ( )1 1 2 2rdx t

A t t A t tdt

= +

Prin identificare, avem: 1 3A = , 2 3A = , 1 0t = , 2 1t = Problema 6

Se consider semnalul periodic, ( )x t n timp continuu:

( ) 2 52 cos 4sin3 3

x t t t = + +

S se determine frecvena fundamental, 0 , respectiv coeficienii seriei Fourier, kc . Rezolvare Problema 6

( ) 0jk tkk

x t c e

=

= . Utiliznd relaiile lui Euler, avem:

( )2 2 2 22 2 5 5 2 2 5 56 6 6 63 3 3 31 1 4 4 1 1 2 22 2

2 2 2 2 2 2

j t j t j t j tj t j t j t j t

x t e e e e e e e ej j j j

= + + + = + + +

Prin identificare, frecvena fundamental a semnalului ( )x t este: 26 3

= .

Coeficienii seriei Fourier ataate semnalului ( )x t , sunt: 0 2c = , 2 21

2c c= = ,

*5 5 2c c j= =

Problema 7

Fie semnalul periodic, ( )x t , avnd perioada fundamental, 8T = . Coeficienii seriei Fourier ataate semnalului sunt:

1 1 2c c= = , *

3 3 4c c j= =

S se exprime semnalul ( )x t n forma:

( ) ( )0

cosk k kk

x t A t

=

= +


28


( ) 02

jk tjk t T

k k

k k

x t c e c e

= =

= =

( )2 2 2 2

3 3

1 1 3 3

2 2 2 23 3

8 8 8 82 2 4 4

6 34cos 8sin 4cos 8cos

4 8 4 4 2

j t j t j t j tT T T T

j t j t j t j t

x t a e a e a e a e

e e je je

t t t t

= + + +

= + +

= = + +

Problema 8 a. Exprimai legtura dintre coeficienii dezvoltrii n serie Fourier ai semnalelor periodice de la intrarea i ieirea unui sistem liniar i invariant n timp continuu. b. n figura P8.1 sunt prezentate caracteristicile de frecven ale unui filtru. Determinai rspunsul acestuia pentru semnalul de mai jos: ( ) cos(4 );x t t = +

Figura P8.1


2

( )x

jk tT

k

k

x t c e

=

( )2 2 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x

jk t jk jk t jk tT T T T

k k k

k k k

y t x t h t c e h d c h e d e c H k eT

= = = =

Se observ c:

2y xk k

c c H kT

=


29

b.

( ) ( )4 4 4 41 1 1( )2 2 2

j t j t j j t j j tx t e e e e e e + + = + = +

1

1;

2xjc e = 1

1;

2xjc e =

2(4 ) ,

3H = { }arg (4 )

2H

= ; 2( 4 ) ,

3H = { }arg ( 4 )

2H

= ;

221

2 1 1

3 2 3yjj

jc e e e

+ = = ;

221

2 1 1

3 2 3yjj

jc e e e

+ = = ;

4 42 21 1( )3 3

j jj t j ty t e e e e

+ + = +

2 ;j

e j

= 2 ;j

e j

=

( ) ( )4 41 1 1 2( ) 2 sin 4 sin 43 3 3 3

j j t j j ty t j e e j e e j j t t = = + = +

( )2( ) sin 43

y t t = +

Problema 9

Fie ( )1x t un semnal periodic n timp continuu cu frecvena fundamental, 1 , avnd coeficienii seriei Fourier ka . Pentru semnalul,

( ) ( ) ( )2 1 11 1x t x t x t= + care este frecvena fundamental, 2 a semnalului ( )2x t n legtura cu 1 ? Gsii relaia de legtura dintre coeficienii seriei Fouriei, kb , ai semnalului ( )2x t i coeficienii ka . Rezolvare Problema 9

Semnalele ( )1 1x t i ( )1 1x t au perioada fundamental, 11

2T

= . Deoarece ( )y t este o

combinaie liniar a semnalelor ( )1 1x t i ( )1 1x t , este periodic cu perioada fundamental

21

2T

= . Prin urmare, 2 1 = . Folosind tabelele, rezult:

( ) ( )12 /1 1jk T

kx t a e

( ) ( )12 /1 1jk T

kx t a e

n final, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 / 2 /1 11 1jk T jk T jk

k k k kx t x t a e a e e a a

+ + = + .


30


Fie [ ]; 0 7

; 8 9

nx n

n

=

1

0 un semnal periodic, cu perioada fundamentala 10 = i coeficienii

dezvoltrii n serie Fourier ka . Se consider semnalul [ ] [ ] [ ]1g n x n x n= . a. Artai c [ ]g n are perioada fundamental egal cu 10 i reprezentai-l grafic. b. Determinai coeficienii dezvoltrii lui [ ]g n n serie Fourier. c. Folosind coeficienii dezvoltrii lui [ ]g n n serie Fourier i proprietile coeficienilor seriei

Fourier, determinai ka pentru 0k . Problema 2

Fie semnalul ( )x t , n timp continuu, avnd pulsaia fundamental, 0 = :

( )1.5, 0 1

1.5, 1 2

tx t

t


31

4. TRANSFORMATA FOURIER

1. Probleme rezolvate Problema 1 Fie SLIT, caracterizat de ecuaia cu diferene finite:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n + = + a. S se determine rspunsul n frecven al sistemului, ( )H . b. S se afle rspunsul la impuls al sistemului, [ ]h n . c. Dai o posibil implementare a sistemului, utiliznd sumatoare, amplificatoare i circuite de

ntrziere. Rezolvare Problema 1

a.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n + = + Aplicm transformata Fourier asupra ecuaiei cu diferene finite, rezult:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 5 6j j jY e Y e Y X e X + = + ( ) ( ) ( )( )26 5 6j j jY e e X e + = +

( ) ( )( ) ( )( )2

6 6

6 5 3 2

j j

j j j j

Y e eH

X e e e e

+ + = = =

+

b.

( ) ( )( ) ( )( )6 2 3

3 23 2 3 2

j j j

j jj j j j

e A B A Ae B BeH

e ee e e e

+ + = = + =

2 3 6

1

A B

A B

+ = =

Rezult din sistemul de mai sus: 8B = i 9A = .

( ) 9 83 2j j

He e

= +

( ) 9 8 3 41 11 1 1 13 1 2 13 23 2

j jj j

H

e ee e

= + = +

Utiliznd tabelele, rezult n final: [ ] [ ] [ ]1 13 43 2n n

h n n n = +


32

c.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 2 0 1 21 2 1 2a y n a y n a y n b x n b x n b x n+ + + = + + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n + = +


0 6a = , 1 5a = , 2 1a = , 0 6b = , 1 1b = , 2 0b = .

Problema 2 Un sistem discret are spectrele semnalelor de intrare i ieire legate prin ecuaia:

( ) ( ) ( ) ( )2 jdX

Y X e X jd

= +

a. Este sistemul n cauz liniar? b. Dar invariant n timp? c. Care este expresia rspunsului sistemului considerat la semnalul [ ]n ? Rezolvare Problema 2 Folosind tabelele, avem:

( ) [ ]Y y n , ( ) [ ]X x n , ( ) [ ]1je X x n , ( ) [ ]dX

j nx nd

Aplicnd TFD invers asupra ecuaiei, se obine:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1y n x n x n nx n= + a. Dac: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= + , atunci avem: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2y n a y n a y n= +

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 1 1

2 2 2 2

2 1

2 1

y n x n x n nx n

y n x n x n nx n

= +

= +


33

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }

[ ] [ ]

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

2 1 2 1

2 1 2 1

y n a x n a x n na x n a x n a x n na x n

a x n x n nx n a x n x n nx n

a y n a y n

= + + +

= + + +

= +

Sistemul considerat este liniar.

b.

Dac [ ]{ } [ ]dS x n y n= atunci [ ]{ } [ ]0 0dS x n n y n n = , 0n

[ ]{ } :dS x n [ ] [ ] [ ] [ ]2 1y n x n x n nx n= + [ ]{ } [ ] [ ] [ ]0 0 0 02 1dS x n n x n n x n n nx n n = +

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]0 0 0 0 02 1y n n x n n x n n n n x n n = + [ ]{ } [ ]0 0dS x n n y n n

Sistemul nu este invariant n timp

c.

Notm rspunsul sistemului la semnalul [ ] [ ]x n n= cu [ ]h n .

[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]2 1dh n S n n n n n = = + tiind, c:

[ ]1, 0

0, 0

nn

n

==

Rezult, n final:

[ ] [ ] [ ]2 1h n n n = +

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

h[n]


34

Problema 3 Se consider sistemul din figura P3.1:

Figura P3.1

a. Determinai, n funcie de [ ]1h n , rspunsul la impuls al sistemului b. Pentru ( ) ( )1 cosH = , determinai rspunsul sistemului considerat la semnalul

[ ] ( )cos 24

x n n = +


[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]{ }1 11 ny n x n h n h n= [ ] [ ] ( ) [ ]1 11

nh n h n h n=

b.

( ) ( )1 cosH =

( ) ( ) ( ) [ ]{ }( )1 11 nH H h n = F

Termenul ( ) [ ] [ ]1 11n j nh n e h n = are TFD ( )1H

[ ] ( )1 1j ne h n H

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cos cos cos cos 2cosH = = =

[ ] ( )cos 2 cos sin4 4 2 4

x n n n n = + = + =

Folosind metoda armonic, semnalul [ ]y n se calculeaz prin: [ ] ( ) ( ){ }0 0 0sin argy n A H n H = +


0 4

= .

[ ] sin arg4 4 4

y n H n H = +


35

22cos 2 2

4 4 2H

= = =

arg 04

H =

n final: [ ] 2 sin4

y n n =

Problema 4 Se consider sistemul numeric cu schema din figura P4.1:

Figura P4.1

a. Determinai ecuaia cu diferene finite ce caracterizeaz sistemul considerat b. Determinai rspunsul n frecven al sistemului c. Reprezentai grafic modulul rspunsului n frecven d. Calculai rspunsul sistemului, [ ]y n , dac [ ] [ ]x n n= i apoi pentru [ ] ( )10cosx n n= Rezolvare Problema 4 a.


36

[ ] [ ] [ ] [ ]0 1 21 2y n b x n b x n b x n= + + Prin identificare, avem: 0 1 2 1 3b b b= = =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ]2

0

1 1 1 11 2 1 2

3 3 3 31

3 k

y n x n x n x n x n x n x n

x n k=

= + + = + +

=

Deci,

[ ] [ ]2

0

1

3 ky n x n k

=

= b. Folosind tabelele, avem

[ ] [ ] ( ) ( )2 2

0 0

1 1

3 3j k

k k

y n x n k Y e X

= =

= =

( ) ( )( ) ( )

3 3 32 2 2

32

0 2 2 2

22

1 1 1 1

3 3 1 3

3 3sin sin

1 12 23 3sin sin

2 2

j j j

jk

j

jj j jk

jj

e e eY e

H eX e

e e e

e e

=

= = = = =

= =

Deci,

( )

3sin

1 23 sin

2

jH e

=

c.

( )

3sin

1 23 sin

2

H

=

Obs. 2sin 3 sin 3 4sin2 2 2

=

Rezult:


37

( )2

2

sin 3 4sin1 12 2

3 4sin3 3 2sin

2

H

= =

d.

[ ] [ ]x n n=

[ ] [ ] [ ] [ ]( )1 1 23

y n n n n = + +

Pentru [ ] ( )10cosx n n= [ ] ( ) ( ){ }( )0 0 0cos argy n A H n H= +

Prin identificare, rezult:

10A = , 0 =

( )01

3H =

( ){ }0arg H =

[ ] ( ) ( )( )1 1010 cos cos 13 3

y n n n = =

Problema 5 Un sistem discret liniar i invariant n timp (DLIT) este descris de ecuaia diferenial cu diferene finite:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 2 1y n y n x n x n+ = + a. Determinai i reprezentai grafic funcia de transfer ( )H a sistemului. Gsii i

reprezentai grafic funcia pondere [ ]h n a sistemului. Ce denumire are un astfel de sistem? b. Determinai i reprezentai grafic rspunsul sistemului pentru semnalul [ ]x n din figura P5.1,

dac [ ] [ ] [ ]1h n n n = .


38

c. Schiai o form de implementare a sistemului folosind un numr minim de celule de ntrziere.

-5 0 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

x[n]

Figura P5.1


[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 2 1y n y n x n x n+ = + Aplicm transformata TFD asupra ecuaiei cu diferene finite, rezult:

( ) ( ) ( ) ( )2 2j jY e Y X e X + = + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2j jY e X e + = +

( ) ( )( )

1 21

1 2

j

j

Y eH

X e

+ = = =

+

Din tabel:

[ ] [ ]h n n= Sistemul se numete: filtru trece-tot

-5 0 50

0.5

1

1.5

n

h[n]


39

b.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]1 1y n x n h n x n n n x n x n = = = Deci

[ ] [ ] [ ]1y n x n x n= c.

n cazul de fa, avem:

Problema 6

Fr a determina efectiv ( )X pentru semnalul din figur:

-4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

x[n]

Figura P6.1


40

a. Calculai ( )0X .

b. Calculai ( )X d

.

c. Calculai ( )X . d. Schiai semnalul care are transformata ( ){ }Re X .

e. Calculai ( )2

X d

.


( ) [ ]0 6n

X x n

=

= =

b.

[ ] ( )12

jnx n X e d

=

[ ] ( ) ( ) [ ]10 2 0 42

x X d X d x

= = =

c.

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 1 0 1 2

3 4 5 6 7 8

1

1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0

1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 2 1 1 2 1 1 2

jn

n

n

n

X x n e

x n

=

=

= =

= =

= + + + + + +

+ + + + + +

= + + + =

d.

[ ] ( )x n X

[ ] [ ] [ ] ( )m n

jn jm

n n

x n x n e x m e X

=

= =

= =

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ){ }2Rex n x n X X X+ + = [ ] [ ] [ ] ( ){ }Re

2 px n x n

x n X+

= =

( ) [ ] jnn

X x n e

=

=


41

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

0

1

2

x[n]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

0

1

2

x[-n]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

0

1

2

n

xp[n]

e.

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1

2 14 28

n

X d x n

=

= = + + + + + + + + + +

= =

Problema 7

Se consider sistemul liniar i invariant n timp cu rspunsul n frecven: ( )11

1

jH

j

=+

.

a. Exprimai i schiai dependena de frecven a modulului i argumentului acestui rspuns n frecven. Care este expresia rspunsului la impuls al sistemului considerat ? b. Determinai rspunsul sistemului considerat la semnalul ( )1 cosx t A t= . c. Repetai punctul b) pentru semnalul ( ) ( )2 tx t e t= . Reprezentai grafic rezultatul obinut.

d. Se consider sistemul liniar i invariant n timp cu rspunsul n frecven: ( )210

10

jH

j

=+

.

Reprezentai grafic caracteristicile Bode ale sistemului obinut prin conectarea n cascad a sistemelor cu rspunsurile n frecven ( )1H i ( )2H . Cum ai denumi un astfel de sistem? n ce situaii credei c este util folosirea sa?


42


a.

( ) ( )2 2

1 2 2

11 1 2

1 1 1

jj jH

j

= = =+ + +

( )1 1H = ( ){ } { } { } { } { }1arg arg 1 arg 1 2H j j arctg arctg arctg = + = =

n figura P1.1 a.) se prezint modulul lui ( )1H , iar n figura P1.1 b.) se reprezint argumentul lui ( )1H .

a). b).

Figura P7.1

( )11 1 2 2

11 1 1 1

j jH

j j j j

= = + = ++ + + +

( ) ( ) ( )1 2 th t t e t = + b.

( )1 cos 2 2jt jtA Ax t A t e e= = +

Rezult:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

1 11 1

2 2 2 1 1

1 2 1 1 2 1

2 2 2 2

2 sin sin2 2

jt jt jt jt

jt jt jt jt

jt jt

A A A j jy t H e H e e e

j j

A j j Ae e j e j e

jA jAe e j t A t

+= + = + = +

+ = + = + =

= = =


43

c.

( ) ( ) ( )2 21

1tx t e t X

j

= =

+

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 2 2

11 1

1 1 11 1

j j A BY X H

j j jj j

= = = = + =

+ + ++ +

( )21 1

1 21

A B AA B j A

A Bj

+ = = + +=

= =+

( )( )

( ) ( ) ( )21 2

21 1

t tY y t e t t e tj j

= + = + + +

n figura P7.2 se prezint variaia temporal a lui ( )y t .

Figura P7.2

d).

( )210

10

jH

j

=+

Prin conectarea n cascad a sistemelor cu rspunsurile n frecven ( )1H i ( )2H se obine un sistem avnd urmtorul rspuns n frecven:

( ) ( ) ( )1 21 10

1 10

j jH H H

j j

= = + +

( )20log 0H = n figura P7.3 se prezint variaia frecvenial a lui ( )20log H .

Figura P7.3


44

( ){ } { } { }2arg arg 10 arg 10 2 10H j j arctg

= + =

n figura P7.4 se reprezint caracteristicile Bode ale sistemului obinut.

Figura P7.4

Observaii:

Sistemul este un filtru trece-tot; Se poate utiliza pentru corecii de faz.

Problema 8

Relaia dintre semnalele de intrare ( )x t i ieire ( )y t ale unui sistem liniar i invariant n timp, cauzal este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t

y t x z t d x tdt

+

+ = unde ( ) ( ) ( )6 99 tz t t e t = +

a. Determinai rspunsul n frecven al sistemului, ( )H i schiai-i caracteristicile Bode. b. Determinai rspunsul la impuls al sistemului. Rezolvare Problema 8

a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t

y t x z t d x tdt

+

+ = unde

( ) ( ) ( )6 99 tz t t e t = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5

dy ty t x t z t x t

dt+ =

Se aplic transformata Fourier asupra ecuaiei de mai sus, rezult:


45

( ) ( ) ( ) ( )9910 6 51

j Y Y X Xj

+ = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )99 10010 1 101 1

jY j X Y j X

j j

+

+ = + + = + +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1100 100101 10 1 1

10

jY jH

X j jj j

++= = =

+ + + +

n figura P8.1 sunt prezentate variaiile lui ( )20log H i ( ){ }arg H n funcie de frecven.

Figura P8.1

b).


46

( )1 1

10

A BH

jj

= ++ +

;

( ) ( )1 99

1 1100 100 1001 10 10 10

1 91 11 110 10 10

j

A j Hj j

j

+ = + = = = =

= =+

99 10 11 1110 10 10 11

100 9 10 10A A= = = =

( )( )

91

100 101 10 1010 1010 1 9

j

B j Hj jj

+ = + = = = = = +

10 91

9 10= =

( ) 11 11 1

10

Hj

j

= + +

( ) ( ) ( )1011 10t th t e t e t = Problema 9 Se d sistemul cu rspunsul la impuls:

( ) ( )1

0

1

n

h t t nT

=

= a. Cum se numete un astfel de sistem? b. Determinai expresia rspunsului n frecven al acestui sistem. c. Reprezentai grafic dependena de frecven a modulului i argumentului acestui rspuns pentru 2 = .


( ) ( )1

0

1

n

h t t nT

=

= Un astfel de circuit este un "mediator". b.

( )( )1

0

11 1

1

j T

j nT

j Tn

eH e

e

=

= =

c.


47

Avem 2 = . Rezult n continuare:

( ) ( )2

2

1 1 11

2 1 2

j Tj T

j T

eH e

e

= = +

( ) ( )21

1 cos sin2

H T j T = +

( ) ( )2 221 1

1 cos sin 1 2cos 12 2

H T T T = + + = + + =

21 1cos cos 2 cos2 2 22 2

T T T = = =

( ){ }22

2sin cossin 2 2arg1 cos 22cos

2

T TT T

H arctg arctg arctg tgTT

= = = +

n figura P9.1 sunt prezentate variaiile n frecven ale modulului (Figura P9.1a) i argumentului (Figura P9.1b) funciei ( )2H .

a).

b).

Figura 9.1


48

Problema 10

Se consider semnalul ( )x t cu transformata Fourier ( )X al crei grafic este reprezentat n figura P10.1 i semnalul ( )p t periodic cu pulsaia fundamental, 0 . a. Determinai transformata Fourier a semnalului ( ) ( ) ( )y t x t p t= . b. Schiai spectrul lui ( )y t pentru fiecare dintre urmtoarele alegeri ale lui ( )p t :

1). ( ) cosp t t= ; 2). ( ) ( )n

p t t n

=

= ; 3). ( ) ( )4n

p t t n

=

= .

Figura P10.1

Rezolvare Problema 10 a).

( ) ( ) ( )y t x t p t= ( ) ( ) ( )12

Y X P

=

0( ) jk tkk

p t c e= ( ) ( )02 k

k

P c k =

( ) ( )0kk

Y c X k = b).

( ) cosp t t= ; 1 11

2c c= = i 0kc = { }1,1k

( ) ( ) ( )1 11 12 2

Y X X = + +

n figura P10.2 este reprezentat spectrul de frecven ( )Y pentru semnalul ( )p t definit la punctul b).1.


49

Figura P10.2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22n

p t t n t P

=

= = =

( ) ( ) ( ) ( )21 1

2 22 n

Y X X n

= =

n figura P10.3 este reprezentat spectrul de frecven ( )Y pentru semnalul ( )p t definit la punctul b).

Figura P10.3

( ) ( ) ( )44n

p t t n t

=

= = ( ) ( )12

1

2P =

( ) ( ) ( ) ( )12

1 1 1 1 1

4 4 2 4 2k kY X X k X k

= = =

n figura P10.4 este reprezentat spectrul de frecven ( )Y pentru semnalul ( )p t definit la punctul b).

Figura P10.4


50


Fiind date semnalele: ( ) ( ) ( )1 1 1x t t t = + + i ( ) ( ) ( ){ }2 2 2d

x t t tdt

= + .

a. S se reprezint grafic ( )1x t i ( )2x t n domeniul timp. b. S se calculeze transformate Fourier corespunztoare ( )1X i ( )2X . c. S se reprezinte grafic modulul funciilor ( )1X i ( )2X . Problema 2 Pentru un sistem liniar i invariant n timp, ecuaia ce descrie legtura ntre intrare i ieire este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t

y t x z t d x tdt

+ = , unde ( ) ( ) ( )9 6tz t e t t = + .

a. Determinai rspunsul n frecven al sistemului ( )H . Ce denumire are un astfel de sistem. Reprezentai grafic caracteristicile BODE (modulul i argumentul).

b. Determinai ( )h t pentru acest sistem. c. Determinai rspunsul sistemului la semnalul ( ) 5cos10x t t= . Problema 3 Se consider sistemul descris de ecuaia diferenial:

( ) ( ) ( ) ( )1 110 10

dy t dy ty t x t

dt dt+ =

a. S se determine rspunsul n frecven al sistemului b. Reprezentai grafic diagramele BODE pentru acest sistem c. Utiliznd aceste diagrame, s se determine semnalul de la ieirea sistemului considerat, dac

la intrare se aplic semnalul: ( ) cos100x t t= Problema 4 Fie sistemul din figura P4.1:

Figura P4.1

unde ( ) ( )sin 4 t

x tt

= , ( ) ( )2cos 2p t t= i rspunsul la impuls este dat prin:

( ) ( ) ( )1 3sin 4 2cos 8h t t t = + + .


51

a. Determinai i reprezentai grafic ( )R , transformata Fourier a semnalului ( )r t . b. Determinai i reprezentai grafic ( )H . c. Determinai i reprezentai grafic semnalul ( )y t . d. Repetai punctul c), dac ( ) ( )r t x t= . Problema 5

Se consider sistemul, avnd rspunsul la impuls: ( ) sin 6 cos12th t tt

= .

a. Determinai i reprezentai grafic funcia de transfer a sistemului, ( )H . b. Determinai rspunsul sistemului la semnalul de intrare ( ) cos 2 sin10x t t t = + . c. Ce fel de filtru este acesta? Justificai rspunsul! Problema 6

Notnd cu ( )X transformata Fourier a semnalului ( )x t , cu reprezentarea grafic din figura P6.1:

Figura 6.1

Determinai fr a calcula explicit, ( )X : a.) ( )0X ;

b.) ( )X d

;

c.) ( ) sinX d

d.) Schiai transformata Fourier inverrs a lui ( ){ }Re X .


52

Problema 7

Se consider SLIT discret, cu rspunsul la impuls: [ ] [ ] [ ] [ ]1 11 12 2

h n n n n = + + +

a. Calculai i reprezentai grafic funcia de transfer, ( )H , i artai (pe baza graficului obinut) c acest sistem este un filtru trece jos.

b. Determinai rspunsul [ ]y n al sistemului considerat la semnalul [ ] sin2

x n n

= .

c. Reprezentai grafic spectrul de amplitudine i spectrul de faz al semnalului [ ]y n . Problema 8 Un sistem liniar i cauzal este descris de ecuaia cu diferene finite:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1y n ay n bx n x n = + , a , 1a < a. Determinai funcia de transfer a sistemului, ( )H b. Pentru ce valoare b se obine ( ) 1H = , pentru ? Ce denumire are un astfel de sistem? c. Schiai ( ){ }arg H pentru 0.5a = n condiiile de la punctul b. Problema 9

Fiind dat sistemul n timp discret [ ]x n , cu spectrul, ( )X , avnd restricia la perioada

principal, ( ) cos2 2r

X

= +

.

Schiai spectrele semnalelor [ ] [ ] [ ]z n x n p n= pentru fiecare dintre secvenele [ ]p n , de mai jos: a. [ ] cosp n n=

b. [ ] cos2

p n n

=

c. [ ] [ ]2k

p n n k

=

=

probleme ss 2011

Documents