Probleme practice

PIRAMIDA Cele mai cunoscute piramide sunt Piramidele din Egipt.Acestea sunt în forma unor piramide patrulatere regulate. În Egipt exista, în prezent, circa 110

piramide cunoscute, dintre care multe se afla într-o stare avansată de deteriorare şi sunt aproape de nerecunoscut. Unele au fost construite ca locuri de înmormantare pentru regi şi altele pentru regine. Dintre ele, cea mai mare este Piramida lui Keops (Khufu). Piramida lui Keops este singura minune a lumii antice care dăinuieşte şi astăzi şi este în acelaşi timp şi cea mai veche. Este localizată pe Platoul Gizeh şi a fost construită în perioada faraonului Khufu (Keops în greacă), în perioada 2550-2500 î.e.n. Avea la început o înălţime de 146 m şi a fost mult timp cea mai înaltă construcţie a umanităţii. (până la construcţia în anul 1889 a Turnului Eiffel). Probleme 1. Ştiind că piramida lui Keops are înălţimea de 146m şi latura bazei este de

227m, calculaţi volumul piramidei şi panta piramidei(unghiul dintre o faţă laterală şi planul bazei.

Soluţie:

V= 32

25100003

146227

3m

hAb ≈⋅

=⋅

Unghiul dintre o faţă laterală şi planul bazei este .VMO< Din triunghiul dreptungic VOM

deducem : ( ) 2863,15,113

146≈==

OM

VOVMOtg < . Din tabelul funcţiilor trigonometrice

deducem că unghiul dintre o faţă laterală şi planul bazei este de 520 . 2. Ştiind că piramida lui Keops a fost construită din blocuri de piatră de calcar şi că un metru cub de calcar cântăreşte aproximativ 2,5 tone, calculaţi cât cântăreste piramida lui Keops.

Deoarece Volumul piramidei = 2 500 000 mc , rezultă că greutatea piramidei = 2 500 000 x 2,5 = 6 250 000 tone.

Nu toate piramidele construite de anticii egipteni au fost la fel de mari şi de frumoase precum cele trei piramide de la Giseh. Faraonul Snefru, probabil tatăl faraonului Khufu (Keops), a fost unul din cei mai mari constructori de piramide. În timpul domniei lui au fost construite în jur de 5 piramide, cei drept, mult mai mici decât cea a urmaşului său Khufu (Keops). Una din cele mai cunoscute piramide construite de către Snefru este ,,Piramida turtită” . Aceasta devine cunoscută nu petru dimensiunile sale, ci pentru eroarea de construcţie. Piramida turtită poartă această denumire datorită modificării unghiului pantei. Arhitecţii acestei piramide , dându-şi seama că terenul nu poate suporte greutatea acestei piramide dacă ar continua cu panta iniţială , pe la jumătatea construcţiei micşorează panta pentru a finaliza construcţia mai repede. 3. Piramida turtită are la bază 190m şi panta de 540. La înălţimea de 45m,

datorită terenului, ce nu ar fi suportat întreaga greutate a piramidei, constructorii micşorează panta la 450 . Determinaţi înălţimea finală a piramidei şi volumul său. (tangentă de 540 = 1,428)

Unghiul OMN = 540 , unghiul VNO’=450, OO’=45m, iar AB = 190m. Desenăm trapezul dreptunghic OMNO’ şi determinăm O’N=62 m , deci A’B’=122m. Deoarece triunghiul VO’N este dreptunghic isoscel rezultă că VO’ = 62m Deci înălţimea piramidei = 45+62=107 m Pentru a determina volumul , calculăm volumul trunchiului de piramidă ABCDA’B’C’D’ şi volumul piramidei mici VA’B’C’D’. Volumul trunchiului = 1 112 490 mc Volumul piramidei mici = 307 602 mc Deci volumul piramidei turtite = 1 420 092 mc.

4. Calculaţi care ar fi fost volumul piramidei dacă arhitecţii egipteni nu ar fi

modificat panta piramidei.

5. Calculaţi care ar este greutatea aproximativă a piramidei turtite, ştiind că a

fost construită din blocuri de calcar şi că 1 m3 de piatră cântăreşte 2.5 t. Cu câte tone este mai uşoară piramida decât cea planificată.

Soluţie Deoarece Volumul piramidei = 1 420 092 mc , rezultă că greutatea piramidei = 1 420 092 x 2,5 = 3 550 230 tone. Dacă nu ar fi fost modificată panta, atunci piramida ar fi cântărit 4 081 105 tone, deci cu 530 875 tone mai mult.

AB = 190m şi măsura unghiului VMO=540 Din triunghiul dreptunghic VOM, aplicăm funcţia tangentă şi deducem că VO = 135,66 m Deci volumul piramidei = 1 632 442 mc.