Probleme recreative1. Elevii perspicaciDoi elevi - un biat i o fat - terminaser de efectuat nite msurtori meteorologice. Acum se odihneau pe o colin i priveau un tren de marf care trecea prin faa lor. De-a lungul cii ferate vntul sufla uniform, fr rafale. - Ce vitez a vntului au indicat msurtorile noastre? - ntreb biatul. - 7 m/s. - Astzi aceast indicaie mi este suficient pentru a stabili viteza cu care merge trenul. - Vorbeti serios?! - spuse fata, cu o uoar ndoial n glas. - N-ai dect s priveti cu mai mult atenie mersul trenului. Dup o clip de gndire fata i-a dat seama cum a aflat colegul ei viteza trenului. Iar de vzut, au vzut exact tabloul schiat de desenatorul nostru. Cu ce vitez mergea trenul?

2. Permutarea tablelor

Luai 6 piese de table (monede, hrtiue sau cartonae), 3 albe i 3 negre, i aezai-le alternativ, una neagr - una alb, aa cum vede mai jos. n stnga sau n dreapta lsai spaiu suficient ca s ncap patru piese. Piesele albe trebuie s fie n stnga, urmate de cele negre. Se cere s mutai piesele n aa fel, nct acestea s succead n ordinea culorilor: mai nti n stnga cele trei piese albe, urmate de cele trei negre. Avei dreptul s mutai n spaiul liber numai cte dou piese alturate deodat. Pentru rezolvarea problemei sunt suficiente trei mutri.

1

3. n trei micri

Aezai pe mas 3 grmjoare de chibrituri: prima - de 11, a doua - de 7, iar a 3-a - de 6 chibrituri. Mutnd chibriturile din oricare grmjoar n cealalt se cere s le egalizai pe toate trei n aa fel, nct fiecare s aib cte 8 bee de chibrit. Lucrul este posibil, deoarece numrul lor total 24, se mparte exact la 3; totodat trebuie s respectai urmtoarea regul: avei voie s adugai la fiecare grmad numai attea chibrituri cte are ea. De exemplu, la grmada de 6 chibrituri putei aduga numai alte 6; dac ntr-o grmad rmn 4 chibrituri, putei aduga numai 4. Problema se rezolv din 3 mutri.

4. Numrai!

Verificai-v spiritul de observaie geometric: numrai cte triunghiuri se gsesc n figura urmtoare:

5. Drumul grdinarului

Figura urmtoare descrie planul unei mici livezi de meri (punctele reprezint merii). Grdinarul trebuie s ngrijeasc toi pomii. El a nceput cu ptratul nsemnat cu o stelu i a vizitat pe rnd toate ptrelele - att pe cele cu pomi ct i pe cele libere - fr s treac de dou ori prin acelai ptrel. El nu a mers n diagonal i nici nu a trecut prin ptrelele haurate ocupate cu diferite construcii. La terminarea drumului, grdinarul a ajuns n ptrelul de unde pornise. Reconstituii pe caietul vostru drumul parcurs de grdinar.

2

6. Gndii-v puin

ntr-un co sunt 5 mere. Cum trebuie mprite aceste mere la 5 fetie, n aa fel nct fiecare s capete cte un mr, iar n co s mai rmn unul?

7. Rspundei repede

Rspundei cte pisici sunt n odaie, dac n fiecare din cele patru coluri ale odii se gsete o pisic, n faa fiecrei pisici stau 3 pisici, iar pe fiecare coad de pisic st o pisic?

8. n sus i n jos

Un biat a alturat strns un creion albastru de altul galben. Pe latura lipit de creionul galben, creionul albastru este murdrit cu vopsea la unul din capete, pe o lungime de un centimetru. Biatul ine nemicat creionul galben, iar pe cel albastru continund s-l in lipit de cel galben, l coboar cu 1 cm apoi l readuce n poziia iniial, pentru ca s-l coboare iari cu 1 cm i s-l readuc din nou n poziia iniial; el a cobort creionul albastru de 10 ori i l-a ridicat tot de 10 ori (n total 20 de micri). Dac vom admite c n acest timp vopseaua nu s-a uscat i nici nu s-a ters, pe ce lungime (n centimetri) va fi murdrit cu vopsea creionul galben dup micarea a 20-a?

9. Trecerea peste ru

Un mic detaament de soldai trebuia s treac peste un ru. Podul era rupt, iar rul adnc. Ce era de fcut? Deodat ofierul zri lng mal doi copii care se jucau cu o barc. Barca era ns tare mic i nu putea s in dect un singur soldat sau pe cei doi copii. Totui, toi soldaii au trecut rul cu ajutorul acestei luntrioare. Cum au procedat? Rezolvai aceast problem n minte sau n mod practic, folosind piese de table, chibrituri sau orice alte obiecte, pe care le vei trece peste un ru imaginar.

10. Lupul, capra i varza

Un om trebuia s treac peste o ap un lup, o varz i o capr. Avea la dispoziie o barc n care nu ncpea dect el mpreun cu unul din cele doua animale sau cu varza. Dac rmneau pe mal lupul i capra, atunci lupul devora capra; dac rmnea capra cu varza, atunci capra mnca varza. n prezena omului nimeni nu mnca pe nimeni. Omul nostru a izbutit totui s-i treac pe toi trei peste ap. Cum a procedat el?

11. Repararea lanului

tii la ce se gndete tnrul fierar? naintea lui se afl cinci grupuri de verigi care trebuie unite ntr-un singur lan, fr s fie folosite verigi suplimentare. Dac, de exemplu, va desface veriga 3 (o operaie) i va prinde de veriga 4 (nc o operaie), iar apoi va desface veriga 6 i o va prinde de veriga 7 .a.m.d., el va izbuti 3

s uneasc toate verigile n opt operaiuni. Fierarul nostru ns vrea s ferece lanul numai n 6 operaiuni i trebuie s spunem c a izbutit s-o fac. tii i voi cum?

12. ndreptai greeala

Luai 12 chibrituri i aezai-le ca n figura de mai jos. Dup cum vedei, egalitatea este greit, deoarece rezult c 6 - 4 = 9. Mutai un singur chibrit n aa fel, nct egalitatea s fie corect.

13. Din 3 facei 4 (fars)

Pe mas se gsesc 3 chibrituri. Fr s adugai nici un chibrit, facei din trei - patru. Nu avei voie s rupei chibriturile.

14. 3 i cu 2 fac 8 (alt fars)

Iat acum o fars analog. Aezai pe mas 3 chibrituri i rugai-l pe prietenul vostru s adauge alte 2, aa fel nct s rezulte 8. Bineneles, chibriturile nu pot fi rupte.

15. Trei ptrate

Din 8 beioare (de pild, chibrituri), dintre care 4 sunt de dou ori mai mari dect celelalte 4, se cere s alctuii 3 ptrate egale.

16. ncercai!

Aezai 10 scaune de-a lungul pereilor unei camere ptrate, n aa fel nct n dreptul fiecrui perete s se afle un numr egal de scaune.

17. Aezarea steguleelor

Energeticienii au construit o mic hidrocentral. n ziua inaugurrii ei, elevii au mpodobit cldirea centralei, din cele patru pri, cu ghirlande de flori, lampioane i stegulee. Stegulee erau cam puine, n total 12. La nceput elevii au aezat steguleele cte 4 de fiecare latur a cldirii, aa cum se vede n desenul urmtor. Apoi i-au dat seama c cele 12 stegulee pot fi aezate cte 5, sau chiar cte 6 de fiecare latur. 4

Cel de-al doilea proiect le-a plcut mai mult i au hotrt s aeze steguleele cte 5. Artai pe schem cum au aezat elevii cele 12 stegulee cte 5 de fiecare latur a cldirii i cum ar fi putut s le aeze cte 6.

18. Mereu cu so

Luai 16 obiecte oarecare (hrtiue, monede sau piese de table) i aezai-le cte 4 n rnd, aa cum se arat n figura de mai jos. Apoi eliminai 6 din ele, dar aa fel ca n fiecare rnd, vertical i orizontal, s rmn un numr cu so de obiecte. Se pot obine soluii diferite, n funcie de locul ocupat de obiectele eliminate.

n vrfurile triunghiului am scris numerele 1, 2 i 3. Voi trebuie s aezai pe laturile triunghiului numerele 4, 5, 6, 7, 8, 9 n aa fel, nct suma tuturor numerelor dispuse de-a lungul fiecrei laturi s fie egal cu 17. Problema nu este grea, deoarece v-am indicat numerele care trebuie aezate n vrfurile triunghiului. Va trebui s pierdei mai mult vreme dac nu v voi spune dinainte ce numere trebuie scrise n vrfurile triunghiului i v voi cere s aezai n aa fel numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, folosind fiecare numr numai o singur dat, nct suma numerelor de-a lungul fiecrei laturi a triunghiului, mpreun cu cele din vrf, s fie egal cu 20. Exist mai multe soluii, i dup ce vei fi gsit-o pe prima nu v pierdei rbdarea, ci mutai cifrele ca s gsii ct mai multe soluii posibile. 5

19. Triunghiul magic"

20. Cu 4 linii drepte

Desenai pe o foaie de hrtie 9 puncte, aezate la distane egale, astfel nct s formeze un ptrat. Fr s ridicai creionul de pe hrtie, tragei 4 linii drepte n aa fel nct s trecei prin toate punctele.

21. Desprii caprele de verze

Acum trebuie s rezolvai o problem care, ntr-un anumit sens, este invers celei de mai nainte. n problema anterioar a trebuit s unim punctele cu ajutorul unor linii drepte; de ast dat se cere s tragem 3 linii drepte cu ajutorul crora s separm caprele de verze.

22. Dou trenuri

Un tren rapid a pornit de la Oradea spre Braov cu o vitez de 60 de km/h, fr oprire. Un alt tren a plecat n sens contrar, adic de la Braov spre Oradea, cu o vitez de 40 de km/h, de asemenea fr oprire. Care va fi distana dintre trenuri cu o or naintea ntlnirii lor?

6

23. n timpul fluxului (fars)

Nu departe de rm se gsete ancorat o corabie, peste bordul creia este aruncat o scar de frnghie. Scara are 10 trepte, iar distana dintre trepte este de 30 cm. Treapta cea mai de jos atinge suprafaa apei. Marea este astzi linitit, dar ncepe fluxul, care face ca n fiecare ceas nivelul apei s creasc cu 15 cm. Peste ct timp va acoperi apa treapta a treia a scrii de frnghie?

24. Cadranul ceasului a) Cu ajutorul a dou drepte mprii cadranul unui ceas n 3 pri, aa fel caadunnd numerele din fiecare parte s obinei aceeai sum. b) Poate fi oare mprit cadranul n 6 pri, astfel ca fiecare parte s cuprind dou numere, iar sumele lor s fie egale?

25. Cadranul spart

Am avut prilejul s vd ntr-un muzeu un ceas vechi, care avea nsemnate orele cu cifre romane, iar cifra patru, n loc s fie notat cu semnul pe care-l cunoatem (IV), era nsemnat prin patru bee (IIII). Cadranul era strbtut de nite crpturi care-l mpreau n 4 pri, aa cum se vede n figura de mai jos. Suma numerelor din fiecare parte era diferit: n prima - 21, n a doua - 20, n a treia - 20, iar n a patra - 17. Am remarcat c dac crpturile ar fi dispuse altfel, suma numerelor din fiecare din cele patru pri ale cadranului ar fi egal cu 20. n acest caz, crpturile nu trebuie s treac negreit prin centrul cadranului. Copiai desenul n caiet i aflai cum ar trebui s, fie dispuse crpturile.

7

26. Cte trei n rnd

Aezai pe mas 9 nasturi, aa fel ca s obinei un ptrat cu latura de 3 nasturi, iar unul asezai-l n centru. inei minte c, dac de-a lungul unei drepte oarecare se gsesc doi sau mai muli nasturi, vom da ntotdeauna acestei aezri numele de rnd. Astfel AB i CD sunt rnduri, cuprinznd fiecare cte 3 nasturi, iar EF este un rnd cu numai 2 nasturi. Stabilii cte rnduri cu cte 3 nasturi i cte rnduri cu cte 2 nasturi se gsesc n desenul nostrum. Scoatei acum 3 nasturi, iar pe cei 6 rmai aezai-i n trei rnduri, n aa fel ca n fiecare rnd s se gseasc cte trei nasturi.

8

27. Zece rnduri

Nu e greu de aflat cum trebuie aezate 16 piese de table n 10 rnduri care s cuprind fiecare cte 4 piese. Mult mai greu este s aezai 9 piese n 10 rnduri i fiecare rnd s aib cte 3 piese. Rezolvai amndou problemele.

28. De la 1 la 19

Se cere s aezai n cele 19 cerculee toate numerele ntregi de la 1 la 19, astfel ca suma cifrelor din oricare 3 cerculee aflate pe aceeai dreapt s fie egal cu 30.

29. Repede, dar cu atenie!

Urmtoarele 4 probleme trebuie rezolvate la iueal. Cine le rezolv mai repede ctig. Problema 1. La amiaz, din Oradea pleac spre Cluj un autobus cu pasageri. O or mai trziu din Cluj pleac spre Oradea un biciclist, care pornete pe aceeai osea, dar, firete, se deplaseaz mult mai ncet dect autobusul. Cnd pasagerii autobusului se vor ntlni cu biciclistul, care dintre ei va fi mai departe de Oradea? Problema 2. Ce cost mai mult: un kilogram de monede de 25 de bani sau o jumtate de kilogram de monede de 50 de bani? Problema 3. La ora 6 ceasul de perete a btut de 6 ori. Uitndu-m la ceasul de buzunar am observat c ntre prima btaie i cea de-a asea s-au scurs exact 30 de secunde. Dac pentru a bate de 6 ori a fost nevoie de 30 de secunde, ct timp va dura btaia ceasului la amiaz sau la miezul nopii, atunci cnd pendula bate de 12 ori? Problema 4. Dintr-un punct i-au luat zborul 3 rndunele. Cnd se vor gsi ele n acelai plan? Gndii-v bine dac ai dat rspunsurile corecte. Nu cumva ai czut n capcanele pe care le cuprind aceste probleme simple?

9

30. Aezarea monedelor

Desenai pe o foaie de hrtie schema de mai jos, mrindu-i dimensiunile de 2 3 ori, i pregtii 17 monede dup cum urmeaz: 5 monede a 20 copeici, 3 monede a 15 copeici, 3 monede a 10 copeici, 6 monede a 5 copeici. Dac nu avei monede cu valorile de mai sus, putei folosi rotocoale de carton, pe care vei trece valoarea copeicilor respective. Aezai monedele n ptratele figurii, n aa fel ca suma lor de-a lungul fiecrei linii drepte marcate n desen s fie egal cu 55.

31. Musca neastmprat

Pe oseaua Oradea Alba Iulia doi bicicliti au pornit n acelai timp ntr-o curs de antrenament, dar din direcii opuse. n clipa cnd ntre bicicliti rmsese o distan de 300 de kilometri, o musc a nceput s urmreasc cursa cu mult interes. Lundu-i zborul de pe umrul unuia din bicicliti i, depindu-l, ea s-a ndreptat n ntmpinarea celuilalt. Ajungnd la cel de-al doilea biciclist i convingndu-se c totul este n ordine, a fcut dendat cale-ntoars. Cnd a ajuns n dreptul primului biciclist a zburat iari spre cel de-al doilea. i aa musca noastr a zburat mereu de la unul la cellalt, pn ce biciclitii s-au ntlnit. Atunci s-a linitit i s-a aezat pe nasul unuia din ei. Musca zbura ntre bicicliti cu o viteza de 100 km/or. n timp ce biciclitii mergeau tot timpul cu o vitez constant de 50 km/or. Ci kilometri a parcurs musca? 10

32. Nu mai e mult pn atunci

Va fi oare n secolul nostru un asemenea an pe care dac-l vom scrie n cifre i vom ntoarce apoi hrtia cu capul n jos, numrul citit pe hrtia ntoars va indica acelai an?

33. Dou farse Prima fars. Un tat a chemat-o la telefon pe fata lui i a rugat-o s-i

cumpere de la prvlie cteva lucruri de care avea nevoie, spunndu-i n acelai timp c banii se gsesc ntr-un plic pe birou. Fetia a privit n fug plicul, pe care a vzut scris numrul 98, a scos banii i, fr s-i numere, i-a bgat n geant, aruncnd plicul. n prvlie a cumprat diferite lucruri n sum de 90 de lei, dar la plat a constatat nu numai c nu-i rmneau 8 lei, cum ar fi trebuit, dar c i lipseau chiar 4 lei. Acas i-a povestit tatlui ntmplarea, ntrebndu-l dac nu cumva a greit cnd a numrat banii. Tatl i-a rspuns c el a numrat banii bine i c ea este aceea care a greit, artndu-i totodat n ce a constat greeala ei. tii cumva i voi? A doua fars. Pregtii 8 hrtiue cu numerele 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 i 9 i aezai-le pe dou coloane, ca n figura urmtoare. Mutnd numai 2 hrtiue, trebuie s obinei ca totalul celor 2 coloane s fie egal.

34. Ci ani am?

Cnd tatl meu avea 31 de ani, eu aveam 8 ani. Astzi tatl meu este de 2 ori mai n vrst ca mine. Ci ani am acum?

35. Apreciai din ochi"

n faa ochilor votri se gsesc dou coloane de cifre: 123456789 1 12345678 21 1234567 321 123456 4321 12345 54321 1234 654321 123 7654321 12 87654321 1 987654321 11

Privindu-le vei observa c numerele din prima coloan sunt formate din aceleai cifre ca i cele din coloana a doua, aezate ns n ordine invers. Care coloan va da la adunare o sum mai mare? Mai nti comparai coloanele din ochii, adic fr s facei adunarea, i ncercai s stabilii dac ele sunt egale, sau una trebuie s fie mai mare ca cealalt. Verificai apoi, fcnd adunarea.

36. Adunare rapid

Cele 8 numere de cte 6 cifre: 328 645 + 491 221 816 304 117 586 671 355 508 779 183 696 882 414 au fost n aa fel alese, nct grupndu-le cu anumit socoteal putem afla totalul adunrii n minte, n cel mult 8 secunde. Putei rezolva adunarea n acest timp? Primul truc. Spunei prietenilor: Fr s-mi artai hrtia, scriei cteva numere cu mai multe cifre, aezndu-le ns n coloan. Apoi mi vei arta hrtia, iar eu am s adaug tot attea numere cte ai scris voi, comunicndu-v pe loc i suma lor. S presupunem c prietenii au scris numerele: 7 621 3 057 2 794 4 518 Vei aduga astfel de numere care s completeze succesiv - pn la 9999 toate numerele scrise. Aceste numere vor fi: 5 481 7 205 6 942 2 378 ntr-adevr, 4518 + 2 794 + 3 057 + 7 621 + 5 481 7 205 6 942 2 378 9 999 9 999 9 999 9 999 Acum nu e greu s ne dm seama, cum putem calcula rapid totalul adunrii: 7 621 + 3 057 2 794 4 518 5 481 7 205 12

6 942 2 378 Avem de adunat de patru ori numrul 9.999, adic 9.999 x 4, nmulire care se face foarte uor n minte: nmulim 10 000 cu 4 i scdem 4 uniti. Rezultatul obinut va fi: 10.000 x 4 - 4 = 40.000 - 4 = 39.996. Acesta este tot secretul! Al doilea truc. Scriei unul sub altul dou numere, indiferent de mrimea lor. Eu voi aduga un al treilea numr i n aceeai clip voi scrie de la stnga la dreapta suma celor trei numere. S presupunem c ai scris numerele: 72.603.294 51.273.081 Eu voi aduga, de exemplu, numrul 48.726.918 i v voi indica n acelai timp i rezultatul adunrii. Gndii-v singuri ce numr trebuie adugat pentru a gsi imediat rezultatul adunrii.

37. n care mn?

Dai-i prietenului vostru dou monede - una cu o valoare cu so, iar cealalt cu o valoare fr so (de exemplu o moned de 10 bani i una de 25 de bani). Spunei-i c, fr s v arate, s ia una din monede (oricare) n mna dreapt, iar pe cealalt n mna stng. Cu ajutorul matematicii putei ghici uor n care mn ine moneda cu so i n care mn o are pe cea fr so. n acest scop l vei ruga s tripleze valoarea monedei din mna dreapt, i s dubleze valoarea monedei din mna stng, iar rezultatele obinute s le adune i s v comunice numai totalul. Dac totalul este o cifr cu so, atunci n mna dreapt se gsete moneda de 10 bani, iar dac suma este fr so, atunci moneda de 10 bani se gsete n mna stng. Explicai de ce se ntmpl ntotdeauna aa cum am artat mai sus i gndiiv ce alte trucuri pot fi nscocite pe aceast baz.

38. Ci sunt?

Un biat are tot attea surori, ci frai, dar sora lui are de dou ori mai puine surori dect frai. Ci frai i cte surori sunt?

39. Cu aceleai cifre

Folosind numai semnul adunrii, scriei numrul 28 cu ajutorul a cinci de doi, iar numrul 1.000 cu ajutorul a opt de opt.

40. O sut

Cu ajutorul oricror operaii aritmetice scriei numrul 100, fie din cinci de unu, fie din cinci de cinci. Atenie! Numrul 100 poate fi scris din cinci de cinci n dou feluri. 13

41. Duel aritmetic

n cercul de matematic de la coala noastr era obiceiul ca fiecrui elev doritor s devin membru al cercului s i se dea n prealabil spre rezolvare o problem simpl, dar care-i punea la ncercare iscusina matematic. Dac o rezolva era primit ca membru, dac nu o rezolva era admis numai ca auditor. mi aduc aminte c odat preedintele nostru i-a dat unui coleg de-al meu urmtoarea problem: Se dau numerele: 111, 333, 555, 777, 999. S se nlocuiasc 12 din cifrele de mai sus cu 0, aa ca la adunare s rezulte 20. Colegul meu s-a gndit un pic i a scris imediat: 011 + 000 000 000 009 20 010 + 003 000 007 000 20

sau

Apoi a zmbit i a spus: Dac la cele cinci numere de cte 3 cifre se vor nlocui cu 0 numai 9 cifre, se poate obine la adunare totalul de 1.111. ncercai! Preedintele cercului s-a fstcit puin, dar s-a apucat cu mult curaj de rezolvarea problemei i trebuie s spunem c a rezolvat-o cu succes. El nu numai c a gsit soluia cerut, dar a descoperit i o alt variant: Tot la numerele de mai sus a spus el - se pot nlocui cu 0 nu 9, ci numai 8 cifre, i totui suma s rmn neschimbat, adic 1.111. De data aceasta a czut pe gnduri colegul meu. Membrii cercului urmreau cu interes acest neateptat duel aritmetic. Colegul meu a gsit i de ast dat soluia i, spre satisfacia celor prezeni, a propus o nou variant a problemei: La cele cinci numere de trei cifre de mai sus se pot nlocui cu 0 nu 9 sau 8, ci numai 6 cifre, i totui suma s rmn aceeai, adic 1.111. Profesorul de matematic i-a ludat pe amndoi participanii la duel i le-a spus c suma de 1.111 poate fi meninut, nlocuind cu 0 nu 9, 8 sau 6 cifre, ci chiar i 5 cifre. Gsii soluia tuturor celor patru variante ale acestei probleme. Nscocii o problem analoag pentru numere alctuite nu din trei, ci din cinci cifre de unu, de trei, de cinci, de apte i de nou.

42.Douzeci

Din patru numere fr so este uor s alctuim o sum egal cu zece: 1 + 1 + 3 + 5 = 10 sau 1 + 1 + 1 + 7 = 10. Exist i a treia soluie: 1 + 3 + 3 + 3 = 10. Alte soluii nu mai exist (inversrile n ordinea cifrelor, firete, nu ne dau soluii noi). Mult mai multe soluii are urmtoarea problem: S se obin numrul 20 adunnd opt numere impare; i de aceast dat se admite repetarea aceluiai numr. Gsii toate soluiile acestei probleme i stabilii cte din sumele respective vor cuprinde cele mai multe numere diferite. 14

Chiar dac vei alege numerele la ntmplare, vei gsi mai multe soluii, dar probele lipsite de sistem nu v vor da certitudinea c ai epuizat toate posibilitile. Dac vei introduce n procedeul probelor o anumit ordine, un sistem, atunci nu v va scpa niciuna din soluiile posibile.

43. Cte rute sunt posibile?

Am primit urmtoarea scrisoare din partea unor elevi: n cadrul edinelor cercului de matematic am trasat planul a aisprezece cvartale din oraul nostru. n schema anexat toate cvartalele au fost convenional inseminate prin ptrate egale. Pe noi ne-a interesat urmtoarea problem: Cte rute diferite exist din punctul A pn la punctul C, dac ne deplasm pe strzile oraului numai nainte i la dreapta, la dreapta i nainte? Unele rute pot coincide parial (vezi linile punctate din schem).

D

C

A

B

Credei c am soluionat corect problema dac am gsit 70 de rute diferite? Ce trebuie rspuns la aceast scrisoare?

44. Nouzeci i nou i o sut

Cte semne de plus (+) trebuie puse ntre cifrele numrului 987.654.321, pentru ca suma rezultat s fie 99? Sunt posibile dou soluii. Ele nu sunt chiar att de uor de gsit, dar n schimb vei cpta o experien care v va ajuta s punei repede semnul plus ntre urmtoarele apte cifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, n aa fel ca suma rezultat s fie 100 (nu se admite schimbarea ordinii cifrelor). i n acest caz sunt posibile dou soluii. 15

La capetele a cinci diametre au fost scrise toate numerele ntregi de la 1 pn la 10, aa cum se vede n figura urmtoare. n aceast situaie numai ntr-un singur caz suma a dou numere nvecinate este egal cu suma numerelor nvecinate opuse, i anume: 10 + 1 = 5 + 6, ns, de exemplu, 1 + 2 6 + 7 sau 2 + 3 7 + 8.

45. Schimbai ordinea cifrelor

Aezai numerele de mai sus astfel ca suma oricror dou numere nvecinate s fie egal cu suma celor dou numere opuse corespunztoare. V pot spune c problema are mai multe soluii, adic exist mai multe posibiliti de a aeza numerele aa fel ca s ndeplineasc condiiile problemei. ncercai s gsii un sistem care s v permit s stabilii numrul tuturor soluiilor posibile.

46.Operaiile difer, rezultatul este acelai

Dac vom nlocui semnul adunrii ntre doi de 2 cu semnul nmulirii, rezultatul rmne neschimbat. ntr-adevr: 2 + 2 = 2 x 2. Nu e greu de gsit i 3 numere care s aib aceast proprietate, de exemplu: 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3. Exist i patru numere monodrome (monodrom = numrul reprezentat printr-o singur cifr), care nmulite sau adunate ntre ele s ne dea unul i acelai rezultat. Cine a gsit mai repede numerele respective? Gata? Continuai ntrecerea! Gsii 5, apoi 6, 7 etc. numere monodrome care s aib aceast proprietate. inei seama c, ncepnd cu grupele de cinci numere, soluiile pot fi diverse.

47. Cte dou

nirai pe mas ntr-un singur rnd zece chibrituri. Eu le pot aeza n grupuri de dou chibrituri, adic pot obine 5 perechi, srind de fiecare dat cu un chibrit peste alte dou chibrituri. Gsii un alt sistem de grupare a chibriturilor cte dou, respectnd aceleai condiii.

16

48. Cte trei

Aezai n rnd cincisprezece chibrituri. Se cere s le grupai n cinci grupe de cte 3 chibrituri fiecare. Se admite mutarea unui singur chibrit la o micare, srind de fiecare dat peste trei chibrituri. Rezolvai-o n zece mutri.

49. Patru operaii aritmetice

Se dau urmtoarele 7 rnduri de numere aezate n ordine crescnd: 123 = 1 1234 = 1 12345 = 1 123456 = 1 1234567 = 1 12345678 = 1 123456789 = 1 Fr s schimbai ordinea cifrelor, punei ntre ele semne aritmetice, astfel nct n urma operaiilor respective n fiecare rnd s rezulte totalul indicat. 17

Operaiile trebuie efectuate n ordine succesiv, de la stnga la dreapta. Se poate ntmpla s avei de fcut o adunare, dup care s urmeze o nmulire; n acest caz, dup cum tii, trebuie s folosii parantezele mici i mari. La nevoie, putei considera dou cifre alturate drept un singur numr...

50. oferul curios

Aruncndu-i privirea asupra kilometrajului mainii, un ofer a observat c el indic numrul 15.951. Cu aceast ocazie oferul a constatat c numrul kilometrilor parcuri de automobil era exprimat printr-un numr simetric, adic un numr care putea fi citit la fel i de la stnga i de la dreapta: 15.951. - Curios numr!... i zise oferul. Acum, probabil va mai trece mult vreme pn voi putea citi pe kilometraj un alt numr cu aceleai nsuiri. Totui, exact peste 2 ore, kilometrajul indic din nou un numr simetric. Aflai cu ce vitez a mers oferul n aceste 2 ore.

51. Predarea cerealelor la termen

ncepnd predarea cerealelor vndute statului, conducerea unei gospodrii a hotrt ca prima coloan de camioane ncrcate cu cereale s ajung n ora exact la ora 11. Dac mainile vor merge cu o vitez de 30 km/or, coloana va sosi n ora la ora 10, iar dac vor merge cu o vitez de 20 km/or, va ajunge la ora 12. La ce distan de ora se gsete gospodria colectiv i cu ce vitez trebuie s mearg camioanele pentru a sosi la ora fixat?

52. ntr-un autobus

Dou colege de coal cltoreau spre cas n acelai autobus. - Observ - spuse una din prietene - c autobusele ce merg n sens contrar trec din cinci n cinci minute. Ce crezi tu, cte autobuse sosesc n centru n decurs de o or, dac viteza lor n ambele sensuri este egal? - Firete, 12, deoarece 60 : 5 = 12, - rspunse prietena. Eleva care pusese ntrebarea nu a fost de acord cu soluia dat de prietena ei. Care este prerea voastr?

53. De la 1 pn la 1.000.000.000

Se spune c pe cnd avea nou ani, Gauss (1777-1855) a fost pus de profesorul su de matematic s afle suma tuturor numerelor ntregi de la 1 la 100, adic 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 i micul elev a gsit imediat o soluie ingenioas care i-a ngduit s afle foarte repede suma cutat. Trebuia s adune primul numr cu ultimul al doilea cu penultimul .a.m.d. Suma fiecrei perechi de acest este egal cu 101 i se repet de 50 de ori. Prin urmare, suma tuturor numerelor ntregi de la pn la 100 este egal cu 101 x 50 = 5.050. Folosii acelai procedeu pentru rezolvarea unei probleme mai dificile: gsii suma tuturor cifrelor ale tuturor numerelor ntregi de la 1 pn la 1.000.000.000.

18

Pentru rezolvarea problemelor urmtoare este necesar cunoaterea operaiilor aritmetice cu fracii simple i zecimale54. CeasulCltorind prin Rusia am ajuns n inuturi unde diferena dintre temperatura aerului n timpul zilei i cea din timpul nopii este att de mare, nct n zilele i nopile care le petreceam n aer liber am observat c ceasul meu nu mai funciona cum trebuie. Astfel, din cauza schimbrilor de temperatur, ziua ceasul fugea cu 1/2 de minut, noaptea rmnea n urm cu 1/3 de minut. n dimineaa zilei de 1 mai, ceasul meu arta nc ora exact. La ce dat el va fugi cu 5 minute?

55. Scara

Blocul de care este vorba are ase etaje. De cte ori este mai lung drumul pe scar pn la al aselea etaj, dect drumul pe aceeai scar pn la al treilea etaj, dac ntre etaje scara are acelai numr de trepte?

56. Ai ghicit?

Ce semn trebuie pus ntre cifrele 2 i 3 scrise alturat, pentru a se obine un numr mai mare dect 2, dar mai mic dect 3?

57. Fracii interesante

Dac la numitorul i la numrtorul fraciei 1/3 se va aduna numitorul ei, fracia se va mri de dou ori. Gsii o fracie creia dac i se adun numitorul la numrtor i numitor va crete: a) de 3 ori; b) de 4 ori.

58. Care este numrul?

Jumtate reprezint o treime din el. Care este numrul?

59. Drumul elevului

n fiecare diminea Boris are de fcut pn la coal un drum destul de lung. La o distan de 1/4 din drumul pn la coal se gsete o cldire care are la poart un ceas electric, iar la o distan de 1/3 din drumul de acas pn la coal se gsete gara. Atunci cnd trecea prin dreptul cldirii, ceasul arta de obicei ora 7 i 30 de minute, iar cnd ajungea n dreptul grii ceasul din faa intrrii arta ora 8 fr 25 de minute. La ce or pleca Boris de acas i la ce ora ajungea la coal?

60. Pe stadion

De-a lungul pistei de alergri sunt aezate, la distane egale, 12 fanioane. Linia de start se afl n drepul primului fanion. Alergtorul a ajuns n dreptul fanionului al optulea la 8 secunde dup nceperea cursei. 19

tiind c el alearg cu o vitez constant, n cte secunde va ajunge atletul n dreptul fanionului al 12-lea?

61. Mai devreme sau mai trziu?

Andrei se ntorcea acas de la Iai. Prima jumtate a drumului a mers cu trenul i a parcurs-o de 15 ori mai repede dect dac ar fi mers pe jos. Cea de-a doua jumtate a drumului a trebuit s o fac cu crua cu boi i a mers de dou ori mai ncet dect pe jos. Ce credei, dac mergea pe jos ajungea acas mai devreme sau mai trziu?

62. Ceasul detepttor

Ceasul meu detepttor rmne n urm cu 4 minute la fiecare or; acum 3 ore l-am pus exact dup radio. Ceasul de mn, care merge fr greeal, arta n acest moment ora 12. Peste cte minute, detepttorul va indica i el tot ora 12?

63. Calupul de spun

Pe unul din talerele cntarului a fost aezat un calup de spun, iar pe cellalt taler 3/4 dintr-un calup identic cu primul i nc 3/4 kg. Cntarul se gsete n echilibru perfect. Ct cntrete calupul?

64. Mici probleme distractive Problema 1. Scriei cu ajutorul a dou cifre cel mai mic numr pozitiv. Problema 2. Numrul 37 a fost scris cu ajutorul a cinci cifre de 3 n felulurmtor: 37 = 33 + 3 + ajutorul a cinci cifre de 3. Problema 3. Scriei numrul 100 cu ajutorul a ase cifre de acelai fel. Problema 4. Scriei 55 folosind numai cinci de 4. Problema 5. Scriei numrul 20 cu ajutorul a patru de 9. 1 Problema 6. Din apte chibrituri a fost scris numrul . Transformai aceast 7 1 fracie n , folosind acelai numr de chibrituri. 3

3 . Gsii un alt mijloc pentru a exprima numrul 37 cu 3

20

cte trei ori.

Problema 7. Scriei 20 folosind numai cifrele 1, 3, 5 i 7, fiecare din ele de Problema 8. Suma a dou numere formate din cifrele 1, 3, 5, 7 i 9 este egal

cu suma a dou numere formate din cifrele 2, 4, 6 i 8. Gsii aceste numere folosind fiecare cifr numai o singur dat. Observaie! Nu se admite folosirea de fracii suprunitare. Problema 9. Care dou numere nmulite sau sczute ne dau unul i acelai rezultat? Perechi de numere de acest fel sunt infinit de multe. Cum se formeaz asemenea perechi? Problema 10. Alctuii din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 dou fracii egale, a cror sum s fie egal cu 1. Trebuie s folosii toate cifrele i numai o singur dat (exist mai multe soluii). Problema 11. Folosind o singur dat fiecare din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 alctuii fracii mixte a cror sum s fie egal cu 100 (sunt posibile mai multe soluii).

65. Viteza medie

Jumtate din drum calul a tras crua goal i a mers cu o vitez de 12 km pe or. Restul drumului l-a fcut cu crua ncrcat, mergnd cu o vitez de 4 km pe or. Care este viteza medie, adic cu ce vitez constant ar fi trebuit s mearg calul pentru ca s fi strbtut drumul n acelai timp?

66. Cltorul adormit

Cnd trenul strbtuse jumtate din distana pn la gara unde trebuia s coboare cltorul nostru, acesta s-a culcat i a dormit pn a mai rmas de parcurs jumtate din distana parcurs n timpul ct a dormit. Ce parte din distana total a strbtut-o dormind?

67. Care este lungimea trenului?

Dou trenuri vin din direcii opuse, pe linii paralele; unul merge cu o vitez de 36 km/or, cellalt cu o vitez de 45 km/or. Pasagerul din trenul al doilea a observat c primul tren a trecut prin faa lui timp 6 secunde. Care este lungimea primului tren?

68. Biciclistul

Cnd biciclistul a strbtut 2/3 din drum i-a explodat camera. Restul drumului l-a fcut pe jos i, pentru a ajunge la destinaie, i-a trebuit de dou ori mai mult timp dect cel cheltuit pentru acoperirea distanei parcurse cu bicicleta. De cte ori mergea mai repede cu bicicleta dect pe jos?

69. ntrecerea

Strungarii Vasile i Grigore, elevi la un liceu tehnic de metalurgie, au primit din partea maistrului sarcina s confecioneze un numr egal de piese. Ei au vrut s 21

execute piesele n acelai timp i nainte de termen. Peste ctva timp au constatat ns c Grigore realizase numai jumtate din cte i mai rmseser de fcut lui Vasile, iar acesta din urm mai avea de confecionat jumtate din cte fcuse. De cte ori trebuia acum s sporeasc Grigore norma zilnic, n comparaie cu Vasile, pentru ca s termine comanda n acelai timp cu acesta?

70. Cine are dreptate?

Maria avea de rezolvat o problem de aritmetic. Ultima operaie consta n determinarea volumului unor spturi de pmnt. Pentru aceasta trebuia s calculeze produsul a 3 numere. Maria nmulise primele 2 numere i se pregtea s nmuleasc rezultatul obinut cu al treilea numr, cnd a observat c scrisese greit al doilea factor: el era mai mare cu 1/3 dect numrul dat n enunul problemei. Pentru a nu reface nmulirea fcut, Maria a decis c n orice caz va obine rezultatul corect dac va micora cu o treime pe cel de-al treilea factor, cu att mai mult cu ct el era egal cu factorul al doilea. - Nu ai fcut bine, i-a spus prietena ei. Procednd astfel, ai greit cu 20 de metri cubi. - Cum se poate? i rspunse Maria. Din moment ce am mrit unul din numere, iar pe cellalt, egal cu im micorat exact cu ct era mai mare primul, cred c produsul a rmas neschimbat. Cine are dreptate? Suntei n stare, folosindu-v de datele de mai sus, s aflai volumul spturilor?

71. Trei chiftelue gustoase pentru cin

Mama gtete chiftelue foarte gustoase, folosindu-se de o tigaie mic. Dup ce prjete chiftelele pe una din pri, ea o ntoarce pe cealalt parte. Prjitul fiecrei pri a chifteluei dureaz 30 de secunde, n tigaie nu ncap dect 2 chiftelue deodat. Dac vei afla n ce chip izbutete mama, n condiiile de mai sus, s prjeasc cele 3 chiftelue pe ambele pri numai ntr-un minut, n loc de 2, vei cpta nc 3 chiftelue gustoase.

Situaii dificile72. Iscusina fierarului Heciontr-o zi ne-am apropiat de un vechi turn singuratic. L-am cercetat i ne-am aezat s ne odihnim. Printre noi era i un student la facultatea de matematic. Ca s ne distreze, el a nscocit urmtoarea problem: Cu trei sute de ani n urm tria pe aici un prin ru i nfumurat. Prinul avea o fat de mritat, pe nume Daridjan, pe care o fgduise de soie unui vecin bogat. Fata ndrgise ns un flcu de rnd - pe fierarul Hecio. Daridjan i Hecio au ncercat s fug n muni, dar slugile prinului i-au prins. nfuriat, prinul i condamn la moarte i hotr s-i execute chiar a doua zi pe amndoi, poruncind s fie nchii peste noapte n acest turn nalt, neterminat i prsit. 22

mpreun cu ei a fost nchis i slujnica lui Daridjan, o biat fata care i ajutase s fug. Hecio nu i-a pierdut cumptul i s-a apucat s cerceteze cu deamnuntul turnul, ca s vad dac nu exista vreo posibilitate de salvare. Ajuns n vrful turnului, unde se gsea o fereastr, i-a dat seama c e cu neputin s sar, cci i-ar fi zdrobit oasele de la nlimea aceea. Dar ceva mai sus de fereastr Hecio a observat, fixat n zid, un scripete ruginit, peste care era aruncat o funie, uitat pesemne de meterii zidari. La fiecare capt al funiei era legat un co gol. Hecio i aminti cum cu ajutorul acestor couri zidarii ridicau crmizile i coborau piatra spart. Dac greutatea ncrcturii dintr-un co ntrecea greutatea ncrcturii din cellalt cu aproximativ 5-6 kg, coul cobora destul de lin pe pmnt; n acelai timp cellalt co se ridica pn la fereastr. Hecio a apreciat din ochi c Daridjan cntrea cam 50 kg, iar slujnica cel mult 40 kg. Hecio i cunotea greutatea - aproape 90 kg. n afar de aceasta, el a gsit n turn un lan n greutate de 30 kg. Cum n fiecare co puteau s ncap doi oameni, sau un om i lanul, ei au reuit s coboare (toi trei) pe pmnt. Trebuie s v spun c ei au cobort n aa fel, nct niciodat greutatea coului care cobora cu un om nu ntrecea cu mat mult de 10 kg greutatea coului ce se ridica. Cum au reuit ei s evadeze din turn?

73. Motanul i oarecii

Motanul Pufuor o ajutase pn acum cteva clipe pe tnra lui stpn s rezolve probleme de matematic.

Acum el doarme fericit, iar n vis se vede nconjurat de 13 oricei. Doisprezece sunt suri, iar unul - alb. Motanul aude cum un glas cunoscut i optete: Pufuor, tu trebuie s mnnci fiecare al treisprezecelea oarece, numrnd roat mereu n aceeai direcie i calculnd astfel nct pe oricelul alb s-l mnnci ultimul. Cu care dintre oarece s nceap? 23

74. Chibrituri n jurul unei monede

S-l nlocuim pe motan cu o moned, iar pe oricei cu chibrituri. Se cere s se ridice toate chibriturile, n afara aceluia aezat cu mciulia spre moned

respectnd urmtoarea condiie: iniial se ridic un chibrit oarecare, apoi se ridic fiecare al treisprezecelea chibrit, deplasndu-ne n cerc spre dreapta. Gndii-v care chibrit trebuie ridicat primul.

75. Sorii au czut pe scatiu i pe pitulice

Apropiindu-se sfritul taberei de var, pionierii au hotrt s redea libertatea psrilor pe care le-au prins n timpul vacanei. n total ei aveau 20 de psrele, nchise fiecare ntr-o colivie separat. Conductorul pionierilor a ngduit ca dou psrele s fie luate n ora, dar a propus urmtorul procedeu: - Toate coliviile s fie aezate ntr-un singur rnd i, ncepnd de la stnga spre dreapta, s se deschid fiecare a cincea colivie. Cnd se ajunge la capatul rndului, numrtoarea nu se ntrerupe, ci merge n continuare de la nceputul rndului, bineneles fr a mai socoti coliviile deschise, i aa mereu pn vor fi deschise toate coliviile, n afar de dou, care pot fi luate, n ora. Propunerea a fost acceptat. Majoritii copiilor le era indiferent care psrele vor fi luate cu ei (din moment ce nu pot fi luate toate). Tania i Alex ns voiau ca sorii s cad neaprat pe scatiu i pe pitulice. n timp ce ajutau la aezarea coliviilor, ei i-au reamintit problema cu motanul i oarecii. Au calculat la iueal locurile unde trebuiau s aeze coliviile n care se atfau scatiul i pitulicea, pentru ca tocmai ele s rmn nedeschise, i, deoarece n-au greit, au pus cele dou colivii pe locurile.................

76. Cale liber pentru trenul de pasageri

ntr-o halt cu o singur linie de cale ferat s-a oprit un tren compus dintr-o locomotiv i cinci vagoane, cu care venise o echip de muncitori care lucrau la construirea unei linii secundare. Deocamdat halta nu dispunea dect de o scurt linie moart pe care ncpea, n caz de nevoie, o locomotiv i dou vagoane, sau trei vagoane. n urma garniturii care adusese echipa de constructori venea un tren de pasageri. Cum trebuia procedat pentru a lsa cale liber trenului de pasageri? 24

77. O problem care a luat natere din capriciul a trei fetie

Trei fetie se plimbau mpreun cu taii lor. Toi ase s-au apropiat de un mic ru i voiau s treac de pe un mal pe cellalt. Ei aveau la dispoziie o singur barc, fr barcagiu, care putea transporta numai doi oameni. Traversarea putea fi svrit fr dificultate dac fetiele n-ar fi declarat, fie din capriciu, fie din trengrie, c niciuna nu vrea s rmn pe mal cu unul sau doi tai strini, fr tatl ei, i nici s mearg n barc cu alt tat. Fetele erau mici, totui fiecare din ele putea s conduc singur barca. Cum au procedat ei?

78. Problema se complic

Acest grup vesel a trecut cu bine pe cellalt mal al rului i s-a oprit s se odihneasc. Fetiele au pus tailor lor urmtoarea ntrebare: Este cu putin ca n aceleai condiii, s treac rul patru perechi? Curnd se lmuri c, respectndu-se condiiile puse de ctre fetie, trecerea a patru perechi putea fi realizat doar cu o barc ce putea transporta trei oameni i c pentru aceasta ar fi fost necesare numai cinci drumuri. tii cum au judecat ei? Dezvoltnd i mai departe tema acestei probleme, cltorii notri au ajuns la concluzia c i cu o barc n care ncap numai doi oameni se poate efectua trecerea de pe un mal pe cellalt a patru fetie cu taii lor, cu condiia ca n mijiocul rului s existe o insul pe care s se poat face o oprire intermediar i unde s se poat debarca. n acest caz, pentru trecerea definitiv sunt necesare 12 drumuri, bineneles respectndu-se aceeai condiie, adic niciuna din fetie s nu mearg n barc i s nu rmn pe insul sau pe mal cu un tat strin, fr s fie i tatl ei. Gsii i aceast soluie.

79. Alb i negru

Luai 4 piese de table albe i 4 piese negre i aezai-le pe mas, alternnd culoarea: alb, neagr, alb, neagr etc. n stnga sau n dreapta lsai un loc liber, att ct s ncap 2 piese. n spaiul liber putei muta de fiecare data numai cte 2 piese alturate i fr s inversai poziia lor. Este suficient s facei patru mutri de perechi de piese, pentru ca s adunai n rnd piesele negre urmate de cele albe. Convingei-v c am dreptate.

80. Complicarea problemei

Majornd numrul pieselor folosite iniial, problema se complic. Astfel, dac vei aeza n rnd 5 piese albe i 5 piese negre, alternnd culoarea, va fi nevoie de 5 mutri pentru a izbuti s le grupai dup culoare, adic negrele cu negre, iar albele cu albe. Dac vei lua ase perechi de piese vor fi necesare 6 mutri, iar pentru apte perechi - 7 mutri .a.m.d. Gsii soluia problemei pentru 5, 6 i 7 perechi de piese. inei minte c la aezarea iniial a pieselor trebuie s se lase n stnga (sau n dreapta) un loc liber, n care s nu ncap mai mult de 2 piese, i c de fiecare dat trebuie s mutm cte 2 piese alturate, fr s intervertii ordinea n care se succed. 25

81. Aezarea cartonaelor n ordinea numerelor

Tiai din carton 10 cartonae cu dimensiunea de 4 x 6 cm i numerotai-le de la 1 la 10. Apoi aezai cartonaele unul peste altul i luai teancul n mn. Acum, ncepnd cu cartonaul de sus, punei primul cartona pe mas, al doilea sub teanc, al treilea pe mas, al patrulea sub teanc etc. Procedai n felul acesta pn cnd vei aeza pe mas toate cartonaele. Se poate afirma cu certitudine c ele nu vor fi aezate n ordine numeric cresctoare. Se cere s se afle n ce ordine trebuie grupate iniial cartonaele n teanc pentru ca, respectnd condiia artat, s fie aezate pe mas n ordine numeric de la 1 la 10.

82. Dou arade

I. Nu este greu s aezai pe mas 12 piese de table (monede, bucele de hrtie etc.) ca s rezulte un ptrat cu latura de 4 piese. ncercai ns s aezai piesele astfel nct de-a lungul fiecrei laturi s fie cte 5 piese. II. Aezai pe mas 12 piese n aa fel nct s se formeze 3 rnduri orizontale i 3 rnduri verticale, i n fiecare rnd s fie cte 4 piese.

83. Cutia enigmatic

Mihai a fost vara aceasta la mare i i-a adus de acolo un dar surioarei sale mai mici - Ina: o frumoas cutiu mpodobit cu 36 de scoici. Pe capacul cutiei erau spate cteva linii care mpart capacul n 8 seciuni. Ina nu merge nc la coal, dar tie s socoteasc pn la 10. Cadoul lui Mihai i place mult prin faptul c de-a lungul fiecrei laturi a capacului sunt aezate exact cte 10 scoici. Cnd numr scoicile aflate de-a lungul unei laturi, Ina le socotete pe toate cte se gsesc n seciunile care formeaz latura respectiv. Scoicile aflate n seciunile de la coluri intr n socoteala att a laturii verticale, ct i a celei orizontale. ntr-o zi, tergnd cutia cu o crp, din nebgare de seam, mama a spart 4 scoici. Acum la numrtoare nu mai rezultau 10 scoici de-a lungul fiecrei laturi a capacului. Cnd o s se ntoarc de la grdini, Ina o s se necjeasc. - Las mam, - spuse Mihai, le aranjez eu n aa fel, nct Ina nu va observa nimic.

26

El dezlipi cu atenie o parte din cele 32 de scoici rmase i le lipi din nou cu atta iscusin pe capacul cutiei, nct de-a lungul fiecrei laturi se gseau din nou cte 10 scoici. Peste cteva zile alt boroboa! Cutia czu de pe mas i s-au spart nc 6 scoici - au rmas doar 26. Dar i de data aceasta Mihai izbuti s aeze n aa fel cele 26 de scoici rmase, c de-a lungul fiecrei laturi Ina s poat numra, ca i pn acum, cte 10 scoici. E drept c, n ultimul caz, scoicile n-au mai putut fi aranjate pe capacul cutiei tot att de simetric ca pn atunci. Ina nu a bgat ns de seam acest lucru. Gsii ambele soluii ale lui Mihai.

84. O garnizoan viteaz

O cetate de zpad era aprat cu mult vitejie de o garnizoan. Bieii respinseser 5 asalturi. La nceputul jocului, garnizoana era format din 40 de oameni. Comandantul cetii de zpad i-a dispus iniial forele dup schema artat mai jos (central se indic obiectivul general al garnizoanei).

Inamicul a observat c fiecare din cele 4 laturi ale cetii este aprat de 11 oameni. Potrivit condiiilor jocului la primul, al doilea, al treilea i al patrulea asalt garnizoana pierdea de fiecare dat cte 4 oameni. n urma ultimului asalt, al cincilea, bulgrii de zpad ai inamicului au scos din lupt nc doi biei. Cu toate acestea, n pofida pierderilor, dup flecare asalt laturile cetii de zpad continuau s fie aprate fiecare de 11 oameni. Cum repartiza comandantul cetii de zpad forele garnizoanei dup fiecare asalt?

85. Lmpi luminescente n camera pentru transmisiuni de televiziune

Un tehnician pentru lumina, pregtind camera pentru o transmisiune de televiziune, a ncercat diferite metode de iluminare cu ajutorul tuburilor luminescente. Iniial tehnicianul a aezat cte 3 tuburi n fiecare col i cte 3 27

tuburi pe fiecare din cei 4 perei ai camerei, n total 24 de tuburi. Apoi, tehnicianul a adugat 4 tuburi i nc o dat 4 tuburi. Apoi, a ncercat s micoreze numrul tuburilor pn la 20 i chiar pn la 18. De fiecare data el aeza tuburile n coluri i pe pereii camerei astfel, nct de-a lungul fiecrui perete erau cte 9 tuburi.

3 3 3 | | 3 3 | | 3 3 3Gsii schemele de aezare pentru 28 i chiar 32 tuburi; de asemenea pentru 20 i 18 tuburi. Stabilii care erau limitele pn la care tehnicianul putea s majoreze sau s micoreze numrul tuburilor, pstrnd principiul aezrii lor cte 9 de-a lungul fiecrui perete al camerei. Ce credei? Putea oare tehnicianul s adauge sau s scad nu cte 4 tuburi, ci cte unul, cte dou sau cte trei, aeznd totui tuburile rmase cte 9 de-a lungul fiecrui perete?

86. Aezarea iepurilor de experien

ntr-un institut de cercetri tiinifice a fost confecionat, pentru experiene i observaii asupra iepurilor de cas, o cuc cu dou etaje, care avea cte 9 desprituri la fiecare etaj. Iepurilor le erau destinate 16 desprituri (8 la etajul superior i 8 la cel inferior), iar dou desprituri centrale erau rezervate pentru diferite aparate. Potrivit condiiilor de experien, iepurii trebuiau aezai n cuc astfel, nct: 1) s fie ocupate toate cele 16 desprituri; 2) n fiecare despritur s nu se gseasc mai mult de 3 iepuri; 3) n fiecare din cele 4 laturi exterioare ale cutii s fie exact cte 11 iepuri; 4) la etajul superior s fie introdui de dou ori mai muli iepuri dect la cel inferior.

28

Institutul a primit cu 3 iepuri mai puin dect atepta. n pofida acestui fapt, toi iepurii au fost aranjai respectndu-se toate condiiile de mai sus. Stabilii ci iepuri credea iniial institutul c o s primeasc i cum trebuiau ei s fie aranjai n cuc? Apoi, cum au putut aranja iepurii primii, tiind c numrul lor era mai mic cu 3 dect cel scontat.

87. Pregtirea pentru srbtoare

Semnificaia geometric a celor 5 probleme precedente const n aezarea unor obiecte de-a lungul a patru linii drepte (laturile unui dreptunghi sau ptrat) n aa fel ca numrul obiectelor de-a lungul fiecrei drepte s rmn constant, chiar dac numrul total al obiectelor se schimb. Aezarea cerut putea fi realizat, deoarece toate obiectele situate n unghiuri erau considerate ca aparinnd ambelor laturi care formau unghiul respectiv, aa dup cum punctul de intersecie a dou drepte e situat pe fiecare din ele. Dac am presupune c fiecare din obiectele situate pe laturile figurii ocupa un punct oarecare pe latura respectiv, atunci toate obiectele situate n unghiuri trebuie s ni le imaginm concentrate ntr-un singur punct (n vrful unghiului). S renunm acum la posibilitatea unei concentrri, fie chiar imaginare, a obiectelor ntr-un punct geometric. S considerm c fiecare obiect izolat (pietricic, bec, copac), din cele situate pe o suprafa oarecare, ocup un punct separat pe suprafaa dat i s nu ne mrginim a le aeza numai de-a lungul a 4 linii drepte. Dac vom completa condiiile de mai sus cu cerina unei rezolvri simetrice fa de o ax oarecare, atunci problemele vor dobndi un interes geometric suplimentar. Rezolvarea lor duce de obicei la construirea unei figuri geometrice. Cum s-ar putea, de pild, ca n cadrul pregtirilor, pentru o iluminaie de srbtoare s se aranjeze frumos 10 becuri n 5 rnduri a cte 4 becuri fiecare?

29

V propunem mai jos cteva probleme similare; strduii-v totodat s obinei o aezare simetric. Problema 1. Cum pot fi aezate 12 becuri - n 6 rnduri a cte 4 becuri fiecare? (2 soluii) Problema 2. Rsdii 13 arbuti decorativi n 12 rnduri, cte 3 arbuti n fiecare rnd. Problema 3. Pe o suprafa triunghiular (figura de mai sus) un grdinar a cultivat 16 trandafiri, aezai n 12 rnduri drepte, a cte 4 trandafiri fiecare. Mai trziu el a pregtit un strat de flori i a transplantat acolo toi cei 16 trandafiri, aezndu-i n 15 rnduri a cte 4 trandafiri fiecare. Cum a procedat el? Problema 4. Aezai 25 de copaci n 12 rnduri, cte 5 copaci n fiecare rnd.

88. Rsdii astfel puieii de stejar

Cei 27 de puiei de stejar din schema de mai jos sunt foarte frumos sdii, n 9 rnduri a cte 6 stejari n fiecare rnd. Fr ndoial ns c un silvicultor ar fi respins asemenea aezare. Stejarului i place ca soarele s-l loveasc numai de sus, iar pe de margini s fie nconjurat de verdea. i place, adic, s creasc ncotomnat, dar cu capul descoperit. n cazul de fa 3 stejari s-au ndeprtat de grup, izolndu-se!

ncercai s rsdii aceti 27 de stejari tot n 9 rnduri i tot cte 6 stejari n fiecare rnd, dar n aa fel nct toi copacii s fie aezai n 3 grupuri i niciunul din ei s nu se deprteze de grupul su. Firete c i de aceast dat trebuie sdii simetric. 30

89. Jocuri geometrice Jocul 1. Aezai pe mas 10 piese de table (monede, nasturi) n dou rnduri acte 5 buci, dup cum urmeaz:

Se cere s se mute 3 piese dintr-un rnd i 1 pies din celalalt (restul pieselor rmnnd nemicate i fr s se aeze o pies peste alta), aa fel nct s se formeze 5 rnduri drepte cu cte 4 piese n fiecare rnd. Aici, spre deosebire de problemele precedente, nu se cere o aezare simetric a pieselor. Se pot vedea 5 soluii diferite:

cele 10 piese a unei configuraii diferite, de pild ca n figura de mai sus. S nu credei c cele 5 soluii epuizeaz toate rezolvrile posibile ale problemei date. Pentru rezolvarea problemei pot fi alese mereu alte piese destinate mutrii (schemele a, b, c, e), dup cum acelai grup de piese poate fi aezat n chip diferit (schemele a, d). S admitem c ai ales pentru mutare 3 piese din rndul de sus i 1 din cel de jos. Din cinci piese cte 3 sunt posibile 10 combinaii diferite. Convingeiv! Iar adugarea la oricare din aceste combinaii a nc unei piese din rndul de jos d de fiecare dat 5 grupuri de 4 piese destinate mutrii. n felul acesta se pot obine 10 x 5 = 50 de grupuri diferite a cte 4 piese, destinate mutrii. Completare la jocul 1. Organizai urmtorul joc ntrecere. Aezai n faa fiecrui participant la joc cte 10 piese de table (sau rotocoale de carton) n dou 31

Observaie! Se consider soluie nou aezarea care duce la alctuirea din

rnduri, i fiecare din ei, fr s arate celorlali, s mute 4 piese (3 dintr-un rnd i 1 din cellalt) astfel, nct s formeze 5 rnduri a cte patru piese n fiecare rnd. Comparai soluiile. Acei juctori care au configuraii identice de piese capt un punct; configuraia care se deosebete de toate celelalte este notat cu 2 puncte.

Cei care nu au rezolvat problema n limita timpului stabilit nu primesc nici un punct. Repetnd de cteva ori jocul, totalizai punctele obinute de fiecare participant i stabilii nvingtorul. Acest joc poate fi organizat i altfel: fiecrui participant i se d o coal de hrtie i o rigl. Piesele se nlocuiesc prin puncte desenate pe hrtie i aranjate iniial tot n 2 rnduri a 5 puncte. Jocul va consta n tierea a 3 puncte dintr-un rnd i a unui punct din cellalt, care vor fi nlocuite cu alte 4 puncte, aa fel ca mpreun cu cele 3 rmase s formeze 5 rnduri a cte 4 puncte n fiecare rnd. Alt completare la jocul 1. Se admite mutarea a 4 piese, cte 2 din fiecare rnd, i se ngduie s se aeze o pies peste alta. n acest caz vor fi posibile i rezolvri de felul celor artate n schema de mai sus. n felul acesta numrul soluiilor posibile se majoreaz considerabil. Jocul 2. Perforai o coal de carton astfel, nct s se obin 49 de orificii mici. Orificiile vor fi perforate la distane egale, ca s rezulte un ptrat cu latura de 7 orificii.

n 10 orificii introducei cte un chibrit n ordinea artat mai sus. Jocul const n rezolvarea unor probleme de tipul urmtor. S se scoat 3 chibrituri, indiferent care, i s se introduc n alte orificii ale cartonului, astfel ca s se formeze 5 rnduri de cte 4 chibrituri fiecare. 32

Rezolvai mai nti problema pentru cazul dat n figura de mai sus, iar dup aceea o putei varia, schimbnd aezarea iniial a chibriturilor i numrul rndurilor care trebuie formate. Observaie! n loc de carton v putei folosi foarte bine de plastilin.

90. Cu so i fr so (arad)

Aezai n cercul din centru 8 piese de table numerotate astfel nct s se formeze o coloan n ordinea numerelor, cu cifra 8 jos i cu cifra 1 sus. Se cere s mutai n ct mai puine micri piesele cu cifrele 1, 3, 5 i 7 din coloana central n cercul fr so, iar piesele cu cifrele 2, 4, 6 i 8 n cercul cu so. Se consider mutare orice schimbare a piesei dintr-un loc ntr-altul. La o mutare se poate trece dintr-un cerc ntr-altul doar o singur pies (de fiecare dat cea de deasupra). Totodat nu este permis s se aeze o pies numerotat cu un numr mai mare peste o pies care are un numr mai mic i nu se admite ca peste o pies cu un numr par s se aeze o pies cu numr impar, sau invers.

Respectnd regulile, mutai piesele n cercurile cu so i fr soEste ngduit, de pild, s se aeze piesa cu cifra 1 peste piesa cu cifra 3, piesa cu cifra 3 peste piesa cu cifra 7 sau piesa cu cifra 2 peste piesa cu cifra 6, dar nu invers i nu este permis s se aeze piesa cu cifra 1 peste piesa cu cifra 2 sau pies cu cifra 4 peste piesa cu cifra 7. n cte mutri putei rezolva problema?

91. Punerea n ordine a pieselor de table

Aranjai 25 de piese numerotate n 25 de csue ptrate. Schimbnd reciproc locul pieselor, punei-le n ordine, adic aezai numerele 1, 2, 3, 4, 5 de la stnga la dreapta n primul rnd, numerele 6, 7, 8, 9, 10 de la stnga la dreapta n al doilea rnd .a.m.d, pn la sfrit. Putei schimba, de pild ntre ele numerele 7 cu 1, 24 cu 2 etc. 33

Stabilii care este cel mai mic numr de schimbri necesare. Pentru a evita mutri inutile, trebuie s elaborai un anumit sistem de mutri. Gndii-v!

92. Cadoul - arad

Exist o jucrie de forma unei cutiue. Cnd o deschizi, nuntrul ei dai de alt cutiu; o deschizi i pe aceasta, i nuntrul ei gseti o cutiu i mai mic. Confecionai asemenea jucrie din 4 cutiue. n cutiua interioara, cea mai mic, punei 4 bomboane. Tot cte 4 bomboane punei n fiecare din cele 2 cutiue urmtoare i 9 bomboane n cea mai mare. n felul acesta n cele 4 cutiue se vor gsi n total 21 bomboane. Druii aceast cutiu cu bomboane prietenului vostru de ziua lui, cu condiia s nu mnnce bomboanele pn cnd nu va aeza cele 21 de bomboane n aa fel, ca n fiecare cutiu s se afle un numr par de perechi bomboane plus una. Firete c, nainte de a face acest cadou, trebuie ca voi niv s tii s rezolvai problema. S tii c n cazul de fa nu v va fi de ajutor nici o regula de aritmetic; e nevoie doar de puin iscusin i perspicacitate.

93. Prin mutarea calului

Pentru rezolvarea acestei amuzante probleme de ah nu este nevoie s tii s joci ah. E suficient s tii doar regula sriturii calului. Pe tabla de ah sunt aezai 34

16 pioni negri (vezi schema de mai jos). Aezai calul alb pe oricare ptrel al tablei de ah, aa fel ca s putei lua cu el toi pionii negri, n ct mai puine mutri.

94. Mutarea pieselor de table

Luai 8 piese negre i 8 piese albe i aranjai-le aa cum se arat mai jos. Se cere ca fr s se scoat piesele din cmp s se treac n 46 de mutri toate piesele negre n locul celor albe, iar cele albe n locul celor negre.

Piesele se pot mica nainte i napoi, la dreapta i la stnga, dar nu piezi. n aceleai direcii se ngduie s se sar peste o pies ntr-o csu liber. Nu este permis s se aeze 2 piese n aceeai csu. Nu este nevoie s se respecte o anumit succesiune n mutarea pieselor albe i negre; dac este necesar se pot muta de cteva ori la rnd piese de aceeai culoare.

95. O grupare original a numerelor ntregi de la 1 la 15

Privii ct de frumos pot fi aranjate toate numerele ntregi de la 1 la 15 n 5 grupe de cte 3 numere fiecare: 1 4 2 3 11 8 d = 7; 9 d = 5; 6 d = 4; 5 d = 2; 12 d = 1. 15 10 7 13 14 Numerele sunt astfel aranjate n grupe, nct n fiecare grup diferena d este identic att ntre numrul al doilea i primul, ct i ntre al treilea i al doilea. De pild, 8 - 1 = 7 i 15 - 8 = 7; sau 9 - 4 = 5 i 14 - 9 = 5 (un grup de numere cu diferena constant ntre numerele nvecinate alctuiete o succesiune denumit 35

progresie aritmetic). Aceast mprire amuzant a 15 numere ordinale ntregi n 5

grupe cu diferenele de mai sus nu este unica posibil. Lsnd neschimbat prima grup de numere (1, 8, 15), restul de 12 numere (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) pot fi grupate n noi grupe de cte 3, meninndu-se diferenele de mai nainte: d = 5; d = 4; d = 2 i d = 1. Gsii aceast nou grupare a numerelor date. Cei ce doresc pot ncerca s aranjeze aceleai 15 numere, n grupe de progresii aritmetice cu alte valori ale lui d.

96. 8 stelue

ntr-una din csuele albe am aezat o stelu. Aezai n csuele albe nc 7 stelue, n aa fel nct niciodat 2 stelue (din opt) s nu se gseasc pe aceeai dreapt orizontal, vertical sau oblic (diagonal). Problema trebuie rezolvat, firete, prin ncercri; de aceea un interes suplimentar al problemei const n introducerea unui sistem n procesul ncercrilor.

97. Dou probleme de aezare a literelor Problema 1. ntr-un ptrat mprit n 16 ptrele egale, aezai 4 litere n aa fel, nct n fiecare rnd orizontal i vertical, precum i n fiecare din cele 2 diagonale ale ptratului mare s nu se gseasc dect o singur liter. Ct de mare este numrul soluiilor acestei probleme n cazul cnd literele sunt identice? Dar dac sunt diferite? Problema 2. ntr-un ptrat mprit n 16 ptrele egale, aezai de 4 ori fiecare din cele 4 litere a, b, c i d, n aa fel nct n fiecare rnd orizontal i vertical, precum i n fiecare din cele 2 diagonale ale ptratului mare s nu se gseasc litere identice. Cte soluii are aceast problem?

36

98. Aezarea unor ptrate de diferite culori

Pregtii 16 ptrate de aceeai dimensiune, dar colorate n patru culori diferite, s zicem n alb, negru, rou i verde (cte patru ptrate de fiecare culoare). Vei obine patru grupe de ptrate de diferite culori. Pe fiecare ptrat din primul grup scriei cifra 1, pe fiecare ptrat din al doilea grup - cifra 2, pe ptratele din grupul trei - cifra 3, iar pe ptratele din grupul patru cifra 4. Aceste 16 ptrate de diferite culori trebuie aezate de asemenea n form de ptrat, n aa fel ns ca n fiecare rnd orizontal i vertical, precum i n fiecare din cele dou diagonale s se afle ptrate cu cifrele 1, 2, 3 i 4. Ordinea succesiunii este indiferent, dar culorile trebuie s fie neaprat diferite. Problema are foarte multe soluii. Poate putei gsi un sistem dup care s facei aezarea. Gndii-v puin!

99. Ultima fis

Vechi joc arad, cunoscut sub numele solitarul sau pustnicul, nc de pe la nceputul sec. al XVIII-lea. Tiai din carton 32 de fise identice (indiferent de form) i aezai cte una n fiecare cerc. Deoarece sunt 33 de cercuri, unul din ele (oricare) va rmne liber.

Se cere s se scoat toate fisele, n afar de una. Aceast ultim fis trebuie s rmn n cercul care iniial a fost liber. Micrile pot fi fcute nainte, napoi i lateral, srind cu o fis peste alta ntr-un cerc liber. La fiecare mutare se scoate fisa peste care s-a srit. Prin urmare, problema trebuie rezolvat n 31 mutri.

100. Inel format din discuri

Luai 6 discuri egale i aezai-le strns lipite unele de altele, aa cum se arat mai jos. Se cere ca n 4 mutri aceste discuri s fie aranjate n form de inel. O mutare const n urmtoarele: imobiliznd cu mna 5 dintre discuri, al 6-lea disc trebuie rostogolit ntr-o poziie nou fr a-l desprinde de restul discurilor, iar n poziia nou el trebuie s ating cel puin 2 discuri. Rezolvarea acestei arade n 4 mutri nu e chiar att de simpl, cum s-ar prea la prima vedere. Ca discuri putei folosi, de pild, 6 monede identice sau 6 fise rotunde, decupate din carton. 37

succesiv a discurilor.

Problem suplimentar. Rezolvarea aradei propuse const n mutarea

Schimbnd ordinea mutrilor, se pot obine diferite soluii ale problemei. Se cere s se gseasc toate soluiile aradei. Pentru a nu v ncurca, numerotai discurile i notai fiecare mutare dup urmtorul sistem: 1 - 2, 3, ceea ce nseamn: discul nr.1 trebuie rostogolit pn la atingerea cu discurile nr.2 i nr.3; 2 - 6, 5 nseamn ca discul nr.2 trebuie rostogolit pn la atingerea cu discurile nr.6 i nr.5 etc. Iat un exemplu de rezolvare a aradei: 1 - 2, 3; 2 - 6, 5; 6 - 1, 3; 1 - 6, 2. Gsii nc 23 de soluii!

101. Pe un patinoar cu ghea artificial

Pe patinoarul cu ghea artificial de la Moscova se repet un spectacol pregtit de elevii colii de balet pe ghea. Pictorul decorator al spectacolului a desenat jumtate din patinoar sub forma unui covor ornamentat cu 64 de flori, iar cealalt jumtate sub form de parchet cu 64 de ptrele alb - negre. Repetiia s-a ntrerupt pentru pauz. n timpul pauzei un biat i o fat, doi patinatori neobosii, continuau s descrie curbe pe luciul de oglind al cmpului de ghea.

38

Pe fat au atras-o florile covorului de ghea i a vrut s treac dintr-o singur micare - firete, cu cteva ntoarceri n diferite puncte ale cmpului - prin toate cele 64 de flori. Ea a hotrt s se deplaseze numai n linie dreapt, astfel c ultimul drum rectiliniu s-o aduc exact n acelai loc de unde ncepuse micarea (nsemnat n figur cu un punct negru). Ea a reuit s realizeze ce i-a propus, iar drumul ei a constat numai din 14 segmente rectilinii. Fata a trecut de cteva ori peste unele flori. Desenai pe o bucat de hrtie schema rutei pe care a mers fata. Biatul s-a antrenat pe cea de-a doua jumtate a cmpului de ghea. Aflnd despre realizrile geometrice ale colegei sale de patinaj, el a hotrt s nu rmn mai prejos i i-a propus o problem geometric mult mai complicat: patinnd numai prin ptrelele albe ale parchetului i trecnd numai o singur dat prin punctele de contact de la colurile lor, s strbat toate ptrelele albe pornind din ptratul alb din colul stng de sus i terminnd n colul din dreapta, jos. Desenai schema drumului patinatorului, tiind c drumul parcurs de el este compus din 17 segmente rectilinii.

102. Problema - glum

Costel, elev n clasa a 4-a a unei coli medii, se strduiete s mute calul de ah din colul din stnga jos al tablei de ah (din ptratul a1) n colul din dreapta sus (n ptratul h8), n aa fel ca s treac cu calul o singur dat prin fiecare ptrat al tablei.

Deocamdat el nu a reuit. Nu cumva se chinuiete s soluioneze o problem irezolvabil? Lmurii acest lucru din punct de vedere teoretic i explicai-i lui Costel despre ce este vorba aici.

103. 145 de ui (arad)

Feudalii din Evul Mediu transformau uneori subsolurile castelelor lor n nchisori-labirinturi, cu tot felul de mecanisme secrete: celule cu perei glisani, galerii secrete, diferite capcane. Cnd vizitezi un asemenea castel vechi, te lai fr voie purtat pe aripile fanteziei. S ne nchipuim c ntr-un asemenea subsol, al crui plan este desenat mai jos, a fost nchis un om care a luptat mpotriva feudalului. Subsolul - labirint fusese construit dup urmtorul sistem: din 145 de ui numai 9 erau ncuiate (n figur ele sunt indicate cu linii groase), restul fiind larg deschise. S-ar prea c era uor s te apropii de ua care d spre ieire i s ncerci s-o deschizi. Dar nu e chiar att de simplu.

39

Ua ncuiat nu poate fi deschis n nici un fel. Ea se va deschide ns singur dac va fi exact a noua la numr, adic dac mai nainte s-a trecut prin 8 ui deschise. n felul acesta trebuiau s fie deschise i s se treac prin toate uile ncuiate ale subsolului; fiecare din ele se deschidea de asemenea singur, dac nainte de a ajunge n dreptul ei se trecea tot prin 8 ui deschise. Dac ai greit socoteala i vrei s treci prin 2-3 ui din apropiere, pentru a face ca numrul uilor deschise prin care ai trecut s fie 8, nu mai ai cum: ndat ce ai trecut printr-o camer, toate uile camerei respective, care mai nainte fuseser deschise, se nchid automat i nu mai ai posibilitatea s treci a doua oar prin ea. Feudalul construise intenionat subsolul n felul acesta. Un ntemniat cunotea secretul labirintului i vrnd s evadeze a zgriat cu un cui planul exact al subsolului pe peretele celulei sale (nsemnat n plan cu o stelu). El s-a gndit mult timp ce drum s aleag pentru ca s ajung n dreptul uilor ncuiate, dup ce trecuse n prealabil prin 8 ui deschise. n cele din urm el a rezolvat problema i i-a redobndit libertatea. Care este ruta gsit de ntemniat?

104. Cum i-a redobndit ntemniatul libertatea

Celor crora le-a plcut problema precedent le propunem o alt variant. nchipuii-v c nchisoarea n care se chinuie ntemniatul este compus din 49 de celule.

40

n 7 celule, nsemnate n planul subsolului cu literele A, B, C, D, E, F, G exist cte o u care se deschide numai cu cte o cheie. Dar cheia de la ua celulei A se afl n celula a, cheia de la ua celulei B - n celula b, iar cheile de la uile celulelor C, D, E, F, i G se gsesc respectiv n celulele c, d, e, i i g. Restul uilor se deschid prin simpla apsare pe clan. Uile nu au ns clane dect pe o singur parte i fiecare u se nchide automat dup ce s-a trecut prin ea. n planul subsolului se arat n ce direcie se poate trece prin fiecare u care se deschide fr cheie, dar nu se precizeaz n ce ordine trebuie s fie deschise uile ncuiate. Se poate trece de mai multe ori prin aceeai u, respectndu-se, firete, condiiile stabilite. ntemniatul se afl n celula 0. Artai-i drumul care duce spre libertate.

GEOMETRIE CU CHIBRITURIO cutie cu chibrituri sau o grmjoar de beioare de lungime egal pot constitui un minunat mijloc pentru distracii geometrice, care necesit inventivitate i dezvolt ingeniozitatea. Din chibrituri se pot forma tot felul de figuri rectilinii; prin mutarea chibriturilor se poate transforma o figur n alta; chiar teoremele pot fi demonstrate cu ajutorul chibriturilor. S analizm, de pild, urmtoarea problem: Cte ptrate egale se pot forma din 24 de chibrituri, fr a rupe beele i folosindu-le totodat pe toate? Dac pentru fiecare latur a ptratului se folosesc cte 6 chibrituri (mai multe nu e posibil), se va obine un ptrat. Dac latura ptratului este alctuit din 5 sau din 4 chibrituri, nu se pot obine ptrate egale utilizndu-se toate cele 24 de chibrituri. Cu o latur de 3 chibrituri se pot forma dou ptrate.

Cu o latur de 2 chibrituri trei ptrate:

Observai c din ptrate cu laturi de 3 i 2 chibrituri se pot forma ptrate suplimentare cu alte dimensiuni, aa cum se arat n figurile urmtoare: un ptrat suplimentar (1) din ptrate cu latura de 3 chibrituri i patru ptrate suplimentare (1-4) din ptrate cu latura de 2 chibrituri: 41

Dac din fiecare 4 chibrituri se formeaz un ptrat, atunci din 24 de chibrituri se pot forma 6 ptrate egale.

Din 24 chibrituri au fost construite 6 i 7 ptrate.

Din 24 chibrituri au fost construite 8 i 9 ptrate. 42

Din 24 chibrituri au fost construite 20 ptrate. Dac ns unele chibrituri intr n construcia a dou ptrate alturate, atunci din 24 de chibrituri se pot forma 7 ptrate, 8 ptrate sau chiar 9 ptrate egale. Cu prilejul alctuirii ultimelor trei figuri s-au format ptrate suplimentare cu alte dimensiuni.

Din 24 chibrituri au fost construite 42 i 50 ptrate. Cu o latur a ptratului format din jumtate de chibrit (se admite aezarea chibriturilor de-a curmeziul), se pot obine 16 ptrate de dimensiuni egale i 4 ptrate suplimentare, adic n total 20 de ptrate. Dac reducem latura la 1/3 de chibrit, din 24 de chibrituri se pot forma 27 ptrate egale, iar mpreun cu ptratele suplimentare de alte dimensiuni - 42. n sfrit, dac micorm latura la 1/5 de chibrit, obinem 50 ptrate de dimensiuni egale, iar dac vom socoti i ptratele suplimentare (n numr de 60), vor rezulta n total 110 ptrate. Gndii-v cum pot fi rezolvate urmtoarele probleme arade:

105. 5 arade

Din 12 chibrituri au fost formate patru ptrate egale; cu aceast ocazie s-a format i un ptrat suplimentar. Se cere: a) s se scoat 2 chibrituri, lsnd restul neatinse, i s se obin dou ptrate inegale; b) s se mute 3 chibrituri astfel, nct s, se obin trei ptrate egale; c) mutnd 4 chibrituri, s se formeze 3 ptrate egale; d) mutnd 2 chibrituri, s se formeze 7 ptrate (la aceast problem i la cea urmtoare se admite aezarea chibriturilor de-a curmeziul); e) mutnd 4 chibrituri, s se obin 10 ptrate.

43

106. nc 8 arade

Din 24 de chibrituri a fost construit un ptrat mare, cu 9 ptrate interioare.

Se cere:

mare i alte patru; c) s formeze 5 ptrate egale, scond fie 4, fie 6 din 8 chibrituri; d) s se scoat 8 chibriturituri, n aa fel ca cele rmase s formeze patru ptrate egale (2 soluii); e) s se scoat 6 chibrituri, formnd 3 ptrate; f) s se scoat 8 chibrituri, astfel nct s rmn 2 ptrate (2 soluii); g) s se scoat tot 8 chibrituri, n aa fel nct s rmn 3 ptrate; h) s se scoat 6 chibrituri, spre a obine 2 ptrate i 2 hexagoane neregulate egale.

a) s se mute 12 chibrituri, ca s se obin 2 ptrate egale; b) s se scoat 4 chibrituri, astfel nct cele rmase s formeze un ptrat

107. Din 9 chibrituri

Din 9 chibrituri s se alctuiasc 6 ptrate (se admite aezarea chibriturilor de-a curmeziul).

108. Spirala

Din 35 de chibrituri a fost format o figur asemntoare unei spirale. Mutai 4 chibrituri astfel, nct s se formeze 3 ptrate.

109. O fars

Din 16 chibrituri a fost alctuit planul unei ceti nconjurat de un an adnc. Cum se poate ajunge la cetate cu ajutorul a dou scnduri (2 chibrituri) a cror lungime este egal cu limea anului? 44

110. S se scoat 2 chibrituri

Figura de mai jos este alctuit din 8 chibrituri, din care unele aezate de-a curmeziul. S se scoat 2 chibrituri, n aa fel ca s rmn 2 ptrate.

111. Faada casei

Faada casei este construit din 11 chibrituri. Mutnd 2 chibrituri se pot obine 11 ptrate, iar mutnd 4 chibrituri, aceast cas poate fi transformat ntr-o figur cuprinznd 15 ptrate. ncercai!

112. Fars

Aezai n aa fel chibrituri, nct s obinei un ptrat.

113. Triunghiuri

Pentru alctuirea unui triunghi echilateral sunt necesare 3 chibrituri (ntregi), iar pentru a forma 6 triunghiuri echilaterale egale sunt suficiente 12 chibrituri. Construii-le! Dup aceasta mutai 4 chibrituri, astfel nct s se formeze 3 triunghiuri echilaterale, dintre care numai dou s fie egale ntre ele.

114. Cte chibrituri trebuie scoase?Avei 16 ptrate egale:

45

Dac vei numra ns toate ptratele care exist n aceast figur, vei constata c ele sunt n numr de ... M-am rzgndit; mai bine numarai-le singuri! Acum spunei-mi cte chibrituri (minimum) trebuie scoase, pentru ca figura rmas s nu conin nici un ptrat mare i nici unul mic?

115. Fars

Fiecare chibrit este lung de 4,5 cm. Cum trebuie s se procedeze pentru a forma din 17 chibrituri un metru?

116. Gardul

Din gardul urmtor trebuie s mutai 14 chibrituri, astfel ca s obinei 3 ptrate.

117. Fars

Cu ajutorul a dou chibrituri, fr a le frnge sau a le despica, s se formeze un ptrat.

118. Sgeata

Avem o sgeat alctuit din 16 chibrituri. Se cere:

a) s construii 8 triunghiuri egale, mutnd 8 chibrituri;46

b) s mutai 7 chibrituri, aa fel ca s obinei 5 patrulatere egale. 119. Ptrate i romburi

Din 10 chibrituri s se formeze 3 ptrate. Apoi s se scoat un chibrit i din cele 9 rmase s se alctuiasc un ptrat i dou romburi.

120. O figur din mai multe poligoane

Aezai n aa fel 8 chibrituri, nct s se formeze un octogon, dou ptrate i 8 triunghiuri, cuprinse toate ntr-o singur figur.

121. Parcelarea livezii

16 chibrituri, aranjate n form de ptrat, reprezint gardul unei livezi. O parte din suprafaa acestei livezi este ocupat de locuina pomicultorului, marcat n figur printr-un ptrat format din 4 chibrituri. Restul suprafeei trebuie mprit, cu ajutorul a 10 chibrituri, n 5 parcele, egale ca form i suprafa.

122. n pri de mrime egal

chibrituri, n 4 suprafee echivalente, n aa fel ca fiecare suprafa s se mrgineasc cu celelalte trei. b) Grdina, al crei contur este marcat cu ajutorul a 20 de chibrituri i n mijlocul creia se afl o fntn ptrat, trebuie:

a) S se mpart cu ajutorul a 11 chibrituri ptratul de mai sus, format din 16

47

1) mprit cu ajutorul a 18 chibrituri n 6 pri egale i identice ca form; 2) mprit cu ajutorul a 20 chibrituri n 8 pri egale i identice ca form.

123. Parchetul

Cte chibrituri sunt necesare pentru a se alctui din ptrate egale un metru ptrat? Lungimea medie a chibritului este de 5 cm.

124. Raportul dintre suprafee se pstreaz

Din 20 de chibrituri au fost alctuite 2 dreptunghiuri: unul din 6, iar celalalt din 14 chibrituri.

Primul dreptunghi este mprit cu linii punctate n dou ptrate, iar al doilea n 6. Prin urmare, suprafaa celui de al doilea dreptunghi este de 3 ori mai mare dect suprafaa celui dinti, mprii acum aceleai 20 de chibrituri n alte dou grupe de 7 i 13 chibrituri. Alctuii din fiecare grup de chibrituri cte o figur (ele pot avea forme diferite), n aa fel ca aria celei de a doua figuri, s fie de trei ori mai mare dect aria primei.

125. S se gseasc conturul figurii

Se dau 12 chibrituri. S considerm fiecare din ele drept unitate de lungime. Se cere s se alctuiasc din 12 chibrituri o figur care s cuprind o arie de 3 uniti la ptrat. Este o problem grea, dac vom face excepie de cazul foarte simplu al unei figuri alctuite din 3 ptrate nlnuite succesiv la vrfuri.

126. S se gseasc demonstraia

Aezai 2 chibrituri alturi, astfel nct ele s alctuiasc o linie dreapt, i demonstrai prin raionamente justeea construciei dvs. Pentru demonstrare este necesar o construcie suplimentar de chibrituri, pentru care putei folosi orice numr de chibrituri.

127. S se construiasc i s se demonstreze

S se construiasc din chibrituri un hexagon regulat. S se demonstreze justeea construciei. 48