Colan Alina- IMPM

Teoria probabilităţilor

Introducere

Teoria probabilităţilor şi statistica matematică se aplică în majoritatea domeniilor ştiinţei, începând cu ştiinţele exacte şi inginereşti şi finalizând cu ştiinţele socio-economice, în special acolo unde există condiţii de risc şi incertitudine şi unde este necesară adoptarea unor decizii riguros argumentate.

Una dintre construcţiile de bază în fundamentele statisticii şi teoriei probabilităţilor, precum şi în justificarea aplicării acestora în alte domenii, este dată de “legea numerelor mari” teoremă binecunoscută care îi aparţine matematicianului Jakob Bernoulli (1654-1705), fiind apărută în lucrarea postumă “Ars conjectandi” (1713).

1. Evenimente

Definiţia: Prin eveniment vom înţelege orice rezultat al unei experienţe despre care putem spune că s-a realizat sau că nu s-a realizat, după efectuarea experimentului considerat. Evenimentele se pot clasifica în: evenimente sigure, evenimente imposibile, evenimente aleatoare.

- Evenimentul sigur este evenimentul care se produce în mod obligatoriu la efectuarea unei probe şi se notează cu Ω .

- Evenimentul imposibil este evenimentul care în mod obligatoriu nu se produce la efectuarea unei probe şi se notează cu Ø .

- Evenimentul aleator este evenimentul care poate sau nu să se realizeze la efectuarea unei probe şi se notează prin litere mari A, B, C, …, sau prin litere mari urmate de indici Ai, Bi,….

- Evenimentul contrar evenimentului A se notează Ā şi este evenimentul ce se realizează numai atunci când nu se realizează evenimentul A.

Un eveniment se numeşte:- elementar dacă se realizează ca rezultat al unei singure probe; se notează cu ω.- compus dacă acesta apare cu două sau mai multe rezultate ale probei considerate.

Mulţimea tuturor evenimentelor elementare generate de un experiment aleator se numeşte spaţiul evenimentelor elementare (spaţiul de selecţie) şi se notează cu Ω . Acesta poate fi finit sau infinit.

Observaţia: O analogie între evenimente şi mulţimi permite o scriere şi în general o exprimare mai comode ale unor idei şi rezultate legate de conceptul de eveniment. Astfel, vom înţelege evenimentul sigur ca mulţime a tuturor evenimentelor elementare, adică: ,Ω = {ω1, ω2, … ωn} şi orice eveniment compus ca o submulţime a lui Ω . De asemenea, putem vorbi despre mulţimea tuturorpărţilor lui Ω pe care o notăm prin P( Ω ), astfel că pentru un eveniment compus A putem scrie, în

contextul analogiei dintre evenimente şi mulţimi, A P(Ω).

1

Colan Alina- IMPM

Exemplul: Fie un zar, care are cele şase feţe marcate prin puncte de la 1 la 6. Se aruncă zarul pe o

suprafaţă plană netedă. Dacă notăm cu ωi = evenimentul "apariţia feţei cu i puncte",i = , atunci

spaţiul evenimentelor elementare ataşat experimentului cu un zar este dat prin Ω ={ω1 , ω2 , ω3, ω4 , ω5, ω6}.

Evenimentul sigur Ω este "apariţia feţei cu un număr de puncte 6".

Evenimentul imposibil Ø este "apariţia feţei cu 7 puncte".

2. Relaţii între evenimente

Fiind date doua evenimente A si B, se numeste reuniunea lor si se noteaza prin A U B, evenimentul a carui realizare consta in realizarea a cel putin unuia din cele doua evenimente. Se mai citeste "A sau B". La aruncarea zarului consideram evenimentele A = {1, 2, 3} si B = {2, 3, 6}

Evenimentul A se realizeaza daca se realizeaza unul din evenimentele {1}, {2}, {3}, iar evenimentul B se realizeaza daca se realizeaza unul din evenimentele {2}, {3} sau {6}. Deci, pentru a realiza cel putin unul din evenimentele A, B trebuie sa obtinem una din probele {1}, {2}, {3}, {6} si avem A U B = {1, 2, 3, 6}

Intersectia evenimentelor A si B este evenimentul A B a carui realizare consta in realizarea simultana a evenimentelor A,B. Putem citi A si B in loc de A intersectat cu B. In cazul de mai sus avem A B = {2, 3}

Multimea tuturor evenimentelor legate de o experienta (inclusiv evenimentul sigur si evenimentul imposibil) formeaza un camp de evenimente.

Daca repetam o experienta de n ori in conditii identice, si obtinem de a ori evenimentul A, atunci numarul : fn=a/npoarta numele de frecventa. Numarul a poate varia de la 0 la n inclusiv.

Evenimente egal posibile. Fie A si B doua evenimente referitoare la aceeasi experienta. Daca din motive de perfecta simetrie, putem afirma ca ambele evenimente au aceeasi sansa de a fi realizate, spunem ca evenimentele sunt egal posibile.

3. Probabilitate

Definitie. Pobabilitatea unui eveniment este egala cu raportul dintre numarul cazurilor egal posibile care realizeaza evenimentul si numarul cazurilor egal posibile.

Asadar, vom spune ca probabilitatea evenimentului A este egala cu raportul dintre numarul m al cazurilor favorabile realizarii evenimentului A si numarul n al cazurilor egal posibile. Vom scrie

Exemplu. Avem o urna care contine 20 de bile numerotate cu 1, 2, 3, ... , 19, 20. Care este probabilitatea ca printr-o extractie sa obtinem o bila numerotata cu un nr. mai mic decât 6? Notam cu A evenimentul caruia dorim sa-i calculam probabilitatea. Numarul cazurilor egal posibile

2

Colan Alina- IMPM

este 20. Numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului A este 5. Aceste cazuri sunt: extragerea bilei 1, extragerea bilei 2, extragerea bilei 3, extragerea bilei 4 sau extragerea bilei 5.

Atunci avem

Proprietati ale probabilitatilor

Probabilitatea unui eveniment A, pe care o notam prin P(A), are urmatoarele proprietati:

Regula de adunare a probabilitatilor

Fie A si B doua evenimente incompatibile intre ele avand respectiv probabilitatile p si q. Probabilitatea ca să se întâmple cel puţin unul dintre ele este p + q.

Evenimente independente Fie A şi B două evenimente. Dacă

evenimentele A si B sunt, prin definitie, independente.

Exemplu. Consideram ca avem două zaruri: unul roşu si celalalt albastru.Fie A evenimentul ca zarul roşu să apară cu faţa 1 şi celălalt cu faţa 4. Sunt evenimentele A si B independente?

Evenimentele elementare sunt (j, k ) , (j =1, 2, 3, 4, 5, 6; k =1, 2, 3, 4, 5, 6), unde j sunt nr. de puncte de pe faţa zarului roşu, iar k de pe faţa zarului albastru. Toate aceste evenimente sunt egal posibile. Deci, avem 36 de cazuri posibile.Avem un singur caz posibil pentru A B, adica (1,4).

Deci =1/36.

Pentru A avem 6 cazuri posibile (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6). Deci P(A) = 6/36 = 1/6.Pentru B avem 6 cazuri favorabile: (1,5), (2,5), .... Deci P(B) = 6/36 = 1/6.

Relatia este indeplinită. Atunci evenimentele A si B sunt independente.

Câmp de probabilitate

3

Colan Alina- IMPM

Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective formeaya un câmp de probabilitate.

Probabilităţile calculate se referă la evenimente legate de experienţe având un număr finit de cazuri posibile(evenimente elementare).

Formule pentru calcularea unor probabilităţi

1.

2.

Scheme clasice de probabilitate

1.Schema lui Poisson

Se dau n urne U1, U2, U3, ..., Un care contin bile albe si negre in proportii date. Cunoastem, deci, probabilităţile pi (i=1, 2, ..., n) cu care este extrasa o bila albă din urna Ui. Se cere probabilitatea de a extrage k bile albe si n-k bile negre, atunci cand din fiecare urna se extrage cate o bilă.

Probabilitatea căutată va fi coeficientul lui xk in polinomul

2. Schema lui Bernoulli

In schema lui Poisson peresupunem ca avem urnele identice. Atunci putem lua p1 = p2 = ... pn

= p si q1 = q2 = ... qn = q = 1 - p .

In acest caz, probabilitatea extragerii a k bile albe, va fi coeficientul lui xk din polinomul

,

adica va fi egala cu

.

4