POLINOAME (2)

1.Rădăcinile polinoamelor. Teorema lui Bézout.

Definiţia 1

Fie f un polinom nenul cu coeficienţi complecşi. Un număr complex, se numeşte rădăcină a polinomului f dacă f (a) = 0 .

Exemple

1. Numărul 2 este rădăcină pentru polinomul

pentru că f (2) = 0.2. Numărul

i este rădăcină pentru polinomul pentru că .

Observaţie

Pentru a afla rădăcinile unui polinom

f se rezolvă ecuaţia f (x) = 0 ; spre exemplu, pentru a afla rădăcinile polinomului

vom rezolva ecuaţia şi găsim rădăcinile

polinomului .

Teorema lui Bézout

Fie un polinom nenul. Numărul este rădăcină a polinomului f dacă şi numai dacă X – a divide f .

Exemplu

Polinomul având rădăcinile se va divide atât prin X – 1 cât şi prin

X – 2.

2.Rădăcini multiple

Definiţia 2

Fie un polinom nenul şi o rădăcină a lui f . Numărul natural m 1 cu

proprietăţile că divide pe f şi nu divide pe f se numeşte ordinul de

multiplicitate al rădăcinii a. Dacă m = 1, atunci rădăcina se numeşte rădăcină simplă, dacă m 2, atunci a se numeşte rădăcină multiplă de ordinul m .

Observaţie

Dacă m = 2 rădăcina se mai numeşte rădăcină dublă iar dacă m = 3 se mai numeşte rădăcină triplă.

Exemple

Polinomul se mai poate scrie şi

deci se divide prin ceea ce înseamnă că are rădăcină dublă pe 1, dar se mai

divide şi prin sau dacă vreţi prin şi deci va avea rădăcină triplă pe 0.

Altfel spus prin rezolvarea ecuaţiei obţinem rădăcinile şi

.

Teorema

Fie un polinom nenul. Dacă sunt rădăcini ale lui f având ordinele de

multiplicitate atunci polinomul divide pe f.

Exemplu

Să se arate că polinomul se divide prin .

Rezolvare:

Cum se mai scrie deci având rădăcinile 1 şi – 1 vom arăta că şi polinomul f are aceste două rădăcini.

şi

de unde rezultă că 1 şi - 1 sunt rădăcini ale lui f . Atunci din teorema rezultă că

divide pe f adică divide pe f .

Consecinţa 1

Orice polinom f de grad n 1 are n rădăcini (nu neapărat distincte; o rădăcină se repetă de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate).

Observaţie

Vezi exemplul de la definiţia 2

Consecinţa 2

Fie un polinom cu , n 1. Dacă sunt

rădăcinile lui f , atunci .

Observaţie

Această formulă am mai întâlnit-o la trinomul de gradul II:

.

3.Relaţii între rădăcini şi coeficienţi (formulele lui Viète)

Formulele lui Viète

Fie un polinom de grad n . Dacă sunt rădăcinile lui f , atunci:

.

Invers, dacă numerele complexe satisfac relaţiile de mai sus, atunci ele sunt rădăcinile polinomului f .

Observaţie

Pentru polinomul de gradul III, , cu rădăcinile , relaţiile lui Viète sunt:

.

Exemplu

Să se determine rădăcinile polinomului , , ştiind că produsul a două rădăcini este egal cu 4. Aflaţi în aceste condiţii şi parametrul a .

Rezolvare:

Relaţiile lui Viète în acest caz sunt:

; ştiind că . Atunci din vom avea că

. Cum – 2 este rădăcină a lui f rezultă că f(-2) = 0 adică

.

Pentru a afla celelalte două rădăcini avem două metode:

Metoda I. (relaţiile lui Viète)

Înlocuim în prima relaţie, vom avea sistemul ale cărui soluţii vor fi

.

Metoda II. (Horner)

Cum - 2 este rădăcină a lui f rezultă că (X + 2) divide pe f . Cu schema lui Horner aflăm câtul împărţirii lui f la (X + 2) şi polinomul se va scrie descompus f =

. Rezolvând ecuaţia .

Observaţie

Pentru polinomul de gradul IV,

, este util să cunoaştem următoarea scriere pentru relaţiile lui Viète:

.

4.Determinarea unei ecuaţii dacă se cunosc rădăcinile ei.

Cunoscând rădăcinile ale unei ecuaţii putem forma această ecuaţie (la fel ca la ecuaţia de gradul II), calculând în prealabil sumele din relaţiile lui Viète şi înlocuind în ecuaţia:

.

Exemplu

Formaţi ecuaţia ce are rădăcinile 1, 2 şi 5.

Rezolvare:

şi înlocuind în formula dată obţinem ecuaţia

.

Exerciţii propuseA. (uşoare)

1. Să se arate că polinomul

se divide la X – 1 .2.Să se determine parametrul

m , astfel încât polinomul să se dividă la X – 2. 2. Să se determine rădăc

inile polinomului ştiind că are rădăcina 3. Să se determine ecuaţia de gradul cel mai mic ştiind că are rădăcină dublă pe 1

şi rădăcini simple 2 şi – 3.

4. Fie polinomul . Să se determine rădăcinile

polinomului ştiind că .5. Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinii 2 pentru polinomul

.

B. (nivel mediu)

6. Să se determine a , b , c astfel încât polinomul

să se dividă la . 7. Să se determine parametrii

a şi b ştiind că polinomul are rădăcină dublă . 8. Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinilor 1 şi – 1 pentru polinomul

. 9. Să se determine

m astfel încât suma a două rădăcini ale ecuaţiei să fie egală cu 1.

10. Să se determine

m astfel ca o rădăcină a ecuaţiei să fie dublul altei rădăcini. 11. Să se rezolve ecuaţia

ştiind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică. 12. Să se rezolve ecuaţia

ştiind că suma primelor două rădăcini este egală cu opusul mediei aritmetice a celorlalte două.

13. Fie ecuaţia având rădăcinile . Să se determine ecuaţia în

y care are rădăcinile

dacă: a. ;

a. , , .C. (dificile)

15. Să se arate că polinomul se divide prin

16. Să se determine A şi B astfel încât polinomul să fie divizibil cu

17. Să se arate că polinomul este divizibil

prin

18. Dacă sunt rădăcinile polinomului şi să se calculeze :

a) ; b) ; c) .

19. Să se arate că 1 este rădăcină dublă pentru polinomul .

20. Fie ecuaţia . Să se arate că această ecuaţie admite cel mult două rădăcini reale.

21. Să se arate că g divide f , unde şi sunt polinoame din C[x] , iar n este număr natural.

22. Ştiind că ecuaţia admite şi rădăcini independente de a , să se determine mulţimea valorilor lui a pentru care toate rădăcinile ecuatiei sunt strict pzitive.