Cuprins…

I.Mulţimea polinoamelor cu coeficineţi complecşi………………………………………………………3

I.1. Definirea polinoamelor…………………………………………3

I.2. Adunarea şi înmulţirea………………………………………….3

I.3. Forma algebrică…………………………………………………6

I.4. Gradul unui polinom…………………………………………….6

I.5 Val pol. într-un punct…………………………………………….7

I.6. Împărţirea polinoamelor…………………………………………7

I.7. Divizibilitatea polinoamelor……………………………………..9

I.8. Rădăcinile polinoamelor………………………………………..11

II. Mulţimea polinoamelor cu

coeficienţi reali…………………………………………………………….13

III. Multţimea polinoamelor cu

coeficienţi întregi şi raţionali………………………………………………14

IV. Aplicaţii………………………………………………………………..15

IV.1. Probleme rezolvate……………………………………………15

IV.2. Probleme propuse……………………………………………..19

2

Polinoame cu coeficienţi complecşi

I. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi

I.1.Definirea polinoamelor

Fie C[X] mulţimea şirurilor(infinite) de numere(complexe)

,...),...,,,( 210 naaaaf , care au numai un număr finit de

termeni ai,nenuli, adică există un număr natural m, astfel

încât ai=0, pentru orice i>m.

De exemplu, şirurile ,...)0,0,2,1,0( f ; ,...)0,0,2,,1( ig ;

,...)0,0,2,100,7,21( ih sunt şiruri infinite care au un număr

finit de termeni nenuli. Şirul g are 3 termeni nenuli, iar h

are 4 termeni nenuli. Deci aceste şiruri sunt elemente din

mulţimea C[X].

I.2. Adunarea şi înmulţirea polinoamelor

Definim pe mulţimea C[X] două operaţii algebrice:

adunarea şi înmulţirea.

Adunarea polinoamelor:

Fie ,...),...,,,( 210 kaaaaf , ,...),...,.,( 210 kbbbbg două elemente din

mulţimea C[X]; atunci definim:

,...),...,,,( 221100 kk babababagf , Nk

Proprietăţile adunării polinoamelor: (C[X],+) se numeşte grup abelian

1. Asociativitatea

)()( hgfhgf , hgf ,, C[X]

3

Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaaf , ,...),,( 210 bbbg şi

,...),,( 210 ccch atunci avem ,...),,( 221100 bababagf şi deci

,...))(,)(,)(()( 222111000 cbacbacbahgf .

Analog, obţinem că

),...)(),(),(()( 222111000 cbacbacbahgf . Cum adunarea

numerelor este asociativă, avem )()( iiiiii cbacba , pentru

orice 0i .

2. Comutativitatea

fggf , gf , C[X]

Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaaf şi ,...),,( 210 bbbg ,

avem ,...),,( 221100 bababagf , ,...),,( 221100 abababfg

Cum adunarea numerelor complexe este comutativă, avem

iiii abba pentru orice 0i . Deci fggf .

3. Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,…) este element neutru pentru

adunarea polinoamelor, în sensul că oricare ar fi

f C[X],avem:

fff 00

4. Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adică oricare ar fi f C[X],

există un polinom, notat )( f , astfel încât:

0)()( ffff

De exemplu, dacă ,...)0,0,2,2,0,1(f este un polinom, atunci

opusul său este ,...)0,0,2,2,0,1( f

Înmulţirea polinoamelor:

Fie ,...),,( 210 aaaf , ,...),,( 210 bbbg

Atunci definim:

...,...)...,...,,,( 110021120011000 kk babababababababagf

ck

k

i ikikbac

0

4

Proprietăţile înmulţirii:

1. Asociativitatea

Oricare ar fi hgf ,, C[X], avem:

)()( hgfhgf

2. Comutativitatea

Oricare ar fi gf , C[X],avem:

fggf

Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaaf , ,...),,( 210 bbbg , atunci

notând ,...),,( 210 cccfg şi ,...),,( 210 dddgf , avem

022110 ... babababac rrrrr şi 0110 ... abababd rrrr . Cum

adunarea şi înmulţirea numerelor complexe sunt comutative şi

asociative, avem cr=dr, pentru orice 0r . Deci gffg .

3. Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,…) este element neutru pentru

înmulţirea polinoamelor, adică oricare ar fi f C[X],avem: fff 11

4. Elemente inversabile

f C[X] este inversabil dacă există 1f ,a.î.:

111 ffff

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante

nenule: ,...)0,0,0,(af , a0.

5. Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele hgf ,, C[X],are loc relaţia:

fhfghgf )(

1.3. Forma algebrică a polinoamelor

Notaţia ,...),,( 210 aaaf introdusă pentru polinoame nu este

prea comodă în operaţiile cu polinoame. De aceea vom folosi

altă scriere.

5

Dacă considerăm ,...)0,0,,...,,( 10 naaaf , atunci f se va scrie sub

forma: n

n XaXaXaaf ...2

210 . Au loc notaţiile: ,...)0,0,(aa

,...)0,0,1,0(X

,...)0,1,0,0(2 X

,...)0,1,0,...,0,0(nX

Exemplu: 2321,...)0,0,3,2,1( XXf

32 4321,...)0,0,4,3,2,1( XXXg

Atunci:

)43()3342()233241(

)132231(41)4321)(321(

543

2322

XXX

XXXXXXXgf

32 4)33()22(11 XXXgf

I.4. Gradul unui polinom

Fie n

n XaXaXaaf ...2

210 . Se numeşte gradul lui f ,

notat prin gradf , cel mai mare număr natural n astfel încât

0na .

Exemple: 1. Polinomul Xf 1 are gradul 1;

2. Polinomul 53 XXXf are gradul 5;

3. Polinomul constant af , unde Ca ,are

gradul 0.

Referitor la gradul sumei şi produsului a două polinoame

f şi g , au loc următoarele relaţii:

i) ),max()( gradggradfgfgrad ;

ii) gradggradffggrad )( .

I.5. Valoarea unui polinom într-un punct

Fie n

n XaXaXaaf ...2

210 , atunci funcţia polinomială

asociată polinomului f este:

RRF : , n

n XaXaXaaXF ...)(2

210 .

I.6. Împărţirea polinoamelor

* Teorema de împărţire cu rest:

6

],[, XCgf ][, XCrq , rqgf , cu gradggradr

Polinomul f se numeşte deîmpărţit, g împărţitor,qcât,iar r rest.

Vom efectua împărţirea polinomului n

n XaXaXaaf ...2

210 la

polinomul m

m XbXbXbbg ...2

210 .

f g

01

1 ... aXaXan

n

n

n

01

1 ... bXbXbm

m

m

m

mn

m

nn

m

mnn

n Xb

baX

b

baXa 011 ...

mn

m

nmn

m

nmn

m

n pp Xb

aX

b

aX

b

a ...11

q

0

1

11 ...1

1

1

1aXaXaf

n

n

n

n

mn

m

bnn

m

mnn

n Xb

aX

b

baXa

101111

1...

11

01

12 ...2

2

2

2aXaXaf

n

n

n

n

…………………………………………………………………………………

0... aXafp

p

n

np

mn

m

nn

nppp

pX

b

baXa

0........

01 ...1

1aXaf p

p

n

np

Acest tabel ne redă regula(algoritmul) de împărţire a

polinoamelor, pe care o vom aplica în practică pentru

obţinerea câtului şi restului împărţirii.

Exemplu: Fie polinoamele 1852345 XXXXf şi

32 Xg . Să determinăm câtul şi restul împărţirii lui f la g.

1852 345 XXXX 32 X

7

52X 36X 32 23 XXX

1834 XXX q

4X

23X

183 23 XXX

3X X3

153 2 XX

23X 9

105 X

r

Deci câtul este 3223 XXXq , iar restul 105 Xr .

Formula împărţirii cu rest se scrie,în acest caz astfel:

).105()32)(3(1852 232345 XXXXXXXXX

Împărţirea prin X-a. Schema lui Horner.

Fie 011

1 ... aXaXaXafn

n

n

n

. În cele ce urmează ne vom

folosi de schema lui Horner pentru a împărţi polinomul f la

polinomul aXg .

n

n

a

X

1

1

n

n

a

X

2

2

n

n

a

X

………

1

1

a

X

0

0

a

X

na 11 nn aba 22 nn aba ……… 11 aba 00 aba

1nb 2nb 3nb ……… 0b r

În rândul de sus al tabelului se scriu coeficienţii

polinomului f, iar în rândul de jos coeficienţii 021 ,...,, bbb nn ai

câtului şi restul r.

Exemplu: Utilizând schema lui Horner, să se determine

câtul şi restul împărţirii polinomului 185234 XXXf şi

binomul 2X .

8

Deci câtul şi restul împărţirii sunt 122223 XXXq şi

23r .

I.7. Divizibilitatea polinoamelor

Def. ][, XCgf , ][, XCrq aşa încât rqgf , cu gradggradr .

Spunem că f se divide la g )( gf sau g divide pe f )/( fg ,

dacă 0r .

Proprietăţi

1. Reflexivitatea

][,/ XCfff

2. Simetria

gf / şi Ckfg / , a.î. kgf

În acest caz spunem că f este asociat cu g )( gf

3. Tranzitivitatea

Dacă gf / şi hfhg //

4. Dacă gf / şi )(/ hgfhf hgf 21̀/

Cel mai mare divizor comun

Def. ][, XCgf ),( gfd = C.m.m.d.c

1. fd / şi gd /

2. fdXCd /'],[' şi ddgd /'/'

Algoritmul lui Euclid:

),(),(...),(),(),( 01211 rrrrrrrggf nnn

Cel mai mare divizor comun a două polinoame este unic

până la înmulţirea cu o constantă(asociere).

Dacă 1),( gf , atunci f şi g sunt prime între ele.

2

4X

5

3

X

0

2X

8

X

1

0X

2 1225 2)1(20 12)2(28 23)12(21

3b 2b 1b 0b r

9

Exemplu: Să se găsească cel mai mare divizor comun al

polinoamelor:

442234 XXXXf şi 3

23 XXXg .

Vom aplica algoritmul lui Euclid. Împărţim pe f la g.

XXXX

XXXX

3

442

234

234

323 XXX

X

43 2 XX

Pentru a evita coeficienţii fracţionari, vom înmulţi în

prealabil pe g cu 3 şi restul împărţirii cu –1. împărţim

acum împărţitorul la rest:

XXX

XXX

43

9333

23

23

43 2 XX

972 2 XX X

Acum, pentru a evita din nou coeficienţii fracţionari,

vom înmulţi pe 43 2 XX cu 2 şi continuăm operaţia.

27216

826

2

2

XX

XX 972 2 XX

3

1919 X

Am obţinut restul 1919 X . Pentru a evita din nou coeficienţii fracţionari, vom împărţi restul cu –19 şi

împărţim împărţitorul la rest.

XX

XX

22

972

2

2

1X

92 X

99

99

X

X

-- -- Ultimul rest nenul este polinomul 1X şi

deci 1),( Xgf .

10

Cel mai mic multiplu comun

Def. Fie f şi g două polinoame. Un polinom m se numeşte cel

mai mic multiplu comun al polinoamelor f şi g dacă verifică

următoarele condiţii:

1. mf / şi mg /

2. 'm , '/ mf şi '/'/ mmmg

Dacă d este c.m.m.d.c al lui f şi g, atunci d

fgm .

I.8. Rădăcinile polinoamelor.

Teorema lui Bezout:

Fie 0f un polinom. Atunci numărul Ca este rădăcină a

polinomului f dacă şi numai dacă aX divide f.

Teorema fundamentală a algebrei

Orice ecuaţie algebrică 0... 011

1

aXaXaXan

n

n

n de

grad mai mare sau egal cu 1 şi cu coeficienţi complecşi

are cel puţin o rădăcină complexă.

Rădăcini simple şi multiple

Def. Fie ][XCf . Ca este rădăcină de ordin de

multiplicitate m, dacă faXm /)( şi

1)( maX nu divide pe f.

Exemple:

fX /1

2)1( X nu divide f 1 X este rădăcină de ordin de

multiplicitate 1(răd. simplă).

)1)(1()1(23 XXXf . Descompunând în factori

ireductibili vom obţine:

))()(1()1(3 iXiXXXf , unde:

1= rădăcină de ordin de multiplicitate 3

i,-i,-1= rădăcini de ordin de multiplicitate 1

11

Teorema de descompunere în factori ireductibili(primi)

Fie ][XCf şi nxxx ,...,, 21 rădăcinile sale în C, nu neaparat

distincte. Atunci: (în C[X])

pm

n

mm

nnn xXxXxXaxXxXxXaf )...()()())...()((21

2121

ngradfmmm p ...21

Singurii factori ireductibili(primi) în C[X] sunt

polinoamele de gradul I.

Relaţiile lui Francois Viete

Fie 011

1 ... aXaXaXafn

n

n

n

, un polinom de grad n. Dacă

nxxx ,...,, 21 sunt rădăcinile lui f, atunci:

n

n

k

n

knnknknkkkk

n

n

nnn

n

nn

a

aP

a

aaaaxxxxxxxS

a

axxxxxxxxS

a

axxxS

)1(

.................................................................................

)1(............

.................................................................................

)1(......

)1(...

0

21112121

2

2

1131212

1211

0)1(...)1(...)1()1( 22

1

1 PSSSSX nkknnnn

12

II. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali

Fie ][XRf şi ecuaţia 0)( xf .

Dacă biax 1 RC este rădăcină pentru f, atunci

biax 2 este rădăcină pentru f, iar x1 şi xx au aceeaşi

multiplicitate.

Demonstraţie

0)(0)( 1 biafxf

0111

11112 ...)()()( axaxaxaxfbiafxfn

n

n

n

0)(... 10111

111

xfaXaXaXazzRzn

n

n

ne

)()()(

)()()(

'

22

11

XgxXxf

XgxXxf

m

m

'

][

12 mmXRf

xx

.

Teorema de descompunere în factori ireductibili

În R[X]:

!2 )()(

mm xxbaxf Singurele polinoame prime din R[X] sunt:

1. polinoamele de gradul I

2. polinoamele de gradul II cu 0 .

III. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi

raţionali şi respectiv întregi

][][][][ XZXQXRXC

Fie ][XQf . Atunci dacă bax 1 este rădăcină pentru f,

cu QRbQbQa ,, , atunci bax 2 este rădăcină pentru f

şi x1 şi x2 au aceeaşi multiplicitate.

Exemplu: 264234 XXXXf

2121 21 xx este rădăcină.

13

)12(

))(()21)(21(

2

2121

2

XXf

xxXxxXfXXf

31)22)(12( 4,322 xXXXXf

------------------------

Fie ][XZf şi ecuaţia 0)( xf

0... 011

1

aXaXaXan

n

n

n

Dacă f admite o rădăcină de forma q

px 1 , Zqp , , atunci

0/ ap şi naq / . Dacă 1na , atunci px 1 .

Exemplu:

Fie 04852234 XXXXf admite soluţia

1/,4/1 qpq

px . Deci }4;2;1{1 x

Împărţind succesiv polinomul la posibilele radacini,

obţinem: )12)(2)(2(2 XXXXf QRxxx 21;2;2 4,321

IV. Aplicaţii

IV.1. Probleme rezolvate

1.Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve

ecuaţia 022234 XmXXX ştiind că admite rădăcina i1 .

Dacă )1)(1(0)1(0)1( iXiXfifif

)22()11(22 XXfiiXiXiXXXf

234

234

22

2

XXX

nXmXXX

222 XX

XXX

nXmXX

22

2)2(

23

23

mXX 2

14

mmXmX

nmX

222

2

nmmX 22

0

0022

n

mnmmX

Dacă ixxxXXxqm 1;1;01,0)(0 432

.

2.Să se arate că polinomul 3424144 dcba XXXX , cu

),,,( Ndcba este divizibil prin 123 XXX

))()(1(123 iXiXXXXX

01111)1()1()1()1()1(3424144 dcbaf

011

)()()()()()(1)()()()()( 342443424144

ii

iiiiiiiiiiif dcbdcba

011)(3424144 iiiiiiif dcba

Dacă )1(

0)1(

0)(

0)(233424144

XXXXXXX

f

if

ifdcba

3. Fie 433245212223 XXXXXf . Fie

2

23

2

2

2

1 ... xxxS ,

unde ix este rădăcină a lui f. Atunci:

1) Sa ; 2) Sb ; 2) Sc ; 4) Sd

264322)...(2)...(... 22322212

2321

2

23

2

2

2

1 xxxxxxxxxx

R:c)

4.Restul împărţirii lui f la 12 X este:

0)a ; Xb) ; 77) Xc ; 135149) Xd .

)1)(1(12 XXX

rxQXXXXXX )()1(4332245212223

Fie o rădăcină a ecuaţiei 012 X 101 22

77413324)(

)(3)(2)(4332)(

22

10211211245212223

fr

15

Deci restul împărţirii lui f la 12 X este 77 X . R:c).

5. Dacă 0,3,],[...2210 nn

n anNnXRXaXaXaaP şi

nkaa kkn ,0, . Atunci relaţia dintre

XP

1 şi )(XP este:

*,1

) RxX

PXPa

; *),(

1) 1 RxXP

XPXb n

;

*),(1

) RxXPX

PXc n

; *),(

1) 1 RxXP

XPXc n

.

Dacă nkaa kkn ,0, atunci:

)(

1

0

0

11

0

XP

aank

aak

aak

n

n

n

se mai poate scrie, echivalent,

sub forma:

nnnnnn aXaXaXaXaXaXP

1

2

2

2

2

1

10 ...)(

n

n XaX

aX

aaX

P

...

1112210

nX/

)(1

)(...1 2

2

1

10 XPX

PXXPaXaXaXaX

PX nnnnnn

R:c).

6. Fie ecuaţia 03)1(23 XmXmX , *Rm fiind parametru.

Mulţimea valorilor lui m pentru care 02

3

2

2

2

1 xxx este:

a.

;

2

31

2

31;m ; b.

2

31; ;

c.

2

31;0 ; d. 0\

2

31;

2

31

.

*,03)1(23 RmXmXmX .

0)1(210)1(21

12

1)(2)(

2

2

323121

2

321

2

3

2

2

2

1

mmm

m

m

m

m

mxxxxxxxxxxxx

16

0122 2 mm

2

31

4

322321284 1

m

2

31

2

3222

m .

Deci

;

2

31

2

31;m . R:a).

7. Valoarea expresiei:

3

21

2

31

1

32

x

xx

x

xx

x

xxE

,unde 321 ,, xxx sunt rădăcinile

ecuaţiei 26 23 XXX este:

a. –3; b. –1; c. –6; d. 3.

2

1

6

321

322131

321

xxx

xxxxxx

xxx

63332

1636

3111

616

16

16666

321

323121

3213213

3

2

2

1

1

xxx

xxxxxx

xxxxxxx

x

x

x

x

xE

R:c).

8. Fie 19921 ,...,, xxx rădăcinile ecuaţiei 0510199 XX . Atunci

suma 199

199

199

2

199

1 ... xxxS are valoarea:

a. 1000S ; b. 995S ; c. 0S ; d. 50S .

Dacă 19921 ,...,, xxx sunt rădăcini, atunci fiecare din ele

verifică ecuaţia:

0510

0510

0510

199

199

199

2

199

2

1

199

1

xx

xx

xx

17

9959950101995)...(10... 19921199

199

199

2

199

1 xxxxxx

R:b).

9. Se consideră funcţia RRf : , baXXxf 2)( ,

Qba , .Suma modulelor radacinilor ecuaţiei 0)( xf este:

a. a ; b. ba 42 pentru 0b ; c. ba 42 pentru 0b

d. b .

bxx

axx

21

21 baxxxxxx 22)(

2

21

2

21

2

2

2

1 .

212

21

2

2

2

1

22

2

2

1 22 xxxxxxbaxx

bbaxxbbaxx 2222 22122

21

Dacă baxxb 40 221 . R:b).

10. Restul împărţirii lui nXf la 22 XXg este:

a. 1X ; b. 1X ; c. 2)14( Xn ; d. 3

)1(22

3

)1(2 nnnnX

.

)2)(1(22 XXXX

baXXXxqXf n )2)(1()( , unde rbaX , gradggradr .

Pentru baxn )1(1

Pentru bax n 222

n

n

ba

ba

22

)1( (-)

3

)1(2)1(232)1(3

nnnnnn aaa

3

)1(22

3

)1(22

3

)1(2)1()1(

nnnnnnnn bab

.

Deci 3

)1(22

3

)1(2 nnnnXr

. R:d).

18

IV.2. Probleme propuse

1. Fie 33 XXf cu rădăcinile 321 ,, xxx şi 12 XXg cu

rădăcinile 21 , yy .

)()( 21 yfyf este:

a. 5; b. 7; c. 9; d. 1.

2. )()()( 321 xgxgxg este:

a. 1; b. 5; c. 7; d. 3.

3.Să se determine Rm , ştiind că ecuaţia 0323 XmXX

are rădăcinile în progresie aritmetică.

4.Polinomul ][XQf are gradul 5 şi 1)21()1()0( fiff .

Atunci suma rădăcinilor lui f este:

a. 0; b. –1; c. 3; d. 4.

5.Se consideră funcţia RRf : , 9)(2 XXxf . Suma

)50(...)2()1( fff este :

a. 89300 b. 44650 c. 44600 d. 45000.

6.Se consideră funcţia RRf : ,

2)1()1()( 2 mXmXmxf cu 1\Rm . Soluţiile 1x şi 2x ale

ecuaţiei 1)( xf , pentru m=2 verifică relaţia 200422004

1 xx .

Atunci este: a. 1; b. i; c. 2; d. 1-i.

7.Se consideră polinoamele 33 XXf , cu rădăcinile

321 ,, xxx şi 12 XXg , cu răd. 21 , yy . Restul împărţirii lui

)23( Xg la 2X este:

a. 7; b. 5; c. 1; d. –1.

8. Rădăcina reală a lui f este situată în intervalul:

a. )1,0( ; b. )1,2( c. )1,1( ; d. )3,1( .