20 - tema/unitatea: polinoame cu coeficienţi într-un corp...

Click here to load reader

Post on 03-Jan-2020

8 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    1

    Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

    Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

    Disciplina MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCRU

    - 20 - Tema/Unitatea: Polinoame cu coeficienţi într-un corp

    comutativ

    Expert educaţie: prof. Monoranu Mihaela Doina, Colegiul Tehnic „Mihai Băcescu” Fălticeni

    Breviar teoretic

    Forma algebrică a polinomului cu coeficienţi într-un corp comutativ ( , , )K este

    1

    1 1 0

    0

    ... ,n

    k n n

    k n n

    k

    f a X a X a X a X a

    cu 0 1, ,..., na a a K şi .0na

    Dacă 0f ( polinomul nul), spunem că polinomul f are gradul , iar dacă 1

    1 1 0...n n

    n nf a X a X a X a

    cu 0na spunem că polinomul f are gradul n.

    Operaţii cu polinoame

    Fie , [ ],f g K X

    m

    i

    i

    i Xaf0

    şi

    n

    j

    jbjXg0

    , m

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    2

    Teorema restului: Dacă [ ]f K X şi a K atunci restul împărţirii polinomului f la ( )X a este egal

    cu ( ).f a

    Divizibilitatea polinoamelor

    Fie , [ ]f g K X . Polinomul f este divizibil prin polinomul g dacă există un polinom [ ]h K X astfel

    încât f g h . Notăm gf sau .| fg Teorema lui Bézout. Fie [ ]f K X un polinom nenul şi a K .

    Polinomul f se divide cu ( )X a ( ) 0f a ( a este rădăcină a polinomului f )

    Rădăcinile polinoamelor

    Teorema fundamentală a algebrei (teorema D’Alembert – Gauss). Orice polinom de grad mai mare

    sau egal cu unu are cel puţin o rădăcină complexă.

    Definiţie:

    a K se numeşte rădăcină pentru [ ]f K X dacă ( ) 0f a .

    a K se numeşte rădăcină multiplă de ordin p, p pentru [ ]f K X dacă (X )pf a şi f nu se

    divide cu 1(X )pa .

    Teoremă: Fie [ ]f K X cu ( )grad f n . Dacă nxxx ,...,, 21 sunt rădăcinile polinomului f , atunci

    ))...()(( 21 nn xXxXxXaf .

    Teoremă: a K este rădăcină multiplă de ordin p, p pentru [ ]f K X ' " ( 1)( ) ( ) ( ) ... ( ) 0pf a f a f a f a şi

    ( ) ( ) 0pf a .

    Teoremă: Fie [ ]f X , 0f şi 1 , , , 0x a ib a b b o rădăcină complexă a lui f. Atunci:

    1) 2x a ib este rădăcină a lui f.

    2) 1 2,x x au acelaşi ordin de multiplicitate.

    Teoremă: Fie [ ]f X 0f şi 1x a b cu , , , b 0, )a b b Q o rădăcină a lui f. Atunci:

    1) 2x a b este rădăcină a lui f.

    2) 1 2,x x au acelaşi ordin de multiplicitate.

    Teoremă: Fie 0 1 ... [ ]n

    nf a a X a X X , 0na , iar q

    p o rădăcină raţională a lui f, ,p q Z

    , .1),(,0 qpq Atunci

    1) p divide termenul liber 0a

    2) q divide coeficientul dominant .na

    Relaţiile lui Viète. Dacă 0 1 ... [ ]n

    nf a a X a X K X , 1n , 0na are rădăcinile nxxx ,...,, 21

    atunci: 11 1 2 ... ;n

    n

    n

    aS x x x

    a

    22 1 2 1 3 1... ;

    nn n

    n

    aS x x x x x x

    a

    ....

    01 2... ( 1) .

    n

    n n

    n

    aS x x x

    a

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    3

    Observaţie: 1 2 31 2 3 ... 1 0nn n n n

    nx S x S x S x S

    Polinoame reductibile – ireductibile

    Definiţie: [ ]f K X cu ( )grad f n , 1n este reductibil peste corpul K dacă ( )g, [ ]h K X , de

    grad strict mai mic decât n, astfel încât f g h . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste corpul

    K.

    Observaţii:

    [ ]f X este ireductibil , , , 0f ax b a b a

    [ ]f X este ireductibil , , , 0f ax b a b a sau 2f ax bx c , cu

    2, , , 0, 4 0a b c a b ac

    Ecuaţii algebrice de grad superior

    Ecuaţii bipătrate: 4 2 0, , , , 0ax bx c a b c a

    Observaţii:

    Notăm 2x y şi se obţine ecuaţia 2 0,ay by c cu soluţiile 1 2,y y

    Se rezolvă ecuaţiile 2 2

    1 2,x y x y , obţinându-se soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x ale ecuaţiei bipătrate.

    Ecuaţii reciproce: 1

    1 1 0... 0,n n

    n n ia X a X a X a a

    cu , {0,1,2...,n}k n ka a k

    Observaţii:

    Orice ecuaţie reciprocă de grad impar admite rădăcina 1 1x .

    Dacă ecuaţia reciprocă are soluţia atunci are şi soluţia 1

    .

    Ecuaţia reciprocă de grad patru:

    4 3 2 2 2 22 2

    2 2

    2

    1 10 : 0 0 0

    1 1: 2

    b cax bx cx bx a x ax bx c a x b x c

    x x x x

    notăm x y deci x yx x

    Ecuaţia devine: 2 2 0ay by c a cu soluţiile 1 2,y y

    Se rezolvă ecuaţiile dar 1 21 1

    ,x y x yx x

    obţinându-se soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x ale ecuaţiei

    reciproce.

    Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat

    1. Să se scrie sub formă algebrică polinoamele:

    a) 2 2

    1 3 1f X X , f X b) 3

    64 1 3 2 3 .f X X X f X

    2. Se consideră polinomul f X , 4 3 2 1f aX bX cX dX , 0a . Să se determine a, b,

    c, d pentru care forma algebrică a polinomului 1 1g X X f este 6 1X

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    4

    3. Să se determine în funcţie de parametrul real m, gradul polinoamelor f X :

    a) 3 2 21 1 3 1f m X m X X

    b) 2 4 2 3 25 6 4 2 3 2f m m X m X m X X 4. Se consideră polinoamele: 3 24 3f a b X a b X c , f X şi

    3 22 2g a b X X a c , g X . Să se determine a,b,c astfel încât f = g.

    5. Se consideră polinoamele 5,f g X , 23 3 2 2 3f a b X X a b şi 22 2 3 2g X X a b . Să se determine a,b 5 astfel încât f = g.

    6. Să se calculeze valoarea f a polinomului f în cazurile:

    a) 3 22 4 3, 2f X X X b) 4 2 54 3 5, , 3f X X X f X c)

    4 23 2, , 3f X X f X i

    7. Fie polinomul 3 26 , 2 3f X f X X X . Calculaţi produsul

    0 1 2 3 4 5f f f f f f 8. Fie polinomul 25 , 2 2f X f X X . Să se calculeze în 5 suma

    0 1 2 3 4f f f f f 9. Se consideră polinomul f X , 3 2f X X aX b . Să se determine a, b ştiind că f(1) =

    0 şi f(-1) = - 4.

    10. Se consideră polinomul f X , 1006

    2 20121f X X X , cu forma algebrică

    2 2011

    0 1 2 2011...f a a X a X a X . Să se arate că suma 0 2 2011...a a a a este un număr

    par.

    11. Să se determine polinomul f X , grad f = 1, ştiind că: 1 8, 2 1f f

    12. Să se determine polinomul f X , grad f = 2, ştiind că: f(1) = 0, f(0) = 1, f(2) = 5.

    13. Să se determine polinomul 7f X , 3 2f X aX b ştiind că 0 5f şi 1 3f .

    14. Calculaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la g în următoarele cazuri:

    a) 4 3 2 23 2 1, 1, , [ ]f x x x x g x x f g x ;

    b) 5 3 2 32 5 1, 1, , [ ]f x x x x g x f g x :

    c) 3 2 2

    5ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1, 2, , [ ]f x x x g x f g x

    15. Folosind schema lui Horner, calculaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la g în următoarele

    cazuri:

    a) 5 4 25 2 3 1, 1, , [ ]f x x x x g x f g x

    b) 6 5 43 2 7 2, 1, , [ ]f x x x x g x f g x

    c) 4 3 21 1 1 3 1, , , [ ]

    2 2 2 2 2f x x x x g x f g x

    d) 5 4 2

    5ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 4, 3, , [ ]f x x x x g x f g x

    16. Determinaţi m astfel încât polinomul

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    5

    a) 4 3 22 ( 1) 1f x mx x m x m să dea restul 5 la împărţirea cu 2x ;

    b) 3 2(2 1) ( 1) 3 1f x m x m x m să fie divizibil cu 3x .

    17. Determinaţi ,m n ştiind că polinomul 4 3(2 ) ( ) 1f x m n x m n x dă restul 1 la

    împarţirea cu 2x şi restul 2 la împărţirea cu 1x .

    18. Fără a efectua împărţirea, determinaţi restul împărţirii polinomului

    a) f = X100

    - 3X99

    +5 la polinomul g = 11 XX ; b) f = X

    200 +X

    101 +X la polinomul g = 12 XX .

    19. Se consideră polinomul ,234 cbXaXXXf unde , , .a b c

    a) Pentru 1 ca şi 1b să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la .12 X

    b) Să se determine numerele a, b, c ştiind că restul împărţirii polinomului f la 12 X este X, iar restul împărţirii polinomului f la X – 1 este – 1.

    20. În mulţinea [ ]X se consideră polinoamele 1234 XXXXf şi .12 XXg

    a) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g.

    b) Să se arate că dacă y este rădăcină a polinomului g, atunci .123 yy

    21. Se consideră polinoamele cu coeficenţi reali 9628 234 bXXaXXf şi

    2422 XXg .

    a) Să se scrie forma algebrică a polinomului ).4)(242( 22 XXXh

    b) Să se determine Rba , astfel încât polinoamele f şi )4)(242( 22 XXXh să fie egale.

    c) Să se rezolve în R ecuaţia .096284288216 xxxx

    22. Se consideră 7Za şi polinomul ].[5̂ 76 XZaXXf

    a) Să se verifice că pentru orice ,0̂,7 bZb are loc relaţia .1̂6 b

    b) Să se arate că .),4̂)(4̂(5̂ 7336 Zxxxx

    c) Să se demonstreze că pentru orice 7Za , polinomul f este reductibil în ].[7 XZ

    23.Se consideră polinomul ],[32 234 XRcbXXaXXf cu rădăcinile .,,, 4321 Cxxxx

    a) Să se afle rădăcinile polinomului f ştiind ca a=b=0, c= – 5. b) Să se verifice că

    ).16(4

    3)()()()()()( 2243

    2

    42

    2

    32

    2

    41

    2

    31

    2

    21 axxxxxxxxxxxx

    c) Pentru a=4, să se determine Rcb , astfel încât polinomul f să aibă toate rădăcinile reale.

    24. Se consideră funcţia ,: 55 ZZf .4̂)(4 xxxf

    a) Să se calculeze )0̂(f şi ).1̂(f

    b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă.

    c) Să se descompună polinomul ][4̂ 54 XZXX în factori ireductibili peste .5Z

    25. Se consideră Qcba ,, şi polinomul .23 cbXaXXf

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    6

    a) Să se determine a, b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile 121 xx şi .23 x

    b) Să se arate că, dacă f are rădăcina 2 atunci f are o rădăcină raţională. c) Să se arate că, dacă ,,, Zcba iar numerele )0(f şi )1(f sunt impare, atunci polinomul f nu are

    rădăcini întregi.

    26. Se consideră polinoamele ],[, XQgf ,1234 XXXXf cu rădăcinile

    Cxxxx 4321 ,,, şi .12 Xg

    a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g.

    b) Să se calculeze ).1()1()1()1( 4321 xxxx

    c) Să se calculeze ).()()()( 4321 xgxgxgxg

    27. Se consideră 3Za şi polinomul ].[2̂ 3

    23 XZaXXf

    a) Să se calculeze ).2̂()1̂()0̂( fff

    b) Pentru ,2̂a să se determine rădăcinile din 3Z ale polinomului f.

    c) Să se determine 3Za pentru care polinomul f este ireductibil în ].[3 XZ

    28. Se consideră Ra şi polinomul ].[123 234 XRaXXXXf

    a) Să se calculeze 4321

    1111

    xxxx , unde Cxxxx 4321 ,,, sunt rădăcinile polinomului f.

    b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la .)1( 2X

    c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale.

    29. Se consideră polinoamele ],[, XRgf ,23 aXaXf ,1223 XaaXg cu *Ra şi

    Cxxx 321 ,, rădăcinile polinomului f.

    a) Să se calculeze .232

    2

    2

    1 xxx

    b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f. c) Să se arate că polinoamele f şi g nu au rădăcini reale comune.

    30. Se consideră polinomul ].[23 2345 XCXXXXf

    a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f.

    b) Să se calculeze ,252

    4

    2

    3

    2

    2

    2

    1 xxxxx unde 521 ,...,, xxx sunt rădăcinile polinomului f.

    c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală.

    31. Fie polinomul ,22 23 aXaXXf cu Ra şi cu rădăcinile complexe .,, 321 xxx

    a) Să se calculeze f( 1 ). b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale.

    c) Să se determine a astfel încât .3|||||| 321 xxx

    32. Se considerăpolinomul mXXp 3

    cu Rm şi cu rădăcinile .,, 321 Cxxx

    a) Şiind că m =– 6, să se determine .,, 321 xxx

    b) Să se calculeze 434

    2

    4

    1 xxx .

    c) Să se determine Rm pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi.

  • INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

    Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

    Învățământ Preuniversitar

    7

    33. Se consideră Zba , şi polinomul ,23 bXaXXp cu rădăcinile .,, 321 Cxxx

    a) Şiind că 1a b , să se afle rădăcinile polinomului p. b) Să se afle a şi b, ştiind că polinomul p are rădăcina dublă 1. c) Şiind că b=1 şi că p are o rădăcină raţională, să se determine valorile lui a.

    34. Se consideră Qba , şi polinomul .23 baXXXf

    a) Să se determine a şi b ştiind că 1+i este rădăcină a polinomului f.

    b) Să se determine a şi b ştiind că 21 este rădăcină a polinomului f. c) Să se determine a şi b ştiind că polinomul f are o rădăcină triplă.

    35. Se consideră Rba , şi polinomul ,64234 baXXXXf care are rădăcinile

    Cxxxx 4321 ,,,

    a) Să se determine a şi b ştiind că f are rădăcina i.

    b) Să se calculeze .)1()1()1()1( 242

    3

    2

    2

    2

    1 xxxx

    c) Să se determine valorile reale ale numerele a şi b ştiind că toate rădăcinile polinomului f sunt reale.

    36. Fie Rba , şi polinomul ].[335102030 XRbaXXaXXXf

    a) Să se arate că restul împărţirii polinomului f la 1X nu depinde de a.

    b) Să se determine a şi b astfel încât restul împărţirii polinomului f la XX 2 să fie X.

    c) Să se determine a şi b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu .)1( 2X

    37. Fie Rcba ,, şi polinomul ][23 XRcbXaXXf cu rădăcinile Cxxx 321 ,, .

    a) Să se determine a, b, c pentru care 21 x şi .12 ix

    b) Să se arate că resturile împărţirii polinomului f la 2)1( X şi la 2)2( X nu pot fi egale, pentru

    nicio valoare a parametrilor a, b, c.

    c) Să se arate că, dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale şi a, b, c sunt strict pozitive, atunci

    321 ,, xxx sunt strict pozitive.

    38.Pentru fiecare *Nn considerăm polinomul ].[14223 XCXXXf nn

    a) Să se arate că 1f nu este divizibil cu polinomul .2 Xg

    b) Să se determine suma coeficienţilor câtului împărţirii polinomului 3f la .1X

    c) Să se arate că restul împărţirii polinomului nf la polinomul 12 XXh nu depinde de n.