consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame

CONSIDERATII METODICE PRIVIND PREDAREA INELELOR DE POLINOAME

Prof.MUSCA FLORINA COLEGIUL TEHNIC M.VITEAZUL

ORADEA

1. Aspecte organizatorice ale predării capitolului Inele de Polinoame

1.1. Metodica introducerii inelelor de polinoame

Deoarece elevii, deja în clasele mai mici sunt familiarizaţi cu noţiunea de monoame,

conform programei actuale de matematică primele noţiuni legate de monoame sunt introduse

în clasa a VII-a, în capitolul Numere reale, Calcule cu numere reale reprezentate prin litere,

predarea Inelelor de polinoame nu prezintă greutăţi deosebite la clasa a XII-a, iar elevii îşi

lărgesc orizontul matematic prin abordarea acestei teme prin prisma structurilor algebrice,

dobândesc la timp cunoştinţele necesare altor discipline (fizică, chimie, informatică, etc).

Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităţilor de abstractizarea a

elevilor. Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice. Predarea Inelelor de polinoame vizează următoarele obiective de referinţă, realizarea

lor reprezentând una din cerinţele obligatorii.

1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor de numere, a polinoamelor, a matricelor şi

a structurilor algebrice; (1)

2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia; (2.1)

3. Compararea proprietăţilor algebrice sau aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse

mulţimi, în scopul identificării unor algoritmi; (2.2)

4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor înzestrate cu operaţii prin identificarea

organizării structurale a acestora; (4.1)

5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe mulţimi diferite în deducerea unor

proprietăţi algebrice; (5)

6. Utilizarea calculelor algebrice în probleme practice uzuale; (6)

7.Recunoaşterea polinoamelor;

8. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor

algebrice;

48

9. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date;

10. Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din

aritmetica numerelor;

Constructia inelului de polinoame se realizează pornind de la o mulţime AN, mulţimea

tuturor funcţiilor de la N la A, adică AN= f / f:N → A, unde A este un inel comutativ, unitar.

Un element f∈ AN, fiind o funcţie, se reprezintă cu ajutorul valorilor sale sub forma f=

,...),...,,( 10 maaa = Niia ∈)( .

Dacă f,g∈ AN, f= Niia ∈)( , g= Niib ∈)( atunci f=g ⇔ ii ba = , ∀ Ni ∈ .

Pe mulţimea AN definim două legi de compoziţie interne:

adunarea: dacă f,g∈ AN, f= ,...),...,,( 10 iaaa , g= ,...),...,,( 10 ibbb , atunci f+g=

,...)ba,...,ba,ba( ii1100 +++ ;

înmulţirea: gf ⋅ = jkji

iba∑=+

, ∀ k∈ N.

Exemplu. Fie f=(-1,2,3,-5,...)∈ AN şi g=(1,0,-1,0,...)∈ AN ⇒ f + g=(0,2,3,-5,...),

f•g=(-1,2,4,-7,...).

Deci (AN,+, •) este o structură algebrică.

Astfel se verifică:

Asociativitatea şi comutativitatea adunării

Fie f,g,h∈ AN, f= Ni∈)a( i , g= Ni∈)b( i , h= Ni∈)c( i . Atunci, pentru orice i∈ N avem

iiii abba +=+ şi )cb(ac)ba( iiiiii ++=++ , deoarece adunarea în A este comutativă şi

asociativă. Rezultă că f+g=g+f şi (f+g)+h=f+(g+h), adică adunarea în AN este comutativă şi

asociativă.

Elementul neutru şi elementul simetrizabil (opusul) faţă de adunare

Există în AN element neutru faţă de adunare, şi anume funcţia 0:N → A, 0(i)=0, ∀ i∈

N. Pentru orice f∈ AN, f= ,)a( i Ni∈ opusul său este -f∈ AN şi f+(-f)=(-f)+f=0.

Exemplu. f= (-1,0,2,7,...)∈ AN ⇒ - f = (1,0,-2,-7...).

Comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii

Înmulţirea în A fiind comutativă rezultă că jkji

iba∑=+

= ∑=+ kij

ij ab Nji ∈∀ , , k=i+j

⇒ gf ⋅ = fg ⋅ , adică înmulţirea în AN este comutativă.

Analog ( gf ⋅ ) h⋅ = ⋅f ( hg ⋅ ), înmulţirea în AN este asociativă. (Capitolul I, paragraful

1.1)

Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare

Fie ⋅f (g + h) = (d0,d1,...,dk,...),

49

gf ⋅ + hf ⋅ = ,...)d,...,d,d( 'k

'1

'0 , kd = )( j

kjiji cba +∑

=+= ∑

=+ kjijiba + j

kjiica∑

=+.

Înmulţirea fiind distributivă faţă de adunare rezultă că dk=d'k, Nn ∈∀ . Rezultă ⋅f

(g+h)= gf ⋅ + hf ⋅ şi înmulţirea în AN fiind comutativă, avem şi ⋅f (g+h)= gf ⋅ + hf ⋅ , adică

înmulţirea în AN este distributivă faţă de adunare.

Elementul neutru faţă de înmulţire

Există în AN element neutru faţă de înmulţire şi anume: (1,0,0,...,0,...).

În concluzie, avem (AN,+, •) inel comutativ cu element unitate.

Forma algebrică a polinoamelor:

Notăm X=(0,1,0,...0,...), atunci din definiţia înmulţirii în AN, rezultă că:

X2 = (0,1,0,...,0,...)(0,1,0,…,0,...) = (0,0,1,0,...,0,...),..., Xn =(0,0,...,0,1,0,...).

Prin definiţie vom pune X°=1.

Un element f ∈ AN, f=( a Nii ∈) , se poate scrie atunci în mod unic sub forma:

f = ( 0a ,a1 ,a2,... ) = ( 0a ,0,0,... )+(0,a1 ,0,...) +...

= ( 0a ,0,0,... ) +(a1 ,0,0,... )(0,1,0,...) + (a2,0,0,...)(0,0,1,... ) +... = i

Nii Xa∑

∈,

în care elementele ak se numesc coeficienţii lui f, iar monoamele akXk ,0 ≤ k ≤ n ,se numesc

termenii polinomului.

După introducerea formei algebrice a polinoamelor, profesorul trebuie să atragă

atenţia elevilor în a nu considera litera X ca reprezentând un element variabil din K; a nu

face confuzia între un polinom cu coeficienţi în K şi funcţia polinomială f~ :K K f~

(x)=f(x), unde x desemnează argumentul funcţiei f sau ecuaţia ataşată funcţiei.Polinomul f Funcţia polinomială asociată

f : R R

Ecuaţia asociată

aX+b,

a,b∈ R, a ≠ 0 Funcţia de gradul I

f(x)=ax+b

Ecuaţia de gradul I

ax+b=0aX2+bX+c,

a,b,c∈ R, a ≠ 0 Funcţia de gradul II

f(x)=ax2+bx+c

Ecuaţia de gradul II

ax2+bx+c=0aX3+bX2+cX+d a,b,c,d

∈ R, a ≠ 0Funcţia cubica

f=ax3+bx2+cx+d

Ecuaţia de gradul III

ax3+bx2+cx+d=0X=nedeterminata x=variabila x=necunoscuta

Pentru K∈ Q, R,C,Z,Zpse obţin mulţimile de polinoame:

Q[X]=mulţimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficienţi în Q: f=31

23 23 −+ XX

R[X] =mulţimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficienţi în R: f= 532 +− XX

50

C[X] =mulţimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficienţi în C: f=X 4-i X 3+(i-2)X+3

Z[X]= mulţimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficienţi în Z: f = 2X4 + 5X2 - 3

Zp[X]=mulţimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficienţi în Zp:f=X4 + 2 X3 + 3 X2+ 2 .

Mulţimea polinoamelor de nedeterminata X cu coeficienţi în Zp trebuie tratată

diferenţiat şi verificate toate proprietaţile introduse şi pe această mulţime.

Exemplul: Se ştie că dacă două polinoame sunt egale atunci şi funcţiile lor

polinomiale sunt egale, adică: f=g gf ~~ =⇒ .

Reciproca acestei implicaţii nu este în general adevarată.

Contraexemplu în acest sens: f,g∈ Zp[X], f=X3, g=X.

Evident f ≠ g dar gf ~~ = deoarece gf ~,~ au acelaşi domeniu de definiţie Z3, au acelaşi

codomeniu Z3 şi au acelaşi mod de corespondenţă )0(~)0(~ gf = = 0 , )1(~)1(~ gf = =1 ,

)2(~)2(~ gf = = 2 .

Pe aceeaşi multime Zp[X] este utilă definirea polinomului redus modulo p al lui f cu

observaţia că: f+g= f + g fg= f g (echivalent spus, funcţia m*ρ :Z[X] Zm[X], ffm ˆ)(* =ρ

este un morfism de inele).

Aplicând morfismul m*ρ : Z[X] Zm[X] se pot determina câtul şi restul împărţirii a

două polinoame din Zm[X].

Exemplu:

(1). Determinăm câtul şi restul împărţirii lui f = X4 + 2 X3 + 3 X2 + X + 2 Z5[X] la

g = X2 + 3 Z5[X].

Efectuăm mai întâi împărţirea lui f la g în Z[X]. Avem:

X4 + 2X3 + 3X2 + X + 2 = (X2 + 3)(X2 + 2X)+(-5X + 2) şi aplicând obţinem X4 +

2 X3 + 3 X2 + X + 2 = (X2 + 3 )(X2 + 2 X) + 2 .

Prin urmare, q = X2 + 2 X şi r = 2 ;

(2). Determinăm m Z pentru care f = X5 + 9X2 - 18X Zm[X] se divide cu g = X2

+ 3 Zm[X].

Efectuăm mai întâi împărţirea lui f la g în Z[X]. Avem:

X5 + 9X2 - 18X = (X2 + 3)(X3 - 3X + 9)-9(X + 3), aplicând morfismul m*ρ obţinem,

X5 + 9 X2 - 81 X = (X2 + 3 )(X3 - 3 X + 9 ) - 9 (X + 3 ).

Deci f se divide cu g, dacă restul împărţirii lui f la g în Zm[X] este zero, adică 9 (X + 3 ) = 0 în

Zm[X], ceea ce este echivalent cu 9 = 0 (mod m) şi 27 0 (mod m). Deci m=3 sau m=9.

51

Întotdeauna pentru un polinom f∈ K[X] trebuie precizată mulţimea în care se

determină rădăcinile.

(1). f = 2X + 3∈ Z[X] are gradul 1 şi nu are rădăcini în Z.

(2). f = 2X + 3∈ Q[X] are gradul 1 şi are rădăcina 23− în Q.

(3). g = X2 + X + 1 ∈ Z2[X] are gradul 2 şi nu are rădăcinile α 1=0, α 2=1, α 3=1 în Z2

şi avem h = X(X+1) în Z2[X].

Relaţia de divizibilitate în inelele de polinoame

Divizibilitatea polinoamelor ocupă un loc important în studiul proprietăţilor

polinoamelor, stând la baza rezolvării numeroaselor probleme de matematică, dintre cele mai

diverse.

Fie inelul de polinoame K[X]. În definirea operaţiei de înmultire în inelul de

polinoame, produsul a două polinoame f,g din K[X] este tot un polinom din K[X] al cărui

grad este egal cu suma gradelor celor două polinoame fg=h.

Aceasta ne sugerează a considera şi problema reciprocă acesteia: dându-se un

polinom h din K[X] există sau nu două polinoame în K[X] al căror produs să fie polinomul

h.

Astfel dându-se polinoamele f,h din K[X] există polinomul g din K[X], astfel ca

produsul fg este egal cu polinomul h, atunci spunem că polinomul f este un divizor al

polinomului h (h este divizibil prin f) sau că polinomul h este un multiplu al polinoamului f.

Exemplu: 1. Fie f,g,h R[X], f= X+2, h= X2+5X+6. Există polinomul g= X+3 astfel

încât:(X+2)(X+3)=X2+5X+6.

Divizorii de forma a şi af, a∈K-0 se numesc divizori improprii ai lui f. Ceilalţi

divizori, dacă există, se numesc divizori proprii ai lui f.

Problema care ne interesează este de a vedea cum se scrie un polinom f∈K[X] ca un

produs de factori de un anumit tip.

Un polinom f∈K[X] se numeşte ireductibil peste K (sau încă ireductibil în K[X]) dacă

are gradul cel puţin unu şi dacă nu are divizori proprii.

În caz contrar, el se numeşte reductibil peste K (sau încă reductibil în K[X]).

Problema descompunerii unui polinom în factori ireductibili (factorizarea

polinoamelor) este operaţia inversă înmulţirii polinoamelor. Reamintim faptul că atunci când

factorizăm un număr natural, căutăm numere prime al căror produs să fie numărul dat, de

exemplu, 6=23, sau 12=223.

Când factorizăm un polinom, căutăm polinoame al căror produs să fie polinomul dat.

Este foarte important a specifica mulţimea din care fac parte polinoamele.

52

Aşadar, un polinom f∈C[X] este reductibil peste C dacă există două polinoame (cel

puţin) g, h∈C[X], g, h ≠ 0 de grad cel puţin unu pentru care f = gh.

Analog, un polinom f∈R[X] este reductibil peste R dacă există două polinoame (cel

puţin) g,h∈R[X], g, h ≠ 0 de grad cel puţin unu pentru care f = gh.

De asemenea, un polinom f∈Q[X] (Z[X]) este reductibil peste Q(Z) dacă există două

polinoame (cel puţin) g,h∈Q[X] (Z[X]), de grad cel puţin unu pentru care f = gh.

Este foarte importantă precizarea polinoamelor ireductibile în principalele inele de

polinoame

1. Un polinom f∈C[X] este ireductibil, dacă şi numai dacă f = aX + b, a,b∈C, a≠0.

2. Un polinom f∈R[X] este ireductibil, dacă şi numai dacă f = aX + b, a,b∈R, a≠0 sau

f = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a ≠ 0, b2 – 4ac<0.

Deci orice polinom de gradul întâi din C[X] (sau R[X] sau Q[X], Z[X]) este un

polinom ireductibil.

Pentru a arata că un polinom este ireductibil într-o mulţime se foloseşte metoda

reducerii la absurd. Arătăm că f = X2–3 este ireductibil peste Z[X].

Presupunem că f ar fi reductibil peste Z, deci ar admite o scriere de forma

f =(aX+b)(mX+n).a,b,m,n ∈Z, a,m ≠ 0. După calcule X2–3=amX2+(an+bm)X+bn obţinem

sistemul

−==+

=

30

1

bnbman

am, care nu are soluţii în Z. Deci f este ireductibil peste Z.

Legătura între divizori şi rădăcini este dată de teorema lui Bézout, ce stabileşte

legătura între divizorii de gradul unu ai polinomului f∈ K[X] şi rădăcinile din K ale acestui

polinom.

Fie f R[X], f ≠ 0. Un element ∈ R este rădăcină a polinomului f în inelul R dacă şi

numai dacă polinomul X - α divide f în inelul R[X].

Înţelegerea acestor noţiuni pentru elevi poate fi dificilă dacă nu sunt clarificate toate

situaţiile prin exemple şi contraexemple.

Dacă f are rădăcină în K[X] atunci f este reductibil în K[X] .

Exemplul: Fie f = X2 – 3. Rădăcinile polinomului f sunt: x1= 3 ; x2=- 3 ∈ R[X] ⇒

f= (X – 3 )(X + 3 ). Deci f reductibil peste R[X].

Reciproca afirmaţiei:

Dacă f este reductibil în K[X] atunci f are rădăcini în K[X], nu este adevarată .

53

Exemplul: 1. Polinomul f = (X2 + 1)(X2 + 3) ∈ Z[X] este reductibil în Z[X] şi nu are

rădăcini în Z.

2. Polinomul g = (X2 + X + 1 )2 ∈ Z2 [X] este reductibil în Z2[X] şi nu are rădăcini în

Z2, fiindcă g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 1 .

Negaţia afirmaţiei:

Dacă f nu are rădăcini în K[X] atuncif ireductibil în K[X], nu este adevarată.

Exemplul:

1. Fie f=X4+4 R[X]. Polinomul f nu are rădăcini în R[X], dar se poate descompune în

R[X], f=(X2-2X+1)(X2+2X+1).

Observaţie: Dacă un polinom de grad mai mare sau egal cu 4 nu are rădăcini în

corpul K, nu rezultă în mod necesar că este ireductibil!

2. Fie polinomul ][32 423 XZXXXf ∈+++= care nu are nici o rădăcină în Z4[X],

dar este reductibil în Z4[X].

Se verifică prin calcul faptul că f( 0 ), f(1 ), f( 2 ), f( 3 ) ≠ 0.

Pentru a demonstra că polinomul este reductibil, considerăm descompunerea lui f

astfel: f=(aX+b)(cX2+dX+e), a,b,c,d,e∈ Z4 [X]. Dezvoltând în membrul drept relaţia şi apoi

identificând coeficienţii avem: a= 2 , b=1 , c=d=e= 3 , ceea ce arată că:

)333)(12( 2 +++= XXXf , deci f este reductibil peste Z4 [X].

Observaţie: Această afirmaţie este adevarată în Zp[X] dacă p este număr prim.

Deci orice polinom f din K[X] de grad 2 sau 3, care nu admite rădăcini în corpul K,

este ireductibil în K[X].

Orice polinom ireductibil în K[X], de grad mai mare sau egal cu 2, nu admite

rădăcini în corpul K (demonstraţie prin reducere la absurd, apelând la teorema lui Bézout).

Fie R[X]un inel integru. Orice polinom f ∈ R[X] de grad (f) = n ≥ 0 are în R cel

mult n rădăcini.

Observaţie: Dacă R nu este integru, afirmaţia nu mai este valabilă, adică un

polinom de grad n ≥ 0 poate avea mai mult de n rădăcini în inelul coeficienţilor.

Exemplul: f = 2X ∈ Z4[X] are gradul unu şi are două rădăcini α 1 = 0 şi α 2 = 2 în

inelul Z4[X], fiindcă f(0) = 0 şi f(2) = 0. De asemenea, f are două descompuneri neasociate în

inelul Z4[X] şi anume f = 2X = 2(X+2).

54

1.2. Proiectarea unităţii de învăţare

O unitate de învăţare reprezintă o structură didactică şi flexibilă, care are următoarele

caracterisici:

• Determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin

integrarea unor obiective de referinţă;

• Este unitară din punct de vedere tematic;

• Se desfăşoară în mod sistematic şi continuu pe o perioadă de timp;

• Se finalizează prin evaluare.

Proiectarea unei unităţi de învăţare se face într-un tabel ce conţine următoarele rubrici:

Conţinuturi unde apar inclusiv detalieri de conţinut necesare în explicitarea anumitor

parcursuri, respectiv în cuplarea lor la baza proprie de cunoaştere a elevilor;

Obiective de referinţă – se trec numerele obiectivelor de referinţă din programa

şcolară;

Activităţi de invăţare – se trec activităţi care pot fi cele din programa scolară, sau

altele, pe care profesorul le consideră adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse;

Resurse – se trec specificări de timp, mijloace didactice, metode didactice;

Evaluare – se menţionează instrumentele sau modalităţile de evaluare aplicate în

clasă.

Fiecare unitate de învăţare se încheie cu evaluare sumativă.

Apariţia noilor programe, centrate pe achiziţiile elevilor, impune anumite schimbări în

didactica fiecărei discipline. Diversificarea metodelor de învăţare, a modurilor şi formelor de

organizare a lecţiei, a situaţiilor de învăţare, constituie cheia schimbărilor pe care le

preconizează noul curriculum. Asigurarea unor situaţii de învăţare multiple creează premise

pentru ca elevii să poată valorifica propriile abilităţi în învăţare.

Metodele de învăţare sunt scheme de acţiune identificate de teoriile învăţării; ele sunt

aplicate conţinuturilor disciplinei studiate şi reprezintă acţiuni interiorizate de elev.Sensul

schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competenţe, adică a acelor

ansambluri structurate de cunoştinţe şi deprinderi dobândite prin învăţare, care permit

identificarea şi rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse.

Învăţarea nu mai poate avea ca unic scop memorarea şi reproducerea de cunoştinţe: în

societatea contemporană, o învăţare eficientă presupune explicarea şi susţinerea unor puncte

de vedere proprii, precum şi realizarea unui schimb de idei cu ceilalţi. Pasivitatea elevilor în

55

clasă, consecinţă a modului de predare prin prelegere, nu produce învăţare decât în foarte

mică măsură. De fapt, prelegerea presupune că toţi elevii pot asimila aceleaşi informaţii, în

acelaşi ritm, ceea ce este departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacă, în timpul unei

ore, ascultă explicaţiile profesorului şi văd o demonstraţie sau un experiment. Este mult mai

eficient dacă elevii participă în mod activ la procesul de învăţare: discuţia, argumentarea,

investigaţia, experimentul, devin metode indispensabile pentru învăţarea eficientă şi de durată.

Aşadar, învăţarea devine eficientă doar atunci când îl punem pe elev să acţioneze!

Trecerea la o metodologie mai activă, centrată pe elev, implică elevul în procesul de învăţare

şi îl învaţă aptitudinile învăţării, precum şi aptitudinile fundamentale ale muncii alături de alţii

şi ale rezolvării de probleme. Metodele centrate pe elev implică individul în evaluarea

eficacităţii procesului lor de învăţare şi în stabilirea obiectivelor pentru dezvoltarea viitoare.

În cele ce urmează, exemplificăm câteva dintre posibilele situaţii de învăţare activă

care se pot organiza în orele de matematică în cadrul capitolului Inele de polinoame,

exemplificarea detaliată fiind făcută în proiectarea activităţilor de învăţare de la sfârşitul

capitolului.

1. Brainstorming

Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multor idei – oricât de

fanteziste ar putea părea acestea - ca răspuns la o situaţie enunţată, după principiul cantitatea

generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile şi inedite este

necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Vom exemplifica această metodă în rezolvarea unui exerciţiu, în cadrul unei lecţii de

recapitulare şi sistematizare din cadrul capitolului Inele de polinoame. Rădăcini complexe ale

polinoamelor – aplicaţii. (vezi proiect didactic nr 1):

Avantajele utilizării metodei brainstorming sunt multiple. Dintre acestea enumerăm:

• obţinerea rapidă şi uşoară a ideilor noi şi a soluţiilor rezolvitoare;

• costurile reduse necesare folosirii metodei;

• aplicabilitatea largă, aproape în toate domeniile;

• stimulează participarea activă şi crează posibilitatea contagiunii ideilor;

• dezvoltă creativitatea, spontaneitatea, încrederea în sine prin procesul evaluării amânate;

• dezvoltă abilitatea de a lucra în echipă;

Dezavantajele brainstorming-ului:

• nu suplineşte cercetarea de durată, clasică;

• depinde de calităţile moderatorului de a anima şi dirija discuţia pe făgaşul dorit;

• oferă doar soluţii posibile nu şi realizarea efectivă;

• uneori poate fi prea obositor sau solicitant pentru unii participanţi;

56

Etape Exemplu

1. Alegerea sarcinii de lucru

2. Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei

3. Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă). Anunţarea unei pauze pentru aşezarea ideilor (de la 15 minute până la o zi).

4.Reluarea ideilor emise pe rând şi gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc.

5.Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior. Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluţii fezabile pentru problema supusă atenţiei.

6.Afişarea ideilor rezultate în forme cât mai variate şi originale: cuvinte, propoziţii, colaje, imagini, desene, rezolvări, etc.

Se trec în revistă obiectivul de referinţă şi cele operaţionale ale lecţiei, care sunt scrise din timp pe un poster. Se propune o problemă (din manual sau din culegerea de probleme). Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuaţia x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină dublă x=1 şi să se rezolve ecuaţia dată.

Cereţi elevilor să propună strategii de rezolvare a problemei. Pot apărea, de exemplu, sugestii legate de divizibilitate, schema lui Horner, metoda identificării, metoda reducerilor succesive, relatiile lui Viete. Lăsaţi elevii să propună orice metodă le trece prin minte!

Notaţi toate propunerile elevilor. La sfârşitul orei, puneţi elevii să transcrie toate aceste idei şi cereţi-le ca, pe timpul pauzei, să mai reflecteze asupra lor.

Pentru problema analizată, cuvintele-cheie ar putea fi: radacina dublă, divizibilitate, teorema restului.

Puneţi întrebări de tipul:Am putea rezolva problema în mai multe moduri? Ce înseamnă radacina dublă?Când două polinoame se divid? În câte moduri putem arăta că două polinoame sunt divizibile? Este util să studiem un caz particular al problemei? Care sunt relaţiile între rădăcini şi coeficienţi? Ce anume trebuie să demonstrăm?

Ca urmare a discuţiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a problemei. Aceasta poate fi sintetizată sub forma unor indicaţii de rezolvare, de tipul:1) Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului f=X4-X3-mX2-X+n, atunci acesta se divide prin (X-1)2 şi deci restul împărţirii celor două polinoame este polinomul nul.2) În schema lui Horner cerem ca x=1 să fie rădăcină dublă, deci –m+n-1=0 şi –m=0.3) Dacă x=1 este rădăcină dublă a ecuaţiei atunci trebuie să avem egalitatea: x4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+αx+β). Folosim metoda identificării coeficienţilor.4) Dacă P=X2-2 X +1, Q= X 4- X 3-m X 2- X +n, atunci cel mai mare divizor comun dintre P şi Q trebuie să fie P. (metoda reducerilor succesive)5) Din enunţ x1=x2=1. Având o relaţie între rădăcini

57

vom asocia acesteia relaţiile lui Viéte.2. Ştiu-vreau să ştiu –am învăţat este o metodă care trece în revistă ceea ce elevii ştiu

despre temă şi apoi se formulează întrebări la care se aşteaptă găsirea răspunsului în lecţie;

întrebările pot apărea în urma dezacordului privind unele detalii sau pot fi produse de

curiozitatea elevilor.

1. Cu grupuri mici sau cu întreaga clasă se trece în revistă ceea ce elevii ştiu deja despre o

anumită temă şi se formuleaza întrebări la care se aşteaptă găsirea răspunsului în lecţie.

2. Se cere elevilor să formeze perechi şi să facă o listă cu tot ce ştiu despre tema ce

urmează a fi discutată în cadrul orei. Între timp li se dă şi un tabel cadru cu trei coloane:

Ştiu(ce credem că ştim?)

Vreau să ştiu(ce vrem să ştim?)

Am învăţat(ce am invaţat?)

3. Li se cere câtorva perechi să spună celorlaţi ce au scris pe listele lor, iar în tabelul de pe

tablă se vor nota lucrurile cu care toţi sunt de acord.

4. După completarea primei coloane a tabelului li se va cere elevilor să formuleze

întrebări despre lucrurile cu care nu sunt siguri. Aceste întrebări pot apărea în urma dezacordului

privind unele detalii sau pot fi produsul curiozităţii elevilor. Ele vor fi trecute în coloana din

mijloc.

5. În continuare li se va cere elevilor să rezolve un exerciţiu pe tema lecţiei.

6. După rezolvarea exerciţiului, se va reveni la întrebările pe care le-au formulat înainte

de a rezolva exerciţiul şi pe care le-au trecut în coloana “Vreau să ştiu”. Se va verifica la care

întrebări s-au găsit răspunsuri şi se vor trece aceste răspunsuri în coloana “Am învăţat”. În

continuare elevii vor verifica ce alte informaţii au găsit în rezolvarea exerciţiului şi care nu au

legatură cu nici una din întrebările puse la început şi le vor trece şi pe acestea în coloana “Am

învăţat”.

7. În final se vor trece în revistă cu elevii întrebările care au rămas fără răspuns şi se va

discuta posibilitatea găsirii unor surse care să furnizeze răspunsuri la aceste întrebari.

Aplicarea metodei în cadrul lecţiei: Formarea ecuaţiei de grad n Obiectivul lectiei: - formarea ecuaţiei de grad n când se cunosc rădăcinile.

Se dă ecuaţia: x3– 3x2+ 2x+ 1 = 0, cu rădăcinile: x1, x2, x3. Scrieţi ecuaţia în y, ale cărei rădăcini sunt: y1= x1+ 2; y2= x2+ 2; y3= x3+ 2.

Ştiu(ce credem că ştim?)

Vreau sa ştiu(ce vrem să ştim?)

Am învăţat(ce am învăţat?)

- definiţia polinoamelor cu

coeficienţi complecşi

- operarea cu polinoame

- relaţiile lui Viete

Cum formăm ecuaţia de grad

II, cînd cunoaştem rădăcinile

x1, x2?

Cum formăm ecuaţia de grad

(se rezolvă exerciţiul propus,

în urma căruia elevii vor

verifica la care întrebări au

găsit răspunsul şi ce alte

58

- calculul sumelor

Sn=x1n+x2

n+x3n pentru n=1,2,3,4

- descompunerea lui f în factori

primi: Dacă x1, x2, ..., xn sunt n

rădăcini ale lui f în R, atunci

f(X)= 0a ( )1xX − ( )2xX − ...

( )nxX −

III, când cunoaştem rădăcinile

x1, x2, x3?

Care este forma ecuaţiei in y?

Ce rol au relaţiile lui Viete în

formarea ecuaţiei?

Care este forma generală a

ecuaţiei care are rădăcinile x1,

x2, x3,...xn?

Se poate forma ecuaţia în y

făra a folosi relaţiile lui Viete?

informaţii au găsit)

- formarea ecuaţiei de grad n

când se cunosc rădăcinile.

Avantajele acestei metode:

• Se clarifică ceea ce se ştie, ceea ce nu se ştie şi ceea ce mai rămâne de învăţat

• Este o modalitate de învăţare interactivă

• Mobilizează întregul colectiv de elevi

• Interdisciplinaritatea

• Este o modalitate pragmatică de abordare a lecţiei

Dezavantaje:

• Poate fi uneori time-consuming (costisitoare din punct de vedere al timpului)

• Nu se pretează la absolut toate lecţiile

Modalitatea introducerii în lecţie a metodei este următoarea: primele două coloane se

folosesc ca warm-up, a treia coloană se foloseşte pentru fixarea cunoştinţelor. Punctele

neacoperite din coloana a doua se folosesc ca repere pentru fixarea obiectivelor lecţiilor

următoare, sau pot constitui tema de casă.

Metoda are un impact bun asupra elevilor deoarece:

• Îi conştientizează asupra desfăşurării lecţiei

• Sporeşte responsabilitatea

• Stimulează dorinţa de cunoaştere

• Duce la dezvoltarea unui stil de muncă riguros, ştiinţific posibil de aplicat şi în

alte domenii.

3. Cubul - metodă modernă de învăţare prin cooperare - este o modalitate de lucru

care poate fi aplicată individual, în perechi sau în grupuri pentru o abordare a unei situaţii

problematice, prin solicitarea gândirii elevului;

59

- profesorul le cere elevilor să scrie despre un anumit concept sau temă prin parcurgerea

feţelor cubului. Este preferabil să se respecte ordinea prezentată pentru că aceasta îi conduce pe

elevi în mod treptat spre o gândire complexă.

Etapele acestei metode corespund celor 6 feţe ale unui cub:

Descrie! – explică/defineşte o noţiune un concept

Compară! – stabileşte asemănări şi deosebiri

Asociază! – la ce te face să te gândeşti?

Aplică! – ce aplicabilitate practică poate avea?

Analizează! – analizează conceptual din diferite puncte de vedere

Argumentează pro sau contra! – este bine/rău, util/nefolositor?

Fiecare instrucţiune/cerinţă de pe faţeta cubului presupune sarcini de lucru.

În echipele constituite pentru atingerea unui obiectiv, care nu au un caracter permanent,

membrii au roluri diferite în funcţie de înclinaţiile lor personale şi de nevoile echipei.

Profilul unui membru al echipei, rolul care i se potriveşte cel mai bine, poate fi stabilit pe

baza următoarelor caracteristici:

• relaţionarea cu ceilalţi membri;

• modul în care participă la luarea deciziilor;

• căile prin care obţine informaţiile şi utilizarea lor;

• metoda preferată în organizarea activităţii

Descrierea metodei asupra lectiei: Operaţii cu polinoame (vezi proiect didactic nr 3)

Lecţie de fixare şi consolidare a cunoştinţelor.

Se arată elevilor un cub din carton (care trebuie imaginat un polinom) având feţele

colorate diferit, fiind inscripţionate cu următoarele verbe active:

Faţa 1: Albastru - verbul descrieFaţa 2: Roşu - verbul comparăFaţa 3: Verde - verbul asociazăFaţa 4: Negru - verbul analizeazăFaţa 5: Roz - verbul aplicăFaţa 6: Portocaliu - verbul argumentează

Elevii sunt împărţiţi în 6 grupe eterogene, nu neapărat egale numeric. Fiecare grupă primeşte o coală colorată în nuanţele precizate mai sus. Echipele aleg un

lider de grup care va arunca zarul pentru a vedea faţa pe care este scris verbul definitoriu pentru

acea grupă (descrie, compară, asociază, analizează, aplică şi argumentează).

Se anunţă tema de discutat şi timpul de lucru alocat fiecărei grupe. Se anunţă obiectivele

lecţiei de fixare şi consolidare. Se împart fişele cu sarcinile de lucru în grup. Timp de 20-25 de

minute elevii lucrează în echipă la sarcina de lucru primită. Profesorul supraveghează activitatea

elevilor şi dă indicaţii acolo unde este nevoie. Soluţionează eventual şi situaţiile în care nu toţi

60

elevii se implică în cadrul activităţii de grup sau atunci când un elev monopolizează toate

activităţile.

Desfăşurarea activităţii elevilor: Elevii care primesc fişa cu verbul descrie vor avea de definit polinomul, dat exemple de

polinoame în forma algebrică cu coeficienţi in Q[X], R[X], Z3[X], de definit gradul unui

polinom, să descrie operaţiile cu polinoame, valoarea unui polinom.

Elevii care primesc fişa cu verbul compară vor stabili asemănări şi deosebiri între

noţiunile studiate: între polinomul f, funcţia polinomială, ecuaţia asociată; analogii şi

comparaţii între grad(f+g), grad(fg), între valoarea unui polinom într-un punct de forma α =

ba + şi α = ba − sau α =a+bi şi α =a-bi (generalizare).

Elevii care vor avea fişa cu verbul asociază, vor asocia fiecărei noţiuni formulele de

calcul sau proprietatea ce i se asociază (exemplu: pentru determinarea restului împărţirii unui

polinom f la g folosim:…), apoi vor da câte un exemplu pentru fiecare.

Pentru grupa care va avea de analizat, sarcina de lucru va cere ca elevii să analizeze

diferite proprietăţi ale polinoamelor, să discute în funcţie de parametrul m gradul polinomului,

să determine parametrii a,b,c în funcţie de conditiile impuse, să analizeze în câte moduri se

poate rezolva problema propusă.

Elevii care vor primi fişa cu verbul aplică vor avea de rezolvat diferite aplicaţii cu

polinoame.

Elevii ce vor primi fişa cu verbul argumentează vor avea de analizat şi justificat în scris

exercitii ”capcană”. (exemplu: de ce nu se poate aplica teorema împărţirii cu rest în Z6[X]

pentru orice polinoame, argumentează afirmaţia polinomul f este divizibil prin g = X–a ⇔ f (a)

= 0 ⇔ a este rădăcină a polinomului f.) Li se poate cere să realizeze şi scurte demonstraţii sau

să descopere greşeala dintr-o redactare a unei rezolvări.

Evaluare: După expirarea timpului de lucru (20-25 min) se va aplica metoda ,,turul galeriei”.

Materialele realizate, posterele, vor fi expuse în clasă în 6 locuri vizibile. Elevii din

fiecare grup îşi vor prezenta mai întâi sarcina de lucru şi modul de realizare a ei, apoi, la

semnalul dat de profesor, vor trece, pe rând pe la fiecare poster al colegilor de la altă grupă şi vor

acorda acestora o notă. După ce fiecare grup a vizitat ,,galeria” şi a notat corespunzător

producţiile colegilor, se vor discuta notele primite şi obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri

şi se vor corecta eventualele erori.

În finalul orei se va da fiecărei echipe un material informativ ca premiu.

Se realizează şi un moment de reflecţie asupra metodelor noi folosite şi asupra modului

de implicare a fiecărui elev în echipa sa.

61

1.3. Proiectarea unităţii de învăţare: Inele de polinoameNumăr ore alocate: 12

CONŢINUTURI – detaliate ale unităţii de învăţare C. S. ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE RESURSE EVALUARE

Ce? De Cum? Cu ce? Cât?

62

1. Forma algebrică a unui polinom(gradul unui polinom, egalitatea a două polinoame, valoarea numerică a unui polinom) Identificarea formei algebrice, a unui polinom. Definiţie: Fie M una din mulţimile : Z, Zp, p prim, Q, R sau C, iar M* = M – 0. Se numeşte polinom cu coeficienţi în mulţimea M, o expresie de forma: f = 01

11 ... aXaXaXa n

nn

n ++++ −− M[X] an≠ 0 ,(1), unde n

∈ N şi a0, a1, …,an∈ M, se numesc coeficienţii polinomului f. Expresia (1) se numeşte forma algebrică a polinomului f Comentarii: 1) Notăm cu M[X] mulţimea polinoamelor cu coeficienţi în M, de nedeterminată X. 2) Z[X] ⊂ Q[X] ⊂ R[X] ⊂ C[X]. 3)Termenii:akXk, k = , 0 n , se numesc monoame ale polinomului f.

Definiţie: Dacă f= in

ii Xa∑

= 1, g = j

m

jj Xb∑

= 1

∈ C[X], atunci: f = g

dacă şi numai dacă ai= bi , ∀ i≥0. (2).Definiţie: Fie f = 01

11 ... aXaXaXa n

nn

n ++++ −− ∈ C[X]; se

numeşte gradul polinomului f, notat:grad(f), cel mai mare număr natural n, cu proprietatea: an ≠ 0.Comentarii: 1) Dacă grad (f )= n, an ≠ 0 şi termenul an, se numeşte coeficientul dominant, al polinomului f, iar a0 se numeşte termenul liber al polinomului f. 2) Dacă f = 0, grad (f )= -∞.

Definiţie: Fie un polinom f∈ M[X], f= in

ii Xa∑

= 1 n∈ N; dacă α∈

M, atunci numărul: f(α)= nn

iia α∑

= 1 , an ≠ 0 (3), se numeşte

valoarea numerică a polinomului f, în punctul α.

2. Operaţii cu polinoame

1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6.

1. 2.

Exemple diverse de polinoame scrise sub formă algebrică. Exerciţii cu egalitatea a două polinoame, cu gradul unui polinom. Aplicaţii. 1) Determinaţi parametrii λşi µ, astfel încât polinoamele: f = 3 + λX + X2+ 5X3şi g = 3 + 4X + X2+µX3, să fie egale; folosim proprietatea f = g ⇒ ai= bi (2) ⇒ λ= 4, µ= 5 2) Determinaţi parametrii reali: m, n, p, ştiind că polinomul:

(4−m) X + ) + n

32

X 2 – ( )p−5 X3 , este nul.

Din ipoteză ⇒

=−

=+

=−

05

032

04

p

n

m

⇒

=

−=

=

532

4

p

n

m

3) Se consideră polinomul: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]XRmXmXmXmf ∈++−+−+−= 1111 2234

Discutaţi gradul polinomului f, după valorile parametrului real m. Rezolvare: Dacă: m4– 1 = 0, m∈ ± 1, grad(f) < 3; Dacă: m=1, f=2, grad(f)=0 m=-1, f=−2X, grad(f)= . Dacă: m∈ R – ± 1, grad(f)= 3. 4) Calculaţi valoarea polinomului

[ ]XRXXf ∈+−= 31232 , în α= -3 ; din relaţia (3)

( ) 1233323 3+−=f ∈R[X] .

Manual, culegeri;

Metode: expunerea, explicaţia,

conversaţia, conversaţia euristică, exerciţiul,

problematizarea, studiu de caz, descoprirea,

activităţi frontale şi individuale.

Tema, pag. 64, ex.5 (2), (3)

Verificarea temei, pentru acasă prin sondaj, rezolvarea

la tablă a eventualelor

exerciţii ce n-au putut fi abordate de

elevi, aprecierea răspunsurilor

primite, observarea sistematică, a

elevilor, aprecierea verbală.

63

Definiţie: Fie:f,g∈ C[X], f= in

ii Xa∑

= 1, g = j

m

jj Xb∑

= 1

∈ C[X]. Se

numeşte suma polinoamelor f şi g, polinomul notat: s = f + g, definit prin: ( ) ( ) ( ) k

kk XbaXbabas ++++++= ...1100 , unde:k=max(n,m). Propoziţie: Oricare ar fi f,g∈ C[X], avem: grad(f + g) ≤ maxgrad(f), grad(g). Definiţie: Fie:f,g∈ C[X]; se numeşte diferenţa polinoamelor f, g, polinomul: f – g = f + (-g). Proprietăţi ale adunării polinoamelor: A1. Asociativitatea: ( f + g)+h = f + ( g +h), ∀ f, g, h∈ C[X], A2. Element neutru (polinomul nul): f + 0 = 0 + f = f, ∀ f∈ C[X], A3. ∀ f∈ C[X], ∃ (-f) ∈ C[X], astfel încât:f+(-f)=(-f)+f=0. (-f: opusul polinomului f)A4. Comutativitatea: f+g=g+f, ∀ f,g∈ C[X]. Definiţie: Fie: f,g∈ C[X], f = 01

11 ... aXaXaXa n

nn

n ++++ −− ,

g = .... 012

21

1 bXbXbXb nn

nn ++++ −

−−

−

Produsul polinoamelorf şi g este polinomul: fg =a0b0+(a0b1+a1b0)X+(a0b2+a1b1+a2b0)X 2+... Propoziţie: Oricare ar fi f,g∈ C[X], avem: 1) grad(fg)= grad(f) + grad(g). 2) f ≠ 0 şi g ≠ 0 ⇒ fg ≠ 0( fg = 0 ⇒ f = 0 sau g = 0)

Proprietăţi ale înmulţirii polinoamelor: I1. Asociativitatea: (fg)h=f(gh), ∀ f,g,h∈ C[X]. I2. Element neutru: (polinomul constant:1) f.1 =1.f = f, ∀ f∈ C[X]. I3. Comutativitatea: fg = gf, ∀ f,g∈ C[X]. D. Înmulţirea polinoamelor este distributivă, faţă de adunarea polinoamelor: f(g+h)=fg+fh, ∀ f,g,h∈ C[X].

2.2 4.1 4.2 5. 6

Aplicaţii. 1)Calculaţi suma polinoamelor : f,g∈ C[X], în cazurile: a) f = 5372 23 +−+ XXX , g = 324 2 −+ XX .

b) f = iXXiXgXiX +−+=−+ 33,232 232 . Rezolvare:

a)

( ) ( )

( ) .23232

352347223

23

gradggradfgfgradXXX

XXXgf

=⟩==+⇒+−+=

=−+++−+=+

b) ( )

( ) .232123 23

gradfgradggfgradiXiiXgf=⟩==+

⇒−+++=+

2) Fie f,g∈ C[X], 7523 34 +−+= XXXf ,

23235 234 −++−= XXXXg ; Determinaţi:-f,-g; calculaţi:f -g, g -f; arătaţi că: f + g = g + f.Rezolvare: 7523 34 −+−−=− XXXf ;

23235 234 +−−+−=− XXXXg . f – g = f + ( ) 98252 234 +−−+−=− XXXXg ; g – f = g+ ( ) 98252 234 −+−−=− XXXXf , deci: f – g ≠ g – f; f + g = 8X4– X3+ 2X2– 2X + 5 = g + f. 3) Fie:f g ∈ C[X], f = λ X 2+ (α+ 1)X +β+3, g =X 2– 3X + 7; Determinaţi parametrii: λ, α, β, astfel încât: f + g =g + f = 0. f + g = (λ+ 1)X2+ (α+ 1 – 3)X +β+ 3 +7g+f =(λ+ 1)X2+(α-2)X++β+ 10 din ipoteză rezultăλ+ 1= 0,α-2 = 0, β+ 10 = 0 ⇒ λ= 1,α=2,β= -10 şi f = -X 2+ 3X– 7 =- g.4) Să se calculeze: f.g, în cazurile: a) f =1+X +X 2, g = 1 – X; b) f = 22 2 ++ XX , 2+= Xg , f,g∈ Z3[X]

Manual , culegeri

Metode:

expunerea, explicaţia,


problematizarea,munca

independentă,

Tema de casăPag 66 ex 5, 6






elevilor, aprecierea verbală

64

3. Operaţii cu polinoame

Teorema împărţirii cu rest a polinoamelor: Fie: f,g∈ C[X], g ≠ 0. Există şi sunt unice, două polinoame q,r∈C[X], astfel încât: 1). f = g. q + r. 2). grad(r)< grad(g). Polinomul f se numeşte deîmpărţit, polinomul g se numeşte împărţitor, polinomul q este câtul, iar polinomul r se numeşte restul împărţirii.Comentarii : 1)Teorema împărţirii cu rest este valabilă şi în R[x], Q[x], dar nu rămâne adevărată în Z[X]. 2)Pentru a efectua împărţirea polinomului f prin polinomul g ≠ 0 vom utiliza algoritmul care apare în demonstraţia teoremei împărţirii cu rest, ilustrat cu ajutorul unor exemple. 3)determinarea câtului şi restului a două polinoame se poate face şi prin metoda identificării coeficienţilor.

4. Divizibilitatea polinoamelor.

Definiţie: Dacă f,g∈ C[X], polinomul g divide polinomul f, notat:g|f, sau g este divizor al lui f, sau f este multiplu al lui g, dacă există un polinom q∈ C[X], astfel încât: f = g.q (sau: f Mg). Observaţie: Dacă în teorema împărţrii cu rest, a lui f la g, r= 0 ⇒ f = gq, adică: g|f ⇔ r= 0. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate: P1. Relaţia de divizibilitate este:

1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6

Rezolvare: a) f.g =(1+X+X 2 )1-(1+X+X 2 )X= 1-X 3; b) f.g= ( ) ( ) 122222 232 +++=+++ XXXXXX , f.g ∈ Z3[X] Exemple/aplicaţii.1) Dacă f = X 3– 1, g = X-1 atunci X 3– 1= (X– 1)( X2+ X + 1) deci q = ( X2+ X + 1), r = 0. 2) Să se efectueze împărţirea polinomului f =6X3– 7X2+ 3X+2, la polinomul: g = 2X2– 3X+2 şi apoi să se facă proba.Metoda 1 . Aplicând teorema împărţirii cu rest, există q = 3X + 1, r = 0, astfel încât: (2X2– 3X+2)(3X + 1)= 6X3– 7X2+ 3X+2.Metoda 2. (Metoda identificării) pelează la teorema împărţirii cu rest: f = gq + r, grad(r)<grad(g) (1) ⇒ grad(f)= grad(g)+ grad(q) şi grad(q)= grad(f)-grad(g); considerăm: q = ax + b, r= cX +d (grad(r)< grad(g)). Atunci, confrm teoremei împărţirii cu rest obţinem 6X3– 7X2+ 3X+2 = (2X2– 3X+2)(a X +b)+ cX+d ⇒6X3– 7X2+ 3X+2 = 2a X3– (3a – 2b)X2+ (2a – 3b + c)X+2b+d şi identificând coeficienţii obţinem

+=+−=

−==

dbcba

baa

22323237

26

⇒

====

0013

dcba

⇒ q=3X+1, r=0.

Aplicaţii.1) Să se stabilească dacă polinomul f = 4X5– 6X4+ 13X3– 11X2+ 10X– 8, se divide prin g = X2– X + 2. Împărţind f la g (teorema împărţirii cu rest) obţinemq = 4X3– 2X2+ 3X– 4, r= 0, deci g|f. 2) Ce valoare trebuie să aibă parametrul m, pentru ca polinomul f = -5X4– X3+ 4X2-7 + m, să se dividă cu

Manual, culegeri; Metode:



problematizarea, studiu de caz,

activităţi frontale şi individuale. Tema, pag.66,

ex.20, 21.




problematizarea, studiu de caz, descoperirea,

activităţi frontale şi individuale.Fişa de lucru

Tema, pag. 171, ex.7,9; Pag. 172,

ex.34.











primite, observarea

65

1)reflexivă(f|f, ∀ f∈ C[X]); 2) tranzitivă( dacă f|g, g|h ⇒ f|h, ∀ f, g, h∈ C[X]);P2. Fie f, gi. Dacă f|gi, i = m,1 f | g1 q1+...+ gm qm,

( )qi ∈ C[X], i = m,1 . P3. Fie f,g∈ C[X], f|g şi g≠ 0 f ≠ 0 şi grad(f)≤grad(g).P4. Fie f,g∈ C[X], f ≠ 0, astfel încât f|g şi g|f; atunci există a∈ C*, astfel încât: f = a.g. Definiţie: Polinoamele f,g∈ C[X], sunt asociate în divizibilitate, dacă f/g şi g/f, notat:f ~ g.Definiţie: Divizorii de forma: a şi af, a∈ C–0, se numsc divizori improprii ai lui f∈ C[X]; ceilalţi divizori ai lui f, dacă există, se numesc divizori proprii.

5. Rădăcinile unui polinom (teorema restului, teorema lui Bézout)

Definiţie: Fie f ∈ M[X], f = ∑=

m

i

ii Xa

0. Funcţia: f~ :A→B f~

(x)=f(x), pentru orice x∈ B se numeşte funcţie polinomială. Observaţie:1) Gradul polinomului, dă gradul funcţiei polinomiale;2) A detemina funcţia polinomială, înseamnă a-i preciza coeficienţii, care sunt aceaşi cu ai polinomului. Definiţie. Numărul x0∈ C, se numeşte rădăcină a polinomului f, dacă f(x0)= 0. Observaţii. 1) Pentru un polinom f∈ M[X], trebuie precizată mulţimea în care se determină rădăcinile. 2) Orice polinom f∈ C[X], de gradul n, are exact n rădăcini în C.

Polinomul f Funcţia polinomială asociată f : R R

Ecuaţia asociată

aX+b, a,b∈ R a ≠ 0

Funcţia de gradul If(x)=ax+b

Ecuaţia de gradul Iax+b=0

aX2+bX+c, a,b,c∈ R Funcţia de gradul II Ecuaţia de gradul II

1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6

1. 2. 4.1 4.2 5. 6

polinomul g = X– 2? Restul împărţirii lui f la g este: m– 98; g|f ⇒ r= 0, adică m =98.3) Să se determine parametrii reali m, n astfel încât g/f, în cazurile:a) f = X3+ (m+ 1)X2– 2X + 3m, g = X + 1. b) f =X 3+(2n + 1)X2+ mX–m– n, g = (X + 1)(X–1). Rezolvare: a) Aplicând algoritmul teoremei împărţirii cu rest, restul împărţirii lui f la g este: 4m + 2 = 0 ⇒ m=-½.b) restul împărţirii lui f la g este: r= (m+ 1)X– m+ n + 1 ⇒

=−=

⇒

=++−=+

21

0101

nm

nmm

Observaţie: Se poate aplica şi metoda identificării coeficienţilor

Exemple de rădăcini.1) f=2X+1∈ Z[X] nu are rădăcini în Z, dar are rădăcina x0=-1/2∈ Q[X]. 2) polinomul g = X2-2∈ Q[X] nu are rădăcini în Q, dar are rădăcinile ± 2 ∈ R.3) g = (X2 + X + 1 )2 nu are rădăcini Z2 [X],dar are rădăcini în Z3[X] fiindcă g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 1 în Z2[X], dar g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 0 în Z3[X].

Exemple de rădăcini multiple: 1) a este rădăcină dublă pentru f dacă : (X– a)2/f şi (X– a)3 f.

2) a este rădăcină triplă pentru f dacă : (X– a)3/f şi (X– a)4 f.

Aplicaţii.1) Fie f∈ C[X]. Determinaţi restul împărţirii poinomului f = X3+ 3X2+ 5X + 3 la binomul g=X+3.






Tema, pag. 171, ex.22,25; Pag.

171, ex.42.

sistematică, a elevilor, aprecierea

verbală






elevilor, aprecierea

66

a ≠ 0 f(x)=ax2+bx+c ax2+bx+c=0aX3+bX2+cX+d a,b,c,d∈ R a ≠ 0

Funcţia cubicăf=ax3+bx2+cx+d

Ecuaţia de gradul IIIax3+bx2+cx+d=0

X=nedeterminata x=variabila x=necunoscutaDefiniţie: Dacă polinomul f∈ C[X], f ≠ 0, se divide prin (X– a)p, p∈ N, p≥2, dar nu se divide prin: (X– a)p+1, spunem că a este rădăcină multiplă de ordin p, pentru polinomul f. Teorema restului: Restul împărţirii unui polinom f∈ C[X], f ≠ 0, prin polinomul g = X-a∈ C[X], este egal cu valoarea numerică a polinomului f în a: r= f(a).Corolar: (Teorema lui Bézout). Polinomul f∈ C[X], f ≠ 0, se divide prin g = X–a ∈ C[X] ⇔ f(a) = 0. Generalizarea teoremei lui Bézout: Fie f∈ C[X] şi α1, α2∈ C, α1 ≠ α2; atunci: (Xα1)(Xα2)/f ⇔ f( α1)= f( α2)= 0.

6.Divizibilitatea prin X-a. (Schema lui Horner)

Schema lui Horner este un procedeu pentru determinarea câtului şi restului împărţirii unui polinom f, prin X–a.Fie f∈ C[X], f = ,... 01

11 aXaXaXa n

nn

n ++++ −− câtul

împărţirii polinomului f la binomul X - a este

g = ,... 012

21

1 bXbXbXb nn

nn ++++ −

−−

− iar restul este r.

f = gq + r, grad r= 1 ⇒ gradq = gradf – 1= n- 1 şi gradr=0

011

1 ... aXaXaXa nn

nn ++++ −

−

=(X-a)( 012

21

1 ... bXbXbXb nn

nn ++++ −

−−

− )+rPrin identificare rezultă egalităţile

1. 2. 2.2

Conform teoremei restului r= f(-3) = 0.2) Fie f∈ C[X], f =X3+(4+3i)X– 6; x0 = -2i ∈ C; f(-2i) = 0, conform teoremei lui Bezout obţinem X + 2i/f. 3) Determinaţi parametrii a şi b, astfel încât polinomul: f = X4– 4X3+ 4X2+ a X + b, să se dividă cu:X2– 4X + 3. X2– 4X + 3 = (X– 1)(X– 3), conform teoremei lui Bezout avem f(1)= f(3)= 0şi obţinem

=−=

⇒

−=+−=+

34

931

ba

baba

.

4) Determinaţi parametrii reali m şi n astfel încât g/f dacă: a) f = X3+ ( m + 1)X2– 2X + 3m, g = X + 1. b) f = X3+ ( 2n + 1)X2+ mX– m– n, g = (X– 1)(X +1).Se aplică teorema lui Bézout.

Folosind schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = - X5 +3X3 - 2X2 + X + 2 la binomul g = X - 3.

Realizăm schema lui Horner: X5 X4 X3 X2 X1 X°

-1 0 3 -2 1 2

3 -1 0 + 3(-

1)=-3

3+ 3(-3)=

-6

-2+3(-6)=

-20

1+3(-20)=

-59

2+3(-59)=

-175b4 b3 b2 b1 b0 R

Astfel câtul este q = -X4 - 3X3 - 6X2 - 20X - 59 şi

restul r = -175

2.Folosind schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f= 2 X3+3 X2+1X+1 [ ]XZ6∈ la binomul g=1X- 2 .






Tema, pag. 172, ex.22;

verbală




67

+=+=

+==

−−−

−

00

110

112

1

............................

abarabab

ababab

nnn

nn

Realizăm următorul tabel:

7. Descompunerea în factori primi

Definiţie. Un polinom f∈K[X] se numeşte ireductibil peste K

(sau încă ireductibil în K[X]) dacă are gradul cel puţin unu şi

dacă nu are divizori proprii. În caz contrar, el se numeşte

reductibil peste K (sau încă reductibil în K[X]).

Observaţie. Deci un polinom f∈K[X] este reductibil peste K[X] dacă există două polinoame (cel puţin) g,h∈K[X], g,h ≠ 0, de grad cel puţin unu, astfel încât 0 < grad(g), grad(h)<grad(f) şi f = g . h.Propoziţie. Orice polinom de gradul 1 din K[X] este un polinom ireductibil.Teorema d’Alambert-Gauss. Orice polinom cu coeficienţi complecşi de grad mai mare sau egal cu unu are cel puţin o rădacină complexă.Teoremă.1) Un polinom f∈ C[X], este ireductibil ⇔ f=aX+b, a,b∈ C[X],

4.2 5. 6

1. 2. 2.2

Realizăm schema lui Horner:

Rezultă q = 2 X2 +1X + 3 şi r = 1 .

3) Fie f∈ R[X], f = mX3+ X2+ n X+p; m, n, p∈ R, m ≠ 0. Ştiind că, împărţind pe f pe rând la: X-1, respectiv X– 2, se obţin resturile: r1= 4, r2= -5 şi că f este divizibil prin X + 1, să se determine coeficienţii: m, n, p. Aplicând teorema restului obţinem r1= 4 = f(1), r2=-5 = f(2) şi

f(-1)=0 de unde rezultă

===

⇒

−=+−−=++

=++

111

1028

3

pnm

pnmpnm

pnm

1)Descompuneţi f în factori ireductibili peste Z,Q,R..f = X2 – 3 .Rădăcinile polinomului f sunt: x1= 3 ;x2=- 3 ∈ R[X] ⇒ f= (X – 3 )(X + 3 ). Deci f reductibil peste R[X]. Arătăm că f este ireductibil peste Z[X].

Presupunem că f ar fi reductibil peste Z, deci ar admite o

scriere de forma f =(aX+b)(mX+n), a,b,m,n ∈Z, a,m ≠ 0.

După calcule rezultă X2 – 3=amX2+(an+bm)X+bn ⇔

−==+

=

30

1

bnbman

am, sistemul nu are soluţii în Z. Deci f este






Tema, pag. 174, ex.33 ;







elevi, aprecierea

68

Xn Xn-1 Xn-2 … X1 X°an an-1 an-2 … a1 a0

A an an-1+ abn-1 an-2+ abn-2 … a1+ ab1 a0+ ab0

bn-1 bn-2 bn-3 … b0 r

X3 X2 X1 X°2 3 1 1

2 2 1 3 1

a ≠ 0.2) Un polinom f∈ R[X], este ireductibil ⇔ f=aX+b, a,b∈ C[X], a ≠ 0 sau f=aX2+bX+c, a,b,c∈ R[X], a ≠ 0, b2-4ac<0.Teoremă.Fie f∈K[X]. Atunci f se poate scrie ca un produs finit de polinoame ireductibile din inelul K[X].Observaţie. 1) Scrierea este unică (abstracţie făcând ordinea factorilor) Dacă x1, x2, ..., xn sunt n rădăcini ale lui f în R, atunci f(X)= 0a ( )1xX − ( )2xX − ... ( )nxX − =

nnnn aXaXaXa ++++ −

−1

110 ...

2) Fie R un inel integru şi f ∈ R[X] un polinom cu grad(f) >1. Dacă f are o rădăcină în R, atunci f este reductibil în inelul R[X].

3) Un polinom reductibil în R[X] nu are în mod necesar rădăcini în R.

8. Rădăcini complexe ale polinoamelor. Relaţiile lui Viète. Definiţie. Fie f∈ C[X] polinom neconstant cu grad(f)≥1. Ecuaţia f(x)= 0 se numeşte ecuaţia polinomială sau ecuaţia algebrică asociată polinomului f. Corolar: 1) Din teoremele din lecţia precedentă ⇒ orice polinom f∈ C[X], de grad n ≥1, are n rădăcini (nu neapărat distincte; o rădăcină, se repetă de un număr de ori, egal cu ordinul său de multiplicitate). 2)Dacă f = ,... 01

11 aXaXaXa n

nn

n ++++ −− an ≠ 0,

n≥1, iar x1, x2,…xn, sunt rădăcinile lui f atunci f(X)= 0a ( )1xX − ( )2xX − ... ( )nxX − =

nnnn aXaXaXa ++++ −

−1

110 ...

rezultă următoarele relaţii între rădăcinile polinomului şi coeficienţii săi:

∑=

n

iix

1= nxxx +++ ...21 =

0

1

aa−

4.1 4.2 5. 6

1. 2.

ireductibil peste Z.

2) Să se descompună în factori ireductibili peste Q[X], R[X], C[X] polinomul f = X 4- X 3- 2X 2+ 3X-3.Polinomul f se descompune în Q[X]:

f=X 2(X 2-3)-X(X 2 -3)+ (X 2 -3)= (X 2 -3)(X 2-X+1).

Polinomul f se descompune în R[X]:

f=(X – 3 )(X + 3 )(X2-X+1).

Polinomul f se descompune în C[X]:

f=(X – 3 )(X + 3 ) ( ) )

−−+−2

312

31 iXiX .

Legăturaîintre divizori şi rădăciniPolinomul f = (X2 + 1)(X2 + 3) ∈ Z[X] este reductibil în Z[X] şi nu are rădăcini în Z. Polinomul g = (X2 + X + 1 )2 ∈ Z2 [X] este reductibil în Z2[X] şi nu are rădăcini în Z2, fiindcă g( 0 ) = 1 şi g(1 ) = 1 .

Aplicaţii. 1) Particularizaţi (1), pentru polinomul f∈ C[X], cu grad(f)= 2, 3, 4. Presupunem: f = a2X2+ a1X + a0, a2 ≠ 0, are rădăcinile:x1, x2 şi relaţiile lui Viète sunt:

=

−=+

2

021

2

121

aa

xx

aaxx

Presupunem f = a X3+ b X2+ cX + d, a≠ 0, cu rădăcinile x1, x2,x3 . Relaţiile lui Viete sunt:






Tema, pag. 177, ex.56 ;

răspunsurilor primite, observarea


verbală



exerciţii ce n-au

69

j

n

jii xx∑

= 1,= nn xxxxxx 13121 ... −+++ =

0

2

aa

…………………………………………………

nknknkkk xxxxxxxxxx ............ 21112121 +−+−+− +++ = ( )0

1aa k

k−

…………………………………………………

nn xxxxx 1321 ... − = ( )0

1aann−

cunoscute sub numele de formulele lui Viete. 3) Dacă un polinom, de grad, cel mult n, se anulază pentru n + 1 valori, distincte, atunci f = 0. Comentariu:1) A rezolva o ecuaţie polinomială, înseamnă a-i determina rădăcinile (rădăcinile polinomului). 2) Relaţiile lui Viète, sunt importante pentru un polinom (determinarea unor parametri din structura lui, a rădăcinilor), ori de câte ori, se dă o relaţie (sau mai multe) între unele dintre rădăcinile polinomului. 3) Practic, ori de câte ori, avem o informaţie despre rădăcinile unui polinom, acesteia i se ataşează relaţiile lui Viète.

9. Rădăcini complexe ale polinoamelor – aplicaţii. Teoremă. Fie f = ,... 01

11 aXaXaXa n

nn

n ++++ −− an ≠ 0,

n≥1, iar: x1, x2,…xn, sunt rădăcinile lui f. Atunci

S1= ∑=

n

iix

1= nxxx +++ ...21 =

0

1

aa−

S2= j

n

jii xx∑

= 1,= nn xxxxxx 13121 ... −+++ =

0

2

aa

…………………………………………………

2.2 4.1 4.2 5. 6

−=

=++

−=++

adxxx

acxxxxxx

abxxx

321

323121

321

;

Presupunem: f = a X4+ b X3+ cX2+d X + e, a≠ 0, cu rădăcinile x1, x2, x3, x4; să se scrie relaţiile lui Viete. 2) Fiind dat polinomul f = X2– 3 X + 4, se cere: x1

2 + x22 ; x1

3 + x23 ;

Relaţiile lui Viète,sunt x1+x2= 3 şi x1 x2=4, de unde rezultă x1

2 + x22 =( x1+x2 2 -2 x1 x2=1 şi

x13 + x2

3 =( x1+x2)3 -3 x1 x2( x1+x2) =9.1) Fie ecuaţia x3+2x2-3x+1=0, cu rădăcinile x1, x2, x3. Să se calculeze:

a) x12+x2

2+x32 ; b)

23

22

21 x

1x1

x1

++;

Relaţiile lui Viéte pentru ecuaţie sunt:

−=−=++

−=++

13

2

321

323121

321

xxxxxxxxx

xxx

a). x12+x2

2+x32 =( x1+x2+x3

)2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=10b). Se împart relaţiile prin x1

3, x23 şi respectiv x3

3 (se poate face împărţirea deoarece rădăcinile sunt diferite de zero). Prin însumarea acestor egalităţi rezultă

0x1

x136x 2

111 =+−+ ∑∑∑

. ⇒ 5

x1

21

=∑..






Tema, pag. 177, ex.5657;.

putut fi abordate de elevi, aprecierea

răspunsurilor primite, observarea


verbală

70

Sn= nn xxxxx 1321 ... − = ( )0

1aann−

Observaţie. Dacă polinomul f, are coeficientul dominant 1, adică

an= 1 atunci

f=(X– x1)(X– x2)…(X– xn) = Xn– S1Xn-1+ S 2Xn-2+…+(-1)nS n.

Exemple. 1) Pentru n = 2rezultă ax2+bx + c= 0 cu

=+=

21

21

xxPxxS

şi deci x2– Sx+ P = 0.

2) Pentru n = 3obţinem ax3+bx2+ cx + d = 0

−==

=++=

−=++=

adxxxS

acxxxxxxS

abxxxS

3213

3231212

3211

⇒ X3– S 1X2+ S 2X– S 3= 0.

10. Polinoame cu coeficienţi reali; polinoame cu coeficienţi raţionali. Teoremă: Fie f∈ R[X], f ≠ 0. Dacă x0= a + ib, b ≠ 0 este o rădăcinăcomplexă a lui f, atunci: 1) x0 = a – bi este de asemenea o rădăcină complexă a lui f; 2) x0 şi x0 au acelaşi ordin de multiplicitate. Corolar: 1) Orice polinom cu coeficienţi reali, are un număr par de rădăcini complexe (care nu sunt reale).

2.2 4.1 4.2 5. 6

Se dă ecuaţia: x3– 3x2+ 2x+ 1 = 0, cu rădăcinile: x1, x2, x3. a) Scrieţi ecuaţia în y, ale cărei rădăcini sunt:

y1= x1+ 2; y2= x2+ 2; y3= x3+ 2. Rezolvare:

Ecuaţia în y, este: y3– S1y2+ S2y– S3= 0, unde: S1= y1+y2+y3; S2= y 1y2+ y1y3+ y 2y 3;S3= y1y2y3.

Din relaţiile lui Viete ⇒

−==++

=++

12

3

321

323121

321

xxxxxxxxx

xxx

⇒

S1=x1+x2+x3+6= 9; S2=(x1+ 2)(x2+ 2)+(x1+ 2)(x3+ 2)+(x2+ 2)(x3+ 2)=26;S3= (x1+ 2)(x2+ 2 )(x3+ 2) = 23. Deci, ecuaţia în y este: y3– 9 y2+ 26y– 23 = 0.Observaţie: Ecuaţia în y se poate obţine şi altfel: din y = x + 2 ⇒ x= y– 2, care înlocuit în ecuaţia dată ⇒ y3– 9 y2+ 26y– 23 = 0.

1) Fie 264 234 +++−= XXXXf . Dacă x1= 1 - 2 este radacină a polinomului f, să se calculeze celelalte radacini. Dacă 2121 21 +=⇒−= xx este rădăcină.





activităţi frontale şi individuale. Tema, pag.176

ex50







71

2) Orice polinom cu coeficienţi reali, de grad impar, are cel puţin o rădăcină reală. Teoremă: Orice polinom f = ,... 01

11 aXaXaXa n

nn

n ++++ −− an ≠ 0, f∈

R[X], se poate scrie ca un produs de polinoame de gradul I sau II, (cu Δ< 0) cu coeficienţi reali. Teoremă: Fie f∈ Q[X], f ≠ 0. Dacă x0= a + b , a, b∈ Q, b > 0, b∈ Q, este o rădăcină pătratică a lui f, atunci: 1) 0

~x = a - b este, de asemenea, o rădăcină (numită conjugata pătratică a lui x0) a lui f; 2) x0 şi 0

~x , au acelaşi ordin de multiplicitate.

11. Polinoame cu coeficienţi complecşi – aplicaţii.

12.Polinoame cu coeficienţi complecşi – test de

1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6

1. 2. 2.2 4.1 4.2 5. 6

)12())((

)21)(21(2

21212 −−⇒++−

⇒−−+−⇒

XXfxxXxxXf

XXf

Efectuând împărţirea31)22)(12( 4,3

22 ±=⇒−−−−= xXXXXf .2)Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve ecuaţia

022234 =+++− XmXXX ştiind că admite rădăcina i+1 .

Dacă )1)(1(0)1(0)1( iXiXfifif +−−−⇒=−⇒=+

)22(

)11(2

2

+−

⇔++−−+−+−

XXf

iiXiXiXXXf

234

234

222

XXXnXmXXX

−+−+++−

222 +− XX

XXXnXmXX

222)2(

23

23

−+−++−+

mXX ++2

mmXmXnmX

222

2

−+−+

nmmX +− 22

r=

==

⇒=+−00

022nm

nmmX

Dacă ⇒−==⇒+=⇒= 1,0)(0 432 xxXXxqm

ix ±−∈ 1;1;0

Aplicaţii diverse cu polinoame cu coeficienţi complecşi. Fişe de lucru.

Evaluare sumativă: fişe cu subiecte.












72

evaluare sumativă.(vezi 3.2.Evaluarea Inelelor de

polinoame)

73

3.2. Evaluarea unităţii Inele de Polinoame

Proiectarea unei probe de evaluare este o activitate complexă, ce presupune parcurgerea mai

multor etape, obiectivate în anumite componente ale probei, fiecare având anumite funcţii şi

semnificaţii în raport cu proba de evaluare privită ca întreg. Elaborarea probei de evaluare are

caracter procesual, realizându-se în etape consacrate unor demersuri specifice.

Evaluarea reprezintă o activitate de mare complexitate, presupunând:

• activitate de măsurare care trebuie să fie foarte riguroasă şi foarte precisă;

• activitate de apreciere care trebuie să acorde semnificaţiile curente vis -a - vis de

informaţiile recoltate prin intermediul primei activităţi.

La modul general, măsurarea presupune o descriere cantitativă a comportamentelor formate

la elevi în urma realizării instruirii.

2.1. Obiective de evaluare

Elaborarea obiectivelor de evaluare este o activitate complexă care solicită respectarea unor

cerinţe epistemologice, logice, psihologice şi pedagogice, alături de parcurgerea unor etape impuse

de anumite exigenţe metodologice. Asigurarea fidelităţii unei probe de evaluare presupune

elaborarea unui barem de corectare şi notare cu grad înalt de obiectivitate şi aplicabilitate, menit să

reducă la minim diferenţele de notare dintre corectori. Realizarea acestuia se constituie într-o etapă

laborioasă şi dificilă, datorită complexităţii obiectivelor evaluării şi a varietăţii probelor şi itemilor

de evaluare.

Testul propus, împreună cu baremul de corectare, se încadrează în ceea ce literatura de

specialitate numeşte evaluare sumativă. Testul se aplică la sfârşitul unităţii de învăţare “Inele de

polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ”. Prin acest test am urmărit:

1. Obţinerea unei ierarhii a elevilor aflaţi la finalul unităţii de învăţare;

2. Notarea a reliefat modul de înţelegere şi capacităţile de calcul, dar şi lacunele care mai

trebuie completate şi aspecte care trebuie aprofundate;

3. Compararea rezultatelor obţinute de elevii buni şi de cei mai puţin buni.

76

Ca urmare, obiectivele de evaluare stabilite se raportează la obiectivele educaţionale ale

disciplinei – Matematică, ale căror conţinuturi fac obiectul evaluării la sfârşitul unei perioade de

instruire, dar şi la obiectivele educaţionale specifice nivelului liceal.

Având în vedere că evaluarea sumativă presupune pe lângă obiective şi momentul realizării

acesteia şi consecinţele pe care le determină, ca profesor am luat în calcul şi aceste aspecte.

Testul a fost dat elevilor în conformitate cu programa şcolară, curricumul naţional,

standardele de performanţă. Am dorit ca testul să nu producă panică, stres elevilor, dar din

răspunsurile date ulterior de elevi în chestionarul aplicat se poate deduce clar că unii elevi sunt

stresaţi de notare. Testul nu a urmărit o defavorizarea a unuia sau altuia dintre elevi, ci, prin

întrebările bazate mai ales pe itemi obiectivi şi semiobiectivi, nu a fost lăsat loc de interpretare sau de

nemulţumire faţă de notare, aceasta făcându-se cât mai obiectiv.

Obiectivele de evaluare urmărite prin acest test au fost:

1. Recunoaşterea noţiunii de polinoame în diferite contexte

2. Să identifice şi să utilizeze algoritmi în rezolvarea problemelor în care intervin

polinoame

3. Să aplice corect formulele şi rezultatele matematice ,

4. Să argumenteze complet soluţia problemei

77

3.2.2. Instrumentul de evaluare

Colegiul Tehnic ,,Mihai Viteazul” Oradea

Test de evaluare clasa a XII- aPolinoame

Subiect Enunţ Puncte

1

Să se calculeze f+g (0.5p)f–g (0.5p)4f+2g (0.5p)5f–4g (0.5p)fg (o,5p)f:g (0,5p)

unde f(x) = 7X4 – 9X3 – 8X2 + 3X –3 şi g(x) = X2 + X – 1

3

2Să se determine parametrul m astfel încât polinomul

4 3 24 6X X X X m+ − + − să se dividă prin X+2. 1

3Folosind schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f= 2 X3+3 X2+1X+1 [ ]XZ6∈ la binomul g=1X- 2 . 1

4 Să se arate că polinomul 2 8 1( 1) nX X X++ + − se divide cu 2 1X + . 2

5 Rezolvaţi ecuaţia: X3 + X + 10 =0, dacă are rădăcina X1 = 1-2i. 2

Se acordă 1 punct din oficiu

Timp de lucru 50 minute.

78

Matricea de calcul a baremului

Subiecte Cunoaştere Aplicaţii Analiză TotalSubiect 1 15 25 10 50Subiect 2 3 5 2 10Subiect 3 3 5 2 10Subiect 4 6 10 4 20Subiect 5 3 5 2 10Total 30 50 20 100

Fidelitatea unei probe de evaluare constă în elaborarea unui barem de corectare şi notare cu

grad înalt de obiectivitate şi aplicabilitate, care să reducă la minim diferenţele de notare dintre

corectori.

3.2.3. Matricea de specificaţie

Matricea de specificaţii presupune stabilirea corespondenţelor dintre obiective şi conţinuturişi

este utilă în proiectarea testelor sumative care vizează conţinuturi largi şi obiective cu nivele de

complexitate ridicate. Ele specifică unităţi mari de conţinut şi nivele taxonomice generale.

Domenii/ Elemente de conţinut

Cunoaştereşi

înţelegere

Aplicarea cunoştinţelor

Rezolvare de

probleme

Total (%)

1.Recunoaşterea noţiunii de polinoame în diferite contexte

1 1 -

2 (16,6%)

2. Să identifice şi să utilizeze algoritmi în rezolvarea problemelor în care intervin polinoame

1 1 1

3 (25%)

3 .Să aplice corect formulele şi rezultatele matematice 1 - 3

4 (33%)

79

3.2.4. Barem de corectare şi notareColegiul Tehnic ,,Mihai Viteazul” Oradea

Disciplina Matematică, Clasa a XII-a, an şcolar 2007-2008

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE

Subiectul ISe punctează doar rezultatul conform punctajului din barem.Subiectele II, III, IV, VSe vor puncta orice formulări şi modalităţi de rezolvare corectă a cerinţelor, în acord cu ideile precizate în barem.SUBIECTUL I_____________________________________________________________________( 3 puncte)

1. f+g =7X4 – 9X3 – 7X2 + 4X –4 (0.5p)2. f–g =7X4 – 9X3 – 9X2 + 2X-2 (0.5p)3. 4f+2g =28X4 – 36X3 – 30X2 + 14X –14 (0.5p)4. 5f–4g =35X4 – 45X3 – 44X2 + 11X –11 (0.5p)5. fg = 7X6 – 2X5 – 10X4 + 4 X3 +8X2–6X +3 (1p)6. f:g =7X2–16X +15 rest r= –28X +12 (1p)

SUBIECTUL II_____________________________________________________________________ ( 1punct)

1. Scrierea condiţiei de divizibilitate (0.5p)2. Determinarea parametrului m= -6 (0.5p)

SUBIECTUL III ( 1punct)

Aflarea câtului şi restului împărţirii q = 2 X2 +1X + 3 şi r = 1 . (1p)

SUBIECTUL IV____________________________________________________________________ (2puncte) Determinarea rădăcinilor x1 = -i, x2=i 0,25(p)Aplicarea teoremei lui Bezout 0,25(p)

2 8 1 2

2 8 1 8 1 8

2 8 1 8 1 8

( ) ( ) 0( ) ( 1) ( 1) ( )( )

( ) ( ) 0

( ) ( 1) 0( ) (( ) 1) ( ) ( ) ( ) 0( )

( )( )( )

n

n n n

n n n

f X i f if X X X X X f X i X i

f X i f i

f i i i i i i i i i i if i i i i i i i i i i if X i

f X i X i ff X i

+

+ +

+ +

− = = + + − + ⇔ − + ⇔ ⇒ + − =

= + + − = − = − = − =− = − − + + = − + = − − + = − + =

− ⇒ − + ⇔+

MM M

M

MM

M2( 1).X +M

1(p)

Finalizare 0,5(p)SUBIECTUL V____________________________________________________________________ ( 2puncte)

Ecuaţia admite ca şi rădăcină şi x 2=1+2i (0,5p)[X-(1-2i)] [X-(1+2i)] = X2 - 2X + 5 (0,5p)

80

Efectuarea împărţirii X3 + X + 10 = (X2 - 2X + 5) (X+2) (1p) 3.2.5. Raportarea baremului de corectare şi notare la competenţele specifice,

respectiv la obiectivele de evaluare

Itemii probei Competenţe specifice/obiective de evaluare

Barem de corectare şi de notare

Subiectul I

Competenţe specifice 6.2. Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor• să recunoască noţiuni de

polinoame în diferite contexte• să identifice polinoamele şi să

utilizeze algoritmi în rezolvarea problemelor în care intervin polinoame

f+g =7X4 – 9X3 – 7X2 + 4X –4 (0.5p)f–g =7X4 – 9X3 – 9X2 + 2X-2 (0.5p)4f+2g =28X4 – 36X3 – 30X2 + 14X –14 (0.5p)5f–4g =35X4 – 45X3 – 44X2 + 11X –11 (0.5p)fg = 7X6 – 2X5 – 10X4 + 4 X3 +8X2–6X +3 (1p)f:g =7X2–16X +15 rest –28X +12 (1p)

Subiectul II Competenţe specifice 5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date

• să aplice corect formulele şi rezultatele matematice

f(-2)=0 (0.5p) m=-32 (0.5p)

Subiectul III Competenţe specifice 5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date

• Să aplice corect algoritmul de împărţire

Restului împărţiriif( 2 ) = 1 . (1p) şi q = 2 X2 +1X + 3

Subiectul IV Competenţe specifice 6.2. Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

• Să compare, să analizeze şi să rezolve corect sarcina de muncă

Verificarea conditiilor f(i)=0 (1p)f(-i)=0 (1p)

Subiectul V Competenţe specifice 3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice

• Să rezolve corect problema

[X-(1-2i)] [X-(1+2i)] = X2 - 2X + 5 (0,5p)X3 + X + 10 = (X2 - 2X + 5) (X+2) (0,5p)

81

3.2.6. Analiza rezultatelor testului

Testul a fost aplicat la clasa aXII- G, având un efectiv de 30 de elevi, dintre care 6 fete şi 14

băieţi. Profilul clasei este depanatori calculatoare, înscriind-se în filiera tehnologică, nivelul clasei

fiind mediu.

Rezultatele testului la finalul corectării sunt prezentate în următorul tabel:Nr. crt. Nr. Elevi Fete Băieţi Medii Procente

1. 3 1 2 9,50 10%

2. 3 0 3 9,30 10%

3. 3 0 3 9,00 10%

4. 3 1 2 8,50 10%

5. 2 1 1 8,20 6,67%

6. 3 1 2 8,00 10%

7. 2 0 2 7,60 6,67%

8. 2 0 2 7,50 6,67%

9. 1 0 1 7,00 3,33%

10. 2 1 1 6,80 6,67%

11. 3 1 2 6,50 10%

12. 3 0 3 6,20 10%

Media clasei 7,93

82

Interpretarea rezultatelor evaluării

6,2; 10%6,5; 10%

6,8; 6,67%

7; 3,33%

7,5; 6,67%

7,6; 6,67%8; 10%8,2; 6,67%

8,5; 10%

9; 10%

9,3; 10%9,5; 10%

6,2 6,5 6,8 7 7,5 7,6 8 8,2 8,5 9 9,3 9,5

Media clasei 7,93Mediana 8,00

Rezultatele obţinute de elevi pe itemi sunt evidenţiate în următorul tabel. S-a trecut numărul

de elevi care au rezolvat corect cerinţele date pe itemi şi subitemi.

Nr.

Crt.

Subiecte Itemi Nr. elevi Procent

1 2 3 4 5 6

1. Subiect I X 25 83%X 23 76%

X 25 83%X 24 80%

X 21 70%X 20 66,7%

2. Subiect II 14 46%3. Subiect III 12 40%4. Subiect IV 1 X 2 26 86%

1 2 X 24 80%5. Subiect V 4 13%

În urma testului se identifică atât elementele pozitive ale procesul de instruire cât şi lacunele

acestuia oferind să se opereze corecţii şi ameliorări care să determine ulterior optimizarea şi

eficientizarea sa. Testul oferă:

83

• conexiunea inversă în procesul de instruire;

• măsurarea progresului realizat de elevi;

• valoarea motivaţională a evaluării;

• moment al autoevaluării, al formării conştiinţei de sine;

• factor de reglare.

Se observă că subiectul I a fost abordat şi rezolvat în procent de 83% dintre elevi, ceea ce

înseamnă că majoritatea dintre ei au înţeles noţiunile şi au fost capabili să efectueze operaţii cu

polinoame, răspunzând astfel obiectivului de evaluat: Recunoaşterea noţiunii de polinoame în

diferite contexte.

Subiectul II a fost rezolvat de către 46% dintre elevi, ceea ce presupune o revenire asupra

problemelor de acest tip, acest item vizând Competenţa specifică 5.2. Determinarea unor polinoame

sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date, iar ca obiectiv de evaluare să aplice corect

formulele şi rezultatele matematice.

Subiectul III a fost rezolvat de către 40% dintre elevi, item care vizează tot Competenţa

specifică 5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date, iar

oviectivul de evaluat: să aplice corect algoritmul de împărţire. Rezultatele evidenţiate de test arată

faptul că nu toţi elevii şi-au însuşit algoritmul de împărţire, ceea ce presupune o aprofundare în

continuare.

Subiectul IV a fost rezolvat în medie de 83% dintre elevi, item ce răspundea Competenţei

specifice 6.2. Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica

numerelor, iar ca obiectiv de evaluare să compare, să analizeze şi să rezolve corect sarcina de

muncă. Procentul arată că acest tip de probleme s-a înţeles, iar gradul de dificultate ar putea creşte.

Subiectul V a avut un grad de dificultate puţin mai ridicat, ceea ce s-a şi constatat prin

procentul de 13% din numărul elevilor care au rezolvat această cerinţă. În scopul optimizării

evaluării şi a creşterii performanţelor se impune o mai amplă aprofundare a noţiunilor cu un grad

mai mare de dificultate.

În funcţie de nivelul clasei, gradul de dificultate al itemilor va fi mai ridicat sau mai scăzut.

3.3. Metode de rezolvare a problemelor cu polinoame

84

Prin metodă înţelegem calea care trebuie urmată în vederea rezolvării unei probleme. În

formarea priceperilor şi deprinderilor intervine cunoaşterea metodelor generale precum ar fi analiza,

sinteza, metoda reducerii la absurd etc. valabile în toate ramurile matematicii şcolare precum şi a

metodelor specifice capitolului studiat.

Matematicianul american G. Pólya în lucrarea sa “Cum rezolvăm o problemă ?” afirmă că nu

există ‘o cheie magică’ prin care s-ar deschide toate uşile şi ar rezolva toate problemele şi astfel că se

pot da doar sfaturi de abordare a rezolvării.

Sfaturile date de profesor precum: descompunerea problemei în elementele componente,

căutarea unor analogii, abordarea cazurilor particulare, folosirea desenului şi altele sunt binevenite,

dar adevărata învăţare se realizează prin însăşi desfăşurarea acestei activităţi. ”Dacă vreţi să

rezolvaţi o problemă trebuie… să rezolvaţi probleme“ scrie Pólya în lucrarea amintită anterior.

Menţionăm două aspecte aparent paradoxale:

1) De multe ori se învaţă mai cu folos prin rezolvarea unei probleme … rezolvate (folosindu-

ne de alte metode);

2) Câte odată nerezolvarea unei probleme poate fi mai utilă pentru formarea de priceperilor,

decât rezolvările ‘dintr-o bucată’ dar care în afară de satisfacţia succesului imediat s-ar putea să nu

lase ‘urme’ care să fie folosite şi la alte probleme.

Formarea deprinderilor ţine de însuşirea unor automatisme. Din punct de vedere metodic

apare contradicţia între tendinţa de a face multe exerciţii pentru formarea acestor deprinderi şi grija

de a nu cădea în rutină, în formalism. Desigur prin acumulări cantitative priceperile se transformă în

deprinderi.

Prezentăm succint câteva metode generale de rezolvare a problemelor de matematică:

Analiza. Analiza constă în următoarele: Se porneşte de la o propoziţie necunoscută P1.

Această propoziţie se reduce la altă propoziţie P2, apoi P2 la altă propoziţie necunoscută P3 etc., până

se ajunge la propoziţie cunoscută P. Între propoziţia P1 şi P se interpun un număr oarecare de

propoziţii necunoscute; dar propoziţiile consecutive sunt echivalente din punct de vedere logic.

Sinteza. Prin această metodă se porneşte de la o propoziţie cunoscută P1 şi se trece la o

propoziţie P2 până se ajunge la propoziţia care trebuie demonstrată P.

După cum observăm, această metodă urmează o cale inversă metodei analizei.

Metoda reducerii la absurd. Ea se bazează pe principiului “terţului exclus”. Pentru a

demonstra o teoremă este suficient să demonstrăm contrara reciprocei ei, deoarece cele două

propoziţii sunt echivalente din punct de vedere logic. Cu ale cuvinte, prin reducere la absurd

85

presupunând concluzia teoremei directe falsă, se va ajunge prin deducţii logice succesive la o

contradicţie (de regulă cu ipoteza teoremei), acest lucru ar echivala cu faptul că este falsă contrara

teoremei reciproce.

Prin urmare, presupunerea făcută este falsă, deci concluzia teoremei este adevărată. Când se

prezintă elevilor această metodă trebuie insistat asupra obligativităţii includerii a acestui ultim aspect

în cadrul oricărei demonstraţii în care se utilizează această metodă.

Metoda algebrică. Metoda constă în considerarea uneia sau a mai multor mărimi ce trebuiesc

determinate, ca necunoscutele unor ecuaţii sau a unor sisteme de ecuaţii. Aceste ecuaţii (respectiv

sisteme de ecuaţii) se formează cu ajutorul relaţiilor de legătură ce se stabilesc între cerinţe şi datele

problemei, precum şi prin intermediul unor rezultate matematice deja cunoscute. Un lucru important

în acest demers îl constituie alegerea corectă a necunoscutelor, formarea ecuaţiilor (care de multe ori

se poate dovedi dificilă) precum şi verificarea soluţiilor găsite.

Dacă la formarea ecuaţiilor, elevii întâmpină dificultăţi, este recomandat ca ei să construiască

şi un model grafic al problemei, model ce le-ar putea înlesni (în mod intuitiv) descoperirea relaţiilor

de legătură dintre datele problemei.

Verificarea soluţiilor găsite ne permite să analizăm “fiabilitatea” modelului construit şi poate

să descoperim alte metode de rezolvare.

Cum îmi aleg problemele?

În vederea selectării problemelor ce vor fi rezolvate de către elevi, în cadrul lecţiei, este util

să urmărim următoarele aspecte:

• gradul de dificultate să crească treptat de la simplu la complex;

• să fie accesibile fiecărui elev;

• să aibă un caracter variat;

• cele mai multe din ele să aibă un caracter aplicativ (chiar legate de experienţa de zi cu

zi a elevilor);

• să posede un grad cât mai ridicat de atractivitate;

Etapele rezolvării unei probleme

Spre deosebire de exerciţiu, care constă în aplicarea directă a noţiunilor teoretice învăţate,

rezolvarea unei probleme necesită gândirea creatoare, imaginaţia matematică şi ingeniozitatea

elevilor. În vederea rezolvării unei probleme, trebuie să ţinem cont de următoarea schemă:

Înţelegerea problemei:

Iată întrebările care trebuie să ni le formulăm în această primă etapă:

86

• Care sunt datele?

• Care este condiţia ?

• Este suficientă condiţia pentru a determina cerinţa?

• Trebuie să facem un desen?

• Care sunt notaţiile corespunzătoare?

• Care sunt diversele părţi ale condiţiei?

• Segmentele condiţiei se pot scrie în limbaj matematic?

Întocmirea planului (construirea modelului matematic )

• Am învăţat vreo teoremă care ar putea fi aplicată aici?

• Cunoaştem vreo problemă înrudită având aceiaşi necunoscută, sau căreia am putea să-

i folosim metoda de rezolvare?

• Nu am putea să introducem un element auxiliar pentru a o face utilizabilă?

• Am putea-o reformula?

• Ne putem imagina o problemă mai generală? Dar una particulară?

• Au fost utilizate toate datele problemei?

• Enunţăm relaţiile dintre date şi necunoscute. Aceste relaţii pot fi egalităţi, inegalităţi

sau de altă formă şi ele vor forma aşa-numitul model matematic al problemei.

Rezolvarea modelului matematic

• Transformăm elementele care ni se dau şi cele necunoscute.

• Încercăm să introducem elemente noi, mai apropiate de datele problemei.

• Generalizăm.

• Examinăm cazurile particulare.

• Aplicăm analogii.

Verificarea soluţiei găsite

• Se aleg soluţiile practice.

• Se interpretează datele obţinute.

• Nu există oare o altă cale mai directă care să ne ducă la rezultat?

• Se consemnează soluţiile găsite.

87

Sunt probleme care pot fi rezolvate în mai multe moduri. Aşa cum am arătat în paragraful

3.2, în cadrul metodelor active de predare-învăţare, trebuie stimulată imaginaţia matematică şi

ingeniozitatea elevilor astfel încât să găsească singuri cât mai multe căi de rezolvare a unei

probleme, a face conexiuni între noţiunile studiate. Problemele din cadrul capitolului Inele de

polinoame pot fi privite din mai multe unghiuri, astfel încât aceeaşi problemă, aceeaşi cerinţă impusă

prin condiţie, conduce elevul spre diferite noţiuni teoretice, care aplicate indepentent duc la

rezolvare.

Exemplul: Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuaţia x4-x3-mx2-x+n=0 să

aibă rădăcină dublă x=1 şi să se rezolve ecuaţia dată.

Metoda 1. Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului X4-X3-mX2-X +n, atunci acesta se

divide prin (x-1)2 şi deci restul împărţirii celor două polinoame este polinomul nul.

Pentru determinarea restului împărţirii se pot aplica mai multe metode, şi este bine a lăsa

elevul să-şi aleagă metoda dorită, punctând bineînţeles şi celelalte metode.

Efectuând împărţirea, conform algoritmului împărţirii cu rest avem egalitatea:

X4-X3-mX2-X +n =(X2-2X+1)(X 2+X +1-n)-2mX+n+m-1

Restul fiind polinomul nul, aplicând metoda identificării coeficienţilor, adică –2mX+n+m-

1=0 dă 2m=0 şi n+m-1=0, adică m=0 şi n=1.

Celelalte rădăcini ale ecuaţiei sunt soluţii (câtul egal cu zero) ale ecuaţiei x2+x+1=0, adică

231

2,1ix ±−=⇒ , x3=x4=1.

Metoda 2 (schema lui Horner)

În schema lui Horner cerem ca x=1 să fie rădăcină dublă când avem:

X4

X3

X2

X X0

1 -

1

-m -1 n

1 1 0 -m -m-1 -m+n-1=01 1 1 1-m -2m=0

Deci

=−=−+−

001

mnm

⇒ m=0 şi n=1, celelalte rădăcini ale ecuaţiei date coincid cu ale

câtului x2+x+1=0 2

312,1

ix ±−=⇒ , x3=x4=1.

88

Metoda 3 (metoda identificării).

Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului f= X4-X3-mX2-X +n atunci restul este zero,

polinomul se descompune sub forma: X4-X3-mX2-X +n =(X2-2X+1)(X 2+αX + β). De aici prin

identificare rezultă sistemul:

=−=−

+−=−−=−

ββα

αβα

n

m21

1221

.

Din prima şi a treia ecuaţie rezultă α=1, β=1. Acum din celelalte ecuaţii se obţine m=0, n=1. Acum

ecuaţia se scrie (x2-2x+1)(x2+x+1)=0.

Celelalte două rădăcini sunt date de rădăcinile ecuaţiei x2+x+1=0, adică2

312,1

ix ±−=⇒ ,

x3=x4=1.

Metoda 4 (metoda reducerilor succesive)

Dacă P=(X2-2X+1), Q= X4-X3-mX2-X +n, atunci cel mai mare divizor comun dintre P şi Q

trebuie să fie P.

De asemenea şi polinomul R=Q-X2P se va divide prin P. Avem: R=X3-(1+m)X 2-X +n. De

asemenea şi polinomul S=R-XP=(1-m)X 2-2X+n se va divide prin P. Cum S şi P au acelaşi grad şi S

se divide prin P rezultă că ele au aceleaşi rădăcini.

Condiţia ca două polinoame P1=a1 X2+b1X+c1, P2=a2X2+b2X+c2 să aibă aceleaşi rădăcini este

aceea de proporţionalitate a coeficienţilor termenilor de acelaşi grad

2

11

2

1

2 cc

bb

aa

== (relaţii ce rezultă uşor din relaţiile lui Viéte

−=+

=

1

121

1

121

abxx

acxx

).

În cazul nostru 1

11

1 nm ==−. De aici m=0, n=1.

Soluţiile ecuaţiei sunt: 2

312,1

ix ±−= , x3=x4=1.

Metoda 5. (relaţiile lui Viéte). Din enunţ x1=x2=1. Având o relaţie între rădăcini vom asocia

acesteia relaţiile lui Viéte pentru o ecuaţie şi avem

89

==+++

=++++=+++

nxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

4321

43212121

43214321

4321

1)()(0))((

1

sau

==

−=−=+

nxxxx

mxxxx

43

43

43

43

11

1

Din relaţiile a doua şi a treia rezultă 1-m=1, adică m=0, iar din a doua şi a patra n=1-m=1.

Pentru a găsi rădăcinile x3, x4 se rezolva sistemul x3+x4=-1, x3x4=1, adică ecuaţia x2+x+1=0,

231

2,1ix ±−=⇒ . Deci ecuaţia are soluţiile

231

2,1ix ±−= , x3=x4=1.

3.4. Probleme pentru cercurile de elevi

Exerciţiul 1. Fie polinomul P(X)

0,3,],[...2210 ≠≥∈∈++++= n

nn anNnXRXaXaXaaP nkaa kkn ,0, ==− . Care este relaţia

dintre

XP 1

şi )(XP ?

Rezolvare: Dacă nkaa kkn ,0, ==− atunci:

)(10

0

11

0

XP

aank

aakaak

n

n

n

⇒

=⇒=

=⇒==⇒=

−

se mai poate scrie, echivalent, sub forma:

nnnnnn aXaXaXaXaXaXP ++++++= −−

−−1

22

22

110 ...)(

nn Xa

Xa

Xaa

XP ++++=

...111

2210 nX•/

)(1)(...1 22

110 XP

XPXXPaXaXaXa

XPX n

nnnnn =

•⇒=++++=

•⇒ −−

1. Împărţirea polinoamelor

90

Exerciţiul 2.

1. Să se determine restul împărţirii unui polinom P(X) de grad > 2 la polinomul

S(X)= (X-a)(X - b).

2. Folosind rezultatele de la 1. să se determine restul împărţirii polinomului

P(X) = X11 - 2 X 9 + X 8 - 3 X 7 + X 6 + 5 X 3 + 2 X 2 - X + 1 prin S(X) = X 2 – 1.

Rezolvare. Folosim identitatea fundamentală de împărţire a două polinoame

P(X) = S(X) Q(X) + R(X), (1)

unde R(X) este restul împărţirii, evident de grad ≤ 1, (S(X) fiind de gradul al doilea).

Avem deci P(X) = (X - a)(X - b)Q(X) + m X +n, (1') şi din egalitatea de funcţii polinomiale,

rezultă prin particularizare următoarele ecuaţii în a, b

x = a, x = b, rezultă

+=+=

nmbbPnmaaP

)()(

. Se rezolvă sistemul şi se obţine m =ba

bPaP−− )()(

,

n = ba

abPbaP−− )()(

(2) cu a ≠ b. Deci restul împărţirii este R(X)= ba

bPaP−− )()(

X+ba

abPbaP−− )()(

.

2. În cazul S(X) = X 2 - 1, avem a = 1 şi b = -1. Înlocuind aceste valori în (2) şi ţinând seama

că P(1) = 5 şi P(-1) = 5, rezultă m = 0 şi n = 5 şi deci R(x) = 5.

Observaţie. În mod asemănător cu (1) putem determina restul împărţirii unui polinom P(X)

la (X-a)(X-b)(X-c). Avem P(X) = (X -a)(X -b)(X -c)Q(X) + R(X) unde R(X) = m X2 + n X + P (4),

şi luând în (4) x = a, x = b, x = c obţinem un sistem de ecuaţii din care rezultă m, n, p, (4) şi restul

fiind:

R(X) = A ))(())((

cabacXbX

−−−−

+ B ))(())((

abcbaXcX

−−−−

+ C ))(())((

bcacbXaX

−−−−

cu a ≠ b ≠ c şi unde s-a notat P(a) = A, P(b) = B, P(c) = C.

Exerciţiul 3. Să se afle restul împărţirii lui nXf = la 22 −−= XXg .

Rezolvare: Polinomul g se scrie )2)(1(22 −+=−− XXXX . Conform teoremei împărţirii

cu rest baXXXxqXf n ++−+== )2)(1)(( , unde rbaX =+ , gradggradr < . Din egalitatea de

funcţii polinomiale, rezultă prin particularizare urmatoarele ecuaţii în a, b.

Pentru bax n +−=−⇒−= )1(1 .

Pentru bax n +=⇒= 222 .

Obţinem sistemul

=+−=+−

⇒n

n

baba

22)1(

(-)

91

3

)1(2)1(232)1(3nn

nnnn aaa −−=⇒−−=⇔−−=−

3

)1(223

)1(223

)1(2)1()1(nnnnnn

nn bab −+=⇒−+=−−+−=+−= .

Deci 3

)1(223

)1(2 nnnn

Xr −++−−= .

Exerciţiul 4. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului P(X) = a0 X 3 + a1 X 2

+ a2 X + a3 prin I(X ) = b0 X 2 + b1 X + b2 cu a0, a1, ..., b0, b1, b2 R, iar a0, b0 ≠ 0, fără a efectua

împărţirea.

Rezolvare. Folosind identitatea fundamentală de împărţire cu rest a două polinoame

P(x) = I(x) . Q(x) + R(x) putem scrie

a0 X 3 + a1 X 2 + a2 X + a3 =( b0 X 2 + b1 X + b2 )(c0 X + c1) + p0 X + p1, (1).

Dezvoltăm în membrul al doilea din (1) şi identificând cu membrul întâi obţinem

=+=++

=+=

3112

201102

11001

000

apcbapcbcb

acbcbacb

(2)

Asociem primelor două ecuaţii din (2) ecuaţia c0 X + c1 - Q(X ) = 0 şi punând condiţii ca

sistemul astfel format - cu necunoscute c0, c1 şă fie compatibil rezultă

Q(X ) = - .

Pentru determinarea restului R(X)=v0 X+v1, asociem ecuaţiilor (2) şi ecuaţia v0 X+p1-R(X)=0, (4).

Acum necunoscutele sunt c0, c1, p0, p1 şi punând condiţia de compatibilitate a sistemului format din

(2) şi (4) rezultă:

R(X) = - .

Avem astfel expresia câtului şi a restului fără a efectua împărţirea lui P(X) la I(X), în modul

obişnuit.

a) Folosind rezultatele de la exerciţiul (4), să se determine câtul şi restul împărţirii lui

92

P(X) = 2 X 3 + 3 X 2 - 5 X + 2 prin I(X ) = X 2 + X + 2 (fără să efectuăm împărţirea obişnuită).

Rezolvare. Avem a0 = 2, a1 = 3, a2 = -5, a3 = 2

b0 = 1, b1 = 1, b2 = 2, şi deci:

Q(X ) = - = 2X + 1

R(X) = - = P(x) - I(x) - 2xI(x) = -10 X.

2. Divizibilitatea polinoamelor la: 2 1X + , 2 1X X+ + , X2 - X + 1,( X-a)m

Exerciţiul 5. Să se arate că polinomul 2 8 1( 1) nX X X++ + − se divide cu 2 1X + .

Rezolvare:2 8 1 2

2 8 1 8 1 8

2 8 1 8 1 8

( ) ( ) 0( ) ( 1) ( 1) ( )( )

( ) ( ) 0

( ) ( 1) 0( ) (( ) 1) ( ) ( ) ( ) 0( )

( )( )( )

n

n n n

n n n

f X i f if X X X X X f X i X i

f X i f i

f i i i i i i i i i i if i i i i i i i i i i if X i

f X i X i ff X i

+

+ +

+ +

− = = + + − + ⇔ − + ⇔ ⇒ + − =

= + + − = − = − = − =− = − − + + = − + = − − + = − + =

− ⇒ − + ⇔+

MM M

M

MM

M2( 1).X +M

Exerciţiul 6. Fie P(X) = (X + a1)(X + a2)...(X + an) + aX + b. Să se determine a, b astfel încât

P(X) se divide cu X2 + 1.

Rezolvare: Se ştie că două polinoame se divid dacă restul împărţirii celor două polinoame este

zero.

Rezolvând ecuaţia x2 + 1=0, rezultă x=i şi x=-i.

Din condiţia de divizibilitate a celor două polinoame P(i) = 0 rezultă (i + ai)(i + a2) ... (i + an) + ai +

b = 0. Punând relaţia sub formă trigonometrică A+Bi, notăm a1+i = r1(cos 1 + isin 1) cu r1 =

şi tg 1 = . Analog a2 + i,... an + i.

93

Înmulţind relaţiile sub forma trigonometrică obţinem:

P(i) = r1 r2 ... rn[cos( 1 + 2 + ... + n) + isin( 1 + 2 + ... + n)] + ai + b = 0.

Ţinând cont de faptul că dacă A+Bi=0 ⇒ A=0, B=0, avem

a =- r1 r2 ... rn sin( 1 + 2 + ... + n)

b = -r1 r2 ... rn cos( 1 + 2 + ... + n).

Caz particular: a1=1, a2= 3 , a3= 31

⇒ 1+i= )4

sin4

(cos2 ππ i+

3 +i=2 )6

sin6

(cos ππ i+

3

1+i= )

3sin

3(cos

332 ππ i+

Înmulţind relaţiile sub formă trigonometrică obţinem P(i)= )4

3sin4

3(cos3

64 ππ i+ . Facând

reducerea la primul cadran ⇒ a= 3

344

sin3

64 −=− π , b= 3

344

cos3

64 =π .

Exerciţiul 7. Folosind teorema lui Bezout, să se arate că polinomul 6 1 6 2( 1) n nX X+ ++ + se

divide la 2 1X X+ + .

Rezolvare:3211 1332

6 1 6 2 2 6 1 6 2 3 4 2 3 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11 011 0

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 0n n n n n n

XX XXX

f X X X X X X X X X X X+ + + +

=+ + =⇒

=− = = + + = − + = − = − + =

.

Analog demonstrăm că 2( ) 0f X = . Deci 6 1 6 2 2( 1) ( 1)n nX X X X+ + + + + + M

Exercitiul 8. Să se arate că polinomul 3424144 +++ +++ dcba XXXX , cu ),,,( Ndcba ∈ este

divizibil prin 123 +++ XXX .

Rezolvare: Avem descompunerea ))()(1(123 iXiXXXXX −++=+++ în C[X]. Atunci

01111)1()1()1()1()1( 3424144 =−+−=−+−+−+−=− +++ dcbaf

011)()()()()()(1)()()()()( 342443424144

=+−−=−−+−−+−−+=−+−+−+−=− +++

iiiiiiiiiiiiif dcbdcba

011)( 3424144 =−−+=+++= +++ iiiiiiif dcba

94

Dacă )1(0)1(

0)(0)(

233424144 ++++++⇒

=−=

=−+++ XXXXXXX

fif

ifdcba .

Exerciţiul 9. Să se arate că polinomul P(X) = (X2 + 2X + 2)2 - X se divide prin X2 + X + 1.

Se cere câtul.

Rezolvare: Metoda 1: Fie 1α rădăcina ecuaţiei x 2 –x +1=0 deci 12 - + 1 = 0; 3 = -1.

Conform teoremei lui Bezout P( 1) = 0 unde

P( 1) = [( 12 + 1 + 1) + ( 1 + 1)]2 - 1 = ( 1 + 1)2 - 2

2 = ( 1 + 1 - 2)( 1 + 1 + 2) = 0 (s-a ţinut seama că 1 + 2 = -1, conform relaţiilor lui Viete.)

Metoda 2. Se dezvoltă mai întâi trinomul (X 2 + 2 X + 2)2 şi apoi se grupează termenii

polinomului

P(X) = (X 2 + X + 1)2 - X = X 4 + 4 X 3 + 8 X 2 + 7 X + 4 =(X 4 + X 3 + X 2) + (3 X 3 + 3 X 2 + 3 X ) +

(4 X 2 + 4 X + 4) = X 2(X 2 + X + 1) + 3 X (X 2 + X + 1) + 4(X 2 + X + 1) = (X 2 + X + 1)( X 2 + 3 X +

4).

Deci P(X) se divide prin X 2 + X + 1, conform definiţiei relaţiei de divizibilitate.

Metoda 3. Se foloseşte metoda identificării, după dezvoltarea trinomului şi aplicarea teoremei

împărţirii cu rest:

(X 2 + X + 1)2 – X= X 4 + 4 X 3 + 8 X 2 + 7 X + 4 = (X 2 + X + 1)( X 2 + a X + b).

După identificare rezultă a=3, b=4.

Metoda 4. Prin aplicarea algoritmului de împărţire directă.

Exerciţiul 10. Să se determine m N* - 1 din polinomul P(x) = (X - 1)m – Xm + 1 astfel

încât acesta să se dividă la X2 - X + 1.

Rezolvare: Fie 1α rădăcina ecuaŢiei x 2 –x +1=0 deci 12 - + 1 = 0; 3 = -1.

Conform teoremei lui Bezout P( 1) = 0 unde P( 1) = ( 1 - 1)m - 1m + 1 = 0. Dar 1 - 1 = - + .

(rădăcina cubică complexă a unităţii)

Folosind exprimarea complexă - + = cos + isin relaţia devine

(cos + isin )m - (cos + isin )m+ 1 = 0. Dezvoltând după formula lui Moivre rezultă că

cos - cos + 1 = 0 sin - sin = 0

Rezolvând ecuaţiile rezultă că m trebuie să fie de forma 6k + 1 sau 6k + 5.

95

Exemplul 11. Fie f = X3 + pX + q R[X]. Să se determine relaţia dintre p,q R, astfel

încât f să aibă rădăcină dublă.

Rezolvare: θ R este rădăcină dublă a lui f dacă şi numai dacă P(θ) = 0, P'(θ) = 0 P''(θ) = 0.

Cum P'(θ)= 3X2 + p şi P''(θ) = 6X, rezultă că θ R este rădăcină dublă a lui f dacă şi numai

dacă θ+pθ+q=0, adică 3θ+p=0, de unde rezulta că p ≠ 0, q ≠ 0, şi deci θ ≠ 0.

Înmulţind a doua relaţie cu -3θ şi adunând-o la prima relaţie, obţinem 2pθ + 3q = 0, de unde

rezultă θ =- 2p3q

. Înlocuind acum θ =- 2p3q

în a doua relaţie obţinem p3 + 27q2 = 0. Prin urmare, f = X3

+ pX + q R[X] are o rădăcină dublă reală θ =- 2p3q

, dacă şi numai dacă 4p3 + 27q2 = 0, p ≠ 0,

q ≠ 0.

Exerciţiul 12. Să se arate că P(X) = n(n-1) Xn+1 - 2(n2-1) Xn + n(n+1) Xn-2 - 2 ,n N*\1

este divizibil prin Q(X) = (X-1)3. Se cere câtul.

Rezolvare. Pentru a demonstra divizibilitatea este suficient să arătăm că sunt îndeplinite

condiţiile P(1) = 0, P'(1) = 0, P''(1) = 0.

P(1)= n(n-1) - 2(n2-1) + n(n+1) - 2 =0.

Derivăm polinomul P(X) ⇒ P' (X)= n(n-1)(n+1) Xn - 2(n2-1)n Xn-1 + n(n+1)(n-2) Xn-3 ⇒ pentru X=1 P'(1)= n(n-1)(n+1) - 2(n2-1)n + n(n+1)(n-2) =0

Derivăm polinomul P' (X) ⇒ P''(X)= n2(n-1)(n+1) Xn-1 - 2(n2-1)n(n-1) Xn + n(n+1)(n-2)(n-3) Xn-2

⇒ pentru X=1 P''(1)= n2(n-1)(n+1) - 2(n2-1)n(n-1) + n(n+1)(n-2)(n-3) =0.

Pentru calcularea câtului se consideră identitatea = 1 + x + x2 + ... xn cu x ≠ 1. Se

derivează relaţia de două ori, membrul al doilea al relaţiei după derivare reprezintă câtul

q(X)=2+6X+...+n(n-1)Xn-2.

3. Polinoame ireductibile. Criterii de ireductibilitate.

Exerciţiul 13. Să se arate că polinomul f = (X - a1)( X - a2) ... (X - an) -1 este ireductibil

peste Z[X] unde a1, a2, ... , an Z, diferite două câte două.

Rezolvare: Presupunem prin absurd că f = g . h, g, h Z[X].

96

Cum f(ai) = -1, rezultă g(ai) = 1, h(ai) = -1 sau g(ai) = -1, h(ai) = 1 şi deci g(ai) + h(ai) = 0, 1 ≤ i ≤ n.

Deoarece grad (g + h) < n, iar (g + h) se anulează în n puncte diferite se deduce g + h = 0. Deci f(x)

= -[g(x)]2, contradicţie, deoarece coeficientul lui Xn, din f este 1.

Exerciţiul 12. Să se arate că polinomul f = (X - a1)( X - a2) ... (X - an) + 1 este ireductibil

pentru a1, a2, ..., an Z , ai ≠ aj, dacă i ≠ j, cu excepţia

(X -a)( X -a-1)( X -a-2)( X -a-3)+1 = [(X -a-1)( X -a-2) - 1]2 = (X -a)( X -a-2) + 1 = (X -a-1)2.

Rezolvare: Presupunem că f = g . h, g,h Z[X].

Este clar că g(ai) = h(ai) = 1. Deci g, h nu sunt constante şi atunci k = g - h are gradul strict mai

mic decât n şi se anulează în n valori distincte. Deci g - h = 0, adică g = h şi prin urmare f = g 2.

Această egalitate nu este posibilă decât pentru n par.

Din (X -a1)( X -a2) ... (X -an) + 1 = g2 deducem g + 1 = (X - a1)( X - a3) ... (X - an-1) şi

g - 1 = (X - a2)( X - a4) ... (X - an)

(pentru a avea o astfel de scriere renumerotăm, eventual, numerele a1, a2, ..., an)

Scăzând relaţiile de mai sus, membru cu membru, obţinem:

2 = ( X - a1)( X - a3)...( X - an-1) - (X - a2)( X - a4) ... (X - an)

Punem a1 > a3 > ... > an-1. În ultima egalitate facem x = a2k, k = 1, 2, ..., n/2şi obţinem (a2k - a1)(a2k -

a3) ... (a2k - an-1) = 2, adică numărul 2 se descompune în n/2 factori întregi dispuşi în ordine

crescătoare. Pentru n/2 =2 obţinem n = 4. şi pentru n/2 = 1 obţinem n = 2. Deci sunt îndeplinite

condiţiile din enunţ.

Exerciţiul 14. (Criteriul lui Eisenstein) Fie f Z[X], f = in

ii Xa∑

= 0

∈ Z[X], an ≠ 0. Dacă

există un element prim p Z astfel încât (1). p | ai, i = 0, 1, 2, ... , n-1;

(2). p |/ an şi p2 |/ a0, atunci f este ireductibil în Z[X].Rezolvare: Presupunem că f este reductibil în Z[X]. Atunci f = gh cu g,h Z[X] încât 1 ≤

grad(g), grad(h) < grad(f). Fie g = bmXm + ... + b1X + b0, bm ≠ 0 şi h = cn-mXn-m + ... + c1X + c0, cn-m ≠ 0. Efectuând produsul g h şi identificând coeficienţii din cele două scrieri ale polinomului f, avem:

(2.1).

000

10011

2011022

111

cbacbcba

cbcbcba

cbcbacba

mnmmnmn

mnmn

=+=

++=

+==

−−−−−

−

97

Din ipoteza că p|a0 şi din ultima egalitate (2.1) rezultă că p|b0c0. Cum p este un element prim

în R şi p|b0c0, rezultă p|b0 sau p|c0. Din faptul că p2 a0 = b0c0, conform ipotezei, rezultă că p|b0 şi p c0 sau p|c0 şi p b0.

Presupunem că p|b0 şi p c0. Din ipoteza p|b1 şi din faptul că p|b0, folosind penultima

egalitate (2.1.) deducem că p|a1-b0c1, adică p|b1c0. Din p|b1c0 şi p c0, p fiind un element prim,

obţinem p|b1. Din p|a2, p|b1, p|b0 şi egalitatea a2 = b2c0 +b1c1 +b0c2 rezultă p|a2 - b1c1 - b0c2 = b2c0 şi

ţinând seama că p c0, rezultă p|b2.

Continuând procedeul, vom obţine din a doua egalitate (2.1) că p|bm.Cum an = bmcn-m şi p|bm deducem că p|an, contradicţie. Deci f este ireductibil.

Exerciţiul 15. Să se arate că f = X3 - 3X2 + 12X - 7 este ireductibil în Z[X].Conform Propoziţiei 2.2.1. (capitolul II), f este ireductibil în Z[X] dacă şi numai dacă g =

f(X + 1) este ireductibil în Z[X]. Avem g = (X+1)3 - 3(X+1)2 + 12(X+1) - 7 = X3 + 9X + 3 Z[X].Pentru p=3, avem 3|a2, 3|a1, 3|a0, 3 nu divide a3 şi 32 nu divide a0, deci g este ireductibil.

Aşadar, f este ireductibil. Exerciţiul 16. Dacă p este un număr prim, polinomul Xp-1 + Xp-2 + ... X + 1 nu se poate descompune în produsul a două polinoame cu coeficienţi întregi.

Rezolvare: Polinomul (X) = Xp-1 + Xp-2 + ... + X + 1, unde p este un număr prim, este ireductibil în Q[X]. Observăm că pentru Φp (X) nu se poate aplica criteriul lui Eisenstein. Totuşi, luând atomorfismul Ψ : Q[X] Q[X], Ψ(Φp(X)) = Φp(X+1) şi aplicând Propoziţia 2.2.1, rezultă că Φp(X) este ireductibil dacă şi numai dacă Φp(X+1) este ireductibil.

Fie g(X) = Φp(X+1) = (X+1)p-1 +(X+1)p-2 +... +(X+1)+1. Avem:

( ) =++++

=−+=−+−+=

−−−

XXCXCXCX

XX

XXXg

pp

pp

pp

ppp 122111)1(1)1(1)1(

= 1232211 −−−−− +++++ pp

pp

pp

pp

p CXCXCXCX ,

cu coeficienţii ap-1=1, ai=11 +−− = i

pip

p CC , i=1,2,...,p-2 , a0=1−p

pC =p.

Ipotezele din criteriul lui Eisenstein sunt verificate, deoarece p|a i, pentru i = 0, 1, ... , p-2, p

ap-1 şi p2 nu divide a0. Deci g este ireductibil. Prin urmare, Φp(X) este ireductibil Z[X], dar şi în

Q[X].

Exerciţiul 17. Să se arate că polinomul f(X) = X52 + X51 + X50 +... + X + 1 nu se poate scrie ca produsul a două polinoame cu coeficienţi întregi.

Rezolvare: Pentru a arăta că f(X) este ireductibil în Z[X] este suficient să arătam că f(X+1)

este ireductibil în Z[X] (dacă f(X+1) este ireductibil, nu se poate ca f(X) să se descompună în factori

în Z[X], căci atunci şi f(X+1) s-ar descompune în factori în Z[X]).

Se observă că f(X) = 1153

−−

XX p = 53

98

( ) =++++

=−+=−+

−+=+−−−

XXCXCXCX

XX

XXXf

15353

253253

153153

535353 1)1(1)1(1)1(1

5253

5153

50253

51153

52 CXCXCXCX +++++ Ipotezele din criteriul lui Eisenstein sunt verificate, deoarece 53|ai, pentru i = 0, 1, ... , 51, 53 an

(an=1) şi p2 nu divide a0 (a0=53). Deci g este ireductibil. Prin urmare, f(X) este ireductibil în Z[X].Exerciţiul 18. (criteriul de ireductibilitate modulo p). Fie f Z[X] de gradul n ≥ 1. Dacă

există un număr prim p astfel încat redusul al polinomului f este ireductibil în Zp[X] şi grad( (f)) = grad(f), atunci f este ireductibil în Z[X].(vezi demonstratia în capitolul II. Teorema 2.2.3).

Exerciţiul 19. Să se arate că f = X3 - 3X2 + 12X - 7 este ireductibil în Z[X].

Rezolvare: Pentru a demonstra aceasta aplicăm criteriul de ireductibilitate modulo p pentru

p=2.

Polinomul g = *pρ (f) = X3 - X2 - 1 = X3 + X2 + 1 Zp[X] nu are rădăcini în Z2, fiindcă g( 0 ) =

g(1 ) = 1 şi conform criteriul de ireductibilitate modulo p, g este ireductibili în Z2[X]. Deci f este

ireductibil.

Exerciţiul 20. Să se arate că polinomul F(X)=(X2+2)n+5(X2n-1+10Xn+5) este ireductibil în Z[X].

Rezolvare: Se consideră f=X2+2 g =(X2n-1+10Xn+5).Aplicăm criteriul de ireductibilitate modulo p pentru p=5. Fie *

pρ (f) redusul polinomului f.

Atunci polinomul *pρ (f)= X2+2 este ireductibil în Z5[X], nu are rădăcini în Z5.

Polinomul *pρ (g)= X2n-1 nu se divide prin X2+2 în Z5[X] şi conform criteriul de

ireductibilitate modulo p, F(X)=(X2+2)n+5(X2n-1+10Xn+5) este ireductibil în Z[X].

Exerciţiul 21. Aflaţi toate numerele întregi n pentru care polinomul f(X)=X5-nX-n-2

poate fi exprimat ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.

(olimpiada Grecia 2003)

Rezolvare: Presupunem că f(X)=f 1(X) f 2(X), unde f1,f2∈ Z[X], neconstante, gradf1<gradf2 şi

f1,f2 sunt polinoame unitare.

Cazul I: gradf1=1, gradf2=4. Deoarece f1 este polinom unitar, rezultă că f1 are o radacină a∈

Z.

Atunci f1(a)=0 ⇒ f(a)=0 ⇔ a5-2=n( a+1). Cum a=1 nu convine obţinem

131

12 234

5

+−+−+−=

+−=

aaaaa

aan , deci a+1∈ D3 = 3,1 ±± , adică a∈ -4,-2,0,2. Înlocuind în

relaţia lui n ⇒ n∈ 342,34,-2,10.

99

Pentru n=-2 ⇒ f (x)=x(x4+2)

n=10 ⇒ f (x)=(x-2)(x4+2x3+4x2+8x+6)

n=34 ⇒ f (x)= (x+2)(x4-2x3+4x2-8x+6)

n=342 ⇒ f (x)= (x+4)(x4-4x3+16x2-64x-86).

Cazul II: gradf1=2, gradf2=3. f(X)=X5-nX-n-2 (1)

Fie f1(X)= X2+rX+q, f2(X)=X3+sX2+tX+u unde r,q,s,t,u∈ Z. Din relaţia f(X)=f1(X) f2(X), prin

identificare, obţinem

+−=−=

−=⇔

=++=++

=+

rqruqrt

rs

qsrtutrsq

sr

200

0

3

2 . Înlocuind în relaţia din ipoteza ⇒

(X2+rX+q)[ X3-rX2+(r2-q)X+2rq-r3]= X5-nX-n-2, unde r,q,u∈ Z.

Pentru x=-1, relaţia devine (1-r+q)(r3+r2+r-2rq-q+1)=3. Deoarece r,q∈ Z avem cazurile:

=+−−++

=+−

31211

23 qrqrrrqr

;

−=+−−++

−=+−

31211

23 qrqrrrqr

;

=+−−++

=+−

11231

23 qrqrrrqr

−=+−−++

−=+−

11231

23 qrqrrrqr

Rezolvând aceste sisteme ⇒ r=-1 şi q =1 deci ⇒ s=1, t=0, u=-1 ⇒

f( X)= (X2-X+1)( X3+X2-1) ,prin identificare cu relatia(1) ⇒ n=-1

⇒ r=-1 şi q =-3 ⇒ s=1, t=4, u=7 ⇒

f(X)= (X2-X-3)( X3+X 2 +4X+7) prin identificare cu relatia(1) ⇒ n=19

ţinând seama şi de primul caz ⇒ n∈ , -2,-1,10, 19,34,342.

100

Proiect didactic

Profesor: Musca Florina, Clasa: a XII-aProfilul: RealTipul lecţiei: sistematizare şi recapitulareTimp de realizare: 50 minSubiect : Rădăcinile polinoamelor. Ecuaţii algebrice de grad superior

Obiectiv de referinţă: să calculeze rădăcinile polinomului, soluţiile ecuaţiilor, aplicând diverse modalităţi

Obiective operaţionale:O1 - să identifice dintr-o mulţime de ecuaţii ecuaţiile algebrice;O2 – să clasifice ecuaţiile algebrice după criteriile cunoscute;O3 – să structureze într-un context necunoscut calculul rădăcinilor polinoamelor, utilizînd suportul teoretic oferit;O4 – să argumenteze metoda potrivită pentru rezolvarea fiecărei sarcini propuse, utilizînd terminologia aferentă;O5 – să rezolve independent cel puţin 5 exemple diferite;O6 – să compună în scris ecuaţii algebrice de diferite tipuri, în diverse contexte;

Metode şi procedee:Asalt de idei (brainstorming oral); Clasificare (Păiangen); Turul Galeriei; Susţinerea proiectului de grup; Brain ring matematic.Mijloace didactice: fişe cu însărcinări, fişe de clasificare, postere, marchere

Forme de organizare: Frontal, în grupuri mici (preponderent), individual.

101

Nr. crt.

Etapele lecţiei

Obiecti-ve

operaţi-onale

Activitatea profesorului Activitatea elevului Evaluare

I. Moment organizatoricA. Captarea atenţiei.

Motivez necesitatea cunoaşterii ecuaţiilor de orice grad ( Anexa 1)

AscultăDiscută în grupuri, caută greşeala, găsesc argumente, comunică între grupe, răspund.

Urmăresc modul de argumentare.

B. Enunţarea temei şi obiectivelor.

Trec în revistă obiectivul de referinţă şi cele operaţionale ale lecţiei, care sunt scrise din timp pe un poster.

Citesc în glas pe rînd obiectivele, pătrunzînd în esenţa lor.

Evaluez gradul de conştientizare a obiectivelor propuse.

C. Reactualizarea cunoştinţelor.

O1

O2

Împart clasa în 4 grupuri a câte 5 elevi şi propun fiecărei grupe o fişă cu 20 de ecuaţii. (Anexa 2)

Selectează din mulţimea dată ecuaţiile algebrice de grad superior. Fişele se afişează şi liderul fiecărui grup argumentează răspunsurile.

Verifică cum identifică elevii ecuaţiile algebrice după criterii cunoscute.

II. Recapitularea şi sistematizarea cunoştinţelor.

O3

O4

Propun fiecărui grup o fişă cu sarcinile:

a) Rezolvă o ecuaţie reciprocă de grad superior.

b) Determină rădăcinile unui polinom (Anexa 3)

Îndeplinesc sarcinile, scriu produsele pe tablă, comentând răspunsurile prin utilizarea terminologiei aferente.

Apreciez abilitatea de a comenta rezolvarea unui exemplu utilizând terminologia aferentă.

O4 Propun elevilor problema: Să să determine parametrii reali m, n astfel încât ecuaţia x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină dublă x=1 şi să se rezolve ecuaţia dată(Rezolvare prin mai multe metode – Anexa 4).

Discută în grup, analizează şi depistează metodele posibile, rezolvă.Prezintă rezultatul la tablă pe postere, compară metodele de rezolvare şi fac concluzii despre momentul raţional în rezolvare.

Urmăresc competenţa de a depista mai multe metode şi a argumenta alegerea celei mai raţionale prin analiză şi comparare.

102

O3 Aleg rezolvarea corectă Rezolvarea o scriu pe un poster. La semnalul profesorului produsele se afişează. Utilizând tehnica Turul Galeriei elevii analizează modul de rezolvare propus de colegi, evaluează şi, eventual corectează.

Menţionez capacitatea de a evalua şi a observa greşeli în rezolvare, a argumenta alegerea sau corectarea făcută.

O6

O5

Cer grupurilor să îndeplinească sarcina:Compuneţi câte o ecuaţie de grad superior. Propuneţi-o spre rezolvare echipei vecine. Evaluaţi rezolvarea.

Lucrează după tehnica verificare reciprocă: fiecare grup compune o ecuaţie de grad superior, o propune spre rezolvare grupului vecin, rezolvând-o în prealabil pentru a putea evalua rezultatul grupului vecin.

Urmăresc competenţa de a compune sarcini la temă şi de a evalua lucrul colegilor.

O4

O5

Propun jocul Brainring matematic cu 4 însărcinări diferite la temă (Anexa 5)

Fiecare echipă respectă regulile jocului, rezolvând individual şi în echipă. Elevii aduc argumente în favoarea soluţiei propuse. Expertul este un elev cu o performanţe la matematică

Evaluez şi, eventual notez elevii care demonstrează capacitatea de a rezolva rapid, corect, de a argumenta răspunsul şi a ţine cont de restricţii la rezolvare.

O6O4O5

Anunţ tema pentru acasă: fiecare elev va îndeplini o lucrare de laborator care va fi susţinută (prezentată) individual la ora următoare (Anexa 6)

Analizează conţinutul probei de laborator, adresează întrebări pentru precizare

Elevii care vor susţine prin prezentare publică lucrarea propusă vor fi apreciaţi cu note.

103

Anexa 1

Motto: „Trebuie să dăm problemei o formă,care să facă întotdeauna posibilă rezolvarea ei”.

Abel

Omniprezentele ecuaţii

Dintre comorile lăsate nouă de vechii egipteni, se găseşte în Marea Britanie un document,

care i-a surprins şi amuzat pe experţii în hieroglifie: un papirus vechi de 3600 ani, cunoscut sub

numele de „papirusul Rhind”.

S-a descoperit astfel, că un viclean proprietar din Egiptul antic ştia să utilizeze ecuaţiile

pentru a rezolva o problemă care-l frămînta: Cum să facă să plătească un impozit cât mai mic? Şi să

ştiţi, că nu era de loc uşor pentru vechii egipteni să folosească o ecuaţie, pentru că ei nu cunoşteau

nici semnul „+” (ei îl simbolizau printr-o pereche de picioare care mergeau spre dreapta), nici

numerele negative.

Astăzi însă, ca rezultat al evoluţiei algebrei, a pune o problemă în ecuaţie este echivalent cu

a-i simplifica enunţul.

Şi trebuie să fim conştienţi, că orice abordare ştiinţifică a unei situaţii, fie că se referă la

construirea unei clădiri, la evaluarea presiunii în pneurile unui automobil, la determinarea traiectoriei

unui mobil, la precizarea unei dobînzi etc., ne duce inevitabil la rezolvarea unor ecuaţii.

Ioan Dăncilă „Matematica gimnaziului”

104

Anexa 2

Selectaţi ecuaţiile algebrice şi clasificaţi-le după criteriile cunoscute;Încadraţi clasificarea într-o schemă (păiangen).

1. 75 +x - 32 +x = 3x +4

2. x7 - 1 = 0

3. log 2 2 log 2x 2 = log4x 2

4. 20 x5 -81x4 +62 x3 +62 x2 -81 x + 20 =0

5. | x - 1| 2-3x = | x – 1| 4

6. 2x +5 = 0

7. tg x = 2x

8. x + x +1 – 7 = 2

9. 6x4 - 5x3 – 38 x2 +5x +6 =0

10. log 0.5 (x-7) = 2

11. x4 – 4x2 +1 = 0

12. cos2 x – 2 sin 2 x – 4 = 0

13. 2x-2 +3 = 0

14. x3 + 6 x2 +3 x – 1 = 0

15. x3 +3 x2 -11 x – 5 = 0

16. sin x + cos x = 1

17. x2 + 2x + 7 = 0

18. x4 - cos x + 1 = 0

19. | x2 + 2x + 4 | = 5

20. 5x3 - 31 x2 + 31 x – 5 = 0

105

Anexa 3

Echipa 1

1. Rezolvaţi ecuaţia: 2x4 + 3x3 + 5x2 +3x +2 = 0

2. Determinaţi rădăcinile polinomului P( X ) = X8 - 1

Echipa II

1. Rezolvaţi ecuaţia: 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0

2. Determinaţi rădăcinile polinomului P( X ) = X4 - 4 X2 + 1

Echipa III

1. Rezolvaţi ecuaţia: 20 x5 - 81 x4 +62x3 + 62 x2 - 81x - 20 = 0

2. Determinaţi rădăcinile polinomului P( X ) = X6 + 2X4 - 3 X2 + 1

Echipa IV

1. Rezolvaţi ecuaţia: x6 - 17 x3 +16 = 0

2. Determinaţi rădăcinile polinomului P( X ) = (X – 1) (X - 2) (X – 3 ) ( X – 4 )

106

Anexa 4

Problemă: Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuaţia x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină dublă x=1 şi să se rezolve ecuaţia dată.

Metoda I

1) Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului f=X4-X3-mX2-X+n, atunci acesta se divide prin (X-1)2

şi deci restul împărţirii celor două polinoame este polinomul nul.Efectuând împărţirea ,conform algoritmului împărţirii cu rest avem egalitatea:

X4-X3-mX2-X +n =(X2-2X+1)(X 2+X +1-n)-2mX+n+m-1

Restul fiind polinomul nul, aplicând metoda identificării coeficienţilor, adică –2mX+n+m-1=0

dă 2m=0 şi n+m-1=0, adică m=0 şi n=1.

Celelalte rădăcini ale ecuaţiei sunt soluţii (câtul egal cu zero) ale ecuaţiei x2+x+1=0, adică

231

2,1ix ±−=⇒ , x3=x4=1.

Metoda II

În schema lui Horner cerem ca x=1 să fie rădăcină dublă. Deci

=−=−+−

001

mnm

⇒ m=0 şi

n=1, celelalte rădăcini ale ecuaţiei date coincid cu ale câtului x2+x+1=0. 2

312,1

ix ±−=⇒ ,

x3=x4=1.

Metoda III.

3) Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului f= X4-X3-mX2-X +n atunci restul este zero,

polinomul se descompune sub forma: X4-X3-mX2-X +n =(X2-2X+1)(X 2+αX + β). De aici prin

identificare rezultă sistemul

=−=−

+−=−−=−

ββα

αβα

n

m21

1221

.

107

Din prima şi a treia ecuaţie rezultă α=1, β=1. Acum din celelalte ecuaţii se obţine m=0, n=1.

Acum ecuaţia se scrie (x2-2x+1)(x2+x+1)=0.

Celelalte două rădăcini sunt date de rădăcinile ecuaţiei x2+x+1=0, adică2

312,1

ix ±−=⇒ ,

x3=x4=1.

Metoda IV. (relaţiile lui Viéte). Din enunţ x1=x2=1. Având o relaţie între rădăcini vom asocia

acesteia relaţiile lui Viéte pentru o ecuaţie şi avem

==+++

=++++=+++

nxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

4321

43212121

43214321

4321

1)()(0))((

1

sau

==

−=−=+

nxxxx

mxxxx

43

43

43

43

11

1

Din relaţiile a doua şi a treia rezultă 1-m=1, adică m=0, iar din a doua şi a patra n=1-m=1.

Pentru a găsi rădăcinile x3, x4 se rezolvă sistemul x3+x4=-1, x3x4=1, adică ecuaţia x2+x+1=0,

231

2,1ix ±−=⇒ . Deci ecuaţia are soluţiile

231

2,1ix ±−= , x3=x4=1.

108

Anexa 6

Însărcinări pentru Brain ring matematic

Runda I Să se efectueze împărţirea ( x2 - 2x + 1 ) (x2 – 3x + 2 ) : ( x3 – 3x2 + 3x – 1)

3 min; 3 puncteEste important ca elevii să observe: x2 - 2x + 1 = ( x - 1) 2 ; (x2 – 3x + 2) = ( x – 1 ) ( x - 2) şi

x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x - 1 )3 , deci ( x - 1) 2 ( x – 2 ) ( x – 1 ) : (x - 1 )3 = x - 2

Runda a II -aPentru ce valoare a lui m polinomul P(X ) = X5 +mX3 +3X2 - 2X +8 se divide cu X + 2. Să se determine câtul.

4 min; 4 puncte.

1). P( - 2 ) = 0 ⇔ ( - 2 )5 +m( - 2 )3 + 3 ( - 2 )2 – 2 (-2) + 8 = 0 ⇔ -32 -8m +12 +4 +8 =0 ⇔ -8m = 8 → m = -1

2). P ( X ) = X5 - X3 +3X2 - 2X +8 după schema lui Horner se determină câtul:

X5 X4 X3 X2 X1 X0

1 0 -1 3 -2 8-2 1 -2 3 -3 4 0

Q ( X) = X4 -2X3 +3X2 - 3X + 4

Runda a III-a

Să se rezolve ecuaţiile ştiind că au o rădăcină comună: x3 – 6x2 + 11 x + a = 0 şi x3 + 4 x2 +x + a =0, a ∈ R

5 min, 5 puncte

Rezolvare:1. Ecuaţiile se scad şi se obţine: - 10 x2 + 10 x = 0 ↔ x2 = 1, x1 = 1 şi x2 = -12. Se determină a: 1 – 6 + 11 + a = 0 → a = - 63. Se rezolvă ecuaţiile ştiind că au rădăcinile ± 1:a) x3 – 6x2 + 11 x + a = (x2 -1 ) ( ax + b ) = ax3 + bx2 +ax –b . Prin comparare avem: a = 1, b = -6, x – 6 = 0, x3 = 6 şi S = -1, 1, 6 b) x3 + 4 x2 +x + a = 0, x1 = 1 x3 + 4 x2 +x -6 = ( x-1 ) ( x2 +5x +6 ), deci obţinem x2 = - 2 sau x 3 = - 3 Prin urmare, mulţimea soluţiilor este S = 1, -2, -3 .

109

Temă pentru acasă(lucrare de laborator)

1. Alcătuiţi 2 ecuaţii algebrice de grad superior şi le rezolvă.

2. Fie polinomul: P(X) = X3 + mX2 + 2X + m +1, m ∈ R.

a) Ştiind că X 1 = 1, să se determine m şi să se rezolve ecuaţia P ( X ) = 0

b) Să se calculeze E ( x ) = x13 + x2

3 + x33

c) Să se determine valoarea expresiei: E ( x ) = ( x3 · x 2 ·x1 ).

3. Polinomul F(X) = X4 – 5 X3 + 8 X 2 + aX +b are rădăcina dublă X = 1.

4. a) Să se determine parametrii a şi b

b) să se rezolve ecuaţia: F ( X ) = 0.

5. Să se rezolve ecuaţia x7 - 2 x6 + 3 x5 – x 4 – x3 + 3 x 2 - 2x + 1 = 0.

6. Găsiţi rădăcinile ecuaţiei x 8 + 2 x 4 – 3 = 0.

7. Să se determine polinomul P ( X) cu coeficienţii reali de grad minim, care are rădăcina dublă

1 + i şi rădăcina simpă 1.

110

BIBLIOGRAFIE

1. Albu, A.C: - Introducere în fundamentele matematicii, Ed. Universitatea de Vest din Timişoara, Monografii matematice, nr.58, Timişoara, 1995

2. Albu, A.C: - Istoria matematicii, Ed. Mirton, Timişoara 19973. Albu, T.; Ion, I.D.: - Capitole de teoria algebrică a numerelor, Ed. Academiei Rep. Soc. Rom.

Bucureşti 19844. Albu, T.; Ion, I.D.: - Itinerar elementar în algebra superioară, Ed. AII Bucureşti 19975. Algebra, manuale clasice şi alternative V-X6. Bănea, Horea: - Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45, 19987. Barbilian, D. - Algebră, E.D.P. Bucureşti 19858. Becheanu, M., Niţă, C, Ştefănescu, M.,...: - Algebră, Ed. AII Bucureşti 19989. Chiriac, V., Chiriac, M.: - Probleme de algebră, Ed. Tehnică Bucureşti 197710.Coşniţă, C, Turtoiu, F: - Probleme de algebră, Ed. Tehnică Bucureşti 1989 11. Didactica matematicii: vol. 5 Cluj-Napoca 1989 12.Dăncilă, I: - Algebra examenelor, Ed. AII Bucureşti 199413.Dodescu, GH: - Metode numerice în algebră, Ed. Tehnică Bucureşti 1979 14. Dragomir, A., Dragomir, P.: - Structuri algebrice, Ed. Facla Timişoara 1981 15.Galbură, Gh.: - Algebra, E.D.P. Bucureşti 197216.Ion, I.D., Radu, N.: - Algebră, ediţia a IV - a E.D.P. Bucureşti 199117.Ion, I.D., Popescu, D., Niţă, C, Radu, N.: - Probleme de algebră, E.D.P. Bucureşti 198118.Ion, I.D., Niţă, C, Năstăsescu, C: - Complemente de algebră, Edit. Şt. Bucureşti 198419.Ivan, Gh.: - Capitole fundamentale de algebră. Inele. Module. Construcţii universale de module,

Univ. de Vest din Timişoara 200020. Stănăşilă, O.: - Analiză liniară şi geometrie, Ed. AII Bucureşti 200021.Năstăsescu, C, Niţă, C: - Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Ed. Tehnică Bucureşti 197922.Năstăsescu, C, Niţă, C, Brandiburn, M, Joiţa, D.: - Exerciţii şi probleme de algebră pentru

clasele IX-XII, E.D.P. Bucureşti 198323. Năstăsescu, C, Niţă, C, Vraciu, C; - Bazele algebrei, Ed. Academiei Bucureşti 198624. Năstăsescu, C, Niţă, C, Vraciu, C: - Aritmetică şi algebră, E.D.P. Bucureşti 199325. Nicolescu, C.P.: - Sinteze de matematică, Ed. Albatros Bucureşti 199026. Olivotto, I.: - Culegere de exerciţii şi probleme pentru gimnaziu, Ed. Ara Bucureşti 199227. Panaitopol, L, Drăghicescu, I.C.: - Polinoame şi ecuaţii algebrice, Ed. Albatros Bucureşti 198028. Purdea, I.: - Tratat de algebră modernă, Ed. Academiei Bucureşti 198229. Rus, I., Varna, D.: - Metodica predării matematicii, E.D.P. Bucureşti 198330. Teodorescu, N., Constantinescu, A.,...: - Probleme din gazeta matematică (Ediţie selectivă şi

metodologică), Ed. Tehnică Bucureşti 1984

111

consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame

Documents

Consideratii - Faust 1

Grupuri și inele

EEM3_A5 Consideratii Hidraulice

Consideratii privind tramvaiul

Consideratii Tehnice Tratare Apa Cazane

cdn4.libris.rocdn4.libris.ro/userdocspdf/590/Irina852.pdf · Inele de polinoame cu coeficienti într-un corp comutativ (Q, R, C, 4, p prim) 1. Forma algebricä a unui polinom; operatii

Polinoame-Bogdan Enescu

Irlanda Membru UE Consideratii

Aritmetica in inele curs 2020 - Facultatea De Matematica Iasivolf/depozit/Aritmetica in...3 I. Recapitulare: Inele, ideale, morfisme, inele factor I.1. Inele, subinele, ideale, morfisme

CAP1. consideratii introductive privind liberatea

Consideratii Privind Biologia Parodontala

Curs 02 - Consideratii Anatomice

cdn4.libris.ro · 2015-08-26 · Inele de polinoame cu coeficienti într-un corp comutativ (Q, R, C, 4, p prim) 1. Forma algebricä a unui polinom; operatii (adunarea, înmultirea,

Echilibrul Financiar - Consideratii Teoredtice

Variante Bacsub II.2 Algebra Xii Polinoame Si Ecuatii Algebrice

Consideratii Privind Aplicarea en 15381

L7 Info - Polinoame

20 - Tema/Unitatea: Polinoame cu coeficienţi într-un corp ...ctmbacescu.ro/wp-content/uploads/2015/01/FL-POLINOAME-MONORANU.pdf-20 - Tema/Unitatea: Polinoame cu coeficienţi într-un

Referat Matematica - Polinoame

Consideratii privind proiectarea circuitelor integrate

Cap I Consideratii Generale

Consideratii nutritionale in tratamentul ortodontic

Consideratii Privind Auditul Sistemelor ERP

polinoame - tcotfas.files.wordpress.com · Vxxx xxx xxx a

LICENTA INELE EUCLIDIENE

INELE DE POLINOAME PROPRIETATI ALGEBRICE.docx

POLINOAME - Weeblye-projects.weebly.com/uploads/3/1/3/4/313487/polinoame... · Web viewExemplu: Dacă ne interesează rezultatele statistice la teza de matematică a elevilor din

Inele Logodna Modele 2015,2016

SETUL 2 XII, partea 2 · operaŢii cu polinoame, inclusiv ÎmpĂrŢirea divizibilitatea polinoamelor propr. ale rĂd. de depĂŞesc mulŢ. coeficienŢilor rĂdĂcini multiple polinoame

Consideratii Privind Conceptul de Caract

Motorul Asincron Cu Inele

cartea celor cinci inele (in rusa)

DA - buloane inele eclise si tirfoane.pdf

Consideratii Generale Privind Executarea Silitã

Fisa tehnica – INELE DE ADUCERE LA COTA tehnica inele... Fisa tehnica – INELE DE ADUCERE LA COTA A. CARACTERISTICI FIZICE Caracteristici Forme Dimensiuni inele de aducere la cota