Polinoame 1) Forma algebrică a unui polinom Prin forma algebrică sau forma canonică înţelegem

11 1 0...n n

n nf a X a X a X a . Prescurtat putem scrie

0

.n

kk

k

f a X

0 1, ,..., na a a sunt coeficienţii polinomului cu 0na ,

na se numeşte coeficient dominant şi nna X termen dominant

1na atunci polinomul se numeşte monic sau unitar

0a termen liber .

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi complecşi şi scriem f X , unde

X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi reali şi scriem f X ,

unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali.

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi raţionali şi scriem f X , unde

X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi raţionali .

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi întregi şi scriem f X , unde X

este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi întregi . X X X X .

2) Gradul unui polinom Dacă 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

şi 0na atunci spunem că polinomul f are gradul n . Notaţie grad f sau gr f

Dacă 0f a atunci polinomul se numeşte constant şi 0grad f .

Dacă 0f atunci polinomul se numeşte nul şi grad f .

3) Egalitatea polinoamelor Fie 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

şi 11 1 0...m m

m mg b X b X b X b . Polinoamele f şi g

sunt egale şi scriem f g dacă n m şi , 1,i ia b i n adică au grade egale iar coeficienţii corespunzători egali.

4) Valoarea unui polinom Fie 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

şi . Numărul 1

1 1 0...n nn nf a a a a

se numeşte valoarea polinomului în α şi se

obţine din calculul înlocuirii nedeterminatei X cu α. Dacă 0f atunci numărul α se numeşte rădăcină a polinomului f

Suma coeficienţilor se obţine calculând valoarea polinomului în 1 adică 1 1 01 ...n nf a a a a

2

Termenul liber 0a se obţine calculând valoarea polinomului în 0 adică 00f a

5) Operaţii cu polinoame

Fie , [ ],f g X 0

ni

ii

f a X

şi 0

,m

jj

j

g b X n m

.

Suma polinoamelor f şi g este polinomul definit prin: 0

,n

kk

k

f g c X

unde

,

,k k

kk

a b k mc

a m k n

şi grad( ) max grad ,gradf g f g .

Suma se efectuează prin adunarea termenilor(monoamelor) asemenea Produsul polinoamelor f şi g este polinomul definit prin:

1 0... ,n mn mf g c X c X c unde

kji

jik bac , .,0 mnk şi grad( ) grad gradf g f g .

produsul se efectuează prin desfacerea parantezelor şi apoi prin reducerea termenilor(monoamelor) asemenea

Împărţirea polinoamelor f şi g se efectuează aplicând algoritmul pentru aflarea câtului şi a restului.

Nu este indicat să aplicăm algoritmul la împărţirea cu binomul X Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X este egal cu valoarea

polinomului în adică ( )f deci reţinem că r f

Câtul şi restul împărţirii unui polinom f prin binomul X se pot afla cu schema lui Horner

Teorema împărţirii cu rest. Oricare ar fi polinoamele , [ ],f g X grad f grad g , ,0g există şi sunt unice

polinoamele , [ ]q r X care au proprietăţile: ;f g q r şi grad r grad g . Avem

evident că grad q grad f grad g

Dacă efectiv nu putem aplica algoritmul la împărţirea cu X X atunci

determinarea restului se va face astfel: Aplicăm T.I.R şi obţinem f X X q mx n

Calculăm f şi f în două moduri şi obţinem un sistem în m şi n

Rezolvăm sistemul şi obţinem , ,

f a f b af b bf am n a b

a b a b

6) Divizibilitatea polinoamelor Fie , [ ]f g X . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dacă există un polinom

[ ]q X astfel încât f g q . Notăm gf sau .| fg gf dacă şi numai dacă f împărţit la g dă restul 0 f g dacă f împărţit la g nu dă restul 0 Dacă gf atunci grad f grad g

3

Dacă gf dacă şi numai dacă rădăcinile lui g sunt şi rădăcini pentru f. f g dacă o rădăcină a lui g nu este rădăcină şi pentru f.

7) Rădăcinile polinoamelor Numărul α este rădăcină pentru polinomului f dacă şi numai dacă 0f .

Teorema lui Bézout. Fie [ ]f X un polinom nenul şi . Polinomul f este divizibil cu binomul X dacă şi numai dacă 0f adică a este

rădăcină. Dacă α este rădăcină pentru polinomul f atunci ( )f X Dacă α şi β sunt rădăcini pentru polinomul f atunci ( )f X şi ( )f X Dacă ( )f X şi ( )f X atunci ( ) ( )f X X

Spunem că este rădăcină multiplă de ordin p pentru polinomul [ ]f X , dacă ( ) pf X şi f 1( ) pX . Dacă 2p atunci α se mai numeşte rădăcină dublă pentru

polinom, iar dacă 3p atunci α se mai numeşte rădăcină triplă pentru polinom.

este rădăcină dublă pentru polinomul [ ]f X , dacă

0

0

0

l

ll

f

f

f

adică α este

rădăcină pentru f, pentru f l şi nu e pentru f l l

este rădăcină triplă pentru polinomul [ ]f X , dacă

0

0

0

0

l

ll

lll

f

f

f

f

adică α este

rădăcină pentru f, pentru f l , pentru f l l şi nu e pentru f l l l . Polinomul care are o infinitate de rădăcini este polinomul nul

8) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi reali Fie [ ]f X şi numerele , 0a bi b respectiv , ,a bi a b Dacă f are rădăcina complexă , 0a bi b atunci şi a bi este rădăcină şi

amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate. Dacă f are rădăcina complexă , 0a bi b atunci ( ) ( )f X X . Numărul rădăcinilor din \ adică pur complexe ale polinomului f este par. Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are cel puţin o rădăcină reală Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are un număr impar de rădăcini

reale. Dacă gradul lui f este par atunci polinomul are un număr par de rădăcini reale sau

deloc Dacă 0f a f b atunci polinomul f are cel puţin o rădăcină reală în intervalul

, , , ,a b a b a b

4

9) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi raţionali Fie [ ]f X şi numerele , 0,a b d d d respectiv , , ,a b d a b d Dacă f are rădăcina iraţională , 0,a b d d d atunci şi a b d este

rădăcină şi amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate. Dacă f are rădăcina iraţională , 0 ,a b d d d atunci ( ) ( )f X X .

10) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi întregi

Fie [ ]f X şi numărul p

q unde , , , 1p q p q

Dacă f are rădăcina fracţia ireductibilă p

q atunci p 0a şi q na adică p divide

termenul liber şi q divide coeficientul dominant. Rădăcinile întregi sunt divizori ai termenului liber Un polinom nu admite rădăcini întregi dacă valorile polinomului în divizori întregi

ai termenului liber sunt nenule. Dacă f este monic(unitar) atunci rădăcinile raţionale sunt numai întregi Un polinom monic nu admite rădăcini raţionale dacă nu are nici întregi. f x f y x y

11) Descompunerea în factori Fie f X , 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

cu rădăcinile distincte 1 2, ,..., nx x x .

Formula de descompunere este : 1 2 ...n nf a X x X x X x

Dacă rădăcinile nu sunt distincte atunci:

1 2

1 2 ...kpp p

n kf a X x X x X x unde 1 2, ,..., kp p p sunt ordinele de

multiplicitate a rădăcinilor 1 2, ,..., kx x x

Orice polinom de grad 1n cu coeficienţi reali poate fi descompus într-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficienţi reali.

Pentru descompuneri căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber aplicând schema lui Horner.

Dacă cunoaştem rădăcinile 1 2, ,..., nx x x putem afla polinomul desfăcând parantezele

1 2 ...n na X x X x X x .

În formula de descompunere 1 2 ...n nf a X x X x X x putem da valori

particulare pentru nederminata X şi vom obţine diverse relaţii. 12) Polinoame reductibile-ireductibile

Polinomul f cu , 1grad f n n se numeşte reductibil peste mulţimea de numere

M dacă există polinoamele g,h din M X de grade strict mai mici decât gradul lui

f, astfel încât f g h . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste mulţimea M.

5

Orice polinom de grad 1 este ireductil Orice polinom de grad 2 este reductil peste Dacă un polinom f M X este ireductibil peste o mulţime de numere M atunci

nu are rădăcini în M dar invers nu adică dacă f M X nu are rădăcini în M nu

înseamnă că este ireductibil peste M Polinoamele ireductibile peste sunt de forma f ax b sau 2 , 0f ax bx c

unde , ,a b c Un polinom f poate fi ireductibil peste o mulţime dar reductibil peste altă mulţime.

13) Relaţii între rădăcini şi coeficienţi-Relaţiile lui Viète. Fie f X , 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

cu rădăcinile 1 2, ,..., nx x x . Relaţiile lui

Viète sunt : 1

1 1 2 ... nn

n

aV x x x

a

2

3

22 1 2 1 3 1

33 1 2 3 1 2 4 2 1

...

...

n

n

nn n

nC termeni

nn n n

nC termeni

aV x x x x x x

a

aV x x x x x x x x x

a

....; 0

1 2... ( 1) .nn n

n

aV x x x

a

Suma inverselor rădăcinilor 1

1 2

1 1 1... n

n n

V

x x x V

Suma pătratelor rădăcinilor 2 2 2 21 2 1 2... 2nx x x V V

Dacă 2 2 21 2 ... 0nx x x atunci polinomul nu are toate rădăcinile reale

Dacă aplicăm definiţia rădăcini pentru fiecare în parte atunci prin adunarea relaţiilor putem obţine informaţii despre alte sume de puteri de rădăcini

Dacă cunoaştem 1 2, ,..., nV V V atunci ecuaţia care are soluţiile 1 2, ,..., nx x x este : 1 2

1 2 ... ( 1) ... ( 1) 0.n n n k n k nk nx V x V x V x V

14) Teoremă. Orice ecuaţiei polinomială de grad n are exact n rădăcini complexe nu neapărat distincte.

15) Teorema fundamentală a algebrei (teorema D’Alembert – Gauss). Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puţin o rădăcină complexă.

16) Teorema Abel-Ruffini . Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare decât 4 nu este rezolvabilă prin radicali.

17) Rezolvarea ecuaţiilor polinomiale de forma 11 1 0... 0n n

n na X a X a X a

Pentru ecuaţiile de gradul I şi II avem formule de rezolvare cunoscute.

6

Pentru rezolvarea ecuaţiilor bipătrate de forma 4 2 0ax bx c se face substituţia 2 x t

Pentru ecuaţiile reciproce adică ecuaţiile cu coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extremi, egali aplicăm algoritmul :

Dacă gradul este impar atunci -1 este rădăcină şi aplicând schema lui Horner obţinem o altă ecuaţie reciprocă, dar de grad par

Dacă gradul este par atunci se face substituţia 1x , 0t x

x şi prin calcul se

observă că 2 22

1x + 2t

x

Ecuaţiile binome de grad impar de forma  2 1 , ,kx a a k au rădăcina reală 2 1kx a

Ecuaţiile binome de grad par de forma  2 *, 0,kx a a k au rădăcinile reale 2kx a

18) Studiul rădăcinilor unei ecuaţii se poate face şi cu teoremele Darboux , Rolle. Cu ajutorul acestor teoreme se pot determina numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei precum şi intervalele în care aceste rădăcini sunt situate, dacă asociem funcţia polinomială :f . Consecinţă a Teoremei lui Darboux. Dacă o funcţia este continuă pe un interval I

şi 0, , ,f a f b a b I I atunci ecuaţia 0f x are cel puţin o soluţie în

intervalul (a,b). Şirul lui Rolle. Între două rădăcini ale derivatei există cel mult o rădăcină a

funcţiei. Algoritmul este: Se rezolvă ecuaţia 0lf x  şi obţinem rădăcinile  1 2, ,..., kx x x  

Facem un tabel de forma. x 1x 2x ... kx

lf x 0 0 ... 0

f x limx

f x

1f x 2f x ... kf x limx

f x

analizăm variaţia semnului funcţiei f. Între două variaţii de semn consecutive ale funcţiei f(x) există o rădăcină a polinomului f.

Polinoame M2 1. Se consideră polinoamele cu coeficienţi reali 9628 234 bXXaXXf şi

2422 XXg . v3 a) Să se scrie forma algebrică a polinomului ).4)(242( 22 XXXh b) Să se determine ,a b astfel încât polinoamele f şi )4)(242( 22 XXXh să

fie egale.

7

c) Să se rezolve în ecuaţia .096284288216 xxxx 2. Se consideră polinomul 99 23 XXXf care are rădăcinile 1 2 3, . .x x x v16

a) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la .12 X b) Să se verifice că .18)(9 2

322

21

33

32

31 xxxxxx

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia .0)3( xf 3. Se consideră polinomul cu coeficienţi raţionali 14523 XaXXf şi suma

*1 2 3 , ,n n n

nS x x x n unde 321 ,, xxx sunt rădăcinile polinomului f. v18 a) Să se determine numărul raţional a astfel încât polinomul f să admită rădăcina

.21 x b) Pentru 4a să se rezolve ecuaţia .0)( xf c) Pentru 4a să se demonstreze egalitatea .5442 123 SSS

4. Se consideră polinomul [ ],f X ,23 rqXpXXf cu rădăcinile 321 ,, xxx . a) Să se calculeze ).1()0( ff b) Să se calculeze expresia )1)(1)(1( 321 xxx în funcţie de p, q, r. c) Să se arate că polinomul 123 XXXg nu are toate rădăcinile reale.

5. Se consideră polinomul 2 1005(1 ) ,f X X cu forma algebrică 2 2010

0 1 2 2010... .f a a X a X a X a) Să se calculeze ).1(f b) Să se arate că 0 1 2 2010...a a a a este un număr întreg impar. c) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul .12 X

6. Se consideră polinomul 100624f X X cu forma algebrică 2012 2011

2012 2011 1 0...f a X a X a X a a) Să se calculeze restul împărțirii polinomului f la binomul 1X

b) Să se arate că 0 1 2012...a a a este un număr întreg par. c) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul 2 4X .

7. Se consideră polinoamele 2010 2010( 1) ( 1)f X X şi .1 Xg Polinomul f are forma algebrică 2010 2009

2010 2009 1 0... ,f a X a X a X a cu 0 1 2010, ,..., .a a a a) Să se determine .0a b) Să se calculeze restul împărţirii polinomului f la polinomul g. c) Să se calculeze suma coeficienţilor polinomului f.

8. Se consideră polinomul 3 670(1 ) [ ]f X X X cu forma algebrică 2010

2010 1 0... .f a X a X a a) Să se calculeze ).1()1( ff b) Să se arate că suma 0 1 2010...a a a este un număr divizibil cu 3. c) Să se determine restul împărţirii lui f la .12 X

8

9. Se consideră polinomul 2010 2010( 1) ( 1)f X X având forma algebrică 2010

2010 1 0... ,f a X a X a unde 0 1 2010, ,...,a a a sunt numere reale. a) Să se calculeze ).1()1( ff b) Să se determine suma coeficienţilor polinomului f. c) Să se determine restul împărţirii lui f la .12 X

10. Se consideră polinoamele , [ ],f g X 1010 )2()1( XXf şi .232 XXg v10 a) Să se descompună polinomul g în produs de factori ireductibili în [X]. b) Să se demonstreze că polinomul f nu este divizibil cu polinomul g. c) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g.

11. Se consideră polinoamele , [ ],f g X 20112 12 35 , 6 6f X X g x x şi forma

algebrică 2011 20102011 2010 1 0...g a X a X a X a .v38

a) Să se calculeze 5 5f g

b) Să se arate că numărul 0 1 2011...a a a este negativ. c) Să se determine restul împărţirii polinomului g la polinomul f.

12. Se consideră polinomul ,12 24 XXf cu rădăcinile 1 2 3 4, , , .x x x x a) Să se arate că polinomul f este divizibil cu .12 Xg b) Să se calculeze produsul PS unde 4321 xxxxS şi .4321 xxxxP c) Să se calculeze suma .4

443

42

41 xxxxT

13. Se consideră polinomul ,34 cbXaXXf cu , , .a b c a) Să se determine numărul real c ştiind că (1) ( 1) 2010.f f b) Să se determine numerele reale a, b, c ştiind că 2)1()0( ff şi că una dintre

rădăcinile polinomului este x=2. c) Pentru a = – 2, b = 1 şi c = – 2 să se determine rădăcinile reale ale polinomului f.

14. Se consideră polinomul ,24 nmXXf unde , .m n Rădăcinile polinomului sunt .,,, 4321 xxxx v14

a) Să se determine ,m n ştiind că polinomul f admite rădăcinile 01 x şi .12 x b) Să se determine m astfel încât rădăcinile polinomului să verifice relaţia

.224

23

22

21 xxxx

c) Pentru m=1 şi n=1 să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în [X].

15. Se consideră polinoamele cu coeficienţi raţionali 65234 XbXaXXf şi .23 XXg v15

a) Să se determine ,a b , astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g. b) Pentru 3a şi 1b să se descompună polinomul f în produs de factori

ireductibili în [ ].X c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia .0365333 123 xxxx

9

16. În mulţimea [ ]X se consideră polinoamele 1234 XXXXf şi .12 XXg v19 a) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g. b) Să se arate că dacă y este rădăcină a polinomului g, atunci .123 yy c) Să se demonstreze că dacă y este rădăcină a polinomului g, atunci )(yf nu este

număr raţional. 17. Se consideră polinomul 3 2 1,f X X mX m şi 321 ,, xxx rădăcinile sale. Se

defineşte ,321nnn

n xxxS pentru *n . a) Să se determine numărul real m astfel încât 21 x . b) Să se arate că .03123 mSSS c) Să se arate că pentru orice număr par m polinomul f nu are rădăcini raţionale.

18. Se consideră polinomul mXXmXf 711 23 care are coeficienţi reali. v22 old a) Să se determine m astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul

.1 Xg b) Pentru 9m să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în

[ ].X c) Pentru 9m să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului f.

19. Se consideră polinomul mXXmXf 711 23 care are coeficienţi reali. v22 a) Să se determine m astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul

.1 Xg

b) Să se determine m astfel încât 2f

c) Pentru 9m să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului f. 20. Se consideră polinomul 46)3( 234 XXaaXXf care are coeficenţii reali şi

rădăcinile lu 1 2 3, ,x x x . v23 a) Să se determine a astfel încât .34321 xxxx

b) Să se determine a astfel încât polinomul să fie divizibil cu .2X c) Pentru 3a să se descompună în produs de factori ireductibili în [ ].X

21. Se consideră polinomul 3 2( 1) 3 3, [ ].f X m X X f X v24 a) Să se determine m astfel încât suma rădăcinilor polinomului f să fie egală cu 1. b) Să se determine m astfel încât polinomul f să admită rădăcina .31 x c) Pentru m=0 să se descompună polinomul f în factori ireductibili în [ ].x

22. Fie polinomul 423 aXaXXfa care are coeficienţii numere reale. v25 a) Să se determine a astfel încât ,2321 xxx unde 321 ,, xxx sunt rădăcinile reale

ale polinomului af . b) Să se determine a astfel încât polinomul af să fie divizibil cu polinomul

.22 X c) Să determine a pentru care polinomul af are o rădăcină raţională pozitivă.

10

23. Se consideră polinomul ,134 XaXXf unde a . v26 a) Să se determine a ştiind că x=1 este rădăcină a polinomului f. b) Pentru a=1 să se determine rădăcinile reale ale polinomului f. c) Să se demonstreze că ( ) 0, \ .f x x

24. Se consideră polinomul ,44)7(44 2234 mXXmmXXf unde .m a) Să se determine m ştiind că x =1 este rădăcină a polinomului f. b) Să se determine m ştiind că suma rădăcinilor polinomului f este egală cu 0. c) Pentru 5m să se rezolve ecuaţia .0)( xf

25. Se consideră polinomul ,)12( 222 aXXf unde .a a) Ştiind că a =0 să se determine soluţiile ecuaţiei .0)( xf b) Să se verifice că )12)(12( 22 aXXaXXf . c) Să se determine a pentru care polinomul f are toate rădăcinile reale.

26. Se consideră polinomul 4 212 35 [ ].f X X X a) Să se arate că .1)6( 22 Xf b) Să se demonstreze că polinomul f nu are rădăcini întregi. c) Să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în [ ].X

27. Se consideră polinomul ,234 cbXaXXXf unde , , .a b c a) Pentru 1 ca şi 1b să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la

.12 X b) Să se determine numerele a, b, c ştiind că restul împărţirii polinomului f la 12 X

este X, iar restul împărţirii polinomului f la X – 1 este – 1.

c) Să se demonstreze că dacă ,,2

1

a atunci f nu are toate rădăcinile reale.

28. Se consideră polinomul 4 3 22 [ ],f X X aX bX c X cu rădăcinile .,,, 4321 xxxx a) Să se calculeze suma .4321 xxxx v44 b) Să se determine rădăcinile polinomului f ştiind că a = – 1, b = – 2 şi c=0. c) Ştiind că rădăcinile polinomului f sunt în progresie aritmetică, să se demonstreze

că 1 ab . 29. Se consideră polinomul baXXXf 23 2 cu rădăcinile ,,, 321 xxx unde , .a b

a) Pentru a =1 şi b=0 să se determine .,, 321 xxx b) Ştiind că ,22

322

21 xxx să se arate că a=1.

c) Ştiind că ),)()(( 23

22

21 xXxXxXf să se determine numerele reale a şi b.

30. În mulţimea [ ]X se consideră polinomul 123 pXXf cu rădăcinile 321 ,, xxx şi .p

a) Să se calculeze ).( pf b) Să se determine p pentru care polinomul f este divizibil cu X – 1. c) Să se calculeze în funcţie de p suma .4

342

41 xxx

31. Se consideră polinoamele , [ ],f g X 1234 XXXXf şi .123 XXXg

11

a) Să se demonstreze că .1 gXf b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului g. c) Să se calculeze ),(af ştiind că a este o rădăcină a polinomului g.

32. Se consideră polinoamele ,133 23 XXXf cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x şi ,122 XXg cu rădăcinile 1 2, .y y

a) Să se calculeze diferenţa S – S’ unde 321 xxxS şi .' 21 yyS b) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la g. c) Să se calculeze produsul ).()( 21 yfyf

33. În mulţimea polinoamelor [ ]X se consideră polinoamele 623 nXmXXf şi .2)( 2 XXXg

a) Să se rezolve ecuaţia .022 xx b) Să se determine ,m n astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul g. c) Pentru 4m şi 1n să se calculeze produsul (0) (1) ... (2009) (2010).P f f f f

34. Se consideră polinomul [ ],f X 2010 2010( ) ( 1) ( 1)f X X X care are forma algebrică 2010 2009

2010 2009 1 0( ) ... .f X a X a X a X a a) Să se determine .0a b) Să se arate că )1()1( ff este număr întreg par. c) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului f.

35. Se consideră polinoamele , [ ],f g X aXXf 33 şi ,23)( 2 XXXg unde .a a) Pentru 2a să se rezolve ecuaţia ).()( xgxf b) Să se determine rădăcinile lui f, ştiind că are o rădăcină dublă pozitivă.

c) Pentru 2a să se rezolve ecuaţia .2

53)(

ge xf

36. Se consideră polinomul ,34 cbXaXXf cu , , .a b c a) Pentru 501c , să se demonstreze că .1004)1()1( ff b) Pentru 2, 2a b şi 1c să se determine rădăcinile reale ale polinomului f. c) Să se demonstreze că nu există valori reale ale coeficienţilor a, b, c astfel ca f să se

dividă cu polinomul .3 XXg 37. Se consideră polinomul ,23 cbXaXXf cu , ,a b c având rădăcinile 1 2 3, , .x x x

a) Să se determine numărul real c ştiind că .12)1()1( aff b) Ştiind că a = – 3, b = 1, c = 1, să se determine rădăcinile reale ale polinomului f. c) Să se exprime în funcţie de numerele reale a, b, c determinantul

1 2 3

2 3 1

3 1 2

.

x x x

D x x x

x x x

38. În inelul [ ]X se consideră polinomul ,53 XXf cu rădăcinile 321 ,, xxx .

12

a) Să se calculeze .2

1

f

b) Să se determine numărul real a pentru care restul împărţirii polinomului f la aX să fie .5

c) Să se arate că valoarea determinantului

1 2 3

2 3 1

3 1 2

x x x

x x x

x x x este număr întreg.

39. Se consideră ecuaţia 3 22 4 0x x cu soluţiile 1 2 3, ,x x x . a) Demonstraţi că 2 2 2

1 2 3 4x x x

b) Calculaţi 1 2 3

1 1 1

x x x

c) Calculaţi valoarea determinantului

12 3

23 1

31 2

1 1

1 1

1 1

xx x

xx x

xx x

.

40. Polinomul 3 22 5 ,f x x x m m are rădăcinile 1 2 3, ,x x x .Bac2_2011_ V5 a) Calculaţi 2 2 2

1 2 3x x x .

b) Determinaţi *m pentru care 1 2 31 2 3

1 1 1x x x

x x x

c) Arătaţi că determinantul

1 2 3

2 3 1

3 1 2

x x x

x x x

x x x

este număr natural oricare ar fi

m 41. a) Să se determine gradul 6[ ],f X ,4̂2̂)5̂( 23 aXXaaf în funcţie de

valorile lui 6.a b) Să se determine restul împărţirii polinomului 3[ ],f X

1̂2̂2̂ 23 XXXf prin polinomul 3[ ],g X .1̂ Xg c) Să se determine 3, ,a b ştiind că polinomul 3[ ],f X baXXf 2 are

rădăcinile 1̂ şi .2̂ 42. Fie polinoamele 1̂23 XaXXf şi 3̂ Xg din inelul 5[ ]X . v7

a) Să se determine 5a , astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g.

b) Pentru ,1̂a să se arate că ).1̂)(1̂( 2 XXf

13

c) Pentru ,1̂a să se rezolve în inelul 5( , , ) ecuaţia .0̂)( xf

43. Se consideră polinoamele 5, [ ],f g X baXXbaf 3̂2̂2̂)3̂3̂( 2 şi

.2̂3̂2̂2̂ 2 baXXg v8 a) Să se determine 5,a b astfel încât cele două polinoame să fie egale.

b) Pentru ,2̂ ba să se calculeze în 5 suma ).4̂()3̂()2̂()1̂()0̂( fffff

c) Pentru ,2̂ ba să se rezolve în 5 ecuaţia .0̂)( xf

44. Se consideră polinoamele ][4̂3̂3̂3̂ 535 XZXXXf şi 3 2

5ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 2 3 [ ].g X X X X v20

a) Să se calculeze ).1̂()0̂( ff b) Să se rezolve în mulţimea 5 ecuaţia .0̂)( xf c) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g.

45. Se consideră mulţimea 22| , ,H a bX cX a b c şi polinoamele 2, [ ],f g X

1̂2 Xf şi .1̂ Xg a) Să se verifice că .2 fg b) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f + g la polinomul f. c) Să se determine numărul elementelor mulţimii H.

46. Se consideră inelul polinoamelor 3[ ].X

a) Pentru 23

ˆ ˆ[ ], ( 2) ( 1),g X g X X să se calculeze ).0̂(g

b) Dacă 33

ˆ[ ], 2 ,f X f X X să se arate că 3ˆ( ) 0, .f x x

c) Să se determine toate polinoamele 3[ ],h X care au gradul egal cu 3 şi pentru care

).2̂()1̂()0̂( hhh 47. Se consideră mulţimea 2

3[ ] | .M f X f x ax b

a) Să se calculeze )1̂(f pentru care .1̂ ba b) Să se determine 3,a b pentru care .1̂)1̂()0̂( ff c) Să se determine numărul elementelor mulţimii M.

48. Se consideră polinoamele 5, [ ],f g X 2̂3̂4̂3̂ 23 XXXf şi XXg 2̂2 .

a) Să se calculeze ).0̂()1̂( gf b) Să se verifice că 2̂2̂)3̂3̂( XgXf . c) Să se determine numărul rădăcinilor din 5 ale polinomului f.

49. Se consideră polinomul 6[ ],f X .4̂)1̂2̂(3 aXaXf vechiv93 a) Să se demonstreze că 3

6, .b b b

b) Să se determine 6 ,a ştiind că .0̂)2̂( f

c) Pentru 2̂a să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în 6[ ].X

50. Se consideră polinomul 6[ ],f X .4̂)1̂2̂(3 aXaXf v93 a) Să se demonstreze că 3

6, .b b b

14

b) Să se determine 6 ,a ştiind că .0̂)2̂( f

c) Pentru 2̂a să se rezolve ecuaţia 60 ,f x x .

47. Se consideră polinoamele 331̂ [ ]f X X X şi 3

ˆ ˆ2 1 [ ].g X X a) Să se arate că ),()( xgxf 3.x b) Să se determine rădăcinile polinomului f din 3. c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în 3[ ].X

Polinoame M1 48. Se consideră 7a şi polinomul 6

75̂ [ ].f X aX X V1

a) Să se verifice că pentru orice 7ˆ, 0,b b are loc relaţia .1̂6 b

b) Să se arate că 6 3 37

ˆ ˆ5̂ ( 4)( 4), .x x x x c) Să se demonstreze că pentru orice 7a , polinomul f este reductibil în 7[ ].X

49. Se consideră a , 1 2 3, ,x x x rădăcinile ecuaţiei 3 22 2 0X X X a şi

determinantul

1 2 3

2 3 1

3 1 2

.

x x x

x x x

x x x

V6

a) Pentru 1a ,să se determine 1 2,x x şi 3x . b) Să se arate că, pentru orice a , ecuaţia are o singură rădăcină reală. c) Să se arate că valoarea determinantului nu depinde de a.

50. Se consideră a şi ecuaţia 3 0x x a , cu rădăcinile complexe 1 2 3, , .x x x V8 a) Să se calculeze 1 2 3( 1)( 1)( 1).x x x b) Să se determine 2x şi 3x ştiind că 1 2.x c) Să se determine a pentru care 1 2 3, ,x x x sunt numere întregi.

51. Se consideră , ,a b c şi polinomul ,23 cbXaXXf cu rădăcinile 1 2 3, , ,x x x astfel încât .1||,1||,1|| 321 xxx V11 a) Să se demonstreze că .3|| a b) Să se arate că, dacă c <0, polinomul are cel puţin o rădăcină reală în intervalul

).;0( c) Să se arate că, dacă a=1, c = – 1, atunci b= – 1.

52. Se consideră funcţia 5 5: ,f .4̂)( 4 xxxf V12

a) Să se calculeze )0̂(f şi ).1̂(f b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă. c) Să se descompună polinomul 4

54̂ [ ]X X X în factori ireductibili peste 5.

15

53. Se consideră polinoamele , [ ]f g X , 2 1f x x , cu rădăcinile complexe 1 2,x x şi 2 , 0g ax bx c cu a . Fie matricile 3, ( )A V M ,

1 22 21 2

1 1 1

1

1

c b a

A a c b si V x x

b a c x x

. V12

a) Să se arate că 2 1det 3( )V x x .

b) Să se arate că 1 2

1 1 2 22 21 1 2 2

(1) ( ) ( )

(1) ( ) ( )

(1) ( ) ( )

g g x g x

A V g x g x x g x

g x g x x g x

.

c) Să se arate că det( ) 0A dacă şi numai dacă 0a b c sau a b c . 54. Se consideră numărul Cia 3 şi polinomul [ ],f X .164 24 XXf V14

a) Să se arate că .0)( af b) Să se determine rădăcinile polinomului f. c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în [ ].X

55. Se consideră polinomul [ ],f X ,55 24 XXf cu rădăcinile 1 2 3 4, , , .x x x x V15

a) Să se calculeze .1111

4321 xxxx

b) Să se arate că polinomul f are toate rădăcinile reale. c) Să se arate că, dacă g este un polinom cu coeficienţi reali care are proprietatea că

pentru orice x real |)(||)(| xfxg , atunci există ]1;1[a astfel încât .afg 56. Se consideră , ,a b c şi polinomul .23 cbXaXXf V16

a) Să se determine a, b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile 121 xx şi .23 x

b) Să se arate că, dacă f are rădăcina 2 atunci f are o rădăcină raţională. c) Să se arate că, dacă , , ,a b c iar numerele )0(f şi )1(f sunt impare, atunci

polinomul f nu are rădăcini întregi. 57. Se consideră polinoamele , [ ],f g X ,1234 XXXXf cu rădăcinile

1 2 3 4, , ,x x x x şi .12 Xg V17 a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g. b) Să se calculeze ).1()1()1()1( 4321 xxxx c) Să se calculeze ).()()()( 4321 xgxgxgxg

58. Se consideră ,a b şi polinomul ,204 23 bXaXXf cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x . V18 a) Să se determine 321 ,, xxx în cazul a=2, b=0. b) Să se demonstreze că ).154(8)()()( 22

322

312

21 axxxxxx c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină dublă egală cu – a.

59. Fie polinomul 4 3 22 2 1 [ ]f X X aX X X şi 1 2 3 4, , ,x x x x rădăcinile sale. V19

16

a) Să se calculeze .1111

4321 xxxx

b) Să se arate că 2

2 *1 1( ) 2 2 , .f x x x x a x

x x

c) Să se determine a pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale. 60. Se consideră şirul de numere real ( ) ,n na cu 00 a şi ,12

1 nn aa n şi polinomul [ ],f X cu 0)0( f şi cu proprietatea că ,1))(()1( 22 xfxf .x V22

a) Să se calculeze ).5(f b) Să se arate că n , .)( nn aaf c) Să se arate că f=X.

61. Se consideră 3Za şi polinomul 3 232̂ [ ].f X X a X V23

a) Să se calculeze ).2̂()1̂()0̂( fff b) Pentru ,2̂a să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f. c) Să se determine 3a pentru care polinomul f este ireductibil în 3[ ].X

62. Se consideră polinomul [ ],f X cu .45 24 XXf V24 a) Să se determine rădăcinile polinomului f. b) Să se determine polinomul [ ],h X pentru care 1)0( h şi care are ca rădăcini

inversele rădăcinilor polinomului f. c) Ştiind că g este un polinom cu coeficienţi întregi, astfel încât

,2)2()1()1()2( gggg să se arate că ecuaţia g(x)=0 nu are soluţii întregi. 63. Se consideră a şi polinomul 4 3 23 2 1 [ ].f X X X aX X V26

a) Să se calculeze 4321

1111

xxxx , unde 1 2 3 4, , ,x x x x sunt rădăcinile polinomului f.

b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la .)1( 2X c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale.

64. Se consideră polinomul [ ],f X 2010 2010( ) ( ) ,f X i X i care are forma algebrică 2010 2009

2010 2009 1 0... .f a X a X a X a V31 a) Să se calculeze 2010 2009.a a b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la .12 X c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.

65. Se consideră corpul 7 , , şi 27H x x . V33

a) Să se arate că 0,1, 2, 4H .

b) Să se arate că, pentru orice 7a există 7,x y astfel încât 2 2a x y .

c) Să se arate că 20007x x H .

17

66. Se consideră polinomul ,92 24 XXf cu rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x , numărul

ia 2 şi mulţimile ( ) | [ ]A g a g X şi ( ) | [ ], ( ) 3 .B h a h X grad h V36

a) Să se calculeze ).(af b) Să se calculeze .|||||||| 4321 xxxx c) Să se arate că A =B.

67. Se consideră polinomul [ ],f X ,23 rqXpXXf cu );0(,, rqp şi cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x . V37 a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul ).;0[ b) Să se calculeze 3

332

31 xxx în funcţie de p, q, r.

c) Să se demonstreze că, dacă a, b, c sunt trei numere reale astfel încât ,0 cba 0 cabcab şi 0abc atunci ).0;(,, cba

68. Se consideră polinomul ,4 cbXaXf cu , , .a b c V38 a) Să se arate că numărul )1()3( ff este număr par. b) Să se arate că, pentru orice , ,x y numărul )()( yfxf este divizibil cu x y . c) Să se determine coeficienţii polinomului f ştiind că , dacă (1) 4f şi 3.f b

69. Se consideră polinomul 3 1 [ ]f X X şi numărul \ , astfel încât .0)( f V40 a) Să se demonstreze că .012

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe sistemul .

0

0

0

2

2

zyx

zyx

zyx

c) Să se arate că, dacă f divide ),()()( 3232

31 XfXXXfXf unde 321 ,, fff sunt

polinome cu coeficienţi complecşi, atunci fiecare dintre polinoamele 321 ,, fff este divizibil cu .1X

70. Se consideră polinomul [ ],f X .124 23 baXXXf V42 a) Să se determine ,a b astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul .12 X b) Să se determine ,a b astfel încât ecuaţia 0)( xf să aibă soluţia .x i c) Să se determine ,a b astfel încât polinomul să aibă rădăcinile 321 ,, xxx în

progresie aritmetică şi, în plus, .1123

22

21 xxx

71. Se consideră ecuaţia 4 3 28 8 0 , ,x x ax x b a b şi cu soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x . V43 a) Să se arate că 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 3 1 4 8x x x x x x x x x x x x x x x x a .

b) Să se determine a astfel încât 1 4 2 3x x x x . c) Să se determine ,a b , astfel încât 1 2 3 4, , ,x x x x să fie în progresie aritmetică.

72. Se consideră polinomul 4 3 24 1 [ ]f X aX X X cu rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x . V44 a) Să se determine a astfel încât polinomul f să se dividă cu .1X

18

b) Să se arate că polinomul 4 24 1g X X aX are rădăcinile .1

.1

,1

,1

4321 xxxx

c) Să se arate că, pentru orice a polinomul f nu are toate rădăcinile reale. 73. Se consideră polinoamele , [ ],f g X ,23 aXaXf ,1223 XaaXg cu *a şi

1 2 3, ,x x x rădăcinile polinomului f. V47 a) Să se calculeze .2

322

21 xxx

b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f. c) Să se arate că polinoamele f şi g nu au rădăcini reale comune.

74. Se consideră şirul ( ) ,n nF ,00 F ,11 F ,11 nnn FFF 1n şi polinoamele , [ ],nP Q X ,12 XXP ,1 nn

nn FXFXQ .2n V54

a) Să se arate că polinomul 123 XX este divizibil cu P. b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului .3Q c) Să se arate că, pentru ,2n polinomul nQ este divizibil cu P.

75. Se consideră corpul 11, , V55

a) Să se arate că ecuaţia 2 8x nu are soluţii în 11 b) Să se determine numărul polinoamelor de grad doi din 11 X .

c) Să se arate că polinomul 2 1X X este ireductibil în 11 X

76. Fie mulțimile de clase de resturi 7 0,1, 2,3, 4,5,6 și 6 0,1, 2,3, 4,5 V57

a) Să se rezolve în corpul 7 , , ecuația 23 4 0x .

b) Să se determine ordinul elementului 3 în grupul *7 ,

c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri *6 7: , ,f cu 2 3f .

77. Se consideră un grup ,K , unde , , ,K e a b c , e este elementul neutru și 2 2 2a b c e V61

a) Să se rezolve în grupul K ecuația 3x e . b) Să se arate că ab c c) Să se arate că grupul ,K nu este izomorf cu grupul 4 , .

78. Se consideră polinoamele , [ ],f g X .1,1 64 XgXf V62 a) Să se arate că un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f şi g este .12 X b) Să se determine numărul soluţiilor complexe distincte ale ecuaţiei 0)()( xgxf c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în [ ].X

79. Se consideră polinoamele 3 22 3 45 [ ]f X X X X şi 32

ˆ 1̂ [ ].f X X X V63 a) Să se arate că rădăcinile din ale polinomului f nu sunt toate reale. b) Să se arate că polinomul f̂ nu are rădăcini în 2. c) Să se demonstreze că polinomul f nu poate fi scris ca produs de două polinoame

neconstante, cu coeficienţi întregi.

19

80. Se consideră polinomul 5 4 3 23 2 [ ].f X X X X X V64 a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f. b) Să se calculeze ,2

524

23

22

21 xxxxx unde 521 ,...,, xxx sunt rădăcinile polinomului f.

c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală. 81. Fie polinomul ,22 23 aXaXXf cu a şi cu rădăcinile complexe .,, 321 xxx V66

a) Să se calculeze 1f .

b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale. c) Să se determine a astfel încât .3|||||| 321 xxx

82. Se consideră ecuaţia 3 0 , ,x px q p q şi cu soluţiile 1 2 3, ,x x x . V68 a) Ştiind că 1 , 0p q să se determine 1 2 3, ,x x x . b) Să se determine ,p q ştiind că 1 1x i .

c) Să se arate că 27 7 7 3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 312 7x x x x x x x x x .

83. Pentru *n se defineşte polinomul 1 [ ].nnP X X V69

a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului .4P b) Să se descompună polinomul 3P în factori ireductibili în [ ].X c) Să se descompună polinomul 6P în factori ireductibili în [ ].X

84. Se consideră polinomul mXXp 3 cu m şi cu rădăcinile 1 2 3, , .x x x V72 a) Ştiind că m = – 6, să se determine .,, 321 xxx b) Să se calculeze 4

342

41 xxx .

c) Să se determine m pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi. 85. Se consideră ,a b şi polinomul ,23 bXaXXp cu rădăcinile 1 2 3, , .x x x V74

a) Ştiind că a=b=1, să se afle rădăcinile polinomului p. b) Să se afle a şi b, ştiind că polinomul p are rădăcina dublă 1. c) În cazul b=1, să se determine valorile lui a pentru care polinomul p are o rădăcină

raţională. 86. Se consideră polinomul ,134 aXaXXp cu a şi cu rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x . V75

a) Să se verifice că .1111

43214321 xxxx

xxxx

b) Să se arate că polinomul p nu este divizibil cu 12 X pentru nici o valoare a lui a.

c) Să se arate că, dacă ,2

1a atunci toate rădăcinile polinomului p au modulul 1.

87. Se consideră ,a b şi polinomul 3 2f X X aX b . V81 vechi a) Să se determine a şi b ştiind că 1 i este rădăcină a polinomului f . b) Să se determine a şi b ştiind că 1 2 este rădăcină a polinomului f . c) Să se determine a şi b ştiind că polinomul f are o rădăcină triplă.

88. Se consideră ,a b şi polinomul 2 .f X aX b a) Să se determine a şi b ştiind că 1 i este rădăcină a polinomului f.

20

b) Să se determine a şi b ştiind că 1 3 este rădăcină a polinomului f. c) Să se determine a şi b ştiind că polinomul f are o rădăcină dublă

89. Se consideră ,a b şi polinomul ,64 234 baXXXXf care are rădăcinile

1 2 3 4, , ,x x x x V85 a) Să se determine a şi b ştiind că f are rădăcina i. b) Să se calculeze .)1()1()1()1( 2

42

32

22

1 xxxx c) Să se determine valorile reale ale numerele a şi b ştiind că toate rădăcinile

polinomului f sunt reale. 90. Se consideră polinomul 4

ˆ ˆ2 1 [ ].f X X V86 a) Să se determine gradul polinomului .2f b) Să se arate că polinomul f este element inversabil al inelului 4( [ ], , ).X c) Să se determine toate polinoamele 4[ ]g X de gradul 3 astfel încât

3,f x g x x .

91. Se consideră corpul 3, , şi polinoamele 3 33, , , 2 2f g f X X g X X

V88 a) Să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f . b) Să se arate că polinomul g este ireductibil în 3 X .

c) Să se determine toate polinoamele 3h X de gradul 1 cu proprietatea că .1̂2 g

92. Fie polinomul 3 23 5 1 [ ]f X X X X şi 1 2 3, ,x x x rădăcinile sale. V89 a) Să se calculeze )1)(1)(1( 321 xxx . b) Să se arate că polinomul f nu are nici o rădăcină întreagă. c) Să se calculeze .2

231

233

221

223

212

21 xxxxxxxxxxxx

93. Fie , ,a b c şi polinomul 4 3 2 22 2 1 3f X a X a X bX c . V91

a) Să se determine , ,a b c ştiind că a b c , iar restul împărţirii lui f la 1X este 10. b) Ştiind că 1 2 3 4, , ,x x x x sunt rădăcinile lui f , să se calculeze 2 2 2 2

1 2 3 4x x x x . c) Să se determine , ,a b c şi rădăcinile lui f în cazul în care f are toate rădăcinile

reale. 94. Se consideră polinomul 4 3 26 18 30 25 [ ].f X X X X X V92

a) Să se arate că polinomul f se divide cu .522 XX b) Să se arate că polinomul f nu are nici o rădăcină reală. c) Să se arate că rădăcinile polinomului f au acelaşi modul.

95. Fie ,a b şi polinomul 30 20 10 53 3 [ ].f X X aX X aX b X V93 a) Să se arate că restul împărţirii polinomului f la 1X nu depinde de a. b) Să se determine a şi b astfel încât restul împărţirii polinomului f la XX 2 să fie X. c) Să se determine a şi b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu .)1( 2X

96. Fie [ ]f X un polinom astfel încât 1)(3)()13( 22 XfXfXXf şi .0)0( f V94

21

a) Să se determine f (– 1). b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X – 5. c) Să se demonstreze că f =X.

97. Fie , ,a b c şi polinomul 3 2 [ ]f X aX bX c X cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x . a) Să se determine a, b, c pentru care 21 x şi .12 ix V95 b) Să se arate că resturile împărţirii polinomului f la 2)1( X şi la 2)2( X nu pot fi

egale, pentru nici o valoare a parametrilor a, b, c. c) Să se arate că, dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale şi a, b, c sunt strict

pozitive, atunci 321 ,, xxx sunt strict pozitive. 98. Fie ,a b şi polinomul 4 3 26 13 [ ].f X X X aX b X V96

a) Să se calculeze suma pătratelor celor 4 rădăcini complexe ale polinomului f. b) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu ).3)(1( XX c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă două rădăcini duble.

99. Se consideră corpul 7 , , . V97

a) Să se rezolve în 7 ecuaţia 2 3x .

b) Să se arate că polinomul 272 4p X X nu are rădăcini în 7 .

c) Să se demonstreze că funcţia 7 7: , 2f f x x este un automorfism al

grupului 7 ,

100. Fie p şi polinomul 4 4 [ ].f X X p X V98 a) Să se determine p astfel încât polinomul f să fie divizibil cu .1X b) Să se determine p astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină reală dublă. c) Să se arate că, pentru orice p , polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

101. Se consideră mulţimea de numere complexe cos sinG q i q q V99

a) Să se arate că 1 3

2 2i G

b) Să se arate că G este partea stabilă a lui în raport cu înmulţirea numerelor complexe.

c) Să se arate că polinomul 6 1f X X are toate rădăcinile în G .

102. Fie ,Nn ,3n 0 1, ,..., na a a şi polinomul 011

1 ... aXaXaXaf nn

nn

. a) Să se arate că )1()1( ff este număr par. V100 b) Să se arate că, dacă )2(f şi )3(f sunt numere impare, atunci polinomul f nu are

nici o rădăcină întreagă. c) Să se arate că polinomul ,133 aXXg a , nu poate fi descompus în produs

de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi. 103. Fie ,Nn ,3n 0 1, ,..., na a a şi polinomul 01

11 ... aXaXaXaf n

nn

n .

a) Să se arate că )1()1( ff este număr par. V100 old

22

b) Să se arate că, dacă ( )f a , ( )f b şi a b sunt impare, atunci polinomul f nu are rădăcini întregi.

c) Să se arate că polinomul ,133 aXXg a , nu poate fi descompus în produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.

104. Se consideră polinomul 4 3 22 3 [ ],f X aX X bX c X cu rădăcinile

1 2 3 4, , , .x x x x V9 old a) Să se afle rădăcinile polinomului f ştiind că 0 , – 5a b c . b) Să se verifice că

).16(4

3)()()()()()( 22

432

422

322

412

312

21 axxxxxxxxxxxx

c) Pentru 4a , să se determine ,b c astfel încât polinomul f să aibă toate rădăcinile reale.

105. Se consideră ,a b şi polinomul .23 baXXXf a) Să se determine a şi b ştiind că 1+i este rădăcină a polinomului f. b) Să se determine a şi b ştiind că 21 este rădăcină a polinomului f. c) Să se determine a şi b ştiind că polinomul f are o rădăcină triplă.

106. Pentru fiecare *n considerăm polinomul ].[142 23 XCXXXf nn

a) Să se arate că 1f nu este divizibil cu polinomul .2 Xg b) Să se determine suma coeficienţilor câtului împărţirii polinomului 3f la .1X c) Să se arate că restul împărţirii polinomului nf la polinomul 12 XXh nu

depinde de n. 107. Se consideră polinomul ,4 cbXaXf cu , , .a b c V38 old

a) Să se arate că numărul )1()3( ff este număr par. b) Să se arate că, pentru orice , ,x y numărul )()( yfxf este divizibil cu x y . c) Să se demonstreze că, dacă 4)1(,0 fa şi f(4)=1, atunci .67|)2(| f

108. Pentru *n se defineşte polinomul 1 [ ].nnP X X V69 old

a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului 3.P b) Să se descompună polinomul 4P în factori ireductibili în [ ].X c) Să se descompună polinomul 12P în factori ireductibili în [ ].X

109. Fie polinomul 1 21 ... 2 n nf nX n X X X , unde n şi 2n .

Bac1_2010 olimp a) Calculaţi suma coeficienţilor polinomului f. b) Pentru 4n , determinaţi restul împărţirii polinomului f la polinomul 2 1 g X . c) Demonstraţi că dacă n este număr par, atunci restul împărţirii polinomului f la

polinomul 2 1 g X este egal cu 2 2

4 4

n nnX .

23

110. Fie ,m n și polinomul 3 23f X X mX n , care are rădăcinile

1 2 3, ,x x x . Bac1_2010 v10 a) Determinați valorile ,m n pentru care 1 2x i . b) Determinați valorile ,m n pentru care restul împărţirii polinomului f la

polinomul 21X este egal cu 0.

c) Arătați că dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale și 0 , 0m n atunci rădăcinile 1 2 3, ,x x x sunt strict pozitive.

111. Se consideră şi polinomul 3 21 2 2f X X iX i X .

Bac1_2011_ V5_ v a) Arătaţi că polinomul f are rădăcina 1 b) Arătaţi că, dacă ,p q sunt numere complexe şi polinomul 2g X pX q X are

două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci p şi q sunt numere reale şi 2 4p q .

c) Determinaţi pentru care polinomul f are două rădăcini distincte, complex conjugate.

112. Se consideră m şi polinomul 3 22 2 4 2 2f X m X m iX m m i X .

a) Arătaţi că polinomul f are rădăcina 2 b) Arătaţi că, dacă ,a b sunt numere complexe şi polinomul 2g X aX b X

are două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci a şi b sunt numere reale şi 2 4a b .

c) Determinaţi m pentru care polinomul f are două rădăcini distincte, complex conjugate.

113. Se consideră polinomul [ ],f X 10 10( ) ( ) ,f X i X i care are forma algebrică 10 9

10 9 1 0...f a X a X a X a unde 0 1 10, ,...,a a a Bac1_2011_ V2_ t a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la .X i b) Arătaţi că toţi coeficienţi polinomului f sunt numere reale. c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.

114. Se notează cu 1 2 3, ,x x x rădăcinile din ale polinomului 3f X X m unde m este număr real . Model_2013 a) Determinați m astfel încât restul împărțirii polinomului f X la 1X să fie egal

cu 8 . b) Arătați că numărul 2 2 2

1 2 3x x x este întreg pentru orice număr real m . c) În cazul 2m determinați patru numere întregi , , ,a b c d cu 0a astfel încât

polinomul 3 2g aX bX cX d să aibă rădăcinile 1 2 3

1 1 1, ,

x x x .

24

115. Se consideră şirul ( ) ,n nF ,00 F ,11 F ,11 nnn FFF 1n şi polinoamele , [ ],nP Q X ,12 XXP ,1 nn

nn FXFXQ .2n Simulare 2013

a) Să se arate că polinomul 123 XX este divizibil cu P. b) Să se determine rădăcinile iraționale ale polinomului .3Q c) Să se arate că, pentru ,2n polinomul nQ este divizibil cu P.

116. Pentru fiecare *n considerăm polinomul 3 22 4 1nnf X X X X

Simulare 2013 a) Să se arate că polinomul 1f nu este divizibil cu polinomul 2g X . b) Să se determine suma coeficienților câtului împărțirii polinomul 3f la 1X c) Să se arate că restul împărțirii polinomul nf la 2 1X X nu depinde de n .

117. Se consideră 1 2 3, ,x x x rădăcinile complexe ale polinomului 3 24 3f X X X m

unde m este număr real . Bac1_2013_ V2_ v a) Pentru 4m , arătați că 4 8f .

b) Determinați numărul real m pentru care rădăcinile polinomului f verifică relația

1 2 3x x x .

c) Dacă 3 3 31 2 3 1 2 37x x x x x x , arătați că f se divide cu 3X .

118. Se consideră polinomului 3 2 3 1f X mX X unde m este număr real . Bac1_2013_ V a) Calculați 2 2f f

b) Determinați restul împărțirii lui f la 2X știind că restul împărțirii polinomului f la 2X este egal cu 9 .

c) Determinați numărele reale m pentru care 3 3 31 2 3 3x x x , unde 1 2 3, ,x x x sunt

rădăcinile polinomului f . d)