inele de polinoame proprietati algebrice.docx

167
Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar INTRODUCERE Matematica contribuie esential la educarea memoriei, atentiei, vointei, imaginatiei, la amplificarea setei de cunoastere si are un rol important in educatia estetica a celor ce o studiaza. Algebra este una dintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunoscand in timp o dezvoltare foarte accentuate. Problematica de care se ocupa a devenit mai vasta si mai variata. Tema acestei lucrari metodico-stiintifice este “Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitarIntre teoremele aritmeticii numerelor intregi si unele teoreme ale aritmeticii polinoamelor exista o mare asemanare. Predarea lor prin analogie duce la o intelegere mai profunda a notiunilor. Aritmetica are rol formativ foarte important, dar a fost diminuata prin reforma actuala. Dupa programele actuale se mai predau doar cateva notiuni de aritmetica numerelor naturale prin gimnaziu , mai precis in clasa a VI-a. Pana in clasa a XII-a (cand ar trebui facuta analogia intre aritmetica numerelor intregi si aritmetica polinoamelor), aceste notiuni nu sunt diversificate sau amplificate . In clasele de gimnaziu trebuie predate cunostinte ce inlesnesc formarea unei structuri cognitive operationale si a unei baze acceptabile de modelare intuitiva . Datorita dificultatilor interioare ale aritmeticii asimilare ei nu se poate face direct la nivelul de rigoare dorit si atunci sunt necesare “spirale” successive pana la sfarsitul clasei a XII-a. Predarea notiunilor se va face intr-o forma succesibila elevilor de liceu apoi se vor da exemple si de alte multimi de numere pentru care se pot da teoreme de impartire cu rest care sa ne permita sa construim si pentru ele o anumita 1

Upload: iulianaiulia

Post on 18-Dec-2015

409 views

Category:

Documents


42 download

TRANSCRIPT

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitarINTRODUCERE

Matematica contribuie esential la educarea memoriei, atentiei, vointei, imaginatiei, la amplificarea setei de cunoastere si are un rol important in educatia estetica a celor ce o studiaza. Algebra este una dintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunoscand in timp o dezvoltare foarte accentuate. Problematica de care se ocupa a devenit mai vasta si mai variata.Tema acestei lucrari metodico-stiintifice este Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitarIntre teoremele aritmeticii numerelor intregi si unele teoreme ale aritmeticii polinoamelor exista o mare asemanare. Predarea lor prin analogie duce la o intelegere mai profunda a notiunilor.Aritmetica are rol formativ foarte important, dar a fost diminuata prin reforma actuala. Dupa programele actuale se mai predau doar cateva notiuni de aritmetica numerelor naturale prin gimnaziu , mai precis in clasa a VI-a. Pana in clasa a XII-a (cand ar trebui facuta analogia intre aritmetica numerelor intregi si aritmetica polinoamelor), aceste notiuni nu sunt diversificate sau amplificate . In clasele de gimnaziu trebuie predate cunostinte ce inlesnesc formarea unei structuri cognitive operationale si a unei baze acceptabile de modelare intuitiva . Datorita dificultatilor interioare ale aritmeticii asimilare ei nu se poate face direct la nivelul de rigoare dorit si atunci sunt necesare spirale successive pana la sfarsitul clasei a XII-a. Predarea notiunilor se va face intr-o forma succesibila elevilor de liceu apoi se vor da exemple si de alte multimi de numere pentru care se pot da teoreme de impartire cu rest care sa ne permita sa construim si pentru ele o anumita aritmetica. In cadrul acestei lucrari se va arata ca aritmetica numerelor intregi , aritmetica polinoamelor cat si alte aritmetici se pot trata in cadrul invatamantului preuniversitar intr-un mod unitar. Aceasta va genera performante superioare . Un plus de rigoare in scoala determina un plus accentuat in facultate. Lucrarea de fata este structurata pe sase capitole . Primul capitol are ca scop introducerea notinii de inel, a notiunilor de morfisme si izomorfisme de inele, corpuri, subcorpuri , extinderi de corpuri si proprietatile lor. In capitolul al II-lea se prezinta proprietatile aritmetice ale inelelor , urmarindu-se prezentarea unor rezultate utile in teoria algebrica a numerelor . In capitolulal III-lea sunt prezentate inelele de polinoame , modul de constructive al lor, polinoamele de o nedeterminata . In capitolul IV sunt ilustrate proprietatile radacinilor uni polinom, derivate unui polinom, teoria fundamental a algebrei si ecuatiile algebrice. Ultimul capitol cuprinde metode legate depredarea matematicii in general si a polinoamelor in particular . Mai intai sunt trecute in revista principiile didacticii adaptate la matematica, apoi metodele. Se evidentiaza aplicatii metodice, parcurgandu-se cu ajutorul exemplelor , al problemelor, notiunile studiate anterior .Tipurile de exercitii si metodele de rezolvare propuse in acesta lucrare vor adduce cu siguranta o imbunatatire a rezultatelor obtinute de elevi. Problemele sunt deosebit de utile din punct de vedere metodologic, findca determina folosirea de strategii variate si rationamente fine prin cerinte de ordin calitativ. Ele au grade de dificultate variata si deschid noi orizonturi in vederea insusirii matematicii, in particular a inelelor de polinoame, in invatamantul preuniversitar . Paragraful VI.5 evidentiaza etapele in care au fost parcurse in cercetarea realizata . Lucrarea urmareste ca elevii sa capete o deschidere cat mai larga spre studiul sistematic al polinoamelor si ecuatiilor algebrice iar prin aceasta sa le inlesneasca trecera catre studiul unei problematici de nivel mai inalt.

CAPITOLUL I

INELE

I.1 INEL.NOTIUNI INTRODUCTIVE

Multimea Z a numerelor intregi inzestrata cu operatiile de adunare si inmultire a servit ca baza a aritmeticii si algebrei in care, prin preluarea diferitelor proprietati al acestei multimi, s-au construit noi structuri.

Definitia I.1.1 Fie M o multime nevida. O aplicatie :MxMM, (x,y)xy se numeste lege de compozitie interna (pe scurt o lege de compozitie) pe multimea M.

Definita I1.2 Fie o lege de compozitie pe multimea nevida M. Atunci:1) Legea de compozitie este asociativa daca (xy)z=x(yz), pentru oricare x, y, zM2) Legea de compozitie este comutativa daca xy=yx, pentru oricare x, yM3) Legea de compozitie admite element neutru daca exista eM astfel incat xe=ex=x, pentru oricare xM4) Daca legea de compozitie pe multimea M admite elemental neutru e, atunci un element xM se numeste simetrizabil in raport cu , daca exista M, astfel incat x*.Elementul se numeste simetricul elementului x.

Observatia I.1.1 In notatie aditiva, elementul neutru se noteaza cu 0 si se mai numeste elementul nul. In notatie multiplicativa , elementul neutru se noteaza cu 1 si se mai numeste elementul unitate. Daca o lege de compozitie admite un element neutru, acesta este unic determinat. Daca o lege de compozitie este asociativa si cu element, atunci simetricul unui element simetrizabil este unic.

Definitia I.1.3 Fie M o multime pe care este definite o lege de compozitie . O submultime H include M se numeste parte stabile a lui M in raport cu operatia , daca oricare x, yH rezulta xyH. Daca H este o parte stabile a lui M, restrictia operatiei la multimea H se numeste lege de compozitie indusa de pe H. Definitia I.1.4 Fie M o multime, M diferit de si o lege de compozitie pe M. Atunci (M,) se numeste semigrup daca legea de compozitie este asociativa. Daca in plus legea de compozitie este comutativa atunci (M,) se numeste semigrup comutativ.

Definitia I.1.5 Fie M o multime, M diferit de si o lege de compozitie pe M. Atunci (M, ) se numeste monoid daca legea de compozitie satisfice axiomele:1) este asociativa;2) admite element neutru; Daca legea de compozitie satisfice si axioma:3)legea este comutativa, atunci monoidul (M,) se numeste monoid comutativ.

Definitia I.1.6 Fie G o multime nevida si o lege de compozitie pe G. Atunci (G,) se numeste grup daca sunt satisfacute axiomele :1) este asociativa;2) admite element neutru;3)orice element din G este simetrizabil fata de operatia .Daca in plus este satisfacuta axioma:4) este comutativa, spunem ca (G,) este grup comutativ (sau grup abelian).

Definitia I.1.7 Se numeste inel o multime nevida A inzestrata cu doua legi de compozitie notate de obicei aditiv si multiplicativ care satisfice urmatoarele conditii : +:AxAA, (x,y)x+y :AxAA, (x,y)xy1. A are o structura de grup abelian in raport cu legea aditiva;2. A are o structura de semigrup in raport cu legea multiplicativa;3. Legea multiplicativa este distributiva in raport cu legea aditiva, adica x, y, zA x (y+z)=xy+xz; (x+y)z=xz+yz

Observatia I.1.2 Elementul neutru al grupului abelian al unui inel A se noteaza de obicei cu 0 si se numeste elemental zero al inelului; iar opusul fata de adunare al unui element oarecare aA se noteaza deobicei cu a. Daca in plus operatia multiplicativa are element unitate, atunci inelul se numeste inel unitar (sau inel cu unitate). Elementul sau unitate, atunci cand nu exista pericolul unei confuzii, se noteaza cu 1 si se numeste element unitate al inelului.

Definitia I.1.8 Daca A este un inel unitar, atunci elementele lui A care sunt simetrizabile in raport cu operatia multiplicativa se numesc elemente inversbile sau unitati ale inelului A. Inversul (sau simetricul) lui a se noteaza cu .Multimea elementelor inversabile ale inelului A se noteaza cu U(A). U(A) are o structura de grup in raport cu operatia multiplicative. Acest grup, (U(A),) se numeste grup multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului A. Elementul unitate 1, are rol de element neutru pentru grupul (U(a),). Exemple:1) (Z,+,). Multimea numerelor intregi cu operatiile de adunare si inmultire obisnuite, este inel comutativ si unitar.2) Tot inele comutative si unitare sunt si (Q,+,), (R,+,), (C,+,) in raport cu adunarea si inmultirea obisnuite.3) Daca nZ, atunci multimea nZ={nk|kZ} este inel comutativ fata de adunarea si inmultirea obisnuita a numerelor intregi .4) Multimea Zn={} a claselor de resturi modulo nN, n 2, in raport cu adunarea si inmultirea claselor: , , formeaza un inel comutativ si unitar, numit inelul claselor de resturi modulo n.5) Multimea Z[i]={xC|x=a+bi|a,bZ}, in raport cu operatiile de adunare si de inmultire a numerelor complexe formeaza un inel numit inelul intregilor lui Gauss.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, oricare a+bi, c+di Z[i], acestea fiind operatiile induse pe Z[i] de adunarea si inmultirea numerelor complexe.6) Un interes aparte prin aplicatiile pe care la are in domeniul tehnicii il prezinta inelul (,)

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecinte care de obicei sunt numite reguli de calcul intr-un inel.

Propozitia I.1.1 Daca (A,+,) este un inel atunci:1. a0=0a=0, aA;2. (-a) (-b)=ab, a,b A;3. a (b-c)=ab-ac si (a-b)c=ac-bc, a,b,c A;4. a ()=, ()b= , unde nN, iar a, b,,, , A. In particular: a (nb)=n (ab)=(na)b;5. (, fi n, m N, , 6. Daca A este inel comutativ iar a,b sunt elemente din A si natunci are loc formula binomului lui Newton: (a+b

Demonstratie: Din relatia 0+0=0 obtinem, inmultind cu a la stanga , ca a(0+0)=a0a0=a0 si adunand in ambii membri (a0), obtinem a0=0. Analog , se demonstreaza relatia 0a=0.1. Din relatia b+(-b)=0 rezulta inmultind ca a la stanga: a (b+(-b))=a0ab+a (-b)=a0, deci a (-b)=-(ab). Analog , se arata ca (-a)b=-(ab)a (-b)=(-a)b.Daca in relatia (-a)b=-(ab) inlocuind pe b cu b obtinem tinand seama de faptul ca (-a)=a, oricare ar fi aA:(-a) (-b)=-(a (-b))=-(-(ab))=ab.2. Avem :a (b-c)=a (b+(-c))=ab+a (-c)=ab+(-(ac))=ab-ac.3. Demonstram afirmatia prin inductie dupa nN.Pentru n=0: a0=0 adevarata conform cu 1.Presupunem propozitia din enunt adevarata pentru n si o vom demonstra pentru n+1.a()=a4. Vom demonstra prin inductie dupa mN.Pentru m=0( adevarata.Presupunem propozitia adevarata pentru m. Avem:(.5. Daca A este un inel comutativ, vom demonstra formula binomului lui Newton prin inductie.Pentru n=1(a+b adevarata.Presupunem relatia adevarata pentru k si o vom demonstra pentru k+1.Stim ca (a+b(a+b+Deoarece: obtinem(a+bDeci formula este adevarata pentru k+1.

Propozitia I.1.2 Daca in inelul unitar A avem 1=0, atunci A este inelul nul.

Demonstratie: Intr-adevar, pentru orice aA avem a=1a=0a=0 si deci a=0. Astfel conditia 1=0 este necesara si suficienta ca un inel sa fie nul. Deci un inel A cu cel putin doua elemente 10.

Definitia I.1.9 Daca (A,+,) este un inel, atunci elemental aA se numeste divizor la stanga (la dreapta) al lui zero daca exista bA, b0 astfel incat ab=0 (respectiv ba=0). Daca inelul A este comutativ, atunci notiunile de divizor la stanga (respectiv la dreapta) al lui zero coincid.Daca elemental aA nu este divizor la stanga sau la dreapta al lui zero si b,c A, atunci din ab=ac rezulta b=c.(ab=aca(b-c)=0b-c=0b=c)

Definitia I.1.10 Un inel A nenul, comutativ, unitar si fara divizori ai lui zero, diferiti de zero, se numeste domeniu de integritate(sau inel integru)

Observatie I.1.3 Intr-un domeniu de intergitate, ambii membri ai unei egalitati pot fi simplificati prin acelasi element nenul. Exemple:1) (Z,+,), (Q,+,), (R,+,), (C,+,) sunt inele integre;2) Multimea (Z[i],+,) este un domeniu de integritate. Elementele inversabile ale acestui inel sunt:+1,-1,+i,-i;3) Fie doua inele A, B in care operatiile sunt notate cu + si . Produsul cartezian AB se poate inzestra natural cu o structura de inel astfel:(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)*(c,d)=(ac,bd),oricare ar fi aAsi bB.Inelul obtinut se numeste produsul direct al inelelor A si B. Perechea ( este elemental neutru in raport cu operatia de adunare in inelul AB. Daca aA si bB atunci elementele de forma (a, si (, b) sunt divizori ai lui zero in inelul AB. Intr-adevar (a,) (Conform definitiei legii multiplicative si a regulilor de calcul intr-un inel, daca A si B sunt inele unitare, atunci, AB este un inel unitar, elementul sau unitate fiind ( Daca AB sunt inele commutative, atunci si produsul direct AB este inel comutativ. Deoarece in inelul produs direct AB exista intotdeauna divizori ai lui zero (pentru A, B inele nenule) observam ca produsul direct a doua inele integre nu este un inel integru.

Propozitia I.1.3 Daca inelul unitar A este diferit de inelul nul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor comun al lui zero.Demonstratie: Presupunem prin absurd ca aA este inversabil si ca este divizor al lui zero la stanga. Atunci exista bA, b0 astfel incat contradictie.

I.2 MORFISME SI IZOMORFISME DE INELE

Definitia I.2.1 Fiind date doua inele A si B (A,+,),(B,) , atunci o functie :AB se numeste morfism (sau omorfism) de la inelul A la inelul B daca satisfice urmatoarele identitati:1) (a+b)= (a) (b)2) (ab)= (a) (b), oricare ar fi a,bAAcolo unde nu exista pericolul unei confuzii, operatiile multiplicative si aditive pe inelele A si B se pot nota la fel.

Definitia I.2.2 Un morfism de inele unitare f:AB care satisface conditia f( se numeste morfism unitar de inele.Obsevatia I.2.1 Daca A si B sunt inele unitare si f:AB este un morfism de inele, iar f este o functie surjectiva, atunci f este morfism surjectiv. Justificare: Fie A si B inele unitare si f:AB morfism surjectiv de inele. Atunci: oricare ar fi bB, exista aA astfel incat f(a)=b.Deoarece a1=1a=a si f este morfism de inele rezulta ca f(a)=f(a1)=f(a)f(1)=bf(1)=b, si f(a)=f(1a)=f(1)f(a)=f(1)b=b.Deci bf(1)=f(1)b=b. Din unicitatea elementului unitate intr-un inel rezulta ca f(1)=1.

Observatia I.2.2 Daca A este un inel, atunci aplicatia identica a lui A, notate , este un morfism al inelului A.

Observatia I.2.3 Daca f:AB si g:BC sunt morfisme de inele, atunci gf:AC este de asemenea un morfism de inele.Justificare: Intr-adevar oricare ar fi a,bA avem: (gf)(a+b)= g(f(a+b)= g(f(a)+f(b)=g(f(a)+g(f(b))=(gf)(a)+(gf)(b) si analog : (gf)(ab)=(gf)(a)(gf)(b).

Definitia I.2.3 Daca :AB este un morfism de inele, atunci multimea Ker={aA|(a)=0} se numeste nucleul morfismului .

Definitia I.2.4 Un morfism de inele se numeste morfism injectiv daca functia care il defineste este injectiva.Observatia I.2.4 Un morfism de inele :AB se numeste morfism surjectiv daca functia este surjectiva.

Definitia I.2.5 Morfismul de inele :AB se numeste izomorfism de inele daca si numai daca exista un morfism de inele :BA astfel incat = si =.

Observatia I.2.5 Un morfism de inele este izomorfism daca si numai daca este un morfism bijectiv de inele.Justificare Intr-adevar un izomorfism de inele :AB este bijectiv. Fie :AB morfism bijectiv de inele . Sa demonstram ca functia inversa este de semenea un morfism de inele.Fie . Atunci ((

(Deoarece e bijectiva, deci si injectiva

Definitia I.2.6 Un morfism de inele de la A la A se numeste endomorfism al inelului A.Exemple:1) Daca A si B sunt inele, atunci aplicatiile canonice:

sunt morfisme de inele. Aplcatiile si sunt morfisme surjective unitare daca inelele A si B sunt unitare , in timp ce si nu sunt morfisme unitare pentru A si B inele unitare nenule; ele sunt insa injective.2) Fie inelele unitare Z si Q. Functia i:ZQ, definite prin i(n)=n, este un morfism injectiv de inele.3) Daca n>0 este un numar natural, atunci functia p:Z definite prin p(a)=, oricare ar fi aZ este un morfism surjectiv de inele.Intr-adevar daca a, bZ atunci : p(a+b)= si p(ab)= iar din definitie rezulta ca p este un morfism surjectiv.

I.3 SUBINEL

Definitia I.3.1 O submultime nevida S, a inelului A se numeste subinel al inelului A daca operatiile din A induc pe S o structura de inel.

Propozitia I.3.1 Fie A un inel si S A o submultime nevida a sa. Atunci S este un subinel al lui A daca si numai daca:1)oricare ar fi x, ySx-yS2)oricare ar fi x, ySxySDaca inelul A este unitar si elementul unitate apartine subinelului S, spunem ca S este subinel unitar.Demonstratie: Fie S A, S, S subinel(S,+) este subgrup al grupului (A,+), deci oricare ar fi x,ySx-yS. De asemenea S este o parte stabile a lui A in raport cu operatia multiplicativa.Deci oricare ar fi x, ySxyS. Din conditia 1)(S,+) este un subgrup al grupului (A,+), iar din conditia 2)S este parte stabila in raport cu operatia muliplicativa din A. Distributivitatea operatiei multiplicative in raport cu operatia aditiva pentru elementele din S rezulta din faptul ca aceasta proprietate o au toate elementele din A, deci in particular, si cele din S A.

Exemple:1) Daca A este un inel, atunci A si {0} sunt subinele ale sale. (0 este elementul nul al inelului A). Acestea se numesc subinele improprii ale inelului A.2) Z Q R sunt subinele unul celuilalt, in ordinea incluziunilor.3) Fie nZ. Atunci multimea nZ={nk|kZ} subinel al inelului Z.

Propozitia I.3.2 Daca { este o familie cel mult numarabila de subinele ale inelului A, atunci este un subinel al lui A.Demonstratie:Notam S=deoarece 0S. Daca a,bS, atunci a,b. Deci oricare ar fi iI, a si b, iar fiind subinele a-b si ab, oricare ar fi iIa-bS si abS, deci S este subinel al inelului A.

Propozitia I.3.3 Fie f: A un morfism de inele. Atunci :a) Daca S este un subinel al lui A, atunci f(S) este subinel al lui . In particular, Imf=f(A) este subinel al inelului A.b) Daca este un subinel al lui , atunci ( este un subinel al lui A care include multimea Ker f={aA|f(a)=0};c) Fie (A, Ker f) multimea subinelelor lui A care include Ker f si ( multimea subinelelor lui Daca f este morfism surjectiv, atunci aplicatia F:(A,Ker f)( definita prin F(S)=f(S), S A este o bijectie care pastreaza incluziunea.Demonstratie:a) Daca f(S), atunci exista S astfel incat si ; si =f(Deoarece S este subinel al lui A si . Deci si este subinel al lui b) Fie deci f(Deoarece este subinel al lui , f(=f( si f(), adica si . Din b) deducem , in particular ca este subinel al lui A.c) Sa definim G: (, punand G( Este suficient sa demonstram egalitatile:FG=1 si GF=1.Fie G)( deoarece f este surjectiv.Fie S(A,Ker f). (GF)(S)=Fie x(S)). Rezulta ca f(x)f(S) si deci exista zS astfel incat f(x)=f(z) sau f(x-z)=0 si x-z=aKer f S.Atunci x=a+zS si am demonstrate incluziunea si faptul ca GF=1

I.4 CORPURI. SUBCORPURI. EXTINDERI DE CORPURI.

Definitia I.4.1 Un inel A unitar care contine cel putin doua elemente se numeste corp daca orice element nenul din A este inversabil fata de operatia de inmultire din A.

In aceasta definitie cerinta ca inelul sa fie unitar, adica inelul A sa aiba element unitate fata de inmultire, este necesara pentru a exista elemente inversabile, iar cerinta ca inelul sa contina cel putin doua elemente este echivalenta cu faptul ca A este diferit de inelul nul sau 1 0. Prin urmare, se exclude, prin definitie, ca inelul nul, adica format dintr-un singur element(= elemental nul) sa fie corp. Acest fapt este o conventie general acceptata. Din propozitia I.1.3 stim ca in orice inel nenul un divizor al lui zero nu este inversabil. De aici rezulte ca un corp nu are divizori ai lui zero diferiti de zero. Elementele nenule dintr-un corp formeaza grup fata de operatia de inmultire, cum de altfel formeaza grup elementele inversabile din orice inel. Un corp se numeste corp comutativ daca inmultirea este operatie comutativa. Exemple: Multimea numerelor rationale Q, multime numerelor reale R si multimea numerelor complexe C cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire formeaza corpuri. Pentru p numar intreg prim inelul al claselor de resturi modulo p este corp. Pentru d intreg liber de patrate, Q[ formeaza corp de numere patratice. Toate exemplele de corpuri de mai sus sunt grupuri comutative. Deoarece orice corp este inel, toate proprietatile inelelor raman valabile in cazul corpurilor. Definitia I.4.2 Se numeste subcorp k al unui corp K, o submultime a lui K, notata k K, ce contine cel putin doua elemente si are proprietatea ca operatiile de adunare si inmultire din K induc pe submultimea k o structura de corp. Aceasta inseamna ca submultime k in raport cu adunarea este subgrup al grupului (K,+) ceea ce este echivalent cu:a) oricare ar fi x, yk x-yk, apoi ca elementele din k\{0} ( observam ca deoarece k este subgrup al grupului aditiv al lui K, rezulta ca 0k) formeaza subgrup al grupului elementelor nenule din K, ceea ce revine la:b) oricare ar fi x, yk, x0 xPrin urmare, putem spune ca un subcorp al corpului K este o submultime k care contine cel putin doua elemente si care verifica conditiile a)si b) de mai sus. Mai observam ca in conditia b) se poate omite cererea ca x0 , deoarece pentru x=0 se obtine xk. Din definitia subcorpului rezulta ca orice subcorp contine elementul nul si elementul unitate al corpului .Exemple: Fie K un corp. Atunci K este evident un subcorp al lui K. In corpul numerelor complexe C, corpul numerelor reale R si corpul numerelor rationale Q sunt subcorpuri . De asemenea Q este subcorp al lui R; Q(i) este subcorp al luixC. si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele.

Observatia I.4.1 Sa observam ca daca submultimea kK este subcorp al corpului K si la randul sau, K este subcorp al corpului L, atunci rezulta ca submultimea k este subcorp al corpului L. Prin urmare subcorpurile poseda o proprietate de tranzitivitate.

Definitia I.4.3 O intersectie de subcorpuri ale unui corp este un subcorp.Demonstratie : Fie K un corp si , iI o multime arbitrara de subcorpuri ale lui K. Atunci k= contine cel putin elementele 0 si 1 din K. Sa verificam conditiile a) si b) pentru k. Fie x, yk. Atunci rezulta ca x,y, oricare ar fi iI .Deci x-y si daca y0 , x, oricare ar fi iI, deoarece este subcorp al lui K. De aici deduce ca x-y=k si daca y0, x

Definitia I.4.4 Fie k K o extindere de corpuri si M o submultime a lui K. Intersectia subcorpurilor lui K ce contin subcorpul k si submultimea M se noteaza cu k(M) si este un subcorp al lui K, conform propozitiei precedente . Corpul k(M) se numeste subcorpul lui K generat de M peste subcorpul k. Exemple: Daca consideram extinderea decorpuri Q C si subcorpul lui C generat de iC peste Q se obtine corpul Q(i) carea este format din toate elementele de forma x=a+bi, a,bQ. Intr-adevar, elementele de forma indicate formeaza un subcorp al lui C. Pe de alta parte , orice subcorp al lui C care contine pe i si pe Q contine toate elementele de forma a+bi cu a, bQ. In mod analg subcorpul R generat peste Q de se noteaza cu Q() si este format de elementele de forma a+b, a,bQ. Observam ca si subcorpul generat de peste Q in C coincide tot cu Q(). Acest fapt exprima o anumita independenta a corpului k(M) fata de corpul K.

Definitia I.4.5 Un corp care nu are alte subcorpuri in afara de al insusi se numeste corp prim.Exemple :, p prim si Q sunt corpuri prime .

Observatia I.4.2 Orice corp prim este izomorf sau cu corpul Q al numerelor rationale sau cu un anumit corp , p prim. Definitia I.4.6 Un corp comutativ K ce contine un subcorp prim izomorf cu Q se spune ca este corp de caracteristica zero si scriem carK=0 . Daca subcorpul prim al lui K este izomorf cu , p prim , atunci corpul K este de caracteristica p si scriem carK=p. Exemple 1) Corpurile Q, R au caracteristica zero. 2) Daca p este un numar prim , si orice alta extindere a sa au caracteristica p.

CAPITOLUL II

INELE INTEGRE.PROPRIETATI ARITMETICE

II.1 DIVIZIBILITATEA IN INELE INTEGRE

Teoria divizibilitatii intr-un inel integru constituie o generalizare naturala a teoriei divizibilitatii din inelul Z al numerelor intregi . Din punctul de vedere al divizibilitatii vom vedea ca inelul Z se incadreaza intr-o clasa speciala de inele integre, si anume in clasa inelelor integre in care se poate efectua o impartire cu rest. Aceste inele se numesc inele euclidiene. In ceea ce urmeaza vom nota cu A un inel comutativ care este domeniu de integritate. Cu U(A) notam multimea elementelor inversabile din A, iar cu A*=A/{0}.

Definitia II.1.1 Fie A un inel integru.Relatia binara| definite in A astfel: x|y zA astfel incat y=xz, se numeste relatia de divizibilitate in A. Daca x|y se spune ca x divide pe y sau ca y este un multiplu de x.

Definitia II.1.2 Relatia binara ~ este definite in A astfel: x~yx|y si y|x se numeste relatia de asociere in divizibilitate, iar daca x~y spunem ca x si y sunt asociate.

Teorema II.1.1 :1) Relatia de divizibilitate este o relatie de preordine, adica este reflexive (a|a, oricare ar fi aA) si tranzitiva ( oricare ar fi a,b,c astfel incat a|b si b|c atunci a|c);2) A daca atunci si daca atunci A;3) x,A daca x| si x| atunci x|Demonstratie:1) Fie aA oarecare . Deoarece a=1aa|areflexivitatea relatiei de divizibilitate. Fie a, b, cA oarecare. Daca a|b si b|c atunci exista u, vA astfel incat b=ua si c=vbc=v(ua)=(vu)aa|c. Deci din relatia de divizibilitate este tranzitiva.2) Daca atunci exista u, v A astfel incat . Prin calcul obtinem: Daca atunci exista u, w A astfel incat . Se obtine 3) Daca x| atunci exista p, qA astfel incat Dar

Teorema II.1.21) Relatia de asociere ~ este o relatie de echivalenta;2) Daca xA si este clasa de echivalenta a lui x in raport cu ~ atunci:, adica doua elemente sunt associate daca si numai daca ele difera printr-un factor inversabil.3) Un element uA este u~1 uU(A) adica .Demonstratie : 1) Din definitia relatiei ~ si din faptul ca relatia de divizibilitate | este o preordine, avem ca ~ este o relatie de preordine. Din faptul ca | este reflexive avem x|xx~x. Apoi din x~y si y~z avem x|y, y|x, y|z, z|y, adica este tranzitiva. Sa arata ca relatia~ este simetrica:

2) Vom demonstra ca ={xuA|u este inversabil in A} prin dubla incluziune. Avem x|xu, iar daca u este inversabil , atunci x=(ux), adica xu|xx~xxu , adica xu. Daca xatunci x~y, adica x|y si y|xexista u,vA astfel incat y=ux si x=vyy=(uv)y , de unde, daca y0 urmeaza uv=1, deci y este de forma y=xu cu u inversabil. Daca y=0, atunci x=0 si 0 este singurul element din clasa .3) Fie uA , u~1, atunci u|1 si deci exista bA astfel incat 1=ub, deci uU(A), deci ={uA/ u inversabil}.(inlocuim x=1 in definitia ).

Observatia II.1.1a) Corpurile commutative coincid cu inelele integre A care au numai doua clase de elemente asociate si anume ={0} si *;b) Relatia de divizibilitate nu este , in general , o relatie de ordine. De exemplu in Z relatia de divizibilitate nu este asimetrica , deoarece n divide pe n si n divide pe n, dar n-n, pentru n0;c) Relatia de divizibilitate este o relatie de ordine daca si numai daca relatia de asociere coincide cu relatia de egalitate. Singurul inel integru in care aceasta are loc este

Definitia II.1.3 Pentru orice xA, elementele inversabile si elementele asociate cu x sunt divizori ai lui x. Un divizor al lui x diferit de acestia se numeste divizor propriu al lui x.

Definitia II.1.4 Un element pA* neinversabil se numeste ireductibil daca p nu are divizori proprii. In caz contrar p este reductibil. Daca p este ireductibil, atunci orice element din A asociat cu p este ireductibil.

Observatia II.1.2 Fie pA* neinversabil. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(a) P este reductibil;(b) Din p=xy rezulta ca unul din elementele x,y este inversabil, iar celalalt este asociat cu p.

Definitia II.1.5 Un element pA* neinversabil se numeste prim daca p|xyp|y.

Observatia II.1.3a) Daca p este prim , atunci orice element asociat cu p este prim.b) Daca p este prim si p divide produsul atunci p divide cel putin unul din factorii .

Teorema II.1.3 Orice element prim este ireductibil.Demonstratie: Daca p este prim si p=xy atunci p|xy si x|p, y|p. Din p|xy si p prim rezulta p|x sau p|y. Daca p|x si avand si x|p rezulta ca x~p. Deci exista uU(A) astefel incat x=pup=xy=puy rezulta 1=uy, adica u este inversul lui y, deci y este inversabil. Rezulta ca p este ireductibil. Exemple: Fie Z[i] inelul intregilor lui Gauss.Consideram aplicatia :Z[i]N, (x+iy)= are urmatoarele proprietati:i) este surjectiva;ii) (zz)= (z) (z) oricare ar fi z si z Z[i];iii) (1)=1iv) z0, este inversabil in Z[i] (z)=1

In Z[i], 3 este ireductibil.Presupunem prin absurd ca 3 ar fi reductibil rezulta ca exista neinversabil astfel ca 3= . Aplicand functia avem (3)= ( pentru ca neinversabile , deci (. Daca .Nu exista numere intregi care sa verifice aceasta egalitate. Deci 3 este ireductibil in Z[i].In Z[i], 2 si 5 sunt reductibile , dar nu sunt prime.Intr-adevar 2=(1+i)(1-i), (1-i)= ( 1-i) = 21 rezulta 1+i si 1-i nu sunt elemente inversabile. Deci 2 este reductibil in Z[i]. Daca 2 ar fi prim , din 2|(i+1) sau 2|(1-i), adica 1+i=2(a+ib)rezulta 1=2a, aZ, nu exista. Deci 2 nu este prim in Z[i]. Daca 5 ar fi prim , cum 5|(2+i)(2-i) sau 5|(2-i), adica 2+i=5a+5ib rezulta 5a=2, aZ nu exista. Deci 5 nu este prim in Z[i].

Definitia II.1.6 Fie si dA.Vom spune ca d este un cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c) al elementelor daca verifica conditiile:i) d|adica d este un divizor comun al elementelor ii) daca d| atunci d|d adica d se divide prin orice alt divizor comun al elementelor,i{1,,n}.

Observatia II.1.4 Daca d este cel mai mare divizor comun elementelor atunci un alt element A este cel mai mare divizor comun al acelorasi elemente daca si numai daca d si sunt asociate. Deci, daca cel mai mare divizor comun exista, este determinat pana la o asociere.

Definitia II.1.7 Daca cel mai mare divizor comun al elementelor este 1 spunem ca elementele sunt relativ prime.

Observatia II.1.51) Daca atunci ()= si reciproc daca ()= atunci 2) Daca orice doua elemente din A au cel mai mare divizor comun , atunci orice sistem finit de elemente din A au cel mai mare divizor comun.3) Daca in A oricare doua elemente au un c.m.m.d.c atunci pentru orice exista relatia :(

Teorema II.1.3 Daca in A oricare doua elemente au c.m.m.d.c atunci pentru oricare avem:(1) ((2) Daca ( atunci (Demonstratie:Relatia (1) este evidenta pentru .Demonstram ca este adevarata si pentru

Deci (exista yA astfel incat (Totodata exista yA astfel incat de unde dupa simplificare cu se obtine :. Analog se obtine . Deci ( este un divizor comun al lui de unde (y divide pe (. Rezulta ca y este inversabil in A, adica ( si ( sunt asociate. Am aratat ca ((2) Observam ca din

Deci (, ceea ce demonstreaza (2).

Corolar II.1.1 Daca in A , oricare doua elemente au un c.m.m.d.c si daca d=( si si atunci (Demonstratie: d=(

Definitia II.1.8 Doua elemente se numesc prime intre ele daca (

Definitia II.1.9 Fie si mA.Vom spune ca m este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al elementelor daca verifica conditiile:i) , adica m este un multiplu al elementelor ii) Daca , mA, atunci m|m, adica orice alt multiplu comun al elementelor este un multiplu al lui m.

Observatia II.1.6 1) Daca m este cel mai mic multiplu comun al elementelor atunci un alt element este cel mai mic multiplu comun al acelorasi elemente daca si numai daca m si sunt asociate.2) Daca exista un cel mai mic multiplu comun m al elementelor atunci unul dintre elementele asociate cu m va fi [ ]3) Daca in A oricare doua elemente au c.m.m.m.c atunci orice sistem finit de elemente din A au un c.m.m.m.c

Teorema II.1.4 Daca in A oricare doua elemente au un c.m.m.m.c , atunci exista un c.m.m.m.c al oricarui doua elemente si in plus, oricare ar fi Demonstratie:Fie d=( si Avem adica m= este un multiplu comun al elementelor Daca mA este un alt multiplu comun al elementelor , adica m=, atunci prin urmare , m divide si pe (m,m=m(, adica m|m. Rezulta m=[. Din m=.

Teorema II.1.5 Daca pentru orice pereche de elemente din A exista cel mai mare divisor comun , atunci in A orice element ireductibil este prim.Demonstratie: Fie pA un element ireductibil si .Daca p| si p nu divide pe , atunci ( si (=p. Deci (, de unde rezulta ca p|.Prin urmare , p este prim.

Teorema II.1.6 Daca in inelul A orice pereche de elemente are un c.m.m.d.c si a,b,cA astfel incat a|bc iar (a,b)=1, atunci a|c.Demonstratie: Din (a,b)=1 rezulta (ac,bc)=c si cum a|ac iar a|bc se obtine a|c.

II.2 INELE FACTORIALE

Definitia II.1.2 Fie aA*, si (1) a=(2) a=doua descompuneri ale lui a in factori . Descompunerile(1) si (2) se numesc asociate daca n=k si daca, dupa o eventuala renumerotare a factorilor din (2), avem , pentru i{1,, n}.Exemplu: Daca 1=atunci descompunerea (1) este asociata cu descompunerea a =(.

Definitia II.2.2 Un inel integru A se numeste inel factorial (domeniu factorial) sau cu descompunere unica in factori primi ( ireductibili), daca oricare ar fi aA* neinversabil se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile din A si orice doua descompuneri ale lui a in produse finite de elemente ireductibile sunt associate, adica elementul a are o descompunere unica in produs de elemente ireductibile.Exemplu: Inelele Z si Z[i] sunt factoriale.

Teorema II.2.1 Daca A este un inel factorial , atunci :1) In inelul A nu exista siruri de elemente astfel incat si nu divide pentru price iN.2) Orice pereche de elemente din A are un cel mai mare divizor comun.Demonstratie :1) Vom numi lungimea unui element aA* si o vom nota cu l(a), numarul factorilor dintr-o descompunere a lui a in produs de factori ireductibili daca a este neinversabil si 0 daca a este inversabil. Daca a= atunci l(a)=l(. Daca ar exista un sir cu proprietatile din 1) atunci ar rezulta sirul de numere natural l(ceea ce nu este posibil.2) Fie A. Daca .Presupunem ca *. Fie elemente ireductibile din A astfel ca fiecare divizor ireductibil al lui sa fie asociat cu unul si numai unul dintre aceste elemente.Deci: si unde u si u sunt elemente ireversabile din A si 0, 0, i.Orice divizor x al lui se poate scrie sub forma x=u , unde u este inversabil si 0siki, i{1n} si o afirmatie analoga are loc pentru divizorii lui

Observatia II.2.1 Un inel integru A este factorial daca si numai daca oricare ar fi aA*, neinversabil, este produs finit de factori primi.

II.3 INELE EUCLIDIENE

Definitia II.3.1 Se numeste inel euclidian o pereche formata dintr-un inel integru A si o functie :A*N, care verifica conditia pentru oricare ar fi aA si oricare ar fi bA, exista q, rA astfel incat a=bq+r unde r=0 sau (r)f(g+h)=fg+fh. Analog(f+g) h=fh+ghPropoziia III.1.3 Mulimea mpreun cu adunarea i nmulirea definite mai sus,este inel comutativ.Elementele inelului (,+,)se numesc serii formale cu coeficieni n inelul A.Propoziia III.1.4 Funcia :A(a)=(a,0,0,), aA, este un morfism injective de inele.Demonstraie ntr-adevr dac a,bA atunci(a+b)=(a+b,0,0)=(a,0,0,)+(b,0,0,)=(a)+(b) i (ab)=(ab,0,0,)=(a,0,0,)(b,0,0,)= (a)(b)Mai mult,dac (a)=(b), atunci (a,0,0,)=(b,0,0,)i deci a=bDefiniia III.1.3 Inelul se numete inelul polinoamelor de o nedeterminat cu coeficieni n A.Un element f se numete polinom de o nedeterminat cu coeficieni din inelul A. Dac n=gr(f) i f=(,0,), atunci elementele A, i{1,2,.,n} se numesc coeficienii polinomului f, se numete coeficientul dominant al polinomului f, iar se numete termenul liber al polinomului f. Observaia III.1.2 Morfismul determin un izomorfism al inelului A pe subinelul A={(a,0,0,.)| aA} al lui ceea ce permite s se identifice elementul a din A cu imaginea sa prin izomorfismul , adic cu polinomul (a,0,0,) din . Astfel A se poate considera ca un subinel al lui . Polinoamele de forma (a,0,0,)=a se numesc polinoame constante.Pe de alt parte, notm prin X polinomul(0,1,0,.)care se numete nederminata X.nmulirea seriilor formale conduce la =(0,0,1,0,.) i, mai general, pentru orice numr natural n: =(0,0,,1,0,) unde 1 se afl pe poziia a n+1-a. De asemenea, dac a A, atunci pentru orice nN se obine formula: (a)=(0,0,0,,a,),unde a se gsete pe poziia a n+1-a.Dac f i n=gr(f),innd seama de formula(1), obinem:f=(,0,) = (,0,0,0,)+(0,,0,.)++(0,0,,0, ,0,)= (,0,0,0)+ (,0,0,0,.)(0,1,0,)+(,0,0,0,.)(0,0,1,0)++(a_n,0,0,0,)(0,0,,0,1,0,) = (2)Din aceste relaii se deduce urmtoarea propoziie:Propoziia III.1.5 Inelul coincide cu subinelul su A[X] obinut prin adjuncionarea lui X la subinelul A.Orice polinom f se scrie in mod unic ca o expresie polinominalf= unde n=gr(f) i sunt coeficientii lui f.Aceast reprezentare a polinoamelor se numete forma algebric a polinoamelor.Polinomul de forma a unde aA i n este un numr natural este un monom. Orice polinom nenul este o sum finit de monoame nenule.Propoziia de mai sus expliciteaz structura algebric a inelului polinoamelor i justific urmtoarea schimbare de notaie: n loc de vom nota cu A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminat cu coeficienii n A. Notaia este evident convenional, deoarece ea introduce o liter,i anume X, pentru a desemna polinomul(0,1,0,). Vom folosi uneori notaiile A[Y], A[T], A[t], etc., dac n raionament apar mai multe inele de polinoame. Dac fA[X] este un polinom, vom nota uneori pe f cu f(X) i aceasta mai ales cnd se folosete scrierea(2) a lui f, sau este necesar s se pun n eviden nedeterminata.Inelul A poate fi: inelul Z al ntregilor raionali, inelul al claselor de resturi modulo n, poate fi un corp comutativ, de exemplu: Q, R, C, , p numr prim. Obinem astfel inelele de polinoame:Z[X], [X], Q[X], C[X], cu coeficieni n Z, ,Q, R, C, respectiv.AplicaieCare din urmtoarele afirmaii este adevrat? ncercuiete litera A dac afirmaia este adevrat, n caz contrar ncercuiete litera F. n polinomul 3-5X+13, coeficientul lui X este 5 A (F) Gradul polinomului 3-7x+5 este 2 (A) F Polinomul 7-9+13X-6 are trei termeni A (F) Expresia algebric 2+3X-5 este un polinom A (F)Observaia III.1.3 Folosind scrierea (2) a polinoamelor, operaiile de adunare i nmulire se transcriu astfel:Dac f=+.i g=atuncif+g=

Exemple:1. Calculai suma (-9+7-5X+3)+(13+2-8X-6)Soluiia) Se grupeaz termenii asemenea: (-9+7-5X+3)+(13+2-8X-6)=(-9+13)+(7+2)+(-5X-8X)+(3-6)=4+9+(-13X)+(-3)=4+9-13X-3b) Polinoamele se pot aduna aranjnd termenii asemenea n coloane:-9 +7 -5X +313 +2 -8X -64 +9 -13X -3gsindu-se acelai rezultat ca la punctual a).2. Calculate produsul (X+3)(X+2)Solutii:i) (X+3)(X+2)=X(X+2)+X(X+3)=ii) Putem verifica rezultateledemai sus folosind aria dreptunghiuluiaria este =Observaia III.1.4 De multe ori este foarte util scrierea polinomului f sub forma f=, lucru ntotdeauna posibil tinnd seama c adunarea polinoamelor este comutativReamintim c cel mai mare numr natural n astfel inct 0 se numete gradul lui f notat gr(f). Polinomul constant f=a, aA ,a0 are gradul 0, deci gr(f)=0.Teorema III.1.1 Fie A un inel comutativ i unitar i inelul polinoamelor A[X]. Atunci au loc afirmatiile:1) Un element aA este inversabil n A dac i numai dac este inversabil n A[X]2) Dac A este un domeniu de integritate, atunci U(A)=U(A[X])Demonstraie1) "" Dac aU(A) atuci avem ab=1,bA. Aceast relaie, considerat n A[X]; a i b fiind polinoame de grad 0, nseamn c a este inversabil n inelul A[X]." Dac aU(A[X]) atunci exist fA[X] astfel inct af=1.Presupunnd c f=, 0 avem: =1 => prin identificarea coeficienilor, c =1=> aU(A)2) Dac A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate.Din punctual precedent rezult c U(A)U(A[X]).Pentru a demonstra incluziunea U(A[X])U(A). Considerm polinomul f=, 0 inversabil n A[X]. Atunci exist f=astfel c fg=1. Avem gr(fg)=gr(1)=> innd cont de faptul c A[X] este domeniu de integrate c gr(f)+gr(g)=0 sau m+n=0 si deci m=n=0Astfel rezult c f=A, g=A i, cum 1=fg= , obinem c f=U(A).Observaia III.1.51) n particular dac A=K este un corp, atunci elementele inversabile din inelul K[X] sunt polinoamele de grad zero.2) In inelul Z[X] unitatile sunt +1,-1.3) Propozitia precedenta nu este adevarata pentru inelele care nu sunt integer. Intradevar in inelul [X] polinomul 2X+1 este inversabil deoarece (2X+1)( 2X+1)=1Teorema III.1.2 proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame de o nedeterminata Fie A un inel comutativ si unitar , A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in A si morfismul canonic . Atunci oricare ar fi inelulcomutativ si unitar B, morfismul unitar de inele v:AB si xB, exista un unic morfismf de inele :A[X]B astfel ca (X)=x si diagrama

AA[X] v B sa fie comutativa, adica Demonstratie: Sa definim Aratam ca are proprietatile din enunt. Fie g= un alt polinom din A[X] sis a presupunem ca mn. Completand eventual polinomul f cu termini ai caror coeficienti sunt zero putem scrie f= atunci Daca notam cu , coeficientii produsului fg avem si cum v este morfism de inele obtinem v(Tinand seama de acest lucru se verifica imediat ca v(fg)=v(f)v(g). Deci este morfism de inele. Mai mult (X)=.Sa verificamacum comutativitatea diagramei. Intradevar daca a ( si deci . Unicitatea : sa presupunem ca este morfism de inele astfel incat , . Atunci pentru f= avem:

.Fie acum un inel B, AB un subinel al sau si v:A incluziunea, adica v(a)=a. Teorema precedenta aplicata in acest, ne da pentru oricare xun morfism de inele astfel incat, formula care justifica relatia Vom numi elementul f(x) valoarea polinomului f in x.Din egalitatea de mai sus rezulta ca imaginea lui este Se stie din proprietatile morfismelor ca nucleul morfismului este un ideal al lui A[X], si anume: Definitia III.1.4 Spunem ca elementul xB anuleaza polinomul f= din A[X] sau ca x este o radacina sau un zero al lui f daca f(x)=0, adica .Observatia III.1.5 Conform teoremei fundamentale de izomorfism pentru inele se deduce pentru urmatorul izomorfism: definit prin Daca nici un polinom nenul din A[X] nu admite pe x ca radacina avem si deci devine un izomorfism: . Aceasta insemana ca A[X] este izomorfism cu un inel de polinoame cu coeficienti in A daca si numai daca =0.Aplicatii: 1) Polinomul -0.02 este folosit de antrenori pentru a stimula atletii pentru a fi mai performanti. Polinomul reprezinta nivelul de performanta care are legatura cu variatii ale nivelului de entuziasmare, de la x=1 (entuziasm minim) la x=100 (nivelul maxim de entuziasm) Aflai, valorile polinomului n x=20, x=50 i x=80. Descriei ce se ntmpl cu performanele pe msur ce suntem mult mai stimulai.2) Sunt cunoscute neplcerile provocate de rceal. Rcim cnd virusul rcelii intr in corpul nostru i se nmulete. Valoarea polinomului -0,75 + 3 + 5 n X, descrie bilioanele de particule virale aflate n corp dupa x zile de la invazie. Gsii numarul de particule virale, n bilioane, dupa o zi, 2 zile, 3 zile, 4 zile. Dup cte zile numrul particulelor virale este maxim i n consecin ziua n care ne simim cel mai ru? Dup ct timp ne vom simi complet refcui?Funcia asociat unui polinom. Fie polinomul A [X]. Asociind orcrui element x A valoarea f(x) a polinomului f n punctul x se obine o funcie :A A . (x)=f(x), ()x A, numit funcia polinomial asociat polinomului .O funcie :A A se numete functie polinomial daca exist un polinom fA[X] astfel nct = .Exemple:a. Functia g: CC, g(x) =2i-(3+i)x+4 este polinomiala, deoarece g=, unde f=2i-(3+i)X+4.b. Ibuprofen este un medicament folosit pentru ameliorarea durerii. Functia f:RR, f(x)=0,5+3,45-96,65+347,7x este o functie polinomiala. Pentru0 x 6 ea este folosit n estimarea numrului de miligrame de ibuprofen aflat n snge la x ore dup ce 400 mg de medicament au fost nghiite.

xf(x)

011.5234560255318.26344.4306.9193.2660

X=2 026c. n anul 1980, s-a observat o tendin a creterii temperaturii pe glob i astfel a aprut termenul de ncalzire global. Oameni de tiin sunt din ce in ce mai convini c arderile de crbune, uleiurile si gazele rezultate din industrie etc., determin creterea temperaturii planetei.Pentru a afla cu cte grade crete temperatura y a globului dupa x ani, din 1980 pn n prezent, se folosete formula: y= - + X .Aflai cu cte grade va fi mai mare temperatura planetei n anul 2040. 2 1 03060 ani dupa 1980d. Relaiadintre rata morii omului, calculat pe 100000 de oameni, i media numrului de ore n care doarme ntr-o zi este dat de funcia polinomial:f: RR, f(x)=9328571429-1336x+5460828571 nr.orelor de somn, x 5 6 7 8 9

rata morii (pe 100000 oameni), f(x)1121 805 626 813 967

Precizai rata morii oamenilor care dorm 4 h, 5, 5 h, 7, 5h i 10 h pe zi.Observaia III.1.6. Dac A este un inel si f, g sunt polinoamele egale din A[X], atunci este evident c funciile polinomiale i sunt egale.Exist ns i polonoame diferite care s aib funciile polinomiale egale.Exemplu: Considerm polinoamele f=X+ i g=+, din [X].Fie : , : funciile polinomiale asociate lui f si g. Avem (0)= (0)= i )=g()=0. Deci = dar, evident f g.Observaia III.1.7 Se tie din Analiza matematic c orice funcie polinomial f: RR este o funcltie continu i indefinit derivabil. Funcia exponenial este continu i indefinit derivabil si nu este polinomiala . Exist aadar funcii reale de o variabil real care nu sunt polinomiale.

III.2 MPRIREA POLINOAMELOR

nvnd mai mult matematic vei descoperi noi metode de a descrie lumea. De exemplu s considerm un polinom care modeleaz numrul anual al condamnailor pentru trafic de droguri i un alt polinom care modeleaz numrul arestrilor pentru traficul de droguri. Prin mprirea acestor polinoame, obinem o expresie algebric care descrie rata condamnailor pentru arestrile traficanilor de droguri.n acest paragraf vom arta cum se mpart polinoamele. Doua dintre cele mai importante teoreme din algebr sunt teorema mpririi cu rest pentru numere ntregi (vezi II.3) cat i teorema mpririi cu rest pentru polinoame.Teorema III.2.1-Teorema mpririi cu rest pentru polinoame : Fie K un corp comutativ si gK[X], g0. Oricare ar fi polinomul fK[X], exist polinomele q, rK[X] astfel nct:f = gq + r, gr(r) < gr(g).n plus polinoamele q si r sunt unice satisfcnd propietile anterioare. Polinoamele q i r se numesc, respectiv, ctul i restul mpririi polinomului g.Ce se observ? Aceast relaie este aproape identica cu acea din teorema mpririi cu rest pentru numere ntregi. Este suficient s schimbm cuvntul numr ntreg cu acela de polinom i obinem relaia de mai sus cu o mic deosebire: condiia 0r