Download - POLINOAME
POLINOAME (2)
1.Rădăcinile polinoamelor. Teorema lui Bézout.
Definiţia 1
Fie f un polinom nenul cu coeficienţi complecşi. Un număr complex, se numeşte rădăcină a polinomului f dacă f (a) = 0 .
Exemple
1. Numărul 2 este rădăcină pentru polinomul
pentru că f (2) = 0.2. Numărul
i este rădăcină pentru polinomul pentru că .
Observaţie
Pentru a afla rădăcinile unui polinom
f se rezolvă ecuaţia f (x) = 0 ; spre exemplu, pentru a afla rădăcinile polinomului
vom rezolva ecuaţia şi găsim rădăcinile
polinomului .
Teorema lui Bézout
Fie un polinom nenul. Numărul este rădăcină a polinomului f dacă şi numai dacă X – a divide f .
Exemplu
Polinomul având rădăcinile se va divide atât prin X – 1 cât şi prin
X – 2.
2.Rădăcini multiple
Definiţia 2
Fie un polinom nenul şi o rădăcină a lui f . Numărul natural m 1 cu
proprietăţile că divide pe f şi nu divide pe f se numeşte ordinul de
multiplicitate al rădăcinii a. Dacă m = 1, atunci rădăcina se numeşte rădăcină simplă, dacă m 2, atunci a se numeşte rădăcină multiplă de ordinul m .
Observaţie
Dacă m = 2 rădăcina se mai numeşte rădăcină dublă iar dacă m = 3 se mai numeşte rădăcină triplă.
Exemple
Polinomul se mai poate scrie şi
deci se divide prin ceea ce înseamnă că are rădăcină dublă pe 1, dar se mai
divide şi prin sau dacă vreţi prin şi deci va avea rădăcină triplă pe 0.
Altfel spus prin rezolvarea ecuaţiei obţinem rădăcinile şi
.
Teorema
Fie un polinom nenul. Dacă sunt rădăcini ale lui f având ordinele de
multiplicitate atunci polinomul divide pe f.
Exemplu
Să se arate că polinomul se divide prin .
Rezolvare:
Cum se mai scrie deci având rădăcinile 1 şi – 1 vom arăta că şi polinomul f are aceste două rădăcini.
şi
de unde rezultă că 1 şi - 1 sunt rădăcini ale lui f . Atunci din teorema rezultă că
divide pe f adică divide pe f .
Consecinţa 1
Orice polinom f de grad n 1 are n rădăcini (nu neapărat distincte; o rădăcină se repetă de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate).
Observaţie
Vezi exemplul de la definiţia 2
Consecinţa 2
Fie un polinom cu , n 1. Dacă sunt
rădăcinile lui f , atunci .
Observaţie
Această formulă am mai întâlnit-o la trinomul de gradul II:
.
3.Relaţii între rădăcini şi coeficienţi (formulele lui Viète)
Formulele lui Viète
Fie un polinom de grad n . Dacă sunt rădăcinile lui f , atunci:
.
Invers, dacă numerele complexe satisfac relaţiile de mai sus, atunci ele sunt rădăcinile polinomului f .
Observaţie
Pentru polinomul de gradul III, , cu rădăcinile , relaţiile lui Viète sunt:
.
Exemplu
Să se determine rădăcinile polinomului , , ştiind că produsul a două rădăcini este egal cu 4. Aflaţi în aceste condiţii şi parametrul a .
Rezolvare:
Relaţiile lui Viète în acest caz sunt:
; ştiind că . Atunci din vom avea că
. Cum – 2 este rădăcină a lui f rezultă că f(-2) = 0 adică
.
Pentru a afla celelalte două rădăcini avem două metode:
Metoda I. (relaţiile lui Viète)
Înlocuim în prima relaţie, vom avea sistemul ale cărui soluţii vor fi
.
Metoda II. (Horner)
Cum - 2 este rădăcină a lui f rezultă că (X + 2) divide pe f . Cu schema lui Horner aflăm câtul împărţirii lui f la (X + 2) şi polinomul se va scrie descompus f =
. Rezolvând ecuaţia .
Observaţie
Pentru polinomul de gradul IV,
, este util să cunoaştem următoarea scriere pentru relaţiile lui Viète:
.
4.Determinarea unei ecuaţii dacă se cunosc rădăcinile ei.
Cunoscând rădăcinile ale unei ecuaţii putem forma această ecuaţie (la fel ca la ecuaţia de gradul II), calculând în prealabil sumele din relaţiile lui Viète şi înlocuind în ecuaţia:
.
Exemplu
Formaţi ecuaţia ce are rădăcinile 1, 2 şi 5.
Rezolvare:
şi înlocuind în formula dată obţinem ecuaţia
.
Exerciţii propuseA. (uşoare)
1. Să se arate că polinomul
se divide la X – 1 .2.Să se determine parametrul
m , astfel încât polinomul să se dividă la X – 2. 2. Să se determine rădăc
inile polinomului ştiind că are rădăcina 3. Să se determine ecuaţia de gradul cel mai mic ştiind că are rădăcină dublă pe 1
şi rădăcini simple 2 şi – 3.
4. Fie polinomul . Să se determine rădăcinile
polinomului ştiind că .5. Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinii 2 pentru polinomul
.
B. (nivel mediu)
6. Să se determine a , b , c astfel încât polinomul
să se dividă la . 7. Să se determine parametrii
a şi b ştiind că polinomul are rădăcină dublă . 8. Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinilor 1 şi – 1 pentru polinomul
. 9. Să se determine
m astfel încât suma a două rădăcini ale ecuaţiei să fie egală cu 1.
10. Să se determine
m astfel ca o rădăcină a ecuaţiei să fie dublul altei rădăcini. 11. Să se rezolve ecuaţia
ştiind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică. 12. Să se rezolve ecuaţia
ştiind că suma primelor două rădăcini este egală cu opusul mediei aritmetice a celorlalte două.
13. Fie ecuaţia având rădăcinile . Să se determine ecuaţia în
y care are rădăcinile
dacă: a. ;
a. , , .C. (dificile)
15. Să se arate că polinomul se divide prin
16. Să se determine A şi B astfel încât polinomul să fie divizibil cu
17. Să se arate că polinomul este divizibil
prin
18. Dacă sunt rădăcinile polinomului şi să se calculeze :
a) ; b) ; c) .
19. Să se arate că 1 este rădăcină dublă pentru polinomul .
20. Fie ecuaţia . Să se arate că această ecuaţie admite cel mult două rădăcini reale.
21. Să se arate că g divide f , unde şi sunt polinoame din C[x] , iar n este număr natural.
22. Ştiind că ecuaţia admite şi rădăcini independente de a , să se determine mulţimea valorilor lui a pentru care toate rădăcinile ecuatiei sunt strict pzitive.