x i ziPROIECTARE ASISTATA DE CALCULATOR CURS 10MODELARE GEOMETRIC3.5 Curbele Hermite Descrierea algebric a curbelor printr-un set de ecuaii polinomiale cubice parametrice se materializeaz ntr-o ecuaie vectorial. Exprimarea coeficienilor algebrici n funcie de condiiile pe frontier duce direct la o form geometric mai convenabil. Funciile Hermite fundamentale apar ca nite conexiuni matematice ntre formularea algebric i cea geometric. 3.5.1 Forma algebric i forma geometric Forma algebric a unei curbe parametrice cubice este dat de urmtoarele trei polinoame: 3 x(u) = ax u + b + cx u + d x u3 2 2y(u) = a y u + by u z(u) = az u + b2 3+ cy u + dy(20)+ cz u + d zu De regul, se restrnge parametrul la valori n intervalul [0,1]. Restricia mrginete u curba crend un segment de curb. Cei doisprezece coeficieni, numii coeficieni algebrici, determin o curb unic, dat de mrimea, forma i poziia ei n spaiu. n consecin, dou curbe de aceeai form i mrime, au coeficieni algebrici diferii dac ei ocup poziii diferite n spaiu. Scrierea acestor trei ecuaii n forma mai compact a unei ecuaii vectoriale este mai puin greoaie i permite s indicarea unui numr arbitrar de dimensiuni. Astfel n notaie vectorial, ecuaiile (4.20) devin: p(u) = au 3 + bu 2 + cu + (21) unde p(u) a, b, c, sunt vectoriiddeste vectorul de poziie a i oricrui punct de pe curb echivaleni ai coeficienilor scalari algebrici. Componentele p(u) corespund lui coordonatelor carteziene ale punctului. Ecuaia (21) propune o form i mai simplificat, utiliznd operatorul de nsumare:p(u) = a iu i i =03n final, utiliznd convenia lui Einstein i reajustnd indicii dup necesitate, se obine: p(u) = a i u sau xi = ai u --unde este termenul de ordinul i . Coeficienii algebrici sunt coeficienii algebrici i ai xi nu reprezint cea mai avantajoas cale de controlare a formei unei curbe n situaiile tipice de modelare i nici nu contribuie mult la intuirea unei curbe. Cu toate acestea, forma hermitic ofer o alternativ practic i permite definirea unui segment de curb n funcie de condiiile de la capetele sale. Pentru o curb hermitic cubic, aceste condiii sunt, de regul, coordonatele capetelor i direciile tangente la aceste puncte. u Folosind p(0) i i vectorii tangeni i p u (1) , se obin p (0) capetele p(1) corespondeni urmtoarele patru ecuaii:--3u3up(0) = d ; p(1) = a + b + c +unde, nlocuindu= 0d p (0) = c ; p (1) = 3a + 2b +cu up(0) ,iar nlocuindu= 1n ecuaie,n ecuaia (4.21), obinemp(u)obine m nlocuin dp(1) .n final, difereniindn funcie deu, rezultp (u) = 3au + 2bu + c ,u2iaru u= 0 u = 1 n aceasta, se i p u (1) . Rezolvnd acest set de p (0) i obine patru ecuaii simultane cu patru necunoscute, rezult coeficienii algebrici n funcie de condiiile la limit:a = 2p(0) 2p(1) + p (0) + p (1) ; c = p (0) ; d = p(0)uuub = 3p(0) + 3p(1) 2p u (0) p u (1)nlocuind aceste expresii ale coeficienilor algebrici n ecuaia (21) i regrupnd termenii, rezult:p(u) = (2u 3 3u 2 + 1)p(0) + (2u 3 + 3u 2 )p(1) + + (u 2u + u)p (0) + (u u )p (1)3 2 u 3 2 u(22)Aceste ecuaii pot fi simplificate folosind urmtoarele nlocuiri:2 F1 (u) = 2u 3u + 1; F2 (u) = 3 2+ 3u 22(23)2uF3 (u) = u 2u+ u; F4 (u) = u3 uAstfel, ecuaia ecuaia (22) devine:p(u) = F1 (u)p(0) + F2 (u)p(1) + F3 (u)p (0) + F4 (u)p (1 )(24)Mai departe, se simplific aceast ecuaie folosind indici pentru a reprezenta valorile de capt ale u . Cu aceste operaii, ecuaia (4.24) se poate scrie: lui u p(u) = F (u)p + F + F (u)p + F (u)p (25) u1 0(u)p 213041p 0 p1 , , Aceasta este forma geometric, iar vectorii p1 , Termenii reprezint funciile hermitice de baz. F pu 0usunt coeficienii geometrici.3.5.2 Funciile de baz Hermite Funciile hermitice de baz apar pentru prima dat n derivarea formei geometrice din forma algebric. Sunt funciile definite de ecuaiile (23). Figura 3 arat fiecare funcie ca o curb pe domeniul de variaie a parametrului u, n intervalul --u [0,1] .--3041Fig. 3. Funciile hermitice cubice de baz Funciile hermitice de baz au trei caracteristici importante: 1. Universalitatea sunt valabile pentru toate curbele hermitice cubice. 2. Independena dimensional sunt identice pentru fiecare din cele trei coordonate ale spaiului modelului, deoarece depind numai de u . 3. Separarea efectelor condiiilor la limit permit coeficienilor condiiilor la limit constitueni s fie decuplai unii de alii. Aceasta nseamn c se poate modifica selectiv o singur condiie la limit specific pentru a modifica forma unei curbe, fr s fie afectate celelalte condiii la limit. Funcii de baz combin efectele capetelor i vectorilor tangeni pentru a furniza valorile coordonatelor punctelor intermediare pe domeniul u . De exemplu, se poate lui descompune o curb n componentele ei x(u) y(u) , z(u) , apoi se parametrice , descompune fiecare component a curbei n patru curbe ortogonale, corespunztoare u lu F1 (u)p 0 F2 (u)p1 F (u)p u F (u)p . i , i , 3.5.3 Forma matriceal Algebra matriceal i schema ei de notaie ofer o form matematic compact i puternic pentru a reprezenta o curb. Astfel, operaiile geometrice complexe, transformrile i analiza devin, deseori, operaii matriceale simple. Ecuaia (21) se poate rescrie ca produs a dou matrice:p(u) = u 3[u 1 [a b]c d]T(26)Fcnd notaiileu2--p(u) =y(u)z(u)]TU= u2[3uu 1[x(u)se poate rescrie ecuaia (26) ca i similar, pentru forma geometric;];A = [a bc d]Tp(u) =(27)UA--F?u p? ?1p(u) = [F1 (u)F2 (u)F3 (u)F4 (u)] p0[0 p10pTu](28)Dac se noteaz iF = [F1 F (u) F 2 3 (u) (u)uF4 (u)]u T][se poate rescrie ecuaia (28)B= p0 p1 p1 p0(29)P = FB ca tiind c A este matricea coeficienilor algebrici i Beste matricea geometrichermitic ce conine coeficienii geometrici, apoi utiliznd algebra matriceal, se poate realiza o legtur ntre formele geometric i algebric. Din ecuaia (23) se obine:3 2 F = (2u 3u +[3 2 3 2 (2u + 3u (u 2u +3 2 (u u1)) 2 F= u3u) 1 1)](30)Prin inspecie, se observ c se poate exprima termenul drept al ecuaiei ca:[u22 u 13 0 1] 30 0 2 1 1 0 0 MF(31)Matricea 4 este matricea transformrii hermitice, care va fi notat cu 4 matrice controleaz transformarea dintre polinoamele hermitice fundamentale monoammele sau U , astfel i u F = UM nctF. AceastFi (u)i(32)nlocuind ecuaia (32) cu (29), rezult:p(u) = UM F B(33)1Rezult c: i inversnd, undeB=M AA= MFB--1 M 0(34)0 0 0 1 1 1 1 = 0 1 0 0 3 2 1 F(35)1 F(36)Se observic ecuaiile (34) i i M permit identice pentru toate curbele hermitice. (35) sunt conversia dintre formele algebric i geometric c matricele U , F Numai matriceleAi B variaz de la o curb la alta, depinznd de form i poziie.Aceasta nseamn c este preferabil i eficient s fie indicat o curb anumit prin simpla precizare a matricei coeficienilor geometrici i algebrici. 4. CURBELE BZIER Unele tehnici de definire a curbelor, cum ar fi cele care utilizeaz funciile hermitice de baz, interpoleaz un ir de puncte date. Aceasta nseamn c o curb oarecare va trece exact prin acele puncte. Alte tehnici definesc o curb care trece printre puncte sau aproximeaz punctele date. Metodele de interpolare, ca i formele hermitice, au unele dezavantaje cnd sunt ncorporate ntr-un sistem de modelare geometric interactiv. De obicei, nu ajut utilizatorii s intuiasc cum este corect s schimbe sau s controleze forma unei curbe. De exemplu, schimbnd forma unei curbe spline interpolate, prin mutarea unor puncte de interpolare, se pot produce perturbaii i inflexiuni neateptate i nedorite, local sau global. Pentru a controla forma curbei ntr---un mod previzibil, este preferabil s fie schimbai numai civa parametri. Curba Bzier satisface parial aceast necesitate.Fig. 4. Curbe Bzier cubice Bzier a nceput cu principiul c orice punct de pe un segment de curb, trebuie s fie dat de o funcie parametric de forma urmtoare:p(u) = p i f i (u)i =0nu [0,1](37)unde vectorii p reprezint in + vrfuri ale unui poligon caracteristic (fig. 1). Aceste 1 vrfuri sunt punctele de control. Apoi se stabilesc proprietile pe care trebuie s le aib funciile de baz f i (u) i se caut funcii specifice care ndeplinesc aceste cerine. Aici este prezentat o recapitulare a proprietilor i argumentele lor. 1. Funciile trebuie s interpoleze primul i ultimul punct nodal, adic segmentul de curb trebuie s nceap p 0 i s se termine p n . Este la latitudinea n n utilizatorului s controleze punctele de nceput i de sfrit ale curbei Bzier. 2. Tangenta la p trebuie s fie dat de p1 p 0 , iar tangenta la p de p n p n 1 . Aceasta, 0 n desigur, permite un control direct al tangentei la curb n fiecare capt. 3. Cerina 2 este generalizat pentru derivate mai mari la capetele curbei. n felul acesta, a doua derivat n p trebuie s fie determinat p 0 , p i p 2 . n general, de 0 1 derivata de ordinul r la capt, trebuie s fie de cele r vrfuri un determinat nvecinate. Acest lucru permite un control virtual nelimitat al continuitii n articulaiile dintre segmentele unei curbe Bzier compuse. 4. Funciile f i (u) trebuie s fie simetrice n raport cu u i (1 u) . Aceasta nseamn c se poate inversa succesiunea de puncte nodale, definind curba fr a-i schimba forma. De fapt, aceasta operaie inverseaz direcia de parametrizare. --4.1 Funciile Bzier fundamentale Bzier a ales o familie de funcii numite polinoamele Bernstein, care s satisfac aceste proprieti. Iniial, el a ales o form de reprezentare vectorial, care utiliza laturile poligonului caracteristic. Cu toate acestea, se vor utiliza notaiile introduse de Forrest (1971), care folosete vectorii ce definesc vrfurile poligonului. Este o schem mai--2 2 22 3compact, cu un mare apel intuitiv. Rezult c funcia 2 Bzier aleas depinde de 4 numrul de vrfuri folosite 2 pentru a specifica o anumit curb. Pentru a indica acest lucru, ecuaia (37) devine:p(u) = (u)i =0 p i Bi,nnu(38)unde funciile fundamentale sunt:[0,1] n i n i Bi , n(u) = i u (1 u) i unde(39) n n! = i i!(n i)! definete funcia cunoscut a coeficienilor binomiali sau distribuia binomial din probabilitate i statistic. Se aplic urmtoarele convenii: dac i i u sunt egali cu i (u) furnizeaz un zero, atunci u = 1 i 0! = 1 . Dac sunt (n + vrfuri, atunci funcia B 1) i,n polinom de gradul n . Extinznd ecuaia (38) la curbe definite de trei, patru i cinci puncte, rezult urmtoarele forme polinomiale: - pentru trei puncte, n = 2 , iB0,2 = (1 u) B1,2 = 2u(1 B 2,2 = uastfel nct;u);p(u) = (1 u) p 0 + 2u(1 u)p1 + u p22(40)- pentru patru puncte, n = 3 , iB0,3 = (1 u)3B1, = 3u(1 u)3 3 B3, = u 32;2 B 2,3 = 3u (1 astfel cu);p(u) = (1 u)3p 0 + 3u(1 p1 + 3u (1 u)p 2 + u u) p3(41)Folosind aceast curb Bzier cubic, un segment dintr-o parabol cu capete la p 0 i p 3 poate fi modelat exact, dac tangentele la capete se intersecteaz p I , astfel la nct p1 = (p 0 + 2p I ) / 3 i --23 3 2p2 = p(u) = (1 u)2(p 3 + 2p I ) / 3 . u uAceste condiii dau p 0 + 2(u )p I + p 3 , care este exact forma ecuaiei (40); n = 4 , ip 0 + 4u(1 p1 + 6u (1 u) p 2 + 4u (1 u)p 3 + u u)2- pentru cinci puncte,p(u) = (1 u)4(42)p44.2 Forma matriceal Pentru curba Bzier cubic, dup cum urmeaz: n = 3 , se scrie ecuaia (4.41) n forma matriceal,p 0 p 1 u3 p 2 p(u) = (1 3u + 3u u )3[2(3u 6u + 3u32(3u 3u )23]) p 3 sau n forma--0 ? 03p(u) = u[3u2 1 3 3 u 1 6] 3 1 p 0 p 3 0 1 0 0 p 2 0 p 3 3 3 1 00Notnd cuU= u P = [p 0[3u2u 1 p]]Tp12p 1 3 3 1 3 6 3 MB = 3 3 0 0 0 0 1 se poate scrie aceast ecuaie i mai compact, sub forma:p(u) = UM B P(43)Indicele matricei MBa transformrii Bzier se deosebete de indicile matricei M F detransformare a bazei hermitice. Inversa matricei M pentru curba Bzier cubic este:BM10 0 =B0 00 1 3 1 10 1 1 1 3 2 1 3 1 1n + 1 . Deci, deEvident, componena acestor matrice variaz cu numrul de noduri, exemplu, pentru n = 4 , rezult:U= u4 1 4 = 6 4 1[u3u2u 1]4 6 12 12 4 12 6 0 0 p 0 p 1 P = p 2 p 3 04 1 0 0 0 0 0 4 0MB--00101132 p 4 4.3 Conversia Bzier-Hermite Ecuaia (43) este similar cu ecuaia (33) pentru curbele hermitice. Rezult din aceast observaie c se poate reprezenta o curb hermitic cubic cu o secven de p 0 p1 , patru puncte de control. Figura 5 prezint detaliile. Aceste puncte sunt notate cu ,p 3 , unde p i p sunt capetele curbei. Cele dou puncte interioare contribuie la i 0 3 formarea vectorilor de tangen, n modul urmtor: u u p = k (p p ) i p = k (p p ) unde k 0 i k1 sunt factori de scar arbitrari, introdui pentru a scala poligonul, i prin aceasta, mrimea vectorilor tangeni, care nu sunt reprezentai la scar n figur. Matricea coeficienilor geometrici este: p2 B = [p 0 p3 k0 (p1 p0 ) k1 (p p )]3 2 T--0?1 u pu ?p?1p 32 3?11Fig. 5 Curba Hermite echivalent unei curbei Bzier cubicep 0 p1 , p2 i p 3 . Se Pentru k0 = k1 = 3 , curba este identic cu curba Bzier definit , de poate observa c acest lucru este adevrat deoarece expresia polinomial general pentru vectorul tangent n orice punct al curbei Bzier cubice este:u 2 p (u) = (3u + 6u + (9u 2 12u + 3)p+ (9u + 6u)p + 3u p223)pLa u = 0 ,pi u = 1 , u (1) = 3(p 3 p 2 ) . Astfel, dac o curb Bzier la p cubic este dat prin patru puncte de [p p1 p p 3 ] , atunci curba Hermite control 2 echivalent 0 are coeficienii geometrici [p p 3 3(p1 p 0 3(p 3 p 2 )] . Analog, dac o curb Hermite ) 0 p u ] , atunci punctele de control ale p p1 este dat prin coeficienii geometrici [ 0u(u) = 3(p1 p 0 )0curbei Bzier echivalente sunt p 0 p + 001 3 1 u p1 p1 1 Se poate exprima aceast conversie, dintre formele Bzier i Hermite, folosind o algebr matriceal relativ simpl: B=MF MB (44) sau (45) P undeP=MB MF B 1 0 0 0--1 1 10010 = 3 3 0 01 0 0 1 0 = 0 1 0 1 01 30 MFMBi M B M0 F 1 35. Curbele B-spline0 3 300Curbele B-spline dau o alt metod, n afar de cea Bzier, de generare a curbelor definite de poligoane. De fapt, curbele B-spline sunt o generalizare a curbelor Bzier. n plus, avnd n comun cele mai multe caracteristici ale curbelor Bzier, acestea se bucur i de alte avantaje unice. Asigur controlul local al formei unei curbe, n opoziie cu controlul global, prin utilizarea unui set special de funcii de combinare care au o influen local. Mai asigur, de asemenea, abilitatea de a aduga puncte de control fr s creasc unghiul curbei. Curbele B-spline dau posibilitatea de a--iinterpola sau aproxima un set de puncte date. Interpolarea este util la afiarea rezultatelor analizei inginereti i ale procesului proiectrii. Interpolarea este, de asemenea, util dac proiectantul a msurat punctele date, cu indicaia ca acestea s fie situate pe curba rezultant. Aceast seciune se ocup numai de curbele B-spline folosite pentru aproximare. Spre deosebire de curbele Bzier, teoria curbelor B-spline separ gradul curbei rezultante de numrul de puncte de control date. n timp ce patru puncte de control pot, ntotdeauna, crea o curb cubic Bzier, acestea pot genera o curb liniar, ptratic sau cubic B-spline. Flexibilitatea n gradul curbei rezultante este realizat prin alegerea funciilor de baz (de combinare) a curbelor B-spline cu un grad de libertate adugat, care nu exist n polinoamele Bernstein. Aceste funcii de baz Bspline, de unde provine i numele de curbe B-spline Similar curbelor Bzier, curba Bspline definit n + 1 puncte de control este dat de de PiP(u) = Pi N i,k (u)i =0n0u umax(46),N i ,k (u)sunt funciile B-spline. Astfel, curbele B-spline au o baz B-spline. Punctele decontrol, numite puncte deBoor, formeaz vrfurile poligonului de control sau deBoor. Exist dou aspecte privind ecuaia (46). n primul rnd, parametrul controleaz k gradul (k al curbei B-spline rezultante i este, de regul, independent de numrul 1) de puncte de control, cu excepia restriciei prezentate mai jos. n al doilea rnd, limita maxim a parametrului nu mai este unitatea, cum era aleas arbitrar pentru curbele u Bzier. Funciile B-spline au urmtoarele proprieti: Partiie unitar: Valoare pozitiv: Suport local: Continuitate:1i =0nN i ,k (u) = dac u [ui , ui + k +1 ] ori continuu difereniabil.N i ,k (u) 0 N i ,k (u) = 0 N i ,k (u)este de (k 2)Prima proprietate asigur c legtura dintre curb i punctele de control care o definesc este invariant fa de transformrile afine. A doua proprietate garanteaz faptul c segmentul de curb se situeaz complet n interiorul formei convexe a Pi . A treia lui proprietate indic faptul c fiecare segment al unei curbe B-spline este influenat numai de puncte de control, sau fiecare punct de control afecteaz numai segmente de k k curb. Este folositor s se observe c polinomul Bi ,n are aceleai prime Bernstein (u) dou proprieti menionate mai sus. Funcia B-spline are i proprietatea de recursivitate, care este definit de: N i ,k 1 ) (u N N (u) = (u u ) (u + ( -- u)u ) i +1,k 1i, kui + k 1 ui Ni ,1i+ k(47) ui + k ui +1 unde1 ui u i (48) , u +1 = 0, altfel Aceasta opteaz 0 / 0 = dac numitorul fraciei din ecuaia (47) devine zero. Ecuaia 0 (48) arat N i , este o funcie cu pas unitar. N i , este constant pentru c Deoarece 1 1 k = 1 , o valoare generic a lui k consecin, o curb de ordin k produce un polinom n u de gradul (k 1) i, n i grad(k 1) . Termeniisunt numii noduriui parametrice sau valori nodale. Aceste valori formeaz o secven de numere ntregi nedescresctoare, numit vector nodal. Valorile lui depind de forma curbei B-spline, ui--j??dac aceasta este deschis (neperiodic) sau nchis (periodic). Pentru o curb deschis, ui sunt dai de: jn unde n k + 2,0 j n+k(50)Fig. 6. Controlul local al unei curbe B-spline i domeniul lui u este 0unk+ 2 Relaia (50) arat c sunt (n + k + noduri pentru a crea o curb de gradul necesare 1) (k 1) , definit (n + puncte de control. Aceste noduri sunt, eventual, distanate pe de 1) intervalul lui u cu un increment unitar ( u = ntre nodurile necoincidente. Nodurile1) multiple (care coincid) pot exista pentru anumite valori ale lui u . n timp ce gradul curbei B-spline rezultante este controlat k , intervalul u , dat de ecuaia (51), de parametrului sugereaz c exist o limit a lui k , care este determinat de numrul de puncte de control date. Aceast limit este gsit prin impunerea ca marginea superioar n ecuaia (51) s fie mai mare dect marginea inferioar, pentru ca intervalul lui u s fie valid, adic nk+2>0 (52) Aceast relaie arat c este necesar un minim de trei sau patru puncte de control pentru a defini o curb B-spline liniar, ptratic sau respectiv cubic. Caracteristicile curbelor B-spline necesare n proiectare pot fi rezumate astfel: 1. Controlul local al unei curbe poate fi realizat prin schimbarea poziiei unor puncte de control, sau folosind puncte de control multiple care ocup aceeai locaie, sau prin(51)--P3P3 .alegerea unui grad (k 1) . Aa cum sa precizat mai nainte, schimbarea unui diferit punct de control afecteaz numai segmente. Figura 6 ilustreaz problema k controlului local pentru o curb B-spline cubic prin mutarea P3 * ** i lui n Se schimb numai cele patru segmente de curb nvecinate. 2. O curb B-spline neperiodic trece prin primul i ultimul punct de P0 i Pn +1 control i (P1 (Pn +1 i segment al poligonului de ultimul P0 ) Pn ) control, similar curbei Bzier, aa cum s-a artat n figura 6. 3. Creterea gradului curbei, duce la ntinderea acesteia. n general, cu ct gradul este mai mic, cu att curba se apropie de punctele de control, aa cum este prezentat n este tangent la primul--figura 7. Cnd k = 1 , rezult o curb de gradul zero. Curba devine apoi nsi k = 2 , curba devine o succesiune de segmentele de punctele de control. Cnd poligon. 4. O curb de gradul doi este tot timpul tangent la mijloacele tuturor segmentelor de poligon interioare (fig. 7), lucru care nu se ntmpl i n cazul celorlalte grade. 5. Dac parametrul k este egal cu numrul punctelor de (n + 1) , atunci curba Bcontrol spline rezultant devine o curb Bzier (fig. 8). n acest caz, domeniul lui u devine zero pn la unu, aa cum era de ateptat.Fig. 7 Efectul gradului unei curbe B-spline asupra formei acesteia 6. Punctele de control multiple induc regiuni de curbur mare unei curbe B-spline. Acest lucru este folositor cnd se creeaz coluri ascuite pe curb (fig. 4.9). Acest efect este echivalent cu mpungerea curbei ctre punctul de control, prin creterea multiplicitii acesteia. 7. Prin creterea gradului unei curbe, crete dificultatea de control i de calcul corect. n consecin, o curb B-spline cubic este ineficient n cazul unui numr nsemnat de aplicaii. Pn aici au fost discutate curbe B-spline deschise sau neperiodice. Aceeai teorie poate fi la curbele B-spline nchise sau periodice. Singura diferen dintre extins curbele nchise i cele deschise este alegerea nodurilor i a funciilor de baz. Ecuaiile de la (49) la (51) determin nodurile--Fig. 8. Curbe B-spline i Bzier identice--i distana dintre ele pentru curbe deschise. Curbele nchise utilizeaz ca baz funciile B-spline periodice cu noduri la numere ntregi. Aceste funcii de baz sunt translaii ciclice ale unei singure funcii canonice cu o perioad (interval) k . De exemplu, pentru o curb B-spline de (k = sau grad 1 (k 1) , ordinul 2)Fig. 9. Curbe B-spline cu puncte de control multiple funcia de este liniar, are o valoare nenul numai n baz intervalul valoare maxim de unu la u = 1 , aa cum este artat n figura 10.(0,2) i are oFig. 10. Funciile B-spline periodice --N i ,k (u) = N 0,k ((u ? i + n + 1) mod(n + 1) ) ? ?0 (53) uj = j, 0? j?n+1Vectorul nodal este, n acest caz, [0(54) 2] . Curbele nchise cubice i ptratice au 0< j?n+1 1 (55) funcii de baz cubice i ptratice, cu intervalele (0,3) i (0,4) i vectorii nodali [0 1 3] i respectiv [0 1 2 4] . Curba B-spline nchis de 2 3 gradul (k 1) , sau k , definit (n + puncte de control, este dat de ecuaia de 1) ordin (46), ca i curba deschis. n aceste condiii, pentru curbele nchise, ecuaiile (47) pn la (51) devin:iar intervalul lui u este 0un+ 1 n ecuaia (53) intervine funcia modul,mod(n + 1) , care este definit ca:(56) A, A mod n = ,A< n (57)restul A / n, A = n A> n De exemplu,3.5 mod 6 = 3.56 mod 6 =i 7 mod 6 = 1 . Funcia modul face a funciei de baz canoniceN 0,k . N0,k; 0 posibil translaia periodic [mod(n + 1)]esteaceeai ca i la curbele deschise i poate fi calculat folosind ecuaiile (47) i (48). Ca i curbele deschise, curbele B-spline nchise au proprietile de partiie unitar, pozitivitate, suport local i continuitate. De asemenea, au aceleai caracteristici ca i curbele deschise, cu excepia faptului c ele nu trec prin primul i ultimul punct de control i din acest motiv, ele nu sunt tangente la primul i ultimul segment al poligonului de control. n reprezentarea curbelor nchise, sunt folosite poligoane nchise la care primul i ultimul punct de control sunt conectate printr-un segment al poligonului. Observm c o curb B-spline nu poate fi generat prin simpla utilizare a unei curbe deschise, la care primul i ultimul punct de control coincid. Curba rezultat este numai 0 C i este continu. Numai dac primul i ultimul segment al poligonului sunt coliniare, 1 curba C continu, rezult curb Bzier. Fundamentat pe teoria prezentat, baza de date a curbei B-spline include felul curbei (deschis sau nchis), ordinul k sau (k i coordonatele punctelor de gradul 1) control care definesc poligonul, n aceeai ordine n care sunt introduse de utilizator. Mai pot fi adugate i alte informaii, cum ar fi: stratul, culoarea, numele, fontul i grosimea liniei. --