O hartă a cerului în proiecția Aitoff-Hammer

Loredana STOICA

Doina VASILCA

UTCB

GeoPreVi 2018

Proiecții utilizate pentru hărți ale cerului

Proiecții pentru reprezentarea unei zone de mică întindere (câteva grade pe ascensie și declinație)

• Proiecții azimutale perspective (centrală/gnomonică, stereografică, exterioară și ortografică)

• Proiecții cilindrice (pentru o zonă în jurul ecuatorului sau a paralelelor de secanță)

• Proiecții conice (pentru reprezentarea unei zone care se întinde în lungul paralelului de secanță)

• Proiecții policonice

Proiecții pentru reprezentarea unei emisfere

• Proiecții azimutale (cu polul în zenitul observatorului pentru

reprezentarea hărții cerului văzută dintr-un anumit punct)

Proiecții pentru întreaga boltă cerească

• Proiecția Mollweide

• Proiecția pseudocilindrică Sanson

• Proiecția circulară Lambert

• Proiecția echivalentă Aitoff

Sisteme de coordonate astronomice

Caracteristici:

Sunt sisteme de coordonate sferice, poziţia unei stele pe sfera cerească fiind

determinată cu ajutorul a două coordonate unghiulare sau sferice, care fixează

direcţia spre stea, depărtarea ei rămânând nedeterminată.

Trebuie să se specifice momentul la care coordonatele se referă, precum şi momentul

în care sistemul de coordonate este definit.

Sisteme de coordonate utilizate frecvent:

• Sistemul de coordonate orizontale (azimut - A, distanța zenitală- z)

• Sistemul de coordonate orare (unghi orar - H, declinație - d)

• Sistemul de coordonate ecuatoriale (ascensia dreaptă –α, declinația – δ)

• Sistemul de coordonate ecliptice (latitudine ecliptică - β, longitudine ecliptică –l)

Sistemul de coordonate astronomice ecuatoriale

Ecuatoru l cerescEc l i p t i ca

Po

lu

l

Su

d c e r e s c

Po l u l Nor d

ce

re

sc

Ascensia dreaptă, α, se măsoară de la

punctul vernal spre est în planul

ecuatorului ceresc. De obicei se exprimă

în unități de timp.

Declinația, δ, este unghiul cuprins între

direcția spre obiect și planul ecuatorului

ceresc.

Proiecția Aitoff-Hammer

• A fost prezentată de H.H. Ernst von Hammer (1858- 1925) în Germania în anul 1892. El s-a inspirat de proiecția propusă de David Aitoff (sau Aitow) (1854-1933) în 1889.

• Este o particularizare a proiecției azimutale ecuatoriale Lambert.

Proiecția azimutală Lambert Proiecția Aitoff-Hammer

𝑥 =𝑅 2 sin 𝜑

1 + cos 𝜑 cos(𝜆𝑜−λ)

𝑦 =𝑅 2 cos 𝜑 sin(𝜆𝑜−λ)

1 + cos 𝜑 cos(𝜆𝑜−λ)

Proiecția azimutală Lambert Proiecția Aitoff-Hammer

𝑥 =𝑅 2 sin 𝜑

1 + cos 𝜑 cos𝜆𝑜 − λ

2

𝑦 =2𝑅 2 cos 𝜑 sin

𝜆𝑜 − λ2

1 + cos 𝜑 cos𝜆𝑜 − λ

2

𝜆 ∊ −90𝑜, +90𝑜

Cerc de rază R.

𝜆 ∊ −180𝑜, +180𝑜

𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠ă 𝑐𝑢 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑎𝑥𝑒𝑙𝑒:

𝑎 = 2𝑅 2 𝑏 = 𝑅 2

Etapele realizării hărții cerului

1. Calculul nodurilor rețelei cartografice

𝑥 =𝑅 2 sin 𝜑

1 + cos 𝜑 cos𝜆𝑜 − λ

2

𝑦 =2𝑅 2 cos 𝜑 sin

𝜆𝑜 − λ2

1 + cos 𝜑 cos𝜆𝑜 − λ

2

φ λ X[m] Y[m]

-90 -180 -1581.14 0.00

-60 -90 -1176.96 768.79

-30 -60 -597.61 828.08

0 0 0.00 -0.00

30 60 597.61 -828.08

60 90 1176.96 -768.79

90 180 1581.14 0.00

Extras din tabelul cu coordonate pentru

nodurile rețelei

Aspectul rețelei de meridiane și paralele în

proiecția Aitoff-Hammer

Etapele realizării hărții

2. Calculul coordonatelor stelelor

Coordonatele stelelor (α, δ) se extrag din catalog. Se preferă aceste coordonate pentru că sunt definite similar cu latitudinea și longitudinea (φ, λ).

Declinația este unghiul dintre direcția stelei și ecuatorul ceresc, așadar poate fi asimilată cu latitudinea.

Ascensia dreaptă este distanța unghiulară măsurată pe ecuatorul ceresc, de la punctul vernal ϒ până la meridianul stelei, deci poate fi asimilată cu longitudinea, deoarece ecuatorul ceresc este în același plan cu ecuatorul terestru.

Totuși trebuie ținut cont de următoarele diferențe:

• Ascensia dreaptă este exprimată în unități de timp, iar longitudinea în grade sexagesimale (1ℎ = 15𝑜).

• Ascensia dreaptă se măsoară de la punctul vernal ϒ, iar longitudinea de la meridianul Greenwich. Astfel cele două sisteme sunt ușor rotite unul față de celălalt.

Nume stea

Magni-tudine α [h, m, s] δ [o ‘ ”] X[m] Y[m]

α 3.1 20 38 43.20 -47 13 58 -1022.50 -1369.65

η 4.5 20 45 14.50 -51 51 39 -1110.27 -1270.83

β 3.7 20 56 05.20 -58 23 26 -1226.84 -1112.11

τ 4.4 21 21 02.00 -53 22 45 -1157.13 -1294.09

δ 4.4 21 59 01.80 -54 54 48 -1206.52 -1309.11

η 4.7 22 04 36.60 -56 43 02 -1239.77 -1261.10

Extras din tabelul cu coordonatele stelelor

Constelația Indus (Emisfera sudică)

Etapele realizării hărții

3. Desenarea constelațiilor

Limitele constelațiilor se desenează paralele cu meridianele și paralelele

Harta cerului în proiecția Aitoff-Hammer

LEGENDA

- denumire constelatie

- denumire steledί ?

- magnitudine 1

- magnitudine 2

- magnitudine 3

- magnitudine 4- magnitudine 5

- magnitudine 0

a

Studiul deformațiilor produse la reprezentarea

în proiecția Aitoff-Hammer

Extras din tabel

φ λ m n Dm[m/km] Dn[m/km] ω [o ‘ “]

-90 -180 2.529822 0.395285 1529.822 -604.715 93.4339

-60 -90 1.494882 0.882682 494.882 -117.318 53.2642

-30 -60 1.170924 0.888253 170.924 -111.747 22.3726

0 0 1.118034 0.894427 118.034 -105.573 12.4531

30 60 1.170924 0.888253 170.924 -111.747 22.3726

60 90 1.494882 0.882682 494.882 -117.318 53.2642

90 180 2.529822 0.395285 1529.822 -604.715 93.4339

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800-1

80

-165

-150

-135

-120

-105

-90

-75

-60

-45

-30

-15 0

15

30

45

60

75

90

105

12

0

13

5

15

0

16

5

18

0

D[m

/km

]

Longitudine

Deformații liniare relative pe meridiane

D[m/km]

φ=±90 φ=±60 φ=±30 φ=0

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

-180

-165

-150

-135

-120

-105

-90

-75

-60

-45

-30

-15 0

15

30

45

60

75

90

10

5

12

0

13

5

15

0

16

5

18

0

D[m

km

]

Longitudine

Deformații liniare relative pe paralele

φ=±90 φ=±60 φ=±30 φ=0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-180

-165

-150

-135

-120

-105

-90

-75

-60

-45

-30

-15 0

15

30

45

60

75

90

10

5

120

13

5

15

0

16

5

18

0

ω [

o,',

"]

Longitudine

Deformații unghiulare maxime

φ=±90 φ=±60 φ=±30 φ=0

Concluzii

Avantajele și dezavantajele aplicării proiecției Aitoff-

Hammer pentru realizarea unei hărți a cerului:

+ Se pot reprezenta toate stelele

- Deformațiile liniare și unghiulare produse la

reprezentarea în plan sunt mari, așadar constelațiile sunt

mult deformate (mai ales spre poli) și nu mai seamănă cu

aspectul cu care este obișnuit observatorul aflat într-un

punct oarecare pe glob.

Vă mulțumim pentru

atenție!