Reprezentarea in domeniul frecventa a semnalelor

Reprezentarea in domeniul frecventa a semnalelor

Vectori si valori proprii

Definitie: Dandu-se o transformare liniara A, un vector x diferit de 0 se numeste vector propriu al transformarii, daca exista astfel incat:

Ax=xScalarul se numeste valoarea proprie a operatorului A corespunzatoare vectorului propriu x

Functii si valori proprii

Definitie: Pentru un operator liniar A definit pe un spatiu de functii , o functie se numeste functie proprie a operatorului A daca exista astfel incat:A

se numeste functie proprie a operatorului A, iar se numeste valoarea proprie corespunzatoare lui .

Functii proprii pentru sistemele liniare invariante in timp (curs 2, pag.1)

Un sistem liniar invariant in timp este descris de relatia:

(1)unde y[n] reprezinta semnalul de iesire, x[n] reprezinta semnalul de intrare, iar h[n] reprezinta raspunsul la impuls al sistemului.(P1): Pentru sistemele liniare invariante in timp, semnalele de intrare x[n]=reprezinta functii proprii ale operatorului T.

Ca o consecinta, raspunsul unui sistem liniar invariant in timp la un semnal sinusoidal este un semnal sinusoidal cu aceeasi frecventa, dar cu amplitudinea si defazajul date de sistem.

Proprietatea (P1) se demonstreaza astfel:

Fie semnalul de intrare x[n]=

Iesirea sistemului este : y[n]=

y[n] = x[n] (2)

Notam cu H(

EMBED Equation.3 . Rezulta y[n] = x[n] H ( (3),

deci x[n] este functie proprie a operatorului T, iar H() este valoarea proprie asociata lui x[n]= .H ( se numeste raspunsul in frecventa al sistemului, si in (3) el da diferenta de amplitudine (in complex) a semnalului de iesire, diferenta care in real da atat diferenta de amplitudine cat si diferenta de faza.H( = Re( H( ) + j Im( H( )

Datorita liniaritatii operatorului T, dandu-se un semnal de intrare ca o superpozitie de exponentiale complexe de forma

(vezi Fourier), iesirea sistemului se poate determina utilizand principiul superpozitiei (liniaritatea lui T) astfel:

y[n]=

Proprietatea (P2):

Deoarece secventele de intrare de forma x[n] =nu se disting de secventele de forma , , este suficient sa specificam H( doar pe intervalul [-(,(].

Functia H ( definita pe R va fi prelungirea prin periodicitate de perioada 2( a functiei definita pe intervalul (-(,(] (fig.2.17, pag.3)Filtrul ideal trece-jos (fig.2.17/pag.3) este caracterizat de functia de raspuns in frecventa:

H( = . Prelungirea ei pe axa reala se face conform observatiilor de mai sus.

(- cutoff frequency frecventa prag. )Semnalele exponentiale in complex aplicate instantaneuDe interes pentru aplicatii reprezinta semnalele sinusoidale care se aplica la intrarea sistemului incepand cu un moment de timp n0. Pentru simplitate, vom considera momentul de timp n0=0. Semnalul de intrare este x[n]=.Cunoscand h[n] iesirea sistemului este y[n] =

Cum x[n-k]=0 pentru k>n => h[k]x[n-k]=0 pentru k=n+1,(.Deci pentru n0(0 y[n]=, de unde rezulta (inlocuind si x[n]= ):y[n] = (pag.7/curs)In relatia (3), y[n] cum este definit mai sus pentru n(0, nu se poate scrie in functie de H, pentru ca suma nu este de la k=0 la (. Si atunci putem scrie y[n] in functie de H daca scadem din suma toti termenii de la n+1 la (:

y[n] = - () = H- () (4) yss [n] + yt[n]Motivul pentru care y[n] s-a exprimat astfel este pentru ca se doreste studiul stabilitatii sistemului cand la intrare se aplica x[n]= . Adica se doreste sa se stie - ce proprietati trebuie sa aiba un sistem dupa ce a fost proiectat sa aiba un anumit raspuns in frecventa, ca atunci cand la intrare i se aplica un semnal sinusoidal brusc, in timp iesirea sa fie tot sinusoidala, iar sistemul sa fie stabil ?

In expresia lui y[n] primul termen este marginit (de obicei raspunsul in frecventa H este marginit in modul), si reprezinta iesirea ideala a sistemului (in curs numita steady-state solution, notata cu yss ).

Discutia stabilitatii sistemului se face doar dupa yt[n], adica doar dupa suma din al doilea termen.

Marimea yt[n]= - se numeste raspunsul tranzient al sistemului, si reprezinta marimea cu care iesirea sistemului difera fata de iesirea ideala yss[n] datorita aplicarii bruste a lui .

Este de dorit ca raspunsul tranzient al sistemului in timp sa se apropie de 0, adica dupa aplicarea brusca a semnalului de intrare sinusoidal, dupa un anumit timp sistemul sa aiba:

y[n]= yss[n] = H(x[n]

|yt[n]| = |-|

Sistemul y[n] este stabil daca yt[n] este stabil, adica daca si numai daca .

O conditie suficienta ca sistemul sa fie stabil este ca . Atentie - nu si o conditie necesara, adica daca yt[n] poate fi orice sir marginit, insa e de dorita ca yt[n] -> 0, astfel incat iesirea y[n] sa fie ideala yss[n]Daca h[k]=0 incepand cu M (M), sistemul se numeste sistem cu raspuns finit. Pentru sistemele cu raspuns finit, yt[n] = 0 pentru n > M-1. (pag.7/curs, jos).

O conditie necesara pentru existenta lui H este ca in general , deoarece |H|=

Reprezentarea secventelor utilizand transformata FourierMulte secvente se pot scrie si sub forma integrala Fourier astfel (pag.9/curs):

(5)Unde (6)

Ecuatiile (5) si (6) impreuna formeaza reprezentarea Fourier a secventei. Ecuatia (5) corespunde transformatei Fourier inverse, iar ecuatia (6) corespunde transformatei Fourier discreta. In (5), x[n] este o suma infinita de sinusoide complexe de forma:

Transformata Fourier (6) se foloseste pentru a calcula cat din fiecare frecventa se utilizeaza pentru a sintetiza semnalul x[n].

Sau in forma polara:

formeaza spectrul de amplitudine al semnalului in functie de (, iar

formeaza spectrul de faza al semnalului.

Din relatia (3) : H(

EMBED Equation.3 rezulta H( este transformata Fourier discreta a raspunsului la impuls. Aplicand transformata Fourier inversa rezulta:

In ecuatia (6), conditia ca | este ca .

Proprietatile de simetrie ale transformatei FourierProprietatile semnalelor de intrare se pot regasi in proprietatile transformatei Fourier, lucru care poate conduce la gasirea mai usoara a solutiilor la probleme.DefinitiiO secventa conjugat-simetrica xe[n] este definita ca secventa pentru care xe[n]= x*e[n].

O secventa conjugat-asimetrica xo[n] este definita ca secventa pentru care

xo[n]= -x*o[n],unde prin * se intelege operatia de conjugare a numerelor complexe.

Proprietate: Orice secventa x[n] se poate scrie ca o suma dintre o secventa conjugat-simetrica si o secventa conjugat-asimetrica (pag.16/curs):x[n]= xe[n] + xo[n]

O secventa para este o secventa de numere reale, conjugat-simetrica pentru care xe[n]= xe[-n].

O secventa impara este o secventa de numere reale, conjugat-asimetrica pentru care xo[n] = - xo[-n]Analog, transformata Fourier se scrie ca o suma de functii conjugat-simetrice si conjugat-asimetrice:X(ej() = Xe(e j() + Xo(e j()

In tabelul de mai jos (pag.17/curs) sunt enumerate proprietatile de simetrie ale transformatei Fourier.

Teoremele transformatei Fourier

Notam X(ej()=F(x[n]) si x[n]=F-1{X(ej()}

Teoremele transformatei Fourier cat si cateva exemple de transformate Fourier sunt enumerate in tabelele de mai jos (pag.20, 22/curs).

Liniaritatea transformatei FourierDaca

atunci

Intarzierea in timp si frecventa

Daca semnalul de intrare x[n] este intarziat cu nd, atunci:

Inversarea argumentului Daca

Atunci

Diferentierea in frecventa

Teorema lui ParsevalDaca

atunci

Teorema de convolutieDaca

si daca

si daca

Atunci

Teorema de modulatie Daca

si

si daca

atunci

Semnale aleatoare discrete in timp

Un semnal stocastic este considerat ca apartine unei familii de semnale discrete in timp, fiind caracterizat de o multime de densitati de probabilitate.

Mai precis, pentru un semnal particular la un moment de timp, amplitudinea semnalului la acel moment de timp se presupune ca a fost determinata de o multime de probabilitati care sta la baza procesului.

Cu alte cuvinte, semnalul x[n] este rezultatul unei variabile aleatoare xn. Intregul semnal este reprezentat de o colectie de variabile aleatoare pentru fiecare moment de timp -(