metode cantitative si calitative in managementul modern

5/17/2018 Metode Cantitative Si Calitative in Managementul Modern - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/metode-cantitative-si-calitative-in-managementul-modern-55b0

CUPRINS

CAPITOLUL 1 ANALIZA CANTITATIVĂ, CALITATIVĂ ŞI PROCESUL DE LUARE ADECIZIEI ..................................................................................................1.1 Procesul de analiză cantitativă ..........................................................

CAPITOLUL 2MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT .................................2.1 Problemă de transport .......................................................................2.2 Problema de transport: o problemă de programare liniar ă ................2.3 Problema de transport. procedur ă practică de rezolvare ...................2.3.1 Găsirea unei soluţii iniţiale fezabile. Metoda Costului Minim ..........2.4 Metoda Stepping-Stone .....................................................................2.5 Situaţii speciale care apar în problema de transport .........................

CAPITOLUL 3MODELAREA PROBLEMELOR DE DISTRIBUŢIE PRIN MODELE DEREŢEA .....................................................................................................3.1 Problema celei mai scurte rute ..........................................................3.1.1 Algoritmul celei mai scurte rute .......................................................3.2 Problema arborelui de acoperire minimală ........................................3.2.1 Algoritmul arborelui de acoperire minimală (Greedy) .....................3.3 Problema de flux maxim ....................................................................

3.3.1 Algoritmul pentru flux maxim ..........................................................

CAPITOLUL 4MODELE DE STOCARE .........................................................................4.1 Modelul de stocare cu cerere constantă ...........................................4.2 Modelul de stocare a producţiei fabricate pe loturi ............................4.3 Model de stocare cu cerere constantă şi lipsă de stoc ......................

4.4 Model de stocare cu cerere variabilă ................................................

77

20202430314049

535354656669

70

79829095

100



CAPITOLUL 5FIRE DE AŞTEPTARE ............................................................................5.1 Fir de aşteptare cu o singur ă unitate de deservire ............................5.1.1 Distribuţia sosirilor ..........................................................................

5.1.2 Distribuţia timpilor de deservire ......................................................5.1.3 Regula de deservire .......................................................................5.2 Fir de aşteptare cu sosiri poissoniene şi timpi de deservireexponenţiali .............................................................................................

CAPITOLUL 6SIMULAREA PROCESELOR ECONOMICE ...........................................6.1 Simularea unui proces de stocare .....................................................

BIBLIOGRAFIE ........................................................................................

104106107

109111

112

115115

120



CAPITOLUL 1

ANALIZA CANTITATIVĂ, CALITATIVĂ ŞI

PROCESUL DE LUARE A DECIZIEI

1.1 Procesul de analiză cantitativă

În studiul metodelor cantitative pentru luarea deciziei seconsider ă procedura bazată pe parcurgerea următoarelor cincietape: (1) definirea problemei, (2) dezvoltarea modelului, (3) pregătirea datelor, (4) generarea soluţiei şi (5) întocmirea

raportului.

1. Definirea problemei. Definirea problemei esteconsiderată ca fiind cea mai critică etapă a procesului deanaliză cantitativă. De cele mai multe ori este necesar ă imaginaţie, lucru în echipă şi un considerabil efort de atransforma cel mai adesea o problemă descrisă la modulgeneral într-o problemă dine definită în care se pot aplicametode de management cantitativ. De exemplu, o problemă descrisă prin „exces de stoc“ poate fi clar definită în termenii privind obiectivele specifice şi restricţiile de operare, înainte caun analist să parcurgă următoarea etapă a procesului de analiză cantitativă. Implicarea utilizatorului este aici esenţială, analistultrebuie aici să lucreze în colaborare cu managerul sau cuutilizatorul rezultatelor.



A N A L I Z A C A N T I T A T I VĂ , C A L I T A T I VĂ Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 8

2. Dezvoltarea modelului. Modelele reprezintă reprezentări ale obiectelor sau situaţiilor reale. Aceste

reprezentări, modele, pot fi f ăcute în forme variate. Deexemplu, un avion real poate fi reprezentat printr-o machetă, unmodel al unui avion la scar ă redusă, numită „model fizic“.Acest model reprezintă replica fizică a obiectului real. Înterminologia modelării, aceste replici fizice ale obiectelor reale poartă denumirea de „machete“.

Există, de asemenea, modele care sunt fizice în formă,dar nu au reprezentarea fizică a obiectului modelat. Asemenea

modele sunt denumite „modele analoage“1.O altă categorie de modele, care vor fi studiate in

continuare, este cea care include acele reprezentări ale problemelor în simboluri şi expresii matematice sau relaţii.Asemenea modele sunt numite „modele matematice“ şireprezintă elementul critic, cu o importanţă semnificativă, înabordarea cantitativă a procesului decizional. De exemplu profitul generat de vânzarea unui produs (P) poate fi determinat prin multiplicarea profitului unitar cu numărul de unităţivândute (x). Dacă profitul unitar este de 10 u.m., atunciurmătoarea relaţie defineşte profitul total obţinut prin vânzareaa x unităţi de bun:

P = 10x (1.1)

Scopul, valoarea unui model este determinată de

posibilitatea de a trage concluzii despre o situaţie reală, prinstudierea şi analizarea modelului. De exemplu, un constructor de avioane testează, sub forma unei machete, un nou avion întunelul aerodinamic, pentru a cunoaşte potenţialul de zbor alavionului la mărimea reală. În mod asemănător, un model

1 Un termometru este un model analog. Poziţionarea indicatoruluitermometrului pe scala de măsurare indică temperatura.



A N A L I Z A C A N T I T A T I VĂ , C A L I T A T I VĂ Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I9

matematic poate fi utilizat pentru a oferi concluzii privind profitul obţinut prin vânzarea unei anume cantităţi de produs

vândute. În corelaţie cu relaţia (1.1) se va obţine un profit de 40u.m. prin vânzarea a 4 unităţi de bun.În general, experimentarea cu ajutorul modelelor

necesită mai puţin timp şi este mai puţin costisitoare decâtexperimentarea cu obiecte la scara 1:1, sau, în situaţii concretereale. Experimentarea cu ajutorul modelului avionului la scar ă redusă este mai rapidă şi mai puţin costisitoare decâtexperimentarea cu un avion la mărimea reală. În mod identic,

modelul matematic prezentat anterior permite o rapidă determinare a profitului posibil f ăr ă a fi necesar ă deciziamanagerului de a produce şi a vinde x unităţi de bun. Modelele,de asemenea, prezintă avantajul că reduc riscul asociat cuexperimentarea în situaţii reale. În particular, se poate apreciacă un design neadecvat, sau o decizie nepotrivită, pot cauza pr ă buşirea avionului proiectat, iar un proiect care poate avea o pierdere potenţială mare (de exemplu 50.000 u.m.) poatedetermina decizia de a nu fi aplicat în situaţia reală.

Acurateţea concluziilor şi a deciziilor luate pe bazastudierii unui model sunt în corelaţie cu cât de bine, acesta,reprezintă situaţiile reale. Astfel, modelul avionului va puteareprezenta un avion real, iar concluziile vor determinacaracteristicile şi comportamentul real al avionului în timpulzborului. La fel, modelul matematic ce descrie relaţia profitului

cu cantitatea vândută, determinat la nivelul firmei, va ar ăta cumai mare acurateţe care vor fi predicţiile profitului.În continuare se va aprofunda procesul de modelare

matematică. Rezolvarea problemei manageriale trebuie să treacă în mod uzual prin etapa definirii problemei care să conducă spre un obiectiv specific, precum maximizarea profitului sau minimizarea costurilor, şi determinarea




restricţiilor (de exemplu capacitatea de producţie). Succesulmodelului matematic şi al abordării cantitative va depinde

direct de acurateţea cu care au fost determinate funcţia(funcţiile) obiectiv şi restricţiile modelului, de modalitatea încare acestea au fost reprezentate în modelul matematicecuaţional.

Denumim în continuare func ţ ie obiectiv acea expresiematematică ce descrie obiectivul problemei. De exemplu,ecuaţia profitului P = 10x poate fi funcţie obiectiv pentru firmacare doreşte să-şi maximizeze profitul. O restricţie relativă la

capacitatea de producţie poate fi necesar ă dacă, de exemplu,sunt necesare 5 ore pentru producerea unei unităţi de bun şisunt disponibile pe parcursul să ptămânii de lucru doar un totalde 40 de ore. Dacă x reprezintă numărul de unităţi produse,restricţia relativă la timpul de lucru poate fi:

5x ≤ 40

Valoarea 5x reprezintă timpul necesar pentru a producex unităţi de bun. Simbolul „≤“ arată că timpul necesar pentru producţie trebuie să fie mai mic sau egal cu disponibilul de 40de ore.

Problema decizională decurge din întrebarea: Câteunităţi de produs trebuie programate a fi realizate în fiecaresă ptămână pentru a maximiza profitul? Modelul matematiccomplet pentru această problemă simplă de producţie este:

max P = 10x funcţie obiectiv

⎩ ≥

≤

0x

405xrestricţii

Restricţia x ≤ 0 se refer ă la producţia care urmează a firealizată, care poate fi zero sau mai mare decât zero, dar, se




consider ă astfel că producţia nu poate lua valori negative.Soluţia modelului poate fi uşor calculată şi este x=8 având un

profit asociat de 80 u.m.. Acest model este un exemplu, simplu,de programare liniar ă.În modelul anterior, profitul unitar (10 u.m.), timpul de

producţie al unei unităţi (5 ore) şi capacitatea de producţie (40ore) reprezintă factori care nu se află sub controlul manageruluisau al decidentului. Asemenea factori pot influenţa deopotrivă funcţia obiectiv şi restricţiile şi sunt denumite „ factori

necontrolabili“ ai modelului. Intr ările care sunt controlate, sau

determinate de decident, sunt denumite „intr ări controlabile“ în model. Intr ările controlabile reprezintă decizii alternativespecificate de manager, ele fiind de asemenea denumite şi„variabile de decizie“ ale modelului.

Modelulmatematic

Ieşiri(Rezultate

proiectate)

Intr ăricontrolabile(Variabile de

decizie)

Intr ărinecontrolabile

Figura nr. 1. 1 Reprezentarea procesului de transformare aintr ărilor în ie şiri prin procesul de transformare modelat

Odată ce toate variabilele controlabile şi necontrolabileau fost stabilite, funcţia obiectiv şi restricţiile pot fi evaluate,iar output-ul modelului determinat. În acest sens, output-ulmodelului reprezintă o simplă proiecţie a ceea ce s-ar întâmpla




dacă aceşti factori particulari şi decizia se vor întâlni într-osituaţie reală. O reprezentare a modului în care factorii

controlabili şi cei necontrolabili sunt transformaţi de modelulmatematic din intr ări în ieşiri este cea din Figura nr. 1.1.

profit unitar 10$timp lucru unitar 5 orecapacitate de producţie

40 ore

Intr ări necontrolabile

max P = 10x

⎩ ≥

≤

0x

405xProfitul

proiectat şirespectarearestricţiei

tim ului de

Nivelulcantităţii

produse (x)

Modelul matematicIntrări Ieşiri

Figura nr. 1. 2 Reprezentarea modelului de produc ţ ie

În Figura nr. 1.2 este realizată o reprezentare similar ă cu cea anterioar ă în care sunt punctate detaliile specificemodelului de producţie. Aşa cum s-a ar ătat înainte, inputurile

necontrolabile sunt acelea care nu pot fi influenţate dedecident. Inputurile controlabile şi necontrolabile ale unuimodel depind de problema particular ă analizată sau de situaţiadecizională. În problema de producţie anterioar ă, timpul de producţie necesar, 40 de ore, este un input necontrolabil. Dacă este posibil să fie angajate alte persoane, sau să se presteze ore




suplimentare, numărul de ore de producţie va deveni un inputcontrolabil şi, desigur, o variabilă de decizie în model.

Inputurile necontrolabile, sau nu pot fi cunoscute cuexactitate, sau sunt incerte, şi, în consecinţă, au valori variabile.Dacă toate inputurile necontrolabile ale unui model suntcunoscute şi nu pot varia, modelul respectiv este denumit„model deterministic“. Nivelul ratelor taxelor şi impozitelor nuse află la discreţia managerului şi astfel ele constituie un inputnecontrolabil în multe modele de decizie. Dacă aceste rate suntcunoscute şi fixe, cel puţin pe termen scurt, un model

matematic cu rate ale taxelor şi impozitelor ca fiind singureleinputuri necontrolabile, va fi un model deterministic.Caracteristica principală a modelului deterministic este aceeacă valorile inputurilor controlabile sunt cunoscute dinainte.

Dacă unul din inputurile necontrolabile este variabil,atunci modelul este numit „model stochastic“. Un inputnecontrolabil în toate modelele de producţie este cererea pentruacel produs. Dacă cererea posibilă viitoare este încadrată întredouă valori pe un interval, un model matematic ce tratează cererea în condiţii de incertitudine este un model stochastic. Înmodelul de producţie, numărul total mediu de ore necesare pentru realizarea unui produs, timpul total disponibil şi profitulmediu unitar sunt toate inputuri necontrolabile. Dacă toateinputurile necontrolabile iau valori cunoscute şi fixe, modeluleste deterministic. Dacă numărul total mediu de ore necesare

pentru realizarea unui produs poate varia între 3 şi 6 ore, înfuncţie de calitatea materiei prime, modelul este stochastic.Caracteristica unui model stochastic este că nu poate fideterminată valoarea output-ului, chiar dacă valoarea input-uluicontrolabil este cunoscută, din cauza valorilor specifice aleinputurilor necontrolabile, care nu sunt cunoscute. Din aceste




considerente, modelele stochastice sunt, adesea, mult maidificil de analizat.

3. Pregătirea datelor. A treia etapă în analizacantitativă este pregătirea datelor necesare modelului. În acestsens sunt necesare datele care reprezintă valori ale inputurilor necontrolabile din model. Toate inputurile necontrolabiletrebuie să fie specificate înainte de a putea să se analizezemodelul şi de a selecta decizia bazată pe soluţia problemei.

În modelul de producţie, valorile inputurilor necontrolabile sunt: 10 u.m. profitul unitar, 5 ore necesare

pentru realizarea unei unităţi de produs şi 40 de ore pentrucapacitatea de producţie. În dezvoltarea modelului, acestevalori sunt cunoscute şi sunt încorporate în modelul care a fostcreat. Dacă modelul este relativ mic, şi numărul valorilor deinput necontrolabile (a datelor) necesare este redus, analistul, probabil că va combina etapa de dezvoltare a modelului cu ceade pregătire a datelor. În acest moment sunt introduse datelevalorice şi sunt determinate ecuaţiile matematice ale modelului.

În multe situaţii de modelare, datele sau valorilenecontrolabile nu sunt prezentate pentru a fi introduse ca atare.În aceste situaţii, managerul poate determina că modelulnecesită date relative la: profit unitar, timp de producţie şicapacitate de producţie, dar valorile nu pot fi luate direct dinevidenţele contabile ale firmei, din compartimentul de producţie sau proiectare. Adesea, în încercarea de a colecta

datele, modelul este dezvoltat, iar analistul va folosi o notaţiegenerală pentru etapa de dezvoltare a modelului şi va trece,apoi, la etapa de pregătire a datelor, pentru a obţine valorileinputurilor necontrolabile.

Se foloseşte următoarea notaţie:c = profit unitar;a = timpul de producţie în ore pe unitate produsă;




b = capacitatea de producţie în ore,iar în etapa de dezvoltare a modelului, acesta se va

reprezenta în modul următor:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤

0x

ba·x

c·xopt

Apoi se vor identifica valorile corespunzătoare pentru a, b şi c pentru a defini corespunzător modelul.

O parte din analiştii neexperimentaţi presupun că odată ce problema a fost definită şi modelul general dezvoltat, problema este în esenţă rezolvată. Aceştia cred că etapa de pregătire a datelor este o etapă cu o mică importanţă. În specialmodelele mari care au numeroase valori de input afirmaţiaanterioar ă nu poate fi departe de adevăr. De exemplu, înmodele de dimensiuni moderate, cu 50 de variabile de decizieşi 25 de restricţii sunt necesare peste 1300 de date care trebuieidentificate şi pregătite pentru a fi introduse în model. Timpulnecesar pentru pregătirea acestor date şi posibilitatea de a greşi,arată că etapa de pregătire a datelor este critică în procesul deanaliză cantitativă. Adesea este necesar ă o bază de date care să furnizeze modelului matematic informaţiile necesare, iar specialiştii vor fi astfel implicaţi în etapa de pregătire a datelor.

4. Generarea soluţiei. Odată ce modelul a fostdezvoltat şi etapa de pregătire a datelor este completată, se poate trece la următoarea etapă. Acum, analistul va încerca să identifice valorile de decizie care confer ă cel mai bun output pentru model. Valorile variabilelor specifice de decizie, sauvalorile care ofer ă cel mai bun output, poartă denumirea de„ solu ţ ie optimal ă“ a modelului. Pentru problema de producţie,




generarea soluţiei este etapa care implică găsirea valoriicantităţii de produs, respectiv variabila de decizie x , care

maximizează profitul, f ăr ă însă a determina nerespectarearestricţiilor modelului relative la capacitatea de producţie.Procedura de evaluare şi selectare care trebuie folosită

în această etapă presupune încercări în care modelul este folosit pentru a testa şi evalua diferite variante de decizie alternative.În modelul de producţie, aceasta înseamnă testarea şi evaluareamodelului considerând valori pentru producţia x, variabile. Seconsider ă modelul din Figura nr. 1.2 şi se calculează pentru

valori diferite ale lui x şi se verifică dacă acestea generează profit corespunzător şi, totodată, respectă restricţiile capacităţiide producţie. Dacă o decizie alternativă nu satisface una saumai multe din restricţiile modelului, decizia alternativă esterespinsă ca nefezabilă relativă la valoarea funcţiei obiectiv.Dacă toate restricţiile sunt satisf ăcute, decizia alternativă estefezabilă şi este candidată la „cea mai bună soluţie“ sau decizierecomandată.

Tabelul nr. 1. 1 Reprezentarea procedurii de evaluare şi selecţie

Alternativa dedecizie

(Cantitatea de produs) x

Profitul proiectat

Total orede

producţie

Soluţie fezabilă?(capacitatea =40)

0 0 0 Da

2 20 10 Da4 40 20 Da6 60 30 Da8 80 40 Da10 100 50 Nu12 120 60 Nu




Folosind această procedur ă de evaluare şi selectare adeciziilor alternative, decidentul poate identifica o bună – şi

posibil cea mai bună – soluţie fezabilă a problemei. Această soluţie este cea care va determina decizia optimă pentru problemă. În Tabelul nr. 1.1 sunt prezentate rezultatele procedurii de evaluare şi selectare pentru problema prezentată în Figura nr.1.2. Decizia recomandată se refer ă la o cantitate produsă de 8 unităţi, iar soluţia fezabilă, cu cel mai mare profit,corespunde aceleiaşi cantităţi produse.

Dacă procedura de evaluare şi selecţie poate fi aplicată

relativ uşor şi poate să ofere informaţii de valoare managerului,atunci, ea va fi folosită pentru selectarea deciziei optime. Dacă ea necesită calcule foarte laborioase, este posibil să nu mai poată fi aplicată această procedur ă. Totuşi analiştii chiar audezvoltat proceduri pentru multe modele care sunt maieficiente chiar decât procedura de evaluare şi selecţie1. Deremarcat că pentru modelele de mici dimensiuni calculele pot fiefectuate manual, pentru cea mai mare parte a aplicaţiilor practice este necesar ă folosirea unui computer.

Este important de ştiut că etapele de dezvoltare amodelului şi cea de generare a soluţiei nu pot fi completseparate. Atunci când analistul va dori să dezvolte un model demare acurateţe care să transpună în relaţii matematice problema, el va dori să poată obţine soluţia problemei. Dacă modelul va fi foarte extins, complex, atunci va fi poate chiar

imposibil de a se cunoaşte soluţia acestuia. În această situaţie,un model simplificat, uşor de înţeles, cu p procedur ă care să conducă spre cunoaşterea soluţiei va fi preferat, chiar dacă soluţia determinată prin acesta este doar o aproximare a celeimai bune decizii. Pe măsur ă ce analiştii acumulează cunoştinţe

1 Sunt introduse în această lucrare proceduri de căutare a soluţiilor pentru mai multe tipuri de modele matematice care vor fi formulate.




despre metodele cantitative, modelele generate de aceştia vor fimai uşor dezvoltate şi rezolvate.

După ce soluţia modelului a fost obţinută, managerulîmpreună cu analistul vor fi interesaţi să afle cât de bună estesoluţia determinată. După generarea modelului, analistultrebuie să verifice acurateţea modelului, pentru a cunoaştegradul de confidenţă a soluţiilor generate de acesta, ceea ce presupune rezolvarea modelului.

Testarea şi validarea modelului sunt etape care presupun confruntarea rezultatelor generate de model cu

rezultatele economice obţinute în situaţia reală modelată. Dacă modelul generează soluţia identică cu cea obţinută în situaţiareală, atunci modelul ar putea fi folosit pentru rezolvarea problemei pentru care a fost formulat. Totuşi, în situaţia în caresunt identificate probleme determinate de lipsa de acurateţe amodelului, pot fi realizate acţiuni corective relative lamodificarea modelului sau a datelor de intrare ale acestuia.Chiar şi după acţiunea corectivă, soluţia modelului nu va fifolosită în practică până când modelul nu va trececorespunzător de testare şi validare.

5. Întocmirea raportului. Etapa finală în procesul deanaliză cantitativă este reprezentat de pregătirea rapoartelor manageriale bazate pe soluţia modelului. Referitor la procesulde luare al deciziei în problema supusă analizei cantitative,managerul va menţiona în raportul său soluţia generată de

modelul cantitativ într-o modalitate care să determineînţelegerea acesteia şi la alte niveluri ierarhice. Raportul vaconţine decizia recomandată, dar şi alte informaţii pertinentedespre rezultatele modelului care pot fi utile.

Implementarea modelului. Generarea raportuluimanagerial este ultima etapă în procesul de analiză cantitativă




bazată pe soluţia obţinută prin intermediul modelului. Astfel,r ămâne la latitudinea managerului dacă va include soluţia

cantitativă, cu consideraţiile calitative pentru a face ca decizialuată să fie cea mai bună posibilă. După aceasta, managerultrebuie să urmărească implementarea şi să realizeze evaluareadeciziei. În timpul implementării, dar şi după aceasta,managerul trebuie să continue să monitorizeze contribuţiamodelului. În acest moment, se poate ridica problemaextinderii şi a creşterii acurateţei modelului care vor determinamanagerul să se întoarcă la etapele de început ale procesului de

analiză cantitativă.Implementarea cu succes a rezultatelor este de mare

importanţă atât pentru analist cât şi pentru manager. Dacă rezultatul procesului de analiză cantitativă nu este implementat,întregul efort depus a fost în zadar.

Adesea implementarea necesită ca angajaţii care vor aplica soluţiile modelului să trebuiască să realizeze activitateaîntr-un mod diferit, cu eficienţă sporită, iar managerul poate să se lovească de rezistenţa acestora la schimbare. Una dintre celemai eficiente modalităţi de implementare este să se implice câtmai mulţi angajaţi în procesul de modelare. Dacă angajaţii simtcă şi-au adus aportul la identificarea problemei şi la dezvoltareasoluţiei, ei vor fi mai entuziaşti în aplicarea rezultatelor.Succesul implementării rezultatelor ştiinţei managementului în practică este mare pentru acele proiecte care au antrenat cât

mai mulţi angajaţii1

.

1 Brabb J. George, Introduction to Quantitative Management, Holt,Reinhart and Winston Inc., New York, 1968, pg. 13.



CAPITOLUL 2

MODELAREA PROBLEMELOR DETRANSPORT

2.1 PROBLEMĂDE TRANSPORT

Problemele de transport pot să apar ă adesea în planificarea distribuţiei de bunuri şi servicii, din mai multelocaţii, unde există disponibilitate, spre locaţiile unde se află cererea. De obicei, cantitatea de bunuri disponibile în fiecarelocaţie de ofertă (origine) este fixă sau limitată, un anumit nivelal cererii fiind înregistrat la destinaţie.

De obicei firmele dispun de mai multe rute care leagă sursele de destinaţie şi pe acestea sunt asignate costuri diferitede transport.

Tabelul nr. 2. 1

Origine Unitatea de producţieCapacitatea d producţie

lunar ă (buc)1 Braşov 5.000

2 Cluj 6.0003 Oradea 2.500

TOTAL 13.500

Obiectivul acestei rezolvări este determinarea a cât demulte unităţi de produs vor fi transportate, din origini (surse)spre fiecare destinaţie, astfel încât toate cererile la destinaţie să



MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 21

fie satisf ăcute cu condiţia ca şi costul total de transport să fieminim.

Fie ilustrarea următoarei probleme de transport pe care

o are de rezolvat firma G.M. care produce generatoare decurent electric. Această problemă implică transportul produselor de la trei unităţi de producţie spre patru centre dedistribuţie. G.M. dispune de centre de distribuţie în Braşov,Cluj, Oradea, iar capacităţile de producţie ale firmei în decursde o lună sunt cele din Tabelul nr. 2.1.

Tabelul nr. 2. 2

Destinaţie Centru de distribuţieCerere lunar ă previzionată

(buc.)1 Bucureşti 6.0002 Craiova 4.0003 Constanţa 2.0004 Iaşi 1.500

TOTAL 13.500

Se presupune că firma distribuie generatoarele prin patru centre regionale de distribuţie situate în Bucureşti,Craiova, Constanţa şi Iaşi. Cererea lunar ă corespunzătoare pentru centrele de distribuţie este prezentată în Tabelul nr. 2.2.

Managerul firmei G.M. vrea să determine cât din producţia realizată în fiecare centru de producţie va fitransportat spre fiecare centru de distribuţie. Figura următoarereprezintă grafic legăturile posibile dintre centrele de producţieşi cele de distribuţie.

În Figura nr. 2.1 prin cercuri sunt reprezentate noduri (surse sau destinaţii) iar liniile care unesc aceste noduri se




numesc arce. Graful care corespunde nodurilor interconectatese numeşte re ţ ea.

Figura nr. 2. 1 Re ţ ea de transport

Oferta Rute Cererea

O problemă de transport poate fi reprezentată grafic cao reţea. Din acest motiv problema este numită şi problemă de

flux în re ţ ea. Bunurile transportate de la origine spre destinaţiereprezintă fluxul din reţea.




Tabelul nr. 2. 3 Costul transportului

DestinaţiiSurse Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi

Braşov 3 2 7 6Cluj 7 5 2 3Oradea 2 5 4 5

Costul de producţie este considerat, aici, identic pentrucele trei unităţi de producţie, costul care este variabil fiind

numai cel de transport. Astfel, se pune problema să sedetermine rutele care vor fi folosite şi cantitatea ce va fitransportată pe acestea, astfel încât toată cererea să poată fisatisf ăcută cu un cost de transport minim. Costurile pentrufiecare unitate transportată pe fiecare rută sunt prezentate înTabelul nr. 2.3.




2.2 PROBLEMA DE TRANSPORT: O PROBLEMĂDE PROGRAMARE LINIARĂ

Se poate folosi un program de programare liniar ă pentrua rezolva problema de transport a firmei G.M. Se vor folosivariabile precum x11 care reprezintă cantitatea de produsetransportate din sursa 1 (Braşov) în destinaţia 1 (Bucureşti); x12 reprezintă cantitatea de produse transportate din sursa 1(Braşov) în destinaţia 2 (Craiova) etc.

Variabilele de decizie pentru problema de transport careare m origini (surse) şi n destinaţii pot fi notate prin xij şi vor reprezenta numărul de unităţi transportate din sursa i ladestinaţia j, cu i =1,…,m şi j =1,…,n.

Folosind notaţia de mai sus, pentru x24 = 500, eacorespunde unui transport de 500 bucăţi de produs din sursa 2(Cluj ) la destinaţia 4 (Iaşi).

Pe baza costurilor de transport din Tabelul nr. 2.3, se poate determina costul transporturilor pe baza următoarelor

expresii:a) costul transportului dinspre Braşov = 3x11+2x12+7x13+6x14

b) costul transportului dinspre Cluj = 7x21+5x22+2x23+3x24

c) costul transportului dinspre Oradea = 3x31+5x32+4x33+5x34

Suma expresiilor de mai sus reprezintă funcţia obiectivcare calculează nivelul costului total de transport al G.M.

Restricţiile problemei sunt determinate, la sursă, denivelul limitat al producţiei iar la destinaţie de nivelul cererii.

În cazul producţiei din fiecare fabrică avem numărul total de bunuri oferite mai mic sau egal cu numărul de bunuri produseîntr-un centru de producţie. Astfel se poate scrie pentru fiecarefurnizor:

x11+x12+x13+x14 ≤ 5000 oferta furnizorului din Braşovx21+x22+x23+x24 ≤ 6000 oferta furnizorului din Clujx31+x32+x33+x34 ≤ 2500 oferta furnizorului din Oradea




Firma dispune de patru centre de distribuţie undetrebuie să se asigure că întreaga ofertă va fi satisf ăcută. Pentrufiecare centru se deduce:

x11 + x21 + x31 = 6000 cererea în Bucureştix12 + x22 + x32 = 4000 cererea în Craiovax13 + x23 + x33 = 2000 cererea în Constanţax14 + x24 + x34 = 1500 cererea în Iaşi

Combinând funcţia obiectiv cu cele trei restricţii privind oferta şi cele patru restricţii privind cererea se obţine o problemă de programare liniar ă cu 12 variabile şi 7 restricţiiliniare astfel:

max f = 3x11+2x12+7x13+6x14+7x21+5x22+2x23+3x24+3x31+5x32+4x33+5x34

x11+x12+x13+x14 ≤ 5000x21+x22+x23+x24 ≤ 6000

x31+x32+x33+x34 ≤ 2500x11 +x21 +x31 = 6000

x12 +x22 +x32 = 4000x13 +x23 +x33 = 2000x14 +x24 +x34 = 1500

xij≥ 0, pentru i =1,…,3 şi j = 1,…,4

Soluţia optimă pentru problema de transport a GM esteo soluţie în care toate valorile sunt numere întregi. Acest faptreprezintă o cerinţă obiectivă în rezolvarea problemelor detransport. Datorită structurii speciale a restricţiilor problemelor de transport întotdeauna se obţin soluţii numere întregi dacă nodurile sursă şi cele destinaţie prezintă oferta şi respectivcererea în numere întregi.

Varietatea de probleme de bază de transport se potîncadra în una sau mai multe din situaţiile următoare:




1. Oferta totală nu egalează cererea totală.2. Fiecare obiectiv poate fi de maximizare.3. Unele rute pot să prezinte restricţii relative la capacitatea

minimă sau maximă de transport.4. Unele rute nu pot fi lua te în considerare fiind considerate

inacceptabile.Cu unele modificări în PPL de transport, aceste situaţii

pot fi luate în considerare în atingerea soluţiilor.Cea mai întâlnită situaţie este cea în care oferta totală

nu este egală cu cererea totală. Când cantitatea oferită este peste nivelul cererii nu apar modificări în formularea modeluluiPPL. Excesul de ofertă va introduce variable de relaxare înrezolvarea PPL. Relaxarea poate fi interpretată prin ofertă neutilizată sau prin cantităţi oferite care sunt transportate, dinsurse spre centrul de distribuţie.

Dacă oferta totală este mai mică sau egală cu cantitateacerută, modelul PPL nu va avea o soluţie fezabilă pentru că restricţiile impuse de cerere nu vor fi satisf ăcute. În acest caz, o

modificare în restricţiile PPL devine necesar ă pentru a permiterezolvarea problemelor de transport şi obţinerea soluţieiacesteia. Se va introduce, astfel, o sursă fictivă a cărei ofertă (fictivă) reprezintă chiar excesul de cerere peste nivelul ofertei.Se va asocia costul nul pentru transportul de la această sursă fictivă spre fiecare nod al cererii, ceea ce în funcţia obiectiv vaînsemna costul transportului doar pe rutele care au cost asociatdiferit de 0, deci soluţia optimă a problemei nu se modifică (nuvor mai efectuate practic transporturi de bunuri pe rutele cucost asociat zero dinspre sursa fictivă).

Odată introdusă sursa fictivă, oferta totală egalează cererea totală, iar modelul PPL poate fi folosit să genereze osoluţie. Pentru valoarea optimă obţinută, destinaţiile care primesc transporturi dinspre sursa fictivă vor fi cele pentru carecererea nu poate fi satisf ăcută în totalitate. Prin introducerea




sursei fictive în modelul PPL se va genera un program detransport cu cost minim pentru toată oferta disponibilă şi se vor indica în plus acele destinaţii pentru care există cerere

nesatisf ăcută.În unele formulări de probleme este posibil (sau este de

dorit) să se considere profitul sau venitul pentru fiecare unitatetransportată decât să se ia în considerare costul unitar.Folosirea venitului sau a profitului unitar în coeficientulfuncţiei obţinute va impune rezolvarea unei probleme demaxim şi nu de minim (criteriul costului în modelul PPL).Restricţiile vor fi afectate de această modificare.

Formularea problemelor de transport poate fimodificată pentru a lua în considerare capacitatea de

transport pentru una sau mai multe rute. De exemplu presupunem că pe ruta Oradea-Bucureşti (sursa 3, destinaţie 1)capacitatea de transport este de 1000 unităţi din cauza spaţiuluidisponibil de transport limitat, restricţie care este impusă demărimea vehiculului de transport. Această limitare a capacităţii

de transport pe rută poate fi reprezentată în modelul PPL prinadăugarea unei restricţii care corespunde cu limitareasuperioar ă a variabilei de decizie. Pentru x31 (care corespundecantităţii de bun transportat între Oradea şi Bucureşti) în problema GM se introduce restricţia relativă la capacitatea detransport:

x31≤1000La fel, o rută pentru care nivelul minim de unităţi de

marf ă transportate este specificat poate fi x22≥2000, ceea ce vagaranta că numărul unităţilor transportate de la Cluj la Craiovava fi de cel puţin 2000 unităţi.

Ca o situaţie particular ă, cu ajutorul modeleului PPLeste posibil să nu se poată obţine o rută de la fiecare sursă spre(A) destinaţie. Aceasta înseamnă că unele rute sunt




„inacceptabile”. Pentru a rezolva această situaţie, se elimină din problemă variabilele de decizie corespunzătoare acesteirute incluse în modelul în modelul PPL. Rezolvarea problemei

în situaţia în care se consider ă inacceptabilă ruta Braşov şiConstanţa va conţine 11 variabile, 7 restricţii, ceea ce va oferisoluţia optimă în care ruta specificată nu este utilizată.

Modelul general al problemelor de transport înreprezentarea unei PPL. Se folosesc următoarele notaţii careapar în modelul general al problemelor reprezentate printr-oPPL:

i = numărul de surse, i = m,1 ;

j = numărul destinaţiilor, j = n,1 ;xij = cantitatea transportată din sursa i spre destinaţia j;cij = costul de transport asociat rutei dintre sursa i spredestinaţia j;

si = cantitatea de bun sipoanibilă în sursa i;d j = cantitatea de bun cerută în destinaţia j.Modelul general pentru probleme de transport în care

sunt m surse şi n destinaţii este:

min ∑∑==

⋅m

1 j

ijij

n

1i

xc

m1,isx i

m

1i

ij =≤∑=

oferte

n1, jdx j

n

1i

ij =≤∑=

cereri

xij ≥ 0 (∀) i, j




Dacă în problema de transport – problemă de

programare liniar ă oferta totală ( ) este mai mică sau egală

cu cererea totală (∑ ), o sursă fictivă va oferi exact

cantitatea de bun care reprezintă excesul de cerere. Această sursă fictivă poate fi notată prin m+1, iar cantitatea oferită (fictiv) de această sursă este determinată ca:

∑=

m

1i

is

=

n

1 j

id

sm+1 = ∑∑==

−m

1i

i

n

1 j

j sd

Pentru a fi siguri că soluţia optimă obţinută în urmaacestui artificiu va reprezenta costul total de transport, toţicoeficienţii din funcţia obiectiv asociaţi surselor fictive vor finuli (nu se va efectua nici un transport dinspre sursele fictive).

Dacă unele rute au restricţii fictive la capacitatea detransport se vor adăuga restricţii de forma xij≤Lij, unde Lij reprezintă limita superioar ă sau capacitatea maximă detransport a rutei ce leagă sursa i de destinaţia j. Dacă, similar,nivelul minimal acceptat pentru transport pe o rută există,atunci se adaugă restricţia de forma xij≥Lij. Aici Lij corespundenivelului minim de marf ă ce poate fi transportat de la o sursă ispre destinaţia j.




2.3 PROBLEMA DE TRANSPORT. PROCEDURĂPRACTICĂDE REZOLVARE

Dacă problema de transport are 100 de surse şi 500 dedestinaţii, aceasta implică 100⋅500=50000 de variabile dedecizie în problema de transport – problemă de programareliniar ă. Acest fapt a determinat realizarea de proceduri practicede rezolvare a problemei de transport care să nu necesiterezolvarea unei probleme de programare liniar ă asociate problemei de transport. Structura specială a problemei detransport - problemă de programare liniar ă a permismanagerilor să folosească o procedur ă foarte simplificată pentru realizarea facilă a calculelor.

În problemele GM avem 12 variabile de decizie şi 7restricţii. Este clar că rezolvarea problemelor GM ca problemă de transport - problemă de programare liniar ă necesită un efortde calcul considerabil prin rezolvarea folosind AlgoritmuluiSimplex. Prin procedura practică de rezolvare pot fi uşor

rezolvate probleme de transport de mărime mică.

Tabelul nr. 2. 4

Destina ţ iiSurse

Bucureşti Craiova Constanţa IaşiOfertasursei

3 2 7 6Braşov 5000

7 5 2 3Cluj 6000

2 5 4 5Oradea 2500

Cerereadestinaţiei

6000 4000 2000 1500 13500

∑=

n

1 j

id =∑=

m

1i

is

cerere = oferta

Celulă corespunzătoaretransportului de laOradea la Bucureşti




Aplicarea procedurii practice de rezolvare în problemaGM presupune găsirea unei soluţii iniţiale fezabile şi apoi prininteraţii succesive care aduc îmbunătăţiri soluţiei se va

determina soluţia optimă şi se va folosi o reprezentare tabelar ă care va conţine datele problemei şi este utilă în efectuareacalculelor, Tabelul nr. 2.4, unde sunt 12 celule care corespundcelor 12 rute de transport (arce) reprezentate în Figura nr. 2.1.

Fiecare celulă de tabel corespunde unei rute transportde la o sursă spre un centru de distribuţie. Cifrele din colţuldreapta sus al fiecărei celule reprezintă costurile de transportasociate fiecărei rute.

În partea dreaptă a tabelului sunt trecute cantităţiledisponibile în fiecare sursă, iar în linia de jos sunt reprezentatevalorile cererii la destinaţie. În colţul dreapta jos al tabelului setrece nivelul cererii = nivelul ofertei.

După realizarea tabelului, se trece la rezolvarea problemei de transport care presupune determinarea uneisoluţii iniţiale fezabile.

2.3.1 Găsirea unei soluţii iniţiale fezabile. Metoda Costului Minim

Metoda costului minim pentru identificarea unei souţiiiniţiale fezabile presupune alocarea a cât mai multe unităţi sprea fi transportate pe rutele de cost minim.

Paşii de parcurs în aplicarea Metodei costuluiminim pentru obţinerea soluţiei iniţiale fezabile a problemei detransport sunt:

Pasul 1: Identificarea în tabelul de transport a celulei cu costulminim, şi apoi se asigur ă cât mai multe unităţi de transportat înrespectiva celulă. Dacă există mai multe celule cu cost minimidentic se ia în considerare celula în care se pot transporta un




număr maxim de unităţi. Dacă mai există alte celule candidatecu cost identic se va alege în continuare dintre acestea.

Pasul 2: Se reduce în rândul ofertei şi în coloana cereriicantitatea de bun asigurată la pasul 1.

Pasul 3: Dacă toate rândurile cu ofertă şi coloanele cu cerereau fost tăiate, atunci s-a obţinut soluţia iniţială fezabilă. În cazcontrar se continuă cu pasul 4.

Pasul 4: Dacă pe rândul ofertei este acum un disponibil nul, seelimină linia respectivă prin tăietur ă. Dacă pe coloana cereriinivelul acesteia este nul, se elimină coloana prin tăietur ă. Dacă atât linia cât şi coloana sunt tăiate se va face o nouă alocare dezero unităţi pe una din celulele deja tăiate de o linie, pe coloană sau rând.

Pasul 5: Se continuă cu pasul 1 până sunt „tăiate” toate

rândurile şi coloanele.

În Tabelul nr. 2.4 se observă că rutele Braşov-Craiova,Cluj-Constanţa şi Oradea-Bucureşti au costul minim de 2 u.m.

Dacă în problemă apar mai multe rute cu cost minim,este practic, util, să se aloce transportul pe ruta care arecapacitatea de transport cea mai mare. În problema de faţă,cantitatea maximă - 4000 unităţi - poate fi transportată de laBraşov la Craiova. Aceasta va reduce cantitatea disponibilă laBraşov de la 5000 la 1000, valoarea iniţială a ofertei la Braşovva fi de 1000 iar valoarea cererii nesatisf ăcute în Craiova va fide 4000-4000=0 unităţi. Valoarea iniţială a cererii de 4000 vafi înlocuită pentru Craiova cu 0. Acum se poate eliminacoloana corespunzătoare destinţiei Craiova pentru că cererea afost aici complet satisf ăcută.




Tabelul nr. 2. 5

Destina ţ iiSurse


3 2 7 6Braşov 400050001000

7 5 2 3Cluj 6000

2 5 4 5Oradea 2500

Cerereadestinaţiei

60004000

02000 1500 13500

Acum se vor urmări doar celulele care nu au fost„tăiate” cu o linie pentru a identifica noua rută de cost minim.Aceasta este între Cluj – Constanţa şi Oradea – Bucureşti.

Tabelul nr. 2.6

Destina ţ iiSurse


3 2 7 6Braşov 4000 50001000

7 5 2 3Cluj 6000

2 5 4 5Oradea

25002500

0

Cerereadestinaţiei

60003500

40000

2000 1500 13500

Se alege ruta Oradea – Bucureşti pentru că poate fisatisf ăcută o cerere de 2500 unităţi (în comparaţie cu Cluj – Constanţa care permite o satisfacere a cererii cu doar 2000unităţi). Astfel, oferta din Oradea devine nulă prin alocareaîntregii cantităţi disponibile care va fi transportată în Bucureşti.Oferta de 2500 din Oradea va fi înlocuită cu 0 şi cererea în




Bucureşti se va reduce de la 6000 la 3500. Liniacorespunzătoare ofertei din Oradea va fi eliminată prin „tăiere”.

Tabelul nr. 2.7 Destina ţ ii

Surse Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi

Ofertasursei

3 2 7 6Braşov4000

50001000

7 5 2 3Cluj

200060004000

2 5 4 5Oradea

2500

25000

Cerereadestinaţiei

60003500

40000

20000

1500 13500

Următorul cost minim din tabel este pe ruta Cluj – Constanţa. Acum poate fi satisf ăcută cererea de 2000 de unităţiîn Constanţa, din totalul disponibil în Cluj de 6000 unităţi, iar în Constanţa cererea este satisf ăcută integral, valoarea iniţială

va fi înlocuită cu valoarea 0, iar valoarea corespunzătoarecererii din Constanţa va fi „tăiată”.

Tabelul nr. 2.8

Destina ţ ii Surse


3 2 7 6Braşov4000

50001000

7 5 2 3Cluj2000 1500

600040002500

2 5 4 5Oradea

25002500

0

Cerereadestinaţiei

60003500

40000

20000

15000

13500




În continuare costul minim este de 3 u.m. pe ruteleBraşov-Bucureşti şi Cluj-Iaşi. Pe prima rută pot fi transportate1000 unităţi iar pe a doua 1500 unităţi. Conform regulii

adoptate, se vor aloca 1500 unităţi de la Cluj la Iaşi. Cererea înIaşi se satisface complet, coloana corespunzătoare se vaelimina din tabel, iar oferta din Cluj scade de la 4000 la 2500unităţi ce au r ămas disponibile.

Tabelul nr. 2.9

Destina ţ ii Surse


3 2 7 6Braşov

1000 4000

50001000

07 5 2 3

Cluj2000 1500

600040002500

2 5 4 5Oradea

25002500

0

Cererea

destinaţiei

6000

35002500

4000

0

2000

0

1500

0 13500

Următorul nivel minim al costului este 3 pe ruta Braşov – Bucureşti. Cerea r ămasă nesatisf ăcută în Bucureşti arenivelul de 3500 unităţi. Din acest total pot fi satisf ăcute 1000unităţi disponibile în Braşov. Noul disponibil, aici, devenindnul, ceea ce presupune eliminarea liniei corespunzătoare sursei

Braşov.Se constată că r ămân 2500 unităţi disponibile în Cluj,

iar cererea din Bucureşti este de 2500, ceea ce conduce lasatisfacerea cererii din Bucureşti cu disponibilul r ămas înBraşov. Valorile de 2.500 unităţi disponibil şi respectiv cerere,respectiv în Cluj şi Bucureşti devin nule, linia corespunzătoare




sursei Cluj şi coloana corespunzătoare destinaţiei Bucureşti se„taie”.

Tabelul nr. 2.10

De la La Cantitateatransportată

Cost unitar Cost total

Braşov Bucureşti 1 000 3 3 000Braşov Craiova 4 000 2 8 000

Cluj Bucureşti 2 500 7 17 500Cluj Constanţa 2 000 2 4 000Cluj Iaşi 1 500 5 4 500

Oradea Bucureşti 2 500 2 5 000TOTAL 13500 - 42 000

Întrucât s-au alocat toate cele 13.500 unităţi cerute dintotalul de 13.500 disponibile, s-a determinat o soluţie. Această soluţie este fezabilă pentru că toată cererea este satisf ăcută detoată oferta disponibilă. Datele corespunzătoare acestei soluţiiobţinute prin Metoda Costului Minim sunt trecute în Tabelul

nr. 8.10.Observa ţ ie: Aşa cum se poate deduce, această soluţie nu estesoluţia optimă.

În continuare, această metodă va presupune trecereaacestei soluţii fezabile spre soluţia optimă. Metoda costuluiminim poate fi folosită doar de soluţia iniţială fezabilă a problemei cu m surse şi n destinaţii foloseşte exact m+n-1 rutede transport. Astfel, problema GM trebuie să folosească 3+4-1=6 rute de transport în soluţia iniţială. Pentru problema GMsoluţia iniţială fezabilă satisface această condiţie.

Pentru a garanta că metoda costului minim va generaîntotdeauna o soluţie iniţială fezabilă cu m+n-1 rute pe care vor fi folosite la transport trebuie efectuate unele modificări.

Ultima alocare de la Cluj la Bucureşti de 2500 unităţi a




presupus alocarea întregului disponibil r ămas de 2500 unităţi pentru a satisface cererea din Bucureşti.

În determinarea soluţiei iniţiale fezabile, ultima alocare

reduce întotdeauna atât o linie a ofertei cât şi o coloană acererii, astfel încât cererea şi oferta nesatisf ăcute devin zero. Înaceastă situaţie se obţine o soluţie iniţială fezabilă cu mai puţinde m+n-1 rute de transport folosite. Pentru a preveni aceasituaţie în care atât cererea cât şi oferta se reduc simultan lavaloarea zero se poate proceda la:1. Eliminarea liniei şi a coloanei prin „tăierea” acestora.2. În plus se va adăuga unei celule aflate la intersecţia

rândului „tăiat“ şi a coloanei, un transport de zero unităţi,fie pentru linia, fie pentru coloana „tăiată“. Această celulă va fi tratată la fel ca şi cele pentru care s-a asociat ocantitate de transportat.

Pentru a urmări cum se aplică această procedur ă se ia înconsiderare următoarea problemă care are 3 surse şi 4destinaţii. Reprezentarea iniţială este următoarea:

Tabelul nr. 2.11

Destina ţ iiSurse

D1 D2 D3 D4

Oferta

6 8 3 10S 1

30

2 9 5 7S 2

15

7 8 6 4S 3 15

Cererea 10 25 10 15 60

Prin aplicarea Metodei Costului Minim se alocă pe rutaS2-D1 cu costul minim asociat (=2) un transport de 10 unităţi.Se trece la următoarea reprezentare:




Tabelul nr. 2.12

Destina ţ iiSurse

D1 D2 D3 D4

Oferta

6 8 3 10S 1 10

3020

2 9 5 7S 2 10

155

7 8 6 4S 3 0

15

Cererea100

25100

15 60

Corespunzător, următoarea alocare este pe ruta S1-D3 cu10 unităţi transportate. Apoi pe ruta S3-D4 care are costulminim (=4) se constată că se reduc simultan linia lui S3 şicoloana lui D4 pentru care oferta şi cererea devin simultan zero.Dacă se elimină această linie şi respectiv coloană, singurelecelule care mai r ămân „netăiate” sunt corespunzătoare lui S1-

D2 şi S2-D2. Astfel, ar trebui asigurată o valoare de 0 unităţitransportate de la S2 la D1 sau zero unităţi transportate de la S3 la D4. Prin asigurarea valorii pentru celula S3-D1 se obţineurmătorul tabel de transport.

Tabelul nr. 2.13

Destina ţ iiSurse

D1 D2 D3 D4

Oferta

6 8 3 10S 1 103020

2 9 5 7S 2 10

155

7 8 6 4S 3 0 15

150

Cererea100

25100

15 60

Ambele se reduc,simultan la 0

Flux de 0 unităţicreat artificial




În continuare se obţine tabelul în care soluţia1 va fi:

S1 - D2 : 20

S1 - D3 : 10S2 - D1 : 10S2 - D2 : 5S3 - D1 : 0S3 - D4 : 15

unităţi transportate,şi se folosescm+n-1=3+4-1=6rute de transport.

Soluţia astfel determinată este optimă.

1 O altă metodă care poate conduce la obţinerea unei soluţii iniţialefezabile este metoda costului de NV.




2.4 METODASTEPPING-STONE

Această metodă ofer ă o procedur ă iterativă care permitedeplasarea de la soluţia fezabilă iniţială spre o soluţie optimă.Ea este folosită pentru a evalua transportul pe acele rute care nufac parte din soluţia problemei de transport. Dacă se găsescrute cu costuri mai mici, atunci soluţia curentă este înlocuită (îmbunătăţită) prin efectuarea de transporturi pe aceste noi rute.Corespunzător, dacă acele rute (care au costuri asociate) carenu sunt înlocuite în soluţia curentă vor determina creştereacosturilor, nu vor fi acceptate la determinarea soluţiei optime.

Pentru ilustrare, se va folosi problema iniţială a GM pecare s-a aplicat metoda costurilor şi s-a determinat soluţiainiţială fezabilă.

Tabelul nr. 2.14

Destina ţ ii Surse

Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi

Ofertasursei

3 2 7 6Braşov1000 4000

5000

7 5 2 3Cluj

2500 2000 15006000

2 5 4 5Oradea

25002500

Cerereadestinaţiei

6000 4000 2000 1500 13500

Se presupune că se alocă o unitate în celula aflată laintersecţia coloanei 2 cu rândul 2 (ruta Cluj-Craiova). Astfel, pentru a satisface cererea din Craiova la nivelul stabilit, trebuieredus transportul de la Braşov la Craiova la 3999 unităţitransportate, cantitatea de la Braşov la Bucureşti va fi crescută cu o unitate, la 1001, astfel încât oferta din Braşov să fie




menţinută la 5000 şi se va reduce cantitatea transportului de laCluj la Bucureşti cu o unitate, de la 2500 la 2499 pentru cacererea din Bucureşti să fie în continuare tot la 6000 unităţi.

În Tabelul nr. 2.15 de mai jos sunt reprezentate efecteleinduse de aplicarea metodei la nivelul costului.

Tabelul nr. 2.15

Ruta Modificări Efect în cost

Cluj-Craiovatransport suplimentar 1unitate

+5

Braşov-Craiova transport redus cu 1 unitate -2Braşov-Bucureşti

transport suplimentar 1unitate

+3

Cluj-Bucureşti transport redus cu 1 unitate -7Efect net -1

Din analiza tabelului rezultă că se reduce costul detransport cu 1 u.m. pentru fiecare unitate transportată

suplimentar de la Cluj la Craiova cu modificărilecorespunzătoare în celelalte rute.

Înainte de a adăuga această rută se consider ă proceduragenerală de evaluare a costurilor asociate cu o nouă rută (saucelulă) şi apoi se verifică toate rutele neutilizate pentru aîmbunătăţi soluţia problemei de transport. Metoda constă înevaluarea efectului unei modificări în alte rute care fac parte

din solu ţ ia curent ă a problemei de transport , soluţie careconstă din „celulele ocupate”. Deplasarea se face între celulelecare constituie parte a soluţiei curente, pe orizontală şi verticală astfel încât se va ajunge la celula de unde s-a pornit iniţial.Deplasarea între celule este reprezentată prin linia punctată, precum se observă în tabelul următor, pentru evidenţiereamodificărilor: Cluj-Craiova, Braşov-Craiova, Braşov-Bucureşti




şi Cluj-Bucureşti, care presupune o reprezentare a parcurgeriiîn sens antiorar în tabel.

Tabelul nr. 2.16 Destina ţ ii

SurseBucureşti Craiova Constanţa Iaşi

Ofertasursei

3 2 7 6Braşov1000 4000

5000

7 5 2 3Cluj

2500 2000 15006000

2 5 4 5Oradea

2500

2500

Cerereadestinaţiei

6000 4000 2000 1500 13500

În continuare se consider ă modificări pe ruta Braşov-

Constanţa cu efect şi pe rutele Cluj-Constanţa şi respectivBraşov-Bucureşti.

Tabelul nr. 2.17

Destina ţ ii Surse


3 2 7 6Braşov1000 4000

5000

7 5 2 3Cluj 2500 2000 15006000

2 5 4 5Oradea

25002500

Cerereadestinaţiei

6000 4000 2000 1500 13500

Celulă ocupată care aintrat în iteraţia metodei

Celulă neocupată

Celulă ocupată care nu aintrat în iteraţia metodei




Modificările induse pe cele 4 rute considerate în tabelulanterior sunt evidenţiate în Tabelul nr. 2.17.

Modificarea precedentă a soluţiilor induce un cost

unitar suplimentar de 9 u.m. fapt ce denotă că această rută nueste atractivă pentru că alegerea sa conduce la creştereacostului total.

Tabelul nr. 2.18

Ruta Modificări Efect în cost

Braşov-Constanţatransport suplimentar 1

unitate

+7

Cluj-Constanţa transport redus cu 1 unitate -2

Cluj-Bucureştitransport suplimentar 1unitate

+7

Braşov-Bucureşti transport redus cu 1 unitate -3Efect net +9

Găsirea fiecărei noi posibile „celule candidate” ajută la

identificarea efectului unei noi rute asupra costului total.Evaluarea efectului pentru toate rutele posibile este reprezentatîn tabelul următor unde modificările în costul unitar suntreprezentate prin valorile încercuite:

Tabelul nr. 2.19

Destina ţ ii Surse


3 2 7 6Braşov1000 4000

5000

7 5 2 3Cluj

2500 2000 15006000

2 5 4 5Oradea

25002500

Cerereadestinaţiei

6000 4000 2000 1500 13500

+9 +7

-1

+7 +7+4




Din Tabelul nr. 2.18 se constată că cea mai bună modificare a costului în sensul reducerii acestuia estereprezentată în celula Cluj-Craiova. Pe această nouă rută se

poate transporta un maxim de 2500 unităţi, care nu vor mai fialocate de la Cluj la Bucureşti, ci de la Cluj la Craiova. Aceastadetermină o reducere a cantităţii transportate de la Braşov laCraiova cu 2500 unităţi şi renunţarea la ruta Cluj-Bucureşti.

Toate modificările f ăcute au păstrat restricţiile asupracererii în Bucureşti şi Craiova şi restricţiile asupra ofertei laBraşov şi Cluj. Noua soluţie este reprezentată în Tabelul nr.2.19. În acest tabel este reprezentată prima modificare indusă de metoda Stepping Stone care presupune o reducere a costuluitotal din soluţia iniţială fezabilă cu 2500 u.m. de la 42 000 u.m.la 39 500 u.m. Dacă se evaluează acum modificările induse încost la noua soluţie, toate rutele neutilizate vor determina ocreştere a cheltuielilor cu transportul.

În acest caz, prezentat în Tabelul nr. 2.19, s-a obţinutsituaţia optimă, care reprezintă chiar soluţia problemei de

transport problemă de programare liniar ă.

Tabelul nr. 2.20

Destina ţ ii Surse


3 2 7 6Braşov3500 1500

5000

7 5 2 3Cluj

2500 2000 1500

6000

2 5 4 5Oradea

25002500

Cerereadestinaţiei

6000 4000 2000 1500 13500

Soluţia problemei este prezentată în Tabelul nr. 2.20.




Tabelul nr. 2.21

De la la

Cantitatea

transportată Cost unitar Cost totalBraşov Bucureşti 3 500 3 10 500Braşov Craiova 1 500 2 3 000

Cluj Craiova 2 500 5 12 500Cluj Constanţa 2 000 2 4 000Cluj Iaşi 1 500 3 4 500

Oradea Bucureşti 2 500 2 5 000

TOTAL 13500 - 39 500 Determinarea modificărilor în costuri, induse de

schimbarea rutelor de transport se realizează prin următoarea procedur ă:a) se stabileşte un index ui pentru fiecare r ădăcină din tabel; b) se stabileşte un index v j pentru fiecare r ădăcină din tabel;c) se asociază un coeficient cij pentru fiecare celulă ocupată din

tabelul de transport unde cij= ui+v j. dacă cij reprezintă costultransportului din sursa i către destinaţia j;

d) se constituie un sistem de m+n-1 ecuaţii cu m+nnecunoscute care se rezolvă pentru un u=0.

Tabelul nr. 2.22

Destina ţ ii Surse


3 2 7 6Braşov3500 1500

5000

7 5 2 3Cluj

2500 2000 15006000

2 5 4 5Oradea

25002500

Cerereadestinaţiei

6000 4000 2000 1500 13500

-1

+6

+6

+6

+8

+4




Pe exemplul GM unde trebuie să dispunem de m+n-1,adică 3+4-1=6 rute de transport în soluţia iniţială pentru caaceasta să fie fezabilă, aşa cum se reprezintă în tabelul următor:

Tabelul nr. 2.23

Destina ţ ii Surse


3 2 7 6Braşov1000 2500

3500

7 5 2 3Cluj

2500 2000 15006000

2 5 4 5Oradea 2500 2500

Cerereadestinaţiei

6000 2500 2000 1500 12000

Celulele ocupate sunt:Braşov – Bucureşti: u1 + v1 = 3Braşov – Craiova: u1 + v2 = 2

Cluj – Bucureşti: u2 + v1 = 7Cluj – Constanţa: u2 + v3 = 2Cluj – Iaşi: u2 + v4 = 3Oradea – Bucureşti: u3 + v1 = 2

Pentru u1=0 se obţin: v1=3v2 = 2u2 + v1 = 7 ⇒ u2 = 4u2 + v3 = 2 ⇒ v3 = -2u2 + v4 = 3 ⇒ v4 = -1u3 + v1 = 2 ⇒ u3 = -1

e) modificările nete unitare în costul de transport se determină pe baza relaţiei eij = cij –ui –v j. Acestea sunt trecute întabelul următor ca valori încercuite:




Tabelul nr. 2.24

v jui3 2 -2 -1

3 2 7 60 1000 25007 5 2 3

42500 2000 1500

2 5 4 5-1

2500

+9 +7

-1

+4 +7 +7

Tabelul nr. 2.24 indică prin valoarea –1, aflată la

intersecţia rândului 2 cu coloana 2, o scădere a costului cu ou.m. pentru fiecare unitate transportată pe această rută, singuracare permite „îmbunătăţirea” soluţiei. Dacă se consider ă soluţiaîmbunătăţită după aplicarea metodei Stepping Stonereprezentată în Tabelul nr. 2.25.

Tabelul nr. 2.25

v jui

3 2 -2 -13 2 7 60

1000 25007 5 2 3

42500 2000 1500

2 5 4 5-1

2500

+9 +7

-1

+4 +7 +7

se obţine următorul sistem de 6 ecuaţii cu 7 necunoscute:u1 + v1 = 3u1 + v2 = 2u2 + v2 = 5u2 + v3 = 2u2 + v4 = 3u3 + v1 = 2

iar pentruu1=0se obţineurmătorulsistemechivalent:

v1 = 3v2 = 2u2 + v1 = 5 ⇒ u2 = 3u2 + v3 = 2 ⇒ v3 = -1u2 + v4 = 3 ⇒ v4 = 0u3 + v1 = 2 ⇒ u3 = -1




Soluţia acestui sistem este:u1 = 0 v1 = 3u2 = 3 v2 = 2

u3 = -1 v3 = -1v4 = 0

Se asociază valorile soluţiei liniilor şi se calculează eij pentru celulele care nu sunt incluse în soluţia problemei:

Tabelul nr. 2.26

v j

ui 3 2 -1 03 2 7 60

3500 15007 5 2 3

42500 2000 1500

2 5 4 5-1

2500

+8 +6

-1

+4 +6 +6

Se observă că valorile lui eij obţinute corespund cu celedin tabelul 2.22, tabel care conduce spre soluţia optimă.

În Tabelul nr. 2.26, obţinut anterior:e13 = ci3 –u1 –v3 = 7 - 0 - (-1)=8

reprezintă schimbarea netă în costul total determinat defolosirea rutei de la sursa 1 spre destinaţia 3.

Folosirea metodei distribuţiei modificate (MDM)generează aceleaşi modificări nete ca şi metoda SteppingStone, fapt ce ajută la rezolvarea mai facilă a problemei.




2.5 SITUAŢII SPECIALE CARE APAR ÎN PROBLEMA DE TRANSPORT

În practică pot să apar ă situaţii speciale ale problemeide transport precum:

1. cererea totală nu egalează oferta totală;2. problema de rezolvat conţine funcţia obiectiv de

maximizat;3. rute de transport care nu pot fi folosite (rute blocate).

Prima situaţie se rezolvă prin introducerea uneidestinaţii fictive sau a unei surse fictive. Dacă oferta depăşeştecererea se introduce o destinaţie fictivă cu o cererereprezentând excesul de ofertă. Dacă cererea este excedentar ă ofertei, se introduce o sursă fictivă cu o ofertă reprezentândexact cererea excedentar ă. În ambele situaţii costurile asociatetransporturilor spre sau dinspre destinaţiile fictive vor fi nule.

Dacă problema de transport implică obiectiv de maxim,

singurele modificări care apar în rezolvare se refer ă la „celuleleneocupate”. În locul alegerii acelor valori eij negative, minime,se vor alege cele acele valori ale eij cu cea mai mare valoare pozitivă, pentru că acestea vor determina creşterea funcţieiobiectiv.

În situaţia în care există rute de transport inacceptabile(blocate), atunci se vor ataşa acestora niveluri ale costului cuvalori foarte mari (M) pe unitate de bun transportată, iar în

acest caz costul total va creşte foarte mult. În problemele demaxim, coeficienţii din funcţia obiectiv pentru cantităţile ce(nu) vor fi transportate pe aceste rute vor fi valori negativefoarte mari, –M.

Se consider ă în continuare un exemplu practic: se presupune că sunt trei producători (surse) care au următoarelecapacităţi de producţie:




Tabelul nr. 2.27

Producător Capacitate de producţieP1 50

P2 40P3 30

Total disponibil 120

Cererea previzionată înregistrată pentru aceste produsela vânzătorii detailişti este prezentată în tabelul următor:

Tabelul nr. 2.28Detailist Cerere previzionată V1 45V2 15V3 30

Total cerere 90

Costurile de producţie variază de la un producător la

altul, iar preţurile de vânzare sunt diferite de la un vânzător laaltul. Prin luarea în considerare a acestor preţuri de producţie şide transport, profitul obţinut pentru o unitate de bun realizat de producătorul i şi vândut de detailistul j este prezentat în Tabelulnr. 2.29.

Tabelul nr. 2.29 Profit unitar al producătorilor

Detailist Producător V 1 V 2 V 3

P 1 2 8 10 P 2 6 11 6 P 3 12 7 9




Se observă că disponibilul depăşeşte cererea cu 120– 90=30 unităţi. Aceasta determină introducerea unui consumator fictiv care va consuma surplusul de 30 de unităţi. Profitul

unitar asociat şi cantitatea consumată de consumatorul fictivvor fi nule, deoarece bunurile respective nu sunt nici produse şinici transportate.

Tabelul nr. 2.30

Destina ţ ii Surse

V 1 V 2 V 3 V 4Oferta

2 8 10 0 P 130 20

50

20

6 11 6 0 P 2 15 15 10

402510

12 7 9 0 P 3 30

300

Cererea4515

0

150

300

30

Pentru a obţine o soluţie iniţială fezabilă se foloseşte o procedur ă similar ă cu metoda costului minim în condiţiile unei probleme de maximizare a profitului. Soluţia iniţială fezabilă este prezentată în Tabelul nr. 2.30.

Consumatorul V4, este cel fictiv, el are un profit unitar

asociat nul. Soluţia iniţială fezabilă foloseşte m+n–1=3+4–1= 6rute.

În tabelul următor se asociază valorile ui şi v j pentrudeterminarea eij=cij –ui –v j, unde cij reprezintă profitul unitar asociat transportului unei unităţi de bun de la producătorul ispre vânzătorul j, pentru toate celulele neocupate:




Tabelul nr. 2.31

Destina ţ ii Surse

V 1 V 2 V 3 V 4Oferta

2 8 10 0 P 1 30 2050

6 11 6 0

0 0

P 2 15 15 1040

12 7 9 0

0

P 3 3030

Cererea 45 15 30 30

0 0 0

Se rezolvă sistemul:

u1 + v1 = 2u1 + v2 = 8u2 + v3 = 6u3 + v2 = 7u3 + v3 = 9

u3 + v4 = 0

⇒ pt. v4 = 0u1 + v1 = 2u1 + v2 = 8u2 + v3 = 6u3 + v2 = 7u3 + v3 = 9

u3 + v4 = 0

⇔

u1 = 1u2 = -3u3 = 0v1 = 1v2 = 7

v3 = 9

Deoarece toate eij induc o modificare cu 0 unităţi de profit se deduce că soluţia iniţială fezabilă este optimă.



CAPITOLUL 3

MODELAREA PROBLEMELOR DEDISTRIBUŢIE PRIN MODELE DE REŢEA

Multe probleme manageriale care apar curent îndesignul sistemelor de transport, în designul sistemelor informaţionale şi programarea proiectelor, pot fi rezolvate cuajutorul modelelor de reţea şi prin tehnicile de analiză areţelelor. În rezolvarea problemelor de transport, reţeaua detransport constă în noduri şi arce. Aici, vor fi prezentate treitipuri mari de probleme de reţea: problema rutei cele maiscurte, problema arborelui de acoperire maximală şi problemade flux maxim. În fiecare caz se va dezvolta un model de reţeacare va fi rezolvat pentru obţinerea soluţiei optime a problemei.

3.1 Problema celei mai scurte rute

Se consider ă reţeaua din perspectiva proiectării şidesemnării unui sistem de transport, unde principalul scop estede a determina cea mai scurt ă rut ă în reţea. Se va dezvolta şirezolva problema celei mai scurte rute pe cazul aplicativ al Nord Construct (NC). NC operează în prezent mai multe proiecte de construcţii localizate în judeţe diferite. Şantierele

sunt uneori la peste 20 km distanţă de sediul firmei.



M O D E L A R E A P R O B L E M E L O R D E D I S T R I B UŢ I E P R I N M O D E L E D E R EŢE A5 4

Cheltuielile firmei cu transportul zilnic al personalului, alechipamentelor şi al materialelor spre şi dinspre şantiere suntconsiderabile. Pentru fiecare şantier, drumurile alternative pot

fi reprezentate ca în drumuri sau str ăzi în reţeaua de transport.În figura următoare sunt reprezentate alternativele de transportde la şantiere şi de la sediul NC.

Figura nr. 3. 1 Re ţ eaua de drumuri pentru problema NC

Arcurile (nodurile) din reţea corespund locaţiilor şantierelor. Drumurile şi str ăzile apar reprezentate prin arce dereţea. Distanţa dintre şantiere este reprezentată prin valoriasociate fiecărei rute. Lungimea rutei nu este propor ţională cureprezentarea arcelor în reţeaua de transport. Dacă NC doreştesă minimizeze distanţa totală de transport de la sediul firmeispre fiecare şantier, atunci care este cea mai scurtă rută în reţea,spre fiecare locaţie?

3.1.1 Algoritmul celei mai scurte rute

Pentru a determina cea mai scurtă rută în cazul problemei NC trebuie stabilită cea mai scurtă de la sediul NC(nodul 1) la fiecare dintre celelalte noduri din reţea. Algoritmul



M O D E L A R E A P R O B L E M E L O R D E D I S T R I B UŢ I E P R I N M O D E L E D E R EŢE A 5 5

folosit ataşează fiecărui nod o etichetă. Prin procedura deetichetare se ataşează la fiecare nod o etichetă formată din două valori incluse între paranteze drepte. Prima valoare indică

distanţa de la nodul 1 la nodul etichetat, iar a doua valoarearată nodul precedent din care s-a ajuns în nodul curent.

În orice moment al aplicării procedurii de etichetare vor exista noduri etichetate şi/sau noduri neetichetate. Un nodetichetat este un nod pentru care s-a identificat drumul cel maiscurt dinspre nodul 1, iar cel neetichetat nu a fost încă evaluat.Reprezentarea următoare prezintă un exemplu de etichetă:

Figura nr. 3. 2 Etichet ă asociat ă unui nod

Valoare care arată că distanţa de la noduliniţial până la nodulcurent este 10

[10, 7]

Valoare care indică faptul că nodul precedent celui curenteste nodul 7

Un nod odată etichetat, poate fi considerat etichetat

definitiv sau etichetat temporar . Atunci când un nod esteetichetat definitiv, algoritmul a generat ruta cea mai scurtă laacel nod, iar pentru etichetele temporare, încă nu s-a stabilitruta cea mai scurtă.

În continuare se procedează la etichetarea nodurilor reţelei. Prin convenţie, nodului 1 i se asociază eticheta permanentă [0, S]. Valoarea 0 denotă că nodul 1 este nodul destart iar distanţa de la nodul 1 spre el însuşi este 0. S arată că

nodul 1 este nodul se start. Pentru a recunoaşte un nod etichetat permanent, tot prin convenţie, acesta va fi reprezentat haşurat.În plus, o săgeată va fi folosită pentru a reprezenta care estenodul investigat la fiecare pas al algoritmului. Figuraurmătoare arată că doar nodul 1 a fost etichetat permanent.




Figura nr. 3. 3

Pentru a considera primul pas, sau iteraţia ca algoritmde etichetare, trebuie considerat fiecare nod în care poateajunge direct dinspre nodul 1. Se observă că „noduri candidate”sunt 2 şi 3. Pentru nodul 2 se remarcă distanţa asociată pe arcegală cu 15. Nodul 2 va fi etichetat ca temporar cu eticheta [15,1]. Din nodul 1 se parcurg 15 km până în nodul 2. Apoi pentrunodul 3 se observă că distanţa asociată rutei de la nodul 1 sprenodul 3 este 10, fapt care determină etichetarea temporar ă anodului 3 cu [10, 1]. Figura 3.4 arată rezultatul acestei iteraţiicu etichetele temporare.

Pentru a continua se ia în considerare nodul care aredrumul de cost minim asociat dintre nodurile etichetatetemporar.

Figura nr. 3. 4




Dintre cele două noduri se alege nodul 3 cu distanţa faţă

de nodul de start egală cu 10. În nodul 3 se poate ajunge din

nodul 1 cu parcurgerea distanţei 15 + 3=18 km parcurgereadistanţei 10 + 3=13.

Pentru nodul 3 se determină minimul dintre 10 şi 13,ceea ce înseamnă că nodului 3 i se poate stabili eticheta permanentă ca în Figura 3.5 şi se va reprezenta haşurat nodul 3.

Figura nr. 3. 5

Odată ce nodului 3 i-a fost determinată eticheta permanentă, se va asocia acum o săgeată precum în Figura nr.3.5.

Acum se vor lua în considerare toate nodurile care nuau etichetă permanentă şi la care se poate ajunge din nodul 3.Acestea sunt nodurile 2 şi 5.




Figura nr. 3. 6

Se calculează distanţa la aceste noduri pornind dinnodul 3 şi se ataşează etichetele corespunzătoare. Practic seobservă din figura următoare că nodul 2 are asociate două etichete. Dintre acestea se alege cea care indică distanţaminimă.

Deoarece în nodul 2 se poate alege între două posibile

rute, pentru un drum minim la nodul 2, este preferată ruta care porneşte din nodul 1 şi trece prin nodul 3. În consecinţă eticheta [15, 1] este înlăturată şi înlocuită cu [13, 3].

Figura nr. 3. 7




În nodul 2 nu se mai poate ajunge pe o rută mai scurtă.Acestui nod i se consider ă eticheta permanentă [13, 3], iar nodul va fi reprezentat haşurat şi se va reprezenta săgeata de

marcaj în dreptul nodului 2 (Figura nr. 3.7).Se calculează apoi distanţele şi se ataşează etichetele

pentru toate nodurile care au arce adiacente cu nodurile 2 şi 5.acestea sunt nodurile 4 şi 3. Etichetele sunt în nodul 4, [19, 2](13+6=19 km privind nodul 2) şi respectiv în nodul 7 etichetaeste [30, 2]. În nodul 4 se poate ajunge din nodul 5, distanţa parcursă fiind 14+4=18 km, eticheta temporar ă asociată fiind[18, 5]. Comparând etichetele [19, 2] şi [18, 5] se constată că distanţa minimă spre nodul 4 este parcursă dinspre nodul 5. Serenunţă la eticheta temporar ă asociată nodului [19, 2] şi se barează. Eticheta [18, 5] asociată nodului 4 devine permanentă.De asemenea pentru nodul 5 care are eticheta [14, 3], aceastadevine permanentă. Nodul 5 va fi reprezentat haşurat, iar săgeata de marcaj va fi reprezentată în dreptul nodului 5(Figura 3.8).

Figura nr. 3. 8

De asemenea, se ataşează eticheta [16, 5] nodului 6 pentru care distanţa dinspre nodul 5 este 14+2=16. Acum nodul4 devine nod cu etichetă permanentă [18, 5]. Se va reprezenta




acest nod haşurat, iar săgeta de marcaj va fi în dreptul său(Figura 3.9).

Figura nr. 3. 9

Din nodul 4 se determină distanţa dinspre nodul 3.Eticheta asociată nodului 7 este [23, 4] (18 + 5 = 23 km dinsprenodul 4). Nodul 6 devine nod căruia i se asociază etichetă permanentă [16, 5]. El va fi reprezentat haşurat şi se va muta

săgeata de marcaj în nodul 6 Figura 3.10). Figura nr. 3.10




Se calculează pentru nodul 7 distanţa dinspre nodul 6 şise adaugă eticheta [22, 5]. Această etichetă va fi considerată permanentă şi vor fi eliminate etichetele [30, 2] şi [23, 4] care

confer ă o soluţie mai puţin convenabilă. Nodul 7 fiind ultimul din reţea neetichetat cu etichetă

permanentă, va fi acum considerat ca etichetat permanent.Astfel reţeaua de transport a NC cu rutele de distanţe minimevor fi reprezentate precum în Figura 3.11.

Figura nr. 3. 11

Etichetele permanente asociate fiecărui nod furnizează informaţia relativă la distanţa minimă de la sediul NC spreorice destinaţie. De exemplu de la nodul 6 se poate ajunge parcurgând minim 16 km, trecând prin nodurile 5, 3 şi 1, rutade parcurs de la sediul firmei fiind: nodul 1, nodul 3, nodul 5 şidestinaţia, nodul 6.

În Tabelul nr. 3.1 sunt sintetizate rutele care trebuiesc parcurse astfel încât să se parcurgă o distanţă minimă în km dela sediul firmei spre fiecare punct de lucru:




Tabelul nr. 3.1

Nod Ruta cea mai scurtă Distanţa (km)

2 1 – 3 – 2 133 1 – 3 104 1 – 3 – 5 – 4 185 1 – 3 – 5 146 1 – 3 – 5 – 6 167 1 – 3 – 5 – 6 – 7 22

O problemă de asemenea dimensiuni ar putea firezolvată şi doar prin încercări, deoarece numărul mic de rute permite „rezolvarea prin inspectarea situaţiilor posibile”. Acestlucru este posibil şi deoarece 7 noduri permit puţine rutealternative. Dacă problema ar avea 20 – 25 noduri, ar fi necesar destul de mult timp pentru rezolvarea prin inspecţie. De fapt,datorită numărului crescut de rute alternative, într-o reţea mareeste destul de uşor să fie omise unele rute, iar soluţia problemei

să nu fie cea potrivită, optimă. Pentru o problemă dedimensiuni mari se impune utilizarea procedurii sistematicefolosite la rezolvarea problemei NC. Chiar şi în situaţia în carese foloseşte procedura de etichetare, pentru rezolvarea problemelor de mari dimensiuni, devine utilă folosirea unuialgoritm corespunzător.

În determinarea rutei celei mai scurte prin procedura deetichetare vom considera o reţea formată din N noduri. Poate fifolosită următoarea procedură pentru determinarea celui

mai scurt drum de la nodul 1 spre fiecare nod al reţelei:

Pasul 1: Se ataşează nodului 1 eticheta permanentă [0,S], undeS arată că nodul 1 este nodul de start, iar 0 arată că distanţa dela acest nod la el însuşi este 0.




Pasul 2: Se determină etichetele candidate pentru toatenodurile în care se poate ajunge direct din nodul 1. Primavaloare din etichetele candidate este chiar distanţa de la nodul 1

la fiecare dintre noduri. Se poate numi valoare a distan ţ ei prima parte din etichetă. A doua valoare din etichetă reprezintă nodul precedent, în speţă nodul 1. În acest pas nodul precedent poate fi doar nodul 1.

Pasul 3: Se identifică dintre nodurile candidate la eticheta permanentă acel nod care are cea mai mică valoare a distanţei,şi se declar ă nod cu etichetă permanentă. Dacă toate nodurilesunt cu etichete permanente, se trece la pasul 5.

Pasul 4: Se consider ă toate nodurile care nu au etichetă permanentă identificate la pasul 3. Se calculează etichetelecandidate pentru nodurile în cauză, astfel:a) dacă un nod care nu are etichetă permanentă are o etichetă

candidată, se determină prin însumare valoarea distanţei

dinspre nodul cu etichetă permanentă spre noul nod. Dacă suma este mai mică decât valoarea distanţei înaintecalculată, noua valoare a distanţei este minima celor două.În plus, se va modifica nodul precedent din etichetă corespunzător nodului care determină distanţa cea mai mică.Se trece la pasul 3.

b) Dacă un nod cu etichetă temporar ă nu a mai avut o altă etichetă candidată, aceasta este creată cu o valoare adistanţei egală cu suma dintre valoarea distanţei de la nodulcu etichetă permanentă spre nodul în discuţie. Simbolulnodului precedent este schimbat cu cel al nodului dinsprecare ruta parcursă este minimă. Se trece la pasul 3.

Pasul 5: etichetele permanente identifică distanţele cele maiscurte dinspre nodul 1 spre fiecare nod al reţelei precum şi




precedenţa în parcurgerea nodurilor în reţea. Cea mai scurtă rută spre un nod din reţea poate fi determinată prin parcurgereadrumului în sus invers, de la nodul respectiv spre nodul 1, prin

citirea etichetelor care arată precedenţa. Se continuă parcurgerea în sus invers a nodurilor din reţea până la nodul 1 pentru fiecare nod al reţelei, generând astfel parcursul celei maiscurte rute de la nodul 1 spre fiecare nod din reţea.

Paşii procedurii vor determina soluţia problemei ruteide distanţă minimă în reţeaua de transport. Sunt necesari N – 1iteraţii pentru acest algoritm pentru determinarea soluţieioptime. Dacă trebuie determinată doar cea mai scurtă distanţă spre un anumit nod, algoritmul se poate opri imediat ce noduluirespectiv îi este asociată o etichetă permanentă. De asemenea,se poate determina care este drumul cel mai scurt de la un nodk din reţea spre celelalte noduri ale reţelei. În acest scop,nodului k îi va fi asociată eticheta permanentă [0, S]. după aplicarea paşilor algoritmului poate fi găsită cea mai scurtă rută

de la nodul k spre toate celelalte noduri din reţea.

În problema NC s-a folosit ca măsur ă de prim interesdistanţa, dar pot fi folosite şi alte criterii precum: timpulnecesar pentru deplasare, costul transportului, etc. Uneorianalistul poate să întâlnească reţele în care arcele asociate auvalori negative1. Această situaţie poate fi întâlnită în acelereţele în care se doreşte minimizarea costului, unde valoareaasociată arcului va indica profitul pentru acea rută.

1 Algoritmul de etichetare folosit aici foloseşte doar valori pozitive.




3.2 Problema arborelui de acoperire minimală

În terminologia de specialitate, problema arborelui deacoperire minimală presupune folosirea ramurilor (arce) înreţea pentru a ajunge în toate nodurile reţelei, astfel încâtlungimea totală a tuturor ramurilor folosite pentru a ajunge latoate nodurile să fie minimă.

Pentru o mai bună înţelegere a situaţiei se va considera

problema de determinare a reţelei de comunicaţii pentru firmă,de la sediul regional al acesteia. Firma de telefonie EstTelecom trebuie să dispună la sediul său regional de uncomputer care să fie conectat prin antenă de satelit cu uncomputer central. Compania de telefonie va instala noua reţeade comunicaţii. Instalarea reţelei este o operaţiune foartecostisitoare. Pentru a reduce costurile, echipa managerială

doreşte ca noile linii de comunicaţie instalate să însumeze olungime minimă posibilă. Computerul central poate fi legatdirect la fiecare utilizator, dar pentru firmă este mai economicsă instaleze linii directe pentru unii utilizatori şi să-i lase peceilalţi utilizatori să se conecteze la sistem prin intermediulutilizatorilor deja conectaţi la sistem.

Figura nr. 3. 12




Determinarea reţelei de comunicaţie cu lungimea ceamai mică este un exemplu de problemă a arborelui de acoperireminimală. Reţeaua pentru problema de mai sus permite

conexiuni alternative, pe arce fiind asociate distanţele dintrenoduri.

3.2.1 Algoritmul arborelui de acoperire minimală (Greedy)

Algoritmul folosit în problema arborelui de acoperire

minimală poartă denumirea de „Greedy” şi constă în alegereacelei mai bune variante, la fiecare pas al algoritmului, fapt careconduce rapid la obţinerea soluţiei optime a problemei. Acestalgoritm este unul dintre puţinii algoritmi folosiţi în ştiinţamanagementului care este „ cel mai economic“ la fiecare pas şigenerează direct evoluţia optimă. Paşii algoritmului Greedy sunt:

Pasul 1: În mod arbitrar se porneşte din orice nod şi serealizează legătura cu nodul cel mai apropiat. Cele doua nodurise numesc noduri conectate iar celelalte se numesc neconectate.Pasul 2: Se identifică un nod neconectat care este situat celmai aproape de un nod conectat. Dacă apare o situaţie deegalitate se alege arbitrar unul dintre ele ca fiind cel maiapropiat nod. Acesta va fi adăugat mulţimii nodurilor conectate. Se repetă pasul doi până când toate nodurile suntconectate.

Algoritmul este uşor de aplicat prin realizareaconectărilor direct pe graful asociat reţelei. Dacă luăm sprerezolvare problema Est Telecom vom alege arbitrar un nod destart, de exemplu nodul 1. Cea mai mică distanţă de la acestnod este 20 km până la nodul 2. Se conectează cele două




noduri printr-o linie punctată (practic, linia poate fi dublată prinîngroşare) precum în Figura 3.13.

Figura nr. 3. 13

În pasul doi al algoritmului se caută nodul neconectatcel mai apropiat de nodurile conectate 1 sau 2. Nodul 4 estesituat la 30 km de nodul 1. Nodul 4 se adaugă la lista nodurilor

conectate, iar pe reţea se reprezintă cu linie punctată arculdintre nodurile 1 şi 4 precum în Figura nr. 3.14.

Figura nr. 3. 14




Se repetă pasul 2 şi se include nodul 3 în lista nodurilor conectate. Se reprezintă punctat arcul dintre nodurile 3 şi 4,apoi se include în lista nodurilor conectate şi nodul 6 şi se

reprezintă punctat arcul dintre nodurile 4 şi 6. Ulterior seinclude nodul 5 în lista nodurilor conectate, se reprezintă punctat arcul dintre nodurile 3 şi 5 şi se obţine soluţia. Arborelede acoperire minimală are lungimea totală dată de sumavalorilor asociate arcelor dintre nodurile conectate.

Figura nr. 3. 15

Lungimea minimă a reţelei care acoper ă minimalîntreaga reţea este 20 + 30 + 10 + 20 + 30=110 km de

conexiuni de la sediul central spre oricare nod al reţelei.Aici, sunt reprezentate pe arce distanţele în km, dar potfi asociate arcelor, costuri, timp etc. În aceste situaţii arborelede acoperire minimală va determina costul minim, timpulminim etc. în raport de criteriul considerat.




3.3 Problema de flux maxim

Se consider ă o reţea cu un nod sursă (nod intrare, input)şi cu un nod de ieşire (nod de output). Problema de flux maximconstă în determinarea cantităţii de flux (vehicule, fluid, mesajetc.) care pot fi introduse şi scoase din sistemul de reţea într-o perioadă de timp. În această problemă fluxul care circulă înreţea poate folosi toate ramurile (arcele reţelei) cât mai eficient

posibil. Capacitatea transportată este limitată (superior) prinrestricţiile de capacitate care pot să existe pe fiecare dintreramurile reţelei. De exemplu, există limitări ale fluxului deautovehicule care pot să parcurgă o autostradă, sau conductelede transport petrolier nu pot să depăşească un anumit niveldeterminat de limita constructivă a sistemului de conducte.

Capacitatea minimă sau maximă de transport este

denumită şi capacitate de flux pe arc/rută. Dacă nu sespecifică capacitatea pentru un nod, se presupune că fluxul deieşire este egal cu fluxul de intrare.

Un exemplu de problemă de flux maxim este cel alTransGaz. Fluxul de gaz metan intr ă în conductele din Mediaş prin partea de nord şi ies din reţeaua de conducte în partea desud a oraşului. Fluxul de gaz este maxim în perioadele iarnă cutemperaturi scăzute. Conductele pot să fie solicitate, acum, la a

transporta 13000 mc pe or ă.În timpul efectuării reviziilor şi verificărilor, se

presupune un sistem de rute alternative. Rutele alternative prezintă restricţii. Reţeaua alternativă propusă, pentru a preluacantitatea curentă şi cea suplimentar ă, care în mod normal ar fitranzitat prin alte conducte, este reprezentată în Figura nr. 3.16.




Figura nr. 3. 16

Capacitatea de transport este direcţionată, funcţie decerinţe. De exemplu pe ruta de la 1 la 4 se pot transporta 5000mc/h dar în sens invers nu se poate transporta nimic.

Este de dorit ca să nu existe situaţii de suprasolicitare(loc îngust) pentru nici una din conductele utilizate. Poate

firma TransGaz să transporte prin reţeaua din Figura 3.16 ocantitate de 15000 mc/h? Care este capacitatea maximă detransport, pe or ă a reţelei? Care este cantitatea maximă ce poatefi transportată pe fiecare conductă (ramur ă) din reţea?

3.3.1 Algoritmul pentru flux maxim

La întrebările de mai sus se poate r ăspunde după aplicarea Algoritmului de flux maxim, care va folosiurmătoarele specificaţii:

1. poate fi folosită orice rută dinspre nodul de intrare sprenodul de ieşire în sensul/direcţia pentru care fluxul este maimare decât 0 pentru toate conductele parcurse;




2. se poate creşte fluxul pe o rută la nivelul maxim posibil;3. trebuie căutate rutele dinspre intrare spre ieşire care mai

suportă creşterea cantităţii transportate (dispun de rezervă de

capacitate) în direcţiile în care fluxul are valoare mai maredecât 0, pentru toate ramurile, şi apoi se va creşte fluxul peaceste rute cât de mult posibil;

4. algoritmul se opreşte când nu mai este posibil să fie găsită onouă rută, dinspre intrare spre ieşire, cu capacitatea de fluxorientată, cu valoarea mai mare sau egală cu 0, pentru toateramurile din rută.

Înainte de a prezenta detaliile algoritmului de fluxmaxim, se prezintă pe scurt procedura care va determina dacă paşii parcur şi vor conduce spre soluţia optimă a problemei şi vagăsi fluxul maxim ce poate fi transportat de la intrare spreieşire.

Procedura permite ca fluxul anterior asigurat să fiecondus pe rute alternative, prin posibilitatea de a avea şi îndirecţie inversă fluxuri fictive. De exemplu, se consider ă ruta

de la 1 la 6 astfel: Figura nr. 3. 17

Fluxul iniţial ce poate fi propagat în reţea de la nodul 1spre nodul 6 este de 6000 mc/h. Dacă în reţea sunt propagaţi

4000 mc/h de la nodul 1 spre nodul 6, se vor revizuicapacităţile ce flux astfel:

Figura nr. 3. 18




Se observă că s-a redus capacitatea de flux dinsprenodul 1 spre nodul 6 de la 6000 mc/h la 2000 mc/h, deoarece înreţea mai există disponibilitatea de a transporta de la nodul 1

spre nodul 6 de numai 2000 mc/h (6000–4000=2000). Această reducere determină simultan o creştere a fluxului dinspre nodul6 spre nodul 1 egală cu cantitatea propagată în reţea, de la 0 la4000 mc/h (0+4000=4000). Această revizuire a capacităţiifluxului dinspre nodul 6 spre nodul 1 arată că dinspre nodul 6se pot transporta (fictiv) 4000 mc/h. Acest flux fictiv arată că nu este posibil transportul dinspre nodul 6 spre nodul 1, ci arată doar faptul că a scăzut cantitatea care mai poate fi transportată de la nodul 1 spre nodul 6. De fapt, fluxul fictiv dinspre nodul6 spre nodul 1 provine acum din fluxul iniţial dinspre nodul 1spre nodul 6 care a fost propagat pe alte ramuri ale reţelei.

Procesul descris anterior prezintă importanţă în problemele de flux maxim atunci când într-o iteraţie se poate propaga flux pe o ramur ă, iar apoi după ce se observă fluxul propagat pe altă ramur ă este mai avantajos, se va recurge la

reducerea fluxului propagat iniţial. Această procedur ă, descrisă mai înainte, va identifica o extensie spre care decizia originală poate fi revizuită pentru a propaga flux pe o ramur ă de reţea cuscopul de a creşte fluxul total propagat în reţea.

Paşii algoritmului de flux maxim:

Pasul 1: Se identifică orice rută care pleacă din nodul deintrare şi ajunge la nodul de ieşire şi care prezintă capacitate deflux mai mare decât 0 pentru toate ramurile de pe rută. Dacă oasemenea rută nu există, soluţia optimă a fost obţinută.

Pasul 2: Se identifică cea mai redusă capacitate de transport,Pm de pe arcele care compun ruta identificată la pasul 1. S




creşte fluxul propagat în reţea prin transportarea a Pm unităţide-a lungul rutei identificată la pasul 1.

Pasul 3: Pentru ruta identificată la pasul 1 se reduc toatecapacităţile de transport dinspre sursă spre destinaţie cucantităţile Pm şi se cresc toate capacităţile de transport dinspredestinaţie spre sursă cu cantitatea Pm. Se trece la pasul 1.

Procedura poate varia funcţie de alegerea iniţială aanalistului efectuată în pasul 1, iar algoritmul va genera probabil, soluţia fluxului maxim. Calculele efectuate aici sunturmătoarele:

Itera ţ ia 1. Pasul selectat este 1 – 3 – 6 – 7, Pm = min(6,7,7) =6 care corespunde drumului de la 1 la 3. Reţeaua revizuită (Figura 3.19) este:

Figura nr. 3. 19

În reţea se propagă un flux iniţial de 6000 mc.

Itera ţ ia 2. Pasul selectat este: 1 – 2 – 5 – 3. Pm = min(5, 3, 8)=3valoare care corespunde drumului de la 2 la 5. Reţeauarevizuită este prezentată în Figura nr. 3.20.




Figura nr. 3. 20

În reţea se propagă suplimentar încă 3000 mc/h. Fluxultotal este acum de 9000 mc/h. Fluxul total propagat în reţea sedetermină prin însumarea valorilor Pm pentru fiecare instalaţie.

Itera ţ ia 3.Pasul selectat este 1 – 2 – 3 – 5 – 3. P

m= min(2, 2, 3, 5) = 2,

valoarea lui Pm corespunde ramurilor de la 1 la 2 şi respectiv dela 2 la 3.

Figura nr. 3. 21

Fluxul total este acum de 11000 mc/h.




Itera ţ ia 4. Ruta aleasă este 1 – 4 – 6 – 7. Pm=min(5,5,1) = 1care corespunde drumului de la nodul 6 la 3.

Figura nr. 3. 22

Fluxul total propagat este acum de 12000 mc/h.

Itera ţ ia 5. Ruta aleasă acum este: 1 – 4 – 6 – 5 – 7,

Pm=min(4, 4, 1, 3)=1. Pm corespunde drumului de la 6 la 5.

Figura nr. 3. 23

Fluxul total transportat în reţea este acum de 13000 mc/h.




Itera ţ ia 6. Mai există, oare, o altă rută dinspre nodul 1 sprenodul 7 care să permită propagarea suplimentar ă a cantităţii deflux mai mare decât 0? Dacă se foloseşte ruta 1 – 4 – 6 – 3 – 5

– 7 pentru care Pm = min (3, 3, 6, 1, 2) care corespundedrumului de la nodul 3 la nodul 5. Această nouă rută poate să crească fluxul total la 14 000 mc/h.

Figura nr. 3. 24

După cum se observă, din reţeaua revizuită, nu mai suntdrumuri care să permită un transport suplimentar (flux propagatmai mare decât 0) prin ramurile reţelei. Astfel fluxul totalmaxim pe care îl permite reţeaua de transport este de14000mc/h.

În iteraţia 6, fluxul de 1000 mc/h a fost posibil de

realizat dinspre nodul 6 spre nodul 3, chiar dacă în reţea nu este permis transportul dinspre nodul 6 spre nodul 3. Acest flux propagat în iteraţia 6 este un flux fictiv. Efectul real indus deacest flux fictiv este determinat de faptul că fluxul original de1000 mc/h dinspre nodul 3 spre nodul 6 din iteraţia 1 este defapt dirijat dinspre nodul 3 spre nodul 5, ceea ce permitetransportul a încă 1000 mc/h prin reţea. Acum se va determina




cantitatea şi direcţia fluxurilor propagate pe fiecare ramur ă dinreţea astfel încât fluxul maxim total propagat să fie de 140000mc/h.

Fluxurile corespunzătoare fiecărei ramuri care conducela soluţia optimă pot fi implicate prin compararea capacităţilor de flux finale cu cele iniţiale. În cazul în care capacitatea deflux finală este mai mică decât capacitatea iniţială, prin ramurarespectivă se propagă un flux de cantitate egală cu diferenţadintre capacitatea de flux iniţială şi cea finală. De exemplu seconsider ă ramura 3 – 6 pe care capacitatea de flux iniţial era:

Figura nr. 3. 25

cu capacitatea de flux finală:

Figura nr. 3. 26

Deoarece capacitatea de flux finală dinspre 3 spre 6 estemai mică decât capacitatea iniţială, ramura are un flux propagatde 7–2=5 dinspre nodul 3 spre nodul 6. Acest flux va fireprezentat prin:

Figura nr. 3. 27




Prin compararea fluxurilor de capacitate iniţiale petoate ramurile cu fluxurile de capacitate finală, se determină următorul flux de reţea:

Figura nr. 3. 28

Rezultatul analizei fluxului maximal indică faptul că re ţ eaua de conducte TransGaz nu poate să transporte un flux

de 15000 de mc/h. În consecinţă va fi necesar ă extindereacapacităţii de transport pentru a face faţă perioadelor din an cucerere mare de gaz.

Dacă reţeaua se va extinde, sau va fi modificată, trebuiesă fie realizată o nouă analiză, care să determine noul nivel alfluxului în reţea.



CAPITOLUL 4

MODELE DE STOCARE

Stocurile pot fi definite ca fiind acele cantităţi de bunurisau materiale care sunt păstrate în scopul de a fi utilizate.Pentru foarte multe firme, cheltuielile asociate cu finanţarea şi păstrarea stocurilor constituie o parte substanţială a costurilor afacerii. În companiile mari, în special în acelea în care produccantităţi mari de bunuri, sau bunuri scumpe, costurile asociatecu materiile prime care sunt procesate şi stocurile de produse

finite pot să ajungă la valori mari. Pentru a realiza nivelurilevalorice la care pot să ajungă aceste stocuri, se va considera încontinuare situaţia firmei DrinkCo.

DrinkCo este un distribuitor de sucuri, vin şi bere. De ladepozitul central al firmei, se livrează marf ă la peste 1000 de beneficiari, magazine de vânzare en-detail.

Stocul valoric al firmei este reprezentat şi de ambalaje acăror valoare este de aproximativ 40% din valoarea stocurilor.Aceasta reprezintă aproximativ 50000 de lăzi. Costul mediu alunei lăzi este de aproximativ 5 unităţi monetare. Firmaestimează astfel că valoarea ambalajelor pentru sucuri este de250000 de unităţi monetare.

Există unele costuri asociate cu menţinerea şimanipularea unui nivel dat al stocurilor. Luate împreună, acestecosturi poartă numele de costuri de stocare. În primul rând,

este implicat aici costul finanţării. Dacă firma împrumută bani



M O D E L E D E S T O C A R E8 0

pentru a-şi menţine investiţia în stocuri, o dobândă va majoraaceste costuri. Dacă firma foloseşte capitalul propriu pentru a păstra stocuri, ea nu va fi capabilă să folosească acest capital

pentru alte investiţii. În fiecare caz există o cheltuială legată denivelul capitalului imobilizat în stocuri.

De obicei, costul capitalului este exprimat în procentedin suma investită. Dacă firma estimează că acest cost estereprezentat de o rată a dobânzii de 18% anual atunci dobânda

pentru costurile de stocare este100

18·250000=45000 unităţi

monetare/an.Există un număr de alte costuri asociate precum:cheltuieli cu asigur ările, taxe casare, pierderi, depozitare, carede asemenea depind de valoarea stocului. Firma estimează aceste costuri la un nivel de aproximativ 7% din valoareastocului.

Costul total de stocare este100

718 +·250000 = 62500

unităţi monetare/an.Dacă se apreciază că sucurile reprezintă doar 40% din

nivelul total al stocurilor, se poate deduce că, pentrumenţinerea stocurilor, costurile necesare sunt apreciabile.

Managerii au de ales între (a) a dispune de stocurisuficiente care să satisfacă cererea de bunuri şi (b) de a investicât mai puţin în activitatea de menţinere a stocurilor. De fapt,

managerii trebuie să rezolve problema prin alegerea celei mai bune decizii care să ia în considerare următoarele:

1. Care trebuie să fie cantitatea comandată astfel încât nivelulstocului să fie readus la nivelul iniţial?2. Când trebuie să fie luată decizia prin care să dispună refacerea stocului?



M O D E L E D E S T O C A R E 8 1

Scopul acestui capitol este de ar ăta cum modelareacantităţii poate folosi ca suport în luarea deciziilor. Înmajoritatea sistemelor de stocare chiar dacă există similarităţi,

totuşi fiecare sistem este particular.În prima parte se discută despre modelele deterministe

de stocare unde se presupune că cererea este cunoscută şi are ovaloare constantă. Apoi se discută despre modele probabiliste de stocare, unde cererea are o valoare fluctuantă, descrisă întermeni probabilistici.




4.1 Modelul de stocare cu cerere constantă

Acest model este aplicabil pentru situaţiile în carecererea este constantă sau relativ constantă. Aceasta înseamnă că cererea satisf ăcută cu ajutorul stocului înregistrează valorisimilare în intervalul de timp. De exemplu 5 bucăţi/să ptămână sau 1000kg/lună.

Tabelul nr. 4. 1

Să ptămâna Cererea (lăzi)1 20002 20253 19504 20005 2100

6 20507 20008 19759 190010 2000

TOTAL lăzi 20000Cererea medie să ptămânală 2000

Se aplică acest model pentru firma DrinkCo. La nivelulfirmei s-a efectuat o analiză preliminar ă privind costurile destocare şi s-a decis realizarea unui studiu detaliat care să ofereinformaţii despre cât şi când comandă beneficiarii pentru ce să se aducă la nivelul cel mai scăzut costul de stocare. Cererea pentru să ptămânile viitoare pentru SoftDrink, o băutur ă




r ăcoritoare produsă de DrinkCo este prezentată în Tabelul nr.4.1.

Cererea prezentată nu este strict constantă, dar prezintă

variaţii foarte mici de la o să ptămână la alta. Furnizareasă ptămânală a 2000 de lăzi de băutur ă r ăcoritoare pare oaproximare rezonabilă.

În practică, se constată că stocul real chiar satisface propunerea realizată prin model. Astfel în situaţiile realemanagerul sau analistul vor determina care modele sunt celemai apropiate de reprezentarea reală.

În cazul în care cererea variază între 1900 şi 2100 delăzi pe să ptămână, nivelul stocului de 2000 de lăzi reprezintă ovaloare rezonabilă, iar decidentul poate realiza un compromisîntre: (a) păstrarea unui stoc redus şi existenţa unor comenzifrecvente şi (b) păstrarea unui stoc mare care să satisfacă comenzile mai puţin frecvente, dar cu o cantitate furnizată maimare.

Prima situaţie are ca efect cheltuieli considerabile cu

pregătirea comenzii, în timp ce în situaţia a doua vor fi maimari cheltuielile de stocare. Soluţia optimă va combina celedouă situaţii, în aşa mod, încât să determine un cost totalminim.

Costul de stocare şi manipulare este cel care depindede nivelul stocului. Un nivel al stocului ridicat va determina uncost de stocare ridicat.

Dacă DrinkCo estimează că nivelul costului anual destocare reprezintă 25% din valoarea stocului, iar costul uneilăzi este de 5 unităţi monetare, costul de stocare şi manipulare pentru o ladă de SoftDrink pe o perioadă de un an este0,25·5=1,25 unităţi monetare.

În continuare, trebuie determinat costul de lansare a

unei noi comenzi. Pentru DrinkCo, pregătirea unei comenziconstă în aprox. 45 de minute de procesare a documentelor şi

manipulare a produselor. Costurile salariale pentru plata




angajaţilor sunt de 16 unităţi monetare pe or ă, deci platacorespunzătoare pentru 45 minute=(45/60)·16=12 unităţimonetare pe or ă. Cheltuielile cu documente, poştă, telefon,

transport şi recepţie sunt de 8 unităţi monetare/comandă.Astfel, cheltuielile de lansare a unei noi comenzi sunt 12+8=20unităţi monetare/comandă. Astfel, firma DrinkCo plăteşte 20unităţi monetare pe comandă, indiferent de volumul acesteia.

Costul de stocare şi costul de lansare al comenzii, precum şi informaţiile privind cererea pot fi folosite în modelulde stocare cu cererea constantă.

Cantitatea Q reprezintă nivelul comenzii. Astfel, deciziade a produce cantitatea Q presupune determinarea acesteivalori Q care va minimiza suma dintre costul de stocare şicostul de lansare al comenzii.

Figura nr. 4. 1

tTTimp mediu necesar

pentru epuizarea stocului

Nivel maximal stocului Q

Nivel mediual stocului½ Q

Nivel minimal s ocului 0t

Nivelul inventarului pentru SoftDrink va avea maximvaloarea Q atunci când unul dintre detailişti va avea o comandă cu cantitatea Q. DrinkCo va satisface cererea clienţilor până când stocul de produse se epuizează. În acel moment un alttransport de 2000 lăzi va fi primit. În ipoteza unei cereri

constante de 2000 de lăzi/să ptămână, (cu 5 zile lucr ătoare),




poate fi satisf ăcută o cerere medie de 400 lăzi/zi (reprezentareagrafică Figura nr. 4.1)

Nivelul mediu al stocului în intervalul de timp este

(stocul iniţial + stocul final)/2 şi se bazează pe faptul că stoculdescreşte de la nivelul Q spre 0 în intervalul de timp T.

Figura nr. 4. 2

tT 2T 3T

Q

½Q

0

Nivel destoc mediu

Figura nr. 4.2 arată evoluţia activităţii de stocare pe un

interval de timp mai mare. Stocul este alimentat ciclic la fiecaresfâr şit de perioadă T.

Stocul satisface o cerere constantă de 2000lăzi/să ptămână.

Dacă stocul mediu este ½Q pentru fiecare ciclu, stoculmediu pentru un număr (întreg ) de cicluri este tot ½Q.

Cheltuielile de stocare pot fi determinate folosind stoculmediu. Acestea rezultă din multiplicarea stocului mediu cu

costul unitar de stocare pentru perioada de stocare.Perioada de stocare poate fi considerată 1 să ptămână, olună, un an sau mai mult. De obicei, se foloseşte costul destocare unitar anual.

Dacă se notează:I = procentul din valoarea produsului care reprezintă costulanual unitar de stocare (25 % pentru DrinkCo)C = cost unitar al unei lăzi de produs (Cs) este determinat de:

Cs = I·C




Pentru produsul SoftDrink se obţine 0,25·5 = 1,25Costul anual de stocare se determină prin multiplicarea

stocului mediu cu costul unitar anual de stocare.

Cost anual de stocare = ½Q·Cs

Pentru completitudine, în costul total trebuie introduseşi cheltuielile cu lansarea comenzilor. Dacă se notează cu Dcererea anuală de produse, atunci numărul anual de comenzi va

fi determinat de raportulQ

D.

Astfel, costul total anual cu lansarea comenzilor va fi:Cost anual culansarea

produsului=

nr. anualde

comenzi·

costul unitar de lansare

=Q

D· Co

unde costul de lansare este notat prin Co.

Astfel, costul total anual (costul de stocare + costul delansare) poate fi determinat prin:

TC =21 ·Q·Cs +

QD ·Co

Dacă în cazul DrinkCo avem Cs=1,25 unităţi monetareşi Co=20 unităţi monetare, atunci cererea anuală este calculată prin: D=52(să pt.)·2000 (lăzi)=104000 (lăzi anual), şi atunci:

TC= 2

1

·Q·1,26+ Q

104000

·20 = 0,265·Q + Q

2080000

Relaţia anterioar ă descrie costul total în funcţie de Q.Valoarea minimă a costului se poate determina pentru aceavaloare Q care minimizează funcţia costului total. Pentru adetermina minimele funcţiei costului, derivata acesteia înraport cu cantitatea trebuie să fie egală cu zero.




Q

TC

∂

∂= hC

2

1-

2o

Q

CD ⋅=0. De aici se deduce că:

sC21 = 2o

QCD⋅

⇒ Q2=s

o

C C2D⋅

⇒

Q*=s

o

C

C2D ⋅,

unde Q* reprezintă cantitatea optimă care poate fi stocată dacă se foloseşte modelul cu cerere constantă.

Dacă deja sunt determinate D=104000 lăzi, Co=20unităţi monetare şi Cs=1,25 unităţi monetare, atunci:

Q=1,25

201040002 ⋅=1824.

Astfel cantitatea optimă este Q*=1824 lăzi/să ptămână.Dacă se reprezintă pe acelaşi grafic costurile implicate,

atunci se deduce:

Figura nr. 4. 3

cantitateQ*=1824

cost anual total

cost anual de stocare

cost anual de lansare




Astfel costul total minim devine:

TC* =2

1Q*·Cs +

*Q

DCo ⇒

TC*=s

o

C

C2D

2

1 ⋅⋅Cs+

s

o

o

C

C2D

CD

⋅

⋅=

2

CCD so ⋅+

2

CCD so ⋅

TC*= so CC2D ⋅

În problema prezentată TC* devine:

TC*= 1,25201040002 ⋅ = 2280,35 u.m.

Acum, managerii ştiu că nivelul stocului optim este Q*(în cazul DrinkCo Q* = 1824 lăzi) şi trebuie să determine careeste momentul în care trebuie să lanseze comanda astfel încâtstocul să fie realimentat. Managerii trebuie să stabilească şi

calendaristic zilele în care să reaprovizioneze. Expresia

Q

D

arată numărul de comenzi care se fac într-un an. Cu datele

problemei,*Q

D=

1824

104000= 57,02 ceea ce înseamnă că pentru

un an se efectuează aproximativ 57 de comenzi. Pentru că să ptămâna lucr ătoare are doar 5 zile, numărul de zile totallucrate pe parcursul anului este:

52 să ptămâni · 5 zile/să ptămână = 260 zile lucr ătoare.Dacă se repartizează cele 57 comenzi pe an la 260 zilelucr ătoare se deduce:

T =

*Q

D260

=D

*Q260 ⋅=

104000

1824260 ⋅= 4,56 zile.

Rezultatul asigur ă că, o reaprovizionare la 4,56 zileconfer ă o satisfacţie optimă a cerinţelor. Totuşi nu poate fi




practic folosită valoarea optimă a lui T*=4,56 zile lucr ătoare,fapt care denotă că pot fi lansate comenzile la 4 zile, dar stoculcreşte şi implicit cheltuielile sau se lansează comenzile la

interval de 5 zile, dar poate să apar ă situaţia lipsei stocului, faptcare poate conduce la costuri de penalizare.

Tabelul nr. 4. 2 Analiza senzitivit ăţ ii pentru modelul de stocare

cu cerere constant ă.

Cost TotalValoareCs

(%)

ValoareCo

Q* Pe baza

Q*

Pe baza

Q = 182423 19 1792,5 2204,76 2205,0923 20 1839,1 2262,03 2262,1123 21 1884,5 2317,90 2319,1324 19 1785,2 2213,70 2214,2124 20 1831,6 2271,21 2271,2324 21 1876,9 2327,30 2328,25

25 19 1778,1 2222,61 2223,3325 20 1824,3 2280,35 2280,3525 21 1869,3 2336,66 2337,3726 19 1771,0 2231,48 2232,4526 20 1817,0 2289,45 2289,4726 21 1861,9 2345,99 2346,49

Pe baza analizei senzitivităţii se deduce că valoarea

optimă (teoretică) a stocului conduce la nivelul costului totalminim.

Dacă se înregistrează variaţii în Cs şi Co se deduce dinTabelul nr. 4.2, pe baza costurilor totale proiectate, că volumulcostului total variază între 2200 şi 2400 unităţi monetare/an. Înacest caz se recomandă decidentului de a alege o valoare a luiQ apropiată de 1824 lăzi.




4.2 Modelul de stocare a producţiei fabricate pe loturi

Următorul model suport decizional pentru activitatea destocare este similar cu modelul de stocare cu cerere constantă.De asemenea, se consider ă ipoteza unei cereri constante, dar bunurile nu mai aprovizionează depozitul în transporturi de Qunităţi ci se consider ă că depozitul este aprovizionat continuucâteva zile sau câteva să ptămâni (de exemplu, din producţie proprie fabricată).

Oferta cu rată constantă, presupusă aici, semnifică faptul că este furnizată aceeaşi cantitate de produse în fiecareunitate de timp (de exemplu 20 unităţi în fiecare zi, 100 pesă ptămână etc.). Acest model este destinat situaţiilor în careodată o comandă f ăcută, începe producţia unui număr constantde produse (un lot de fabricaţie) care se adaugă la stoculexistent până când lotul respectiv este realizat în totalitate.

Dacă se consider ă un sistem de producţie care produce50 de unităţi pe zi şi se programează 10 zile de producţie se varealiza un lot de 50·10=500 unităţi. Problema principală înacest model constă în determinarea mărimii optime Q a lotuluicare va minimiza costul total.

O condiţie care trebuie menţionata este că modelul seaplică în situaţiile în care rata producţiei este mai mare decâtrata cererii, iar sistemul trebuie să prezinte capacitatea de a

satisface cererea. De exemplu, dacă nivelul cererii este de 2000unităţi pe să ptămână, nivelul producţiei trebuie să fie cel puţinde 2000 unităţi pe să ptămână pentru ca oferta să satisfacă cererea. Cu această condiţie suplimentar ă, practic, în fiecare zise produce mai mult decât se livrează spre beneficiar. Excesulde producţie va fi, astfel, stocat, stocul înregistrând o creşteregraduală pe perioada în care se produc bunurile. Atunci când

producţia încetează (s-a produs întreg lotul), stocul va începe să




înregistreze o scădere progresivă până când este lansat în producţie noul lot. Reprezentarea evoluţiei stocului este prezentată în Figura nr. 4.4.

Figura nr. 4. 4

cost

Stoc maximQ

Stoc mediu

½ Q

Stoc minim0

tt

Faza de creştere a stocului (producţie)Faza de reducere a stocului non- roduc ie

Sunt utilizate costurile de stocare şi costurile de lansare

la fel ca la modelul de stocare cu cereri constantă, cu costul destocare variabil, funcţie de nivelul stocului. Costul de lansare,

însă, este un cost care include: ore de muncă, materiale, costulrebuturilor, fiind de fapt un cost fix pentru fiecare lot produs,care este totuşi dependent de mărimea costului de fabricaţie.

Determinarea costului total

Fie notaţia Q pentru mărimea lotului de producţie.Trebuie determinat nivelul mediu al stocului

şi costul unitar de

stocare. Se consider ă o durată de un an şi corespunzător costulunitar anual de stocare. Folosind notaţiile:d = cererea zilnică pentru produs; p = producţia zilnică;t = durata (în zile) pentru un ciclu de fabricaţie şi reprezentareadin Figura nr. 4.4 se determină valoarea medie a stocului.




Dacă se presupune p>d, atunci diferenţa p-d arată nivelul zilnic al excesului de cerere, care va alimenta stocul.Dacă se stochează zilnic p-d unităţi timp de t zile, nivelul

maxim al stocului este: Nivel maxim stoc = (p-d)· t

Dacă un lot de produse are Q unităţi care sunt produseîn t zile, iar producţia zilnică este de p bucăţi, atunci Q = p·t.De aici se deduce că durata unui ciclu de fabricaţie este de:

t =

p

Qzile

Nivelul maxim al stocului devine:

(p-d)·t = (p-d)· p

Q= (1-

p

d)·Q

Stocul mediu se determină ca medie aritmetică a

nivelului maxim şi a celui minim astfel:

Stocul mediu =2

0Q) p

d-(1 +

= Q) p

d-(1

2

1⋅

Dacă costul de stocare unitar anual este Cs = I·C, atuncicostul anual de stocare devine:

Cost anualde stocare

= stocmediu

· cost unitar anual destocare

= ) pd-(1

21 Q·Cs

Dacă D este cererea anuală pentru produs şi Co este

costul pentru un ciclu de fabricaţie, iar numărul de cicluri de




fabricaţie pe an esteQ

D, costul anual de producţie se determină

prin:Cost anual

de producţie

=nr. cicluri

de fabricaţie pe an

·cost de producţie

pe ciclu defabricaţie

=Q

D·Co

Astfel, costul total de operare (TC) al modelului devine:

TC = ) p

d-(1

2

1Q·Cs +

Q

D·Co (4.1)

Dacă firma lucrează 250 zile/an (şi 115 sunt zile libereşi nelucr ătoare), atunci cererea zilnică d poate fi determinată

prin: d =250

D, iar dacă prin P se notează producţia anuală,

producţia zilnică este p =250

P, atunci numărul de zile de

producţie (250) coincide cu numărul de zile care se manifestă cererea pentru produs:

p

d=

250

P

250

D=

P

D

Pe baza relaţiei de mai sus se poate scrie costul totalanual ca:

TC = )PD-(1

21 ·Q·Cs +

QD ·Co (4.2)

Ecuaţiile (4.1) şi (4.2) sunt echivalente. Analistul vaalege care dintre acestea este preferabil să fie folosită.




Determinarea nivelului optim al lotului de

producţie. Când se doreşte obţinerea costului minim, derivatacostului total în raport cu cantitatea va genera după egalare cu

zero soluţia nivelului optim al lotului de producţie Q*:

Q

TC

∂

∂= )

P

D-(1

2

1·Cs - o2

CQ

D⋅ =0 ⇒

Q2=s

o

C

C

P

D1

2D⋅

−

⇒ Q*=s

o

C)PD-(1

C2D

⋅

⋅,

Pe baza acestei valori se deduce nivelul minim alcostului total:

TC* = )P

D-(1

2

1·

s

o

C)PD-(1

C2D

⋅

⋅·Cs +

s

o

C)PD-(1

C2D

D

⋅

⋅·Co⇒

TC*= so CCD)P

D(1

2

1⋅ + so CCD)

P

D(1

2

1⋅ ⇒

TC*= so CCD)P

D2(1 ⋅

De asemenea, durata unui ciclu de producţie optim este:

t*=P

*Q=

2

s

o

P

1

C)P

D(1

C2D⋅

⋅

⋅.




4.3 Model de stocare cu cerere constantă şi lipsă destoc

În multe situaţii practice nivelul stocului nu poatesatisface cererea. Chiar dacă nu este o situaţie dorită, ea trebuieevitată pe cât posibil.

Uneori este foarte costisitor să fie păstrate în stoc bunuri, aşa că managerii prefer ă lipsa de stoc. Pentru un dealer,de exemplu, de autoturisme nu este neobişnuit să nu deţină în

stoc un tip de vehicul, iar clientul este dispus să aştepte să-şi primească maşina după câteva să ptămâni.Modelul de stocare cu cerere constantă şi lipsă de stoc

ia în considerare faptul că un client poate comanda un produs,acest produs poate să nu fie în stoc, clientul nu renunţă lacererea sa şi aşteaptă să sosească un nou transport de produse pentru ca să-şi satisfacă cererea. De obicei, clientul este dispussă aştepte dacă perioada cu lipsă de stoc este scurtă, iar acesta

este asigurat de ofertant că cererea sa va fi satisf ăcută cu prioritate imediat ce bunul este disponibil. Dacă clientulconsider ă că amânarea intr ării în posesia bunului îi poate cauza prejudicii, atunci el ar putea renunţa la achiziţionarea bunuluide la furnizor şi eventual ar cere despăgubiri pentru prejudiciulcauzat.

În modelul de stocare cu cerere constantă introducemurmătoarele ipoteze:1. Există S cereri de produs nesatisf ăcute din cauza lipseistocului atunci când un nou transport Q de produseaprovizionează stocul. Cele S cereri r ămase neonorate suntsatisf ăcute imediat, iar în stoc vor r ămâne Q-S produse.2. Q-S va fi nivelul maxim al stocului.3. Durata dintre două aprovizionări succesive T va fi împăr ţită în două faze: t1 zilele în care cererea poate fi satisf ăcută din

stoc şi t2 zilele în care este lipsă de stoc.




Figura nr. 4. 5

Nivelstoc

t1 t2

T

D1 D E

A

B α C

α

timp

Stoc maxim Q-S

0Cerere

nesatisf ăcută -S

Reprezentarea grafică a acestui model este f ăcută înFigura nr. 4.5. Aici, cererile nesatisf ăcute sunt considerate stocnegativ (-S).

Pentru determinarea costului total se însumează toatecheltuielile de stocare obişnuite şi cheltuielile de lansare. În plus, va apărea un cost suplimentar datorită lipsei stocurilor,cheltuieli cu munca şi livr ările directe asociate cu procesarea şi prelucrarea comenzilor în aşteptare. De asemenea, ar putea să apar ă costuri de penalizare datorită insatisfacţiei clienţilor.Costul de penalizare poate fi în corelaţie directă cu timpul de

aşteptare al clienţilor, el va fi astfel calculat similar cu costuldepozitării. Se calculează, astfel, costul de penalizare anual pe baza unei medii a cererii nesatisf ăcute şi pe baza costuluiunitar.

Pentru determinarea costului mediu se foloseşte omedie ponderată cu frecvenţe, unde frecvenţele reprezintă zilele de stocare.

Se notează cu t1 perioada în care stocul este pozitiv (≥0)

şi cu t2 perioada lipsei de stoc.




Din Figura 4.5 se deduce că timp de t1 zile, nivelulstocului scade de la Q-S la 0 unităţi, fapt care conduce lastabilirea stocului pe aceasta perioadă la:

2

0S)-(Q +=

2

S)-(Q.

În perioada t2 nu există stoc, ea reprezintă perioadacorespunzătoare lipsei de stoc. Deoarece un ciclu de stocare areT = t1+t2 zile, stocul mediu pe acest interval de timp este:

Stoc mediu =21

21

tt

t0t2

S)-(Q

+

⋅=

T

tS)-(Q

2

1 1 .

Se exprimă t1 şi T în funcţie de Q, S şi d. Întrucâtnivelul maxim al stocului este Q-S iar d reprezintă cererea

zilnică (constantă) se poate scrie t1 = d SQ − zile1. Astfel, stocul

maxim de Q-S unităţi va fi epuizat înd

SQ −zile. Deoarece

sunt aduse în stoc la fiecare comandă Q unităţi, lungimea unuiciclu, a duratei între două reaprovizionări trebuie să fie

determinată de: T =

d

Qzile2.

1 Această valoare se deduce în triunghiul ABC pe baza determinării

tangentei unghiului tg α =1t

SQ −= d cererea zilnică ⇒ t1 =

d

SQ −.

2 Această valoare se deduce din triunghiul ADE, prin calculul valorii

tg α = T

Q

= d = cererea zilnică ⇒ T = d

Q

.




Astfel, se înlocuiesc valorile lui t1 şi T în nivelul mediual stocului şi se calculează:

Stoc mediu = S)-(Q21 ·

d

Qd

SQ −

=Q

S)-(Q21 2⋅

Se observă că nivelul mediu al stocului este exprimatdoar în funcţie de două variabile de decizie: nivelul lotului dereaprovizionare (Q) şi numărul maxim de cereri nesatisf ăcute

(S) acceptate.Dacă D reprezintă cererea anuală, numărul total deloturi de reaprovizionare (a câte Q unităţi) este:

Numărul anual de reaprovizionări =Q

D.

Numărul mediu de comenzi nesatisf ăcute este variabil,

de la 0 la nivelul maxim S. În intervalul de timp T, stocul poatesă satisfacă toate comenzile în t1 (nu există cereri nesatisf ăcute)iar în t2 exisă cerere nesatisf ăcută.

Nivelul mediu al cererilor neonorate la timp

=T

·t2

S00·t 21

++

=T

t·

2

S 2

Deoarece numărul maxim de comenzi neonorate este S,iar cererea zilnică este d, lungimea perioadei cu lipsă de stoc sedetermină ca:

t2 =d

S

Înlocuim pe t2 şi T în ecuaţia nivelului mediu al

comenzilor neonorate şi se obţine:




Nivelul mediu al comenzilor

neonorate la timp =dQ

d

S·

2

S

= 2Q

S2

În continuare se consider ă:Cs = cost de stocare unitar anual;Co = cost de lansare comandă;C p = cost de penalizare unitar anual.

Expresia costului total în nivelul de stocare cu cerereconstantă şi lipsă de stoc devine:

p

2

os

2

·C2·Q

S ·C

Q

D ·C

2·Q

S)-(Q TC +

Dacă se estimează nivelul costurilor Cs, Co şi C p, se

poate determina costul minim pentru nivelurile stabilite ale luiQ şi S.Prin derivarea expresiei TC în funcţie de Q şi în funcţie

de S şi prin egalarea derivatelor cu 0 se obţine un sistem dedouă ecuaţii cu două necunoscute (în Q şi S) care are casoluţie:

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ +=

p

ps

s

o*

C

CC

C

2·D·C Q şi

ps

s**

CC

C·QS

+,

valori care constituie soluţia optimă a modelului de stocare cucerere constantă şi lipsă de stoc.




4.4 Model de stocare cu cerere variabilă

Firma FiatLux vinde becuri de iluminat economice. Ease aprovizionează de la producător. FiatLux vrea să determinenivelul optim de reaprovizionare al stocului şi să îşi formuleze politica de stoc cu scopul de a avea un stoc minim.

Costul de lansare al comenzii este de 24 u.m. Un beccostă 6 u.m. Costul de stocare anual reprezintă 20% dinvaloarea produsului Cs=0,2⋅6=1,2 u.m./an.

Cererea variază de la o să ptămână la alta, de la o zi laalta. Astfel, nu se poate estima cererea să ptămânală. Firmaestimează, pe baza cererii trecute, un nivel al cererii pentruanul în curs de 4000 de becuri.

Pentru a determina nivelul reaprovizionării secalculează:

Q*= s

o

C

2·D·C

= 1,2

2·4000·24

= 400 buc.Acest nivel de 400 de bucăţi generează un cost total

minim. Însă variaţia lui Q în jurul nivelului său optim, Q*, nudetermină o foarte mare variaţie în costul total.

Chiar dacă cererea anuală este de 3000 de bucăţi sau5000 de bucăţi, totuşi, un nivel de reaprovizionare de 400 buc.determină un nivel redus al costului total. Dacă Q*=400 buc.,

firma anticipează că:*Q

D =400

4000 = 10 reaprovizionări pe an.

Dacă se lucrează 250 de zile pe an, intervalul de timp între

două reaprovizionări este10

250= 25 zile lucr ătoare. Acest

rezultat este convenabil dacă se mizează pe o cerere constantă.Managerul trebuie să stabilească şi momentele în care

este nevoie de a se lansa o nouă comandă de reaprovizionare.



M O D E L E D E S T O C A R E 1 0 1

Se ştie că furnizorul are nevoie de o să ptămână pentru a livratransportul. Dacă se ia în considerare că necesarul de 4000 bucăţi trebuie vândut într-un an, nivelul necesar să ptămânal

este de 4000 buc./52 să pt. ≈ 77 buc./să pt. Cu această medie, însituaţia în care cererea este simetric distribuită faţă de medie,cererea poate fi mai mare de 77 buc./să pt. în 50% din cazuri şirespectiv mai mică de 77 buc./să pt. în 50% din cazuri.

Dacă firma va avea o cerere mai mare de 77 buc./să pt.,se va înregistra o lipsă de stoc datorată excesului de cerere în 5din situaţiile de reaprovizionare, care reprezintă 50% din

totalul de 10 anual, când lipsa stocului va fi înregistrată înaintede reaprovizionare.Această situaţie este de neacceptat pentru FiatLux şi

impune ca firma să stabilească probabilitatea de distribuţie pentru datele de aprovizionare, şi să analizeze probabilisticsituaţiile cu exces de cerere pentru intervalul de timpconsiderat. Trecutul statistic al cererii în anul anterior prezintă o distribuţie normală cu media de µ= 77 becuri pe să ptămână şi

cu o dispersie σ=25 buc.

Figura nr. 4. 6

σ=25µ=77

77 buc.

Folosind datele din trecutul statistic privind cererea,analistul este în măsur ă să determine dacă distribuţia normală,sau alte distribuţii de probabilitate sunt cele mai adecvate

pentru datele reale.




Fiind dată o distribuţie de probabilitate a cererii, se poate determina aceea probabilitate de lipsă de stoc, care permite calculul distribuţiei de probabilitate a cererii care are o

anumită valoare r.Se poate aprecia momentul care determină lansarea unei

noi comenzi şi se poate folosi un cost de penalizare pe unitateade produs care lipseşte din stoc. Managerul va aprecia unnumăr mediu de situaţii în care există lipsă de stoc care ar putea fi permise pe parcursul unui an. Dacă cererea pentru produs înregistrează o distribuţie probabilistă, managerul vaaccepta şi niveluri crescute ale cererii, dar şi niveluri reduse,asociate cu costuri mari de stocare, sau cu costuri scăzute.

Dacă se presupune că managerul firmei acceptă osingur ă situaţie de lipsă de stoc, media lipsei de stoc fiindegală cu 1, atunci un număr de 10 reaprovizionări pe an,managerul poate face ca cererea să depăşească posibilitatea sa

de ofertă o singur ă dată din 10 cazuri (10

1⋅100= 10%) anual.

Aceasta înseamnă că, la atingerea unui nivel al stocului egal cur, distribuţia cererii poate în 10% din cazuri să depăşească acestnivel. Această situaţie se regăseşte în reprezentarea din Figuranr. 4.7.

Figura nr. 4. 7

lipsă de stoc(cererea > r) în5% din cazuricererea ≤ oferta

cererea ≤ r în 95% din cazuri

Pentru distribuţia normală se caută valoarea lui z în

Tabela distribuţiei normale astfel:



M O D E L E D E S T O C A R E 1 0 3

σ

µr z

−= ⇒ r = µ+σ⋅z

Dacă analistul dispune de valorile µ=77, σ=25, iar pentru z=1,25, corespunde valoarea tabelată f(z)=0,3944,atunci:

r =77+1,25⋅25= 77+31,25= 108,25≈109

Astfel, decizia relativă la stocul recomandat se refer ă lamenţinerea unui stoc de siguranţă de 109-77=32 bucăţi din care

să poată fi satisf ăcute eventualele cereri care depăşesc cerereamedie.



CAPITOLUL 5

FIRE DE AŞTEPTARE

Un fir de aşteptare reprezintă un număr de clienţi care

aşteaptă să fie deserviţi (la casa magazinului, la ghişeul băncii,la un semafor etc.). În cele mai multe situaţii clienţii acceptă şitrebuie să aştepte pentru a fi deserviţi. Se poate întâmpla caunii dintre clienţi să nu fie dispuşi să aştepte mult timp pentru afi deserviţi. Managerul realizează că aceste nemulţumiri potîndepărta clienţii, iar cei care aşteaptă, la coadă, nu pot fiserviţi cu promptitudine. Dacă managerul doreşte să rezolveaceastă situaţie, el va fi nevoit să instaleze mai multe case sau

să scurteze timpul de deservire din sistem.Prima soluţie presupune o creştere a costurilor cu

personalul şi echipamentul suplimentar necesar. Aceastadetermină managerul să pună în balanţă beneficiilesuplimentare şi costurile implicate.

Modelele cantitative pot să ajute managerii să înţeleagă şi să ia deciziile cele mai bune privind funcţionarea liniilor deaşteptare. Teoria firelor de aşteptare presupune studiereacomportamentului clienţilor şi a celor care ofer ă servicii însistemul de deservire.

Pentru un număr dat de linii de deservire, sistemele deaşteptare pot să fie caracterizate prin:1. procentaj de timp, sau probabilitate, pentru care clientul

este servit;2. probabilitate de a avea un număr specific de clienţi în

sistem;



F I R E D E AŞT E P T A R E 1 0 5

3. numărul mediu de unităţi (clienţi) în sistem;4. timpul mediu petrecut de fiecare client în sistem (timp de

aşteptare plus timp de deservire);

5. numărul mediu de unităţi (clienţi) în firul de aşteptare;6. timpul mediu petrecut de fiecare client în firul de aşteptare;7. procentaj de timp, sau probabilitate ca un client nou sosit să

fie nevoit să aştepte pentru a fi deservit.

Dacă managerul va dispune de aceste informaţii el va fiîn mai bună măsur ă informat pentru a lua deciziile care vor avea în vedere o îmbunătăţire a serviciului existent raportat lacosturile suplimentare.



F I R E D E AŞT E P T A R E1 06

5.1 Fir de aşteptare cu o singur ă unitate de deservire

S.C. Meteor este un lanţ de magazine cu reprezentareregională. Firma s-a dezvoltat în ultima perioadă foarte mult,datorită vânzărilor sporite.

Unitatea de încărcare-descărcare a unuia dintremagazinele S.C. Meteor a fost proiectată pentru a permiteîncărcarea sau descărcarea exclusivă a unui singur camion.

Cererea crescută a clienţilor determină o creştere a niveluluiactivităţii la unitatea de încărcare-descărcare. Managerultrebuie să ia în considerare alternativele care pot să conducă lao creştere a operativităţii la unitatea de încărcare-descărcare.

O alternativă ar fi ca încărcarea şi descărcarea mairapidă a camioanelor să se realizeze prin folosirea unei benzirulante. O altă alternativă este cea a construirii unei noi unităţi

de încărcare-descărcare, pentru ca simultan să poată fi operatedouă camioane în paralel.Pentru a lua decizia potrivită, managerul are nevoie de

informaţii necesare să îşi fundamenteze decizia. El vrea să ştieîn ce măsur ă fiecare dintre cele două alternative pot să aducă îmbunătăţiri şi care sunt costurile asociate acestora.

Dacă se ia prima alternativă în calcul, managerul vatrebui să identifice câteva caracteristici esenţiale ale sistemului

de deservire:1. distribuţia sosirilor pentru camioane;2. distribuţia timpului de servire pentru încărcarea şi

descărcarea camioanelor;3. regula de deservire aplicată în firul de aşteptare.




5.1.1 Distribuţia sosirilor

Definirea distribuţiei sosirilor pentru o linie de aşteptare

presupune determinarea numărului de unităţi care sosesc şideterminarea frecvenţiei sosirilor într-un interval de timp (deexemplu într-o or ă). Trebuie determinată aici distribuţia de probabilitate a sosirilor camioanelor.

Pentru cele mai multe sisteme de aşteptare, sosirile au odistribuţie aleatoare. Aceasta înseamnă că sosirile suntindependente de alte sosiri, şi nu poate fi prognozată

următoarea sosire. În asemenea situaţie, managerii pot să se bazeze pe distribu ţ ia Poisson care ofer ă o bună descriere adistribuţiei sosirilor.

Prin utilizarea distribuţiei de probabilitate Poisson, probabilitatea ca să existe x sosiri într-un interval de timp este

definită de realţia: P(x)=x!

eλ λ x −

pentru x natural,

unde:x = numărul de sosiri în unitatea de timp;λ = media sau numărul de sosiri în unitatea de timp;e = 2,71828 este baza logaritmului natural.

În cazul de faţă, se determină că sosirile au o medie detrei camioane pe or ă (λ = 3). Astfel, se deduce că:

P(x)=x!

e3 3x −

.

Deoarece x poate lua valorile 0, 1 sau 2 şi e-3=0,0498, probabilităţile ca să sosească zero, unul sau două camioane însistem sunt:

P(x=0 camioane) =0!

e3 30 −

= 0,0498

P(x=1 camion) =

1!

e3 31 −

= 0,1494




P(x=2 camioane) =2!

e3 32 −

= 0,2241.

Tabelul nr. 5. 1 Probabilitatea de distribu ţ ie a sosirilor

Număr decamioane

x

Probabilitate dedistribuţie

P(x)0 0,0497870681 0,1493612052 0,224041808

3 0,2240418084 0,1680313565 0,1008188136 0,0504094077 0,0216040318 0,0081015129 0,002700504

10 0,000810151

Se pot calcula valorile lui P(x) precum în Tabelul nr.5.1. Reprezentarea grafică a funcţiei P(x) este prezentată înFigura nr. 5.1.

Figura nr. 5. 1

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nr. camioane

Probabilitate




Distribuţia de probabilitate Poisson descrie sosirilecamioanelor la S.C. Meteor S.A. şi ajută la simplificareaanalizei firului de aşteptare. Este important ca după urmărirea

sosirilor în sistem pentru o perioadă de timp să se observe dacă distribuţia Poisson reprezintă o bună aproximare a situaţieireale a sosirilor camioanelor.

5.1.2 Distribuţia timpilor de deservire

O distribuţie de probabilitate trebuie să arate cât timp

este necesar pentru încărcarea sau descărcarea unui camion.Deoarece fiecare camion poate transporta produse diferite, încantităţi diferite, timpul de încărcare şi descărcare pentrufiecare camion poate varia foarte mult. Din practică se deducecă cea mai bună aproximare pentru distribuţia de probabilitatea timpilor de deservire este distribuţia exponenţială. Pe bazaacesteia, se deduce că probabilitatea ca serviciul să fie realizatîntr-un interval specific de timp (t), se determină prin:

P(timpul de deservire≤t) = 1-e-µt

unde:µ = media numărului de unităţi pe care le poate deservisistemul în unitatea de timp.

Dacă se determină că unitatea de încărcare-descărcare poate deservi în medie 4 camioane pe or ă, atunci pentru µ = 4

se deduce:P(timpul de deservire≤t) = 1-e-4t

Probabilităţile de deservire din Tabelul nr. 5.2 auurmătoarea interpretare: pentru t=0,5 ore care au corespondentla 30 minute, P(timpul de deservire ≤ 30 minute) = 0,86466, în86,4% din cazuri timpul de aşteptare este mai mic sau egal cu30 minute, iar pentru t=0,4 ore care au corespondent la 12

minute, P(timpul de deservire ≤ 12 minute) = 0,7981, în 79,8%




din cazuri timpul de aşteptare este mai mic sau egal cu 12minute.

Tabelul nr. 5. 2 Probabilitate de distribu ţ ie exponen ţ ial ă Timp de deservire

în ore (t)Timp de deservire

în minuteProbabilitatea dedistribuţie P(t)

0,0 0 0,000000,1 6 0,329680,2 12 0,550670,3 18 0,69881

0,4 24 0,798100,5 30 0,864660,6 36 0,909280,7 42 0,939190,8 48 0,959240,9 54 0,972681,0 60 0,98168

Funcţia de distribuţie de probabilitate ia valorile dinTabelul nr. 5.2 şi este reprezentată grafic în Figura nr. 5.2.

Figura nr. 5. 2 Reprezentare a probabilit ăţ ii de distribu ţ ie

exponen ţ iale

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

timp de deservire (ore)

probabililate




Practic, funcţia exponenţială reprezintă o însumare afrecvenţelor relative a timpilor de deservire.

5.1.3 Regula de deservire

În firul de aşteptare trebuie să existe o regulă dedeservire. De obicei aceasta este de tip FIFO1, ceea ceînseamnă că deservirea se face în ordinea sosirilor, primul sositfiind primul servit.

Alte tipuri de reguli pot asocia niveluri de importanţă

clienţilor şi deservirea prioritar ă a unora dintre aceştia îndefavoarea clienţilor consideraţi de o mai mică importanţă.

1 First Input First Output




5.2 Fir de aşteptare cu sosiri poissoniene şi timpi dedeservire exponenţiali

Acest tip de fir de aşteptare cu o singur ă unitate dedeservire, cu sosiri poissoniene şi timpi de deservireexponenţiali se caracterizează prin:• un singur fir de aşteptare;• sosirile urmează o distribuţie de probabilitate Poisson;

• timpii de deservire urmează o distribuţie de probabilitateexponenţială;• regula de deservire este FIFO.

Dacă firma S.C. Meteor S.A. se încadrează în acest tip defir de aşteptare atunci se consider ă că numărul de sosiri înunitatea de timp λ=3 camioane/or ă şi media numărului deunităţi deservite în sistem în unitatea de timp este µ=4camioane/or ă. Pe baza presupunerilor anterioare, s-au elaborat

următoarele relaţii definitorii:1. Probabilitatea ca unitatea de încărcare-descărcare să

fie liber ă (probabilitatea de a avea 0 camioane în

sistem) este: P0 = 1-µ

λ = 1-ρ;

2. Probabilitatea de a avea n unit ăţ i în sistem:

Pn =

n

µ

λ

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛⋅ P0;

3. Numărul mediu de unit ăţ i care a şteapt ă să fie deservite

(lungimea cozii): Lq=λ )-µ(µ

λ 2;

4. Numărul mediu de unit ăţ i în sistem (în curs de deservire

plus cei care aşteaptă în fir): L= Lq +µ

λ =

λ -µ

λ ;




5. Timpul mediu de a şteptare până la deservire:

Wq=λ

Lq =λ )-µ(µ

λ ;

6. Timpul mediu de a şteptare în sistem (aşteptare plus

deservire): W = Wq+µ

1=

λ -µ

1;

7. Probabilitatea ca o unitate sosit ă să a ştepte în sistem:

Pa =µ

λ = ρ.

Această probabilitate ρ =µλ se numeşte factor de

utilizare a firului de aşteptare.Sistemul de deservire cu o singur ă linie de aşteptare

poate fi aplicat doar dacă µ

λ <1. Această relaţie este echivalentă

cu o medie a servirilor (µ) mai mare decât media sosirilor (λ).

În cazul S.C. Meteor S.A. se deduc:

1. P0 = 1-4

3= 0,25, probabilitatea ca unitatea de încărcare-

descărcare să fie liber ă arată că în sistem sunt 0 camioaneîn 25% din cazuri;

2. Lq=λ )-µ(µ

λ 2=

3)-4(4

32

= 2,25. Numărul mediu de camioane

din coadă este 2,25;

3. L= Lq +µ

λ =

λ -µ

λ =

3-4

3=3. Numărul mediu de unităţi în

sistem, în curs de deservire plus cei care aşteaptă în fir, estede 3 camioane;




4. Wq=λ

Lq =3

2,25= 0,75. Timpul mediu de aşteptare în fir

până la deservire pentru un camion este de 0,75 ore (45minute);

5. W = Wq+µ

1= 0,75+0,25 =1. Timpul mediu de aşteptare în

sistem (aşteptare plus deservire) este de o or ă pentru fiecarecamion;

6. Pa =µ

λ = ρ = 0,75. Probabilitatea arată că în 75% din

cazuri camioanele vor aştepta deservirea.

Modelul acesta furnizează informaţii relative lacaracteristicile de operare ale sistemului de deservire. Dacă managerul va dori să introducă modificări în sistem, el poate să previzioneze care sunt rezultatele acestora.

Modelele firelor de aşteptare pot fi combinate, situaţiile

reale în care ele sunt întâlnite pot fi mult mai complexe. Deexemplu un singur fir de aşteptare şi mai multe staţii dedeservire, pot să apar ă restricţii privind orarul de deservire alstaţiilor etc.

Se pot de asemenea realiza simulări pentru activitateade deservire şi se poate determina un comportament stochastic pentru unităţile de deservire.



CAPITOLUL 6

SIMULAREA PROCESELOR ECONOMICE

6.1 Simularea unui proces de stocare

Un en-gross-ist cumpăr ă marf ă pe care o stochează oanumită perioadă de timp, până în momentul în care o vinde.Se presupune că cererea se satisface la începutul zilei. S-aobservat că cererea de marf ă (r) a fost determinată printr-unstudiu statistic. Cererea de marf ă este aleatoare. În tabelul de

mai jos este prezentată probabilitatea asociată unui anumitnivel al cererii.

Tabelul nr. 6. 1

Nr.crt.

Valoarea cererii (r)P(r) = probabilitatea de a avea

nivelul cererii egal cu r 1 sub 100 0,002 100 0,06

3 150 0,114 200 0,205 250 0,126 300 0,037 350 0,108 400 0,089 450 0,12

10 500 0,18



S I M U L A R E A P R O C E S E L O R E C O N O M I C E 1 16

En-gross-istul trebuie să determine densitatea de

repartiţie a funcţiei P(r) notată aici prin F(r). Densitatea de

repartiţie reprezintă probabilitatea cumulată pentru fiecaredintre valorile asociate cererii. Valoarea funcţiei densităţii derepartiţie se determină astfel:• pentru o cerere sub 100 de unităţi, este egală cu

F(r<0)=P(r<0)=0;• pentru F(r<100)= P(r<100) + P(r=100)=0+0,06=0,06 şi

arată că o cerere mai mică sau egală cu 100 de unităţi poate

să apar ă cu probabilitatea de 0,06;• pentruF(r<150)=P(r<100)+P(r=100)+P(r=150)=0+0,06+0,11==0,06 şi arată că o cerere mai mică sau egală cu 150 deunităţi poate să apar ă cu probabilitatea de 0,11 ş.a.m.d.Valorile funcţiei densităţii de repartiţie sunt prezentate în

Tabelul 6.3 împreună cu mulţimile asociate valorilor acesteifuncţii.

Tabelul nr. 6. 2

Nr.crt.

F(r)Densitatea de

repartiţie

Mulţimiasociate

1 0,00 02 0,06 0,00-0,05

3 0,17 0,06-0,164 0,37 0,17-0,365 0,49 0,37-0,486 0,52 0,49-0,517 0,62 0,52-0,618 0,70 0,62-0,699 0,82 0,70-0,81

10 1,00 0,82-0,99



S I M U L A R E A P R O C E S E L O R E C O N O M I C E1 1 7

Durata de reaprovizionare este o variabilă aleatoare careare valorile posibile τ, determinate printr-un studiu statisticanterior şi care a returnat următoarele rezultate.

Tabelul nr. 6. 3

Nr.crt.

Durată dereaprovizionare τi

(zile)

P(τi) = probabilitatea de a realizaaprovizionarea în τi zile

1 sub 1 0,202 1 0,40

3 2 0,144 3 0,155 4 0,036 5 0,057 6 0,03

Pentru distribuţia descrisă în Tabelul nr. 6.3 sedetermină densitatea de repartiţie F(τi) şi mulţimile asociate.

Tabelul nr. 6. 4

Nr.crt.

F(r)Densitatea de

repartiţie

Mulţimiasociate

1 0,00 02 0,20 0,00-0,19

3 0,60 0,20-0,594 0,74 0,60-0,735 0,89 0,74-0,886 0,92 0,89-0,917 0,97 0,92-0,968 1,00 0,97-0,99



S I M U L A R E A P R O C E S E L O R E C O N O M I C E 1 18

Se presupune că en-gross-istul se reaprovizionează cu ocantitate constantă Q= 800 unităţi de produs. De asemenea secunosc următoarele informaţii:

- costul de reaprovizionare CQ= 50000 u.m. (cheltuieli delansare comandă, transport, cheltuieli fixe);

- costul unitar este c= 2000 u.m./buc. produs;- stocul iniţial este S0= 800 buc. produs.

Pot fi întâlnite următoarele situaţii:1. stocul ≥ cererea, fapt care nu determină probleme deosebite

distribuitorului; 2. stocul < cererea, situa ţ ie care poate fi rezolvat ă prin:a. comandă specială cu costuri suplimentare cs= 30

u.m./buc. produs. Comanda poate fi primită cu o probabilitate de 0,7 în ziua următoare şi cu o probabilitate de 0,3 peste două zile de la lasareacomenzii.

b. nu există posibilitatea de a realiza o comandă specială

şi se înregistrează pierderi datorate nesatisfacerii cererii prin cheltuielile de penalizare C p=100 u.m./buc. produslipsă/zi.

Se cere determinarea nivelului optim de stoc, prinmodificarea unora dintre ipotezele de lucru (stoc iniţial, politică de reaprovizionare etc.)

Se poate introduce un nivel al stocului de siguranţă SS=500 buc., iar politica de reaprovizionare poate fi bazată pecomparaţia stocului existent astfel:- S< un nivel al stocului R, situaţie care implică efectuarea

unei comenzi speciale;- S< SS, situaţie care conduce la realizarea unei comenzi

obişnuite.



S I M U L A R E A P R O C E S E L O R E C O N O M I C E1 1 9

Se simulează valori uniform distribuite pe intervalulînchis [0, 1], pentru variabile aleatoare pe care le implică modelul:

Tabelul nr. 6. 5 Simulare variabile aleatoare

CerereDurată

reaprovizionareZile sosire

comandă specială xi Si yi τi ti di

0,83 500 0,45 2 0,49 10,95 500 0,30 2 0,91 2

0,41 250 0,06 1 0,02 10,57 350 0,27 2 0,26 10,67 400 0,96 7 0,11 10,40 250 0,38 2 0,90 20,49 300 0,91 5 0,52 10,64 400 0,46 2 0,42 10,75 450 0,69 3 0,66 10,10 150 0,04 1 0,85 2

0,33 200 0,06 1 0,01 10,42 250 0,29 2 …0,61 350 0,77 40,59 350 0,97 70,85 500 0,50 20,45 250 …0,14 1500,42 2500,83 5000,44 250…

Folosind date din tabelele de numere aleatoare sedetermină care este nivelul optim al stocului şi al cantităţii deaprovizionat.



BIBLIOGRAFIE

Blezu Dorin,

Boncuţ Mioara

Matematici aplicate în economie, Editura

„Alma Mater“, Sibiu

Brabb J. George Introduction to Quantitative Management ,

Holt Inc., 1968

Charnes A. (coord.) Management Models and Industrial

Applications of Linear Programming , John

Wiley & Soons, Inc., NY, 1961

Dinescu Constantin,

Fătu Ioan

Matematici pentru economi şti, vol. I, II, III,

E.D.P., Bucureşti, 1995

Dobre Ioan,

Mustaţă Floarea

Simularea proceselor economice, Curs ASE

BucureştiGagsdale Cliff Spreadsheet Modelling and Decision

Analysis, South-Western College Publishing,

1998

Mitruţ Dorin Culegere de probleme de Bazele Cercet ării

opera ţ ionale, ASE Bucureşti

Mustaţă Floarea,

Măr ăcine Virginia

Cercet ări opera ţ ionale, Curs ASE Bucureşti

Naylor H. Thomas,Vernon M. John

Microeconomics and decision models of the firm, Harcourt Brace & World Inc., 1969

Nădejde Ileana

(coord.)

Probleme de cercetare opera ţ ional ă -

programare matematică -, Editura

Academiei RSR, Bucureşti, 1971

Nica Vasile,

Mustaţă Floarea,

Ciobanu Gheorghe,

Măr ăcine Virginia

Cercet ări opera ţ ionale I , Programare liniar ă,

Problema de transport, Teoria jocurilor, Curs

ASE Bucureşti

Popescu Octavian

(coord.)

Matematici aplicate în economie, E.D.P.,

Bucureşti, 1999

Roşca Liviu Modelare şi simulare, Editura „Alma Mater“,

Sibiu

Wagner M. Harvey Principles of Operations Research, With Applications to Managerial Decisions,

Prentice Hall, 1969

*** Information for Decision Making , Prentice

Hall, New-Jersey, 1970

metode cantitative si calitative in managementul modern

Documents