metoda elementului finit cap6

8/16/2019 Metoda elementului finit cap6

1/12

CAPITOLUL 6. ELEMENTE TRIDIMENSIONALE 3 – D

Teoriile elasticit ăţ ii tridimensionale 3 – D Starea de tensiune

Fig. 6.1. Starea de tensiune spaţială În mod matriceal tensiunile se pot scrie sub forma:

sau{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττσσσ

=σ=σ

zx

yz

xy

z

y

x

ijσ ; (6.1)

iar deformaţiile sub forma:

sau{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττεεε

=ε=ε

zxyz

xy

z

yx

ijε ; (6.2)

Între tensiunişi deformaţii există relaţia:


2/12

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

γγγε

εε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−

ν−

ν−ν−νν

νν−νννν−

ν−ν+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

τττσ

σσ

zx

yz

xyz

y

x

zx

yz

xyz

y

x

22100000

02210000

00221

000

000100010001

211 E ; (6.3)

sauε=σ E (6.4)

În cazul 3–D deplasările liniare vor fi:

( )( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧=

3

21

uuu

z,y,xwz,y,xv z,y,xuu (6.5)

Relaţiile între deplasări şi deformaţii specifice sunt:

.xw

zu,

zv

yw,

yu

xv

,zw,

yv,

xu

xzyzxy

zyx

∂∂+

∂∂=γ

∂∂+

∂∂=γ

∂∂+

∂∂=γ

∂∂=ε

∂∂=ε

∂∂=ε

, (6.6)

sau( 3,2,1 j,i,

xu

xu

21

i

j

j

iij =⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ∂∂

+∂∂=ε ), (6.7)

în notaţie tensorială acestea se pot scrie sub forma:( )i, j j,iij uu2

1 +=ε , (6.8)

Ecuaţiile de echilibru sunt de forma:

,0f zyx

,0f zyx

,0f zyx

zzzyzx

yyzxyx

xxzxyx

=+∂σ∂+

∂τ∂

+∂τ∂

=+∂τ∂

+∂σ∂+

∂τ∂

=+∂τ∂+

∂τ∂+

∂σ∂

(6.9)

sau0f

iij =+σ (6.10)


3/12

Condi ţ ii de contur Pentru deplasări specificate peΓu: ui = ūi , (6.11)Pentru sarcini specificate peΓσ: ti = ti- (6.12)

unde solicitările de tracţiune sunt: ti =σijn j (6.13)

Fig. 6.2. Condiţiile de contur

Analiza tensiunilorSe realizează prin rezolvarea ecuaţiilor (6.9) prin

introducerea condiţiilor (6.11)şi (6.12).

Formularea elementelor finiteCâmpul de deplasări este dat de relaţiile:

∑ ∑∑= ==

=== N

1i

N

1iii

N

1iiiii ,w Nw,v Nv,u Nu (6.14)

unde ui ,vi şi wi reprezintă valori nodale.În forma matriceală se poate scrie:

( ) ( )

( )1 Nx3

2

2

21

1

1

N3x311

1111

1x3

...wuvw

vu

... N00 N00

...0 N00 N0 ...00 N00 N

wvu

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ (6.15)

sau: Ndu = (6.16)

Prin folosirea relaţiilor (6.6) şi (6.11) se poate determinavectorul deformaţiilor prin relaţia:


4/12

( ) ( ) ( 1 Nx3x N3x61x6.Bd

==ε

) (6.17)

Matricea de rigiditate pentru elementul 3–D este:

6)x(6x3N)(3Nx6)x(6x(3xN)

EBdvBk V

T

=

= ∫ (6.18)

Pentru determinarea matricei de rigiditate k se realizează integrala de volum pe cale numerică.

Mişcarea unui element rigid tridimensional 3-D este descrisă de 6 componente: 3 translaţii şi 3 rotaţii. Această mişcare a rigidului,duce la singularitatea ecuaţiilor. De aceea pentru o analiză corectă

această mişcare trebuie înlăturată. Elemente solide, 3-D, tipice Elementele volumice se clasifică în 3 categorii:1. Tetraedre;2. Hexaedre;3. Pentaedre.

Elementele de tip tetraedru pot fi liniare cu 4 noduri,fig.6.3a, sau pătratice cu 10 noduri, fig.6.3b.

Fig. 6.3. Elemente tetraedrice

Elemente de tip hexaedru (brick) pot fi liniare cu 8 noduri,fig.6.4a, sau cu 20 de noduri, fig.6.4b.


5/12


6/12

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )(

( )

)

( )( )(

( )

)

( )( )( ζ+η+ξ−=ζηξ

ζ−η+ξ+=ζηξ

ζ−η−ξ+=ζηξ

ζ−η−ξ−=ζηξ

11181,, N

...

11181,, N

11181,, N

11181,, N

8

3

2

1

)

, (6.20)

De notat că există următoarele relaţii pentru funcţiile de formă:( )

( )∑= =ζηξ

=δ=ζηξ8

1ii

ij1

1,, N

8,...,2,1 j,i,,, N

(6.21)

Transformările sistemului de coordonate se fac după relaţiile:

∑∑∑===

===8

1iii

8

1iii

8

1iii .z Nz,y Ny,x Nx (6.22)

Pentru câmpul de deplasări se folosesc funcţii de formă identice cu cele prezentate anterior. În acest caz aceste elemente suntelemente izoparametrice .

Fig. 6.6. Elementul hexaedric liniar


7/12

Matricea Jacobiană pentru element este:

⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂

∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

ζ∂∂

ζ∂∂

ζ∂∂

η∂∂η∂∂ξ∂∂

ξ∂∂

ξ∂∂

ξ∂∂

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

ζ∂∂η∂∂

ξ∂∂

zuyu

xu

zyxzyx

zyx

uu

u

(6.23)

Dacă se notează cu J matricea Jacobiană rezultă:

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

=

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ζ∂∂η∂

∂ξ∂

∂

−

zuyuxu

J

u

u

u

1 ,⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ξ∂

∂=ξ∂

∂ ∑=

8

1ii

i u Nu etc. (6.24)

şi

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂∂∂∂∂

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ζ∂

∂η∂

∂ξ∂

∂

−

z

vyvxv

J

v

v

v

1 (6.25)

Fenomenul este identicşi pentru deplasarea w. Astfel că deformaţiile specifice funcţie de deplasări vor fi:

Bd

xw

zu

zv

yw

yu

xv

zwyvxu

zx

yz

xy

z

y

x

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂ ∂

∂∂∂∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

γγγε

εε

=ε , (6.26)

unde d este vectorul deplasărilor nodale. De exemplu:

( ) ( ) ( 1x24x24x61x6.Bd

==ε

) (6.27)


8/12


9/12

( ) ( ) ( )213232221VMe 21 σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ=σ .

Tensiunile sunt calculate pentru nodurile selectate de pe fiecare

element. Solide axisimetrice Sunt acele elemente tridimensionale care au cel puţin o axă

de simetrie rotaţională, fig.6.8.

Fig.6.8. Corpuri axisimetriceÎn acest caz se poate trece de la sistemul de axe rectangular

la sistemul de coordonate cilindric, fig.6.9.z).,(r, y)z,(x, θ⇒

Fig.6.9. Aplicarea coordonatelor cilindrice în cazul elementelor 3-D.

Câmpul de deplasări Deplasările uşi w vor fi funcţie de rază şi de înălţime.


10/12

z).w(r, w z),u(r,u == (6.33)nu există componentă circumferenţială v.

Deforma ţ ii

Deformaţiile specifice funcţie de deplasări vor fi date derelaţiile:

( )0,zu

r w

,zw,

r u,

r u

zr rz

zr

=γ=γ∂∂+

∂∂=γ

∂∂=ε=ε

∂∂=ε

θθ

θ (6.34)

Starea de tensiune Pentru corpurile axisimetrice se poate scrie sub forma:

( )( )⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

γεεε

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν−νν

νν−νννν−

ν−ν+=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

τσσσ

θθ

rz

z

r

rz

z

r

221000

010101

211E (6.35)

Elemente axisimetrice Elementele axisimetrice pot fi cu 3 noduri, fig.6.10a sau cu 4

noduri, fig.6.10b.

Fig.6.10. Elemente axisimetrice

Pentru aceste tipuri de elemente matricea de rigiditate k sescrie sub forma:

∫ θ=V

T dzEBrdrdBk , (6.36)

sau


11/12

( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫− −

π

− −ζηξπ=ζηξ=

1

1

1

1

T2

0

1

1

1

1

T dddJdetEBr B2dddJdetEBr Bk (6.37)

Aplica ţ ii ale elementelor 3-D Disc în rota ţ ie For ţele ce acţionează, fig.6.11, sunt:

Fig.6.11. Disc în rotaţieFor ţe echivalente radial centrifugal/for ţe de iner ţie f r = ρr ω2;For ţe gravitaţionale f z = -ρg.

Fig.6.12. Cilindru supus la presiune interioar ă

Cilindru supus la presiune internă , fig.6.12.

Fretarea a două elemente, Ansamblare prin contact strâns adouă piese care urmează să facă un corp comun, fig.6.13.

Element elastic conic

Aceasta este o problemă de neliniaritate geometrică (mari


12/12

deformaţii) iar pentru rezolvarea ei sunt necesare metode derezolvare iterative, fig.6.14.

Fig.6.14.Element de arc conic

Fig.6.13. Fretarea a două elemente

metoda elementului finit cap6

Documents