mateol
TRANSCRIPT
___________________________________________________________________
___________________________________________________________ B-dul. Eroilor 4-6, Pite ti - 110417; Tel: (+40 248) 218.319;
Fax: (+40 248) 219.743 http://isjarges.ro
R O M Â N I A
MINISTERUL EDUCA!IEI, CERCET"RII,
TINERETULUI I SPORTULUI
INSPECTORATUL COLAR JUDE!EAN ARGE
Olimpiada Na!ional" de Matematic"
- etapa local" - 13.02.2010 Clasa a VI-a
Varianta 1
SUBIECTE:
1. Ar ta!i c exist numere naturale x, y, z astfel încât: 41 2 4 53 x y z ! ! .
Prof. Ion Angela, coala 6 - Pite!ti
2. a) Fie numerele naturale nenule x "i y, a = 34
3
!
!
y
yx , b =
9
14 !y, c =
yx !3
11. #tiind c
a = b = c, determina!i x "i y.
(problema E:13766 din G.M. 1/2009)
b) Dac se împart numerele 67, 139 "i 187 la acela"i num r de dou cifre se ob!ine
acela"i rest. S se afle împ r!itorul "i restul. Câte solu!ii are problema ?
prof. Codeci Daniel – Curtea de Arge!
3. M surile unghiurilor formate în jurul unui punct O sunt exprimate prin puteri ale
num rului 5. Afla!i num rul minim de unghiuri în condi!iile date.
Prof. Victoria Palaghiu, Câmpulung Muscel
4. Se dau unghiurile adiacente AOB "i BOC, astfel încât bisectoarele lor [OM,
respectiv [ON formeaz un unghi de 75° "i 3"m( BOC) = 2"m( AOB).
a) Determina!i m surile unghiurilor AOB "i BOC.
b) Dac OP # OM astfel încât M "i P sunt de aceea"i parte cu B fa! de AO,
demonstra!i c [OP este bisectoarea unghiului CON.
prof. Stoica Petre, c. „George Topârceanu” Mioveni
Not":
Toate subiectele sunt obligatorii.
Timp de lucru 3 ore.
___________________________________________________________________
R O M Â N I A
MINISTERUL EDUCA IEI, CERCET!RII,
TINERETULUI I SPORTULUI
INSPECTORATUL COLAR JUDE!EAN ARGE
Olimpiada Na!ional" de Matematic"
- etapa local" - 13.02.2010
Barem de corectare Clasa a V-a – varianta 1 1. 3
41 = 3
1 ! 3
40 = .......................................................................................................... 2p
= 340
+ 340
+ 340
= ........................................................................................................ 2p
= " # " # " #2 4 5
20 10 83 3 3$ $ ............................................................................................... 2p
Finalizare x = " #2
203 , y = " #4
103 , z = " #5
83 ................................................................ 1p
2. a) Din a = b = c % 34
3
$
$
y
yx =
9
14 $y =
yx $3
11 =
1253
1253
$$
$$
yx
yx = 1 .............................. 1p
% 4y + 1 = 9 & y = 2 , .............................................................................................. 1p
din 3x + y = 11% 3x + 2 = 11% x =3 , deci numerele c utate sunt x =3 !i y = 2 ..... 1p
b) Se noteaz împ r"itorul cu n , restul cu r , iar câturile cu a, b, c, r < n '67, n(10.
Din enun" se ob"ine c : 67 : n = a rest r, 139 : n = b rest r, 187 : n = c rest r !i aplicând
teorema împ r"irii cu rest: 67 = n . a + r, 139 = n . b + r, 187 = n . c + r ................... 1p
Sc zând aceste rela"ii dou câte dou se ob"ine: 120 = n . (c – a), 72 = n . (b – a),
48 = n . (c – b) % n este un divizor comun al numerelor 120, 72 !i 48. ................... 1p
(120, 72, 48) = 24 % n) D 24 , n (10% ...................................................................... 1p
n = 24, caz în care r = 19 sau n = 12, caz în care r = 3. Deci problema are dou solu"ii. 1p
3. 5 3 =125<360; 5 4 =625>360 % m surile unghiurilor în jurul lui O sunt de forma 5 0 ;
51 ; 5 2 sau 5 3 grade ...................................................................................................... 3p
2 · 5 3 =250<360 ; 3 · 5 3 =375>360 %num rul maxim de unghiuri cu m sura
5 3 grade este 2 ......................................................................................................... 1p
Num rul maxim de unghiuri cu m sura 5 2 grade este 4 .................................... 1p
Num rul maxim de unghiuri cu m sura 51 grade este 2 .................................... 1p
2 · 5 3 +4 · 5 2 + 2 · 51 =360 % cel mai mic num r de unghiuri în condi"iile date
este 2+4+2=8 unghiuri ............................................................................................ 1p
4. a) m( MON) = 750 % m(<AOC) = 150
0 .............................................................. 1 p
kAOBmkBOCmkAOBmBOCm
3)(,2)(3
)(
2
)(*+*+%*
+*
+ ........................................ 1 p
m( AOB) = 900 !i m( BOC) = 60
0 .......................................................................... 1 p
b) OP , OM % m(<MOP) = 900, [ON bisectoare % m(<NOC) = 30
0 ................... 1 p
m(<MOC) = 1800 - m(<AOM) = 105
0 ....................................................................... 1 p
m(<COP) = m(<MOC) – m(<MOP) = 150 ................................................................ 1 p
Finalizare .................................................................................................................... 1 p
������������� ����������������������������������������������� ���� � ��������� �������
����� ������ � ���������� �� ��������
����� � ��� ��� ���� ����� ���������������� ! "�#$%�$�� &' '
��������� ()�* ��� �� "�� +� � ,%��$� ,��%$��� ,�,%��- ����,.�$�/� �� ���� ( )0� �+ �.�� ��1�2�#�� �% )+
��%,�� 3$��/�� 0
&
� �
� �
+
+�.�� $��%���#���-
4-�-56&''7+ �$�#���� �8 !9!'
��� � � #%,��� �$� ��� ,���/�- :;$.�� #%,���� .� �<�$��� �$�,�$=%, ,%��$ �� ��%� ��3$�+ 3����$� ��3$� 3��,� 1;$.�� %,%�� ��,�$� ,���/�- ���� �� 1;$.�� #%,���� .� ���%>� 1;$.���� ����$ ��� ,���/� .� �#/�,� 9! �� �,�- �� 1;$.�� �$� #%,���?
���������� ()�*
��
"�� ,%��$%� ,��%$�� � ∗∈ � - �%��$%� � ∗
∈ � .� ,%��@�� A����������� B ���� �$�, C���$/�$�� �%� � �� � .� �#/�,� �;�%� �>�� �% $�.�%�-�* ����$��,�/� $�.�%� C���$/�$�� %,%� A�������������� B �� ,%��$%�� � + -
!�� #* ����$��,�/� .%�� �%�%$�$ A�������� ���������&' ' ��
����������� ()�*
��� �� ����,.�$�/� �� �$��%� �� ���>� 0 �� ,%��$� ,��%$��� ,�,%�� ��3�$��� � ��$�$ .%�� ,% ����@�@�� &9'+ �<�.�� ��� �%/�, ��%� ��,�$� ��� � ��$�$ .%�� �.�� �>��� �% 0 -
��� � D, E%$%� �%,��%�%� � .� ��,.���$� %,>F�%$��� ���� + ���� + ���� + ���� @� ���� �.�3�� C,�;� ��.%$��� ��$ .%,� ��$��� �$���$/��,��� �% ��,�� ,%��$� ,��%$���
��,.��%��1�- ����,� �� ( )
( )
!
� ���
� ���=
�
�+ ����,.�$�/� �� �%,����� � + � @� � .%,�
����,��$�-
����8 �������������������� ���������������������������������� ���� �� �%�$% G & �$�-
������������� ����������������������������������������������� ���� � ��������� �������
����� ������ � ���������� �� ��������
����� � ��� ��� ���� ����� ������
���������� ! "�#$%�$�� &' '
������������ ���
��������� ()�*
!" + )� �+ � ,� ) -%��$ �$�� +
&
� �
� �
+⇒
+ �.�� $��%���#��� ���� & )� �+ � ////// �
& 0 )� �+ � ///////////////////11/////////111 �
& )� �+ � ////////////////////////1/////11 �
#" "�� 2� � 34$.���� -���5���$
0!�� � �+ + = ///////////////////////////11 �
& 0!� �+ = ///////////////////////////11 �
"�-���6�$� )2 !� �= = //////////////////11///// 11 &�
���������� ()�*
�$ � 7������� ��� 8 2� � � � ⇒ = ⋅ + < ///// ////////1////1 �
( ) � � = + ⇒ $�.�%� 9���$5�$�� �� + �.�� ' ////////////111111/11 �
%$ &' ' 2 &' '� � � �= + < ////////////////////111//1/ �
&' 2 &' '2� � � � ∗= < ∈ � //////////////////11//111/1 �
��5� �$����-�� �%� &' ' .%-� &' 2& &' 21112 &'': &' ⋅ ⋅ ⋅ //////111/1//1 �
�%�� ( ) & ! 111 &'': &'' &'': ''; &' = + + + + ⋅ = ⋅ ⋅ /////////11// &�
����������� ()�*
!""����$� ��$��<� ( ) ( ) ( ) ( ) 2+' 2 &2!: 2 !2!0 21112 &'2& �$�#%�� .� ��-5�-� ��� �%�� %-%�
��-�$� -%��$� ///////////////////////111////1 �
�%��$��� ��$� �% .%�� ��-��� .%-�= 2 &2!21112 &'2+ 2+&21112 > ///1111///// �
�%�� -%��$���$ �.�� &0 1 "�-���6�$� /////////////11////111 �
#" ����� ��.%$��� %-?<�%$���$ �% 2 2 2 2� � � � � 1 �%-�� !>'� � � � �+ + + + =� //// �
&
!
�� �
� �= ⇒ =
+ ////////////111//////////// 11 �
+ & ! +
� � � � �
= = = = ⇒ =
+ + + + ///////////////// �
( ) 0'� ��� � � �= + + =�
� 1 "�-���6�$� ////////////////1111 �
�%#����� ,� #�$��� ���#�$��� .�% �������� ��=�$�@1 ��-��� ��.�$%5�$�@1 ����-�.�% ��-%�$�@1 ��3�% ��$�-�$�@1 ��-�% ���$%5
OLIMPIADA DE MATEMATICA
Etapa locala, Brasov, februarie 2010
Clasa a VI-a
SUBIECTUL I
Se considera multimea M = {1, 2, 3, ..., 10}.a) Sa se arate ca multimea M nu se poate ımparti ın doua submultimi A siM\A astfel ıncat produsul elementelor din A sa fie egal cu produsul elementelordin M\A.b) Sa se determine un element x din multimea M astfel ıncat multimea M\{x}sa se poata ımparti ın modul descris la punctul a).
prof. Aurel Barsan
SUBIECTUL II
Fiind date 2010 puncte distincte ın plan, sa se indice:a) In ce caz se obtine cel mai mic numar de drepte determinate de cate douapuncte si care este acest numar?b) In ce caz se obtine cel mai mare numar de drepte determinate de cate douapuncte si care este acest numar?c) Se pot duce 2009 drepte? De ce?
prof. Dorina Bocu
SUBIECTUL III
Consideram un triunghi ABC si bisectoarea AD (D ∈ (BC)) a unghiului BAC.Paralelele prin B si C la AD se intersecteaza cu dreptele AC, respectiv AB ınE, respectiv ın F , iar EF se intersecteza cu BC ın M .a) Aratati ca △EBF ≡ △BEC.b) Demonstrati ca MA⊥AD.
G.M. 3/2009
Nota: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect are 7p. Timp delucru 2 ore.
1
OLIMPIADA DE MATEMATICA
Etapa locala, Brasov, februarie 2010
Clasa a VI-a
Solutii si bareme
SUBIECTUL I
Notam cu P (X) produsul elementelor multimii X.a) Metoda I
Presupunem contrariul. Cum P (A) = P (M\A), obtinem P (M) = P (A) ·
P (M\A) =(
P (A))2
, deci produsul elementelor lui M este patrat perfect.Dar, P (M) = 10! = 28 · 34 · 5 · 7, care nu este patrat perfect.......3pMetoda II
Presupunem contrariul. Cel mai mare numar prim din multimea M este 7.Exact una dintre multimile A si M\A ıl va contine pe 7. Atunci, produsul ele-mentelor acesteia va fi multiplu de 7, pe cand al celeilalte nu. Deci, cele douaproduse nu pot fi egale........3p b) Este evident ca x = 7.....1pUn exemplu de partitie a multimii M\{7} este: {1, 2, 3, 4, 5, 6} si {8, 9, 10}......3p(orice alt exemoplu se va puncta corespunzator).SUBIECTUL II
a) Cel mai mic numar de drepte este una, care se obtine daca cele 2010 punctesunt coliniare......2pb) Cel mai mare numar de drepte se obtine daca oricare 3 puncte sunt necol-
iniare si acest numar se obtine dupa formula n(n−1)2 = 2010·2009
2 = 2019045......2pc) Daca 2009 puncte sunt coliniare si un punct este necoliniar cu acestea,atunci se obtin 2010 drepte, ın toate celelalte cazuri se obtine un numar dedrepte mai mare decat 2010, deci nu se pot obtine 2009 drepte......3pSUBIECTUL III
△BAE este isoscel. Din DAC ≡ AEB, DAB ≡ ABE si DAC ≡ BAD rezulta
ca ABE ≡ AEB si deci △BAE este isoscel. Analog, △CAF este isoscel.....2pa) Observam ca △EAF ≡ △CAB (L.U.L) si de aici EF ≡ BC si de aici△EBF ≡ △CEB (L.L.L).......2p
b) Din a) deducem ACB ≡ AEF . Cum AFC ≡ ACF , rezulta EFC ≡ BCF ,adica △MFC este isoscel cu FM ≡ CM . Acum △MAF ≡ △CAM (L.L.L)
implica MA bisectoarea FMC. Deoarece‘△MFC este isoscel, rezulta MA
ınaltime, adica MA⊥CF . Dar FC‖AD implica MA⊥AD......3p
1
2
������������� ������������������������������������
��������� ����� ������� �� � ���������Strada Ateneului 320112, Nr. 1, Re�i�a, Cara�-Severin, ROMÂNIA
Tel: 0255-214238; Fax: 0255-216042 E-mail: [email protected]; Web: http://www.cs.isj.edu.ro
OLIMPIADA DE MATEMATIC� 2010 – FAZA LOCAL� 13.02 2010
Not�: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problem� se puncteaz� de la 0 la 7 puncte.
CLASA A VI-A I. a) Determina�i Nn ∈ dac� cel mai mare divizor comun al numerelor 73 +n �i 62 +n este 1+n . G.M. nr. 5/2009 b) Determina�i numerele prime cba ,, �tiind c� 80=+ ba �i .56=+− cba RMT nr. 1/2009
II. Determina�i numerele naturale nenule x �i y �tiind c� 712
2 2 −=+
yxxy
.
III. Fie AOB∠ cu m�sura de 140 o , OC( �i OD( dou� semidrepte situate în interiorul
unghiului AOB astfel ca )int(( AODOC ∠⊂ . M�sura unghiului format de bisectoarele
unghiurilor ∠ AOD �i ∠ BOC este 60 o . a) Afla�i m�sura unghiului COD. b) Dac� OE( �i OF( sunt dou� semidrepte situate în semiplanul delimitat de OD ce con�ine punctul A,
astfel încât OCOE (( ⊥ �i ,(( ODOF ⊥ calcula�i m�sura unghiului EOF. IV. Fie ABC∆ cu AB<AC, AD[ bisectoarea )(, BCDBAC ∈∠ . Punctul E apar�ine semidreptei opuse
semidreptei AMAC [,[ bisectoarea BCMEAB ∈∠ , �i punctul N pe semidreapta opus� semidreptei
AM[ , astfel încât ][][ ANAM ≡ . Ar�ta�i c�:
a) ANPAMB ∆≡∆ , unde }{PACND =∩ ;
b) BPAD ⊥ .
������������� ������������������������������������
��������� ����� ������� �� � ���������Strada Ateneului 320112, Nr. 1, Re�i�a, Cara�-Severin, ROMÂNIA
Tel: 0255-214238; Fax: 0255-216042 E-mail: [email protected]; Web: http://www.cs.isj.edu.ro
OLIMPIADA DE MATEMATIC� 2010 – FAZA LOCAL� 13.02 2010
BAREM DE NOTARE �I CORECTARE Not�: Orice alt� solu�ie corect� se noteaz� corespunz�tor.
CLASA A VI-A
I. a) Dac� 1)62,73( +=++ nnn atunci )73/()1( ++ nn �i )62/()1( ++ nn ..........................1p
Aplic� propriet��ile divizibilit��ii �i ob�ine )73(2)62(3/)1( +−++ nnn adic� 4/)1( +n ............2p
De aici deduce c� }4,2,1{1∈+n , deci }3,1,0{∈n .........................................................................1p
b) Din prima rela�ie rezult� c� a �i b au aceea�i paritate, atunci ba − par, ................................................1p deci c este par �i prim, 2=c ..........................................................................................................1p Din 80=+ ba �i 54=− ba ob�ine 67=a �i 13=b prime ..................................................1p
II. Scrie rela�ia din enun� sub forma 0,7
122 2
≠−=+
yy
yx
x ............................................................1p
Cum *Nx ∈ observ� c� 112
2 <+xx
....................................................................................................1p
Ob�ine 172
<−y
y care conduce la yy <− 72 ...........................................................................1p
Adic� *,7)1( Nyyy ∈<− , deci }3,2,1{∈y ...............................................................................2p
Din 112
20 <
+<
xx
, valorile 1=y �i 2=y nu verific� condi�ia 072
>−y
y ..............................1p
Pentru 3=y ob�ine 1=x ..... .........................................................................................................1p III. a) Fie (OM �i (ON bisectoarele ∠ AOD respectiv ∠ BOC
Cum OMONm 60)( =∠ �i OAOBm 140)( =∠ ob�ine OBONmAOMm 80)()( =∠+∠ ....1p
Deduce c� OBOCmAODm 160)()( =∠+∠ .............................................................................1p
Adic� OCODmAOBm 160)()( =∠+∠ ......................................................................................1p
OCODm 20)( =∠ .........................................................................................................................1p
b) Din OCOE (( ⊥ ob�ine OCOFmEOFm 90)()( =∠+∠ ...........................................................1p
Din ODOF (( ⊥ ob�ine OCOFmDOCm 90)()( =∠+∠ ........................................................1p OCODmEOFm 20)()( =∠=∠ ................................................................................................1p
IV. a) Din NAPMAE ∠≡∠ ca unghiuri opuse la vârf �i OMANm 180)( =∠ ob�ine
ONADmMADm 90)()( =∠=∠ ..................................................................................................1p
Arat� NADMAD ∆≡∆ conform C.C. sau L.U.L. .......................................................................1p Ob�ine ANPAMD ∠≡∠ ..................................................................................................................1p Arat� ANPAMB ∆≡∆ conform U.L.U. .......................................................................................1p b) Din ANPAMB ∆≡∆ deduce ][][ APAB ≡ .............................................................................1p
Fie BPADQ ∩=}{ , arat� AQPAQB ∆≡∆ conform L.U.L. ...................................................1p
Deduce OAQPmAQBm 90)()( =∠=∠ , deci BPAQ ⊥ ........................................................1p
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VI-a
13.02.2010
Subiectul I.( 40 puncte )
(20 puncte) 1. AflaŃi suma a 2010 numere naturale consecutive ştiind că cel mai mic şi cel mai
mare dintre ele sunt invers proporŃionale cu numerele 0,1(6) şi respectiv 0,08(3).
prof. Ioan Pop
Şcoala “O.Goga” Cluj-Napoca
(20 puncte) 2. Câte numere naturale nenule mai mici decât 2009 nu sunt divizibile nici cu 7, nici
cu 13? prof. Mihai Mărcuş
Lic.T. “Nicolae Bălcescu” Cluj-Napoca
Subiectul II.( 15 puncte)
Fie mulŃimea
= ,....13
2012,
12
2011,
11
2010A .DeterminaŃi elementele mulŃimii NA ∩ .
prof. Ioana Luduşan
Lic.T.”Avram Iancu” Cluj-Napoca
Subiectul III.(35 puncte )
(15 puncte ) 1. Să se determine numărul de triunghiuri determinate de 2010 puncte distincte,
oricare trei necoliniare. prof. Vasile Şerdean
Şc.nr.1 Gherla
(20 puncte ) 2. Se consideră unghiul alungit AOD⟨ şi semidreptele distincte OEOCOB (,(,(
situate în acelaşi semiplan determinat de dreapta AD , astfel încât o90=⟨AOEm şi
o90=⟨BOCm .
a) ArătaŃi că COEAOB ⟨≡⟨ ;
b) ArătaŃi că bisectoarele unghiurilor AOB⟨ şi COE⟨ formează un unghi drept.
prof. Ioan Groza
Şcoala „Avram Iancu” Turda
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timp efectiv de lucru-2 ore.
MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII,TINERETULUI ŞI SPORTULUI
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEłEAN CLUJ
400192 CLUJ-NAPOCA PiaŃa Ştefan cel Mare nr. 4
Tel. +(40) 64-594672, 593710; Fax. +(40) 64-592832
www.isjcj.ro, [email protected]
Inspectoratul �colar Jude�ean Constan�a
OLIMPIADA DE MATEMATIC�
Etapa local� – 13 februarie 2010
Clasa a VI a
1. Afla�i numerele naturale prime a, b, p �tiind c� 2010 = 67a2 + 201b – 25p.
Prof. Nicolae Jurubi��
2. Se d� mul�imea A = {2, 3, 6, 7, 10, 11, …, 198, 199, 202, 203}.
a) Determina�i num�rul elementelor mul�imii A.
b) Demonstra�i c� orice submul�ime cu 52 de elemente a mul�imii A con�ine cel
pu�in dou� elemente a c�ror sum� este 205.
***
3. Se consider� unghiurile AOB∠ �i AOC∠ , având m�surile de 66°, respectiv 33°.
a) Calcula�i m�sura unghiului BOC∠ .
b) Dac� (OD este bisectoarea unghiului AOB∠ , calcula�i m�sura unghiului
COD∠ .
c) Unghiul AOC∠ se împarte prin semidrepte cu originea O în unghiuri
congruente, având m�surile exprimate prin numere naturale. Stabili�i dac�
exist� printre aceste semidrepte o semidreapt� perpendicular� pe (OB.
***
4. În figura al�turat� BQAAPB ∆≡∆ �i [ ] [ ]BEAC ≡ , ( ) ( )ACQBEP ∈∈ , .
Demonstra�i c�:
a) BQCAPE ∆≡∆ A B b) ABCBAE ∆≡∆ c) BQPAPQ ∆≡∆
P Q
E C
***
www.mategl.com
INSPECTORATUL �COLAR JUDE�EAN VÂLCEA SOCIETATEA DE �TIIN�E MATEMATICE DIN ROMÂNIA FILIALA VÂLCEA
OLIMPIADA DE MATEMATIC�
ETAPA LOCAL� – 13.02.2010 CLASA A VI- A
SUBIECTUL 1
a) Demonstra�i c� Ν∈+⋅
+⋅+
2252
3351425n
nn
, oricare ar fi num�rul natural n.
Constantin B�r�scu, �c.Nr.5 Rm. Vâlcea
b) Afla�i num�rul natural abc �tiind c� este cel mai mare divizor comun al numerelor abc2009
�i 2009abc . G.M.Nr.5
SUBIECTUL 2 a) Fie a,b,c ∗
Ν∈ astfel încât a2+b2+c2=92012. Afla�i ultima cifr� a num�rului natural x , �tiind c� a�x=b�c.
Marcel Neferu, �c. N. B�lcescu Dr�g��ani b) Scrie�i num�rul A= 1+8+8�9+8�92+…+8�998 folosind numai trei cifre de 9.
GM Nr.6 SUBIECTUL 3
Pe semidreapta închis� [A1X se iau punctele A2 , A3 , A4 ,. . . . , A2009 , A2010 în aceast� ordine, astfel încât A1A2 = A2A3 = A3A4 =. . . . .= A2009A2010 = d, unde d �1cm �i d�1mm.
a) Calcula�i în metri cea mai mic� �i cea mai mare valoare a lungimii segmentului [A1 A2010]. b) Dac� d = 0,2(6)cm , afla�i lungimea segmentului [A425 A2000] �i preciza�i num�rul segmentelor [Ai Aj], 1 � i < j � 2010, care sunt congruente cu segmentul [A425 A2000] . c)Câte segmente diferite [Ai Aj], 1 � i < j � 2010 au mijlocul în unul din punctele A2 , A3 , A4 ,. . . . , A2009 ?
Gheorghe Radu, CNI Matei Basarab Rm. Vâlcea SUBIECTUL 4 Fie unghiurile adiacente suplementare ∠ AOB �i ∠ BOC astfel încât raportul m�surilor lor s� fie
egal cu 4
1. Fie [OD semidreapta opus� bisectoarei unghiului ∠ BOC . În interiorul unghiului
∠ COD se consider� punctele M �i N astfel încât: m( ∠ CON) = m( ∠ DOM) = 2m( ∠ MON) >450.
a) Afla�i m�sura unghiului ∠ COD. b) Demonstra�i c� punctele B,O,M sunt coliniare.
Delia Badea, �c.Take Ionescu Rm.Vâlcea
Timp de lucru: 2 ore Fiecare subiect este punctat cu 10 puncte din care 3 puncte din oficiu
INSPECTORATUL �COLAR JUDE�EAN VÂLCEA SOCIETATEA DE �TIIN�E MATEMATICE DIN ROMÂNIA FILIALA VÂLCEA
OLIMPIADA DE MATEMATIC� ETAPA LOCAL� – 13.02.2010
CLASA A VI- A SUBIECTUL 1
a) Demonstra�i c� Ν∈+⋅
+⋅+
2252
3351425n
nn
, oricare ar fi num�rul natural n.
C-tin B�r�scu �c.Nr.5 Rm. Vâlcea
b) Afla�i num�rul natural abc �tiind c� este cel mai mare divizor comun al numerelor
abc2009 �i 2009abc . G.M.Nr.5 Solu�ie �i barem: a) Not�m 5 n = x �x= num�r impar…………………………………………………1p
Frac�ia devine : 2
3
)11(2
)3)(11(
222
33142+
=+
++=
+
++ x
x
xx
x
xx…………………………….2p
x=num�r impar �x+3= num�r par � Ν∈+
2
3x…………………………………..1p
b) ( abc2009 , 2009abc ) = abc ⇔ abc2009 = abc � m �i 2009abc = abc � n, m,n numere naturale nenule , (m,n)=1 . . …………………………………………1p
2009abc =( abc �1000+2009)� abc ⇔ 2009� abc � abc ∈{1,7,41,49,287,2009}
� abc =287 ……………………………………………………………………….1p Verific�: 2872009=287� 10007, 2009287=287� 7001, (10007,7001)=1 …………….1p
SUBIECTUL 2 a) Fie a,b,c ∗
Ν∈ astfel încât a2+b2+c2=92012. Afla�i ultima cifr� a num�rului natural x , �tiind c� a�x=b�c.
Marcel Neferu �c. N. B�lcescu Dr�g��ani
b) Scrie�i num�rul A= 1+8+8�9+8�92+…+8�998 folosind numai trei cifre de 9.
c) GM Nr.6
Solu�ie �i barem: a) 92002=92010 � 92 = 92010 �( 12+42+82)= (91005)2+(91005
�4)2+(91005�8)2……………….1p
I a= 91005, b=91005
� 4, c= 91005 �8 � x= 91005 �32 � u(x)=8 …………………………1p II a=91005
� 4, b= 91005, c= 91005 �8 � x= 91005 � 2 � u(x)=8 …………………………1p III a=91005
� 8, b= 91005, c= 91005 �4 � x= 91005 : 2 nu apar�ine lui N…………………..1p b) A= 1+8+8�9+8�92+…+8�998 = 1+8( 1 + 9+ 92+…+ 998)………………………….1p
S= 1 + 9+ 92+…+ 998 9S= 9+ 92+…+ 998+999 8S= 999-1 ……………………………………………………………………………1p A= 1+999-1=999 ………………………………………………………………………..1p
SUBIECTUL 3
Pe semidreapta închis� [A1X se iau punctele A2 , A3 , A4 ,. . . . , A2009 , A2010 în aceast� ordine, astfel încât A1A2 = A2A3 = A3A4 =. . . . .= A2009A2010 = d, unde d �1cm �i d�1mm. a) Calcula�i în metri cea mai mic� �i cea mai mare valoare a lungimii segmentului [A1 A2010]. b) Dac� d = 0,2(6)cm , afla�i lungimea segmentului [A425 A2000] �i preciza�i num�rul segmentelor [Ai Aj], 1 � i < j � 2010, care sunt congruente cu segmentul [A425 A2000] . c)Câte segmente diferite [Ai Aj], 1 � i < j � 2010 au mijlocul în unul din punctele A2 , A3 , A4 ,. . . . , A2009 ?
Gheorghe Radu CNI Matei Basarab Rm. Vâlcea
Solu�ie �i barem : a) Lminim�=2009mm=2,009m . Lmaxim�=2009cm=20,09m…………………………….1p b) A425 A2000=0,2(6)cm � (2000-425)= 420cm………………………………………..1p Toate segmentele [Ai Aj], 1�i <j� 2010, cu j-i=2000-425=1575, sunt congruente cu segmentul [A425 A2000] ………………………………………………………………1p
Num�rul lor este egal cu 2010-1575-1=434………………………………………….1p c) A2 este mijlocul unui segm. A2009 este mijlocul unui segm. A3 este mijlocul a dou� segm. A2008 este mijlocul a dou� segm. A4 este mijlocul a trei segm. A2007 este mijlocul a trei segm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1005 este mijlocul a 1004 segm. A1006 este mijlocul a 1004 segm. TOTAL=2 � (1+2+3+….+1004) = 1004 � 1005 = 1 009 020 segmente ……………3p SUBIECTUL 4 Fie unghiurile adiacente suplementare ∠ AOB �i ∠ BOC astfel încât raportul m�surilor lor
s� fie egal cu 4
1.Fie [OD semidreapta opus� bisectoarei ∠ BOC . În interiorul ∠ COD se
consider� punctele M �i N astfel încât m( ∠ CON)= m( ∠ DOM)=2m( ∠ MON) >450. a) Afla�i m�sura ∠ COD b) Demonstra�i c� punctele B,O,M sunt coliniare.
Delia Badea �c.Take Ionescu Rm.Vâlcea
Barem a) m( ∠ AOB) +m( ∠ BOC)= 1800……………………………………………………….1p m( ∠ BOC)=4m( ∠ AOB)………………………………………………………………….1p m( ∠ AOB)=360 ,m( ∠ BOC)=1440………………………………………………………..1p [OF bisectoarea ∠ BOC � m( ∠ COF)=720 � m( ∠ COD)=1080……………………..1p b) m( ∠ CON)=2m( ∠ MON) �m( ∠ COM)= m( ∠ MON) � (OM=bisectoarea ∠ CON Analog se arat� c� m( ∠ MON)= m( ∠ DON) � (ON=bisectoarea ∠ DOM……………..1p �m( ∠ COM)= m( ∠ MON)= m( ∠ DON)=360………………………………………….1p �m( ∠ BOM)=1800 � B,O,M coliniare………………………………………………..1p
A
B F
C
M N
D
O
Şcoala Nr. 12 Piteşti
Strada Bradului nr. 13
Tel. Fax. 272991
_________________________________________________________________________________
Concursul interjudeŃean ARGEŞGIM – EdiŃia a IV-a
Piteşti – 30.10.2010
Varianta 2
Clasa a VI-a
1. ArătaŃi că printre 5 numere naturale pătrate perfecte există două a căror diferenŃă
sau sumă este divizibilă cu 10.
2. Dacă (a, b) = 6, (a, c) = 10, (b, c) = 14 şi [a, b, c] = 420, aflaŃi numerele naturale
a, b, c.
3. a) Fie B∈(AC), M mijlocul segmentului [AB], N mijlocul lui [BC], AB = 6 cm şi
BC = 4 cm. Să se afle: MN, AN, CN.
b) Aceeaşi problemă dacă AB = a cm, BC = b cm.
4. a) Dacă 1 1 1 1
...39 40 49 50
a
b+ + + + = , unde a,b ∈ N* sunt prime între ele, să se arate
că a este divizibil cu 89.
b) DeterminaŃi cel mai mic n ∈ N pentru care fracŃia 2008
2008 1
n
n
+
+
se simplifică prin
2007.
(Subiecte selectate de prof. Aurelian Costache şi prof. Ion Roşu)
Notă : Timp de lucru 2 ore .
Problema 4 se va lua în calcul numai pentru departajare.
Fiecărui subiect i se acordă 7 puncte.
Şcoala Nr. 12 Piteşti
Strada Bradului nr. 13
Tel. Fax. 272991
_________________________________________________________________________________
Concursul interjudeŃean ARGEŞGIM – EdiŃia a IV-a
Piteşti – 30.10.2010
Barem de corectare Varianta 2
Clasa a VI-a 1. Scrie forma unui număr 10k + r cu r ∈ {0, 1, 2, …, 9} ................................................................................. 1p
Calculează pătratele numerelor de forma 10k + r .................................................................................................. 2p
Scrie forma pătratelor ............................................................................................................................................... 1p
Deduce că pătratul unui număr este de forma 10k ± r, cu r ∈ {0, 1, 4, 5} ........................................................... 2p
Finalizare ................................................................................................................................................................... 1p
2. Cum (a, b) = 6 = 2 ⋅ 3 a = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ p, p ≠ M7, (p, q) = 1
(a, c) = 10 = 2 ⋅ 5 ⇒ b = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ q, q ≠ M5, (q, r) = 1 ⇒ ............................................ 3p
(b, c) = 14 = 2 ⋅ 7 c = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ r, r ≠ M3, (p, r) = 1
[ , , ] 2 3 5 7
[ , , ] 420
a b c p q r
a b c
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⇒2⋅3⋅5⋅7⋅p⋅q⋅r = 420⇒210⋅p⋅q⋅r = 420⇒p⋅q⋅r = 2⇒
2, 1
2, 1
2, 1
p q r
q p r
r p q
= = =
= = = = = =
⇒ .... 3p
⇒
2
2
2
2 3 5 60, 2 3 7 42, 2 5 7 70
2 3 5 30, 2 3 7 84, 2 5 7 70
2 3 5 30, 2 3 7 42, 2 5 7 140
a b c
a b c
a b c
= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
. Deci
60, 42, 70
sau
30, 84, 70
sau
30, 42, 140
a b c
a b c
a b c
= = =
= = =
= = =
......................... 1p
3. a) MN = 5 cm; .............................................................................................................. 1p
AN = 8 cm; ...................................................................................................................... 2p
CN = 2 cm; ..................................................................................................................... 1p
b) MN =2
ba + ; ................................................................................................................. 1p
AN =2
2 ba + ; .................................................................................................................... 1p
CN =2
b . ........................................................................................................................... 1p
4. a) 1 1 1 1 1 1
...39 50 40 49 44 45
a
b
+ + + + + + =
⇔ ........................................................................... 1p
⇔ 89 89 89
...39 50 40 49 44 45
a
b+ + + =
⋅ ⋅ ⋅, ........................................................................................................ 2p
aducând la acelaşi numitor se obŃine 89
39 40 ... 50
k=
⋅ ⋅ ⋅a
b ⇒ .............................................................. 1p
⇒ 8939·40·…·50·a, dar 89 prim ⇒ 89a. ................................................................................ 1p
b) 2007 ( 1)
2007 ( 1)
n
n n
+ ++ +
se simplifică prin 2007 ⇒ .................................................................................. 1p
n+1→2007, n ∈ N. Cel mai mic n cu această proprietate este 2006. ............................................ 1p