Numerte reale

CAPITOLUL I Corpul numerelor reale

1) Mulimea numerelor raionale

Mulimea numerelor raionale este notat cu:

Q = {( mZ si nN*}

i n aceast mulime exist unele proprieti i operaii cunoscute, care vor fi trecute n revist.

a) Ordonarea numerelor raionale se obine cu ajutorul relaiei strict mai mare (>) i avem urmtoarele proprieti:

1o) Pentru fiecare pereche de numere raionale a i b are loc numai una din relaiile:

a = b, a > b, b > a;

2o) Din a > b si b > c a > c (tranzitivitatea);

3o) Dac a > b atunci exist c astfel nct a > c i c> b;

(intre 2 numere raionale exist o infinitate de numere raionale)

Relaia strict mai mic ( a.

Aceast relaie are aceleai proprieti ca relaia (>).

b) Adunarea si scderea numerelor raionale

Pentru orice dou numere raionale a i b exist un unic element raional numit suma lui a si b , notat cu:

c = a + b.

Aceast operaie are urmtoarele proprieti:

4o) a + b = b + a (comutativitatea);

5o) (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitatea);

6o) a + 0 = a (elementul neutru este zero);

7o) a + (-a) = 0 (elementul opus a lui a este (-a)).

Mulimea Q nzestrat cu aceast operaie devine grup comutativ (Q,+) grup abelian.

Operaia de scdere a dou numere se definete ca operaie de adunare cu ajutorul opusului, adic:

a b = a + (-b)

O proprietate care arat legtura relaiei (>) cu adunarea este:

8o) a > b (() cQ avem a + c > b + c

9o) a > b -a < -b

Modulul unui numar rational se defineste astfel:

10o) (a(=

O alta proprietate care face legatura intre adunare si relatia (>) este:

110) Dac a + c > b + d

c) nmulirea i mprirea a dou numere raionale

Pentru orice pereche de numere a i b exist un numr unic numit produsul lui a cu b, care se noteaz a ( b i are proprietile:

12o) a ( b = b ( a (comutativitatea nmulirii);

13o) (a ( b) ( c = a ( (b ( c) (asociativitatea nmulirii);

14o) (() elementul neutru fa de nmulire notat cu 1 astfel nct a ( 1 = a, pentru (() aQ;

15o) (() elementul invers notat cu a-1 = astfel nct a ( = 1.

mprirea a dou numere se introduce cu ajutorul inversului, adic a mprit la b0 se scrie:

= a ( .

Urmtoarele proprieti arat legtura ntre operaiile de adunare i nmulire:

16o) (a + b) ( c = a ( c + b ( c (distributivitatea nmulirii fa de adunare la dreapta);

17o) a ( (b + c) = a ( b + a ( c (distributivitatea la stnga).

Proprietile 12o ( 15o arat c Q cu operaia de nmulire are o structur de grup abelian adica (Q, ( ) grup abelian, iar dac inem cont de 16o si 17o rezulta (Q, + , ( ) este corp abelian.

Alte proprieti ale lui Q fac legtura ntre operaia de nmulire i relaia (>):

18o) a > b i c > 0 a ( c > b ( c;

19o) a > b i c < 0 a ( c < b ( c.

Cu ajutorul operaiilor se poate arta c dac a > b rezulta:

a > > b

proprietate care spune c ntre dou numere raionale se afl o infinitate de numere raionale.

20o) Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numrul raional c > 0, exist un numr natural mai mare dect c.

2) Mulimea numerelor reale

n afar de mulimea numerelor raionale mai ntlnim i alte numere care nu sunt raionale, cum ar fi: , , , e, Aceste numere au o infinitate de zecimale dar care nu sunt periodice, adic nu pot fi puse sub forma cu mZ si nN*. Introducerea acestor numere care se numesc iraionale se poate face n doua moduri:

a) Cu ajutorul teoriei tieturii n mulimea numerelor raionale;

b) Cu ajutorul limitelor de iruri de numere raionale.

Pentru prima dat a fost introdus numrul real de ctre matematicienii Dedekind i Cantor cnd au emis teoria tieturii n mulimea numerelor raionale.

n cele ce urmeaz va fi expus definiia numrului real cu ajutorul teoriei limitelor de iruri de numere raionale.

Definiie:

Fie {xn}nN un ir convergent cu termini raionali (xnQ pentru (() nN). Se numete numr real, numrul:

x = xn

iar mulimea numerelor reale este:

R = {x ( (() {xn}nN Q ir convergent, x = xn}.

Observaii:

a) Mulimea R conine pe Q, pentru c () a Q, atunci considerm irul x= a () nN care este ir constant i evident c xn = a.

b) Mulimea R conine toate numerele iraionale. Pentru demonstraia acestei afirmaii considerm pentru exemplificare numrul iraional x = care este un numr cu o infinitate de zecimale i este neperiodic. Ne intereseaz s gsim un ir de numere raionale convergent care are ca limit numrul real x = . Cum numrul: x = = 1,414213562 are o infinitate de zecimale i este neperiodic, atunci pentru a gsi un ir de numere naturale convergent definit n felul urmtor:

x0 = 1

x1 = 1,4 =

x2 = 1,41 =

x3 = 1,414 =

.

.

.

Evident c irul este monoton cresctor (xn < xn+1, (() nN) i care este mrginit, deci exist limita irului i evident c:

xn = .

Deci, este evident c pentru orice numr real exist cel puin un ir convergent de numere raionale a crui limit s fie acel numr real. n mulimea R se definesc cele dou operaii adunarea i nmulirea numerelor reale ca o extensie a operaiilor de adunare i nmulire a numerelor raionale, adic oricare ar fi x, y R, atunci exist irurile de numere raionale {xn}nN Q si {yn}nNQ convergente cu:

x = xn i y = yn

Definim:x + y

EMBED Equation.3 ( xn + yn) (adunarea numerelor reale x i y) i

x ( y

EMBED Equation.3 ( xn ( yn) (nmulirea numerelor reale x i y).

Observaie. Aceste dou operaii au fost introduse cu ajutorul teoremelor urmtoare:

xn + yn = ( xn + yn)

xn ( yn = ( xn ( yn).Este evident c (R, +, ( ) este corp, fiind verificate axiomele 4o ( 7o, 12o ( 17o de la numere raionale. Pentru exemplificare considerm axioma 5o pe care o verificm.

Oricare ar fi x, y, z R, atunci exist irurile convergente de numere raionale:

{xn}nN Q, {yn}nN Q, {zn}nN Q

cu:

x = xn; y = yn; z = zn,

atunci s artam c este verificat axioma asociativitii:

5oo) (x + y) + z = x + (y + z).

Dar (x +y) + z = (xn + yn) + zn = xn + (yn + zn) = x + (y + z)

datorit asociativitii adunrii n Q.

O imagine intuitiv a mulimii numerelor reale ar putea fi dat n felul urmtor. Cum NZQR, atunci mulimea Z ar reprezenta stlpii unui gard infinit, mulimea Q ar reprezenta scndurile gardului, iar mulimea numerelor iraionale ar umple golurile dintre scnduri i ar transforma gardul ntr-un perete infinit i continuu. Cu aceast imagine a lui R lucrm noi cu dreapta real.

O ntrebare esenial care se pune ar fi urmtoarea:

n mulimea R, numerele raionale sunt mai multe dect numerele iraionale?

Rspunsul la aceast ntrebare nu poate fi dat fr o tratare a infiniilor.3) Cardinalul numerelor reale

Definiie: Numim cardinalul unei mulimi X i se noteaz cu:

card X = numrul elementelor mulimii X.

Teorem: Dou mulimi X i Y pentru care card X = card Y (() f: X Y cu f bijectiv.

O tratare complet a cardinalului mulimilor N, Z, Q i R a fost fcut pentru prima dat de Cantor i Dedekind. Mulimea numerelor naturale N este o mulime infinit care poate fi numrat. Ei au notat acest cardinal al lui N cu 0 (alef zero prima liter din alfabetul ebraic notaie fcut n cinstea poporului lor), adic

card N = 0

i reprezint infinitul de tip numrabil.

Una din proprietile importante ale acestui infinit este:

0 + 0 = 0 (*)

O demonstraie a acestei proprieti poate fi fcut cu ajutorul teoremei prezentat mai sus. Mulimea numerelor naturale este format din mulimea numerelor pare i mulimea numerelor impare. Dac notm cu:

P mulimea numerelor naturale pare i

In mulimea numerelor impare, unde:

P = {2n ( n N} i In = {2n + 1 ( nN}

atunci:

N = P In si P In = (.

Fie f1 : N P cu: f1(n) = 2n pentru (() n(N care evident este o bijecie,

atunci:

card N = card P = 0.

Fie f2 :N In cu: f2(n) = 2n + 1 pentru (() n(N este la fel o bijecie,

atunci:

card N = card In = 0.

Cum

N = PIn i PIn = (

rezult c avem:

card N = card P + card In

0 = 0 + 0.

O problem interesant legat de aceast proprietate a lui 0 este urmtoarea. Un hotel avea o infinitate numrabil de camere care la ora 2200 era ocupat de turiti (facem observaia c n fiecare camer st un singur om). La ora 2201 a mai sosit o infinitate numrabil de ali turiti. Cum a procedat recepionerul s cazeze att turitii aflai n hotel ct i pe cei sosii mai trziu?

Proprietatea (*) poate fi scris la cazul general:

0+0+ + 0 = 0

Dac mulimea N are cardinalul 0, atunci Z care conine pe N cte elemente are?

Rspunsul la aceast ntrebare este dat de corespondena bijectiv:

( : NZ cu

((2n) = n pentru (() n(N

((2n+1) = -(n+1) pentru (() n(N*

atunci avem:

card N = card Z = 0

adic mulimea Z are tot 0 elemente ct i submulimea ei N.

Aceasta este o alt proprietate a mulimilor infinite, adic o submulime infinit are tot attea elemente ct are i mulimea dat.

Cum NZQ, atunci se punea ntrebarea ct este card Q?

Cantor i Dedekind au considerat mulimea Q+ a numerelor raionale pozitive pe care au aranjat-o sub forma unui ir n felul urmtor:

M={, , , ,,} unde:

= ( mN i nN* astfel nct m + n = p i fracia s nu mai apar ntr-o clas anterioar}

atunci:

= = {0}

= =

= =

= =

.

.

.

Atunci mulimea:

M = .

Este evident c: M = Q+, si:

card M = card Q+n plus ntre M i N exist urmtoarea funcie bijectiv dat de corespondena f : N M

atunci:

card Q+ = card M = card N = 0

i evident c avem:

card Q = card Q+ = 0,

adic Q are tot attea elemente ct N.

Cum NZQR, se pune ntrebarea ct este card R?

Pentru nceput considerm funcia bijectiv:

tg :

apoi

(1 : (0, 1)

EMBED Equation.3

cu:

(1(x) = x -

care este evident funcie bijectiva, atunci

(3 : (0, 1)

cu

(3(x) = (1(tg x) = tg x -

este bijecie i avem:

card (0, 1) = card R.

Deci intervalul (0, 1) are tot attea elemente ca R. Presupunnd c intervalul (0, 1) ar avea 0 elemente, adic mulimea (0, 1) poate fi aranjat sub forma unui ir, care poate fi numrat, de forma:

M1 = {x1, x2, x3, ., xn, ..}

care s conin toate elementele din (0, 1), atunci acest ir se poate scrie ca un tablou cu o infinitate de linii i coloane, adic:

x1 = 0, a11 a12 a13.a1n.

x2 = 0, a21 a22 a23.a2n.

x3 = 0, a31 a32 a33.a3n.

xn = 0, an1 an2 an3.ann.

unde aij {0, 1, 2, ., 9} cu j N* reprezint zecimalele numrului xj pentru (() iN*.

Deci M1 cuprinde toate numerele reale din intervalul (0, 1), atunci numrul:

x0 = 0, , , ., ,

cu

EMBED Equation.3 aii pentru (() iN* este tot un numr din (0, 1) care nu se afl n mulimea M1, pentru c dac x0 ar coincide cu xn, atunci i zecimala de ordin n care este ar coincide cu ann (imposibil). Evident c este fals, atunci presupunerea fcut c intervalul (0, 1) ar putea fi numrat este fals, deci cardinalul intervalului (0, 1) este mult mai mare dect 0.

Cantor i Dedekind au notat acest cardinal al intervalului (0, 1) cu C,

adic:

card (0, 1) = card R = C

i reprezint infinitul de tip continuu- nenumrabil i evident c:

0 < C.

Folosind funcia bijectiv

(3 : (0, 1) (a, b)

cu

(3(x) = (b a)x + a

atunci:

card (a, b) = card (0, 1) = card R,

adic orice interval de forma (a, b) R cu a < b are tot attea elemente ca R.

Proprietatea (*) din multimea numerelor rationale Q are echivalentul in R:

C = C +Cn matematic s-a notat infinitul cu simbolul care poate avea diferite nelesuri de la caz la caz. Dac avem irul {xn}nN i calculm xn, este de fapt corect s se scrie xn pentru c n parcurge mulimea numerelor naturale care este o mulime discret i are card N = 0.

n cazul n care se calculeaz f(x) cu xR, atunci ar trebui s se scrie f(x), deoarece x parcurge o submulime continu din R.

PAGE 9

_1161111840.unknown

_1161113866.unknown

_1161145064.unknown

_1161176869.unknown

_1161251265.unknown

_1161636269.unknown

_1161636422.unknown

_1161638014.unknown

_1161638034.unknown

_1161638055.unknown

_1161638385.unknown

_1161638024.unknown

_1161637988.unknown

_1161636356.unknown

_1161636395.unknown

_1161636320.unknown

_1161251885.unknown

_1161251959.unknown

_1161251995.unknown

_1161631932.unknown

_1161632220.unknown

_1161251976.unknown

_1161251904.unknown

_1161251944.unknown

_1161251858.unknown

_1161251869.unknown

_1161251368.unknown

_1161251284.unknown

_1161179354.unknown

_1161182153.unknown

_1161182274.unknown

_1161182440.unknown

_1161251251.unknown

_1161182466.unknown

_1161182406.unknown

_1161182214.unknown

_1161180212.unknown

_1161182045.unknown

_1161180168.unknown

_1161178322.unknown

_1161179234.unknown

_1161179283.unknown

_1161178477.unknown

_1161177363.unknown

_1161177657.unknown

_1161176969.unknown

_1161176013.unknown

_1161176447.unknown

_1161176546.unknown

_1161176604.unknown

_1161176507.unknown

_1161176395.unknown

_1161176414.unknown

_1161176152.unknown

_1161176346.unknown

_1161174309.unknown

_1161175944.unknown

_1161175963.unknown

_1161175131.unknown

_1161145195.unknown

_1161145272.unknown

_1161145175.unknown

_1161143700.unknown

_1161144793.unknown

_1161144869.unknown

_1161144962.unknown

_1161144832.unknown

_1161143740.unknown

_1161144744.unknown

_1161114027.unknown

_1161114682.unknown

_1161114698.unknown

_1161114710.unknown

_1161114049.unknown

_1161113971.unknown

_1161114006.unknown

_1161113948.unknown

_1161112642.unknown

_1161113088.unknown

_1161113296.unknown

_1161113466.unknown

_1161113482.unknown

_1161113325.unknown

_1161113135.unknown

_1161113198.unknown

_1161113235.unknown

_1161113153.unknown

_1161113108.unknown

_1161112773.unknown

_1161113036.unknown

_1161112738.unknown

_1161112174.unknown

_1161112460.unknown

_1161112513.unknown

_1161112384.unknown

_1161112018.unknown

_1161112134.unknown

_1161111878.unknown

_1161103378.unknown

_1161108771.unknown

_1161109312.unknown

_1161111661.unknown

_1161111819.unknown

_1161109351.unknown

_1161108833.unknown

_1161109253.unknown

_1161108813.unknown

_1161104720.unknown

_1161105181.unknown

_1161105198.unknown

_1161104841.unknown

_1161103509.unknown

_1161104658.unknown

_1161103417.unknown

_1161101692.unknown

_1161102356.unknown

_1161103268.unknown

_1161103301.unknown

_1161103194.unknown

_1161102165.unknown

_1161102323.unknown

_1161101739.unknown

_1161100429.unknown

_1161101338.unknown

_1161101537.unknown

_1161100645.unknown

_1161099955.unknown

_1161100067.unknown

_1161099475.unknown