Maranda Lin!Dorin Lin!

Rozalia MarinescuDan $tefan Marinescu

Mihai MoneaStelula Monea

Marian Stroe

Matematioil ileerrGelenlil[Gnt]u G0nculsuli,olimfiade $i GGntrG dG

encGlGnta

clasa a UI-A

mate 2000 - GrcGlGrla

CUPRINS

La inceput de drum... .........5

Capitolul I. NUMERE NATURALE .......................1I

I.l. Propriet{ile relafiei de divizibilitate in N. Criterii de divizibilitate.

Numere prime, numere compuse. PItrat perfect, cub perfect,ultima cifrtr a unui numtrr nahral ....................I I

I.2. Teorema fundamentaltr a aritmeticii.Num[ru] divizorilor naturali ai unui numtrr natural.Numere prime intre ele. Evaluareap-adicd a unui numlr natural .............52

Teste de evaluare ........70

Capitolul II. RAPOARTE $I PROPORTII............ .....................73Teste de evaluare ........96

capitolul III. MULTIMEA NUMERELOR iNTREGI................ ...................99Teste de evaluare ......123

Capitolul IV. NUMERE RATIONALE.................. ...................127IV.l . Periodicitatea in scrierea numerelor ralionale. Operafii cu numere ralionale ...........127

IV.2. Ecualii gi inecualii in N, Z, 4................. ........................161

Teste de evaluare .:.... 186

capitotul v. PUNCT, DREAPTA, SEMIDREAPTA,

Teste de evaluare ......210

CapitoluM. TRIUNGHIUL.......... .......................215VI.l. Puncte coliniare, drepte concurente. Perpendicularitate gi paralelism.Triunghiuri congruente... ................215Teste de evaluare ......238VI.2. Proprietiifi ale triunghiurilor. Inegalitifi geometrice... .........................241Teste de evaluare ......274

Olimpiade nafionall de matematicil2007-2013 ........................277

Solufiile testelor de evaluare. ............287

Bibliografie. ....................295

Capitolul I

NUMERE NATURALE

t.1. pRopntrrAlllr RELATIEI DE DlvlzlBlLlrATE iu x.

CRITERII DE DIVIZIBILITATE. NUMERE PRIME, NUMERE COMPUSEpArnnr pERFECT, cuB PERFECT, ULTIMA clrnA A uNUlN UITIAN NATURAL.

A. ErcueNrc orrcuNrcA unttuntcAAr: Proprietilile relaliei de divizibilitate, criterii de divizibilitateNum[ru] natural a se divide la numdrul natural b dacd existd un numdr natural c astfel

incdt a=b.c.Notim bla (b divide a) sau a:.b (a se divide la D).

1. Proprietifile relafiei de divizibilitate1.1. ala, Va e N;

1.2. DacI a, b € N', alO qi Ola, aftnci a = b;

1.3. Daci a,b,ceN', al6 Ei 6lc, atunci alc.

2. Se deduc, de asemenea, urmitoarele proprietifi:Z.l.Dacd a,6 e N' si bla, atunci Dl(ra),v e N.

Demonstralie: bla +3k e N astfel incdt a = b. k ) na - n. bk = t. (nt)> bl(na).

ExeupLul l: 15763.25i5 pentru cd25i5.

Z.2.Dacd" a,b,d eN.,dla 9i dlb, atunci al(a+U).

Demonstralie:

ala qi dlb * lk,,kre N a.i. a = d' k, qi b = d' kz + a + b = d (k, + kr) * (a + b)i d'

ExeupruL z: (s' .29+293 .7)i29 pentru cd,57 '29i29 si293'7i29.

2.3. Daci a,b,d eN',dla, dlb ga>b, atunci dl(a-b).

ExeupLut, :: (zS:lS -Z')iz pentru cd 75398i2 qi 2ui2.

2.4. Dacb d, a. ar,..., a, e N qi dla,, dlar,..., dla,, atunci

dlarbrtarbr+...+ a,b,), Vb,br,...,bn e N pentru cate a,b,+ arbr* "'+4,4 e N'

Demonstralia se ob{ine din 2.1 .,2.2.,2.3, dat depageqte cadrul lucrdrii.

Exeuprur, +: ll(2' .7 +28 .72 -2' '7'), Pentru ca lll;lll';lll1.Dou[ numere naturale pentru care singurul divizor comun este I se numesc numerc

prime intre ele. Vom scrie (a, b): l.Matematici de excelenfi. Clasa a vt-a I t f

Capitolul I

NUMERE NATURATE

t.1. pRopntrrAlllr RELATIEI DE DlvlzlBlLlrATE iN x.

CRITERII DE DIVIZIBILITATE. NUMERE PRIME, NUMERE COMPUSE

PATRNT PERFECT, CUB PERFECT, ULTIMA CIFRA A UNUI

NuuAn NATURAL.

A. ELEMENTE orrcnNtcA unrtuencAAr: Proprietifile relafiei de divizibilitate, criterii de divizibilitateNumarul natural a se divide la numirul natural b dacd exist[ un numlr natural c astfel

incit a=b.c.Not[m bla (b divide a) sau aib (a se divide la b)'

1. Proprietl{ile relafiei de divizibilitate

1.1. ala, Va e N;

1 .2. DacL a, b € N' , olt qi Ula, atttnci a = b;

1.3.Daci a,b,ceN', al6 qi blc, atunci alc.

2. Se deduc, de asemenea, urmtrtoarele proprietlfi:

2.1 . DacI a, b e N* qi bla, atunci 6l(na), V e N.

Demonstralie: bla *3ft e N astfel incdt a = b . k = na = n' bk = b' (nk) > bl(na).

EXEMPLUL l: 15763,25i5 pentru cd25i5.

Z.2.Dacd a,b,d eN',dla $ dlb, atunci dl(a+b)'

Demonstralie:

dla si dlb*lk,,kre N a.i. a=d'k,Ei b=d'kz) a+b=d(k,+ kr)>(a+b)id'

Exervrpr,uL z: (s' .29+293 '7):29 pentru cd 57 '29i29 si293'7i29'

2.3. DacI a,b,d eN' , dla, dlb Si a 2 b, atunci dl(a - b) '

ExeupLut.:: (ZS:IA -Z')iZ pentru cd 75398i2 qi 2ui2.

2,4.DacL d,a,ar,...,a, e N 9i dla,dlar,.'.,dla,, atunci

dlarb, t arb, + ... + a,b,), V bt,bz,. -.,b, e N pentru care arb, ! arb, !"' + 4,4 e N'

Demonstralia se obline din 2.1 .,2.2.,2.3, dat depaqeqte cadrul lucrarii.

Exsr\4pr.ul +: ll(z' .7 +28'7'-2''7'), Pentru ca lll;lll';lll3'DouE numere nafurale pentru care singurul divizor comun este 1 se numesc numere

prime intre ele. Vom scrie (a, b) = l.

Matematici de excelenli. Clasa a vl-a I t 1

2.5. Dacd a,b,cc_N-, aiD,aic qi (6,c)=1, atunci oi(b.c).

EXEMrLUL s: (s' . 7' -5)i1o pentru ca (s' .7' -5)i5 $i (5' . 7' -5):2.2,6.Dacd, a,b,d eN', dl(a+D) ti dla, atunci dlb.Demonstralie: dl(a+b) qi dla+3fr,,ftreN astfel inc6t a+b=d.kr 9i

a = d . k, = b = d (k, - kr) = dlb.

Observalie: Prin reducere la absurd, se obline imediat urmdtoarea afirmatie: Dacda,b,d eN., dfa si dlb, atunci dl(a+b).Exeupr-ur-6: Dacd x,yeN-, a=x+3y, b=3x+7y, a:ntnci (a+bfi)1-2.intr-adev6r, a * b = 2(zx + 5) si a + bil.Cum 312=(o*b+3)lz.

3. Criterii de divizibilitateFie a = ata2...an num6r natural. Atunci, ar.l}'-t + ar.lO'-2 + ...+ e,_t.10 + a, =

= l0(a, . 10'-2 + ar.l0'-3 +...+ an-t) * o,.

Se pot deduce imediat criteriile de divizibilitate cu 2,5, 10.

3.1. Un numdr natural a se divide la2 daclgi numai dacd u(a)e{0,2,4,6,8\.Observalie: Vom numi numdr natural par un numdr natural, divizibil cu 2 qi vom numinumdr impar un numbr natural care nu se divide la 2.Folosind teorema impdrfirii cu rest, orice numlr natural se poate scrie in una dinformele a: 2k sau a : 2k+1. Se ob{in astfel doud multimi disjuncte ale mullimiinumerelor naturale.

x = {zrlr e N} u{zt +tlr e x}.ExeupluL 7: a) Suma oricdror doud numere naturale care au aceeaqi paritate este unnum6r par;b) Suma oriclror doui numere naturale care au paritafi diferite este un numdr impar.Fie a gi b cele doud numere.

a) Dacd a qi b sunt pare, atunci u(a) Si u(O) e{0,2,4,6,8}

> u (o + b) = u (u (a) + u (o)) e {0,2, 4, 6,8} = (" + b) este par.

Dacd a qi 6 sunt impare, atunci u(a), u(b)e{13,5,7,9}=u(a+b)e{0,2,4,6,8) :+ (a + b) este numdr par.

b) Daci a este par gi b este impar =3k,,kre N, astfel incdt a =2k, $i b =2kz +l>- a + b = 2(k, + kr) + I = a + b este numlr impar.

3.2. Un numdr natural a se divide la 5 dacd gi numai dacl, u(a)e {O,S}.ExpupLut, 8: a =768979-144,144 se divide la 5 pentru cd u(a)= S.

3.3. Un numdr natural a se divide la 10 dacl gi numai dacd u(a)=0.Observalie: Un numdr natural se divide la l0 dacd qi numai dacd se divide la 2 9i la 5.

12 | matematici de excelenfi. Clasa a Vt-a

EXEMnLULg: (6'o -2'):10 pentrlr ca u(6'o -ro)=0.Considerdm:

o =i6lo, = at'lon-t + ar'10'-2 +...+ a,-t'10 + a, =

=100(a, .10'-, +ar'10'-a + ...*o,-r)+r***t.Oblinem, astfel, criteriile de divizibilitate cu 4,25,100.3.4. Un num[r natural se divide la 4 dacd gi numai daci numdrul format cu ultimele

doui cifre ale sale se divide la 4.

3.5. Un num6r natural se divide la25 dacd qi numai dac6 numdrul format cu ultimele

doui cifre ale sale se divide la 25.

3.6. Un numdr natural se divide la 100 daci qi numai dacd ultimele doud cifre ale sale

sunt nule.

EXEMPLUL lO: 75896432i4 pentru ce ur(75896$2)=32 qi 32i4'

1765%5125 pentru ce u,(tt6S}35)= 35 si 3S|ZS.

Vom nota Mo un multiplu oarecare al numIrului a. Astfel, sunt utile urmitoarele

precizdri:

a) (a+ b)' = M,+b'; (a+b)' =a'+ Mu, VreN;

b) (a-b)" = M,,*b"; (a-b)" =a'n + Mu;

c) (d- b)"*'=M,,-b'n*t; (r-b)"" =a"*t +Mu.

EXEMPLUL 1l: l0'=(9+l)'=Mr+I. Cum multiplii lui 9 sunt 9i multipli ai lui 3,

putem scrie l0' = Mt+1.putem observa cd a = rpr-"" = (M n+ l). a, + (M, +l). a, + ... + (M r+ l)' a,-, * ct, =

= M, +(a, + a2 + .'.+ a, ) si ob{inem:

3.7. Un numdr natural se divide la 3 dac[ gi numai daci suma cifrelor sale se divide la 3.

EXEMPLUL 12: Numdru1 a= 40r..Q 8 se divide la 3 pentru cn s(a)=4+8=12 $i

l2:.3.

3.8. Un num[r natural se divide la 9 dac6 qi numai dacd suma cifrelor sale se divide la 9'

Expupr.ul l3: Orice numlr de 9 cifre cu toate cifrele identice este divizibil la 9.

in mod asemdn6tor se pot obline criterii de divizibilitate cu divizorii lui 1000, adicd 8,

125, 1000, folosind num[ru] format cu ultimele trei cifre ale numirului dat'

Folosind 102' = (t t - t)" = M, +l $i 102'*' - Mrr - 1, putem obline:

3.9. Un numdr natural se divide la l1 dac6 qi numai daci diferenta dintre suma cifrelor

situate pe pozilii pare gi suma cifrelor situate pe pozilii impare se divide la I l '

Expuprur, 14: 32l465g}3ill pentru c[ (l+t+6+9+3)-(2+4+5+0)=

=22-l l = I1i11.

Matematici de excetenfi. Clasa a Vfa I t3

ExevpluL 15: Aflati cdte numere naturale de forma n=abcde au proprietatea

(ro, + ar)tr .

n = obr.l0' +E =ffi . 99 + abc +8.(rOr+a")rtl+nill. ExistI 90 000 de numere de 5 cifre, dintre care 8181 se divid

la ll.3.10. Un numdr a=ata2...an se divide la ae{l,tl,tZ\ dacl gi numai dacl

ata2...an4 - an_2an_tan se divide la d.

Obsemalie: {Z,t t,t:}c 4*,.

Az: Numere prime, numere compuseMullimea numerelor prime reprezintd o clasl foarte importanti de numere naturale.Majoritatea rezultatelor importante ale teoriei numerelor, referitoare la numere prime,depdqesc nivelul clasei a VI-a gi ele vor putea fi completate progresiv in claseleurmltoare.Numim numdr prim orice numdr natural p)2, care are exact doi divizori: pe I qi pe

el insugi.Observa|ie:l. Numerele 0 qi I nu sunt numere prime.2. Singurul numEr par, care este num[r prim, este numirul 2. (Toate celelalte numerepare se divid la 2, deci au cel pufin trei divizori.)Orice numlr n e N \ {0,1}, care nu este numdr prim, se numeqte numdr compus.

Se pun urmitoarele intreblri:1. C0te numere prime existd?2. Carc este forma numerelor prime?La prima intrebare, rdspunsul este dat de urmdtorul rezultat:Teorema 1: ExistI o infinitate de numere prime.Demonstralie.' Presupunem ci nu existi o infinitate de numere prime. Fie r numdrulacestora. Mullimea numerelor prime va fi P={p,,pr,...p,\. Vom demonstra clnum5rul p = pt. p2..... p, + I este numir prim.

Este evident cd p > pi, Vi = t,, qi cd p;nteste divizor al lui 7r, Vi =fr.Rezulti c[pnu se divide la niciun numlr prim, adici este el insugi num6r prim. Cum p e P, se

constate o contradic{ie intre presupunerea cdtoate numerele prime sunt in mulfimea Pqi faptul cd pCP, deqi p este numSrprim. in consecinjd, presupunerea a fost falsd gi

existd un numdr infinit de numere prime.

As: Pitrate perfecte1, Pentru a demonstra cd un numdr natural este pdtral perfect putem folosi unuldintre rezultatele urmdtoare:

14 ! Matematici de excelenli. Clasa a Vt-a

1.1. Un numlr natural n este pitrat perfect dacd existd fr e N astfel incdt n = k2 .

Exeuplut- l, 9 = 02; l: 12; l$:42;169 = 132' vom spune c5 0, l, i6, 169 sunt

pltrate perfecte.

EXeUplUt Z:DacdaeN,atunci a6 estep[tratperfectpentru cd a6 =(a')' li a3 eN.

1.2. Produsul a doui pitrate perfecte este un pltrat perfect'

Demonstrafie.' Fie a = nz ;i b = m' cu m,n e N'

Atunci a.b=n'.*'=(n'm)' Si n'meN, deci a'b estepdtratperfect'

Exeuplur. 3: 64'.9'o = (8')' .(r'o )' + 64''93* este pitrat perfect.

1.3. Rezultatul anterior se poate genetaliza:

Dacd a,ar,....,4/, sunt pdtrate perfecte, atunci produsul P=or'a2""' a* este pdtrat

perfect.

Exeuplur, 4: 64'.g3' .2f =(8')''(:")''(rt')' este pdtrat perfect pentru cr se scrie

ca produs de pitrate perfecte.

observalie: Pentru ar = az = ...= ak pitrat perfect, atunci P =(or)* este pitrat perfect'

oricarearfi fteN.

ExeupluL 5: 8l' '163' =[1]'+')']' este pitrat perfect pentru cd se scrie ca putere cu

exponent natural a unui pdtrat perfect.

1.4. Orice putere cu exponent par a unui numdr natural este pdtrat pert'ect.

intr-adevflr, pentru ft e N*, k" =(k')' gi t' e N-, rezultd kzn este p[trat perfect'

Observalie: Daci un numir natural este scris ca putere cu exponent impar nu rezultd

cI acesta nu e pitrat Perfect.EXEMPLU 6: 64 =43 este putere cu exponent impar dar, 64 =82 qi este pitrat perfect.

1.5. Un num6r natural, descompus in factori primi, este pdtrat perfect dacd qi numai

daci tofi factorii sunt p6trate perfecte.

Demonstralie:Fie a= pi' ' p? '...' pXr clJ P,Pz,...,Pt numere prime distincte'

Dacd, pi' ; p?;,..; pXr sunt pltrate perfecte 'j ' est" p[trat perfect'

Pentru implicalia reciprocd facem precizarea c[, dacl a este pltrat perfect, iar p este

un num6r prim, divizor al lui a, at.tnci p2 va fi, de asemenea, divizor al lui a.

Considerim actnn a pdtrat perfect cu descompunerea in factori primi a = pi' 'p? '

-....p;r. Rezulti cI existi reN astfel incdt pi'.pi''...'p? =n'. De aici, p,ln"

V i=l,E.Cum descompunefea in factori este unic6, tezltitI n,iL, Y i=li:+ togi

factorii p,1, sunt puteri cu exponent par ale unor numere naturale Lun, pefiate

perfecte.

Matematici de excelenli. Clasa a vUa I f5

1.6. Orice pitrat perfect nenul se poate scrie ca sumi de numere naturale impareconsecutive cu primul termen al sumei LDemonstralie: Fie a = n2 , n * 0 pdtrat perfect nenul. vom demonstra cia=t+3+ 5+... +(zn-t).

l + 3 + 5 + ... + (zn - t) = (t + 2+ 3 + ... + zn) - z(t + 2 + ... + n) = zn(z: + t)

- r.2

fuP = n (2n + l) - n (n + t) = 2nz + n - n' - n = n' ) n' -l + 3 + 5 + ... + (zn - t).ExpupLul 7: Numdrul a = 4 + 4.3 + 4.5 + 4.7 + ...+ 4.99 este pdhat perfect pentru c6

a=4(l+3+5+...+99) =z'.(t+3+5 +...(2.50-l)) =2'.s0' =1002 qi este pdtrat

perfect.

2. Pentru a demonstro cd un numdr natural nu este pdtrat pedect putemfolosi:2.1. Dacd, cifra unitelilor unui numdr natural apar[ine multimii {2],7,8l,atunci acelnumdr nu este pdtrat perfect.Demonstralie.' Vom ardta cd, dacd a este pitrat perfect, atunci cifra unitSlilor num6ruluiaesteunadintrecifrele:o,l,4,5,6,g.intr-adevdr,considerdnd a=kt,&eN ginot6nd

u!)'lcifra unit[1ilor numdrului x, oblinem corespondenta descrisl de tabelul urm6tor:

u (a) = "

(k' )e {0, l, 4, 5, 6, 9}.

Exsupt-ul 8: Num5rul 2170573 nu este prtrat perfect pentru cd u(2170573) : 3 qi3 e {0,1,4,5,6,9}.observalie: Dacd a e N qi u(a) e{0,1,4,5,6,9\,nu rezultd cr a este patrat perfect.

ExEMrLUL S: u(19) = 9 e {0,1,4,5,6,9} qi l9 nu este pdtrat perfect.

2.2. intre dour pdtrate perfecte consecutive n' qi (n+ l)2 existi exact zn numerenaturale, dar niciunul dintre ele nu este pdtrat perfect.EXEMPLUL l0: Produsul a doud numere naturale nenule consecutive nu este pitratperfect.Vom demonstra c5, oricare ar fi doui numere naturale consecutive n qi n +1, produsullor este cuprins intre doui pltrate perfecte consecutive.Fie a= n.(n+l);n eN..

n<n+1+n(n+l)<(n*l)'l= n, <n(n+l)<(n +l), =>n2 <n(n+l) |

-'-\"

> n2 < o.(r+ t)' = a nu este pltrat perfect.

2.3. Dacd a este numdr prim, afunci a nu este pitrat perfect.

16 ! Matematici de excelenfi. Clasa a Vt-a

"(k) 0 I 2 J 4 5 6 7 8 9

u(k') 0 I 4 9 6 5 6 9 4 I

Dcmonstralie.. Presupunem, prin reducere la absurd, cd a este pitrat perfect. Rezulte ce

stisti reN astfel incdt a=k', adicd a=k'k, de unde aik qi a*k,k*|,:ontadic{ie cu faptul cI a este prim. Presupunerea a fost falsd Ei a nu este pitrat perfect.

2-d. Daci a este numdr natural, iarp este numdr prim astfel inci,i' pla Si p'l a, at:unci a

:u este pltrat perfect. Aceasta este o consecinti a faptului cd, dacdp este prim 9i plc,

rr a este pdtrat perfect, attnci p2la.

E-leVpt-Ut- ll: Numarul a=1.2.3....16 nu este petrat perfect pentru c[ existi

f = I 3 astfel incit pla qi p' I a2-5. Dacd in descompunerea in factori primi a numirului natural a existd cel putin un

:ctor care nu este pitrat perfect, atunci a nu este pdtrat perfect.

Afirmafia rezultd din 1.5. prin reducere la absurd.

E,xeuplut- 12: a=(fO.+S)' nu este pdtrat perfect pentru ci descompunerea sa in

:actori primi este a = 2" .3 . 53 gi contine factorul 53 care nu este pitrat perfect.

2.5. Dacd num6rul natural a areunnumdr par de divizori naturali, atunci a nu este petrat

lrfect.Dcmonstralie.. Vom demonstra c[ num[rul divizorilor oricirui pitrat perfect este impar.

Pentru acestea, ne amintim c6, daci a = pi' ' pi' '...' pi,r este descompunerea

h factori primi a num[rului a, atunci numdrul divizorilor lui a este

e(a)= (n, +l)(nr+ l)'... .(nr * l). Cum a este p[trat perfect, numerele nt,n2, ...,nhsl)nt

pare + toti factorii nt+\, n2*1, ..., 14 +l sunt numere impare =+o(a) este numir

trnpar.

EXrtr.lplUt- 13: Numirul a=3t05 .168 .5102 are 106'65'103 divizori, adicl are un numlrpar de divizori, deci nu este pitrat perfect.

2.7. Pentru orice numdr natural n23, existl r e {0, 1, n - l} astfel incdt

.4, = {n.k + rlk e N. } nu con{ine niciun pdtrat perfect.

Exeuplut- 14: Nu exist[ pdtrate perfecte de forma 3k +2.Vom demonstra ci pentru orice numir natural a pdtratul sdv, a2, se scrie in una

Cin formele: a2 =3k sau a2 =3k +1. Folosind teorema imp6rtirii cu rest,

a=3p+r,re{0, t, z}. Pentru r=0=} a' =9p' =l'(3p')=zt cu k =3p'.Fentru r=13 a'=9p'+6p+l=3(3p'1 + 2p)+l=3k+1, unde k=3p' +2p. Penffu

r =2= a' =9p' +lTp+4=3(3p' +4p+l)+t = 3k+1, ctt k=3p2 +4p+l'Oblinem cd, dacd un numdr este deforma 3k +2, atunci acesta nu este pdtrat perfect.

Observalie: Cu justificdri similare putem formula alte rezultate utile:

EIEUpLUL 15: Daci numlrul natural a are una dintre formele: a=4n+2; a=4n+3;a = 5n + 2; a = 5n * 3; a = 6n + 2; a = 6n+ 5, ...atunci a nu este patrat perfect.

Matematici de excelenttr. Clasa a Vt-a | 17