mate bac

BACALAUREAT 1998SESIUNEA IUNIE

Varianta 1

Profilul matematica - fizica, informatica, metrologie

SUBIECTUL I

Se considera funct, ia f : D → R, f(x) =√x(x− 1) +

√x(x+ 1).

1. Sa se determina domeniul maxim de definit, ie D, domeniul de continuitate s, i domeniul de derivabilitate pentrufunct, ia f .

2. Sa se reprezinte grafic funct, ia f (fara derivata de ordinul al doilea).

3. Sa se afle aria subgraficului funct, iei f pe intervalul [2, 3].

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve sistemul

{4

x

y · 4 y

x = 32

log3(x − y) = 1− log3(x+ y).

2. Se considera G = (−1,∞). Pentru x, y ∈ G se defines,te legea x ⋆ y = xy + ax + by, unde a, b ∈ R. Sa sedetermine a, b ∈ R astfel ıncat ”⋆” safie lege de compozit, ie pe G s, i (G, ⋆) sa fie grup abelian.

3. Sa se rezolve ecuat, ia 6x4 + 35x3 + 62x2 + 35x+ 6 = 0.

SUBIECTUL III

Se considera punctele A(1, 1), B(2, 3) s, i dreapta d : x− 4y+7 = 0. Sa se determine coordonatele punctului C ∈ d,astfel ıncat triunghiul △ABC sa fie isoscel cu baza (AB). Sa se scrie ecuat, ia ınalt,imii din C.

1

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Se considera x1, x2, x3 radacinile ecuat, iei x3 + 3x2 − 9x+m = 0, m ∈ R, s, i determinantul ∆ =

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

x2 x3 x1

x3 x1 x2

∣∣∣∣∣∣.

Sa se calculeze determinantul ∆ ın funct, ie de parametrul realm. Sa se determine m astfel ıncatm+1+√m+ 1 =

1

18∆.

2. Se considera mult, imea M =

Ax =

1− x 0 x

0 0 0x 0 1− x

∣∣∣∣∣∣x ∈ R\

{1

2

}.

Sa se demonstreze ca ınmult, irea matricelor este lege de compozit, ie interna pe M s, i ca (M, ·) este grup abelian.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f definita prin f(x) = 2 arctanx− arcsin2x

1 + x2·

Sa se determine domeniul maxim de definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate pentru funct, ia f . Sa se precizezedaca exista intervale pe care f este constanta (precizat, i constanta).

2. Se considera funct, ia f :

(−∞,

3

2

)→ R, f(x) = x

√3− 2x.

Sa se determine numerele a, b, c astfel ıncat funct, ia F :

(−∞,

3

2

)→ R, F (x) = (ax2 + bx+ c)

√3− 2x sa fie o

primitiva a funct, iei f .

SUBIECTUL III

Se considera cercul de ecuat, ie x2 + y2 − 6x + 3y − 5 = 0. Sa se determine coordonatele centrului s, i raza acestuicerc. Sa se scrie ecuat, ia tangentei la cerc ın punctul A(−1,−2). Sa se precizeze pozit, ia punctului B(0,−4) fat, a decerc.

2

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Diferent,a dintre coeficientul binomial al celui de al treilea termen s, i coeficientul binomial al celui de al doilea

termen al dezvoltarii

(18√x+ xlg x

)n

este 27. Pentru ce valori ale lui x, al doilea termen este 900?

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Sa se precizeze daca exista s, i sunt unicicoeficient, ii a, b, c, d, e astfel ıncat sa fie ındeplinite condit, iile:

– graficul sa treaca prin punctele O(0, 0), A(1, 0), B(−1,−6), C(2, 12);

– tangenta la grafic ın punctul A sa aiba panta egala cu −5.

In caz afirmativ, sa se determine aces,ti coeficint, i.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D → R, f(x) = −2x+√3(x2 − 1).

a) Sa se determine domeniul maxim de definit, ie D s, i sa se studieze monotonia funct, iei f .

b) Sa se afle asimptotele la graficul funct, iei.

2. Pentru a > 0 se noteaza I(a) =

∫ a

0

x

(x+ 1)(x2 + 4)dx. Sa se calculeze I(a) s, i lim

a→∞I(a).

SUBIECTUL III

Se considera triunghiul △ABC determinat de urmatoarele drepte:

(AB) : x+ 2y − 4 = 0

(BC) : 3x+ y − 2 = 0

(AC) : x− 3y − 4 = 0.

a) Sa se determine coordonatele punctului A.

b) Sa se scrie ecuat, ia ınalt,imii din A.

c) Sa se afle aria triunghiului ABC.

3

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =x2 + ax+ b

x− 1·

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat funct, ia sa admita un extrem egal cu 1 ın punctul de abscisa 0.

b) Pentru a = 1 s, i b = −1, reprezentat,i graficul funct, iei g = f ′.

2. a) Sa se demonstreze ca ex ≥ x+ 1, pentru orice x ∈ R.

b) Aratat,i ca1

e≤∫ 1

0

e−x2

dx ≤ π

4·

SUBIECTUL II


{3lgx = 4lg y

(4x)lg 4 = (3y)lg 3.

2. Se considera matricea A ∈ M3(C), A =

0 m 1m −2 01 −1 m

.

a) Pentru ce valori complexe ale lui m matricea A este inversabila?

b) Pentru m = 2 sa se determine inversa matricei A.

c) Sa se demonstreze ca, daca m = 0, atunci Ak 6= O3, pentru orice k ∈ N∗.

3. Pe R se defines,te legea x ⋆ y = ax+ ay + bxy + c, a, b, c ∈ R. Sa se determine a, b s, i c pentru care e = −4 esteelement neutru s, i orice x 6= −5 este simetrizabil.

SUBIECTUL III

Sa se determine simetricul punctului A(1, 2) fat, a de dreapta de ecuat, ie 2x = y + 4.

4

Varianta 5


SUBIECTUL I

Se considera matricele A, B ∈ M3(R), A =

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

, B =

1 1 11 1 11 1 1

.

1. Sa se demonstreze ca A2 = 3A s, i AB = BA.

2. Sa se determine An s, i Bn pentru orice n ∈ N∗.

3. Daca C = 3A− 3B, sa se calculeze C3.

SUBIECTUL II

Se considera familia de funct, ii fm : R\{m} → R, fm(x) =(2m− 1)x+m

x−m, unde m este un parametru real nenul.

Se noteaza cu Hm graficul funct, iei fm.

1. Sa se reprezinte graficul funct, iei f1.

2. Sa se demonstreze ca, pentru orice m, graficele Hm trec printr-un punct fix.

3. Sa se arate ca, pentru orice m, exista un punct situat pe Hm a carui tangenta este paralela cu tangenta la graficın A(0,−1).

SUBIECTUL III

Se considera polinomul f ∈ R[X ], f = X3 + X2 + aX + b. Sa se determine a s, i b, s,tiind ca restul ımpart,iriipolinomului f(X − 3) la X − 1 este −4 s, i radacinile ecuat, iei f(x) = 0 satisfac relat,ia x3

1 + x32 + x3

3 = 9.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, iile f : R → R, f(x) = −x2 + 5 s, i g : R∗ → R, g(x) =4

x2·

1. Sa se determine punctele de intersect,ie ale graficelor celor doua funct, ii s, i sa se rezolve inecuat, ia g(x) ≤ f(x).

2. Sa se calculeze aria suprafet,ei cuprinse ıntre graficele celor doua funct, ii s, i dreptele x = 1, x = 2.

5

Varianta 6


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 4x + 2x+1 · 3x = 3 · 9x.

2. Se considera mult, imea G = (2,∞) pe care se defines,te legea x ⋆ y = xy − 2x − 2y + 6, pentru orice x, y ∈ G.Sa se demonstreze ca ”⋆” este lege de compozit, ie pe G s, i ca (G, ⋆) este grup abelian. Sa se arate ca funct, iaf : R → (2,+∞), f(x) = ex + 2, este un izomorfism ıntre grupurile (R,+) s, i (G, ⋆).

3. Sa se discute dupa parametrul real m s, i sa se rezolve sistemul de ecuat, ii:

x+ y +mz = 1

x+my + z = 1

mx+ y + z = 1

.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia definita prin f(x) = 3√

x2 + (m− 2)x−m+ 2, unde m este un parametru real.

a) Se cere sa se determine mult, imea valorilor lui m pentru care domeniul de definit, ie al funct, iei coincide cudomeniul de derivabilitate.

b) Pentru m = 3 sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

2. Se considera s, irul an =

∫ π

2

0

cos2n x dx, n ∈ N∗.

a) Fara a calcula integrala, sa se arate ca s, irul (an)n≥1 este monoton s, i marginit.

b) Sa se arate, folosind integrarea prin part,i, ca an =2n− 1

2nan−1, pentru orice n ∈ N, n ≥ 2.

c) Sa se calculeze I3.

SUBIECTUL III

Sa se determine ecuat,ia cercului ce trece prin punctele A(−1, 5), B(−2,−2) s, i C(5, 5), precizand coordonatelecentrului s, i lungimea razei acestui cerc.

6

Varianta 7


SUBIECTUL I

1. Se considera sistemul

x +mz = 0

2x+ y + 3z = 0

2x− y + 2z = 0

ın necunoscutele x, y, z, unde m este un parametru real. Sa se

determine m astfel ıncat sistemul sa admita numai solut, ia banala.

2. Se considera matricele A, B, C ∈ M2(R), A =

(1 22 0

), B =

(0 1

−1 0

), C =

(m 32 0

), unde m 6= 5

4. Sa se

demonstreze ca, pentru x1, x2, x3 ∈ R, avem x1A+ x2B + x3C = O2 daca s, i numai daca x1 = x2 = x3 = 0.

SUBIECTUL II

In mult, imea numerelor complexe se considera urmatoarele ecuat,ii:

z3 − 3iz2 − 3z + 8 + i = 0 (1)

s, iz3 + 8 = 0 (2)

1. Aratat,i ca z0 este solut, ia ecuat, iei (1) daca s, i numai daca z0 − i este solut,ia ecuat,iei (2).

2. Sa se rezolve ecuat, iile date.

SUBIECTUL III

Se considera sistemul cartezian de coordonate xOy s, i punctele A(3, 0), B(0, 2), M(3,−3), respectiv N(−2, 2). Sase demonstreze ca dreptele AN , BM s, i perpendiculara din O pe AB sunt concurente.

SUBIECTUL IV

Sa se calculeze integrala

∫ 1

0

ln(1 + x2) dx s, i limita s, irului

an =1

n

(n−1∑

k=1

ln(k2 + n2)− 2(n− 1) lnn

), n ∈ N∗.

SUBIECTUL V

Se considera funct, ia f : [0, 1] → R, f(x) =ex

x+ 2·

1. Sa se determine funct, iile f ′ s, i f ′′.

2. Sa se demonstreze ca, pentru orice x ∈ [0, 1], f ′′(x) > 0 s, i f ′(x) ≤ 2

9e.

3. Sa se arate ca ecuat, ia f(x) = x are solut, ie unica pe intervalul [0, 1].

7

Varianta 8


SUBIECTUL I

Se considera sistemul (S) cu a, b, c parametri reali:

(S)

x+ y + z = 0

(b+ c)x+ (a+ c)y + (a+ b)z = 0

bcx+ acy + abz = 0

.

1. Sa se determine condit, ia ca (S) sa admita numai solut,ia banala.

2. Fie polinoamele f , g, h ∈ R[X ], f = (X − b)(X − c), g = (X − c)(X − a) s, i h = (X − a)(X − b), unde a, b, csunt constante reale distincte ıntre ele. Aratat, i ca, pentru x1, x2, x3 ∈ R, polinomul x1f + x2g + x3h este egalcu polinomul nul daca s, i numai daca x1 = x2 = x3 = 0.

SUBIECTUL II

Sa se rezolve ın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia

z3 − (2√3 + 3i)z2 + (1 + 4

√3i)z − 3i− 6

√3 = 0,

s,tiind ca admite solut, ii de forma bi, unde b ∈ R.

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat,ia cercului tangent axei Ox, avand centrul pe prima bisectoare s, i care trece prin punctul A(−2, 1).

SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia f : (−∞, 0]\{−1} → R, f(x) = ln |x+ 1|+ x

x+ 1·

1. Sa se calculeze limitele funct, iei ın capetele domeniului.

2. Sa se stabileasca monotonia funct, iei.

3. Sa se demonstreze ca ecuat, ia f(x) = 0 are solut, ie unica pe (−∞,−1).

SUBIECTUL V

Se considera funct, ia f : [0, 2] → R, f(x) = 2x−x2. Sa se determine m ∈ R, astfel ıncat dreapta de ecuat,ie y = mx

sa ımparta subgraficul funct, iei ın doua mult, imi de arii egale.

8


Varianta 1

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = (m− 2)x2 − 2mx+ 2m− 3, m ∈ R\{2}. Sa se determine m, astfel ıncatinegalitatea f(x) ≤ 0 sa fie adevarata pentru orice x ∈ R.

2. Sa se determine x ∈ R, s,tiind ca al patrulea termen al dezvoltarii(x

12(1+lg x) + x

112

)6este egal cu 200.

3. Se considera polinomul P (X) =

∣∣∣∣∣∣

2X −2X 11−X2 X2 −1

−2X − a+ 2 X + a X − 2

∣∣∣∣∣∣. Sa se determine parametrul real a pentru care

polinomul admite radacina dubla ıntreaga.

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : D → R, f(x) =ax2 + bx+ c

x+ d, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

1. Sa se determine a, b, c, d ∈ R, astfel ıncat graficul funct, iei sa admita asimptotele x = 3 s, i y = x+2, iar punctulA(1, 1) sa se afle pe grafic.

2. Pentru a = −1, b = −1, c = −2, d = −3 sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta. Sa se discute numarulradacinilor ecuat, iei f(x) = m.

SUBIECTUL III

Sa se afle coordonatele punctelor de intersect,ie ale cercului de ecuat, ie x2+ y2 = 16 cu parabola de ecuat,ie y2 = 6x.Sa se afle aria fiecarei regiuni determinata de parabola ın interiorul cercului.

9

Varianta 2

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine valorile parametrului real a s, i sa se rezolve ecuat, ia 3x3 − 12x2 + ax− 6 = 0, s,tiind ca radacinilex1, x2, x3 satisfac relat,ia x1 + x2 = x3.


ax+ y + 2z = 0

x+ ay + z = 0

2x+ 2y + az = 0

, unde a este un parametru real.

a) Pentru ce valori ale lui a sistemul are doar solut, ia banala?

b) Sa se rezolve sistemul pentru a = 1.

3. Se considera polinomul f ∈ Z3[X ], f = (a2 + a+ 1)X3 + (a+ 2)X + a.

a) Discutat, i, ın raport cu a ∈ Z3, gradul polinomului f .

b) Pentru a = 2, descompunet, i f ın factori ireductibili peste Z3.

SUBIECTUL II

1. Sa se arate ca funct, ia f : R → R, f(x) =

xex, x ≤ 0

x2

x+ 1, x > 0

admite primitive s, i sa se determine o astfel de

primitiva.

2. Se considera funct, ia f : D → R, f(x) = x −√ax2 + bx+ 1, unde D este domeniul maxim de definit, ie, iar a,

b ∈ R, a > 0.

a) Sa se determine a, b, astfel ıncat limx→∞

f(x) = −1

2·

b) Pentru a = b = 1 sa se determine asimptotele la graficul funct, iei obt, inute.

c) Sa se calculeze

∫(x− f(x)) dx pe intervalul I = R.

SUBIECTUL III

Sa se calculeze aria triunghiului ABC, s,tiind ca A(0, 1), B(4, 2), C(2, 3).

10

Varianta 3

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Se considera dezvoltarea

(√y +

1

2 4√y

)n

, unde y ∈ R, y > 0 s, i n ∈ N∗.

a) Sa se determine n pentru care coeficient, ii primului, celui de al doilea s, i respectiv celui de al treilea termenal dezvoltarii formeaza o progresie aritmetica.

b) Pentru n = 8 sa se gaseasca termenii dezvoltarii astfel ıncat puterea lui y sa fie numar natural.

2. Se considera mult, imea de matrice G =

{A =

(a b

5b a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z

}. Sa se demonstreze ca G este parte stabila a

lui M2(Z) ın raport cu adunarea, respectiv ınmult, irea matricelor.

Sa se arate ca G, ımpreuna cu operat, iile induse, formeaza o structura de inel comutativ fara divizori ai lui zero.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =ax2 + bx+ 2

x− 1, unde a, b ∈ R.

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat graficul funct, iei sa admita asimptota oblica dreapta y = x+ 2.

b) Pentru a = b = 1 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

c) Pentru a = b = 1 sa se calculeze aria marginita de graficul funct, iei, asimptota oblica s, i dreptele x = 2,x = 3.

2. Sa se calculeze limx→∞

x(π − 2 arctanx)

SUBIECTUL III

Sa se determine centrul s, i raza cercului de ecuat, ie x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0. Sa se scrie ecuat,ia tangentei ınpunctele cercului care au ordonata nula.

11

Varianta 4

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d. Sa se precizeze daca exista s, i sunt unici coeficient, iia, b, c, d, astfel ıncat graficul sa treaca prin punctele O(0, 0), A(1, 0), B(−1,−6), iar la tangenta la grafic ınpunctul A sa aiba panta egala cu −5.

In caz afirmativ, sa se afle coeficient, ii a, b, c, d.

2. Se considera mult, imea G a matricelor de forma M(a) =

1 0 a

−a 1 −a2

20 0 1

, a ∈ R.

Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M3(R) ın raport cu ınmult, irea matricelor s, i ca legea indusadetermina pe G o structura de grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Sa se determine x ∈ R astfel ıncat

∫ x

0

et(2et − 3) dt = 0.

Sa se determine x > 0 astfel ıncat

∫ x

e2

1

t(2 ln t− 3) dt = 0.

2. Se considera funct, iile f : R → R, f(x) = x2 − 4x s, i g : R\{1} → R, g(x) =4x

x− 1·

a) Studiat, i variat,ia s, i reprezentat,i graficul fiecarei funct, ii (ın acelas,i reper cartezian).

b) Aflat, i coordonatele punctelor de intersect, ie ale celor doua grafice s, i scriet,i ecuat, iile tangentelor la graficulfunct, iei f , respectiv g, ın punctele de intersect,ie.

SUBIECTUL III

Intr-un reper cartezian se considera punctele A(2, 3), B(−5, 1), C(1,−3). Sa se scrie ecuat, ia perpendicularei dduse din C pe AB. Sa se afle coordonatele punctului de intersect, ie a dreptei d cu AB.

12

Varianta 5

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia2 lg x

lg(5x− 4)= 1.

2. Se considera mult, imea matricelor M =

{A =

(x y

−y x

)∣∣∣∣ x, y ∈ Z

}.

a) Sa se demonstreze ca M este parte stabila a lui M2(Z) ın raport cu adunarea s, i cu ınmult, irea matricelor.

b) Sa se demonstreze ca M ımpreuna cu legile induse formeaza o structura de inel comutativ.

c) Are inelul M divizori ai lui zero?

3. Sa se rezolve ecuat, ia

∣∣∣∣∣∣

4− x 1 41 2− x 22 4 1− x

∣∣∣∣∣∣= 0.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D → R, f(x) =1

x2 + ax+ b, a, b ∈ R.

a) Sa se determine a s, i b pentru care graficul funct, iei admite ca asimptota verticala dreapta x = −2 s, i funct, iaare un maxim ın punctul x = 2.

b) Pentru a = −4 s, i b = −12 sa se studieze variat, ia s, i sa se construiasca graficul funct, iei obt, inute.

c) Pentru a = −4 s, i b = −12 sa se calculeze aria suprafet,ei plane marginita de graficul funct, iei, axa Ox s, idreptele x = 4, x = 5.

2. Sa se demonstreze ca, pentru orice x ≥ 1, are loc inegalitatea2(x− 1)

x+ 1≤ lnx.

SUBIECTUL III

Sa se determine coordonatele ortocentrului triunghiului format de punctele A(1, 4), B(3,−1), C(8,−2).

13

Varianta 6

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia3√2x− 1 + 3

√x− 1 = 1.

2. Sa se rezolve inecuat, ia log2(9− 2x) > 3− x.

3. Se considera matricea A =

1 a+ 1 00 1 a+ 1

a+ 1 0 1

∈ M3(R).

a) Sa se determine parametrul real a astfel ıncat matricea A sa fie inversabila.

b) Pentru a = 1 sa se determine inversa matricei A.

c) Sa se rezolve ecuat, ia matriceala

X ·

1 2 00 1 22 0 1

=

(2 1 0−1 3 2

),

precizand ın prealabil tipul matricei X .

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{0} → R, f(x) =x3 − 3x2 +m

x2, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine m astfel ıncat funct, ia sa aiba un extrem local ın x = 2.

b) Pentru m = 4, sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

c) Sa se discute numarul radacinilor reale ale ecuat, iei x3 −λx2− 3x+4 = 0 dupa valorile parametrului real λ.

2. Sa se calculeze primitivele funct, iei f : (1,∞) → R, f(x) =1

x(1 + lnx)·

Sa se determine primitiva F cu prorpietatea F (ee−1) = 2.

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat,ia cercului care trece prin punctele A(1, 2), B(2, 0) s, i are centrul pe dreapta de ecuat, ie y = x− 3.

14

Varianta 7

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat,ia

mx2 − 2(m− 2)x−m− 10 = 0

are doua radacini de semne contrare.


−1 1 11 −1 11 1 −1

.

a) Sa se demonstreze ca matricea A este inversabila s, i sa se calculeze inversa ei.

b) Sa se rezolve ecuat, ia matriceala A ·X = B, unde B =

120

s, i X =

x

y

z

.

3. Se considera mult, imea M = (−2, 2). Pentru x, y ∈ M se defines,te legea x ⋆ y =x+ y

1 +xy

4

·

Sa se demonstreze ca ”⋆” este lege de compozit, ie interna pe M s, i ca (M, ⋆) este grup abelian.

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : D → R, f(x) =x2 + ax

bx− 2, a, b ∈ N.

1. Sa se stabileasca domeniul maxim de definit, ie D al funct, iei.

2. Sa se determine a s, i b astfel ıncat funct, ia sa aiba puncte de extrem ın x = −2 s, i x = 6.

3. Fie a = 6 s, i b = 1.

a) Sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.

b) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la grafic ın punctul de abscisa −2.

c) Sa se afle aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei, axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −6, x = 0.

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat, ia ınalt,imii din A ın triunghiul ABC, determinat de dreptele:

AB : x− y + 2 = 0,BC : 3x− y + 1 = 0,AC : x+ 2y + 2 = 0.

15

Varianta 8

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ialn(2x2 − 3x+ 1)

x2 − 3x≤ 0.

2. Sa se rezolve ecuat, ia x3 − ax2 + bx− c = 0, s,tiind ca a, b, c sunt radacinile sale.


2x− y + z − t = 1

x+ y + az + t = −1

x− y + z + bt = c

.

Sa se determine a, b, c astfel ıncat matricea sistemului sa aiba rangul 2 s, i sistemul sa fie compatibil. Pentruvalorile aflate sa se rezolve sistemul.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D → R, f(x) =lnx

x+

1

x+ ax+ b, unde a, b ∈ R.

a) Sa se determine a s, i b, astfel ıncat dreapta de ecuat,ie y = x sa fie asimptota a graficului funct, iei f .

b) Fie a = 1 s, i b = 0. Sa se determine coordonatele punctului de intersect,ie a graficului cu asimptota oblica afunct, iei obt, inute.

Sa se calculeze In =

∫ en+12

en

2

(f(x)− x) dx, n ∈ N∗.

Sa se demonstreze ca s, irul (In)n≥1 este o progresie aritmetica.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f : [0, 3] → R, f(x) =

√x(x − 3)

x− 4·

SUBIECTUL III

Sa se determine coordonatele punctului de intersect,ie a mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [AC], unde A(2, 5),B(5, 1), C(−2, 2).

16

BACALAUREAT 1998SESIUNEA IUNIE, ORAL

Biletul nr. 1

Profilul fizica-chimie, chimie-biologie, industrial, agricol, silvic, educat, ie fizica-real

1. Sa se arate ca

{x ∈ R

∣∣∣∣x =a2 + a+ 1

a+ 1, a ∈ R

}= (−∞,−3] ∪ [1,∞).

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : D → R, f(x) =

√x2 + 4

3x− 5(D fiind domeniul maxim de definit, ie) s, i sa se

precizeze intervalele sale de monotonie.

Biletul nr. 2


1. Sa se rezolve inecuat, ia |x− 2|+ |x− 1| > 1.

2. Sa se afle a, b, c ∈ R astfel ıncat limn→∞

n(an−√−2 + bn+ cn2) = 1.

Biletul nr. 3


1. Sa se determine funct, ia de gradul al doilea f : R → R, f(x) = ax2 + bx+ c, s,tiind ca admite un minim egal cu9 s, i ca graficul funct, iei trece prin punctele A(−1; 13) s, i B(2; 10).

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : R → R, f(x) =2x+ 1√x2 + 1

·

Biletul nr. 4


1. Pentru ce valori reale ale lui m inecuat, ia

(m− 1)x2 − (m+ 1)x+m+ 1 > 0

este verificata pentru orice x ∈ R?

2. Calculat,i: limx→0

(1

x2− cot2 x

).

Biletul nr. 5


1. Sa se rezolve: −1 <x2 + 3x+ 2

x2 − 4x+ 3≤ 2.

2. Sa se studieze convergent,a s, irului:

an =

(1− 1

22

)·(1− 1

32

)· . . . ·

(1− 1

n2

), n ∈ N, n ≥ 2.

17

Biletul nr. 6



x2 + y2 = 81

x+

1

y= 1

.

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : R → R, f(x) =|x|

x2 + 1·

Biletul nr. 7



{5x2 − 6xy + 5y2 = 29

7x2 − 8xy + 7y2 = 43.

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : D → R, f(x) = x+√x2 + 2x, D fiind domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 8


1. Sa se rezolve ecuat, ia:3√x+ 45− 3

√x− 16 = 1.

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : D → R, f(x) = x2 +8

x, D fiind domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 9


1. Sa se rezolve ecuat, ia:√4− x+

√5 + x = 3.

2. Sa se demonstreze ca daca a+ b + c = 0, atunci

limn→0

(a√n+ 1 + b

√n+ 2 + c

√n+ 3) = 0

s, ilimn→0

(a ln(3 + n) + b ln(2 + n) + c ln(1 + n)) = 0.

Biletul nr. 10


1. Sa se determine toate numerele complexe z cu proprietatea z2 = i.

2. Calculat,i

∫xex sinx dx pe intervalul I = R.

18

Biletul nr. 11


1. Sa se rezolve sistemul:

{x2 − xy = 28

y2 − xy = 12.

2. Se considera funct, ia definita prin expresia f(x) =x2 + 1

x2 + ax+ a, a fiind un parametru real strict pozitiv. Sa se

determine a astfel ıncat graficul lui f sa aiba o singura asimptota verticala s, i sa se reprezinte graficul funct, iei fpentru a astfel gasit.

Biletul nr. 12


1. Sa se determine x, y ∈ R astfel ıncatx− 2

1 − i− y − 3

1 + i= 1− 3i.

2. Se considera f : (0,∞) → R, f(x) =x+ k√

k, unde k ∈ R este un parametru real. Sa se determine parametrul k

astfel ıncat f(1) = −1 s, i apoi sa se reprezinte grafic funct, ia f .

Biletul nr. 13


1. Sa se rezolve ecuat, ia: 16√(0, 25)5−

x

4 = 2√x+1.

2. Calculat,i:

∫ 4

0

x√

x2 + 9 dx.

Biletul nr. 14


1. Sa se rezolve ecuat, ia: 5lgx − 3lgx−1 = 3lgx+1 − 5lgx−1.

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : R\{0} → R, f(x) = xe1x2 .

Biletul nr. 15


1. Sa se rezolve ecuat, ia: logx 2− logx 3 = 2.

2. Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuat, iei 1 + x = arctanx.

Biletul nr. 16


1. Sa se rezolve ecuat, ia: 2 lg2 x3 − 3 lg x− 1 = 0.

2. Sa se afle a, b ∈ R astfel ıncat f(x) =ax2 + 6x+ 2

x2 + 2x+ bsa aiba o unica asimptota verticala, iar graficul lui f sa nu

intersecteze asimptota orizontala.

19

Biletul nr. 17


1. Sa se rezolve inecuat, ia: lg2 x− 2 lg x− 8 ≤ 0.

2. Sa se reprezinte grafic funct, ia f : D → R, f(x) = ln√1 + x2 − arctanx, unde D este domeniul maxim de

definit, ie.

Biletul nr. 18


1. Sa se rezolve inecuat, ia: log2(9 − 2x) > 3− x.

2. Sa se afle numerele reale a s, i b daca dreapta y = 2x + 3 este asimptota spre +∞ pentru funct, ia f : D → R,

f(x) =4x2 + ax+ 1

bx+ 1, unde D este domeniul maxim de definit, ie. Pentru a, b aflat, i, sa se construiasca graficul

funct, iei.

Biletul nr. 19


1. Sa se discute s, i sa se rezolve ecuat, ia:

loga x− loga2 x+ loga4 x ≥ 3

4·

2. Calculat,i: limx→π

4

(cotx)tan 2x.

Biletul nr. 20


1. Sa se rezolve ecuat, ia: lg 2 + lg(4x−2 + 9) ≤ 1 + lg(2x−2 + 1).

2. Sa se studieze monotonia s, i marginirea s, irului (an)n≥1 definit prin a1 =√2, an+1 =

√2 + an, ∀ n ∈ N∗. In caz

de convergent,a, sa se calculeze limita.

Biletul nr. 21


1. Sa se demonstreze ca, pentru n ∈ N∗, avem:

1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · ·+ n · (n+ 1) · (n+ 2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4·

2. Sa se reprezinte grafic funct, ia f : D → R, f(x) = (2 + x)√1− x, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

20

Biletul nr. 22


1. Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, avem:

1

1 · 5 +1

5 · 9 +1

9 · 13 + · · ·+ 1

(4n− 3)(4n+ 1)=

n

4n+ 1·

2. Sa se reprezinte grafic f : D → R, f(x) = ln1 + x

1− x, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 23



{Ay

x = 7Ay−1x

6Cyx = 5Cy+1

x

.

2. Sa se reprezinte grafic f : R → R, f(x) = 1−√|x2 − 1|.

Biletul nr. 24


1. In dezvoltarea

(a 4√a+

1√a

)n

, suma coeficient, ilor binomiali de rang par este egala cu 128. Sa se gaseasca

termenul care cont, ine pe a3.

2. Calculat,i:

∫ 1

0

x2 arctanx dx.

Biletul nr. 25


1. Sa se demonstreze egalitatea: C1n + 2C2

n + · · ·+ nCnn = n · 2n−1, ∀ n ∈ N∗.

2. Determinat, i primitivele funct, iei f : (1, 2) → R, f(x) =√−x2 + 3x− 2.

Biletul nr. 26


1. Sa se gaseasca rangul celui mai mare termen din dezvoltarea

(3

4+

1

4

)100

.

2. Sa se calculeze: limx→0

cos 2x− cos 4x

x2·

Biletul nr. 27


1. Sa se determine polinomul f = X4 + aX3 + bX2 + cX + d, astfel ıncat ımpart,it la X2 − 3X + 1 sa dea restul2X + 1 s, i ımpart,it la X2 − 1 sa dea restul 2X + 2.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = (ax+√1 + a2x2)

1a , unde a 6= 0 este o constanta reala. Sa se arate ca:

(1 + a2x2)f ′′(x) + a2xf ′(x) − f(x) = 0, ∀x ∈ R.

21

Biletul nr. 28


1. Sa se gaseasca primul termen s, i rat,ia unei progresii geometrice daca:

a4 + a1 =7

16

a3 − a2 + a1 =7

8

.

2. Sa se arate ca pentru orice x ≥ 0 au loc inegalitat, ile:

x

x+ 1≤ ln(1 + x) ≤ x.

Biletul nr. 29


1. Sa se gaseasca suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1, daca a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : D → R, f(x) = x

√x

x+ 1, unde D este domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 30


1. Sa se determine a s, i b astfel ıncat polinomul aX4 + bX3 − 3 sa fie divizibil cu (X − 1)2.

2. Sa se studieze continuitatea funct, iei f : R → R, f(x) = limn→∞

1 + xenx

1 + enx·

Biletul nr. 31


1. Sa se determine A s, i B astfel ıncat polinomul AXn+2 +BXn + 2 sa fie divizibil cu (X − 1)2.

2. Sa se discute dupa parametrul real m numarul de solut, ii reale ale ecuat, iei 2 lnx+ x2 − 4x+m = 0.

Biletul nr. 32


1. Sa se arate ca polinomul (X + 1)6n+1 +X6n+2 se divide cu X2 +X + 1.

2. Sa se determine intervalele de monotonie ale funct, iei f : (0,∞) → R, f(x) =lnx√x

s, i, folosind rezultatul obt, inut,

sa se decida care din numerele a = 3√5 s, i b = 5

√3 este mai mare.

22

Biletul nr. 33


1. Fie ecuat,ia x3 + ax2 + bx + c = 0 avand radacinile x1, x2, x3. Sa se determine ecuat, ia care are radaciniley1 = −x1 + x2 + x3, y2 = x1 − x2 + x3, y3 = x1 + x2 − x3.

2. Sa se determine asimptotele funct, iei f : D → R, f(x) =x2

|x− 1| , unde D este domeniul maxim de definit, ie.

Biletul nr. 34


1. Sa se rezolve ecuat, ia x4 − 4x3 + 5x2 − 2x− 6 = 0, s,tiind ca suma a doua radacini este egala cu suma celorlaltedoua.

2. Sa se demonstreze ca: ln(x+ 1) ≥ 2x

x+ 2, daca x ≥ 0.

Biletul nr. 35


1. Sa se determine matricele A ∈ M2(R) cu proprietatea A2 = I2, unde I2 este matricea unitate.

2. Calculat,i:

∫e2x cos 3x dx pe intervalul I = R.

Biletul nr. 36


1. Sa se determine parametrul m astfel ıncat o radacina a ecuat, iei x3 − 28x+m = 0 sa fie dublul altei radacini s, iapoi sa se rezolve.

2. Sa se determine constantele a, b ∈ R astfel ıncat funct, ia f : R → R, f(x) =

{2x2 + b, daca x ≤ 2

2ax3 + 11a, daca x > 2sa fie

derivabila pe R.

Biletul nr. 37


1. Daca x1, x2, x3 sunt radacinile polinomului X3 − 2X2 + 3X + 4, sa se calculeze x21 + x2

2 + x23 s, i x3

1 + x32 + x3

3.

2. Sa se demonstreze ca x ≤ ex − 1 ≤ xex, pentru orice x ∈ R.

Biletul nr. 38


1. Sa se rezolve ın mult, imea C ecuat,ia: 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x+ 2 = 0.


{xex, daca x ≤ 1

ax+ b, daca x > 1sa fie

derivabila pe R.

23

Biletul nr. 39


1. Sa se determine natura radacinilor ecuat,iei x2(2x2 + 5)−m(x2 + 3) = 3, unde m este un parametru real.

2. Calculat,i:

∫ 1

0

√4− x2 dx.

Biletul nr. 40


1. Sa se determine a, b ∈ R s, i apoi sa se rezolve ecuat, ia x4 − 7x3 +21x2 + ax+ b = 0, s,tiind ca 1+ 2i este radacinaa ecuat, iei.

2. Sa se determine parametrul real m astfel ıncat funct, ia f : R → R, f(x) = mx − ln(x2 + 1) sa fie monotondescrescatoare pe R.

Biletul nr. 41


1. Sa se determine m, n ∈ R s, i apoi sa se rezolve ecuat, ia x4 − x3 + mx2 + 2x + n = 0, s,tiind ca ecuat, ia admiteradacina 1 + i.

2. Calculat,i:

∫ π

2

0

sin3 x cos2 x dx.

Biletul nr. 42


1. Sa se determine matricele X ∈ M2(R), astfel ıncat X2 =

(1 12

−4 1

).

2. Interiorul cercului de ecuat, ie x2 + y2 = 16 este ımpart,it de parabola de ecuat, ie y2 = 6x ın doua regiuni. Sa secalculeze aria fiecareia dintre ele.

Biletul nr. 43


1. Sa se calculeze determinantul: ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f : [0, π] → R, f(x) = sinx.

24

Biletul nr. 44


1. Sa se calculeze determinantul: ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 2 4 5−1 4 1 20 2 1 −24 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f :

[0,

1

2

]→ R, f(x) = arcsinx.

Biletul nr. 45


1. Sa se verifice egalitatea: ∣∣∣∣∣∣∣∣

a3 3a2 3a 1a2 a2 + 2a 2a+ 1 1a 2a+ 1 a+ 2 11 3 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= (a− 1)6.

2. Sa se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ıntre parabolele de ecuat, ii y2 = 3x, respectiv x2 = 3y.

Biletul nr. 46


1. Sa se calculeze rangul matricei A =

2 a −2 24 −1 2a 52 10 −12 1

pentru diferite valori alu lui a ∈ C.

2. Calculat,i:

∫ π

2

0

sin2 x cos3 x dx.

Biletul nr. 47


1. Sa se precizeze daca matricea A =

1 1 11 2 31 3 6

este inversabila s, i, ın caz afirmativ, sa se gaseasca inversa ei.

2. Calculat,i:

∫ π

2

0

ex sin 2x dx.

Biletul nr. 48


1. Sa se precizeze tipul matricei X s, i apoi sa se determine matricea X s,tiind ca:

X ·

1 2 30 1 2

−1 2 1

=

−1 5 32 1 −1

−3 4 −5

.

2. Sa se determine primitivele funct, iei f : (0, 1) → R, f(x) =arcsinx

x2·

25

Biletul nr. 49


1. Sa se precizeze daca matricea A =

1 1 11 1 −11 −1 1

este inversabila s, i, ın caz afirmativ, sa se calculeze inversa ei.

2. Sa se calculeze

∫x4 + 1

x3 + 1dx pe intervalul I ⊂ (−1,∞).

Biletul nr. 50


1. Folosind regula lui Cramer, sa se rezolve sistemul:

6x+ 4y + z + 2t = 3

6x+ 5y + 3z + 5t = 6

12x+ 8y + z + 5t = 8

6x+ 5y + 3z + 7t = 8

.

2. Determinat, i primitivele funct, iei f : (−3, 3) → R, f(x) = x√9− x2.

Biletul nr. 51



2x− y + z + 2t = 1

x+ y + 2z + t = 2

3x− 2y + z + 3t = 1

.

2. Calculat,i

∫x3 + x2 + x+ 1

x3 − x2 + x− 1dx pe intervalul I = (−∞, 0).

Biletul nr. 52


1. Sa se determine a, b, c astfel ıncat matricea sistemului sa fie de rang 2, iar sistemul sa fie compatibil. In acest

caz sa se rezolve sistemul

2x− y + z − t = 1

x+ y + az + t = −1

x− y + z + bt = c

.

2. Determinat, i primitivele funct, iei f : (0,∞) → R, f(x) =1

x(x2 + 1)·

Biletul nr. 53



ax+ y + z = 1

x+ ay + z = 1

x+ y + az = 1

(discut, ie dupa parametrul a ∈ R).

2. Calculat,i:

∫ 1

0

e2x sin 3x dx.

26

Biletul nr. 54


1. Sa se determine a ∈ R astfel ıncat sistemul sa aiba s, i solut, ii nenule, iar ın acest caz sa se rezolve:

x− 2y + z − t = 0

2x− y + 3z − 3t = 0

x+ y + z + t = 0

2x+ (a− 1)y + 2z + at = 0

.

2. Calculat,i primitivele funct, iei f : R → R, f(x) = x√x2 + 1.

Biletul nr. 55


1. Se defines,te legea de compozit, ie ⋆ : R × R → R, (x, y) 7→ x ⋆ y = x + y + xy. Aratat,i ca aceasta lege esteasociativa, comutativa s, i cu element neutru. Demonstrat,i ca intervalul [−1,∞) este parte stabila a lui R ınraport cu legea ”⋆”.

2. Calculat,i: limx→∞

(x− x2 ln

1 + x

x

).

Biletul nr. 56


1. Se defines,te legea de compozit, ie ⋆ : R×R → R, (x, y) 7→ x⋆ y = xy+2ax+ by. Determinat, i a, b ∈ R astfel ıncatlegea ”⋆” sa fie comutativa s, i asociativa. Are legea astfel obt, inuta element neutru?


{x2 − x+ 1, daca x ≤ 0

a sinx+ b cosx, daca x > 0sa

fie derivabila pe R.

Biletul nr. 57


1. Demonstrat,i ca (x, y) 7→ x⋆y =x+ y

1 + xyeste lege de compozit, ie interna pe G = (−1, 1) s, i (G, ⋆) este grup abelian.

2. Sa se calculeze derivata de ordin n (n > 1) a funct, iei f : E → R, f(x) =1

x+ a, precizand mult, imea E a

punctelor unde f este de n ori derivabila.

Biletul nr. 58


1. Notam M = {a+bi | a, b ∈ Z}. Demonstrat, i ca M este parte stabila a mult, imii C a numerelor complexe ın raportcu ınmult, irea numerelor complexe s, i ca formeaza monoid comutativ ın raport cu operat, ia indusa. Determinat, ielementele simetrizabile ale monoidului M .

2. Sa se calculeze limx→0x>0

xe−1x

tan2 x·

27

Biletul nr. 59


1. Fie G = (0,∞)\{1} s, i legea definita prin (x, y) 7→ x ⋆ y = xln y. Aratat,i ca ”⋆” este lege de compozit, ie pe G s, i(G, ⋆) este grup comutativ.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) =√|x2 − 1|. Sa se calculeze derivatele laterale ın 0, 1 s, i −1.

Biletul nr. 60


1. Pe Z se defines,te legea de compozit,ie Z × Z → Z, (x, y) 7→ x△y = x + y − 1. Demonstrat,i ca (Z,△) este grupcomutativ.

2. Sa se determine punctele critice pentru f : D → R, f(x) = arctan3x+ 1√x2 − 1

(se vor afla domeniul maxim de

definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate).

Biletul nr. 61


1. Fie ε = −1

2+ i

√3

2s, i G = {1, ε, ε2} ⊂ C. Demonstrat,i ca G este parte stabila a lui C ın raport cu ınmult,irea

numerelor complexe s, i alcatuit,i tabla operat,iei induse. Deducet, i ca (G, ·) este grup comutativ.

2. Sa se studieze continuitatea funct, iei f : R → R, f(x) =

3√1− x− 2x− 1

x, daca x 6= 0

1, daca x = 0.

Biletul nr. 62


1. Pe mult, imea Z a numerelor ıntregi definim legile de compozit,ie x⊥y = x + y + 3 s, i x⊤y = xy + 3x+ 3y + 6, ∀x, y ∈ Z. Demonstrat,i ca (Z,⊥,⊤) este un inel comutativ.

2. Sa se calculeze derivata funct, iei f : D → R, f(x) =arcsinx√1− x2

ın punctul x0 = 0 (se va preciza domeniul maxim

de definit, ie D s, i domeniul de derivabilitate ale funct, iei f).

Biletul nr. 63


1. Fie A =

{(a b

5b a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z

}. Aratat,i ca A este parte stabila a lui M2(Z) ın raport cu adunarea s, i ınmult,irea

matricelor s, i ca formeaza un inel comutativ ın raport cu operat, iile induse.

2. Fie f : R → R, f(x) =

{x2 − 3x+ 2, daca x > 0

0, daca x ≤ 0. Sa se studieze derivabilitatea lui f s, i sa se determine

punctele unde tangenta la graficul funct, iei trece prin origine.

28

Biletul nr. 64


1. Rezolvat,i ın Z12 sistemul:

{3x+ 2y = 4

2x+ 3y = 1.

2. Sa se determine a ∈ R astfel ıncat funct, ia

f : R\{1} → R, f(x) =

a ln(3− x), daca x < 1

2x − 2

x− 1, daca x > 1

sa aiba limita ın punctul x0 = 1.

Biletul nr. 65


1. Fie f , g ∈ Z5[X ], f = 3X5 + 2X3 + 2X + 4, g = 2X3 + 3X2 + 1. Aflat, i catul s, i restul ımpart,irii lui f la g.

2. Sa se studieze continuitatea s, i sa se traseze graficul funct, iei f : R → R, f(x) = limn→∞

enx

1 + enx·

Biletul nr. 66


1. Fie K =

{(a 2bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Q

}. Aratat, i ca K este parte stabila a lui M2(Q) ın raport cu adunarea s, i ınmult,irea

matricelor s, i ca formeaza un corp ın raport cu operat,iile induse.

2. Calculat,i: limx→1

√x− 1

3√x− 1

·

Biletul nr. 67


1. Definim pe R legea de compozit, ie (x, y) 7→ x ⋆ y = x+ y + xy s, i fie G = [−1,∞) s, i H = (−1,∞). Aratat,i ca G

s, i H sunt part, i stabile ale lui R ın raport cu legea ”⋆” s, i ca formeaza monoizi comutativi ın raport cu operat,iaindusa. Care din cei doi monoizi este grup?

2. Calculat,i: limx→∞

(x −√x2 − 2x).

Biletul nr. 68


1. Rezolvat,i ın Z12 sistemul:

{3x+ 4y = 11

4x+ 9y = 10.

2. Sa se arate ca s, irul an =2n

(n!)2, ∀ n ∈ N∗, este monoton, marginit s, i convergent. Aflat, i limita sa.

29

Biletul nr. 69


1. Definim pe R legea de compozit, ie (x, y) 7→ x ⋆ y = xy − x− y + 2. Studiat, i proprietat,ile acestei legi.

2. Sa se determine constantele reale a s, i b astfel ıncat funct, ia

f : R → R, f(x) =

{x2 + a, daca x ≤ 2

ax+ b, daca x > 2

sa fie continua pe R s, i, ın plus, sa existe limx→2

f(x)− f(2)

x− 2·

30

BACALAUREAT 1998SESIUNEA AUGUST

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia√2− x < x.


{4x − 5 · 9y = −1

4x + 2x · 3y = 6.

3. Pentru x, y ∈ Q se defines,te legea de compozit, ie

x ⋆ y = x+ y − 5xy.

Sa se cerceteze daca exista a ∈ Q astfel ıncat (Q\{a}, ⋆) sa fie grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = (x2 + ax+ 1)ex, unde a ∈ R.

a) Sa se determine parametrul a pentru care funct, ia este crescatoare pe R.

b) Pentru a = 0 determinat, i ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei ın punctul de intersect,ie cu axa Oy.

c) Sa se demonstreze ca g : R → (0,∞), g(x) = (x2 + 1)ex este bijectiva, cu inversa derivabila ın punctulx0 = 1 s, i sa se calculeze derivata inversei ın punctul x0 = 1.

2. Sa se calculeze integrala

∫ 1

0

x2 arctanx dx.

SUBIECTUL III

Se da hiperbola H de ecuat,iex2

4− y2

9− 1 = 0.

a) Sa se afle ecuat,ia tangentei la hiperbola ın punctul T (2√2, 3).

b) Sa se calculeze aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei H s, i dreapta de ecuat, ie 9x+ 2y − 24 = 0.

31

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia√x+ 2

√x− 1 +

√x− 2

√x− 1 = 2.

2. Sa se discute, ın funct, ie de parametrul real a, s, i sa se rezolve, urmatorul sistem:

x− y + az = 1

2x− ay + 2z = − 1

x+ ay + az = a− 6

.

3. Sa se rezolve urmatorul sistem: {Ay

x = 7Ay−1x

6Cyx = 5Cy+1

x

.

SUBIECTUL II

1. Sa se calculeze urmatoarea limita:

limn→∞

n2

(√n2 +

√n4 + 1− n

√2

).

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) =ax+ b

x2 + 1, unde a, b ∈ R.

a) Sa se determine a, b, s,tiind ca funct, ia admite ın x = 1 un extrem egal cu1

2·

b) Pentru a = 1 s, i b = 0 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia, folosind s, i derivata a doua.

c) Pentru a = 1 s, i b = 0 se noteaza cu A(u) aria mult, imii cuprinse ıntre axa Ox, axa Oy, graficul funct, iei s, i

dreapta x = u (u > 0). Sa se determine u >1

2pentru care A(u) < ln(2u− 1).

SUBIECTUL III

Se da cercul de ecuat, ie x2 + y2− 4x+2y = 0. Sa se scrie ecuat,ia dreptei care trece prin centrul cercului dat s, i esteperependiculara pe dreapta de ecuat, ie 2x+ 3y − 4 = 0.

32

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Fie x1, x2, x3 radacinile polinomului f ∈ R[X ], f = X3 +(m+1)X2 +2X +m. Sa se calculeze ın funct, ie de m:

x21 + x2

2 + x23 s, i x

31 + x3

2 + x33,

apoi sa se rezolve inecuat, ia x31 + x3

2 + x33 ≥ 5− 2x1x2x3.

2. Definim pe Z legile de compozit,ie x⊕y = x+y+3 s, i x⊗y = xy+3x+3y+6. Sa se demonstreze ca (Z,⊕,⊗) esteun inel comutativ. Verificat,i daca inelul are divizori ai lui zero. Determinat, i elementele inversabile ale acestuiinel.

3. Sa se gaseasca suma primilor douazeci de termeni ai unei progresii aritmetice, daca

a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

SUBIECTUL II

1. Se da funct, ia f : R → R, f(x) =

{xex, daca x ≤ 1

ax+ b, daca x > 1.

a) Sa se determine constantele reale a s, i b astfel ıncat funct, ia sa fie continua s, i derivabila pe R.

b) Pentru a = 2e s, i b = −e sa se determine o primitiva a lui f pe R.

2. Sa se demonstreze ca, pentru orice x ≥ 0, au loc inegalitat,ile:

x

x+ 1≤ ln(1 + x) ≤ x.

SUBIECTUL III

Sa se determine aria triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuat, ii:

AB : x− 2y + 4 = 0,BC : 2x+ y + 1 = 0,AC : x+ y + 2 = 0.

33

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Sa se determine n astfel ıncat ın dezvoltarea(√

2x +√21−x

)n(n ∈ N∗) suma coeficient, ilor binomiali ai ultimilor

trei termeni sa fie egala cu 22. Pentru n = 6 sa se determine x s,tiind ca suma termenilor T3 s, i T5 este egala cu135.

2. Se considera matricea X cu proprietatea

X ·

−3 4 01 1 −2

−2 −1 3

=

(2 1 0

−1 3 −2

).

Precizat,i tipul matricei X s, i apoi determinat, i aceasta matrice.

3. Rezolvat,i ın Z8: {x+ 2y = 1

3x+ 4y = 1.

SUBIECTUL II

1. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat

limx→∞

(√2x2 + 4x+ 1− ax− b

)= 2

√2.

2. Pentru n ∈ N se considera integralele In =

∫ π

4

0

xn cos 2x dx s, i Jn =

∫ π

4

0

xn dx.

a) Sa se calculeze I0 s, i I1.

b) Fara a calcula integrala In, sa se precizeze monotonia s, irului (In)n∈N.

c) Comparat,i integrala In cu integrala Jn. Sa se precizeze daca s, irul (In)n∈N este convergent s, i, ın cazafirmativ, sa se determine limita sa.

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat, ia cercului circumscris triunghiului ABC, unde varfurile triunghiului au coordonatele A(2, 5),B(5, 1) s, i C(−2, 2).

34

Varianta 5


SUBIECTUL I

1. Se da expresia E(x) =x2 + (m+ 1)x+m+ 2

x2 + x+m·

Sa se determine parametrul real m astfel ıncat E(x) sa aiba sens s, i sa fie strict pozitiva pentru orice x ∈ R.

2. Sa se rezolve ecuat, ia 2 lg2(x3)− 3 lgx− 1 = 0.

3. Fie G = (−3, 3). Pentru x, y ∈ G definim:

x ⋆ y =9(x+ y)

9 + xy·

Sa se demonstreze ca ”⋆” este lege de compozit, ie pe G s, i ca (G, ⋆) este grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : [−2,∞) → R, f(x) = |x− 1|e−|x+1|.

a) Sa se expliciteze funct, ia f s, i sa se studieze derivabilitatea ei.

b) Sa se determine extremele locale ale funct, iei.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie determinat de funct, ia f :

[0,

1

2

]→ R, f(x) = arcsinx.

SUBIECTUL III

Paralelogramul ABCD are varfurile consecutive A s, i B de coordonate A(−3,−1) s, i B

(2,

11

4

). Se s,tie ca punctul

Q

(3,

1

2

)este intersect,ia diagonalelor paralelogramului. Sa se afle coordonatele varfurilor C s, i D s, i ecuat,ia dreptei

BC.

35


Varianta 1

Profilul economic

SUBIECTUL I


{Ay

x = 7Ay−1x

6Cyx = 5Cy+1

x

.

2. Se considera matricele A =

1 −2 −23 1 p

3 −1 1

s, i B =

1 −2 −2 43 1 1 p

3 −1 1 q

. Sa se afle numerele reale p s, i q astfel

ıncat cele doua matrice sa aiba acelas,i rang.

3. Pentru x, y ∈ R definim legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − x − y + 2. Demonstrat, i ca G = (1,∞) este partestabila a lui R ın raport cu operat,ia ”⋆” s, i ca G ımpreuna cu operat,ia indusa are o structura de grup comutativ.Demonstrat,i ca funct, ia f : R → G, f(x) = 2x + 1 este un izomorfism ıntre grupurile (R,+) s, i (G, ⋆).

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = (x− 1)e−x.

a) Sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua.

b) Sa se calculeze limu→∞

A(u), unde A(u) reprezinta aria mult, imii plane marginite de graficul funct, iei f , axa Ox s, i

dreptele de ecuat, ii x = 1 s, i x = u (u > 1).

SUBIECTUL III

Sa se scrie ecuat, ia simetricei dreptei de ecuat, ie 3x+ y − 1 = 0 fat, a de punctul A(4,−2).

36

Varianta 2

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 16√(0, 25)5−

x

4 = 2√x+1.

2. Descompunet, i ın factori ireductibili peste Z5 polinomul f = X4 +X3 + 2X2 +X + 1.

3. Pentru fiecare x ∈ R, x 6= 0 se considera matricea A(x) =

(2− x 1− x

2(x− 1) 2x− 1

)s, i mult, imea E = {A(x) | x ∈ R∗}.

a) Demonstrat,i ca pentru orice x, y ∈ R∗ avem relat,ia A(x) · A(y) = A(xy).

b) Calculat,i (A(x))n pentru A(x) ∈ E.

c) Demonstrat,i ca ınmult, irea matricelor este lege de compozit, ie pe E s, i ca E, ımpreuna cu legea indusa, areo structura de grup abelian.

SUBIECTUL II

Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =x2 +mx+ n

x− 1, unde m, n ∈ R.

a) Sa se determine m s, i n astfel ıncat funct, ia f sa admita un extrem egal cu 1 ın punctul x = 0.

b) Pentru m = 1 s, i n = −1, sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua.

c) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei de la punctul b) ın punctul de abscisa 3.

d) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei de la punctul b), axa Ox s, i dreptele de ecuat, iix = 2, x = 5.

SUBIECTUL III

Sa se gaseasca ecuat, ia cercului de diametru [AB], s,tiind ca A(3, 2) s, i B(−1, 6). Sa se scrie ecuat, ia tangentei la cercın punctul A.

37

Varianta 3

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1 daca

a6 + a9 + a12 + a15 = 20.


4x+my = 0

y − z = 0

2x+ y + z = 0

. Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul are s, i solut, ii

diferite de solut, ia nula? Sa se rezolve sistemul ın acest caz.

3. Fie K un corp comutativ s, i polinomul f ∈ K[X ].

a) Daca a, b ∈ K s, i a 6= b, demonstrat,i ca restul ımpart,irii polinomului f la (X−a)(X−b) estef(a)− f(b)

a− bX+

af(b)− bf(a)

a− b·

b) Demonstrat,i ca daca a 6= b, X − a | f s, i X − b | f , atunci (X − a)(X − b) | f .

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{−1; 3} → R, f(x) =x2 + ax

(x+ 3)2·

a) Sa se determine a ∈ R pentru care tangenta la graficul funct, iei ın punctul de abscisa 1 este paralela cu axaOx.

b) Pentru a = −3 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia, folosind s, i derivata a doua.

2. Sa se calculeze volumul corpului de rotat,ie generat de funct, ia f : [1, e] → R, f(x) =lnx

x·

SUBIECTUL III

Se da dreapta d de ecuat, ie 2x− y + 4 = 0. Sa se cerceteze daca punctele A(−5, 3) s, i B

(11

5,−3

5

)sunt simetrice

fat, a de dreapta d.

38

Varianta 4

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 4x−√x2−5 − 12 · 2x−1−

√x2−5 + 8 = 0.

2. Sa se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat,ia

4mx2 + 4(1− 2m)x+ 3(m− 1) = 0

are radacini reale strict pozitive.

3. Fie matricea A =

2 1 11 2 11 1 2

.

a) Sa se demonstreze ca exista x, y ∈ R astfel ıncat A2 = xA+ yI3, unde I3 este matricea unitate.

b) Este matricea A inversabila? In caz afirmativ, sa se calculeze A−1.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) =

x− 1

ex, x ∈ (−∞, 1]

ln2 x

x, x ∈ (1,∞)

.

Sa se demonstreze ca funct, ia f are primitive pe R s, i sa se afle o primitiva a sa.

2. S, tiind ca a+ b+ 1 = 0, sa se calculeze limita

limn→∞

(a√n+ 1 + b

√n+ 2+

√n+ 3).

SUBIECTUL III

S, tiind ca A(1, 2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d, sa se scrie ecuat, ia dreptei d.

39

Varianta 5

Profilul economic

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia

∣∣∣∣x2 − 5x+ 4

x2 − 4

∣∣∣∣ ≤ 1.

2. Sa se determine m ∈ R s, i sa se rezolve ecuat, ia

x3 +mx2 − x− 3 = 0,

s,tiind ca radacinile sale sunt ın progresie aritmetica.

3. Sa se rezolve s, i sa se discute dupa parametrul real m urmatorul sistem de ecuat, ii:

x− my + z = 2m

x− 2y + z = −1

mx+m2y − 2z = 2

.

SUBIECTUL II

Fie funct, ia f : R\{c} → R, f(x) =x2 + ax+ b

x+ c·

a) Sa se determine a, b, c, astfel ıncat graficul funct, iei sa aiba ca asimptote dreptele de ecuat, ii x = 1 s, i y = x+ 2,iar P (2, 6) sa fie un punct al graficului.

b) Pentru a = 1, b = 0 s, i c = −1 sa se studieze variat,ia s, i sa se reprezinte grafic funct, ia f , folosind derivata a doua.

c) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la graficul de la punctul b), ın punctul de abscisa −1.

d) Sa se calculeze aria mult, imii plane marginite de graficul funct, iei, axa Oy, asimptota oblica s, i dreapta de ecuat,iex = −1.

SUBIECTUL III

Sa se precizeze daca cercul de centru C(4, 0), tangent la dreapta de ecuat,ie d : 4x+3y− 6 = 0, taie sau nu dreaptade ecuat, ie 4x− 3y − 6 = 0.

40


Varianta 1

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Sa se determine X ∈ M2(Z) care satisface relat,ia:

(3 15 2

)·X =

(1 00 1

).

2. Pe R definim legea de compozit, ie

x ⋆ y =1

2(x+ y − xy + 1).

Sa se cerceteze daca aceasta lege este asociativa, comutativa s, i are element neutru. Daca exista element neutru,determinat, i elementele simetrizabile fat, a de legea ”⋆”.

SUBIECTUL II

1. Determinat, i primitivele funct, iilor:

a) f : (0,∞) → R, f(x) = −3x4 +2

x−√

x+ 3 sinx+1

x2 + 1;

b) f : (0,∞) → R, f(x) = x2 + lnx.

2. Sa se calculeze urmatoarele integrale:

a)

∫ 1

0

xe−x dx;

b)

∫ π

2

0

cos2 x dx.

3. Se considera funct, iile f , g : R → R, f(x) = x2 + 4x s, i g(x) = x+ 4.

a) Sa se rezolve inecuat, ia f(x) ≤ g(x).

b) Sa se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ıntre graficele funct, iilor f s, i g s, i dreptele de ecuat, ii x = −4,x = 1.

41

Varianta 2

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Fie H =

{A ∈ M2(R)

∣∣∣∣A =

(a b

0 1

), a, b ∈ R, a 6= 0

}. Demonstrat,i ca:

a) Daca A, B ∈ H , atunci A · B ∈ H .

b) Oricare ar fi A ∈ H , exista X ∈ H astfel ıncat A ·X = I2, unde I2 =

(1 00 1

).

2. Pentru numerele reale x s, i y definim operat,ia x ⋆ y = xy − 5x− 5y + 30.

a) Demonstrat,i ca ”⋆” este lege de compozit, ie pe mult, imea G = (5,+∞).

b) Verificat,i daca (G, ⋆) este grup abelian.

c) Rezolvat,i ın G ecuat,ia x ⋆ x = 9.

SUBIECTUL II


a) f : R∗ → R, f(x) = (x2 − 4)(x+ 1) +1

x− 3

√x.

b) f : R∗ → R, f(x) = x2 cosx.

2. Fie f : [0,∞) → R, f(x) =x3

x+ 1·

a) Sa se arate ca exista a, b, c ∈ R astfel ıncat f(x) = ax2 + bx+ c− 1

x+ 1, pentru orice x ∈ [0,∞).

b) Sa se calculeze integrala

∫ 3

1

f(x) dx.

3. Fie funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) =lnx

x2. Sa se calculeze aria limitata de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele

de ecuat,ii x = 1 s, i x = e.

42

Varianta 3

Profilul umanist

SUBIECTUL I


(1 10 2

)s, i B =

(2 11 0

). Sa se determine matricea X ∈ M2(R) care verifica

egalitatea A ·X = B.

2. Fie M mult, imea matricelor de forma A =

(a b

5b a

)cu a, b ∈ Z. Demonstrat, i ca adunarea s, i ınmult,irea

matricelor sunt legi de compozit,ie pe M s, i verificat,i daca (M,+, ·) este inel comutativ.

SUBIECTUL II


a) f : R → R, f(x) = (2x+ 1)2(x− 1) +1

x2 + 9·

b) f : (0,∞) → R, f(x) = x ln2 x.

2. a) Sa se calculeze integrala

∫ π

2

0

ex sin 2x dx.

b) Sa se determine a > 0 astfel ıncat

∫ a

0

(2− 4x+ 3x2) dx = a.

3. Se considera funct, iile f , g : R → R, f(x) = x3 − 2x− 3 s, i g(x) = 2x2 − x− 3.

a) Sa se rezolve inecuat, ia f(x) ≥ g(x).

b) Calculat,i aria mult, imii plane cuprinse ıntre graficele celor doua funct, ii s, i dreptele de ecuat,ii x = 0 s, i x = 1.

43

Varianta 4

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Pentru orice a ∈ R definim matricea Ua ∈ M2(R), Ua =

(1 a

0 1

)s, i notam cu G mult, imea tuturor acestor

matrice.

a) Aratat,i ca pentru orice a, b ∈ R sunt satisfacute relat, iile Ua ·Ub = Ua+b s, i Ua ·U−a = I2, unde I2 =

(1 00 1

).

Deducet, i ca ınmult, irea matricelor este lege de compozit,ie pe G.

b) Precizat,i daca matricea I2 face parte din G s, i verificat,i daca elementele din G sunt simetrizabile fat, a deınmult, irea matricelor.

2. Pentru x, y ∈ R definim urmatoarea lege de compozit,ie:

x ⋆ y = xy − 3x− 3y + 12.

a) Verificat,i daca legea ?⋆? este asociativa s, i comutativa.

b) Fie G = (3,∞). Demonstrat, i ca, daca x ∈ G s, i y ∈ G, atunci x ⋆ y ∈ G.

c) Cercetat,i daca exista e ∈ G astfel ıncat pentru orice x ∈ G sa avem x ⋆ e = e ⋆ x = x.

d) Verificat,i daca (G, ⋆) este grup abelian.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine primitivele funct, iei f : (0,∞) → R, f(x) =x2 − x+ 1

4√x

− 1

x+ 1+

2

x2 + 1·

b) Sa se determine o funct, ie a carei primitiva este F : R → R, F (x) =x+ 1

x2 + 1·

2. Sa se calculeze integralele:

a)

∫ π

2

0

ex cos 2x dx.

b)

∫ e

1

ln2 x dx.

3. Se considera funct, iile f , g : R, f(x) = x2 − 2x− 2, g(x) = 2− 4x− x2.

a) Sa se determine x ∈ R astfel ıncat f(x) ≤ g(x).

b) Sa se calculeze aria mult, imii plane cuprinse ıntre graficele funct, iilor f s, i g s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, ix = 3.

44

Varianta 5

Profilul umanist

SUBIECTUL I

1. Se dau matricele A =

(1 12 1

)s, i B =

(2 10 3

). Sa se determine matricea X ∈ M2(R) care verifica egalitatea

A ·X = B.

2. Pe mult, imea Q se definesc legile de compozit, ie

x⊕ y = x+ y + 2 s, i x⊗ y = 2xy + 4x+ 4y + 6.

a) Demonstrat,i ca (Q,⊕) este grup abelian.

b) Demonstrat,i ca (Q,⊗) este monoid comutativ.

c) Este legea de compozit, ie ”⊗” distributiva fat, a de legea ”⊕”? Ce concluzie se poate trage?

SUBIECTUL II


a) f : (0, 1) → R, f(x) = 2x2 − 5x+1

x− x

√x+

1√1− x2

·

b) f : R → R, f(x) = e2x sinx.

2. a) Fie f : R → R, f(x) =x2 + 2x

(x2 + x+ 1)2. Demonstrat,i ca funct, ia f admite o primitiva F : R → R de forma

F (x) =ax+ b

x2 + x+ 1. Constantele a s, i b se vor determina.

b) Sa se calculeze integrala

∫ π

0

x2 cosx dx.

3. Determinat, i aria subgraficului funct, iei f : [1, 2] → R, f(x) = (x2 − x)ex.

45


Varianta 1

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine cifrele a s, i b astfel ıncat numarul N = a23b sa fie divizibil cu 18.

2. La o serbare s,colara s-au vandut bilete a cate 4000 lei s, i a cate 5000 lei bucata. In total s-au vandut 700 debilete pe care s-au ıncasat 3000000 lei. Cate bilete de fiecare fel s-au vandut?

3. Suma a trei numere este 60. Daca ınmult,im al doilea numar cu5

4obt, inem acelas, i rezultat ca s, i atunci cand

adaugam 5. S, tiind ca al treilea numar este cu 6 mai mare decat primul, sa se afle numerele.

SUBIECTUL II

1. Se considera familia de funct, ii de gradul al doilea fm(x) = x2 − 2(m− 1)x+m, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine curba pe care o descriu varfurile parabolelor asociate funct, iilor din familie, cand m variaza.

b) Sa se arate ca toate parabolele familiei trec printr-un punct fix.

2. Sa se rezolve ın mult, imea claselor de resturi modulo 12 urmatorul sistem de ecuat, ii:

{5x+ 4y = 4

2x+ 3y = 11.

SUBIECTUL III

1. Intr-un paralelogram ABCD se dau: BC = 45 cm, AC = 17 cm s, i ınalt,imea CE = 8 cm (E ∈ AD). Seprelunges,te CE pana intersecteaza prelungirea laturii AB ın punctul N . Se cere sa se calculeze aria triunghiuluiAEN .

2. Laturile bazelor unui trunchi de piramida triunghiulara regulata sunt de 3 cm s, i respectiv 12 cm. Fet,ele lateraleformeaza cu planul bazei unghiuri de 60◦. Sa se calculeze volumul trunchiului de piramida s, i ınalt,imea piramideidin care provine trunchiul.

46

Varianta 2

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se gaseasca toate perechile de numere naturale a caror suma este 87 s, i pentru care 87 este divizibil cu diferent,alor.

2. O ferma a vandut1

4din cantitatea de ros,ii recoltata cu pret,ul de 7000 lei/kg,

5

12din cantitate cu 6000 lei/kg

s, i1

8din cantitate cu pret,ul de 5000 lei/kg, iar restul de 7125 kg cu pret,ul de 50400 lei/chintal. 16% din banii

ıncasat,i se folosesc pentru investit, ii. Ce suma s-a folosit pentru investit, ii?

3. La un concurs de matematica, Silviu a obt, inut 10 puncte. S, tiind ca avea de rezolvat 8 probleme, iar pentru oproblema rezolvata corect a primit 3 puncte s, i pentru o problema nerezolvata i s-au scazut 4 puncte, aflat,i cateprobleme a rezolvat Silviu.

SUBIECTUL II

1. Sa se arate ca numerele de forma 10n + 18n− 28 (n ∈ N) sunt divizibile cu 27.

2. Pentru x, y ∈ R definim legea de compozit, ie x ⋆ y = ax+ by− xy. Determinat, i numerele reale a s, i b astfel ıncatlegea de compozit,ie sa fie comutativa s, i asociativa. Pentru valorile aflate, admite legea de compozit,ie elementneutru? Daca da, care sunt elementele simetrizabile?

SUBIECTUL III

1. Se da patratul ABCD de latura a. Se iau punctele E ∈ (BC) s, i H ∈ (CD) astfel ıncat m(AEH) = 90◦ s, i

m(HAE) = 30◦. Sa se calculeze distant,a EC s, i m(ADE).

2. Se da prisma triunghiulara ABCA′B′C′, ın care triunghiul ABC este echilateral de latura a, iar muchia AA′

de lungime b, formeaza cu muchiile AB s, i AC unghiuri de masura 45◦. Notam cu D proiect, ia lui A′ pe planul(ABC). Demonstrat, i ca [AD este bisectoare a triunghiului ABC s, i aflat,i aria laterala a prismei.

47

Varianta 3

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Intr-o familie, tatal are 46 ani, iar fiul sau are 19 ani. Cu cat, i ani ın urma tatal era de 4 ori mai ın varsta decatfiul sau?

2. O echipa formata din 10 muncitori poate termina o lucrare ın 20 de zile. Dupa ce echipa lucreaza 10 zile, 6muncitori sunt trimis, i sa lucreze ın alta parte. In cat timp vor termina lucrarea muncitorii ramas, i?

3. Un elev are un numar de fotografii. Vrand sa le lipeasca pe filele unui album, constata ca, daca le lipes,te catedoua sau cate cinci sau cate s,apte, pe ultima fila a albumului raman doua fotografii. Sa se afle care este numarulacestor fotografii, s,tiind ca el este cel mai mic numar cu aceste proprietat,i.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X4 − aX3 + bX2 + cX + d, f ∈ R[X ]. Sa se determine a, b, c, d astfel ıncat f

ımpart,it la X2 − 3X − 1 sa dea restul 2X + 1 s, i, ımpart,it la X2 − 1, sa dea restul −2X + 2.

2. Sa se determine matricea X care satisface egalitatea:

X ·

1 2 30 1 2

−1 2 1

=

−1 5 32 1 −1

−3 4 −3

.

SUBIECTUL III

1. Pe laturile triunghiului ABC se considera punctele M ∈ (BC) s, i P ∈ (AB), astfel ıncat MB = 2MC s, iPA = PB. Daca O este intersect, ia dreptelor AM s, i CP , demonstrat,i ca OP = OC s, i OA = 3OM .

2. Sect, iunea axiala a unui trunchi de con este un trapez isoscel cu bazele de 20 cm s, i 12 cm, avand diagonalele per-pendiculare. Calculat,i aria laterala s, i volumul trunchiului de con, precum s, i volumul din care provine trunchiul.

48

Varianta 4

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Determinat, i bazele de numerat,ie x s, i y, s,tiind ca suma lor este 11 s, i ca 231x + 356y = 14135.

2. Impart,ind numerele 1774, 2780 s, i 4687 cu acelas, i numar natural n, obt, inem respectiv resturile 10, 8 s, i 7. Sa sedetermine numarul n.

3. Trei frat, i depun la o banca 40000000 lei. Jumatate din suma depusa de fratele cel mare este egala cu o treimedin suma depusa de fratele mijlociu s, i egala cu o cincime din suma depusa de fratele cel mic. Sa se afle sumadepusa de fiecare frate.

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve ecuat, ia 2 lg2(x2)− 3 lgx− 11 = 0.

2. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat urmatorul sistem sa admita s, i solut, ii diferite de solut, ia nula s, i ın acest cazsa se rezolve:

(m+ 1)x+ y + z = 0

x+ 2(m− 1)y − z = 0

(m− 1)x− y + z = 0

.

SUBIECTUL III

1. Diagonalele trapezului ABCD (AB ‖ CD) se intersecteaza ın O.

a) Sa se arate ca triunghiurile AOD s, i BOC au aceeas,i arie.

b) Paralela prin O la latura AB intersecteaza laturile AD s, i BC ın M s, i respectiv N . Demonstrat, i caMO = NO.

2. Sa se determine aria s, i volumul unui tetraedru regulat cu muchia de 10 cm.

49

Varianta 5

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se afle doua numere naturale a s, i b, s,tiind ca suma lor este 180 s, i ca cel mai mare divizor comun al lor este18.

2. Doua robinete curgand ımpreuna, pot umple3

4dintr-un bazin ın 5

1

4ore. Primul robinet, curgand singur, umple

2

5din bazin ın 4 ore. In cat timp va umple bazinul robinetul al doilea curgand singur?

3. O sfoara cu lungimea de 221

2m trebuie sa fie taiata ın trei bucat, i astfel ıncat bucata a doua sa fie de 3

1

2ori

mai mare decat prima, iar cea de-a treia de 21

4ori mai mare decat prima. Sa se afle lungimea fiecarei bucat,i de

sfoara.

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve ecuat, ia√2x+ 1 = 2

√x−

√x− 3.

2. Fie G mult, imea matricelor de forma A =

(x 3yy x

), unde x, y ∈ Q, x 6= 0 sau y 6= 0.

Aratat,i ca ınmult, irea matricelor este lege de compozit,ie pe G s, i verificat,i daca, ımpreuna cu operat,ia indusa, Geste grup abelian.

SUBIECTUL III

1. Se considera trapezul isoscel ABCD avand m(A) = 60◦, circumscris unui cerc de raza R. Sa se calculezeperimetrul s, i aria trapezului ın funct, ie de R.

2. Aria totala a unui paralelipiped dreptunghic este de 142 cm2, iar diagonala paralelipipedului este de√83 cm.

Sa se calculeze dimensiunile paralelipipedului, s,tiind ca ele sunt ın progresie aritmetica.

50

BACALAUREAT 1999Sesiunea IUNIE

Varianta 1

Profilurile matematica-fizica, informatica s, i metrologie

SUBIECTUL I

1. Se considera expresia E(x) = log2(2x2) + log2 x(1 + log2 x) +

1

2(log4 x

4)2 + (log2 x)3.

a) Sa se stabileasca domeniul de existent, a al expresiei s, i sa se arate ca E(x) = (1 + log2 x)3.

b) Sa se rezolve ecuat, ia E(x) = −8.


6 9 5 68 12 7 m

2 3 1 24 6 3 4

, unde m este un parametru real.

a) Sa se calculeze determinantul matricei A.

b) Pentru m = 8 sa se rezolve ecuat, ia matriceala A ·X =

7935

, unde X =

x

y

z

t

.

3. Se considera w =−1 + i

√3

2∈ C s, i mult, imea Q(w) = {z = a+ bw | a, b ∈ Q}.

a) Sa se arate ca pentru z1, z2 ∈ Q(w), z1 = a1 + b1w, z2 = a2 + b2w, este adevarata echivalent,a:

z1 = z2 daca s, i numai daca a1 = a2 s, i b1 = b2.

b) Sa se verifice ca w2 + w + 1 = 0 s, i w3 = 1.

c) Sa se demonstreze ca Q(w) este parte stabila a lui C fat, a de operat,ia de ınmult, ire a numerelor complexe s, iQ(w), ımpreuna cu operat,ia indusa, formeaza o structura de monoid comutativ.

SUBIECTUL II

1. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat ecuat, ia x ln x−m = 0 sa eiba solut, ii reale.

2. Pentru n ∈ N se definesc funct, iile fn : R → R, fn(x) =x

e2nx

; fie In =

∫ 2n

0

fn(x) dx.

a) Sa se calculeze I0.

b) Sa se verifice relat,ia fn+1(x) =1

2fn(2x), ∀ x ∈ R, n ∈ N.

c) Sa se arate ca In+1 =1

4In, ∀ n ∈ N.

d) Determinat, i termenul general al s, irului sn = I0 + I1 + · · ·+ In s, i calculat,i limita sa.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(0, 2√3), B(−2, 0), C(2, 0).

a) Sa se reprezinte punctele s, i sa se arate ca triunghiul ABC este echilateral.

b) Sa se determine coordonatele punctului D, simetricul lui C fat, a de dreapta AB.

c) Sa se scrie ecuat, ia cercului de centru D s, i care trece prin A.

1

Varianta 2


SUBIECTUL I


(√2x

16√8+

16√32√2x

)n

, n ∈ N∗, x ∈ R.

a) Determinat, i n astfel ıncat C0n,

C1n

2,C2

n

4sa fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice.

b) Pentru n = 8, verificat,i daca exista valori ale lui x astfel ıncat diferent,a dintre termenii al s,aselea s, i alpatrulea ai dezvoltarii sa fie 56.

2. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor complexe ecuat, iile (solut, ii sub forma algebrica):

a) z3 + z2 + z + 1 = 0.

b)

(

3z + 1

z − i

)3

+

(

3z + 1

z − i

)2

+3z + 1

z − i+ 1 = 0.

3. Se considera mult, imea matricelor patratice de ordinul trei peste R s, i submult, imea

G =

A(x) =

1 0 0x 1 0

2x+ 2x2 4x 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x ∈ R

.

a) Sa se arate ca A(x1) ·A(x2) = A(x1 + x2), ∀ x1, x2 ∈ R.

b) Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M3(R) fat, a de operat,ia de ınmult, ire a matricelor s, i G,ımpreuna cu operat, ia indusa, formeaza o structura de grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x arctanx− ln(1 + x2).

a) Sa se arate ca derivata funct, iei f este o funct, ie crescatoare.

b) Sa se stabileasca monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . Rezolvat, i inecuat, ia f(x) > 0.

2. a) Sa se demonstreze ca daca funct, ia f : [−a, a] → R, a > 0, este continua s, i impara, atunci

∫ a

−a

f(x) dx = 0.

b) Sa se arate ca

∫ 12

− 12

ln1 + x

1− xdx = 0 s, i

∫ π

4

−π

4

x2 sinx dx = 0.

c) Care este aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f : R → R, f(x) = x2 sinx, axa Ox s, i dreptele

de ecuat, ii x = −π

4s, i x =

π

4?

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(0, 3) s, i B(−6, 0).

a) Scriet, i ecuat, iile medianelor duse din A s, i B s, i determinat, i coordonatele lui G, centrul de greutate al triunghiuluiAOB. Reprezentat,i punctele s, i dreptele.

b) Care este pozit, ia centrului cercului circumscris; dar a ortocentrului triunghiului AOB? Demonstrat,i ca acestedoua puncte s, i G sunt coliniare.

2

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Se considera s, irul an =

(

1− 4

1

)

·(

1− 4

9

)

·(

1− 4

25

)

· . . . ·(

1− 4

(2n− 1)2

)

, n ∈ N∗. Sa se demonstreze ca

an =1 + 2n

1− 2n, ∀ n ∈ N∗.

2. Se considera polinomul f ∈ R[X ], f = X4 + 2X3 + aX2 + bX + c, a, b, c parametri.

a) Sa se determine ın funct, ie de coeficient, i suma patratelor radacinilor polinomului f .

b) Pentru a = 3, sa se arate ca pentru orice b, c ∈ R polinomul f nu poate avea toate radacinile reale.

c) Sa se determine a, b, c ∈ Q, s,tiind ca restul ımpart,irii lui f la X−1 este egal cu 3 s, i f are radacina −1+√2.

Pentru a, b, c determinat, i, rezolvat,i ın mult, imea numerelor complexe ecuat,ia f(x) = 0.

3. Se considera M2(Z) mult, imea matricelor patratice de ordinul doi peste Z, submult, imea G = {A ∈ M2(Z) |detA = 1 sau detA = −1} s, i legea de compozit, ie ınmult, irea matricelor.

Admitem ca G este parte stabila a lui M2(Z) fat, a de operat,ia de ınmult,ire a matricelor.

a) Precizat,i s, i justificat, i valoarea de adevar a urmatoarelor propozit,ii:

(1) (M2(Z), ·) are o structura de grup;

(2) (G, ·) are o structura de grup.

b) Daca A, B ∈ M2(Z) sunt inversabile, sa se arate ca este adevarata echivalent,a:

A−1 ·B = B · A−1 ⇔ A−1 · B−1 = B−1 · A−1.

SUBIECTUL II

1. Sa se reprezinte grafic funct, ia definita prin legea f(x) = x · e 2x .

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = a cosx

3+ b sin

x

3, unde a, b ∈ R.

a) Sa se verifice ca 9f ′(x) + f(x) = 0, ∀ x ∈ R.

b) Sa se determine a s, i b astfel ıncat

∫ π

2

0

f(x) dx = 0 s, i

∫ π

0

f(x) dx = 3.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 0) s, i B(0, 2).

a) Sa se determine coordonatele punctuluiD, mijlocul segmentului [AB]. Scriet, i ecuat,ia mediatoarei d a segmentului[AB].

b) Sa se determine coordonatele urmatoarelor puncte: {E} = d∩OB, {F} = d∩OA, M mijlocul segmentului [AE]s, i N mijlocul segmentului [BF ].

Sa se verifice daca dreptele MD s, i ND sunt perpendiculare. Dar dreptele MO s, i NO?

3

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve urmatoarele ecuat, ii:

a)

√x+ 4√x− 4

+ 2 ·√x− 4√x+ 4

=11

3;

b)

√

x+ 4

x− 4+ 2 ·

√

x− 4

x+ 4=

11

3.


(

x2 − 2

x

)n

, x ∈ R∗, n ∈ N∗.

a) Sa se determine n astfel ıncat suma coeficient, ilor primilor trei termeni ai dezvoltarii sa fie 97.

b) Pentru n = 8, verificat,i daca exista un termen care cont, ine pe x4. Justificat, i raspunsul.

3. Sa se rezolve sistemul (S)

x+ 2y + z + t = 0

2x+ y + z + 2t = 0

x+ 2y + 2z + t = 0

x+ y + z + t = 0

.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, iile f , g : (0,∞) → R, f(x) = log 12(x2 + 1)− log 1

2x, g(x) = 2x3 − 3x2.

a) Sa se stabileasca monotonia funct, iilor f s, g.

b) Determinat, i numarul de solut, ii reale ale ecuat, iei f(x) = g(x).

2. a) Sa se demonstreze ca suma a doua funct, ii convexe f , g : I → R, unde I este un interval deschis, este ofunct, ie convexa.

b) Sa se arate ca urmatoarele funct, ii sunt convexe:

f : R → R, f(x) = ax4 + bx2 + cx+ d, a, b, c, d ∈ R, a, b > 0;

g : (0,∞) → R, g(x) = 4x4 + 3x2 − 5x+ 7 + log 15x.

3. Se considera s, irul In =

∫ 1

0

xn

4x2 + 2x+ 1dx, n ∈ N.

a) Sa se arate ca In ≥ 0, sa se stabileasca monotonia s, irului s, i sa se precizeze daca s, irul este convergent.

b) Determinat, i a ∈ R astfel ıncat1

4x2 + 2x+ 1≤ a, ∀ x ∈ R. Aratat,i ca lim

n→∞In = 0.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera elipsele de ecuat, ii

x2

16+

y2

9= 1 s, i

x2

16+

y2

4= 1.

a) Pentru fiecare elipsa sa se scrie ecuat, ia tangentei ın punctul de abscisa 2 s, i ordonata pozitiva.

b) Sa se arate ca cele doua tangente se intersecteaza ıntr-un punct situat pe axa Ox.

c) Reprezentat,i grafic elipsele s, i tangentele.

4

Varianta 5


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia√

log3(9x− 3) ≤ log3

(

x− 1

3

)

.

2. a) Calculat,i determinantul ∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x21 x2

2 x23

x1 x2 x3

1 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, scriind rezultatul ca produs de factori.

b) Sa se demonstreze ca daca polinomul f ∈ C[X ], f = aX2 + bX + c (a, b, c parametri) are trei radacinidistincte, atunci a = b = c = 0.

c) Sa se determine valorile parametrului m pentru care ecuat,ia

(m2 − 3m+ 2)x2 − (m2 − 5m+ 4)x+m−m2 = 0

are cel put, in trei radacini distincte.

SUBIECTUL II

1. Se considera expresia f(x) = ln1 + x

1− x·

a) Sa se determine domeniul de definit, ie s, i domeniul de derivabilitate al funct, iei f definita prin legea f(x).

b) Sa se stabileasca monotonia s, i punctele de inflexiune ale funct, iei f .

c) Precizat,i semnul funct, iei f s, i calculat,i aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele

de ecuat, ii x = −1

2s, i x =

1

2.

2. Se considera s, irul In =

∫ π

4

0

(tanx)n dx, n ∈ N, n ≥ 2.

a) Sa se calculeze I2 s, i sa se demonstreze ca

In + In+2 =1

n+ 1, ∀n ∈ N, n ≥ 2.

b) Sa se arate ca In ≥ 0, sa se stabileasca monotonia s, irului s, i sa se precizeze daca s, irul este convergent.

c) Demonstrat,i ca In+2 ≤ 1

n+ 1, ∀ n ∈ N s, i calculat,i limita s, irului (In)n≥2.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera elipsele de ecuat, ii

x2

25+

y2

9= 1 s, i

x2

25+

y2

4= 1.

a) Pentru fiecare elipsa sa se scrie ecuat, ia tangentei ın punctul de abscisa 3 s, i ordonata negativa.

b) Sa se arate ca cele doua tangente se intersecteaza ıntr-un punct situat pe axa Ox.

c) Reprezentat,i grafic elipsele s, i tangentele.

5

Varianta 1

Profilurile economic, fizica-chimie s, i chimie-biologie

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia log 12x2 ≥ log 1

2(x+ 2).

2. Se considera ecuat, ia x =

(

2− x+ 1

x− 7

)2

, x 6= 7. Sa se rezolve ecuat, ia ın mult, imea numerelor complexe, s,tiind ca

admite solut,ia z = 3 + 4i.

3. Se considera M3(R) mult, imea matricelor patratice de ordin trei peste R s, i submult, imea sa

B =

A =

a1 0 00 a2 00 0 a3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1, a2, a3 ∈ R

.

a) Sa se demonstreze ca B este parte stabila a lui M3(R) fat, a de operat,iile de adunare s, i de ınmult, ire amatricelor.

b) Sa se demonstreze ca (B,+, ·) formeaza o structura de inel comutativ.

c) Inelul (B, , ·) are divizori ai lui zero? Justificat, i raspunsul.

SUBIECTUL II

1. Se considera s, irurile definite astfel: an = 3−n, bn = ln(an), ∀ n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca s, irul (an)n≥1 este o progresie geometrica, iar (bn)n≥1 o progresie aritmetica. Determinat, iprimul termen s, i rat,ia fiecarei progresii.

b) Sa se calculeze limitele s, irurilor sn = a1 + a2 + · · ·+ an s, i tn = b1 + b2 + · · ·+ bn, n ∈ N∗.

2. Se considera funct, ia f : I → R (I interval deschis), derivabila de douaori pe I.

a) Enunt,at, i teorema lui Rolle.

Sa se arate ca ıntre doua puncte de extrem succesive exista cel put, in un zerou al derivatei de ordinul aldoilea.

b) Pentru funct, ia f : (−2, 1) → R, f(x) = (2x2−3x+2)ex, sa se determine punctele de extrem s, i de inflexiune.

3. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + 3. Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, ieif , tangenta la grafic ın punctul de abscisa 2 s, i dreptele de ecuat, ii x = 0, x = 2.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(0, 4), B(−2, 0) s, i C(3, 0).

a) Reprezentat,i punctele s, i calculat, i distant,ele BC s, i AC.

b) Sa se scrie ecuat, iile mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [BC].

c) Determinat, i centrul s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

6

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia logx√5 + logx(5x) =

9

4+(

logx√5)2.


(

x√x+

1

x4

)n

, x ∈ R, x > 0, n ∈ N∗, n ≥ 2.

a) Sa se determine n astfel ıncat C2n = C1

n + 44.

b) Pentru n = 11, verificat,i daca exista un termen al dezvoltarii care nu cont,ine pe x. Justificat,i raspunsul.

3. Se considera w =−1 + i

√3

2∈ C s, i matricea A =

1 w w2 w3

w w2 w3 1w2 w3 1 w

w3 1 w w2

.

a) Sa se verifice ca w2 + w + 1 = 0 s, i w3 = 1.

b) Sa se arate ca A2 =

1 1 −2 11 1 1 −2

−2 1 1 11 −2 1 1

.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 3−2x − 2 · 3−x.

a) Sa se calculeze limitele funct, iei spre +∞ s, i −∞.

b) Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate s, i sa se calculeze derivata funct, iei f . Precizat,i monotonia s, ipunctele de extrem ale funct, iei f .

c) Sa se determine punctele de inflexiune ale funct, iei f .

2. Se considera integrala I =

∫ 2

1

(

m2 + (4− 4m)x+ 4x3)

dx, unde m este un parametru real.

a) Sa se calculeze integrala.

b) Sa se determine m astfel ca I ≤ 12.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctul M(2, 3) s, i dreptele de ecuat, ii d1 : x + y − 2 = 0 s, id2 : 3x− 2y + 1 = 0. Se noteaza cu A punctul de intersect, ie al dreptelor d1 s, i d2.

a) Sa se determine coorodnatele punctului A. Sa se reprezinte grafic dreptele d1 s, i d2.

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei AM .

c) Sa se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin A s, i este paralela cu prima bisectoare.

7

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Sa se determine a ∈ R astfel ıncat inegalitatea2x2 + 2x+ 3

x2 + x+ 1≤ a sa fie adevarata pentru orice x ∈ R.

2. Se considera ecuat,ia cu coeficient, i reali x4 − 7x3 + 21x2 + ax+ b = 0, a, b ∈ R. Daca z = 1+ 2i este o radacinaa ecuat, iei, sa se determine parametri reali a s, i b, s, i sa se rezolve ecuat,ia.

3. Se considera M2(R) mult, imea matricelor patratice de ordin doi peste R, matriceaA =

(

5 4−4 −3

)

s, i submult, imea

G = {B = aA+ bI2 | a, b ∈ R}.

a) Sa se arate ca A2 = 2A− I2.

b) Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M2(R) ın raport cu operat,ia de ınmult, ire a matricelor s, i ca(G, ·) are o structura de monoid. Legea este comutativa pe G? Justificat, i raspunsul.

SUBIECTUL II

1. Se considera progresia geometrica (bn)n≥1 cu b1 > 0, cu rat,ia q ∈ (0, 1) s, i sumele Sn = b1 + b2 + · · · + bn s, iTn = b31 + b32 + · · ·+ b3n.

a) Sa se calculeze Sn s, i Tn ın funct, ie de b1 s, i q.

b) S, tiind ca limn→∞

Sn = 3 s, i limn→∞

Tn =108

13, sa se afle primul termen b1 s, i rat,ia q.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 7 + 2x ln 25− 5x−1 − 52−x.

a) Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al funct, iei s, i sa se calculeze derivata funct, iei f . Precizat,imonotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f .

b) Determinat, i numarul punctelor de inflexiune.

3. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = 1− lnx

x− 1

x.

a) Sa se rezolve inecuat, ia f(x) ≥ 1.

b) Calculat,i aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f , dreptele y = 1, x =1

x2s, i x =

1

e.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul C de ecuat,ie x2 + (y − 4)2 = 16.

a) Precizat,i centrul s, i raza cercului C ; reprezentat,i cercul.

b) Sa se verifice, prin calcul, ca punctul A(0,−2) nu apart,ine cercului.

Sa se determine coordonatele punctelor B situate pe cerc, astfel ıncat tangenta ın B la cerc sa treaca prin A.

c) Scriet, i ecuat, iile tangentelor la cerc. Determinat, i pantele tangentelor.

8

Varianta 4


SUBIECTUL I


(

x2 +1

x

)n

, n ∈ N∗.

a) Sa se determine n, s,tiind ca suma primilor trei coeficient, i ai dezvoltarii este 46.

b) Pentru n = 9, verificat,i daca exista un termen al dezvoltarii care nu cont, ine pe x.

2. Se considera relat,ia x2 + 2tx− 3t2 = 0.

a) Determinat, i x ın funct, ie de t.

b) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor complexe ecuat,ia

(z2 + 2x+ 1)2 + 2z(z2 + 2z + 1)− 3z2 = 0.

3. Se considera sistemul (S)

3x+ 4y + z + 2t = 3

6x+ 8y + 2z + 5t = 7

9x+ 12y + 3z + 10t = 13

.

a) Sistemul admite solut, iile x = −1, y = 1, z = 0, t = 1, respectiv x = 1, y = 0, z = −2, t = 1? Justificat,iraspunsul.

b) Sa se rezolve sistemul.

SUBIECTUL II

1. Se considera expresia f(x) =x3 + 4

x2·

a) Sa se reprezinte grafic funct, ia f definita prin legea f .

b) Sa se discute ın funct, ie de parametrul real m numarul solut,iilor reale ale ecuat, iei f(x) = m.

2. a) Se considera funct, ia f : [−a, a] → R, unde a > 0, continua. Justificat, i urmatoarele afirmat,ii:

(1) Daca f este funct, ie para, atunci

∫ a

−a

f(x) dx = 2 ·∫ a

0

f(x) dx;

(2) Daca f este funct, ie impara, atunci

∫ a

−a

f(x) dx = 0.

b) Sa se calculeze urmatoarele integrale:

I =

∫ 2

−2

x2e|x| dx s, i J =

∫ 2

−2

x3e|x| dx.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctul M(5, 0) s, i elipsa de ecuat, iex2

16+

y2

9= 1.

a) Reprezentat,i elipsa s, i precizat, i, prin calcul, pozit, ia punctului M fat, a de elipsa.

b) Sa se determine coordonatele punctelor P situate pe elipsa, astfel ıncat tangenta ın P la elipsa sa treaca prinM .

c) Scriet, i ecuat, iile tangentelor la elipsa. Determinat, i pantele tangentelor.

9

Varianta 5


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0.

2. Sa se rezolve inecuat, ia a2 − 9x+1 − 8 · 3x · a > 0, unde a este parametru real, a > 0.


2x− y + 5z + 7t = 0

4x− 2y + 7z + 5t = 0

2x− y + z − 5t = 0

.

a) Sistemul admite solut, iile x = −8, y = 8, z = −3, t = 1, respectiv x = 4, y = 8, z = 0, t = 0? Justificat,iraspunsul.


SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = m2x3 +mx2 − x− 3, m parametru real nenul.

a) Sa se arate ca pentru orice m ∈ R∗, funct, ia are doua puncte de extrem.

b) Pentru m = −1

3, reprezentat,i grafic funct, ia obt, inuta.

2. Se considera s, irurile (In)n≥1 s, i (Jn)n≥1 definite astfel:

In =

∫ e

1

xn lnx dx s, i Jn =

∫ e

1

xn(ln x)2 dx.

a) Sa se determine In. Sa se stabileasca o relat, ie ıntre In s, i Jn.

b) Sa se calculeze limn→∞

In − Jn

en+1.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(−1, 2) s, i B(1, 4).

a) Sa se determine ecuat, ia cercului C de centru A s, i care trece prin B. Reprezentat,i cercul C .

b) Sa se scrie ecuat, iile tangentelor la cerc ın punctele care au abscisa x = −1.

c) Sa se arate ca tangentele sunt paralele cu axa Ox.

10

Varianta 1

Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv-real

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + ax+ b, a s, i b parametri reali. Sa se determine a s, i b astfel ıncat safie ındeplinite simultan urmatoarele condit, ii:

– graficul funct, iei sa intersecteze dreapta y = 3x− 4 ın punctul de abscisa 1;

– ordonata varfului parabolei sa fie egala cu 1.

2. Se considera a, b, c s, i x numere reale strict pozitive s, i diferite de 1. Sa se demonstreze ca urmatoarea echivalent, aeste adevarata:

a, b, c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice daca s, i numai daca1

loga x,

1

logb xs, i

1

logc xsunt termenii

succesivi ai unei progresii aritmetice.

3. Se considera determinantul ∆(x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1− x x2 x

x x −x

1 + x2 x2 −x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

a) Sa se arate ca ∆(−1) = 0.

b) Sa se rezolve ecuat, ia ∆(x) = 0.

SUBIECTUL II

1. Se considera expresia f(x) =√x2 − 4x+ 3.

a) Sa se determine domeniul funct, iei f definita prin legea f(x).


c) Stabilit, i intervalele de convexitate (concavitate) ale funct, iei.

2. Sa se determine primitivele urmatoarelor funct, ii:

a) f : (4,∞) → R, f(x) =4x− 10

x2 − 5x+ 4;

b) f : (e4,∞) → R, f(x) =4 lnx− 10

x(ln2 x− 5 lnx+ 4).

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera triunghiul care are laturile pe dreptele AB : 2x+3y− 7 = 0,BC : x− 4y + 13 = 0 s, i AC : 4x− 5y − 3 = 0.

a) Determinat, i coordonatele varfurilor triunghiului. Reprezentat, i triunghiul ABC.

b) Scriet, i ecuat, iile mediatoarelor segmentelor [AB] s, i [BC].

c) Determinat, i coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.

11

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ın mult, imea numerelor complexe ecuat, iile:

a) t2 − 7t+ 6 = 0;

b) (−x2 + 2x)2 − 7(−x2 + 2x) + 6 = 0.

2. Sa se rezolve ecuat, iile:

a) 9x2−1 − 36 · 3x2−3 + 3 = 0;

b) logx√5 + logx(5x)− 2, 25 = (logx

√5)2.

3. Sa se calculeze determinantul

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = e−x(x2 + x− 5).

a) Calculat,i limitele funct, iei spre −∞ s, i ∞.

b) Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate s, i sa se calculeze derivata funct, iei f .

c) Precizat,i monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f . Alcatuit, i tabelul de variat,ie al funct, iei.

2. Sa se calculeze limita limx→0

3√8 + 3x− 2

4√16 + 5x− 2

·

3. Sa se calculeze integrala I =

∫ 4

1

ln5− x

4xdx.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul C de ecuat,ie x2 + y2 = 16 s, i punctul A(1, 2).

a) Determinat, i centrul s, i raza cercului. Precizat,i, prin calcul, pozit, ia punctului A fat, a de cerc. Reprezentat,i cercul.

b) Scriet, i ecuat, ia dreptei d care trece prin A s, i centrul cercului.

c) Fie M(a, b) un punct pe cerc. Determinat, i punctul M astfel ıncat tangenta la cerc ın M sa fie paralela cu dreaptad.

12

Varianta 3


SUBIECTUL I


1

x+ 2y+ y = 2

y

x+ 2y= −3

.

2. Sa se rezolve ecuat, ia 1 + 2 logx+2 5 = log5(x + 2).

3. Se considera M2(R) mult, imea matricelor patratice de ordin doi peste R s, i submult, imea

G =

{

M(a, b)

∣

∣

∣

∣

M(a, b) =

(

a+ b 4b−b a− b

)

, a, b ∈ R

}

.

a) Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M2(R) fat, a de operat,ia de adunare a matricelor.

b) Sa se arate ca (G,+) este grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : (−1, 1) → R, f(x) = ln(1− x2).

a) Sa se calculeze limitele la capetele domeniului de definit, ie.


c) Sa se stabileasca intervalele de convexitate (concavitate).

2. Sa se calculeze limita limx→∞

(

x2 + 5x+ 4

x2 − 3x+ 7

)x

.

3. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = e−x(x+ 1).

a) Sa se stabileasca semnul funct, iei f .

b) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −2 s, ix = 0.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(5, 0), B(1, 4) s, i dreapta d de ecuat, ie x+y−3 = 0.

a) Reprezentat,i dreapta s, i punctele.

b) Scriet, i ecuat, ia mediatoarei segmentului [AB] s, i determinat, i intersect, ia ei cu dreapta d.

c) Sa se stabileasca ecuat,ia cercului care trece prin A, B s, i are centrul pe dreapta d.

13

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Sa se determine solut, iile reale ale ecuat, iei 3x3−3x2−4x+9 =

1

27·

2. Se considera s, irul (an)n≥1 progresie geometrica cu rat, ia q ∈ (0, 1) s, i a1 6= 0.

a) Sa se determine ın funct, ie de a1 s, i q suma Sn = a1 + a2 + · · ·+ an s, i sa se calculeze limita sa.

b) Sa se determine rat,ia progresiei, s,tiind ca limn→∞

Sn = 3 · S3.


2x− y + z − t = 1

x+ y + az + t = −1

x− y + z − t = b

, a s, i b parametri reali.

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat matricea sistemului sa fie de rang 2, iar sistemul sa fie compatibil.

b) Pentru a = −1 s, i b = 1 sa se rezolve sistemul.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = 2 lnx+ x2 − 4x+m, m parametru real.

a) Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al funct, iei s, i sa se rezolve ecuat, ia f ′(x) = 0.

b) Sa se discute, ın funct, ie de parametrul real m, numarul de solut, ii reale ale ecuat,iei f(x) = 0.

2. Sa se determine primitivele urmatoarelor funct, ii:

a) f : R → R, f(x) = ex(3x2 − 2x− 5).

b) f : (−1,∞) → R, f(x) =1

x2 + 3x+ 2·

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreapta d de ecuat, ie 4x+ 3y − 12 = 0.

a) Determinat, i coordonatele punctelor A s, i B, intersect,iile dreptei d cu axele Ox, respectiv Oy. Reprezentat,idreapta. Precizat,i panta dreptei AB.

b) S, tiind ca [AB] este latura unui trapez dreptunghic ABCD, cu m(∢A) = 90◦ s, i BC ‖ AD, avand toate varfurilepe axele de coordonate, scriet, i ecuat,iile dreptelor BC s, i CD.

c) Determinat, i coordonatele punctelor C s, i D.

14

Varianta 5


SUBIECTUL I

1. Se considera dezvoltarea (x+ xlg x)5, x ∈ R, x > 0. Sa se determine x, s,tiind ca al treilea termen al dezvoltariieste 106.

2. Se considera ecuat,ia x3 − 2x2 + x− 2 = 0 cu radacinile x1, x2, x3.

a) Sa se rezolve ecuat, ia ın mult, imea numerelor complexe.

b) Sa se determine ecuat, ia de gradul al treilea care are radacinile: y1 = x2 + x3 + 2x1, y2 = x1 + x3 + 2x2,y3 = x1 + x2 + 2x3.


1 5 42 10 83 15 12

.

a) Sa se determine rangul matricei A.

b) Sa se studieze compatibilitatea sistemului (S)

x+ 5y + 4z = 1

2x+ 10y + 8z = 3

3x+ 15y + 12z = 5

.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{−3} → R, f(x) =x2 + ax

(x+ 3)2, a parametru real.

a) Sa se determine a ∈ R astfel ıncat tangenta la graficul funct, iei f ın punctul de abscisa 1 sa fie paralela cuaxa Ox.

b) Pentru a = −3, sa se reprezinte grafic funct, ia f (folosind derivata a II-a).

2. Se considera funct, iile f , g : R → R, f(x) =ex − 1

ex + 1, g(x) = 2 ln(1 + ex)− x.

a) Sa se arate ca funct, ia g este o primitiva a funct, iei f .

b) Sa se stabileasca semnul funct, iei f pe intervalul [−1, 1]. Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate pegraficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat,ii x = −1 s, i x = 1.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctul B(1, 4) s, i dreptele d1, d2 de ecuat, ii d1 : x+y−5 = 0,d2 : x− y − 1 = 0.

a) Sa se determine coordonatele lui A, punctul de intersect,ie al celor doua drepte. Reprezentat,i dreptele s, i calculat,ilungimea segmentului [AB].

b) Scriet, i ecuat, ia cercului de centru A s, i care trece prin B.

15

Varianta 1

Profilul uman

SUBIECTUL I


a) 22x−3 = 4x2−3x−1.

b) lg(x− 3) + lg(x + 6) = lg 2 + lg 5.

2. Se considera progresia aritmetica (an)n≥1 ın care a9 = 5 · a2 s, i a13 = 2 · a6 + 5.

a) Sa se determine primul termen s, i rat, ia progresiei.

b) Sa se calculeze suma primilor 100 de termeni ai progresiei.

3. Se considera submult, imea numerelor reale G = [2,∞) s, i operat,ia

x ⋆ y = xy − 2(x+ y) + 6, (∀)x, y ∈ G.

a) Sa se arate ca operat,ia ”⋆” este lege de compozit, ie pe G.

b) Sa se demonstreze ca legea este asociativa s, i admite element neutru. Care sunt elementele simetrizabile ınraport cu aceasta lege?

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{0} → R, f(x) =(x− 2)(2x+ 1)

x2.

a) Sa se stabileasca monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei f .

b) Graficul funct, iei f admite puncte de inflexiune? Justificat, i raspunsul.

2. Sa se calculeze urmatoarele limite:

a) limx→2

x2 − 7x+ 10

x2 − 8x+ 12·

b) limx→∞

2x + 3

2x − 3·

c) limx→−∞

2x + 3

2x − 3·

3. S a se determine b ∈ R\{1} astfel ıncat

∫ b

1

(b− 4x) dx = 6− 5b.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctul M

(

−4

5, 1

)

s, i dreptele d1 s, i d2 de ecuat,ii d1 :

x+ 6y + 5 = 0 s, i d2 : 3x− 2y + 1 = 0.

a) Sa se reprezinte dreptele.

b) Determinat, i coordonatele punctului A, intersect, ia dreptelor d1 s, i d2.

c) Scriet, i ecuat, ia dreptei AM . Scriet, i ecuat, ia cercului de centru A s, i care trece prin M .

16

Varianta 2

Profilul uman

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ın mult, imea numerelor reale urmatoarele ecuat, ii:

a)6

x2 − 1− 2

x− 1= 2− x+ 4

x+ 1.

b) 4x − 10 · 2x−1 = 24.

2. Se considera a, b ∈ R, a, b > 0, astfel ıncat a2 + 4b2 = 12ab. Sa se arate ca este adevarata relat, ia 2 lg(a+ 2b)−4 lg 2 = lg a+ lg b.


x+ y − z = 0

2x− y + 3z = 9

−3x+ 4y + 2z = 11

.

SUBIECTUL II


a) limx→∞

(

x+ 2

x− 1+

2− 3x2

x2 + 1

)

.

b) limx→3

x2 − 9√x− 2− 1

.

2. Sa se construiasca graficul funct, iei f : R → R, f(x) = −3x3 + x+ 4 (utilizand derivata a doua).

3. Se considera funct, ia f : (−∞, 3) → R, f(x) =x2

2− 3x+

2

(x− 3)2·

a) Determinat, i primitivele funct, iei f .

b) Precizat,i primitiva F care verifica egalitatea F (−1) = 0.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 2), B(3, 1), C(2,−1).

a) Reprezentat,i punctele. Scriet, i ecuat,ia dreptei AB. Verificat,i, prin calcul, ca punctele A, B, C sunt necoliniare.

b) Calculat,i distant,ele AB, AC s, i BC. Demonstrat,i ca triunghiul ABC este dreptunghic.

c) Precizat,i coordonatele centrului s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

17

Varianta 3

Profilul uman

SUBIECTUL I


(

9x−√3

3√x

)n

, x ∈ R, x > 0 s, i n ∈ R, n ≥ 3.

a) Sa se determine n ∈ N∗, astfel ıncat coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 105.

b) Pentru n = 15, verificat,i daca exista un termen al dezvoltarii care cont, ine pe x5. Justificat, i raspunsul.

2. Se considera ecuat,ia x4 + x3 + x2 − x− 2 = 0.

a) Sa se determine radacinile rat, ionale ale ecuat,iei.

b) Sa se rezolve ecuat, ia ın mult, imea numerelor complexe.

3. Sa se discute ın funct, ie de parametrul real m s, i sa se rezolve sistemul

{

x+ my = 1

mx− 3my = 2m+ 3.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) =x2 − x+ 1

x2 + x+ 1·


b) Calculat,i limitele funct, iei spre +∞ s, i −∞.

2. Se considera s, irul (an)n≥1 definit astfel an = lnn− ln(n+ 1), n ∈ N∗.

a) Calculat,i suma S = a1 + a2 + a3 + a4.

b) Sa se determine termenul general al s, irului (Sn)n≥1, unde Sn = a1 + a2 + · · · + an, n ∈ N. Stabilit, i dacas, irul are limita s, i, ın caz afirmativ, calculat, i aceasta limita.

3. Se considera funct, ia f : [1, 2] → R, f(x) =1 + 3x− 4x2

x. Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul

funct, iei f s, i axa Ox.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A

(

−2,5

2

)

s, i B(3, 1).

a) Scriet, i ecuat, ia carteziana a dreptelor d1 s, i d2 care ındeplinesc condit, iile:

– A ∈ d1 s, i are panta3

5;

– B ∈ d2 s, i are panta −5

3.

b) Reprezentat,i dreptele d1 s, i d2.

c) Calculat,i lungimea segmentului [AB]. Scriet, i ecuat,ia cercului de centru A s, i care trece prin B.

18

Varianta 4

Profilul uman

SUBIECTUL I


a)

(

1

x+ 2

)2

+1

x− 10 = 0;

b) log4(x+ 3)− log4(x− 1) = 2− log4 8.

2. a) Sa se determine numerele reale x s, i y care verifica simultan relat,iile:

x · y = 192, x · y − x = 189.

b) Se considera progresia geometrica (bn)n≥1 cu rat,ia q = 2. Sa se determine n ∈ N astfel ıncat bn = 96 s, isuma primilor n termeni ai progresiei sa fie egala cu 189.

3. Se considera ecuat,ia x4 − 2x3 − x2 − 10x+ 12 = 0.

a) Sa se determine solut, iile rat, ionale ale ecuat,iei.


SUBIECTUL II

1. Sa se construiasca graficul funct, iei f : R\{0} → R, f(x) =−x2 + 3x− 2

x2·

2. Sa se calculeze integrala I =

∫ 2

1

(x2 − x)ex dx.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele d1 s, i d2 de ecuat, ii d1 : y = 2x + 4, respectiv

d2 : y = −1

2x+

3

2.

a) Determinat, i coordonatele punctului A, intersect, ia dreptelor d1 s, i d2. Reprezentat, i dreptele. Precizat,i panteledreptelor.

b) Sa se determine punctele B s, i C care ındeplinesc condit, iile:

– B ∈ d1 s, i are abscisa −5;

– C ∈ d2 s, i are ordonata −1.

Calculat,i lungimea segmentului BC.

19

Varianta 5

Profilul uman

SUBIECTUL I


a) 15 · 2x+1 + 15 · 2−x+2 = 135.

b) 4(log3 x)2 − 17 log3 x+ 4 = 0.

2. a) Sa se determine funct, ia de gradul al doilea, s,tiind ca graficul funct, iei trece prin punctele A(−1, 6), B(2, 3),

C

(

−1

2, 3

)

.

b) Considerand funct, ia f : R → R, f(x) = 2x2 − 3x+ 1, sa se determine punctele de intersect, ie ale graficuluifunct, iei cu axele de coordonate.

3. Se considera submult, imea numerelor reale G = (−1,∞) s, i operat,ia

x ⋆ y = xy + x+ y, ∀x, y ∈ G.


b) Sa se demonstreze ca (G, ⋆) formeaza o structura de grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =2x− 1

x2 − 2x+ 1·


b) Sa se calculeze limitele laterale ale funct, iei ın punctul x = 1.

c) Sa se calculeze limitele funct, iei spre +∞ s, i −∞.

2. Se considera funct, iile f , g : R → R, f(x) = x2 − 5x+ 3 s, i g(x) = 3 + 3x− x2.

a) Sa se rezolve inecuat, ia f(x) ≤ g(x).

b) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane cuprinse ıntre graficele celor doua funct, ii s, i dreptele de ecuat, ii x = 0s, i x = 4.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(4, 6), B(4, 0), C(−4, 0).

a) Reprezentat,i punctele s, i aratat,i ca triunghiul ABC este dreptunghic.

b) Scriet, i ecuat, ia cercului circumscris triunghiului ABC. Precizat,i centrul s, i raza cercului. Punctul E(−5, 2)apart,ine cercului? Justificat, i, prin calcul, raspunsul.

20

Sesiunea AUGUSTVarianta 1

Profilul uman

SUBIECTUL I

1. Se considera ecuat,iile:ax2 + bx+ c = 0, (1)

2a2x2 + 2abx+ b2 − 2ac = 0, a, b, c,∈ R s, i a 6= 0. (2)

a) Sa se arate ca este adevarata urmatoarea echivalent, a:

ecuat,ia (1) are radacini reale s, i distincte daca s, i numai daca ecuat, ia (2) are radacini complexe.

b) Sa se rezolve ın C ecuat,iile: t2 − 5t+ 4 = 0 s, i 2z2 − 10z + 17 = 0.


a) 15 · 2x+1 + 15 · 2−x+2 = 135.

b) 4(log3 x)2 − 17 log3 x+ 4 = 0.

3. Se considera mult, imea G = [3,∞) pe care se defines,te operat, ia x ⋆ y =√

x2 + y2 − 9, ∀ x, y ∈ G.


b) Sa se arate ca legea este asociativa, comutativa s, i admite element neutru. Care sunt elementele simetrizabileın raport cu aceasta lege?

SUBIECTUL II

1. Sa se construiasca graficul funct, iei f definite prin legea f(x) =1

x2 + 5x+ 6, folosind s, i derivata a doua.

2. Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =kx2 + ℓ

x− 1+mx, k, ℓ, m parametri reali. Sa se determine k, ℓ, m ∈ R

astfel ıncat f(2) = 23, f ′(0) = 4 s, i

∫ 0

−1

(x− 1)f(x) dx =37

6.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1,−1), B(−2, 1) s, i C(3, 5).

a) Reprezentat,i punctele. Verificat, i prin calcul daca triunghiul ABC este isoscel.

b) Sa se determine panta dreptei BC. Sa se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin A s, i are panta dreptei BC.

c) Sa se scrie ecuat, ia cercului de centru C s, i care trece prin A.

21

Varianta 2

Profilul uman

SUBIECTUL I

1. Se considera dezvoltarea ( 3√a+ a

√a)n, n ∈ N∗, a ∈ R, a > 0.

a) Sa se determine n astfel ıncat coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 36.

b) Pentru n = 9, verificat,i daca exista un termen al dezvoltarii care cont, ine pe a3.

2. Sa se rezolve ın mult, imea numerelor reale ecuat, iile:

a)1

x+ 1− 2

x2 − x+ 1=

1− 2x

1 + x2.

b)

(

3

5

)x+1

+

(

3

5

)1−x

= 1, 2.

3. Se considera mult, imea numerelor reale pe care se defines,te legea de compozit, ie

x ⋆ y = xy − x− y + 2, ∀x, y ∈ R.

Sa se cerceteze daca legea este comutativa, asociativa s, i daca admite element neutru. Exista elemente simetriz-abile?

SUBIECTUL II

1. Se considera s, irul (an)n≥1 definit astfel: a1 = −2 s, i an+1 = 4an, n ≥ 1. Notam cu Sn suma primilor n termeni.

a) Sa se arate ca s, irul este progresie geometrica s, i sa se calculeze suma Sn ın funct, ie de n.


Sn

Sn+1·

2. Se considera expresia f(x) =−8(x+ 2)

x2 + 4x+ 8·

a) Sa se precizeze domeniul maxim al funct, iei definite prin expresia f(x).

b) Sa se stabileasca intervalele de convexitate (concavitate) s, i punctele de inflexiune ale funct, iei f .

3. Sa se determine valoarea numarului real pozitiv a astfel ıncat

∫ 2

0

(x− log2 a) dx = 2 log22

a·

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A

(

−2,5

2

)

s, i B(3, 1).

a) Scriet, i ecuat, ia carteziana a dreptelor d1 s, i d2 care ındeplinesc condit, iile:

d1 are panta3

5s, i A ∈ d1; d2 are panta −3

5s, i B ∈ d2.

b) Reprezentat,i dreptele d1 s, i d2.

c) Calculat,i lungimea segmentului [AB]. Scriet, i ecuat,ia cercului de centru A s, i care trece prin B.

22

Varianta 3

Profilul uman

SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia log2(9x−1 + 7) = 2 + log2(3

x−1 + 1).

2. Se considera ecuat,ia 5x4 + 9x3 − 2x2 − 4x− 8 = 0.

a) Sa se determine solut, iile rat, ionale ale ecuat,iei.


3. a) Sa se determine funct, ia de gradul al doilea, s,tiind ca graficul funct, iei trece prin punctele A(−1, 6), B(2, 3),

C

(

−1

2, 3

)

.

b) Considerand funct, ia f : R → R, f(x) = 2x2 − 3x+ 1, sa se determine punctele de intersect, ie ale graficuluifunct, iei cu axele de coordonate.

SUBIECTUL II


a) limx→2

x2 − 7x+ 10

x2 − 8x+ 12·

b) limx→∞

5x + 3

5x − 3·

c) limx→−∞

5x + 3

5x − 3·

2. Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =3x2 − 6x+ 5

(x− 1)2·

a) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat f(x) = a+b

(x− 1)2, pentru orice x 6= 1.

b) Sa se stabileasca intervalele de monotonie s, i sa se precizeze numarul punctelor de extrem ale funct, iei f .

c) Sa se stabileasca intervalele de convexitate (concavitate) s, i numarul punctelor de inflexiune ale funct, iei f .

d) Sa se stabileasca semnul funct, iei f . Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f , axaOx s, i dreptele de ecuat, ii x = 2, x = 4.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 2), B(3, 1), C(2,−1).

a) Reprezentat,i punctele. Scriet, i ecuat,ia dreptei AB. Verificat,i prin calcul ca punctele A, B, C sunt necoliniare.

b) Calculat,i distant,ele AB, AC s, i BC. Demonstrat,i ca triunghiul ABC este dreptunghic. Precizat,i coordonatelecentrului s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

23

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Se considera ecuat,ia x2 − (m+ 3)x+m2 = 0, m parametru real.

a) Sa se determine m ∈ R astfel ıncat ecuat, ia sa admita radacini reale.

b) Sa se determine m ∈ R astfel ıncat sa fie adevarata relat,ia

x1(m2 − 3x1) + x2(m

2 − 3x2) = 0,

unde x1 s, i x2 reprezinta radacinile ecuat, iei.

2. Sa se rezolve ecuat, ia logx+2(x+ 5) = logx+2

16

x+ 5·


2x− y + 5z + 7t = 0

4x− 2y + 7z + 5t = 0

2x− y + z − 5t = 0

.

a) Sistemul admite solut, iile x = −8, y = 8, z = −3, t = 1, respectiv x = 4, y = 8, z = 0, t = 0?


SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : (0, 3) → R, f(x) =

√9− x2 − 3

x. Sa se calculeze urmatoarele limite:

a) limx→0

x>0

f(x).

b) limx→0

x>0

(1 + f(x))1x .

2. Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =x2 + ax+ b

x− 1·

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat funct, ia sa admita un extrem egal cu 1 ın punctul de abscisa 0.

b) Pentru a = 1 s, i b = −1 reprezentat,i graficul funct, iei obt, inute, folosind s, i derivata a doua.

c) Pentru a = 1 s, i b = −1 sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptelede ecuat, ii x = 2, x = 4.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(0,√3), B(−1, 0) s, i C(1, 0).

a) Sa se reprezinte punctele. Sa se verifice prin calcul ca triunghiul ABC este echilateral.

b) Sa se determine coordonatele lui D, simetricul punctului C fat, a de dreapta AB.

c) Sa se scrie ecuat, ia cercului cu centrul ın D s, i care trece prin punctele A s, i B.

24

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia |x− 3|10x2−1 = |x− 3|3x, x 6= 3.

2. Exista x numar strict pozitiv astfel ıncat lg 2, lg(2x − 1) s, i lg(2x + 3) sa fie termeni succesivi ai unei progresii

aritmetice? Justificat,i raspunsul.

3. Se considera mult, imea G = (3,∞) s, i operat, ia x ⋆ y = xy − 3x− 3y + 12, ∀ x, y ∈ G.


b) Sa se demonstreze ca (G, ⋆) formeaza o structura de grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f(x) =ax2 + bx+ c

x+ d·

a) Sa se determine a, b, c, d ∈ R, astfel ıncat graficul funct, iei sa admita asimptotele x = 3 s, i y = x + 2, iarpunctul A(1, 1) sa se afle pe grafic.

b) Pentru a = 1, b = −1, c = −2, d = −3 sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta, folosind s, i derivata a doua.

c) Pentru a = 1, b = −1, c = −2, d = −3 sa se discute numarul radacinilor ecuat,iei f(x) = m.

2. Se considera funct, iile f , g : R → R, f(x) =ex − 1

ex + 1, g(x) = 2 ln(1 + ex)− x.

a) Sa se arate ca funct, ia g este o primitiva a funct, iei f .

b) Sa se stabileasca semnul funct, iei f pe intervalul [−1, 1].

c) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −1 s, ix = 1.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuat, ie x2+y2 = 25. Sa se scrie ecuat, iile tangentelorla cerc care sunt paralele cu dreapta de ecuat, ie 2x− y + 1 = 0.

25

Varianta 3


SUBIECTUL I


(

9x−√3

3√x

)n

, x ∈ R, x > 0 s, i n ∈ N, n ≥ 3.

a) Sa se determine n astfel ıncat coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 105.

b) Pentru n = 15, verificat,i daca exista un termen al dezvoltarii care cont, ine pe x5. Justificat, i raspunsul.

2. Se considera inegalitatea logb(x2 − x− 2) > logb(−x2 + 2x+ 3), b > 0, b 6= 1.

a) Sa se determine valorile lui x pentru care are sens inegalitatea.

b) S, tiind ca inecuat, ia admite solut, ia x =9

4, sa se determine b.

c) Pentru b ∈ (0, 1), sa se rezolve inecuat, ia.

3. Sa se rezolve ecuat, ia matriceala

X ·

1 2 00 1 22 0 1

=

(

2 1 0−1 3 2

)

,


SUBIECTUL II

1. Sa se calculeze limx→1

ln(1 + x− 3x2 + 2x3)

ln(1 + 3x− 4x2 + x3)·

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = e2x − 3x− 5(ex − x+ 3).

a) Sa se stabileasca intervalele de monotonie s, i punctele de extrem ale funct, iei f .

b) Sa se stabileasca punctele de inflexiune ale funct, iei f .

3. Se considera funct, ia f : R\{1} → R, f(x) =kx2 + ℓ

x− 1+mx, k, ℓ, m parametri reali. Sa se determine k, ℓ, m ∈ R

astfel ıncat f(2) = 23, f ′(0) = 4 s, i

∫ 0

−1

(x− 1)f(x) dx =37

6·

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera elipsa de ecuat,iex2

16+

y2

9= 1 s, i punctul C(0, 4).

a) Sa se reprezinte elipsa.

b) Sa se scrie ecuat, iile tangentelor la elipsa care trec prin punctul C.

26

Varianta 1

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Intr-un depozit erau 185 t de carbuni, iar ın altul 237 t. Din primul depozit s-au luat 15 t de carbuni pe zi, iar

din al doilea cate 18 t de carbuni. Dupa cate zile a ramas ın al doilea depozit de 11

2ori mai mult carbune decat

ın primul depozit?

2. Sa se rezolve ecuat, ia 23x · 32x = 746x, unde x reprezinta baza de numerat,ie.

3. Intr-o s,coala sunt cel mult 200 de elevi. Impart,ind aces,ti elevi, pe rand, ın grupe de 6, 7, respectiv 8 elevi,ramane mereu o grupa incompleta de 5 elevi. Cat, i elevi sunt ın s,coala?

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve ecuat, ia logx+2(x+ 5) = logx+2

16

x+ 5·

2. Se considera polinoamele f , g ∈ R[X ], f = X5 − 7X4 + 19X3 + aX2 − 110X + b, g = X3 − 3X2 − 6X + c, a, b,c ∈ R.

a) Determinat, i c ∈ R astfel ıncat radacinile polinomului g sa fie ın progresie aritmetica.

b) Pentru c = 8 determinat, i a s, i b astfel ıncat polinomul f sa se divida cu polinomul g.

3. Sa se rezolve ecuat, ia matriceala

X ·

1 2 00 1 22 0 1

=

(

2 1 0−1 3 2

)

,


SUBIECTUL III

1. Se considera triunghiul ABC, A1 s, i B1 mijloacele segmentelor [BC], respectiv [AC], iar G centrul de greutateal triunghiului. Daca CA1GB1 este patrulater inscriptibil, sa se demonstreze ca:

a) △AGB1 ∼ △ACA1.

b) 3AC2 = 4AA21.

2. Se considera O, A, B, C patru puncte necoplanare astfel ıncat triunghiurile OAB, OBC s, i OCA sa fie drep-tunghice ın O s, i isoscele. Se fac urmatoarele notat,ii: K ortocentrul triunghiului ABC; R proiect,ia lui K peplanul (OBC).

Sa se demonstreze ca punctul R este centrul de greutate al triunghiului OBC.

27

Varianta 2

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Prin 10 robinete curg 24000 l de apa ın 4 ore. Daca debitul este acelas,i, ın cate ore vor curge 21600 l apa prin12 robinete?

2. In cebaza de numerat,ie, numerele 23, 32, respectiv 41 sunt pitagoreice?

3. Intr-o tabara sunt mai put, ini de 500 de elevi. Daca s-ar grupa cate 2, cate 3, cate 4 sau cate 5, atunci, de fiecaredata, ar ramane cate un singur elev. Daca s-ar grupa cate 7, nu ar mai ramane niciun elev singur. Cat, i elevisunt ın tabara?

SUBIECTUL II

1. Sa se determine a ∈ R astfel ıncat inegalitatea2x2 + 2x+ 3

x2 + x+ 1≤ a sa fie adevarata pentru orice x ∈ R.

2. Sa se determine suma primilor 9 termeni ai unei progresii geometrice cu termeni pozitivi, pentru care termeniial treilea s, i al cincilea sunt cea mai mica, respectiv cea mai mare radacina a ecuat, iei

1

2[1 + log4(3x− 2)] = log4

(

1 +√10x− 11

)

.

3. Pentru x, y ∈ (−2, 2) se defines,te x ⋆ y =4(x+ y)

xy + 4. Sa se demonstreze ca ”⋆” este lege de compozit, ie pe

G = (−2, 2) s, i ca (G, ⋆) este grup abelian.

SUBIECTUL III

1. Se considera triunghiul ABC cu m(∢A) = 90◦, AB = AC+6 s, i BC = 30; CD este bisectoarea unghiului ∢ACB

s, i D ∈ (AB). Sa se determine lungimea segmentului [CD].

2. Se considera tetraedrul ABCD cu proprietatea AB = AC = AD = BC = BD = a s, i CD =a√3

2, a > 0; E

mijlocul segmentului [AB].

a) Sa se demonstreze ca AB ⊥ (CDE).

b) Daca CM ⊥ DE, M ∈ [DE], sa se arate ca CM ⊥ (ABD). Sa se calculeze volumul tetraedrului.

28

Varianta 3

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Trei robinete pot umple un bazin astfel:

– primul robinet ımpreuna cu al doilea ın doua ore s, i 24 minute;

– primul robinet ımpreuna cu al treilea ın trei ore;

– al doilea robinet ımpreuna cu al doilea ın patru ore.

In cat timp ar putea umple bazinul fiecare robinet ın parte?

2. Sa se gaseasca numerele naturale cuprinse strict ıntre 900 s, i 1000, astfel ıncat sa se ımparta fara rest la 5 s, i sumacifrelor sa fie 16.

3. Ana are azi de 5 ori varsta pe care o avea ea, cand fratele ei avea varsta ei actuala; cand ea va avea varsta deazi a fratelui ei, suma varstelor va fi 88 de ani. Ce varsta are azi fiecare din cei doi frat, i?

SUBIECTUL II

1. Se considera ecuat,iile:ax2 + bx+ c = 0, (3)

2a2x2 + 2abx+ b2 − 2ac = 0, a, b, c,∈ R s, i a 6= 0. (4)

a) Sa se arate ca este adevarata urmatoarea echivalent, a:

ecuat,ia (3) are radacini reale s, i distincte daca s, i numai daca ecuat, ia (4) are radacini complexe.

b) Sa se rezolve ın C ecuat,iile: t2 − 5t+ 4 = 0 s, i 2z2 − 10z + 17 = 0.

2. Sa se rezolve ecuat, ia log3(9x + 9) = x− log 1

3(28− 2 · 3x).

3. Sa se discute dupa valorile parametrului real a s, i sa se rezolve sistemul

(S)

x− ay + z = 2a

x− 2y + z = −2

ax+ a2y − 2z = 2

.

SUBIECTUL III

1. Se considera patrulaterul MNPQ ınscris ıntr-un cerc; diagonalele patrulaterului sunt perpendiculare s, i seıntalnesc ın punctul F . Sa se demonstreze ca FR ⊥ MQ, unde R este mijlocul segmentului [NP ].

2. Baza unei prisme este un triunghi echilateral de latura a. Muchiile laterale formeaza cu planul bazei un unghide masura 60◦. Unul din varfurile bazei se proiecteaza pe cealalta baza ın centrul cercului circumscris acesteia.Sa se calculeze ınalt,imea prismei s, i aria sa totala.

29

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia logx√5 + logx(5x) =

9

4+(

logx√5)2.

2. Se considera polinoamele f , g ∈ R[X ], f = X5 − 7X4 + 19X3 + aX2 − 110X + b, g = X3 − 3X2 − 6X + c, a, b,c ∈ R.

a) Determinat, i c ∈ R astfel ıncat radacinile polinomului g sa fie ın progresie aritmetica.

b) Pentru c = 8 determinat, i a s, i b astfel ıncat polinomul f sa se divida cu polinomul g.


6 9 5 68 12 7 m

2 3 1 24 6 3 4

, m parametru real.

a) Sa se determine rangul matricei A.

b) Pentru m = 8 sa se rezolve sistemul

6x+ 9y + 5z + 6t = 7

8x+ 12y + 7z +mt = 9

2x+ 3y + z + 2t = 3

4x+ 6y + 3z + 4t = 5

.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : R\{−1} → R, f(x) =x2 −m

x+ 1ex, m parametru real.

a) Sa se determine m ∈ R astfel ıncat funct, ia f sa aiba trei puncte de extrem.

b) Pentru m = 2 sa se stabileasca monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei obt, inute.


∫ a

−a

f(x) dx = 0.

b) Sa se arate ca

∫ 12

− 12

ln1 + x

1− xdx = 0 s, i

∫ π

4

−π

4

x2 sinx dx = 0.



4s, i x =

π

4?

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul C : x2 + y2 + 4x − 6y − 17 = 0 s, i dreapta d :5x+ 2y − 13 = 0.

a) Sa se determine coordonatele centrului s, i raza cercului C .

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei d1 care trece prin centrul cercului C s, i este perpendiculara pe d. Sa se afle coordonatelepunctului de intersect, ie al dreptelor d s, i d1.

30

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ecuat, ia 3 logx 4 + 2 log4x 4 + log16x 4 = 0.


(

√y +

1

2 4√y

)n

, y ∈ R, y > 0 s, i n ∈ N∗.

a) Sa se determine n pentru care coeficient, ii termenilor 1, 2, respectiv 3 ai dezvoltarii, formeaza o progresiearitmetica.

b) Pentru n = 8, verificat,i daca exista termeni ai dezvoltarii astfel ıncat puterea lui y sa fie numar natural.

3. Se considera submult, imea numerelor reale G = (2,∞)− {3} pe care se defines,te operat,ia

x ⋆ y = (x− 2)13ln(y−2) + 2.

a) Sa se demonstreze ca operat,ia ”⋆” este lege de compozit, ie pe G.

b) Sa se arate ca (G, ⋆) este grup comutativ.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f(x) = x−√ax2 + bx+ 1, a, b ∈ R, a > 0.

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat limx→∞

f(x) = −1

2·

b) Pentru a = b = 1 sa se determine asimptotele la graficul funct, iei obt, inute.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 51+x + 51−x + 25x + 25−x.


b) Sa se discute dupa valorile parametrului real m numarul de solut,ii reale ale ecuat, iei f(x) = m.

SUBIECTUL III


a) Sa se reprezinte punctele s, i sa se calculeze distant,ele BC s, i AC.


c) Sa se determine centrul s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

31

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia logx+ 1x

(

x2 +1

x2− 4

)

≥ 1.

2. Precizat,i daca exista un numar complex z care sa ındeplineasca simultan condit, iile:

|z − 1− 2i| = 3 s, i Re z ≥ 5.


2x+ y + z = 1

x− y − z = m

3x+ y + 2z = −1

x+my + z = m

, m parametru real. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat

sistemul sa fie compatibil s, i, ın acest caz, sa se rezolve.

SUBIECTUL II


a) limx→∞

(

3x− 4

3x+ 2

)x+13

.

b) limx→0

2x − 3x

x√1− x2

·

2. Se considera funct, ia f : R\{2} → R, f(x) =1

x+ 2e|x|.

a) Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al funct, iei s, i sa se calculeze derivata funct, iei f .

b) Sa se reprezinte grafic funct, ia f , folosind s, i derivata a doua.

c) Sa se calculeze urmatoarea integrala:

I =

∫ 1

−1

f(x) · (x+ 2) · x2 dx.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreapta d : x+ 5 = 0 s, i elipsa E :x2

20+

y2

4= 1.

a) Reprezentat,i grafic elipsa s, i dreapta.

b) Fie B s, i C varfurile situate pe semiaxa pozitiva Oy, respectiv semiaxa Ox negativa. Determinat, i coordonateleunui punct situat pe dreapta d, aflat la egala distant, a de punctele B s, i C.

32

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Se considera expresia P (x) = x2 − x loga t+ 3 loga t− 8, unde a, t ∈ R, 0 < a < 1 s, i t > 0.

a) Sa se determine t, astfel ıncat P (x) > 0, pentru orice x real.

b) Sa se determine t, astfel ıncat ecuat,ia P (x) = 0 sa admita o radacina dubla situata ın intervalul (0, 3).

2. Sa se rezolve ecuat, ia x2 · 2x+1 + 2|x−3|+2 = x2 · 2|x−3|+4 + 2x−1.


6 9 5 68 12 7 m

2 3 1 24 6 3 4

, m parametru real.


b) Pentru m = 8 sa se rezolve ecuat, ia matriceala A ·X =

7935

, unde X =

x

y

z

t

.

SUBIECTUL II

1. Sa se arate ca pentru orice numar real x ≥ 0 este adevarata relat,ia:

1− x

2≤ 1√

x+ 1≤ 1.

2. Se considera funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f(x) = arctana+ x

1− ax− 1

aln√1 + x2, a ∈ R,

a 6= 0.

a) Sa se determine a astfel ıncat limx→∞

(−axf ′(x))x = e2.

b) Pentru a = −2 sa se determine domeniul de definit, ie s, i domeniul de derivabilitate ale funct, iei obt, inute. Sase stabileasca intervalele de monotonie ale funct, iei obt, inute.

3. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = 1− lnx

x− 1

x·

a) Sa se rezolve inecuat, ia f(x) ≥ 1.

b) Calculat,i aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei f , dreptele y = 1, x =1

e2s, i x =

1

e.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 1), B(−1, 3) s, i dreapta d : 3x− y − 2 = 0. Sase determine ecuat, ia cercului care are centrul pe dreapta d s, i trece prin punctele A s, i B.

33

Varianta 2


SUBIECTUL I


(√2x

16√8+

16√32√2x

)n

, n ∈ N∗, x ∈ R.

a) Determinat, i n astfel ıncat C0n,

C1n

2,C2

n

4sa fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice.

b) Pentru n = 8, verificat,i daca exista valori ale lui x astfel ıncat diferent,a dintre termenii al a, selea s, i alpatrulea ai dezvoltarii sa fie 56.

2. Se considera polinomul f ∈ R[X ], f = X4 + 2X3 + aX2 + bX + c, a, b, c parametri.

a) Sa se determine ın funct, ie de coeficient, i suma patratelor radacinilor polinomului f .

b) Pentru a = 3, sa se arate ca pentru orice b, c ∈ R polinomul f nu poate avea toate radacinile reale.

c) Sa se determine a, b, c ∈ Q, s,tiind ca restul ımpart,irii lui f la X−1 este egal cu 3 s, i f are radacina −1+√2.

Pentru a, b, c determinat, i, rezolvat,i ın mult, imea numerelor complexe ecuat,ia f(x) = 0.

3. a) Sa se defineasca inelul fara divizori ai lui zero s, i sa se dea un exemplu de inel fara divizori ai lui zero.

b) Admitem ca mult, imea A = {f | f : {0; 1} → R} ınzestrata cu operat,ia de adunare s, i de ınmult, ire afunct, iilor, formeaza o structura de inel. Inelul (A,+·) are divizori ai lui zero? Justificat, i raspunsul.

SUBIECTUL II

1. Se considera funct, ia f : D → R (D domeniul maxim de definit, ie), f(x) = ax+√bx2 + cx+ 1, a, b, c parametri

reali, a, b > 0.

a) Sa se determine a, b s, i c astfel ıncat graficul funct, iei sa admita spre +∞ asimptota paralela cu dreaptay = 4x− 2, iar spre −∞ asimptota orizontala y = −1.

b) Pentru a = 2, b = 4 s, i c = 4 sa se reprezinte grafic funct, ia obt, inuta.


∫ a

−a

f(x) dx = 0.

b) Sa se arate ca

∫ 12

− 12

ln1 + x

1− xdx = 0 s, i

∫ π

4

−π

4

x2 sinx dx = 0.



4s, i x =

π

4?

SUBIECTUL III


a) Reprezentat,i punctele s, i calculat, i distant,ele BC s, i AC.


c) Determinat, i centrul s, i raza cercului circumscris triunghiului ABC.

34

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve inecuat, ia log2x−x2

(

x− 3

2

)

> 0.

2. Precizat,i daca exista un numar complex z care sa ındeplineasca simultan condit, iile:

|z − 1− 2i| = 3 s, i Re z ≥ 5.

3. a) Calculat,i determinantul ∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x21 x2

2 x23

x1 x2 x3

1 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, scriind rezultatul ca produs de factori.

b) Sa se demonstreze ca daca polinomul f ∈ C[X ], f = aX2 + bX + c (a, b, c parametri), are trei radacinidistincte, atunci a = b = c = 1.

c) Sa se determine valorile parametrului m pentru care ecuat,ia

(m2 − 3m+ 2)x2 − (m2 − 5m+ 4)x+m−m2 = 0

are cel put, in trei radacini distincte.

SUBIECTUL II

1. Se considera progresia geometrica (bn)n≥1 cu b1 > 0, cu rat,ia q ∈ (0, 1) s, i sumele Sn = b1 + b2 + · · · + bn s, iTn = b31 + b32 + · · ·+ b3n.

a) Sa se calculeze Sn s, i Tn ın funct, ie de b1 s, i q.

b) S, tiind ca limn→∞

Sn = 3 s, i limn→∞

Tn =108

13, sa se afle primul termen b1 s, i rat,ia q.

2. Se considera expresia definita prin f(x) = 3√

x2 + (m− 2)x−m+ 2, m parametru real.

a) Sa se determine mult, imea valorilor lui m pentru care domeniul de definit, ie al funct, iei coincide cu domeniulde derivabilitate.

b) Pentru m = −2 sa se stabileasca monotonia s, i punctele de extrem ale funct, iei obt, inute.

3. Precizat,i daca exista numerele reale a s, i b astfel ıncat funct, ia F (x) =(a

x+ b)

· e 2x sa fie primitiva funct, iei

f(x) =1

x3e

2x pe (0,∞). Justificat, i raspunsul.

SUBIECTUL III

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreapta d : x+ 5 = 0 s, i elipsa E :x2

20+

y2

4= 1.

a) Reprezentat,i grafic elipsa s, i dreapta.

b) Fie B s, i C varfurile situate pe semiaxa pozitiva Oy, respectiv semiaxa Ox negativa. Determinat, i coordonateleunui punct situat pe dreapta d, aflat la egala distant, a de punctele B s, i C.

35

BACALAUREAT 2000SIMULARE - MARTIE

Varianta 1


SUBIECTUL I

Se dau functiile f : R → R, f(x) = x3 + 8x2 − 8 si g : (0,∞) → R, g(x) = lnx.

1. Sa se calculeze (f + g)

(3

4

)

si (f + g)(1).

2. Sa se arate ca f + g este strict crescatoare pe (0,∞).

3. Sa se deduca din 1. si 2. ca ecuatia (f + g)(x) = 0 are o singura radacina ın intervalul

(3

4, 1

)

.

4. Se noteaza cu x1, x2, x3 ∈ C radacinile ecuatiei f(x) = 0 si cu Sn = xn1 + xn

2 + xn3 , n ∈ N, n ≥ 1.

a) Sa se calculeze S1, S2 si S3.

b) Sa se arate ca Sn ∈ Z, (∀) n ≥ 1.

SUBIECTUL II

Se considera multimea G =

A(x) ∈ M3(R) |A(x) =

1 x 00 1 00 0 3x

, x ∈ R

.

1. Sa se arate ca A(x) ·A(y) = A(x + y), (∀) x, y ∈ R.

2. Folosind eventual rezultatul de la 1., sa se arate ca:

a) A(x) · A(y) = A(y) ·A(x), (∀) x, y ∈ R.

b) A(x) · A(0) = A(x), (∀) x ∈ R.

c) A(x) · A(−x) = A(0), (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca (G, ·) este grup comutativ.

3. Sa se calculeze An(2), (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

Se da functia f : D → R, D ⊂ R, f(x) = 4√2− lg x, unde D este domeniul maxim de definitie al functiei.

1. Sa se determine D.

2. Sa se determine x ∈ D astfel ıncat termenul al cincilea din dezvoltarea binomului (1 + xf(x))6 sa fie 15.

3. a) Sa se calculeze f ′(x) pentru x ∈ (0, 100).

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei ın punctul A(10, f(10)).

SUBIECTUL IV

Se defineste sirul (In)n≥0 prin: I0 =

∫ 1

0

ex dx si In =

∫ 1

0

xnex dx, (∀) n ≥ 1.

1. Sa se calculeze I0 si I1.

2. Utilizand integrarea prin parti, sa se demonstreze ca In+1 = e − (n+ 1)In, (∀) n ≥ 0.

3. Sa se arate ca sirul (In)n≥0 este:

a) descrescator;

b) convergent.

4. Sa se calculeze:

a) limn→∞

In;

b) limn→∞

nIn.

1

Varianta 2


SUBIECTUL I

Se considera sistemul

−ax+ y + z = −1

x− ay + z = a

x+ y − z = 2

, unde a este parametru real.

1. Sa se determine valorile lui a pentru care sistemul are solutie unica.

2. Sa se rezolve sistemul pentru a = −1.

3. Sa se arate ca pentru a = 3 sistemul nu are solutii.

SUBIECTUL II

Fie P (X) = X2 − 4X + 3. Pentru orice n ∈ N, n ≥ 4, se defineste sirul (an)n≥4 prin an =1

P (4)+

1

P (5)+

1

P (6)+

. . .+1

P (n)·

1. Sa se demonstreze ca sirul (an)n≥4 este crescator.

2. Sa se arate ca an =(n− 3)(3n− 4)

4(n− 1)(n− 2), (∀) n ≥ 4.

3. Sa se deduca limn→∞

an.

SUBIECTUL III

Pentru fiecare n ∈ N se considera functia fn : R → R, fn(x) = (x2 − 4x+ 3)2n+1.

1. Sa se arate ca fn(x) ≥ fn(2), (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N.

2. Dreapta y = a cu a > −1 intersecteaza graficul functiei ın punctele A si B. Sa se calculeze coordonatelemijlocului segmentului [AB].

3. a) Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiei f2(x) = 0.

b) Sa se afle care dintre radacini sunt puncte de extrem ale functiei f2.

4. Sa se calculeze

∫dx

f0(x), x ∈ (1, 3).

SUBIECTUL IV

Se da polinomul S(X) = (X2 − 4X + 3)7.

1. a) Sa se afle toate radacinile xi, 1 ≤ i ≤ 14 ale polinomului dat.

b) Sa se calculeze

14∑

i=1

xi si

14∑

i=1

1

xi

·

2. Forma algebrica a polinomului dat este S(X) =

14∑

k=0

akXk. Folosind eventual relatiile dintre radacini si coeficienti,

sa se deduca valorile coeficientilor a13 si a1.

3. Sa se demonstreze ca exista p, q ∈ N∗ astfel ıncat S(√2) = p− q

√2.

2

SIMULARE - MARTIEVarianta 1

Profilul economic, fizica-chimie, chimie-biologie

SUBIECTUL I

Fie a, b ∈ (0,∞) si functia f : R\{1} → R, f(x) =ax2 + b

x− 1·

1. Sa se calculeze:

a) limx→∞

f(x)

x·

b) limx→−∞

[f(x) − ax].

c) limx→1x>1

f(x) si limx→1x<1

f(x).

2. a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R\{1}.b) Sa se arate ca functia f ′ are pe R\{1} doua radacini distincte.

c) Sa se determine punctul de maxim al functiei f .

SUBIECTUL II

Fie sirurile (an)n≥1 si (bn)n≥1 definite astfel: an =

(1

3

)n

si bn = ln an, n ≥ 1.

1. Sa se arate ca (∃) q ∈ R astfel ıncat an+1 = qan, (∀) n ≥ 1.

2. a) Sa se calculeze bn+1 − bn, n ≥ 1.

b) Sa se precizeze care dintre cele doua siruri este progresie aritmetica.

3. Sa se calculeze:

a) a1 + a2 + . . .+ an, n ∈ N∗.

b) b1 + b2 + . . .+ bn, n ∈ N∗.

c) limn→∞

n∑

k=1

ak.

d) limn→∞

(

1

2−

n∑

k=1

ak

)

·n∑

k=1

bk.

SUBIECTUL III

Pentru x ∈ R se considera matricea A =

(x− 2 11 x− 2

)

.

1. Sa se determine valorile lui x pentru care det A = 0.

2. a) Sa se calculeze A2.

b) Sa se demonstreze ca A2 = (2x− 4)A− det A · I2.

3. Sa se arate ca A2 = (2x− 4)A daca si numai daca x ∈ {1; 3}.

4. Daca x = 3, sa se demonstreze ca An =

(2n−1 2n−1

2n−1 2n−1

)

, (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se da functia f : [0, 3] → R, f(x) = (x√2−

√3)10.

1. Sa se calculeze

∫

f(x) dx, x ∈ [0, 3].

3

2. Fie F : [0, 3] → R o primitiva a lui f .

a) Sa se studieze monotonia functiei F .

b) Sa se determine punctele de extrem ale functiei F .

3. Sa se rezolve ecuatia F ′′(x) < 0, x ∈ [0, 3].

4. Sa se demonstreze ca tangentele la graficul functiei F ın punctele A(0, F (0)) si B(√6, F (

√6)) sunt paralele.

4

Varianta 2

SUBIECTUL I

Se considera polinomul P (X) = X2(X − 2)2 + a, a ∈ R.

1. Sa se calculeze P (1 − i).

2. Sa se arate ca P (1− i) = P (1 + i).

3. Sa se formeze o ecuatie de gradul al doilea cu coeficienti reali care admite ca radacini numerele 1 + i si 1− i.

4. Daca P (X) are radacina 1 + i, sa se rezolve ecuatia P (x) = 0.

SUBIECTUL II

Se considera f , g : N\{0, 1, 2} → R definite prin f(n) =

∣∣∣∣

C0n C1

n

C2n C3

n

∣∣∣∣, g(n) =

∣∣∣∣

A0n A1

n

A2n A3

n

∣∣∣∣, n ≥ 3.

1. Sa se arate ca f(n) =n− n3

3si g(n) = 2n− 2n2, n ≥ 3.

2. Sa se calculeze limn→∞

f(n)

g(n)si lim

n→∞

f(n2)

g(n3)·

3. a) Sa se arate ca exista A, B ∈ R astfel ıncat1

f(k)=

A

(k − 1)k+

B

k(k + 1), (∀) k ∈ N, k ≥ 3.

b) Sa se calculezen∑

k=1

1

f(k), pentru n ≥ 3 si lim

n→∞

n∑

k=3

1

f(k)·

SUBIECTUL III

Pe R se defineste legea de compozitie ”⋆” prin x ⋆ y = xy − (x+ y)√2 + 2 +

√2, x, y ∈ R.

1. a) Sa se arate ca legea ”⋆” este comutativa.

b) Sa se arate ca intervalul [√2,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

2. a) Sa se determine y ∈ [√2,∞) astfel ıncat x ⋆ y = x, (∀) x ∈ [

√2,∞).

b) Sa se deduca existenta elementului neutru al legii ”⋆” pe [√2,∞).

c) Pentru a ∈ (√2,∞) fixat, sa se determine y ∈ (

√2,∞) care verifica relatia a ⋆ y = 1 +

√2.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : [0, 1] → R, f(x) = ex − 1− cosx.

1. a) Sa se calculeze f(0) si f(1).

b) Sa se demonstreze ca f are cel putin o radacina ın intervalul (0, 1).

2. a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ [0, 1].

b) Sa se demonstreze ca f ′ are semn constant pe [0, 1].

c) Sa se demonstreze ca f are o singura radacina ın intervalul (0, 1).

3. Sa se calculeze:

a)

∫

f(x) dx, x ∈ [0, 1].

b)

∫ 1

0

f(x) dx

5


Profilul industrial silvic, agricol, sportiv-real

SUBIECTUL I

Pentru a, b ∈ R se considera matricea A =

(a− 1 b2 + 1−1 a

)

.

1. a) Sa se calculeze det A.

b) Sa se arate ca det A ≥ 0, (∀) a, b ∈ R.

c) Sa se arate ca det A = 0 ⇔ a = 1 si b = 0.

2. Pentru a = b = 1 sa se calculeze:

a) A2 si A4.

b) A−1 folosind eventual 2. a).

c) A2000.

3. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat A2 = −4I2.

SUBIECTUL II

Fie f : D → R, f(x) = lnx

x+ 1, unde D este domeniul maxim de definitie al functiei.

1. a) Sa se determine D.

b) Sa se determine limx→∞

f(x) si limx→0

f(x).

2. a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ D.

b) Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f .

c) Sa se arate ca exista A, B ∈ R astfel ıncat

f ′(x) =A

x− B

x+ 1, x ∈ D.

d) Sa se calculeze limn→∞

(f ′(1) + f ′(2) + . . .+ f ′(n)).

3. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul A(1, f(1)).

SUBIECTUL III

Pe R se defineste legea ”⋆” prin x ⋆ y = x+ ay + 3, a ∈ R.

1. Sa se arate ca ”⋆” este comutativa ⇔ a = 1.

2. Fie I = [−3,∞) si a = 1. Sa se arate ca:

a) I este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

b) ”⋆” are element neutru pe 1.

c) I contine un singur element simetrizabil ın raport cu legea ”⋆”.

3. Pentru a = 1 sa se rezolve ecuatia x ⋆ x ⋆ x ⋆ x ⋆ x ⋆ x = 37.

SUBIECTUL IV

Se da functia f : R → R, f(x) = (2x− 3)5.

1. Sa se calculeze

∫

f(x) dx.

2. Fie F : R → R o primitiva a functiei f . Sa se calculeze F ′′(x).

3. Stiind ca f(x) = a5x5 + a4x

4 + a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0, sa se calculeze a3 sia4

a5·

6

Varianta 2

SUBIECTUL I

Pentru m ∈ R se considera sistemul

x+ 2y = 3

2x− y = 1

3x+my = 5

.

1. Sa se rezolve sistemul pentru m = 2.

2. Sa se arate ca pentru m 6= 2 sistemul nu are solutii.

3. Intr-un sistem cartezian de coordonate xOy se considera dreptele d1 : x + 2y − 3 = 0, d2 : 2x − y − 1 = 0 sidm : 3x+my − 5 = 0, m ∈ R.

a) Sa se deduca din 1. ca dreptele d1 si d2 se intersecteaza ın A(1, 1).

b) Sa se deduca din 1. si 2. ca A ∈ dm daca si numai daca m = 2.

SUBIECTUL II

Fie f : D → R, f(x) =√x2 − 3x+ 2− x, unde D este domeniul maxim de definitie.

1. Sa se determine D.

2. Sa se determine coordonatele punctului de intersectie al graficului functiei f cu axa Ox.

3. Sa se calculeze:

a) limx→∞

f(x).

b) limx→−∞

f(x)

SUBIECTUL III

Se considera multimea G =

{

A(x) ∈ M2(R)

∣∣∣∣A(x) =

(1 x

0 1

)

x ∈ R

}

.

1. Sa se arate ca A(x)A(y) = A(x+ y), (∀) x, y ∈ R.

2. Sa se arate ca:

a) A(x)A(y) = A(y)A(x), (∀) x, y ∈ R.

b) A(x)A(0) = A(x), (∀) x ∈ R.

c) A(x)A(−x) = A(0), (∀) x ∈ R.

d) (G, ·) este grup comutativ.

3. Sa se calculeze An(3), n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Fie f : (1,∞) → R, f(x) =x2 + ax+ b

x− 1, a, b ∈ R.

1. Sa se determine f ′(x), x ∈ (1,∞).

2. Sa se determine a si b astfel ıncat f(2) = 1 si f ′(2) = 0.

3. Daca a = −3 si b = 3, se cere:

a) Sa se stabileasca semnul lui f ′ pe (1,∞).

b) Sa se determine intervalele de monotonie ale lui f .

4. Sa se calculeze

∫x2 − 3x+ 3

x− 1dx, x ∈ (1,∞) si

∫ 3

2

x2 − 3x+ 3

x− 1dx.

7


Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se demonstreze ca suma S = ab4 + aba + a1b este divizibila cu 7 (termenii sumei sunt numere naturale ınbaza 10).

2. Suma a trei numere naturale este 37. Daca se mareste primul cu 150% din el, al doilea se micsoreaza cu 25%din el, iar al treilea se micsoreaza cu 5, atunci numerele obtinute sunt egale. Sa se afle numerele.

SUBIECTUL II

1. Determinati elementele multimii A =

{

x ∈ Z

∣∣∣∣

6x+ 9

3x+ 2∈ Z

}

2. Sa se determine radacinile polinomului P (X) = 2X3 − 7X2 − 5X + 4, stiind ca P (X) este divizibil cu X + 1.

3. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 9x2−1 − 4 · 3x2−1 + 3 = 0.

b) log3x+ 5

x+ 3+ 2 log9(x+ 1) = 1.

SUBIECTUL III

1. Fie matricea A =

2 x 3x −1 x

1 2 m

.

a) Sa se calculeze det A.

b) Sa se determine valorile parametrului real m astfel ıncat matricea A sa fie inversabila pentru orice x ∈ R.

2. Pe multimea R definim legea de compozitie x ⋆ y = xy + 3x+ 3y + 6.

a) Sa se arate ca (R, ⋆) este monoid comutativ.

b) Sa se gaseasca elementele inversabile ale monoidului.

SUBIECTUL IV

1. Fie un triunghi ABC, dreptunghic ın A, iar D mijlocul segmentului [BC]. Punctul E este simetricul lui B fatade dreapta AD. Sa se arate ca:

a) EC ‖ AD.

b) Punctele A, B, C, E sunt varfurile unui patrulater inscriptibil.

2. Se considera tetraedrul SABC ale carui muchii [SA], [SB], [SC] sunt doua cate doua perpendiculare si BC = a,AC = b, AB = c. Se cere:

a) Sa se calculeze lungimile muchiilor [SA], [SB], [SC].

b) Sa se calculeze volumul tetraedrului SABC.

c) Sa se arate ca proiectia H a lui S pe planul (ABC) coincide cu punctul de concurenta al ınaltimilortriunghiului ABC.

d) Sa se arate ca aria triunghiului SBC este medie proportionala ıntre ariile triunghiurilor HBC si ABC.

8

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Intr-o clasa sunt baieti si fete. Numarul baietilor este cu 3 mai mare decat numarul fetelor. Daca ar mai veni4 baieti si ar pleca 4 fete, atunci numarul baietilor ar fi de doua ori mai mai mare decat numarul fetelor. Sa seafle cati elevi sunt ın clasa.

2. Sa se afle z ∈ Z astfel ıncat fractia3x+ 5

2x− 3sa reprezinte un numar ıntreg.

SUBIECTUL II

Fie ecuatia x2 −mx+m− 1 = 0, unde m este parametru real si x1, x2 solutiile ei.

a) Sa se determine valorile parametrului m pentru care are loc relatia

x21 + x2

2

x1 + x2> x1 + x2.

b) Sa se determine m astfel ıncat x101 + x10

2 = 2.

SUBIECTUL III

1. Sa se rezolve ecuatia log5(x+ 5) = 3− log5(x+ 25).

2. Fie matricea A =

(1 21 0

)

∈ M2(R) si matricea B =

(u v

0 3

)

∈ M2(R). Determinati u, v ∈ R pentru care are

loc egalitatea AB = BA.

3. Pe multimea G = (3,∞) se defineste legea ”⋆” prin x ⋆ y = xy − 3(x+ y) + 12.

a) Sa se arate ca (G, ⋆) este grup comutativ.

b) Sa se rezolve ecuatia x ⋆ 8 = 13.

SUBIECTUL IV

1. Se considera rombul ABCD si un punct F ∈ (BC). Dreapta DF intersecteaza dreapta AB ın E. Notam cu M

mijlocul lui [DF ] si cu G mijlocul lui [EF ]. Sa se arate ca:

a) triunghiurile BEG si CDM sunt asemenea;

b) CD · BG = CM · BE;

c) AD2 = AE · CF .

2. Un paralelipiped dreptunghic are lungimea diagonalei egala cu 5√38 cm si dimensiunile direct proportionale cu

numerele 2, 3 si 5.

a) Sa se calculeze dimensiunile paralelipipedului.

b) Sa se calculeze aria aria totala si volumul paralelipipedului.

c) Paralelipipedul este din lemn. Se vopsesc toate fetele lui, apoi se taie cu plane paralele cu fetele astfel ıncatsa se obtina cuburi cu muchia de 5 cm.

(i) Cate taieturi se vor face ın total.

(ii) Dintre cuburile obtinute cate au vopsite numai trei fete? Dar numai o fata?

9

SESIUNEA IUNIEVarianta 1


SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = ax5 + bx2 + c, a, b, c parametri reali. Sa se determine a, b si c astfelıncat sa fie ındeplinite simultan urmatoarele conditii:

f(0) = 1, f ′(1) = 36,

∫ 1

0

f(x) dx = 3.

2. Se considera matricele I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si A =

0 1 20 0 30 0 0

.

a) Sa se determine matricele A2 si A3.

b) Sa se determine matricea B = 6A5 − 3A2 + 6I2.

c) Sa se calculeze determinantul matricei B.

3. Sa se rezolve ecuatia log2(25x + 7) = 2 + log2(5

x + 1).

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(4, 5), B(−2,−3) si C(5, 4).

a) Sa se calculeze lungimile segmentelor [AB], [BC] si [AC].

b) Sa se arate ca triunghiul ABC este dreptunghic.

c) Sa se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 − 3X2 + aX − 5, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗, definim Sn = xn1 + xn

2 + xn3 , unde x1,

x2, x3 ∈ C sunt radacinile polinomului f .

a) Sa se arate ca S3 − 3S2 + aS1 − 15 = 0.

b) Sa se determine a ∈ R astfel ıncat S3 = −21.

2. Se considera functiile f , F : R → R, f(x) = e−x sinx, F (x) = −1

2e−x sinx− 1

2e−x cosx si In =

∫ (n+1)π

nπ

f(x) dx,

n ∈ N.

a) Sa se arate ca F este o primitiva a functiei f .

b) Sa se calculeze I0 si sa se arate ca Ik = (−1)ke−kπI0, pentru orice k ∈ N.

SUBIECTUL III

Se considera multimea numerelor reale R si submultimea sa G = {a+ b√2 | a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1}.

a) Sa se demonstreze ca daca a, b, c, d ∈ Z si a+ b√2 = c+ d

√2, atunci a = c si b = d.

b) Sa se demontreze ca G este parte stabila a lui R fata de operatia de ınmultire a numerelor reale.

c) Sa se arate ca daca x = a+ b√2 si x ∈ G, atunci x 6= 0 si

1

x∈ G.

d) Sa se gaseasca un element x = a+ b√2 ∈ G cu proprietatea ca b 6= 0.

e) Sa se arate ca multimea G are cel putin 200 de elemente.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f , g : R → R, f(x) =

(3

7

)x

+

(4

7

)x

− 1 si g(x) = f(x)− 1 + x.

10

a) Sa se determine g′(x), pentru orice x ∈ R.

b) Sa se stabileasca semnul functiei g′′ si sa se precizeze monotonia functiei g′.

c) Utilizand teorema lui Rolle pentru functia g sa se demonstreze ca exista c ∈ (0, 1) astfel ıncat g′(c) = 0. Sa searate ca punctul c este unic.

d) Deduceti ca functia g este strict descrescatoare pe (0, c) si strict crescatoare pe (c, 1), unde c este definit lapunctul c).

e) Sa se arate ca pentru orice x ∈ [0, 1], g(x) ≤ 1.

f) Sa se arate ca aria suprafetei plane limitate de graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0, x = 1,

este mai mica decat1

2·

11

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = X3 + 6X2 + 11X + 6.

a) Sa se calculeze f(−1).

b) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la X + 1.

c) Sa se rezolve ecuatia f(x) = 0.

2. Sa se rezolve inecuatia C0n + C1

n + . . .+ Cnn ≥ 64, n ∈ N∗.

3. Se considera functia g : R\{0} → R, g(x) =6x5 + 3x2 + 1

x4. Sa se stabileasca asimptota oblica spre +∞ la

graficul functiei g.

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 4), B(−3,−4) si C(3,−4).




SUBIECTUL II

1. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x ⋆ y = 2xy − 6x − 6y + 21,pentru orice x, y ∈ R.

a) Sa se arate ca legea ”⋆” este asociativa si comutativa.

b) Sa se determine elementul neutru legii ”⋆”.

c) Consideram multimea G = (3,∞). Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

2. Se considera functia f : [0,∞) → R, f(x) = ln(1+x3x). Pentru orice k ∈ N∗ se defineste Ik =

∫ 1

0

3kx

1 + k3kx2dx.

a) Sa se calculeze limx→∞

f(x)

2x·

b) Sa se calculeze Ik, k ∈ N∗.

SUBIECTUL III

1. Sa se arate ca

∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

= (y − x)(z − x)(z − y).

2. Se considera a, b, c, d numere reale distincte doua cate doua. Se definesc functiile f , g : R → R, f(x) =(x− a)(x− b)(x − c)(x− d) si g(x) = x2 + x+ 1.

a) Sa se arate ca f ′(x) = (a− b)(a− c)(a− d).

b) Sa se demonstreze ca ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1a b c d

a2 b2 c2 d2

g(a) g(b) g(c) g(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.

c) Dezvoltand determinantul ∆ dupa ultima linie, deduceti identitatea

g(a)

f ′(a)+

g(b)

f ′(b)+

g(c)

f ′(c)+

g(d)

f ′(d)= 0.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f , g : R → R, f(x) =

(3

8

)x

+

(5

8

)x

− 1 si g(x) = f(x)− 1 + x.

12

a) Sa se determine g′(x), pentru orice x ∈ R.

b) Sa se stabileasca semnul functiei g′′ si sa se precizeze monotonia functiei g′.

c) Utilizand teorema lui Rolle pentru functia g sa se demonstreze ca exista a ∈ (0, 1) astfel ıncat g′(a) = 0. Sa searate ca punctul a este unic.

d) Deduceti ca functia g este strict descrescatoare pe (0, a) si strict crescatoare pe (a, 1), unde a este definit lapunctul c).

e) Deduceti ca pentru orice x ∈ [0, 1], g(x) ≤ 0.

f) Sa se arate ca aria suprafetei plane limitate de graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0, x = 1,

este mai mica decat1

2·

13

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = xex.

a) Sa se determine f ′(x), pentru orice x ∈ R.

b) Sa se rezolve ecuatia f ′(x) = 0.

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

2. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x ⋆ y = x+ y+ 4, pentruorice x, y ∈ R.

a) Sa se arate ca legea ”⋆” este asociativa.

b) Sa se arate ca e = −4 este elementul neutru al legii ”⋆”.

c) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relatia x ⋆ (−x− 8) = −4.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuatie (x+ 3)2 + (y + 5)2 = 169.

a) Sa se determine coordonatele centrului si raza cercului.

b) Sa se verifice ca punctul P (2, 7) este situat pe cerc.

c) Sa se scrie ecuatia tangentei la cerc ın punctul P (2, 7).

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul (1 +X +X2)10 cu forma sa algebrica f = a20X20 + . . .+ a1X + a0.

a) Sa se determine a0 si a1.

b) Sa se calculeze f(1), f(−1), f(i).

c) Sa se calculeze suma coeficientilor polinomului f .

d) Sa se arate ca a0 + a4 + . . .+ a16 + a20 =1

4(f(1) + f(−1) + f(i) + f(−i)).

2. Se considera functiile f , F : (−1,∞) → R, f(x) = (x+1)2 ln(x+1) si F (x) =(x + 1)3

3ln(x+1)− (x+ 1)3

9+

1

9·

a) Sa se arate ca pentru orice x ∈ (−1,∞), F ′(x) = f(x).

b) Sa se calculeze limx→0

F (x)

x2·

SUBIECTUL III

Se considera matricele A =

−4 2 22 −4 22 2 −4

, B =

2 2 22 2 22 2 2

si C = aA+ bB, unde a, b sunt parametri reali.

a) Sa se calculeze determinantul matricei A si sa se determine rangul ei.

b) Sa se demonstreze ca rang(aA+ bB) = 3 daca si numai daca ab 6= 0.

c) Sa se arate ca A2 = −6A si B2 = 6B.

d) Sa se arate ca AB = BA.

e) Sa se demonstreze prin inductie ca daca matricea X ∈ M3(R) astfel ıncat X2 = tX , t ∈ R, atunci pentru

orice n ∈ N∗ avem Xn = tn−1X .

f) Sa se determine matricea Cn, ∀ n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f , F : (0,∞) → R, f(x) =1

xbsi F (x) =

1

1− bx1−b, b ∈ R, b > 1. Pentru n ∈ N, n ≥ 1,

definim sirul an = f(1) + f(2) + . . .+ f(n).

14


b) Utilizand teorema lui Lagrange sa se arate ca pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, exista ck ∈ (k, k + 1) astfel ıncatF (k + 1)− F (k) = f(ck).

c) Sa se arate ca pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, au loc inegalitatile:

1

(k + 1)b< F (k + 1)− F (k) <

1

kb·

d) Sa se arate ca sirul (an)n≥1 este crescator.

e) Utilizand rezultatul de la punctul c), sa se demonstreze ca an <b

b− 1, ∀ n ∈ N∗.

f) Deduceti ca sirul (an)n≥1 este convergent.

15

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 + 4x+ 1 +m, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine m ∈ R astfel ıncat pentru orice x ∈ R, f(x) ≥ 0.

b) Sa se verifice ca pentru orice m ∈ R, avem f(√7− 2) = f(−

√7− 2).

2. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x ⋆ y = x+ y− 4, pentruorice x, y ∈ R.


b) Sa se arate ca e = 4 este elementul neutru al legii ”⋆”.

c) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relatia x ⋆ (−x+ 8) = 4.





SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul (1−X +X2)10 cu forma sa algebrica f = a20X20 + . . .+ a1X + a0.





4(f(1) + f(−1) + f(i) + f(−i)).

2. Se considera functia f : R\{−1; 1} → R, f(x) =2x

x2 − 1·

a) Sa se determine a, b ∈ R cu proprietatea f(x) =a

x+ 1+

b

x− 1, ∀ x ∈ R\{−1; 1}.

b) Sa se calculeze

∫ 3

2

f(x) dx.

SUBIECTUL III


4 −2 −2−2 4 −2−2 −2 4

, B =

−2 −2 −2−2 −2 −2−2 −2 −2

si C = aA+ bB, unde a, b sunt parametri

reali.

a) Sa se calculeze determinantul matricei A si sa se determine rangul ei.

b) Sa se demonstreze ca rang(aA+ bB) = 3 daca si numai daca ab 6= 0.

c) Sa se arate ca A2 = 6A si B2 = −6B.


e) Sa se demonstreze prin inductie ca daca matricea X ∈ M3(R) astfel ıncat X2 = tX , t ∈ R, atunci pentru

orice n ∈ N∗ avem Xn = tn−1X .


SUBIECTUL IV

Se considera functiile f , F : (1,∞) → R, F (x) = ln(1 + lnx) si f(x) =1

x(1 + lnx)· Pentru n ∈ N, n ≥ 2, definim

sirul an = f(1) + f(2) + . . .+ f(n).


16



1

(k + 1)(1 + ln(k + 1))< F (k + 1)− F (k) <

1

k(1 + ln k)·


e) Utilizand rezultatul de la punctul c), sa se demonstreze ca an ≥ F (n+ 1)− F (2), ∀ n ∈ N, n ≥ 2.

f) Deduceti ca limita sirului (an)n≥2 este +∞.

17

Varianta 5


SUBIECTUL I




√5− 1).

2. Sa se rezolve ecuatia log2(9x + 7) = 2 + log2(3

x + 1).

3. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = x3 lnx

a) Sa se determine f ′(x) pentru orice x ∈ (0,∞).

b) Sa se determine primitiva F : (0,∞) → R a functiei f care are proprietatea F (1) = 0.

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii: d1 : x+2y− 3 = 0, d2 : 2x+ y− 3 = 0si d3 : 3x+ 2y − 5 = 0.

a) Sa se determine punctul de intersectie al dreptelor d1 si d2.

b) Sa se arate ca dreptele d1, d2 si d3 sunt concurente.

c) Sa se scrie ecuatia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurenta al celor trei drepte.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 +X2 + aX + 1, a ∈ R si x1, x2, x3 ∈ C radacinile sale. Pentru n ∈ N∗, definimSn = xn

1 + xn2 + xn

3 .

a) Sa se arate ca S3 + S2 + aS1 + 3 = 0.


2. Se considera functiile f , F : R → R, f(x) = a sinx+ b sin 3x+ c sin 5x si F (x) = −a cosx− b

3cos 3x− c

5cos 5x.

a) Sa se arate ca pentru orice x ∈ R, F ′(x) = f(x).

b) Sa se calculeze F(

2kπ +π

2

)

, pentru orice k ∈ Z.

c) Sa se arate ca daca f(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R, atunci F este identic zero.

SUBIECTUL III

a) In multimea numerelor complexe C, sa se demonstreze ca daca z1, z2 ∈ C, atunci

z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2, z1 = z1.

Se noteaza cu z conjugatul lui z.

Se considera M2(C), multimea matricelor patratice de ordin doi peste C, si submultimea

H =

{

A =

(z w

−w z

) ∣∣∣∣z, w ∈ C

}

.

b) Sa se demonstreze ca pentru orice A, B ∈ H , matricea A · B ∈ H .

c) Sa se demonstreze ca daca A ∈ H si are determinantul zero, atunci A = O2.

d) Sa se arate ca daca A ∈ H si A 6= O2, atunci A−1 ∈ H .

e) Sa se gaseasca A, B ∈ H avand proprietatea A ·B 6= B ·A.

SUBIECTUL IV

Pentru orice n ∈ N∗, se considera functia fn :[

0,π

3

]

→ R, fn(x) =sinn x

9 + cos2 x, si integrala In =

∫ π

3

0

fn(x) dx.

18


b) Sa se determine derivata f ′n(x), ∀ x ∈

[

0,π

3

]

, n ∈ N∗.

c) Sa se arate ca functia fn este crescatoare.

d) Sa se demonstreze ca pentru x ∈[

0,π

3

]

are loc relatia 0 ≤ fn(x) ≤ fn

(π

3

)

, n ∈ N∗.

e) Sa se arate ca 0 ≤ In ≤ fn

(π

3

)

· π3, n ∈ N∗.

f) Sa se determine limita sirului (In)n≥1.

19

Varianta 6


SUBIECTUL I

1. Se considera functiile f , g : R → R, f(x) = x2 − 8x+ 1 si g(x) = −x2 + 4x− 17.

a) Sa se arate ca f(x)− g(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R.

b) Sa se calculeze aria suprafetei plane limitate de graficele functiilor f si g, si dreptele de ecuatii x = −1,x = 0.

2. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x⋆y = x+ y− 10, pentru oricex, y ∈ R.

b) Sa se arate ca legea ”⋆” este comutativa.

b) Sa se arate ca legea ”⋆” este asociativa.

c) Sa se arate ca e = 10 este elementul neutru al legii ”⋆”.

d) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relatia x ⋆ (−x+ 20) = 10.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuatie (x− 6)2 + (y − 3)2 = 25.




SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul (1− 2X +X2)10 cu forma sa algebrica f = a20X20 + . . .+ a1X + a0.





4(f(1) + f(−1) + f(i) + f(−i)).

2. Se considera functiile f , F : R → R, f(x) = a cosx+ b cos 2x+ c cos 3x si F (x) = a sinx+b

2sin 2x+

c

3sin 3x.

a) Sa se arate ca functia F este o primitiva a functiei f .

b) Sa se calculeze F (kπ), pentru orice k ∈ Z.

c) Sa se arate ca daca f(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R, atunci F este identic zero.

SUBIECTUL III


z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2, z1 = z1.



H =

{

A =

(z −w

w z

) ∣∣∣∣z, w ∈ C

}

.

b) Sa se demonstreze ca pentru orice A, B ∈ H , matricea A · B ∈ H .

c) Sa se demonstreze ca daca A ∈ H si are determinantul zero, atunci A = O2.

d) Sa se arate ca daca A ∈ H si A 6= O2, atunci A−1 ∈ H .

e) Sa se gaseasca A, B ∈ H avand proprietatea A ·B 6= B ·A.

20

SUBIECTUL IV

Se considera I0 =

∫ 1

0

√1− x dx si Ik =

∫ 1

0

xk ·√1− x dx, ∀ k ∈ N∗.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice k ∈ N∗, Ik =2k

2k + 3· Ik−1.

c) Pentru x ∈ [0, 1) se defineste suma Sn(x) =√1− x + x

√1− x + . . . + xn−1

√1− x, ∀ n ∈ N∗. Sa se arate ca

limn→∞

Sn(x) =1√1− x

·

21

Varianta 7


SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = 2X3 − 3X2 − 17X + 30.

a) Sa se calculeze f(2).

b) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la X − 2.


2. Sa se rezolve ecuatia 2e3x − 3e2x − 17ex + 30 = 0.


∫ x

0

(6t2 − 6t− 17) dt+ 30 = 0.

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(−3, 4), B(5,−2) si C mijlocul segmentului[AB].

a) Sa se determine coordonatele punctului C si lungimea segmentului [AB].

b) Sa se scrie ecuatia cercului de diametru [AB].

c) Sa se scrie ecuatia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(4, 5).

SUBIECTUL II

1. In mult, imea matricelor patratice de ordinul trei peste C, se considera matricele I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si A =

0 3 20 0 10 0 0

.


b) Sa se arate ca pentru orice z ∈ C determinantul matricei I3 + zA este egal cu 1.

c) Sa se demonstreze ca I3 = (I3 +A)(I3 −A+A2).

d) Sa se arate ca matricea I3 +A este inversabila si sa se precizeze inversa sa.

2. a) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R, x 6= 1, are loc identitatea:

x+ x2 + . . .+ xn =xn+1 − x

x− 1·

b) Derivand ambii termeni ai identitatii de la punctul a), sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗,

1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn−1 =nxn+1 − (n+ 1)xn + 1

(x− 1)2·

SUBIECTUL III

Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x⋆y = 2xy−6x−6y+21, pentruorice x, y ∈ R.


b) Sa se determine elementul neutru al legii ”⋆”.

c) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea

x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori

= 2n−1(x − 3)n + 3, ∀n ∈ N∗.

22

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : [0, 1] → R, f(x) =1

x2 + 2x+ 2si se defineste sirul (In) astfel: I0 =

∫ 1

0

f(x) dx si

In =

∫ 1

0

xnf(x) dx, n ∈ N, n ≥ 1.

a) Sa se calculeze I0 si I1.

b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, In+2 + 2In+1 + 2In =1

n+ 1·

c) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N, In+1 ≤ In.

d) Utilizand punctele b) si c) sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, 5In+2 ≤ 1

n+ 1≤ 5In.

e) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 2,1

5(n+ 1)≤ In ≤ 1

5(n− 1)·

f) Sa se arate ca limn→∞

nIn = f(1).

23

Varianta 8


SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = 2X3 −X2 − 5X − 2.


b) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la X + 1.


2. Sa se rezolve ecuatia 2(lnx)3 − (lnx)2 − 5 lnx− 2 = 0, x > 0.


∫ x

0

(6t2 − 2t− 5) dt− 2 = 0.




c) Sa se scrie ecuatia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(6,√7).

SUBIECTUL II

1. In C[X ], multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi, se considera polinomul f = (X + i)6 + (X − i)6, curadacinile x1, x2, . . ., x6 ∈ C.


b) Considerand forma algebrica a polinomului f = a6X6 + a5X

5 + . . .+ a1X + a0, determinati coeficientii a6,a5 si a4.

c) Sa se calculeze suma S = x1 + x2 + . . .+ x6.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = (1 + x)n, n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca pentru orice x ∈ R, f(x) = C0n + C1

nx+ C2nx

2 + . . .+ Cnnx

n, n ∈ N∗.

b) Derivand cele doua expresii ale lui f sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea:

n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2

nx+ 3C3nx

2 + . . .+ nCnnx

n−1, ∀n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

1. Sa se arate ca

∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

= (y − x)(z − x)(z − y).

2. Se considera a, b, c, d numere reale distincte doua cate doua. Se definesc functiile f , g : R → R, f(x) =(x− a)(x− b)(x − c)(x− d) si g(x) = x2 + x+ 1.

a) Sa se arate ca f ′(x) = (a− b)(a− c)(a− d).


∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1a b c d

a2 b2 c2 d2

g(a) g(b) g(c) g(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.


g(a)

f ′(a)+

g(b)

f ′(b)+

g(c)

f ′(c)+

g(d)

f ′(d)= 0.

24

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : [0, 1] → R, f(x) =1

x2 + 4x+ 5si se defineste sirul (In) astfel: I0 =

∫ 1

0

f(x) dx si

In =

∫ 1

0

xnf(x) dx, n ∈ N, n ≥ 1.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, In+2 + 4In+1 + 5In =1

n+ 1·

c) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N, In+1 ≤ In.

d) Utilizand punctele b) si c) sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, 10In+2 ≤1

n+ 1≤ 10In.

e) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 2,1

10(n+ 1)≤ In ≤ 1

10(n− 1)·


nIn = f(1).

25

Varianta 9


SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = X3 − 2X2 − 5X + 6.




2. Sa se rezolve ecuatia (ln x)3 − 2(lnx)2 − 5 lnx+ 6 = 0, x > 0.


∫ x

0

(3t2 − 4t− 5) dt+ 6 = 0.

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii: d1 : 3x− 2y = 0, d2 : x+ 3y− 11 = 0si d3 : 2x− 3y + 5 = 0.




SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 −X2 + aX − 1, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗, definim Sn = xn1 + xn

2 + xn3 , unde x1, x2,

x3 ∈ C sunt radacinile polinomului f .

a) Sa se arate ca S3 − S2 + aS1 − 3 = 0.

b) Sa se determine a ∈ R astfel ıncat S3 = 1.

2. Pentru orice x ∈ [0, 1) se defineste suma

Sn(x) =√1− x+ x

√1− x+ · · ·+ xn−1

√1− x, ∀n ∈ N

∗.

a) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N∗, Sn =√1− x · 1− xn

1− x, x ∈ [0, 1).


Sn(x).

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

√1− x dx.

SUBIECTUL III

In M2(R), multimea matricelor patratice de ordinul doi peste R, se considera matricea X(a) =

(1 + 5a 10a−2a 1− 4a

)

,

a ∈ R.

a) Sa se calculeze determinantul matricei X(a).

b) Pentru orice a, b ∈ R, sa se arate ca X(a) ·X(b) = X(ab+ a+ b).

Se considera multimea G = {X(a) | a ∈ (−1,∞)}.

c) Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M2(R) ın raport cu operatia de ınmultire a matricelor.

d) Sa se determine (X(1))2.

e) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗, (X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R → R, f(x) = cosx− 1 +x2

2·

26

a) Sa se determine f ′ si f ′′.

b) Sa se arate ca f ′(x) > 0, ∀ x ∈ (0,∞) si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ (−∞, 0).

c) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R, f(x) ≥ 0.

d) Pentru functia g : R → R, g(x) = cosx, sa se arate ca aria suprafetei plane limitate de graficul functiei g, axa

Ox si dreptele de ecuatii x = 0, x = 1, este mai mare decat5

6·

27

Varianta 10


SUBIECTUL I





2. Sa se rezolve ecuatia 6(lnx)3 − 5(lnx)2 − 2 lnx+ 1 = 0, x > 0.


∫ x

0

(3t2 − 4t− 5) dt+ 6 = 0.

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii: d1 : x+2y+6 = 0, d2 : 2x+ y+6 = 0si d3 : 3x+ 2y + 10 = 0.




SUBIECTUL II

1. In M2(R), multimea matricelor patratice de ordinul doi peste R, se considera matriceaX(a) =

(1 + 2a a

−2a 1− a

)

,

a ∈ R.

a) Sa se arate ca pentru orice a, b ∈ R, X(a) ·X(b) = X(ab+ a+ b).

Se defineste multimea G = {X(a) | a ∈ (−1,∞)}.b) Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui M2(R) ın raport cu operatia de ınmultire a matricelor.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗, (X(1))n = X(2n − 1).

2. Se considera functia f : [0,∞) → R, f(x) = ln(1+x5x). Pentru orice k ∈ N∗ se defineste Ik =

∫ 1

0

5kx

1 + k5kx2dx.


f(x)

2x·


SUBIECTUL III

1. Sa se arate ca

∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

= (y − x)(z − x)(z − y).

2. Se considera a, b, c numere reale distincte doua cate doua. Se definesc functiile f , g : R → R, f(x) = (x−a)(x−b)(x− c) si g(x) = x2 − 3x+ 2.

a) Sa se arate ca f ′(x) = (a− b)(a− c).


∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b c

g(a) g(b) g(c)

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(c− b).


g(a)

f ′(a)+

g(b)

f ′(b)+

g(c)

f ′(c)= 1.

28

SUBIECTUL IV


2·


b) Sa se arate ca f ′(x) > 0, ∀ x ∈ (0,∞) si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ (−∞, 0).

c) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R, f(x) ≥ 0.

d) Deduceti ca pentru orice x ∈ R are loc inegalitatea cos(x2) ≥ 1− x4

2·

e) Pentru funct, ia g : R → R, g(x) = cos(x2), sa se arate ca aria suprafetei plane limitate de graficul functiei g, axa


10·

29


Profilul economic, fizica-chimie si chimie-biologie

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = ax5 + bx2 + c, unde a, b, c sunt parametri reali. Sa se determine a, b sic astfel ıncat sa fie ındeplinite simultan urmatoarele conditii:

f(0) = 1, f ′(1) = 36,

∫ 1

0

f(x) dx = 3.


(1 00 1

)

si A =

(4 8−2 −4

)

.

a) Sa se determine matricea A2.

b) Sa se determine matricea B = 6A5 − 3A2 + 6I2.

c) Sa se calculeze determinantul matricei B = 6A5 − 3A2 + 6I2.





SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 − 3X2 + aX − 5, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗, definim Sn = xn1 + xn

2 + xn3 , unde x1,

x2, x3 ∈ C sunt radacinile polinomului f .



2. Se considera I(t) =

∫ t

0

(cosx+ 2 sinx) dx, t ∈ (0,∞).

a) Sa se determine I(t), t ∈ (0,∞).

b) Sa se calculeze limt→0

I(t)

t·

SUBIECTUL III

Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x⋆ y = xy− 4x− 4y+20, oricarear fi x, y ∈ R.

a) Sa se arate ca legea este asociativa.

b) Sa se determine e ∈ R astfel ıncat x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R.

Fie multimea G = (4,∞).

c) Sa se arate ca G este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

d) Sa se rezolve ın G ecuatia x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de 10 ori x

= 5.

SUBIECTUL IV

1. Se considera functia f : R\{3} → R, f(x) =ax2 + bx+ c

x− 3, unde a, b, c parametri reali. Sa se determine a, b si c

astfel ıncat graficul functiei f sa admita asimptota y = x+ 2, iar punctul A(1, 1) sa se afle pe grafic.

2. Se considera functia g : R\{3} → R, g(x) =x2 − x− 2

x− 3·

30

a) Sa se stabileasca intervalele de monotonie ale functiei g.

b) Sa se arate ca g(x) = x+ 2 +4

x− 3, oricare ar fi x ∈ R\{3}.

c) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, g(n)(x) = (−1)n(n!)4

(x − 3)n+1, ∀ x ∈ R\{3}.

31

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = X3 + 6X2 + 11X + 6.


b) Sa se determine catul si restul ımpartirii lui f la X + 1.


2. Sa se rezolve ecuatia C0n + C1

n + . . .+ Cnn = 4, n ∈ N∗.





SUBIECTUL II

1. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x ⋆ y = 4xy − 4x − 4y + 5,oricare ar fi x, y ∈ R.



c) Sa se demonstreze ca multimea G = (1,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

2. Se considera functia g : R\{1} → R, g(x) = 4x− 1 +1

x− 1·

a) Sa se determine g′(x), pentru orice x ∈ R\{1}.b) Sa se stabileasca asimptota oblica spre +∞ la graficul functiei g.

c) Sa se calculeze limx→0

g(x)

x·

SUBIECTUL III

1. Sa se arate ca

∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

= (y − z)(z − x)(z − y).

2. Se considera a, b, c numere reale distincte doua cate doua. Se definesc functiile f , g : R → R, f(x) = (x−a)(x−b)(x− c) si g(x) = x2 − 2x+ 3.

a) Sa se arate ca f ′(a) = (a− b)(a− c).


∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b c

g(a) g(b) g(c)

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(c− b).

c) Dezvoltand determinantul ∆ dupa ultima linie deduceti identitatea

g(a)

f ′(a)+

g(b)

f ′(b)+

g(c)

f ′(c)= 1.

SUBIECTUL IV

Se considera integralele I0 =

∫ 1

0

1

4 + x2dx si In =

∫ 1

0

xn

4 + x2dx, n ∈ N∗.


32

b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N este adevarata relatia

4In + In+2 =1

n+ 1·

c) Sa se arate ca pentru orice x ∈ [0, 1], 0 ≤ xn

4 + x2≤ xn, ∀ n ∈ N∗.

d) Sa se determine limita sirului (nIn)n≥1.

33

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x ⋆ y = x+ y+4, pentru oricex, y ∈ R.



c) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relatia x ⋆ (−x− 8) = −4.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = xex.

a) Sa se determine f ′(x), pentru orice x ∈ R.

b) Sa se rezolve ecuatia f ′(x) = 0.

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuatie (x− 5)2 + (y − 4)2 = 25.




SUBIECTUL II

1. In C[X ], multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi, se considera polinomul f = (X + i)7 + (X − i)7, curadacinile x1, x2, . . ., x7 ∈ C.





2. Se considera functiile f , F : (−1,∞) → R, f(x) = (x+1)2 ln(x+1) si F (x) =(x+ 1)3

3ln(x+1)− (x + 1)3

9+

1

9·



F (x)

x2·

SUBIECTUL III

In M2(R), multimea matricelor patratice de ordinul doi peste R, se considera matricea A =

(2 1−2 −1

)

.

a) Sa se calculeze A2.

b) Sa se determine X ∈ M2(R), X =

(x 00 x

)

, astfel ıncat determinantul matricei X +A sa fie egal cu 2.

c) Sa se demonstreze ca, pentru orice n ∈ N∗, An = A.

d) Sa se demonstreze ca, pentru orice n ∈ N∗, A+ 2A2 + . . .+ nAn =n(n+ 1)

2A.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f , F : (0,∞) → R, f(x) = x− 32 si F (x) = − 2√

x·

Pentru n ∈ N, n ≥ 1, definim sirul an = f(1) + f(2) + . . .+ f(n).

34




(k + 1)32 < F (k + 1)− F (k) < k

32 .


e) Utilizand rezultatul de la punctul c), sa se demonstreze ca an < 3, ∀ n ∈ N, n ≥ 1.

f) Deduceti ca sirul (an)n≥1 este convergent.

35

Varianta 4


SUBIECTUL I


a) Sa se determine m ∈ R atfel ıncat pentru orice x ∈ R, f(x) ≥ 0.


√7− 2).

2. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x ⋆ y = x+ y− 4, pentru oricex, y ∈ R.



c) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relatia x ⋆ (−x+ 8) = 4.





SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = (X + 1)5 + (X − 1)5, cu radacinile x1, x2, . . ., x5 ∈ C.





d) Sa se calculeze suma T = x21 + x2

2 + . . .+ x25.

2. Se considera functia f : R\{−1; 1} → R, f(x) =2x

x2 − 1·

a) Sa se determine a, b ∈ R cu proprietatea ca f(x) =a

x+ 1+

b

x− 1, ∀ x ∈ R\{−1, 1}.

b) Sa se calculeze

∫ 3

2

f(x) dx.

SUBIECTUL III


−4 2 22 −4 22 2 −4

, B =

2 2 22 2 22 2 2

si C = A+B.


b) Sa se demonstreze ca rang(A+B) = 3.

c) Sa se arate ca A2 = −6A si B2 = 6B.


e) Sa se demonstreze prin inductie ca daca matricea X ∈ M3(R) astfel ıncat X2 = tX , t ∈ R, atunci pentru orice

n ∈ N∗ avem Xn = tn−1X .


36

SUBIECTUL IV

Pentru orice x ∈ [0, 1) se defineste suma

Sn(x) =√2 + x+ x

√2 + x+ . . .+ xn−1

√2 + x, ∀n ∈ N

∗.

a) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N∗, Sn(x) =√2 + x · 1− xn

1− x, x ∈ [0, 1).


Sn(x).

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

√2 + x dx.

37

Varianta 5


SUBIECTUL I


a) Sa se determine m ∈ R atfel ıncat pentru orice x ∈ R, f(x) ≥ 0.


√5− 2).

2. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = x3 lnx.


b) Sa se determine primitivele functiei f ,

∫

f(x) dx, x ∈ (0,∞).

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii d1 : x+2y− 3 = 0, d2 : 2x+ y− 3 = 0si d3 : 3x+ 2y − 5 = 0.




SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 +X2 + aX + 1, a ∈ R care are radacinile x1, x2, x3 ∈ C.

Pentru n ∈ N∗, definim Sn = xn1 + xn

2 + xn3 .



2. Se considera functiile f , F : R → R, f(x) = a sinx+ b sin 3x+ c sin 5x si F (x) = −a cosx− b

3cos 3x− c

5cos 5x.

a) Sa se arate ca F ′(x) = f(x), ∀ x ∈ R.

b) Sa se calculeze F(

2kπ +π

2

)

, pentru orice k ∈ Z.

c) Sa se calculeze

∫ 5π2

π

2

f(x) dx.

SUBIECTUL III


z1 + z2 = z1 + z2.



H =

{

A =

(z −w

w z

) ∣∣∣∣z, w ∈ C

}

.

b) Sa se demonstreze ca pentru orice A, B ∈ H , matricea A+B ∈ H .

c) Sa se verifice ca matricea O2 =

(0 00 0

)

apartine multimii H .

d) Sa se arate ca daca A ∈ H , atunci −A ∈ H .

e) Sa se arate ca submultimea H a lui M2(C), ımpreuna cu operatia de adunare indusa, formeaza o structura degrup comutativ.

38

f) Sa se demonstreze ca daca A ∈ H si are determinantul zero, atunci A = O2.

SUBIECTUL IV

Se defineste sirul (In)n∈N astfel: I0 =

∫ 1

0

1

x+ 3dx si In =

∫ 1

0

xn

x+ 3dx, n ∈ N, n ≥ 1.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, avem In+1 + 3In =1

n+ 1·

c) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N, avem In+1 ≤ In.

d) Utilizand punctele b) si c), sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, au loc inegalitatile:

4In+1 ≤ 1

n+ 1≤ 4In.

e) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, avem

1

4(n+ 1)≤ In ≤ 1

4n·

f) Sa se arate ca limita sirului (nIn)n≥1 este egala cu1

4·

39

Varianta 6


SUBIECTUL I

1. Se considera functiile f , g : R → R, f(x) = x2 − 8x+ 1 si g(x) = −x2 + 4x− 17.


b) Sa se calculeze aria suprafetei plane limitate de graficele functiilor f si g, si dreptele de ecuatii x = −1,x = 0.

2. Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x⋆y = x+ y− 10, pentru oricex, y ∈ R.

a) Sa se arate ca legea ”⋆” este comutativa.



d) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relatia x ⋆ (−x+ 20) = 10.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuatie (x+ 3)2 + (y + 5)2 = 169.




SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = (1 +X +X2)10 cu forma sa algebrica f = a20X20 + . . .+ a1X + a0.


b) Sa se calculeze f(1), f(−1) si f(i).



4(f(1) + f(−1) + f(i) + f(−i)).


2sin 2x+

c

3sin 3x.



c) Sa se calculeze

∫ π

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III

1. Sa se arate ca

∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

= (y − z)(z − x)(z − y).

2. Se considera a, b, c numere reale distincte doua cate doua. Se definesc functiile f , g : R → R, f(x) = (x−a)(x−b)(x− c) si g(x) = x2 + x+ 1.

a) Sa se arate ca f ′(a) = (a− b)(a− c).


∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b c

g(a) g(b) g(c)

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(c− b).

c) Sa se demonstreze identitateag(a)

f ′(a)+

g(b)

f ′(b)+

g(c)

f ′(c)= 1.

40

SUBIECTUL IV

Pentru orice x ∈ [0, 1) se defineste suma

Sn(x) =√1− x+ x

√1− x+ . . .+ xn−1

√1− x, ∀n ∈ N

∗.

a) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N∗, Sn(x) =√1− x · 1− xn

1− x, x ∈ [0, 1).


Sn(x).

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

√1− x dx.

41

Varianta 7


SUBIECTUL I



b) Sa se determine catul si restul ımpartirii lui f la X − 2.






c) Sa se scrie ecuatia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(4, 5).

SUBIECTUL II


3x− 2y + z = 1

x+ y + 2z = −2

mx− y + 3z = −1

, unde m este un parametru real, si A matricea sistemului.


b) Sa se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat.

c) Pentru m = 4 sa se rezolve sistemul.


x+ x2 + . . .+ xn =xn+1 − x

x− 1, ∀n ∈ N

∗.

b) Derivand ambii membri ai identitatii de la punctul a), sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗ si x ∈ R,x 6= 1,

1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn−1 =nxn+1 − (n+ 1)xn + 1

(x− 1)2·

SUBIECTUL III




c) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea:

x ⋆ x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= 2n−1(x− 3)n + 3, ∀n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : R\{−1; 1} → R, f(x) =2x

x2 − 1si g : R\

{

−1

3

}

→ R, g(x) =1

3x+ 1·

42

a) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca pentru orice x ∈ R\{

−1

3

}

,

g(n)(x) = (−1)nn!3n

(3x+ 1)n+1·

b) Sa se determine a, b ∈ R cu proprietatea f(x) =a

x+ 1+

b

x− 1, ∀ x ∈ R\{−1; 1}.

c) Sa se calculeze

∫ 3

2

f(x) dx.

43

Varianta 8


SUBIECTUL I









c) Sa se scrie ecuatia tangentei la cercul de diametru [AB] care trece prin punctul D(6,√7).

SUBIECTUL II


−x− 2y + 3z = 1

2x− y − z = 2

mx− 3y + 2z = 3







nx+ C2nx

2 + . . .+ Cnnx

n, n ∈ N∗.

b) Derivand cele doua expresii ale lui f sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea

n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2

nx+ 3C3nx

2 + . . .+ nCnnx

n−1, ∀n ∈ N∗.

SUBIECTUL III


z1 + z2 = z1 + z2.



H =

{

A =

(z w

−w z

) ∣∣∣∣z, w ∈ C

}

.



(0 00 0

)





44

SUBIECTUL IV

Se defineste sirul (In)n∈N astfel: I0 =

∫ 1

0

1

x+ 2dx si In =

∫ 1

0

xn

x+ 2dx, n ∈ N, n ≥ 1.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, avem In+1 + 2In =1

n+ 1·

c) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N, avem In+1 ≤ In.

d) Utilizand punctele b) si c), sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, au loc inegalitatile:

3In+1 ≤ 1

n+ 1≤ 3In.

e) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, avem

1

3(n+ 1)≤ In ≤ 1

3n·

f) Sa se arate ca limita sirului (nIn)n≥1 este egala cu1

3·

45

Varianta 9


SUBIECTUL I










SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 −X2 + aX − 1, a ∈ R care are radacinile x1, x2, x3 ∈ C.


2 + xn3 .



2. Se considera functia f : [0,∞) → R, f(x) = ln(1+ x5x) si pentru orice k ∈ N∗ se noteaza Ik =

∫ 1

0

5kx

1 + k5kxdx.

a) Sa se arate calculeze limx→∞

f(x)

2x·


SUBIECTUL III

In M2(R), multimea matricelor patratice de ordin doi peste R, se considera matricea X(a) =

(1 + 5a 10a−2a 1− 4a

)

,

a ∈ R.



c) Sa se determine (X(1))2.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗,

(X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV


2·


b) Sa se arate ca f ′(x) > 0, ∀ x > 0 si f ′(x) < 0, ∀ x < 0.

c) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R, avem f(x) ≥ 0.

d) Pentru functia g : R → R, g(x) = cosx, sa se arate ca aria suprafetei plane limitate de graficul functiei g, axa


6·

46

Varianta 10


SUBIECTUL I






3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii d1 : x+2y+6 = 0, d2 : 2x+ y+6 = 0si d3 : 3x+ 2y + 10 = 0.




SUBIECTUL II





x ⋆ x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= 3n−1(x− 2)n + 2, ∀n ∈ N∗.

2. Se considera functia f : (−1,∞) → R, f(x) = (x+ 1)2 ln(x + 1).

a) Sa se stabileasca primitiva functiei f , F : (−1,∞) → R, care are proprietatea F (1) = 0.


F (x)

x− 1, unde F este primitiva determinata la punctul a).

SUBIECTUL III

In multimea matricelor patratice de ordin trei peste R, se considera matricele I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si A =

0 3 20 0 10 0 0

.


b) Sa se arate ca pentru orice z ∈ C determinantul matricei I3 + zA este egal cu 1.

c) Sa se demonstreze ca I3 = (I3 +A)(I3 −A+A2).

d) Sa se arate ca matricea I3 +A este inversabila si sa se precizeze inversa.

SUBIECTUL IV


∫ 1

0

1

1 + x2dx s, i In =

∫ 1

0

xn

1 + x2dx, n ∈ N∗.


b) Sa se arate ca pentru orice x ∈ [0, 1], 0 ≤ xn

1 + x2≤ xn, ∀ n ∈ N∗.

c) Sa se demonstreze ca 0 ≤ In ≤ 1

n+ 1, ∀ n ∈ N∗.

d) Sa se determine limita s, irului (nIn)n≥1.

47


Profilurile industrial, agricol, silvic s, i sportiv - real

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = ax5 + bx2 + c, unde a, b, c sunt parametri reali. Sa se determine a, b si

c astfel ıncat sa fie ındeplinite simultan urmatoarele condit, ii: f(0) = 1, f ′(1) = 36,

∫ 1

0

f(x) dx = 3.

2. Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = x+ y+5, pentru oricex, y ∈ R.



c) Sa se arate ca e = −5 este elementul neutru al legii ”⋆”.

3. Sa se rezolve ın R inecuat, ia x2 − x− 2 > −x2 + 2x+ 3.

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(4, 5), B(−2,−3) s, i C(5, 4).




SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve ecuat, ia log2(9x + 7) = 2 + log2(3

x + 1).

2. Se considera funct, ia f : R\{−1} → R, f(x) =x2

x+ 1·


f(x).

b) Sa se determine f ′(x) pentru orice x ∈ R\{−1}.c) Sa se rezolve ecuat, ia f ′(x) = 0.

d) Sa se stabileasca intervalele de monotonie ale funct, iei f .

SUBIECTUL III

In M2(R) se considera matricea A =

(4 −62 −3

)

.


b) Sa se determine matricele X ∈ M2(R), X =

(x 00 x

)


c) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, An = A.

d) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, A+ 2A2 + · · ·+ nAn =n(n+ 1)

2A.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = ex − e−x.

a) Sa se rezolve ecuat, ia f(x) = 0.

b) Sa se stabileasca semnul funct, iei f .

c) Sa se calculeze aria suprafet,ei limitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = −1, x = 2.

d) Sa se determine f ′(x) s, i f ′′(x), pentru orice x ∈ R.

e) Sa se calculeze suma S = f ′(0) + f ′′(0) + · · ·+ f (100)(0).

48

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficient, i reali f = X3 + 6X2 + 11X + 6.


b) Sa se determine catul s, i restul ımpart,irii lui f la X + 1.

c) Sa se rezolve ecuat, ia f(x) = 0.

2. Sa se rezolve C2n = 6, n ∈ N, n ≥ 2.

3. Se considera funct, ia g : R∗ → R, g(x) =6x5 + 3x2 + 1

x4. Sa se stabileasca asimptota oblica spre +∞ la graficul

funct, iei g.

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 4), B(−3,−4) s, i C(3,−4).




SUBIECTUL II


x− 2y + 3z = −3

2x+ y + z = 4

mx− y + 4z = 1

, unde m este un parametru real s, i A matricea sistemului.




2. Se considera funct, ia g : R\{1} → R, g(x) = 4x− 1 +1

1− x·

a) Sa se determine g′.

b) Sa se stabileasca intervalele de monotonie ale funct, iei g.

c) Sa se demonstreze ca g(n)(x) =n!

(1 − x)n+1, ∀ n ∈ N, n ≥ 2.

SUBIECTUL III

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x⋆y = 2xy−6x−6y+21, pentruorice x, y ∈ R.

a) Sa se arate ca x ⋆ y = 2(x− 3)(y − 3) + 21, pentru orice x, y ∈ R.

b) Sa se arate ca legea ”⋆” este asociativa si comutativa.

c) Sa se rezolve ın R ecuat, ia x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de 10 ori x

= 3.

SUBIECTUL IV

Se defines,te s, irul (In) astfel: I0 =

∫ 1

0

1

x+ 5dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x+ 5dx, n ∈ N∗.


b) Sa demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, In+1 + 5In =1

n+ 1·

c) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, In+1 ≤ In.

49

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Se considera funct, iile f , g : R → R, f(x) = x2 − 4x+ 5 s, i g(x) = −x2 + 8x− 13.


b) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficele funct, iilor f s, i g, s, i dreptele de ecuat, ii x = −1,x = 0.

2. Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = x+ y+4, pentru oricex, y ∈ R.



3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuat,ie (x− 6)2 + (y − 3)2 = 25.

a) Sa se determine coordonatele centrului s, i raza cercului.


c) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la cerc ın punctul P (9, 7).

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = (X + i)5 + (X − i)5, cu radacinile x1, x2, . . ., x5 ∈ C.



4 + · · ·+ a1X + a0, determinat, i coeficient, ii a5,a4 s, i a3.

c) Sa se calculeze suma S = x1 + x2 + · · ·+ x5.

2. Sa se calculeze limx→0

2x − 1

x·

SUBIECTUL III


−4 2 22 −4 22 2 −4

, B =

2 2 22 2 22 2 2

s, i C = A+B.


b) Sa se demonstreze ca rang(A+B) = 3.

c) Sa se arate ca A2 = −6A s, i B2 = 6B.


e) Sa se demonstreze prin induct, ie ca daca matricea X ∈ M3(R) astfel ıncat X2 = tX , t ∈ R, atunci pentru orice

n ∈ N∗ avem Xn = tn−1X .

f) Sa se calculeze matricea C8.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, iile f , F : (−1,∞) → R, f(x) = (x + 1)2 ln(x+ 1) s, i F (x) =(x + 1)3

3ln(x+ 1)− (x+ 1)3

9+

1

9.

a) Sa se arate ca F este o primitiva a funct, iei f .


F (x)

x2·

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

50

Varianta 4


SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + 4x+ 1 +m, unde m este un parametru real.



√7− 2).

2. Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = x+ y− 4, pentru oricex, y ∈ R.



3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(5, 6), B(−1,−2) s, i C(6, 5).




SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = (X + 1)5 + (X − 1)5, cu radacinile x1, x2, . . ., x5 ∈ C.



4 + · · ·+ a1X + a0, determinat, i coeficient, ii a5s, i a4.


2. Se considera funct, ia g : R\{1} → R, g(x) = 4x− 1 +1

1− x·

a) Sa se determine g′.

b) Sa se stabileasca semnul funct, iei g′ s, i sa se precizeze intervalele de monotonie ale funct, iei g.

c) Sa se stabileasca semnul funct, iei g.

d) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficul funct, iei g, axa Ox s, i dreptele de ecuat,ii x = 0,

x =3

4·

SUBIECTUL III

In M2(R) se considera matricea A =

(2 −12 −1

)

.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, An = A.

c) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, A+ 2A2 + · · ·+ nAn =

n(n+ 1)

2A.

SUBIECTUL IV


∫ 1

0

1

x+ 1dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x+ 1dx, n ∈ N

∗.


b) Sa demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, In+1 + In =1

n+ 1·


51

Varianta 5


SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + 2x+ 1 +m, unde m este un parametru real.



√5− 1).

2. Sa se rezolve ecuat, ia log2(9x + 7) = 2 + log2(3

x + 1).

3. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = x3 lnx.


b) Sa se rezolve ecuat, ia f ′(x) = 0, x ∈ (0,∞).

4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii d1 : x+2y− 3 = 0, d2 : 2x+ y− 3 = 0s, i d3 : 3x+ 2y − 5 = 0.

a) Sa se determine punctul de intersect,ie al dreptelor d1 s, i d2.

b) Sa se arate ca dreptele d1, d2 s, i d3 sunt concurente.

c) Sa se scrie ecuat, ia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul de concurent, a al celor trei drepte.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 +X2 + aX + 1, a ∈ R, care are radacinile x1, x2, x3 ∈ C.


2 + xn3 .



c) Sa se arate ca pentru orice a ∈ Z numar par, polinomul f nu are radacini rat, ionale.

2. Se considera funct, iile f , F : R → R, f(x) = a sinx+ b sin 3x+ c sin 5x s, i F (x) = −a cosx− b

3cos 3x− c

5cos 5x.

a) Sa se arate ca funct, ia F este o primitiva a funct, iei f .

b) Sa se calculeze

∫ 2π

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III

a) In mult, imea numerelor complexe C, sa se demonstreze ca daca z1, z2 ∈ C, atunci

z1 + z2 = z1 + z2.


Se considera M2(C), mult, imea matricelor patratice de ordin doi peste C, s, i submult, imea

H =

{

A =

(z −w

w z

) ∣∣∣∣z, w ∈ C

}

.

b) Sa se demonstreze ca pentru orice A, B ∈ H , avem A+B ∈ H .

c) Sa se arate ca daca A ∈ H , atunci −A ∈ H .

d) Sa se demonstreze ca daca A ∈ H s, i are determinantul zero, atunci A = O2.

SUBIECTUL IV


∫ 1

0

1

x+ 3dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x+ 3dx, n ∈ N∗.


b) Sa demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, In+1 + 3In =1

n+ 1·


52

Varianta 6


SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f , g : R → R, f(x) = x2 − 8x+ 1 s, i g(x) = −x2 + 4x− 17.


b) Sa se calculeze aria suprafet,ei plane limitate de graficele funct, iilor f s, i g, s, i dreptele de ecuat, ii x = −1,x = 0.

2. Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x⋆y = x+ y− 10, pentru oricex, y ∈ R.




d) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relat,ia x ⋆ (−x+ 20) = 10.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuat,ie (x− 5)2 + (y − 4)2 = 25.

a) Sa se determine coordonatele centrului s, i raza cercului.


c) Sa se scrie ecuat, ia tangentei la cerc ın punctul P (9, 7).

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = (1 +X +X2)10 cu forma sa algebrica f = a20X20 + . . .+ a1X + a0.


b) Sa se calculeze f(1), f(−1) si f(i).


d) Sa se arate ca a0 + a4 + · · ·+ a16 + a20 =1

4(f(1) + f(−1) + f(i) + f(−i)).


2sin 2x+

c

3sin 3x.



c) Sa se calculeze

∫ π

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III


z1 + z2 = z1 + z2.



H =

{

A =

(z w

−w z

) ∣∣∣∣z, w ∈ C

}

.



(0 00 0

)



53



SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia g : R\{0} → R, g(x) =6x5 + 3x2 + 1

x4·

1. Sa se arate ca dreapta x = 0 este asimptota verticala.

2. Sa se stabileasca asimptota oblica spre +∞ la graficul funct, iei g.

54

Varianta 7


SUBIECTUL I






3. Se considera funct, ia g : R → R, g(x) = x4 − 2x3 − 17x2 + 60x− 10. Sa se stabileasca semnul funct, iei g′.


a) Sa se determine coordonatele punctului C s, i lungimea segmentului [AB].

b) Sa se scrie ecuat, ia cercului de diametru [AB].

c) Sa se verifice daca punctul D(4, 5) este situat pe cercul de diametru [AB].

SUBIECTUL II


3x− 2y + z = 1

x+ y + 2z = −2

mx− y + 3z = −1






x+ x2 + . . .+ xn =xn+1 − x

x− 1, ∀n ∈ N

∗.

b) Derivand ambii membri ai identitatii de la punctul a), sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗ si x ∈ R,x 6= 1,

1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn−1 =nxn+1 − (n+ 1)xn + 1

(x− 1)2·

SUBIECTUL III

Se considera multimea numerelor reale R pe care se defineste legea de compozitie x⋆y = 2xy−6x−6y+21, oricarear fi x, y ∈ R.



c) Sa se demonstreze ca multimea G = (3,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

SUBIECTUL IV


∫ 1

0

1

4 + x2dx si In =

∫ 1

0

xn

4 + x2dx, n ∈ N∗.


b) Sa se arate ca pentru orice x ∈ [0, 1], ≤ xn

4 + x2≤ xn, ∀ n ∈ N∗.


n+ 1, ∀ n ∈ N∗.

d) Sa se determine limita sirului (In)n≥1.

55

Varianta 8


SUBIECTUL I









c) Sa se verifice daca punctul D(6,√7) este situat pe cercul de diametru [AB].

SUBIECTUL II


−x− 2y + 3z = 1

2x− y − z = 2

mx− 3y + 2z = 3







nx+ C2nx

2 + · · ·+ Cnnx

n, n ∈ N∗.

b) Derivand cele doua expresii ale lui f sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea

n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2

nx+ 3C3nx

2 + · · ·+ nCnnx

n−1, ∀n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy + x+ y, pentru oricex, y ∈ R.

a) Sa se calculeze 7 ⋆ 5.

b) Sa se rezolve ın R ecuat, ia x ⋆ x = 0.

c) Sa se arate ca x ⋆ y = y ⋆ x, pentru orice x, y ∈ R.

d) Sa se determine e ∈ R astfel ıncat x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R.

e) Sa se demonstreze ca mult, imea G = (−1,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia f : R\{−1} → R, f(x) =x2 + 3x+ 3

x+ 1·


f(x).

b) Sa se determine f ′(x) pentru orice x ∈ R\{−1}.c) Sa se rezolve ecuat, ia f ′(x) = 0.

d) Sa se arate ca f(x) =1

x+ 1+ x+ 2, ∀ x ∈ R\{−1}.

e) Sa se calculeze

∫ 3

0

f(x) dx.

56

Varianta 9


SUBIECTUL I










SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 −X2 + aX − 1, a ∈ R care are radacinile x1, x2, x3 ∈ C.


2 + xn3 .



2. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = 2x(1 + lnx).


b) Sa se calculeze

∫ 4

1

f(x) dx.

SUBIECTUL III


(1 + 5a 10a−2a 1− 4a

)

,

a ∈ R.





(X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV

Se considera funct, iile f , F : R → R, f(x) = (x− 1)ex s, i F (x) = (x− 2)ex + e.

a) Sa se arate ca funct, ia F este o primitiva a funct, iei f .


F (x)

(x− 1)2·

c) Sa se calculeze limx→∞

F (x)

xex·

57

Varianta 10


SUBIECTUL I






3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii d1 : x+2y+6 = 0, d2 : 2x+ y+6 = 0si d3 : 3x+ 2y + 10 = 0.




SUBIECTUL II





x ⋆ x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= 3n−1(x− 2)n + 2, ∀n ∈ N∗.

2. Se considera functiile f , F : (−1,∞) → R, f(x) = (x+1)2 ln(x+1) s, i f(x) =(x+ 1)3

3ln(x+1)− (x+ 1)3

9+

1

9·

a) Sa se calculeze F (0).

b) Sa se arate ca funct, ia F este o primitiva a funct, iei f .


F (x)

x2·

SUBIECTUL III

Se considera matricea A =

(5 00 1

)

.

Pentru orice n ∈ N∗ se defines,te matricea Bn = A+A2 +A3 + · · ·+An.

a) Sa se determine A2 s, i A3.

b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, An =

(5n 00 1

)

.

c) Sa se determine matricea Bn, n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV


∫ 1

0

1

4− x2dx si In =

∫ 1

0

xn

4− x2dx, n ∈ N∗.


b) Sa se arate ca pentru orice x ∈ [0, 1], 0 ≤ xn

4− x2≤ xn, ∀ n ∈ N

∗.


n+ 1, ∀ n ∈ N∗.

58


Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine toate numerele scrise ın baza 10 de forma abbc, divizibile cu 45, s,tiind ca a este cifra para.

2. Un elev are o suma de bani. Dupa ce dubleaza aceasta suma, cheltuies,te 150000 de lei. Apoi dubleaza sumaramasa s, i mai cheltuies,te ınca 200000 lei. Dupa ce dubleaza noul rest s, i cheltuies,te ınca 250000 lei, constata cai-au ramas 100000 de lei.

a) Care este suma init, iala pe care a avut-o elevul?

b) Care este suma pe care a avut-o elevul ınainte de a cheltui 250000 de lei?

SUBIECTUL II

1. Se considera binomul la putere (x− 2y)8, x, y ∈ R.

a) Sa se calculeze suma coeficient, ilor dezvoltarii binomului.

b) Sa se determine termenul din mijloc al dezvoltarii.

2. In M2(R), mult, imea matricelor patratice de ordinul doi peste R, se considera matricea A =

(2 2

−2 −1

)

.



(x 00 x

)

astfel ıncat determinantul matricei X +A sa fie egal cu 2.


d) Sa se demonstreze ca, pentru orice n ∈ N∗,

A+ 2A2 + · · ·+ nAn =n(n+ 1)

2A.

SUBIECTUL III




c) Sa se demonstreze ca mult, imea G = (2,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea:

x ⋆ x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= 3n−1(x− 2)n + 2, ∀n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera tetraedrul regulat ABCD de muchie 2√3 cm.

a) Sa se calculeze volumul tetraedrului.

b) Sa se demonstreze ca dreptele AB s, i CD sunt perpendiculare.

59

Varianta 2

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Numerele 294, 499 s, i 361 ımpart,ite la acelas,i numar natural n dau resturile 14, 9, respectiv 11. Sa se determinenumarul natural n.

2. In doua magazii se afla depozitate porumb s, i orez.

a) Cantitat,ile de porumb din cele doua magazii sunt direct proport,ionale cu numerele 7 s, i 11, iar ın primamagazie sunt cu 840 t mai put, in decat ın a doua. Care este cantitatea de porumb din a doua magazie?

b) 20% din cantitatea de orez depozitata ın prima magazie este egala cu 60% din cantitatea de orez din a douamagazie. Dupa ce se scot 400 t de orez din fiecare magazie, ın prima magazie ramane de 4 ori mai multorez decat ın a doua. Ce cantitate de orez a fost depozitata init, ial ın fiecare magazie?

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul cu coeficient, i reali f = X3 + 2X2 − 5X − 6.





x+ 2y − 3z = 1

2x− y + z = 2

mx+ y − 2z = 3

, unde m este un parametru real s, i A matricea sistemului.


b) Sa se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

SUBIECTUL III

Se considera mult, imea numerelor reale R s, i submult, imea sa

G = {a+ b√2 | a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1}.

a) Sa se demonstreze ca daca a, b, c, d ∈ Z s, i a+ b√2 = c+ d

√2, atunci a = c s, i b = d.

b) Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui R fat, a de operat,ia de ınmult, ire a numerelor reale.

c) Sa se arate ca daca x = a+ b√2 s, i x ∈ G, atunci x 6= 0 s, i

1

x∈ G.

SUBIECTUL IV

Se considera triunghiul echilateral ABC cu AB = 3 cm s, i dreapta AM perpendiculara pe planul (ABC) astfelıncat AM =

√6 cm. Pe laturile [AB] s, i [AC] se fixeaza punctele E s, i F astfel ıncat AE = 2BE, respectiv CF = 2AF .

a) Sa se calculeze perimetrul triunghiului AEF .

b) Sa se demonstreze ca planele (EFM) s, i (AFM) sunt perpendiculare.

60

Varianta 3

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine toate numerele naturale scrise ın baza 10, de forma 27xxy, divizibile cu 45.

2. Barbu are 57 de ani, varsta lui Dan este media aritmetica a varstelor lui Barbu s, i Ion, iar Ion are 13 ani.

a) Ce varsta are Dan?

b) Cu cat, i ani ın urma varsta lui Barbu a fost de 12 ori mai mare decat varsta lui Dan?

c) Peste cat, i ani varstele lui Barbu, Dan s, i Ion vor fi direct proport,ionale cu numerele 7, 5 s, i respectiv 3?

SUBIECTUL II


a) C3n = 10, n ∈ N, n ≥ 3;

b) log2(x+ 2) + log2 x = 3, x ∈ (0,+∞).

2. Se considera polinomul f = X3 +X2 + aX + 1, a ∈ R.


2 + xn3 , unde x1, x2, x3 ∈ C sunt radacinile polinomului f .



SUBIECTUL III


(1− a −2aa 1 + 2a

)

,

a ∈ R.





(X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV

Se considera trapezul ABCD cu proprietatea m(∢A) = m(∢D) = 90◦, AB = 4 cm, AD = 8 cm s, i DC = 10 cm.In punctul B se ridica perpendiculara BP pe planul (ABC) astfel ıncat BP = 3 cm.

a) Sa se calculeze perimetrul trapezului.

b) Sa se calculeze volumul piramidei PABCD.

61

Varianta 4

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se demonstreze ca numarul 102000 + 9998 este divizibil cu 18.

2. In prima luna pret,ul unui produs a crescut cu 12%. In a doua luna pret,ul produsului a scazut cu 25%. S-aconstatat ca fat, a de pret,ul init, ial produsul costa cu 100000 lei mai put, in. Care a fost pret,ul init, ial al produsului?

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul cu coeficient, i reali f = 2X3 −X2 − 5X − 2.

a) Sa se arate calculeze f(2).

b) Sa se determine catul s, i restul ımpart,irii lui f la X − 2.



a) C2n = 6, n ∈ N, n ≥ 2;

b) 2e3x + 5e2x + ex − 2 = 0, x ∈ R.

SUBIECTUL III


(1 + 2a a

−2a 1− a

)

,

a ∈ R.





(X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV

Se considera V ABCD o piramida ın care baza ABCD este romb de latura a cm, m(∢BAD) = m(∢BVD) = 60◦,O punctul de intersect,ie al diagonalelor rombului, iar dreapta V O este perpendiculara pe planul (ABC).

a) Sa se calculeze perimetrul triunghiului BCD.

b) Sa se calculeze volumul piramidei V ABCD.

62

Varianta 5

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine x ∈ Z, x 6= −2, astfel ıncat fract, ia3x− 4

x+ 2sa reprezinte un numar natural.

2. Intr-o curte sunt gaini s, i iepuri, ın total 35 capete.

a) Numarul total de picioare poate fi 68?

b) Daca numarul total de picioare este 90, sa se determine numarul de iepuri.

c) Daca numarul de gaini este cuprins ıntre 18 s, i 26, sa se determine ıntre ce valori este cuprins numarul totalde picioare.

SUBIECTUL II

Se considera polinomul f = (X + 3)4 + (X − 3)4, cu radacinile x1, x2, . . ., x4 ∈ C.



3 + . . . + a1X + a0, determinati coeficientii a4, a3si a2.



2 + · · ·+ x24.

SUBIECTUL III


(1− a a

−2a 1 + 2a

)

,

a ∈ R.





(X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV

Se considera V ABCD o piramida patrulatera regulata cu baza ABCD, iar O este centrul bazei. Latura bazei estede lungime 6 cm, iar ınalt,imea piramidei V O este de lungime 6

√2 cm.

a) Sa se calculeze aria totala a piramidei.

b) Se fixeaza punctul P pe V O astfel ıncat [PV ] ≡ [PA]. Sa se calculeze lungimea segmentului [PO].

63

Varianta 6

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Fie 0, a1a2a3 . . . scrierea zecimala a numarului1

7. Sa se determine a2004.

2. Mergand pe jos 6 ore, calatorind cu autobuzul 3 ore s, i cu trenul 2 ore un excursionist parcurge 528 km. Vitezacu care merge pe jos este de 14 ori mai mica decat viteza autobuzului s, i de 20 de ori mai mica decat vitezatrenului.

a) Care este viteza cu care merge pe jos excursionistul?

b) Care este distant,a pe care o parcurge cu autobuzul?

c) Care este distant,a pe care o parcurge cu trenul?

SUBIECTUL II


x− 2y + 3z = −3

2x+ y + z = 4

mx− y + 4z = 1

, unde m este un parametru real, s, i A matricea sistemului.





a) 42x + 7 · 4x − 16 · 4−x − 10 = 0, x ∈ R.

b) (n− 3)! = 24, n ∈ N, n ≥ 3.

SUBIECTUL III

Se considera mult, imea numerelor reale R s, i submult, imea sa

G = {a+ b√5 | a, b ∈ Z, a2 − 5b2 = 1}.

a) Sa se demonstreze ca daca a, b, c, d ∈ Z s, i a+ b√5 = c+ d

√5, atunci a = c s, i b = d.

b) Sa se demonstreze ca G este parte stabila a lui R fat, a de operat,ia de ınmult, ire a numerelor reale.

c) Sa se arate ca daca x = a+ b√5 s, i x ∈ G, atunci x 6= 0 s, i

1

x∈ G.

SUBIECTUL IV

Se considera paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ ın care diagonala AC′ este de lungime 13 cm s, i sumatuturor muchiilor este de 76 cm.

a) Sa se calculeze aria totala a paralelipipedului.

b) Daca lungimile AB, BC s, i AA′ sunt respectiv proport,ionale cu 6, 8 s, i 24 sa se determine distant,a de la B′ laAD′.

64

Varianta 7

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine numerele naturale x s, i y a caror suma este 88, iar cel mai mare divizor comun al lor este 11.

2. Intr-o curte sunt gaini s, i iepuri, ın total 35 de capete.

a) Daca numarul total de picioare este 90, sa se determine numarul de iepuri.

b) Dupa ce au fost adus, i 6 iepuri numarul total de picioare este de 104. Sa se determine numarul de gaini dincurte.

c) Daca numarul de gaini este cuprins ıntre 18 s, i 26, sa se determine ıntre ce valori este cuprins numarul totalde picioare.

SUBIECTUL II




4 + . . . + a1X + a0, determinat, i coeficient, ii a5, a4s, i a3.



2 + · · ·+ x25.

SUBIECTUL III


(1 + 3a 6a−a 1− 2a

)

,

a ∈ R.




d) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗,

(X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV

Se considera prisma dreapta ABCDA′B′C′D′ ın care ABCD este patrat de latura a, iar muchia laterala AA′ estede lungime 2a. Se noteaza cu E mijlocul muchiei CC′.

1. Sa se calculeze aria totala a prismei.

2. Sa se demonstreze ca triunghiul A′EB este dreptunghic.

65

Varianta 8

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine x ∈ Z, x 6= −2, astfel ıncat fract, ia3x− 4

x+ 2sa reprezinte un numar natural.

2. Un cub omogen are muchia de 2 dm s, i cantares,te 560 g. Din acest cub se tai un cub cu muchia de 1 dm. Catcantares,te acest cub?

3. Sa se determine cel mai mic numar natural de trei cifre care ımpart,it la 3, 4 s, i 5 sa dea de fiecare data restul 1.

SUBIECTUL II


x+ 3y − 2z = 1

3x− y + z = 3

mx+ 2y − z = 4





2. Se considera polinomul f = X3 − 3X2 + aX − 5, a ∈ R.


2 + xn3 , unde x1, x2, x3 ∈ C sunt radacinile polinomului f .



SUBIECTUL III




c) Sa se demonstreze ca mult, imea G = (3,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea:

x ⋆ x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= 2n−1(x− 3)n + 3, ∀n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera SABCD o piramida patrulatera regulata cu baza ABCD, iar O este centrul bazei. Latura bazei arelungimea egala cu 2 cm, iar muchia laterala are lungimea egala cu

√6 cm.

a) Sa se calculeze volumul piramidei.

b) Sa se calculeze aria laterala a piramidei.

66

Varianta 9

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, numarul A = 5n−1 · 2n + 5n · 2n−1 este divizibil cu 70.

2. La prima edit, ie a unui cros au participat mai put, in de 1000 de sportivi, la a doua edit, ie au participat cu 15%mai mult, i sportivi decat la prima edit, ie, iar la a treia edit, ie au participat cu 8% mai put, ini decat la a douaedit, ie. Cat, i sportivi au participat la fiecare din cele trei edit, ii?

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul cu coeficient, i reali f = 5X3 + 14X2 + 7X − 2.

a) Sa se arate calculeze f(−2).




a) e3x − 2e2x − 13ex − 10 = 0, x ∈ R.

b) C0n + C1

n + C2n + · · ·+ Cn

n = 64, n ∈ N, n ≥ 1.

SUBIECTUL III


(1− 3a 6a−2a 1 + 4a

)

,

a ∈ R.





(X(1))n = X(2n − 1).

SUBIECTUL IV

Se considera tetraedrul regulat ABCD de muchie 6 cm, O punctul de intersect,ie al mediatoarelor triunghiuluiBCD.

a) Sa se calculeze volumul tetraedrului ABCD.

b) Se fixeaza punctul H pe segmentul [AO] situat la distant, a egala de toate fet,ele tetraedrului. Sa se determinedistant,a dintre punctele H s, i A.

67

Varianta 10

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine cel mai mic numar natural divizibil cu 9, format din cinci cifre distincte.

2. O echipa formata din 6 lucratori are de efectuat o lucrare. Lucrand individual oricare dintre doi angajat,i arputea efectua lucrarea ın 36 ore, s, i oricare dintre urmatorii 4 ar pute efectua lucrarea ın 72 ore.

a) In cat timp ar efectua lucrarea primii doi angajat,i, daca ar lucra ımpreuna?

b) In cat timp ar efectua lucrarea ultimii patru angajat,i, daca ar lucra ımpreuna?

c) In cat timp executa lucrarea ıntreaga echipa?

SUBIECTUL II

1. Se considera fract,iax2 + (m+ 3)x+m+ 11

x2 + 2x+m+ 5, m ∈ R.

a) Sa se determine m astfel ıncat fract,ia sa aiba sens pentru orice x ∈ R.

b) Sa se determine m astfel ıncat fract,ia sa fie strict pozitiva pentru orice x ∈ R.


2x+ y − 3z = 2

3x− 2y + z = −1

mx− y − 2z = 1



b) Sa se determine valorile lui m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

SUBIECTUL III

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x⋆ y = xy− 4x− 4y+20, pentruorice x, y ∈ R.

a) Sa se calculeze 7 ⋆ 5.


c) Sa se arate ca x ⋆ y = y ⋆ x, pentru orice x, y ∈ R.


e) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea

x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= (x − 4)n + 4, ∀n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera un trunchi de con circular drept ın care sect, iunea axiala este trapezul ABCD ın care AC ⊥ BD,AB = 10 cm s, i CD = 6 cm.

a) Sa se calculeze aria trapezului ABCD.

b) Sa se calculeze volumul trunchiului de con.

68


Profil uman

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = ax5 + bx2 + c, a, b, c parametri reali. Sa se determine a, b s, i c astfelıncat sa fie ındeplinite simultan condit, iile

f(0) = 1, f ′(1) = 36,

∫ 1

0

f(x) dx = 3.

2. Se considera polinomul g = X3 +X − 2.

a) Sa se afle catul s, i restul ımpart,irii polinomului la X − 1.

b) Sa se rezolve ın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia g(x) = 0.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuat, ii d1 : 3x− y − 2 = 0, d2 : x− y = 0.

a) Sa se determine coordonatele punctului de intersect,ie al celor doua drepte.

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(1, 1) s, i are panta 2.

SUBIECTUL II

In M2(R), mult, imea matricelor patratice de ordin doi peste R, se considera matricea A =

(2 −12 −1

)

.



(x 0x 0

)



SUBIECTUL III

Se considera funct, ia f : R\{3} → R, f(x) =x2 − 4x+ 7

x− 3·


f(x).

b) Sa se determine f ′(x) pentru orice x ∈ R\{3}.

c) Sa se arate ca f(x) =4

x− 3+ x− 1, ∀ x ∈ R\{3}.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL IV

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x⋆ y = 4xy− 4x− 4y+5, pentruorice x, y ∈ R.

a) Sa se arate ca legea ”⋆” este asociativa s, i comutativa.


c) Sa se demonstreze ca mult, imea G = (1,+∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”.

69

Varianta 2

Profil uman

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficient, i reali f = X3 + aX2 + bX + 6, a, b ∈ R.

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat f(1) = 0 s, i f(−2) + 30 = 0.

b) Pentru a = −2 s, i b = −5 sa se afle catul s, i restul ımpart,irii lui f la X2 + 1.

c) Pentru a = −2 s, i b = −5 sa se rezolve ecuat, ia f(x) = 0.

2. Sa se rezolve ecuat, ia 42x − 2 · 4x + 6 · 4−x − 5 = 0.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(−3, 3), B(5,−3) s, i C mijlocul segmentului[AB].

a) Sa se determine panta dreptei AB.

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin C s, i are panta4

3·

SUBIECTUL II

Se considera matricea B =

(1 22 4

)

.

a) Sa se arate ca B2 = 5B.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗, Bn = 5n−1B.

c) Sa se determine matricea A = B +B2 + · · ·+B100.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, iile f , F : (0,∞) → R, f(x) = x3 lnx s, i F (x) =x4

4

(

lnx− 1

4

)

+1

16·

a) Sa se calculeze F (1).

b) Sa se arate ca funct, ia F este o primitiva a funct, iei f .

c) Sa se calculeze

∫ e

1

f(x) dx.

2. Se considera funct, ia f : R∗ → R, f(x) =x3 − 3x2 + 4

x2·

Sa se determine f ′(x), pentru orice x ∈ R∗.

SUBIECTUL IV

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x⋆y = 2xy−6x−6y+21, pentruorice x, y ∈ R.

a) Sa se arate ca legea ”⋆” este asociativa s, i comutativa.


c) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈ R are loc identitatea

x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= 2n−1(x − 3)n + 3, ∀n ∈ N∗.

70

Varianta 3

Profil uman

SUBIECTUL I


f(0) = 1, f ′(1) = 38,

∫ 1

0

f(x) dx = 3.

2. Sa se rezolve ecuat, ia lg(3x2 + 12x+ 19)− lg(3x+ 4) = 1, x ∈ (0,∞).




SUBIECTUL II


(2 00 1

)

.

a) Sa se determine x, y, z, t ∈ R astfel ıncat A ·(x y

z t

)

=

(0 33 1

)

.

b) Sa se determine A2 s, i A3.

c) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, An =

(2n 00 1

)

.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (−∞, 5)− {2} → R, f(x) =x2 + x− 6

x2 − 7x+ 10·

a) Sa se calculeze limx→2

f(x).

b) Sa se determine f ′(x), x ∈ (−∞, 5)− {2}.

2. Sa se calculeze

∫ e

1

(x ln x− x) dx.

SUBIECTUL IV




4 + . . . + a1X + a0, determinat, i coeficient, ii a5, a4s, i a3.



2 + . . .+ x25.

71

Varianta 4

Profil uman

SUBIECTUL I


f(0) = 1, f ′(1) = 7, f ′′(0) = 2.

2. Se considera polinomul g = 4X3 + 3X2 + 1.

a) Sa se calculeze g(−1).

b) Sa se afle catul s, i restul ımpart,irii polinomului g la X2 − 1.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuat, ii d1 : 3x+ y + 2 = 0, d2 : x+ y = 0.



SUBIECTUL II

In mult, imea matricelor patratice de ordin doi peste R se considera matricea A =

(1 10 1

)

.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N∗, An =

(1 n

0 1

)

.

c) Sa se determine matricea A+A2 + · · ·+A10.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia g : R∗ → R, g(x) =8x7 + 4x3 + 1

x7·

a) Sa se arate ca dreapta x = 0 este asimptota verticala la graficul funct, iei g.

b) Sa se stabileasca asimptota spre +∞ la graficul funct, iei g.

2. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = 2x(1− lnx).


b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL IV

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 2, pentru oricex, y ∈ R.





e) Sa se rezolve ecuat, ia x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de 100 ori x

= −98.

72

Varianta 5

Profil uman

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficient, i reali f = X3 +mX2 + nX + 9, m, n ∈ R.

a) Sa se determine m s, i n astfel ıncat f(1) = 0 s, i f(2) + 21 = 0.

b) Sa se determine catul s, i restul ımpart,irii lui f la X2 − 1.

c) Sa se rezolve ın mult, imea numerelor complexe ecuat, ia f(x) = 0.

2. Sa se rezolve ecuat, ia 3x − 4 + 3 · 3−x = 0.


a) Sa se determine coordonatele punctului C.

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A s, i B.

SUBIECTUL II


(4 8

−2 −4

)

s, i I2 =

(1 00 1

)

.


b) Sa se determine matricea B = A+ 2A2 + · · ·+ 100A100.

c) Sa se determine x ∈ R astfel ıncat determinantul matricei A+ xI2 sa fie egal cu zero.

SUBIECTUL III

Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = (x+ 1)ex.

a) Sa se determine f ′(x) pentru orice x ∈ R.

b) Sa se stabileasca semnul funct, iei f ′.

c) Sa se precizeze intervalele de monotonie ale funct, iei f s, i sa se arate ca x0 = −2 este punct de minim al lui f .

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL IV

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x⋆ y = xy+4x+4y+12, pentruorice x, y ∈ R.

a) Sa se calculeze 7 ⋆ (−2).


c) Sa se arate ca x ⋆−4x− 15

x+ 4= −3, ∀ x ∈ R\{−4}.


e) Sa se demonstreze ca mult, imea G = (−4,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu legea ”⋆”

73

Varianta 6

Profil uman

SUBIECTUL I


f(0) = 1, f ′(1) = 18,

∫ 1

0

f(x) dx = 3.


(2 1

−2 −1

)

s, i I2 =

(1 00 1

)

.


b) Sa se determine matricea B = 4A3 + 3A2 + I2.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuat, ii d1 : 3x−8y−3 = 0 s, i d2 : 5x+2y−5 = 0.



SUBIECTUL II

Se considera polinomul f = X2 +X + 1 care are radacinile x1, x2 ∈ C.

a) Sa se calculeze x1 + x2.

b) Sa se arate ca x31 = x3

2 = 1.

c) Sa se calculeze x101 + x10

2 .

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x2ex.

a) Sa se determine derivata f ′.

b) Sa se rezolve ecuat, ia f ′(x) = 0.

c) Sa se demonstreze ca exista c ∈ (−2, 0) astfel ıncat f ′′(c) = 0.

2. Se defines,te s, irul (In) astfel:

I0 =

∫ 1

0

1

x+ 1dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x+ 1dx, n ∈ N, n ≥ 1.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, In+1 + In =1

n+ 1·

SUBIECTUL IV


(1 + 2a a

−2a 1− a

)

,

a ∈ R.

a) Pentru orice a, b ∈ R, sa se arate ca X(a) ·X(b) = X(ab+ a+ b).

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗,

(X(1))n = X(2n − 1).

74

Varianta 7

Profil uman

SUBIECTUL I

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = ax4 + bx+ c, a, b, c parametri reali. Sa se determine a, b s, i c astfel ıncatsa fie ındeplinite simultan condit, iile

f(0) = 1, f ′(1) = 22,

∫ 1

0

f(x) dx = 3.


(3 2

−3 −2

)

s, i I2 =

(1 00 1

)

.


b) Sa se determine matricea B = 5A4 + 2A+ I2.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuat, ii d1 : 5x−2y+2 = 0 s, i d2 : 2x+3y−3 = 0.



SUBIECTUL II

Se considera polinomul f = X2 −X + 1 care are radacinile x1, x2 ∈ C.

a) Sa se calculeze x1 + x2.

b) Sa se arate ca x31 = x3

2 = −1.

c) Sa se calculeze x101 + x10

2 .

SUBIECTUL III

Se considera funct, ia f : R\{−1,−2} → R, f(x) =2x+ 3

x2 + 3x+ 2·


f(x).

b) Sa se determine f ′(x) pentru orice x ∈ R\{−1,−2}.

c) Sa se arate ca f(x) =1

x+ 1+

1

x+ 2, ∀ x ∈ R\{−1,−2}.

d) Sa se calculeze

∫ 3

0

f(x) dx.

SUBIECTUL IV


(1− 3a 6a−2a 1 + 4a

)

,

a ∈ R.





(X(1))n = X(2n − 1).

75

Varianta 8

Profil uman

SUBIECTUL I


f(0) = 1, f ′(1) = 7, f ′′(1) = 42.


(−1 1−1 1

)

s, i I2 =

(1 00 1

)

.


b) Sa se determine matricea B = 8A7 + 4A3 + I2.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuat, ii d1 : 2x+y−3 = 0 s, i d2 : 3x+y−4 = 0.



SUBIECTUL II


a) C2n = 10, n ∈ N, n ≥ 2.

b) log2(x+ 2) + log2 x = 3, x ∈ (0,∞).

2. Se considera polinomul f = X3 +X2 + aX + 1, a ∈ R. Pentru n ∈ N∗ definim Sn = xn1 + xn

2 + xn3 , unde x1, x2,

x3 ∈ C sunt radacinile polinomului f . Sa se arate ca S3 + S2 + aS1 + 3 = 0.

SUBIECTUL III

Se considera funct, ia g : R\{0} → R, g(x) =6x5 + 3x2 + 1

x5·



c) Sa se determine derivata g′.

d) Sa se calculeze

∫ 2

1

g(x) dx.

SUBIECTUL IV

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y + 3, pentru oricex, y ∈ R.




d) Sa se verifice ca pentru orice x ∈ R este adevarata relat,ia x ⋆ (−x− 6) = −3.


de 100 ori x

= 397.

76

Varianta 9

Profil uman

SUBIECTUL I


f(0) = −1, f ′(1) = 50,

∫ 1

0

f(x) dx = 1.


(2 1

−2 −1

)

s, i I2 =

(1 00 1

)

.


b) Sa se determine matricea B = 6A5 + 5A4 − I2.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuat, ii d1 : 2x+ 3y = 0 s, i d2 : 5x+ 8y = 0.



SUBIECTUL II

Se consideru polinomul cu coeficient, i reali f = 2X3 −X2 − 5X − 2.




d) Sa se rezolve ecuat, ia C2n = 6, n ∈ N, n ≥ 2.

SUBIECTUL III

Se considera funct, ia f : R\{−1} → R, f(x) =x2 + 3x+ 3

x+ 1·


f(x).

b) Sa se determine f ′(x) pentru orice x ∈ R\{−1}.

c) Sa se rezolve ecuat, ia f ′(x) = 0, x ∈ R\{−1}.

d) Sa se arate ca f(x) =1

x+ 1+ x+ 2, ∀ x ∈ R\{−1}.

e) Sa se calculeze

∫ 3

0

g(x) dx.

SUBIECTUL IV

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = x + y − 4, pentru oricex, y ∈ R.






de 100 ori x

= 4.

77

Varianta 10

Profil uman

SUBIECTUL I

1. Se consideru polinomul cu coeficient, i reali f = X3 − 6X2 + 11X − 6.




2. Sa se rezolve ecuat, ia 32x − 6 · 3x − 6 · 3−x = −11.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuat, ii d1 : 3x−2y−1 = 0 s, i d2 : 2x−3y+1 = 0.


b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctul A(1, 1) s, i are panta −3.

SUBIECTUL II

Se considera matricea B =

(−1 11 −1

)

.

a) Sa se arate ca B2 = −2B.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗, Bn = (−2)n−1B.

c) Sa se calculeze determinantul matricei Bn.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia g : R\{0} → R, g(x) =5x4 + 2x+ 1

x4·



c) Sa se determine derivata g′(x), pentru orice x ∈ R\{0}.

2. Se defines,te s, irul (In) astfel:

I0 =

∫ 1

0

1

x+ 10dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x+ 10dx, n ∈ N, n ≥ 1.


b) Sa se demonstreze ca pentru orice n ∈ N, In+1 + 10In =1

n+ 1·

SUBIECTUL IV

Se considera mult, imea numerelor reale R pe care se defines,te legea de compozit, ie x⋆ y = xy− 4x− 4y+20, pentruorice x, y ∈ R.


b) Sa se arate ca x ⋆4x− 15

x− 4= 5, ∀ x ∈ R\{4}.

c) Sa se determine e ∈ R astfel ıncat x ⋆ e = x, ∀ x ∈ R.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca pentru orice n ∈ N∗,

x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de n ori x

= (x− 4)n + 4.

78

SESIUNEA AUGUSTVarianta 1


SUBIECTUL I

1. a) Fie funct, ia f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c, cu a, b, c ∈ R. Sa se determine a, b, c astfel ıncat f(0) = 2,

f ′(1) = 1 s, i

∫ 1

0

f(x) dx =1

2·

b) Sa se rezolve ecuat, ia 3 · 4x − 5 · 6x + 2 · 9x = 0, x ∈ R.

2. Sa se determine toate numerele naturale n pentru care C2n < 10.

3. Se considera s, irurile (an)n≥1, (bn)n≥1 definite prin:

an = n+ 2 s, i bn = 3n− 2, n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca cele doua s, iruri sunt progresii aritmetice s, i sa se determine rat,ia fiecareia.

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(an, bn), n ≥ 1.

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei care trece prin punctele A1 s, i A2.

c) Sa se demonstreze ca punctele An(an, bn) sunt situate pe dreapta A1A2, ∀ n ≥ 1.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinoamele f = X9 +X8 + · · · +X + 1 cu radacinile x1, x2, . . . , x9 ∈ C s, i g = X2 +X + 1 curadacinile y1, y2 ∈ C.

a) Sa se arate ca y31 = y32 = 1.

b) Sa se arate ca polinomul f divide polinomul X10 − 1.

c) Sa se deduca identitatea x10k = 1, ∀ k ∈ {1, 2, . . . , 9}.

d) Sa se calculeze valoarea expresiei

A = (x1 − y1)(x2 − y1) . . . (x9 − y1)(x1 − y2)(x2 − y2) . . . (x9 − y2).

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =x3 + x2 + 1

x2 + 1·

a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.

b) Sa se studieze monotonia funct, iei f .

c) Sa se determine asimptota oblica la ramura catre +∞ a graficului funct, iei f .

SUBIECTUL III

In M2(R) se considera mult, imea G =

{(a 2bb a

) ∣∣∣∣a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1

}

.

a) Sa se arate ca I2 =

(1 00 1

)

∈ G.

b) Sa se demonstreze ca G este parte stabila ın raport cu ınmult,irea matricelor.

c) Sa se arate ca daca A ∈ G, atunci A−1 ∈ G.

d) Sa se gaseasca o matrice A =

(a 2bb a

)

∈ G cu b 6= 0.

e) Sa se arate ca mult, imea G cont,ine o infinitate de elemente.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 6x + αx − 14x − 15x, unde α ∈ R, α > 0.

79

a) Sa se calculeze f ′(x).

b) Sa se calculeze f(0) s, i f′(0).

c) Sa se determine α astfel ıncat f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.

Consideram α = 35.

d) Sa se calculeze aria cuprinsa ıntre graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 1.

e) Sa se demonstreze ca daca 0 < a < b < c < d s, i a+ d = b + c, atunci an + dn > bn + cn, ∀ n ≥ 2.

f) Deducet, i ca f (n)(0) > 0, ∀ n ≥ 2.

80

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = x2 − 6x+ 9 +m, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine valorile lui m pentru care f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.

b) Sa se determine punctul de minim s, i minimul funct, iei f .

c) Pentru m = 0 sa se determine valorile reale ale lui x pentru care (f ◦ f)(x) = 0.

2. Fie polinomul f = X3 +X + 1. Sa se determine catul s, i restul ımpart,irii polinomului f la X + 2.

3. Se considera s, irurile (an)n≥1, (bn)n≥1, unde an =

(1

2

)n

s, i bn = 9n, ∀ n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca cele doua s, iruri sunt progresii geometrice s, i sa se determine rat,ia fiecareia.




SUBIECTUL II

1. Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = −xy + 5x+ 5y − 20.


b) Sa se arate ca x ⋆ 4 = x, ∀ x ∈ R.

c) Sa se demonstreze ca mult, imea (−∞, 5) este parte stabila ın raport cu legea ”⋆”.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = e2x.

a) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca f (n)(x) = 2ne2x, ∀ n ∈ N∗, ∀ x ∈ R.


f ′(0) + f (2)(0) + · · ·+ f (n)(0)

2n·

SUBIECTUL III


1 1 1 1−2 −2 −2 −2−3 −3 −3 −34 4 4 4

s, i I2 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. Definim B = A+ I4.

a) Sa se calculeze determinantul s, i rangul matricei A.

b) Sa se calculeze A2.

c) Sa se arate ca B2 = 2B − I4.

d) Sa se demonstreze ca B este inversabila s, i sa i se calculeze inversa.

e) Sa se calculeze Bn, ∀ n ≥ 1.

SUBIECTUL IV

Se defines,te s, irul (In)n≥0 astfel:

I0 =

∫ 1

0

1

x2 + 6x+ 10dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x2 + 6x+ 10dx, n ≥ 1.

1. Sa se calculeze I0 s, i I1.

2. Sa se demonstreze ca:

81

a) In+2 + 6In+1 + 10In =1

n+ 1, ∀ n ∈ N.

b) In+1 ≤ In, ∀ n ∈ N.

c) 17In+2 ≤1

n+ 1≤ 17In, ∀ n ∈ N∗.

d)1

17(n+ 1)≤ In ≤ 1

17(n− 1), ∀ n ≥ 2.


naIn, unde a ∈ R.

82

Varianta 3


SUBIECTUL I

1. Fie polinoamele f = mX2 + 2(m+ 1)X +m, m ∈ R∗ s, i g = X2 +X + 1.

a) Sa se determine valorile lui m pentru care f are radacini egale.

b) Daca y1, y2 ∈ C sunt radacinile lui g, sa se arate ca y31 = y32 = 1.

c) Sa se arate ca f s, i g au cel put, in o radacina comuna daca s, i numai daca m = −2.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx+ cot−1 x.


b) Deducet, i ca arctanx+ cot−1 x =π

2, ∀ x ∈ R.

3. In sistemul cartezian xOy se considera punctele A(0, 4), B(4, 0), C(6, 6).

a) Sa se determine punctul M(u, v) astfel ıncat MA = MB = MC.

b) Sa se calculeze lungimea segmentului [MA], unde M este punctul determinat la a).

c) Sa sescrie ecuat, ia cercului care trece prin punctele A, B, C.

SUBIECTUL II

1. Fie matricele A =

−2 1 11 −2 11 1 −2

s, i B =

1 1 11 1 11 1 1

.

a) Sa se arate ca AB = BA.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca (A+B)n = An +Bn, ∀ n ∈ N∗.

c) Sa se calculeze (A+B)n, unde n ∈ N∗.

2. a) Sa se arate ca 1− abc = 1− a+ a(1− b) + ab(1− c), ∀ a, b, c ∈ R.


1− cos5 2x

x2·


1− cos5 2x · cos3 3x · cos2 5xx2

·

SUBIECTUL III

Fie mult, imea de numere reale M = {a+ b√3 | a, b ∈ Z, a2 − 3b2 = 1}.

a) Sa se arate ca daca a+ b√3 = c+ d

√3, cu a, b, c, d ∈ Z, atunci a = c s, i b = d.

b) Sa se arate ca 1 ∈ M .

c) Sa se demonstreze ca M este parte stabila ın raport cu ınmult, irea numerelor reale.

d) Sa se demonstreze ca daca z ∈ M , atunci z 6= 0 s, i1

z∈ M .

SUBIECTUL IV

1. Sa se determine a1, a2, a3 ∈ R astfel ıncat

1

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)=

a1

x+ 1+

a2

x+ 2+

a3

x+ 3, ∀x > 0.

2. Fie funct, iile f , g : R → R, f(x) =1

(ex + 1)(ex + 2)(ex + 3)s, i g(x) =

1

ex + a, a > 0.

83

a) Sa se calculeze

∫

g(x) dx.

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

Consideram s, irul (sn)n≥1 definit prin sn =1

n

[

f

(1

2n

)

+ f

(3

2n

)

+ · · ·+ f

(2n− 1

2n

)]

.

c) Sa se calculeze limn→∞

sn.

84

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Fie polinoamele f = mX2 + 2(m+ 1)X +m, m ∈ R∗ s, i g = X2 + 3X + 9.

a) Daca y1, y2 ∈ C sunt radacinile lui g, sa se arate ca y31 = y32 = 27.

b) Sa se arate ca f s, i g nu au nicio radacina comuna, ∀ m ∈ R∗.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx+ cot−1 x.

a) Sa se arate ca f ′(x) = 0, x ∈ R.

b) Deducet, i ca arctanx+ cot−1 x =π

2, ∀ x ∈ R.


a) Sa se determine punctul M(u, v) astfel ıncat MA = MB = MC.

b) Sa se calculeze lungimea segmentului [MA], unde M este punctul determinat la a).

c) Sa se scrie ecuat, ia cercului care trece prin punctele A, B, C.

SUBIECTUL II


(−1 11 −1

)

s, i B =

(1 11 1

)

.


b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca (A+B)n = An +Bn, ∀ n ∈ N∗.

c) Sa se calculeze (A+B)2000.

2. a) Sa se arate ca 1− abc = 1− a+ a(1− b) + ab(1− c), ∀ a, b, c ∈ R.


1− cos 2x

x2·


1− cos 2x · cos 3x · cos 5xx2

·

SUBIECTUL III







z∈ M .

e) Sa se gaseasca un element z ∈ M , z = a+ b√3, ın care b 6= 0.

SUBIECTUL IV

1. Sa se determine a1, a2, a3 ∈ R astfel ıncat

1

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)=

a1

x+ 1+

a2

x+ 2+

a3

x+ 3, ∀x > 0.

2. Fie funct, iile f , g : R → R, f(x) =1

(ex + 1)(ex + 2)(ex + 3)s, i g(x) =

1

ex + a, a > 0.

a) Sa se calculeze

∫

g(x) dx.

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

85

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = ax2+ bx+ c, cu a, b, c ∈ R. Sa se determine a, b, c astfel ıncat f(0) = 2, f ′(1) = 1

s, i

∫ 1

0

f(x) dx =1

2·

2. Sa se determine toate numerele naturale n pentru care C2n = 10.


an = n+ 2 s, i bn = 3n− 2, n ∈ N∗.





SUBIECTUL II

1. Se considera polinoamele f = X4 +X3 +X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3 , x4 ∈ C s, i g = X2 +X + 1 curadacinile y1, y2 ∈ C.


b) Sa se arate ca polinomul f divide polinomul X5 − 1.

c) Sa se deduca identitatea x5k = 1, ∀ k ∈ {1, 2, 3, 4}.

d) Sa se calculeze valoarea expresiei

A = (x1 − y1)(x2 − y1)(x3 − y1)(x4 − y1)(x1 − y2)(x2 − y2)(x3 − y2)(x4 − y2).

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =x3 + x2 + 1

x2 + 1·



c) Sa se determine asimptota oblica la ramura catre +∞ a graficului funct, iei f .

SUBIECTUL III


{(a 2bb a

) ∣∣∣∣a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1

}

.


(1 00 1

)

∈ G.


c) Sa se gaseasca o matrice A =

(a 2bb a

)

∈ G cu b 6= 0.

d) Sa se arate ca mult, imea G cont,ine o infinitate de elemente.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 6x + αx − 14x − 15x, unde α ∈ R, α > 0.

a) Sa se calculeze f ′(x).

b) Sa se calculeze f(0) s, i f ′(0).

c) Sa se determine α astfel ıncat f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.

Consideram α = 35.

d) Sa se calculeze aria cuprinsa ıntre graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 1.

86

Varianta 3


SUBIECTUL I






(1

2

)n

s, i bn = 9n, ∀ n ∈ N∗.





SUBIECTUL II





2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = e−x.

a) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca f (n)(x) = (−1)ne−x, ∀ n ∈ N∗, ∀ x ∈ R.


f (2)(0) + f (4)(0) + · · ·+ f (2n)(0)

n+ 1·

SUBIECTUL III


1 1 12 2 2

−3 −3 −3

s, i I2 =

1 0 00 1 00 0 1







SUBIECTUL IV


I0 =

∫ 1

0

1

x+ 1dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x+ 1dx, n ≥ 1.


2. Sa se demonstreze ca:

a) In+1 + In =1

n+ 1, ∀ n ∈ N.

87

b) In+1 ≤ In, ∀ n ∈ N.

c) 2In+1 ≤ 1

n+ 1≤ 2In, ∀ n ∈ N∗.

d)1

2(n+ 1)≤ In ≤ 1

2(n− 1), ∀ n ≥ 2.


3√nIn.

88

Varianta 1


SUBIECTUL I






(1

2

)n

s, i bn = 9n, ∀ n ∈ N∗.





SUBIECTUL II





2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = e−x.

a) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca f (n)(x) = (−1)ne−x, ∀ n ∈ N∗, ∀ x ∈ R.


f (2)(0) + f (4)(0) + · · ·+ f (2n)(0)

n+ 1·

SUBIECTUL III


(1 1

−1 −1

)

s, i I2 =

(1 00 1

)







SUBIECTUL IV


I0 =

∫ 1

0

1

x2 + 6x+ 10dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x2 + 6x+ 10dx, n ≥ 1.


2. a) Sa se demonstreze ca 0 ≤ xn

x2 + 6x+ 10≤ xn, ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ [0, 1].

b) Sa se arate ca 0 ≤ In ≤ 1

n+ 1, ∀ n ∈ N.


√nIn.

89

Varianta 2


SUBIECTUL I

1. Fie polinoamele f = mX2 + 2(m+ 1)X +m, m ∈ R∗ s, i g = X2 + 2X + 4.

a) Daca y1, y2 ∈ C sunt radacinile lui g, sa se arate ca y31 = y32 = 8.

b) Sa se arate ca f s, i g nu au nicio radacina comuna, ∀ m ∈ R∗.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx+ cot−1 x. Sa se calculeze f ′′(x), x ∈ R.


a) Sa se determine determine coordonatele punctului M , mijlocul segmentului [AB].

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei CM .

SUBIECTUL II


(−1 11 −1

)

s, i B =

(1 11 1

)

.


b) Sa se arate ca AB = BA.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca (A+B)n = An +Bn, ∀ n ∈ N∗.

2. Fie funct, ia f : R\{−1,−2} → R, f(x) =1

x+ 1− 1

x+ 2·

a) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficul funct, iei f .


(f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)).

SUBIECTUL III







z∈ M .

SUBIECTUL IV

1. Sa se determine a1, a2 ∈ R astfel ıncat

1

(x+ 1)(x+ 2)=

a1

x+ 1+

a2

x+ 2, ∀x > 0.

2. Fie funct, iile f , g, F : R → R, f(x) =1

ex + acu a > 0, g(x) =

1

(ex + 1)(ex + 2)s, i F (x) =

1

a(x− ln(ex + a)).

a) Sa se arate ca F ′(x) = f(x), ∀ x ∈ R.

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

g(x) dx.

90

Varianta 3


SUBIECTUL I


s, i

∫ 1

0

f(x) dx =1

2·

2. Sa se rezolve ecuat, ia C2n = 10, n ∈ N∗, n ≥ 2.


an = n+ 2 s, i bn = 3n− 2, n ∈ N∗.





SUBIECTUL II

1. Se considera polinoamele f = X3 +X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C s, i g = X2 + 3X + 9 cu radaciniley1, y2 ∈ C.


b) Sa se determine x1, x2, x3.

d) Sa se calculezeA = (x1 − y1)(x1 − y2)(x2 − y1)(x2 − y2)(x3 − y1)(x3 − y2).

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =x

x2 + 1·



c) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficului funct, iei f .

SUBIECTUL III


{(a 2bb a

) ∣∣∣∣a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1

}

.


(1 00 1

)

∈ G.



(a 2bb a

)

∈ G cu b 6= 0.

SUBIECTUL IV

Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 6x + 35x − 14x − 15x.

a) Sa se demonstreze ca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.

b) Sa se calculeze aria cuprinsa ıntre graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat, ii x = 0 s, i x = 1.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca

f (n)(x) = (ln 6)n · 6x + (ln 35)n · 35x − (ln 14)n · 14x − (ln 15)n · 15x, ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R.

91

Varianta 1

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Sa se determine cel mai mare numar natural de trei cifre care ımpart,it la 5, 7, 9 sa dea de fiecare data restul 3.

2. a) Suma a cinci numere naturale consecutive este 145. Sa se determine numerele.

b) Suma a x numere naturale consecutive este 7x+ 14, x ≥ 2. Sa se determine numerele.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 + aX2 + bX − 5, cu a, b ∈ R.

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat X − 5 divide f s, i f(1) + 8 = 0.

b) Pentru a = −5 s, i b = 1 sa se rezolve ecuat,ia f(x) = 0.


(1 −1

−1 1

)

s, i B =

(1 11 1

)

.


b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca (A+B)n = An +Bn, n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = −xy + 5x+ 5y − 20.




d) Sa se rezolve ecuat, ia x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de 10 ori x

= 5.

SUBIECTUL IV

Se considera un tetraedru regulat de muchie a.

a) Sa se calculeze aria totala a tetraedrului.

b) Sa se calculeze cosinusul unghiului format de doua fet,e ale tetraedrului.

c) Sa se demonstreze ca suma distant,elor de la un punct interior tetraedrului la cele patru fet,e ale lui este constanta.

92

Varianta 2

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Suma a doua numere naturale a s, i b este 40, iar cel mai mare divizor comun al lor este 5. Sa se determine celedoua numere, s,tiind ca a ≤ b ≤ 2a.

2. Numarul 1000 se mics,oreaza cu 20%. Cu ce procent trebuie marit numarul rezultat pentru a se obt, ine din nou1000?

3. Scrierea zecimala a numarului1

13este 0, a1a2 . . . an . . .. Sa se determine a2000.

SUBIECTUL II

1. Sa se rezolve ecuat, ia log2 x+ log3 x+ log5 x = 0, x > 0.

2. Se considera polinoamele f = (X + 1)6 + (X − 1)6 s, i g = 2(X3 + 15X2 + 15X + 1).

a) Sa se arate ca f(X) = g(X2).

b) Sa se calculeze g(−1).

c) Sa se rezolve ecuat, ia g(x) = 0.

d) Sa se determine radacinile polinomului f .

SUBIECTUL III


{(a 2bb a

) ∣∣∣∣a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1

}

.


(1 00 1

)

∈ G.



(a 2bb a

)

∈ G cu b 6= 0.


SUBIECTUL IV

Sect, iunea axiala a unui con circular drept este un triunghi isoscel V AB cu m(∢AV B) = 120◦ s, i V A = V B = 6cm.

a) Sa se calculeze raza conului.

b) Sa se calculeze volumul conului.

c) Fie M s, i N doua puncte situate pe [AV ] astfel ıncat VM = MN = NA = 2 cm s, i doua plane paralele cu bazaconului duse prin M s, i N . Calculat,i raportul volumelor trunchiurilor de con care au generatoarele egale cu MN ,respectiv NA.

93

Varianta 3

Profil pedagogic

SUBIECTUL I

1. Numerele naturale a, b s, i c sunt direct proport,ionale cu 2, 3 s, i respectiv 6, iar produsul lor este egal cu 4500. Sase afle numerele.

2. Cinci cart,i s, i trei caiete costa 245000 lei, iar trei cart,i s, i cinci caiete costa 195000 lei.

a) Cat costa un caiet s, i cat costa o carte?

b) Cate cart,i s, i cate caiete se pot cumpara cu 250000 lei, daca se cumpara ın total 10 bucat, i?

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul g = X6 +X2 + 1.

a) Sa se calculeze (g(i))n, ∀ n ∈ N∗.

b) Sa se afle catul s, i restul ımpart,irii lui g la X2 − 2.

2. In M2(R) se considera matricele A =

(1 00 3

)

s, i X =

(x 00 x

)

.

a) Sa se determine x ∈ R astfel ıncat determinantul matricei A+X sa fie egal cu 15.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca An =

(1 00 3n

)

, ∀ n ∈ N∗.

c) Sa se calculeze A+A2 + · · ·+An, n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = x+ y − 3.



c) Sa se arate ca x ⋆ (6− x) = 3, ∀ x ∈ R.


de 40 ori x

= 3.

SUBIECTUL IV

Un trunchi de piramida patrulatera are laturile bazelor de lungimi egale cu 6 cm, respectiv 10 cm s, i volumul egalcu 196 cm3. Sa se calculeze:

a) ınalt,imea trunchiului de piramida;

b) aria laterala a trunchiului de piramida;

c) sinusul unghiului format de planele a doua fet,e laterale opuse.

94

Varianta 1

Profil uman

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 + aX2 + bX − 5, cu a, b ∈ R.

a) Sa se determine a s, i b astfel ıncat X − 5 divide f s, i f(1) + 8 = 0.

b) Pentru a = −5 s, i b = 1 sa se afle catul s, i restul ımpart,irii lui f la X2 + 2.

c) Pentru a = −5 s, i b = 1 sa se rezolve ecuat,ia f(x) = 0.

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = e−x. Sa se calculeze:

a) limx→∞

f(x).

b) f(0) + f ′(0) + f ′′(0).

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii d1 : 5x−y−8 = 0, d2 : 3x+2y−10 = 0si d3 : x− 5y + 8 = 0.


b) Sa se arate ca dreapta d3 trece prin punctul de intersect, ie al dreptelor d1 si d2.

SUBIECTUL II


(1 −1

−1 1

)

s, i B =

(1 11 1

)

.


b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca (A+B)n = An +Bn, n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

Fie funct, ia f : R\{−3; 2} → R, f(x) =3x+ 4

x2 + x− 6·

a) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat f(x) =a

x+ 3+

b

x− 2, x ∈ R\{−3; 2}.

b) Sa se calculeze

∫

f(x) dx, x ∈ (2,∞).

c) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficul funct, iei f .

SUBIECTUL IV

Pe mult, imea numerelor reale definim legea de compozit,ie x ⋆ y = −xy + 5x+ 5y − 20.


c) Sa se arate ca x ⋆ 4 = x, ∀ x ∈ R.

d) Sa se rezolve ecuat, ia x ⋆ x ⋆ x ⋆ x = 5.

95

Varianta 2

Profil uman

SUBIECTUL I


s, i

∫ 1

0

f(x) dx = 0.

2. Sa se rezolve ecuat, ia log2 x+ log3 x+ log5 x = 0, x > 0.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii d1 : 5x−3y−2 = 0, d2 : −3x+4y−1 = 0.


b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei de panta 2, care trece prin punctul de intersectie al dreptelor d1 si d2.

SUBIECTUL II

Se considera polinoamele f = (X + 1)6 + (X − 1)6 s, i g = X4 + 14X2 + 1).

a) Sa se arate ca polinomul f se divide prin polinomul g.

b) Sa se rezolve ecuat, ia g(x) = 0.

c) Sa se determine radacinile polinomului f .

SUBIECTUL III

Fie funct, ia f : R → R, f(x) = e−x.

a) Sa se arate ca f ′(x) + f ′′(x) = 0, ∀ x ∈ R.


[f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)].

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

xf(x) dx.

SUBIECTUL IV


{(a 2bb a

) ∣∣∣∣a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1

}

.


(1 00 1

)

∈ G.

b) Sa se arate ca daca A, B ∈ G, atunci A ·B ∈ G.


(a 2bb a

)

∈ G cu b 6= 0.


96

Varianta 3

Profil uman

SUBIECTUL I

1. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = ax4 + bx2 + c, cu a, b, c ∈ R. Sa se determine a, b, c astfel ıncat f(0) = 1,f ′(1) = 6 s, i f ′′(2) = 52.

2. Se considera polinomul g = X6 +X2 + 1.

a) Sa se calculeze (g(i))n, ∀ n ∈ N∗.

b) Sa se afle catul s, i restul ımpart,irii lui g la X2 − 2.

3. In sistemul cartezian xOy se considera punctele A(−3, 3), B(5, 1), C(−4, 4).

a) Sa se determine determine coordonatele punctului M , mijlocul segmentului [AB].

b) Sa se scrie ecuat, ia dreptei CM .

SUBIECTUL II

In M2(R) se considera matricele A =

(1 00 3

)

s, i X =

(x 00 x

)

.

a) Sa se determine x ∈ R astfel ıncat determinantul matricei A+X sa fie egal cu 15.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda induct, iei matematice, ca An =

(1 00 3n

)

, ∀ n ∈ N∗.

c) Sa se calculeze A+A2 + · · ·+An, n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + 2x+ 1.


f(x)

x2.

b) Sa se calculeze cuprinsa ıntre graficul funct, iei f s, i dreapta y = 4.

c) Sa se determine a ∈ (−3, 1) astfel ıncat dreapta x = a sa desparta suprafat,a de la punctul anterior ın douaregiuni care au arii egale.

SUBIECTUL IV

Pe mult, imea numerelor reale definim legea x ⋆ y = x+ y − 3.



c) Sa se arate ca x ⋆ (6− x) = 3, ∀ x ∈ R.


de 40 ori x

= 3.

97

BACALAUREAT 2001SESIUNEA SPECIALA

Profilurile economic, fizica-chimie, chimie-biologie

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 −X + 2 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C si polinomul g = X2 −X + 1 cu radaciniley1, y2 ∈ C.

a) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la polinomul g.

b) Sa se verifice ca y31 = y32 = −1.

c) Sa se arate ca numarul a = f(y1) + f(y2) este natural.

d) Sa se calculeze b = g(x1) + g(x2) + g(x3).

2. a) Sa se arate ca1

x(x+ 1)=

1

x− 1

x+ 1pentru orice x > 0.

Notam cu sn =1

1 · 2+

1

2 · 3+ . . .+

1

n · (n+ 1), (∀) n ∈ N∗.

b) Sa se arate ca sn =n

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


sn.


snn.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele B(−1, 1) si An(2n+ 1, 3n− 2), n ∈ N.

a) Sa se scrie ecuatia dreptei A0A1.

b) Sa se arate ca punctul An se afla pe dreapta A0A1, (∀) n ∈ N.

c) Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul B si are aceeasi panta cu dreapta A0A1.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y − 2.

a) Sa se arate ca (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R.

b) Sa se determine numarul real e astfel ıncat x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R.

c) Sa se stabileasca daca multimea Q\Z este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

2. Se considera functia f : R\{−2} → R, f(x) =x2 + 6x+ 12

x+ 2·

a) Sa se verifice identitatea f(x) = x+ 4 +4

x+ 2, (∀) x ∈ R\{−2}.

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

c) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R\{−2}.d) Sa se arate ca functia f are un punct de maxim, un punct de minim si sa se determine coordonatele lor.

SUBIECTUL III


2 2 −24 4 −46 6 −6

si I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

a) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A.


1

c) Sa se verifice identitatea I3 = (I3 −A)(I3 +A).

d) Sa se arate ca matricea I3 −A este inversabila si sa i se calculeze inversa.

e) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca (I3 +A)n = I3 + nA, (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

a) Sa se determine a, b, c ∈ R, pentru care1

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)=

a

x+ 1+

b

x+ 2+

c

x+ 3, x > 0.

Se considera functia f : R→ R, f(x) =1

(ex + 1)(ex + 2)(ex + 3)·

b) Sa se determine asimptotele la graficul functiei f .

c) Sa se calculeze

∫1

ex + adx, x ∈ R, a > 0.

d) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 six = 1.

e) Fie functia F : R→ R, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt. Sa se calculeze limx→∞

F (x).

2

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Varianta 1

Profilurile matematica-fizica, informatica si metrologie

SUBIECTUL I

1. a) Sa se verifice identitatea (x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 2(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx), (∀) x, y, z ∈ R.

b) Sa se arate ca daca x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx, x, y, z ∈ R, atunci x = y = z.

c) Sa se rezolve ecuatia 4x + 92 + 25x = 6x + 10x + 15x, x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x+ 1)e−x.


b) Sa se studieze semnul functiei f .

c) Sa se arate ca f(x) ≤ 1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctul A(1, 1) si dreapta d : 5x+ 12y + 9 = 0.

a) Sa se calculeze distanta de la punctul A la dreapta d.

b) Sa se scrie ecuatia cercului C cu centrul ın A si care este tangent dreptei d.

c) Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendiculara pe dreapta d.

SUBIECTUL II

1. In inelul Z6[X], se considera polinomul f = X3 −X. Notam cu A ⊂ Z6 multimea radacinilor polinomului f .

a) Sa se verifice ca A = Z6.

b) Sa se gaseasca un polinom nenul g ∈ Z6[X], g 6= ±f , care sa aiba mai multe radacini decat gradul sau.Notam cu Sk = 1k + 2k + 3k + 4k + 5k, k ∈ N∗.

c) Sa se calculeze S1 si S2.

d) Sa se arate ca Sk ∈ {1, 3}, (∀) k ∈ N∗.

2. Se considera functiile f, F : R→ R, f(x) =x3

x2 + 1si F (x) =

∫ x

0

f(t) dt.

a) Sa se verifice ca f(x) = x− x

x2 + 1, (∀) x ∈ R.

b) Sa se determine F (x), x ∈ R.


F (x)

xf(x)·

SUBIECTUL III

Se considera multimea G = (0,∞)× R pe care se defineste legea de compozitie ”◦” prin

(a1, x1) ◦ (a2, x2) = (a1a2, a1x2 + a2x1).

a) Sa se arate ca ((a1, x1) ◦ (a2, x2)) ◦ (a3, x3) = (a1, x1) ◦ ((a2, x2) ◦ (a3, x3)), (∀) (a1, x1), (a2, x2), (a3, x3) ∈ G.

b) Sa se verifice ca (a, x) ◦ (1, 0) = (1, 0) ◦ (a, x) = (a, x), (∀) (a, x) ∈ G.

c) Sa se verifice ca (a, x) ◦(

1

a,−x

a

)=

(1

a,−x

a

)◦ (a, x) = (1, 0), (∀) (a, x) ∈ G.

3

d) Sa se gaseasca doua elemente (a1, x1) si (a2, x2) din multimea G pentru care (a1, x1)◦(a2, x2) 6= (a2, x2)◦(a1, x1).

e) Sa se demonstreze ca (∀) (a, x) ∈ G si (∀) n ∈ N∗, exista (u, v) ∈ G astfel ıncat (u, v) ◦ (u, v) ◦ . . . ◦ (u, v)︸︷︷︸de n ori (u,v)

= (a, x).

SUBIECTUL IV

Se considera numerele reale a1, a2, . . . , an si functiile f, F : R→ R, f(x) = a1 cosx+ a2 cos 2x+ . . .+ an cosnx si

F (x) = a1 sinx+a22

sin 2x+ . . .+ann

sinnx, unde n ∈ N, n ≥ 2.

a) Sa se arate ca functia F este o primitiva a functiei f pe R.

b) Sa se verifice ca functia F (kπ) = 0, (∀) k ∈ Z.

c) Sa se arate ca daca f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci F (x) = 0, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca daca F (x) = 0, (∀) x ∈ R, atunci f(x) = 0, (∀) x ∈ R.

Notam cu J(p, q) =

∫ 2π

0

cos px cos qx dx, (∀) p, q ∈ N∗.

e) Utilizand formula 2 cos a cos b = cos(a+ b) + cos(a− b), (∀) a, b ∈ R, sa se arate ca

J(p, q) =

{0, daca p 6= q, p, q ∈ N∗

π, (∀) p ∈ N∗.

f) Sa se demonstreze ca daca f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci a1 = a2 = . . . = an = 0.

4

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera matricele X =

1111

, Y =(−1 1 2 −2

)si A =

−1 1 2 −2−1 1 2 −2−1 1 2 −2−1 1 2 −2

.

a) Sa se calculeze XY −A.

b) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A.

c) Sa se calculeze A2.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 1− x3.


b) Sa se arate ca functia f este bijectiva.

c) Sa se arate ca exista un numar real unic c, astfel ıncat f(c) = c.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 1), B(2, 0), C(3,−1) si dreapta d : x−y = 0.

a) Sa se scrie ecuatia dreptei AB.

b) Sa se arate ca punctele A, B si C sunt coliniare.

c) Sa se calculeze distanta de la punctul C la dreapta d.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinoamele f = X4 +X3 +X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C si g = X3 +X2 +X + 1cu radacinile y1, y2, y3 ∈ C.


b) Sa se determine y1, y2 si y3.

c) Sa se arate ca numarul a = g(x1)g(x2)g(x3)g(x4) este natural.

d) Sa se arate ca f(x) > 0, (∀) x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 3x + ax − 4x − 6x, unde a > 0, a ∈ R.


b) Sa se calculeze f(0) si f ′(0).

c) Sa se determine a > 0 astfel ıncat f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

d) Pentru a = 8, sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III

Se considera o functie f : Q→ Q, cu proprietatea f(x+ y) = f(x) + f(y), (∀) x, y ∈ Q.

a) Sa se arate ca f(0) = 0.

b) Sa arate ca f(−x) = −f(x), (∀) x ∈ Q.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca

f(x1 + x2 + . . .+ xn) = f(x1) + f(x2) + . . .+ f(xn), (∀) n ∈ N∗ si x1, x2, . . . , xn ∈ Q.

d) Sa se deduca egalitatea f(nx) = nf(x), (∀) x ∈ Q, (∀) n ∈ N.

e) Notam a = f(1), a ∈ Q. Sa se arate ca f(x) = ax, (∀) x ∈ Q.

f) Sa se demonstreze ca daca (H,+) este subgrup al grupului (Q,+) si este izomorf cu grupul (Q,+), atunci H = Q.

5

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : (0,∞)→ R, f(x) = x cosπ

xsi g :

[0,π

2

]→ R, g(x) = cosx+ x sinx.

a) Sa se calculeze g′(x), x ∈[0,π

2

].

b) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ (0,∞).

c) Sa se verifice ca g′(x) > 0, (∀) x ∈(

0,π

2

).

d) Sa se arate ca g(x) > 1, (∀) x ∈(

0,π

2

).

e) Utilizand teorema lui Lagrange pentru functia f , sa se demonstreze inegalitatea f(x+ 1)− f(x) > 1, (∀) x > 2.

f) Sa se arate ca f(n) > n− 2, (∀) n ≥ 3.

g) Sa se calculeze limn→∞

f(1) + f(2) + . . .+ f(n)

n2·

6

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X4 − 6X3 + 13X2 − 12X + 5.

a) Sa se verifice ca f = (X − 1)2(X − 2)2 + 1.

b) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini reale.

c) Sa se demonstreze ca polinomul f nu se poate descompune ın produs de doua polinoame neconstante cucoeficienti ıntregi.

2. Se considera functia g : R→ R, g(x) =2x+ 1

x2 + 1·

a) Sa se calculeze g′(x), x ∈ R.

b) Sa se determine asimptotele la graficul functiei g.

c) Sa se calculeze

∫g(x) dx, x ∈ R.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(6, 0), B(0, 6), C(12, 12).

a) Sa se determine aria triunghiului ABC.

b) Sa se determine coordonatele punctului M(u, v), astfel ıncat MA = MB = MC.

c) Sa se scrie ecuatia cercului care trece prin punctele A, B si C.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinoamele cu coeficienti ın corpul Z3, f = X3 + 2X si g = X5 + 2X.

a) Sa se determine radacinile polinomului f .

b) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului g la polinomul f .

c) Notam cu x1, x2 si x3 ∈ Z3 radacinile polinomului f . Sa se calculeze S = x31 + x32 + x33 si T = x51 + x52 + x53.

2. Se considera functia f : (0,∞)→ (0,∞), f(x) = ln(x+ 1)− lnx.

a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ (0,∞).


f(1) + f(2) + . . .+ f(n)

ln(n2 + 1)·

c) Sa se demonstreze ca functia f este bijectiva.

d) Notam cu g inversa functiei f . Sa se calculeze g′(ln 2).

SUBIECTUL III

Se considera numerele reale distincte a, b, c, d, functiile f : R → R, g : R → R definite prin f(x) = (x − a)(x −

b)(x− c)(x− d), g(x) = x3 + x+ 1 si determinantul ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣.

a) Sa verifice ca

∣∣∣∣∣∣1 1 1x y zx2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ = (y − x)(z − x)(z − y), (∀) x, y, z ∈ R.

b) Sa arate ca ∆ = (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)(d− c).

c) Sa se verifice ca f ′(a) = (a− b)(a− c)(a− d).

d) Se considera determinantul A =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

g(a) g(b) g(c) g(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣. Sa se arate ca A = ∆.

7

e) Dezvoltand determinantul A dupa ultima linie, sa se arate cag(a)

f ′(a)+g(b)

f ′(b)+g(c)

f ′(c)+g(d)

f ′(d)= 1.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex − 1− x− x2

2!− x3

3!− x4

4!·

a) Sa se calculeze f ′(x), f (2)(x), f (3)(x), f (4)(x).

b) Sa se calculeze f ′(0), f (2)(0), f (3)(0), f (4)(0).


f(x)

x5·

d) Sa se arate ca f ′(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

e) Sa se deduca inegalitatea f(x) < 0, (∀) x < 0.

f) Se considera functia g : R→ R, g(x) = e−x2

. Sa se demonstreze ca aria suprafetei cuprinsa ıntre graficul functieig, axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1 este un numar din intervalul (0, 74; 0, 75).

8

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3−X + 3, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C si polinomul g = X2 +X + 1, cu radaciniley1, y2 ∈ C.


b) Sa se verifice ca y31 = y32 = 1.



2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =2x

x2 + 1·



c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


a) Sa se determine aria triunghiului ABC.

b) Sa se determine perimetrul triunghiului ABC.

c) Sa se demonstreze ca triunghiul ABC este dreptunghic.

SUBIECTUL II

1. Se considera binomul a = (√

2 +√

3)100.

a) Sa se determine numarul de termeni rationali din dezvoltarea binomului. Notam cu S suma termenilorrationali si cu T suma termenilor irationali ai binomului.

b) Sa se arate ca S − T = (√

2−√

3)100.

c) Sa se arate ca S > T .

d) Sa se arate ca S − T <1

3100·

2. Se considera functia f : R→ R, definita prin f(x) =

∫ x

0

et2

dt.

a) Sa se arate ca f(−x) = −f(x), (∀) x ∈ R.

b) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.


f(x).

SUBIECTUL III

Se considera matricele X =

1111

, Y =(1 2 −1 −2

), I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

si A =

−1 2 −1 −2−1 2 −1 −2−1 2 −1 −2−1 2 −1 −2

.

Definim B = aA+ I4, unde a ∈ R.

a) Sa se calculeze matricea XY −A.


c) Sa se calculeze A2.

d) Sa se verifice ca 2B −B2 = I4.

9

e) Sa se arate ca B este inversabila, (∀) a ∈ R si sa se calculeze inversa sa.

f) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca Bn = I4 + naA, (∀) n ∈ N∗ si (∀) a ∈ R.

SUBIECTUL IV

Se considera numarul real a ∈ (0, 1] si sirurile (xn)n≥1, (In)n≥1, xn = a − a3

3+a5

5+ . . . + (−1)n−1

a2n−1

2n− 1si

In =

∫ a

0

x2n

1 + x2dx, (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se demonstreze identitatea

1− x2 + x4 + . . .+ (−1)n−1x2n−2 =1 + (−1)n−1x2n

1 + x2, (∀)n ∈ N∗, (∀)x ∈ R.

b) Integrand identitatea de la punctul a), sa se arate ca xn = arctg a+ (−1)n−1In, (∀) n ∈ N∗, a ∈ (0, 1].

c) Sa se arate ca 0 ≤ x2n

1 + x2≤ x2n, (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca limn→∞

In = 0 si limn→∞

xn = arctg a.

e) Sa se calculeze limn→∞

(4− 4

3+

4

5+ . . .+

(−1)n4

2n+ 1

).

10

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. In multimea permutarilor cu cinci elemente S5 se considera permutarile σ =

(1 2 3 4 52 3 4 5 1

)si τ =

(1 2 3 4 53 4 5 1 2

).

a) Sa se determine numarul de inversiuni ale permutarii σ.

b) Sa se determine τ−1.

c) Sa se rezolve ın S5 ecuatia τ · σ = σ.

2. a) Sa se verifice identitatea2x+ 1

x2(x+ 1)2=

1

x2− 1

(x+ 1)2, (∀) x > 0.

b) Notam cu an =3

12 · 22+

5

22 · 32+ . . .+

2n+ 1

n2 · (n+ 1)2, n ∈ N∗. Sa se arate ca an =

n2 + 2n

(n+ 1)2, (∀) n ∈ N∗.


an.


(an)n2

.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(2n, 3n+ 2), n ∈ N.


b) Sa se arate ca punctul An se afla pe dreapta A0A1, (∀) n ∈ N.

c) Sa se arate ca lungimea segmentului AnAn+1 n ∈ N, nu depinde de n.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinoamele cu coeficienti ın Z3, f = aX + b si g = X6 +X3 + 1.

a) Sa se verifice ca pentru orice a ∈ Z3, avem a3 = a.

b) Sa se arate ca (f(X))3 = f(X3).

c) Sa se arate ca X2 +X + 1 = (X + 2)2.

d) Sa se descompuna polinomul g ın factori ireductibili, ın inelul Z3[X].

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = arctg(x+ 2)− arctg x.


b) Sa se arate ca x = −1 este punct de maxim local pentru functia f .

c) Sa se determine asimptotele la graficul functiei f .

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III


x+ 2y + 3z = 0

5x+ 3y + z = 0

x+ 3y + 5z = 0

si matricele I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, O3 =

0 0 00 0 00 0 0

. Notam cu A matricea

sistemului.



c) Sa se gaseasca o matrice B ∈M3(R), B 6= O3, astfel ıncat AB = O3.

d) Sa se arate ca An 6= I3, (∀) n ∈ N∗.

e) Sa se arate ca det

(A+

1

nI3

)6= 0, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

11

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) = xa, unde a ∈ R.


b) Folosind teorema lui Lagrange, sa se arate ca exista c(a), care depinde de a, c(a) ∈ (2, 3) si d(a), care depindede a, d(a) ∈ (4, 5), astfel ıncat sa avem 3a − 2a = a(c(a))a−1 si 5a − 4a = a(d(a))a−1.

c) Sa se arate ca pentru orice functii g : R → (2, 3) si h : R → (4, 5), ecuatia x(g(x))x−1 = x(h(x))x−1 are numaisolutiile x = 0 si x = 1.

d) Sa se rezolve ecuatia 3a + 4a = 2a + 5a, a ∈ R.

e) Sa se demonstreze ca 3x + 4x > 2x + 5x, (∀) x ∈ (0, 1).

f) Sa se demonstreze ca2

ln 3+

3

ln 4>

1

ln 2+

4

ln 5·

12


Varianta 1

Profilurile economic, fizica-chimie, chimie-biologie si militar real

SUBIECTUL I

1. Se considera determinantul d =

∣∣∣∣∣∣a b cc a bb c a

∣∣∣∣∣∣, a, b, c ∈ C.

a) Dezvoltand determinantul d, sa se arate ca d = a3 + b3 + c3 − 3abc.

b) Utilizand proprietatile determinantilor, sa se arate ca d = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca).

c) Sa se demonstreze identitatea a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca =1

2

((a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2

).

d) Sa se rezolve ecuatia 8x + 27x + 125x = 3 · 30x, x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = arctg x+ arcctg x.



c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 1), B(2, 2) si C(−2, 4).


b) Sa se calculeze panta dreptei BC.

c) Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

SUBIECTUL II

1. Se considera sirul (an)n≥1, definit prin an = 2n− 1, (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca sirul (an)n≥1 formeaza o progresie aritmetica si sa se calculeze ratia progresiei.

b) Sa se determine valoarea numarului natural n pentru care a1 + a2 + . . .+ an = 20012.

c) Sa se verifice ca sirul (bn)n≥1, bn = 2an , (∀) n ∈ N∗, formeaza o progresie geometrica.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca an < bn, (∀) n ∈ N∗.

2. Se considera sirul (an)n∈N∗ , an =1 · 1! + 2 · 2! + . . .+ n · n!

(n+ 1)!, (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se verifice identitatea k · k! = (k + 1)!− k!, (∀) k ∈ N.

b) Sa se arate ca 1 · 1! + 2 · 2! + . . .+ n · n! = (n+ 1)!− 1, (∀) n ∈ N∗.c) Sa se calculeze lim

n→∞an.


a(n+1)!n .

SUBIECTUL III

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = 2xy − 2x− 2y + 3.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = 2(x− 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R.

b) Sa se arate ca (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R.

c) Sa se verifice ca x ◦ 1 = 1 ◦ x = 1, (∀) x ∈ R.

13

d) Sa se stabileasca daca multimea Q\Z este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

e) Sa se rezolve ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x ◦ x = 1, x ∈ R.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) = x− e lnx.



c) Sa se arate ca f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ (0,∞).

d) Sa se deduca inegalitatea ex ≥ xe, (∀) x ∈ (0,∞).

e) Sa se demonstreze ca ex >xe+1

e+ 1+ 1, (∀) x ∈ (0,∞).

14

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 − 3X + 2.

a) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la polinomul X − 1.

b) Sa se rezolve ın multimea numerelor complexe ecuatia f(x) = 0.

c) Sa se rezolve ecuatia (log3 x)3 − log3 x3 + 2 = 0, x > 0.

2. Se considera sirul cu termenul general an =23 − 1

23 + 1· 33 − 1

33 + 1· . . . · n

3 − 1

n3 + 1, n ∈ N, n ≥ 2 si functia f : R → R,

f(x) = x2 − x+ 1.

a) Sa se verifice identitateax3 − 1

x3 + 1=x− 1

x+ 1· f(x+ 1)

f(x), (∀) x 6= −1.

b) Sa se arate ca an =2(n2 + n+ 1)

3n(n+ 1), (∀) n ∈ N∗.


an.


(3an2

)n2

.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(2, 1), B(−1,−2) si C(−1, 1).

a) Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

b) Sa se calculeze panta dreptei AC.

c) Sa se scrie ecuatia dreptei AB.

SUBIECTUL II

1. In multimea M2(Z5) se considera matricele A =

(2 1

1 2

)si I2 =

(1 0

0 1

).


b) Sa se calculeze A2 si A4.

c) Sa se determine o matrice B ∈M2(Z5) pentru care AB = BA = I2.

d) Sa se calculeze A2001.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ax− sinx, unde a este parametru real.



c) Pentru a ≥ 1, sa se arate ca f(x) ≥ 0, (∀) x ≥ 0.

d) Sa se arate ca

∫ 1

0

sin(x2) dx ≤ 1

3·

SUBIECTUL III

Se considera multimea de numere reale M = {a+ b√

2 | a, b ∈ Q si a2 − 2b2 = 1}.

a) Sa se arate ca daca a+ b√

2 = c+ d√

2 cu a, b, c, d ∈ Q, atunci a = c si b = d.

b) Sa verifice ca 1 ∈M .

c) Sa se arate ca M este parte stabila ın raport cu ınmultirea numerelor reale.

d) Sa se arate ca daca z ∈M , atunci z 6= 0 si1

z∈M .

15

e) Sa se gaseasca un element z ∈M astfel ıncat 0 < z <1

10·

SUBIECTUL IV

Se considera sirul (In)n≥0, definit prin I0 =

∫ 1

0

1

x2 + 1dx si In =

∫ 1

0

xn

x2 + 1dx, n ∈ N∗.


b) Sa se verifice relatia In+2 + In =1

n+ 1, n ∈ N∗.

c) Sa se arate ca In ≥ In+1, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se deduca inegalitatile1

2(n+ 1)≤ In ≤

1

2(n− 1), (∀) n ∈ N, n ≥ 2.


nIn.

f) Sa se calculeze limn→∞

(nIn −

1

2

)lnn.

16

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X4 −X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f(X) =

(X2 − 1

2

)2

+

(X − 1

2

)2

+1

2·

b) Sa se arate ca f(x) ≥ 1

2, (∀) x ∈ R.

c) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini reale.

d) Sa se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 si T = x21 + x22 + x23 + x24.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x− 1)ex.



c) Sa se deduca inegalitatea f(x) ≥ −1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.



b) Sa se scrie ecuatia dreptei AB.

c) Sa se verifice ca OA = OB = OC, unde O(0, 0) este originea sistemului de coordonate.

SUBIECTUL II


(2 −61 −3

).



c) Sa se arate ca A+ 2A2 + . . .+ 2001A2001 = 1001A.

2. a) Sa se verifice identitatea3x2 + 3x+ 1

x3(x+ 1)3=

1

x3− 1

(x+ 1)3, (∀) x > 0.

Notam cu an =3 · 12 + 3 · 1 + 1

13 · 23+

3 · 22 + 3 · 2 + 1

23 · 33+ . . .+

3 · n2 + 3 · n+ 1

n3 · (n+ 1)3, n ∈ N∗.

b) Sa se arate ca an =(n+ 1)3 − 1

(n+ 1)3, (∀) n ∈ N∗.


an.


an3

n .

SUBIECTUL III

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = 2xy + 6x+ 6y + 15.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = 2(x+ 3)(y + 3)− 3, (∀) x, y ∈ R.


c) Sa se verifice ca x ◦ (−3) = (−3) ◦ x = −3, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca (−15) ◦ (−14) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 14 ◦ 15 < −1.

17

e) Sa se stabileasca daca multimea Q\Z este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = arctg x si sirul (an)n∈N∗ , an =1

1 + 12+

1

1 + 22+ . . .+

1

1 + n2, n ∈ N∗.


b) Sa se arate ca functia f ′ este strict descrescatoare pe intervalul [0,∞).

c) Aplicand teorema lui Lagrange, sa se arate ca1

1 + (k + 1)2< arctg(k + 1)− arctg k <

1

1 + k2, (∀) k ∈ N.

d) Sa se arate ca sirul (an)n∈N∗ este strict crescator.

e) Utilizand rezultatul de la punctul c), sa se arate ca an <π

2, (∀) n ∈ N∗.

18

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 − 2x+m, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine punctul de minim si valoarea minima a functiei f .

b) Sa se determine valorile lui m pentru care f(x) ≥ 2, (∀) x ∈ R.

c) Pentru m = 1, sa se rezolve ecuatia (f ◦ f)(x) = 0.

2. a) Sa se verifice identitatea2x+ 1

x2(x+ 1)2=

1

x2− 1

(x+ 1)2, (∀) x > 0.

Notam cu an =3

12 · 22+

5

22 · 32+ . . .+

2n+ 1

n2 · (n+ 1)2, n ∈ N∗.

b) Sa se arate ca an =n2 + 2n

(n+ 1)2, (∀) n ∈ N∗.


an.


an2

n .



b) Sa se determine panta dreptei AB.

c) Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X3 − 3X + 1.

a) Sa se calculeze f(−2), f(0), f(1) si f(2).

b) Sa se arate ca polinomul f are toate radacinile reale.

c) Sa se demonstreze ca radacinile polinomului f sunt numere irationale.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 2x − ax− 1, unde a este parametru real.



c) Sa se determine valorile lui a pentru care f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

d) Sa se deduca inegalitatea

∫ 1

0

2x2

dx ≥ 1 +ln 2

3·

SUBIECTUL III

In multimea M2(R) se considera matricele I2 =

(1 00 1

), A =

(4 −62 −3

), precum si submultimea

G = {X(a) | a ∈ R si X(a) = I2 + aA}.



c) Sa se arate ca I2 ∈ G.

d) Sa se demonstreze ca X(a) ·X(b) = X(a+ b+ ab), (∀) a, b ∈ R.

e) Sa se demonstreze ca X(1) ·X(2) · . . . ·X(2001) = X(2002!− 1).

19

SUBIECTUL IV

Se considera sirul (In)n≥0 definit prin I0 =

∫ 1

0

1

2x+ 3dx si In =

∫ 1

0

xn

2x+ 3dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Sa se arate ca 2In+1 + 3In =1

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.

c) Daca x ∈ [0, 1], sa se arate ca xn ≥ xn+1, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca In ≥ In+1, (∀) n ∈ N∗.

e) Sa se deduca inegalitatile1

5(n+ 1)≤ In ≤

1

5n, (∀) n ∈ N∗.


nIn.

20

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 + 4X2 − 20X − 48.


b) Sa se rezolve ecuatia f(x) = 0, x ∈ C.

c) Sa se rezolve ecuatia 8x + 4 · 4x − 20 · 2x − 48 = 0, x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex − x− 1.



c) Sa se deduca inegalitatea f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca

∫ 1

0

e−x2

dx ≥ 2

3·

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(n, n2), n ∈ N.

a) Sa se determine coordonatele punctelor A0, A1, A2.

b) Sa se calculeze perimetrul triunghiului A0A1A2.

c) Sa se determine panta dreptei A7A8.

SUBIECTUL II

1. In multimea M2(Z) se considera submultimea G =

{(a b−b a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z}

.

a) Sa se verifice ca I2 =

(1 00 1

)∈ G.


c) Sa se arate ca daca A ∈ G si rang(A) < 2, atunci A =

(0 00 0

).

d) Sa se arate ca daca A ∈ G si det(A) = 1, atunci A4 = I2.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =x

(x2 + 1)(x2 + 4)·

a) Sa se determine a, b ∈ R, pentru carex

(x+ 1)(x+ 4)=

a

x+ 1+

b

x+ 4, (∀) x > 0.

b) Sa se calculeze

∫x

x2 + α2dx, unde x ∈ R, α ∈ R∗.

c) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1.

SUBIECTUL III

Se considera polinomul f = (X + 1)2n+1 + (X − 1)2n+1, n ∈ N∗, cu forma algebrica f = a2n+1X2n+1a2nX

2n +. . .+ a1X + a0 si cu radacinile x1, x2, . . . , x2n+1 ∈ C.

a) Sa se calculeze a0.

b) Sa se determine suma coeficientilor polinomului f .

c) Sa se calculeze a2n si a2n−1.

d) Sa se calculeze S = x1 + x2 + . . .+ x2n+1 si T = x21 + x22 + . . .+ x22n+1.

Consideram z = a+ ib o radacina complexa a polinomului f , unde a, b ∈ R.

21

e) Sa se arate ca |a+ 1 + ib| = |a− 1 + ib|.

f) Sa se arate ca a = 0.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R\{1} → R, f(x) =x3

(x− 1)2·

a) Sa se verifice ca f(x) = x+ 2 +3

x− 1+

1

(x− 1)2, (∀) x ∈ R\{1}.


c) Sa se demonstreze, folosind metoda inductiei matematice, ca

(1

x− a

)(n)

=(−1)nn!

(x− a)n+1, (∀) n ∈ N∗ si x 6= a.

d) Sa se calculeze f (n)(x), x 6= 1, n ∈ N, n ≥ 2.


1

n2

∫ n

2

f(x) dx.

22


Varianta 1

Profilurile industrial, agricol, silvic si sportiv real

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3−X + 1, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C si polinomul g = X2 +X + 1, cu radaciniley1, y2 ∈ C.





2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex − x.



c) Sa se deduca inegalitatea f(x) ≥ 1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca

∫ 1

0

ex2

dx ≥ 4

3·


a) Sa se calculeze panta dreptei AB.

b) Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

c) Sa se scrie ecuatia dreptei AC.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y +√

2.

a) Sa se arate ca Sa se arate ca (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R.


c) Sa se precizeze daca multimea R\Q este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

2. a) Sa se verifice identitatea3x2 + 3x+ 1

x3(x+ 1)3=

1

x3− 1

(x+ 1)3, (∀) x > 0.

Notam cu an =3 · 12 + 3 · 1 + 1

13 · 23+

3 · 22 + 3 · 2 + 1

23 · 33+ . . .+

3 · n2 + 3 · n+ 1

n3 · (n+ 1)3, n ∈ N∗.

b) Sa se arate ca an =(n+ 1)3 − 1

(n+ 1)3, (∀) n ∈ N∗.


an.


an3

n .

SUBIECTUL III


1 1 −12 2 −23 3 −3

si I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.


23


c) Sa se verifice identitatea I3 = (I3 −A)(I3 +A).

d) Sa se arate ca matricea I3 −A este inversabila si sa se calculeze inversa ei.

e) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca (I3 +A)n = I3 + nA, (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = x− arctg x.



c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.

d) Sa se determine asimptota la ramura spre +∞ a graficului functiei f .

e) Sa se calculeze limx→∞

1

x2

∫ x

0

f(t) dt.

24

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera ecuatia x2 −mx+m− 1 = 0, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine m astfel ıncat ecuatia sa aiba radacini reale.

b) Sa se determine m astfel ıncat ecuatia sa aiba radacini opuse.

c) Sa se determine m astfel ıncat ecuatia sa aiba radacini inverse.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x+ 1)4 − x4.


b) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.

c) Sa se determine punctul de inflexiune al graficului functiei f .

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.



b) Sa se calculeze panta dreptei AB.

c) Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul C si are aceeasi panta cu dreapta AB.

SUBIECTUL II


x+ y + z = 3

x+ 2y + 3z = 6

x+ 3y + 5z = 9

. Notam cu A matricea sistemului.


b) Sa se arate ca sistemul este compatibil nedeterminat.

c) Sa se determine acele solutii (x, y, z) ale sistemului pentru care x2 + y2 + z2 = 3.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 3x − ax− 1, unde a este parametru real.



c) Sa se determine a ∈ R, pentru care f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

SUBIECTUL III

In multimea M2(R) se considera matricele I2 =

(1 00 1

), A =

(2 2−1 −1


G = {X(a) | a ∈ R si X(a) = I2 + aA}.


b) Sa se verifice ca I2 ∈ G.

c) Sa se demonstreze ca X(a) ·X(b) = X(a+ b+ ab), (∀) a, b ∈ R.

d) Sa se verifice ca X(a) ·X(−1) = X(−1), (∀) a ∈ R.

e) Sa se determine numarul t ∈ R pentru care X(−100) ·X(−99) · . . . ·X(99) ·X(100) = X(t).

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f, g : R→ R, f(x) = arctg x− x+x3

3si g(x) = arctg x− x+

x3

3− x5

5·

25

a) Sa se calculeze f ′(x) si g′(x), x ∈ R.

b) Sa se calculeze f(0) si g(0)

c) Sa se arate ca f ′(x) ≥ 0 si g′(x) ≤ 0, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca f(x) > 0 si g(x) < 0, (∀) x > 0.

e) Sa se demonstreze ca2

7<

∫ 1

0

arctg(x2) dx <31

100·

26

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 + aX + b, cu a si b parametri reali.

a) Sa se determine a si b, stiind ca polinomul f se divide cu X + 1 si ca f(1) = 4.

b) Pentru a = 1 si b = 2 sa se rezolve ecuatia f(x) = 0, x ∈ C.

c) Pentru a = 1 si b = 2 sa se rezolve inecuatia f(x) < 0, x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =x2

x2 + 1·

a) Sa se verifice ca f(−x) = f(x), (∀) x ∈ R.


c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(0, 3), B(3, 0) si C(4, 4).

a) Sa se calculeze panta dreptei AC.

b) Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.


SUBIECTUL II


(2 61 3

).

a) Sa se verifice ca A2 = 5A.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca An = 5n−1A, (∀) n ∈ N∗.c) Sa se arate ca matricea A−A2 +A3 + . . .+ (−1)99A100 are toate elementele strict negative.

2. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) = arctg x+ arctg1

x·


b) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ (0,∞).


f(x).

SUBIECTUL III

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = xy + x+ y.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = (x+ 1)(y + 1)− 1, (∀) x, y ∈ R.




e) Sa se rezolve ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x = −1.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile fn : R→ R, f0(x) = 1 si fn+1(x) =

∫ x

2

fn(t) dt, (∀) x ∈ R si (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca f1(x) = x− 2, (∀) x ∈ R.

27

b) Sa se verifice ca f2(x) =(x− 2)2

2!, (∀) x ∈ R.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca fn(x) =(x− 2)n

n!, (∀) x ∈ R si (∀) n ∈ N∗.


fn(100).


f0(3) + f1(3) + . . .+ fn(3)

n·

28

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 +X +m, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine numarul real m, stiind ca polinomul f se divide cu polinomul X + 1.

b) Pentru m = 2 sa se rezolve ecuatia f(x) = 0, x ∈ C.

c) Pentru m = 2, sa se rezolve inecuatia f(x) < 0, x ∈ R.

2. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) = ln(x+ 2)− lnx


b) Sa se arate ca f ′(x) < 0 si f(x) > 0, (∀) x > 0.

c) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficul functiei f .

d) Sa se calculeze

∫ e

1

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(n, n2), n ∈ N.


b) Sa se calculeze lungimea segmentului A0A1.

c) Sa se arate ca panta dreptei AnAn+1 este un numar natural impar, (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II


ax+ y + z = 1

x+ ay + 3z = 1

x+ y + az = 1

, unde a este parametru real.

a) Sa se calculeze determinantul matricei sistemului.

b) Sa se determine valorile lui a pentru care sistemul este compatibil determinat.

c) Sa se stabileasca daca sistemul este compatibil pentru a = −2. Justificati raspunsul.

2. Se considera sirul (an)n∈N∗ , an =1 · 1! + 2 · 2! + . . .+ n · n!

(n+ 1)!, (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se verifice identitatea k · k! = (k + 1)!− k!, (∀) k ∈ N.

b) Sa se arate ca 1 · 1! + 2 · 2! + . . .+ n · n! = (n+ 1)!− 1, (∀) n ∈ N∗.c) Sa se calculeze lim

n→∞an.


a(n+1)!n .

SUBIECTUL III

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y +√

5.


b) Sa se determine numarul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R.

c) Sa se rezolve ecuatia 2x ◦ 4x = 6 +√

5, x ∈ R.

d) Sa se stabileasca daca multimea R\Q este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

e) Se considera numarul a =√

5 ◦ (−2√

5) ◦ (3√

5) ◦ . . . ◦ (19√

5) ◦ (−20√

5). Sa se arate ca 20 < a < 21.

29

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = x+ 2x.



c) Sa se calculeze f ′′(x), x ∈ R.

d) Sa se arate ca functia f este convexa pe R.


f(1) + f(2) + . . .+ f(n)

2n·

30

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 − 2x+ 2.

a) Sa se arate ca f(x) ≥ 1, (∀) x ∈ R.

b) Sa se rezolve ecuatia (f ◦ f)(x) = f(x), x ∈ R.

c) Sa se gaseasca un numar irational a pentru care f(a) ∈ Q.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x− arctg x.



c) Sa se arate ca f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca x ≥ arctg x, (∀) x ≥ 0.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(4n− 3, 3n− 2), n ∈ N.



c) Sa se arate ca panta dreptei AnAn+1 nu depinde de n, (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II


(2 1−2 −1

).



c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca A+22A2 + . . .+n2An =n(n+ 1)(2n+ 1)

6A,

(∀) n ∈ N∗.

2. Se considera sirul (an)n∈N∗ , an =2 · 1 + 1

12 · 22+

2 · 2 + 1

22 · 32+ . . .+

2 · n+ 1

n2 · (n+ 1)2, n ∈ N∗.

a) Sa se verifice identitatea2k + 1

k2(k + 1)2=

1

k2− 1

(k + 1)2, (∀) k ∈ N∗.

b) Sa se arate ca an = 1− 1

(n+ 1)2, (∀) n ∈ N∗.


an.


an2

n .

SUBIECTUL III

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = −xy − x− y − 2.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = −(x+ 1)(y + 1)− 1, (∀) x, y ∈ R.



d) Sa se arate ca (−20) ◦ (−19) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 19 ◦ 20 < 0.


31

SUBIECTUL IV


(x2 + 1)(x2 + 2)·

a) Sa se determine a, b ∈ R, pentru care1

(x+ 1)(x+ 2)=

a

x+ 1+

b

x+ 2, (∀) x > 0.


c) Sa se arate ca 0 < f(x) ≤ 1

2, (∀) x ∈ R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

e) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficul functiei f .


(f(√

1) + f(√

2) + . . .+ f(√n))

.

32


Varianta 1

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Un autoturism A care consuma motorina este cu 40000000 lei mai scump decat un autoturism B care consumabenzina. Un litru de benzina costa 15000 lei, iar un litru de motorina costa 13000 lei. Un autoturism A consuma5 litri de motorina la 100 km, iar un autoturism B consuma 7 litri de benzina la 100 km.

a) Sa se determine cat costa motorina consumata de autoturismul A la 100 km.

b) Sa se determine cat costa benzina consumata de autoturismul B la 100 km.

c) Sa se afle dupa cati km pretul autoturismului A adunat cu costul motorinei consumate de el este acelasi cupretul autoturismului B adunat cu costul benzinei consumate de el.

2. Numarul 1000 se mareste cu 10% din valoarea sa si se obtine numarul a. Numarul a se micsoreaza cu 10% dinvaloarea sa si se obtine numarul b.

a) Sa se calculeze a.

b) Sa se calculeze b.

c) Cu ce procent trebuie micsorat numarul 1000, pentru a se obtine numarul b?


37este 0, a1a2 . . . an . . ..

a) Sa se determine cifrele a1 si a2.

b) Sa se determine cifra a2001.

c) Sa se calculeze S = a1 + a2 + . . .+ a2001.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X4 +X3 +X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C si polinomul g = X2 +X + 1cu radacinile y1, y2 ∈ C.



c) Sa se arate ca numarul A = g(x1) + g(x2) + g(x3) + g(x4) este ıntreg.

2. Se considera binomul (1 +√

2)100.

a) Sa se scrie termenul din mijloc al dezvoltarii binomului.

b) Sa se determine numarul de termeni rationali din dezvoltarea binomului.

c) Notam cu S suma termenilor rationali si cu T suma termenilor irationali ai binomului. Sa se demonstrezeca S > T .

SUBIECTUL III


1 2 31 2 31 2 3


b) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca An = 6n−1A, (∀) n ∈ N∗.

c) Sa se arate ca A+A2 +A3 + . . .+A2001 =62001 − 1

5A.

33

2. a) Sa se arate ca daca 0 < x < 1, atunci avem inegalitatile x <√x < 1.

b) Sa se determine primele 20 de zecimale ale numarului√x, unde x = 1− 1

1020·

SUBIECTUL IV

Piramida patrulatera regulata cu varful V si baza ABCD are V A = AB = a.

a) Sa se calculeze apotema piramidei.


c) Sa se calculeze ınaltimea piramidei.

d) Sa se calculeze volumul piramidei.

e) Sa se arate ca muchiile V A si V C sunt perpendiculare.

f) Fie punctul P ∈ (V C). Sa se determine lungimea segmentului PC, astfel ıncat perimetrul triunghiului BPD safie minim.

34

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Un copac cu ınaltimea de 10 m creste ın fiecare luna cu 4% din ınaltimea sa.

a) Ce ınaltime va avea copacul dupa o luna?

b) Ce ınaltime va avea copacul dupa doua luni?

c) Sa se arate ca dupa 20 de luni, copacul va avea o ınaltime mai mare de 20 m.

2. a) Care este cel mai mic numar natural care, scris ın baza zece, are 4 cifre?

b) Care este cel mai mare numar natural care, scris ın baza zece, are 6 cifre?

c) Sa se demonstreze ca numarul 2100 scris ın baza zece are exact 31 de cifre.

3. a) Sa se verifice identitatea1

x3 − x=

1

2

(1

(x− 1)x− 1

x(x+ 1)

), (∀) x > 1.

b) Sa se arate ca1

k3<

1

k3 − k, (∀) k > 1.

c) Notam cu an =1

13+

1

23+ . . .+

1

n3, n ∈ N∗.

Sa se demonstreze ca 1 ≤ an <5

4, (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL II


(4 28 4

).


b) Sa se verifice ca A2 = 8A.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca An = 8n−1A, (∀) n ∈ N∗.

2. Se considera polinomul f = X4 − X2 + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C si polinomul g = X2 − X + 1 curadacinile y1, y2 ∈ C.


b) Sa se verifice ca y31 = y32 = −1.

c) Sa se arate ca numarul B = g(x1)g(x2)g(x3)g(x4) este ıntreg.

SUBIECTUL III

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y + 1.



c) Sa se arate ca numarul 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ . . . ◦ 2001 nu este patratul unui numar natural.


2. Sa se arate ca ın orice multime de patru numere ıntregi exista doua care au suma sau diferenta divizibila cu 5.

SUBIECTUL IV

Cubul ABCDA′B′C ′D′ are muchia de lungime a.

a) Sa se calculeze aria totala a cubului.

b) Sa se calculeze lungimea segmentului AC ′.

35

c) Sa se calculeze volumul tetraedrului B′ABC.

d) Sa se calculeze volumul tetraedrului ACB′D′.

e) Sa se calculeze distanta de la punctul A la planul (CD′B′).

f) Notam cu O centrul fetei BCC ′B′. Sa se afle lungimea minima pe care o are un drum dintre A si O pe suprafatacubului.

36

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Trei tractoristi au de arat ımpreuna o suprafata de 130 de ha. Dupa ce primul a arat doua treimi din suprafatasa, al doilea a arat trei sferturi din suprafata sa, iar al treilea a arat doua cincimi din suprafata sa, toti au ramascu suprafete egale de arat.

a) Ce procent din suprafata pe care trebuia sa o are al doilea tractorist reprezinta suprafata pe care trebuiasa o are primul tractorist?

b) Ce suprafata trebuia sa are fiecare tractorist?

c) Ce suprafata a arat fiecare tractorist?

2. Se considera numarul a = 31 · 32 · 33 · . . . · 60.

a) Sa se determine cel mai mare numar natural n pentru care 2n divide numarul a.

b) Care este numarul de zerouri cu care se termina numarul a scris ın baza zece?

c) Sa se demonstreze ca numarul a nu este patrat perfect.

3. Fie suma S =1

39+

1

40+ . . .+

1

50·

a) Cati termeni are suma S?

b) Sa se arate ca6

25< S <

4

13·

c) Daca1

39+

1

40+ . . .+

1

50=a

b, cu a, b ∈ N∗ prime ıntre ele, sa se arate ca b este numar par si ca a se divide

cu 89.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se verifice identitatea a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca), (∀) a, b, c ∈ R.

b) Sa se arate ca 2(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca) = (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2, (∀) a, b, c ∈ R.

c) Sa se rezolve ecuatia 8x + 27x + 125x = 3 · 30x, x ∈ R.

2. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y − 10.



c) Sa se arate, utilizand metoda inductiei matematice, ca 2 ◦ 22 ◦ 23 ◦ . . . ◦ 2n = 2n+1 − 10n+ 8, (∀) n ∈ N∗.d) Sa se stabileasca daca multimea R\Q este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

SUBIECTUL III

1. Se considera polinomul f = (X + i)10 + (X − i)10 avand forma algebrica f = a10X10 + a9X

9 + . . .+ a1X + a0.

a) Sa se calculeze a0.

b) Sa se determine a10, a9, a8.


d) Sa se arate ca polinomul f are toti coeficientii reali.

e) Se considera z o radacina complexa a polinomului f . Sa se arate ca |z + i| = |z − i|.f) Sa se arate ca polinomul f are toate radacinile reale.

2. Sa se demonstreze ca numarul 50! nu este nici patrat perfect, nici cub perfect.

SUBIECTUL IV

Se considera piramida triunghiulara regulata cu varful A si baza BCD. Se stie ca AB = BC = a.

37


b) Sa se calculeze ınaltimea piramidei.

c) Sa se calculeze volumul piramidei.

Fie A′, B′, C ′, D′ centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, ACD, ABD si respectiv ABC.

d) Sa se demonstreze ca dreptele AA′, BB′, CC ′ si DD′ sunt concurente.

e) Notam punctul de concurenta al dreptelor AA′, BB′, CC ′ si DD′ cu G. Sa se arate ca GA = 3GA′.

38

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. Un calator are de parcurs un traseu lung de 1275 km. In prima zi el parcurge 1 km, ın a doua zi parcurge 2km,..., ın a n-a zi parcurge n km.

a) Cati km a parcurs calatorul dupa primele 3 zile?

b) Cati km a parcurs calatorul dupa primele 7 zile?

c) Dupa cate zile parcurge calatorul tot traseul?

2. Se considera numerele a = 1 · 2 · 3 · . . . · 25 si b = 26 · 27 · . . . · 50.

a) Sa se arate ca numarul a nu este patrat perfect.

b) Sa se determine cel mai mic numar natural n pentru care 10n divide a.

c) Sa se demonstreze cab

aeste numar natural.

3. Se considera multimea A formata din numere naturale care ımpartite la 3, 4 respectiv 5 dau resturile 2, 3respectiv 4.

a) Sa se arate ca daca a ∈ A, atunci 60 divide a+ 1.

b) Sa se determine cel mai mic element din multimea A.

c) Sa se determine elementele din multimea A continute ın intervalul (100, 200).

SUBIECTUL II


−4 6 0−2 3 00 0 −1

.


b) Sa se verifice ca A2 = −A.

c) Sa se determine numarul ıntreg x, pentru care A+ 2A2 + . . .+ 2001A2001 = xA.

2. Se considera polinomul f = (X + i)5 − (X − i)5 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f = 2i(5X4 − 10X2 + 1).

b) Sa se rezolve ecuatia f(x) = 0.

c) Sa se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 si T = x21 + x22 + x23 + x24.

SUBIECTUL III

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = xy + x+ y.


b) Sa se arate ca Sa se arate ca (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ R.

c) Sa se arate ca x ◦ (−1) = −1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se calculeze (−2001) ◦ (−2000) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ 2000 ◦ 2001.


2. Sa se arate ca daca p > 2 si q > 2 sunt numere prime consecutive, atunci numarulp+ q

2este natural si nu este

prim.

SUBIECTUL IV

Se considera piramida regulata cu varful V si baza ABC. Se stie ca V A = 2a si m(^AV B) = 30◦.

39

a) Sa se calculeze lungimea ınaltimii din A a triunghiului AV B.

b) Sa se calculeze lungimea segmentului AB.

c) Sa se calculeze apotema piramidei.

d) Sa se calculeze aria totala a piramidei.

e) Fie punctele M ∈ (V A), N ∈ (V B) si P ∈ (V C), astfel ıncat VM = MA si perimetrul triunghiului MNP safie minim. Sa se calculeze perimetrul triunghiului MNP .

40

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. Trei muncitori A, B si C efectueaza o lucrare. Daca muncitorii A si B lucreaza ımpreuna, termina lucrarea ın 12zile, daca muncitorii B si C lucreaza ımpreuna, termina lucrarea ın 20 zile, iar daca muncitorii A si C lucreazaımpreuna, termina lucrarea ın 15 zile.

a) In cate zile ar termina lucrarea fiecare muncitor daca ar lucra singur?

b) In cate zile ar termina lucrarea cei trei muncitori daca ar lucra ımpreuna?

c) Pentru o zi de munca lucrata ımpreuna ei primesc ın total 600000 de lei. Ce suma revine fiecarui muncitorzilnic, stiind ca ei sunt platiti direct proportional cu munca prestata?

2. a) Sa se arate ca1

2<

1

10+

1

11+ . . .+

1

19< 1.

b) Daca1

10+

1

11+ . . .+

1

19=a

b, cu a, b ∈ N∗ prime ıntre ele, sa se arate ca b este par si a este impar.

c) Sa se arate ca a se divide cu 29.

3. Notam cu A multimea numerelor naturale de 4 cifre distincte, formate cu cifrele 2, 3, 5 si 6.

a) Cate elemente are multimea A?

b) Cate elemente ale multimii A sunt numere pare?

c) Sa se calculeze suma numerelor impare din multimea A.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X9 +(X+1)6 avand forma algebrica f = a9X9 +a8X

8 + . . .+a1X+a0 si polinomulg = X2 +X + 1 cu radacinile y1, y2 ∈ C.

a) Sa se calculeze suma coeficientilor polinomului f .


c) Sa se calculeze f(y1) si f(y2).

d) Sa se arate ca a0 + a3 + a6 + a9 =f(1) + f(y1) + f(y2)

3·


(1 22 4

)si B =

(4 −2−2 1

).

a) Sa se verifice ca AB = BA.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca (A−B)n = An + (−1)nBn, (∀) n ∈ N∗.c) Sa se calculeze (A+B)n, n ∈ N∗.

SUBIECTUL III

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = −xy + x+ y.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = −(x− 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R.


c) Sa se arate ca x ◦ 1 = 1 ◦ x = 1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se calculeze (−20) ◦ (−19) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ 19 ◦ 20.


2. Sa se arate ca un produs de trei numere naturale nenule consecutive nu este cub perfect.

SUBIECTUL IV

Se considera piramida triunghiulara regulata cu varful A si baza BCD. Se stie ca AB = 5 si BC = 5√

2.

41

a) Sa se arate ca AB este perpendiculara pe dreapta AC.

b) Sa se calculeze aria totala a piramidei.


Fie punctele M ∈ (AB), N ∈ (AC) si P ∈ (AD), astfel ıncat AM = 1, AN = 2 si AP = 3.

d) Sa se calculeze perimetrul triunghiului MNP .

e) Sa se calculeze volumul corpului MNPBCD.

42


Varianta 1

Profilul uman

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 −X2 + aX + b, unde a si b sunt parametri reali.

a) Sa se determine a si b, stiind ca polinomul X − 1 divide pe f si f(−1) = −4.

b) Se considera polinomul g = X3 −X2 +X − 1. Sa se rezolve ın C ecuatia g(x) = 0.

c) Sa se afle catul si restul ımpartirii polinomului g la polinomul X2 +X.

d) Sa se afle cate valori reale poate lua expresia E = x21 +x2 +x3, unde x1, x2 si x3 sunt radacinile polinomuluig, permutate ın toate modurile.

e) Sa se rezolve ecuatia g(2x) = 0.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x+ 1)3 − x3.


b) Sa se studieze semnul functiei f ′.

c) Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f .



f(0) + f(1) + . . .+ f(n)

n3·

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = xy + 2x+ 2y + 2.



c) Sa se determine numarul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca x ◦ (−2) = (−2) ◦ x = −2, (∀) x ∈ R.


SUBIECTUL III

Se considera functia f : R\{1, 2} → R, f(x) =3x− 5

x2 − 3x+ 2·

a) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat pentru orice x ∈ R\{1, 2} sa avem f(x) =a

x− 1+

b

x− 2·

b) Sa se determine primitivele functiei f pe intervalul (2,∞).


d) Sa se determine asimptotele verticale la graficul functiei f .


1

n

∫ n

3

f(x) dx.

SUBIECTUL IV

In multimea M2(Z) se considera matricele A =

(4 1−8 −2

)si I2 =

(1 00 1

).

43



c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca An = 2n−1A, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca A+A2 + . . .+A2001 = (22001 − 1)A.

e) Sa se calculeze (A− I2)n, n ∈ N∗.

44

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X2 + 2X + 4 cu radacinile x1, x2 ∈ C.

a) Sa se arate ca polinomul f divide polinomul X3 − 8.

b) Sa se arate ca x31 = x32 = 8.

c) Sa se gaseasca o valoare a ∈ R\Q, pentru care f(a) ∈ N.

d) Daca z este o radacina a polinomului f , sa se calculeze A = z20 + 2z19 + 22z18 + . . .+ 219z + 220.

e) Sa se rezolve ecuatia f(2x) = 7.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ax2 + bx+ c, unde a, b si c sunt parametri reali.

a) Sa se determine a, b si c astfel ıncat sa fie ındeplinite simultan urmatoarele conditii: f(0) = 0, f ′(1) = −2

si

∫ 1

0

f(x) dx =2

3·

Consideram ca a = −1, b = 2 si c = 0.

b) Sa se calculeze f ′′(x), x ∈ R.



f ′(1) + f ′(2) + . . .+ f ′(n)

n2·

SUBIECTUL II

1. Se considera binomul (1 + x)n, x ∈ R, n ∈ N∗.

a) Sa se determine n stiind ca suma coeficientilor binomiali este 64.

b) Pentru n = 6 sa se determine termenul din mijloc al dezvoltarii.

c) Sa se determine x ∈ R, stiind ca n = 6 si ca termenul care ıl contine pe x2 este egal cu 60.

2. Se considera progresia aritmetica cu termenul general an = 3n+ 2, n ∈ N∗.

a) Sa se determine ratia progresiei.

b) Sa se verifice identitatea1

akak+1=

1

3

(1

ak− 1

ak+1

), (∀) k ∈ N∗.

c) Sa se arate ca1

a1a2+

1

a2a3+ . . .+

1

a2000a2001=

2000

a1a2001·

SUBIECTUL III

Se considera functia f : R\{1} → R, f(x) =x2 + x+ 1

x− 1·


x− 1, (∀) x ∈ R\{1}.

b) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R\{1}.

c) Sa se determine intervalele de convexitate si de concavitate ale functiei f .

d) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficul functiei f .

e) Sa se arate ca x = 1 este asimptota verticala la graficul functiei f .

f) Sa se calculeze

∫ 3

2

f(x) dx.

45

SUBIECTUL IV

In multimea M2(R) se considera matricele A =

(−2 −21 1

), I2 =

(1 00 1


G = {X(a) | a ∈ R si X(a) = I2 + aA}.

a) Sa se calculeze determinantul matricei X(a), a ∈ R.


c) Sa se verifice ca I2 ∈ G.

d) Sa se arate ca X(a) ·X(b) = X(a+ b− ab), (∀) a, b ∈ R.

e) Sa se determine t ∈ Z, astfel ıncat X(−10) ·X(−9) · . . . ·X(9) ·X(10) = X(t).

46

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = aX3 + bX + c, unde a, b si c sunt parametri reali.

a) Sa se determine a, b si c stiind ca polinomul X − 1 divide polinomul f si ca polinomul f ımpartit la X2 + 1da restul −4X + 2.

Se considera polinomul g = X3 − 3X + 2.

b) Sa se rezolve ecuatia g(x) = 0, x ∈ C.

c) Sa se determine valoarea maxima a expresiei E = x21+x2+x3, unde x1, x2 si x3 sunt radacinile polinomuluig, permutate ın toate modurile.

d) Sa se rezolve ecuatia g(3x) = 0

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =2x

x2 + 1·

a) Sa se verifice ca f(−x) = −f(x), (∀) x ∈ R.

b) Sa se calculeze limx→∞

f(x).

c) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.


∫ 2n

n

f(x) dx.

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = −xy + x+ y.



c) Sa se verifice ca x ◦ 1 = 1 ◦ x = 1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca

x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn = (−1)n−1(x1 − 1) · (x2 − 1) · . . . · (xn − 1) + 1, (∀) x1, x2, . . ., xn ∈ R, (∀) n ∈ N∗.


SUBIECTUL III

Se considera functia f : R→ R, f(x) = −x3 + 4x− 3.

a) Sa se verifice ca f(2− x) = f(2 + x), (∀) x ∈ R.


c) Sa se arate ca functia f este concava pe R.

d) Sa se calculeze limx→∞

1

f(x)

∫ x+1

x

f(t) dt.

e) Sa se determine a ∈ (1, 3) cu proprietatea ca dreapta x = a desparte suprafata plana cuprinsa ıntre graficulfunctiei f si axa Ox ın doua regiuni de arii egale.

SUBIECTUL IV


1 1 11 1 11 1 1

.

47



c) Sa se arate ca An = 3n−1A, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca A+A2 +A3 + . . .+A2001 =32001 − 1

2A.

e) Sa se arate ca daca avem trei progresii aritmetice de cate trei termeni: a, b, c, respectiv x, y, z, respectiv u, v,

w, atunci determinantul matricei

a b cx y zu v w

este egal cu 0.

48

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = (X + 1)20 + (X − 1)20 avand forma algebrica f = a20X20 + a19X

19 + . . .+ a1X + a0.

a) Sa se calculeze a0, a1 si a2.

b) Sa se calculeze f(1).

c) Sa se verifice ca f(−x) = f(x), (∀) x ∈ C.

d) Sa se calculeze f(i).

e) Sa se demonstreze ca a0 + a4 + a8 + . . .+ a20 =1

4[f(1) + f(−1) + f(i) + f(−i)].

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x− 1)ex.



c) Sa se arate ca f(x) ≥ −1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

e) Sa se determine intervalele de convexitate si de concavitate ale functiei f .

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y +√

2.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = y ◦ x, (∀) x, y ∈ R.


c) Sa se determine numarul real e pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R.

d) Se considera numarul a = 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ . . . ◦ 2001− 2000√

2. Sa se arate ca a este numar ıntreg, dar nu este patratulunui numar natural.

e) Sa se stabileasca daca multimea R\Q este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

SUBIECTUL III

Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) =2x+ 1

x2(x+ 1)2·

a) Sa se verifice ca f(x) =1

x2− 1

(x+ 1)2, (∀) x > 0.

b) Sa se calculeze f ′(x), x > 0.

c) Sa se arate ca x = 0 este asimptota verticala la graficul functiei f .

d) Sa se calculeze

∫ 2

1

f(x) dx.


1

f(x)

∫ x+1

x

f(t) dt.


[f(1) + f(2) + . . .+ f(n)].

SUBIECTUL IV


(2 −2−2 2

)si B =

(1 11 1

).

49


b) Sa se arate ca A2 = 4A.

c) Sa se arate ca B2 = 2B.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca (A+B)n = An +Bn, (∀) n ∈ N∗.

e) Sa se arate ca (A+B)n = 4n−1A+ 2n−1B, (∀) n ∈ N∗.

50

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2 ∈ C.


b) Sa se arate ca x31 = x32 = 1.

c) Sa se calculeze x20011 + x20012 .

d) Daca z este o radacina a polinomului f , atunci sa se calculeze z20 + z19 + . . .+ z + 1.

e) Sa se gaseasca o valoare a ∈ R\Q, pentru care f(a) ∈ N.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =1

x2 + 1·


b) Sa se determine asimptota spre −∞ la graficul functiei f .



f(x+ 1)− f(x)

f ′(x)·

e) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = −1si x = 1.

f) Sa se calculeze limx→∞

∫ x

−xf(t) dt.

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y + 1.



c) Sa se stabileasca daca multimea Q\Z este parte stabila ın raport cu legea ”◦”. Justificati raspunsul.

d) Sa se arate ca numarul a = 1 ◦ 3 ◦ 5 ◦ . . . ◦ 2001− 1000 este patratul unui numar natural.

e) Sa se rezolve ecuatia 2x ◦ 4x = 7, x ∈ R.

SUBIECTUL III

Se considera functia f : R\{−1, 0} → R, f(x) =1

x(x+ 1)·

a) Sa se verifice identitatea f(x) =1

x− 1

x+ 1, (∀) x ∈ R\{−1, 0}.

b) Sa se arate ca x = 0 este asimptota verticala la graficul functiei f .


d) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R\{−1, 0}.

e) Sa se calculeze

∫ 2

1

f(x) dx.


[f(1) + f(2) + . . .+ f(n)].

SUBIECTUL IV

Se considera sirul cu termenul general an = 2n+ 3, n ∈ N.

51

a) Sa se arate ca sirul (an)n≥0 formeaza o progresie aritmetica si sa se determine ratia progresiei.

b) Sa se verifice identitatea1

akak+1ak+2=

1

4

(1

akak+1− 1

ak+1ak+2

), (∀) k ∈ N.

c) Sa se arate ca1

a1a2a3+

1

a2a3a4+ . . .+

1

anan+1an+2=

1

4

(1

a1a2− 1

an+1an+2

), (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca pentru orice numar natural nenul n avem a1 + a2 + . . .+ an 6= 2001.

e) Sa se arate ca sirul cu termenul general bn = 2an , n ∈ N, formeaza o progresie geometrica si sa se determineratia sa.

f) Sa se calculeze b1 + b2 + . . .+ bn, n ∈ N∗.

52

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Se considera polinoamele cu coeficienti reali f = X3 + aX + b si g = X3 − 3X + 2.

a) Sa se determine parametri reali a si b, stiind ca polinomul f se divide cu X − 1 si ca f(−1) = 4.

b) Sa se rezolve ın C ecuatia g(x) = 0.

c) Sa se rezolve ın R inecuatia g(x) < 0.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia g(2x) = 0.

2. Se considera functia f : [0,∞)→ [0,∞), f(x) = xπ.

a) Sa se calculeze f ′(x), x ≥ 0.

b) Sa se calculeze limx→e

xπ − eπ

x− e·

c) Sa se arate ca functia f este convexa pe [0,∞).

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 4), B(−5, 0), C(4,−3) si O(0, 0).

a) Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

b) Sa se verifice ca OA = OB = OC.

c) Sa se scrie ecuatia cercului care trece prin punctele A, B, C.

SUBIECTUL II

1. In multimea permutarilor cu cinci elemente S5 se considera permutarile σ =

(1 2 3 4 52 3 1 5 4

), τ =

(1 2 3 4 52 1 4 5 3

)si e =

(1 2 3 4 51 2 3 4 5

).

a) Sa se determine numarul de inversiuni ale permutarii σ.

b) Sa se calculeze σ · τ si τ · σ.

c) Sa se rezolve ın S5 ecuatia x · σ = τ .

2. Se considera functiile fn : R→ R, n ∈ N, unde f0(x) = x+ 1, (∀) x ∈ R si fn+1(x) =

∫ x

−1fn(t) dt, (∀) n ∈ N si

x ∈ R.

a) Sa se verifice ca f1(x) =(x+ 1)2

2!, (∀) x ∈ R.

b) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca fn(x) =(x+ 1)n+1

(n+ 1)!, (∀) n ∈ N si x ∈ R.


fn(1).

SUBIECTUL III

In multimea matricelor M2(R) se considera submultimea G =

{(a b0 1

) ∣∣∣∣ a ∈ (0,∞), b ∈ R}

.

a) Sa se verifice ca matricea I2 =

(1 00 1

)∈ G.

b) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G, atunci A ·B ∈ G.

53

c) Sa se arate ca, daca A ∈ G, atunci exista B ∈ G, astfel ıncat A ·B = B ·A = I2.

d) Sa se gaseasca doua matrice A, B ∈ G pentru care A ·B 6= B ·A.

e) Sa se demonstreze ca, pentru orice matrice A ∈ G si (∀) n ∈ N∗, exista o matrice X ∈ G, astfel ıncat Xn = A.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) =√

1 + x2.

a) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficul functiei f .


c) Sa se arate ca functia f ′ este strict crescatoare.


1

n

[f

(1

n

)+ f

(2

n

)+ . . .+ f

(nn

)].

e) Utilizand teorema lui Lagrange, sa se arate ca pentru (∀) n ∈ N∗ si k ∈ {1, 2, . . . , n}, avem inegalitatile(x− k

n

)f ′(k

n

)≤ f(x)− f

(k

n

)≤(x− k

n

)f ′(k − 1

n

), (∀)x ∈

[k − 1

n,k

n

].

54

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera polinoamele cu coeficienti reali f = X3 + aX + b si g = X3 − 3X − 2.

a) Sa se determine parametri reali a si b, stiind ca polinomul f are radacina dubla x = −1.

b) Sa se rezolve ın C ecuatia g(x) = 0.

c) Sa se rezolve ın R inecuatia g(x) > 0.

d) Sa se rezolve ın (0,∞) ecuatia g(log2 x) = 0.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = πx.


b) Sa se calculeze limx→e

πx − πe

x− e·

c) Sa se arate ca functia f este convexa pe R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul C de ecuatie x2 + y2 = 25.

a) Sa se verifice ca punctul A(3, 4) se afla pe cercul C .

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la cercul C care trece prin punctul A(3, 4).

c) Sa se calculeze aria triunghiului format de axele de coordonate si tangenta la cerc care trece prin punctulA(3, 4).

SUBIECTUL II

1. a) Sa se arate ca pentru orice numere reale a, b, c, d este adevarata identitatea

(a− b)2 + (b− c)2 + (c− d)2 + (d− a)2 = 2(a2 + b2 + c2 + d2 − ab− bc− cd− da).

b) Sa se arate ca daca a, b, c, d ∈ R si a2 + b2 + c2 + d2 = ab+ bc+ cd+ da, atunci a = b = c = d.

c) Sa se rezolve ecuatia 4x + 9x + 25x + 49x = 6x + 15x + 35x + 14x, x ∈ R.

2. Se considera functiile f, g : [0,∞) → R, f(x) = x2n − nxn+1 + nxn−1 − 1, g(x) = 2xn+1 − (n + 1)x2 + n − 1,unde n ∈ N, n ≥ 2.

a) Sa se verifice ca f ′(x) = nxn−2g(x), x ≥ 0.

b) Sa se calculeze g′(x), x ≥ 0.

c) Sa se arate ca g(x) ≥ 0, (∀) x ≥ 0.

d) Sa se arate ca xn − 1

xn≥ n

(x− 1

x

), (∀) x ≥ 1, n ∈ N∗, n ≥ 2.

SUBIECTUL III

In multimea M3(Z2) se considera submultimea G =

1 a b

0 1 c

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ a, b, c ∈ Z2

si matricea I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

a) Sa se verifice ca I3 ∈ G.


c) Sa se demonstreze ca daca A ∈ G, atunci exista B ∈ G, astfel ıncat A ·B = I3.

d) Sa se calculeze numarul de elemente ale multimii G.

e) Sa se gaseasca doua matrice A, B ∈ G pentru care A ·B 6= B ·A.

55

f) Sa se arate ca, oricare ar fi matricea A ∈ G, avem A4 = I3.

SUBIECTUL IV

Se considera sirul (In)n∈N∗ definit prin In =

∫ 1

0

(x− x2)n dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Sa se arate ca 0 ≤ x− x2 ≤ 1

4, (∀) x ∈ [0, 1].

c) Sa se deduca inegalitatile 0 ≤ In ≤1

4n, (∀) n ∈ N∗.

d) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca In =1

4· 2n

2n+ 1· In−1, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

e) Sa se arate ca 0 <2

3· 4

5· . . . · 2n

2n+ 1<

√3

2n+ 3, (∀) n ∈ N∗.


4nIn = 0.

56

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 −X2 +X − 1 cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C.

a) Sa se determine x1, x2, x3.

b) Sa se arate ca x20011 + x20012 + x20013 este un numar ıntreg.

c) Sa se rezolve ecuatia f(2x) = 0, x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ln(x2 + 1).


b) Sa se calculeze limx→π

ln(x2 + 1)− ln(π2 + 1)

x− π·

c) Sa se determine intervalele de concavitate si de convexitate ale functiei f .

d) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx, x ∈ R.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul C de ecuatie x2 + y2 = 100.

a) Sa se verifice ca punctul A(6, 8) se afla pe cercul C .

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la cercul C care trece prin punctul A(6, 8).

c) Sa se calculeze aria triunghiului format de axele de coordonate si tangenta la cerc care trece prin punctulA(6, 8).

SUBIECTUL II

1. In multimea numerelor complexe se considera submultimea G = {z = a+ ib | a, b ∈ Q, a2 + b2 = 1}.

a) Sa se verifice ca 1 ∈ G.

b) Sa se arate ca, daca z, w ∈ G, atunci z · w ∈ G.

c) Sa se arate ca, daca z ∈ G, atunci1

z∈ G.

d) Sa se gaseasca un element z ∈ G, z = a+ ib, astfel ıncat a ∈ Q\Z.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =2x+1 + 3x+1

2x + 3x·



c) Sa se demonstreze ca functia f este strict crescatoare pe R.

d) Sa se arate ca 2 < f(x) < 3, (∀) x ∈ R.

SUBIECTUL III


x+ 2y + 3z = 0

2x+ 3y + 4z = 0

3x+ 4y + 5z = 0

. Notam cu A matricea sistemului, cu I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si cu

O3 =

0 0 00 0 00 0 0

.



c) Sa se arate ca An 6= I3, (∀) n ∈ N∗.

57

d) Sa se gaseasca o matrice B ∈M3(R), B 6= O3, pentru care A ·B = O3.

e) Sa se arate ca pentru orice r ∈ Q\Z avem det(A+ rI3) 6= o.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f, g : R→ R, f(x) = 1 + x+ x2 + . . .+ x2001 si g(x) = 2001x2002 − 2002x2001 + 1.

a) Sa se verifice ca f(x) =x2002 − 1

x− 1, (∀) x ∈ R, x 6= 1.

b) Sa se arate ca f ′(x) =g(x)

(x− 1)2, (∀) x ∈ R, x 6= 1.

c) Sa se calculeze g′(x), x ∈ R.

d) Sa se arate ca g(x) > 0, (∀) x ∈ R, x 6= 1.

e) Sa se demonstreze ca functia f este bijectiva.

f) Notam cu h : R→ R inversa functiei f . Sa se calculeze

∫ 2002

1

h(x) dx.

58

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1

Profilurile economic, fizica-chimie, chimie-biologie si militar real

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 + 2X2 − 5X − 6.


b) Sa se rezolve ın C ecuatia f(x) = 0.

c) Sa se rezolve ın R inecuatia f(x) ≥ 0.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia f(2x) = 0.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 2x.



2x − 2π

x− π·


d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.




c) Sa se calculeze panta dreptei BC.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = 2xy − 6x− 6y + 21.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = 2(x− 3)(y − 3) + 3, (∀) x, y ∈ R.


c) Sa se gaseasca doua elemente x, y ∈ Q\Z pentru care x ◦ y ∈ Z.

d) Sa se rezolve ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x ◦ x = 3, x ∈ R.

2. Se considera functia f : R\{1} → R, f(x) =x2 + x+ 2

x− 1·


x− 1, (∀) x ∈ R\{1}.



1

x2

∫ x

2

f(t) dt.

SUBIECTUL III

Se considera matricele X =

325

, Y =(1 1 −1

), A =

3 3 −32 2 −25 5 −5

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

. Pentru a ∈ R definim

matricea B = aA+ I3.

a) Sa se calculeze A−XY .


59

c) Sa se arate ca 2B −B2 = I3.

d) Sa se arate ca matricea B este inversabila si sa se calculeze inversa sa.

e) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca Bn = I3 + anA, (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f, g : [0,∞)→ R, f(x) = ln(x+ 1)− lnx si g(x) = f(x) +x2

2·

a) Sa se calculeze f ′(x) si g′(x), x ∈ [0,∞).

b) Sa se calculeze f(0), g(0), f ′(0) si g′(0).

c) Sa se arate ca f ′(x) < 0 si g′(x) >, (∀) x > 0.

d) Sa se deduca inegalitatea f(x) < 0 si g(x) > 0, (∀) x > 0.


lnn

∫ 1

0

ln(1 + xn) dx.

60

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X4 +X3 + 2X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f = (X2 + 1)(X2 +X + 1).


c) Sa se arate ca f(x) ≥ 3

4, (∀) x ∈ R.

d) Sa se calculeze S = x21 + x22 + x23 + x24.

2. Se considera functia f : (0,∞)→ (0,∞), f(x) = xe.

a) Sa se calculeze f ′(x), x > 0.


xe − πe

x− π·

c) Sa se arate ca functia f este convexa pe (0,∞).

d) Sa se calculeze

∫ 2

1

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(n,−n), n ∈ N.


b) Sa se verifice ca punctul An se afla pe dreapta A0A1, (∀) n ∈ N.

c) Sa se calculeze lungimea segmentului AnAn+1.

SUBIECTUL II


x+ 2y + 3z = 0

2x+ 3y + 4z = 0

3x+ 4y + 5z = 0

. Notam cu A matricea sistemului.



c) Sa se determine acele solutii (x0, y0, z0) ale sistemului pentru care x20 + y20 + z20 = 6.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (2x + 3x)(2−x + 3−x).



c) Sa se arate ca f(x) ≥ f(0), (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca limx→∞

1

f(x)

∫ x

0

f(t) dt.

SUBIECTUL III

Se considera multimea M2,1(Z) si matricea A =

(a bc d

)∈M2(Z). Definim functia f : M2,1(Z) →M2,1(Z) prin

f(x) = Ax, unde x =

(a1a2

)∈M2,1(Z).

a) Sa se verifice ca f(x+ y) = f(x) + f(y), (∀) x, y ∈M2,1(Z).

b) Sa verifice ca f(λx) = λf(x), (∀) x ∈M2,1(Z) si λ ∈ Z.

c) Sa se arate ca, daca det(A) 6= 0, atunci functia f este injectiva.

d) Sa se arate ca, daca det(A) ∈ {1,−1}, atunci functia f este bijectiva.

61

e) Sa se arate ca, daca functia f este bijectiva, atunci det(A) ∈ {1,−1}.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x− 1)(x− 2) . . . (x− 5).

a) Sa se rezolve ın R ecuatia f(x) = 0.

b) Utilizand teorema lui Rolle, sa se arate ca f ′ are patru radacini reale, distincte, situate ın intervalele (1, 2), (2, 3),(3, 4) si (4, 5).

c) Sa se verifice identitateaf ′(x)

f(x)=

1

x− 1+

1

x− 2+ . . .+

1

x− 5, (∀) x ∈ R−A, unde A = {1, 2, 3, 4, 5}.

d) Derivand identitatea de la punctul c), sa se arate caf ′′(x)f(x)− (f ′(x))2

f2(x)= −

[1

(x− 1)2+ . . .+

1

(x− 5)2

],

(∀) x ∈ R−A.

e) Sa se arate ca (f ′(x))2 > f(x)f ′′(x), (∀) x ∈ R.

62

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 − 2X2 +X − 2.



c) Sa se rezolve ın R inecuatia f(x) > 0.


2. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) = lnx.



lnx− lnπ

x− π·

c) Sa se arate ca functia f este concava pe (0,∞).

d) Sa se calculeze

∫ e

1

f(x) dx.




c) Sa se calculeze panta dreptei AC.

SUBIECTUL II



b) Sa se gaseasca doua elemente a, a ∈ Q\Z pentru care a ◦ b ∈ Z.

c) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001.

d) Sa se determine cel mai mare numar natural n, pentru care 2 ◦ 22 ◦ . . . ◦ 2n < 2001.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 1 + x+ x2 + x3 + x4.


x− 1, (∀) x ∈ R\{1}.


c) Sa se arate ca f(x) > 0, (∀) x ∈ R.


1

x5

∫ x

0

f(t) dt.

SUBIECTUL III

In multimea M3(R) se considera matricele A =

2 3 −52 3 −52 3 −5

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si B = I3 + aA, unde a ∈ R.



c) Sa se verifice ca 2B −B2 = I3.

d) Sa se arate ca matricea B este inversabila si sa se determine inversa ei.

e) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca Bn = I3 + naA, (∀) n ∈ N∗.

63

SUBIECTUL IV

Se considera sirul (In)n∈N∗ , definit prin In =

∫ 1

0

(1− x2)n dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Sa se arate ca (1− x2)n ≥ (1− x2)n+1, (∀) n ∈ N∗, (∀) x ∈ [0, 1].

c) Sa se deduca inegalitatea In+1 ≤ In, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca sirul (In)n∈N∗ este convergent.

e) Sa se arate ca In =2n

2n+ 1In−1, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.


In.

64

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1

Profilurile industrial, agricol, silvic si sportiv real

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = X2 + aX + b si polinomul g = X2 + X + 1, cu radacinile x1,x2 ∈ C.

a) Sa se determine parametri reali a si b, stiind ca polinomul f ımpartit la X − 1 da restul 3 si f(−1) = 1.

b) Sa se calculeze x31 + x32.

c) Sa se rezolve ın R inecuatia g(x) < 3.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia g(2x) = 3.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 2−x + x.


b) Sa se calculeze limx→√2

2−x + x− 2−√2 −√

2

x−√

2·

c) Sa se arate ca

∫ 1

0

f(x) dx.


3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 1), B(2, 2) si C(π, π).


b) Sa se arate ca punctul C se afla pe dreapta AB.

c) Sa se calculeze lungimea segmentului AB.

SUBIECTUL II


2 2 23 3 35 5 5

si I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.


b) Sa se arate ca A2 = 10A.

c) Sa se arate ca A2001 6= I3.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 1 + x+ x2 + x3 + x4.


x− 1, (∀) x ∈ R\{1}.




1

x5

∫ x

0

f(t) dt.

SUBIECTUL III

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y − 1.



65

c) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q\Z pentru care a ◦ b ∈ Z.

d) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001.

e) Sa se determine cel mai mare numar natural nenul n, pentru care 2 ◦ 22 ◦ . . . ◦ 2n < 2001.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : [0,∞)→ R, f(x) =x

x+ 1+x+ 1

x+ 2+x+ 2

x+ 3·

a) Sa se verifice ca f(x) = 3− 1

x+ 1− 1

x+ 2− 1

x+ 3, (∀) x ≥ 0.

b) Sa se calculeze f ′(x), x ≥ 0.

c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe [0,∞).

d) Sa se determine asimptota orizontala spre +∞ la graficul functiei f .


∫ 1

0

xnf(x) dx.


[lnn ·

∫ 1

0

xnf(x) dx

].

66

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X4 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f(X) =

(X2 − 1

2

)2

+

(X +

1

2

)2

+1

2·

b) Sa se arate ca f(x) >1

2, (∀) x ∈ R.


2. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) = log3 x.



log3 x− log3 3

x− 3·

c) Sa se calculeze

∫ 3

1

f(x) dx.

d) Sa se arate ca functia f este concava pe R.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 4), B(4, 3) si C(−3,−4).


b) Sa se scrie ecuatia dreptei AC.

c) Sa se calculeze panta dreptei AB.

SUBIECTUL II

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 + 2x.

a) Sa se verifice ca f(x) = (x+ 1)2 − 1, (∀) x ∈ R.

b) Sa se rezolve ın R ecuatia (f ◦ f)(x) = 0.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca (f ◦ f ◦ . . . ◦ f︸︷︷︸de n ori

)(x) = (x+1)2n−1, (∀) n ∈ N∗

si x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x+ e3x + 2.


b) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare.

c) Sa se determine asimptota spre −∞ la graficul functiei f .

SUBIECTUL III

In multimea M2(Z) se considera submultimea G =

{(a −bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z}

si matricea I2 =

(1 00 1

).


b) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G, atunci a ·B ∈ G.

c) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G, atunci det(A ·B) = det(A) · det(B).

d) Sa se arate ca, daca A ∈ G si rang(A) < 2, atunci A =

(0 00 0

).

e) Sa se arate ca, daca A ∈ G este inversabila si A−1 ∈ G, atunci det(A) = 1.

f) Sa se arate ca, daca A ∈ G si det(A) = 1, atunci A4 = I2.

67

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = 4− x2.



c) Sa se determine a ∈ (−2, 2) cu proprietatea ca dreapta x = a desparte suprafata plana cuprinsa ıntre graficulfunctiei f si axa Ox ın doua regiuni de arii egale.

d) Sa se determine b ∈ (0, 4) cu proprietatea ca dreapta y = b desparte suprafata plana cuprinsa ıntre graficulfunctiei f si axa Ox ın doua regiuni de arii egale.

e) Sa se arate ca dreptele x = a si y = b, determinate anterior, despart suprafata plana cuprinsa ıntre graficulfunctiei f si axa Ox ın patru regiuni de arii egale.

68

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 −X2 − 3X − 1.

a) Sa se determine restul ımpartirii polinomului f la X + 1.

b) Sa se rezolve ın R ecuatia f(x) = 0.

c) Sa se rezolve ın R inecuatia f(x) < 0.


2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2001.



x2001 − π2001

x− π·


∫ x

−xf(t) dt.

d) Sa se determine intervalele de convexitate si de concavitate ale functiei f .

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 2), B(3, 4) si C(−1,−2).


b) Sa se calculeze panta dreptei AB.


SUBIECTUL II

1. a) Sa se verifice ca a3 = a, (∀) a ∈ Z6.

In inelul Z6 se considera Sk = 1k + 2k + 3k + 4k + 5k, (∀) k ∈ N∗.b) Sa se calculeze S1 si S2.

c) Sa se calculeze S2001.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (5x + 3x)(5−x + 3−x).

a) Sa se verifice ca f(x) = 2 +

(5

3

)x+

(5

3

)−x, (∀) x ∈ R.



d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se demonstreze ca f (n)(x) =

(5

3

)x(ln

5

3

)x+

(3

5

)x(ln

3

5

)x,

(∀) n ∈ N∗ si x ∈ R.

SUBIECTUL III


(1 50 −1

), B =

(1 02 −1

)si I2 =

(1 00 1

).


b) Sa se verifice ca A2 = B2 = I2.

c) Sa se arate ca matricea B este inversabila si sa se determine inversa ei.

d) Sa se arate ca A ·B 6= B ·A.

e) Sa se calculeze A2001.

f) Sa se arate ca (∀) n ∈ N∗, (B ·A)n 6= I2.

69

SUBIECTUL IV

Se considera sirul (In)n∈N∗ , definit prin In =

∫ 1

0

xne−x dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca In = −1

e+ nIn−1, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

c) Sa se arate caxn

e≤ xne−x ≤ xn, (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se deduca inegalitatile1

(n+ 1)e≤ In ≤

1

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


n3π · In.

70

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Notam cu A multimea numerelor naturale care se termina cu cifra 2.

a) Sa se arate ca multimea A nu contine niciun patrat perfect.

b) Sa se gaseasca un element din multimea A care este cub perfect.

c) Sa se gaseasca o submultime infinita a multimii A care nu contine niciun cub perfect.

2. Numarul 1000 se mareste cu 20% din valoarea sa si se obtine numarul a. Numarul a se micsoreaza cu 20% dinvaloarea sa si se obtine numarul b. Numarul 1000 se micsoreaza cu 20% din valoarea sa si se obtine numarul c.Numarul c se mareste cu 20% din valoarea sa si se obtine numarul d.

a) Sa se calculeze a si b.

b) Sa se calculeze c si d.

c) Sa se calculeze b− d.


909este 0, a1a2 . . . an . . ..

a) Sa se determine cifrele a1 si a2.

b) Sa se determine cifra a2001.


SUBIECTUL II


(1 12 2

).



c) Sa se arate ca matricea A−A2 +A3 −A4 + . . .+A99 −A100 are toate elementele strict negative.

2. Se considera polinomul f = X4 +X3 +X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat f = (X2 + aX + 1)(X2 + bX + 1).



d) Sa se arate ca x51 + x52 + x53 + x54 = 4.

SUBIECTUL III





d) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n < 2001.

e) Sa se determine cel mai mare numar natural nenul n, pentru care 3 ◦ 32 ◦ . . . ◦ 3n > 2001.

2. Sa se arate ca 5 divide numarul k2 − k, (∀) k ∈ Z.

71

SUBIECTUL IV

Piramida triunghiulara regulata ABCD are cele sase muchii egale cu a.


b) Sa se calculeze volumul piramidei.

c) Fie un punct M situat pe ınaltimea din varful A a piramidei. Sa se determine lungimea segmentului AM , stiindca AM = BM .

d) Sa se arate ca muchia AB este perpendiculara pe muchia CD.

e) Fie punctul E situat ın interiorul triunghiului BCD. Sa se arate ca AE < AB.

72

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. a) Sa se calculeze1

2+

1

3+

1

6·

b) Sa se calculeze1

2+

1

4+

1

6+

1

12·

c) Sa se gaseasca cinci numere naturale nenule si distincte astfel ıncat suma inverselor lor sa dea 1.

2. La un turneu de tenis participa 2001 de sportivi. Inaintea fiecarui tur, jucatorii ramasi ın turneu se ımpart ıngrupe de cate doi, care joaca ıntre ei. Daca numarul de jucatori este impar, atunci un jucator trece ın turulurmator fara sa joace. Dupa fiecare meci ıntre doi jucatori, cel ınvins paraseste turneul. Turneul se terminacand a ramas un singur jucator.

a) Sa se afle cate meciuri au fost ın primul tur.

b) Sa se afle cati jucatori au parasit turneul dupa primele trei tururi.

c) Sa se afle cate meciuri s-au jucat ın tot turneul.

3. Se considera numarul A = 30 + 31 + 32 + . . .+ 3395. Sa se arate ca:

a) A este un numar natural par.

b) A este divizibil cu 13.

c) A este divizibil cu 40.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = −xy + x+ y.



c) Sa se rezolve ın R ecuatia 2x ◦ 3x ◦ 5x = 1.

2. a) Sa se verifice ca a3 = 3, (∀) a ∈ Z6.

b) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca a2n+1 = a, (∀) n ∈ N∗, (∀) a ∈ Z6.

c) Sa se calculeze 12001 + 22001 + 32001 + 42001 + 52001, ın inelul Z6.

SUBIECTUL III


(1 02 −1

), B =

(1 20 −1

)si I2 =

(1 00 1

).

a) Sa se verifice ca A2 = B2 = I2.

b) Sa se arate ca matricea A este inversabila si sa se calculeze inversa ei.

c) Sa se arate ca A ·B 6= B ·Ad) Sa se calculeze A2001.

e) Sa se arate ca (∀) n ∈ N∗, (A ·B)n 6= I2.

2. a) Sa se verifice identitatea

(1− x)(1 + x20

)(1 + x21

)(1 + x22

) . . . (1 + x2n−1

) = 1− x2n , (∀) x ∈ R, n ∈ N.

b) Sa se arate ca numerele 22n

+ 1 si 22p

+ 1 sunt prime ıntre ele, unde n, p ∈ N∗, n 6= p.

SUBIECTUL IV

Cubul ABCDA′B′C ′D′ are muchia de lungime a.

a) Sa se calculeze aria totala a cubului.

73

b) Sa se calculeze volumul cubului.

c) Sa se calculeze lungimea segmentului AC ′.

d) Sa se calculeze masura unghiului dintre dreptele AC si AD′.

e) Se considera un punct M pe fata A′B′C ′D′ a cubului. Sa se calculeze lungimea minima si lungimea maxima asegmentului AM .

74

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Un elev are de rezolvat o tema de vacanta care contine 400 de probleme. In prima zi elevul rezolva o problema,ın a doua zi elevul rezolva trei probleme, ... , ın a n-a zi elevul rezolva 2n− 1 probleme.

a) Sa se afle cate probleme a rezolvat elevul dupa primele trei zile de lucru.

b) Sa se afle cate probleme a rezolvat elevul ın a patra zi si ın ziua a 5-a, ın total.

c) Sa se afle dupa cate zile termina elevul tema de vacanta.

2. Notam cu A multimea numerelor de 4 cifre care se pot forma utilizand numai cifrele 5 si 6.

a) Cate elemente are multimea A?

b) Sa se afle suma elementelor multimii A.

c) Cate elemente din multimea A sunt numere pare?

3. Se considera numerele a = 1 · 2 · 3 · . . . · 20, b = 21 · 22 · 23 · . . . · 40 si c = 41 · 42 · 43 · . . . · 60.

a) Sa se demonstreze ca numarul a nu este patrat perfect.

b) Sa se arate ca numarul a divide numarul b.

c) Sa se arate ca numarul b nu divide numarul c.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X5X4 +X3 +X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4, x5 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f = (X3 + 1)(X2 +X + 1).

b) Sa se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 si T = x21 + x22 + x23 + x24 + x25.

c) Sa se arate ca x61 + x62 + x63 + x64 + x65 = 5.

2. Se considera multimea M =

{(a bc d

) ∣∣∣∣ a, b, c, d ∈ Z si abcd = 1

}.

a) Sa se arate ca daca A ∈M , atunci det(A) = 0.

b) Sa se verifice ca daca A ∈M , atunci −A ∈M .

c) Sa se determine numarul de elemente al multimii M .

SUBIECTUL III

1. In multimea M2(Q) se considera submultimea G =

{(a −bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Q}

si matricea I2 =

(1 00 1

).



c) Sa se arate ca daca A ∈ G si rang(A) < 2, atunci A =

(0 00 0

).

d) Sa se gaseasca o matrice A ∈ G, A =

(a −bb a

)cu a, b ∈ Q\Z si det(A) = 1.

2. a) Sa se arate ca exista a, b ∈ Z, astfel ıncat a2 + b2 = 29.

b) Sa se arate ca nu exista a, b ∈ Z, astfel ıncat a2 + b2 = 2003.

SUBIECTUL IV


75

a) Sa se calculeze aria laterala a piramidei.

b) Sa se calculeze ınaltimea piramidei.


d) Sa se arate ca muchiile V A si V C sunt perpendiculare.

e) Fie punctul P situat ın interiorul patratului ABCD. Sa se arate ca segmentul V P are lungimea mai mica decatlungimea segmentului V C.

76

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1

Profilul uman

SUBIECTUL I

1. Se considera determinantul d =

∣∣∣∣∣∣a b cc a bb c a

∣∣∣∣∣∣, a, b, c ∈ R.

a) Dezvoltand determinantul d, sa se arate ca d = a3 + b3 + c3 − 3abc.

b) Utilizand proprietatile determinantilor, sa se arate ca d = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca).

c) Sa se demonstreze identitatea a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca =1

2

((a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2

).

d) Sa se rezolve ecuatia 8x + 27x + 125x = 3 · 30x, x ∈ R.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =1

x2 + 1·



1

x− π

(1

x2 + 1− 1

π2 + 1

).

c) Sa se calculeze f ′′(x), x ∈ R.

d) Sa se determine punctele de inflexiune ale graficului functiei f .

e) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.

SUBIECTUL II




c) Sa se rezolve ın R ecuatia (x+ 1) ◦ (x2 + 2) = 14.

d) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q\Z astfel ıncat a ◦ b ∈ Z.

e) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n pentru care 1 ◦ 2 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001.

SUBIECTUL III

Se considera functia f : R\{−1,−2} → R, f(x) =x

x+ 1− x+ 1

x+ 2·

a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R\{−1,−2}.

b) Sa se verifice ca f(x) =1

x+ 1− 1

x+ 2, (∀) x ∈ R\{−1,−2}.

c) Sa se determine asimptotele spre la graficul functiei f .

d) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe [0,∞).


∫ x

0

f(t) dt.


[f(1) + f(2) + . . .+ f(n)].

77

SUBIECTUL IV


(1 05 −1

), B =

(1 70 −1

)si I2 =

(1 00 1

).



c) Sa se arate ca A ·B 6= B ·A.

d) Sa se arate ca (∀) n ∈ N∗, (A ·B)n 6= I2.

e) Sa se calculeze A+A2 +A3 + . . .+A2001.

78

Varianta 2

SUBIECTUL I


(1 03 −1

), B =

(1 40 −1

)si I2 =

(1 00 1

).



c) Sa se arate ca A ·B 6= B ·A.

d) Sa se arate ca (A ·B)2001 6= I2.


2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x3 − 3x.


b) Sa se calculeze limx→√2

x3 − 3x+√

2

x−√

2·

c) Sa se arate ca functia f are un punct de maxim local si un punct de minim local.

d) Sa se determine punctul de inflexiune al graficului functiei f .

e) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.

SUBIECTUL II





d) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n > 2001.

e) Sa se determine cel mai mare numar natural nenul n, pentru care 2 ◦ 22 ◦ . . . ◦ 2n < 2001.

SUBIECTUL III




c) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functiei f si axa Ox.

d) Sa se determine a ∈ (−1, 1) cu proprietatea ca dreapta x = a desparte suprafata plana cuprinsa ıntre graficulfunctiei f si axa Ox ın doua regiuni de arii egale.

e) Sa se determine b ∈ (0, 1) cu proprietatea ca dreapta y = b desparte suprafata plana cuprinsa ıntre graficulfunctiei f si axa Ox ın doua regiuni de arii egale.

SUBIECTUL IV

Se considera polinomul f = (X + 1)20 + (X − 1)20 avand forma algebrica f = a20X20 + a19X

19 + . . .+ a1X + a0.


b) Sa se determine a20, a19 si a18.

79


d) Sa se arate ca a11 = 0.

e) Consideram z = a+ ib, a, b ∈ R, o radacina a polinomului f . Sa se arate ca |z + 1| = |z − 1|.

f) Sa se arate ca daca z = a+ ib, a, b ∈ R este o radacina a polinomului f , atunci a = 0.

80

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X4 +X3 +X2 +X + 1.


b) Sa se verifice ca f =

(X2 +

1

2X

)2

+

(1

2X + 1

)2

+1

2X2.


d) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini reale.

2. Se considera functia f : [0,∞)→ R, f(x) =x

x+ 1+

x+

x+ 2·

a) Sa se verifice ca f(x) = 2− 1

x+ 1− 1

x+ 2, (∀) x ∈ [0,∞).


c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe [0,∞).

d) Sa se arate ca functia f este concava pe [0,∞).

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL II

In multimea M2(Z5) se considera matricele A =

(2 1

1 2

)si I2 =

(1 0

0 1

).



c) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n pentru care An = I2.

d) Sa se calculeze A2001.


SUBIECTUL III


(x2 + 1)(x2 + 2)·


b) Sa se arate ca f(x) =1

x2 + 1− 1

x2 + 2, (∀) x ∈ R.


d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


[f(√

1) + f(√

2) + . . .+ f(√n)].

SUBIECTUL IV

Fie multimea de numere reale M = {a+ b√

2 | a, b ∈ Z, a2 − 2b2 = 1}.

a) Sa se arate ca, daca a+ b√

2 = c+ d√

2, cu a, b, c, d numere ıntregi, atunci a = c si b = d.

81

b) Sa se arate ca 1 ∈M .

c) Sa se arate ca, daca z, w ∈M , atunci z · w ∈M .

d) Sa se arate ca, daca z ∈M , atunci1

z∈M .

e) Sa se gaseasca un element a+ b√

2 ∈M cu b 6= 0.

82


Proba D


SUBIECTUL I

1. a) Sa se verifice ca

(ax+ by + cz)2 + (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2 = (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2), (∀)x, y, z, a, b, c,∈ C.

b) Sa se deduca inegalitatea (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax+ by + cz)2, (∀) a, b, c, x, y, z ∈ R.

c) Sa se arate ca, daca (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2, unde a, b, c, x, y, z ∈ R∗, atuncix

a=y

b=z

c·

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 2002x + 2002−x.


b) Sa se arate ca functia f este convexa pe R.

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 1) si B(2, 2), precum si dreapta d : y = 3.

a) Sa se calculeze lungimea segmentului AB.


c) Sa se gaseasca un punct C pe dreapta d, cu proprietatea ca aria triunghiului ABC este egala cu 1.

SUBIECTUL II

1. In multimea permutarilor cu trei elemente S3, se considera permutarile σ =

(1 2 33 2 1

)si τ =

(1 2 31 3 2

).

a) Sa se calculeze στ si τσ.

b) Sa se determine numarul de inversiuni al permutarii σ.

c) Sa se rezolve ecuatia σx = τ .

d) Sa se arate ca ın orice submultime H a lui S3 care are 5 permutari, gasim doua permutari x si y cuproprietatea ca xy 6= yx.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4) si multimea A = {1, 2, 3, 4}.a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.

b) Utilizand teorema lui Rolle pentru functia f , sa se arate ca functia f ′ are cate o radacina ın intervalele(1, 2), (2, 3) si (3, 4).

c) Sa se arate caf ′(x)

f(x)=

1

x− 1+

1

x− 2+

1

x− 3+

1

x− 4, (∀) x ∈ R\A.

d) Derivand egalitatea de la punctul c), sa se arate ca (f ′(x))2 > f(x)f ′′(x), (∀) x ∈ R\A.

SUBIECTUL III

Se considera un numar prim p ≥ 3, iar ın corpul Zp se considera submultimea G = Zp−{0}. Pentru un elementa ∈ G, definim functia f : G→ G, f(x) = a · x.

a) Sa se arate ca, daca x, y ∈ G, atunci x · y ∈ G.

b) Sa se arate ca functia f este injectiva.

c) Sa se arate ca functia f este bijectiva.

1

d) Din egalitatea 1 · 2 · . . . · (p− 1) = f(1) · f(2) · . . . · f(p− 1), sa se deduca relatia ap−1 = 1, (∀) a ∈ G.

e) Consideram polinoamele g, h ∈ Zp[X], definite prin g = Xp−1 − 1, h = (X − 1)(X − 2) . . . (X − (p− 1)).Sa se arate ca g(x) = h(x) = 0, (∀) x ∈ G.

f) Sa se arate ca 1 · 2 · . . . · (p− 1) + 1 = 0.

SUBIECTUL IV

Se considera sirul (In)n≥1, definit prin I0 =

∫ π2

0

dx, In =

∫ π2

0

sinn x dx, n ≥ 1.


b) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca In =n− 1

nIn−2, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca I2n =1

2· 3

4· . . . · 2n− 1

2n· π

2, (∀) n ∈ N∗.

Se considera cunoscut ca I2n+1 =2

1· 4

3· . . . · 2n

2n− 1· 1

2n+ 1, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca 1 ≤ InIn+1

≤ n+ 1

n, (∀) n ∈ N∗.

Se considera sirul (wn)n≥1, definit prin wn =1

2· 3

4· . . . · 2n− 1

2n·√

2n+ 1, (∀) n ∈ N∗.

e) Sa se verifice caI2nI2n+1

= (wn)2 · π2

, (∀) n ∈ N∗.


wn =

√2

π.

2

SESIUNEA SPECIALA

Proba D

Profilurile economic, fizica-chimie, chimie-biologie, militar real, industrial, agricol, silvic, sportiv real

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 − 4x+ 6.

a) Sa se verifice ca f(2− x) = f(2 + x), (∀) x ∈ R.

b) Sa se rezolve ın R ecuatia f(2x) = 2.

c) Sa se rezolve ın R inecuatia f(x) ≤ 3.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex.


b) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.


3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(5, 0), O(0, 0) si B(3,−4).

a) Sa se verifice ca OA = OB.


c) Sa se gaseasca un punct C(a, b) cu a, b ∈ Z∗, C 6= B si C 6= A, cu proprietatea ca OC = OB.

SUBIECTUL II

1. In M2(Z3) se considera matricele A =

(1 2

2 1

)oi I2 =

(1 0

0 1

).

a) Sa se calculeze A2 oi A3.

b) Sa se calculeze A2002 si A2003.

c) Sa se arate ca An 6= I2, (∀) n ∈ N∗.2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 1− x2 + x4.

a) Sa se verifice ca f(x) =x6 + 1

x2 + 1, (∀) x ∈ R.


1 + x2, (∀) x ∈ R.

c) Integrand inegalitatea de la punctul b), sa se arate ca x− x3

3+x5

5≥ arctg x, (∀) x ≥ 0.

d) Notam cu F : R→ R o primitiva a functiei f . Sa se calculeze limx→∞

xf(x)

F (x)·

SUBIECTUL III


1 1 11 2 33 2 1

si I3 =

1 0 00 1 00 0 1

. Pentru orice x ∈ C, definim matricea B(x) =

A+ xI3 si functia polinomiala f : C→ C, f(x) = det B(x).

a) Sa se determine determinantul si rangul matricei A.

b) Sa se arate ca f(x) = x3 + 4x2 − 5x, (∀) x ∈ C.

c) Sa se rezolve ın C ecuatia f(x) = 0.

d) Sa se gaseasca o matrice nenula U =

abc

∈M3,1(C) cu proprietatea AU =

000

.

3

e) Sa se gaseasca o matrice nenula C ∈M3,3(C) cu proprietatea AC =

0 0 00 0 00 0 0

.

f) Sa se arate ca nu exista o matrice V =

xyz

∈M3,1(C) cu proprietatea AV =

100

.

SUBIECTUL IV

Pentru oricare p ∈ N si q ∈ N, notam cu B(p, q) =

∫ 1

0

xq(1− x)p dx.

a) Sa se calculeze B(1, 1).

b) Sa se arate ca B(0, n) =1

n+ 1, (∀) n ∈ N.

c) Efectuand schimbarea de variabila x = 1− t, sa se arate ca B(p, q) = B(q, p).

d) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca B(p, q) =p

q + 1B(p− 1, q + 1).

e) Sa se arate ca B(n, q) =n!q!

(q + n)!B(0, n+ q), (∀) n, q ∈ N.

f) Sa se arate ca B(p, q) =p!q!

(p+ q + 1)!, (∀) p, q ∈ N.

4

SESIUNEA IUNIE-IULIEVarianta 1

Proba D


SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : C→ C, f(z) = 3z − 2z, unde prin z notam conjugatul numarului complex z.

a) Sa se verifice ca f(z) = 3z − 2z, (∀) z ∈ C.

b) Sa se arate ca (f ◦ f)(z) = 13z − 12z, (∀) z ∈ C.

c) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca

(f ◦ f ◦ . . . ◦ f︸︷︷︸de n ori f

)(z) =5n + 1

2z − 5n − 1

2z, (∀) n ∈ N∗ si (∀) z ∈ C.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x+ 1)2002.



f(x)− f(0)

x·


d) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(2n+ 1, 3n− 1), n ∈ N.

a) Sa se calculeze lungimea segmentului [A0A1].

b) Sa se scrie ecuatia dreptei A0A1.

c) Sa se arate ca punctul Ak este situat pe dreapta A0A1, (∀) k ∈ N.

SUBIECTUL II

1. Pe R se defineste legea de compozitie ”◦” prin x ◦ y = x+ y − 1.

a) Sa se verifice ca x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ R.

b) Sa se rezolve ın R ecuatia 2x ◦ 4x = 5.

c) Sa se rezolve ın N∗ ecuatia C0n ◦ C1

n ◦ C2n = 44 + n.

d) Sa se rezolve ın R inecuatia x ◦ x2 ≤ 1.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x+ arctg x.




d) Notam cu g : R→ R inversa functiei f . Sa se calculeze

∫ 1+π4

0

g(x) dx.

SUBIECTUL III

Se considera polinoamele f = a + bX + cX2 + dX3 si g = X4 + 1, unde a, b, c, d ∈ Q, iar g are radacinile x1,x2, x3, x4 ∈ C.

Se mai considera matricele A =

a b c d−d a b c−c −d a b−b −c −d a

si V =

1 1 1 1x1 x2 x3 x4x21 x22 x23 x24x31 x32 x33 x34

.

5

a) Sa se verifice ca g = (X2 −X√

2 + 1)(X2 +X√

2 + 1).

b) Sa se arate ca det(V ) 6= 0.

c) Sa se arate ca A · V =

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4)x1f(x1) x2f(x2) x3f(x3) x4f(x4)x21f(x1) x22f(x2) x23f(x3) x24f(x4)x31f(x1) x32f(x2) x33f(x3) x34f(x4)

.

d) Utilizand relatia de la punctul c), sa se arate ca det(A) = f(x1)f(x2)f(x3)f(x4).

e) Sa se arate ca polinomul g este ireductibil ın Q[X].

f) Sa se arate ca a = b = c = d = 0 daca si numai daca det(A) = 0.

SUBIECTUL IV

Se considera sirurile (an)n≥1, (bn)n≥1, definite prin an = 1 +1

n!+

1

2!+ . . .+

1

n!si bn = an +

1

n! · n, (∀) n ∈ N∗.

Admitem cunoscut faptul ca sirul (an)n≥1 este convergent catre e.

a) Sa se verifice ca sirul (an)n≥1 este strict crescator.

b) Sa se arate ca sirul (bn)n≥1 este strict descrescator.

c) Sa se arate ca an+1 < e < bn, (∀) n ∈ N∗.

d) Utilizand inegalitatile de la punctul c), sa se arate ca1

(n+ 1)!< e− an <

1

n! · n, (∀) n ∈ N∗.

e) Utilizand inegalitatile de la punctul d), sa se arate ca numarul e este irational.

f) Sa se arate ca nu exista doua polinoame nenule f , g ∈ R[X], cu proprietatea ca an =f(n)

g(n), (∀) n ∈ N∗.

6

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Se considera polinoamele f = X3 + X2 + 1 si g = X4 + X3 + X + 1. Notam cu x1, x2, x3 ∈ C radacinilepolinomului f .


b) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini rationale.

c) Sa se arate ca g(x1) + g(x2) + g(x3) ∈ Z.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x sin(x2).



f(x)

x·

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(−n, n2), n ∈ N.

a) Sa se scrie coordonatele punctelor A0 si A1.


c) Sa se arate ca aria triunghiului AnAn+1An+2 nu depinde de n ∈ N.

SUBIECTUL II

1. Se considera functia f : C→ C, f(z) = 8z − z, unde prin z notam conjugatul numarului complex z.

a) Sa se verifice ca f(x+ iy) = 7x+ 9yi, (∀) x, y ∈ R.

b) Sa se rezolve ecuatia f(z) = 0.

c) Sa se arate ca functia f este injectiva.

d) Sa se arate ca functia f este surjectiva.

2. Se considera functia f : [−3, 3]→ R, f(x) = 9− x2. Notam cu S suprafata plana cuprinsa ıntre graficul functieif si axa Ox.

a) Sa se calculeze aria suprafetei S.

b) Sa se arate ca dreapta x = 0 desparte suprafata S ın doua regiuni de arii egale.

c) Sa se arate ca dreapta y = 9− 93√

4· desparte suprafata S ın doua regiuni de arii egale.

SUBIECTUL III


{(x y

2y x

) ∣∣∣∣ x, y ∈ Z5

}.


(1 0

0 1

)∈ G si O2 =

(0 0

0 0

)∈ G.

b) Sa se arate ca, daca x, y ∈ Z5 si x2 − 2y2 = 0, atunci x = y = 0.

c) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G atunci A+B ∈ G si A ·B ∈ G.

d) Sa se determine numarul de elemente din multimea G.

e) Sa se arate ca, daca A ∈ G si A 6= O2, atunci exista B ∈ G astfel ıncat A ·B = I2.

f) Sa se dea un exemplu de structura de corp cu 25 de elemente.

7

SUBIECTUL IV



b) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul [0,+∞).


1

n

(f ′(

1

n

)+ f ′

(2

n

)+ . . .+ f ′

(nn

)).

d) Utilizand teorema lui Lagrange, sa se arate ca pentru orice x ∈[k − 1

n,k

n

]avem inegalitatile

(x− k

n

)· f ′(k − 1

n

)≤ f(x)− f

(k

n

)≤(x− k

n

)· f ′(k

n

), (∀)n ≥ 2

si k ∈ {1, 2, . . . , n}.

e) Integrand inegalitatile de la punctul d), sa se arate ca

− 1

2n2· f ′(k − 1

n

)≤∫ k

n

k−1n

f(x) dx ≤ − 1

2n2· f ′(k

n

), (∀)n ≥ 2

si k ∈ {1, 2, . . . , n}.

f) Adunand inegalitatile de la punctul e), sa se calculeze

limn→∞

n

(∫ 1

0

f(x) dx− 1

n

(f

(1

n

)+ f

(2

n

)+ . . .+ f

(nn

))).

8

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = (X2 − 1)(X2 − 4)− 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f = X4 − 5X2 + 3.

b) Sa se arate ca polinomul f are toate radacinile reale.

c) Sa se arate ca x20031 + x20032 + x20033 + x20034 ∈ N.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x+ 1)5 − (x− 1)5.



c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

d) Sa se calculeze limx→−∞

f(x).

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele O(0, 0) si An

(n2 − 1

n2 + 1,

2n

n2 + 1

), (∀) n ∈ N.

a) Sa se verifice identitatea (x2 − 1)2 + (2x)2 = (x2 + 1)2, (∀) x ∈ R.

b) Sa se arate ca OAn = 1, (∀) n ∈ N.

c) Sa se arate ca pe cercul de ecuatie x2 + y2 = 1 avem o infinitate de puncte cu ambele coordonate rationale.

SUBIECTUL II

1. Se considera inelul Z6 si functia f : Z6 → Z6, f(x) = xn, unde n ∈ N∗.

a) Sa se verifice ca a3 = a, (∀) a ∈ Z6.

b) Sa se arate ca (x+ y)3 = x3 + y3, (∀) x, y ∈ Z6.

c) Sa se determine cel mai mic numar natural n ≥ 2 pentru care functia f este un izomorfism de inele.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ln(x2 + 4)− ln(x2 + 1).



f(x)− f(0)

x·

c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul (−∞, 0] si strict descrescatoare pe intervalul[0,+∞).

d) Sa se arate ca 0 < f(x) ≤ ln 4, (∀) x ∈ R.

SUBIECTUL III

In multimea M3(C) se considera matricea A =

1 0 00 2 00 0 3

.


b) Sa se arate ca matricea A este inversabila si sa se calculeze inversa ei.

c) Sa se arate ca, daca Y ∈M3(C) si Y A = AY , atunci exista a, b, c ∈ C astfel ıncat Y =

a 0 00 b 00 0 c

.

9

d) Se considera matricea Z =

a 0 00 b 00 0 c

, cu a, b, c ∈ C. Sa se arate, folosind metoda inductiei matematice, ca

Zn =

an 0 00 bn 00 0 cn

, (∀) n ∈ N∗.

e) Se considera polinomul f = Xn − α, unde α ∈ C∗. Sa se arate ca polinomul f nu are radacini multiple.

f) Sa se determine numarul de solutii X ∈M3(C) ale ecuatiei X2002 = A.

SUBIECTUL IV

Se considera (In)n∈N, definit prin I0 =

∫ 1

0

e−x dx si In =

∫ 1

0

e−xxn dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca In = −1

e+ n · In−1, (∀)n ∈ N∗.

c) Sa se arate ca In =n!

e

(e−

(1 +

1

1!+

1

2!+ . . .+

1

n!

)), (∀)n ∈ N∗.

d) Sa se arate caxn

e≤ xne−x ≤ xn, (∀) x ∈ [0, 1], (∀)n ∈ N∗.

e) Integrand inegalitatile de la punctul d), sa se arate ca1

(n+ 1)e≤ In ≤

1

n+ 1, (∀)n ∈ N∗.

f) Utilizand inegalitatile de la punctul e), sa se arate ca e ∈ R\Q.

10

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : C→ C, f(x) = x2 + 2x.

a) Sa se verifice ca f(x) = (x+ 1)2 − 1, (∀) x ∈ C.

b) Sa se rezolve ın C ecuatia (f ◦ f)(x) = 0.

c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca (f ◦ f ◦ . . . ◦ f)︸︷︷︸de n ori f

, (∀) x ∈ C.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ln(x2 + 1).



f(x)− f(0)

x·

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(n,−n), (∀) n ∈ N.


b) Sa se arate ca lungimea segmentului AnAn+1 nu depinde de n, (∀) n ∈ N.

c) Sa se arate ca punctul An se afla pe dreapta A0A1, (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II


x− y + z = 0

x− 2y + 3z = 0

x− 3y + 5z = 0

, unde (x, y, z) ∈ R3. Notam cu A matricea sistemului.



c) Sa se gaseasca o solutie (x0, y0, z0) a sistemului pentru care x0 + 2y0 + 3z0 = 8.

2. Se considera sirul (an)n≥1, definit prin an =1

12+

1

22+ . . . +

1

n2, (∀) n ∈ N∗. Admitem cunoscut faptul ca

limn→∞

an =π2

6si consideram sirurile (bn)n≥1 si (cn)n≥1 definite prin bn = an +

1

n, (∀) n ∈ N∗ si cn = an +

1

n+ 1,

(∀) n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca sirul (bn)n≥1 este strict descrescator.

b) Sa se arate ca sirul (cn)n≥1 este strict crescator.

c) Sa se arate ca limn→∞

bn = limn→∞

cn =π2

6·


n

(an −

π2

6

)= −1.

SUBIECTUL III

Pentru orice numar natural nenul n, se considera multimea de numere rationale Hn =

{k

n!

∣∣∣∣ k ∈ Z}

.

a) Sa se arate ca, daca x, y ∈ Hn, atunci x+ y ∈ Hn.

b) Sa se arate ca, daca x, y ∈ Hn, atunci x · y ∈ Hn.

c) Sa se arate ca, daca n < p ∈ N∗, atunci Hn ⊂ Hp.

11

d) Sa se arate ca pentru orice numar rational r, exista n ∈ N∗, astfel ıncat r ∈ Hn.

e) Sa se arate ca daca (G,+) este un subgrup al grupului (Q,+) si1

n!∈ G, n ∈ N∗, atunci Hn ⊂ G.

f) Sa se demonstreze ca, daca G1, G2, . . . , G2002 sunt subgrupuri ale grupului (Q,+) si Q = G1 ∪G2 ∪ . . .∪G2002,atunci exista i ∈ {1, 2, . . . , 2002} astfel ıncat Gi = Q.

SUBIECTUL IV

Se considera numerele reale a1, a2, . . . , an si functiile f, F : R→ R, f(x) = a1 sinx+ a2 sin 2x+ . . .+ an sinnx si

F (x) = −a1 cosx− a22

cos 2x− . . .− ann

cosnx, unde n ∈ N, n ≥ 2.

a) Sa se arate ca functia F este o primitiva a functiei f pe R.

b) Sa se verifice ca F (x+ 2kπ) = F (x), (∀) k ∈ Z, (∀) x ∈ R.

c) Utilizand rezultatul: ”Daca o functie g : R → R este periodica si monotona, atunci functia g este constanta”,sa se arate ca daca f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci functia F este constanta.

d) Sa se arate ca daca functia F este constanta, atunci f(x) = 0, (∀) x ∈ R.

e) Notam cu S(p, q) =

∫ 2π

0

sin px sin qx dx, (∀) p, q ∈ N∗.

Utilizand formula2 sin a sin b = cos(a− b)− cos(a+ b), (∀) a, b ∈ R,

sa se arate ca S(p, q) =

{0, daca p 6= q, p, q ∈ N∗

π, (∀) p ∈ N∗.

f) Sa se demonstreze ca daca f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R, atunci a1 = a2 = . . . = an = 0.

12

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. Pe R se defineste legea de compozitie ”◦” prin x ◦ y = x+ y + 2.


b) Sa se determine elementul e ∈ R pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R.

c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca (∀) n ∈ N∗, avem

x0 ◦ x1 ◦ . . . ◦ xn = x0 + x1 + . . .+ xn + 2n, (∀)x0, x1, . . . , xn ∈ R.

d) Sa se rezolve ın N∗ ecuatia C0n ◦ C1

n ◦ C2n ◦ Cnn = 2n+ 64.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = 2xex2

.


b) Sa se determine intervalele de convexitate si de concavitate ale functiei f .

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(3n, 2n), (∀) n ∈ N.



c) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N, punctul An se gaseste pe dreapta A0A1.

SUBIECTUL II

1. In multimea permutarilor cu 4 elemente, S4, consideram permutarile e =

(1 2 3 41 2 3 4

), σ =

(1 2 3 42 1 3 4

),

τ =

(1 2 3 43 2 1 4

), precum si submultimea H = {x ∈ S4 |x2 = e}.

a) Sa se verifice ca e ∈ H.

b) Sa se arate ca σ ∈ H si τ ∈ H.

c) Sa se arate ca στ ∈ H.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = a cosx+ b cos 2x+ c cos 3x, unde a, b, c ∈ R.

a) Sa se calculeze

∫ π

−πf(x) dx.

b) Sa se verifice ca f(x+ 2nπ) = f(x), (∀) x ∈ R si (∀) n ∈ N.

c) Utilizand rezultatul: ”Daca o functie periodica f : R → R are limita la infinit, atunci functia este con-stanta”, sa se arate ca daca lim

x→∞f(x) = 0, atunci a = b = c = 0.

SUBIECTUL III

Se considera polinoamele f = X5 − 1 si g = X4 +X3 +X2 +X + 1.


b) Sa se verifice ca g = (X2 + aX + 1)(X2 + bX + 1), unde a =1 +√

5

2si b =

1−√

5

2·

c) Sa se arate ca polinomul g este ireductibil ın Q[X].

d) Se considera polinomul cu coeficienti rationali h = X2 + pX + q. Sa se arate ca daca polinoamele f si h nu suntprime ıntre ele, atunci ele au polinomul X − 1 ca cel mai mare divizor comun ın Q[X].

13

e) In multimea M2(Q) se considera matricele I2 =

(1 00 1

), O2 =

(0 00 0

)si A =

(r ts u

). Sa se verifice ca

A2 − (r + u)A+ (ru− st)I2 = O2.

f) Sa se arate ca daca A5 = I2, atunci A = I2.

SUBIECTUL IV

Se considera sirul (an)n≥1, definit prin an = 1− 1

3+

1

5+ . . .+

(−1)n

2n+ 1, (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se verifice ca1

1− a= 1 + a+ a2 + . . .+ an +

an+1

1− a, (∀) n ∈ N∗ si a ∈ R\{1}.

b) Sa se deduca relatia

1

1 + x2= 1− x2 + x4 + . . .+ (−1)nx2n + (−1)n+1x

2(n+1)

1 + x2, (∀)x ∈ [0, 1], (∀)n ∈ N∗.

c) Sa se arate ca 0 ≤ x2(n+1)

1 + x2≤ x2(n+1), (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗.

d) Integrand inegalitatile de la punctul c), sa se arate ca limn→∞

∫ 1

0

x2(n+1)

1 + x2dx = 0.

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

1

1 + x2dx.

f) Integrand inegalitatile de la punctul b), sa se arate ca limn→∞

an =π

4·

14


Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 +X2 +X + 1.

a) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la polinomul X + 1.


c) Sa se rezolve ın R ecuatia f(2x) = 0.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = sin 2x.



f(x)− f(π)

x− π·

c) Sa se calculeze

∫ 2π

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 1), B(−1,−1) si C(−1, 1).




SUBIECTUL II


x− y + z = 0

x− 2y + 3z = 0

3x− 2y + z = 0

, unde (x, y, z) ∈ R3. Notam cu A matricea sistemului.



c) Sa se gaseasca o solutie (x0, y0, z0) a sistemului, cu proprietatea ca x0 + y0 + z0 = 4.

2. Se considera sirul (an)n≥1, an =12 − 1 + 1

12 + 1 + 1· 22 − 2 + 1

22 + 2 + 1· . . . · n

2 − n+ 1

n2 + n+ 1, (∀) n ∈ N∗ si functia f : R → R,

f(x) = x2 − x+ 1.

a) Sa se verifice ca f(x+ 1) = x2 + x+ 1, (∀) x ∈ R.

b) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca an =1

n2 + n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


an.


∫ n

0

f(x) dx

n3·

SUBIECTUL III

In multimea M2(R) se considera matricea I2 =

(1 00 1


G =

{(a 0b 1

) ∣∣∣∣ a ∈ (0,∞), b ∈ R}

.

15

a) Sa se verifice ca matricea I2 ∈ G.

b) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G, atunci AB ∈ G.

c) Sa se arate ca, daca C ∈ G, atunci exista D ∈ G, astfel ıncat CD = DC = I2.

d) Sa se gaseasca doua matrice S, T ∈ G pentru care ST 6= TS.

e) Sa se demonstreze ca, pentru orice matrice A ∈ G si (∀) n ∈ N∗, exista o matrice X ∈ G astfel ıncat Xn = A.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : R→ R, f(x) = 1− x− x2 − x3 + . . .+ x8 si g : R→ R, g(x) = x9 + 1, (∀) x ∈ R.

a) Sa se calculeze f(−1) si g(−1).

b) Sa se verifice ca (x+ 1)f(x) = g(x), (∀) x ∈ R.

c) Sa se arate ca daca x < −1, atunci g(x) < 0 si daca x > −1, atunci g(x) > 0.

d) Sa se arate ca f(x) > 0, (∀) x ∈ R.

e) Sa se arate ca functia F : R→ R, F (x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ . . .+

x9

9este o primitiva a functiei f pe R.

f) Sa se arate ca F (x) > 0, (∀) x > 0.

16

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. a) Sa se verifice ca

(a− 1

a

)3

= a3 − 1

a3− 3

(a− 1

a

), (∀) a ∈ C∗.

b) Sa se arate ca daca a ∈ R, a ≥ 1, atunci a ≥ 1

a·

c) Sa se arate ca, daca x ∈ R, x ≥ 1, atunci x3 − 1

x3≥ 3

(x− 1

x

).

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = cos 4x.



f(x)− f(0)

x·

c) Sa se calculeze

∫ π

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1,−1), B(2,−2) si C(3,−3).



c) Sa se arate ca punctul B se afla pe dreapta AC.

SUBIECTUL II

1. In multimea M2(Z3) se considera submultimea G =

{(a b

−b a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z3

}.


(1 0

0 1

)∈ G si T =

(1 2

−2 1

)∈ G.


c) Sa se determine numarul de elemente ale multimii G.

d) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n, pentru care Tn = I2.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =2002x2001

x2002 + 1·

a) Sa se verifice ca functia F : R→ R, F (x) = ln(x2002 + 1), este o primitiva a functiei f pe R.

b) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.

c) Sa se determine asimptota catre −∞ la graficul functiei f .

SUBIECTUL III

Se considera polinoamele f = X4 +X3 +X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C si g = X3 +X2 +X + 1 curadacinile y1, y2, y3 ∈ C.


b) Sa se calculeze g(−1).

c) Sa se determine y1, y2 si y3.

d) Sa se calculeze a = y20021 + y20022 + y20023 .

e) Sa se arate ca numarul b = g(x1)g(x2)g(x3)g(x4) este natural.

17

f) Sa se arate ca f(y1) + f(y2) + f(y3) = 3.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex(ax2 + bx+ c), unde a, b, c ∈ R.

a) Sa se calculeze f ′(x) si f ′′(x), x ∈ R.

b) Sa se determine a, b, c ∈ R daca f(0) = 0, f ′(0) = 1 si f ′′(0) = 4.

c) Consideram functia g : R→ R, g(x) = ex(x2 + x). Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

g(n)(x) = ex(x2 + 2(n+ 1)x+ n2), (∀)x ∈ R, n ∈ N∗.

(Prin g(n) am notat derivata de ordinul n a functiei g).

d) Sa se arate ca 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, (∀) n ∈ N∗.


g′(0) + g′′(0) + . . .+ g(n)(0)

n3·

f) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

18

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 + x+ 1.

a) Sa se verifice ca f(x) ≥ 3

4, (∀) x ∈ R.

b) Sa se rezolve ın R ecuatia f(2x) = 3.

c) Sa se rezolve ın intervalul (0,∞) ecuatia f(log2 x) = 3.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = e2x.



c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(n, 2n), (∀) n ∈ N.

a) Sa se calculeze coordonatele punctelor A0 si A1.


c) Sa se arate ca An se afla pe dreapta A0A1, (∀) n ∈ N.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul f = X4 + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice identitatea f = (X2 −√

2X + 1)(X2 +√

2X + 1).

b) Sa se arate ca polinomul f nu are nicio radacina reala.


d) Sa se arate ca x41 + x42 + x43 + x44 = −4.

2. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) = x+1

x·


b) Sa se arate ca x = 1 este punct de minim global.


d) Sa se arate ca 2√2 +

1

2√2< 2√3 +

1

2√3·

SUBIECTUL III

In multimea M2(Q) se considera submultimea G =

{(a b2b a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Q, a2 − 2b2 = 1

}.


(1 00 1

)∈ G.


c) Sa se arate ca, daca X ∈ G, X =

(a b2b a

), atunci X este matrice inversabila si X−1 =

(a −b−2b a

)∈ G.


(a b2b a

)cu b 6= 0.

e) Sa se arate ca daca B ∈ G, B =

(a b2b a

)cu a > 0, b > 0, atunci Bn 6= I2, (∀) n ∈ N∗.

19

f) Sa se arate ca multimea G este infinita.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : (−1,∞)→ R, f(x) = ln(x+ 1)− x si g : (−1,∞)→ R, g(x) = ln(x+ 1)− x+x2

2·

a) Sa se verifice ca f ′(x) =−xx+ 1

si g′(x) =x2

x+ 1, (∀) x > −1.

b) Sa se calculeze f ′(0) si g′(0).

c) Sa se arate ca f(x) < 0 < g(x), (∀) x > 0.

d) Sa se arate ca 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2, (∀) n ∈ N∗.

e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 =n(4n2 − 1)

3, (∀)n ∈ N∗.


(ln

(1 +

1

n2

)+ ln

(1 +

3

n2

)+ . . .+ ln

(1 +

2n− 1

n2

)).

20

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 + 4x+ 2.


b) Sa se rezolve ın R ecuatia (f ◦ f)(x) = −2.

c) Sa se rezolve ın intervalul R ecuatia f(2x) = 7.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex3

.



f(x)− f(0)

x·

c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f ′(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 4), B(4, 3), C(0, 5) si O(0, 0).

a) Sa se verifice ca OA = OB = OC.

b) Sa se scrie ecuatia dreptei OA.

c) Sa se calculeze panta dreptei AB.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor reale definim legea de compozitie ”◦” prin x ◦ y = xy + 2x+ 2y + 2, (∀) x, y ∈ R.



c) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q\Z astfel ıncat a ◦ b ∈ N.

d) Sa se rezolve ın (0,∞) ecuatia (log2 x) ◦ (log3 x) = −2

2. Se considera functia f : [0,∞)→ R, f(x) =1

(x+ 1)(x+ 2)·


x+ 1− 1

x+ 2, (∀) x ∈ [0,∞).

b) Sa se arate ca f(1) + f(2) + . . .+ f(n) =1

2− 1

n+ 2, (∀) n ∈ N∗.

c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)).

SUBIECTUL III

In multimea M2(C) se considera matricele A =

(a bc d

), B =

(e fg h

).

a) Sa se calculeze AB si BA.

b) Sa se arate ca suma elementelor de pe diagonala principala a matricelor AB si BA este aceeasi.

c) Sa se arate ca det(A+B) + det(A−B) = 2(det(A) + det(B)).

d) Sa se arate ca det(AB) = det(A) · det(B).

21


det(A1 ·A2 · . . . ·An) = det(A1) · det(A2) · . . . · det(An), (∀)A1, A2, . . . , An ∈M2(C) si (∀)n ∈ N∗.

f) Sa se arate ca det(An) = detn(A), (∀) A ∈M2(C), (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : R→ R, f(x) = 1 + x+ x2 + . . .+ x8 si F : R→ R, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt, x ∈ R.


b) Sa se verifice ca (x− 1)f(x) = x7 − 1, (∀) x ∈ R.


d) Sa se arate ca F ′(x) = f(x), (∀) x ∈ R.

e) Sa se rezolve ecuatia F (x) = 1 +1

2+ . . .+

1

7·

f) Sa se arate ca F (x) < xf(x), (∀) x > 0.

22

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 + 5X − 6.

a) Sa se determine catul si restul ımpartirii polinomului f la polinomul X − 1.


c) Sa se rezolve ın R inecuatia f(x) ≤ 0.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex(sinx+ cosx).



f(x)− f(0)

x·

c) Sa se verifice ca functia F : R→ R, F (x0 = ex sinx este o primitiva a functiei f pe R.

d) Sa se calculeze

∫ 2π

0

f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 2), B(2, 1) si C(3, 3).


b) Sa se determine panta dreptei AC.


SUBIECTUL II

1. Pe R definim legea de compozitie ”◦” prin x ◦ y = x+ y + 10, (∀) x, y ∈ R.



c) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q\Z astfel ıncat a ◦ b ∈ N.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia x2 ◦ x = 12.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =x2 + 4

x2 + 1·

a) Sa se verifice ca f(x) = 1 +3

x2 + 1, (∀) x ∈ R.

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


SUBIECTUL III


(0 ii 0

), I2 =

(1 00 1


G = {X ∈M2(C) |AX = XA}.

a) Sa se verifice ca A ∈ G si I2 ∈ G.

b) Sa se gaseasca o matrice T ∈M2(C) cu proprietatea T /∈ G.

c) Sa se verifice ca A2 = −I2.

d) Sa se arate ca A2X = XA2, (∀) X ∈M2(C).

e) Sa se arate ca, daca a, b ∈ C, atunci matricea B = aI2 + bA ∈ G.

f) Sa se arate ca, daca X ∈ G, atunci exista a, b ∈ C astfel ıncat X = aI2 + bA.

23

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : (0,∞)→ R, f(x) = x ln a− a lnx, unde a ∈ R, a > 0.


b) Sa se calculeze f(a) si f ′(a).

c) Utilizand teorema lui Fermat sa se determine a > 0 cu proprietatea f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ (0,∞).

d) Sa se arate ca ex ≥ xe, (∀) x ∈ (0,∞).

e) Sa se arate ca pentru x > 0, avem ex = xe daca si numai daca x = e.

f) Sa se determine numerele reale c, b > 0 cu proprietatea ca cx + bx ≥ xc + xb, (∀) x ∈ (0,∞).

24


Varianta 1

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. O minge cade de la o ınaltime de 8 m. Dupa fiecare cadere, mingea se ridica la jumatate din ınaltimea de la carea cazut.

a) Sa se afle ce distanta a parcurs mingea de la ınceput si pana a atins pamantul a doua oara.

b) Sa se afle la ce ınaltime se ridica mingea dupa ce a atins pamantul a treia oara.

c) Sa se demonstreze ca, distanta parcursa de minge de la ınceput si pana atinge pamantul a suta oara, estemai mica decat 24 m.

2. Se considera multimea A formata din toate numerele naturale, scrise ın baza 10, care se termina cu cifra 7.

a) Sa se gaseasca un cub perfect ın multimea A.

b) Sa se arate ca multimea A nu contine niciun patrat perfect.

c) Sa se arate ca multimea A contine o infinitate de cuburi perfecte.

3. Un numar a se mareste cu 10% din valoarea sa si se obtine numarul b. Numarul b se micsoreaza cu 10% dinvaloarea sa si se obtine numarul c.

a) Sa se arate ca 10b = 11a.

b) Sa se arate ca 10c = 9b.

c) Sa se determine numerele a, b si c, stiind ca a− c = 1.

SUBIECTUL II

1. Se considera multimea A = {x2 − y2 |x, y ∈ Z}.

a) Sa se verifice ca 0 ∈ A si 1 ∈ A.

b) Sa se arate ca 2 /∈ A.

c) Sa se verifice identitatea

(x+ 1

2

)2

−(x− 1

2

)2

= x, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca multimea A contine toate numerele ıntregi impare.

2. In multimea M2(Z3) se considera matricele

(1 1

0 2

), B =

(1 0

1 2

)si I2 =

(1 0

0 1


G = {X ∈M2(Z3) |X2 = I2}.


b) Sa se arate ca A ∈ G si B ∈ G.

c) Sa se arate ca AB /∈ G.

d) Sa se gaseasca cel mai mic numar natural n pentru care (AB)n = I2.

SUBIECTUL III

1. Se considera polinomul f = X4 −X3 +X2 −X + 1, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se calculeze f(1) si f(−1).

b) Sa se determine a ∈ C astfel ıncat sa avem identitatea f(X) = a(X − x1)(X − x2)(X − x3)(X − x4).

c) Sa se arate ca (1− x1)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1.

d) Sa se arate ca (1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 5.

25

2. Se considera fractia2

11= 0, a1a2 . . . an . . ..

a) Sa se calculeze a1 si a2.

b) Sa se calculeze S = a2 + a4 + . . .+ a2002.

c) Sa se calculeze T = a1 + a2 + . . .+ a2002.

SUBIECTUL IV

Se considera un triunghi ABC si M un punct situat ın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC. Se ducperpendiculare din punctul M pe laturile AB, BC si AC ın D, E respectiv F . Notam cu ha ≤ hb ≤ hc lungimileınaltimilor triunghiului ABC duse din A, B respectiv C.

a) Sa se verifice caSAMB

SABC+SBMC

SABC+SCMA

SABC= 1, unde prin SXY Z am notat aria triunghiului XY Z.

b) Sa se deduca relatiaMD

hc+ME

ha+MF

hb= 1.

c) Sa se verifice egalitatea MD +ME +MF =MD

hc· hc +

ME

ha· ha +

MF

hb· hb.

d) Sa se arate ca, daca x, y, z, a, b, c ∈ R, x ≤ y ≤ z si a, b, c ∈ [0, 1] cu a+ b+ c = 1, atunci x ≤ ax+ by+ cz ≤ z.

e) Utilizand relatiile de la punctele b), c) si d), sa se arate ca ha ≤MD +ME +MF ≤ hc, pentru orice punct Msituat ın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC.

26

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Matematicianul Sorin a hotarat sa publice articole de matematica. La varsta de 21 de ani el publica un articol.Apoi, ın fiecare an el publica un articol mai mult decat ın anul precedent.

a) Sa se afle cate articole a publicat Sorin dupa trei ani.

b) Sa se afle cate articole a publicat Sorin ın anul ın care a avut varsta de 30 de ani.

c) Sa se determine cel mai mic numar natural n, cu proprietatea ca, dupa n ani, Sorin a publicat mai multearticole decat dublul varstei sale.

2. Un numar natural n ≥ 2 se numeste ”plin de putere” daca fiecare factor prim din descompunerea sa apare la oputere strict mai mare decat 1. (De exemplu, 72 = 23 · 32 este ”plin de putere”).

a) Sa se verifice ca numerele 8 si 9 sunt ”pline de putere”.

b) Sa se verifice identitatea 4n(n+ 1) + 1 = (2n+ 1)2, (∀) n ∈ N.

c) Sa se arate ca produsul a doua numere ”pline de putere” este un numar ”plin de putere”.

d) Sa se gaseasca un numar natural n, n ≥ 10, cu proprietatea ca n si n+ 1 sunt numere ”pline de putere”.

3. Trei urne A, B, C contin bile. O bila din urna A cantareste 1 g, o bila din urna B cantareste 2 g si o biladin urna C cantareste 4 g. Se stie ca oricare doua urne au ımpreuna de doua ori mai multe bile decat ın urnaramasa.

a) Sa se arate ca suma numarul bilelor din cele trei urne este de trei ori numarul bilelor din urna A.

b) Sa se arate ca ın fiecare urna avem acelasi numar de bile.

c) Daca cantarim trei bile si obtinem 7 g, atunci sa se precizeze din ce urna a provenit fiecare bila cantarita.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor complexe se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y + 1.

a) Sa se verifice ca x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ C.

b) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ C\R, pentru care a ◦ b ∈ R.

c) Sa se gaseasca cel mai mare numar natural n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n < 2002.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia 2x ◦ 4x = 3.

2. Se considera multimea A = {4x+ 5y |x, y ∈ N}.

a) Sa se verifice ca numerele 12, 13, 14, 15 apartin multimii A.


c) Sa se arate ca daca n ∈ N, 12 ≤ n ≤ 2002, atunci n ∈ A.

SUBIECTUL III

1. In multimea M2(Q) se considera submultimea G = {(a −bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Q} si matricea I2 =

(1 00 1

).



c) Sa se arate ca daca A, B ∈ G, atunci det(A ·B) = det(A) · det(B).

d) Sa se gaseasca A ∈ G, A =

(a −bb a

), cu b ∈ Q\Z si det(A) = 1.

2. a) Sa se verifice identitatea (a2 − 1)2 + (2a)2 = (a2 + 1)2, (∀) a ∈ R.

b) Sa se gaseasca o solutie (x, y) ∈ (Q\Z)× (Q\Z) a ecuatiei x2 + y2 = 1.

c) Sa se arate ca ecuatia x2 + y2 = 1 are o infinitate de solutii ın multimea (Q\Z)× (Q\Z).

27

SUBIECTUL IV

Se considera tetraedrul ABCD cu ınaltimile din A, B, C, D egale cu hA ≤ hB ≤ hC ≤ hD. Dintr-un punct Msituat ın interiorul sau pe fetele tetraedrului ducem perpendiculare pe fetele BCD, ACD, ABD si ABC ın E, F , Grespectiv H.

a) Sa se verifice caVMABC

VABCD+VMACD

VABCD+VMABD

VABCD+VMBCD

VABCD= 1, unde prin VXY ZT am notat volumul tetraedrului

XY ZT .

b) Sa se deduca relatiaME

hA+MF

hB+MG

hC+MH

hD= 1.

c) Sa se verifice egalitatea ME +MF +MG+MH =ME

hA· hA +

MF

hB· hB +

MG

hC· hC +

MH

hD· hD.

d) Sa se arate ca, daca x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R, x ≤ y ≤ z ≤ t si a, b, c, d ∈ [0, 1] cu a + b + c + d = 1, atuncix ≤ ax+ by + cz + dt ≤ t.

e) Utilizand relatiile de la punctele b), c) si d), sa se arate ca hA ≤ ME + MF + MG + MH ≤ hD, pentru oricepunct M situat ın interiorul tetraedrului ABCD.

28

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Pentru efectuarea unor plati, un casier are numai bancnote de 3 euro si de 5 euro ın numar nelimitat.

a) Sa se arate ca nu poate achita exact 7 euro.

b) Sa se arate ca el poate achita exact 8 euro, 9 euro si 10 euro.

c) Sa se arate ca, daca n ∈ N, 8 ≤ n ≤ 2002, atunci casierul poate achita exact n euro.

2. Un numar natural n ≥ 2 se numeste compus daca nu este numar prim.

a) Sa se arate ca numerele 8 si 9 sunt compuse.

b) Sa se gaseasca patru numere naturale consecutive mai mici decat 100 care sunt compuse.

c) Sa se arate ca numerele A1 = 2003!+2, A2 = 2003!+3, . . ., A2002 = 2003!+2003 sunt 2002 numere naturaleconsecutive compuse.

3. Patru frati A, B, C, D au ımpreuna 20 de ani. Se stie ca dublul varstei lui B este suma varstelor lui A si C, iardublul varstei lui C este suma varstelor lui B si D. Se mai stie ca A si B au ımpreuna atatia ani cat are C.

a) Sa se arate ca suma varstelor lui A si D este aceeasi cu suma varstelor lui B si C.

b) Sa se afle varsta lui B.

c) Sa se afle varstele lui A, C si D.

SUBIECTUL II

1. In multimea M2(C) se considera matricele A =

(a bc d

)si B =

(x yz t

).

a) Sa se calculeze AB.

b) Sa se calculeze det(A) si det(B).

c) Sa se verifice ca det(A ·B) = det(A) · det(B).

d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

det(X1 ·X2 · . . . ·Xn) = det(X1) · det(X2) · . . . · det(Xn), (∀)n ∈ N∗ si (∀)X1, X2, . . . , Xn ∈M2(C).

2. a) Sa se verifice ca x3 = x, (∀) x ∈ Z6.

b) Sa se arate ca x2001 = x si x2002 = x2, (∀) x ∈ Z6.

c) Sa se arate ca ecuatia x2002 + x2001 + . . .+ x2 + x+ 1 nu are solutie ın inelul Z6.

SUBIECTUL III

1. Se considera polinomul f = X4 + 1, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f = (X2 −√

2X + 1)(X2 +√

2X + 1).


c) Sa se calculeze S = x1 + x2 + x3 + x4.


e) Sa se arate ca polinomul f este ireductibil ın Q[X].

2. Se considera numerele an = 22n+1 + 1, n ∈ N.

a) Sa se stabileasca daca numarul a0 este prim.

b) Sa se arate ca numarul an nu este prim, (∀) n ∈ N∗.

29

SUBIECTUL IV

Pe planul dreptunghiului ABCD cu laturile AB = 4 si BC = 3 se ridica perpendicularele AA′ = 2, BB′ = 4,CC ′ = 8 si DD′ = 6.

a) Sa se calculeze lungimile segmentelor A′B′, B′C ′, C ′D′, D′A′.

b) Sa se verifice ca AA′ + CC ′ = BB′ +DD′.

c) Sa se calculeze lungimile liniilor mijlocii ın trapezele AA′C ′C si BB′D′D.

d) Sa se arate ca punctele A′, B′, C ′ si D′ sunt coplanare.

e) Sa se arate ca patrulaterul A′B′C ′D′ este paralelogram.

f) Sa se calculeze aria patrulaterului A′B′C ′D′.

30

Varianta 4

SUBIECTUL I

1. La un spectacol, 25% din spectatori sunt baieti si 75% sunt fete. Dintre baieti, 40% au ochi albastri, iar dintrefete 20% au ochi albastri. Se stie ca ın sala de spectacol sunt 300 de spectatori cu ochi albastri.

a) Sa se arate ca 10% dintre spectatori sunt baieti care au ochi albastri.

b) Sa se arate ca 15% dintre spectatori sunt fete care au ochi albastri.

c) Sa se afle numarul total de spectatori.

2. Notam cu A multimea numerelor naturale de trei cifre si cu B multimea numerelor naturale formate din treicifre distincte. Precizam ca toate numerele despre care se discuta ın problema sunt scrise ın baza 10.

a) Sa se determine numarul elementelor multimii A.

b) Sa se determine numarul elementelor multimii B.

3. La un turneu de tenis participa 128 de jucatori. Inaintea fiecarui tur, se ımpart jucatorii ın grupe de cate 2,care joaca ıntre ei. Invinsul paraseste turneul. Turneul se termina cand ramane un singur jucator. Pentruparticiparea la turneu, jucatorii sunt premiati cu cate 100 de euro pentru fiecare meci jucat ın turul 1, cate 200de euro pentru fiecare meci jucat ın turul 2, cate 300 de euro pentru fiecare meci jucat ın turul 3, etc.

a) Sa se afle cati euro au fost platiti de organizatori pentru meciurile din primul tur.

b) Cati euro a castigat un jucator care paraseste turneul ın turul 3?

c) Cati euro primeste castigatorul turneului, daca pentru victoria finala mai primeste 1000 de euro?

SUBIECTUL II

1. Se considera multimea A = {±12 ± 22 ± . . . ± n2 |n ∈ N∗}. De exemplu, 1 = 12, 2 = −12 − 22 − 32 + 42, deci1 ∈ A si 2 ∈ A.

a) Sa se arate ca 3 ∈ A si 4 ∈ A.

b) Sa se verifice ca 4 = (x+ 1)2 − (x+ 2)2 − (x+ 3)2 + (x+ 4)2, (∀) x ∈ R.

c) Sa se arate ca p ∈ A, (∀) p ∈ N∗.d) Sa se arate ca A = Z.

2. Se considera polinomul f = (X + 1)(X − 1)(X − 2) + 1.

a) Sa verifice ca f = X3 − 2X2 −X + 3.

b) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini rationale.

c) Sa se arate ca polinomul f este ireductibil ın Q[X].

SUBIECTUL III

1. In multimea M2(Z) se considera matricea A =

(0 1−1 0

)si submultimea G = {X ∈M2(Z) |AX = XA}.


b) Sa se verifice ca A2 = −I2, unde I2 =

(1 00 1

).

c) Sa se verifice ca I2 ∈ G si A ∈ G.

d) Sa se gaseasca o matrice B ∈M2(Z), cu proprietatea ca AB 6= BA.

e) Sa se arate ca, daca X ∈ G, atunci exista a, b ∈ Z astfel ıncat X = aI2 + bA.

2. a) Sa se scrie numarul 4 ca o suma de doua numere naturale prime nu neaparat diferite.

b) Sa se scrie numarul 8 ca o suma de trei numere naturale prime nu neaparat diferite.

c) Sa se arate ca orice numar natural n ≥ 4, se scrie ca o suma de numere naturale prime, nu neaparat diferite.

31

SUBIECTUL IV

Se considera triunghiul ABC si M un punct ın planul sau, din care ducem perpendiculare pe latura AB ın D, pelatura BC ın E si pe latura AC ın F .

a) Utilizand teorema lui Pitagora, sa se arate ca AD2 −BD2 = MA2 −MB2.

b) Sa se demonstreze ca AD2 −BD2 +BE2 − EC2 + CF 2 − FA2 = 0.

c) Sa se arate ca, daca X si Y sunt doua puncte pe dreapta AB si XA2 −XB2 = Y A2 − Y B2, atunci X = Y .

d) Sa se arate ca, daca X ∈ AB, Y ∈ BC si Z ∈ AC astfel ıncat XA2 −XB2 + Y B2 − Y C2 + ZC2 − ZA2 = 0,atunci perpendicularele duse ın X, Y respectiv Z pe laturile AB, BC respectiv AC sunt concurente.

e) Sa se arate ca, daca triunghiul ABC este echilateral, cu latura de lungime a si punctul M se afla ın interiorul

triunghiului, atunci AD +BE + CF =3a

2·

32

Varianta 5

SUBIECTUL I

1. O insula vulcanica are ınaltimea de 100 m. In fiecare an, datorita activitatii vulcanice, insula creste cu 5% dinınaltimea sa.

a) Sa se afle ınaltimea insulei dupa un an.

b) Sa se afle ce ınaltime are insula dupa 2 ani.

c) Sa se arate ca, dupa 20 de ani, insula are cel putin 200 m ınaltime.

2. Trei bile a, b si c cantaresc ımpreuna 300 g. Se stie ca suma greutatilor bilelor a si b este egala cu dublul greutatiibilei c si ca produsul greutatilor bilelor b si c este egala cu patratul greutatii bilei a.

a) Sa se afle cat cantareste bila c.

b) Sa se afle cat cantareste bila a.

c) Sa se afle cat cantareste bila b.

3. La un stadion cu capacitatea de 10000 locuri, vin spectatorii. In primul minut vine un spectator, ın al doileaminut vin 3 spectatori, ... , ın al n-lea minut sosesc 2n− 1 spectatori.

a) Sa se afle cati spectatori au venit dupa primele 5 minute.

b) Sa se arate ca 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2, (∀) n ∈ N∗.c) Sa se determine cel mai mic numar natural n, cu proprietatea ca, dupa n minute, stadionul este plin.

SUBIECTUL II

1. Se considera o multime A cu 10 elemente.

a) Sa se determine numarul submultimilor multimii A care au cel mult un element.

b) Sa se determine numarul submultimilor multimii A care au cel mult doua elemente.

c) Sa se arate ca numarul submultimilor multimii A care au un numar impar de elemente este egal cu numarulsubmultimilor multimii A care au un numar par de elemente.


(1 1−1 −1

), I2 =

(1 00 1


G = {X ∈M2(C) |AX = XA}.


b) Sa se verifice ca I2 ∈ G si A ∈ G.

c) Sa se arate ca, daca a, b ∈ C, atunci aI2 + bA ∈ G.

d) Sa se arate ca, daca X ∈ G, atunci exista a, b ∈ C astfel ıncat X = aI2 + bA.

SUBIECTUL III

1. Se considera polinomul f = (X − 1)(X − 2)(X − 3)(X − 4) + 1.


b) Sa se arate ca f = (X2 − 5X + 5)2.

c) Sa se arate ca f(k) ≥ 1, (∀) k ∈ Z.

2. Se considera numerele an = (n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4), (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se verifice ca a1, a2, a3 si a4 sunt patrate perfecte.

b) Sa se arate ca, daca n ≥ 5, atunci an nu este patratul unui numar natural.

33

SUBIECTUL IV

Se considera piramida V ABC. Notam cu G1, G2, G3 respectiv G4 centrele de greutate ale fetelor ABC, V BC,V AC respectiv V AB. Notam cu D mijlocul segmentului BC.

a) Sa se arate ca dreptele V G1 si AG2 sunt continute ın planul V AD.

b) Sa se arate ca dreptele G1G2 si V A sunt paralele si G1G2 =V A

3·

c) Sa se arate ca planele (G1G2G3) si (V AB) sunt paralele.

d) Sa se arate ca raportul dintre aria triunghiului G1G2G3 si aria triunghiului V AB este egal cu1

9·

e) Stiind ca piramida V ABC are toate muchiile (laterale si ale bazei) egale, sa se arate ca raportul dintre volumul

piramidei G1G2G3G4 si volumul piramidei V ABC este egal cu1

27·

34


Varianta 3

Profilul uman

SUBIECTUL I


(1 1

0 2

), B ==

(1 0

1 2

)si I2 =

(1 0

0 1


G = {X ∈M2(Z3) |X2 = I2}.



c) Sa se calculeze AB.

d) Sa se arate ca AB /∈ G.

e) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n pentru care (AB)n = I2.




f(x)− f(1)

x− 1·


d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


∫ x

0

f(t) dt

x2003·

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor complexe se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = xy + ix+ iy − 1− i.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = (x+ i)(y + i)− i, (∀) x, y ∈ C.

b) Sa se arate ca x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, (∀) x, y, z ∈ C.

c) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ C\R astfel ıncat a ◦ b ∈ R.

d) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca

x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn = (x1 + i) ◦ (x2 + i) ◦ . . . ◦ (xn + i)− i, (∀)n ∈ N∗ si x1, x2, . . . , xn ∈ C.

e) Sa se rezolve ın C ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x = 1− i.

SUBIECTUL III

Se considera functiile f : R → R, f(x) = 1 + x + x2 + . . . + x6, F : R → R, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt si g : R → R,

g(x) = x7 − 1.

a) Sa se calculeze f(1) si g(1).

b) Sa se verifice ca (x− 1)f(x) = x7 − 1, (∀) x ∈ R.

c) Sa se calculeze g′(x), x ∈ R.

d) Sa se arate ca functia g este strict crescatoare pe R.

35

e) Sa se arate ca f(x) > 0, (∀) x ∈ R.


F (n)

nf(n)·

SUBIECTUL IV

Se considera polinomul f = X4 − 14X2 + 9, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca (√

5 +√

2)2 = 7 + 2√

10 si (√

5−√

2)2 = 7− 2√

10.

b) Sa se verifice ca f(−x) = f(x), (∀) x ∈ R.

c) Sa se rezolve ın C ecuatia f(x) = 0.

d) Sa se arate ca f = (X −√

2−√

5)(X −√

2 +√

5)(X +√

2−√

5)(X +√

2 +√

5).

e) Sa se calculeze x1 + x2 + x3 + x4.

f) Sa se arate ca x20031 + x20032 + x20033 + x20034 = 0.

36


Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : C→ C, f(z) = εz + 1, unde ε = −1

2+ i

√3

2·

a) Sa se verifice ca ε2 + ε+ 1 = 0 si ca ε3 = 1.

b) Sa se arate ca (f ◦ f ◦ f)(z) = z, (∀) z ∈ C.

c) Sa se rezolve ın C ecuatia (f ◦ f ◦ f)(z) = z4.

2. Se considera sirul (an)n≥1, an =1√

n+ 1 +√n

, (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se calculeze limn→∞

an.

b) Sa se verifice ca an =√n+ 1−

√n, (∀) n ∈ N∗.

c) Sa se arate ca a1 + a2 + . . .+ an =√n+ 1− 1, (∀) n ∈ N∗.


an√n·

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(5, 12), B(12, 5), C(0, 13) si O(0, 0).

a) Sa se calculeze panta dreptei AB.


c) Sa se verifice ca OA = OB = OC.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine numarul real a pentru care avem identitatea C2x =

ax(x− 1)

2, (∀) x ∈∈ N, x ≥ 2.

b) Sa se rezolve ın N inecuatia C2n < 6, n ≥ 2.

c) Sa se verifice identitatea Cyx = Cy+1x+1 − Cy+1

x , (∀) x, y ∈ N, x > y ≥ 0.

d) Utilizand relatia de la punctul c), sa se arate ca Cpp+1 + Cpp+2 + . . .+ Cpp+n = Cp+1p+n+1 − 1, (∀) p, n ∈ N∗.

2. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) =lnx

x·


b) Sa se arate ca f(x) ≤ f(e), (∀) x > 0.

c) Sa se deduca inegalitatea xe ≤ ex, (∀) x > 0.

d) Sa se calculeze

∫ e

1

f(x) dx.

SUBIECTUL III


{(x y

2y x

) ∣∣∣∣ x, y ∈ Z5

}.


(1 0

0 1

)∈ G si O2 =

(0 0

0 0

)∈ G.

b) Sa se arate ca, daca x, y ∈ Z5 si x2 − 2y2 = 0, atunci x = y = 0.

37

c) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G, atunci A+B ∈ G si AB ∈ G.

d) Sa se determine numarul elementelor multimii G.

e) Sa se arate ca, daca A ∈ G si A 6= O2, atunci exista B ∈ G astfel ıncat AB = I2.

f) Sa se dea un exemplu de structura de corp cu 25 de elemente.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : R→ R, f(x) = 1 + x+ x2 + . . .+ x2002 si F : R→ R, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt, (∀) x ∈ R.


b) Sa se verifice ca (x− 1)f(x) = x2003 − 1, x ∈ R.


d) Sa se arate ca F ′(x) = f(x), (∀) x ∈ R.

e) Sa se arate ca functia F este bijectiva.

f) Notam cu g : R→ R inversa functiei F si cu a =1

1+

1

2+ . . .+

1

2003· Sa se calculeze

∫ a

0

g(x) dx.

38

Varianta 2

SUBIECTUL I


a) Sa se verifice identitatea f = (X2 − 2X + 2)(X2 + 2X + 2).




2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = e−x2

.



f(x)− f(0)

x·


3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii:

d1 : x+ 2y + 3 = 0, d2 : 2x+ y + 3 = 0, d3 : 3x+ 4y + 7 = 0.

a) Sa se scrie determine coordonatele punctului de intersectie al dreptelor d1 si d2.


c) Sa se scrie ecuatia cercului cu centrul ın O(0, 0) si care trece prin punctul de concurenta al celor trei drepte.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine numarul real a pentru care avem identitatea A2x = ax(x− 1), (∀) x ≥ 2.

b) Sa se rezolve ın N inecuatia A2n < 12, n ≥ 2.

c) Sa se verifice identitatea Cy+1x = Cy+1

x+1 − Cyx , (∀) x, y ∈ N, x > y.

d) Utilizand relatia de la punctul c), sa se arate ca Crp +Cr+1p+1 + . . .+Cr+np+n = Cr+np+n+1−Cr−1p , (∀) p, r, n ∈ N∗,

p > r.



b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


d) Notam cu g : R→ R inversa functiei f . Sa se calculeze

∫ 3

1

g(x) dx.

SUBIECTUL III


1 a b

0 1 c

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ a, b, c ∈ Z3

si matricea I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.


b) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G atunci A ·B ∈ G.

c) Sa se arate ca, oricare ar fi matricea A ∈ G, avem A3 = I3.

d) Sa se gaseasca doua matrice A, B ∈ G pentru care AB 6= BA.

e) Sa se dea un exemplu de structura de grup necomutativ cu 27 de elemente, (H, ·), ın care x3 = e, (∀) x ∈ H,unde e este elementul neutru al grupului H.

39

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = 2x +mx − 4x − 5x, unde m ∈ R, m > 0.

a) Sa se determine f ′(x), x ∈ R.


c) Sa se determine m > 0 astfel ıncat f(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ R.

d) Pentru m = 10, sa se calculeze aria suprafetei cuprinse ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatiix = 0 si x = 1.

e) Sa se demonstreze ca, daca a, b, c, d ∈ R, 0 < a < b < c < d si a+ d = b+ c, atunci pentru orice n ∈ N, n ≥ 2,are loc relatia an + dn > bn + cn.

f) Considerand m = 10, sa se arate ca pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, avem f (n)(0) > 0. (Am notat prin f (n) derivatade ordinul n a functiei f).

40

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X3 − 6X2 + 11X − 6.

a) Sa se determine restul ımpartirii polinomului f la polinomul X − 1.



2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x+ 1)5 + (x− 1)5.



f(x)− f(0)

x·


d) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera cercul de ecuatie x2 + y2 = 25.

a) Sa se scrie determine coordonatele centrului cercului si raza cercului.

b) Sa se verifice ca punctul A(3, 4) se afla pe cerc.

c) Sa se arate ca dreapta de ecuatie 3x+ 4y − 25 = 0 este tangenta la cerc ın punctul A(3, 4).

SUBIECTUL II

1. Pe multimea R se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = x+ y − 1.



c) Sa se rezolve ın N∗ ecuatia C0n ◦ C1

n ◦ C2n = 44 + n.

d) Sa se rezolve ın R inecuatia x ◦ x2 ≤ 1 .

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex − e−x.

a) Sa se verifice ca f(−x) = −f(x), (∀) x ∈ R.



d) Notam cu g : R→ R inversa functiei f . Sa se calculeze g′(0).

SUBIECTUL III

Se considera polinoamele f = a+ bX + cX2 + dX3 si g = X4 − 1, unde a, b, c, d ∈ C, iar g are radacinile x1, x2,x3, x4 ∈ C.

Se mai considera matricele A =

a b c dd a b cc d a bb c d a

si V =

1 1 1 1x1 x2 x3 x4x21 x22 x23 x24x31 x32 x33 x34

.

a) Sa se verifice ca g = (X2 − 1)(X2 + 1).

b) Sa se arate ca det(V ) 6= 0.

c) Sa se arate ca AV =

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4)x1f(x1) x2f(x2) x3f(x3) x4f(x4)x21f(x1) x22f(x2) x23f(x3) x24f(x4)x31f(x1) x32f(x2) x33f(x3) x34f(x4)

.

41

d) Utilizand relatia de la punctul c), sa se arate ca det(A) = f(x1)f(x2)f(x3)f(x4).

e) Pentru a = c = d = 0 si b = 1, sa se calculeze A2 si A4.

f) Pentru a = c = d = 0 si b = 1, sa se arate ca matricea A este inversabila si sa se calculeze inversa sa.

SUBIECTUL IV

Se considera n ∈ N∗ si functiile f : [0,∞)→ R, f(x) = e−xxn, g : [0,∞)→ R, g(x) = 1−e−x(

1 +x

1!+x2

2!+ . . .+

xn

n!

)si h : [0,∞)→ R, h(x) =

1

n!

∫ x

0

f(t) dt.

a) Sa se calculeze g(0) si h(0).

b) Sa se verifice ca g′(x) = h′(x), (∀) x ≥ 0.

c) Sa se arate ca g(x) = h(x), (∀) x ≥ 0.

d) Sa se arate ca 0 ≤ g(x) ≤ e−xxn+1

n!, (∀) x ∈ [0, n].

e) Sa se arate ca, daca x ≥ 0, atunci limn→∞

xn+1

n!= 0.

f) Sa se demonstreze ca limn→∞

(1 +

x

1!+x2

2!+ . . .+

xn

n!

)= ex, (∀) x ≥ 0.

42

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1


SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 + 2x+m, unde m este un parametru real.

a) Sa se determine valorile parametrului m, astfel ıncat f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

b) Pentru m = 0, sa se rezolve ecuatia f(x) = 0.

c) Pentru m = 0, sa se rezolve ecuatia f(2x) = 8.

d) Pentru m = 0, sa se rezolve inecuatia f(x) ≤ 0.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = arctg x.



f(x)− f(0)

x·





c) Sa se scrie ecuatia dreptei BC.

SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = (X+1)10, cu forma algebrica f = a10X10+a9X

9+ . . .+a1X+a0.


b) Sa se calculeze suma coeficientilor polinomului f .

c) Sa se arate ca a0 + a2 + a4 + . . .+ a10 =f(1) + f(−1)

2·

2. Se considera functia f : [0,∞)→ R, f(x) =x2 + x+ 1

x+ 1·

a) Sa se verifice ca f(x) = x+1

x+ 1, (∀) x ≥ 0.


c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III


(1 1−1 −1

), I2 =

(1 00 1


G = {X ∈M2(C) |AX = XA}.


b) Sa se verifice ca I2 ∈ G si A ∈ G.

c) Sa se arate ca XA2 = A2X, (∀) X ∈M2(C).

d) Sa se gaseasca o matrice B ∈M2(C) cu proprietatea ca AB 6= BA.

43

e) Sa se arate ca, daca a, b ∈ C, atunci aI2 + bA ∈ G.

f) Sa se arate ca, daca X ∈ G, atunci exista x, y ∈ C astfel ıncat X = xI2 + yA.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2ex.


b) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca f (n)(x) = ex(x2 + 2nx+n(n− 1)), (∀) n ∈ N∗, (∀) x ∈ R.

(S-a notat prin f (n) derivata de ordinul n a functiei f).

c) Sa se arate ca 1 · 2 + 2 · 3 + . . .+ (n− 1) · n =(n− 1)n(n+ 1)

3, n ∈ N, n ≥ 2.


f ′(0) + f ′′(0) + . . .+ f (n)(0)

n3·

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

f) Sa se gaseasca o functie g : R→ R, indefinit derivabila, cu proprietatea ca g(n)(0) = n(n+ 1), (∀) n ∈ N∗.

44

Varianta 2

SUBIECTUL I


a) Sa se verifice identitatea f = (X2 −X√

2 + 1)(X2 +X√

2 + 1).




2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = (x+ 1)4 + (x− 1)4.



f(x)− f(0)

x·


d) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.


a) Sa se determine panta dreptei AB.


c) Sa se verifice ca OA = OB = OC.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea R se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = x+ y + 1.


b) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q\Z, cu proprietatea ca a ◦ b ∈ Z.

c) Sa se rezolve ın R ecuatia x ◦ (2x) ◦ . . . ◦ (2002x) = 2001.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =2x+ 9

x2 + 1·

a) Sa se determine asimptotele la graficul functiei f .


c) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III


(1 1

0 2

), B =

(1 0

1 2

), I2 =

(1 0

0 1


G = {X ∈M2(Z3) |X2 = I2}.



c) Sa se arate ca AB 6= BA.

d) Sa se arate ca AB /∈ G.

e) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n, cu proprietatea ca (AB)n = I2.

f) Sa se arate ca multimea G are cel putin 6 elemente.

45

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R\{−1} → R, f(x) =1

1 + x·

a) Sa se determine asimptota verticala a graficului functiei f .

b) Sa se determine asimptota la +∞ a graficului functiei f .

c) Sa se arate ca f(x)− 1 + x− x2 ≤ 0, (∀) x ≥ 0.

d) Sa se arate ca f(x)− 1 + x− x2 + x3 ≥ 0, (∀) x ≥ 0.

e) Sa se deduca inegalitatile 1− x+ x2 − x3 ≤ 1

1 + x≤ 1− x+ x2, (∀) x ≥ 0.

f) Sa se arate ca aria cuprinsa ıntre graficul functiei g : [0,∞) → R, g(x) =1

1 + x9, axa Ox si dreptele x = 0 si

x = 1, este un numar real cuprins ın intervalul (0, 91; 0, 96).

46

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 + 6x+ 6.


b) Sa se arate ca f(x) ≥ −3, (∀) x ∈ R.


2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex + e−x.



f(x)− f(0)

x·

c) Sa se calculeze

∫ 1

−1f(x) dx.

3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 1), B(−1,−1), C(−1, 1).




SUBIECTUL II

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = (X + 1)10 + (X − 1)10 cu forma algebrica f = a10X10 + a9X

9 +. . .+ a1X + a0.


b) Sa se calculeze suma coeficientilor polinomului f .

c) Sa se arate ca a0 + a2 + a4 + . . .+ a10 =f(1) + f(−1)

2·

2. Se considera functiile f : R → R, f(x) =4x

4x4 + 1si g : R → R, g(x) =

1

2x2 − 2x+ 1· Se mai considera sirul

(an)n≥1, definit prin an = f(1) + f(2) + . . .+ f(n), (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca f(x) = g(x)− g(x+ 1), (∀) x ∈ R.

b) Sa se arate ca an = 1− 1

2n2 + 2n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


an.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

SUBIECTUL III

In multimea M2(Q) se considera submultimea G =

{(a b3b a

) ∣∣∣∣ a2 − 3b2 = 1, a, b ∈ Q}

.


(1 00 1

)∈ G.


c) Sa se arate ca, daca X ∈ G, X =

(a b3b a

), atunci X este matrice inversabila si X−1 =

(a −b−3b a

)


(a b3b a

)cu b 6= 0.

47

e) Sa se arate ca, daca B ∈ G, B =

(a b3b a

)cu a > 0, b > 0, atunci Bn 6= I2, (∀) n ∈ N∗.

f) Sa se arate ca multimea G este infinita.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f, g : R → R, f(x) = arctg x, g(x) = arctg x − x si sirul (an)n∈N, definit prin a0 = 1 sian+1 = f(an), (∀) n ∈ N.

a) Sa se calculeze f ′(x) si g′(x), x ∈ R.

b) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R si ca functia g este strict descrescatoare pe R.

c) Sa se arate ca g(x) = 0 daca si numai daca x = 0.

d) Sa se arate ca sirul (an)n∈N este descrescator si marginit.


an.


an+1

an·

48

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1

Profilul pedagogic

SUBIECTUL I

1. Se considera multimea A compusa din toate numerele de patru cifre distincte, scrise ın baza 10, formate cu cifrele1, 2, 3 si 4.


Se ordoneaza crescator elementele multimii A. (Pe locul ıntai este cel mai mic element, pe locul doi esteurmatorul, etc.).

b) Sa se determine elementul din multimea A, situat pe locul trei.

c) Sa se afle pe ce loc se gaseste elementul 4132 ın multimea A.

2. Un calator are de parcurs o distanta ıntre doua orase. In prima zi el a parcurs jumatate din distanta si ıncaun kilometru. A doua zi el a parcurs jumatate din distanta ramasa si ınca un kilometru. A treia zi a parcursultimii 30 de kilometri.

a) Sa se determine distanta parcursa de calator ın ziua a doua.

b) Sa se determine distanta parcursa de calator ın prima zi.

c) Sa se afle cate zile ar fi durat calatoria, daca ın fiecare zi calatorul ar fi parcurs jumatate din distantaramasa si ınca un kilometru.

3. Se considera numarul a = 2 · 4 · 6 · . . . · 50.

a) Sa se determine numarul de zerouri cu care se termina numarul a ın scrierea zecimala.

b) Sa se arate ca numarul a nu este patratul unui numar natural.

c) Sa se arate ca numarul a nu este cubul unui numar natural.

SUBIECTUL II


(a bc d

)si B =

(p rq s

).

a) Sa se calculeze AB.

b) Sa se calculeze det (A) si det (B).

c) Sa se verifice ca det (AB) = det (A) · det (B).

d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

det (X1 ·X2 · . . . ·Xn) = det (X1) · det (X2) · . . . · det (Xn), (∀) n ∈ N∗ si (∀) X1, X2, . . ., Xn ∈M2(C).

2. Se considera polinomul f = X4 + 4, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f = (X2 − 2X + 2)(X2 + 2X + 2).



d) Sa se calculeze T =1

x1+ +

1

x2+

1

x3+

1

x4·

SUBIECTUL III

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = x+ y − 1.


b) Sa se determine numarul real e, pentru care x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ R.

49

c) Sa se arate ca numarul 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ 2002 nu este patratul unui numar natural.

d) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ R\Q, pentru care a ◦ b ∈ Q.

2. a) Sa se gaseasca doua numere naturale c si d, cu proprietatea ca c2 + d2 = 41.

b) Sa se arate ca nu exista doua numere naturale x si y, cu proprietatea ca x2 + y2 = 43.

SUBIECTUL IV

Pe planul dreptunghiului ABCD cu laturile AB = 8 si BC = 6 se ridica perpendicularele AA′ = 8, BB′ = 4,CC ′ = 2 si DD′ = 6.

a) Sa se calculeze lungimile segmentelor A′B′, B′C ′, C ′D′ si A′D′.

b) Sa se verifice ca AA′ + CC ′ = BB′ +DD′.

c) Sa se calculeze lungimile liniilor mijlocii ın trapezele AA′C ′C si BB′D′D.

d) Sa se arate ca punctele A′, B′, C ′ si D′ sunt coplanare.

e) Sa se arate ca patrulaterul A′B′C ′D′ este paralelogram.

f) Sa se calculeze aria patrulaterului A′B′C ′D′.

50

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. Intr-o cofetarie, o bomboana costa 2 euro si o ciocolata costa 7 euro. Un copil are 45 euro si cumpara bomboanesi ciocolata. Numim ”combinatie de bomboane si ciocolate de 45 euro” un numar de bomboane si un numarde ciocolate care costa ımpreuna 45 euro. De exemplu, 19 bomboane si o ciocolata constituie ”combinatie debomboane si ciocolate de 45 euro”.

a) Sa se gaseasca o alta ”combinatie de bomboane si ciocolate de 45 euro”.

b) Sa se determine numarul maxim de ciocolate pe care ıl poate contine o ”combinatie de bomboane si ciocolatede 45 euro”.

c) Sa se gaseasca numarul total de ”combinatii de bomboane si ciocolate de 45 euro”.

2. Un autoturism costa la lansarea pe piata 10000 euro. Dupa fiecare an, pretul sau scade cu 20% din valoareaavuta la ınceputul anului.

a) Sa se afle cat va costa autoturismul peste un an.

b) Sa se determine pretul autoturismului dupa trei ani.

c) Sa se determine cel mai mic numar natural n, cu proprietatea ca dupa n ani autoturismul va costa maiputin de 5000 euro.

3. Se considera numarul natural a = 1 · 2 · 3 · 4 · 5.

a) Sa se determine numarul divizorilor naturali ai numarului a.

b) Sa se calculeze suma tuturor divizorilor naturali ai numarului a.

c) Sa se calculeze produsul tuturor divizorilor naturali ai numarului a.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = x+ y − 1.


b) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q\Z, pentru care a ◦ b ∈ Z.

c) Sa se determine cel mai mare numar natural n, pentru care 1 ◦ 2 ◦ . . . ◦ n < 2002.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia 2x ◦ 4x = 5.

2. Se considera multimea A = {3x+ 4y |x, y ∈ N}.

a) Sa se verifice ca numerele 6, 7, 8 apartin multimii A.


c) Sa se arate ca, daca n ∈ A, atunci n+ 3 ∈ A.

d) Sa se arate ca, daca n ∈ N, 6 ≤ n ≤ 2002, atunci n ∈ A.

SUBIECTUL III

1. In multimea M2(Z) se considera submultimea G =

{(a −bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z}

si matricea I2 =

(1 00 1

).



c) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G, atunci det (AB) = det (A) · det (B).

d) Sa se arate ca, daca A ∈ G si det (A) = 1, atunci A4 = I2.

2. a) Sa se verifice identitatea (a2 − 1)2 + (2a)2 = (a2 + 1)2, (∀) a ∈ R.

b) Sa se gaseasca o solutie (x, y) ∈ (Q\Z)× (Q\Z) a ecuatiei x2 + y2 = 1.

c) Sa se arate ca ecuatia x2 + y2 = 1 are o infinitate de solutii ın multimea (Q\Z)× (Q\Z).

51

SUBIECTUL IV


a) Sa se calculeze apotema piramidei.


c) Sa se calculeze ınaltimea piramidei.

d) Sa se calculeze volumul piramidei.

e) Sa se arate ca muchiile V A si V C sunt perpendiculare.

f) Fie punctul P ∈ (V C). Sa se determine lungimea segmentului PC, astfel ıncat perimetrul triunghiului BPD safie minim.

52

Varianta 3

SUBIECTUL I

1. La examenul de bacalaureat, proba de limba si literatura romana, o eleva a scris 15 pagini numerotate de la 1la 15.

a) Sa se afle de cate ori a folosit cifra 1 pentru numerotarea paginilor.

b) Sa se afle suma numerelor tuturor paginilor.

c) Sa se determine suma tuturor cifrelor folosite pentru numerotarea paginilor.

2. Intr-o ferma sunt gaini si fiecare dintre ele face exact cate un ou la doua zile. In prima zi fermierul a luat 23 deoua, iar a doua zi a luat 17 oua.

a) Sa se afle cate gaini sunt la ferma.

b) Sa se afle cate oua a strans fermierul dupa 10 zile.

c) Sa se afle cel mai mic numar natural nenul n, cu proprietatea ca la sfarsitul zilei n, fermierul a strans ıntotal cel putin 2002 oua.

3. Se considera numerele rationale a1, a2, . . ., an, . . ., unde a1 = 2, a2 = 6 si an+1 =anan−1

, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

a) Sa se determine numerele a3, a4, a5, a6, a7, a8.

b) Sa se determine a2002.


SUBIECTUL II

1. Se considera multimea M = {a2 − 2b2 | a, b ∈ Z}.

a) Sa se verifice ca 0 ∈M si 1 ∈M .

b) Sa se verifice identitatea (a2 − 2b2)(c2 − 2d2) = (ac+ 2bd)2 − 2(ad+ bc)2, (∀) a, b, c, d ∈ Z.

c) Sa se arate ca, daca x, y ∈M , atunci x · y ∈M .

d) Sa se arate ca 3 /∈M .


(1 2

0 2

), B =

(1 0

2 2

)si I2 =

(1 0

0 1


G = {X ∈M2(Z3) |X2 = I2}.



c) Sa se arate ca AB /∈ G.

d) Sa se afle cel mai mic numar natural nenul n, pentru care (AB)n = I2.

SUBIECTUL III

1. Se considera polinomul f = X4 +X3 +X2 +X + 1, avand radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se calculeze f(1) si f(−1).

b) Sa se determine a ∈ C astfel ıncat sa avem identitatea f = a(X − x1)(X − x2)(X − x3)(X − x4).

c) Sa se arate ca (1− x1)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 5.

d) Sa se arate ca (1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 1.

2. Se considera numerele a = 11 · 12 · . . . · 20, b = 1 · 2 · . . . · 10 si c = 21 · 22 · . . . · 30.

a) Sa se arate ca numarul a nu este patratul unui numar natural.

b) Sa se arate ca numarul b divide numarul a.

53

c) Sa se arate ca numarul a nu divide numarul c.

SUBIECTUL IV

Se considera un triunghi ABC si M un punct situat ın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC. Se ducperpendiculare din punctul M pe dreptele AB, BC si AC ın D, E respectiv F . Notam cu ha ≤ hb ≤ hc lungimileınaltimilor triunghiului ABC duse din A, B respectiv C.

a) Sa se verifice caSAMB

SABC+SBMC

SABC+SCMA

SABC= 1, unde prin SXY Z am notat aria triunghiului XY Z.

b) Sa se arate caSAMB

SABC=MD

hc·

c) Sa se deduca relatiaMD

hc+ME

ha+MF

hb= 1.

d) Sa se verifice egalitatea MD +ME +MF =MD

hc· hc +

ME

ha· ha +

MF

hb· hb.

e) Sa se arate ca, daca x, y, z, a, b, c ∈ R, x ≤ y ≤ z si a, b, c ∈ [0, 1] cu a+ b+ c = 1, atunci x ≤ ax+ by+ cz ≤ z.

f) Utilizand relatiile de la punctele c), d) si e), sa se arate ca ha ≤MD +ME +MF ≤ hc, pentru orice punct Msituat ın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC.

54

SESIUNEA AUGUST

Varianta 1

Profilul uman

SUBIECTUL I

1. Se considera polinomul f = X4 +X3 + 1, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f =

(1− X2

2

)2

+

(X +

X2

2

)2

+X4

2·

b) Sa se arate ca f(x) > 0, (∀) x ∈ R.

c) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini reale.

d) Sa se determine a ∈ C pentru care avem identitatea f = a(X − x1)(X − x2)(X − x3)(X − x4).

e) Sa se arate ca (1− x1)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 3.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) =2x+ 1

(x2 + 2)(x2 + 2x+ 3)·


x2 + 2− 1

(x+ 1)2 + 2, (∀) x ∈ R.


c) Sa se arate ca f(1) + f(2) + . . .+ f(n) =1

3− 1

(n+ 1)2 + 2, (∀) n ∈ N∗.


(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)).


n2(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)− 1

3

).

SUBIECTUL IIPe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = 3xy + 3x+ 3y + 2.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = 3(x+ 1)(y + 1)− 1, (∀) x, y ∈ R.



d) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q− Z, pentru care a ◦ b ∈ Z.

e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca (∀) n ∈ N∗, avem

a1 ◦ a2 ◦ . . . ◦ an = 3n−1 · (a1 + 1) · (a2 + 1) · . . . · (an + 1)− 1, (∀) a1, a2, . . ., an ∈ R.

f) Sa se rezolve ın R ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x = −1.

SUBIECTUL III


(−3 5−2 3

)si I2 =

(1 00 1


G = {X ∈M2(C) |AX = XA}.

a) Sa se verifice ca A ∈ G si I2 ∈ G.

b) Sa se calculeze determinantul matricei A.

c) Sa se verifice ca A2 = −I2.

d) Sa se arate ca A2X = XA2, (∀) X ∈M2(C).

e) Sa se arate ca, daca a, b ∈ C, atunci matricea B = aI2 + bA ∈ G.

55

f) Sa se arate ca, daca X ∈ G, atunci exista x, y ∈ C astfel ıncat X = xI2 + yA.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) =x2 + 2

x2 + 1·

a) Sa se verifice ca f(x) = 1 +1

x2 + 1, (∀) x ∈ R.


c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe (−∞, 0] si strict descrescatoare pe [0,∞).

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


f(x).


n2(f(n)− 1).

56

Varianta 2

SUBIECTUL I

1. a) Sa se verifice ca (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(b+ c)(c+ a), (∀) a, b, c ∈ C.

b) Sa se arate ca, daca a, b, c ∈ C si (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3, atunci a+ b = 0 sau b+ c = 0 sau c+ a = 0.

c) Sa se arate ca, daca a, b, c ∈ C si (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3, atunci (a+ b+ c)2003 = a2003 + b2003 + c2003.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia (2x + 3x − 4x)3 = 23x + 33x − 43x.

e) Sa se rezolve ın C ecuatia (x2 + x+ 1)3 = x6 + x3 + 1.

2. Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2002 + 1.

a) Sa se calculeze f ′(x), (∀) x ∈ R.


f(x)− f(1)

x− 1·


d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


xf ′(x)

f(x)·

SUBIECTUL IISe considera polinomul f = X4 −X3 +X2 −X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Sa se verifice ca f =

(X2 − 1 +

√5

2X + 1

)(X2 − 1−

√5

2X + 1

).


c) Sa se arate ca X5 + 1 = (X + 1) · f .

d) Sa se arate ca, daca z ∈ C este radacina polinomului f , atunci z5 = −1.

e) Sa se arate ca x101 + x102 + x103 + x104 = 4.

f) Sa se arate ca1

x51+

1

x52+

1

x53+

1

x54= −4.

SUBIECTUL III

In multimea M2(Z) se considera matricele P =

(1 100 −1

), Q =

(1 03 −1

)si I2 =

(1 00 1


G = {A ∈M2(Z) |A2 = I2}.


b) Sa se arate ca P ∈ G si Q ∈ G.

c) Sa se calculeze P ·Q.

d) Sa se arate ca P ·Q /∈ G.

e) Sa se arate ca, daca An =

(1 0n −1

), (∀) n ∈ Z, atunci An ∈ G, (∀) n ∈ Z.

f) Sa se demonstreze ca multimea G este infinita.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = x2 − x+ 1 si sirul (an)n≥2, definit prin an =23 + 1

23 − 1· 33 + 1

33 − 1· . . . · n

3 + 1

n3 − 1,

(∀) n ∈ N, n ≥ 2.

57

a) Sa se verifice ca f(x+ 1) = x2 + x+ 1, (∀) x ∈ R.

b) Sa se arate cax3 + 1

x3 − 1=x+ 1

x− 1· f(x)

f(x+ 1), (∀) x > 1.

c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca an =3n(n+ 1)

2(n2 + n+ 1), (∀) n ∈ N, n ≥ 2.


an.


∫ n

0

f(x) dx

n3·

58

Varianta 3

SUBIECTUL I

2. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = xy + 3x+ 3y + 6.



c) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ Q− Z, pentru care a ◦ b ∈ N.

d) Sa se rezolve ın intervalul (0,∞) ecuatia (log2 x) ◦ (log3 x) = −3.

e) Sa se rezolve ın R ecuatia (x+ 1) ◦ (x2 − 4) = −3.

2. Se considera functia f : [0,∞)→ R, f(x) =1

(x+ 1)(x+ 2).


x+ 1− 1

x+ 2, (∀) x ∈ [0,∞).

b) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ [0,∞).


d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

e) Sa se calculeze f(1) + f(2) + . . .+ f(n) =1

2− 1

n+ 2, (∀) n ∈ N∗.


(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)).

SUBIECTUL II


(a bc d

), B =

(e fg h

).

a) Sa se calculeze AB si BA.

b) Sa se arate ca suma elementelor de pe diagonala principala a matricelor AB si BA este aceeasi.

c) Sa se arate ca det (A+B) + det (A−B) = 2(det (A) + det (B)).

d) Sa se demonstreze ca det (AB) = det (A) det (B).


det (A1 ·A2 · . . . ·An) = det (A1) · det (A2) · . . . · det (An), (∀) n ∈ N∗ si (∀) A1, A2, . . ., An ∈M2(C).

f) Sa se arate ca det (An) = detn (A), (∀) n ∈ N∗ si A ∈M2(C).

SUBIECTUL III

Se considera multimea M = {a2 − 2b2 | a, b ∈ Z}.

a) Sa se verifice ca 0 ∈M si 1 ∈M .

b) Sa se verifice identitatea (a2 − 2b2)(c2 − 2d2) = (ac+ 2bd)2 − 2(ad+ bc)2, (∀) a, b, c, d ∈ Z.

c) Sa se arate ca, daca x, y ∈M , atunci x · y ∈M .

d) Sa se arate ca, daca a ∈ Z3, atunci a2 ∈ {0, 1}.

e) Sa se arate ca, daca a, b ∈ Z3 si a2 − 2b2 = 0, atunci a = b = 0.

f) Sa se arate ca M 6= Z.

59

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R→ R, f(x) = 1− x2 + x4.

a) Sa se verifice ca f(x) =x6 + 1

x2 + 1, (∀) x ∈ R.


1 + x2, (∀) x ∈ R.


d) Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f .

e) Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei f .

f) Notam cu F : R→ R o primitiva a functiei f . Sa se calculeze limx→∞

xf(x)

F (x)·

60


M1

Filiera teoretica, specializarea matematica - informatica.Filiera vocationala, profil Militar, specializarea matematica - informatica.

♦ Toti itemii sunt obligatorii. Fiecare item are un singur raspuns corect.

♦ Se acorda cate 3 puncte pentru fiecare raspuns corect. Se acorda 10 puncte din oficiu.

♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

♦ Pentru fiecare item, completati pe foaia de examen, raspunsul pe care-l considerati corect, cusimbolul ◦, iar raspunsurile considerate gresite cu simbolul ×.

In inelul M2(Z2) se considera matricele I2 =

(1 0

0 1

), O2 =

(0 0

0 0

).

1. Cate elemente are multimea M2(Z2)?

a) 16; b) 8; c) 10; d) 12.

2. Cate solutii are ecuatia X2 = O2 ın M2(Z2)?

a) 5; b) 4; c) 3; d) 6.

3. Cate elemente inversabile fata de ınmultire are inelul M2(Z2)?

a) 8; b) 4; c) 7; d) 6.

4. Pentru care din urmatoarele matrice A, B ∈ M2(Z2) avem AB 6= BA?

a) A =

(1 0

0 0

), B =

(0 0

0 1

); b) A =

(0 1

0 0

), B =

(0 0

1 0

);

c) A = I2, B =

(1 1

1 1

); d) A = O2, B =

(1 0

0 0

).

5. Care din urmatoarele ecuatii este verificata de toate elementele inelului M2(Z2)?

a) X4 = X2; b) X6 = X2; c) X8 = X2; d) X4 = X .

Se considera polinomul f = X4 − 3X + 1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

6. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este:

a) 3; b) 0; c) −3; d) 4.

7. Produsul f(1)f(−1) este:

a) 5; b) −5; c) 1; d) −1.

8. Numarul de radacini rationale ale polinomului f este:

a) 4; b) 2; c) 0; d) 1.

9. Suma x41 + x4

2 + x43 + x4

4 este:

a) 16; b) 0; c) 4; d) −4.

10. Multimea A = {x ∈ Q\Z | f(x) ∈ Z} este:

a) Formata dintr-un element;b) Infinita;c) Finita, avand cel putin 2 elemente;d) Vida.

1

11. Multimea B = {x ∈ R\Q | f(x) ∈ N} este:

a) Formata dintr-un element;b) Infinita;c) Finita, avand cel putin 2 elemente;d) Vida.

12. Egalitatea (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(b + c)(c+ a), unde a, b, c ∈ C, are loc:

a) (∀) a, b, c ∈ C; b) Numai daca a = 0; c) Numai daca a = b = c; d) Numai daca a = b.

13. Numarul de solutii complexe ale ecuatiei (x2 − x+ 2)3 = x6 − x3 + 8 este:

a) 3; b) 6; c) 4; d) 5.

14. Suma solutiilor reale ale ecuatiei (2x − 3x + 5x)3 = 8x − 27x + 125x este:

a) 1; b) 0; c) −1; d)1

2·

Se considera functia f : R → R, f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4).

15. Ecuatia f(x) = 0, x ∈ R, are suma solutiilor:

a) 10; b) 0; c) −10; d) 4.

16. Ecuatia f ′(x) = 0, x ∈ R, are numarul solutiilor:

a) 0; b) 2; c) 1; d) 3.

17. Numarul punctelor de extrem local ale functiei f este:

a) 1; b) 4; c) 3; d) 2.

Pentru fiecare numar natural nenul n, notam cu Un = {z ∈ C | zn = 1}.

18. Numarul i apartine multimii:

a) U6; b) U2; c) U4; d) U3.

19. Numarul de elemente ale multimii U4 este:

a) 7; b) 6; c) 5; d) 4.

20. Suma elementelor multimii U4 este:

a) 0; b) 1; c) 4; d) −1.

21. Numarul de elemente ale multimii U6 ∪ U15 este:

a) 21; b) 20; c) 19; d) 18.

22. Multimea U6 ∩ U4 este:

a) U2; b) U12; c) U24; d) U10.

23. Suma elementelor multimii U6 ∪ U10 ∪ U15 este:

a) 0; b) 3; c) −1; d) 1.

Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = lnx si integralele In(p), unde n, p ∈ N∗, In(p) =

∫ 1

0

(1− xp)n dx.

24. I1(p) =

∫ 1

0

(1− xp) dx, p ∈ N∗, este:

a) 1− p; b)p

p+ 1; c)

1

p; d) 1− 1

p·

25. Pentru ce valori n, p ∈ N∗, n ≥ 2, are loc egalitatea In(p) =np

np+ 1In−1(p)?

(Se poate folosi eventual metoda integrarii prin parti)

a) (∀) n, p ∈ N∗, n ≥ 2; b) Numai cand n < p;c) Numai cand n > p; d) Numai cand n = p.

2

26. Pentru ce valori ale lui n ∈ N∗ are loc egalitatea In =n

n+ 1· 2n

2n+ 1· . . . · n2

n2 + 1?

a) Numai pentru n < 2003; b) Numai pentru n = 2003;c) (∀) n ∈ N∗; d) Numai pentru n > 2003.

27. f ′(x), x > 0, este:

a) x(lnx− 1); b)1

x2 − 1; c)

1

x; d) x.

28. Multimea tuturor valorilor lui x ∈ (0,∞) pentru care avem simultan inegalitatile1

x+ 1< ln(x+ 1)− lnx <

1

x,

este:

(Se poate folosi eventual teorema lui Lagrange)

a) (0, 1); b) (0,∞); c) (1,∞); d) (0, e).

29. limn→∞

(1 +

1

n

)(1 +

1

2n

)· . . . ·

(1 +

1

n2

)este:

a) ∞; b) 1; c) 2; d) e.

30. limn→∞

In(n) este:

a) ∞; b) 0, 5; c) 0; d) 1.

3

SESIUNEA SPECIALA

M1

Filiera teoretica, specializarea Stiinte ale naturii; Filiera tehnologica, profil Tehnic,toate specializarile - pentru absolventii claselor a XII-a, promotia 2003





Se considera sirul (In)n∈N, definit prin I0(x) = 1 si In+1(x) =

∫ x

0

In(t) dt, (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N.

1. Suma I0(1) + I0(2) + . . .+ I0(2003) este:

a) 0; b) 2003; c) 2002; d) 2004.

2. I1(x), x ∈ R, este:

a) x; b) 1; c)x

2; d) 0.

3. I10(x), x ∈ R, este:

a)x

10; b) 10!x10; c)

x10

10!; d) x10.

4. limn→∞

In(x), x ∈ R, este:

a) e; b) 0; c) ∞; d) −∞.

5. limn→∞

I0(1) + I1(1) + . . .+ In(1)

neste:

a) ∞; b) 1; c) e; d) 0.

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(3, 4), B(−4, 3), C(0,−5) si O(0, 0).

6. Suma OA+OB +OC este:

a) 15; b) 12; c) 10; d) 11.

7. Punctele A, B si C se afla pe curba:

a)x2

25− y2

16= 1; b)

x2

9+

y2

16= 1; c) x+ y = 7; d) x2 + y2 = 25.

8. Ecuatia dreptei AB este:

a) x2 + y2 = 25; b) 7x = y + 25; c) 7y = x+ 25; d) (xy)2 = 122.

9. Panta dreptei AC este:

a)1

9; b)

1

3; c) 9; d) 3.

10. Aria triunghiului ABC este:

a) 35; b) 30; c) 60; d) 25.

11. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este:

a) 4; b) 5; c) 3; d) 4, 5.


4

12. Cate radacini reale are polinomul f?

a) 2; b) 0; c) 4; d) 3.

13. Cate radacini rationale are polinomul f?

a) 1; b) 0; c) 3; d) 2.

14. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este:

a) 5; b) 0; c) 1; d) −5.

15. Suma x20031 + x2003

2 + x20033 + x2003

4 apartine multimii:

a) R\Q; b) N; c) Z\N; d) Q\Z.

Se considera functiile f : R → R, f(x) = arctg x − x +x3

3, g : R → R, g(x) = f(x) − x5

5, h : R → R,

h(x) = arctg x.

16. f ′(x), x ∈ R, este:

a) − x4

1 + x2; b)

x2

1 + x2; c)

x4

1 + x2; d) − 1

1 + x2.

17. limx→0

f(x)

x5este:

a)1

5; b) −1

5; c) 0; d) ∞.

18. g′(x), x ∈ R, este:

a) − x6

1 + x2; b)

x4

1 + x2; c)

x6

1 + x2; d) − x4

1 + x2.

19. (f(0))2 + (g(0))2 este:

a) 1; b) 0; c) π; d) 22.

20. Multimea valorilor reale ale lui x, pentru care avem adevarate simultan inegalitatile urmatoare x−x3

3< arctg x <

x− x3

3+

x5

5, este:

a) (0,∞); b) (0, 1); c) (1,∞); d) (−∞, 0).

21. Aria suprafetei plane marginita de axa Ox, graficul functiei h, dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1 este un numarcuprins ın intervalul:

a) (0, 46; 0, 48); b) (0, 45; 0, 46); c) (0, 48; 0, 5); d) (0, 41; 0, 45).

Pe R se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y + 1. Se stie ca legea este asociativa.

22. Elementul neutru al legii ”◦” este:

a) −2; b) 0; c) 1; d) −1.

23. Simetricul elementului x ∈ R, fata de legea ”◦” este:

a) −x+ 1; b) −x− 1; c) −x; d) −2− x.

24. Elementul (−10) ◦ (−9) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 10 este:

a) 20; b) 21; c) 19; d) 22.

25. Numarul de solutii reale ale ecuatiei 4x ◦ 2x = 21 este:

a) 0; b) 1; c) 3; d) 2.


(0 10 0

)si O2 =

(0 00 0

)

26. Matricea A2 este:

a)

(1 00 0

); b) O2; c)

(0 01 0

); d) A.

5

27. Multimea {X ∈ M2(C) |XA = AX} este:

a)

{(0 a

0 0

)| a ∈ C

}; b)

{(a b

c a

)| a, b, c ∈ C

};

c)

{(a 0b a

)| a, b ∈ C

}; d)

{(a b

0 a

)| a, b ∈ C

}.

28. Determinantul matricei A este:

a) 0; b) 1; c) −1; d) 10.

29. Ecuatia Z2 = O2 are ın M2(C):

a) Un numar finit de solutii, strict mai mare decat 1; b) Exact o solutie;c) O infinitate de solutii; d) Nici o solutie.

30. Ecuatia Y 2 = A are ın M2(C):

a) Nici o solutie; b) Exact o solutie;c) Un numar finit de solutii, strict mai mare decat 1; d) O infinitate de solutii.

6


M1






1. Produsul 1 · 2 · . . . · 5, calculat ın Z6 este:

a) 0; b) 2; c) 1; d) 3.

2. Suma 1 + 2 + . . .+ 5, calculata ın Z6 este:

a) 0; b) 2; c) 1; d) 3.

3. Care este ordinul elementului 2 ın grupul (Z6,+)?

a) 4; b) 6; c) 2; d) 3.

4. Cate solutii are ın inelul Z6 ecuatia 3 · x = 0?

a) 3; b) 4; c) 1; d) 2.

Se considera sirurile (an)n∈N∗ si (bn)n∈N∗ , an =1

212+

1

222+

1

232+ . . .+

1

2n2si bn = an +

1

2n · 2n2, (∀) n ∈ N∗.

5. Multimea {n ∈ N∗ | an < an+1}, este:a) Formata dintr-un element; b) ∅;c) Finita, avand cel putin 2 elemente; d) N∗.

6. Multimea {n ∈ N∗ | bn > bn+1}, este:a) N∗; b) Formata dintr-un element;c) ∅; d) Finita, avand cel putin 2 elemente.

7. Stiind ca sirurile (an)n∈N∗ si (bn)n∈N∗ sunt convergente, notam a = limn→∞

an si b = limn→∞

bn. Atunci a− b este:

a) 1; b) 0, 25; c) 0; d) 0, 5.

8. Numarul a = limn→∞

an apartine multimii:

a) Z− N; b) Q− Z; c) R−Q; d) N.

Se considera polinomul f = X4− 14X2+9, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C, elementul a =√2+

√5 si multimile

A = {g(a) | g ∈ Z[X ]}, B = {g(a) | g ∈ Z[X ], grad(g) ≤ 3}.

9. Care dintre elementele urmatoare nu este radacina a polinomului f?

a)√2 +

√3; b)

√2 +

√5; c) −

√2 +

√5; d)

√2−

√5.

10. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este:

a) −14; b) 0; c) 14; d) 4.

11. Produsul x1 · x2 · x3 · x4 este:

a) −9; b) 0; c) 9; d) 14.

7

12. Daca p√2 + q

√5 + r

√10 + s = 0, cu p, q, r, s ∈ Q, atunci 2p+ 5q + 10r + s este:

a) 5; b) 0; c) 7; d) 2.

13. Multimea A−B este:

a) Formata dintr-un element; b) Infinita;c) Finita, avand cel putin 2 elemente; d) ∅.

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(n, n2), n ∈ N.

14. Panta dreptei A0A1 este:

a) 2; b) −2; c) 1; d) −1.

15. Ecuatia dreptei A0A1 este:

a) x+ y = 0; b) y = x2; c) x2 + y = 0; d) y = x.

16. Lungimea segmentului A1A2 este:

a) 4; b)√10; c) 10; d) 3.

17. Aria triunghiului AnAn+1An+2 este:

a) n+ 1; b) n; c) 1; d) 2.

18. Numarul dreptelor care trec prin cate 2 puncte din multimea {A1, A2, . . . , A5} este:

a) 9; b) 10; c) 8; d) 20.

19. Cate triunghiuri au varfurile ın multimea {A1, A2, . . . , A5}?a) 5; b) 20; c) 15; d) 10.

Se considera functia f : R → R, f(x) = sinx. Notam prin f (n)(x), derivata de ordinul n a functiei f , ın punctulx.

20. Care dintre elementele urmatoare este perioada pentru functia f?

a) 2π; b) 3π; c)π

2; d) π.

21. Cate puncte de maxim local are functia f ın intervalul [0, 11π]?

a) 11; b) 5; c) 6; d) 10.

22. Aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si de dreptele de ecuatii x = 0 si x = 2π, este:

a) 2; b) 3; c) 0; d) 4.

23. limx→∞

∫ x

0

|f(t)| dt

xeste:

a) ∞; b) 1; c) 0; d)2

π·

24. Lungimea maxima a unui interval inclus ın [0, 2π], pe care functia f este convexa, este:

a) π; b)3π

2; c)

π

2; d) 2π.

25. f (2004)(0) este:

a) 0; b) 0, 5; c) −1; d) 1.

Se considera matricele A ∈ M3,4(C), A =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 1

si I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

26. Rangul matricei A este:

a) 4; b) 3; c) 2; d) 1.

8

27. Solutia sistemului

x+ y + z + t = 1

y + z + t = 0

z + t = 0

, (x, y, z, t) ∈ C× C× C× C, este:

a) (1, 1,−1,−1); b) (1, 0, λ,−λ), λ ∈ C; c) (−1, 1,−1, 1); d) (1,−1, 1− 1).

28. Ecuatia AX = I3, cu X ∈ M3,4(C):

a) Nu are solutie; b) Are un numar finit de solutii strict mai mare decat 1;c) Are o infinitate de solutii; d) Are o singura solutie.

29. Matricea I3A are suma elementelor:

a) 10; b) 0; c) 9; d) 12.

30. Multimea {Y ∈ M3,4(C) | det(Y A) 6= 0} este:

a) Formata dintr-un numar finit de elemente, cel putin egal cu 2;b) Vida;c) Infinita;d) Formata dintr-un element.

9

M1

Filiera teoretica, specializarea Stiinte ale naturiiFiliera tehnologica, profil Tehnic, toate specializarile





1. Suma 1 + 2 + . . .+ 2003 este:

a) 2003 · 2004; b) 2003 · 1001; c) 2003 · 1002; d) 2002 · 1002.

2. Produsul cos 0◦ · cos 1◦ · . . . · cos 179◦ · cos 180◦ este:

a) − 1

230; b)

1

210 · 310 ; c) 0; d)1

230·

3. Suma 1 + i + i2 + . . .+ i2003 este:

a) 1; b) 0; c) i; d) 1 + i.

4. Produsul 1 · i · i2 · . . . · i2003 este:

a) −1; b) 1; c) i; d) −i.

5. Suma 0 + 1 + 2 + . . .+ 12 ın Z13 este:

a) 6; b) 7; c) 1; d) 0.

Se considera sirul (In)n∈N∗ , In = n

∫ 1

0

xn sinx dx.

6. I1 =

∫ 1

0

x sinx dx este:

a) sin 1; b) sin 1 + cos 1; c) cos 1− sin 1; d) sin 1− cos 1.

7. Daca g : [0, 1] → R este o functie continua, atunci limn→∞

∫ 1

0

xng(x) dx este:

a) g(0, 5); b) g(1); c) 0; d) g(0).

8. Egalitatea In = sin 1−∫ 1

0

xn(x cosx+ sinx) dx, n ∈ N∗, este adevarata:

(Se poate utiliza metoda integrarii prin parti)

a) Pentru exact o valoare a lui n ∈ N∗;b) Pentru orice n ∈ N∗;c) Pentru nici o valoare a lui n ∈ N∗;d) Pentru un numar finit, strict mai mare decat 1, de valori ale lui n ∈ N∗.

9. limn→∞

In este:

a) sin 1; b) cos 1; c) sin 1 + cos 1; d) sin 1− cos 1.

Se considera triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB = 3 si AC = 4.

10. Lungimea ipotenuzei BC este:

a)√12; b) 6; c) 7; d) 8.

10


a) 12; b) 6; c) 9; d) 8.

12. cosB este:

a) 0, 75; b) 0, 6; c) 0, 8; d) 0, 7.

13. Lungimea ınaltimii care cade pe ipotenuza este:

a) 3; b) 2; c) 2, 4; d) 4.


a) 2, 5; b) 3; c) 2; d) 4.

Se considera functia f : R\{−1,−2} → R, f(x) =1

(x+ 1)(x+ 2)·

15. Cate asimptote verticale are graficul functiei f?

a) 2; b) 3; c) 1; d) 0.

16. limx→0

f(x)− f(0)

xeste:

a) 0, 75; b) 1; c) −0, 75; d) −1.

17. Expresia f(x)− 1

x+ 1+

1

x+ 2, (∀) x ∈ R\{−1,−2}, este:

a) − 2

x+ 1; b)

2

x+ 2; c) 0; d) 2f(x).

18. Care este multimea valorilor lui n ∈ N∗ pentru care f(1) + f(2) + . . .+ f(n) =1

2− 1

n+ 2?

a) ∅; b) N∗;c) Este formata din exact un element; d) Este finita, continand cel putin 2 elemente.

19. limn→∞

(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)) este:

a) 0, 5; b) 2; c) 1; d) ∞.

20. limn→∞

n ·(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)− 1

2

)este:

a) −∞; b) −1; c) 1; d) ∞.

21. Egalitatea (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac+ bd)2 + (ad− bc)2, a, b, c, d ∈ C, este adevarata:

a) Numai daca a = b; b) Numai daca a = d; c) Pentru orice a, b, c, d ∈ C; d) Numai daca a = c.

22. Daca (a2 + b2)(c2 + d2)− (ac+ bd)2 = 0, atunci:

a) a+b+c+d = 0; b) ad = bc; c) ac+ bd = 0; d) a+ d = b + c.

23. Numarul de elemente ale multimii {x ∈ R | 5(x4 + x2) = (2x2 + x)2} este:

a) 0; b) 3; c) 1; d) 2.

24. Suma patratelor solutiilor reale ale ecuatiei (4x + 25x)(9x + 49x) = (6x + 35x)2, este:

a) 0; b) 5; c) 1; d) 2.


(1 01 −1

), B =

(1 20 −1

)si I2 =

(1 00 1

).

25. Matricea AB −BA este:

a)

(−2 42 2

); b)

(1 00 1

); c)

(2 −4−2 −2

); d)

(0 00 0

).


a) −2; b) −1; c) 0; d) 1.

11


a) I2; b)

(1 01 1

); c)

(1 20 1

); d)

(1 10 1

).

28. Inversa matricei A este:

a)

(−1 −10 1

); b) A; c)

(−1 01 1

); d) I2.

29. Rangul matricei X = I2 +A+A2 +A3 + . . .+A2003 este:

a) 2; b) 0; c) 2004; d) 1.

30. Multimea {n ∈ N∗ | (AB)n = I2} este:

a) Formata din exact un element;b) Vida;c) Infinita;d) Finita, avand ce putin 2 elemente.

12

M1

Profil real:matematica fizica, informatica, metrologie - pentru absolventiiclaselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa) promotia 2003 si promotiile anterioare





1. Multimea numerelor reale x pentru care are loc egalitatea

1− x2 + (−x2)2 + . . .+ (−x2)n =1− (−x2)n+1

1 + x2, (∀)n ∈ N∗

este:

a) (−∞, 0]; b) R; c) ∅; d) [0,∞).

2. limn→∞

∫ a

0

x2(n+1)

1 + x2dx, a ∈ [0, 1], este:

a) a; b)a

1 + a2; c)

1

1 + a2; d) 0.

3. Multimea valorilor lui a ∈ R pentru care avem egalitatea

arctg a− (−1)n+1

∫ a

0

x2(n+1)

1 + x2dx = a− a3

3+

a5

5+ . . .+ (−1)n

a2n+1

2n+ 1, (∀)n ∈ N∗,

este:

a) (−∞, 0]; b) ∅; c) R; d) [0,∞).

4. limn→∞

(1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .+

(−1)n

2n+ 1

)este:

a) −1 +π

4; b)

ln 2

2; c) ln 2; d)

π

4·

Se considera matricele A ∈ M3,4(C), A =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 1

si I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

5. Rangul matricei A este:

a) 3; b) 1; c) 4; d) 2.

6. Solutia sistemului

x+ y + z + t = 1

y + z + t = 0

z + t = 0

, (x, y, z, t) ∈ C× C× C× C, este:

a) (1, 0, λ,−λ), λ ∈ C; b) (−1, 1,−1, 1); c) (1, 1,−1,−1); d) (1,−1, 1,−1).

7. Ecuatia AX = I3, cu X ∈ M3,4(C) are multimea solutiilor:

a) Formata dintr-un numar finit de elemente, cel putin egal cu 2;b) Vida;c) Infinita;d) Formata dintr-un element.

8. Matricea I3A are suma elementelor:

a) 9; b) 12; c) 10; d) 0.

13

9. Multimea {Y ∈ M3,4(C) | det(Y A) 6= 0} este:

a) Vida;b) Infinita;c) Formata dintr-un element;d) Formata dintr-un numar finit de elemente, cel putin egal cu 2.

Se considera functia f : R → R, f(x) = cosx.

10. Ce se poate spune despre limx→∞

f(x)?

a) Este egala cu 0; b) Este egala cu 1; c) Este egala cu −1; d) Nu exista.

11. Cate puncte de maxim local are functia f ın intervalul [0, 11π]?

a) 5; b) 6; c) 11; d) 10.

12. Aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 2π, este:

a) 3; b) 4; c) 2; d) 0.

13. limx→∞

∫ x

0

|f(t)| dt

xeste:

a)2

π; b) 1; c) ∞; d) 0.

14. limx→0

f(x)− f(0)

xeste:

a) 1; b) 0; c) 0, 5; d) −1.

15. f (2004)(0) este:

a) 1; b) 0, 5; c) −1; d) 0.

16. Produsul 1 · 2 · . . . · 5, calculat ın Z6 este:

a) 1; b) 2; c) 0; d) 3.

17. Suma 1 + 2 + . . .+ 5, calculata ın Z6 este:

a) 2; b) 0; c) 1; d) 3.

18. Cate solutii are ın inelul Z6 ecuatia 3x = 0?

a) 2; b) 3; c) 4; d) 1.

19. Cel mai mic numar natural nenul n cu proprietatea ca 2 + 2 + . . .+ 2︸︷︷︸de n ori 2

ın Z6 este:

a) 4; b) 2; c) 6; d) 3.



a) x2 + y = 0; b) x+ y = 0; c) y = x2; d) y = x.

21. Lungimea segmentului [A1A2] este:

a) 3; b) 10; c)√10; d) 4.

22. Aria triunghiului AnAn+1An+2, n ∈ N este:

a) 2; b) 1; c) n+ 1; d) n.

23. Numarul dreptelor care trec prin cate 2 puncte din multimea {A0, A1, A2, A3} este:

a) 5; b) 4; c) 8; d) 6.

14

24. Numarul triunghiurilor care au varfurile ın multimea {A0, A1, A2, A3} este:

a) 6; b) 3; c) 4; d) 5.

Se considera polinomul f = X4 +X3 +X2 +X + 1, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

25. f(1) este:

a) 7; b) 6; c) 4; d) 5.

26. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este:

a) 1; b) −1; c) 4; d) 5.

27. Expresia f −(X2 +

X

2

)−(X

2+ 1

)− X2

2este:

a) 1; b) X + 1; c) X − 1; d) 0.


a) 0; b) 4; c) 2; d) 3.

29. Multimea {x ∈ R | f(x) ≤ 0} este:

a) ∅; b) [−√5,−

√3]; c) [−

√3,−

√2]; d) [−2,−1].

30. f(i) este:

a) 1 + i; b) 1; c) i; d) −1 + i.

15

M2

pentru absolventii claselor a XII-a, promotia 2003







a) −2; b) −1; c) 1; d) 2.


a) x+ y = 0; b) y = x; c) x3 + y = 0; d) y = x3.

3. Aria triunghiului A0A1A2 este:

a) 3; b) 2; c) 6; d) 4.

4. Numarul de elemente ale multimii {n ∈ N |An ∈ A0A1} este:

a) Cuprins ıntre 3 si 10; b) Infinit; c) 2; d) Finit, dar strict mai mare decat 10.

5. Cate triunghiuri au varfurile ın multimea {A0, A1, A2, A3}?a) 5; b) 4; c) 2; d) 3.

Se considera multimea A = {1, 2, . . . , 10}.

6. Cate submultimi cu opt elemente are multimea A?

a) 80; b) 40; c) 45; d) 50.

7. Cate submultimi are multimea A?

a) 1000; b) 512; c) 1024; d) 900.

8. In cate submultimi ale multimii A se afla elementul 1?

a) 512; b) 362; c) 425; d) 611.

9. Care este numarul maxim de elemente pe care ıl poate avea o submultime a multimii A, cu proprietatea ca sumaoricaror doua elemente distincte ale sale nu se divide cu 3?

a) 5; b) 7; c) 6; d) 4.

10. Care este suma elementelor multimii A?

a) 55; b) 10!; c) 66; d) 45.

Se considera functiile fn : R → R, f0(x) = x10 + x9 + . . .+ x+ 1 si fn+1(x) = f ′n(x), (∀) x ∈ R si (∀) n ∈ N.

11. f0(1) este:

a) 10; b) 12; c) 11; d) 9.

12. f1(0) este:

a) 10; b) 0; c) 45; d) 1.

13.

∫ 1

0

f2003(x) dx este:

a) 2002!; b)1

2003!; c) 2003!; d) 0.

16

14. limn→∞

fn(n) este:

a) e; b) ∞; c) n; d) 0.

15. limn→∞

f0(0) + f1(0) + . . .+ fn(0)

neste:

a) 0; b) e; c) ∞; d) 0, 5.

Se considera functia f : R → R, f(x) = ex + e−x.

16. f ′(x), x ∈ R, este:

a) −ex − e−x; b) ex − e−x; c) −ex + e−x; d) ex + e−x.

17. limx→1

f(x)− f(1)

x− 1este:

a) e+ e−1; b) e− e−1; c) −e− e−1; d) −e+ e−1.

18.

∫ 1

0

f(x) dx este:

a) −e− e−1; b) −e+ e−1; c) e− e−1; d) e+ e−1.

19. limx→∞

∫ x

0

f(t) dt

f ′(x)este:

a) −∞; b) 1; c) ∞; d) 0.

20. Multimea {x ∈ R | f ′(x) > 0} este:

a) (0,∞); b) (−∞, 1); c) (−1,∞); d) (−∞, 0).

21. Multimea {x ∈ R | f(x) + f(21x) > f(2x) + f(1986x)} este:

a) ∅; b) R; c) (0,∞); d) (−∞, 0).


(2 1−3 −1

), I2 =

(1 00 1

)si O2 =

(0 00 0

).


a) 2; b) 1; c) 3; d) −1.

23. Suma elementelor matricei A este:

a) 1; b) −2; c) 0; d) 2.

24. Cel mai mic numar natural nenul n, pentru care An = I2 este:

a) 4; b) 6; c) 5; d) 3.

25. Matricea I2 +A+A2 + . . .+A5 este:

a) A; b) I2; c) −I2; d) O2.

26. Determinantul matricei A+A2 + . . .+A2003 este:

a) −1; b) 1; c) 0; d) 2003.

Se considera polinomul f = X2 − 2X − 1 cu radacinile x1, x2 ∈ C. Notam Sn = xn1 + xn

2 , (∀) n ∈ N∗ si S0 = 2.

27. Radacinile polinomului f sunt:

a) x1 = 1 +√2, x2 = 1−

√2; b) x1 = −1 +

√2, x2 = 1 +

√2;

c) x1 = −1 +√2, x2 = −1−

√2; d) x1 = −1−

√2, x2 = 1−

√2.

28. S1 este egala cu:

a) −2; b) −1; c) 2; d) 1.

29. S2 este egala cu:

a) 6; b) 2; c) 4; d) 5.

17

30. Egalitatea 2Sn+1 + Sn = Sn+2, n ∈ N, are loc:

a) (∀) n ∈ N; b) Numai pentru n < 2003;c) Numai pentru n > 2003; d) Numai pentru n = 2003.

18

Pedagogic

pentru absolventii claselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa), promotia 2003 si promotiile anterioare





Pe R se defineste legea ”◦” prin x ◦ y = 2xy + 2x+ 2y + 1, (∀) x, y ∈ R.

1. Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y ∈ R:

a) 2(x− 1)(y− 1)− 1; b) 2(x+1)(y+1)+1; c) 2(x+1)(y+1)− 1; d) 2(x− 1)(y− 1)+1.

2. Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z are loc:

a) Numai daca x = y; b) Pentru x, y, z ∈ R;c) Numai daca x+ y + z = 0; d) Numai daca x = y = z.

3. Multimea {x ∈ R |x ◦ (−1) = −1} este:

a) ∅; b) {−1};c) R; d) Finita, avand cel putin 2 elemente.

4. Expresia (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este:

a) 0; b) −1; c) 1; d) 2003!.

Se considera sirul de numere naturale (an)n≥1, an = n4 + 4.

5. Termenul a1 este:

a) 8; b) 4; c) 16; d) 5.

6. Numarul termenilor sirului (an)n≥1 care sunt numere prime este:

a) Cuprins ıntre 2 si 2002; b) Infinit;c) Finit, dar strict mai mare decat 2003; d) 1.

Se considera polinomul f = X4 + 4, cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

7. Polinomul f − (X2 − 2X + 2)(X2 + 2X + 2) este:

a) 0; b) 4X ; c) 4X3; d) 4X2.

8. Numarul de radacini reale ale polinomului f este:

a) 0; b) 4; c) 2; d) 1.

9. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este:

a) 0; b) 16; c) −4; d) 4.

10. Suma x41 + x4

2 + x43 + x4

4 este:

a) −16; b) 16; c) 4; d) 0.

In multimea M2(Z) se considera matricele A =

(1 20 −1

), B =

(1 03 −1

)si I2 =

(1 00 1

).


a) A; b) I2; c) B; d) I2 +A.

19

12. Determinantul matricei B este:

a) 1; b) −1; c) −3; d) 3.


a) A; b) B; c) −A; d) I2.


a)

(−6 46 6

); b) I2; c)

(0 00 0

); d)

(6 −4−6 −6

).

15. Multimea {n ∈ N∗ | (BA)n = I2} este:

a) Formata dintr-un numar de elemente cuprins ıntre 1 si 10; b) Infinita;c) Finita, avand cel putin 11 elemente; d) Vida.

Intr-o livada sunt ciresi. In prima zi a ınflorit un cires, apoi ın fiecare zi au ınflorit de doua ori mai multi ciresidecat au ınflorit ın ziua precedenta.

16. Cati ciresi au ınflorit ın ziua a treia?

a) 3; b) 8; c) 7; d) 3.

17. Cati ciresi sunt ınfloriti la sfarsitul zilei a cincea?

a) 33; b) 31; c) 32; d) 30.

18. Cel mai mic numar natural n, astfel ıncat la sfarsitul celei de-a n-a zile sa fie ınfloriti cel putin 1000 de ciresi,este:

a) 9; b) 10; c) 12; d) 11.

Intr-o carte paginile sunt numerotate ıncepand cu numarul 1, iar orice foaie are doua pagini.

19. Suma numerelor peginilor din primele trei foi este:

a) 21; b) 15; c) 6; d) 10.

20. Suma tuturor numerelor paginilor din foaia a zecea si din foaia a cincisprezecea este:

a) 99; b) 97; c) 100; d) 98.

21. Care dintre urmatoarele elemente poate fi suma tuturor numerelor paginilor din trei foi ale cartii?

a) 197; b) 199; c) 200; d) 198.

Se considera piramida triunghiulara V ABC, avand toate muchiile (laterale si ale bazei) egale cu a.

22. Aria totala a piramidei este:

a) a2; b) 2a2√3; c) 4a2

√3; d) a2

√3.

23. Inaltimea piramidei este:

a)a√2

2; b)

a

3; c)

a√6

3; d)

a√3

3·

24. Volumul piramidei este:

a)a3

6; b)

a3√2

3; c)

a3√3

12; d)

a3√2

12·

25. Distanta cea mai mica dintre varful V si un punct M situat pe planul bazei (ABC) este:

a)a√6

3; b)

a√3

3; c)

a

3; d)

a

2·

26. Distanta cea mai mare dintre varful V si un punct P situat ın interiorul sau pe laturile triunghiului ABC este:

a) 2a; b) a; c) a√2; d) a

√3.


20

27. Cate elemente din multimea A contin cifra 2 ın scrierea lor?

a) 19; b) 18; c) 20; d) 17.

28. Care este suma elementelor multimii A?

a) 50 · 210; b) 45 · 109; c) 45 · 110; d) 50 · 109.

29. Cate elemente din multimea A au ın scrierea lor cifre egale?

a) 10; b) 11; c) 8; d) 9.

30. Cate elemente are multimea A?

a) 88; b) 89; c) 90; d) 91.

21

clase de economic, fizica-chimie, chimie-biologie, militar, industrial, agricol, silvic, sportivpentru absolventii claselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa), promotia 2003 si promotiile anterioare





1. Egalitatea (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac+ bd)2 + (ad− bc)2, a, b, c, d ∈ C, are loc:

a) Numai pentru a = b = c = d; b) Numai pentru a = b;c) Pentru orice a, b, c, d ∈ C; d) Numai pentru a = c.

2. Daca (a2 + b2)(c2 + d2)− (ac+ bd)2 = 0, a, b, c, d ∈ C, atunci:

a) ad = bc; b) a+ b+ c+ d = 0; c) ac+ bd = 0; d) a+ d = b+ c.

3. Numarul de elemente ale multimii {x ∈ (0,∞) | 25[(log2 x)2 + (log3 x)2] = (4 log2 x+ 3 log3 x)

2} este:

a) 2; b) 3; c) 0; d) 1.

4. Suma patratelor solutiilor reale ale ecuatiei (4x + 25x)(9x + 49x) = (6x + 35x)2 este:

a) 5; b) 0; c) 2; d) 1.

Se considera functiile fn : R → R, f0(x) = cosx si fn+1(x) = f ′n(x), (∀) n ∈ N si (∀), x ∈ R.

5. f0(π) este:

a) −1; b) π; c) 1; d) 0.

6. f1(π) este:

a) 0, 5; b) −1; c) 0; d) 1.

7.

∫ 2π

0

f1(x) dx este:

a) 0; b) 4; c) −2; d) 2.

8. f10(x), x ∈ R, este:

a) cosx; b) sinx; c) − sinx; d) − cosx.

9. limn→∞

f0(x) + f1(x) + . . .+ fn(x)

n, x ∈ R, este:

a) 1; b) cosx; c) sinx; d) 0.

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(2, 0), B(0, 2), C(−2, 0), D(0,−2), O(0, 0).

10. Segmentul AB are lungimea:

a) 2√3; b) 2

√2; c) 4; d) 2.

11. Suma OA+OB +OC +OD este:

a) 2; b) 6; c) 4; d) 8.

12. Ecuatia dreptei AC este:

a) xy = 0; b) x2 + y2 = 1; c) x2 = 1; d) y = 0.

13. Produsul AB · BC · CD ·DA este:

a) 64; b) 128; c) 16; d) 32.


(1 00 −1

), B =

(1 20 −1

)si I2 =

(1 00 1

).

22


a)

(0 00 0

); b) I2; c)

(2 −4−2 −2

); d)

(−2 42 2

).


a) 0; b) −1; c) 1; d) −2.


a) I2; b) B; c) I2 +A; d) A.


a) I2 +A; b) A; c) B; d) I2.

18. Rangul matricei X = I2 +A+A2 + . . .+A2003 este:

a) 2004; b) 2; c) 0; d) 1.

19. Multimea {n ∈ N∗ | (AB)n = I2} este:

a) Finita, avand cel putin doua elemente; b) Vida;c) Infinita; d) Formata din exact un element.

Se considera functia f : R\{−1, 0} → R, f(x) =1

x(x+ 1)·


a) 1; b) 2; c) 0; d) 3.


x+

1

x+ 1, x ∈ R\{−1, 0}, este:

a) 0; b) − 2

x+ 1; c) 2f(x); d)

2

x·

22.

∫ 2

1

f(x) dx este:

a) ln3

4; b) ln 2; c) ln 3; d) ln

4

3·

23. Egalitatea f(1) + f(2) + . . .+ f(n) = 1− 1

n+ 1, n ∈ N∗, este adevarata:

a) Numai pentru n > 2003; b) Numai pentru n < 2003;c) Numai pentru n = 2003; d) (∀) n ∈ N∗.

24. limn→∞

(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)) este:

a) ∞; b) 2; c) 0, 5; d) 1.

25. limx→∞

1

lnx

∫ x

1

f(t) dt este:

a) ∞; b) 2; c) 1; d) 0.

26. Suma 1 + 2 + 3 + . . .+ 2003 este:

a) 2003 · 1001; b) 2003 · 2004; c) 2003 · 1002; d) 2003 · 2002.27. Produsul 1 · i · i2 · . . . · i2003 este:

a) 1; b) −1; c) i; d) −i.

28. Suma 1 + i + i2 + . . .+ i2003 este:

a) i; b) 1 + i; c) 0; d) 1.

29. Suma 0 + 1 + 2 + . . .+ 12 ın Z13 este:

a) 6; b) 1; c) 0; d) 7.

30. Produsul 1 · 2 · . . . · 12 ın Z13 este:

a) 3; b) 1; c) 2; d) 12.

23

M2







1. Care este numarul maxim de elemente ce pot fi alese din multimea A, cu proprietatea ca oricare doua elementediferite, dintre cele alese, nu se divid ıntre ele?

a) 3; b) 5; c) 6; d) 4.

2. Cate submultimi cu doua elemente are multimea A?

a) 57; b) 55; c) 50; d) 45.

3. Cate submultimi nevide ale multimii A au proprietatea ca suma elementelor lor este egala cu 5?

a) 4; b) 3; c) 2; d) 1.

Pe R se defineste legea de compozitie ”◦” prin x ◦ y = 2xy − 4x− 4y + 10.

4. Elementul x ◦ y mai poate fi scris, (∀) x, y ∈ R:

a) 2(x+2)(y+2)− 2; b) 2(x+2)(y− 2)+2; c) 2(x− 2)(y+2)− 2; d) 2(x− 2)(y− 2)+2.

5. Egalitatea (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) are loc:

a) Numai cand y = z; b) Pentru orice numere reale x, y, z;c) Numai cand x = y; d) Numai cand x = y = z.


a) 0; b) 1; c) 2; d) 2, 5.

7. Ecuatia 2x ◦ 4x = 2 are suma solutiilor egala cu:

a) 3; b) 1; c) 1, 5; d) 2.

8. Multimea {x ∈ R |x ◦ 2 = 2} este:

a) Formata dintr-un element; b) ∅;c) R; d) Finita, avand cel putin 2 elemente.

9. Elementul (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este:

a) 1; b) 2; c) 0; d) −1.


(x+ 1)(x+ 2)·


x+ 1+

1

x+ 2, x ∈ R\{−2,−1}, este:

a) 0; b) 2f(x); c)2

x+ 2; d) − 2

x+ 1·

11. Numarul de asimptote verticale la graficul functiei f este:

a) 2; b) 3; c) 0; d) 1.

12. Aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele x = 0 si x = 1, este:

a) arctg 2; b) ln4

3; c) ln

3

4; d) 1.

24

13. limx→∞

x2f(x) este:

a) ∞; b) 0, 5; c) 0; d) 1.

14. limn→∞

(f(0) + f(1) + . . .+ f(n)) este:

a) 1; b) ∞; c) 0, 5; d) e.

Se considera polinoamele f = X2 − 4X + 3, g = Xn, n ∈ N∗, si matricele A =

(2 11 2

), I2 =

(1 00 1

)si

O2 =

(0 00 0

).


a) x1 = −1, x2 = 3; b) x1 = 1, x2 = −3; c) x1 = 1, x2 = 3; d) x1 = −1, x2 = −3.


a)

(4 11 4

); b)

(4 22 4

); c)

(4 55 4

); d)

(5 44 5

).

17. f(A) = A2 − 4A+ 3I2 este:

a) O2; b) A; c) I2; d) A+ I2.

18. Restul ımpartirii polinomului g la polinomul f este:

a)3n − 1

2X +

3− 3n

2; b)

3n + 1

2X+

3n − 3

2; c)

3n + 1

2X +

3n + 3

2; d)

3n − 1

2X+

3n + 3

2.

19. Pentru ce valori n ∈ N∗ este adevarata egalitatea An =1

2

(3n + 1 3n − 13n − 1 3n + 1

)?

a) Pentru exact o valoare a lui n ∈ N∗;b) Pentru un numar finit de valori ale lui n ∈ N∗, mai mare decat 2;c) Pentru orice n ∈ N∗;d) Pentru nicio valoare a lui n ∈ N∗.

20. Produsul sin(−90◦) · sin(−89◦) · . . . · sin(−1◦) · sin 1◦ · . . . · sin 89◦ · sin 90◦ este:

a) − 1

245; b)

1

330; c)

1

245; d) 0.

21. Suma cos 0◦ + cos 1◦ + . . .+ cos 179◦ + cos 180◦ este:

a) 0, 5; b) 1; c) −1; d) 0.

Se considera functiile fn : R → R, f0(x) = xex, fn+1(x) = f ′n(x), (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

22. f1(x), x ∈ R, este:

a) ex(x− 1); b) ex + x; c) xex; d) ex(x+ 1).

23. Ecuatia f2(x) = 0 are solutia:

a) x = 0; b) x = −2; c) x = 2; d) x = 1.

24. f2003(0) este:

a) −2003; b) 2003!; c) 2003; d) 2002.

25. limx→∞

fn+1(x)

fn(x), n ∈ N∗, este:

a) ∞; b) 1; c) 0; d)n+ 1

n·

26. Asimptota orizontala la graficul functiei f0 catre −∞ este:

a) y = x; b) y = 1; c) y = 0; d) y = xex.

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(−1,√3), B(−1,−

√3), C(2, 0).

25

27. Perimetrul triunghiului ABC este:

a) 2√3; b) 3

√3; c) 6

√3; d) 6.


a) 3; b) 9; c) 3√3; d) 4.


a)√3; b) 1; c)

√2; d) 2.

30. Masura unghiului A din triunghiul ABC este:

a) 60◦; b) 30◦; c) 90◦; d) 45◦.

26

profil umanist: pentru absolventii claselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa)promotia 2003 si promotiile anterioare





Pe multimea numerelor complexe se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = xy + ix+ iy − 1− i.

1. Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y ∈ C:

a) (x− i)(y − i)− i; b) (x+ i)(y + i) + i; c) (x− i)(y − i) + i; d) (x+ i)(y + i)− i.

2. Egalitatea (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) este adevarata:

a) Pentru orice x, y, z ∈ C; b) Numai daca x = y = z;c) Numai daca x = i; d) Numai daca x = y.

3. Multimea valorilor lui n ∈ N∗, pentru care egalitatea

x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn = (x1 + i)(x2 + i) · . . . · (xn + i)− i

este adevarata, (∀) x, y, z ∈ C, este:

a) N∗; b) ∅;c) Formata dintr-un element; d) Finita, avand cel putin 2 elemente.

4. Expresia (−100i) ◦ (−99i) ◦ . . . ◦ (−i) ◦ 0 ◦ i ◦ 2i ◦ . . . ◦ 99i ◦ 100i este:a) 1; b) −i; c) 0; d) i.

5. Ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x = 1− i are ın C:

a) 2 solutii; b) 3 solutii; c) o solutie; d) 4 solutii.


(1 50 −1

), B =

(1 02 −1

)si I2 =

(1 00 1

).


a) 1; b) −1; c) −6; d) 5.


a) A+ I2; b) I2; c) B; d) A.


a) B; b) A+ I2; c) A; d) I2.


a)

(10 104 −10

); b)

(10 −10−4 −10

); c)

(0 00 0

); d) I2.

10. Multimea {n ∈ N∗ | (BA)n = I2} este:

a) Finita, continand ıntre 11 si 2003 elemente;b) Infinita;c) Vida;d) Finita, continand ıntre 1 si 10 elemente.


a) 2; b) 6; c) 0; d) 4.

27

12. Suma 1 + 2 + . . .+ 10 ın Z11 este:

a) 10; b) 0; c) 6; d) 5.

13. In Z6 ecuatia 3x = 0 are:

a) o solutie; b) 3 solutii; c) 2 solutii; d) 4 solutii.

14. In Z6 ecuatia x3 = x are:

a) 2 solutii; b) 6 solutii; c) 4 solutii; d) 3 solutii.

15. Cel mai mare numar natural n pentru care 20 + 21 + 22 + . . .+ 2n < 2003 este:

a) 9; b) 10; c) 11; d) 8.

Se considera functia f : [0,∞) → R, f(x) =x

x+ 1+

x+ 1

x+ 2·

16. Expresia f(x)− 2 +1

x+ 1+

1

x+ 2, x ∈ [0,∞), este:

a) 4; b) 0; c) −2; d) 2

(1

x+ 1+

1

x+ 2

).

17. Asimptota orizontala catre +∞, la graficul functiei f este:

a) y = 0; b) y = 2; c) y = −2; d) y = 1.

18. f ′(x), x ∈ [0,∞), este:

a) − 1

(x+ 1)2− 1

(x+ 2)2; b)

1

(x+ 1)2+

1

(x+ 2)2;

c) ln(x+ 1) + ln(x+ 2); d) − ln(x+ 1)− ln(x + 2).

19.

∫ 1

0

f(x) dx este:

a) −2 + ln 3; b) 2 + ln 3; c) 2− ln 3; d) −2− ln 3.

20.1

x

∫ x

0

f(t) dt este:

a) 1; b) 0; c) 2; d) ∞.

Se considera polinoamele f = X2 +X + 1 cu radacinile x1, x2 ∈ C si g = X3 − 1.


a) 0; b) X ; c) 1; d) X + 1.

22. Expresia x31 − x3

2 este:

a) i; b) 0; c) −1; d) 1.

23. Suma x1 + x2 + x1x2 este:

a) 2; b) 0; c) −1; d) −2.

24. Suma x20041 + x2004

2 este:

a) 2; b) −2; c) −1; d) 0.

25. Suma 1 + x1 + x21 + . . .+ x21

1 este:

a) i; b) 1; c) 0; d) −1.

Se considera functia f : R → R, f(x) = (x+ 1)3 − x3.

26. f ′(x), x ∈ R, este:

a) 6x+ 3; b) 6x; c) 3x+ 1; d) 2x+ 1.

27. Functia f este strict crescatoare pe intervalul:

a)

[−1

2,∞

); b) [−1,∞); c) (−∞, 1]; d) (−∞, 0].

28

28. Valoarea minima a functiei f este:

a) 1; b)1

4; c)

1

2; d) −1

4·

29. Functia f este convexa:

a) Numai pe intervalul [0,∞); b) Numai pe intervalul (−∞, 0];c) Pe R; d) Numai pe intervalul [−1, 1].

30. limn→∞

f(0) + f(1) + . . .+ f(n)

n3este:

a) 1; b)1

3; c) ∞; d) 0.

29

M3







1. Cate submultimi cu numar impar de elemente are multimea A?

a) 36; b) 64; c) 49; d) 128.

2. Care este media aritmetica a elementelor multimii A?

a) 3; b) 4; c) 5; d) 4, 5.


a) 49; b) 42; c) 21; d) 20.

4. Care este media geometrica a elementelor pare din multimea A?

a)√24; b)

√12; c) 4; d) 3

√48.

Un triunghi dreptunghic ABC are catetele cu lungimile de 6 si respectiv 8.

5. Cat este lungimea ipotenuzei?

a) 11; b) 12; c) 9; d) 10.

6. Care este aria triunghiului?

a) 48; b) 20; c) 24; d) 30.

7. Care este lungimea ınaltimii care cade pe ipotenuza?

a) 5; b) 4; c) 4, 8; d) 2, 4.

8. Care este perimetrul triunghiului cu varfurile ın mijloacele laturilor triunghiului ABC?

a) 12; b) 15; c) 10; d) 14.

9. Care este aria triunghiului cu varfurile ın mijloacele laturilor triunghiului ABC?

a) 10; b) 5; c) 12; d) 6.

10. Care este cel mai mic numar natural nenul n, pentru care n! > 100?

a) 7; b) 4; c) 5; d) 6.

11. Care este cel mai mare numar natural nenul n, pentru care 2n < 2003?

a) 9; b) 12; c) 11; d) 10.

12. Cate numere de 4 cifre se pot forma utilizand cifrele 1, 2, 3?

a) 70; b) 80; c) 64; d) 81.

13. Care este cel mai mare numar de elemente, ce pot fi alese din multimea {1, 2, . . . , 11}, cu proprietatea ca oricaredoua elemente diferite, dintre cele alese, nu se divid unul pe celalalt?

a) 4; b) 6; c) 7; d) 5.

Se considera numarul1

13= 0, a1a2a3 . . . an . . ..

30

14. Suma a1 + a2 este:

a) 11; b) 9; c) 13; d) 7.

15. Produsul a1 · a2 · . . . · a2003 este:

a) 72003; b) 0; c) 2003!; d) 132003.

16. Cifra a2003 este:

a) 7; b) 3; c) 6; d) 2.

Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 − 3x+ 2. Notam cu x1, x2 ∈ R solutiile ecuatiei f(x) = 0.

17. f(0) este:

a) 0; b) −1; c) 2; d) 1.

18. Suma x1 + x2 este:

a) −2; b) 3; c) −3; d) 2.

19. Produsul x1 · x2 este:

a) −0, 5; b) −2; c) 2; d) 0, 5.

20. Multimea {x ∈ R | f(x) < 0} este:

a) (0, 2); b) (1, 3); c) (−∞, 0); d) (1, 2).

21. Produsul f(0) · f(1) · . . . · f(2003) este:a) 2003!; b) 0; c) 2002!; d) 2004!.

Se considera ın plan o multime M formata din 10 puncte cu proprietatea ca oricare trei dintre ele sunt necoliniare.

22. Numarul dreptelor care trec prin cate 2 puncte din multimea M este:

a) 100; b) 90; c) 50; d) 45.

23. Cate triunghiuri pot avea varfurile ın punctele din multimea M?

a) 360; b) 720; c) 120; d) 240.

24. Daca un triunghi are cel putin doua axe de simetrie, atunci acesta este:

a) Dreptunghic; b) Isoscel, dar nu echilateral; c) Echilateral; d) Obtuzunghic.

25. Daca multimea A are 10 elemente, multimea B are 7 elemente iar multimea A ∩B are 3 elemente, atunci cateelemente are multimea A ∪B?

a) 12; b) 17; c) 11; d) 14.

26. O marfa costa 200 de euro si s-a redus pretul cu 20%. Cati euro costa acum marfa?

a) 160; b) 220; c) 240; d) 180.

27. Numarul solutiilor ecuatiei 2x = −1 este:

a) 0; b) 1; c) 3; d) 2.

28. Suma solutiilor ecuatiei 4x − 3 · 2x + 2 = 0 este:

a) 2; b) 3; c) 1; d) 0.

29. Suma 1 + 2 + 3 + . . .+ 2003 este:

a) 2003 · 1001; b) 2003 · 1002; c) 2002 · 2003; d) 2003 · 2004.

30. Numarul√2 este egal cu 1, a1a2a3 . . .. Cat este a1 + a2 + a3?

a) 10; b) 8; c) 6; d) 9.

31

SESIUNEA AUGUSTM1

Specializarea matematica-informaticapentru absolventii claselor a XII-a, promotia 2003





Se considera triunghiul ABC cu lungimile laturilor 3, 4 si 5.

1. Masura unghiului care se opune laturii egale cu 5 este:

a) 90◦; b) 80◦; c) 100◦; d) 60◦.


a) 2, 5; b) 4; c) 3; d) 2.


a) 6; b) 7; c) 12; d) 5.

4. Suma cosinusurilor unghiurilor triunghiului ABC este:

a) 2, 4; b) 2; c) 1, 4; d) 1.

5. Suma ınaltimilor triunghiului ABC este:

a) 8; b) 9; c) 9, 6; d) 9, 4.

Se considera functia f : R → R, f(x) = ex(x2 + x). Notam prin f (n)(x), derivata de ordinul n a functiei f ınpunctul x.

6. Cat este limx→0

f(x)− f(0)

x?

a) 1; b) 0; c) 5; d) 2.

7. Ce se poate spune despre asimptota la graficul functiei f catre −∞?

a) Este dreapta y = x; b) Este dreapta y = 1; c) Nu exista; d) Este dreapta y = 0.

8. Cate puncte de inflexiune are graficul functiei f?

a) 3; b) 0; c) 2; d) 1.

9. Multimea {n ∈ N∗ | f (n)(x) = ex(x2 + (2n+ 1)x+ n2), (∀)x ∈ R} este:

a) N∗; b) Vida;c) Finita, avand cel mult 2003 elemente; d) Finita, avand cel putin 2003 elemente.

10. limn→∞

f ′(0) + f ′′(0) + . . .+ f (n)(0)

n3este:

a) 0; b) 1; c) 0, (3); d) ∞.

Se considera multimea M = {1, 2, 3, . . . , 8}.

11. Media aritmetica a elementelor multimii M este:

a) 8; b) 4, 5; c) 5; d) 6.

12. Numarul de submultimi cu sase elemente ale multimii M este:

a) 32; b) 64; c) 28; d) 30.

32

13. Numarul total de submultimi ale multimii M este:

a) 8!; b) 38; c) 28; d) 88.

14. Cate elemente are multimea {(a, b) | a, b ∈ M,a < b, a divide pe b}?a) 12; b) 13; c) 11; d) 10.

15. Numarul de progresii aritmetice de trei elemente cu ratia strict pozitiva care se pot forma cu elementele multimiiM este:

a) 12; b) 11; c) 10; d) 13.

16. Cate elemente inversabile fata de ınmultire are inelul Z12?

a) 4; b) 8; c) 3; d) 6.

17. Cate polinoame de grad mai mic sau egal cu 4 contine inelul Z2[X ]?

a) 16; b) 15; c) 32; d) 8.

18. Cate solutii are ın inelul Z6 ecuatia 4x = 0?

a) 1; b) 4; c) 3; d) 2.

Se considera integralele In, n ∈ N, unde I0 =

∫ π

2

0

dx si In =

∫ π

2

0

(sin x)n dx, (∀) n ≥ 1 si sirul (wn)n∈N∗ ,

wn =1

2· 34· . . . · 2n− 1

2n·√2n+ 1, (∀) n ≥ 1.

19. I0 este egal cu:

a) 2; b) 1; c)π

2; d) −π

2·

20. I1 este:

a) 2; b) 1; c) −2; d) −1.

21. Multimea

{n ∈ N |n ≥ 2, In =

n− 1

nIn−2

}este:


a) N− {0, 1}; b) Vida;c) Finita, avand cel mult 2003 elemente; d) Finita, avand cel putin 2004 elemente.

22. Multimea

{n ∈ N∗ | 1 ≤ In

In+1≤ n+ 1

n

}este:

a) Vida; b) N∗;c) Finita, avand cel mult 2003 elemente; d) Finita, avand cel putin 2004 elemente.

23. limn→∞

In

In+1este:

a) ∞; b) 1; c) 0, 5; d) 0.

24. Stiind caI2n

I2n+2= (wn)

2 · π2, (∀) n ∈ N∗, atunci lim

n→∞wn este:

a)

√2

π; b) 1; c)

√π

2; d) 0.

Se considera polinomul f = X3 − 4X + 1, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Pentru orice k ∈ N∗, notam cuSk = xk

1 + xk2 + xk

3 , iar S0 = 3.

25. f(−1)f(1) este:

a) 4; b) 6; c) −2; d) −8.


a) 1; b) 0; c) 2; d) 3.

33


a) 1; b) 3; c) 2; d) 0.

28. Suma x1 + x2 + x3 este:

a) 1; b) 0; c) 3; d) 2.

29. Multimea {k ∈ N |Sk+3 − 4Sk+1 + Sk = 0} este:

a) ∅; b) Finita, avand cel mult 2003 elemente;c) N; d) Finita, avand cel putin 2004 elemente.

30. Multimea {n ∈ N |Sn ∈ Z} este:

a) N; b) Finita, avand cel mult 2003 elemente;c) Finita, avand cel putin 2004 elemente; d) ∅.

34

M1






Se considera functia f : R → R, f(x) = {x}(1− {x}), unde prin {x} am notat partea fractionara a numarului realx.

1. Cate dintre numerele f(0, 25), f(0, 5), f(0, 75) si f(1), sunt egale cu f(0)?

a) 1; b) 3; c) 0; d) 2.

2. Care dintre urmatoarele numere reprezinta perioada pentru functia f?

a) 0, 25; b) 0, 5; c) 1; d) 0, 75.


f(x)?

a) 0; b) Nu exista; c) 1; d) −1.

4. Cum este multimea punctelor ın care functia f nu este continua?

a) Vida; b) Finita, avand cel mult 2003 elemente;c) Finita, avand cel putin 2004 elemente; d) Infinita.

5. Care este aria suprafetei plane marginite de graficul functiei f , axa Ox si de dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1?

a) 1; b) 0, 1(6); c) 0, 2; d) 0, 5.

Pe R se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y + 1. Se stie ca legea ”◦” este asociativa.

6. Elementul neitru al legii ”◦” este:

a) −2; b) −1; c) 0; d) 1.


a) −x+ 1; b) −x− 1; c) −2− x; d) −x.

8. Elementul (−10) ◦ (−9) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 10) este:a) 20; b) 22; c) 19; d) 21.


a) 0; b) 2; c) 3; d) 1.

Se considera functiile In : R → R, I0(x) = 1 si In+1(x) =

∫ x

0

In(t) dt, (∀) x ∈ R, (∀) n ∈ N.

10. Suma I0(1) + I0(2) + . . .+ I0(2003) este:

a) 2003; b) 0; c) 2004; d) 2002.

11. I1(x), x ∈ R este:

a) 0; b)x

2; c) x; d) 1.

12. I10(x), x ∈ R este:

a) 10x; b) 10!x10; c)x10

10!; d) x10.

35

13. limn→∞

In(x), x ∈ R este:

a) ∞; b) −∞; c) e; d) 0.

14. limn→∞

I0(1) + I1(1) + . . .+ In(1)

neste:

a) ∞; b) 0; c) 1; d) e.


15. Suma f(−1) + f(1) este:

a) 2; b) −4; c) 6; d) −8.


a) 2; b) 0; c) 1; d) 3.

17. Cum sunt solutiile ecuatiei x2 − 4x+ 1 = 0, rezolvata ın multimea numerelor complexe?

a) Reale, una pozitiva si una negativa; b) Reale si negative;c) Reale si pozitive; d) Complexe nereale.


a) 3; b) 0; c) 2; d) 4.

19. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este:

a) −5; b) 1; c) 5; d) 0.


a) −1; b) −5; c) 1; d) 5.


(0 10 0

)si O2 =

(0 00 0

).


a) A; b)

(0 01 0

); c) O2; d)

(1 00 0

).


a) −1; b) 10; c) 0; d) 1.


a) Un numar finit de solutii, strict mai mari decat 1;b) Un numar infinit de solutii mai mari decat 1;c) Nicio solutie;d) O infinitate de solutii.


a) Un numar finit de solutii, strict mai mari decat 1; b) Exact o solutie;c) Nicio solutie; d) O infinitate de solutii.



a) 15; b) 10; c) 12; d) 11.

26. Punctele A, B si C se afla pe curba:

a)x2

25− y2

16= 1; b)

x2

9+

y2

16= 1; c) x2 + y2 = 25; d) x+ y = 7.


a) (xy)2 = 122; b) 7y = x+ 25; c) 7x = y + 25; d) x2 + y2 = 25.

36


a) 3; b) 9; c)1

3; d)

1

9·


a) 30; b) 35; c) 60; d) 25.


a) 5; b) 3; c) 4, 5; d) 4.

37

Proba d

Profil real: matematica-fizica, informatica, metrologiepentru absolventii claselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa) promotia 2003 si promotiile anterioare





Se considera integralele In, n ∈ N, unde I0 =

∫ π

2

0

dx si In =

∫ π

2

0

(cosx)n dx, (∀) n ≥ 1 si sirul (wn)n∈N∗ ,

wn =1

2· 34· . . . · 2n− 1

2n·√2n+ 1, (∀) n ≥ 1.

1. I0 este egal cu:

a) −π

2; b) 2; c)

π

2; d) 1.

2. I1 este:

a) 1; b) 2; c) −2; d) −1.

3. Multimea

{n ∈ N |n ≥ 2, In =

n− 1

nIn−2

}este:


a) Finita, avand cel putin 2004 elemente; b) Vida;c) Finita, avand cel mult 2003 elemente; d) N− {0, 1}.

4. Multimea

{n ∈ N∗ | 1 ≤ In

In+1≤ n+ 1

n

}este:

a) Finita, avand cel mult 2003 elemente; b) N∗;c) Vida; d) Finita, avand cel putin 2004 elemente.

5. limn→∞

In

In+1este:

a) 1; b) ∞; c) 0, 5; d) 0.

6. Stiind caI2n

I2n+2= (wn)

2 · π2, (∀) n ∈ N∗, atunci lim

n→∞wn este:

a) 1; b)

√2

π; c) 0; d)

√π

2·

Se considera multimea M = {1, 2, 3, . . . , 8}.

7. Media aritmetica a elementelor multimii M este:

a) 4, 5; b) 6; c) 8; d) 5.

8. Numarul de submultimi cu sase elemente ale multimii M este:

a) 64; b) 32; c) 28; d) 30.

9. Numarul total de submultimi ale multimii M este:

a) 88; b) 28; c) 8!; d) 38.

10. Cate elemente are multimea {(a, b) | a, b ∈ M,a < b, a divide pe b}?a) 11; b) 13; c) 12; d) 10.

38

11. Numarul de progresii aritmetice de trei elemente cu ratia strict pozitiva care se pot forma cu elementele multimiiM este:

a) 11; b) 12; c) 13; d) 10.

Se considera functia f : R → R, f(x) = ex(x2 + x). Notam prin f (n)(x), derivata de ordinul n a functiei f ınpunctul x.


f(x)− f(0)

x?

a) 2; b) 5; c) 1; d) 0.

13. Ce se poate spune despre asimptota la graficul functiei f catre −∞?

a) Este dreapta y = x; b) Nu exista; c) Este dreapta y = 1; d) Este dreapta y = 0.


a) 1; b) 0; c) 3; d) 2.

15. Multimea {n ∈ N∗ | f (n)(x) = ex(x2 + (2n+ 1)x+ n2), (∀)x ∈ R} este:

a) Finita, avand cel mult 2003 elemente; b) N∗;c) Vida; d) Finita, avand cel putin 2004 elemente.

16. limn→∞

f ′(0) + f ′′(0) + . . .+ f (n)(0)

n3este:

a) 1; b) ∞; c) 0; d) 0, (3).

Se considera polinomul f = X3 − 5X + 1, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Pentru orice k ∈ N∗, notam cuSk = xk

1 + xk2 + xk

3 , iar S0 = 3. Fie a o radacina a polinomului f , B = {h(a) |h ∈ Q[X ], grad(h) < 3} siA = {g(a) | g ∈ Q[X ]}.

17. f(−1)f(1) este:

a) −15; b) −5; c) 15; d) −3.


a) 2; b) 3; c) 1; d) 0.


a) 3; b) 0; c) 1; d) 2.


a) 3; b) 0; c) 1; d) 2.


a) ∅; b) N;c) Finita, avand cel mult 2003 elemente; d) Finita, avand cel putin 2004 elemente.


a) N; b) Finita, avand cel mult 2003 elemente;c) Finita, avand cel putin 2004 elemente; d) ∅.

23. Multimea A−B este:

a) Infinita; b) Finita, avand cel mult 2003 elemente;c) Vida; d) Finita, avand cel putin 2004 elemente.

24. Care dintre elementele urmatoare din multimea B este egal cu1

a?

a) a2 − 5; b) a2 − 5a; c) 5− a2; d) a.

39

25. Multimea (B,+, ·) formeaza o structura de:

(Prin ”+” si ”·” ıntelegem adunarea si ınmultirea numerelor complexe)

a) Nu formeaza nicio structura; b) Corp necomutativ;c) Corp comutativ; d) Inel comutativ care nu este corp.

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0,−1) si O(0, 0).

26. Segmentul AB are lungimea:

a)√3; b) 1; c)

√2; d) 2.

27. Suma OA+OB +OC +OD este:

a) 1; b) 4; c) 2; d) 0.

28. Panta dreptei AB este:

a) 0; b) −1; c) 1; d) −2.

29. Ecuatia dreptei AC este:

a) xy = 0; b) x2 = 1; c) y = 0; d) x2 + y2 = 1.

30. Aria patrulaterului ABCD este:

a) 3; b) 4; c) 2; d) 1.

40

M2






1. Suma sin(−90◦) + sin(−89◦) + . . .+ sin(−1◦) + sin 0◦ + sin 1◦ + . . .+ sin 89◦ + sin 90◦ este:

a) 0; b) −1; c) 1; d) 0, 5.

2. Produsul cos 0◦ · cos 1◦ · . . . · cos 179◦ · cos 180◦ este:

a) 0; b) −1; c) 0, 5; d) 1.


(x+ 1)(x+ 2)·


x+ 1+

1

x+ 2, x ∈ R\{−1,−2} este:

a) 2f(x); b) − 2

x+ 1; c) 0; d)

2

x+ 2·

4. Numarul de asimptote verticale la graficul functiei f este:

a) 1; b) 0; c) 2; d) 3.

5. Aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele x = 0 si x = 1 este:

a) 1; b) ln3

4; c) ln

4

3; d) arctg 2.

6. limx→∞

x2f(x) este:

a) 0, 5; b) 1; c) 0; d) ∞.

7. limn→∞

(f(0) + f(1) + . . .+ f(n)) este:

a) 0, 5; b) 2; c) 1; d) ∞.

Se considera multimea A = {1, 2, . . . , 10, 11, 12}.


a) 54; b) 57; c) 50; d) 55.

9. Cate submultimi nevide ale multimii A au proprietatea ca suma elementelor lor este egala cu 5?

a) 1; b) 3; c) 4; d) 2.

10. Care este probabilitatea ca alegand un element din multimea A, acesta sa fie numar par?

a) 0, (45); b) 0, 5; c) 0, 4; d) 0, (5).

Se considera functiile fn : R → R, f0(x) = xex si fn+1(x) = f ′n(x), (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

11. f1(x), x ∈ R este:

a) ex(x− 1); b) ex(x+ 1); c) xex; d) ex + x.

12. Ecuatia f (n)(x) = 0 are solutia:

a) x = 1; b) x = 2; c) x = −2; d) x = 0.

13. f2003(0) este:

a) 2003!; b) 2002; c) −2003; d) 2003.

41

14. limx→∞

fn+1(x)

fn(x), n ∈ N∗, este:

a) ∞; b) 1; c)n+ 1

n; d) 0.

15. Asimptota orizontala la graficul functiei f0 catre −∞ este:

a) y = 0; b) y = x+ 1; c) y = 1; d) y = x.

Pe R se defineste legea de compozitie ”◦” prin x ◦ y = xy − 2x− 2y + 6.


a) (x−2)(y+2)−2; b) (x−2)(y−2)+2; c) (x+2)(y−2)+2; d) (x+2)(y+2)−2.

17. Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y ◦ z) are loc:

a) Numai cand y = z; b) Oricare ar fi numerele reale x, y, z;c) Numai cand x = y = z; d) Numai cand x = y.


a) 1; b) 2; c) 3; d) 0.

19. Ecuatia 2x ◦ 4x = 2 are suma solutiilor egala cu:

a) 1; b) 3; c) 1, 5; d) 2.

20. Multimea {x ∈ R |x ◦ 2 = 2} este:

a) R; b) Finita, avand cel putin 2 elemente;c) Formata dintr-un element.; d) ∅.

21. Elementul (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este:

a) −1; b) 2; c) 0; d) 1.

Se considera polinoamele f = X2 − 3X + 2, g = Xn, n ∈ N∗ si matricele A =

(2 10 1

), I2 =

(1 00 1

)si

O2 =

(0 00 0

).


a) x1 = 1, x2 = 2; b) x1 = −1, x2 = 2; c) x1 = −1, x2 = −2; d) x1 = 1, x2 = −2.


a) 2A; b)

(4 30 1

); c) A+ I2; d) A− I2.

24. f(A) = A2 − 3A+ 2I2 este:

a) A; b) A+ I2; c) O2; d) I2.


a) (2n +1)X+2+2n;

b) (2n+1)X+2−2n;

c) (2n − 1)X +2+2n;

d) (2n− 1)X+2−2n.

26. Egalitatea An =

(2n 2n − 10 1

), n ∈ N∗, este adevarata:

a) (∀) n ∈ N∗;b) Pentru un numar finit de valori ale lui n ∈ N∗, mai mare decat 2;c) Pentru nicio valoare a lui n ∈ N∗;d) Pentru exact o valoare a lui n ∈ N∗.

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(−1,√3), B(−1,−

√3), C(2, 0).

27. Perimetrul triunghiului ABC este:

a) 6; b) 3√3; c) 6

√3; d) 2

√3.

42


a) 4; b) 3; c) 3√3; d) 9.


a)√3; b) 2; c)

√2; d) 1.

30. Masura unghiului A din triunghiul ABC este:

a) 45◦; b) 60◦; c) 30◦; d) 90◦.

43

M3

Profil pedagogic. Pentru absolventii claselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa)promotia 2003 si promotiile anterioare





Se considera polinomul f = X3 − 5X + 1, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Pentru orice k ∈ N∗, notam cu Sk =xk1 + xk

2 + xk3 , iar S0 = 3.

1. f(−1)f(1) este:

a) −5; b) −15; c) 15; d) −3.


a) 2; b) 1; c) 3; d) 0.


a) 0; b) 3; c) 2; d) 1.


a) 3; b) 2; c) 0; d) 1.


a) ∅; b) N;c) Finita, avand cel putin 2004 elemente; d) Finita, avand cel mult 2003 elemente.


a) Finita, avand cel putin 2004 elemente; b) N;c) ∅; d) Finita, avand cel mult 2003 elemente.


(3 −71 −2

), I2 =

(1 00 1

)si O2 =

(0 00 0

).


a) 2; b) 3; c) 1; d) −1.

8. Suma elementelor matricei A3 este:

a) 1; b) 0; c) 2; d) −2.


a) 4; b) 6; c) 5; d) 3.


a) −I2; b) A; c) I2; d) O2.


a) −1; b) 1; c) 0; d) 2003.

Pe R se defineste legea de compozitie ”◦” prin x ◦ y = xy + x+ y.


a) (x+1)(y+1)−1; b) (x−1)(y−1)+1; c) (x−1)(y−1)−1; d) (x+1)(y+1)+1.

44

13. Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y ◦ z) are loc:

a) Numai daca x+ y + z = 0; b) Numai daca x = y = z;c) Oricare ar fi numerele reale x, y, z; d) Numai daca x = y.

14. Multimea {x ∈ R |x ◦ (−1) = −1} este:

a) {−1}; b) Finita, avand cel putin 2 elemente;c) R; d) ∅.

15. Expresia (−2003) ◦ (−2002) ◦ . . . ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2002 ◦ 2003 este:

a) 2003!; b) 1; c) −1; d) 0.

Intr-o luna, ziua de joi a fost de trei ori ın zile cu numar par.

16. Cate zile de joi a avut luna respectiva?

a) 4; b) 5; c) 7; d) 6.

17. In ce data a fost prima zi de joi a lunii respective?

a) 1; b) 3; c) 2; d) 4.

18. Ce zi a fost ın data de 15 a lunii respective?

a) Marti; b) Vineri; c) Miercuri; d) Joi.

Intr-un plan se considera pentagonul convex ABCDE.

19. Cate drepte au doua puncte comune cu multimea {A,B,C,D,E}?a) 25; b) 15; c) 20; d) 10.

20. Cate triunghiuri au toate varfurile ın multimea {A,B,C,D,E}?a) 20; b) 15; c) 10; d) 25.

21. Cate diagonale are pentagonul convex ABCDE?

a) 10; b) 15; c) 20; d) 5.

22. Care este suma masurilor unghiurilor pentagonului convex ABCDE?

a) 900◦; b) 540◦; c) 450◦; d) 720◦.

23. Care este numarul maxim de unghiuri ascutite pe care ıl poate avea un poligon convex cu 10 laturi?

a) 4; b) 3; c) 2; d) 5.

Se considera multimea A = {1, 2, 3, . . . , 9}.

24. Media aritmetica a elementelor multimii A este:

a) 7; b) 5; c) 9; d) 6.

25. Numarul de submultimi cu sase elemente ale multimii A este:

a) 84; b) 72; c) 76; d) 81.

26. Numarul total de submultimi ale multimii A este:

a) 99; b) 9!; c) 39; d) 29.

27. Numarul de progresii aritmetice de trei elemente cu ratia strict pozitiva care se pot forma cu elementele multimiiA este:

a) 12; b) 16; c) 10; d) 14.

Se considera numarul a = 22003.

28. Cate cifre are numarul a scris ın baza 2?

a) 2004; b) 2003; c) 2001; d) 2002.

45

29. Care este numarul de cifre ”0” folosite pentru scrierea ın baza 2 a numarului a?

a) 2000; b) 1; c) 2003; d) 1000.

30. Care este suma cifrelor numarului a, scris ın baza 2?

(Suma se calculeaza ın baza 10)

a) 1000; b) 2003; c) 2; d) 1.

46

Proba d

Clase de: economie, fizica-chimie, chimie-biologie, militar (real), industrial, agricol, silvic, sportiv (real)pentru absolventii claselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa), promotia 2003 si promotiile anterioare





Pe R se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = x+ y + 1. Se stie ca legea ”◦” este asociativa.


a) −1; b) −2; c) 0; d) 1.


a) −2− x; b) −x+ 1; c) −x; d) −x− 1.

3. Elementul (−10) ◦ (−9) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 9 ◦ 10 este:

a) 19; b) 20; c) 21; d) 22


a) 2; b) 0; c) 1; d) 3.



a) 12; b) 15; c) 11; d) 10.

6. Cate drepte au cate doua puncte ın multimea {A,B,C,D,O}?a) 5; b) 8; c) 6; d) 4.


a) x2 + y2 = 25; b) (xy)2 = 122; c) 7x = y + 25; d) 7y = x+ 25.


a)1

3; b) 9; c)

1

9; d) 3.

9. Cate triunghiuri au toate varfurile ın multimea {A,B,C,O}?a) 5; b) 4; c) 6; d) 3.

Se considera functiile In : R → R, I0(x) = 1 si In+1(x) =

∫ x

0

In(t) dt, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

10. Suma I0(1) + I0(2) + . . .+ I0(2003) este:

a) 2002; b) 2004; c) 0; d) 2003.

11. I1(x), x ∈ R este:

a) x; b) 0; c)x

2; d) 1.

12. I10(x), x ∈ R este:

a)x10

10!; b) 10!x10; c) 10x; d) x10.

13. limn→∞

In(x), x ∈ R este:

a) 0; b) ∞; c) −∞; d) e.

47

14. limn→∞

I0(1) + I1(1) + . . .+ In(1)

neste:

a) 0; b) e; c) ∞; d) 1.

Se considera functia f : R → R, f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4).

15. Egalitatea f(x) = (x2 − 5x+ 5)2 − 1 are loc pentru:

a) Numai pentru x = 0; b) Numai pentru x ≤ 0;c) (∀) x ∈ R; d) Numai pentru x ≥ 0.

16. Ecuatia f(x) = 0, x ∈ R are suma solutiilor:

a) −10; b) 0; c) 10; d) 4.

17. Ecuatia f ′(x) = 0, x ∈ R are numarul solutiilor:

a) 0; b) 3; c) 2; d) 1.

18. Numarul punctelor de extrem local ale functiei f este:

a) 1; b) 4; c) 2; d) 3.

19. Numarul punctelor de inflexiune ale graficului functiei f este:

a) 2; b) 1; c) 4; d) 3.

20. limx→∞

xf ′(x)

f(x)este:

a) 4; b) ∞; c) 1; d) 0.


21. Suma f(−1) + f(1) este:

a) 6; b) 0; c) −3; d) −6.


a) 1; b) 0; c) 2; d) 3.

23. Cum sunt radacinile ecuatiei x2 − 5x+ 1 = 0?

a) Reale si pozitive; b) Reale, una pozitiva si una negativa;c) Reale si negative; d) Complexe nereale.


a) 3; b) 4; c) 2; d) 0.

25. Suma x1 + x2 + x3 + x4 este:

a) 0; b) 5; c) −5; d) 1.


a) 0; b) 1; c) −5; d) 5.


(0 10 0

)si O2 =

(0 00 0

).


a) O2; b) A; c)

(0 01 0

); d)

(1 00 0

).


a) 1; b) 10; c) 0; d) −1.


a) Un numar finit de solutii, strict mai mare decat 1;b) O infinitate de solutii;c) Nicio solutie;d) Exact o solutie.

48


a) O infinitate de solutii;b) Exact o solutie;c) Nicio solutie;d) Un numar finit de solutii, strict mai mare decat 1.

49

M2







(2 −31 −1

), I2 =

(1 00 1

)si O2 =

(0 00 0

).


a) 3; b) −1; c) 2; d) 1.

2. Suma elementelor matricei A3 este:

a) 1; b) −2; c) 0; d) 2.


a) 6; b) 4; c) 5; d) 3


a) −I2; b) O2; c) A; d) I2.


a) −1; b) 0; c) 2003; d) 1.

Se considera functia f : R → R, f(x) = ex + e−x.

6. f ′(x), x ∈ R, este:

a) −ex + e−x; b) −ex − e−x; c) ex + e−x; d) ex − e−x.

7. limx→1

f(x)− f(1)

x− 1este:

a) −e+ e−1; b) e+ e−1; c) e− e−1; d) −e− e−1.

8.

∫ 1

0

f(x) dx este:

a) −e− e−1; b) e− e−1; c) −e+ e−1; d) e+ e−1.

9. limx→∞

∫ x

0

f(t) dt

f ′(x)este:

a) 0; b) −∞; c) 1; d) ∞.

10. Multimea {x ∈ R | f ′(x) > 0} este:

a) (0,∞); b) (−1,∞); c) (−∞, 0); d) (−∞, 1).

11. Multimea {x ∈ R | f(x) + f(27x) > f(5x) + f(1985x)} este:

a) (−∞, 0); b) R; c) (0,∞); d) ∅.


12. Cate submultimi are multimea A?

a) 510; b) 512; c) 500; d) 525.

50


a) 40; b) 80; c) 36; d) 50.

14. Care este probabilitatea ca alegand un elemente al multimii A, acesta sa fie numar par?

a) 0, 4; b) 0, (5); c) 0, 5; d) 0, (4).

15. In cate submultimi ale multimii A se afla simultan elementele 1 si 2?

a) 256; b) 100; c) 128; d) 130.


a) 6; b) 10; c) 4; d) 5.

Se considera functiile fn : R → R, f0(x) = x100 + x99 + . . .+ x+ 1 si fn+1(x) = f ′n(x), (∀) x ∈ R si (∀) n ∈ N.

17. f0(1) este:

a) 100; b) 101; c) 99; d) 102.

18. f1(0) este:

a) 100; b) 1; c) 0; d) 99.

19.

∫ 1

0

f2003(x) dx este:

a) 2003!; b) 0; c) 2002!; d) 1.

20. limn→∞

fn(n) este:

a) ∞; b) 0; c) n; d) e.

21. limn→∞

f0(0) + f1(0) + . . .+ fn(0)

neste:

a) 0; b) ∞; c) e; d) 0, 5.

Se considera functia f : Z → Z, f(x) = 2x− 1, (∀) x ∈ Z.

22. Suma f(1) + f(2) + . . .+ f(2003) este:

a) 20032; b) 2003 · 1002; c) 2003 · 2004; d) 2003!.

23. Multimea Z− {f(x) |x ∈ Z} este:

a) Infinita; b) Vida;c) Finita, avand cel putin 2004 elemente; d) Finita, avand cel mult 2003 elemente.

24. Multimea {h : Z → Z | (h ◦ f)(x) = x, (∀)x ∈ Z} este:

a) Finita, avand cel putin 2004 elemente; b) Infinita;c) Vida; d) Finita, avand cel mult 2003 elemente.

25. Multimea {g : Z → Z | (f ◦ g)(x) = x, (∀)x ∈ Z} este:

a) Finita, avand cel putin 2004 elemente; b) Finita, avand cel mult 2003 elemente;c) Vida; d) Infinita.



a) −1; b) 1; c) 2; d) −2.


a) y = x; b) x2 + y = 0; c) x+ y = 0; d) y = x2.

28. Aria triunghiului A0A1A2 este:

a) 4; b) 2; c) 3; d) 1.

51

29. Numarul de elemente ale multimii {n ∈ N |An ∈ A0A1} este:

a) Cuprins ıntre 3 si 10; b) Finit, dar strict mai mare decat 10;c) 2; d) Infinit.

30. Cate triunghiuri au toate varfurile ın multimea {A0, A1, A2, A3}?a) 2; b) 4; c) 5; d) 3.

52

Proba f

Profil umanist. Pentru absolventii claselor a XIII-a (zi, seral si frecventa redusa), promotia 2003 si promotiileanterioare





Se considera functiile f : R → R, f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4) si g : R → R, g(x) = x2 − 5x+ 5.

1. Egalitatea f(x) = (g(x))2 − 1 este adevarata:

a) Numai pentru x < 0; b) Numai pentru x > 0;c) (∀) x ∈ R; d) Numai pentru x = 0.

2. Numarul de solutii reale ale ecuatiei g(x) = 0 este:

a) 1; b) 0; c) 3; d) 2.

3. Valoarea minima pe R a functiei f este:

a) 0; b) −1; c) 2; d) 1

4. Numarul de puncte de minim ale functiei f este:

a) 3; b) 1; c) 4; d) 2.

5. Numarul de puncte de inflexiune ale graficului functiei f este:

a) 1; b) 3; c) 0; d) 2.


(1 20 −1

), B =

(1 02 −1

)si I2 =

(1 00 1

).

6. Determinantul matricei B este:

a) 1; b) −6; c) −1; d) 5.


a) A+ I2; b) B; c) A; d) I2.


a) B; b) I2; c) A+ I2; d) A.

9. Matricea A+A2 + . . .+A2004 este:

a) 1002(A+ I2); b) A; c) 2004(A+ I2); d) I2.

10. Multimea {n ∈ N∗ | (BA)n 6= I2} este:

a) Finita, avand cel putin 11 elemente; b) Infinita, dar diferita de N∗;c) Finita, avand ıntre 1 si 10 elemente; d) N∗.

Se considera functia f : [0,∞) → R, f(x) =1

(x + 1)(x+ 2)·


x+ 1+

1

x+ 2, x ∈ [0,∞), este:

a)2

x+ 2; b) 0; c) −8; d) 4.

12. Asimptota catre +∞, la graficul functiei f este:

a) y = 0; b) y = 1; c) y = x; d) y = −2.

53

13. limx→1

f(x)− f(1)

x− 1este:

a) 1; b) −0, 25; c) −0, 13(8); d) 0.

14.

∫ 1

0

f(x) dx este:

a) −2− ln 3; b) −2 + ln 3; c) 2 + ln 3; d) ln 4− ln 3.

15. limx→∞

x2f(x) este:

a) 1; b) ∞; c) 0; d) 0, 5.

Se considera polinoamele f = X2 −X + 1 cu radacinile x1, x2 ∈ C si g = X3 + 1.


a) X ; b) X + 1; c) 0; d) 1.

17. Expresia x31 − x3

2 este:

a) 0; b) 1; c) −1; d) i.

18. Suma x1 + x2 + x1x2 este:

a) −1; b) 0; c) −2; d) 2.

19. Suma x20041 + x2004

2 este:

a) −1; b) 2; c) −2; d) 0.

20. Suma 1 + x1 + x21 + x3

1 + . . .+ x20041 este:

a) i; b) 1; c) 0; d) −1.

Pe multimea numerelor complexe se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = xy− ix− iy− 1+ i.

21. Elementul x ◦ y mai poate fi scris (∀) x, y, z ∈ C:

a) (x+ i)(y+ i)+ i; b) (x−i)(y−i)+i; c) (x+ i)(y+ i)− i; d) (x−i)(y−i)−i.

22. Egalitatea x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z este adevarata:

a) Numai daca x = i; b) Numai daca x = y;c) Pentru orice x, y, z ∈ C; d) Numai daca x = y = z.

23. Multimea {x ∈ C |x ◦ i = i} este:

a) Formata dintr-un element; b) Finita, avand cel putin 2 elemente;c) C; d) Infinita, dar diferita de C.

24. Expresia (−100i) ◦ (−99i) ◦ . . . ◦ (−i) ◦ 0 ◦ i ◦ (2i) ◦ . . . ◦ (99i) ◦ (100i) este:a) 0; b) 1; c) i; d) −i.

25. Ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x = 1 + i are ın C:

a) 4 solutii; b) 2 solutii; c) 3 solutii; d) o solutie.


a) 4; b) 6; c) 2; d) 0.

27. In Z6 ecuatia x3 = x are:

a) 3 solutii; b) 4 solutii; c) 6 solutii; d) 2 solutii.

28. Cel mai mic numar natural n pentru care 20 + 21 + 22 + . . .+ 2n > 2003 este:

a) 10; b) 11; c) 9; d) 12.

29. Suma 1 + 2 + . . .+ 8 ın Z9 este:

a) 0; b) 5; c) 8; d) 6.

30. In Z9 ecuatia 6x = 0 are:

a) 3 solutii; b) o solutie; c) 2 solutii; d) 4 solutii.

54

M3

Pentru absolventii claselor a XII-a, promotia 2003





Se considera multimea A = {1, 2, . . . , 7, 8}.


a) 4, 5; b) 3; c) 4; d) 5.


a) 28; b) 64; c) 20; d) 56.

3. Care este media geometrica a elementelor divizibile cu 3 din multimea A?

a)√18; b)

√24; c)

√12; d) 3

4. Cate submultimi cu numar impar de elemente are multimea A?

a) 128; b) 100; c) 64; d) 36.

5. Cate perechi (a, b) ∈ A×A verifica relatia a+ b = 9?

a) 9; b) 10; c) 8; d) 6.

6. Cate submultimi ale multimii A au suma elementelor egala cu 5?

a) 5; b) 2; c) 3; d) 4.

Se considera numarul1

21= 0, a1a2a3 . . . an . . ..

7. Suma a1 + a2 este:

a) 5; b) 9; c) 3; d) 4.

8. Produsul a1 · a2 · . . . · a2003 este:

a) 0; b) 132003; c) 2003!; d) 72003.

9. Cifra a2003 este:

a) 6; b) 1; c) 9; d) 7.

10. De cate ori apare cifra 4 ın primele 2003 zecimale ale numarului1

21?

a) 334; b) 665; c) 333; d) 332.

11. Care este cel mai mic numar natural n, cu proprietatea ca 2n > 2003?

a) 9; b) 10; c) 1; d) 12.

12. Care este cel mai mic numar natural nenul n pentru care n! > 1000?

a) 9; b) 6; c) 8; d) 7.

13. Cate numere de 5 cifre se pot forma utilizand cifrele 4 si 9?

a) 25; b) 32; c) 64; d) 10.

Se considera ın plan o multime M formata din 5 puncte cu proprietatea ca oricare trei dintre ele sunt necoliniare.

14. Numarul dreptelor care trec prin cate 2 puncte din multimea M este:

a) 10; b) 25; c) 20; d) 15.

55

15. Cate triunghiuri pot avea toate varfurile ın multimea M?

a) 10; b) 25; c) 15; d) 20.

16. Numarul maxim de unghiuri ascutite pe care ıl poate avea un poligon convex cu 5 laturi este:

a) 5; b) 2; c) 3; d) 4.

Un triunghi ABC dreptunghic are catetele cu lungimile de 12 si 16.

17. Cat este lungimea ipotenuzei?

a) 18; b) 22; c) 20; d) 19.

18. Care este aria triunghiului?

a) 96; b) 48; c) 100; d) 192.

19. Care este lungimea ipotenuzei care cade pe ipotenuza?

a) 10; b) 9, 6; c) 12, 4; d) 15.


a) 28; b) 30; c) 24; d) 20.

21. Care este aria triunghiului cu varfurile ın mijloacele laturilor triunghiului ABC?

a) 48; b) 12; c) 10; d) 24.

Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 − 5x+ 6. Notam cu x1, x2 ∈ R solutiile ecuatiei f(x) = 0.

22. Numarul f(0) este:

a) 1; b) −1; c) 6; d) 0.

23. Suma x1 + x2 este:

a) 6; b) 5; c) −5; d) −6.

24. Produsul x1x2 este:

a) −6; b) 6; c) −5; d) 5.

25. Multimea x ∈ R | f(x) < 0 este:

a) (0, 2); b) (2, 3); c) (1, 3); d) (−∞, 0).

26. Produsul f(0) · f(1) · . . . · f(2003) este:a) 0; b) 2002!; c) 2003!; d) 2004!.

27. Suma solutiilor ecuatiei 9x − 4 · 3x + 3 = 0 este:

a) 1; b) 0; c) 3; d) 4.

28. O marfa costa 200 euro si si-a marit pretul cu 20%. Cati euro costa acum marfa?

a) 180; b) 160; c) 240; d) 220.

29. Daca multimea A are 8 elemente, multimea B are 7 elemente iar multimea A ∩B are 3 elemente, cate elementeare multimea A ∪B?

a) 12; b) 15; c) 13; d) 11.

30. Numarul solutiilor ecuatiei 2x = −2 este:

a) 3; b) 0; c) 2; d) 1.

56


M1


SUBIECTUL I

Pentru ıntrebarile 1-5 scrieti litera corespunzatoare raspunsului corect pe foaia de examen

1. Cate elemente din multimea {1, 2, 3, . . . , 10} se divid cu 2 sau cu 3?

a) 8; b) 5; c) 6; d) 7

2. Care este probabilitatea ca un element din multimea {1, 2, 3, . . . , 10} sa fie numar prim?

a) 0, 5; b) 0, 4; c) 0, 6; d) 0, 3


a) 4; b) 5; c) 6; d) 7

4. Cate elemente de ordinul 5 are grupul (Z5,+)?

a) 4; b) 3; c) 1; d) 2

5. Cate functii bijective definite pe multimea {1, 2, 3} cu valori ın multimea {4, 5, 6} exista?

a) 6; b) 5; c) 9; d) 7

Pentru ıntrebarile 6-10 scrieti doar raspunsurile pe foaia de examen

Se considera functia f : R → R, f(x) = |x2 − x|.

6. Cate puncte de discontinuitate are functia f?

7. In cate puncte nu este derivabila functia f?

8. Care este aria suprafetei plane continuta ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele x = 0 si x = 1?

9. Cum este functia f pe intervalul (0, 1): convexa sau concava?

10. Cat este limn→∞

(f(1) · f(2) · . . . · f(n))?

Pentru subiectele II-IV se cer rezolvarile complete

SUBIECTUL IIIntr-un plan se considera patrulaterul convex ABCD, avand laturile AB = a, BC = b, CD = c si AD = d. Notam

2p = a+ b+ c+ d, cu B masura unghiului ∢ABC, cu D masura unghiului ∢ADC si cu S aria patrulaterului ABCD.

a) Sa se arate ca 2S = ab sinB + cd sinD.

b) Sa se deduca relatia 4S2 = a2b2 sin2 B + c2d2 sin2 D + 2abcd sinB sinD.

c) Utilizand teorema cosinusurilor ın triunghiurile ABC si ADC, sa se arate ca a2 + b2 − 2ab cosB = c2 + d2 −2cd cosD.

d) Sa se deduca egalitatea (a2 + b2 − c2 − d2)2 = 4a2b2 cos2 B + 4c2d2 cos2 D − 8abcd cosB cosD.

e) Utilizand formula cos(x + y) = cosx cos y − sinx sin y, (∀) x, y ∈ R si relatiile de la punctele b) si d) , sa searate ca 16S2 = 4a2b2 + 4c2d2 − (a2 + b2 − c2 − d2)2 − 8abcd cos(B +D).

f) Utilizand formula cosx = 2 cos2x

2− 1, sa se arate ca S2 = (p− a)(p− b)(p− c)(p− d)− abcd cos2

B +D

2·

1

SUBIECTUL IIISe considera numerele reale a1, a2,. . ., an distincte si b1, b2,. . ., bn ∈ R arbitrare, unde n ∈ N, n ≥ 3.

Definim polinoamele w1 =(X − a2)(X − a3) . . . (X − an)

(a1 − a2)(a1 − a3) . . . (a1 − an), w2 =

(X − a1)(X − a3) . . . (X − an)

(a2 − a1)(a2 − a3) . . . (a2 − an),. . .,

wn =(X − a1)(X − a2) . . . (X − an−1)

(an − a1)(an − a2) . . . (an − an−1)si Ln = b1w1 + b2w2 + . . .+ bnwn.

a) Sa se verifice ca wi(aj) = 0, (∀) i 6= j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.

b) Sa se verifice ca w1(a1) = w2(a2) = . . . = wn(an) = 1.

c) Sa se verifice ca grad(w1) = grad(w2) = . . . = grad(wn) = n− 1.

d) Sa se arate ca polinomul Ln are gradul cel mult n− 1 si Ln(ak) = bk, (∀) k ∈ {1, 2, . . . , n}.

e) Sa se arate ca daca f ∈ R[X], grad(f) ≤ n− 1 si f(ak) = bk, (∀) k ∈ {1, 2, . . . , n}, atunci f = Ln.

f) Sa se arate ca (17a1 + 11)w1 + (17a2 + 11)w2 + . . .+ (17an + 11)wn = 17X + 11.

SUBIECTUL IVSe considera functia f : [0,∞) → R, f(x) = xα − αx, unde α ∈ (0, 1).


b) Sa se arate ca f ′(x) > 0, (∀) x ∈ (0, 1) si f ′(x) < 0, (∀) x ∈ (1,∞).

c) Sa se deduca inegalitatea xα − αx ≤ 1− α, (∀) x > 0.

d) Alegand x =a

b, cu a, b > 0 si notand β = 1− α, sa se arate ca aαbβ ≤ αa+ βb, (∀) a, b > 0 si (∀) α, β > 0 cu

α+ β = 1.

e) Sa se arate ca st ≤ sp

p+

tq

q, (∀) s, t > 0 si (∀) p, q > 1 cu

1

p+

1

q= 1.

f) Utilizand inegalitatea de la punctul e), sa se arate ca, daca a1, a2,. . ., an si b1, b2,. . ., bn sunt numere reale strict

pozitive, p, q > 1 cu1

p+

1

q= 1, atunci a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn ≤ (ap1 + ap2 + . . .+ apn)

1

p · (bq1 + bq2 + . . .+ bqn)1

q .

g) Sa se demonstreze ca, daca h, g : [0, 1] → (0,∞) sunt doua functii continue si p, q > 1 cu1

p+

1

q= 1, atunci

∫ 1

0

h(x)g(x) dx ≤(∫ 1

0

hp(x) dx

)

1

p

·(∫ 1

0

gq(x) dx

)

1

q

.

2

SESIUNEA SPECIALA

M1


SUBIECTUL I


1. Cate este C210?

a) 45; b) 50; c) 55; d) 90


a) 5; b) 4; c) 3; d) 2

3. Cate solutii are ecuatia x2 = x ın inelul Z8?

a) 6; b) 4; c) 2; d) 5

4. Cat este suma 1 + 3 + 5 + . . .+ 99?

a) 10000; b) 2500; c) 5000; d) 3000

5. Care este probabilitatea ca un element din multimea {1, 2, . . . , 10} sa fie numar par?

a) 0, 6; b) 0, 5; c) 0, 4; d) 0, 55


Se considera functia f : R → R, f(x) = ex4

.

6. Cat este f ′(x), x ∈ R?


f(x)− f(0)

x?

8. Cate puncte de extrem local are functia f?


10. Cat este

∫ 1

0

f ′(x) dx?


SUBIECTUL II

Pentru fiecare n ∈ N∗, se considera numarul complex zn = n2 + i. Notam cu αn = arctg1

n2si cu rn =

√n4 + 1,

(∀) n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca |zn| = rn, (∀) n ∈ N∗.

b) Sa se verifice ca zn = rn(cosαn + i sinαn), (∀) n ∈ N∗.

c) Sa se determine x ∈ R, astfel ıncat sa avem adevarata identitatea

z1 · z2 · . . . · zn = x+ r1 · r2 · . . . · rn · (cos(α1 + α2 + . . .+ αn) + i sin(α1 + α2 + . . .+ αn)), (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca1

(x+ 1)2<

1

x2 + x+ 1, (∀) x > 0.

e) Utilizand identitatea arctg1

x− arctg

1

x+ 1= arctg

1

x2 + x+ 1, (∀) x > 0, sa se arate ca

arctg1

22+ arctg

1

32+ . . .+ arctg

1

n2<

π

4, (∀) n ∈ N, n ≥ 2. (Nu se cere demonstratia identitatii)

3

f) Sa se arate ca produsul z1 · z2 · . . . · zn este un numar complex care are partea reala si partea imaginara strictpozitive.

SUBIECTUL IIISe considera multimile A = {f : R → R | f(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0}, B = {g : R → R} | g(x) =

a4x4 + a3x

3 + . . . + a0, a4, a3, . . . , a0 ∈ R, a4 6= 0, C = {u ◦ v |u, v ∈ A}, unde ”◦” reprezinta operatia de compunerea functiilor.

a) Sa se arate ca daca u, v ∈ A, atunci u ◦ v ∈ B.

b) Sa se verifice daca f ∈ A, f(x) = ax2 + bx+ c, atunci f

(

− b

2a+ x

)

= f

(

− b

2a− x

)

, (∀) x ∈ R.

c) Sa se gaseasca o functie g ∈ B cu proprietatea g(1− x) = g(1 + x), (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca functia h : R → R, h(x) = x4 + x + 1 are proprietatea ca (∀) a ∈ R, exista x ∈ R astfel ıncath(a− x) 6= h(a+ x).

e) Utilizand relatia de la punctul b), sa se arate ca daca w ∈ C, atunci exista c ∈ R, astfel ıncat w(c−x) = w(c+x),(∀) x ∈ R.

f) Sa se arate ca multimea B − C este nevida.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f : R → R, f(x) = 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 si F : R → R, F (x) = 1 +

∫ x

0

f(t) dt, (∀) x ∈ R.

a) Sa se verifice identitatea F (x) = 1 + x+ x2 + x3 + x4, (∀) x ∈ R.

b) Sa se verifice ca F ′(x) = f(x), (∀) x ∈ R.

c) Sa se arate ca (x− 1)F (x) = x5 − 1, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca F (x) > 0, (∀) x ∈ R.

e) Sa se arate ca functia F este convexa pe R.


f(1) + f(2) + . . .+ f(n)

F (n)·

4


M1


SUBIECTUL I


1. Care este restul ımpartirii polinomului X5 − 1 la polinomul X4 +X3 +X2 +X + 1?

a) 0; b) 1; c) −1; d) X

2. Cate submultimi cu 2 elemente are o multime cu 5 elemente?

a) 15; b) 5; c) 20; d) 10

3. Cat este suma 1 + 2 + . . .+ 6 ın grupul (Z7,+)?

a) 3; b) 2; c) 1; d) 0

4. Care este probabilitatea ca un element al inelului Z10 sa fie inversabil fata de ınmultire?

a) 0, 4; b) 0, 3; c) 0, 5; d) 0, 6

5. Cate solutii reale are ecuatia 2x = 3x?

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3


Se considera functia f : R → R, f(x) = e2x + e−2x.


7. Care este aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele x = 0 si x = 1?



f(x)− f(0)

x?



SUBIECTUL IIIntr-un plan se considera triunghiul ABC si punctele D, E ∈ (BC), astfel ıncat ∢BAD = ∢CAE = α. Daca XY Z

este un triunghi, notam cu SXY Z suprafata sa.

a) Sa se determine numarul real x, pentru care avem egalitatea SBAD = x ·AB ·AD · sinα.

b) Sa se arate caSBAD · SBAE

SCAD · SCAE

=BD ·BE

CD · CE·

c) Sa se arate caSBAD · SBAE

SCAD · SCAE

=AB2

AC2·

d) Sa se calculeze expresiaBD ·BE ·AC2

CD · CE ·AB2·

e) Sa se arate ca, daca ın plus, AE este mediana, atunciBD

CD=

AB2

AC2·

f) Sa se arate ca daca punctele M , N ∈ (BC) siBM ·BN

CM · CN=

AB2

AC2, atunci ∢BAM = ∢CAN .

5

SUBIECTUL III


3 2 16 4 29 6 3

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si B = I3 +A.


b) Daca X =

123

si Y =(

3 2 1)

, sa se calculeze matricea S = A−X · Y .

c) Sa se verifice ca A2 = 10A.

d) Sa se arate ca matricea B este inversabila si inversa sa este matricea B−1 = I3 −1

11A.

e) Sa se gaseasca trei matrice U , V , W ∈ M3(C) de rang 1, astfel ıncat B = U + V +W .

f) Sa se arate ca oricare ar fi doua matrice, C, D ∈ M3(C) de rang 1, avem C +D 6= B.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile fn : R → R, definite prin f0(x) = 1− cosx si fn+1(x) =

∫ x

0

fn(t) dt, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

a) Sa se verifice ca f1(x) = x− sinx, (∀) x ∈ R.

b) Sa se calculeze f2(x), x ∈ R.

c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

f2n+1(x) =x2n+1

(2n+ 1)!− x2n−1

(2n− 1)!+ . . .+ (−1)n

x

1!+ (−1)n+1 sinx, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

d) Sa se arate ca graficul functiei f1 nu are asimptota catre +∞.

e) Sa se arate ca 0 ≤ fn(x) ≤ 2 · xn

n!, (∀) n ∈ N, (∀) x > 0. (Reamintim ca 0! = 1)


xn

n!= 0, (∀) x > 0.

g) Sa se arate ca limn→∞

(

x

1!− x3

3!+ . . .+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!

)

= sinx, (∀) x ∈ R.

6


M1


SUBIECTUL I



a) 10; b) 25; c) 32; d) 20

2. In cate moduri se pot permuta cele 4 litere a, b, c, d astfel ıncat literele a si b sa fie mereu alaturate?

a) 20; b) 12; c) 24; d) 6

3. Cate radacini rationale are polinomul X3 +X2 +X + 1?

a) 3; b) 2; c) 1; d) 0

4. Care este suma radacinilor polinomului X3 +X2 +X + 1?

a) 1; b) 0; c) 3; d) −1

5. Care este produsul radacinilor polinomului X3 +X2 +X + 1?

a) 1; b) −1; c) 3; d) −3


Se considera functia f : R → R, f(x) = ln(x2 + 1).



f(x)− f(0)

x?


9. Cat este

∫ 1

−1

xf(x) dx?

10. Cat este limx→∞

f(x)

x?


SUBIECTUL IIIn sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele Ak(1, k), Bk(2, k) si Ck(3, k), (∀) k ∈ {1, 2, 3}.

Notam multimea {A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3} cu M . Spunem ca o multime P cu 2n, n ∈ N∗, puncte distinctedin plan este ”echilibrata” daca poate fi ımpartita ın doua submultimi R si Q, disjuncte, cu cate n elemente si cuproprietatea ca suma absciselor punctelor din multimea R este egala cu suma absciselor punctelor di multimea Q, iarsuma ordonatelor punctelor din multimea R este egala cu suma ordonatelor punctelor din multimea Q.

a) Sa se calculeze suma absciselor punctelor din multimea M .

b) Sa se calculeze suma ordonatelor punctelor din multimea M .

c) Sa se arate ca orice multime formata din doua puncte distincte din plan nu este ”echilibrata”.

d) Sa se gaseasca o multime ”echilibrata”, formata din patru puncte distincte din plan.

e) Sa se arate ca multimea M − {B2} este ”echilibrata”.

f) Sa se arate ca pentru orice punct X ∈ M − {B2}, multimea M − {X} nu este ”echilibrata”.

7

SUBIECTUL III

In multimea M2(C) se considera submultimeaG =

{(

a bb a

) ∣

∣

∣

∣

a, b ∈ Z

}

si matricele I2 =

(

1 00 1

)

siO2 =

(

0 00 0

)

.

a) Sa se verifice ca O2 ∈ G si I2 ∈ G.


c) Sa se arate ca daca A, B ∈ G, atunci A+B ∈ G.

d) Sa se arate ca daca X ∈ G, atunci det(X) 6= 2.

e) Sa se gaseasca doua matrice P , Q ∈ G, P , Q 6= O2 astfel ıncat PQ = O2.

f) Sa se gaseasca o matrice M ∈ G, cu proprietatea ca det(M) = 2004.

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) =

√x2 + 1− x.


b) Sa se calculeze limx→∞

f(x).

c) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe R.

d) Sa se determine asimptotala graficul functie f catre −∞.

e) Sa se arate ca functia F este convexa pe R.

f) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

8


M2

Filiera tehnologica, profil Servicii, toate specializarile; profil Resurse naturale si protectia mediului, toatespecializarile

SUBIECTUL I


1. Care este partea reala a numarului complex i100?

a) 1; b) 101; c) 100; d) 0

2. Cate numere impare are multimea {C09 , C

19 , . . . , C

99}?

a) 6; b) 7; c) 5; d) 4

3. Care este partea ıntreaga a numarului (1 +√2)2?

a) 3; b) 4; c) 5; d) 6

4. Care este probabilitatea ca un element din multimea {√n |n = 0, 1, 2, . . . , 9} sa fie numar rational?

a) 0, 1; b) 0, 2; c) 0, 3; d) 0, 4

5. Daca multimea A are 10 elemente, multimea B are 10 elemente si multimea A∩B are 2 elemente, cate elementeare multimea (A ∪B)− (A ∩B)?

a) 16; b) 18; c) 14; d) 20


Se considera functia f : R → R, f(x) = ex.



f(x)− f(0)

x?

8. Cat este

∫ 1

0

f(x) dx?

9. Care este ecuatia asimptotei catre −∞ la graficul functiei f?


f(x)

f ′(x)?


SUBIECTUL IIIn sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele An(n, 1) si Bn(n, 2), unde n ∈ {1, 2, 3, 4}. Notam

cu M multimea {A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4}.


b) Sa se calculeze lungimea segmentului A2B1.

c) Care este aria triunghiului A1B2B3?

d) Care este numarul dreptelor care trec prin cel putin doua puncte din multimea M?

e) Cate triunghiuri au toate varfurile ın multimea M?

SUBIECTUL III


(

a bc d

)

, I2 =

(

1 00 1

)

si O2 =

(

0 00 0

)

, unde a, b, c, d ∈ Q.

9

a) Sa se verifice ca A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)I2 = O2.

b) Sa se verifice identitatea X2 − 3I2 = (X −√3I2)(X +

√3I2), (∀) X ∈ M2(Q).

c) Sa se arate ca daca polinomul f ∈ Q[X], f = X2−(a+d)X+ad−bc are o radacina egala cu√3, atunci a+d = 0

si ad− bc = −3.

d) Sa se gaseasca o matrice B ∈ M2(Q), cu proprietatea B2 = 3I2.

e) Sa se arate ca det(XY ) = det(X) · det(Y ), (∀) X, Y ∈ M2(Q).

f) Sa se arate ca daca det(X2 − 3I2) = 0, unde X ∈ M2(Q), atunci X2 = 3I2.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) =4x+ 4

x2(x+ 2)2si sirul (an)n∈N∗ , an = f(1) + f(3) + . . . + f(2n− 1), (∀)

n ∈ N∗.


x2− 1

(x+ 2)2, (∀) x ∈ (0,∞).

b) Sa se determine ecuatia asimptotei verticale a graficului functiei f .

c) Sa se calculeze

∫ 2

1

f(x) dx.

d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca an = 1− 1

(2n+ 1)2, (∀) n ∈ N∗.


an.


n2(an − 1).

10


M2Proba F

Filiera vocationala, profil Artistic, specializarile: Arhitectura, arte ambientale si design; profil Militar, specializareaStiinte socialeFiliera teoretica, specializarea Stiinte sociale

SUBIECTUL I


1. Cate este C28?

a) 28; b) 30; c) 56; d) 64

2. Cate numere prime are multimea {1, 2, . . . , 20}?a) 10; b) 9; c) 8; d) 7

3. Daca multimea A−B are 5 elemente si multimea B−A are 3 elemente, cate elemenete are multimea (A∪B)−(A ∩B)?

a) 5; b) 6; c) 7; d) 8

4. Care este probabilitatea ca un element din multimea {1, 2, . . . , 10} sa se divida cu 6?

a) 0, 16; b) 0, 2; c) 0, 25; d) 0, 1

5. Cat este suma 1 + 4 + 7 + . . .+ 31?

a) 170; b) 176; c) 180; d) 160


Se considera functia f : R → R, f(x) = x3 + x.



f(x)− f(0)

x?

8. Cat este

∫ 1

−1

f(x) dx?



xf(x)∫ x

0

f(t) dt

?


SUBIECTUL IIIntr-un plan se considera triunghiul dreptunghic ABC, unde A = 90◦, AB = 10 si AC = 24.

a) Sa se calculeze lungimea ipotenuzei BC.

b) Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

c) Sa se calculeze cosB.

d) Sa se calculeze sinB.

e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca cosnB ∈ Q si sinnB ∈ Q, (∀) n ∈ N∗. (Se pot utiliza

formulele cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y, si sin(x+ y) = sinx cos y + sin y cosx, (∀) x, y ∈ R).

11

SUBIECTUL IIIIn multimea Z[X], se considera submultimea A = {X2 + aX + b | a, b ∈ Z}. Mai consideram multimea B = {r ∈

R | (∃) f ∈ A astfel ıncat f(r) = 0}.

a) Sa se gaseasca un polinom f ∈ A, astfel ıncat f(5) = 0.

b) Sa se arate ca 1 +√2 ∈ B.

c) Sa se arate ca daca n ∈ N, atunci√n ∈ B.

d) Sa se arate ca√2 +

√3 /∈ B.

e) Sa se arate ca daca a ∈ B si k ∈ Z, atunci a+ k ∈ B.

f) Sa se demonstreze ca B ∩(

0,1

2

)

6= ∅.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) =1

x2− 1

(x+ 1)2si sirul (an)n∈N∗ , an = f(1) + f(2) + . . .+ f(n).

a) Sa se verifice ca x = 0 este asimptota verticala la graficul functiei f .

b) Sa se determine ecuatia asimptotei catre +∞ la graficul functiei f .

c) Sa se arate ca an = 1− 1

(n+ 1)2, (∀) n ∈ N∗.


an.

e) Sa se calculeze

∫ 2

1

f(x) dx.


n3

(∫ n

1

f(x) dx− an +1

2

)

.

12


M3Proba F

Filiera Teoretica,sp.Filologie; Filiera Vocationala: profil Artistic, sp.:Arte plastice si decorative, Coregrafie, Muzica siTeatru;profil Pedagogic, toate specializarile;profil Educatie fizica si sport ;profil Militar, sp. Muzici militare; profil Teologic, toate specializarile

SUBIECTUL I


1. Cate submultimi ale multimii {1, 2, 3, 4, 5} contin multimea {1, 2}?a) 8; b) 10; c) 9; d) 25

2. Cate elemente din multimea {1, 2, . . . , 30} se divid cu 2 sau cu 3?

a) 25; b) 20; c) 15; d) 22

3. Cat este C57?

a) 42; b) 35; c) 28; d) 21

4. Cate numere de 4 cifre se pot forma utilizand numai cifre din multimea {2, 3}?a) 16; b) 8; c) 12; d) 14

5. In cate moduri putem permuta elementele multimii {a, b, c}?a) 3; b) 4; c) 9; d) 6


Se considera triunghiul dreptunghic ABC care are catetele de 12 si 35.

6. Care este lungimea ipotenuzei?

7. Care este lungimea medianei care cade pe ipotenuza?

8. Care este lungimea ınaltimii care cade pe ipotenuza?

9. Care este aria triunghiului ABC?



SUBIECTUL IISpunem ca o multime nevida si finita de numere naturale distincte si nenule este ”interesanta” daca orice submultime

nevida a sa are media aritmetica a elementelor numar natural.

a) Sa se verifice ca multimea A = {2, 4, 6} este ”interesanta”.

b) Sa se gaseasca o multime ”interesanta” care are 4 elemente.

c) Sa se gaseasca o multime de 5 elemente, care nu este ”interesanta”.

d) Sa se arate ca nu exista o multime ”interesanta” cu 4 elemente, care contine multimea {2, 4, 6}.

e) Sa se gaseasca o multime ”interesanta” cu 2004 elemente.

SUBIECTUL IIISe considera ın plan o multime M formata din 6 puncte. Notam cu n(M) numarul dreptelor ce trec prin cel putin

cate 2 puncte ale multimii M .

13

a) Sa se verifice ca n(M) ≥ 1.

b) Sa se arate ca n(M) ≤ 15.

c) Sa se gaseasca o multime S formata din 6 puncte din plan, pentru care n(S) = 15.

d) Sa se arate ca n(M) 6= 14.

e) Sa se gaseasca o multime T formata din 6 puncte din plan, pentru care n(T ) = 1.

f) Daca E este o multime din plan formata din 6 puncte si n(E) 6= 1, sa se arate ca n(E) ≥ 6.

SUBIECTUL IVSe considera multimea A = {4p+ 5q | p, q ∈ N}.

a) Sa se arate ca 12 ∈ A si 13 ∈ A.

b) Sa se arate ca 14 ∈ A si 15 ∈ A.

c) Sa se arate ca 11 /∈ A.

d) Sa se arate ca n ∈ A, (∀) n ∈ N, n ≥ 12.

e) Sa se determine numarul de elemente ale multimii {n ∈ N |n /∈ A}.

f) Sa se determine suma elementelor multimii {n ∈ N |n /∈ A}.

14

SESIUNEA AUGUST-SEPTEMBRIE

M1


SUBIECTUL I


1. Cate numere de trei cifre se pot forma utilizand numai cifre din multimea {1, 2}?a) 6; b) 7; c) 8; d) 9

2. Cat este suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ın grupul (Z6,+)?

a) 3; b) 2; c) 1; d) 0

3. Cat este produsul 1 · 2 · . . . · 6 ın corpul (Z7,+)?

a) 6; b) 2; c) 3; d) 4

4. Cate solutii are ecuatia 2x2

= 2x ın multimea numerelor reale?

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4

5. Care este probabilitatea ca un element din multimea {1, 2, . . . , 10} sa fie numar par?

a) 0, 4; b) 0, 6; c) 0, 7; d) 0, 5


Se considera functia f : R → R, f(x) = x3 + 1.


7. Cat este

∫ 1

0

f(x) dx?



f(x)− f(1)

x− 1?


1

x4

∫ x

0

f(t) dt?


SUBIECTUL IIIn sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele M(a, b), N(c, 0), P (d, 0), Q(e, 0), unde c < d < e.

Mai consideram ıntr-un plan triunghiul ABC, punctul G situat la intersectia medianelor (centrul de greutate altriunghiului ABC) si un punct S ın acest plan. Notam cu D mijlocul segmentului (BC).

a) Sa se verifice ca MN2 = (a− c)2 + b2 si NP = d− c.

b) Sa se arate ca MN2 · PQ−MP 2 ·NQ+MQ2 ·NP = NP · PQ ·NQ.

c) Utilizand relatia de la punctul b), sa se arate ca 4AD2 = 2(AB2 +AC2)−BC2.

d) Care este valoarea raportuluiGD

AD? (Nu se cere justificarea raspunsului)

e) Utilizand relatia de la punctul b), sa se arate ca 9SG2 = 3SA2 + 6SD2 − 2AD2.

f) Sa se demonstreze ca 9SG2 = 3(SA2 + SB2 + SC2)− (AB2 +BC2 +AC2).

15

SUBIECTUL III

In multimea M2(C) se considera matricele I2 =

(

1 00 1

)

, O2 =

(

0 00 0

)

, precum si submultimea

G =

{(

z w−w z

) ∣

∣

∣

∣

z, w ∈ C

}

, unde prin z am notat conjugatul numarului complex z.

a) Sa se verifice ca I2 ∈ G si O2 ∈ G.

b) Sa se arate ca, daca z, w ∈ C si |z|2 + |w|2 = 0, atunci z = w = 0.

c) Sa se arate ca, daca P , Q ∈ G, atunci P ·Q ∈ G.

d) Sa se arate ca, daca D ∈ G, D 6= O2, atunci D este matrice inversabila si D−1 ∈ G.

e) Sa se gaseasca o matrice X ∈ G, cu proprietatea ca XC 6= CX, unde C =

(

−i 00 i

)

.

f) Sa se arate ca, daca A, B ∈ G si A ·B = O2, atunci A = O2 sau B = O2.

g) Sa se arate ca multimea H = G− {O2}, ımpreuna cu operatia de ınmultire a matricelor, determina o structurade grup necomutativ.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : (−1,∞) → R, f(x) = ln(1 + x)− x si sirul (In)n≥1, definit prin In = n

∫ 1

0

xn

2004 + xndx,

oricare ar fi n ≥ 1.

a) Sa se calculeze f ′(x), x > −1.



d) Sa se arate ca 0 ≤ ln(1 + x) ≤ x, oricare ar fi x ≥ 0.

e) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca In = ln2005

2004−∫ 1

0

ln

(

1 +xn

2004

)

dx, oricare ar fi n ∈ N∗.


In.

16


M1


SUBIECTUL I


Polinomul f = X2 +X + 1 are radacinile x1, x2 ∈ C. Notam cu Sn = xn1 + xn

2 , oricare ar fi n ∈ N∗.

1. Care este restul ımpartirii polinomului X3 − 1 la polinomul f?

a) X; b) 1; c) 0; d) −X

2. Cat este modulul radacinii x1?

a) 1; b) 2; c) 0, 5; d)√2

3. Cat este x31?

a) 0; b) 1; c) −1; d) 2

4. Cat este S3?

a) 1; b) 2; c) 0; d) −1

5. Care este probabilitatea ca Sn sa fie egal cu 2 cand n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}?a) 0, 6; b) 0, 4; c) 0, 2; d) 0, 8


Se considera functia f : R → R, f(x) = x3 + 3x.



f(x)− f(2)

x− 2?



10. Care este aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1?


SUBIECTUL IIIn plan se considera un triunghi ABC si L un punct pe segmentul (BC). Se mai considera patrulaterul convex

MNPQ, iar R si S sunt mijloacele diagonalelor MP si NQ.

a) Sa se determine x ∈ R, astfel ıncat sa avem egalitatea AL2 = x+AB2 +BL2 − 2 ·AB ·BL · cos(∢ABC).

b) Sa se determine y ∈ R, astfel ıncat sa avem egalitatea AC2 = y +AB2 +BC2 − 2 ·AB ·BC · cos(∢ABC).

c) Utilizand relatiile de la punctele a) si b), sa se arate ca AL2 ·BC = AB2 · LC +AC2 · LB −BL · CL ·BC.

d) Sa se arate ca, daca D este mijlocul laturii BC, atunci 4AD2 = 2(AB2 +AC2)−BC2.

e) Sa se arate ca 4SR2 = 2MS2 + 2SP 2 −MP 2.

f) Utilizand relatia de la punctul d) ın triunghiurile MNQ si PNQ si relatia de la punctul e), sa se arate ca4SR2 = MN2 +NP 2 + PQ2 +QM2 − (MP 2 +QN2).

SUBIECTUL IIISe considera polinomul f = (X + i)10 + (X − i)10 avand forma algebrica f = a10X

10 + a9X9 + . . .+ a1X + a0.

17


b) Sa se determine a10 si a9.


d) Sa se arate ca polinomul f are toti coeficientii numere reale.

e) Sa se arate ca, daca z ∈ C este o radacina a lui f , atunci |z + i| = |z − i|.

f) Sa se arate ca polinomul f are numai radacini reale.

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = (x+ 1)2004 − 2004x− 1.




d) Sa se arate ca f(x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ R.

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

f) Sa se arate ca (x+ 1)2005 ≥ 2005 · 1002x2 + 2005x+ 1, oricare ar fi x ≥ 0.

18


M2


SUBIECTUL I


1. Cate functii f : {a, b} → {1, 2, 3} au proprietatea f(a) < f(b)?

a) 1; b) 3; c) 2; d) 6

2. Cate elemente din multimea {1, 2, . . . , 10} se divid cu 3 sau 5?

a) 6; b) 3; c) 4; d) 5

3. Cate submultimi ale multimii {1, 2, 3, 4} sunt formate numai din numere pare?

a) 2; b) 3; c) 4; d) 5

4. Care este valoarea sumei 1 + 5 + 9 + . . .+ 49?

a) 325; b) 300; c) 350; d) 375

5. Care este probabilitatea ca un element din multimea {11, 12, . . . , 20} sa fie numar impar?

a) 0, 4; b) 0, 5; c) 0, 6; d) 0, 7


Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = lnx.

6. Cat este f ′(x), x ∈ (0,∞)?


f(x)− f(1)

x− 1?


9. Cat este

∫ 2

1

f ′(x) dx?


f(x)

x?


SUBIECTUL IIIn sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele d1 : 2x+ 3y = 5, d2 : 3x+ 2y = 5 si d3 : x− y = 0

si punctele A(4,−1), B(−1, 4) si C(2, 2). Notam cu M punctul de intersectie a dreptelor d1 si d3.

a) Sa se determine coordonatele punctului M .

b) Sa se verifice ca punctul M se afla pe dreapta d2.

c) Sa se calculeze lungimea segmentului AB.

d) Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

e) Sa se calculeze cosinusul unghiului ∢ABC.

f) Sa se calculeze sinusul unghiului ∢ABC.

SUBIECTUL IIISe considera numerele rationale a1, a2,. . ., an,. . ., definite prin a1 = 4, a2 = 8 si an+2 =

an+1

an, oricare ar fi n ∈ N∗.

19

a) Sa se determine numerele a3, a4, a5 si a6

b) Sa se verifice ca a1 = a7 si a2 = a8.

c) Sa se determine numarul a2004.

d) Cate elemente din sirul de numere a1, a2,. . .,a2004 sunt egale cu 2?

e) Sa se calculeze suma a1 + a2 + . . .+ a2004.

f) Sa se calculeze produsul a1 · a2 · . . . · a2004.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R → R, f(x) =2x

x2 + 1.

a) Sa se determine ecuatia asimptotei catre +∞ la graficul functiei f .


c) Sa se calculeze f(−1), f(1), f ′(−1) si f ′(1).

d) Sa se arate ca −1 ≤ f(x) ≤ 1, (∀) x ∈ R.

e) Sa se arate ca, daca x, y ∈ R si f(x) + f(y) = 2, atunci x = y = 1.

f) Daca F : R → R este o primitiva a functiei f , sa se calculeze limx→∞

F (x)

ln(x2)·

20


M2Proba F


SUBIECTUL I


1. Cate submultimi de trei elemente ale multimii {1, 2, . . . , 8} au toate elementele pare?

a) 3; b) 2; c) 4; d) 1

2. Care este probabilitatea ca un element din multimea {1, 2, . . . , 10} sa nu fie patrat perfect?

a) 0, 3; b) 0, 2; c) 0, 7; d) 0, 4

3. Cat este (1 + i)4?

a) −4; b) 4; c) 4i; d) −4i

4. Care este suma primelor doua zecimale ale numarului√11?

a) 7; b) 8; c) 6; d) 4

5. Cat este suma 1 + 3 + 5 + . . .+ 29?

a) 225; b) 200; c) 275; d) 250


Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = lnx− x.

6. Cat este f ′(x), x ∈ (0,∞)?


f(x)− f(1)

x− 1?

8. Cat este

∫ 1

0

ex dx?


10. Cum este functia f pe intervalul (1,∞): strict descrescatoare sau strict crescatoare?


SUBIECTUL IIIn sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(6, 7), B(7, 6) si C(3, 8).


b) Sa se calculeze lungimea segmentului AB.

c) Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

d) Sa se calculeze cosinusul unghiului ∢ABC.

e) Sa se determine numerele reale a si b, astfel ıncat punctul M(a, b) sa verifice relatiile MA = MB = MC.

SUBIECTUL IIIPe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y = 2xy + 2x+ 2y + 1, oricare

ar fi x, y ∈ R.

21

a) Sa se verifice ca x ◦ y = 2(x+ 1)(y + 1)− 1, oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Sa se arate ca x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, oricare ar fi x, y, z ∈ R.

c) Sa se determine e ∈ R astfel ıncat x ◦ e = x, oricare ar fi x ∈ R.

d) Sa se gaseasca doua elemente a, b ∈ R−Q, cu proprietatea a ◦ b ∈ N.

e) Sa se arate ca, daca x ◦ y = −1, atunci x = −1 sau y = −1.

f) Sa se arate ca (−2004) ◦ (−2003) ◦ . . . ◦ 0 ◦ 1 ◦ . . . ◦ 2003 ◦ 2004 < 0.


√x2 + 1.


b) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul (−∞, 0] si este strict crescatoare pe intervalul[0,∞.


f(x).

d) Sa se arate ca dreapta y = x este asimptota oblica catre +∞ la graficul functiei f .

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

f ′(x) dx.

f) Sa se rezolve ecuatia f(11x) + f(1984x) = f(21x) + f(2004x).

22


M1


SUBIECTUL IPentru ıntrebarile 1-16 scrieti doar raspunsurile pe foaia de examen

1. Cate numere de 4 cifre distincte se pot forma utilizand cifre din multimea {1, 2, 3, 4}?

2. Cat este suma tuturor elementelor grupului (Z12,+)?

3. Cat este produsul log2 3 · log3 4?

4. Care este valoarea sumei C08 + C2

8 + C48 + C6

8 + C88?

5. Daca matricea A =

(

0 11 0

)

, care este probabilitatea ca un element al matricei A5 sa fie egal cu 0?

Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 + 2x+ 1.


7. Cat este

∫ 1

0

f(x) dx?

8. Cum este functia f , convexa sau concava?


f(x)− f(1)

x− 1?


(

1− 1

n

)n

?

SUBIECTUL IIIn sistemul cartezian de coordonate Oxyz, se considera punctele A(3, 4, 5), B(4, 5, 3), C(5, 3, 4).

11. Care este ecuatia planului care trece prin punctele A, B si C?

12. Care este lungimea segmentului AB?

13. Care este aria triunghiului ABC?

14. Care este lungimea medianei din A a triunghiului ABC?

15. Cat este cos(∢BAC)?

16. Care sunt coordonatele centrului de greutate ale triunghiului ABC?

Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL III

Se considera polinoamele fn ∈ C[X], definite prin f0 = 1 si f1 = X, f2 =X(X − 1)

1 · 2 , . . .,

fn =X(X − 1) . . . (X − n+ 1)

n!, . . ., (∀) n ∈ N∗.

a) Sa se arate ca fn(k) = Cnk , (∀) n ∈ N∗, (∀) k ≥ n.

b) Sa se arate ca fn(k) ∈ Z, (∀) n ∈ N, (∀) k ∈ Z.

c) Sa se gaseasca un polinom g de gradul trei, cu coeficienti rationali, cel putin unul neıntreg, astfel ıncat g(k) ∈ Z,(∀) k ∈ Z.

1

d) Sa se arate ca grad(fn) = n, (∀) n ∈ N.

e) Sa se arate ca daca h ∈ C[X] este un polinom de grad 3, atunci exista a0, a1, a2, a3 ∈ C, unice, astfel ıncath = a0f0 + a1f1 + a2f2 + a3f3.

f) Sa se arate ca daca w ∈ C[X] este un polinom de grad 3, astfel ıncat w(k) ∈ Z, (∀) k ∈ {0, 1, 2, 3}, atunciw(k) ∈ Z, (∀) k ∈ Z.

g) Sa se arate ca daca u ∈ C[X] este un polinom de grad 3, astfel ıncat u(k) ∈ Z, (∀) k ∈ {0, 1, 2, 3}, atunci existap ∈ Z, astfel ıncat u(k) 6= p, (∀) k ∈ Z.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile fn : R → R, definite prin f0(x) = 1− cosx si fn+1(x) =

∫ x

0

fn(t) dt, (∀) n ∈ N, (∀) x ∈ R.

a) Sa se verifice ca f1(x) = x− sinx, (∀) x ∈ R.

b) Sa se calculeze f2(x), x ∈ R.

c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca, (∀) n ∈ N∗, (∀) x ∈ R,

f2n(x) =x2n

(2n)!− x2n−2

(2n− 2)!+ . . .+ (−1)n−1

x2

2!+ (−1)n + (−1)n+1 cosx.

d) Sa se arate ca graficul functiei f1 nu are asimptota catre ∞.

e) Sa se arate ca 0 ≤ fn(x) ≤ 2 · xn

n!, (∀) n ∈ N∗, (∀) x > 0.


xn

n!= 0, (∀) x > 0.


(

1− x2

2!+

x4

4!+ . . .+

x2n

(2n)!

)

= cosx, (∀) x ∈ R.

2

SESIUNEA SPECIALA

M1



1. Daca functia f : R → R este f(x) = 5x+ 1, cat este suma f(1) + f(2) + . . .+ f(20)?

2. Cate multimi X verifica relatia {a, b, c} ⊆ X ⊆ {a, b, c, d, e}?

3. Daca functia f : R → R este f(x) = x2 − 2, cat este (f ◦ f)(−1)?

4. Care este probabilitatea ca un element al inelului (Z10,+, ·) sa fie solutie a ecuatiei 5 · x = 0?

5. Care este numarul de solutii reale ale ecuatiei x3 − 3x2 + 2x = 0?

Se considera functia f : R → R, f(x) = x4 − 4x.


7. Cat este

∫ 1

0

f(x) dx?

8. Cum este functia f , convexa sau concava?


f(x)− f(1)

x− 1?


3n+ 5

2n− 1?

SUBIECTUL II

11. Care este distanta dintre punctele A(3, 4, 5) si B(4, 3, 5)?

12. Care este lungimea razei cercului x2 + y2 = 9?

13. Care este aria triunghiului determinat de punctele P (0, 1), Q(1, 0) si R(1, 1)?

14. Care este ecuatia dreptei care trece prin punctele P (0, 1) si Q(1, 0)?

15. Care este modulul numarului complex sin 1 + i cos 1?

16. Care este valoarea produsului i · i2 · i3 · . . . · i20?


a) Sa se arate ca , daca x, y ∈ (−1, 1), atunci −1 <x+ y

1 + xy< 1.

Pe multimea G = (−1, 1) se considera legea de compozitie ”◦” definita prin x ◦ y =x+ y

1 + xy, (∀) x, y ∈ G.

b) Sa se verifice egalitatea x ◦ y =(1 + x)(1 + y)− (1− x)(1− y)

(1 + x)(1 + y) + (1− x)(1− y), (∀) x, y ∈ G.

c) Sa se arate ca (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), (∀) x, y, z ∈ G.

d) Sa se determine e ∈ G, astfel ıncat x ◦ e = e ◦ x = x, (∀) x ∈ G.

e) Sa se arate ca (∀) x ∈ G, exista y ∈ G astfel ıncat x ◦ y = y ◦ x = 0.

3

f) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca, (∀) n ∈ N∗ si (∀) x1, x2, . . ., xn ∈ G,

x1 ◦ x2 ◦ . . . ◦ xn =(1 + x1)(1 + x2) . . . (1 + xn)− (1− x1)(1− x2) . . . (1− xn)

(1 + x1)(1 + x2) . . . (1 + xn) + (1− x1)(1− x2) . . . (1− xn)·

g) Sa se arate ca1

2◦ 1

3◦ . . . ◦ 1

n=

n2 + n− 2

n2 + n+ 2, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.


√x2 + 2−

√x2 + 1.


b) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul [0,∞).


f(x).

d) Sa se determine ecuatia asimptotei la graficul functiei f catre −∞.


f(√1) + f(

√2) + . . .+ f(

√n)√

n·

f) Sa se arate ca

∫ x

0

√

t2 + a2 dt =1

2x√

x2 + a2 +a2

2ln(x+

√

x2 + a2)− a2

2ln a, (∀) x ∈ R, (∀) a > 0.

g) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 six = 1.

4


M1



1. Daca functia f : R → R este f(x) = x− 3, cat este produsul f(1) · f(2) · . . . · f(7)?

2. Cate submultimi nevide ale multimii Z3 au suma elementelor egala cu 0?

3. Daca functia f : R → R este f(x) = −x4 + 2x, cat este (f ◦ f)(1)?

4. Care este probabilitatea ca un element n din multimea {0, 1, 2, 3, 4} sa verifice relatia 2n + 5n = 3n + 4n?

5. Cate solutii reale are ecuatia x4 = 16?

Se considera functia f : R → R, f(x) = ex + x+1

2·


7. Cat este

∫ 1

0

f(x) dx?

8. Cum este functia f pe multimea numerelor reale : convexa sau concava?


f(x)− f(1)

x− 1?


√n

n?

SUBIECTUL II

11. Care este distanta dintre punctele A(1, 3, 5) si B(3, 5, 7)?

12. Care este lungimea razei cerculului x2 + y2 = 4?

13. Cat este cos2 π + sin2 π?

14. Care este modulul numarului complex5 + 8i

8− 5i?

15. Cat este aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 3, 3 si 4?

16. Care este ecuatia tangentei la parabola y2 = 2x dusa prin punctul P (2, 2)?


Se considera matricele I2 =

(

1 00 1

)

, O2 =

(

0 00 0

)

, J =

(

0 10 0

)

siK =

(

1 00 0

)

. Spunem ca matriceaM ∈ M2(R)

este nilpotenta, daca exista n ∈ N∗, astfel ıncat Mn = O2.

a) Sa se verifice ca matricele O2 si J sunt nilpotente.

b) Sa se arate ca matricea K nu este nici inversabila nici nilpotenta.

c) Sa se arate ca, daca matriceaX ∈ M2(R) esteX =

(

p qr s

)

, atunci avem identitateaX2−(p+s)X+(ps−rq)I2 =

O2.

5

d) Sa se arate ca, daca matricea A =

(

a bc d

)

∈ M2(R) verifica relatia A2 = O2, atunci a+ d = 0 si ad− bc = 0.

e) Sa se arate ca, daca matricea B ∈ M2(R) este nilpotenta, atunci B2 = O2.

f) Sa se arate ca matricea I2 nu poate fi scrisa ca o suma finita de matrice nilpotente.

SUBIECTUL IV

a) Sa se verifice ca1

1− a= 1 + a+ . . .+ an +

an+1

1− a, (∀) n ∈ N si (∀) a ∈ R\{1}.

b) Sa se deduca relatia1

1 +√x= 1−√

x+(√x)2+ . . .+(−1)n(

√x)n+(−1)n+1

(√x)n+1

1 +√x, (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N.

c) Sa se arate ca 0 ≤ (√x)n+1

1 +√x

≤ (√x)n+1, (∀) x ∈ [0, 1], (∀) n ∈ N∗.


∫ b

0

(√x)n+1

1 +√x

dx = 0, (∀) b ∈ [0, 1].

e) Sa se calculeze integrala

∫ b

0

1

1 +√x

dx, unde b > 0.

f) Sa se arate ca

limn→∞

x+(−1)1x

1

2+1

1

2+ 1

+(−1)2x

2

2+1

2

2+ 1

+ . . .+(−1)nx

n

2+1

n

2+ 1

=

∫ x

0

1

1 +√tdt, (∀) x ∈ [0, 1].

6


M1



1. Cat este suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ın grupul (Z6,+)?

2. Cate solutii reale are ecuatia 2x2

= 4?

3. Cate functii f : {a, b, c} → {1, 2} verifica relatia f(a) · f(b) = 1?

4. Care este probabilitatea ca un element x din multimea {1, 2, 3, 4, 5} sa fie solutie a ecuatiei x2 − 5x+ 6 = 0?

5. Care este prima zecimala a numarului√120?

Se considera functia f : R → R, f(x) = x3 − 3x+ 1.


7. Cat este

∫ 1

0

f(x) dx?




2n

3n?

SUBIECTUL II

11. Cat este lungimea segmentului care uneste punctele A(−3, 1, 2) si B(1,−3, 2)?

12. Cat este modulul numarului complex 1− i?

13. Cat este perimetrul unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 6 si 8?

14. Cat este suma celor doua solutii complexe, nereale, ale ecuatiei x4 = 1?

15. Daca ecuatia planului care trece prin punctele A(−3, 1, 2), B(1,−3, 2) si C(2, 1,−3) este x+ az+ by+ c = 0, cateste a+ b+ c?

16. Cat este aria triunghiului PQR ın care PQ = 1, QR = 2 si m(∢PQR) =π

6?



−1 −1 01 0 00 1 0

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si O3 =

0 0 00 0 00 0 0

.


b) Sa se calculeze matricele A2 si A3.

c) Sa se verifice ca A3 +A2 +A = O3.

d) Sa se gaseasca o matrice B ∈ M3(R), B 6= O3, cu proprietatea AB = BA = O3.

e) Sa se arate ca A2005 = A.

f) Sa se arate ca I3 6= aA+ bA2 + cA3, (∀) a, b, c ∈ R.

7

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = lnx2 + 2− lnx2 + 1.



f(x)− f(0)

x·

c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul (−∞, 0] si strict descrescatoare pe intervalul [0,∞).

d) Sa se arate ca 0 < f(x) ≤ ln 2, (∀) x ∈ R.

e) Sa se arate ca ln(t2 + a2) dt = x ln(x2 + a2)− 2x+ 2a · arctgxa, (∀) x ∈ R, (∀) a ∈ R∗.

f) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 six = 1.

8


M2



1. Cate functii f : {a, b} → {1, 2, 3} au proprietatea f(a) < f(b)?

2. Care este probabilitatea ca un element n din multimea {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia n2 < n!?

3. Cate solutii reale are ecuatia 2x + 2 = 0?

4. Care este valoarea sumei 1 + 5 + 9 + 13 + . . .+ 49?

5. Daca functiile f : R → R si g : R → R sunt f(x) = 2x+ 3 si g(x) = 3x+ 2, cat este (g ◦ f)(−1)?


6. Cat este f ′(x), x ∈ (0,∞)?


f(x)− f(1)

x− 1?


9. Cat este

∫ 1

0

ex dx?


2n+ 3

3n+ 2?

SUBIECTUL II

11. Cat este distanta de la punctul A(1, 1) la punctul B(2, 2)?

12. Care este ecuatia dreptei care trece prin punctele A(1, 1) si B(2, 2)?

13. Cat este aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime√3?

14. Care este conjugatul numarului complex 2 + 3i?

15. Cat este cos2 1 + sin2 1?

16. Daca ın triunghiul ABC, AB = 2, AC = 3 si m(∢BAC) =π

3, cat este BC?



(

3 22 3

)

, I2 =

(

1 00 1

)

si O3 =

(

0 00 0

)

si polinomul f = X2 − 6X + 5.

a) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia f(x) = 0.


c) Sa se calculeze matricea A2.

d) Sa se verifice ca f(A) = O2. (Prin f(A) ıntelegem matricea A2 − 6A+ 5I2).

e) Sa se rezolve sistemul

{

3x+ 2y = 0

2x+ 3y = 0, unde x, y ∈ R.

9

f) Sa se arate ca An =1

2

(

5n + 1 5n − 15n − 1 5n + 1

)

, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : [0,∞) → [0,∞), f(x) =x+ 2

x+ 1·

a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ [0,∞).

b) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul [0,∞).

c) Sa se verifice ca f(√2) =

√2.

d) Sa se arate ca, daca x, y ∈ (0,∞), x 6= y, atunci |f(x)− f(y)| < |x− y|.

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

f) Sa se arate ca

∣

∣

∣

∣

p

q−

√2

∣

∣

∣

∣

>

∣

∣

∣

∣

p+ 2q

p+ q−√2

∣

∣

∣

∣

, (∀) p, q ∈ N∗.

10


M3

Filiera Vocationala: profil Pedagogic, specializarile ınvatator-educatoare


1. Cate functii f : {a, b, c} → {1, 2} au proprietatea f(a) = f(b) = 1?

2. Cate elemente din multimea {7, 8, . . . , 25} se divid cu 3?

3. Daca multimea A are 4 elemente, multimea B are 5 elemente si multimea A ∩ B are 2 elemente, cate elementeare multimea A ∪B?

4. Cat este produsul primelor 10 zecimale ale numarului√26?

5. Cate elemente din sirul C05 , C

15 , C

25 , C

35 , C

45 , C

55 sunt numere impare?

Se considera triunghiul echilateral ABC cu lungimea laturii de 4.

6. Cat este perimetrul triunghiului ABC?

7. Cat este lungimea ınaltimii triunghiului ABC?

8. Cat este aria triunghiului ABC?

9. Cat este raportul dintre perimetrul triunghiului ABC si perimetrul triunghiului care are varfurile ın mijloacelelaturilor triunghiului ABC?

10. Cat este raportul dintre aria triunghiului ABC si aria triunghiului care are varfurile ın mijloacele laturilortriunghiului ABC?

SUBIECTUL II

11. Cate radacini reale are ecuatia x2 + 6x− 7 = 0?

12. Care este multimea valorilor reale ale lui x care verifica inecuatia x2 + 6x− 7 < 0?

13. Cate radacini reale are ecuatia 9x + 8 · 3x − 9 = 0?

14. Cat este valoarea maxima a functiei f : R → R, f(x) = −x2 + 2x?

15. Care sunt valorile parametrului real m, pentru care x2 + 2x+m ≥ 0, (∀) x ∈ R?

16. Cat este produsul celor 4 radacini reale ale ecuatiilor 9x2 + 1986x+ 25 = 0 si 25x2 + 1986x+ 9 = 0?

Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL IIISe considera un triunghi echilateral ABC, cu lungimea laturii 2 si un punct M ın interiorul sau . Picioarele

perpendicularelor duse din M pe segmentele (BC), (CA), (AB) se noteaza cu D, E, F . Notam lungimile segmentelor:BD = 1 + a, CE = 1 + b si AF = 1 + c, unde a, b, c ∈ (−1, 1).

a) Sa se determine masura ın grade a unghiului ∢ABC.

b) Utilizand teorema lui Pitagora, sa se arate ca MB2 −MC2 = BD2 −DC2.

c) Sa se verifice identitatea (1 + x)(1 + y)(1 + z) = 1 + x+ y + z + xy + yz + zx+ xyz, (∀) x, y, z ∈ R.

d) Utilizand relatia de la punctul b) , sa se arate ca BD2 −DC2 + CE2 − EA2 +AF 2 − FB2 = 0.

e) Utilizand relatia de la punctul d) , sa se arate ca a+ b+ c = 0 si ca BD + CE + FA = 3.

f) Sa se arate ca, daca BD · CE ·AF = CD · EA ·BF , atunci a · b · c = 0.

11

SUBIECTUL IVSe considera multimea A formata din toate numerele naturale care se scriu ın baza zece cu doua cifre distincte.


b) Sa se determine numarul elementelor multimii A care se divid cu 5.

c) Sa se determine numarul de elemente ale multimii {x ∈ A |√x ∈ Q}.

d) Sa se determine numarul de zerouri cu care se termina produsul elementelor multimii A, scris ın baza zece.

e) Sa se arate ca produsul elementelor multimii A nu este un patrat perfect.

f) Sa se calculeze suma elementelor multimii A.

12


M2Proba F



1. Cate functii f : {a, b, c} → {1, 2} au proprietatea f(a) 6= f(b)?


= 3−x?


(

1 1−1 −1

)

, cat este matricea A5?


5. Care este produsul primelor 5 zecimale ale numarului√122?


6. Cat este f ′(x), x ∈ (0,∞)?


f(x)− f(1)

x− 1?


9. Cat este

∫ 2

1

1

xdx?


5n+ 2

2n+ 5?

SUBIECTUL II

11. Cat este distanta de la punctul A(4, 4) la punctul B(5, 5)?



3, cat este BC?

14. Care este conjugatul numarului complex −3− 3i?

15. Care este ecuatia dreptei care trece prin punctele A(4, 4) si B(5, 5)?


Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL IIISe considera multimea de functii G =

{

fn | fn : R → R, fn(x) = (x+ 1)3n − 1, (∀)n ∈ Z, (∀)x ∈ R

}

.

a) Sa se verifice ca functia g : R → R, g(x) = x, apartine multimii G.

b) Sa se arate ca fn ◦ fp = fn+p, (∀) n, p ∈ Z.

c) Sa se arate ca inversa functiei fn este functia f−n, (∀) n ∈ Z.

d) Sa se calculeze suma f1(−1) + f2(−1) + . . .+ f2005(−1).

e) Sa se arate ca functia f1 este strict crescatoare pe R.

13

f) Sa se arate ca multimea G ımpreuna cu operatia de compunere a functiilor determina o structura de grup.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile h : R → R, h(x) = 1 +x

1!+

x2

2!, g : R → R, g(x) = h(x) +

x3

3!, f : R → R, f(x) = g(x) +

x4

4!,

(∀) x ∈ R.

a) Sa se verifice ca g′(x) = h(x) si f ′(x) = g(x), (∀) x ∈ R.

b) Sa se arate ca h(x) > 0, (∀) x ∈ R.

c) Sa se arate ca functia g este strict crescatoare pe R.

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

h(x) dx.


g(x) si limx→−∞

g(x).

f) Sa se arate ca ecuatia g(x) = 0 are o singura solutie reala.

14


M3Proba F

Filiera Teoretica,sp.Filologie; Filiera Vocationala: profil Artistic, sp.:Arte plastice si decorative, Coregrafie, Muzica siTeatru;profil Pedagogic, toate specializarile cu exceptia ınvatator-educatoare;profil Educatie fizica si sport ;profil Militar, sp. Muzici militare; profil Teologic, toate specializarile


1. Cate functii f : {a, b, c} → {1, 2} au proprietatea f(a) + f(b) = 3?

2. Cate elemente din multimea {7, 8, . . . , 25} nu se divid cu 4?

3. Daca multimea A are 9 elemente, multimea B are 8 elemente si multimea A ∪B are 12 elemente, cate elementeare multimea A ∩B?


5. Cate numere de 2 cifre distincte se pot forma utilizand numai cifre din multimea {1, 2, 3, 4}?

Se considera triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB = AC = 6.


7. Cat este lungimea ınaltimii din A a triunghiului ABC?


9. Cat este lungimea medianei din A a triunghiului ABC?

10. Cat este masura ın grade a unghiului ∢ABC?

SUBIECTUL II

11. Cate radacini reale are ecuatia 5x2 + 6x− 11 = 0?

12. Care este multimea valorilor reale ale lui x care verifica inecuatia 5x2 + 6x− 11 < 0?

13. Cate radacini reale are ecuatia 64x + 7 · 8x − 8 = 0?

14. Care este valoarea minima a functiei f : R → R, f(x) = x2 − 4x?

15. Care sunt valorile parametrului real m, pentru care x2 + 1 +m ≥ 0, (∀) x ∈ R?

16. Cat este produsul celor 4 radacini reale ale ecuatiilor 5x2 + 1986x− 9 = 0 si 9x2 + 1986x− 5 = 0?

Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL IIISe considera o dreapta d, doua puncte A si B situate de o parte si de alta a dreptei d. Notam cu C simetricul

punctului A fata de dreapta d si cu D intersectia dreptelor BC si d. (Punctul B se considera astfel ıncat C 6= B sidreptele BC si d nu sunt paralele). Mai consideram un punct X pe dreapta d.

a) Sa se arate ca AD = DC.

b) Sa se arate ca dreapta d este bisectoarea unghiului ∢ADB.

c) Sa se verifice ca |AD −DB| = BC.

d) Sa se arate ca XA = XC.

e) Sa se arate ca |XB −XA| ≤ |AD −DB|.

15

f) Sa se arate ca, daca |XB −XA| = |AD −DB|, atunci X = D.

SUBIECTUL IVSe considera multimea A = {p+ q

√3 | p, q ∈ Z}.

a) Sa se arate ca, daca x, y ∈ A, atunci x+ y ∈ A.

b) Sa se arate ca, daca x, y ∈ A, atunci x · y ∈ A.

c) Sa se verifice ca 1 ∈ A si 2−√3 ∈ A.

d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca, daca x1, x2, . . ., xn ∈ A, atunci x1 · x2 · . . . · xn ∈ A, (∀)n ∈ N∗.

e) Sa se arate ca (2−√3)n ∈ A, (∀) n ∈ N∗.

f) Sa se arate ca ın intervalul (0; 0, 01) exista un element din multimea A.

16

SESIUNEA AUGUST

M1



1. Cate solutii reale are ecuatia 16x + 3 · 4x − 4 = 0?

2. Daca matricea A este A =

(

2 2−2 −2

)

cat este matricea A2005?

3. Daca functia f : R → R este f(x) = x3 − 9x, cat este (f ◦ f)(3)?

4. Care este probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia 3n > 5n+ 2?

5. Care este suma elementelor ın grupul (Z7,+)?

Se considera functia f : R → R, f(x) =x

x2 + x+ 1·


7. Cat este

∫ 1

0

f ′(x) dx?

8. Care este ecuatia asimptotei catre +∞ la graficul functiei f?


f(x)− f(0)

x?

10. Cat este

∫ 1

0

ex dx?

SUBIECTUL II

11. Daca ecuatia dreptei care trece prin punctele A(2, 2) si B(3, 3) este x+ ay + b = 0, cat este a+ b?

12. Care este distanta de la punctul C(0, 1) la dreapta x− y = 0?

13. Cat este numarul cos2 2 + sin2 2?

14. Care este modulul numarului complex (1− i)4?

15. Cat este aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(2, 2), B(3, 3) si C(0, 1)?

16. Care este ecuatia tangentei la hiperbolax2

3− y2

2= 1 dusa prin punctul P (3, 2)?

Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL IIISe considera numarul complex z = a+ bi, cu a, b ∈ R si notam z = a− bi.

a) Sa se calculeze z + z.

b) Sa se calculeze z · z.

c) Sa se verifice ca z2 − 2az + a2 + b2 = 0.

d) Sa se determine c, d ∈ R, stiind ca numarul complex x = 3 + 4i verifica ecuatia x2 + cx+ d = 0.

e) Utilizand metoda inductiei matematice , sa se arate ca (∀) n ∈ N, n ≥ 2, exista an, bn ∈ R, astfel ıncatzn = an · z + bn.

17

f) Sa se arate ca pentru orice w ∈ C si orice n ∈ N, n ≥ 2, exista polinomul cu coeficienti reali f = Xn + pX + q,cu proprietatea ca f(w) = 0.

g) Sa se arate ca numarul complex x = 3 + 4i nu poate fi radacina pentru niciun polinom g ∈ R[X], de formag = X8 + r.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = 2√x si sirurile (an)n≥1

, (bn)n≥1si (cn)n≥1

, an =1√1+

1√2+ . . .+

1√n,

bn = an − f(n), cn = an − f(n+ 1), (∀) n ∈ N, n ≥ 1.


b) Sa se arate ca functia f ′ este strict descrescatoare pe intervalul (0,∞).

c) Utilizand teorema lui Lagrange, sa se arate ca (∀) k > 0, exista c ∈ (k, k+1), astfel ıncat f(k+1)− f(k) =1√c·

d) Sa se arate ca1√k + 1

< 2√k + 1− 2

√k <

1√k, (∀) k ∈ (0,∞).

e) Sa se arate ca sirul (bn)n≥1este strict descrescator iar sirul (cn)n≥1

este strict crescator.

f) Sa se arate ca sirurile (bn)n≥1si (cn)n≥1

sunt convergente.


an.

18

SESIUNEA AUGUST

M1



1. Cate functii f : {a, b} → {1, 2, 3} verifica relatia f(a) + f(b) = 4?


(

0 11 0

)


3. Care este probabilitatea ca un element n din multimea {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia 2n > n!?

4. Cate solutii are ecuatia x2 + x+ 1 = 0 ın multimea numerelor reale?

5. Daca functiile f : R → R si g : R → R sunt f(x) = 2x− 3 si g(x) = 3x− 2, cat este (f ◦ g)(1)?

Se considera functia f : R∗ → R, f(x) =x− 1

x·

6. Cat este f ′(x), x ∈ R∗?


f(x)− f(1)

x− 1?

8. Care este ecuatia asimptotei catre +∞ la graficul functiei f?

9. Cat este

∫ 2

1

f(x) dx?


5n+ 3

2n+ 7?

SUBIECTUL II

11. Care este distanta de la punctul M(−2, 1) la punctul N(2,−1)?

12. Care este ecuatia dreptei care trece prin punctele M(−2, 1) si N(2,−1)?

13. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime 4?

14. Care este conjugatul numarului complex1

3i?

15. Care este semnul numarului cos(−1)?


3, cat este BC?

Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL IIISe considera a, b, c ∈ R si polinomul f ∈ R[X], f = X3 − pX2 + qX − r, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C, unde p, q,

r ∈ (0,∞).

a) Sa se determine s ∈ R cu proprietatea ca f = s(X − x1)(X − x2)(X − x3).

b) Sa se calculeze expresia (1− x1)(1− x2)(1− x3) ın functie de p, q, r.

c) Sa se arate ca x21 + x2

2 + x23 = p2 − 2q.

d) Sa se arate ca polinomul g = X3 −X2 +X − 2 nu are toate radacinile reale.

e) Sa se arate ca, daca x ∈ (−∞, 0], atunci f(x) < 0.

19

f) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini ın intervalul (−∞, 0].

g) Sa se arate ca, daca a+ b+ c > 0, ab+ bc+ ca > 0 si abc > 0, atunci a > 0, b > 0, c > 0.

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = (x+ 2)3 − x3.



c) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul (−∞,−1] si strict crescatoare pe intervalul[−1,∞).

d) Sa se arate ca 2 ≤ f(x), (∀) x ∈ R.

e) Sa se arate ca orice primitiva a functiei f este strict crescatoare pe R.

f) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 six = 1.

20

SESIUNEA AUGUST

M2



1. Cate functii f : {a, b} → {a, b} au proprietatea f(a) 6= f(b)?

2. Cate solutii reale are ecuatia x2 + 10x− 11 = 0?

3. Care este probabilitatea ca o submultime a multimii {1, 2, 4} sa contina numai elemente pare?


(

0 10 0

)


5. Daca functia f : R → R este f(x) = 2x− 3, care sunt coordonatele unui punct de pe graficul functiei f , pentrucare abscisa este egala cu ordonata?

Se considera functia f : R∗ → R, f(x) = x− 1

x·

6. Cat este f ′(x), x ∈ R∗?


f(x)− f(1)

x− 1?


9. Cat este

∫ 2

1

f(x) dx?


f(n)

2n?

SUBIECTUL II

11. Cat este distanta de la punctul A(−1,−2) la punctul B(−2,−1)?

12. Care este ecuatia dreptei care trece prin punctele A(−1,−2) si B(−2,−1)?


14. Care este conjugatul numarului complex 3 + i?



3, cat este BC?


a) Sa se arate cax2

a+

y2

b− (x+ y)2

a+ b=

(xb− ya)2

ab(a+ b), (∀) x, y ∈ R si (∀) a, b ∈ (0,∞).

b) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatiax2

2+

y2

3=

(x+ x2)2

5·

c) Sa se arate cax2

a+

y2

b≥ (x+ y)2

a+ b, (∀) x, y ∈ R si (∀) a, b ∈ (0,∞).

21

d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca (∀) n ∈ N∗, (∀) x1, x2, . . ., xn ∈ R si (∀) a1, a2, . . .,

an ∈ (0,∞), avem inegalitateax21

a1+

x22

a2+ . . .+

x2n

an≥ (x1 + x2 + . . .+ xn)

2

a1 + a2 + . . .+ an·

e) Sa se arate cax2

y + z+

y2

x+ z+

z2

x+ y≥ x+ y + z

2, (∀) x, y, z ∈ (0,∞).

f) Sa se arate ca1

a+ b+

1

b+ c+

1

a+ c≥ 9

2(a+ b+ c), (∀) a, b, c ∈ (0,∞).

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f, g : R → R, f(x) = ln

(

ex +1

ex

)

si g(x) =e2x − 1

e2x + 1·

a) Sa se arate ca f ′(x) = g(x), (∀) x ∈ R.

b) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul (−∞, 0] si strict crescatoare pe intervalul [0,∞).

c) Sa se verifice ca f(x) ≥ ln 2, (∀) x ∈ R.


g(x).

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

g(x) dx.

f) Sa se determine ecuatia asimptotei la graficul functiei f catre +∞.

22

SESIUNEA AUGUST

M3

Filiera Vocationala: profil Pedagogic, specializarile ınvatator-educatoare


1. Cate functii f : {1, 2} → {1, 2} au proprietatea f(1) · f(2) = 2?

2. Cate elemente din multimea {101, 102, . . . , 125} se divid cu 5?

3. Daca multimea A are 7 elemente, multimea B are 6 elemente si multimea A ∪ B are 9 elemente, cate elementeare multimea A ∩B?

4. Cat este produsul primelor 10 zecimale ale numarului√65?

5. Cate elemente din sirul C06 , C

16 , C

26 , C

36 , C

46 , C

56 , C

66 se divid cu 3?

Se considera triunghiurile asemenea ABC si DEF astfel ıncatAB

DE=

AC

DF=

BC

EF= 3.

6. Cat este raportul dintre perimetrul triunghiului ABC si perimetrul triunghiului DEF?

7. Cat este raportul dintre aria triunghiului ABC si aria triunghiului DEF?

8. Daca ınaltimea din A a triunghiului ABC are lungimea 6, cat este lungimea ınaltimii din D a triunghiului DEF?

9. Daca masura unghiului A al triunghiului ABC este 70◦, cat este masura unghiului D al triunghiului DEF?

10. Daca lungimea laturii AC este 9, cat este lungimea laturii DF?

SUBIECTUL II

11. Cate radacini reale are ecuatia x2 + 5x− 6 = 0?

12. Care este multimea valorilor reale ale lui x care verifica inecuatia x2 + 5x− 6 < 0?

13. Care este solutia reala si strict pozitiva a ecuatiei log3 x = 2?

14. Care este solutia reala a ecuatiei 2x = 0, 5?


16. Care este cel mai mic numar real a, pentru care functia f : R → R, f(x) = x2 − 4x + 1, este strict crescatoarepe intervalul [a,∞)?

Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL IIISe considera un triunghi dreptunghic ABC, ( m(∢A) = 90◦ ) si un punct M pe segmentul (BC). Picioarele

perpendicularelor duse din M pe catetele (AB) si (AC) se noteaza cu N si P .

a) Sa se arate ca AM2 = AP 2 +AN2.

b) Sa se arate ca MC2 = CP 2 +AN2.

c) Sa se arate ca MB2 = AP 2 +NB2.

d) Sa se arate ca triunghiul MBN este asemenea cu triunghiul CBA.

e) Sa se deduca relatiileAP

AC=

NB

AB=

MB

CB·

f) Sa se arate ca AM2 ·BC2 = AB2 ·MC2 +AC2 ·MB2.

23

SUBIECTUL IVSe considera multimea A = {x2 − 3y2 |x, y ∈ Z}.

a) Sa se verifice ca {0, 1, 4, 6} ⊂ A.

b) Sa se verifice identitatea (x2 − 3y2)(a2 − 3b2) = (xa+ 3yb)2 − 3(ay + bx)2, (∀) a, b, x, y ∈ R.

c) Sa se arate ca, daca z, w ∈ A, atunci z · w ∈ A.

d) Sa se arate ca 2 /∈ A.

e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca 6n ∈ A, (∀) n ∈ N∗.

f) Sa se arate ca multimea Z−A contine cel putin 2005 elemente.

24

SESIUNEA AUGUST

M2Proba F



1. Cate functii f : {a, b, c} → {a, b} au proprietatea f(a) = f(b)?


= 55x ın multimea numerelor reale?


(

−1 −11 1

)




Se considera functia f : R → R, f(x) = x+ ex.



f(x)− f(1)

x− 1?


9. Cat este

∫ 2

1

1

x2dx?


3n+ 2

4n+ 5?

SUBIECTUL II

11. Cat este distanta de la punctul A(−4,−4) la punctul B(−5,−5)?



2, cat este BC?

14. Care este conjugatul numarului complex −3 + i?

15. Care este ecuatia dreptei care trece prin punctele A(−4,−4) si B(−5,−5)?




(

5 33 5

)

, I2 =

(

1 00 1

)

, O2 =

(

0 00 0

)

si polinomul f = X2 − 10X + 16.

a) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia f(x) = 0.


c) Sa se calculeze matricea A2.

d) Sa se verifice ca f(A) = O2. (Prin f(A) ıntelegem matricea A2 − 10A+ 16I2).

25

e) Sa se rezolve sistemul

{

5x+ 3y = 0

3x+ 5y = 0, unde x, y ∈ R.

f) Sa se arate ca An =1

2

(

8n + 2n 8n − 2n

8n − 2n 8n + 2n

)

, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1 (∀) x ∈ R.


b) Sa se arate ca functia f ′ este strict crescatoare pe R.


f ′(x) si limx→−∞

f ′(x).

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

e) Sa se calculeze limx→0

f(x)− 1

x(ex − 1)·

f) Sa se arate ca f(x) ≥ 1, (∀) x ∈ R.

26

SESIUNEA AUGUST

M3Proba F

Filiera Teoretica,sp.Filologie; Filiera Vocationala: profil Artistic, sp.:Arte plastice si decorative, Coregrafie, Muzica siTeatru;profil Pedagogic, toate specializarile cu exceptia ınvatator-educatoare;profil Educatie fizica si sport ;profil Militar, sp. Muzici militare; profil Teologic, toate specializarile


1. Cate functii f : {1, 2, 3} → {1, 2} au proprietatea f(1) · f(2) = 2?

2. Cate elemente din multimea {101, 102, . . . , 125} nu se divid cu 4?

3. Daca multimea A are 9 elemente, multimea B are 8 elemente si multimea A ∩ B are 4 elemente, cate elementeare multimea A ∪B?


5. Cate numere de 3 cifre distincte se pot forma utilizand numai cifre din multimea {1, 2, 3, 4}?

Se considera triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB = 5, AC = 12.


7. Cat este lungimea ınaltimii din A a triunghiului ABC?


9. Cat este lungimea medianei din A a triunghiului ABC?

10. Cat este cosinusul unghiului ∢ABC?

SUBIECTUL II

11. Cate radacini reale are ecuatia 2x2 + 3x− 5 = 0?

12. Care este multimea valorilor reale ale lui x care verifica inecuatia 2x2 + 3x− 5 < 0?

13. Cate radacini reale are ecuatia 64x − 8 = 0?

14. Care este radacina reala, strict pozitiva, a ecuatiei log6 x = −2?

15. Cat este suma C04 + C1

4 + C24 + C3

4 + C44?

16. Care este cel mai mare numar dintre 2 si 3√9?

Pentru subiectele III si IV se cer rezolvarile completeSUBIECTUL IIISe considera patrulaterul convex ABCD ın care AC ∩BD = {O}.

a) Sa se arate ca, daca AC ⊥ BD, atunci aria patrulaterului ABCD este egala cuAC ·BD

2·

b) Sa se arate ca, daca AC ⊥ BD, atunci OA2 +OB2 +OC2 +OD2 = AB2 + CD2.

c) Sa se arate ca, daca AC ⊥ BD, atunci AB2 + CD2 = AD2 +BC2.

d) Perpendiculara din A pe dreapta BD cade pe segmentul [DO] ın punctul E.

Sa se arate ca AB2 = OA2 +OB2 + 2 ·OE ·OB.

27

e) Perpendiculara din C pe dreapta BD cade pe segmentul [BO] ın punctul F .

Sa se arate ca CD2 = OC2 +OD2 + 2 ·OF ·OD.

f) Sa se arate ca, daca AB2 + CD2 = AD2 +BC2, atunci AC ⊥ BD.

SUBIECTUL IVSe considera multimea A = {p+ q

√5 | p, q ∈ Z}.

a) Sa se arate ca, daca x, y ∈ A, atunci x+ y ∈ A.

b) Sa se arate ca, daca x, y ∈ A, atunci x · y ∈ A.

c) Sa se verifice ca 1 ∈ A si√5− 2 ∈ A.

d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca, daca x1, x2, . . ., xn ∈ A, atunci x1 · x2 · . . . · xn ∈ A, (∀)n ∈ N∗.

e) Sa se arate ca (√5− 2)n ∈ A, (∀) n ∈ N∗.

f) Sa se arate ca ın intervalul (0; 0, 01) exista un element din multimea A.

28


M1


SUBIECTUL I

a) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat punctele A(1, 6) si C(6, 1) sa se afle pe dreapta de ecuatie x+ ay + b = 0.

b) Sa se calculeze lungimea segmentului cu capetele ın punctele P (5, 6, 7) si Q(6, 5, 7).

c) Sa se calculeze suma ctg(−2) + ctg(−1) + ctg(1) + ctg(2).

d) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe2− 3i

3− 2i= a+ bi.

e) Sa se calculeze distanta de la punctul B(3, 3) la dreapta de ecuatie x+ y − 7 = 0.

f) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(1, 6) , B(3, 3) si C(6, 1).

SUBIECTUL II

1. a) Sa se calculeze suma 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 9 ın grupul (Z12,+).

b) Sa se determine simetricul fata de ınmultire al elementului 7 ∈ Z12.

c) Sa se determine inversa functiei f : R → R, f(x) = 2x− 3.

d) Sa se rezolve ın R ecuatia 25x = 5.

e) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia n3 < 2n.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = e−5x.


b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


f(x)− f(1)

x− 1·



∫ x

0

f(t) dt.

SUBIECTUL IIISe considera multimea M formata din toate matricele cu 3 linii si 3 coloane, fiecare matrice din M avand numai

elemente distincte din multimea {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

a) Sa se verifice ca

1 4 72 5 83 6 9

∈ M si ca

1 1 72 5 83 6 9

/∈ M .

b) Sa se calculeze determinantul matricei

1 4 72 5 83 6 9

.

c) Sa se gaseasca o matrice A ∈ M , astfel ıncat det(A) 6= 0.

d) Sa se arate ca, daca B ∈ M este o matrice inversabila, atunci B−1 /∈ M .

e) Sa se arate ca daca D ∈ M , atunci rang(D) ∈ {2, 3}.

1

f) Sa se determine numarul elementelor multimii M .

g) Sa se arate ca multimea M contine cel putin 18 matrice cu determinantul egal cu 0.

SUBIECTUL IVSe considera sirurile (an)n≥2

si (bn)n≥2, definite prin

an =

√

2 + 3

√

3 + . . .+ n−1

√

n− 1 + n

√n, bn =

√

2 +3

√

3 + . . .+ n−1

√

n− 1 + n

√n+ 2, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

a) Sa se verifice ca an < bn, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

b) Sa se calculeze a2 si b2.

c) Sa se arate ca a4 > 1, 9.

d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca 2n+1 > n+ 3, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.

e) Sa se arate ca sirul (an)n≥2este strict crescator si sirul (bn)n≥2

este strict descrescator.

f) Sa se arate ca sirurile (an)n≥2si (bn)n≥2

sunt convergente.

g) Sa se arate ca sirurile (an)n≥2si (bn)n≥2

au aceeasi limita si limita lor este un numar din intervalul (1, 9; 2).

2


M1


SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze distanta dintre punctele A(2, 1,−2) si B(3,−3, 1).

b) Sa se determine raza cercului (x− 2)2 + (y + 2)2 = 16.

c) Sa se determine ecuatia tangentei la parabola y2 = 5x ın punctul P (5, 5).

d) Sa se calculeze modulul numarului complex5− 2i

2− 5i·

e) Sa se calculeze aria unui triunghi cu varfurile ın punctele M(2, 3), N(2,−2) si P (3, 2).

f) Sa se afle a, b ∈ R astfel ıncat sa se verifice egalitatea de numere complexe

(

cos3π

10+ i sin

3π

10

)10

= a+ ib.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se calculeze suma primilor 8 termeni dintr-o progresie aritmetica ın care primul termen este 1 si ratiaeste 3.

b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia 2n ≤ 3 + log2 n.

c) Sa se calculeze suma elementelor din grupul (Z11,+).

d) Sa se calculeze expresia E = C15 − C2

5 + C35 − C4

5 .

e) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia x3 − x2 + x− 1 = 0.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = x2006 + 1.


b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


d) Sa se calculeze limx→0

f(x)− f(0)

x·


1

n

∫ n

0

sinx dx.

SUBIECTUL III


(

1 00 1

)

, J =

(

0 10 0

)

si O2 =

(

0 00 0

)

. Convenim ca rang(O2) = 0.

a) Sa se calculeze determinantii matricelor J si I2.

b) Sa se calculeze matricea J2.

c) Sa se arate ca, daca A ∈ M2(C), A =

(

a bc d

)

, atunci A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)I2 = O2.

d) Sa se gaseasca o matrice M ∈ M2(C) pentru care rang(M) 6= rang(M2).

e) Sa se arate ca, daca matricea B ∈ M2(C) este inversabila, atunci matricea Bn este inversabila, (∀) n ∈ N∗.

f) Utilizand eventual metoda inductiei matematice, sa se arate ca, daca matricea C =

(

p qr s

)

∈ M2(C) nu este

inversabila, atunci Cn = (p+ s)n−1C, (∀) n ∈ N∗.

3

g) Sa se arate ca, daca matricea D ∈ M2(C) verifica rang(D) = rang(D2), atunci rang(D) = rang(Dn), (∀) n ∈ N∗.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R → R, f(x) = x−ln(ex+1) si sirul (an)n≥1, definit prin an =

1

e+ 1+

1

e2 + 1+. . .+

1

en + 1,

(∀) n ∈ N∗.

a) Sa se verifice ca f ′(x) =1

ex + 1, x ∈ R.

b) Sa se arate ca functia f ′ este strict descrescatoare pe R.

c) Utilizand teorema lui Lagrange, sa se arate ca (∀) k ∈ [0,∞), exista c ∈ (k, k+1), astfel ıncat f(k+1)− f(k) =1

ec + 1·

d) Sa se arate ca1

ek+1 + 1< f(k + 1)− f(k) <

1

ek + 1, (∀) k ∈ [0,∞).

e) Sa se arate ca sirul (an)n≥1este strict crescator.

f) Sa se arate ca f(n+ 1)− f(1) < an < f(n)− f(0), (∀) n ∈ N∗.

g) Sa se arate ca sirul (an)n≥1este convergent si are limita un numar real din intervalul

[

ln

(

1 +1

e

)

, ln 2

]

.

4

M1

Filiera teoretica, specializarea Stiinte ale naturii; Filiera tehnologica, profil Tehnic, toate specializarile

SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze modulul numarului complex 2− i.

b) Sa se calculeze lungimea segmentului cu capetele ın punctele A(−1, 4) si C(4,−1).

c) Sa se calculeze suma de numere complexe S = i+ i4 + i7 + i10.

d) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat punctele A(−1, 4) si C(4,−1) sa fie pe dreapta de ecuatie x+ by + a = 0.

e) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(−1, 4), B(2, 2) si C(4,−1).

f) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe5 + 6i

6− 5i= a+ bi.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se calculeze determinantul

∣

∣

∣

∣

4 57 8

∣

∣

∣

∣

.

b) Sa se calculeze rangul matricei

(

2 22 2

)

.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale strict pozitive ecuatia log3 x = −1.

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 9x − 27 = 0.

e) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia n3 < 2n.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = 4x3 + 2x− 2.


b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


f(x)− f(0)

x·

d) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.


7n2 + 3

3n2 − 2·

SUBIECTUL IIISe considera numarul real ω = 1 +

√2 si multimea H = {a+ b

√2 | a, b ∈ Z}. Notam ω = 1−

√2 si cu

G = {z ∈ H | (∃)y ∈ H astfel ıncat y · z = 1}.

a) Sa se verifice ca 0 ∈ H, 1 ∈ H, ω ∈ H si ω ∈ H.

b) Sa se verifice ca ω2 = 2ω + 1.

c) Sa se arate ca, daca z, y ∈ H, atunci z + y ∈ H si z · y ∈ H.

d) Sa se arate ca ω · (−ω) = 1.

e) Sa se arate ca ω ∈ G.


g) Sa se arate ca ω2006 /∈ Q.

SUBIECTUL IV

Se considera functiile f, g : (0,∞) → R, f(x) = ex si g(x) =1

x·

5

a) Sa se calculeze f ′(x) si g′(x), x ∈ (0,∞).

b) Sa se calculeze

∫ 2

1

f2(x) dx.

c) Sa se calculeze

∫ 2

1

g2(x) dx.

d) Sa se determine ecuatia asimptotei verticale la graficul functiei g.

e) Sa se arate ca t2e2x − 2tex

x+

1

x2, (∀) t ∈ R, (∀) x > 0.

f) Integrand inegalitatea de la punctul e) , sa se arate ca t2∫ 2

1

e2x dx− 2t

∫ 2

1

ex

xdx+

∫ 2

1

1

x2dx ≥ 0, (∀) t ∈ R.

g) Sa se arate ca

(∫ 2

1

ex

xdx

)2

≤∫ 2

1

e2x dx ·∫ 2

1

1

x2dx.

6

M2

Filiera tehnologica: profil: Servicii, toate specializarile, profil Resurse naturale si protectia mediului, toatespecializarile

SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze distanta de la punctul A(0, 2) la punctul B(2, 0).

b) Sa se calculeze cos2 101 + sin2 101.

c) Sa se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime 6.

d) Sa se calculeze conjugatul numarului complex 2 + 5i.

e) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat punctele A(0, 2) si B(2, 0) sa fie pe dreapta de ecuatie x+ ay + b = 0.

f) Daca ın triunghiul ABC, AB = 8, AC = 8 si m(∢BAC) =π

2, sa se calculeze BC.

SUBIECTUL II


∣

∣

∣

∣

10 54 2

∣

∣

∣

∣

.

b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia 4n < 20.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 4x − 4 = 0.

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale strict pozitive ecuatia log9 x = 1.

e) Sa se calculeze expresia E = C27 − C2

7 .

2. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) =1

x2 + 3·



f(x)− f(1)

x− 1·

c) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul (0,∞).

d) Sa se calculeze

∫ 2

1

f ′(x) dx.


2n+ 3

3n+ 2·

SUBIECTUL IIISe considera polinoamele f = X2 + 5X + 7 si g = X2 + 5X + 6.

a) Sa se determine radacinile complexe ale polinomului f .

b) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale inecuatia x2 + 5x+ 6 < 0.

c) Sa se verifice identitatea1

g(n)=

1

n+ 2− 1

n+ 3, (∀) n ∈ N∗.

d) Sa se calculeze suma1

g(1)+

1

g(2)+ . . .+

1

g(2006)·

e) Sa se verifice ca f =

(

X +5

2

)2

+

(√3

2

)2

.

f) Sa se arate ca pentru orice doua polinoame s, t ∈ R[X], avem relatia g 6= s2 + t2.

g) Sa se gaseasca doua polinoame u, v ∈ C[X], astfel ıncat sa avem g = u2 + v2.

7

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = ex.


b) Sa se verifice ca f(x) > 0, (∀) x ∈ R si f ′(x) > 0, (∀) x ∈ R.

c) Sa se determine ecuatia asimptotei catre −∞ la graficul functiei f .

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

e) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.

f) Sa se rezolve ın R ecuatia f(x) + f(x+ 1) = 1 + e.

g) Sa se arate ca exista doua functii g : R → R si h : R → R, strict crescatoare, astfel ıncat f(x) = g(x)− h(x), (∀)x ∈ R.

8

M3

Filiera vocationala, profilul pedagogic, specializarea ınvatator-educatoare.

SUBIECTUL I

a) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia x2 + 7x− 8 = 0.

b) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale inecuatia x2 + 7x− 8 < 0.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale si strict pozitive ecuatia log3 x = 3.

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 5x = 125.

e) Daca1

11= 0, a1a2 . . . an . . ., sa se calculeze a2006.

f) Sa se determine cel mai mare numar real a pentru care functia f : R → R, f(x) = x2 − 6x + 1 este strictdescrescatoare pe intervalul (−∞, a].

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine toate numerele n ∈ N∗, care verifica relatia n! ≤ 100.

b) Sa se scrie toate elementele din multimea {10, 11, 12, . . . , 35} care se divid cu 5.

c) Daca A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {6, 7, 8}, sa se determine multimea A ∪ (B ∩ C).

d) Sa se calculeze produsul primelor 10 zecimale ale numarului√170.

e) Sa se scrie toate elementele din sirul C04 , C

14 , C

24 , C

34 , C

44 care se divid cu 3.

2. Se considera triunghiurile asemenea ABC si DEF astfel ıncatAB

DE=

AC

DF=

BC

EF=

√3.

a) Sa se calculeze raportul dintre perimetrul triunghiului ABC si perimetrul triunghiului DEF .

b) Sa se calculeze aria triunghiului DEF , stiind ca aria triunghiului ABC este egala cu 10.

c) Daca ınaltimea din A a triunghiului ABC are lungimea 7, sa se calculeze lungimea ınaltimii din D atriunghiului DEF .

d) Daca masura unghiului A al triunghiului ABC este 50◦, sa se calculeze masura unghiului D al triunghiuluiDEF .

e) Daca lungimea laturii AC este 10, sa se calculeze lungimea laturii DF .

SUBIECTUL IIIIntr-un plan se considera un triunghi ABC si L un punct pe segmentul (BC). Inaltimea din varful A al triunghiului

ABC cade ın K ∈ (BL). Se mai considera patrulaterul convex MNPQ, iar R si S sunt mijloacele diagonalelor MPsi NQ.

a) Sa se arate ca AL2 = AK2 +KL2.

b) Sa se arate ca AL2 = AB2 +BL2 − 2BK ·BL.

c) Sa se arate ca AC2 = AB2 +BC2 − 2BK ·BC.

d) Utilizand relatiile de la punctele b) si c) , sa se arate ca AL2 ·BC = AB2 · LC +AC2 · LB −BL · CL ·BC.

e) Sa se arate ca, daca D este mijlocul laturii BC, atunci 4AD2 = 2(AB2 +AC2)−BC2.

f) Sa se arate ca 4SR2 = 2MS2 + 2SP 2 −MP 2.

g) Utilizand relatia de la punctul e) ın triunghiurile MNQ si PNQ si relatia de la punctul f) , sa se arate ca:4SR2 = MN2 +NP 2 + PQ2 +QM2 − (MP 2 +QN2).

9

SUBIECTUL IVSe considera multimea A = {3i, 2 · 3i | i ∈ N}. Pentru fiecare submultime finita si nevida a multimii A, consideram

suma tuturor elementelor sale, iar rezultatele acestor sume vor forma o multime pe care o notam cu B. (De exemplu1 ∈ B, deoarece {1} ⊂ A, iar 7 ∈ B, deoarece {1, 6} ⊂ A).

a) Sa se verifice ca 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A si 6 ∈ A.

b) Sa se verifice ca 4 /∈ A si 7 /∈ A.

c) Sa se arate ca 4 ∈ B si 5 ∈ B.

d) Sa se arate ca, daca n ∈ B, atunci 3n ∈ B.

e) Sa se calculeze numarul de elemente din multimea A ∩ {1, 2, 3, . . . , 20}.

f) Sa se arate ca, daca n ∈ N∗, atunci exista p ∈ N, astfel ıncat 3p ≤ n < 3p+1.

g) Sa se arate ca n ∈ B, (∀) n ∈ N∗.

10

SESIUNEA AUGUST

M1


SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze modulul numarului complex (2 + 3i)2.

b) Sa se calculeze distanta de la punctul C(−1,−1) la dreapta x+ y = 0.

c) Sa se determine ecuatia tangentei la hiperbolax2

5− y2

4= 1, dusa prin punctul P (−5, 4).

d) Sa se determine a > 0, astfel ıncat punctul P (−4,−3) sa se afle pe cercul x2 + y2 = a.

e) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(−3, 3), B(−5, 5) si C(−1,−1).

f) Sa se calculeze produsul (tg 1◦ − tg 7◦) · (tg 2◦ − tg 6◦) · . . . · (tg 7◦ − tg 1◦).

SUBIECTUL II

1. a) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 25x + 4 · 5x − 5 = 0.

b) Sa se calculeze expresia C16 − C2

6 + C46 .

c) Daca functia f : R → R este f(x) = x4 − x, sa se calculeze (f ◦ f)(0).d) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, . . . , 5}, sa se verifice relatia 3n ≥ 8n.

e) Sa se calculeze suma elementelor din grupul (Z18,+).

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = 1 + ln(x2 + 1).


b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f ′(x) dx.



f(x)− f(1)

x− 1·


sinn− cosn

n·

SUBIECTUL III

Se considera matricele E =

(

1 00 0

)

, F =

1

2

1

31

4

1

5

si I2 =

(

1 00 1

)

si multimile H = {X ∈ M2(R) |X2 = X} si

M = {aA+ bB + cC + dD | (∀) a, b, c, d ∈ R; (∀)A,B,C,D ∈ H}.

a) Sa se verifice ca E ∈ H si I2 ∈ H.

b) Sa se gaseasca o matrice P ∈ H, astfel ıncat rang(P ) = 1 si o matrice Q ∈ H, astfel ıncat rang(Q) = 2.

c) Sa se verifice ca, (∀) a, b ∈ R matricele

(

1 a0 0

)

si

(

1 0b 0

)

sunt din multimea H.

d) Sa se arate ca, daca A =

(

a bc d

)

∈ H, atunci a+ d ∈ {0, 1, 2}.

e) Sa se arate ca, daca B ∈ H este o matrice inversabila, atunci B = I2.

f) Sa se arate ca M = M2(R).

11

g) Sa se arate ca matricea F nu se poate scrie ca o suma finita de matrice din multimea H.

SUBIECTUL IVSe considera functiile continue f : [a, b] → R si g : [a, b] → R si functia h : [0, 1] → R, h(x) =

√1− x9, unde a,

b ∈ R, a < b.

a) Sa se arate ca h(x) ≥ 1− x9, (∀) x ∈ [0, 1].

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

h2(x) dx.

c) Sa se verifice ca t2f2(x)− 2tf(x)g(x) + g2(x) ≥ 0, (∀) t ∈ R si (∀) x ∈ [a, b].

d) Integrand inegalitatea de la punctul c) , sa se arate ca t2∫ b

a

f2(x) dx − 2t

∫ b

a

f(x)g(x) dx +

∫ b

a

g2(x) dx ≥ 0,

(∀) t ∈ R.

e) Sa se deduca inegalitatea

(

∫ b

a

f(x)g(x) dx

)2

≤(

∫ b

a

f2(x) dx

)

·(

∫ b

a

g2(x) dx

)

.

f) Utilizand inegalitatea de la punctul e) sa se arate ca, daca u : [0, 1] → R este o functie continua, atunci(∫ 1

0

u(x) dx

)2

≤∫ 1

0

u2(x) dx.

g) Sa se arate ca aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei h, axa Ox si dreptele x = 0 si x = 1, este unnumar real din intervalul (0, 90; 0, 95).

12

M1


SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze modulul numarului complex −7 + 3i.

b) Sa se calculeze lungimea segmentului cu capetele ın punctele A(2, 1) si C(1, 2).

c) Sa se calculeze suma S = 1 + z3 + z6 + z9, unde z = −i ∈ C.

d) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat punctele A(2, 1) si C(1, 2) sa fie pe dreapta de ecuatie x+ ay + b = 0.

e) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(2, 1), B(1, 1) si C(1, 2).

f) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe2 + 5i

5− 2i= a+ bi.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se calculeze elementul 32006 ın (Z6, ·).b) Sa se calculeze expresia E = C3

9 − C69 + C9

9 .

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale strict pozitive ecuatia log4 x = −1.

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 8x − 2 = 0.

e) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia 2n ≤ 22.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = 4x3 + 2x+ 1.


b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


f(x)− f(0)

x·

d) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.


3n+ 3

2n− 3·

SUBIECTUL IIISe considera M multimea matricelor cu doua linii si doua coloane si toate elementele numere naturale si matricele

E =

(

1 02 1

)

si I2 =

(

1 00 1

)

.

a) Sa se verifice ca E ∈ M si ca I2 ∈ M .

b) Sa se arate ca, daca A, B ∈ M , atunci A+B ∈ M .

c) Sa se arate ca, daca A, B ∈ M , atunci A ·B ∈ M .

d) Sa se gaseasca o matrice C ∈ M , astfel ıncat rang(C) = 1.

e) Sa se gaseasca o matrice D ∈ M , astfel ıncat det(D) = 2006.

f) Sa se arate ca matricea E este inversabila si E−1 /∈ M .

g) Sa se determine toate matricele X ∈ M , inversabile, cu proprietatea ca X−1 ∈ M .

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = ex

2

.


13

b) Sa se arate ca, daca x ∈ [1, e], atunci (x− 1)

(

1

x− 1

e

)

≥ 0.

c) Utilizand inegalitatea de la punctul b) , sa se arate ca, daca x ∈ [1, e], atunci1

x+

x

e≤ 1 + e

e·

d) Sa se verifice ca1

f(x)+

f(x)

e≤ 1 + e

e, (∀) x ∈ [0, 1].

e) Sa se arate ca, daca u, v ∈ R, atunci (u+ v)2 ≥ 4uv.

f) Integrand inegalitatea de la punctul d) , sa se arate ca

∫ 1

0

1

f(x)dx+

1

e

∫ 1

0

f(x) dx ≤ 1 + e

e·

g) Utilizand inegalitatea de la punctul e) , sa se arate ca

(∫ 1

0

ex2

dx

)

·(∫ 1

0

e−x2

dx

)

≤ (e+ 1)2

4e·

14

M2

Filiera tehnologica: profil: Servicii, toate specializarile, profil Resurse naturale si protectia mediului, toatespecializarile

SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze distanta de la punctul A(5,−2) la punctul B(−2, 5).

b) Sa se calculeze cos2 211 + sin2 211.

c) Sa se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime√6.

d) Sa se calculeze conjugatul numarului complex −4 + 3i.

e) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat punctele A(5,−2) si B(−2, 5) sa fie pe dreapta de ecuatie x+ ay + b = 0.

f) Daca ın triunghiul ABC, AB = 4, AC = 6 si m(∢BAC) =π

2, sa se calculeze BC.

SUBIECTUL II


∣

∣

∣

∣

7 16 0

∣

∣

∣

∣

.

b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia 3n < 32.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 4x + 1 = 0.

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale strict pozitive ecuatia log8 x = −2.

e) Sa se calculeze expresia E = C15 − C4

5 + C55 .

2. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = 4 +1

x3·



f(x)− f(1)

x− 1·

c) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare pe intervalul (0,∞).

d) Sa se calculeze

∫ 2

1

f(x) dx.


n+ 3

3n+ 2·

SUBIECTUL IIISe considera numarul real ω = 2−

√5 si multimea M = {a+ bω | a, b ∈ Z}. Notam ω = 2 +

√5 si cu

G = {z ∈ M | (∃)y ∈ M astfel ıncat y · z = 1}.

a) Sa se verifice ca 0 ∈ M si 1 ∈ M .

b) Sa se verifice ca ω2 = 4ω + 1.

c) Sa se arate ca, daca z, y ∈ M , atunci z + y ∈ M si z · y ∈ M .

d) Sa se arate ca (a+ bω)(a+ bω) ∈ Z.

e) Sa se arate ca ω ∈ G.


g) Sa se arate ca ω2006 /∈ Q.

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = 5 + 4x.

15


b) Sa se verifice ca f(x) > 0, (∀) x ∈ R si f ′(x) > 0, (∀) x ∈ R.

c) Sa se determine ecuatia asimptotei catre −∞ la graficul functiei f .

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

e) Sa se arate ca t2 + t+ 1 > 0, (∀) t ∈ R si t2 − t+ 1 > 0, (∀) t ∈ R.

f) Sa se verifice identitatea f ′(x) =1

2

(

(f ′(x))2 + f ′(x) + 1)

− 1

2

(

(f ′(x))2 − f ′(x) + 1)

, (∀) x ∈ R.

g) Sa se arate ca exista doua functii g : R → R si h : R → R strict crescatoare, astfel ıncat f(x) = g(x)− h(x), (∀)x ∈ R.

16

M3


SUBIECTUL I

a) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia x2 + 16x− 17 = 0.

b) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale inecuatia x2 + 16x− 17 < 0.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale si strict pozitive ecuatia log7 x = 2.

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 32x = 16.

e) Daca1

37= 0, a1a2 . . . an . . ., sa se calculeze a2006.

f) Sa se determine cel mai mare numar real a pentru care functia f : R → R, f(x) = −x2 − 4x + 1 este strictcrescatoare pe intervalul (−∞, a].

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine toate numerele n ∈ N∗, care verifica relatia n3 ≤ 1000.

b) Sa se scrie toate elementele din multimea {10, 11, 12, . . . , 95} care se divid cu 13.

c) Daca A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}. Sa se determine multimea A ∪B.

d) Sa se calculeze produsul primelor 4 zecimale ale numarului√290.

e) Sa se scrie toate elementele din sirul C04 , C

14 , C

24 , C

34 , C

44 care sunt numere impare.

2. a) Sa se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral cu aria de 2√3.

b) Sa se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de√10.

c) Sa se calculeze ınaltimea unui triunghi echilateral cu latura de 7.

d) Sa se calculeze perimetrul unui triunghi dreptunghic isoscel cu aria de 1.

e) Sa se calculeze aria unui patrat cu perimetrul de 16.

SUBIECTUL IIISe considera triunghiul ABC si punctele D ∈ (BC), E ∈ (AC) si F ∈ (AB). Notam {M} = BE ∩ AD,

{N} = BE ∩ CF si {P} = CF ∩ AD. Punctul P este pe segmentul (AM), iar punctul M este pe segmentul (BN).Daca XY Z este un triunghi, notam cu SXY Z aria sa. Sa se arate ca:

a) SABC = SABM + SBCN + SCAP + SMNP .

b) daca SABC = SABD + SBCE + SCAF , atunci SMNP = SFAP + SBDM + SCEN .

c) daca SMNP = SFAP + SBDM + SCEN , atunci SABC = SABD + SBCE + SCAF .

d)SBAD

SABC

=BD

BC·

e) daca SMNP = SFAP + SBDM + SCEN , atunciBD

BC+

CE

AC+

AF

AB= 1.

f) dacaBD

BC+

CE

AC+

AF

AB= 1, atunci SMNP = SFAP + SBDM + SCEN .

g) daca triunghiul ABC este echilateral si SMNP = SFAP + SBDM + SCEN , atunci BD + CE = BF .

SUBIECTUL IVSe considera multimea A = {

√1,√2,√3, . . . ,

√10}.

a) Sa se calculeze numarul de elemente din multimea A ∩ {1, 2, 3, . . . , 10}.

b) Sa se calculeze numarul de elemente din multimea {(a, b) | a ∈ A, b ∈ A}.

17

c) Sa se determine cea mai mare valoare a raportuluia

b, unde a, b ∈ A.

d) Sa se determine cea mai mare valoare a produsului a · b, unde a, b ∈ A.

e) Sa se determine cate elemente de formaa

b, unde a, b ∈ A sunt numere rationale.

f) Sa se arate ca produsul tuturor elementelor multimii A este un numar irational.

g) Sa se determine numarul de submultimi ale multimii A care au numai elemente naturale.

18

BACALAUREAT 2007SESIUNEA IULIE

M1-1


SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze modulul vectorului ~v = 3~i− 4~j.

b) Sa se calculeze distanta de la punctul E(−1; 1) la dreapta x− y + 1 = 0.

c) Sa se scrie ecuatia cercului cu centrul ın E(−1; 1) care este tangent la dreapta x− y + 1 = 0.

d) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele L(1, 2), M(2, 4) si N(3, 8).

e) Sa se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC cu AB = 2, AC = 3 si m(∢BAC) = 60◦.

f) Sa se determine a, b, c ∈ R, astfel ıncat punctele A(1, 2, 3), B(3, 1, 2) si C(2, 3, 1) sa apartina planului x+ ay +bz + c = 0.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se calculeze a7, daca1

7= 0, a1a2 . . . an . . ..

b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z3 sa verifice relatia x2007 = 1.

c) Sa se calculeze suma C05 + C1

5 + · · ·+ C55 .

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 3x + 9x = 12.

e) Sa se calculeze suma termenilor rationali ai dezvoltarii binomului (2 +√3)3.

2. Se considera functia f : (0,∞) → (0,∞), f(x) = ln(x+ 1) lnx.



(f(1) + f(2) + . . .+ f(n)).

c) Sa se arate ca functia f este convexa pe intervalul (0,∞).

d) Sa se arate ca functia f este bijectiva.

e) Sa se calculeze

∫ 1

0

ln(x+ 1) dx.

SUBIECTUL IIISe considera polinomul f = X3 + aX + b, unde a, b ∈ R, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Notam Sk = xk

1 + xk2 + xk

3 ,

(∀) k ∈ N∗, S0 = 3, A =

1 1 1x1 x2 x3

x21 x2

2 x23

si ∆ = det(A ·AT ), unde prin AT am notat transpusa matricei A. Se stie ca

det(X · Y ) = det X · det Y , (∀) X, Y ∈ M3(C).

a) Sa se verifice ca S1 = 0 si S2 = −2a.

b) Sa se arate ca Sn+3 + aSn+1 + bSn = 0, (∀) n ∈ N.

c) Sa se calculeze S3 si S4 numai ın functie de a si b.

d) Sa se verifice ca A ·AT =

S0 S1 S2

S1 S2 S3

S2 S3 S4

.

e) Sa se calculeze ∆ ın functie de a si b.

1

f) Sa se arate ca daca x1, x2, x3 ∈ R, atunci ∆ ≥ 0.

g) Sa se arate ca daca ∆ ≥ 0, atunci x1, x2, x3 ∈ R.

SUBIECTUL IV

Se considera integralele In =

∫ 2π

0

cosx cos 2x . . . cosnx dx, (∀) n ∈ N∗. Se admite cunoscuta formula 2 cos a cos b =

cos(a+ b) + cos(a− b), (∀) a, b ∈ R.

a) Sa se calculeze

∫ 2π

0

cos kx dx, (∀) k ∈ N∗.

b) Sa se calculeze integrala I2.

c) Sa se arate ca daca n ∈ {5, 6}, atunci ±1± 2± . . .± n 6= 0, pentru orice alegere a semnelor.

d) Sa se arate ca exista o alegere a semnelor astfel ıncat ±1± 2± . . .± n = 0, daca si numai daca n ∈ N∗ este un

numar de forma 4k sau 4k + 3.

e) Sa se arate ca In 6= 0 daca si numai daca n este un numar de forma 4k sau 4k + 3.


Inn·

g) Pentru n ∈ N∗ notam cu An = {k ∈ {1, 2, . . . , n} | Ik 6= 0} si cu an numarul de elemente ale lui An. Sa se

calculeze limn→∞

ann·

2

M1-2


SUBIECTUL IIn sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(2, 1), B(6, 4) si C(5,−3).

a) Sa se calculeze lungimile segmentelor [AB] si [AC].

b) Sa se calculeze−−→AB · −→AC.

c) Sa se calculeze m(∢A).

d) Sa se determine coordonatele simetricului punctului C fata de punctul B.

e) Folosind eventual egalitatea sin(α− β) = sinα · cosβ − sinβ · cosα, sa se calculeze sin 15◦.

f) Sa se calculeze modulul numarului complex z =3− 4i

−4 + 3i·

SUBIECTUL II

1. a) Sa se arate ca numarul lg 1000 este natural.

b) Sirul a1, a2, 12, 17, a5, a6, . . . este o progresie aritmetica. Sa se determine termenul a1.

c) Sa se demonstreze ca x4 + x2 + 1 = (x2 − x+ 1)(x2 + x+ 1), pentru orice x ∈ R.

d) Sa se determine coeficientul lui x3 din dezvoltarea (2 + x)4.

e) Sa se determine restul ımpartirii polinomului f = X4 +X2 + 1 la polinomul g = X2 −X + 1.

2. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = x+1

x·

a) Sa se calculeze f ′(x) +1

x2, pentru x > 0.


f(x)− f(1)

x− 1·

c) Sa se calculeze

∫ 2

1

f ′′(x) dx.

d) Sa se determine α ∈ R astfel ıncat punctul A(2, α) sa apartina graficului functiei f .

e) Sa se arate ca f(x) = f

(1

x

)

, (∀) x > 0.

SUBIECTUL III


(1 1

0 2

)

, B =

(1 0

1 2

)

, I2 =

(1 0

0 1

)

si multimea G = {X ∈

M2(Z3) |X2 = I2}.a) Sa se verifice ca I2 ∈ G.


c) Sa se arate ca AB 6= BA.

d) Sa se gaseasca o matrice X ∈ M2(Z3) astfel ıncat A ·X = I2.

e) Sa se arate ca AB /∈ G.

f) Sa se determine cel mai mic numar natural nenul n, cu proprietatea ca (AB)n = I2.

g) Sa se arate ca multimea G are cel putin 6 elemente.

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R\{−1} → R, f(x) =1

1 + x·

3

a) Sa se determine asimptota verticala la graficul functiei f .

b) Sa se determine asimptota spre +∞ la graficul functiei f .

c) Sa se arate ca f(x)− 1 + x− x2 ≤ 0, (∀) x ≥ 0.

d) Sa se arate ca f(x)− 1 + x− x2 + x3 ≥ 0, (∀) x ≥ 0.

e) Sa se deduca inegalitatile 1− x+ x2 − x3 ≤ 1

1 + x≤ 1− x+ x2, (∀) x ≥ 0.

f) Sa se arate ca 1− x9 + x18 − x27 ≤ 1

1 + x9≤ 1− x9 + x18, (∀) x ≥ 0.

g) Sa se arate ca aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functiei g : [0,∞) → R, g(x) =1

1 + x9, axa Ox si

dreptele x = 0 si x = 1, este un numar real cuprins ın intervalul (0, 91; 0, 96).

4

M2

Filiera tehnologica: profil: Servicii, toate specializarile, profil Resurse naturale si protectia mediului, toatespecializarileFiliera teoretica: profil Uman, specializarea stiinte sociale; Filiera vocationala: profil Militar, specializarea stiintesociale

SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze distanta de la punctul A(3, 4) la punctul B(5, 6).

b) Sa se calculeze cos2 a+ sin2 a, a ∈ R.

c) Sa se calculeze aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime√3.

d) Sa se calculeze conjugatul numarului complex 2− 5i.

e) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat punctele A(3, 4) si B(5, 6) sa fie pe dreapta de ecuatie x+ ay + b = 0.

f) Daca ın triunghiul ABC, AB = 1, AC = 2 si m(∢BAC) = 90◦, sa se calculeze lungimea laturii BC.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se calculeze cate functii f : {a, b} → {1, 2, 3} au proprietatea f(a) 6= f(b).

b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n din multimea {1, 2, 3, 4, 5} sa verifice relatia n2 ≥ n!.

c) Sa se rezolve, ın multimea numerelor reale, ecuatia 4x − 32 = 0.

d) Sa se calculeze 5 + 15 + 25 + 35 + . . .+ 95.

e) Daca functiile f : R → R si g : R → R sunt f(x) = x10 − 1 si g(x) = x15 + 1, sa se calculeze (g ◦ f)(0).

2. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = ln(x+ x2).



f(x)− f(1)

x− 1·

c) Sa se arate ca functia f este crescatoare pe (0,∞).

d) Sa se calculeze

∫ 2

1

f ′(x) dx.


4xf ′(x).

SUBIECTUL III

Pentru matricea M ∈ M2(R), M =

(a bc d

)

, notam tr(M) = a+ d.

a) Sa se calculeze tr(A), unde A =

(1 23 4

)

.

b) Sa se arate ca, daca B = C ∈ M2(R), atunci tr(B) = tr(C).

c) Sa se gaseasca doua matrice P , Q ∈ M2(R), diferite, pentru care tr(P ) = tr(Q).

d) Sa se arate ca, daca U , V ∈ M2(R) si tr(U) = tr(V ) si tr(U2) = tr(V 2), atunci det(U) = det(V ).

e) Sa se arate ca tr(aD + bE) = a · tr(D) + b · tr(E), (∀) a, b ∈ R, (∀) D, E ∈ M2(R).

f) Sa se arate ca tr(F ·G) = tr(G · F ), (∀) F , G ∈ M2(R).

g) Sa se arate ca, daca L, N ∈ M2(R) si tr(L ·X) = tr(N ·X), (∀) X ∈ M2(R), atunci L = N .

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : [0,∞) → R, f(x) =x

x+ 1+

x+ 1

x+ 2+

x+ 4

x+ 5·

5

a) Sa se calculeze f ′(x), x ≥ 0.

b) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul [0,∞).

c) Sa se arate ca13

10≤ f(x) < 3, (∀) x ∈ [0,∞).

d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

e) Sa se determine ecuatia asimptotei catre +∞, la graficul functiei f .


∫ x

0

f(t) dt.

g) Sa se rezolve, ın intervalul [0,∞), ecuatia f(x) = 2.

6

M3


SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze log2 30− log2 15.

b) Sa se determine solutia reala a ecuatiei 4x+1 = 8.

c) Sa se calculeze C03 + C1

3 + C23 + C3

3 .

d) Sa se determine patratele perfecte din multimea {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

e) Sa se calculeze media aritmetica a numerelor 3, 7, 11.

f) Sa se determine restul ımpartirii numarului 37 la 7.

SUBIECTUL II

1. Se considera ecuatia x2 − 5x+ 6 = 0.

a) Sa se calculeze discriminantul ecuatiei.

b) Sa se rezolve ecuatia.

c) Sa se calculeze suma solutiilor ecuatiei.

d) Sa se calculeze produsul solutiilor ecuatiei.

e) Sa se rezolve inecuatia x2 − 5x+ 6 ≤ 0.

2. Se considera triunghiul ABC cu lungimile laturilor AB = 15, BC = 17 iar AC = 8.

a) Sa se arate ca AB2 +AC2 −BC2 = 0.

b) Sa se determine masura unghiului ∢BAC.

c) Sa se determine aria triunghiului ABC.

d) Sa se determine lungimea segmentului MN , unde M este mijlocul segmentului AB, iar N este mijloculsegmentului BC.

e) Sa se determine perimetrul triunghiului cu varfurile ın mijloacele laturilor triunghiului ABC.

SUBIECTUL IIISe considera o dreapta d si doua puncte A si B situate de aceeasi parte a dreptei d. Notam cu C simetricul

punctului A fata de dreapta d si cu D intersectia dintre segmentul (BC) si dreapta d.

a) Sa se arate ca AD = CD.

b) Sa se verifice ca AD +DB = BC.

c) Sa se arate ca AB < BC.

d) Sa se arate ca perpendiculara ın D pe dreapta d este bisectoarea unghiului ∢ADB.

e) Sa se arate ca, daca punctul E apartine dreptei d, atunci AE = EC.

f) Sa se arate ca AM +MB ≥ AD +DB, pentru orice punct M de pe dreapta d.

g) Sa se arate ca, daca N ∈ d si AN +NB = AD +DB, atunci N = D.

SUBIECTUL IVSe considera multimea A = {x2 + y2 |x, y ∈ Z}.

a) Sa se verifice ca {0, 1, 2, 4} ⊂ A.

b) Sa se verifice identitatea (x2 + y2)(a2 + b2) = (xa− yb)2 + (ay + bx)2, (∀) a, b, x, y ∈ R.

7

c) Sa se arate ca, daca z, w ∈ A, atunci z · w ∈ A.

d) Sa se arate ca 3 /∈ A.

e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca 13n ∈ A, (∀) n ∈ N∗.

f) Sa se demonstreze ca multimea A\{13n |n ∈ N∗} 6= ∅.

g) Sa se calculeze suma elementelor din multimea A ∩ {1, 2, . . . , 10}.

8

SESIUNEA AUGUST

M1-1


SUBIECTUL I

a) Sa se calculeze modulul numarului complex cos 2 + i sin 2.

b) Sa se calculeze distanta de la punctul D(1, 2) la punctul C(0, 1).

c) Sa se calculeze coordonatele punctului de intersectie dintre cercul x2 + y2 = 25 si dreapta 3x+ 4y − 25 = 0.

d) Sa se arate ca punctele L(4, 1), M(6, 3) si N(7, 4) sunt coliniare.

e) Sa se calculeze volumul tetraedrului cu varfurile ın punctele A(0, 0, 2), B(0, 2, 4), C(2, 4, 0) si D(1, 2, 3).

f) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe (−1 + i√3)4 = a+ bi.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se verifice identitatea (x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 2(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx), (∀) x, y, z ∈ R.

b) Sa se arate ca, daca x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx, unde x, y, z ∈ R, atunci x = y = z.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 4x + 9x + 49x = 6x + 14x + 21x.

d) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z6 sa verifice relatia x3 = x.

e) Sa se calculeze suma radacinilor polinomului f = X4 −X3 −X2 + 1.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = x · sinx.


b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

c) Sa se arate ca functia f este monoton crescatoare pe intervalul[

0,π

2

]

.


f(x)− f(0)

x·

e) Sa se calculeze limx→0

f(x)

x2·

SUBIECTUL III

Pentru fiecare matrice A =

(a bc d

)

∈ M2(R) notam cu S(A) suma elementelor sale, cu AT =

(a cb d

)

transpusa

ei si cu det A determinantul matricei A. Sa se arate ca:

a) S(AT ) = S(A) = a+ b+ c+ d.

b) S(x · P + y ·Q) = x · S(P ) + y · S(Q), (∀) P , Q ∈ M2(R), (∀) x, y ∈ R.

c) S(A ·AT ) = (a+ c)2 + (b+ d)2.

d) daca S(A ·AT ) = 0, atunci det A = 0.

e) (∀) x ∈ R, (∀) P , Q ∈ M2(R),

S((P + x ·Q) · (PT + x ·QT )

)= S(P · PT ) + x

(S(P ·QT ) + S(Q · PT )

)+ x2 · S(Q ·QT ).

f) daca P , Q ∈ M2(R) si det Q 6= 0, atunci functia f : R → R, f(x) = S((P + x ·Q)(PT + x ·QT )

)are gradul

egal cu 2.

g) S(P · PT ) · S(Q ·QT ) ≥ S(P ·QT ) · S(Q · PT ), (∀) P , Q ∈ M2(R).

9

SUBIECTUL IVPentru n ∈ N se considera functiile fn : (0,∞) → R definite prin fn(x) = xn + lnx.

a) Sa se calculeze f ′n(x), x > 0.

b) Sa se arate ca functia fn este monoton crescatoare, (∀) n ∈ N.


fn(x) si limx→∞

fn(x).

d) Sa se arate ca functia fn este bijectiva, (∀) n ∈ N.

e) Sa se arate ca (∀) n ∈ N, ecuatia fn(x) = 0 are o unica solutie xn ∈ (0, 1).

f) Sa se arate ca sirul (xn)n≥0este crescator.


xn = 1.

10

M1-2


SUBIECTUL I

a) Sa se determine a ∈ R daca punctul A(1,−2) apartine cercului de ecuatie x2 + y2 − a = 0.

b) Sa se scrie ecuatia unei drepte perpendiculare pe dreapta de ecuatie x = 4.

c) Sa se calculeze cosπ

4+ cos

3π

4·

d) Sa se calculeze modulul numarului complex z =√2− i

√2.

e) Sa se calculeze lungimea laturii [AC] a triunghiului ABC ın care BC = 2, AB = 4 si m(∢B) = 30◦.

f) Sa se calculeze aria triunghiului ABC ın care BC = 2, AB = 4 si m(∢B) = 30◦.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine simetricul elementului 3 ın grupul (Z8,+).

b) Sa se determine x ∈ (0,∞) pentru care log3 2 + log3 x = 1.

c) Sa se determine x ∈ R pentru care 9x = 27.

d) Sa se calculeze cate numere de 4 cifre ıncep si se termina cu o cifra numar par.

e) Sa se calculeze ın cate moduri se pot alege doua persoane dintr-un grup format din 6 persoane.

2. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = lnx.

a) Sa se calculeze f ′(1).

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul de abscisa x0 = 1.


[f(n+ 1)− f(n)].


f(x)

x·

e) Sa se calculeze

∫ e

1

f(x)

xdx.

SUBIECTUL IIISe considera multimea T a matricelor cu 3 linii si 3 coloane si care au toate elementele ın multimea U = {0, 1, 2},

precum si multimea V =

A(x) =

1 1 10 x 10 0 x

∣∣∣∣∣∣

x ∈ U

⊂ T .

a) Sa se calculeze determinantul matricei A(1) ∈ V si sa se determine rangul acesteia.

b) Sa se studieze daca exista x, y ∈ U pentru care A(x) ·A(y) ∈ V .

c) Daca B = A(1) ∈ V , sa se calculeze B2 si B3.

d) Sa se arate ca pentru B = A(1) ∈ V avem Bn =

1 nn(n+ 1)

20 1 n0 0 1

, (∀) n ∈ N

∗.

e) Sa se arate ca exista A, B ∈ V astfel ıncat det(A ·B) = det(B ·A) ∈ U .

f) Sa se arate ca daca C ∈ T si C are 8 elemente egale, atunci det C = 0.

g) Sa se arate ca exista M ∈ T cu det M 6= 0 si pentru care M are 7 elemente egale.

11

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R∗ → R, f(x) =x3 − 3x2 + 4

x2·

a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞).

b) Sa se determine punctul de extrem local al functiei f .

c) Sa se determine ecuatia asimptotei verticale la graficul functiei f .

d) Sa se arate ca functia f este convexa pe fiecare dintre intervalele (−∞, 0) si (0,∞).

e) Sa se determine numarul solutiilor reale ale ecuatiei f(x) = 3.


(f(x)− x).

g) Sa se arate ca

∫ 2

1

f(x) dx > 0.

12

M2

Filiera tehnologica: profil: Servicii, toate specializarile, profil Resurse naturale si protectia mediului, toatespecializarileFiliera teoretica: profil Uman, specializarea stiinte sociale; Filiera vocationala: profil Militar, specializarea stiintesociale

SUBIECTUL I

a) Sa se determine aria unui patrat cu perimetrul egal cu 8.

b) Sa se determine lungimea ınaltimii unui triunghi echilateral avand latura de lungime 4.

c) Se considera triunghiul ABC cu m(∢A) = 90◦, AB = 6 si AC = 10. Sa se calculeze tg B.

d) Sa se determine numarul real a, astfel ıncat punctul A(2, a) sa apartina dreptei de ecuatie x+ y + 1 = 0.

e) Sa se scrie coordonatele mijlocului segmentului determinat de punctele A(1, 2) si B(3.4).

f) Daca sinx =3

4, x ∈

(

0,π

2

)

, sa se calculeze cosx.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine x, y ∈ R, astfel ıncat

{

x+ y = 3

2x− 3y = −4.

b) Sa se determine cel mai mare element al multimii A = {10√3,√299, 12

√2}.

c) Sa se calculeze S = log2 8 + log2 2−1.

d) Sa se determine x ∈ R, astfel ıncat 2X + 2x+1 = 3.

e) Sa se calculeze numarul complex1

i+

1

i2+

1

i3+

1

i4·

2. Se considera functia f : R → R, f(x) =1

x2 + 1·


b) Sa se arate ca dreapta de ecuatie y = 0 este asimptota orizontala catre −∞ la graficul functiei f .


d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


x2f(x).

SUBIECTUL IIIPentru n ∈ N

∗, se considera functiile f : R → R si fn : R → R, f(x) = x− 2007, fn(x) = (f ◦ f ◦ . . . ◦ f︸︷︷︸

de n ori f

)(x).


b) Sa se rezolve ecuatia f(x+ 1)− f((x+ 1)2) = −2, x ∈ R.

c) Sa se calculeze f(1) · f(2) · . . . · f(3000).

d) Sa se calculeze f2(x), x ∈ R.

e) Sa se arate ca fn(x) = x− n · 2007, pentru n ∈ N∗ si x ∈ R.

f) Sa se determine functia g : R → R, astfel ıncat f(g(x)) = f3(x), (∀) x ∈ R.

g) Sa se demonstreze ca f(13) + f(23) + . . .+ f(n3) =n2(n+ 1)2

4− 2007n, (∀) n ∈ N

∗.

13

SUBIECTUL IV

Se considera functia f : R → R, f(x) =3

(x2 + 4)(x2 + 1)·

a) Sa se demonstreze ca f(x) =1

x2 + 1− 1

x2 + 4, (∀) x ∈ R.

b) Sa se calculeze f ′(x), pentru x ∈ R.

c) Sa se arate ca functia f este descrescatoare pe [0,∞).

d) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale la graficul functiei f catre +∞.

e) Sa se arate ca f(x) ≤ 3

4, (∀) x ∈ R.

f) Sa se calculeze

∫ 4

3

f ′(x) dx.


(

f(√5) + f(

√8) + f(

√11) + . . .+ f(

√3n+ 2)

)

.

14

M3


SUBIECTUL I

a) Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiei 3x2 − 12x+ 9 = 0.

b) Sa se determine multimea valorilor lui x care verifica x2 + 5x− 6 ≤ 0.

c) Sa se rezolve ecuatia 9x − 4 · 3x + 3 = 0.

d) Sa se determine valoarea lui x pentru care functia f : R → R, f(x) = x2 − 4x+ 9 ia valoarea minima.

e) Sa se arate ca x2 + 4x+ 5 ≥ 0, (∀) x ∈ R.

f) Sa se calculeze log 1

3

2− log 1

3

18 + log 1

3

3.

SUBIECTUL II

1. a) Sa se determine numarul submultimilor de trei elemente impare ale multimii A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.b) Sa se calculeze cate numere de sase cifre distincte se pot forma cu elementele multimii A.

c) Sa se calculeze C06 + C1

6 + . . .+ C66 .

d) Sa se calculeze cate numere de trei cifre distincte scrise cu elemente din A sunt divizibile cu 5.

e) Sa se calculeze A36.

2. a) Sa se calculeze perimetrul patratului de arie 25.

b) Sa se calculeze aria unui romb cu diagonalele de 3 si respectiv de 3√3.

c) Sa se calculeze aria unui triunghi echilateral cu ınaltimea 6√3.

d) Sa se calculeze lungimea diagonalei unui cub cu volumul de 27.

e) Sa se calculeze aria unui triunghi dreptunghic isoscel cu ipotenuza de√2.

SUBIECTUL IIIFie dreptele paralele d1 si d2. Alte doua drepte paralele d3 si d4, care formeaza cu d1 unghiuri de 30◦, intersecteaza

dreptele d1 ın A si B,iar d2 ın C si D astfel ıncat punctele B si D sa fie ın semiplane diferite determinate de dreaptaAC.

a) Sa se arate ca ABCD este paralelogram.

b) Daca notam cu O intersectia diagonalelor paralelogramului ABCD, sa se arate ca triunghiurile AOB si CODsunt congruente.

c) Sa se arate ca triunghiurile AOB si AOD au aceeasi arie.

d) Sa se calculeze cat la suta din aria paralelogramului ABCD reprezinta aria triunghiului DOC.

e) Sa se calculeze masurile unghiurilor paralelogramului ABCD.

f) Daca distanta dintre dreptele d1 si d2 este 4, sa se calculeze lungimea lui AD

g) Daca DC = 8, sa se calculeze aria lui ABCD.

SUBIECTUL IVSe considera functia f : R → R, f(x) = 3x+ 2.

a) Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie a graficului functiei cu axele de coordonate.

b) Sa se calculeze aria triunghiului format de graficul functiei cu axele de coordonate.

c) Sa se calculezef(3)− f(2)

3− 2·

d) Sa se calculeze f(0)− f(1) + f(2).

e) Sa se rezolve ecuatia |f(x)| = 3.

f) Sa se determine valorile lui x pentru care f(x) ≥ 0.

g) Sa se determine pentru ce valori ale lui m functia g : R → R, g(x) = f(x)−mx este crescatoare.

15


MT1

Filiera teoretica, profilul real, specializarea matematica - informatica.Filiera vocationala, profilul militar, specializarea matematica - informatica.

SUBIECTUL I

1. Fie fractia zecimala periodica 0, (769230) = 0, a1a2a3 . . .. Sa se calculeze a1 + a2 + a3 + . . .+ a2008.

2. Sa se arate ca dreapta de ecuatie y = 2x− 1 nu intersecteaza parabola de ecuatie y = x2 + x+ 1.

3. Sa se rezolve ın R ecuatia log2 x+ log4 x2 = 6.

4. Intr-o clasa sunt 25 de elevi dintre care 13 sunt fete. Sa se determine numarul de moduri ın care se poate alegeun comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete si 2 baieti.

5. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(2,−1) , B(−1, 1) , C(1, 3) si D(a, 4), a ∈ R.Sa se determine a pentru care dreptele AB si CD sunt perpendiculare.

6. Stiind ca α ∈(

π,3π

2

)

si ca sinα = −4

5, sa se calculeze tg

α

2·

SUBIECTUL II

1. Fie matricea A ∈ M2(R). Se noteaza cu Xt transpusa unei matrice patratice X si cu Tr(X) suma elementelorde pe diagonala principala a matricei X.

a) Sa se demonstreze ca Tr(A+At) = 2Tr(A).

b) Sa se demonstreze ca daca Tr(A ·At) = 0, atunci A = O2.

c) Sa se demonstreze ca daca suma elementelor matricei A ·At este egala cu 0, atunci det(A) = 0.


(

1 00 1

)

, A =

(

1 23 −1

)

si multimea K = {aI2 + bA | a, b ∈ Q}.

a) Sa se arate ca A2 ∈ K.

b) Sa se arate ca multimea K este parte stabila ın raport cu ınmultirea matricelor din M2(Q).

c) Sa se arate ca pentru orice X ∈ K, X 6= O2 exista Y ∈ K astfel ıncat X · Y = I2.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1.

a) Sa se arate ca graficul functiei f admite asimptota orizontala spre +∞.

b) Sa se studieze monotonia functiei f .


(

f(1) + f(2) + . . .+ f(n)

n

)n

.

2. Se considera sirul (In)n≥1, In =

∫ 1

0

xn√

1− x2 dx.


b) Sa se arate ca (n+ 2)In = (n− 1)In−2 pentru orice n ∈ N, n ≥ 3.


In.

1

MT2

Filiera teoretica, profilul real, specializarea stiinte ale naturii.Filiera tehnologica: profilul servicii, specializarea toate calificarile profesionale; profilul resurse, specializarea toatecalificarile profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificarile profesionale.

SUBIECTUL I

1. Sa se calculeze

(

3

2

)−1

− 3

√

8

27·

2. Se considera functiile f : R → R, f(x) = 3x + 1 si g : R → R, f(x) = 5 − x. Sa se determine coordonatelepunctului de intersectie a graficelor functiilor f si g.

3. Sa se rezolve ecuatia 31−x = 9.

4. Sa se rezolve ecuatia log5(x+ 2)− log5(2x− 5) = 1.

5. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A(1,−1) si este paralela cu dreapta y = x.

6. Sa se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral care are aria egala cu√3.

SUBIECTUL II

1. In M3(R) se considera matricele A =

0 1 10 0 10 0 0

si B = I3 +A, unde I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

a) Sa se calculeze A ·B.

b) Sa se calculeze A2 +A3, unde A2 = A ·A si A3 = A2 ·A.c) Sa se demonstreze ca daca X ∈ M3(R) si A · X = X · A, atunci exista numerele reale a, b, c astfel ıncat

X =

a b c

0 a b

0 0 a

.

2. Se considera polinomul f = X3 + aX2 + bX + c, cu a, b, c ∈ R avand radacinile x1, x2, x3 ∈ R.

a) Sa se determine numarul real c stiind ca f(1) + f(−1) = 2a+ 1.

b) Stiind ca a = −3, b = 1, c = 1, sa se determine radacinile reale ale polinomului f .

c) Sa se exprime ın functie de numerele reale a, b, c determinantul D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 x2 x3

x2 x3 x1

x3 x1 x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) =x+ 1

ex·

a) Sa se verifice ca f ′(x) = − x

expentru orice x ∈ R.

b) Sa se determine asimptota catre +∞ la graficul functiei f .

c) Sa se arate ca f(x) ≤ 1 pentru orice x ∈ R.

2. Pentru orice n ∈ N∗ se considera functiile fn : [0, 1] → R, fn(x) =1

xn + 4·

a) Sa se calculeze

∫

(x+ 4)2 · f1(x) dx, unde x ∈ [0, 1].

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

xf2(x) dx.

c) Sa se arate ca aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functiei f2008, axa Ox si dreptele x = 0 si x = 1

este un numar din intervalul

[

1

5,1

4

]

.

2

MT3


SUBIECTUL I

1. Sa se determine n ∈ N pentru care√50−

√128 +

√200 =

√n.

2. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat ecuatia x2 + (m− 1)x−m = 0 sa aiba radacini reale egale.

3. Triunghiul ABC are AB = 10, m(∢B) = 60◦ si m(∢C) = 45◦. Sa se calculeze lungimea laturii AC.

4. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctele A(3,−3) si B(1, 2).

5. Sa se determine x ∈ R astfel ıncat numerele x + 2, 3x + 2, 6x + 5 sa fie termeni consecutivi ai unei progresiiaritmetice.

6. Sa se rezolve ın R ecuatia lg2 x+ 5 lg x+ 6 = 0.

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x⊥y =1

2(xy − x− y + 3), (∀) x, y ∈ R.

a) Sa se demonstreze ca x⊥y =1

2(x− 1)(y − 1) + 1, (∀) x, y ∈ R.

b) Sa se verifice ca legea de compozitie ”⊥” este asociativa pe R.

c) Se considera multimea M = (1,+∞). Sa se arate ca pentru oricare x, y ∈ M , rezulta ca x⊥y ∈ M .

d) Sa se rezolve ın R ecuatia 5x⊥3x−3 = 1.

e) Sa se rezolve ın R inecuatia (x+ 2)⊥(x− 3) < 1.

f) Sa se determine n ∈ Z, astfel ıncat x⊥x⊥x = 2n · (x− 1)3, (∀) x ∈ R.

SUBIECTUL III

Se considera matricele A, I3 ∈ M3(R), A =

0 1 11 0 11 1 0

si I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

a) Sa se calculeze A− 2I3.

b) Sa se calculeze det(2A).

c) Sa se determine numarul real x pentru care A2 = A+ xI3.

d) Sa se arate ca matricea1

2A− 1

2I3 este inversa matricei A.

e) Sa se determine matricea X ∈ M3,1(R) din ecuatia matriceala A ·X =

543

.

f) Sa se determine x ∈ R pentru care det(A+ xI3) = x3.

3

SESIUNEA AUGUST

MT1


SUBIECTUL I

1. Sa se rezolve ın multimea numerelor complexe ecuatia z2 = −9.

2. Sa se determine a ∈ R∗ pentru care ecuatia ax2 + (3a− 1)x+ a+ 3 = 0 are solutii reale.

3. Sa se rezolve ın multimea [0, 2π] ecuatia cos 4x = 1.

4. Sa se determine numarul functiilor f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} cu proprietatea ca f(1) = f(2).

5. Sa se calculeze lungimea razei cercului ınscris ıntr-un triunghi care are lungimile laturilor 13, 14, 15.

6. Triunghiul ABC are B =π

6, C =

π

4· Sa se demonstreze ca

AB

AC=

√2.

SUBIECTUL II


0 0 10 1 01 0 0

∈ M3(R).

a) Sa se calculeze det(A).

b) Sa se determine A−1.

c) Sa se arate ca (I3 +A)n = 2n−1(I3 +A), (∀) n ∈ N∗.

2. Pentru fiecare n ∈ N∗ consideram polinomul fn = X3n + 2X2 − 4X − 1 ∈ C[X].

a) Sa se arate ca f1 nu este divizibil cu polinomul g = X − 2.

b) Sa se determine suma coeficientilor catului ımpartirii polinomului f3 la X − 1.

c) Sa se arate ca restul ımpartirii polinomului fn la polinomul h = X2 +X + 1 nu depinde de n.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = ax − xa, a > 0.

a) Sa se calculeze f ′(1).

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul de abscisa x = a.

c) Sa se arate ca, daca f(x) ≥ 0, (∀) x > 0, atunci a = e.


∫ e

1

lnn x dx.


b) Sa se arate ca In = e− nIn−1, (∀) n ≥ 2.

c) Sa se arate ca sirul (In)n≥1este convergent.

4

MT2


SUBIECTUL I

1. Sa se calculeze suma 1 + 5 + 9 + 13 + . . .+ 25.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = mx2 −mx+2, m ∈ R∗. Sa se determine numarul real nenul m stiind cavaloarea minima a functiei este egala cu 1.

3. Sa se calculeze log2(tg 45◦) + log2(ctg 45◦).

4. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar din multimea A = {√2,√3,√4, . . . ,

√11}, acesta sa fie

irational.

5. Sa se determine ecuatia dreptei care contine punctul A(2,−3) si este paralela cu dreapta x+ 2y + 5 = 0.

6. Sa se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC stiind ca AB = 6, AC = 10 si m(∢A) = 60◦.

SUBIECTUL II


1 2 −12 a 10 2 3

, B =

111

si X =

x

y

z

.

a) Sa se scrie sistemul asociat ecuatiei matriceale A ·X = B.

b) Sa se determine a ∈ R pentru care det(A) = 0.

c) Daca a ∈ R\{2, 6} si (x0, y0, z0) este solutia sistemului

x+ 2y − z = 1

2x+ ay + z = 1

2y + 3z = 1

, sa se demonstreze cax0

z0nu

depinde de a.

2. Se considera polinomul f = (X + 1)2008 + (X − 1)2008 avand forma algebrica f = a2008X2008 + . . .+ a1X + a0,

unde a0, a1, . . ., a2008 sunt numere reale.

a) Sa se calculeze f(−1) + f(1).

b) Sa se determine suma coeficientilor polinomului f .

c) Sa se determine restul ımpartirii lui f la X2 − 1.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : (0,+∞) → R, f(x) = x lnx− x.

a) Sa se verifice ca f ′(x) = lnx pentru orice x > 0.

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul de abscisa x0 = 1.

c) Sa se demonstreze ca functia f este convexa pe (0,+∞).

2. Pentru orice n ∈ N∗ se considera functiile fn : [0, 1] → R, fn(x) = xn + 1.

a) Sa se determine

∫

f1(x) dx, unde x ∈ [0, 1].

b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functiei g : [0, 1] → R, g(x) =√

f1(x), axa Ox

si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1.

c) Sa se arate ca

∫ 1

0

√

fn(x) dx ≤√2 pentru orice n ∈ N∗.

5

MT3


SUBIECTUL I


{

x+ y = 1

xy = 0, x, y ∈ R.

2. Sa se calculeze S = log3 27 + log 1

3

3− log√31 + log3

√3.

3. Sa se afle suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1, stiind ca a1 = 3 si a5 = 11.

4. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A(1,−1) si este perpendiculara pe dreapta de ecuatiex+ y + 1 = 0.

5. Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia (0, 5)x2−4 = (0, 125)2+x.

6. Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC, stiind ca BC = 12, m(∢A) = 60◦, m(∢B) = 75◦.

SUBIECTUL II

Pe multimea H = {x ∈ N |x este civizor al lui 12} se defineste legea de compozitie x ⋆ y = c.m.m.d.c (x, y), (∀) x,y ∈ H.

a) Sa se precizeze elementele multimii H.

b) Sa se arate ca pentru oricare x, y ∈ H, rezulta ca x ⋆ y ∈ H.

c) Sa se verifice ca [(12 ⋆ 6) ⋆ 4] ⋆ 2 = 12 ⋆ [6 ⋆ (4 ⋆ 2)].

d) Sa se rezolve ecuatia 6 ⋆ x = 2.

e) Sa se demonstreze ca legea de compozitie ”⋆” este asociativa pe H.

f) Sa se demonstreze ca legea de compozitie ”⋆” are element neutru pe H.

SUBIECTUL III

Se considera multimea de matrice M =

{

A(a) ∈ M2(R) A(a) =

(

a2 − 4 −1a− 2 2a− 1

)

, a ∈ R

}

si matricele B =(

−3 −17 1

)

, I2 =

(

1 00 1

)

.

a) Sa se determine a ∈ R pentru care A(a) =

(

5 −11 5

)

.

b) Sa se calculeze C = 2

(

−3 −17 1

)

+

(

5 −11 5

)

.

c) Sa se verifice ca B2 = −2B − 4I2.

d) Sa se calculeze det A(3).

e) Sa se arate ca daca matricea X ∈ M2(R) ındeplineste conditia X2 + 2X + 4I2 = O2, atunci X3 = 8I2.

f) Sa se determine a ∈ R cu proprietatea ca det A(3) = 0.

6


MT1


SUBIECTUL I

1. Sa se determine partea reala a numarului complex (√3 + i)6.

2. Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) =13√x· Sa se calculeze (f ◦ f)(512).

3. Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia cos 2x+ sinx = 0.

4. Se considera multimea M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Sa se determine numarul tripletelor (a, b, c) cu proprietatea ca a, b,c ∈ M si a < b < c.

5. Sa se calculeze distanta dintre dreptele paralele de ecuatii x+ 2y = 6 si 2x+ 4y = 11.

6. Paralelogramul ABCD are AB = 1, BC = 2 si m(∢BAD) = 60◦. Sa se calculeze produsul scalar−→AC · −−→AD.

SUBIECTUL II

1. Pentru a, b, c ∈ R∗, se considera sistemul

ax+ by + cz = b

cx+ ay + bz = a

bx+ cy + az = c

, x, y, z ∈ R.

a) Sa se arate ca determinantul sistemului este ∆ = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca).

b) Sa se rezolve sistemul ın cazul ın care este compatibil determinat.

c) Stiind ca a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0, sa se arate ca sistemul are o infinitate de solutii (x, y, z), astfelıncat x2 + y2 = z − 1.

2. Se considera multimea G =

{(

a b

0 c

) ∣

∣

∣

∣

a, b, c ∈ Z4

}

.

a) Sa se determine numarul elementelor multimii G.

b) Sa se dea un exemplu de matrice A ∈ G cu proprietatea ca det A 6= 0 si det A2 = 0.

c) Sa se determine numarul solutiilor ecuatiei X2 =

(

1 0

0 0

)

, X ∈ G.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R\{−1} → R, f(x) =x2 + x+ 1

x+ 1·

a) Sa se determine ecuatia asimptotei spre +∞ la graficul functiei f .

b) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R\{−1}.c) Sa se demonstreze ca functia f este concava pe intervalul (−∞,−1).

2. Pentru orice n ∈ N∗ se considera functia fn : R → R, fn(x) = | sinnx| si numarul In =

∫ 2π

π

fn(x)

xdx.

a) Sa se calculeze

∫

π

0

f2(x) dx.

b) Sa se arate ca In ≤ ln 2, (∀) n ∈ N∗.

c) Sa se arate ca In ≥ 2

π

(

1

n+ 1+

1

n+ 2+ . . .+

1

2n

)

, (∀) n ∈ N∗.

1

MT2


SUBIECTUL I

1. Se considera progresia aritmetica (an)n≥1 ın care a1 = 3 si a3 = 7. Sa se calculeze suma primilor 10 termeni aiprogresiei.

2. Sa se determine numerele reale m pentru care punctul A(m,−1) apartine graficului functiei f : R → R, f(x) =x2 − 3x+ 1.

3. Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia log5(2x+ 3) = 2.

4. Sa se calculeze numarul submultimilor cu 3 elemente ale unei multimi care are 5 elemente.

5. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(−1,−2), B(1, 2) si C(2,−1). Sa se calculeze distanta de lapunctul C la mijlocul segmentului AB.

6. Triunghiul ABC are AB = 8, AC = 8 si m(∢BAC) = 30◦. Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

SUBIECTUL II


3 1 10 3 10 0 3

, B =

0 3 40 0 30 0 0

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si functia f : M3(R) → M3(R),

f(X) = X2 − 3X + I3, unde X2 = X ·X.

a) Sa se calculeze det(I3 +B).

b) Sa se demonstreze ca f(A) = I3 +B.

c) Sa se arate ca (f(A))3 = I3 + 3B + 3B2, unde (f(A))3 = f(A) · f(A) · f(A).

2. Pe multimea numerelor ıntregi se definesc legile de compozitie x ⋆ y = x+ y − 3 si x ◦ y = (x− 3)(y − 3) + 3.

a) Sa se rezolve ın multimea numerelor ıntregi ecuatia x ◦ x = x ⋆ x.

b) Sa se determine numarul ıntreg a care are proprietatea ca x ◦ a = 3, oricare ar fi numarul ıntreg x.

c) Sa se rezolve sistemul de ecuatii

{

x ⋆ (y + 1) = 4

(x− y) ◦ 1 = 5, unde x, y ∈ Z.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R∗ → R, f(x) = x3 +3

x·

a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R∗.


f(x)− f(1)

x− 1·


2. Se considera functia f : [0, 1] → R, f(x) = x√2− x2.

a) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia ın jurul axei Ox, a graficului functiei f .

b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.


∫

x

0

f(t) dt

x2·

2

MT3


SUBIECTUL I

1. Sa se calculeze probabilitatea ca, alegand un element din multimea {0, 1, 2, 3, 4}, acesta sa fie solutie a ecuatieix2 − 4x+ 3 = 0.

2. Sa se calculeze suma 1 + 2 + 3 + . . .+ 40.

3. Sa se determine valorile parametrului real m astfel ıncat ecuatia x2 − 4mx+ 1 = 0 sa aiba solutii reale.

4. Sa se calculeze distanta de la punctul A(1, 2) la dreapta d : x+ y + 1 = 0.

5. Sa se rezolve ın R ecuatia 72x − 8 · 7x + 7 = 0.

6. Sa se calculeze1

2cos 135◦ + 3 sin 135◦.

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor ıntregi se defineste legea de compozitie x ⋆ y = xy + 2x+ 2y + a, cu a ∈ Z.

a) Sa se determine a ∈ Z stiind ca legea ”⋆” admite element neutru.

b) Pentru a = 2 sa se demonstreze ca legea ”⋆” este asociativa.

c) Daca a = 2 sa se arate ca (x+ y + 2) ⋆ z = (x ⋆ z) + (y ⋆ z) + 2, pentru orice x, y, z ∈ Z.

d) Pentru a = 2 sa se determine multimea M = {x ∈ Z | exista x′ ∈ Z, astfel ıncat x ⋆ x′ = −1}.

e) Pentru a = 2 sa se determine x, y ∈ Z, astfel ıncat x ⋆ y = 3.

f) Fie multimea H = {−3,−1}. Sa se determine a ∈ Z astfel ıncat, pentru oricare x, y ∈ H, sa rezulte ca x⋆y ∈ H.

SUBIECTUL III

Fie numerele reale a, b, c si determinantul D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

a) Sa se calculeze D pentru a = 1, b = 2 si c = 3.

b) Sa se arate ca daca a = b, atunci D = 0.

c) Pentru b = 2 si c = 3, sa se determine a ∈ R, astfel ıncat D = 2.

d) Sa se demonstreze ca D = (b− a)(c− a)(c− b).

e) Sa se arate ca daca D = 0, atunci cel putin doua dintre numerele a, b si c sunt egale.

f) Sa se arate ca daca a, b, c ∈ Z, atunci D este numar ıntreg par.

3

SESIUNEA AUGUST

MT1


SUBIECTUL I

1. Sa se arate ca numarul (1 + i√3)3 este ıntreg.

2. Sa se determine imaginea functiei f : R → R, f(x) = x2 − x+ 2.

3. Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia√−2x+ 1 = 5.

4. Sa se determine probabilitatea ca, alegand un numar ab din multimea numerelor naturale de doua cifre, sa avema+ b = 4.

5. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A(−1, 1) si este perpendiculara pe dreapta d : 5x−4y+1 =0.

6. Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC stiind ca AB = 6, B =π

4si C =

π

6·

SUBIECTUL II


a a+ 1 a+ 2b b+ 1 b+ 21 1 a

, cu a, b ∈ R.

a) Sa se arate ca det(A) = (a− b)(a− 1).

b) Sa se calculeze det(A−At).

c) Sa se arate ca rang(A) ≥ 2, (∀) a, b ∈ R.

2. Se considera polinomul f ∈ R[X], f = X3 + pX2 + qX + r, cu p, q, r ∈ (0,∞) si cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C.

a) Sa se demonstreze ca f nu are radacini ın intervalul [0,∞).

b) Sa se calculeze x31 + x3

2 + x33 ın functie de p, q si r.

c) Sa se demonstreze ca daca a, b, c sunt trei numere reale astfel ıncat a+b+c < 0, ab+bc+ca > 0 si abc < 0,atunci a, b, c ∈ (−∞, 0).

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = 2x+ ln(x2 + x+ 1).

a) Sa se demonstreze ca functia f este strict crescatoare.

b) Sa se demonstreze ca functia f este bijectiva.

c) Sa se arate ca graficul functiei f nu are asimptota oblica spre +∞.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = {x}(1− {x}), unde {x} este partea fractionara a numarului real x.

a) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx.

b) Sa se demonstreze ca functia f admite primitive pe R.

c) Sa se arate ca valoarea integralei

∫

a+1

a

f(x) dx nu depinde de numarul real a.

4

MT2


SUBIECTUL I

1. Sa se calculeze 2 log3 4− 4 log3 2.

2. Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei 2x−1 + 2x = 12.

3. Sa se determine numarul natural n, n ≥ 1 stiind ca A1n+ C1

n= 10.

4. Fie functia f : [0, 2] → R, f(x) = −4x+ 3. Sa se determine multimea valorilor functiei f .

5. Se considera triunghiul echilateral ABC ınscris ıntr-un cerc de centru O. Sa se arate ca−→OA+

−−→OB +

−−→OC = ~0.

6. Sa se calculeze sin 135◦.

SUBIECTUL II

1. In multimea M3(Z) se considera matricele F =

1 0 10 1 00 0 1

si A =

1 a b

0 1 c

0 0 1

.

a) Sa se determine numerele a, b si c astfel ıncat A+ F =

2 3 40 2 50 0 2

.

b) Sa se arate ca pentru a = c = 0 si b = −1 matricea A este inversa matricei F .

c) Sa se rezolve ecuatia F ·X =

1 2 34 5 67 8 9

, unde X ∈ M3(Z).

2. Pe multimea R se considera legea de compozitie x ⋆ y = 2xy − x− y + 1.

a) Sa se arate ca x ⋆ y = xy + (1− x)(1− y), oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Sa se arate ca legea de compozitie ”⋆” este asociativa.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia x ⋆ (1− x) = 0.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) =x2 − 1

x2 + 1·

a) Sa se arate ca f ′(x) =4x

(x2 + 1)2, oricare ar fi x ∈ R.


c) Stiind ca g : R∗ → R, g(x) = f(x) + f

(

1

x

)

, sa se determine

limx→0

g(x) + g(x2) + g(x3) + . . .+ g(x2009) + x2010

x2009·

2. Se considera In =

∫

e2

e

x lnn x dx, pentru orice n ∈ N.


b) Sa se arate ca In ≤ In+1, oricare ar fi n ∈ N.

c) Sa se demonstreze ca are loc relatia In =e2(e2 · 2n − 1)

2− n

2In−1, pentru orice n ∈ N

∗.

5

MT3


SUBIECTUL I

1. Sa se determine functia f : R → R, f(x) = ax+ b, a 6= 0, stiind ca punctele A(−1, 0); B(0, 2) apartin graficuluifunctiei.

2. Sa se calculeze ~v = 4~a− 2~b+ ~c, unde ~a = 5~i− 7~j, ~b = −2~i+ 3~j, ~c = 5~i+ 5~j.

3. Sa se calculeze cos 135◦ + cos 45◦.

4. Sa se calculeze valoarea expresiei E =x1

x2

+x2

x1

, unde x1, x2 sunt solutiile ecuatiei x2 − 6x+ 4.

5. Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia lg(2x + 4x + 4) = 1.

6. Sa se calculeze |2− 3√2|+ |3− 2

√2|.

SUBIECTUL II

Pe multimea numerelor naturale se defineste legea de compozitie x⋆ y = r, unde r este restul ımpartirii produsuluix · y la 10. Se admite ca legea ”⋆” este asociativa pe N. Se considera multimea I = {1, 3, 5, 7, 9}.

a) Sa se arate ca 10 ⋆ x = 0, (∀) x ∈ N.

b) Sa se calculeze 5 ⋆ 5 ⋆ 5 ⋆ 5 ⋆ 5.

c) Sa se arate ca x ⋆ y ∈ I, pentru oricare x, y ∈ I.

d) Sa se demonstreze ca legea ”⋆” determina pe multimea I\{5} o structura de grup comutativ.

e) Sa se calculeze 2 ⋆ 4 ⋆ 6 ⋆ . . . ⋆ 2008 ⋆ 2010.

f) Sa se demonstreze ca legea ”⋆” nu admite element neutru.

SUBIECTUL III

Fie matricele A =

(

1 −31 −2

)

, I2 =

(

1 00 1

)

, O2 =

(

0 00 0

)

.


b) Sa se arate ca det(A) = det(A2).

c) Sa se determine x, y ∈ R pentru care are loc egalitatea A2 + xA+ yI2 = O2.

d) Sa se verifice egalitatea A+A2 +A3 = O2.

e) Sa se calculeze A+A2 + . . .+A28.

f) Sa se arate ca pentru orice a ∈ R matricea aI2 +A este inversabila.

6


Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Calculati produsul de numere complexe i · i3 · i5 · i7 · i11.

2. Verificati daca functia f : R → R, f(x) = x3 + x+ 1 este injectiva.

3. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia3√42x = 8.

4. Care este probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de trei cifre, produsul cifrelorsale sa fie impar?

5. Un paralelogram ABCD are AD = 6, AB = 4 si m(^ADC) = 120◦. Calculati |−−→AD +−−→AB|.

6. Calculati sin

(

1

2arcsin

√3

3

)

.

SUBIECTUL II


(

−1 2−3 4

)

si B =

(

5 −43 −2

)

.

a) Verificati daca det(A) = det(B).

b) Demonstrati ca pentru orice matrice X =

(

a b

c d

)

∈ M2(C), are loc egalitatea X2 = (a+d)X−(ad−bc)I2.

c) Demonstrati ca An −Bn = (2n − 1)(A−B), pentru orice n ∈ N, n ≥ 2.

2. Fie polinomul f = nXn + (n− 1)Xn−1 + . . .+ 2X2 +X , unde n ∈ N si n ≥ 2.

a) Calculati suma coeficientilor polinomului f .

b) Pentru n = 4, determinati restul ımpartirii polinomului f la polinomul g = X2 − 1.

c) Demonstrati ca daca n este numar par, atunci restul ımpartirii polinomului f la g = X2 − 1 este egal cun2

4X +

n(n+ 2)

4·

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = x+ 1−√x2 + 2.

a) Aratati ca functia f este strict crescatoare pe R.

b) Determinati ecuatia asimptotei la graficul functiei f spre −∞.

c) Aratati ca functia f este concava pe R.

2. Fie sirul (In)n≥1 definit prin In =

∫ e

1

lnn x dx, oricare ar fi n ∈ N∗.

a) Calculati I2.

b) Aratati ca sirul (In)n≥1 este marginit.

c) Calculati limn→∞

In.

1

SESIUNEA IUNIEM1


SUBIECTUL I

1. Calculati ((1 − i)(i− 1))4.

2. Aratati ca functia f : (−3, 3) → R, f(x) = ln3− x

3 + xeste impara.

3. Determinati solutiile ıntregi ale inecuatiei x2 + 2x− 8 < 0.

4. Cate elemente din multimea A = {1, 2, 3, . . . , 100} sunt divizibile cu 4 sau cu 5?

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele M(1,−2), N(−3,−1) si P (−1, 2). Determinati coordonatelepunctului Q astfel ıncat MNPQ sa fie paralelogram.

6. Triunghiul ABC are AB = 6, AC = 3 si BC = 5. Calculati lungimea ınaltimii [AD].

SUBIECTUL II

1. Fie sistemul

x− 2y − 8z = −65

3x+ y − 3z = 22

x+ y + z = 28

, unde x, y, z ∈ R si matricea asociata sistemului A =

1 −2 −83 1 −31 1 1

.

a) Aratati ca rangul matricei A este egal cu 2.

b) Rezolvati sistemul ın R× R× R.

c) Determinati numarul solutiilor sistemului din multimea N× N× N.

2. Fie multimea de matrice A =

{(

a b

−b a

)∣

∣

∣

∣

a, b ∈ Z5

}

.

a) Determinati numarul elementelor multimii A.

b) Aratati ca exista o matrice nenula M ∈ A astfel ıncat

(

3 1

−1 3

)

·M =

(

0 0

0 0

)

.

c) Rezolvati ın multimea A ecuatia X2 = I2.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R\{−1} → R, f(x) = arctgx

x+ 1·

a) Determinati ecuatia asimptotei spre +∞ la graficul functiei f .

b) Studiati monotonia functiei f .

c) Determinati punctele de inflexiune ale functiei f .

2. Fie sirul (In)n≥1 definit prin In =

∫ n+1

n

2x− 1

xdx, oricare ar fi n ∈ N∗.

a) Aratati ca sirul (In)n≥1 este strict crescator.

b) Aratati ca sirul (In)n≥1 este marginit.


n(2− In).

2

M2

Filiera teoretica, profilul real, specializarea stiinte ale naturii.Filiera tehnologica: profilul servicii, toate calificarile profesionale; profilul resurse, toate calificarile profesionale;profilul tehnic, toate calificarile profesionale.

SUBIECTUL I

1. Calculati log21

8+ 3

√27.

2. Determinati coordonatele varfului parabolei asociate functiei f : R → R, f(x) = x2 − 2x+ 3.

3. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia 2− 3x2−1 = 1.

4. Determinati cate numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele multimii {1, 2, 3, 4}.

5. Se considera vectorii −→v 1 = 2~i−~j si −→v 2 =~i+ 3~j. Determinati coordonatele vectorului −→w = 2−→v 1 −−→v 2.

6. Un triunghi dreptunghic are AB = 3, AC = 4. Calculati lungimea ınaltimii duse din A.

SUBIECTUL II


(

1 11 0

)

.

a) Calculati A2 −A.

b) Determinati inversa matricei A.

c) Rezolvati ecuatia A ·X =

(

2010 20102009 2010

)

, X ∈ M (R).

2. Se considera polinoamele f , g ∈ Z3[X ], f = X2 +X , g = X2 + 2X + a, cu a ∈ Z3.

a) Calculati f(0) + f(1).

b) Determinati radacinile polinomului f .

c) Demonstrati ca f(0) + f(1) + f(2) = g(0) + g(1) + g(2), pentru oricare a ∈ Z3.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 · ex.

a) Calculati f ′(x).

b) Demonstrati ca functia f este descrescatoare pe intervalul [−2, 0].

c) Demonstrati ca 0 ≤ f(x) + f(x2) ≤ e2 + 1

e, oricare ar fi x ∈ [−1, 0].

2. Se considera functia f : R∗ → R, f(x) = x+1

x·

a) Calculati

∫ 3

1

(

f(x)− 1

x

)

dx.

b) Determinati volumul corpului obtinut prin rotatia ın jurul axei Ox a graficului functiei g : [1, 2] → R,g(x) = f(x).

c) Calculati

∫ e

1

f(x) · lnx dx.

3

M4


SUBIECTUL I

1. Calculati log2√6− log2

√3.

2. Fie functia f : R → R, f(x) = x− 5. Calculati f(1) · f(2) · f(3) · . . . · f(10).

3. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia 22x+1 − 2x+1 = 24.

4. Calculati numarul submultimilor cu doua elemente ale multimii A = {x ∈ N |x ≤ 8}.

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(3, 4) si B(2,m). Stiind ca B apartine dreptei de ecuatiey = 3x+ 20 determinati coordonatele mijlocului segmentului [AB].

6. Calculati valoarea expresiei E(x) = cosx+ sin 2x pentru x = 30◦.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea M = {a+ b√2 | a, b ∈ Z} se defineste legea de compozitie x ◦ y = x+ y +

√2.

a) Aratati ca x+ y ∈ M , oricare ar fi x, y ∈ M .

b) Aratati ca x · y ∈ M , oricare ar fi x, y ∈ M .

c) Determinati x ∈ M cu proprietatea ca x(1 +√2)2 = 1.

d) Verificati daca1

1 +√2◦ 1

3 + 2√2∈ M .

e) Aratati ca legea ”◦” este asociativa pe multimea M .

f) Aratati ca legea ”◦” determina pe multimea M o structura de grup.

SUBIECTUL III

1. Fie matricele M =

(

2 2−1 −1

)

, I2 =

(

1 00 1

)

si A(a) = M + aI2, a ∈ R.

a) Aratati ca M2 = M .

b) Determinati matricea A(2010).

c) Determinati a ∈ R, pentru care det (A(a)) = 2.

d) Aratati ca A−1(1) =1

2

(

0 −21 3

)

.

e) Aratati ca pentru oricare a ∈ Z matricea A(a) + (A(a))t este inversabila, unde (A(a))t este transpusamatricei A(a).

f) Rezolvati ın multimea M2(R) ecuatia matriceala X · A(1) =(

1 22 6

)

.

4

Subiect de rezervaM1


SUBIECTUL I

1. Aratati ca numarul i√2− 1 este solutie a ecuatiei z2 + 2z + 3 = 0.

2. Fie functiile f : R → R, f(x) = 2x+a si g : R → R, g(x) = x2−a. Determinati a ∈ R pentru care (f ◦g)(x) > 0,oricare ar fi x ∈ R.

3. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia√x2 − 2x+ 1 = x+ 1.

4. Determinati numarul elementelor multimii A = {1, 33, 36, 39, . . . , 32010}.

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(3, 5), B(−2, 5) si C(6,−3). Scrieti ecuatia medianeicorespunzatoare laturii [BC], ın triunghiul ABC

6. Calculati sinπ

12·

SUBIECTUL II

1. Fie sistemul

x+ y + az = 1

x+ 2ay + z = −1

2ax+ y + (a+ 1)z = 0

, unde x, y, z ∈ R si a este parametru real.

a) Rezolvati sistemul pentru a = 0.

b) Verificati daca pentru a = −1 sistemul este compatibil.

c) Determinati a ∈ R pentru care sistemul are solutie unica.

2. Fie m, n ∈ R si polinomul f = X3 − 3X2 +mX − n care are radacinile x1, x2, x3 ∈ C.

a) Determinati valorile reale m si n pentru care x1 = 2 + i.

b) Determinati valorile reale m si n pentru care restul ımpartirii polinomului f la polinomul (X−1)2 este egalcu 0.

c) Aratati ca, daca toate radacinile polinomului f sunt reale si m > 0, n > 0, atunci x1, x2, x3 sunt strictpozitive.

SUBIECTUL III

1. Fie functia f : R → R, f(x) = 3√x3 − 3x+ 2.

a) Aratati ca dreapta de ecuatie y = x este asimptota oblica pentru graficul functiei f spre +∞.

b) Studiati derivabilitatea functiei f ın punctul x = −2.

c) Calculati limx→+∞

ln f(x)

lnx·

2. Se considera functia f : R → R, f(x) =cosx

2− cos2 x·

a) Calculati

∫ π

2

0

f(x) dx.

b) Aratati ca orice primitiva a functiei f este strict crescatoare pe intervalul[

0;π

2

]

.

c) Calculati

∫ 2π

0

x · f(x) dx.

5

M2


SUBIECTUL I

1. Se considera o progresie aritmetica (an)n≥1 ın care a3 = 5 si a5 = 11. Calculati suma primilor sapte termeni aiprogresiei.

2. Se considera functiile f, g : R → R, f(x) = 2x − 1, g(x) = x + 3. Determinati coordonatele punctului deintersectie a graficelor functiilor f si g.

3. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia 3√x2 − 1 = 2.

4. Calculati a · b stiind ca a+ b = 150 si numarul a reprezinta 25% din numarul b.

5. Determinati m ∈ R pentru care punctele A(2, 3), B(4, 5) si C(m+ 1,m2) sunt coliniare.

6. Calculati cosx, stiind ca sinx =1

3si x ∈

(

0,π

2

)

.

SUBIECTUL II

1. Pentru m ∈ R se considera matricea A =

m 1 01 1 11 1 m

si sistemul de ecuatii

mx+ y = −1

x+ y + z = 3

x+ y +mz = 0

, unde x, y,

z ∈ R.

a) Calculati determinantul matricei A.

b) Rezolvati sistemul pentru m = 0.

c) Verificati daca sistemul este incompatibil pentru m = 1.

2. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie x ? y = (x − 4)(y − 4) + 4.

a) Demonstrati ca legea ”?” este asociativa.

b) Demonstrati ca x ? y ∈ (4,+∞), oricare ar fi x, y ∈ (4,+∞).

c) Calculati 1 ? 2 ? 3 ? . . . ? 2010.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R∗ → R, f(x) = x2 +2

x·


b) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul A(2, 5).

c) Determinati ecuatia asimptotei verticale la graficul functiei f .

2. Se considera functiile f, g : (0,+∞) → R, f(x) =lnx√x

si g(x) = 2√x(lnx− 2).

a) Demonstrati ca functia g este o primitiva a functiei f .

b) Calculati

∫ 4

1

f(x) dx.

c) Calculati

∫ e2

1

2g(x) · f(x) dx.

6

SESIUNEA AUGUSTM1


SUBIECTUL I

1. Care dintre numerele 2 3√6 si 3 3

√3 este mai mare?

2. Determinati multimea valorilor functiei f : R → R, f(x) = |x|.

3. Determinati m ∈ R pentru care ecuatia x2 − x+m2 = 0 are doua solutii reale egale.

4. Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1 + 4√2)41.

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(2, 1), B(−2, 3), C(1,−3) si D(4, a), unde a ∈ R.Determinati a ∈ R astfel ıncat dreptele AB si CD sa fie paralele.

6. Fie multimea A =

{

0;π

6;π

2;π;

3π

2

}

. Care este probabilitatea ca, alegand un element din multimea A, acesta sa

fie solutie a ecuatiei sin3 x+ cos3 x = 1?

SUBIECTUL II

1. Fie matricea A =

0 1 00 0 1a 0 0

∈ M3(R). Pentru n ∈ N∗, notam Bn = An +An+1 +An+2.

a) Aratati ca A2010 = a670 · I3.b) Determinati a ∈ R pentru care det(B1) = 0.

c) Determinati a ∈ R pentru care toate matricele Bn, n ∈ N∗ sunt inversabile.

2. Pe multimea R se defineste legea x ? y = 2xy − 3x− 3y +m, m ∈ R. Fie multimea M = R\{

3

2

}

.

a) Determinati m ∈ R astfel ıncat x ? y ∈ M , pentru orice x, y ∈ M .

b) Pentru m = 6, aratati ca (M, ?) este grup.

c) Pentru m = 6, demonstrati ca functia f : M → R∗, fx = 2x− 3 este un izomorfism ıntre grupurile (M, ?)si (R∗, ·).

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = 3√2x− 1− 3

√2x+ 1.

a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul de abscisa x = 0, situat pe graficul functiei f .

b) Determinati ecuatia asimptotei orizontale la graficul functiei f spre +∞.


(

f(1) + f(2) + . . .+ f(n)

− 3√2n+ 1

)3√2n

.


∫ 1

0

xn

x2 + x+ 1dx.

a) Calculati I1 + I2 + I3.

b) Aratati ca sirul (In)n≥1 este descrescator.


In.

7

M2


SUBIECTUL I

1. Determinati x ∈ Z pentru care −1 ≤ x+ 1

3≤ 1.

2. Determinati functia de gradul al doilea al carei grafic contine punctele A(0, 0), B(2, 2), C(−1, 2).

3. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia log2(x+ 3)− log2 x = 2.

4. Calculati probabilitatea ca alegand la ıntamplare un element n din multimea {1, 2, 3, 4} acesta sa verifice inega-litatea 2n ≥ n2.

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(2, 0), B(1,−1), O(0, 0). Determinati coordonatele punc-

tului C pentru care−−→OC = 2

−→OA+

−−→OB.

6. Calculati lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC ın care AB = 6 si m(^ACB) = 30◦.

SUBIECTUL II


1 0 00 1 01 0 1

.


b) Verificati daca A−1 =

1 0 00 1 0−1 0 1

, unde A−1 este inversa matricei A.

c) Rezolvati ecuatia A ·X =

1 1 12 2 23 3 3

, X ∈ M3(R).

2. Fie polinomul f ∈ Z3[X ], f = X3 + 2X2 si multimea G = {g = aX3 + bX2 + cX + d | a, b, c, d ∈ Z3}.

a) Calculati f(1).

b) Determinati radacinile polinomului f .

c) Determinati numarul elementelor multimii G.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : [0, 1] → R, f(x) =ex

1 + x·

a) Demonstrati caf ′(x)

f(x)=

x

x+ 1, oricare ar fi x ∈ [0, 1].

b) Demonstrati ca functia f este crescatoare pe [0, 1].

c) Demonstrati ca2

e≤ 1

f(x)≤ 1, oricare ar fi x ∈ [0, 1].

2. Se considera functia f : R → R, f(x) =

{√x2 + 3, pentru x ≥ 1

2x, pentru x < 1.

a) Demonstrati ca functia f admite primitive pe R.

b) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia ın jurul axei Ox a graficului functiei g : [1, 2] → R, g(x) =f(x).

c) Calculati

∫

√6

1

x · f(x) dx.

8

M4


SUBIECTUL I

1. Determinati numarul submultimilor multimii A = {1, 3, 5, 7, 9}, care au doua elemente.

2. Determinati m ∈ R\{

1

3

}

pentru care functia f : R → R, f(x) = (3m− 1)x+ 2 este crescatoare pe R.

3. Aratati ca x1x2 − 5(x1 + x2) = −10, unde x1, x2 sunt solutiile ecuatiei ax2 − (2a+ 1)x+ 5 = 0, a ∈ R∗.

4. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia log23x− 2

x+ 2= 1.

5. Determinati vectorul de pozitie al centrului de greutate al triunghiului ABC stiind ca ~rA = 3~i−2~j, ~rB = −5~i+4~j,~rC = 8~i+ 7~j.

6. Scrieti ecuatia dreptei care trece prin punctul A(4, 3) si are panta m = tan45◦.

SUBIECTUL II

1. Pe multimea numerelor reale se definesc legile de compozitie x ? y = x+ y+ 2 si x ◦ y = xy− 2x− 2y+m, undem ∈ R.

a) Aratati ca legea ”?” este asociativa pe multimea numerelor reale.

b) Determinati m ∈ R pentru care 11 ◦ 1 = 0.

c) Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia (x− 1) ◦ 4 = (3 ? 3) +m.

d) Determinati m ∈ R pentru care legea ”◦” admite elementul neutru e = 3.

e) Pentru m = 6 determinati elementele x ∈ R ale caror simetrice, ın raport cu legea ”◦”, verifica relatia

x′ =3

2− x.

f) Aratati ca numerele reale a = x ? x, b = a ? x, c = b ? x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmeticepentru oricare x ∈ R.

SUBIECTUL III

1. Se considera matricele: A =

0 0 01 0 01 1 0

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, O3 =

0 0 00 0 00 0 0

si C = I3 +A.

a) Calculati det(C) + det(A).

b) Calculati C−1, unde C−1 este inversa matricei C.

c) Calculati M = C · (C − 2A+A2)− I3.

d) Aratati ca det(I3 + xA) = 1, pentru orice x ∈ R.

e) Aratati ca matricea C + Ct este inversabila, unde Ct este transpusa matricei C.

f) Calculati A2010.

9

Subiect de rezervaM2


SUBIECTUL I

1. Calculati log2(3 +√5) + log2(3−

√5).

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = mx2 +2x− 5. Determinati m ∈ R pentru care abscisa varfului paraboleiasociate functiei f este egala cu 2.

3. Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia 31−x2

=1

27·

4. Calculati C26 −A2

4.

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele O(0, 0), A(2,−2) si B(6, 8). Calculati distanta de la punctulO la mijlocul segmentului (AB).

6. Calculati cos 130◦ + cos 50◦.

SUBIECTUL II

1. Pentru m ∈ R se considera matricea A =

1 −1 −11 3 −1m 0 2

si sistemul de ecuatii

x− y − z = −2

x+ 3y − z = −2

mx+ 2z = 4

, unde x,

y, z ∈ R.


b) Determinati m ∈ R pentru care matricea A este inversabila.

c) Rezolvati sistemul pentru m = −1.

2. Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x ◦ y = 2xy − 2x− 2y + 3.

a) Demonstrati ca x ◦ y = 2(x− 1)(y − 1) + 1, pentru oricare x, y ∈ R.

b) Determinati elementul neutru al legii ”◦”.c) Dati exemplu de doua numere a, b ∈ Q− Z pentru care a ◦ b ∈ Z.

SUBIECTUL III

1. Se considera functia f : R → R, f(x) =√x2 + 3.


b) Determinati ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul A(1, 2).

c) Determinati ecuatia asimptotei oblice spre +∞ la graficul functiei f .

2. Pentru n ∈ N∗ se considera functiile fn : (0,∞) → R, fn(x) = xn lnx.

a) Calculati

∫ e2

e

lnx

f1(x)dx.

b) Demonstrati ca primitivele functiei f1 sunt convexe pe intervalul

[

1

e,∞)

.

c) Calculati

∫ e

1

f2009(x)

x2010dx.

10


M1

Proba E c)

Filiera teoretica, profilul real, specializarea matematica - informatica.Filiera vocat,ionala, profilul militar, specializarea matematica - informatica.

SUBIECTUL I

1. Calculat,i modulul numarului complex z = (3 + 4i)(5− 12i).

2. Punctul V (2, 3) este varful parabolei asociate funct, iei f : R → R, f(x) = x2 + ax+ b. Calculat,i f(3).

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia |√x− 1| = 2.

4. Determinat, i numerele naturale n, n ≥ 2, pentru care C2n≤ 4 · A1

n.

5. Fie G(1, 0) centrul de greutate al triunghiului ABC, unde A(2, 5) s, i B(−1,−3). Determinat, i cordonatele punc-tului C.

6. Calculat,i raza cercului ınscris ın triunghiul ABC s,tiind ca AB = AC = 5 s, i BC = 8.

SUBIECTUL II


1 2 −1a 1 13 0 2

, unde a ∈ Z.

a) Calculat,i det A.

b) Aratat,i ca rang A = 3, oricare ar fi a ∈ Z.

c) Determinat, i valorile ıntregi ale lui a s,tiind ca matricea A−1 are toate elementele numere ıntregi.

2. Se considera numerele reale a, b, c s, i polinomul f = X4 + aX3 + bX2 + cX + 36 ∈ R[X ], cu radacinile x1, x2,x3, x4 ∈ C.

a) Calculat,i a+ b+ c ın cazul ın care restul ımpart,irii lui f la X − 1 este 40.

b) Determinat, i c ∈ R astfel ıncat1

x1

+1

x2

+1

x3

+1

x4

=1

3·

c) Aratat,i ca daca a = 6 s, i b = 18, atunci polinomul f nu are toate radacinile reale.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = x4 − 4 lnx.

a) Aratat,i ca funct, ia f este strict descrescatoare pe (0, 1].

b) Determinat, i asimptotele verticale ale graficului funct, iei f .

c) Demonstrat,i ca, pentru orice n ∈ N∗, exista un unic numar xn ∈ (0, 1] pentru care f(xn) = n.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = cosx.

a) Calculat,i aria suprafee, i determinate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i de dreptele de ecuat, ii x = 0, x =π

2·

b) Calculat,i limx→+∞

1

x

∫ x

0

f(t) dt.

c) Demonstrat,i ca s, irul (In)n≥1, In =

∫ π

2

0

fn(x) dx este convergent.

1

M2

Proba E c)

Filiera teoretica, profilul real, specializarea s,tiint,ele naturii.Filiera tehnologica: profilul servicii, toate calificarile profesionale; profilul resurse, toate calificarile profesionale;profilul tehnic, toate calificarile profesionale.

SUBIECTUL I

1. Comparat,i numerele a = log2 4 s, i b =3√27.

2. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat, ia 3x2 − 11x+ 6 ≤ 0.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 3x2+x+1 = 35x−2.

4. Determinat, i n ∈ N, n ≥ 2, pentru care C1n+ C2

n= 15.

5. Determinat, i numerele reale m pentru care punctul A(2m− 1,m2) se afla pe dreapta d : x− y + 1 = 0.

6. Calculat,i cosx, s,tiind ca 0◦ < x < 90◦ s, i sinx =12

13·

SUBIECTUL II

1. Se considera mult, imea G =

{(

a b

b a

) ∣

∣

∣

∣

a, b ∈ N

}

.

a) Determinat, i numerele naturale m s, i n pentru care matricea

(

4 m2

9 n2

)

∈ G.

b) Aratat,i ca daca U , V ∈ G, atunci U · V ∈ G.

c) Calculat,i suma elementelor matricei U ∈ G, s,tiind ca suma elementelor matricei U2 este egala cu 8.

2. Se considera polinomul f = X4 −X3 − 4X2 + 2X + 4.

a) Aratat,i ca restul ımpart,irii polinomului f prin polinomul g = X −√2 este egal cu 0.

b) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia f(x) = 0.

c) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 16x − 8x − 4 · 4x + 2 · 2x + 4 = 0.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) =

x+ 1

x, x ∈ (1,∞)

x+ 1, x ∈ (0, 1]

.

a) Demonstrat,i ca funct, ia f este continua ın punctul x0 = 1.

b) Aratat,i ca funct, ia f este convexa pe intervalul (1,∞).

c) Demonstrat,i ca f(x) + f

(

1

x

)

≤ 4, pentru orice x ∈ (0,∞).

2. Se considera funct, iile f : (0,∞) → R, f(x) = ex · lnx s, i g : (0,∞) → R, g(x) =ex

x·

a) Calculat,i

∫ 2

1

x · g(x) dx.

b) Calculat,i

∫ e2

e

f(x)

x · ex dx.

c) Demonstrat,i ca

∫

e

1

(f(x) + g(x)) dx = ee.

2


M1

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Aratat,i ca (√2,√5) ∩ Z = {2}.

2. Determinat, i valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a parabolei y = x2 +mx+4.

3. Rezolvat,i ın mult, imea [0, 2π) ecuat, ia sin(

x− π

6

)

=1

2·

4. Determinat, i n ∈ N, n ≥ 2, pentru care C2n+A2

n= 18.

5. Determinat, i a ∈ R pentru care dreptele d1 : ax+ y + 2011 = 0 s, i d2 : x− 2y = 0 sunt paralele.

6. Fie x un numar real care verifica egalitatea tanx+ cotx = 2. Aratat,i ca sin 2x = 1.

SUBIECTUL II

1. Se considera matricea A(x) =

1 x x2

0 1 2x0 0 1

, unde x ∈ R.

a) Aratat,i ca A(x) · A(y) = A(x + y), oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Aratat,i ca (A(x) −A(y))2011 = O3, pentru orice x, y ∈ R.

c) Determinat, i inversa matricei A(x), unde x ∈ R.

2. Se considera α ∈ C s, i polinomul f = X3 + (1 − α)X2 + (α − 2)iX + α+ (α− 2)i ∈ C[X ].

a) Aratat,i ca polinomul f are radacina −1.

b) Aratat,i ca, daca p, q sunt numere complexe s, i polinomul g = X2 + pX + q ∈ C[X ] are doua radacinidistincte, complex conjugate, atunci p s, i q sunt numere reale s, i p2 < 4q.

c) Determinat, i α ∈ C pentru care polinomul f are doua radacini distincte, complex conjugate.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (1,∞) → R, f(x) = ln(x+ 1)− ln(x − 1).

a) Aratat,i ca funct, ia f este strict descrescatoare pe (1,∞).

b) Determinat, i asimptotele graficului funct, iei f .

c) Calculat,i limx→∞

xf(x).

2. Se considera funct, ia f : [1, 2] → R, f(x) = x2 − 3x+ 2.

a) Calculat,i

∫ 4

1

f(√x) dx.

b) Calculat,i aria suprafet,ei determinate de graficul funct, iei g : [1, 2] → R, g(x) =f(x)

xs, i de axa Ox.

c) Aratat,i ca (4n+ 2)

∫ 2

1

fn(x) dx+ n

∫ 2

1

fn−1(x) dx = 0.

3

M2

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Determinat, i x ∈ R pentru care numerele x−1, x+1 s, i 3x−1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 5− x. Calculat,i f(0) · f(1) · f(2) · . . . · f(10).

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia√x− 1 = x− 3.

4. Determinat, i numarul submult, imilor ordonate cu 2 elemente ale unei mult, imi cu 7 elemente.

5. Calculat,i distant,a de la punctul A(2, 3) la punctu de intersect, ie a dreptelor d1 : 2x−y−6 = 0 s, i d2 : −x+2y−6 =0.

6. Calculat,i cosinusul unghiului M al triunghiului MNP , s,tiind ca MN = 4, MP = 5 s, i NP = 6.

SUBIECTUL II


(

1 00 1

)

, A =

(

1 −1−2 2

)

s, i X(a) = I2 + aA, unde a ∈ Z.

a) Calculat,i A2 − 3A.

b) Demonstrat,i ca X(a) ·X(b) = X(a+ b+ 3ab), oricare ar fi a, b ∈ Z.

c) Aratat,i ca X(a) este matrice inversabila, oricare ar fi a ∈ Z.

2. Polinomul f = X3 + 2X2 − 5X +m, cu m ∈ R, are radacinile x1, x2 s, i x3.

a) Calculat,i x21 + x2

2 + x23.

b) Determinat, i m ∈ R∗ pentru care x1 + x2 + x3 =1

x1

+1

x2

+1

x3

·

c) Aratat,i ca determinantul ∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 x2 x3

x2 x3 x1

x3 x1 x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

este numar natural, oricare ar fi m ∈ R.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : [1,∞) → R, f(x) = ex − 1

x·

a) Calculat,i limx→2

f(x)− f(2)

x− 2·

b) Aratat,i ca f(x) > 0, oricare ar fi x ∈ [1,∞).

c) Aratat,i ca graficul funct, iei f nu admite asimptota spre +∞.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) =√x2 + 10.

a) Calculat,i volumul corpului obt, inut prin rotat,ia, ın jurul axei Ox, a graficului funct, iei g : [0, 3] → R,g(x) = f(x).

b) Demonstrat,i ca orice primitiva F a funct, iei f este crescatoare pe mult, imea R.

c) Demonstrat,i ca

∫ 10

−10

f(x) dx = 2 ·∫ 10

0

f(x) dx.

4

M4

Proba E c)

Filiera vocat,ionala, profilul pedagogic, specializarea ınvat,ator-educatoare

SUBIECTUL I

1. Se considera o progresie aritmetica (an)n≥1, ın care a2 = 5 s, i a4 = 11. Calculat, i a6.

2. Se considera funct, iile f : R → R, f(x) = ax+ b s, i g : R → R, g(x) = cx + d, unde a, b, c, d sunt numere reale.Aratat,i ca, daca f(1) = g(1) s, i f(3) = g(3), atunci f(5) = g(5).

3. Se noteaza cu x1 s, i x2 solut, iile reale ale ecuat, iei x2 − 5x+ 3 = 0. Calculat,i1

x1

+1

x2

·

4. Determinat, i mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei log2(x2 + x+ 2) = 2.

5. Se considera un triunghi ABC s, i punctele M , N , astfel ıncat−−→AM = 3 ·−−→MB s, i

−−→AN = 3 ·−−→NC. Aratat,i ca dreptele

MN s, i BC sunt paralele.

6. Se considera un triunghi ABC ın care unghiurile A s, i C au masurile egale cu 30◦, respectiv 90◦. S, tiind caBC = 6, calculat, i lungimea laturii AC.

SUBIECTUL II

Pe mult, imea R se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − 2x− 2y + 6.

a) Aratat,i ca legea ”⋆” este comutativa.

b) Aratat,i ca legea ”⋆” este asociativa.

c) Determinat, i numarul real a pentru care are loc egalitatea x ⋆ y = (2− x)(2 − y) + a, oricare ar fi x, y ∈ R.

d) Rezolvat,i ın mult, imea R ecuat, ia x ⋆ x = x.

e) Determinat, i elementul neutru al legii ”⋆”.

f) Aratat,i ca (x+ 2) ⋆

(

1

x+ 2

)

= 3, pentru orice x ∈ R∗.

SUBIECTUL III


1 0 00 1 00 0 1

s, i A =

0 a 00 0 −a

−a 0 0

, unde a ∈ R.

a) Determinat, i numarul real a pentru care det(A+ I3) = 1.

b) Calculat,i det(A+ At ), unde At este transpusa matricei A.

c) Pentru a = 1, determinat, i inversa matricei A.

d) Aratat,i ca A3 = a3 · I3.

e) Pentru a = 1, verificat,i egalitatea (A+ I3)(A2 −A+ I3) = 2I3.

f) Determinat, i valorile numarului real a pentru care det(A+ At + I3) = 1.

5

SESIUNEA AUGUSTM1

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Calculat,i rat,ia progresiei geometrice (bn)n≥1, cu termeni pozitivi, daca b1 + b2 = 6 s, i b3 + b4 = 24.

2. Determinat, i a ∈ R pentru care funct, ia f : R → R, f(x) = (1− a2)x + 4 este constanta.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat, ia

(

3

2

)x

<

(

2

3

)x

.

4. Determinat, i numarul termenilor rat,ionali ai dezvoltarii (1 +√2)10.

5. Calculat,i distant,a de la punctul A(2, 2) la dreapta determinata de punctele B(1, 0) s, i C(0, 1).

6. Triunghiul ABC are masura unghiului A de 60◦, AB = 4 s, i AC = 5. Calculat,i−−→AB · −→AC.

SUBIECTUL II

1. Se considera mult, imea H ={

A ∈ M2(R) | A2 = A}

.

a) Aratat,i ca

(

1 20 0

)

∈ H .

b) Demonstrat,i ca, daca A ∈ H , atunci An ∈ H , pentru orice numar natural nenul n.

c) Aratat,i ca mult, imea H este infinita.

2. Se considera polinomul f = (X + i)10 + (X − i)10, avand forma algebrica f = a10X10 + a9X

9 + · · ·+ a1X + a0,unde a0, a1, . . . , a10 ∈ C.

a) Determinat, i restul ımpart,irii polinomului f la X?i.

b) Aratat,i ca tot, i coeficient, ii polinomului f sunt numere reale.

c) Demonstrat,i ca toate radacinile polinomului f sunt numere reale.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x5 − 5x+ 4.


f(x)− f(2)

x− 2·

b) Aratat,i ca graficul funct, iei f are un punct de inflexiune.

c) Aratat,i ca, pentru orice m ∈ (0,∞), ecuat, ia f(x) = m are exact trei solut, ii reale distincte.

2. Se considera funct, ia g : R → R, g(x) = e−x.

a) Calculat,i

∫ 1

0

g(x) dx.

b) Calculat,i

∫ 1

0

x5g(x3) dx.

c) Demonstrat,i ca s, irul (In)n≥1 definit prin In =

∫ n

1

g(x3) dx este convergent.

6

M2

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Intr-o progresie aritmetica (an)n≥1 se cunosc a2 = 6 s, i a3 = 5. Calculat, i a6.

2. Determinat, i solut, iile ıntregi ale inecuat, iei 2x2 − x− 3 ≤ 0.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia log3(x+ 2)− log3(x− 4) = 1.

4. Dupa o scumpire cu 5%, pret,ul unui produs cres,te cu 12 lei. Calculat, i pret,ul produsului ınainte de scumpire.

5. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(1, 4) s, i B(5, 0). Determinat, i ecuat, ia mediatoarei segmentului[AB].

6. Calculat,i raza cercului circumscris triunghiului ABC, s,tiind ca BC = 9 s, i m(∢BAC) = 120◦.

SUBIECTUL II

1. Se considera determinantul D(x, y) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 11 x y

1 x+ 1 y + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, unde x, y ∈ Z.

a) Calculat,i D(−1, 1).

b) Determinat, i x ∈ Z pentru care D(x, 2010) = 1.

c) Demonstrat,i ca D(x, y) ·D(x,−y) = D(x2, y2), oricare ar fi x, y ∈ Z.

2. Pe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = 2xy − 6x− 6y + 21.

a) Aratat,i ca x ⋆ y = 2(x− 3)(y − 3) + 3, oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Aratat,i ca legea ”⋆” este asociativa.

c) Calculat,i 1 ⋆ 2 ⋆ . . . ⋆ 2011.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x3 + x2 + x+ 3x.

a) Calculat,i f ′(0).

b) Aratat,i ca funct, ia f este crescatoare pe R.

c) Aratat,i ca a3 + a2 + a− b3 − b2 − b ≤ 3b − 3a, oricare ar fi numerele reale a, b cu a ≤ b.

2. Pentru fiecare numar natural nenul n se considera funct, ia fn : [0, 1] → R, fn(x) = xnex.

a) Calculat,i

∫ 1

0

f1(x)

exdx.

b) Calculat,i

∫ 1

0

f1(x) dx.

c) Aratat,i ca

∫ 1

0

fn(x2) dx ≥ 1

2n+ 1, pentru orice n ∈ N, n ≥ 1.

7

M4

Proba E c)

Filiera vocat,ionala, profilul pedagogic, specializarea ınvat,ator-educatoare

SUBIECTUL I

1. Calculat,i log2(5 +√17) + log2(5−

√17).

2. Calculat,iP4 − C1

4

A15

·

3. Graficul unei funct, ii de gradul al II-lea este o parabola care are abscisa varfului egala cu 2 s, i intersecteaza axaOx ın doua puncte distincte. Daca unul dintre acestea are abscisa egala cu 5, atunci determinat, i abscisa celuilaltpunct de intersect,ie.

4. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor ıntregi ecuat,ia 2x+3 =1

4·

5. Aratat,i ca dreapta determinata de punctele A(1, ?2) s, i B(?2, 4) este perpendiculara pe dreapta d de ecuat,iex?2y + 3 = 0.

6. Calculat,i lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC ın care AB = 6 s, i m(∢BCA) = 60◦.

SUBIECTUL II

Pe mult, imea R se definesc legile de compozit,ie x ⋆ y = x+ y − 1 s, i x ◦ y =1

2(xy − x− y + 3).

a) Aratat,i ca legea ”⋆” este asociativa.

b) Determinat, i elementul neutru al mult, imii R ın raport cu legea ”⋆”.

c) Aratat,i ca x ◦ y =1

2(x− 1)(y − 1) + 1, pentru orice x, y ∈ R.

d) Rezolvat,i ın R ecuat,ia 2x ◦ 3 = 1.

e) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale sistemul

{

(x+ 1) ⋆ y = 3

(2x) ◦ (y − 1) = xy − 1.

f) Demonstrat,i ca (x ⋆ y) ◦ z = (x ◦ z) ⋆ (y ◦ z), pentru orice x, y, z ∈ R.

SUBIECTUL III


1 2 a

2 a 1a 1 2

, B =

0 1 11 0 11 1 0

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

s, i sistemul de ecuat,ii liniare

(S)

x+ 2y + az = 6

2x+ ay + z = 6

ax+ y + 2z = 6

, unde a este un parametru real.

a) Determinat, i numarul real a pentru care tripletul (1, 1, 1) este solut, ie a sistemului (S).

b) Aratat,i ca A2 − (a2 + 5)I3 = (3a+ 2)B.

c) Determinat, i numarul real a pentru care suma elementelor matricei A2 este egala cu 0.

d) Aratat,i ca, pentru a =?3, sistemul (S) este incompatibil.

e) Pentru a = 0, rezolvat,i sistemul (S).

f) Determinat, i inversa matricei B.

8


Proba E c)M1


SUBIECTUL I

1. Determinat, i numarul real m s,tiind ca mult, imile A = {2} s, i B = {x ∈ R | x2 +mx+ 4 = 0} sunt egale.

2. Determinat, i coordonatele varfului parabolei asociate funct, iei f : R → R, f(x) = x2 − 3x+ 2.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat,ia 3log3 x < 1.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegand la ıntamplare unul din numerele naturale de 2 cifre, acesta sa fieformat doar din cifre impare.

5. Determinat, i numarul real a pentru care vectorii ~u = 3~i+ a~j s, i ~v = a~i+ (2a− 3)~j sunt coliniari.

6. Calculat,i raza cercului circumscris triunghiului ABC, s,tiind ca AB = AC = 5 s, i BC = 6.

SUBIECTUL II

1. In M3(C) se considera matricele I3 =

1 0 00 1 00 0 1

s, i A(x) =

cosx 0 i sinx0 1 0

i sinx 0 cosx

, unde x ∈ R.

a) Calculat,i det(A(π)).

b) Aratat,i ca A(x) ·A(y) = A(x + y) pentru orice x, y ∈ R.

c) Determinat, i numerele reale x pentru care (A(x))2012 = I3.

2. Pe mult, imea G = (0, 1) se defines,te legea de compozit, ie asociativa x ◦ y =xy

2xy − x− y + 1.

a) Aratat,i ca e =1

2este elementul neutru al legii de compozit,ie ”◦”.

b) Aratat,i ca orice element din mult, imea G este simetrizabil ın raport cu legea de compozit,ie ”◦”.

c) Demonstrat,i ca f : G → R∗+, f(x) =

1

x− 1 este un izomorfism de la grupul (G, ◦) la grupul (R∗

+, ·).

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) =ex + e−x

2.

a) Calculat,i limx→+∞

x

f(x).

b) Demonstrat,i ca funct, ia f este convexa pe R.

c) Aratat,i ca funct, ia g : (0,+∞) → R, g(x) = f(√x) este strict crescatoare pe (0,+∞).

2. Pentru fiecare numar natural nenul n se considera numerele In =

∫ 1

0

xn ·√

1− x2 dx s, i Jn =

∫ π

2

0

sinn x dx.

a) Calculat,i J1.

b) Calcuat,i I1.

c) Demonstrat,i ca J2n = J2n+2 = I2n pentru orice numar natural nenul n.

1

M2

Filiera teoretica, profilul real, specializarea stiint,e ale naturii.Filiera tehnologica: profilul servicii, toate calificarile profesionale; profilul resurse, toate calificarile profesionale;profilul tehnic, toate calificarile profesionale.

SUBIECTUL I

1. Intr-o progresie aritmetica (an)n≥1 se cunosc a4 = 7 s, i a9 = 22. Calculat,i a14.

2. Determinat, i coordonatele punctului de intersect,ie a graficelor funct, iilor f : R → R, f(x) = x − 3 s, ig : R → R, g(x) = 5− x.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat,ia 23−x =1

4.

4. Determinat, i cate numere naturale de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mult, imii M = {0, 1, 2, 3}.

5. Intr-un reper cartezian xOy se considera punctele A(1, 2) s, i B(3, 0). Determinat, i coordonatele simetriculuipunctului A fat, a de punctul B.

6. Calculat,i lungimea laturii BC a triunghiului ABC, s,tiind ca AB = 6, AC = 5 s, i m(∢BAC) = 60◦.

SUBIECTUL II

1. Se considera sistemul de ecuat, ii

x+ y − 2z = 0

x− y + z = 1

x+ y + az = 2

, unde a ∈ R.

a) Calculat,i determinantul matricei asociate sistemului.

b) Determinat, i valorile reale ale lui a pentru care matricea asociata sistemului este inversabila.

c) Pentru a = 0, rezolvat,i sistemul de ecuat, ii.

2. Pe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie x ⋆ y = x+ y − 1.

a) Aratat,i ca x ⋆ 1 = x, pentru orice x ∈ R.

b) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia x ⋆ x ⋆ x = 4.

c) Determinat, i numarul natural n, n ≥ 2, pentru care C1n ⋆ C2

n = 14.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =x+ 1

ex.

a) Aratat,i caf ′(x)

f(x)= − x

x+ 1pentru orice x ∈ (0,+∞).

b) Aratat,i ca funct, ia f este descrescatoare pe (0,+∞).

c) Determinat, i ecuat,ia asimptotei oblice la graficul funct, iei g : (0,+∞) → R, g(x) =e2x · f2(x)

x.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x2012 + x2011 + x2 + x.

a) Determinat, i primitiva F : R → R a funct, iei f , care verifica relat,ia F (0) = 1.

b) Calculat,i

∫ 1

0

f(x)

x+ 1dx.

c) Calculat,i volumul corpului obt, inut prin rotat,ia ın jurul axei Ox a graficului funct, iei g : [1, 2] → R,g(x) = f(x)− x2012 − x2011.

2


Proba E c)M1


SUBIECTUL I

1. Calculat,i modulul numarului complex (1 + i)2.

2. Determinat, i coordonatele punctelor de intersect,ie a graficelor funct, iilor f : R → R, f(x) = x2 + 2x s, ig : R → R, g(x) = −x− 2.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat,ia 2x+1 ≤ 4.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegand la ıntamplare una dintre submult, imile cu trei elemente ale mult, imiiA = {1, 2, 3, 4, 5}, elementele submult, imii alese sa fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5. Se considera vectorii ~u =~i− 2~j s, i ~v = a~i−~j. Determinat, i numarul real a pentru care ~u · ~v = 3.

6. Calculat,i cosinusul unghiului A al triunghiului ABC ın care AB = 4, AC = 5 s, i BC = 7.

SUBIECTUL II


2x+ y + 3z = 0

x+ 2y + 3z = 0,

x+ y +mz = 0

unde m ∈ R.

a) Calculat,i determinantul matricei sistemului.

b) Determinat, i valorile reale ale lui m pentru care sistemul are solut,ie unica.

c) In cazul m = 2, determinat, i solut, ia (x0, y0, z0) a sistemului pentru care x0 > 0 s, i x20 + y20 + z20 = 3.


(

3 −23 −2

)

∈ M2(R) s, i mult, imea G = {X(p) = I2 + pA | p ∈ R \ {−1}}.

a) Aratat,i ca X(p) ·X(q) ∈ G, pentru orice X(p), X(q) ∈ G.

b) Admitem ca (G, ·) este grup comutativ avand elementul neutru X(0). Determinat, i inversul elemen-tului X(p) ın acest grup.

c) Rezolvat,i ecuat, ia (X(p))3= I2 + 7A, unde X(p) ∈ G.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x3 − 12x.

a) Aratat,i ca funct, ia este crescatoare pe intervalul [2,+∞).

b) Calculat,i limx→∞

ex

f(x).

c) Determinat, i mult, imea numerelor reale a pentru care ecuat, ia f(x) = a are trei solut, ii reale distincte.

2. Se considera funct, ia f : (−1,∞) → R, f(x) =2x+ 3

x+ 2.

a) Aratat,i ca orice primitiva a lui f este strict crescatoare pe (−1,∞).

b) Calculat,i

∫ 1

0

f(x)

x+ 1dx.

c) Calculat,i limx→∞

∫ 2x

x

f(t) dt

x.

3

M2


SUBIECTUL I

1. Aratat,i ca 2−1 + 2−2 = 0, 75.

2. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat,ia2

x− 3< 0.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat,ia√x+ 2 = x+ 2.

4. La o banca a fost depusa ıntr-un depozit suma de 900 lei cu o dobanda de p% pe an. Calculat,i p, s,tiindca, dupa un an, ın depozit suma este de 1008 lei.

5. In reperul cartezian xOy se considera punctele O(0, 0) s, i A(2, 3). Determinat, i coordonatele punctului B,s,tiind ca A este mijlocul segmentului (OB).

6. Determinat, i masura x a unui unghi ascut,it, s,tiind casinx+ 4 cosx

cosx= 5.

SUBIECTUL II

1. Se considera matricele H(x) =

1 0 00 1 lnx0 0 1

, cu x ∈ (0,∞).

a) Aratat,i ca det(H(x)) = 1, pentru orice x ∈ (0,∞).

b) Determinat, i numarul real a, a > 0, astfel ıncat H(x) ·H(a) = H(x), pentru orice x > 0.

c) Calculat,i determinantul matricei H(1) +H(2) + · · ·+H(2012).

2. In R[X ] se considera polinomul f = X3 + 3X2 − 3X − 1, cu radacinile x1, x2, x3.

a) Aratat,i ca polinomul f se divide cu X − 1.

b) Calculat,i x21 + x2

2 + x23.

c) Verificat,i daca (2− x1)(2− x2)(2− x3) = 13.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) =√x− lnx.

a) Aratat,i ca limx→4

f(x)− f(4)

x− 4.

b) Demonstrat,i ca funct, ia f este crescatoare pe intervalul (4,∞).

c) Determinat, i ecuat,ia asimptotei verticale la graficul funct, iei f .

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = xex.

a) Aratat,i ca funct, ia F : R → R, F (x) = xex − ex + 2012 este o primitiva a funct, iei f .

b) Calculat,i

∫ e

1

f(lnx) dx.

c) Determinat, i volumul corpului obt, inut prin rotat,ia ın jurul axei Ox a graficului funct, iei g : [1, 2] → R,

g(x) =f(x)

x.

4

M4

Filiera vocat,ionala, profilul pedagogic, specializarea ınvat, ator-educatoare

SUBIECTUL I

1. Calculat,i lg 100 + lg1

10.

2. Determinat, i mult, imea valorilor funct, iei f : {−1, 0, 1} → R, f(x) = −x+ 2.

3. Determinat, i coordonatele varfului parabolei asociate funct, iei f : R → R, f(x) = x2 + 2x− 1.

4. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat,ia 32x+1 = 9.

5. Intr-un reper cartezian xOy se considera punctele A(1, 2) s, i B(2, 0). Calculat,i distant,a de la A la B.

6. Calculat,i sin2 10◦ + sin2 80◦.

SUBIECTUL II

Pe mult, imea M =

(

1

3,∞

)

se defines,te legea de compozit, ie x ◦ y = xy − 1

3x− 1

3y +

4

9.

a) Verificat, i daca x ◦ y =

(

x− 1

3

)(

y − 1

3

)

+1

3, pentru orice x, y ∈ M .

b) Aratat,i ca x ◦ y = y ◦ x, pentru orice x, y ∈ M .

c) Demonstrat,i ca legea de compozit,ie ”◦” este asociativa.

d) Determinat, i e ∈ M astfel ıncat x ◦ e = e ◦ x = x, pentru orice x ∈ M .

e) Rezolvat,i ın mult, imea M ecuat, ia x ◦ x =4

9.

f) Aratat,i ca

(

a+1

3

)

◦ 3 ◦(

a+1

3

)

=8a2 + 1

3, pentru orice a ∈ M .

SUBIECTUL III

Se considera matricea A(m) =

m 1 −11 m −1−1 1 m

s, i sistemul (S)

mx+ y − z = 1

x+my − z = 1,

− x+ y +mz = 1

unde m este un

numar real.

a) Calculat,i det(A(2)).

b) Aratat,i ca det(A(m)) = m3 −m.

c) Determinat, i valorile reale ale lui m pentru care det(A(m)) = 0.

d) Verificat, i daca, pentru m = 3, tripletul

(

1

3,1

3,1

3

)

este solut, ie a sistemului (S).

e) Pentru m = 2, rezolvat,i sistemul (S).

f) Pentru m = 0, aratat,i ca sistemul (S) nu are solut, ii.

5


Proba E c)M1


SUBIECTUL I

1. Aratat,i ca log2(√7 +

√3) + log2(

√7−

√3) = 2.

2. Calculat,i distant,a dintre punctele de intersect,ie a graficului funct, iei f : R → R, f(x) = x2 +5x+4 cu axaOx.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat,ia 3x + 3x+1 = 4.

4. Determinat, i rangul termenului care cont,ine x14 ın dezvoltarea binomului

(

x+1√x

)20

, x > 0.

5. Determinat, i ecuat,ia dreptei care trece prin punctul A(3, 3) s, i este paralela cu dreapta d de ecuat, ie 3x +2y − 1 = 0.

6. Determinat, i masura unghiului C al triunghiului ABC, s,tiind ca BC = 2, AB =√2 s, i masura unghiului

BAC este egala cu 45◦.

SUBIECTUL II

1. Se considera sistemul de ecuat, ii

−x+ ay + (2a+ 4)z = 1

(a+ 2)x+ ay + (a+ 1)z = 1

(a+ 1)x+ (2a− 1)y + 3z = 2

, unde a ∈ R.

a) Aratat,i ca determinantul matricei sistemului este egal cu 3a3 + 9a2 − 3a− 9.

b) Determinat, i valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat.

c) Pentru a = −2, rezolvat,i sistemul.

2. Se considera polinomul f = X8 + 4X4 + 3, f ∈ Z5[X ].

a) Aratat,i ca a5 = a, pentru orice a ∈ Z5.

b) Aratat,i ca polinomul f este reductibil peste Z5.

c) Aratat,i ca polinomul f nu are radacini ın Z5.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → (0,+∞), f(x) = x+√x2 + 1.


f(x)− 1

x.

b) Determinat, i ecuat,ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct, iei f .

c) Demonstrat,i ca, pentru orice numar real m > 0, ecuat,ia f(x) = m are o solut, ie unica ın R.

2. Pentru fiecare numar natural nenul p, se considera numarul Ip =

∫ 1

0

xpex2

dx.

a) Calculat,i I1.

b) Aratat,i ca 2Ip + (p− 1)Ip−2 = e, pentru orice p ≥ 3.

c) Calculat,i limn→+∞

1

n2

(

e12

n2 + 2e

22

n2 + · · ·+ ne

n2

n2

)

.

6

M2


SUBIECTUL I

1. Se considera numarul a = log3 2. Aratat, i ca log3 6 = 1 + a.

2. Determinat, i numarul real m, s,tiind ca punctul A(0, 1) apart,ine graficului funct, iei f : R → R, f(x) =x2 − 2x+m− 3.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat,ia log2(x+ 1)− log2(x+ 3) = −1.

4. Determinat, i probabilitatea ca, alegand un numar din mult, imea {1, 2, 3, . . . , 30}, acesta sa fie divizibil cu7.

5. In reperul cartezian xOy se considera punctul A(4,−1). Determinat, i coordonatele punctului B, s,tiind caO este mijlocul segmentului (AB).

6. Calculat,i cosinusul unghiului A al triunghiului ABC, s,tiind ca AB = 5, AC = 6 s, i BC = 7.

SUBIECTUL II


x+ y + z = 1

2x+ ay + 3z = 1

4x+ a2y + 9z = 1

, unde a ∈ R s, i se noteaza cu A matricea sistemului.

a) Aratat,i ca detA = −a2 + 5a− 6.

b) Determinat, i valorile reale ale numarului a pentru care matricea A este inversabila.

c) Pentru a = 1, rezolvat,i sistemul.

2. In Z5[X ] se considera polinomul f = mX5 + nX , cu m, n ∈ Z5.

a) Determinat, i n ∈ Z5 pentru care f(1) = m.

b) Pentru m = 1 s, i n = 4, determinat, i radacinile din Z5 ale polinomului f .

c) Aratat,i ca, daca f(1) = f(2), atunci f(3) = f(4).

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R \ {−1} → R, f(x) =x2 − x− 1

x+ 1.

a) Calculat,i f ′(x), x ∈ R \ {−1}.


f(x) · lnxx2 − x− 1

.

c) Determinat, i ecuat,ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct, iei f .

2. Se considera funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = ex ·√x+ 1.

a) Determinat, i primitivele funct, iei g : (0,+∞) → R, g(x) =f(x)√x+ 1

.

b) Calculat,i

∫ 2

1

√x+ 1 · f(x) dx.

c) Calculat,i aria suprafet,ei determinate de graficul funct, iei h : (0,+∞) → R, h(x) = e−x · f(x), axa Ox

s, i dreptele de ecuat, ii x = 2 s, i x = 3.

7

M4

Filiera vocat,ionala, profilul pedagogic, specializarea ınvat, ator-educatoare

SUBIECTUL I

1. Se considera progresia aritmetica (an)n≥1 cu rat,ia r = −2 s, i a1 = 19. Calculat,i a7.

2. Determinat, i coordonatele punctelor de intersect, ie a graficului funct, iei f : R → R, f(x) = 4 − 4x

3cu axa

Ox s, i respectiv cu axa Oy.

3. Aratat,i ca ecuat, ia x2 − (2m+ 1)x+m2 +m = 0 admite doua solut, ii reale distincte, pentru orice m ∈ R.

4. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat,ia 3x+1 + 2 · 3x = 45.

5. Se considera paralelogramul ABCD s, i M , N , P , Q mijloacele laturilor (AB), (BC), (CD) respectiv (DA).

Demonstrat,i ca−−→AM +

−→AQ+

−−→CN +

−−→CP = ~0.

6. Se considera triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 20 s, i cosB =3

5. Calculat, i perimetrul

triunghiului ABC.

SUBIECTUL IIPe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie x ⋆ y = x+ y + 1.

a) Aratat,i ca (−5) ⋆ 5 = (−10) ⋆ 10.

b) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat,ia x2 ⋆ x ≤ 13.

c) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat,ia 4x ⋆ 2x = 21.

d) Demonstrat,i ca (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pentru orice numere reale x, y, z.

e) Determinat, i simetricul elementului x = 3 ın raport cu legea de compozit,ie ,,⋆”, s,tiind ca elementul neutrueste e = −1.

f) Determinat, i numarul elementelor mult, imii A = {n ∈ N | n ⋆ (n+ 1) ≤ 2012}.

SUBIECTUL III


1 2 32 3 13 1 2

, B =

0 a a

a a 0a 0 a

s, i sistemul de ecuat, ii (S)

ay + az = 1

ax+ ay = 0

ax+ az = 2

,

unde a este un numar real nenul.

a) Calculat,i determinantul matricei A.

b) Aratat,i ca matricea B este inversabila pentru orice a ∈ R \ {0}.

c) Pentru a = 1, aratat,i ca t(AB) = BA.

d) Pentru a = 1, aratat,i ca tripletul

(

1

2,−1

2,3

2

)

este solut, ie a sistemului (S).

e) Rezolvat,i sistemul (S), pentru a ∈ R \ {0}.

f) Determinat, i numarul real nenul a pentru care solut, ia (x0, y0, z0) a sistemului (S) verifica relat,ia x0+ y0+

z0 =1

4.

8

BACALAUREAT 2013

SESIUNEA SPECIALĂ

Proba E c)

mate-info

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică

Filiera vocat,ională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

SUBIECTUL I

1. Determinat,i numărul real x pentru care numerele 1, 2x+ 2 s,i 7 sunt termeni consecutivi ai unei

progresii aritmetice.

2. Calculat,i distant,a dintre punctele de intersect,ie cu axa Ox a graficului funct, iei f : R → R,

f(x) = x2 − 4x+ 3.

3. Rezolvat,i în mult,imea numerelor reale ecuat,ia√x2 + 4 = x+ 2.

4. Determinat,i câte numere naturale impare ab se pot forma, s,tiind că a, b ∈ {2, 3, 4, 5} s, i a 6= b.

5. În dreptunghiul ABCD, cu AB = 8 s, i BC = 6, se consideră vectorul #»v =# »

AB+# »

AO+# »

AD, unde

{O} = AC ∩BD. Calculat,i lungimea vectorului #»v .

6. Calculat,i sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 6, BC = 10 s, i sinC =3

5.

SUBIECTUL II

1. Pentru fiecare număr real a se consideră matricea A(a) =

a 1 1

1 a 1

1 1 a

.


b) Determinat,i valorile reale ale lui a pentru care 5A(a)− (A(a))2 = 4I3.

c) Determinat,i inversa matricei A(2).

2. Se consideră polinomul f = X3 −mX2 + 3X − 1, unde m este număr real.

a) Calculat,i f(2)− f(−2).

b) Determinat,i restul împărt,irii lui f la X+2, s,tiind că restul împărt,irii polinomului f la X−2

este egal cu 9.

c) Determinat,i numerele reale m pentru care x31 + x3

2 + x33 = 3, unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile

polinomului f .

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : (−1, 1) → R, f(x) = ln1− x

1 + x.

a) Calculat,i f ′(x), x ∈ (−1, 1).

b) Verificat,i dacă funct,ia f este descrescătoare pe intervalul (−1, 1).

c) Determinat,i punctele de inflexiune a funct, iei f .

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul In =

∫ 2

1

xnex dx.

a) Calculat,i I0.

b) Arătat,i că I1 = e2.

c) Demonstrat,i că In+1 + (n+ 1)In = 2n+1e2 − e, pentru orice număr natural n.

1

2

s,t-nat

Filiera teoretică, profilul real, specializarea s,tiint,e ale naturii

SUBIECTUL I

1. Arătat,i că numărul 2(√7 + 1)−

√28 este natural.

2. Calculat,i f(1) + f(2) + · · ·+ f(10) pentru funct,ia f : R → R, f(x) = 2x− 1.

3. Rezolvat,i în mult, imea numerelor reale ecuat,ia 4x+1 = 16.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mult, imea A = {1, 2, 3, . . . , 15},acesta să fie multiplu de 7.

5. Se consideră punctele A, B s, i C astfel încât# »

AB = 2#»

i +#»

j s, i# »

BC =#»

i − #»

j . Calculat,i lungimea

vectorului# »

AC.

6. Determinat,i x ∈(

0,π

2

)

s,tiind că3 sinx− 2 cosx

cosx= 1.

SUBIECTUL II

1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A(x) =

1 x x

x 1 x

x x 1

.


b) Arătat,i că A(1) · A(2) = 5A(1).

c) Determinat,i numerele reale x pentru care det(A(x)) = 0.

2. Se consideră polinomul f = X3 − 2X2 − 2X +m, unde m este număr real.

a) Pentru m = 3, calculat,i f(1).

b) Determinat,i numărul real m s,tiind că restul împărt,irii polinomului f la X − 2 este egal cu

2.

c) Pentru m = 4, arătat,i că (x1+x2+x3)

(1

x1

+1

x2

+1

x3

)

= 1, unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile

polinomului f .

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = x lnx.

a) Calculat,i f ′(x), x ∈ (0,∞).


f(x)

x2.

c) Demonstrat,i că funct,ia f este convexă pe intervalul (0,∞).

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =1

x2 + 1.

a) Arătat,i că∫ 1

0

xf(x) dx =1

2ln 2.

b) Calculat,i∫ 1

0

xf ′(x) dx.

c) Determinat,i volumul corpului obt,inut prin rotat,ia în jurul axei Ox a graficului funct, iei

h : [0, 1] → R, h(x) =1

f(x).

3

tehnologic

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările

profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

SUBIECTUL I

1. Arătat,i că 3(2 +√2 )− 3

√2 = 6.

2. Calculat,i f(−2) · f(0) pentru funct, ia f : R → R, f(x) = x+ 1.

3. Rezolvat,i în mult,imea numerelor reale ecuat,ia log3(x2 + 1) = log3 1.

4. Pret,ul unui obiect este 1000 de lei. Determinat,i pret,ul obiectului după o ieftinire cu 10%.

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele P (2, 1) s, i R(2, 3). Determinat,i coordonatele

mijlocului segmentului PR.

6. Calculat,i cosB, s,tiind că sinB =5

13s, i unghiul B este ascut,it.

SUBIECTUL II

1. Se consideră matricea A =

(

1 1

1 0

)

.

a) Calculat,i det(A).

b) Determinat,i numărul real x pentru care A · A− xI2 = A, unde I2 =

(

1 0

0 1

)

.

c) Determinat,i matricele M =

(

m m

m 1

)

, s,tiind că det(M +A) = 0, unde m este număr real.

2. Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativă dată de x⋆y = x+y−2.

a) Calculat,i 5 ⋆ (−5).

b) Arătat,i că legea de compozit,ie „⋆” este comutativă.

c) Calculat,i (−3) ⋆ (−2) ⋆ (−1) ⋆ 0 ⋆ 1 ⋆ 2 ⋆ 3.

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = xex.

a) Arătat,i că f ′(x) = (x + 1)ex, pentru orice x ∈ R.

b) Verificat,i dacă f ′′(x) + f(x) = 2f ′(x), pentru orice x ∈ R.

c) Arătat,i că funct, ia f are un punct de extrem.

2. Se consideră funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) =1

x.

a) Calculat,i∫ 5

4

xf(x) dx.

b) Arătat,i că funct, ia F : (0,∞) → R, F (x) = 4 + lnx este o primitivă a funct, iei f .

c) Determinat,i numărul real a, a > 5, pentru care aria suprafet,ei plane delimitate de graficul

funct, iei f , axa Ox s,i dreptele de ecuat,ie x = 5 s, i x = a, este egală cu ln 3.

4

BACALAUREAT 2013

SESIUNEA IULIE

Proba E c)

mate-info



SUBIECTUL I

1. Arătat,i că numărul a = 3(3− 2i) + 2(5 + 3i) este real.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 4x− 1. Calculat,i f(1) + f(2) + · · ·+ f(10).

3. Rezolvat,i în mult, imea numerelor reale ecuat,ia log2(2x) = log2(1 + x).

4. După o scumpire cu 10% pret,ul unui produs este 2200 de lei. Calculat,i pret,ul produsului înainte

de scumpire.

5. Determinat,i numărul real a pentru care vectorii #»u =#»

i +4#»

j s, i #»v = 2#»

i +(a+1)#»

j sunt coliniari.

6. Determinat,i x ∈(

0,π

2

)

, s,tiind că3 sinx+ cosx

sinx= 4.

SUBIECTUL II

1. Se consideră determinantul D(a, b) =

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

a a2 1

b b2 1

∣∣∣∣∣∣∣

, unde a s, i b sunt numere reale.

a) Arătat,i că D(2, 3) = 2.

b) Verificat,i dacă D(a, b) = (a− 1)(b− 1)(b− a), pentru orice numere reale a s, i b.

c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele Pn(n, n2), unde n este un număr natural

nenul. Determinat,i numărul natural n, n ≥ 3, pentru care aria triunghiului P1P2Pn este

egală cu 1.

2. Se consideră x1, x2, x3 rădăcinile complexe ale polinomului f = X3 − 4X2 + 3X −m, unde m

este număr real.

a) Pentru m = 4, arătat,i că f(4) = 8.

b) Determinat,i numărul realm pentru care rădăcinile polinomului f verifică relat,ia x1+x2 = x3.

c) Dacă x31 + x3

2 + x33 = 7(x1 + x2 + x3), arătat,i că f se divide cu X − 3.

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = cosx+x2

2.

a) Calculat,i f ′(x), x ∈ R.

b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x0 = 0, situat pe

graficul funct, iei f .

c) Demonstrat,i că f(x) ≥ 1, pentru orice x ∈ R.

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul In =

∫ 1

0

xnex dx.

a) Calculat,i I1.

b) Arătat,i că In+1 + (n+ 1)In = e, pentru orice număr natural nenul n.

c) Arătat,i că 1 ≤ (n+ 1)In ≤ e, pentru orice număr natural nenul n.

5

s,t-nat


SUBIECTUL I

1. Arătat,i că numărul x = 2(1 + i)− 2i este real.

2. Calculat,i f(1) · f(2) · . . . · f(5) pentru funct,ia f : R → R, f(x) = x− 2.

3. Rezolvat,i în mult,imea numerelor reale ecuat,ia√x2 + 1 = x+ 1.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mult,imea numerelor naturale

de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 5.

5. Se consideră punctele A, B s, i C astfel încât# »

AB = 2#»

i +2#»

j s, i# »

BC = 2#»

i +#»

j . Calculat,i lungimea

vectorului# »

AC.

6. Se consideră E(x) = sinx+ cosx

2, unde x este număr real. Calculat,i E

(π

3

)

.

SUBIECTUL II

1. Se consideră matricea A =

(

1 2

3 5

)

.


b) Arătat,i că A2 − 6A = I2.

c) Determinat,i inversa matricei B = A− 6I2.

2. Pe R se defines,te legea de compozit,ie asociativă dată de x ⋆ y =√

x2 + y2 + 4.

a) Calculat,i 2 ⋆ 2.

b) Rezolvat,i în mult,imea numerelor reale ecuat,ia x ⋆ x =√12.

c) Arătat,i că numărul 1 ⋆ 1 ⋆ . . . ⋆ 1︸︷︷︸

de 8 ori

este întreg.

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = ex(x2 − 6x+ 9).

a) Arătat,i că f ′(x) = ex(x2 − 4x+ 3), pentru orice x ∈ R.

b) Verificat,i dacă f(x) + f ′′(x) = 2( f ′(x) + ex ), pentru orice x ∈ R.

c) Determinat,i punctele de extrem ale funct,iei f .

2. Se consideră funct, ia f : (−1,+∞) → R, f(x) =x

x+ 1.

a) Calculat,i∫ 1

0

(x+ 1)f(x) dx.

b) Arătat,i că∫ 1

0

x2f(x) dx+

∫ 1

0

x3f(x) dx =1

4.

c) Determinat,i volumul corpului obt,inut prin rotat,ia în jurul axei Ox a graficului funct, iei

h : [0; 1] → R, h(x) = f(x).

6

tehnologic



SUBIECTUL I

1. Arătat,i că 3( 2−√2 ) + 3

√2 = 6.

2. Calculat,i f(0) · f(2) pentru funct, ia f : R → R, f(x) = x− 1.

3. Rezolvat,i în mult, imea numerelor reale ecuat,ia 5x−2 = 25.

4. Pret,ul unui obiect este 100 de lei. Determinat,i pret,ul obiectului după o scumpire cu 10%.

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1; 1) s, i B(1; 3). Calculat,i distant,a de la punctul

A la punctul B.

6. Calculat,i cos 45◦ + cos 135◦.

SUBIECTUL II

1. Pentru fiecare număr real a se consideră matricea M(a) =

(

2a 0

0 2a

)

.

a) Arătat,i că M

(1

2

)

+M

(

−1

2

)

= M(0).

b) Determinat,i numărul real a pentru care det(M(a)) = 0.

c) Determinat,i matricea M(−2) +M(−1) +M(0) +M(1) +M(2).

2. Se consideră polinomul f = X3 − 2X2 + 1.

a) Arătat,i că f(1) = 0.

b) Determinat,i câtul s, i restul împărt,irii polinomului f la polinomul g = X2 − 2X + 1.

c) Calculat,i x21 + x2

2 + x23, unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile polinomului f .

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : [0,+∞) → R, f(x) =√x− 1.

a) Arătat,i că 2√xf ′(x) = 1, pentru orice x ∈ (0,+∞).

b) Verificat,i dacă dreapta de ecuat,ie y =1

4x este tangentă la graficul funct,iei f în punctul de

abscisă x0 = 4, situat pe graficul funct, iei f .

c) Arătat,i că funct,ia f este concavă pe intervalul (0,+∞).

2. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = 2x+ 1 +1

x.

a) Calculat,i∫ 2

1

(

f(x)− 1

x

)

dx.

b) Arătat,i că funct,ia F : (0,+∞) → R, F (x) = x2 + x+ lnx este o primitivă a funct, iei f .

c) Calculat,i aria suprafet,ei delimitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat,ie x = 1

s,i x = 2.

7

pedagogic

Filiera vocat,ională, profilul pedagogic, specializarea învăt,ător-educatoare

SUBIECTUL I

1. Arătat,i că 3( 1 +√2 )−

√18 = 3.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x− 3. Arătat,i că f(3) + f(−3) = −6.


4. După o scumpire cu 10% pret,ul unui produs cres,te cu 70 de lei. Calculat,i pret,ul produsului

după scumpire.

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele P (2; 7) s, i R(2; 9). Determinat,i coordonatele

mijlocului segmentului PR.

6. Determinat,i lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A, s,tiind că AC = 40 s, i

sinB =2

5.

SUBIECTUL II

Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativă dată de x ⋆ y = xy + x+ y.

1. Calculat,i (−1) ⋆ 3.

2. Arătat,i că x ⋆ y = (x+ 1)(y + 1)− 1, pentru orice numere reale x s,i y.

3. Verificat,i dacă e = 0 este elementul neutru al legii „⋆”.

4. Determinat,i numerele reale x pentru care x ⋆ x = x.

5. Arătat,i că (−1) ⋆ x = −1, pentru orice număr real x.

6. Calculat,i (−1) ⋆ 0 ⋆ 1 ⋆ . . . ⋆ 2012 ⋆ 2013.

SUBIECTUL III

Pentru fiecare număr real m se consideră matricea A(m) =

m 1 1

1 m 1

1 1 1

.

1. Arătat,i că det(A(1)) = 0.

2. Calculat,i A(1) · A(0).3. Arătat,i că det(A(m)) = m2 − 2m+ 1, pentru orice număr real m.

4. Verificat,i dacă matricea B =

−1 0 1

0 −1 1

1 1 −1

este inversa matricei A(0).

5. Determinat,i numărul real m pentru care suma elementelor matricei A(m) este egală cu 2013.

6. Pentru m = 0, rezolvat,i sistemul

m x+ y + z = 1

x+m y + z = 1

x+ y + z = 3

.

8

BACALAUREAT 2013

SESIUNEA IULIE

Subiecte de rezervă

Proba E c)

mate-info



SUBIECTUL I

1. Arătat,i că numărul (√3− 1 )2 + 2

√3 este natural.

2. Determinat,i coordonatele punctului de intersect,ie a graficelor funct,iilor f : R → R, f(x) = x+1

s, i g : R → R, g(x) = 2x− 1.

3. Rezolvat,i în mult, imea numerelor reale ecuat,ia 26−x2

= 2x.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mult,imea numerelor naturale

de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 2.

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1; 3) s, i B(3; 1). Determinat, i ecuat,ia mediatoarei

segmentului AB.

6. Calculat,i raza cercului circumscris triunghiului ABC dreptunghic în A, s,tiind că BC = 8.

SUBIECTUL II

1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A(x) =

1 x 1

1 −1 1

x −1 1

.

a) Calculat,i A(0) · A(1).b) Arătat,i că det(A(x)) = x2 − 1, pentru orice număr real x.

c) Determinat,i numerele întregi x pentru care inversa matricei A(x) are elementele numere

întregi.

2. Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativă dată de

x ◦ y =√

x2y2 + x2 + y2.

a) Calculat,i 2 ◦ 3.b) Arătat,i că x ◦ y =

√

(x2 + 1)(y2 + 1)− 1, pentru orice x s,i y numere reale.

c) Rezolvat,i în mult,imea numerelor reale ecuat,ia x ◦ x ◦ x = x.

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = ex s,i g : R → R, g(x) = x2 + 2x+ 2.

a) Calculat,i g′(2).

b) Arătat,i că limx→0

2f(x)− g(x)

2x3=

1

6.

c) Demonstrat,i că 2f(x) ≥ g(x), pentru orice x ∈ [0,+∞).

2. Se consideră funct, iile f : (−2,+∞) → R, f(x) = x+ 2 +1

x+ 2s, i F : (−2,+∞) → R,

F (x) =x2

2+ 2x+ ln(x+ 2).

a) Calculat,i∫ 1

0

(x+ 2)f(x) dx.

b) Verificat,i dacă funct, ia F este o primitivă a funct, iei f .

c) Calculat,i∫ 0

−1

F (x)f(x) dx.

9

s,t-nat


SUBIECTUL I

1. Arătat,i că numărul√8− 2(

√2− 3 ) este natural.

2. Calculat,i ( f ◦ f )(0) pentru funct, ia f : R → R, f(x) = 3x+ 1.


4. După o ieftinire cu 20% pret,ul unui produs scade cu 200 de lei. Calculat,i pret,ul produsului după

ieftinire.

5. Determinat,i numărul real a pentru care vectorii #»u = (a− 1)#»

i +4#»

j s, i #»v = 2#»

i − 4#»

j sunt opus,i.

6. Calculat,i lungimea medianei din A în triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 10.

SUBIECTUL II

1. Se consideră sistemul de ecuat,ii liniare

x− y + 2z = a

2x− y = 0

y − z = 1

, unde a este un număr real.

a) Determinat,i numărul real a s,tiind că (x, y, z) = (1, 2, 1) este solut,ie a sistemului.

b) Calculat,i determinantul matricei sistemului.

c) Rezolvat,i sistemul pentru a = −2.

2. Se consideră polinomul f = X3 −X + a, unde a este număr întreg.

a) Pentru a = −2, calculat,i f(2).

b) Arătat,i că x21 + x2

2 + x23 = 2, unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile polinomului f .

c) Arătat,i că, dacă polinomul f are o rădăcină întreagă, atunci a este multiplu de 6.

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =2

x+ lnx.

a) Arătat,i că f ′(x) =x− 2

x2, pentru orice x ∈ (0,+∞).

b) Determinat,i punctele de extrem ale funct,iei f .

c) Arătat,i că funct, ia f este convexă pe intervalul (0; 4).

2. Se consideră funct, ia f : (1,+∞) → R, f(x) =1

x2 − 1.

a) Arătat,i că∫ 4

2

(x− 1)f(x) dx = ln5

3.

b) Calculat,i∫ 3

2

(x3 − 1)f(x) dx.

c) Arătat,i că aria suprafet,ei delimitate de graficul funct,iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat,ie

x = 2 s, i x = 3, este egală cu1

2ln

3

2.

10

tehnologic



SUBIECTUL I

1. Arătat,i că 2( 5−√2 ) + 2

√2 = 10.

2. Calculat,i f(−3) + f(3) pentru funct, ia f : R → R, f(x) = x2 − 9.

3. Rezolvat,i în mult, imea numerelor reale ecuat,ia 52x = 25.

4. Pret,ul unui obiect este 100 de lei. Determinat,i pret,ul obiectului după o scumpire cu 20%.

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1; 1) s, i B(3; 1). Calculat,i distant,a de la punctul

A la punctul B.

6. Calculat,i cos 30◦ + cos 150◦.

SUBIECTUL II

1. Se consideră matricele A =

(

1 −1

0 1

)

, I2 =

(

1 0

0 1

)

s, i B =

(

x −1

0 x

)

, unde x este număr real.


b) Pentru x = 0 arătat,i că A−B = I2.

c) Determinat,i numărul real x pentru care det(A+B) = 0.

2. Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativă dată de x◦y = x+y+3.

a) Calculat,i 2 ◦ (−2).

b) Arătat,i că e = −3 este elementul neutru al legii de compozit,ie „◦”.c) Determinat,i numărul real x pentru care 2013 ◦ (−2013) = x ◦ x.

SUBIECTUL III

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =x+ 1

x.

a) Calculat,i limx→+∞

f(x).

b) Arătat,i că funct,ia f este descrescătoare pe intervalul (0,+∞).

c) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x0 = 1, situat pe

graficul funct, iei f .

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 3x2 + 1.

a) Calculat,i∫ 1

0

f ′(x) dx.

b) Arătat,i că funct,ia F : R → R, F (x) = x3 + x+ 1 este o primitivă a funct, iei f .

c) Calculat,i aria suprafet,ei delimitate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i dreptele de ecuat,ie x = 0

s,i x = 1.

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c)

Matematică M_mate-info Varianta 9

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi raţia progresiei geometrice ( ) 1n n

b ≥ cu termeni reali, ştiind că 1 1b = şi 4 27b = .

5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 8f x x x= − + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 13 9x x+ −= . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de

două cifre, acesta să fie pătrat perfect. 5p 5. Se consideră punctele ,A B şi C astfel încât 4 3AB i j= −

�� şi 2 5BC i j= −��

. Determinaţi lungimea vectorului AC

��.

5p 6. Calculaţi sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care 4, 5AB BC= = şi 4

sin5

C = .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Pentru fiecare număr real m se consideră matricea ( )1 1 1

0 00

A m mm m

=

.

5p a) Calculaţi ( )( )det 1A .

5p b) Determinaţi numerele reale m știind că

1 1 0

( ) ( ) 1 1 1

0 1 0

A m A m

− ⋅ − =

.

5p c) Arătaţi că ( ) ( ) ( )( ) 2 3det 1 2 ... 101 51 101A A A+ + + = − ⋅ .

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de 4 4 20x y xy x y= − − +� .

5p a) Calculaţi 3 4� .

5p b) Arătaţi că ( )( )4 4 4x y x y= − − +� , pentru orice numere reale x şi y .

5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia de 2013 ori

... 5x

x x x =� � �� .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( )x

x

ef x

x e=

+.

5p a) Arătaţi că ( )

( )2

1'( )

x

x

x ef x

x e

−=

+, pentru orice ( )0,x∈ +∞ .

5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f .

5p c) Demonstrați că ( )1

ef x

e≥

+, pentru orice ( )0,x∈ +∞ .

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul 2

1

0

nxnI xe dx−= ∫ .

5p a) Calculați 0I .

5p b) Arătaţi că 1n nI I+ ≤ , pentru orice număr natural n .

5p c) Demonstraţi că 1 1

12n n

In e

= −

, pentru orice număr natural nenul n .


Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii


Matematică M_şt-nat Varianta 9

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul ( ) ( )3 2 5 5 1 3a i i= + − + este real.

5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie cu axa Ox a graficului funcţiei :f →ℝ ℝ ,

( ) 2 10 25f x x x= + + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )25 5log 1 log ( 2)x x x+ + = + .

5p 4. După o ieftinire cu 10% preţul unui produs este 90 de lei. Calculaţi preţul produsului înainte de ieftinire.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta h de ecuație 1y x= − şi punctul ( )2,2A .

Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin A şi este paralelă cu h .

5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC în care 5AB = , 6AC = şi 7BC = .


1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea ( )1 1 0

1 1

1 1 1

A x x

= −

.

5p a) Arătaţi că ( ) ( ) ( )2 6 2 4A A A+ = .

5p b) Determinaţi numărul real x pentru care ( )( )det 0A x = .

5p c) Determinați inversa matricei ( )2A .

2. Se consideră 1 2,x x și 3x rădăcinile complexe ale polinomului 3 2f X X mX m= + + + , unde m este un număr real.

5p a) Arătați că f este divizibil cu 1X + , pentru orice număr real m .

5p b) Determinați numărul real m pentru care 2 2 21 2 3 11x x x+ + = .

5p c) Determinați valorile reale ale lui m știind că 1 2 3x x x= = .


1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) lnf x x x= − .

5p a) Calculați ( )'f x , ( )0,x ∈ +∞ .

5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = , situat pe graficul funcției f .

5p c) Demonstraţi că ln 1x x≥ + , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( 1)( 1)f x x x x= + − .

5p a) Arătaţi că ( )3

2

7

( 1) 2

f xdx

x x=

−∫ .

5p b) Determinaţi primitiva :F →ℝ ℝ a funcţiei f ştiind că (1) 1F = − .

5p c) Arătaţi că ( ) 2

22

ln2ln 2 1

41

e f x x edx

x= − +

−∫ .


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale


Matematică M_tehnologic

Varianta 9

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătaţi că ( )3 4 3 3 3 12− + = .

5p 2. Calculaţi ( 4) (4)f f− + pentru funcţia :f →ℝ ℝ , 2( ) 16f x x= − .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 22 8 0x x− − + = .

5p 4. Preţul unui obiect este 100 de lei. Determinaţi preţul obiectului după o ieftinire cu 30%.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,4A şi ( )2,1B . Calculaţi distanţa de la punctul

A la punctul B .

5p 6. Calculaţi cosA , ştiind că 1

sin2

A = şi unghiul A este ascuţit.


1. Se consideră matricele

2 2

0 2A

− =

, 2

1 0

0 1I

=

şi 1

0

bB

b

=

, unde b este număr real.

5p a) Calculaţi detA .

5p b) Determinaţi numărul real b pentru care 22A B I⋅ = .

5p c) Determinaţi numărul real b pentru care ( )det 0A B+ = .

2. Se consideră polinomul 3 23 2f X X X= − + .

5p a) Calculaţi ( )1f .

5p b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la 2X − .

5p c) Calculați 2 2 21 2 3x x x+ + , unde 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 3( ) ( 2)f x x= + .

5p a) Verificaţi dacă ( ) 23 12 12f x x x′ = + + , pentru orice x ∈ℝ .

5p b) Arătaţi că funcţia f este crescătoare pe ℝ .

5p c) Calculaţi 2

'( )lim

x

f x

x→+∞.

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + .

5p a) Verificaţi dacă funcţia :F →ℝ ℝ , ( )3

3

xF x x= + este o primitivă a funcţiei f .

5p b) Calculați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa O x şi dreptele de ecuaţie 0x = şi 1x = .

5p c) Arătaţi că ( )2

1

3ln 2

2

f xdx

x= +∫ .


Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare


Matematică M_pedagogic

Varianta 9

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătaţi că ( )3 1 3 27 3+ − = .

5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= + . Arătaţi că ( 3) (3) 6f f− + = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 23 15 0x x+ − − =

5p 4. După o scumpire cu 10% preţul unui produs este 220 de lei. Calculaţi preţul produsului înainte de scumpire.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3P şi ( )4,3R . Determinaţi coordonatele

mijlocului segmentului PR. 5p 6. Determinaţi lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , ştiind că 20BC = şi

2cos

5B = .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 2 2 2x y xy x y= + + +� .

5p 1. Calculaţi ( )3 2−� .

5p 2. Verificaţi dacă legea de compoziţie „ � ” este comutativă.

5p 3. Arătaţi că ( )( )2 2 2x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x şi y.

5p 4. Determinaţi numerele reale x pentru care x x x=� .

5p 5. Verificaţi dacă ( )2 2x − = −� , pentru orice număr real x.

5p 6. Calculaţi ( ) ( ) ( )2013 2012 ... 2− − −� � � .


Pentru fiecare număr real m se consideră matricea ( )1 2 1

1 3 1

2 1

A m

m

= −

.

5p 1. Calculaţi ( )( )det 0A .

5p 2. Arătaţi că ( )( )det 5 4A m m= − , pentru orice număr real m.

5p 3. Determinaţi numerele reale m pentru care ( )( ) 2det A m m= .

5p 4. Arătaţi că ( ) ( ) ( )2 0A m A m A+ − = pentru orice număr real m.

5p 5. Verificaţi dacă ( ) 3

1 1 1

0 2 2 2 4

7 3 5

A I

− − ⋅ − − = − −

, unde 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

.

5p 6. Pentru 0m= , rezolvaţi sistemul

2 2

3 3

2 1

x y z

x y z

x y mz

+ + =− + + = + + =

.


Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

1


Matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare

Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. 3 34 1 27b b q q= ⇒ =

3q = 3p 2p

2. 3Vx =

1Vy = − 2p 3p

3. ( )2 123 3 2 2 2xx x x−+ = ⇒ + = − 0x =

3p 2p

4. Numerele de două cifre, pătrate perfecte, sunt 16, 25, 36, 49, 64 şi 81⇒6 cazuri favorabile Numărul de numere naturale de două cifre este 90⇒90 de cazuri posibile

nr. cazuri favorabile 1

nr. cazuri posibile 15p = =

2p 1p

2p

5. 6 8AC AB BC i j= + = −��

( )226 8 10AC = + − =

3p

2p 6.

sin sin

AB BC

C A=

sin 1A =

2p

3p


1.a)

( ) ( )( )1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 det 1 1 0 0

1 0 1 1 0 1

A A

= ⇒ = =

2p

1= − 3p b)

2 2

1 2 1 1

( ) ( )

m m

A m A m m m m

m m m m m

− −

⋅ − = − −

3p

2 2

1 2 1 1 1 1 0

1 1 1 1

0 1 0

m m

m m m m

m m m m m

− − − = ⇒ =

− −

2p

c)

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 101 101 101

1 2 ... 101 1 0 0 2 0 0 ... 101 0 0 101 51 0 0

1 0 1 2 0 2 101 0 101 101 51 0 101 51

A A A

+ + + = + + + = ⋅ ⋅ ⋅

3p

( ) ( ) ( )( ) 2 3

101 101 101

det 1 2 ... 101 101 51 0 0 51 101

101 51 0 101 51

A A A+ + + = ⋅ = − ⋅⋅ ⋅

2p



2

2.a) 3 4 3 4 4 3 4 4 20= ⋅ − ⋅ − ⋅ + =� 3p 4= 2p

b) ( ) ( )4 4 4 4x y x y y= − − − + =� 3p ( )( )4 4 4x y= − − + , pentru orice numere reale x şi y 2p

c) ( )24 4x x x= − +� 1p

( )2013

de 2013 ori

... 4 4x

x x x x= − +� � �� 2p

( )20134 4 5 5x x− + = ⇒ = 2p


1.a) ( ) ( )( )2

1'( )

x x x x

x

e x e e ef x

x e

+ − += =

+ 3p

( )

( )2

1 x

x

x e

x e

−=

+, pentru orice ( )0,x∈ +∞ 2p

b) ( )lim lim 1

x

xx x

ef x

x e→+∞ →+∞= =

+ 3p

Ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f este 1y = 2p c) '(1) 0f = ; '( ) 0f x ≤ , pentru ( ]0,1x∈ și '( ) 0f x ≥ , pentru [ )1,x∈ +∞ 3p

( ) (1) ( )1

ef x f f x

e≥ ⇒ ≥

+, pentru orice ( )0,x∈ +∞ 2p

2.a) 1 2

00

102

xI xdx= = =∫ 3p

1

2= 2p

b) ( )2 21

10

1nx xn nI I xe e dx− −

+ − = −∫ 2p

Pentru orice n∈ℕ şi [ ]0,1x ∈ avem 2

0nxe− > şi 2

1 0xe− − ≤ ⇒ 1n nI I+ ≤ 3p

c) Pentru orice *n∈ℕ avem

2 21 1

0 0

1( ) '

2nx nx

nI xe dx e dxn

− −= = − =∫ ∫ 3p

2 11 1 11

02 2nx

ne

n n e− = − = −

2p


Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

1


Matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare

Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. ( )3 2 5 6 15i i+ = +

( )5 1 3 5 15i i+ = +

1a = ∈ℝ

2p

2p

1p 2. ( ) ( )2

0 5 0f x x= ⇒ + =

5x = − şi 0y =

2p 3p

3. 2 1 2x x x+ + = + Rezultă 1x = − sau 1x = , care verifică ecuaţia

3p 2p

4. Se notează cu x preţul înainte de ieftinire

1090

100x x⇒ − ⋅ =

100x =

3p 2p

5. 1d hd h m m⇒ = =�

( ): 2 1 2d y x− = ⋅ − , deci :d y x= 3p 2p

6. 2 2 2 25 36 49cos

2 2 5 6

AB AC BCA

AB AC

+ − + −= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

5=

3p

2p


1.a)

( ) ( )1 1 0 1 1 0 2 2 0

2 6 2 1 1 6 1 1 8 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2

A A

+ = + = = − − −

( )2 4A=

3p

2p b)

( )( )1 1 0

det 1 1 3

1 1 1

A x x x= = −−

3 0 3x x− = ⇒ =

3p

2p c) ( )( )det 2 1A =

( )( ) 12 1 1

2 1 1 1

3 2 1

A−

− = − − − −

2p

3p

2.a) ( )1 1 1 0f m m− = − + − + =

Rezultă 1X + divide polinomul f

2p 3p

b) 1 2 3 1 2 1 3 2 31,x x x x x x x x x m+ + = − + + = 2 2 21 2 3 1 2x x x m+ + = −

1 2 11 5m m− = ⇒ = −

2p 2p 1p



2

c) 1 2 31 1x x x= − ⇒ = =

1 2 3x x x m= −

1 1m m= ⇒ = − sau 1m = ; ambele valori verifică cerința

2p 1p 2p


1.a) ( ) ( )' ln 'f x x x′ = − =

11

x= − , pentru orice ( )0,x∈ +∞

2p

3p

b) ( ) ( )( )1 1 1y f f x′− = −

( )1 1f = , ( )1 0f ′ = ⇒ecuaţia tangentei este 1y =

2p

3p

c) ( )' 1 0f = , ( )' 0f x < , pentru ( )0,1x∈ şi ( )' 0f x > , pentru ( )1,x∈ +∞

( ) (1) ln 1f x f x x≥ ⇒ ≥ + , pentru orice ( )0,x∈ +∞

3p

2p 2.a) ( ) ( )

3 3 2

2 2

31

2( 1) 2

f x xdx x dx x

x x

= + = + = −

∫ ∫

15 74

2 2= − =

3p

2p

b) ( ) 3f x x x= − ⇒ primitiva F a funcției f este 4 21 1( )

4 2F x x x c= − + , unde c∈ℝ

4 23 1 1 3(1) 1 ( )

4 4 2 4F c F x x x= − ⇒ = − ⇒ = − −

3p

2p

c) ( )2

2 2

lnln

1

e ef x xdx x xdx

x= =

−∫ ∫

2 2

22

1ln 2ln 2 1

2 2 4

e ex e

x xdx

= − = − +

∫

2p

3p


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

1


Matematică M_tehnologic Barem de evaluare şi de notare

Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. ( )3 4 3 12 3 3− = −

12 3 3 3 3 12− + =

2p 3p

2. ( )4 0f − =

( ) ( ) ( )4 0 4 4 0f f f= ⇒ − + =

2p 3p

3. ( )2 22 4 4x x x− = − +

3x =

2p 3p

4. 30100 30

100⋅ =

Preţul după ieftinire este 70 de lei

2p 3p

5. ( ) ( )2 22 2 1 4AB = − + −

3AB =

3p 2p

6. 2 2 2 3sin cos 1 cos

4A A A+ = ⇒ =

3cos

2A =

3p

2p


1.a) 2 2det 4 0

0 2A

−= = − =

4=

3p

2p b) 2 2 2

0 2

b bA B

b

− ⋅ =

22 1A B I b⋅ = ⇔ =

3p

2p

c) 22 1

det( ) (2 )0 2

bA B A B b

b

+ − + = ⇒ + = + +

2(2 ) 0 2b b+ = ⇔ = −

3p

2p

2.a) 3 2(1) 1 3 1 2 1f = − ⋅ + ⋅ = 1 3 2 0= − + =

2p 3p

b) Câtul este 2X X− Restul este 0

2p 3p

c) 1 2 3 3x x x+ + = , 1 2 2 3 3 1 2x x x x x x+ + = 2 2 2 21 2 3 3 2 2 5x x x+ + = − ⋅ =

2p 3p



2


1.a) 3 2( ) ( 6 12 8) 'f x x x x′ = + + + = 23 12 12x x= + + , pentru orice x ∈ℝ

2p

3p b) 2( ) 3( 2)f x x′ = + , pentru orice x ∈ℝ

( ) 0f x′ ≥ , pentru orice x f∈ ⇒ℝ este crescătoare pe ℝ

2p

3p

c) 22 2

2 2

12 123

3 12 12lim lim

x x

xx x x x

x x→+∞ →+∞

+ + + + = =

3=

3p

2p 2.a)

( )3

2 13

xF x x x

′ ′ = + = +

( ) ( )'F x f x= , oricare ar fi x F∈ ⇒ℝ este o primitivă a funcţiei f

3p

2p

b) ( ) ( )

1 1 32

0 0

11

03

xf x dx x dx x

= = + = + =

∫ ∫A

4

3=

3p

2p

c) ( )2 2 22

1 1 1

1 1f x xdx dx x dx

x x x

+ = = + =

∫ ∫ ∫

2 2 3ln ln 2

12 2

xx

= + = +

2p

3p


Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

1

Examenul de bacalaureat naţional 2013

Proba E. c) Matematică M_pedagogic

Barem de evaluare şi de notare

Varianta 9

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. 27 3 3=

3 3 3 3 3 3+ − = 2p 3p

2. ( )3 0f − =

( )3 6f = ⇒ ( ) ( )3 3 6f f− + =

2p 3p

3. ( )2 23 6 9x x x+ = + +

1x =

2p 3p

4. 10220

100x x+ = , unde x reprezintă preţul înainte de scumpire

Preţul înainte de scumpire este 200 de lei

2p 3p

5. M mijlocul lui ( )PR ⇒

2P R

Mx x

x+= şi

2P R

My y

y+=

3Mx =

3My =

1p

2p 2p

6. cos

ABB

BC=

8AB=

2p

3p


1. ( ) ( )3 2 6 6 4 2− = − + + − + =�

2= −

3p 2p

2. 2 2 2x y xy x y= + + +� și 2 2 2y x yx y x= + + +� , pentru orice numere reale x şi y

x y y x=� � , pentru orice numere reale x şi y 3p 2p

3. 2 2 4 2x y xy x y= + + + − =�

( )( )2 2 2x y= + + − , pentru orice numere reale x şi y 2p 3p

4. ( )22 2x x x= + −�

( )22 2 2x x x+ − = ⇔ = − sau 1x = −

2p 3p

5. ( ) ( )( )2 2 2 2 2x x− = + − + −�

2= − , pentru orice număr real x 3p 2p

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2013 2012 ... 2 2013 2012 ... 3 2− − − = − − − − =� � � � � � �

2= −

3p 2p


Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

2


1.

( )1 2 1

0 1 3 1

2 1 0

A

= −

( )( )1 2 1

det 0 1 3 1 4

2 1 0

A = − = −

2p

3p

2.

( )( )1 2 1

det 1 3 1 3 1 4 6 2 1

2 1

A m m m

m

= − = − + − + − =

5 4m= −

3p

2p

3. ( )( ) 2 2det 5 4 0A m m m m= ⇔ − + =

1m= sau 4m=

3p 2p

4.

( ) ( )1 2 1 1 2 1

1 3 1 1 3 1

2 1 2 1

A m A m

m m

+ − = − + − = −

( )2 4 2

2 6 2 2 0

4 2 0

A

= − =

2p

3p

5.

( )1 1 1 1 2 1 1 1 1

0 2 2 2 1 3 1 2 2 2

7 3 5 2 1 0 7 3 5

A

− − − − ⋅ − − = − ⋅ − − = − −

3

4 0 0

0 4 0 4

0 0 4

I

− = − = − −

2p

3p

6. 2 2

3 3

2 1

x y z

x y z

x y

+ + =− + + = + =

0, 1, 0x y z= = =

2p

3p


Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică


Matematică M_mate-info Varianta 4

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Calculaţi suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n na ≥ , dacă 1 2a = şi 3 8a = .

5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4 2f x x x= − + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 3log log (4 )x x= − .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 4.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele (1,1)A şi (4,1)B . Determinaţi coordonatele

punctului M ştiind că 1

3AM AB=��

.

5p 6. Arătaţi că 4sin cos 112 12

=π π.


1. Pentru fiecare număr real m se consideră matricea ( )2 2 12 1 2

1 2 2

mA m m

m

+ = + +

.

5p a) Calculați ( )( )det 1A − .

5p b) Verificaţi dacă ( ) ( ) ( )0 1 5 1A A A⋅ = .

5p c) Determinaţi numerele reale m pentru care ( )( )det 0A m = .

2. Pe ℝ se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de 2 2 6x y xy x y= − − +� .

5p a) Verificaţi dacă ( 2)( 2) 2x y x y= − − +� , pentru orice numere reale x şi y .

5p b) Arătaţi că 2 2 2x x= =� � , pentru orice număr real x . 5p c) Calculaţi 1 2 3 ... 2012 2013� � � � � .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 3

2

1( )

1

xf x

x

−=+

.

5p a) Arătaţi că

( )4 2

22

3 2'( )

1

x x xf x

x

+ +=+

, pentru orice x ∈ℝ .

5p b) Calculați 0

( ) (0)limx

f x f

x→

−.

5p c) Calculaţi ( )1

lim1

f x

x

x

x→+∞

+ −

.

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul 1

0

n xnI x e dx−= ∫ .

5p a) Arătaţi că 12e

Ie

−= .

5p b) Verificaţi dacă ( )11

1n nI n Ie+ = + − , pentru orice număr natural nenul n .

5p c) Arătaţi că 1

01nI

n≤ ≤

+, pentru orice număr natural nenul n .

Subiectele de rezerva


Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii


Matematică M_şt-nat Varianta 4

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătaţi că numărul ( )3 1 3x i i= − + este real.

5p 2. Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie a graficului funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 2f x x x= − +

cu axa Ox .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 32 8x+ = .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulţimea { }1,2,3,...,20A = ,

acesta să fie divizibil cu 4. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( 2,3), (3,0)A B− şi (2,5)C . Calculaţi lungimea

medianei din B a triunghiului ABC .

5p 6. Determinaţi lungimea laturii AC a triunghiului ABC , ştiind că 4,6

BC Bπ= = şi

3C

π=


1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea ( ) 1

1

x xM x

x x

− = −

.

5p a) Calculați ( )( )det 2M .

5p b) Verificaţi dacă ( ) ( ) ( )2 1M x M y M xy x y⋅ = − − + , pentru orice numere reale x şi y .

5p c) Determinaţi numărul real a astfel încât ( ) ( ) ( )M a M x M a⋅ = , pentru orice număr real x .

2. Pe ℝ se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de 2 2 2x y xy x y= + + +� .

5p a) Calculaţi ( )0 2−� .

5p b) Arătaţi că ( 2)( 2) 2x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x şi y .

5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 6x x x =� � .


1. Se consideră funcţia ( ): 1,+ ∞ →ℝf ,

2 2 2( )

1

− +=−

x xf x

x.

5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )2

2'

1

−=

−

x xf x

x, pentru orice ( )1,x∈ +∞ .

5p b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f .

5p c) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f .

2. Se consideră funcţia ( ): 0,f + ∞ →ℝ , ( )f x x x= .

5p a) Calculaţi ( )2

1

f xdx

x∫ .

5p b) Arătaţi că funcţia ( ): 0,F + ∞ →ℝ , 22( )

5F x x x= este o primitivă a funcţiei f .

5p c) Calculaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa O x şi dreptele de ecuaţie 1x = şi 4x = .


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale


Matematică M_tehnologic Varianta 4

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătaţi că ( )2 2 3 2 3 4+ − = .

5p 2. Calculaţi (4) ( 4)f f+ − pentru funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 27 49x = . 5p 4. Preţul unui obiect este 1000 de lei. Determinaţi preţul obiectului după o scumpire cu 10%.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,3A şi ( )4,1B . Calculaţi distanţa de la punctul

A la punctul B . 5p 6. Calculaţi sin 45 sin135° − ° .


1. Se consideră matricele 1 2

2 1A

− =

, 20 0

0 0O

=

şi 1

1

mB

m m

= +

, unde m este număr real.

5p a) Calculaţi detA . 5p b) Pentru 2m = − , arătaţi că 2A B O+ = .

5p c) Determinaţi numărul real m pentru care 9 7

7 16A B

⋅ =

.

2. Se consideră polinomul 3 22f X X X= + + .

5p a) Arătaţi că ( 1) 0f − = .

5p b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul 2g X X= + .

5p c) Calculaţi 2 2 21 2 3x x x+ + , ştiind că 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) 1110f x x

x= + − .

5p a) Verificaţi dacă ( )2

2

11'

xf x

x

+= , pentru orice (0, )x∈ +∞ .

5p b) Arătaţi că funcţia f este crescătoare pe intervalul (0, )+∞ .

5p c) Arătaţi că funcţia f este concavă pe intervalul (0, )+∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 9f x x= + .

5p a) Calculaţi ( )2

1

'f x dx∫ .

5p b) Arătaţi că ( )2

1

39ln 2

2

f xdx

x= +∫ .

5p c) Arătaţi că volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]: 0,1g →ℝ , ( ) ( ) 2g x f x x= − este egal cu 81π .



1


Matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare

Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. ( ) ( )1 33

3 2 8 3

2 2

a aS

+ ⋅ + ⋅= = =

15=

3p

2p

2. 2Vx =

2Vy = −

2p 3p

3. 4x x= − Rezultă 2x = , care verifică ecuaţia

3p 2p

4. Numerele de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 4 sunt 14, 22 şi 41⇒ 3 cazuri favorabile Numărul de numere naturale de două cifre este 90⇒90 de cazuri posibile



2p 1p

2p

5. 3AB i=��

şi ( ) ( )1 1M MAM x i y j= − + −��

2113

M

M

xAM AB

y

== ⇒ =

��

2p

3p

6. 4sin cos 2sin

12 12 6= =π π π

12 1

2= ⋅ =

3p

2p


1.a) ( ) ( )( )

2 2 0 2 2 01 2 0 2 det 1 2 0 2

0 2 2 0 2 2A A

− = ⇒ − = =

2p

0 0 0 0 8 8 16= + + − − − = − 3p b)

( ) ( )2 2 1 2 2 2

0 1 2 1 2 2 2 21 2 2 2 2 2

A A ⋅ = ⋅ =

2p

( )10 10 1010 10 10 5 110 10 10

A = =

3p

c) ( )( ) ( )( )2

2 2 1det 2 1 2 5 1

1 2 2

mA m m m m

m

+= + = − + −

+ 3p

( )( )det 0 5A m m= ⇔ = − sau 1m = 2p



2

2.a) ( ) ( )2 2 6 2 2 2 2xy x y x y y− − + = − − − + = 3p

( )( )2 2 2x y= − − + , pentru orice numere reale x şi y 2p

b) 2 ( 2)(2 2) 2 2x x= − − + =� , pentru orice număr real x 2p 2 (2 2)( 2) 2 2 2 2 2x x x x= − − + = ⇒ = =� � � , pentru orice număr real x 3p

c) ( )1 2 3 ... 2012 2013 1 2 3 ... 2012 2013= =� � � � � � � � � � 3p

( )2 3 ... 2012 2013 2= =� � � � 2p


1.a) 3 2 3 2

2 2

( 1) ' ( 1) ( 1)( 1) ''( )

( 1)

x x x xf x

x

− + − − += =+

2p

( ) ( )( ) ( )

2 2 3 4 2

2 22 2

3 1 2 1 3 2

1 1

x x x x x x x

x x

+ − − + += =+ +

, pentru orice x ∈ℝ 3p

b)

0

( ) (0)lim '(0)x

f x ff

x→

− = = 3p

0= 2p c) 1

lim 11x

x

x→+∞

+ =−

1p

3

22 1

1 1 1( )21 2

lim lim 11 1

xx x xf x

x x

x

x x

−⋅− − +

→+∞ →+∞

+ = + = − −

2p

2e= 2p

2.a) 1 11

10

0 0

x x xI xe dx xe e dx− − −= = − + =∫ ∫ 3p

1

0

1 2x ee

e e− −= − − = 2p

b) ( )

1 111 11

00 0

1n x n x n xnI x e dx x e n x e dx+ − + − −

+ = = − + + =∫ ∫ 3p

( )11 nn I

e= − + + 2p

c) Pentru orice *n∈ℕ şi pentru orice [ ]0,1x∈ avem 0 1 0x n x ne x e x− −< ≤ ⇒ ≤ ≤ 2p 1 1

0 0

10 0

1n x n

nx e dx x dx In

−≤ ≤ ⇒ ≤ ≤+∫ ∫ 3p



1


Matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare

Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. ( )3 1 3 3i i− = −

3x = ∈ℝ 3p 2p

2. ( ) 0 1f x x= ⇒ = sau 2x =

Distanţa este egală cu 1 3p 2p

3. 2 3 3x + = 0x =

3p 2p

4. Numerele din mulţimea A divizibile cu 4 sunt 4, 8, 12, 16 şi 20⇒5 cazuri favorabile Numărul de elemente ale mulţimii A este 20⇒20 de cazuri posibile



2p 1p

2p

5. Mijlocul segmentului ( )AC este (0,4)M

( )2 23 4 5BM = − + =

2p 3p

6.

2A

π=

12

2AC BC= ⋅ =

2p

3p

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a)

( )( ) 2 1det 2

1 2M

−= =

−

4 1 3= − =

2p

3p

b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )1 1 1 1

1 1 1 1

xy x y x y x yM x M y

x y x y x y xy

+ − − − + −⋅ = = − + − − − +

( )( ) ( )2 1 1 2 1

2 11 2 1 2 1

xy x y xy x yM xy x y

xy x y xy x y

− − + − − − += = − − + − − − + − − +

, pentru orice numere reale

x şi y

3p

2p

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1M a M x M a M ax a x M a⋅ = ⇔ − − + = , pentru orice număr real x

2 1ax a x a− − + = , pentru orice număr real x 1

2a =

1p 2p

2p

2.a) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 2 0 2 2 2− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =� 2= −

3p 2p

b) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2x y xy x y x y y= + + + = + + + − =� ( 2)( 2) 2x y= + + − , pentru orice numere reale x şi y

3p 2p

c) ( )32 2x x x x= + −� �

( )32 2 6 0x x+ − = ⇒ =

3p 2p



2

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a)

( )( )( ) ( )

( )

2

2

2 2 1 2 2'

1

x x x xf x

x

− − − − += =

− 3p

( )( )

( )2

2 2

22

1 1

x xx x

x x

−−= =− −

, pentru orice ( )1,x∈ +∞ 2p

b) ( )'( ) 0 2 0 2f x x x x= ⇒ − = ⇒ = , deoarece ( )1,x∈ +∞ 2p

'(2) 0f = ; '( ) 0f x < , pentru ( )1,2x∈ şi '( ) 0f x > , pentru ( )2,x∈ +∞ 2p Punctul de extrem este 2x = 1p

c) ( )lim 1

x

f x

x→+∞= 2p

( )( )lim 1x

f x x→+∞

− = − 2p

Ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f este 1y x= − 1p 2.a) ( )2 2

1 1

f xdx xdx

x= =∫ ∫

2 2 312 2

x= =

2p

3p

b)

( )'5 3

2 22

5F x x x x x

′ = ⋅ = =

, pentru orice ( )0,x∈ +∞

( ) ( )F x f x′ = , pentru orice ( )0,x F∈ +∞ ⇒ este o primitivă a funcţiei f

3p

2p

c) ( )

4 4

1 1

f x dx x xdx= = =∫ ∫A

2 42 62

15 5x x= ⋅ =

2p

3p



1


Matematică M_tehnologic Barem de evaluare şi de notare

Varianta 4 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. ( )2 2 3 4 2 3+ = +

4 2 3 2 3 4+ − =

2p 3p

2. ( )4 8f =

( )4 0f − =

( ) ( )4 4 8f f+ − =

2p 2p 1p

3. 2 27 7x = 1x =

2p 3p

4. 101000 100

100⋅ =

Preţul după scumpire este 1100 de lei

2p 3p

5. ( ) ( )2 24 4 1 3AB = − + −

2AB =

3p 2p

6. 2sin 45

2° =

2sin135

2° =

sin 45 sin135 0° − ° =

2p

2p

1p


1.a) 1 2det 1 4

2 1A

−= = − − =

5= −

3p

2p b)

Pentru 2m = − avem 1 2 1 2

2 1 2 1A B

− − + = + = − −

20 0

0 0O

= =

3p

2p

c) 2 1 2

2 3 1

m mA B

m m

− + ⋅ = + +

2 1 2 9 75

2 3 1 7 16

m mm

m m

− + = ⇔ = + +

3p

2p

2.a) 3 2( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)f − = − + ⋅ − + − = 1 2 1 0= − + − =

2p 3p



2

b) Câtul este 1X + Restul este 0

2p 3p

c) 1 2 3 2x x x+ + = − , 1 2 2 3 1 3 1x x x x x x+ + =

( )22 2 21 2 3 2 2 1 2x x x+ + = − − ⋅ =

2p 3p


1.a) ( )

'

2

11 1' ' 10' 1 11f x x

x x

= + − = − ⋅ − =

2

2 2

11 111

x

x x

+= + = , pentru orice (0, )x∈ +∞

3p

2p

b) 2(0, ) 11 0x x∈ +∞ ⇒ + > 2

2

11'( ) '( ) 0

xf x f x

x

+= ⇒ > , pentru orice (0, )x∈ +∞ ⇒ f este crescătoare pe (0, )+∞

3p

2p

c) 3

22''( )f x

x= − , pentru orice (0, )x∈ +∞

''( ) 0f x < , pentru orice (0, )x f∈ +∞ ⇒ este concavă pe intervalul (0, )+∞

2p

3p

2.a) ( ) ( )

2

1

2'

1f x dx f x= =∫

( ) ( )2 1 3f f= − =

3p

2p

b) ( )2 2

1 1

9f xdx x dx

x x = + =

∫ ∫

2 2 39ln 9ln 2

12 2

xx

= + = +

2p

3p

c) ( ) ( )

1 1 22 2 2

0 0

9V g x dx x x dx= = + − =∫ ∫π π

181 81

0x= ⋅ =π π

2p

3p

mate bac

Documents