Adrian Zanoschi

Gabriel Popa

Gheorghe lurea

Petru H5ducanu

loan $erdean

Bacalaureat 2017

MatematiceM-mate-info

Teme recapitulative

60 de teste, dupd modelul M.E.N.C.S.

Breviar teoretic

Cuprins

CuvAnbfualnle ....................5

TEME RECAPITULATIVEEnunluri Solulii

Clasa a IX-al.l. Mulfimi gi elemente de logicl matematicd 7...,.2411.2. $iruri. Progresii...... 10....,242

1.3. Funclii. Funcfia 1iniartr.......... 13-*2441,4. Ecuatia de gradul al Il-lea, Funcfia de gradul al II-1ea,....... 17 ...,.247

1.6. Trigonometrie .................. ..,25..,.'2521.7. Apiicalii ale tigonometrieiln geometrie .28.....255

Class r X-a2.1. Radicali 9i logaritmi.. ...'......31 ,,,,.257

2.2. Numere complexe 33.....2582.3. Funcfii 37.....259

2.4. Ecuafii gi inecua1ii... 41,,,.,262

2.5. Combinatoric[....,....... ,,..,.,..45.,.,.2672.6. Matematici aplicate. Probabili6fi 50,*2692.7. Geometrie analitic[..., .,.,.,...52.,...2702.8. Probleme recapitulative din materia claselor a IX'a - a X'a.......'....... 55.,,,.271

Claca a XI-a3.1. Permut1ri.,.......,.,.....,.. ,,,..,...62,,,.,2733.2. Matrice. ,.,...,,..63,,,,,2733,3. Determinanti .............. .'.'.....66,,,.,2753.4. Inversa unei matrice. Ecuafii matriceale ,.70,.,..2763.5. Sisteme de ecualii liniare.......... 72,....2783.6. Probleme de sintezl - algebr[,.,...... ......... 76.'...2803.7. $iruri 81.....282

3.8. $iruri date prin formule de recurenfl ....... 85,..,.2863.9. Limite de tuncfii..... 88...'.288

3.10. Asimptote......,.,....... .,......'.91 ,...,290

3.1 L Funcfii continue 93,.,.,2913,12. Derivata unei funcfii '.'.,.'.'.96...'.2933.13. Teorema lui Fermat. Teorema lui Rolle. Teorema lui Lagrange. ,,,.,99..,..2953.14. Regulile lui I'Hospita1...............,,. ......,. 102.,,..298

3.15. Rolul derivatelor de ordinul I 9i de ordinul al ll-lea ln studiul funcfiilor..........,. 104.....299

3,16. Reprezentarea graficl a funcfiilor.., ..'.. 110.....306

3.17. Probleme de sintez[ - analizl matematic[.. 112.....312

Clasa a XII-a4.1. Legi de compozi[ie.............,..... I18.....3164.2. Grupuri. ........121.....318

4.4. Polinoame .................. .......130.....3274.5. Probleme de sintezl - a1gebr5......... ....... 136...,.3324.6. Primitive;.................... ....... 140.....3344.7. Formula Leibniz-Newton ............... ..................... ....... 145.....3374.8. Metode de integrare ........., 150.....3414.9. Proprietifi ale integralei Riemann... ....... 154.....3454.10. Aplicalii ale integralei definite..... ........ 158.....3504.ll.Prob1emedesintez[_analizdmatematic[..

TESTE PENTRU BACALAURE AT 2017, DUPA MODELUL M.E.N.C.S. ........ I 66..,.. 3 55

BibllograJie. ....................405

Teme recapitul

Clasa a lx-a1.1. Mullimi gi elemente de logici matematici

l. Calculati:

a)2,(-3) - (-4) :2+ (-25): (-5); b|220 :218 -320: 3re + 50;

c) 30. (1-o.r*l').\r rc)

d)8.[0,(3)+0,1(6)].

2. Fre 0,ag2a3...atr... scrierea zecimali a numdrului | . Calcutagi:7

azog* Clzotg* ozozo,

3. Se considerE intervalele A = (4,a1 gi B = (-2,7). Determinali mullirnea:

(A a B) nZ.

1, Ordonafi cresc[tor numerele a=2,5(l), U=1, c =2,(51), d=2,51.).

5. Calcula{i:

"l (O-r)'+(Jz+r)';

6. Arrtali c6 numdrur, =[ri-r, . *ff ,rE)[rE)-' .u. naturar.

Ardtali c[ numdrul U - -----]----*---1--=* ...*--=L---= este natural.Vl + V2 ,12 +,13 V8 + V9

Se considera numerele o = Jss-rE-..6. $i 6 = Jta*JiT*Jz. Calculalimedia aritmeticd gi media geometricd a numerelor a gi b.

Detenninali numerele ra{ionale a Si b,qtiind c5 (J, *G)' = a - bJi .

7.

t.

9.

ative

b) (.'6 -Jr)(O*.6);_32rll

-r-

elt-

'.l7 +2 .,17 +3

7

EnunfurioClasaalX-a

10. Demonstrali c6, daedr e [0,51], atunoi numdrul a= ,fffi +,lf,;625 se afl6

in intervalul [32, 36].

11.FicE(x,y)='|}a;+m,undeX,!ER'.Ar6tafiehE(x,.y)>3,pentru orice x,.y € R.

12. aflap cdte numere iralionale confine mullimea {{, Ji, J!, ,,,,.fi30, .D-0.0} .

13. Determinali partea intreag6 gi partea fraclionar6 pentru fiecare dintre urmdtoarele

numere: d = 2,7, b = -016, c = 13, d = . Ji .

14. Calculali:l-sl l- sl

") L;1. L-;l '1,641- {-2,36};

.) [v5].[6] *l't *61; d) 0)*{6}-ur.f}15. Rezolva{i in iR ecuafiile:

a) [x] + [x + l] + [.r + 2]=24; b) ["r + l)=2x - l;c) {2.r} = 9; d) {x} = -.

16. Rezolvati in R, ecua{iile:

a)lx-2]1=5; b)lx-ll+12-2xl=12;c) ll - 2xl=lx+ 4l; d) lx'- ll+ lx+ ll= 0.

17. Rezolvali in IR inecuafiile:

a)ll-Zxl<3; b)lr+31>4.18. Detenninati numlru] elementelormullimii A= {x eZll2x+ lls 100}.

1 9. Aratali cd valoarea expresiei E(x) = px - 8l - 214 - 2rl nu depinde de numErul real x.

20. Demonstrati c[ l2x - 3l + Zlx - I I > l, pentru orice numdr real x.

21. Demonstra{i c[ x2 + 3x + 3 > 0, pentru orice x e ]R.

22. Demonstrafic6, dacdx,y el2,o),atunci xy-2x-U+ 6 e [2,m).

23. Demonstra{i c5, dacdx,.y € (-1, l), atunci y e (-1, l).l+ xy

24. pie E(x)=xo + *3 +2x'+x* l, undex e IR. Demonstra{ic5:

a) E(x) = (x2 + 1)(x2 +x * 1), oricare ar fi x e IR;

a1

b) E(,r) > :, oricare ar fi x e IR..

8

b)

1.,l. Multimi$ielemente de logicE matematici

25. Demonstra{i c5:

Ia) x+- > 2, oricarear fi x e (0, +oo;;

xI

b) x + :- < -2, oricare ar fi x e (-co, 0);x

a+b b+c c+ac) :---: + " -.,u I---l ) 6, oricare ar fi x e (0, +co).

cub26. Demonstrali, prin inducfie, cd unndtoarele egalit[1i sunt adevdrate pentru orice

neN*:a) I + 3 + 5 + . .. + (2n - l) : n';

b) I . 2 + 2. 3+ ... + n(n + t) - n(n+l)(n+2)'3'

ll lnc) _ +:-= * ... *

l.s ' s .9 "" ' (4n-3)(4n+1) 4n+t'd) 1' 1l +2. 2!+... + n' nt. =(n+ l)! - 1.

27. Demonstrali, prin inducfie, c[ urm6toarele inegalitdli sunt adev6rate pentru orice

numdr natural n care indeplineqte condilia indicatE:

a)2'>2n * 1,n23;b) nr. > 2n, n2 4;.135 Zn-l I

C) -'- 1---7, n Z L:'246 2n ,lZn+l

d) J;.t*A-***. *+ <2J;,n)2.Jz J: Jn28. p.rronstrali ci numdrul 13' + 7n - 2 se divide cu 6, oricare ar fi n e N.

29. Demonstrali cd 7 . 25' + 2. 6'*t se divide cu 19, oricare ar fi r e N.

30. ARali c6te numere naturale de trei cifre au suma cifrelor egal6 cu25.

31. eRali cdte numere naturale de trei cifre au produsul cifrelor egal cu 0.

32. Determinafi cdte numere naturale de patru cifre se pot forma utilizdnd cifrele 0, l,z, ).

33. Determinali cdte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma utiliz6nd

cifrele 1,2,3,4,5.il. eRali c6te numere de trei cifre au exact doul cifre egale.

35. Determinali c6te numere de patru cifre distincte au produsul cifrelor egal cu un

numdr impar.il5. StaUitili in cdte moduri se poate imbrdca Dan pentru un meci de tenis, qtiind cd el

are 5 tricouri,4 perechi de pantaloni scu(i qi 3 perechi de pantofi de sport.

Enunlurio Clasa a lX-a

37. Numlrul de inmatriculare al unui automobil dintr-un judet este f,ormat din doulcifre (nu este permisd combinafia 00) qi din trei litere ale alfabetului latin (26 delitere). Aflali numirul maxim de magini care pot fi inmatriculate intr-un judet.

38. Se consideri mullimea A -- {1,2,3, 4, 5, 6,7\. Aflafi c6te perechi (a, b) e A x Aau proprietatea c[ produsul a . D este impar.

39. Determinafi c6te numere naturale, mai mici dec6t 101, sunt divizibile cu 3 sau cu 5.40. Se considerd mulfimea A = t\,2,3, ..,,lgg,2OOl,

a) Aflati c6te dintre elementele mullimii I se divid cu 6 9i cu 8.b) Afla1i cdte dintre elementele mullimii I se divid cu 6, dar nu se divid cu g.

c) Determinafi cdte dintre elementele mulfimiil se divid cu 6 sau cu g.

1.2. $iruri. Progresii

1. Completali cu c0te trei termeniurm6toarele qiruri, apoi scriefi tennenul general alfieeEruia:a) 1,3, 517r9,,,,;c) 1, -1, l, -1, 1, ., .;

b) 0, 1, 4,9,16, .,.id) 1,3,6, 10, 15, .,, .

2. Se consider6 girul (ao)rrr, ur= fi.a) ExistE vieun termen al qirului egat cu I t

3b) CAfi termeni ai girului sunt mai mici dec6t 0,7?e) C6fi terneni ai girului sunt ln intervalul (0,99; l)?

3. Demonstrati cE girul (ar)r:x, de termen general au= 4, este orescEtor.n+3

(Variante 1ac,2009)4. ArEtafi cE girul (ar), : r,{., de ternnen general ctn = rr2 - n, este strict monoton.

(Variante 1ac,2009)5. Fie E(x) = x2 - 4x * J,undex e IR. Pentru r e N, n 2 4, definim girul (ar)rsa prinl

lllo,=M*6*.,.*M.a) Demonstrafi c[ girul este strict crescEtor,b) Demonstrali cE girul este m[rginit.

c) Ar[tati cdan= ffi, pentru orice z ] 4.

10

(Simulare 1ac,2000)