UNIVERSITATEA TITU MAIORESCU BUCURETI

FACULTATEA DE TIINE ECONOMICE

FILIALA TRGU-JIUSpecializarea: CONTABILITATE I INFORMATIC DE GESTIUNEPACHETE SI GRAFICA

MAPLE

Coordonator tiinific:

Asist.univ.dr. Liliana GuranAbsolvent:

Pari (Opria) Georgeta-Manuela

TRGU-JIU2010

CuprinsIntroducere......3

Capitolul 1-Introducere n Maple......41.1.1. Noiuni generale.....41.1.2. Fereastr Maple..5Capitolul 2 Pachete Maple......10 Pachete ale algebrei liniare..10

2.1 Noiuni de baz...10

2.2 Pachetul linalg.11

2.3 Operaii cu matrice.12Capitolul 3 Grafic Maple..14

3.1 Grafic 2d...15

3.2 Grafic 3d...18

3.3 Pachete pentru aplicaii n geometrie......19Capitolul 4-Anexe....22

Anexa 1.....23

Anexa 2.....25

Anexa 3.....28BibliografieINTRODUCERELucrarea de fa i dorete s familiarizeze cititorul cu pachetul de programe Maple i n special cu grafica 2d i 3d ce se poate realiza n Maple, ca aplicaii la probleme practice din viaa de zi cu zi.Este structurat pe 4 capitole. Primul capitol reprezint o introducere n pachetul de programe Maple care conine: noiuni generale, explicaii despre fereastra Maple, expresii n Maple.Capitolul al doilea prezint cteva din pachetele Maple: pachete ale algebrei liniare, Pachetul linalg, Operaii cu matrice.Capitolul al treilea trateaz noiuni de grafic Maple: 2d, 3d.

Capitolul al patrulea conine exemple cu probleme practice, modelate cu ajutorul graficii Maple 2d i 3d.

Autoarea acestei cri i-a propus ntr-o manier rafinat s trateze obiectiv rdcinile i aplicaiile pachetului de programare Maple, oferind informaii utile att nceptorilor pasionai de utilizarea acestui pachet ct i cunosctorilor avansai. Astfel aceasta propune n a doua parte a crii sale o interesant i variat gam de aplicaii grafice realizate n Maple, aplicaii utile n diverse sfere de activitate din viaa cotidian. Prin aceast lucrare sperm s venim n ajutorul elevilor, studenilor i tuturor celor pasionai de matematic prin abordarea sistemic a noiunilor de Maple, n concordan cu cerinele i evoluia actual a societii. Asist.univ.dr. Liliana GuranC A P I T O L U L 1INTRODUCERE N MAPLE

1.1. Ce este Maple ?

1.1.1. Noiuni generale

Maple este un software specializat n calcule matematice. Posibilitile lui cuprind aproape toate compartimentele matematicii contemporane.

Sistemul Maple se foloseste n regim de dialog interactiv, precum i prin scrierea programelor cu ajutorul limbajului su propriu (limbajul Maple), orientat spre calcule matematice de orice natur. Spre deosebire de limbajele de programare de nivel nalt (Fortran, Basic, C, Pascal etc.), Maple rezolv multe probleme matematice doar prin apelare la comenzi, fr a fi nevoie s se compun programe aparte.

Baza sistemului Maple o constituie nucleul principal programul transformrilor simbolice. n plus, Maple conine cteva mii (peste 3000) de funcii i proceduri speciale, care formeaz asa-numitele biblioteci, orientate spre transformrile simbolice i calcule numerice din

diverse compartimente ale matematicii. Maple mai dispune de o grafic puternic i foarte usor de utilizat, de o arhitectur modular, care permite adugarea de noi proceduri i funcii.Programul Maple opereaz deopotriv cu numere ntregi, fracionare i aproximative, ceea ce-i permite sistemului s returneze rezultatele rezolvrii problemei cu o exactitate ideal (exactitate infinit). Cu Maple soluia multor probleme poate fi obinut nu numai numeric, ci i sub form analitic, adic cu ajutorul unor formule. Din aceast cauz se mai spune c Maple este un program de matematici simbolice.

n zilele noastre Maple cu versiunile sale (Maple V, Maple 6 11 si recenta versiune Maple 12) este cel mai performant sistem de calcule matematice n stare s realizeze cele mai complexe proiecte. Maple execut transformri i simplificri algebrice complexe; calculeaz sume si produse finite si infinite, limite si integrale; rezolv numeric si analitic sisteme algebrice (i transcendente) de ecuaii i inecuaii; calculeaz determinanii matricelor cu elemente simboluri matematice; determin toate rdcinile unui polinom; determin numeric i analitic soluia sistemului de ecuaii difereniale ordinare, precum i a unor clase de ecuaii cu derivate pariale etc.

Scrierea unui program n Maple este foarte simpl, fiind vorba doar de aplicarea unor comenzi formate din termeni uzuali din vorbirea curent. Complexitatea programelor i procedurilor depinde numai de utilizator, deoarece peste 80% din miile de comenzi Maple sunt de fapt programe Maple. Programele Maple pot fi modificate i extinse n aa mod nct s ofere utilizatorului soluiile optime ale problemei n cauz1.1.2. Fereastr MapleLansarea sistemului Maple se efectueaz prin comenzi specifice sistemului de operare pe care este instalat. Vom considera n continuare sistemul de operare Windows, caz n care lansarea se face prin activarea

icon-ului Maple sau

aplicaiei Maple din directorul n care a fost instalat sistemul Maple.n urma efecturii acestei comenzi se deschide o fereastr (vezi fig.1.1) n care apare prompterul > specific sistemului Maple.

Fig. 1.1. Aspectul general al ferestrei sistemului MapleSistemul Maple devine n acest fel interactiv, adic la fiecare comand sau funcie tastat i urmat de ; sau : i, bineneles, acceptat de Maple (editarea comenzii sau funciei ncheindu-se prin Enter), sistemul o execut i afiseaz pe ecran rezultatul, dac este cazul.

Fereastra Maple (vezi fig. 1.1), la fel ca alte aplicaii de genul acesta, este o fereastr Windows i const din Titlul ferestrei (ptrelul 1) dup care imediat urmeaz Bara meniului de baz (ptrelul 2) care conine butoanele File, Edit, Wiew, Insert, Format, Spreadsheet, Options, Window si Help. Sub bara meniului de baz se afl Panoul instrumentelor de baz (ptrelul 3) cu butoane ce repet cele mai des utilizate comenzi ale meniului de baz. Un clic pe buton este suficient ca comanda s fie ndeplinit. Mai jos de panoul de instrumente se afl Panoul contextual (ptrelul 4) forma cruia depinde de poziia cursorului. Cmpul de lucru (ptrelul 5) ocup cea mai mare suprafa a ferestrei interfeei. Din cmpul de lucru fac parte Foile de lucru Maple.

Interfaa sistemului Maple este de tipul multe documente si permite lucrul cu mai multe

foi, care i formeaz asa-numitele Documente Maple. n partea de jos a ferestrei se afl Linia stare (ptrelul 6) care are n componena sa mai muli parametri caracteristici sistemului Maple, precum i o scurt informaie referitoare la comanda aleas sau la butonul panoululi de instrumente.

Meniul de baz, la rndul su, const din:File comenzi standard pentru operare cu fisiere;Edit comenzi standard pentru redactarea unui text;

View comenzi standard de gestionare cu structura ferestrei Maple;

Insert inserarea diverselor texte, grafice 2- si 3-dimensionale;

Options stabilirea diversilor parametri;

Windows comenzi pentru a trece de la o foaie de lucru la alta;

Help conine informaie despre sistemul Maple.

Dialogul dintre utilizator i sistemul Maple este organizat sub forma unei sesiuni utilizatorul introduce solicitrile ce in de soluionarea unei probleme (comenzi, expresii, proceduri) care sunt preluate i prelucrate de sistem. Informaia introdus i rezultatele prelucrrii ei compun Foaia de lucru care este format din:

1. domeniul de introducere (nregistrare) conine linii comenzi si ncepe cu prompterul >(vezi ptrelele 1 din fig.1.2);

2. domeniul de afisare conine rezultatele prelucrrii informaiei introduse: expresii analitice, obiecte grafice sau comunicri despre erorile comise (vezi ptrelele 2 ale fig.1.2);

3. domeniul comentariilor text explic modul de funcionare al procedurilor.

Informaia liniei text nu este prelucrat de Maple. O linie comand poate fi transformat ntr-o linie text prin intermediul butonului T. Pentru revenirea la linia inial (linia text linia comand ) se apas [> .

Domeniul de nregistrare a informaiei i domeniul de afiare formeaz asa-numitul grup

de calcule, care este marcat n stnga de o parantez ptrat. Un grup de calcule poate conine mai multe domenii de nregistrare i, respectiv, domenii de afiare.

Fig.1.2. Foaie MapleCeea ce caracterizeaz, ns, un grup este c toate instruciunile grupului se ndeplinesc la o singur apsare Enter, adic toate instruciunile domeniului de lucru vor fi ndeplinite.

Fig.1.3. Domeniul de afisareMaple este un limbaj al expresiilor. Expresiile n Maple conin operatori sau caractere speciale, funcii si nume de variabile. Expresiile introduse de utilizator se afiseaz pe ecran (pe spaiul de lucru) i sunt interpretate i evaluate de instruciunile programului. Instruciunile (comenzile) Maple, de cele mai multe ori, au forma

> variabil: = expresie ;

fiind foarte scurte i extrem de simple, se mai numesc instruciuni-expresie. Maple mai admite nc un tip de instruciuni i anume instruciuni-procedur:

> Nume_comand (argument, opiuni);

Numele unei comenzi, de regul, corespunde menirii acesteia. Astfel, sum nseamn sum, det determinant, int integral, intparts - integrare prin pri, max maximum, select selecie, solve rezolvare, subs substituire, inverse invers, evalt evaluare, simplify simplificare, expr expresie, combine combinaie, sqrt radical de ordinul doi etc.

Toate instruciunile Maple pot fi consultate. Pentru aceasta este necesar ca dup ? s urmeze denumirea (chiar si ipotetic) a instruciunii, urmat de Enter sau clic pe ! .

Dup aceast scurt expunere a unor comenzi cititorul este invitat s nceap s experimenteze cu Maple, s rezolve ct mai multe i diverse probleme. n felul acesta va acumula noi cunostine despre sistemul Maple. Totodat, pentru o mai profund cunoastere a programului, este bine s stim structura acestuia, parametrii instruciunilor i alte noiuni legate de acest sistem.C A P I T O L U L 2PACHETE MAPLE Pachete ale algebrei liniare

2.1. Noiuni de bazSistemul Maple dispune de un nucleu i o bibliotec cu un numr impresionat de pachete specializate care conin comenzi pentru rezolvarea problemelor din cele mai diferite compartimente ale matematicii. Astfel, versiunea Maple 6 are n componen 40 de astfel de pachete, iar Maple 9 deja conine 85 de astfel de pachete.

Biblioteca de baz conine cele mai des folosite comenzi care se ncarc odat cu lansarea sistemului. Dac, ns, o comand nu face parte din biblioteca de baz sau din nucleu, utilizatorul este obligat s ncarce pachetul n componena cruia se afl comanda n cauz sau, pur si simplu, doar comanda care-l intereseaz din pachetul respectiv.

Comenzile unui pachet se ncarc cu with(nume pachet) sau, dac se doreste ncrcarea doar a unei comenzi, atunci se apeleaz la with(nume pachet, nume comand).

Lista celor mai des folosite pachete ale sistemului Maple este urmtoarea:

alcurves, combinat, genfunc, geometry, geom3d, plots, group, linalg, GF, LinearAlgebra, networks, plottools, powseries, simplex, stats, tensor, DiscreteTransforms, GaussInt, context, LinearOperators, MathematicalFunctions, MatrixPolynomialAlgebra, OreTools, Sudent, Student[Calculus], Sumtools, sumtools, Student[LinearAlgebra], Student[Precalculus], VariationalCalculus, VectorCalculus, student etc.Utilizatorii interesai de un anumit pachet sau de o funcie pot obine informaia necesar, adresndu-se Sistemului de informaie Help.

2.2. Pachetul linalg

Sistemul Maple (ncepnd cu versiunea 6) prevede dou pachete care conin comenzi pentru efectuarea celor mai diverse transformri din algebra liniar. Acestea sunt linalg si LinearAlgebra, funcionalitatea crora este aproape identic. Dac pachetul linalg este parte component a tuturor versiunilor anterioare ale sistemului Maple, pachetul LinearAlgebra reprezint o nou modalitate de lucru cu matricele numerice, inclusiv si cu matricele de dimensiuni mari.

Obiectele de baz cu care opereaz comenzile acestor pachete sunt matricele, ns noiunea de matrice din linalg nu este echivalent cu cea a pachetului LinearAlgebra. Pachetul linalg construiete matrice cu comanda (funcia) array( ), iar LinearAlgebra utilizeaz obiecte bazate pe structura r-table. Matricele si vectorii sunt create de constructorii speciali Vector( ) si Matrix( ) sau de structura (). Pachetul linalg opereaz cu matrice la nivel de nume, adic nu pot fi efectuate operaii asupra elementelor matricelor. Pentru efectuarea unor astfel de operaii este nevoie i de comanda evalm( ). Pachetul LinearAlgebra, la rndul su, conine comenzi cu ajutorul crora pot fi efectuate operaii la nivel de elemente ale matricelor.

Pachetul linalg conine comenzi pentru scrierea matricelor i vectorilor, propune un numr mare de comenzi pentru operarea cu diverse structuri ale obiectelor pentru rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare, pentru eterminarea valorilor si vectorilor proprii a unei matrice, pentru transformarea matricelor sub diverse forme etc.

Matricele sau vectorii n Maple se definesc fie cu comanda array( ) (din biblioteca standard), fie cu comenzile marix( ) si vctor( ). Comanda array( ) are forma array(intervale, list, opiuni);

Parametrii comenzii nu sunt obligatorii, ordinea acestora fiind arbitrar. Parametrul intervale sunt numere ntregi desprite prin virgul. Valorile elementelor intervalului sunt date de parametrul list sub form de list pentru intervale unidimensionale sau sub form de list de liste pentru intervale de mai multe dimensiuni. Parametrul opiuni poate primi valorile symmetric, antisymmetric, identy si diagonal.

2.3. Operaii cu matrice

Comanda evalm( ) adun matrice. Amintim, evalm( ) efectueaz operaii la nivel de obiecte, folosind operaiile: + (adunare), - (scdere), &* (nmulire ), / (mprire), ^ (ridicare la putere ). Prin urmare, suma a dou matrice (de aceleasi dimensiuni) poate fi obinut cu evalm(A+B).

Produsul matricelor A si B este rezultatul comenzilor multiply(A, B) sau evalm(A&*B) cu condiia c dimensiunile matricelor sunt de natur ca operaia n cauz s aib loc.

Exemple:

> with(linalg):A:=array([[1,2],[3,4]]);B:=

array([[1,-1],[0,-1]]);

A := , B :=> C1:=evalm(A+2*B);C2:=evalm(2*A+B^2);

C1 :=, C2 :=

> C3:=evalm(sin(A));C4:=evalm(A&*B);

C3 :=, C4 := :=Cu evalm(A^k) poate fi obinut matricea Ak, iar comenzile inverse(A) sau evalm(1/A) calculeaz A-1. Matricea transpus A T se va obine cu transpose(A).Determinantul matricei A si rangul acesteia se obin cu ajutorul comenzilor det(A) si rank(A).

> A := array( [[1,-x],[2,3]] );B:=array([[2,3],

[0,1]]);

A := , B := > B1:=evalm(B^3);B2:=inverse(B);A1:=inverse(A);

Si se continua secventa, inmultind matricele, simplicandu-le si calculant matricea invers. C A P I T O L U L 3GRAFIC MAPLE

Comenzile sistemului Maple pentru reprezentarea graficelor funciilor sunt grupate n pachetul plots. Sistemul prevede si comenzi cu ajutorul crora poate fi urmrit mersul rezolvrii problemei sau a trasrii graficului unei funcii . Printre posibilitile grafice ale sistemului Maple, amintim:

trasarea graficului unei funcii de o variabil real, a unei funcii date parametric, a funciilor implicite;

construirea suprafeelor definite de funcii dependente de dou variabile;

construirea obiectelor grafice (cerc, sfer, segment, dreptunghi, triunghi etc.) si manipularea cu ele;

construirea graficelor n miscare (animaie) pe plan si n spaiu.

nainte de toate, prezentm fr comentarii un exemplu simplu de trasare a graficului unei funcii f(x), x[a, b] .Exemplu

S se reprezinte graficul funciei f(x) = sin2x - sin pentru x[ ] Graficul funciei este cel din fig. 3.1.> f:=sin(x)^2-2*sin(x/5):plot(f(x),x=-Pi/2..Pi,y=-0.5..1.,

thickness=2,color=black);

Fig. 3.13.1. Grafic 2dCele mai solicitate comenzi ale sistemului Maple sunt comenzile plot( ) si plot3d( ) care intervin la construirea graficelor pe plan si n spaiu, motiv pentru care fac parte din nucleul sistemului.

Sintaxa comenzii plot( ) are forma plot(f, h, v, opiune), unde f este funcia dat, h si v sunt domeniile de variaie ale variabilei independente (x) si variabilei dependente (y), iar opiune este o list de parametri care determin forma graficului: grosimea, culoarea, tipul liniilor graficului, tipul axelor sistemului de coordonate etc.

Pentru scoaterea mai multor grafice pe aceleasi axe de coordonate n calitate de prim argument al comenzii se va scrie o list de funcii.Exemplu:

S se reprezinte graficele funciilor (x) = sin2x - sin g(x) 2e sin x, pentru x[ ] pe aceleai axe de coordinate.

> f:=sin(x)^2-2*sin(x/5):g:=2*exp(-2*x)*sin(x):

plot([f,g],

x=-Pi/2..Pi,- 0.5..1,color=[black,black],

linestyle=[4,1],

labels=["x","Grafice"],title=" Afisarea\n f(x) si g(x)

pe

aceleasi axe",legend=["f(x)","g(x)"],thickness=2);

Fig. 3.2

Cu plot( ) se reprezent si puncte pe plan dac acestea se scriu sub forma unei liste de liste si se impune condiia style = POINT. Dac ns condiia style = POINT, pe foaia de lucru va aprea o linie frnt care uneste punctele listei.Exemplu:

S se reprezinte punctele listei l1 = [[-1, 0,3],[-0,5, -0,1], [0, 0,4], [0,5, -0,2], [1, 0,3] , [1,5, 0,1]] pe plan cu si fr condiia style = POINT.>

> l[1]:=[[-1,.3],[-0.5,-.1],[0, .4],[.5, -.2],[1,

.3],[1.5,.1]]:

plot(l[1],axes=normal,style=POINT,color=black,symbol=DIAMOND,

symbolsize=30,title="Puncte pe plan"); # Vezi fig. 9.3.

plot(l[1],axes=normal,color=black,

symbolsize=30,thickness=2);

Fig. 3.3

Fig.3.4Pentru obinerea graficului unei funcii parametrice ( x =(t) si y =f (t) , t [a, b] ) comanda plot( ) se scrie sub forma:

> plot([ (t), (t), t = a..b], );Exemplu:

S se reprezinte graficul funciei x = sin 3t, y = cos 5t, t [0, 2p ] .> x:=sin(3*t):y:=cos(5*t):plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi],

color=black, thickness=2);

Fig. 3.53.2. Grafic 3dGraficul funciei de dou variabile z = f(x, y) poate fi obinut cu ajutorul comenzii plot3d( ), comand cunoscut sub urmtoarele formate:

plot3d(expresie, x=a..b, y=c..d, p)

plot3d(f, a..b, c..d, p) plot3d([expresiaf, expresiag, expresiah], s=a..b, t=c..d,p)

plot3d([f, g, h], a..b, c..d, p)Primele dou formule construiesc graficul unei suprafee, a doua si a treia grafice pentru funcii date parametric. Aici a, b, c si d sunt constante numerice sau expresii de tip real, p este un parametru care poate fi: axefont, font, color, coords, labelfont, thickness, style, ymbol, title, linestyle, etc.Exemplu:S se construiasc graficul funciei z = x sin 2x + y cos 3x, x, y[-p , p ] .

> plot3d(x*sin(2*y)+y*cos(3*x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi);

Fig. 3.63.3. Pachete pentru aplicaii n geometriePentru manipularea cu pachetele cu aplicaii n geometrie Maple dispune de pachetele geometry si geom3d. Primul se refer la geometria euclidian (geometria 2D), iar cel de al doilea la geometria din spaiu (geometria 3D). Obiectele geometrice sunt caracterizate de diversi parametri.

nainte de a ncepe lucrul, pachetele geometry si geom3d trebuie ncrcate. Structurile geomeztrice definite sau determinate acioneaz doar n cadrul pachetului respectiv.3.3.1. Pachetul geometryPachetul geometry conine peste o sut de comenzi care intervin n planimetrie.

Obiectele geometrice se definesc n mod obisnuit: punctul este definit de coordonatele sale (comanda point), dreapta de dou puncte sau de o ecuaie (comanda line), cerc (circle) prin trei puncte sau o ecuaie sau de centrul si raza (diametrul) lui.Exemplu:

Pentru un cerc dat de trei puncte distincte s se determine coordonatele centrului, raza si ecuaia lui. Graficul poate fi obinut cu comanda drawCu ajutorul comenzii detail( ) se obine descrierea complet a cercului c1, adic numele

obiectului, forma lui, numele centrului, coordinatele centrului, raza cercului si ecuaia cercului.

Prezint ilustrarea teoremei lui Pitagora, folosind comanda construciei unui polygon.> with(plots):with(geometry):with(student):a:=3;b:=5;Warning, the names distance, midpoint and slope have been redefined

> display(polygonplot([[0,0],[b,0],[0,a]],color=grey),

polygonplot([[b,0],[a+b,0],[a+b,b]],color=turquoise),

polygonplot([[a+b,b],[a+b,a+b],[a,a+b]],color=green),

polygonplot([[0,a],[a,a+b],[0,a+b]],color=cyan),> polygonplot({[[b,0],[a+b,b],[a,a+b],[0,a]]},color=yellow),

scaling=constrained);

Fig. 3.7

3.3.2. Pachetul geom3dComenzile pachetului geometriei tridimensionale geom3d sunt asemntoare comenzilor geometriei bidimensionale (pachetul geometry). Pentru determinarea unui punct, a unei linie, a unui plan sau a unei sfere utilizatorul poate apela la funciile point, line, plane si sphere. De asemenea poate fi definit un segment (segment), un segment orientat (dsegment), un triunghi (triangle), precum si un numr mare de poligoane, de exemplu, cu comanda tetrahedron poate fi creat o piramid.

Menirea multor funcii ale pachetului geom3d rezult din denumirea funciilor, iar caracterul aplicrii este analog celui descris pentru pachetul geometry. Avnd n vedere cele spuse ne mrginim doar la prezentarea a dou exemple: n fig.3.8 este reprezentat o sfer n interiorul unui dodecadron, iar n fig.3.9 dou figuri n spaiu, unde una este inclus n cealalt.

Fig. 3.8

Fig. 3.9C A P I T O L U L 4ANEXE

4.1 ANEXA 1

Problema 1. Un medicament este injectat in tesutul muscular. Concentratia medicamentului n snge crete pn cnd atinge un nivel maxim apoi incepe s scad pe msur ce procesul metabolic al corpului indeprteaz medicamentul. Concentraia , C, n mg per 100 ml snge este o funcie care depinde de cantitatea de medicament injectat, x, msurata in 100 de mg, i timpul , t, msurat n ore de la ora la care a fost injectat medicamentul. De aceea,C=f(x,t)

Se presupune c pentru un anumit medicament un model matematic bun care msoar concentraia de dup o injecie este dat de:

, pentru , , .

Aceast formul este valid pentru injecii iniiale ntre 100 si 400 mg i pentru toate perioadele de timp t. Incepem prin a defini funcia f(x,t) . Sintaxa este aceeai ca n cazul cu o singr variabil.

> f:=(x,t)->t*exp(-t*(5-x));

> f(1,t); f(1.5,t);

> plot([f(1,t),f(1.5,t),f(2,t),f(3,t),f(4,t)],t=0..6,color=[red,blue,green,cyan,yellow], labels=["time","concentration"]);

Fig. 4.1

Trebuie s ghicim valoarea lui t, cutm o valoare a lui t, dup care cantitatea de medicament a sczut din corp la 0 pentru toate injeciile iniale. In figura de mai sus am luat valoarea t=6 ore. A se observa cum concentraia maxim i momentul n care intervine concentraia maxim, variaz in funcie de cantitatea injectat iniial, x. Concentraia maxim este, desigur, mai mare pentru cantiti iniiale mai mari, si pentru cantiti iniiale mari, se disip mai greu medicamentul n corp.Cu valorile din acest model timpul in care se atinge nivelul maxim al concentraiei de medicament n corp nu este niciodat mult mai mare de 1 or.In urmtorul grafic(Fig. 4.2) fixm timpul t 1. t2, t3 dup ce injecia a fost fcut i cantitatea injectat,x, variaz.

> plot([f(x,1),f(x,2),f(x,3)],x=1..4,color=[red,blue,green],labels=["amount of injection","concentration"]);

Fig. 4.2

linia roie arat concentraia dup momemtul t1 de la care s-a facut injecia, x; linia albastr arat concentraia dup momemtul t2 de la care s-a facut injecia, x;

i aa mai departe.

Nu n mod surprinztor, pentru orice moment din timp concentraia este mai mare pentru cantiti mai mari ale injeciei iniiale. Linia albastr i cea verde din graphic, care arat concentraiile la momentele t2 i t3, ore dup o injecie sunt mai plate dect linia roie, care arat concentraia la un nivel apropiat de concentraia maximal.Acum o s vedem cum toate informaiile traslateaz intr-o funcie de dou variabile, Sintaxa pentru graficul funciei de dou variabile este aceeai cu sintaxa graficului funciei de o variabil. Comanda de baz este plot3d. Sunt multe opiuni i atribute care pot fi adugate la 3dplot.> plot3d(f(x,t),x=1..4,t=0..6,labels=["injection","time","concentration"],axes=normal);

Fig. 4.3.

Cu ajutorul programului Maple se pot roti aceste grafice doar cu ajutorul mouse-ului, prin micarea acestuia., insemnnd schimabarea punctului de vedere a acestuia. Acesta este un mod bun de a nelege forma unui grafic.Cum dai click pe graphic o ram neagr apare n jurul acestuia, de asemenea un meniu pe toolbar. Meniul v permite s schimbai multe variabile ale graficului.

Dac avem o funcie care se schimb foarte rapid este important s alegem un reglaj mai fin. Sintaxa este grid=[ .. ,.. ].In cazul din fig. 4.4 avem grid[15,15].

Fig. 4.4

4.2 ANEXA 2

Problema 2. O coard este legat de-a lungul axei x cu capetele la x=0 i x=1. Se ciupe coarda intr-un anume fel asrfel inct sa vibreze dup formula:

Unde t- este timpul n milisecunde, x- coordonata orizontal a unui punct de pe coard.

Denot deplasarea vertical a punctului x la momentul t. ( presupunem c fiecare punct vibreaz doar in direcia x).

Definim funcia n Maple.

>v:=(x,t)->cos(t)*sin(2*Pi*x);

Trasm graficul cu x fixat.

> plot([v(0.25,t),v(0.5,t),v(.75,t)],t=0..13,color=[blue,green,magenta],labels=["time","vert.displ."]);

Fig. 4.5

Linia albastr din grafic arat micarea punctului x=0,25 n primele 13 milisecunde.Vedem cum punctual descrete fa de prima amplasare , de 1, apoi crete din nou i tot aa.Linia roie arat micarea vertical a punctului x=0,75 pe coard in primele 13 milisecunde ale micrii.

Trasm un grafic cu t fixat.

> plot([v(x,0),v(x,2),v(x,4)],x=0..1,color=[red,blue,green],labels=["point on string","vert.displ."]);

Fig. 4.6

Linia roie arat poziia vertical a fiecrui punct pe coard la momentul iniial t=0. Cu alte cuvinte, arat forma corzii la t=0.

Linia albastr arat forma corzii la momentul t=2 i aa mai departe. Dup cum putem vedea, graficul cu t fixat ne arat forma corzii n orice moment.

Trasm graficul 3d n Maple.>plot3d(v(x,t),x=0..1,t=0..13,axes=framed,labels=["point on string","time","disp"]);

Fig. 4.5

Dac rotim graficul de mai sus obinem priveliti care ne arat clar graficul cu t fixat care d forma corzii n orice moment , precum si graficul cu x fixat care ne ilistreaz vibraiile n orice punct dat. Pe ,msur ce rotim graficul, cele dou numere din colul stnga sus al ecranului de lng cele dou litere greceti, se schimb. Literele reprezint unghiurile verticale i orizontale caer descriu punctul din care vedem noi. Ne putem fixa n orice unghi dat, in linia d e comand folosind opiunea de orientare i cele dou numere care corespund unghiului.Bibliografie

1. Bauldry W. C., Evans B., Jonson I. - Linear Algebra with Maple.- John & Sons, 1995.

2. Bourbaki N. - Algebre, cap II (Algebre lineaire),- Paris, 1947.3. Catrina I., Guran L.- Sistemul metodelor de calculaie a costurilor, economie matematic i probleme actuale ale economiei de pia- Editura Focus, Petroani, 2009.4. Cpn Gh., Lica D., Marin V., Micula S., Teodorescu N. - Produsul programat

Maple n matematici.- Ed. Bren, Bucureti, 2005.

5. Despa R., Visan C., Coculescu C., Burac M., Pricin C., Solomon O. - Matematici

aplicate n economie -Editura Universitar, Bucureti, 2005.6. Spnu T.M., Diaconia V., Rusu, Gh.- Matematici aplicate n economie- Ed. Sedcom Libris,

Iai, 2006.7. Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M., .a. - Modelarea matematic a

proceselor economice n agricultur -Ed. Universitas, Chisinu, 1993.8. Fadeev D., Sominski I. - Recueil dexercices dalgebre superieure -

Ed.Mir, Moscova,1973.9. Lica D., Teodorescu N.- MAPLE: system electronic de calcule matematice.- Ed. MatrixRom, Bucuresti, 2002.

10. Mihoc Gh., s.a. - Matematici pentru economisti -Ed. Tehnic, Bucuresti, 197111. Orman G.V. - Metode de calcul numeric n algebra liniar - Ed. Universitii Braov,

Braov, 1980.12. Orman G.V. -Capitole de matematici aplicate.- Editura Albastr, Cluj-Napoca, 1999

13. Pomohaci C.M. - Noiuni introductive de utilizare a computerului - Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 2005.14. Purcaru I. - Matematici financiare -Ed. Economic, Bucureti, 1998.15. Samuel J., Coculescu C., Mihilescu E. - Elemente de Analiz Matematic i Ecuaii Difereniale pentru economisti -Ed. Sylvi, Bucureti, 2004.16. Stoian M. S., Balaei M. C., Guran L. - Matematic pentru economiti- Editura

MatrixRom, Bucureti, 2009.17. Shilov G.E. -An Introduction to the Theory of Linear Spaces - Prentice-Hall Inc.,1961.18. Voievodine V. - Principes numeriques dalgebre lineaire - Ed.Mir, Moscova, 1980.PAGE 2