STUDIUL OSCILAŢIILOR AMORTIZATE PE MODEL ELECTRIC

Prin oscilaţie se înţelege orice fenomen fizic în decurul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică sau pseudo-periodică în timp.. Fenomenul fizic poate avea loc în sisteme fizice de naturi diverse, de exemplu într-un sistem mecanic (oscilaţiile mecanice efectuate de un pendul elastic) sau într-un circuit electric cu rezistenţă, inductanţă şi capacitate-RLC. Fie un sistem mecanic (Fig. 1), compus ditr-un corp de masă m şi un resort de constantă elastică k. Se presupune că interacţiunea sistemului cu mediul exterior se

caracterizează printr-o forţă de frecare de tipul: rdtdxrF , constantă.

Fig.1. Sistem mecanic În acest caz, sistemul va efectua mişcări de o parte şi alta a poziţiei de echilibru, transformându-şi periodic energia cinetică în potenţială şi invers. Forţa de frecare conduce la disiparea energiei sistemului.

Fig. 2. )(tfx Ecuaţia diferenţială care descrie mişcarea oscilatorie corespunzătoare este:

,02

2

kxdtdxr

dtxdm (1)

echivalentă cu relaţia:

,02 202

2

xdtdx

dtxd (2)

unde: mr

2 defineşte factorul de amortizare;

mk

20 este pulsaţia proprie.

În cazul ,20

2 soluţia ecuaţiei (2) are forma:

2200 ,sin teAx t , (3)

cu A0, φ amplitudinea şi respectiv, faza iniţială. Ecuaţia (3) descrie mişcarea oscilatorie amortizată (Fig.2). Ca măsură a energiei disipate de sistem într-o perioadă, se defineşte decrementul

logaritmic prin relaţia: ,)(

)(lnTtA

tA

(4)

T-perioada mişcării, amplitudinea descreşterea în timp. În cazul studiat avem: .T O ecuaţie diferenţială de acelaşi tip descrie fenomenele ce au loc într-un circuit oscilant serie sau paralel format din rezistenţa R, inductanţa L şi capacitatea C. Fie circuitul oscilant RLC paralel (Fig.3) alimentat în impulsuri dreptunghiulare.

Fig.3. Circuitul oscilant RLC paralel Pe durata existenţei unui impuls, condensatorul se încarcă, iar în timp ce impulsul este stins, condensatorul se descarcă oscilant pe elementele R şi L. Aplicând legea Kirchhoff pentru nodul M, se obţine:

;0 CLR iii

adică: ;01dtduCdtu

LRu (5)

unde u este tensiunea momentană la bornele circuitului în timpul descărcării oscilante. Diferenţiind relaţia (5) se obţine:

;0112

2

uLdt

duRdt

udC (6)

care este de acelaşi tip cu ecuaţia pentru oscilaţii mecanice (2). Soluţia ecuaţiei diferenţiale (6) pentru cazul ,2

02 adică CRL 24 este:

);sin( 12

0

teuu RCt

(7)

unde:

.2

11221 RCLC

(8)

reprezintă pulsaţia oscilaţiei. Ecuaţia (6) reprezintă ecuaţia oscilaţiei amortizate, în care mărimea :

RCt

euU 20

(9)

reprezintă amplitudinea oscilaţiei amortizate, care scade exponenţial în timp (oscilaţia se „stinge”). Prezenţa rezistenţei conduce la disiparea energiei, ceea ce are ca urmare descreşterea în timp a amplitudinii. Se poate arăta uşor, înlocuind (9) în (4), că

RCT

2 (10)

Mărimea RC reprezintă constanta de timp a circuitului. În lucrare se va măsura dependenţa decrementului logaritmic ca funcţie de rezistenţa electrică R, pentru 3 valori ale inductanţei L: (bobină fără miez, bobină cu miez de fier şi bobină cu miez de cupru). ;/2

0 lSNL r 0 este permeabilitatea

magnetică a vidului, mHAN .104/104 727

0 adică este o constantă.. r este

permeabilitatea magnetică relativă a mediului din interiorul solenoidului , N reprezintă numărul de spire, S este aria secţiunii şi l este lungimea solenoidului.

..,,1;.,,1

;.,1,1:

iceferomagnetsubstfierpentruiceparamagnetsubstcuprupentru

cediamagnetisubstaerpentru r

r

Mod de lucru După efectuarea reglajelor necesare vizualizării oscilaţiei amortizate pe ecranul osciloscopului, se modifică treptat rezistenţa R a circuitului cu ajutorul potenţiometrului şi se citesc două amplitudini succesive (de preferat, cele mai mari), decalate printr-o perioadă (Fig.4). Decrementul logaritmic Δ se calculează cu relaţia :

.)(

)(lnTtU

tU

(11)

Prelucrarea datelor experimentale Rezultatele se pot ordona în tabelul de valori:

Nr. crt. L –bobină cu miez:

R(k) U(t) U(t+T)

1

Cu

500 2 400 3 300 4 200 5 100 6 50 7 10 8 5 9 3 10

aer

500 11 400 12 300 13 200 14 100 15 50 16 10 17 5 18 3 19

500 20 400 21 300 22 200

23 Fe 100 24 50 25 10 26 5 27 3

Valoarea lui C se citeşte pe condensator în montaj.

Fig. 4. Oscilaţia amortizată vizualizată pe ecranul osciloscopului Se reprezintă grafic dependenţa decrementului logaritmic Δ ca funcţie de rezistenţa electrică R, pentru cele 3 miezuri ale bobinei, în acelaşi sistem de coordonate, comparând cele 3 grafice obţinute. Întrebări:

1. Ce este o oscilaţie? 2. Scrieţi ecuaţia care descrie mişcarea oscilatorie amortizată. 3. Cine este factorul β în relaţia (7)? 4. Ce element din circuitul RLC paralel analizat conduce la disiparea energiei şi

descreşterea în timp a amplitudinii ? De ce? 5. Analizaţi din punct de vedere dimensional decrementului logaritmic Δ.

6. Rezistenţa R a circuitului este dată prin: S

lR , cu ajutorul

potenţiometrului se modifică: a) rezistivitatea ; b) lungimea l a conductorului; c) aria secţiunii S a conductorului; d) l,S; e) rezistenţa R a circuitului.

Bibliografie:

1. I.Damian, D.Popov, Teme experimentale,Editura Politehnica (2003). 2. C. Marcu, I. Mhalca, D. Mihailovici, I. Damian, R. Baea, M. Cristea, Lucrart de

laborator Fizică, (1981).

u(t +T)

u(t)u

t

T