lfa7

7/26/2019 lfa7

1/26

Notiuni de aritmetica fuzzyCapitolul 7

Doru Todinca

Departamentul CalculatoareUPT
http://find/

7/26/2019 lfa7

2/26

Cuprins

Intervale de incredere

Numere fuzzy

Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy

Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/http://goback/

7/26/2019 lfa7

3/26

Surse

Acest curs contine definitii, exemple, formule, etc, preluate (si

prelucrate) din cartea Arnold Kaufmann, Madan M. Gupta, Anintroduction to fuzzy arithmetic: theory and applications, VanNostrand Reinhold, 1991, [KG91].
http://find/

7/26/2019 lfa7

4/26

Cuprins


Numere fuzzy


http://find/

7/26/2019 lfa7

5/26

Intervale de incredere (confidence intervals): definitii

In multe situatii practice despre o anumita marime putemafirma doar ca este situata intre doua valori, a1, a2 R,a1 a2

Definitie: un astfel de interval de numere reale se numesteinterval de incredere (confidence interval) si se noteazaA= [a1, a2]

Un astfel de interval poate fi deschis la unul sau ambele

capete sau chiar unul sau ambele capete pot fi sau +
http://find/

7/26/2019 lfa7

6/26

Operatii cu intervale de incredere: adunarea si scaderea

Daca stim ca x [a1, a2], y [b1, b2] (unde A= [a1, a2] siB= [b1, b2]), ce putem spune despre x+y, x y, x y,

xy

?

(despre x y si xy

putem discuta doar in R+)

Evident, x+y [a1+b1, a2+b2]

Notam A(+)B= [a1+ b1, a2+ b2],A()B= [a1 b2, a2 b1]

Ca si caz particular de scadere avem imaginea (opusul) unuiinterval de incredere A dat de A = [a2,a1]

Observam ca A(+)A = [a1 a2, a2 a1] = 0 in general,unde intervalul 0 se defineste ca fiind 0 = [0, 0]

In general orice numar real t R se poate reprezenta cainterval de incredere in forma [t, t]

Adunarea intervalelor de incredere in R formeaza un semigrup(monoid) comutativ, adica este asociativa, comutativa, are

element neutru (pe 0 = [0, 0]), dar are opus (invers)
http://find/

7/26/2019 lfa7

7/26

Operatii cu intervale de incredere: inmultirea si impartirea

Operatiile de inmultire si impartire a intervalelor de increderese definesc in R+ asrfel:A()B= [a1, a2] [b1, b2] = [a1 b1, a2 b2]A(:)B= [a1, a2](:)[b1, b2] = [

a1b2, a2b1

], unde b1, b2 = 0

In general se defineste inversul intervalului A= [a1, a2] cafiind A1 = [ 1

a2, 1a1

], unde a1, a2 = 0

Inmultirea intervalelor de incredere in R+ este asociativa,comutativa, are element neutru (pe 1 = [1, 1]), dar nu este

inversabila pentru caA(:)A=A()A1 = [a1, a2](:)[a1, a2] = [

a1a2, a2a1

] = [1, 1] = 1
http://find/

7/26/2019 lfa7

8/26

Cuprins


Numere fuzzy


http://find/

7/26/2019 lfa7

9/26

Numere fuzzy: definitii

Definition

Un numar fuzzy inR

este o multime fuzzy inR

care e normala siconvexa.

Kaufmann si Gupta considera ca un numar fuzzy consta inasocierea dintre intervale de incredere si nivele de prezumtie

(presumption levels, levels of presumptions): Se considera ca pentru = 1 avem prezumtia maxima privind

valoarea numarului fuzzy, iar pentru = 0 avem nivelul minimde prezumtie

[0, 1] se poate stabili un nivel de prezumtie

A = [a()1 , a()2 ]

Trebuie sa fie indeplinita conditia ca atunci cind cresteintervalul de incredere sa NU creasca, adica, daca 1 2 saaiba loc [a

(2)1 , a

(2)2 ] [a

(1)1 , a

(1)2 ]
http://find/

7/26/2019 lfa7

10/26

Cuprins


Numere fuzzy


http://find/

7/26/2019 lfa7

11/26

Observatii generale

Operatiile cu numere fuzzy se vor defini in doua moduri, caresunt echivalente:

Pe baza principiului extensiei Pe baza nivelelor de prezumtie, care sunt echivalente cu

taieturile de nivel ale unui numar fuzzy

Se poate demonstra ca cele doua moduri de a defini operatiilecu numere fuzzy sunt echivalente

Se foloseste faptul ca orice multime fuzzy este reuniunea

tuturor taieturilor sale de nivel , cu [0, 1]
http://find/

7/26/2019 lfa7

12/26

Cuprins


Numere fuzzy


http://find/

7/26/2019 lfa7

13/26

Adunarea numerelor fuzzy

Definition

Fiind date doua numere fuzzyAsi

B in

R, se defineste suma lorA B in felul urmator: x, y, z R

AB(z) = supz=x+y

(min(A(x), B(y)))

, sau, folosind notatiile din [KG91],AB(z) =

z=x+y

(A(x) B(y))

Definition

Folosind taieturi de nivel , adunarea a doua numere fuzzy sedefineste: A(+)B = [a1 , a

2 ](+)[b

1 , b

2 ] = [a

1 +b

1 , a

2 +b

2 ]

Operatiile din prima definitie se folosesc pentru numere fuzzydiscrete (de exemplu in Z), iar a doua definitie pentru numerefuzzy continue (in R).
http://find/

7/26/2019 lfa7

14/26

Cuprins


Numere fuzzy


http://find/

7/26/2019 lfa7

15/26

Scaderea numerelor fuzzy

Se defineste:x, y, z R

AB(z) = supz=xy(min(A(x), B(y)))

sau:A()B = [a1 , a

2 ]()[b

1 , b

2 ] = [a

1 b

2 , a

2 b

1 ] deoarece

B = [b1 , b2 ] = [b2 ,b

1 ]
http://find/

7/26/2019 lfa7

16/26

Cuprins


Numere fuzzy


http://find/

7/26/2019 lfa7

17/26

Inmultirea numerelor fuzzy

Se defineste in R+:x, y, z R

AB(z) = supz=xy

(min(A(x), B(y)))

sau:A()B = [a1 , a

2 ]()[b

1, b

2 ] = [a

1 b

1 , a

2 b

2 ]

C
http://find/

7/26/2019 lfa7

18/26

Cuprins


Numere fuzzy



I i l f
http://find/

7/26/2019 lfa7

19/26

Impartirea numerelor fuzzy

Se defineste in R+:x, y, z R

AB

(z) = supz=x/y

(min(A

(x), B

(y)))

sau:A(/)B = [a1 , a

2 ](/)[b

1, b

2 ] = [

a1b2

, a2b1

] deoarece

B1 = [b1 , b

2 ]1 = [ 1

b2, 1b1

]

N f i l i i i l b i
http://find/

7/26/2019 lfa7

20/26

Numere fuzzy speciale si proprietati algebrice

Un singleton tse poate extinde sub forma unui nr fuzzy t

Numere fuzzy speciale sunt 0 si 1

Adunarea numerelor fuzzy in R este asociativa, comutativa,

are element neutru (numarul fuzzy 0), dar nu este inversabiladeoarece in general A A = 0

Inmultirea numerelor reale in R+ este asociativa, comutativa,are element neutru (numarul fuzzy 1), dar nu este comutativa

deoarece in generalA A

= 1

C i
http://find/

7/26/2019 lfa7

21/26

Cuprins


Numere fuzzy



O tii f di t
http://find/

7/26/2019 lfa7

22/26

Operatii cu numere fuzzy discrete

Pt operatii fuzzy discrete se aplica primul set de formule si se

lucreaza pe baza principiului extensiei (ca in exemplul dincursul 3, de la Principiul extensiei).

Pentru adunare si scadere se procedeaza exact ca in acelexemplu: se cauta toate perechile de numere x si ya carorsuma sau diferenta este zsi se aplica principiul extensiei

La inmultire (doar pt numere pozitive) ramin valori intregicare nu sunt produsul a doua numere. Ele se completeazaastfel incit functia de apartenenta a produsului, (z) sa fiecrescatoare in stinga valorii pt care (z) = 1 si descrescatoare

in dreapta. Va rezulta un numar in trepte, dar care NU va fi

descrescator in stinga valorii maxime si NU va fi crescator indreapta ei.

O e atii c e e f co ti e i R es ecti R+
http://find/

7/26/2019 lfa7

23/26

Operatii cu numere fuzzy continue in R, respectiv R+

Pt numere fuzzy continue se lucreaza cu taieturi de nivel

In general un nr fuzzy este dat in forma:

A(x) =

0, daca x l1

f1(x), daca l1 x l2

f2(x), daca l2 x l3

0, daca l3 x

, unde f1 e crescatoare, iar f2 e descrescatoare

DESEN ! Se face =f1(a

1 ) si rezulta a

1 =f

11 () si similar

din =f2(a2 ) rezulta a

2 =f

12 ()

Operatii cu numere fuzzy continue in R respectiv R+
http://find/

7/26/2019 lfa7

24/26

Operatii cu numere fuzzy continue in R, respectiv R+

similar se da al doilea numar fuzzy:

B

(x) =

0, daca x m1

g1(x), daca m1 x m2

g2(x), daca m2 x m3

0, daca m3 x

, unde g1 e crescatoare, iar g2 e descrescatoare

Se face =g1(b1 ) si rezulta b

1 =g

11 () si similar

din =g2(a2 ) rezulta b

2 =g

12 ()

Apoi se face A

B

= [a

1 , a

2 ]

[b

1 , b

2 ] = [c

1, c

2], undeoperatia poate fi adunare, scadere, inmultire sau impartire

Din = h1(c1) si respectiv din=h2(c

2) se obtin functiile

de apartenenta ale numarului fuzzy rezultat, pe intervale:y=h1(x) si y=h2(x)

Exemple pentru numere fuzzy triunghiulare
http://find/

7/26/2019 lfa7

25/26

Exemple pentru numere fuzzy triunghiulare

Un nr fuzzy triunghiular se noteaza [m1, m2, m3], undem1 m2 m3 R (sau R+ pt inmultire si impartire)

Adunarea si scaderea a 2 nr fuzzy dau tot un nr fuzzy,

Coordonatele sunt suma coordonatelor cu acelasi indice ptadunare

La scadere se face adunarea cu opusul, care e[m3,m2,m1]

Coordonatele se calculeaza similar pt inmultire, adica prininmultirea coordonatelor cu acelasi indice, doar ca inmultirea

si impartirea nu pastreaza liniaritatea. La impartire se inmulteste primul numar fuzzy cu opusul celui

de-al doilea, care este dat de [ 1m3

, 1m2

, 1m1

]

Arnold Kaufmann and Madan M Gupta.
http://find/

7/26/2019 lfa7

26/26

pIntroduction to fuzzy arithmetic: theory and applications.Van Nostrand Reinhold, 1991.
http://find/

lfa7

Documents