8/13/2019 LECTII_Divizibilitate

1/3

Relaia de divizibilitate: ba (sau ba) ZrespectivNc astfel nct a=bc. (a se divide cu b) sau (a este divizibil cu b) sau ( b divide pe a) Proprieti:

. aa ! a ! a" Za #. ab! bc ac $. ab! ba a=b.

%. da! dbda&b sau da'b . ab abc Zc . da dabc

*. ad! bd abd! dac (a!b)=. +. ab acbc Zc ,. ab! cd acbd

". abc -i (a!b)= acesco/punerea n factori pri/i: Nppppn kak

aaa= .........

321

321

0u/rul divizorilor lui n este: 0= ( )( ) ( )1........11 21 +++ kaaa ac n1 nu/rul de divizori =#0 0u/ere pri/e Numim numr prim orice numr natural mai mare dect 1, care are numai divizori improprii-adic pe 1

i pe el nsui.

2riterii de divizibilitate:2riteriul de divizibilitate cu #3n nu/r este divizibil cu # dac ulti/a sa cifr este par. 0u/erele care sunt divizibile cu # se nu/escnu/ere pare.2riteriul de divizibilitate cu 3n nu/r este divizibil cu dac ulti/a sa cifr este " sau .42riteriul de divizibilitate cu %3n nu/r este divizibil cu %! dac nu/rul for/at de ulti/ele sale # cifre este divizibil cu %.42riteriul de divizibilitate cu +

3n nu/r este divizibil cu +! atunci cnd nu/rul for/at de ulti/ele sale $ cifre este divizibil cu +.42riteriul de divizibilitate cu #3n nu/r este divizibil cu #! dac nu/rul for/at de ulti/ele sale # cifre este divizibil cu #! adicdac ulti/ele sale # cifre sunt:""5#5"5 *.2riteriul de divizibilitate cu o putere a lui "3n nu/r este divizibil cu o putere a lui "! dac ulti/ele sale n cifre sunt zerouri.2riteriul de divizibilitate cu $3n nr.este divizibil cu $! dac su/a cifrelor sale este un nu/r divizibil cu $.2riteriul de divizibilitate cu ,3n nu/r este divizibil cu ,! daca su/a cifrelor sale este divizibil cu ,.42riteriul de divizibilitate cu 3n nu/r este divizibil cu ! dac este divizibil cu # -i cu $.

6eore/a /pririi cu rest: 7ie a! b 0,.0,, += brqbaabrZrqZ2el /ai /are divizor co/un al nu/erelor a -i b (c././.d.c) sau (a!b) este cel /ai /are nu/r lacare se /part e8act si a si b -i este dat de produsul factorilor co/uni! luai la puterea cea /ai/ic 1) (a;b)=d a=da', b=db', (a';b')=12) (a;b)=d d/a si d/b, oricare ar fi d' a.i. d'/a si d'/b=> d'/d

ac (a!b)=d Nba ',' respectivdin 1 a.. a=a9d! b=b9d -i (a9!b9)=2el /ai /ic /ultiplu co/un al nu/erelor a si b (c./././.c.) sau a!b; este cel /ai /ic nu/r care se

/parte e8act -i la a -i la b -i este dat de produsul factorilor co/uni -i neco/uni luai la puterea cea /ai/are.1)[a;b]=m m=am' , m=bm'

8/13/2019 LECTII_Divizibilitate

2/3

2)[a;b]=m a/m si b/m, oricare ar fi m', a.i. a/m' si b/m'=>m'/m

Dac [a,b]= m Nba ',' respectiv Z a.. m=aa, m=bb i (a,b)=1

a!b;(a!b)=ab ac p -i D sunt pri/e atunci mn qsip sunt pri/e.

ivizibilitate B8erciii

. a) eter/inai nD ' /uli/ea divizorilor lui n pentru n=#! #! $"! ".b) eter/inai nM ' /uli/ea /ultiplilor lui n pentru n= #! $! %! ! ".

#. eter/inai nu/erele de for/a : 23,3,2!,10,31 xxxxx divizibile cu: a) #5 b) $5 c) 5 d) ,5 e) ". n /uli/ea 0$. 2i divizori are nu/rul: a) "32 3! 5 b) 11"!3 5 c) %%5 d) *#"5 e) #"5

f) "+"" n 0 ar n 1. E se deter/ine " divizori (naturali) pentru fiecare nu/r dat.

%. E se afle nu/erele naturale 8 -i F -tiind c: (8&) (F&)=*# .. eter/inai 8! F a.. 32xy s fie divizibil cu $.. eter/inai 8! F a.. xy3# s fie divizibil cu a) #5 b) $5 c) 5 d) ,5 e) ".*. E se arate c: a) 2000#2 !....!!! ++++ este divizibil cu $"5

b) 032 $....$$$$ +++++ este divizibil cu "5 c) 1110 +n este divizibil cu $5 d) nn 33 2 ++ este divizibil cu 5 e) $n &*n& $#n&'#n $neste divizibil cu $5

f) n&$n n&&$n neste divizibil cu $5 >) #$&.....#""#""este divizibil cu *5 G) $&$#&$$&.........&$#""*&$#""+este divizibil cu #"5

i) *#""*& este divizibil cu #5 H) $"&"este divizibil cu #.+. Cflai c./././.c -i c././.d.c al nu/erelor: a) %! ! "5 b) $#%! *+%5 c) *#,! *5 d) #! #! """5 e) $*"! %+%.,. Ia ora pleac de la capt de linie $ autobuze. Pri/ul parcur>e traseul n % /inute! al doilea

n " de /inute! iar al treilea n $" de /inute. Ia ce or se vor ntlni pentru pri/a dat -oferiicelor trei autobuze la capt de linie.". eter/inai cel /ai /ic nu/r natural care /prit pe rnd la +! ,! # d restul .. eter/inai cel /ai /ic nu/r natural care /prit pe rnd la ! +! %+ d restul .#. 0u/erele *+! %*! +,, /prite la acela-i nu/r natural dau resturile $#! %#! #. Cflai

/pritorul.$. 0u/erele $%+! *,"! +" /prite la acela-i nu/r natural dau resturile #! ! %. Cflai

/pritorul.%. E se deter/ine nu/erele naturale a -i b -tiind c : a) (a!b)=! a!b;=%#"5 b) (a!b)=#! a!b;=#%5 c) a!b;=+%! ab=*5 d) a!b;=#! ab=***5 e) #a&$b=+" -i (a!b)=#5 f) ab=,"! (a!b)=$"5 >) (a!b)=#! ab=+%5 G) (a!b)=% ! ab=".. Ia spectacolul de descGidere a oli/piadei de la Ctena au participat ca/ #""" de arti-tivoluntari. Jn ti/pul spectacolului! dac ace-tia se a-ezau n rnduri de cte ! * sau ! rndurileerau co/plete! dar dac se a-ezau cte $! unul din rnduri era inco/plet. 2i voluntari auparticipat la spectacol K

4. 2are este cel /ai /ic nu/r nenul care /prit pe rnd la % s dea restul $! /prit la s dea restul %! /prit la s dea restul .*4. 2are este cel /ai /ic nu/r natural n care /prit pe rnd la !+! d resturile $! -i +.

8/13/2019 LECTII_Divizibilitate

3/3

+4. 2are este cel /ai /ic nu/r natural n care /prit pe rnd la $! *! , d resturile $!*!,.,4. eter/inai nu/erele de for/a ,abc dac $a&*b&,c=% iar a!b!c sunt nu/ere pri/e.#"4. eter/inai nu/erele de for/a ,abc dac "a&bc=* iar a!b!c sunt nu/ere pri/e.#4 ac * divide pe #8&$F atunci * divide -i pe $8&F oricare ar fi 8!F nu/ere naturale.