imagini_histograma

7/21/2019 imagini_histograma

http://slidepdf.com/reader/full/imaginihistograma 1/55

IMBUNATATIREA

IMAGINILOR



CUPRINS

NOTIUNI INTRODUCTIVE

MARIMI STATISTICE

EXTINDEREA CONTRASTULUI

TEHNICI DE MODIFICARE A HISTOGRAMEI

MARIREA CLARITATII IMAGINILOR



NOTIUNI INTRODUCTIVE

Principalul obiectiv al metodelor de imbunatatire a imaginilor(„image enhancement”): rezultatul obtinut prin imbunatatirea uneiimagini sa fie mai adecvat decat imaginea originala pentru o aplicatiespecifica.

O anumita metoda nu este utilizabila in orice aplicatie !

Eemplu: o metoda utilizata in imbunatatirea unei radiografii medicalenu poate fi utilizata pentru corectarea unei imagini transmise dinspatiul cosmic de catre o nava de cercetare.

etodele discutate in continuare:

"metode din domeniul frecventa (bazate pe modificareatransformatei #ourier a unei imagini)$"metode din domeniul spatial (actioneaza asupra planelor de

imagine originale% modificand chiar pielii imaginii).



&a baza tehnicilor din doeni!l "rec#ent$: teorema convolutiei. #ie g(x,y) o imagine formata din convolutia unei imagini f(x,y) si un operator invariantpozitional h(x,y) (rezultatul operatorului depinde numai de valoarea lui f(x,y)

intr un punct dat al imaginii si nu de pozitia punctului):‑

g(x,y) = h(x,y) * f(x,y)

'stfel% din teorema convolutiei se obtine urmatoarea relatie din domeniul

frecventa: G(u,v) = H(u,v) F(u,v) unde G, H, F sunt transformatele #ourier ale functiilor g, h, f . ransformataH(u,v) se mai numeste si functia de transfer a procesului.

umeroase metode de imbunatatire si restaurare a imaginilor se bazeazape aceste ecuatii.



*ntr o problema tipica de imbunatatire a imaginilor% este data functia‑

f(x,y)% iar scopul% dupa calcularea lui F(u,v)% este gasirea lui H(u,v) astfel incat imaginea obtinuta:

g(x,y) = fourier -1 { H(u,v) F(u,v) }

evidentiaza anumite caracteristici ale imaginii initiale f(x,y).

Tehnicile din doeni!l %&$ti$l se bazeaza pe manipulareanivelurilor de gri sau a culorilor imaginii originale% in functie de criteriile

alese pentru imbunatatire.



Operatiile de imbunatatire se pot clasifica in urmatoarele categorii:

"operatii punctuale (pentru fiecare piel se calculeaza noua valoare numai

pe baza valorii sale initiale). 'ici pot fi considerate si operatiile depseudocolorare% prin care o imagine este afisata cu o paleta de culoaremodificata.

"operatii locale (sau de vecinatate): noua valoare a fiecarui piel este

obtinuta din valoare initiala a pielului repectiv si din valorile pielilor dintr"ovecinatate.

"operatii globale: noua valoare a fiecarui piel este calculata in functie devalorile tuturor pielilor imaginii.



O prelucrare simpla a nivelurilor de gri: operatia punctuala% incare valoarea fiecarui piel de coordonate (x,y) se calculeaza numaipe baza valorii sale initiale. +e mai numeste transformarea scarii degri sau mapare.

,el mai simplu caz: transformarea de prag% in care esteaplicata o functie de tip treapta. Pentru fiecare piel daca valoarea saeste sub o valoare de prag aleasa% atunci in imaginea rezultata pielulprimeste valoarea -% altfel primeste valoarea maima (de emplu //%pentru codificare pe 0 biti).



#unctii de transformare a nivelurilor de gri:



MARIMI STATISTICE

1escrierile statistice ale imaginilor utilizeaza:

Functia de distributie a robabi!itatii % notata "(a)% este probabilitatea cao stralucire (valoarea unui piel) aleasa din regiune sa fie mai mica sau egalacu o valoare data a. Pe masura ce a creste de la -# la $#% "(a) creste de la %

la 1. #unctia "(a) este monoton crescatoare si d"&da'% .Functia de densitate a robabi!itatii . Probabilitatea ca o stralucire dintr"

o regiune sa fie cuprinsa intre a si a$a% data fiind functia de distributie aprobabilitatii "(a)% poate fi eprimata prin (a)a% unde (a) este functia dedensitate a probabilitatii reprezentata prin relatia:

ada

adP aa p ∆

=∆ )(

)(



daa pb P

b

∫ ∞−

= )()(

1)(1)(0)( =∞=≥ ∫ +∞

∞−

P adicadaa p sia p

∑=ΛΛ

=a

ahundeaha p ][][1

][

Eista relatia:

1eoarece "(a) este o functie monoton crescatoare sunt adevaraterelatiile:

#unctia de densitate a probabilitatii pentru stralucire este estimata frecvent prinnumararea aparitiilor fiecarei valori in regiunea respectiva 23 histograma ha .

4istograma poate fi apoi normalizata% astfel incat intreaga arie de subhistograma este 5. 6ezulta relatia:



#unctia de distributie a probabilitatii stralucirii pentru o imagine si histogramastralucirii nenormalizata pentru aceeasi imagine:



∑∈Λ

= Rnm

a nmam),(

],[1

∑Λ=a

a aahm ][1

+tra!ucirea edie a unei regiuni este definita ca media de selectie a straluciriipielilor in cadrul acelei regiuni. edia a a stralucirii pentru pieli din cadrulregiunii . este data de relatia:

O varianta a acestei relatii se bazeaza pe histograma straluciriinenormalizate% h(a)=(a)% cu valori discrete ale stralucirii:



1

],[

)],[(1

1 ,

22

,

2

−Λ

Λ−

=−−Λ

=∑

∑ ∈

∈

Rnm

a

Rnm

aa

mnma

mnma s

1

][,

22

−Λ

Λ−

= ∑∈ Rnma

a

maha

s

/eviatia standard de se!ectie reprezinta o estimare a deviatiei standard astralucirii in cadrul regiunii . continand pieli:

iar utilizand formula histogramei:

1eviatia standard sa reprezinta o estimare a distributiei de probabilitate a

stralucirii de baza.



%100×= a

a

m

sCV

%)(%)( pd pechivalent sau pa P a

== ∫ ∞−

α α

0oeficientu! de variatie este adimensional si se defineste prin relatia:

"rocentau! (2) unei distributii a stralucirii este definit ca aceeavaloare a a stralucirii astfel incat:

+e pot distinge trei cazuri speciale frecvent utilizate in prelucrarile de imagini

(vezi figura precedenta):"-7 este valoarea minima in regiune$"/-7 este valoarea mediana$"5--7 este valoarea maima.



dB s

aaSNR

n

−= minmax

10log20

dB s

mSNR

n

a

= 10log20

dB s

sSNR

n

a

= 10log20

.aortu! sena!&3goot (+4.- +igna! to 4oise .atio) poate avea mai multedefinitii. 8gomotul este caracterizat prin deviatia sa standard sn. +emnalulpoate fi caracterizat diferit. 1aca se cunoaste faptul ca semnalul se gaseste

intre doua limite ain5 a5 aax atunci raportul semnal9zgomot (semnal marginit)este definit:

1aca semnalul nu este marginit% dar are o distributie statistica (semnalstohastic) atunci se cunosc doua alte definitii:

(+ interdependent)

(+ independent)



dB

mn f nm g

mn f

SNR N

n

M

m

N

n

M

m

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

−

=

1 1

2

1 1

2

)),(),((

),(

log10

dB

mn f nm g

mn f NM PSNR

N

n

M

M

mn

∑ ∑= =

−

=

1 1

2

,2

)),(),((

)),(max(log10

O alta definitie pentru raportul semnal9zgomot considera f imagineaoriginala (corecta) si g imaginea rezultata din f peste care s"a suprapus unzgomot aditiv si a carei calitate trebuie determinata:

+e mai utilizeaza de asemenea pentru determinarea calitatii unei imaginiraortu! sena! de varf & 3goot ("+4. - "ea6 +igna! to 4oise .atio):



∑ ∑= =

−= N

n

M

m

mn f nm g

NM

MSE

1 1

2)),(),((1

∑ ∑= =

−= N

n

M

m

mn f nm g NM

MAE 1 1

),(),(1

eroarea atratica edie (7+8 - 7ean +9uared 8rror):

si eroarea edie abso!uta (7:8 - 7ean :bso!ute 8rror):



O categorie importanta de operatii la nivel de punct estebazata pe histograma imaginii sau a unei regiuni. 1intre acesteoperatii fac parte:

"etinderea contrastului („contrast stretching”)$

"egalizarea histogramei$

"filtrarile minima% medie si maima.



EXTINDEREA CONTRASTULUI

1e multe ori o imagine achizitionata nu beneficieaza prin valorilestralucirii de intreaga gama pusa la dispozitie de sistem (vezi figura precedentacu histograma).

+olutie: etinderea histogramei peste intregul interval de valori intre % si;<-1 (< este numarul de biti pe care se reprezinta fiecare piel) 23 seasocieaza valoarea minima (valoarea de %2) la stralucirea % % iar valoareamaima (valoarea de 1%%2) la stralucirea ;<-1.

ransformarea corespunzatoare este data de relatia:

minimmaxim

minim],[)12(],[

−−

−= nma

nmb B

unde a,n si b,n sunt valorile stralucirii inainte si respectiv dupa operatiade etindere a contrastului intr"un punct de coordonate (,n).



O eprimare mai generala este data de:

≥−

<<

−

−−

≤

=

%],[12

%],[%

%%

%],[)12(

%],[0

],[

high B

highlow

lowhigh

low B

low

pnma

pnma p

p p

pnma

pnma

nmb

Este o formulare mai generala decat cea precedenta% caci valorile pentru !o 2

si high2 se pot alege (de eemplu: !o 2=>2 si high2=?>2). Pentru !o 2=%2 si high2 =1%%2 se obtine solutia precedenta.



8xe!u: imbunatatirea contrastului unei imagini. #ie r si s niveluri de grioarecare din imaginea initiala% respectiv din imaginea rezultata% cu relatias=@(r). 1aca functia @(r) are forma din figura (a) aplicarea acestei functii asupraimaginii initiale va produce o noua imagine avand un contrast marit% prinmicsorarea stralucirii nivelurilor sub un prag si marirea stralucirii nivelurilordeasupra pragului . *n cazul limita pentru o functie @(r) ca in figura (b)rezultatul transformarii va fi o imagine binivel.



O operatie punctuala de modificare a contrastului% care asocieaza ovaloare a nivelului de gri r la o noua valoare s% printr"o functie s=@(r)% cu r apartinand intervalului ;-$ ;< A 1< trebuie sa indeplineasca urmatoareleconditii:

" transformarea sa pastreze gama admisibila de valori ale imaginii%deci - = @(r) = ;<-1$

" transformarea sa fie monoton crescatoare sau monotondescrescatoare pentru a pastra ordinea intre nivelurile de gri.



Modi"ic$re$ lini$r$ $ contr$%t!l!i

ehnica de modificare liniara a contrastului: transformare liniara pe portiuni:

<≤−−−−−+

<≤−−−

+

<≤

=

Lr pentru r L

L

r pentru r

r pentrur

s

222

21112

11

)(11

)(

0

β β

α β α

α

unde 5% % > si ? sunt parametri de control si sunt grupaticate doi% definind punctele (5% >) si (% ?)% impreuna cu punctele fie (-% -) si

(B @ 5% B @ 5) 23 trei segmente ce apar An formula% unde B=;<. Este o operatiepunctuala care transforma valoarea r a fiecarui piel in noua valoare s.ransformarea poate fi facuta An doua moduri:

"se repeta calculul din formula pentru fiecare piel al imaginii$"se calculeaza noile valori ale contrastului de la Anceput pentru toate

nivelurile de gri posibile (Antre - si B@5) si apoi aceste modificari se aplicaimaginii.



P%e!docolor$re$

Pseudocolorarea: tehnica care permite scoaterea in evidenta a unorzone cu anumite valori de gri prin modificarea paletei de culori cu careimaginea este afisata (reprezentata). 'fisarea anumitor niveluri de gri se faceprin utilizarea unor culori.

Problema este asemanatoare cu modificarea contrastului: se aplica ofunctie s=@(r)% pentru toate valorile (sau pentru unele valori) r apartinandimaginii initiale 23 se pot pune in evidenta anumite zone de interes intr"oimagine cu niveluri de gri% zone care altfel ar putea fi distinse mai greu deochiul uman.

+e poate aplica si imaginilor color (colorare falsa B „false coloring”): intr"o imagine color anumite culori sunt inlocuite cu altele% in acelasi scop% de apermite o mai usoara observare a unor detalii.





Pentru a compara doua sau mai multe imagini pe baza unui anumit criteriu%(eemplu tetura)% este necesar mai intai sa se normalizeze histogramele

acestora la o histograma standard% mai ales atunci cand imaginile au fostachizitionate in conditii diferite.,ea mai utilizata tehnica de normalizare a histogramei: egalizarea

histogramei se incearca modificarea histogramei prin utilizarea unei functiis=@(r), intr"o histograma constanta pentru toate valorile de stralucire% ceea cecorespunde unei distributii de stralucire in care toate valorile sunt egalprobabile. 1in pacate% pentru o imagine oarecare se poate numai aproimaacest rezultat !

Pentru o functie convenabila @ se poate stabili urmatoarea relatie intrefunctia de densitate de probabilitate de intrare% functia de densitate deprobabilitate de iesire si functia @ :

)()()()( s pdr r pd dr r pds s p

s

r r s =⇒=

distributia de probabilitate trebuie sa fie aceeasi% " s

(s)=" r

(r).



#unctia @ este derivabila si d@&dr'% . Pentru egalizarea histogramei se doresteca s(s)=constant % ceea ce inseamna ca:

)()12()( r P r

B

−=unde "(r) este functia de distributie a probabilitatii. #unctia de distributie aprobabilitatii cuantizata% normalizata de la % la ;<-1 reprezinta tabela detranslatare necesara pentru egalizarea histogramei. *n figura (a) esteprezentata o imagine originala% in figura (b) apare imaginea prelucrata prin

etinderea histogramei% iar in (c) se poate vedea rezultatul egalizariihistogramei.



#ie variabila r nivelul de gri al pielilor din imaginea care trebuieimbunatatita. Pentru simplificare% se va presupune ca valorile pielilor au fostnormalizate% astfel incat: % ≤ r ≤ 1 unde r=% nivelul de negru% iar r=1 nivelul de alb.

Pentru orice r in intervalul %,1 se studiaza transformarea: s = @(r)

care produce un nivel s pentru fiecare nivel r din imaginea originala. +epresupune ca functia de transformare data prin aceasta ecuatie satisfaceconditiile:

a) @(r) este monoton crescatoare in intervalul % ≤ r ≤ 1C

b) %≤

@(r)≤

1 pentru %≤

r≤

1.,onditia a) impune ordinea de la negru la alb in scara de niveluri de gri% iarconditia b) garanteaza o transformare consistenta cu intervalul de valori alepielilor imaginii.

O transformare inversa de la s inapoi la r:



O transformare inversa de la s inapoi la r : r = @ -1(s) % ≤ s ≤ 1unde se presupune ca @ -1(s) satisface de asemenea conditiile a) si b). ivelurile de gri dintr o imagine sunt cantitati aleatoare in intervalul‑ %,1 .Presupunand ca sunt variabile continue% nivelurile de gri ale imaginii initiale sirespectiv ale imaginii transformate pot fi caracterizate prin functiile densitate deprobabilitate r (r) si respectiv s(s). #unctia densitate de probabilitatecaracterizeaza luminozitatea unei imagini. 'stfel% o imagine cu functia densitatedin figura (a) este intunecata% iar o imagine cu functia densitate din figura (b)este luminoasa.



1in teoria probabilitatilor: daca functiile r (r) si @(r) sunt cunoscute% iar @ -1(s)

satisface conditia (a)% atunci functia densitate de probabilitate pentru nivelurilede gri este data de relatia:

)(1

)()(

s r

r s

ds

dr r p s p

−=

⋅=

(functia densitate de probabilitate a imaginii transformate depinde de functiadensitate de probabilitate a imaginii initiale si de functia de transformare).

ehnicile de imbunatatire a imaginii care se discuta in continuare sebazeaza pe modificarea aparentei unei imagini prin controlarea functiei dedensitate de probabilitate a nivelurilor de gri utilizand functia de transformare@(r).

E'$li($re$ hi%to'r$ei



10)()(0

≤≤== ∫ r dww pr s r

r

[ ] 1011

)(

1)()( )(

)(

1

1

≤≤==

⋅= −

−

=

=

s

r p

r p s p s r

s r r

r s

E'$li($re$ hi%to'r$ei

+e considera functia de transformare

denumita functia de distributie cumulativa (#1,) a lui r (notata "(r) inparagraful de definitie a marimilor statistice)% care satisface conditiile (a) si (b)precedente. 1erivand in ambii membri ai ecuatiei precedente in raport cu r se

obtine: ds& dr = r (r) si inlocuind apoi in relatia pentru s(s) rezulta:

care este o functie de densitate de probabilitate uniforma in intervalul dedefinitie a variabilei transformate s. 1e notat ca acest rezultat este independentde functia de transformare inversa. Ctilizarea unei functii de transformare egala

cu distributia cumulativa a lui r va produce o imagine ale carei niveluri de gri voravea o densitate uniforma.



Pentru a fi utile in prelucrarile de imagini digitale: conceptele de mai sus trebuie

reformulate intr o forma discreta. 1eoarece nivelurile de gri au valori discrete%‑probabilitatile vor fi date de relatia:

r (r 6 ) = n6 & n % ≤ r 6 ≤ 16=%,1,CCC,B 1‑

unde B este numarul de niveluri de gri% r (r 6 ) este probabilitatea nivelului 6 % n6 este numarul de aparitii ale nivelului in imagine si n este numarul total de pielidin imagine. O reprezentare grafica a lui r (r 6 ) in raport cu r 6 se numestehistograma% iar tehnica utilizata pentru a obtine o histograma uniforma se

numeste egalizarea histogramei sau liniarizarea histogramei.



#orma discreta a ecuatiei pentru s este:

∑∑==

===!

i

i!

i

ir ! ! n

nr pr s

00

)()(

unde - = r 6 = 5% indeul 6 2 -% 5% % ... % B"5 si - = s6 = 5%iar transformata inversa este reprezentata de:

r 6 = @ -1(s6 ) % ≤ s6 ≤ 1

unde ambele functii @(r 6 ) si @ -1(s6 ) se presupune ca satisfac conditiile (a) si(b). 1e notat faptul ca functia de transformare poate fi calculata direct dinimaginea initiala utilizand ecuatia pentru s6 de mai sus.

Dalorile s6 vor fi scalate pana la valoarea B"5 (eemplu //) si rotunite lacel mai apropiat intreg% astfel incat valorile de iesire ale acestei transformari vorfi cuprinse intre - si //. 1iscretizarea si rotunirea valorilor sF la cel maiapropiat intreg vor conduce la faptul ca imaginea rezultata nu va avea ohistograma perfect uniforma.



∫ ==

r

r dww pr s0

)()(

∫ ==

"

" dww p " #v 0 )()(

S&eci"ic$re$ direct$ $ hi%to'r$ei

*n anumite situatii este de dorit sa se specifice o anumita histogramaparticulara capabila sa evidentieze un anumit nivel de gri dintr o imagine.‑

6econsiderand situatia corespunzatoare unei imagini continue% fie r (r) si 3 (3)functiile de densitate de probabilitate originala si respectiv% dorita. +e presupuneca mai intai o imagine data va fi egalizata ca histograma prin ecuatia:

1aca imaginea dorita este disponibila% nivelurile sale pot fi de asemeneaegalizate utilizand functia de transformare:



Procesul invers% 3=G -1(v)% va furniza nivelurile dorite. 'ceasta% evident este oformulare ipotetica deoarece nivelurile 3 sunt eact ceea ce se incearca sa seobtina. 1e notat totusi ca s(s) si v (v) vor fi densitati uniforme identice

deoarece rezultatul final al ecuatiei pentru s este independent de densitatea dininteriorul integralei. 'ceste aspecte sunt prezentate in schema urmatoare:



'stfel% in loc sa se utilizeze v in procesul invers% se vor utiliza nivelurileuniforme s obtinute din imaginea originala% nivelurile rezultate 3 = G -1(s) vor

avea functia de densitate de probabilitate dorita. Presupunand ca G -1(s) este ofunctie (cu valori singulare) 23 procedura:

(5) +e egalizeaza nivelurile imaginii originale utilizand ecuatia pentru s.() +e specifica functia densitate dorita si se obtine functia de transformare

G(3) cu ecuatia pentru v .(G) +e aplica functia de transformare inversa 3=G -1(s) nivelurilor obtinute lapasul (5).

'ceasta procedura va furniza o versiune prelucrata a imaginii originale

unde noile niveluri de gri sunt caracterizate prin densitatea specificata 3 (3).



etoda specificarii histogramei implica doua functii de transformare% @(r) si G

1‑ (s) este foarte simplu sa se combine ambii pasi de imbunatatire intr o‑singura functie care va furniza nivelurile dorite pornind cu pielii originali. 1incele de mai sus rezulta ca :

3 = G -1(s)

+ubstituind ecuatia pentru s in ecuatia precedenta rezulta functia detransformare combinata:

3 = G -1@(r)

*mplicatia ecuatiei: o imagine nu necesita sa fie egalizata din punct devedere al histogramei in mod eplicit. ot ceea ce se cere este ca @(r) sa fiedeterminata si sa fie combinata cu functia de transformare inversa. Pentruvariabile continue% o problema complicata este obtinerea functiei inverse informa analitica. *n cazul discret aceasta problema este simplificata de faptul canumarul de niveluri de gri este redus si este fezabila calcularea si memorareacate unei mapari pentru fiecare valoare posibila de piel.



r F nF pr (r F)2nF9n

- HI- -.5I

59H 5-G -./

9H 0/- -.5G9H J/J -.5J

K9H GI -.-0

/9H K/ -.-J

J9H 5 -.-G5 05 -.-

8xe!u. +e considera o imagine JKJK pieli cu 0 niveluri avandhistograma data in figura% pentru care se cunosc valorile:

s- 2 (r-) 2 pr(r-) 2 -.5I



s- (r -) pr (r -) -.5Is5 2 (r 5) 2 pr (r -) L pr (r 5) 2 -.KKs 2 (r) 2 pr (r -) L pr (r 5) L pr (r ) 2 -.J/sG 2 -.05

sK 2 -.0Is/ 2 -.I/sJ 2 -.I0sH 2 5.--

1eoarece sunt permise numai opt valori% egal distantate% fiecare valoareobtinuta din transformare trebuie asignata la valoarea valida cea mai apropiata%obtinandu"se valorile:

s- 2 59Hs5 2 G9H

s 2 /9HsG 2 J9HsK 2 J9Hs/ 2 5

sJ 2 5sH 2 5

*n acest moment fiecare nivel r se mapeaza in nivelul s dar eista numai cinci



*n acest moment fiecare nivel r 6 se mapeaza in nivelul s6 % dar eista numai cincivalori distincte pentru nivelurile de gri ale histogramei egalizate:

r - M s- 2 59H M s-

r 5 M s5 2 G9H M s5

r M s 2 /9H M s

r G M sG 2 J9H Nr K M sK 2 J9H M sG

r / M s/ 2 5 N

r J M sJ 2 5 M sKr H M sH 2 5

Prin renotare se obtin valorile:s- 2 59H

s5 2 G9Hs 2 /9HsG 2 J9HsK 2 5



1eoarece r - 2 - s"a mapat in s- 2 59H rezulta ca eista HI- de pieli cu aceastanoua valoare. 'nalog eista 5-G de pieli cu valoarea s5 2 G9H% 0/- de pielicu valoarea s 2 /9H. 1eoarece nivelurile r G si r K s"au mapat in sG si sK% renotat

cu sG 2 J9H% eista J/J L GI 2 I0/ de pieli cu aceasta noua valoare. 'nalog%deoarece nivelurile r /% r J si r H s"au mapat in sK 2 5% eista K/ L 5 L 05 2 KK0de pieli cu aceasta valoare. +e obtine histograma:



zF pz(zF)z-2- -.--

z5259H -.--

z29H -.--

zG2G9H -.5/

zK2K9H -.-

z/2/9H -.G-

zJ2J9H -.-zH25 -.5/

Este de dorit sa se transforme histograma astfel incat sa se obtine forma datain figura. Dalorile din histograma specificata sunt date in urmatorul tabel:



4istograma imaginii initiale si histograma dorita:



r MsF nF ps(sF)

r -Ms-259H HI- -.5I

r 5Ms

52G9H 5-G -./

r Ms2/9H 0/- -.5

r G%r KMsG2J9H I0/ -.K

r /%r J%r HMsK25 KK0 -.55

Primul pas in procedura este sa se obtina maparea egalizarii de histograma.Prin metoda precedenta s au obtinut urmatoarele rezultate:‑



*n continuare% utilizand ecuatia s6 se calculeaza functia de transformare:

∑===

!

$

$ " ! ! " p " #v0

)()(obtinand urmatoarele valori:

v % =G(3 % )=%C%% v D=G(3 D )=%CE> v 1=G(3 1 )=%C%% v > =G(3 > )=%C> v

;=G(3

; )=%C%% v

=G(3

)=%C>

v E=G(3 E )=%C1> v =G(3 )=1C%%

#unctia de transformare:

Pentru a obtine nivelurile 3 se aplica inversa transformarii G de mai sus



Pentru a obtine nivelurile 3 se aplica inversa transformarii G de mai susnivelurilor egalizate histogramic s6 . 1eoarece se lucreaza cu valori discreteeste necesar sa se faca o aproimare in cadrul maparii inverse. 1e eemplu%valoarea cea mai apropiata lui s% =1&=I%C1D este G(3 E )=%C1> % sau utilizand

inversa G -1

(%C1>)=3 E. 'stfel s% este mapat in nivelul 3 E. Ctilizand aceastaprocedura se obtine urmatoarea mapare: s% =1& M 3 E=E& s1=E& M 3 D=D& s;=>& M 3 > =>&

sE=& M 3 =& sD=1 M 3 =1 'sa cum este aratat in ecuatia 3 = G -1@(r) aceste rezultate pot ficombinate cu cele ale egalizarii de histograma% obtinand urmatoarea maparedirecta: r % =% M 3 E=E& r D=D& M 3 =& r 1=1& M 3 D=D& r > =>& M 3 =1 r ;=;& M 3 > =>& r =& M 3 =1 r E=E& M 3 =& r =1 M 3 =1



zF nF pz(zF)z-2- - -.--

z5259H - -.--

z29H - -.--zG2G9H HI- -.5IzK2K9H 5-G -./z/2/9H 0/- -.5zJ2J9H I0/ -.KzH25 KK0 -.55

6edistribuind pielii in acord cu aceste mapari si impartindu i cu‑ n=D%? rezultahistograma din figura. Dalorile sunt listate in tabelul urmator:



Etapele de calcul sunt prezentate pe scurt in urmatoarea schema:"se doreste transformarea: r F M sF% unde functiile de densitate de

probabilitate sunt:



(cu o anumita densitate de probabilitate)

4istograma rezultata nu este apropiata de cea dorita ! Eroarea: transformareaeste garantata in cazul continuu% dar pe masura ce numarul de niveluri

descreste% eroarea intre histograma specificata si cea rezultata% creste.

23 1ar chiar si in astfel de conditii% in multe situatii se obtin imbunatatiride histograme deosebit de utile !



MARIREA CLARITATII IMAGINILOR

ehnicile de marire a claritatii (QsharpeningQ) sunt utile in primul rand pentru a

evidentia contururile intr o imagine. Eista metode atat in domeniul spatial cat si‑

in cel de frecventa.

M$rire$ cl$rit$tii &rin di"erentiere

Operatia de mediere a pielilor in cadrul unei regiuni are ca efect pierdereadetaliilor unei imagini. 1eoarece medierea este analoaga unei integrari% este deasteptat ca diferentierea sa aibe un efect opus. etoda utilizata cel mai frecvent pentru diferentierea unei imagini estegradientul. #iind data o functie f(x,y) gradientul lui f in punctul de coordonate(x,y) este definit ca un vector:

┌ ┐ │δf/δx │ G [f(x,y)] = │ │ │δf/δy │ └ ┘



Eista doua proprietati importante ale gradientului:

5) DectorulG

f(x,y) este orientat in directia ratei maime de crestere afunctiei f(x,y).

) arimea lui G f(x,y) notata Gf(x,y) si data de relatia:

Gf(x,y) = ag G = (Jf&Jx); $(Jf&Jy); 1&;

este egala cu rata maima de crestere a lui f(x,y) per unitate de distanta indirectia lui G .

Pentru o imagine digitala derivatele din ecuatia precedenta sunt aproimate

prin diferente% o aproimare tipica fiind data de relatia:

Gf(x,y) =I f(x,y) f(x$1,y) ‑; $ f(x,y) f(x,y$1) ‑

; 1&;



6ezultate similare se pot obtine utilizand valori absolute:

Gf(x,y) =I K f(x,y) f(x$1,y) K $ K f(x,y) f(x,y$1) K‑ ‑

'ceste relatii pot fi usor implementate intr un limba de programare% chiar si‑

utilizand limba de asamblare.

O alta aproimare utila pentru a calcula gradientul este gradientul 6oberts%care utilizeaza urmatoarele diferente:

Gf(x,y) = f(x,y) f(x$1,y$1) ‑; $ f(x$1,y) f(x,y$1) ‑

; 1&;

sau utilizand valori absolute:

Gf(x,y) = K f(x,y) f(x$1,y$1) K $ K f(x$1,y) f(x,y$1) K‑ ‑

'stfel% gradientul va lua valori mari pentru contururi pronuntate intr o‑imagine si valori mici in regiuni care sunt bine netezite% chiar zero pentru zonecu niveluri de gri constante.



1upa selectarea metodei de determinare a gradientului% eista numeroasesolutii pentru a genera o imagine gradient g(x,y). O solutie imediata esteselectarea ca valoare a lui g in punctul de coordonate (x,y) a gradientului lui f in

acest punct: g(x,y) = Gf(x,y)

Principalul dezavanta al solutiei: toate regiunile netede din imaginea f(x,y) apar intunecate in g(x,y)% datorita valorilor mici ale gradientului in aceste zone.

O alta solutie este formarea lui g(x,y) astfel: ┌ │ G[f(x,y)] daca G[f(x,y)] ≥ T g(x,y) = │

│ f(x,y) altfel % unde @ este o valoare de prag pozitiva. Printr o selectare corespunzatoare a lui‑

@ este posibil sa se evidentieze contururile fara a modifica caracteristicilefondului.



Darianta: setarea contururilor la o anumita valoare specificata BG: ┌

│ LG daca G[f(x,y) ≥ T g(x,y)= │ │ f(x,y) altfel └ *n anumite situatii este de dorit sa se studieze comportarea nivelurilor de gri

pentru contururi% fara vreo interferenta din partea fondului% utilizand relatia: ┌ │ G[f(x,y)] daca G[f(x,y)] ≥ T g(x,y) = │ │ L

B altfel

└ unde B< este o valoare specificata pentru fond.



*n cazul in care prezinta interes numai amplasarea contururilor% se poate obtineo imagine binara in care contururile si fondul sunt reprezentate fiecare prin cateun nivel bine determinat% utilizand relatia: ┌ │ L

G daca G[f(x,y)] ≥ T

g(x,y) = │ │ L

B altfel

└

imagini_histograma

Documents