formule matematice
TRANSCRIPT
-
aparine nu aparine inclus include
-mulimea (nu are niciun element)
unei mulimi=cte elemente are acea mulime.
Mulimi care nu au element
vid
Cardinalul
disjuncte =
Mul imi
*
e comune
naturale : 0,1,2,3,... naturale fr 0 (nenule) :1,2,3,...
ntregi: 4, 0, 9, 12
3 3raionale: ; 4; 3; 6,2; 3,(4) reale: 7; ; 4; 3; 3,(4)
5 5
Iraionale: ( ) 7; 2; .
+
N N
Z
Q R
R Q ...
Operaii cu mulimi {2; 4; 7}, {7; 9}
{2; 4; 7; 9} {7}
{2; 4}
A B
A B A B
A B A B
= =
= = = =
N Z Q R
reuniunea intersecia
diferena produs cartezian
{(2;7),(2;9),(4;7),(4;9),(7;7),(7;9)}
( )( )
Numere = unul dup altul Ex. 4;5
Numr cu so 0,2,4,6,8,10,; are forma 2k
Numr fr so 1,3,5,7,9,11,; are forma 2k+1
10 100 10xy x y abc a b c ab
= + = + +
consecutive
par
impar
Numere naturale
2 3
1000 100 10
lui 7 este 7 49; lui 2 este 2 8
este egal cu ptratul unui numr natural: 0,1, 4,9,16, 25,...
Un ptrat perfect nu poate avea ultima cifr 2, 3,
cd a b c d= + + +
= =
Ptratul cubul
Ptrat perfect
7 sau 8
este egal cu cubul unui numr natural : 0,1, 8, 27,
D=I C+R, R numr toru l. Ex. ;9 2014
7 19- ; au num itorul < numr torul. Ex. ;
4 18
- ; au num itorul = numr torul. Ex
num r tor num itor
subunitare
supraunitare
echiunitare
Frac ii
( 3
5 341. ;5 3419 16
- , care nu se pot sim plifica. Ex. ;14 25
15 5- , care se pot sim plifica. Ex.
18 62 8
- ; se recunosc astfel: 2 12 3 83 12
=
= =
ireductib ile
reductib ile
echivalente
7 207 3450,7 ; 0, 207 ; 3, 45
10 1000 10073 5 23
0, (73) ; 2, (5) 299 9 9135 13 122
,13(5)900 900
= = =
= = =
0 = =
-Finite
-Periodice simple
-Periodice mixte
Transformarea fraciilor zecimale
77% din300 300 21
1003
raportul numerelor 3 i 5 este5
2 4o egalitate de dou rapoarte (ex. )
3 62,3, 4,6 se numesc proporiei
3 i 4s
= =
=
Procente
Raport
Proporie
termenii
unt ; 2 i 6 sunt .
Proprietatea fundamental a unei proporii:
Numerele , , sunt cu 3, 5, 9 dacx y z
produsul mezilor este egal cu produsul extremilor
mezii extremii
direct proporionale 3 5 9
Numerele , , sunt cu 2, 4, 7dac1 1 12 4 7
nr.cazuri favorabile
nr.cazuri posibile
x y z
x y zx y z
= =
= =
=
invers proporionale
Probabilitateaunui eveniment
( )( )( )( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
a b a b a b
a b a 2ab b
a b a 2ab b
a b c a b c 2ab 2bc 2ac
a b a b (a ab b )
a b a b (a ab b )
a b a 3a b 3ab b
a b a 3a b 3ab b
+ =
+ = + +
= +
+ + = + + + + +
+ = + +
= + +
+ = + + +
= +
Formule de calcul
1 2 .... ; n cazul a dou numere:
2
2
a numerelor 10; 12; 9 , avnd
ponderile 3;
na
a g h
x x xm
n
x y xym m xy m
x y
+ + + =
+= = =+
Aritmetic
Aritmetic Geometric Armonic
Media aritmetic ponderat
Medii
10 3 12 6 9 56; 5 este =
3 6 5ap
h g a
m
m m m
+ + + +
Inegalitatea mediilor
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
5 4 43 2 2
22 2
3 2 2 2
2
x 5x x x 5 ; n 4 n 4 n 4 n 4 1
y 25= y 5 y+5 ; 9x 6x+1= 3x 1
2 2 7 7 2 1 7 1 1 ( 2 7)
6 8
n n n n n n n n
x x
= + = +
+ + + = + + + = + +
+ + =
Prin factor comun
Prin formule
Prin grup ri de termeni
Descompunerea expresiilor n factori
( ) ( ) ( )( )2 4 2 8 4 2 4 4 2x x x x x x x x+ + + = + + + = + +
7 4 9 9 2; ; 1
5 5 2 7 99 7 ; 5 2 ; 2 3 0
2 , 4 2 , 3 9 ; 4 , 1 3 , 8 2
3 1; 6 1 0
> > >
C o m p a r r i
Ox- axa
Oy- axa
Punctul M(5;3)
5i 3 sunt punctului M.
Numrul 5 este , iar 3 este lui M.
absciselor
ordonatelor
coordonatele
abscisa ordonata
Sistem de axe
( )
1 2,2 2
2Forma general 0.
2Rezolvare: calculm , b 4ac.
Dac 0, soluiile sunt: b bx xa a
ax bx c
+ = =
+ + =
=
Ecuaia de gradul doi
deltaSpunem c am definit o funcie pe mulimea A cu valori n mulimea Bdac facem
ca element din A s-i corespund un element n B.
f : A B (citim funcia f definit pe A cu v
fiecrui singur
Funcii
( ) ( )( )
( )
alori n B")
A - , B -
este o funcie de forma f : , .
Ex. 3 5
Reprezentare grafic. Fie f : , 3 5
Calcular
f x ax b
f x x
f x x
= +
=
=
domeniul de definiie domeniul de valori
Funcie liniar de gradul I R R
R R
( )
( )
ea coordonatelor punctelor de
intersecie a graficului cu axele:
5 5-cu axa se rezolv ecuaia 0 ;3 5 0 ( ;0)
3 3
-cu axa secalculeaz f 0 ; (0) 5 (0; 5)
Calcularea coordonatelor
Ox f x x x A
Oy f B
= = =
=
( ) punctului de intersecie a graficelor a dou funcii f i :
se rezolv ecuaia ( )
g
f x g x
=
3 m=30 dm 7
Lungime Arie Volum Capacitate Mas Timp
Uniti de msur
m=700 dm 5 m=5000 dm 1 l=1 dm 4 kg=4000 g 1 or=60 minute
0,7 m=70 cm 0,05m=500 cm 0,03 cm=30 mm 3 l=3000
ml 0,5 dag=5 g 1 minut=60 secunde
2 km=2000 m 2 km=200 hm 0,05 km=50 hm 0,3 dal=3 l 7 cg=70 mg 1 deceniu=10 ani
3,5 cm=3
9
5 mm 1 ar=1dam=100 m 1 dm=1000 cm 0,2 hl=20 l 2 hg=200 g 1 secol=100 ani
2,7 dam=0,27 hm 1 ha=1hm=100 ari 1 m=10 mm 12
5 ml=0,125 l 6,23 g=62,3 dg 1 mileniu=1000 ani
1,3 mm=0,13 cm 0,02 ha =2 ari= 200 m 3 mm=0,003 cm 0,07 kl=70 l 3 t=3000 kg ore=15minute
5,7 hm=570 m
m=400 cm 0,25 dam=250 m 3 cl=0,3 dl 34 dg=0,34 g ore=30 minute 0,04
-Rezolvare prin metoda
4 4 4 4 5
2 11 2(4 ) 11 8 3 11 3 3 1
-Rezolvare prin metoda
4 2
3 2 2
x y x y x y x y x
x y y y y y y
a b
a b
= = + = + = + =
+ = + + = + = = =
= + =
substituiei
reducerii
Sisteme de ecuaii
2 2 8(se adun ecuaiile)
3 2 222
5 / 30 6 4
a b
a b
a a b
= + =
= = =
, dac 06 6; 3 3. n general,
, dac 0
Ex. 3 2 3 2, deoarece 3 2 0
1 2 (1 2) 2 1, deoarece 2 0
x xx
x x
= = =
-
suma unghiurilor unui triunghi este 180
suma unghiurilor unui patrulater este 360
unghiurile de la baza unui triunghi
isoscel sunt congruente
ntr-un triunghi isoscel, bisectoa
Teoreme importante
rea
unghiului de la vrf este i median,
nlime, mediatoare.
ntr-un triunghi dreptunghic,
mediana din vrful unghiului
drept este jumtate din ipotenuz.
ntr-un triunghi dreptunghic
care are un ungh
i de 30, cateta
opus acestui unghi este
jumtate din ipotenuz.
teorema lui :
EF BC
teorema :
dac EF BC, atunci AEF ~ ABC (sunt asemenea), adic
AE AF
EB FC
AE AF EF
AB AC
=
= =
Thales
fundamental a asemnrii
raportul ariilor a dou triunghiuri asemenea este egal cu
ptratul raportului de asemnare
teorema : dac AD
este bisectoare,
ntr-un dreptunghic:
teorema :
BC
AB AC
BD DC
AD BD DC
=
=
bisectoarei
nlimii
2 2 2
teorema :
teorema lui : AB AC BC
AOB are msura
egal cu a arcului cuprins ntre laturi
AMB are msura
jumtate din a arcului cuprins n
AB BD BC = + =
catetei
Pitagora
unghiul la centru
unghiul nscris
tre laturi
raza este perpendicular pe tangent
unghiul format de o tangent cu o coard
este jumtate din arcul subntins de coard
diametrul perpendicular pe o coard
njumtete i coarda i arcul
.
:
,AM MB d AB d
teorema celor trei perpendiculare
30 45 60
cat.op. cat.al. 1 2 3sinus= ; csinus= sin
ip ip 2 2 2
cat.op. cat.al.tangenta= ; ctangenta=
cat.al. cat.op.
Trigonometrie
2 2
3 2 1cos
2 2 2
sin 3 sin cos 1 tg = tg 1 3
cos 3u
u u uu
+ =
2
.
sin; ; ( )( )( ) , unde este
2 2
semiperimetrul, ( )2
3 3Triunghi : nl imea ; aria
2 4
Triun
ech
b h ab uA A A p p a p b p c p
a b cp
a ah A
= = =
+ + =
= =
Triunghi
formula lui Heron
echilateral
Arii i alte formule
1 2 1 2.ghi : n limea ; aria 2
-unete mijloacele a dou laturi;
Este paralel cu a treia latur i
este jumtate din aceasta.
Raza cercului nscris
dr
c c c ch A
ip = =
dreptunghic
Linia mijlocie n triunghi
n triunghi
sau )2
diagonala 2 , aria l
( )2
-unete mijloacele laturilor nepara
Ar
p
D dA b h A L l A b h
d l A
B b hA
=
= = = (
= =+ =
Paralelogram Dreptunghi Romb
Ptrat
Trapez
Linia mijlocie n trapez
( ) ( )
lele;
Este paralel cu bazele i
este egal cu media lor aritmetic:2
180 180: apotema cos ; latura 2 sin
2 180 3M sura unghiului ; Nr. diagonalelor
2 Lun
m
n n
n
B bl
a R l Rn n
n n nu
n
+ =
= =
= =
Poligon regulat
Cerc gimea (circumferina) 2 , Aria , 3,14159265...L R A R = =
B
L
T L B
2 2 2
L
h
sum a ariilor feelor laterale
A ria to tal 2
D iagonala paralelip iped
D iagonala cubului 3
3sum a ariilor feelor laterale
A r
B
V A
A
A A A
d a b c
d l
A hV
A
= =
= +
= + +
= =
=
Prism a
P iram ida
Poliedre
T L B
L
T L B
ia to tal
apotem=n l im ea unei fee laterale
( )3sum a ariilor feelor laterale
A ria to tal +
B b B b
b
A A A
hV A A A A
A
A A A A
= +
= + +
= = +
T runchiu l de piram id
2
2
2
3
unghiul secto
L
T L B
L
T L B
A RG
A A A
V R h
A RG
A A A
R hV
= = + =
= = +
=
Cilindrul
Conul
Corpuri rotunde
( )
2 2
2
3
360rului desfurrii
( )3
43
L
T L B b
Ru
G
A G R r
A A A A
hV R r Rr
A R
RV
=
= += + +
= + +
= 4
=
Trunchi de con
Sfera
: au msuri egale
: au acelai vrf i
o latur comun
: au acelai vrf i laturile
unuia sunt n prelungirea laturilor celuilalt
congruente
adiacente
opuse la vrf
Unghiuri
Dou unghiuri opuse la vrf sunt congruente
: dou unghiuri care au suma 90
x complementul unghiului de 20 este unghiul de 70
: dou unghiuri care au suma 180
.
complementare
suplementare
x suplementul unghiului de 20 este unghiul de 160
unghi : care are 180; unghi care are 0
unghi : care nu este nici alungit, nici nul
unghi 90; 90 ;
. < =
alungit nul
propriu
ascuit drept 90
unghiuri
Suma unghiurilor n jurul
unui punct este 360
Unghiuri formate de dou drepte cu o secant
:1 i 7; 2 i 8
: 3
>
obtuz
n jurul unui punct
alterne interne
alterne externe i 5; 4 i 6
: 1 i 5; 2 i 6;
3 i 7; 4 i 8
Dac dreptele sunt paralele, aceste perechi
de unghiuri sunt congruente i reciproc.
corespondente
: mparte un unghi
n dou unghiuri congruente.
Bisectoarele sunt concurente
n - cen
Bisectoarea
I
Linii importante n triunghi
trul cercului nscris
: perpendicular pe
mijlocul unei laturi.
Mediatoarele sunt concurente
n - centrul cercului circumscris.
La triunghiul obtuzunghic, O este
situat n exterior.
La triun
Mediatoarea
O
ghiul dreptunghic, O este n mijlocul ipotenuzei.
: perpendiculara
dintr-un vrf pe latura opus.
nlimile sunt concurente
n - ortocentrul.
La triunghiul obtuzunghic, H este n exterior.
nlimea
H
: unete un vrf
cu mijlocul laturii opuse.
Medianele sunt concurente
n - centrul de greutate.
1 2 1 2Centrul de greutate este la de baz i de vrf: ,
3 3 3 3GM AM GA AM
= =
Mediana
G
: are dou laturi congruente
: are toate laturile congruente
: are laturi de lungimi diferite
: to
Triunghi
isoscel
echilateral
oarecare
ascuitunghic
Figuri geometrice
ate unghiurile ascuite
: are un unghi drept
: laturile care formeaz unghiul drept
: latura opus unghiului drept
: are un unghi obtuz
:
dreptunghic
catete
ipotenuza
obtuzunghic
Patrulater
Paralelogram are laturile opuse paralele
Proprietile paralelogramului:
laturile opuse sunt congruente
unghiurile opuse sunt congruente, iar
unghiurile alturate sunt suplementare
diagonalele au acelai mij
loc
: paralelogramul care are
un unghi drept
diagonalele dreptunghiului sunt congruente
: paralelogramul care are dou
laturi alturate congruente
diagonalele rombului sunt perpendicula
Dreptunghiul
Rombul
re i
sunt bisectoare ale unghiurilor
: are toate proprietile
dreptunghiuluii rombului
: are dou laturi paralele i
celelalte dou neparalele
: are laturile nepa
Ptratul
Trapezul
rapez isoscel ralele
congruente
: are un unghi drept
rapez dreptunghic
puncte : sunt situate pe o dreapt
drepte : drepte care se intersecteaz
: punctul n car
coliniare
concurente
punct de concuren
Puncte i drepte
e se
intersecteaz dou drepte
: (OA O
: [OA O
segmente : au lungimi egale [AB] [CD]
drepte : formeaz
un unghi d
( [
semidreapta deschis
semidreapta nchis
congruente
perpendiculare
rept a b
drepte : sunt n acelai plan i nu
se intersecteaz a b
:
printr-un punct exterior unei drepte se poate
duce o singur parale
paralele
Axioma lui Euclid
l la dreapta dat.
Geometrie