DETECTAREA FUNCTIONǍRII NECONFORME SI DIAGNOZA CU FILTRE KALMAN EXTINSE (EKF)

Filtre Kalman extinse

Capitolele anterioare au adus în discutie diverse metode liniare de detectie a defectiunilor si de diagnozǎ. Partial acele metode sunt susceptibile de a fi aplicate si pentru sisteme neliniare.Obiectul capitolului prezent îl constituie metodele tipic neliniare bazate pe filtrele Kalman extinse. Pentru problema detectǎrii defectiunilor în functionarea unui sistem cu modele cuplate static si dinamic se foloseste un filtru Kalman care estimeazǎ concomitent atât parametrii cât si starea sistemului. În cadrul discret în timp, modelul unui sistem stochastic general poate fi descris matematic de ecuatiile urmǎtoare:

x t f t x t x t t wd d d s d( ) [ , ( ), ( ); ( )] 1 1 10 f t x t x t t ws d s s[ , ( ), ( ); ( )]

y t h t x t x t t v td s( ) [ , ( ), ( ); ( )] ( ) care sunt, respectiv, modelul dinamic, modelul static si ecuatia de mǎsurare. Notatiile au semnificatiile urmǎtoare:v(t) – zgomotul aditiv al mǎsurǎtorilor;w(t) – zgomotul aditiv al procesului, la care se adaugǎ indicii d sau s pentru dinamic sau static;xd(t) – variabilele de stare cu dinamicǎ lentǎ;xs(t) – variabilele de stare cu dinamicǎ rapidǎ;y(t) – vectorul observatiilor; ( ) [ ( ), ( )]t c t d tT

uT – vectorul cu coeficientii fizici c(t) si perturbatiile

nemǎsurate du(t).Pentru a cuprinde variatia temporalǎ a parametrilor se presupune cǎ vectorul (t) variazǎ conform relatiei (random walk)

( ) ( )t t w 1

Pentru a estima concomitent vectorul de stare si vectorul parametrilor se defineste un vector extins al stǎrii sistemului

Algoritmul de estimare pe baza secventei de observatii  y y y t( ), ( ),..., ( )0 1 se prezintǎ astfel:

z t z t K t y t h t z t( ) ( ) ( )[ ( ) ( , ( ))]

K t P t H t Q tTv( ) ( ) ( ) ( ) 1

P t M t M t H t H t M t H t Q t H t M tT Tv( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) 1

73

M t F t P t F t Q tTw( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1

M M( )0 0z z( )0 0

cu  H th t z t

z( )

( , ( ))

, M t E z t z t z t z t T( ) {( ( ) ( ))( ( ) ( )) } o matrice de

covariatie evaluatǎ înainte de mǎsurǎtorile de la momentul t, K(t) amplificarea Kalman, Qv(t) matricea de covariatie a mǎsurǎtorilor si  z t( ) estimarea lui z(t) înaintea masurǎtorii de la momentul t. Matricile F(t) sunt definite prin submatricile lor Fij (i, j = 1, 2, 3):

Ff

xF

f

xF

fd

d

d

s

d11 12 13

F31 = 0 F32 = 0 F33 = IDe asemenea, matricea Qw(t) este definitǎ prin submatricile ei Qij (i, j = 1, 2, 3):

Q Q Q Qf

x

f

xQd d

s

d

T

s

s

T

11 12 13 0

Qf

xQ

f

xQ

f

x

fQ

f f

xs

ss

s

dd

s

d

T

s s

T

s

s

T

22

1

Q Q Qf f

xQ Qs

T

s

s

T

31 32 330

În expresiile de mai sus

f

x

f

z

f

z

f

zs s

z z t

d d

z z t

( ) ( )

1

Matricile Qd , Qs si Q sunt matricile de covariatie ale zgomotelor atasate variabilelor dinamice, variabilelor statice, respectiv parametrilor din modelul sistemului. În general, structura algoritmicǎ a filtrului Kalman extins este aceiasi ca în cazul filtrului Kalman extins pentru modelele dinamice neliniare. Diferenta

74

principalǎ constǎ în calculul matricii sistemului F si în introducerea matricii generalizate de covariantǎ a zgomotelor sistemului Qw care includ termenii interactionali static-dinamic adecvati.

Compensarea filtrelor Kalman extinse

Filtrul Kalman extins are un rǎspuns adecvat la variatiile parametrice dacǎ acestia îsi modificǎ valoarea relativ lent. Contrar acestei cerinte, în sistemele de detectare a erorilor variatia parametrilor necunoscuti poate fi bruscǎ si poate apǎrea în orice moment. Întrucât în filtrarea Kalman extinsǎ matricea de covariatie a erorilor în parametrii necunoscuti scade monoton, filtrul nu poate estima eficient schimbǎrile parametrilor mai târzii în timp. Pentru a preveni o degradare a filtrǎrii de acest gen s-au propus mai multe metode de prevenire a descresterii monotone a amplificarilor filtrului prin anumite conditii suplimentare.În metoda datoratǎ lui Yoshimura, de pildǎ, conditia suplimentarǎ care trebuie verificatǎ este

in

i t d M ti

( ) ( )/

11 2

unde  in si ( ) i t sunt valorile nominale, respectiv estimatiile parametrilor

i,  M ti ( ) este dispersia erorilor din i,  iar d este o constantǎ pozitivǎ, uzual

1,96 corespunzǎtoare unui interval de încredere de 95% pentru o variabilǎ  z N ( ; )0 1 .Dacǎ inecuatia de mai sus este verificatǎ pentru cel putin un indice, atunci se modificǎ  M t

i ( ) si se înlocuieste cu

M t t di

min

i ( ) ( ) 12

2

în plus, valorile  in se înlocuiesc cu estimatiile lor,  i

ni t ( ) .

Detectarea schimbǎrilor datorate fenomenelor nemodelate (defectiunilor)

Când un filtru este actionat de elemente calitative, de cunostinte compilate, el nu modeleazǎ obligatoriu corect comportarea sistemului. Este asadar foarte important a stabili dacǎ filtrul urmǎreste comportarea realǎ a sistemului. Defectiunea sau defectiunile presupuse pot fi atunci eliminate ori acceptate pe baza validitǎtii modelului filtrant.Se poate efectua o varietate de teste statistice asupra contributiilor noi (innovations) sau asupra rezidualelor pentru a determina cât de valid este modelul utilizat în proiectarea filtrului. Secventa inovatoare [(t)] si matricea ei de covariatie  sunt date de

( ) ( ) ( , ( ))t y t h t z t S t H t M t H t Q tT

v ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

75

Dacǎ filtrul reflectǎ corect comportarea curentǎ a sistemului atunci secventa inovatoare este o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ, cu media nulǎ si covarianta datǎ de S(t). Dacǎ, dimpotrivǎ, din cauza fenomenelor nemodelate apare o anomalie atunci parametrii statistici ai secventei [(t)] se modificǎ. Pentru supraveghere pe baza unei astfel de secvente de inovare (de reziduale) se poate utiliza testul obtinut prin raportarea secventialǎ a probabilitǎtilor.Pentru fiecare componentǎ (t) se admit ipotezele alternative urmǎtoare:Ipoteza H0: (t) este o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ de medie nulǎ si de dispersie  S t

i ( ) ;Ipoteza H1: (t) este o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ de medie a(t) nenulǎ si de dispersie  S t

i ( ) .

În formularea celor douǎ ipoteze alternative,  S ti ( ) este componenta din pozitia

(i, i) a matricei de covariatie S(t), iar  a t a S ti i( ) ( ) cu a o constantǎ

adecvatǎ. Testul raportului secvential al probabilitǎtilor este definit ca logaritmul functiei de verosimilitate compusǎ

lp t H

p t Hii i i

i i i

ln( ( ), ( ),..., ( ) / )

( ( ), ( ),..., ( ) / )

1 2

1 21

0

Pentru o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ [(t)] functia din expresia ultimǎ se poate evalua recursiv cu relatia

l t l t a t ai i i( ) ( ) ( )

11

2

în care i it t S ti

( ) ( ) / ( ) este o cantitate normalizatǎ de medie a si cu

dispersia 1 (o valoare tipicǎ pentru a este unitatea). Un test al semnului constantei a se realizeazǎ prin schimbarea lui a în –a. O modificare a testului pentru raportul secvential al probabilitǎtilor are forma

Cu testul modificat decizia este definitǎ astfel: dacǎ l ti s

*( ) se retine ipoteza H1

dacǎ  0 l ti s*( ) se continuǎ cu o altǎ observatie.

Pragul  s se alege conform unei conditii de timp mediu între alarme false

sau conform unor probabilitǎti stabilite pentru alarmǎ falsǎ () si pentru alarmǎ ratatǎ ()

( )e B Ae

es

s

B

A

1

1

1

în care A ln[ / ( )] 1 si B ln[( ) / ]1 . Pentru = = 0,05  rezultǎ .

76

77