1

Curs de fiabilitate 1Elemente de bază ale fiabilităţii instalaţiilor

Cristina MOHORA

2

Introducere

Fiabilitatea şi mentenabilitatea, ca discipline inginereşti, sunt relativ noi.

De-a lungul anilor s-au dezvoltat încontinuu, motivate de o serie de factori importanţi, grupaţi astfel:

factori tehnico-economici, factori care privesc protecţia muncii şi siguranţa funcţionării

sistemelor, factori care ţin de protecţia mediului înconjurător.

Studierea fiabilităţii şi a mentenabilităţii a fost necesară deoarece sistemele tehnice au devenit din ce în ce mai complexe şi mai sofisticate, a crescut cerinţa din partea utilizatorilor pentru calitate şi performanţă, s-a mărit răspunderea în faţa legii a producătorilor pentru garantarea produselor lor, s-au stipulat în contracte cerinţe ferme privind aspectele de fiabilitate şi mentenabilitate, etc.

Într-un sondaj Gallup, dat publicităţii în anul 1985, în legătură cu atributele pe care trebuie să le aibe un produs, intervievaţii au menţionat în ordine descrescătoare următoarele: performanţa, fiabilitatea, exploatarea (operarea), mentenabilitatea, garanţia, etc.

3

Capitolul 1Elemente de bază ale teoriei fiabilităţii instalaţiilor

industriale Fiabilitatea (reliability) este un domeniu interdisciplinar al ingineriei care studiază

legile degradării (deprecierii) în timp a elementelor componente ale unei instalaţii industriale sau ale unui sistem tehnic.

Cu toate că fenomenele de degradare şi de apariţie a defecţiunilor sistemelor au stat dintotdeauna în atenţia oamenilor, constituirea fiabilităţii, ca teorie şi domeniu distinct de cercetare, s-a realizat în urmă cu numai cincizeci de ani.

Aeronautica şi, în special, expediţiile de cercetare spaţială, precum şi construcţia reactoarelor nucleare pentru producerea de electricitate cu ajutorul energiei nucleare au impulsionat îmbogăţirea conceptului de fiabilitate, adăugând noi aspecte, ca: securitatea (security), siguranţa (safety), disponibilitatea (availability) şi dependabilitatea (dependability).

Într-o formă empirică, noţiunea de siguranţă a apărut din cele mai vechi timpuri, mai ales în domeniul construcţiilor.

Cea mai veche legislaţie cunoscută, care reglementa în scris responsabilitatea constructorului pentru cazurile în care o construcţie se prăbuşea şi aveau loc pierderi de vieţi omeneşti este “Codul lui Hamurabi“ (către 1750 î.H.), care prevedea: “Dacă un constructor construieşte o casă pentru un om şi dacă nu face această construcţie solidă şi casa pe care a construit-o se surpă şi provoacă moartea proprietarului casei, constructorul va fi omorât.

4

Dacă provoacă moartea fiului proprietarului, va fi omorât un fiu al constructorului. Dacă provoacă moartea unui sclav al proprietarului casei, va trebui să dea

proprietarului un sclav de aceeaşi valoare. Dacă distruge proprietatea, va trebui să restituie ceea ce a distrus şi pentru că nu a

făcut solidă casa pe care a construit-o, şi s-a surpat, el trebuie să reconstruiască casa care s-a surpat pe propria lui cheltuială.

Dacă un constructor a clădit o casă pentru cineva şi construcţia nu a corespuns cerinţelor şi un zid a căzut, acel constructor va trebui să întărească zidul pe propria cheltuială“.

Obiectivele fiabilităţii sunt: studierea defecţiunilor (cauzele apariţiei şi dezvoltării defecţiunilor, metodele de

combatere a defecţiunilor), aprecierea cantitativă a comportării în timp a echipamentelor, luându-se în

consideraţie influenţa pe care o exercită asupra acestora factorii interni şi externi, determinarea modelelor şi metodelor de calcul şi de prognoză a fiabilităţii, pe baza

încercărilor specifice şi a urmăririi comportării în exploatare a echipamentelor, analiza defecţiunilor din punct de vedere fizic, mecanic şi chimic, stabilirea metodelor constructive, tehnologice şi de exploatare pentru a asigura,

menţine şi creşte fiabilitatea echipamentelor, stabilirea metodelor de selectare şi de prelucrare a datelor privind fiabilitatea

echipamentelor.

5

Fiabilitatea, ca principal parametru al calităţii, comportă două aspecte: aspectul calitativ, reprezintă capacitatea unui echipament (sistem tehnic), de a

funcţiona fără defecţiuni în decursul unui anumit interval de timp şi în condiţii date,

aspectul cantitativ, reprezintă probabilitatea ca un echipament (sistem tehnic) să-şi îndeplinească funcţiile cu anumite performanţe şi fără defecţiuni, în decursul unui anumit interval de timp şi în condiţii date.

Calitatea unui sistem tehnic este dată în procent de 28-32% de calitatea soluţiei constructive (proiectată) adoptată, de 8-12% de calitatea materialelor folosite la execuţie şi de 56-64% de tehnologiile de fabricaţie folosite.

6

1.2. Noţiuni privind fiabilitatea, mentenabilitatea şi disponibilitatea echipamentelor

Fiabilitatea (Reliability)

Conform Dicţionarului de Neologisme (editura Academiei, Bucureşti, 1978), fiabilitatea este:

totalitatea calităţilor unui sistem tehnic, care determină capacitatea acestuia de a funcţiona fără defecţiuni într-un interval de timp, în anumite condiţii date,

mărimea care caracterizează siguranţa în funcţionare a unui sistem tehnic în conformitate cu normele prescrise.Conform STAS 8174/1 - 1977, “Fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate. Terminologie”, fiabilitatea este însuşirea unui dispozitiv de a-şi îndeplini funcţia specifică, în condiţii date de-a lungul unei durate date.

Termenii folosiţi în teoria fiabilităţii sunt:T timpul până la prima defectare (sau între două defectări). Prin timp de funcţionare

se înţelege perioada de funcţionare efectivă, eliminându-se perioada de întrerupere deliberată. T este o funcţie de timp T(t), t ≥ 0, mai precis o variabilă aleatoare de tip continuu,

λ(t) rata defectărilor.

7

Definiţie. Se numeşte fiabilitate, se notează cu R[1](t) - funcţia de fiabilitate (sau funcţia de siguranţă) şi reprezintă probabilitatea ca elementul (sistemul) să fie în stare de funcţionare la momentul t (sau să funcţioneze fără să se defecteze un timp mai lung decât t).Acest eveniment se scrie simbolic {T ≥ t}.Deci,

Definiţie. Se numeşte funcţia de defectare (sau defiabilitatea) sau funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare t, se notează cu F[2](t) şi reprezintă probabilitatea de defectare a sistemului la momentul t. Deci, Funcţia de fiabilitate R(t) se foloseşte atunci când se doreşte determinarea fiabilităţii sistemului, adică a probabilităţii ca sistemul să funcţioneze la momentul de timp t, iar funcţia de repartiţie F(t) se foloseşte atunci când se doreşte determinarea probabilităţii ca sistemul să se defecteze în intervalul de timp (0, t). Presupunem că funcţia de repartiţie F(t) este derivabilă în orice punct t ≥ 0 şi notăm cu f(t) derivata sa, adică . f(t) – densitatea de probabilitate sau de repartiţie a variabilei aleatoare T.

[1] R (reliability) – fiabilitate.[2] F (failure) – defectare, cădere.

0 t , tTPtR

0 t , tTPtF

8

Ţinând seama că evenimentele {T ≥ t} şi {T < t} sunt evenimente contrare unul altuia, obţinem:

Între funcţia de fiabilitate şi funcţia de defectare există întotdeauna relaţia:

De remarcat faptul că atât funcţia de repartiţie F(t), cât şi funcţia de fiabilitate R(t), se referă la evenimente care se produc sau care nu se produc în intervalul de timp (0, t), adică în intervalul de timp scurs de la punerea în funcţiune a sistemului (momentul iniţial t=0) până la momentul t, şi nu la evenimente care se produc exact în momentul t, aşa cum ar putea lăsa impresia notaţia folosită F(t), respectiv R(t).

Proprietăţile funcţiei de fiabilitateFuncţia[1] de fiabilitate are următoarele proprietăţi :

R(t) este o funcţie continuă în raport cu timpul, pentru orice t≥0, R(0)=1, aceasta însemnând că la momentul iniţial, când elementul (sistemul)

este pus în funcţie, acesta funcţionează în mod sigur, deci probabilitatea evenimentului {T≥0} este egală cu unu,

dacă timpul de funcţionare creşte foarte mult, atunci fiabilitatea elementului tinde către 0. Cu alte cuvinte, probabilitatea ca un element să funcţioneze după o perioadă infinită de timp este egală cu 0.

[1] Funcţia - Definiţie. Fie A şi B două mulţimi nevide. Se spune că am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B, dacă printr-un procedeu oarecare facem ca fiecărui element x care aparţine lui A să-i corespundă un element y care aparţine lui B. Funcţia se notează simbolic f: A→B (citim „f definită pe A cu valori în B”). x se numeşte argument al funcţiei (variabilă independentă) iar y este imaginea elementului x din A sau valoarea funcţiei f în x.

tFtTPtTPtR 11

tFtR 1

0lim tRt

9

Mentenabilitatea (Maintainability)

Conform Marelui Dicţionar de Neologisme (editura Saeculum, 2000), mentenabilitatea este proprietatea unui produs de a fi întreţinut şi reparat cu uşurinţă.

Conform STAS 8174/1 - 1977, “Fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate. Terminologie“, mentenabilitatea este proprietatea ca o operaţiune dată de mentenanţa activă să fie executată într-un interval de timp dat, asupra unei entităţi date, utilizată în condiţii de exploatare date.

Mentenanţa, potrivit aceluiaşi STAS, este ansamblul acţiunilor tehnice şi organizatorice asociate, care sunt efectuate în scopul menţinerii sau restabilirii unui dispozitiv în starea de a-şi îndeplini funcţiile specificate.

Teoria mentenabilităţii pune accentul pe conceperea, proiectarea şi realizarea unor sisteme tehnice, capabile să asigure o rapidă demontare, înlocuirea componentei (componentelor) defecte şi remontarea, în vederea restabilirii parametrilor iniţiali de funcţionare a sistemului.

Termenii folosiţi în teoria mentenabilităţii sunt:

t – timpul de restabilire a funcţiilor sistemului,

μ(t) – rata reparaţiilor,

M(t) – funcţia de mentenabilitate sau funcţia reparării la timp a sistemului este probabilitatea de restabilire completă a funcţiilor sistemului la momentul t.

Are expresia matematică: (1.2.2) M(t) reprezintă probabilitatea ca sistemul să fie reparat în intervalul de timp (0, t).

tTPtM

10

Disponibilitatea (Availability)

Conform Dicţionarului român-englez “Fiabilitate, mentenabilitate, mentenanţă: termeni şi expresii uzuale“ (editura Standardizarea, Bucureşti, 2008), disponibilitatea este aptitudinea unei entităţi de a îndeplini o funcţie cerută în condiţii precizate, la un moment dat sau într-un interval de timp dat, presupunând că resursele necesare sunt asigurate.

Conform STAS 8174/1 - 1977, “Fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate. Terminologie“ disponibilitatea este capacitatea unui dispozitiv – sub aspectele combinate de fiabilitate, mentenabilitate şi de organizare a acţiunilor de mentenanţă – de a-şi îndeplini funcţia specificată la un moment dat sau într-un interval de timp dat.

Disponibilitatea depinde aşadar de fiabilitate, de mentenabilitate şi de logistica de mentenanţă.

Disponibilitatea - A[1] - unui sistem tehnic este definită intuitiv, prin raportul dintre timpul de funcţionare a sistemului (tf) şi suma timpilor de funcţionare (tf) şi de întrerupere (ti).

Astfel, (1.2.3) Disponibilitatea este, ca şi fiabilitatea şi mentenabilitatea, o probabilitate şi din acest

motiv toate legile teoriei probabilităţilor îi sunt aplicabile.

[1] A (Availability) – disponibilitate.

itftft

A

11

Se pot defini următoarele tipuri de disponibilităţi: Disponibilitatea instantanee sau punctuală, notată A(t), este probabilitatea ca

instalaţia să fie disponibilă pentru utilizare la momentul t, după punerea sa în funcţiune.

Disponibilitatea permanentă, notată As, este probabilitatea ca instalaţia să fie disponibilă pentru utilizare la un moment de timp t foarte îndepărtat de momentul punerii sale în funcţiune, adică pentru t→∞.

(1.2.4) În graficul de mai jos sunt ilustrate tipurile de disponibilităţi, disponibilitatea

punctuală, disponibilitatea medie şi disponibilitatea permanentă (Fig. 1.2.1).

Fig.1.2.1. Reprezentarea grafică a disponibilităţii punctuale, medii şi permanente

tAt

As lim

12

1.3. Noţiuni elementare de teoria probabilităţilor şi statistică matematică

În practica activităţii industriale, trebuie să cunoaştem de câte ori se produce un anumit eveniment. Repetarea de mai multe ori a unui anumit experiment în condiţii identice pune în evidenţă o anumită frecvenţă de apariţie a unui eveniment, care este caracterizat de raportul dintre numărul experimentelor în care apare acest rezultat şi numărul tuturor experimentelor efectuate. Acest raport are în general o anumită valoare constantă care poate caracteriza măsura realizării acestui eveniment sau probabilitatea realizării evenimentului respectiv.

Statistica matematică, metodele furnizate de aceasta, s-au implantat puternic în metodologia de lucru a diferitelor domenii particulare, inclusiv în domeniul fiabilităţii.

Recurgerea la metodele specifice statisticii matematice se face în principal din două motive:

existenţa variabilităţii naturale a fenomenelor, proceselor, caracteristicilor, etc., luate sub observaţie,

necesitatea luării unor decizii asupra acestor fenomene, procese sau caracteristici. Statistica matematică, sintetizând o informaţie, de cele mai multe ori parţială, asupra

procesului investigat, poate furniza baza metodologică pentru adoptarea anumitor decizii în condiţii specifice de incertitudine. Statistica şi-a dezvoltat trei direcţii necesare studiului: principiile, modelele şi metodele.

Statistica matematică operează cu două concepte de bază: populaţia, reprezentată prin mulţimea valorilor pe care le poate lua o caracteristică

de calitate a unui anumit produs, mulţimea produselor rezultate în urma unui proces tehnologic, etc.,

eşantionul, este acea parte a populaţiei asupra căreia experimentatorul aplică metodele statistice propriu-zise, pentru a putea trage concluzii asupra populaţiei.

13

1.3.1. Noţiunea de eveniment. Operaţii cu evenimente. Câmp de evenimente

Evenimente Noţiunea de eveniment este legată de producerea unui anumit fenomen în cadrul

unei experienţe. În cazul fiabilităţii şi a mentenabilităţi, evenimentul cu care se operează este

defecţiunea. Efectuarea unei experienţe înseamnă a alege, printr-un procedeu susceptibil de a fi

repetat, un element dintr-o mulţime dată. Fiecare repetare a experienţei se numeşte probă. Orice probă atrage după sine

realizarea sau nerealizarea oricărui eveniment legat de experienţa considerată. Mulţimea tuturor cazurilor posibile care se pot produce în cadrul unei experienţe este

notată cu Ω. Mulţimea cazurilor favorabile producerii unui eveniment este o submulţime a mulţimii Ω.

Evenimentul sigur este acela care se produce cu certitudine la orice efectuare a experienţei. Evenimentul sigur va fi notat cu Ω.

Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la nici o efectuare a experienţei şi va fi notat cu Ø, adică simbolul mulţimii vide.

Eveniment implicat de un alt eveniment. Se spune că evenimentul A implică evenimentul B şi se notează, dacă realizarea lui A atrage după sine realizarea lui B.

Evenimente incompatibile. Două sau mai multe evenimente se numesc incompatibile dacă nu se pot realiza simultan la nici o efectuare a experienţei. În caz contrar ele se numesc compatibile.

Între evenimentul A şi evenimentul contrar Ā au loc relaţiile: A U Ā = Ω, eveniment sigur, A ∩ Ā = Ø.

14

Operaţii cu evenimente Dacă avem două evenimente A şi B, legate de o experienţă, putem defini evenimente

noi: evenimentul “A sau B”, notat A U B, este evenimentul a cărei realizare înseamnă

realizarea a cel puţin unuia dintre cele două evenimente, evenimentul “A şi B”, notat A ∩ B, este evenimentul a cărei realizare înseamnă

realizarea simultană a ambelor evenimente A şi B, evenimentul “non A”, evenimentul contrar evenimentului A, notat Ā, este

evenimentul a cărei realizare constă în nerealizarea evenimentului A. Mulţimea cazurilor favorabile lui Ā, este formată din toate cazurile nefavorabile lui A.

Câmp de evenimente Fie Ω o mulţime nevidă, numită de regulă, mulţimea evenimentelor elementare. Notăm cu K o familie (nevidă) de submulţimi ale lui Ω. De regulă, K nu este mulţimea

tuturor submulţimilor lui Ω. Elementele lui K vor fi numite evenimente şi vor fi notate cu A, B, C,...

Definiţie. Mulţimea K se numeşte câmp de evenimente dacă satisface condiţiile: dacă , atunci Ā K, dacă , atunci Ø i.e., evenimentul sigur şi evenimentul imposibil

aparţin câmpului K, dacă atunci

KA KBA , KBA

,K ,K

,, KBA KBA

15

Dualitatea de limbaj

Există o dualitate de limbaj între limbajul evenimentelor folosit în teoria probabilităţilor şi cel folosit în teoria mulţimilor.

limbajul evenimentelor limbajul mulţimilor

(folosit în teoria probabilităţilor) (folosit în teoria mulţimilor)

eveniment submulţime a lui Ω

eveniment sigur mulţime (totală) Ω

eveniment imposibil mulţime Ø

A implică B A B

A sau B A B

A şi B A∩B

eveniment contrar lui A Ā

eveniment elementar ω, ω Ω

16

1.3.2. Variabile aleatoare

Variabila aleatoare X, este o funcţie X : Ω→R, definită pe mulţimea tuturor elementelor (Ω) cu valori în mulţimea numerelor reale (R).

În funcţie de tipul de valori pe care le iau variabilele aleatoare acestea se împart în:

variabile aleatoare discrete, când domeniul valorilor este o mulţime finită sau numărabilă de numere reale,

variabile aleatoare de tip continuu, când domeniul valorilor este un interval (a, b) al axei reale R, unde eventual a= − ∞ sau/şi b= + ∞.

Variabila aleatoare continuă X este caracterizată de faptul că poate lua orice valoare în intervalul (x, x+dx) al dreptei reale. Spre deosebire de variabila discretă, unde se asociază probabilităţi punctuale evenimentului “X ia valoarea xi“, adică , cu proprietăţile: pi ≥ 0, oricare ar fi i şi ∑pi, pentru variabila continuă X se defineşte o funcţie reală pozitivă fx(x) ≥ 0, numită densitate de repartiţie sau densitate de probabilitate, astfel că fx(x)dx reprezintă posibilitatea ca X să ia valori în intervalul (x, x+dx).

Vom avea:(1.3.1)

dacă x este definită pe toată dreapta reală. Grafic, relaţia de mai sus este reprezentată în Fig. 1.3.1.

R

x dxxf 1)(

17

tAt

As lim

Fig. 1.3.1. Reprezentarea grafică a densităţii de probabilitate în cazul variabilei continue

În cazul particular din domeniul fiabilităţii, variabilele aleatoare cu care se lucrează sunt pozitive şi, prin urmare, relaţia (1.3.1) se poate scrie:

0

1)( dxxf x (1.3.2)iar reprezentarea grafică este dată în figura 1.3.2.

Fig. 1.3.2. Reprezentarea grafică a densităţii de probabilitate în cazul particular al fiabilităţii

18

În majoritatea experimentelor, rezultatele măsurătorilor diferitelor carecteristici se exprimă prin numere, astfel:

dimensiunile unui lot de piese identice, procentele diferitelor elemente chimice aflate în aliaje, duritatea metalelor, temperaturile la care se desfăşoară anumite procese termce, duratele de funcţionare ale unor instalaţii până la prima defectare. Aceste valori ale măsurătorilor sunt diferite chiar şi pentru acelaşi material,

considerat însă că se află în condiţii variate. Mărimea caracteristicilor are un caracter aleatoriu şi, prin urmare, valorile

acestor măsurări nu au un caracter determinist. Principala caracteristică a acestor măsurări este aceea că deşi valorile mărimilor

măsurate reprezintă o anumită regularitate, totuşi nu se poate ştii dinainte valoarea unei probe particulare, adică a unei măsurări particulare.

Exemplu: Au fost măsurate diametrele exterioare a unui lot de 50 de axe. Rezultatele în urma efectuării măsurătorilor sunt grupate pentru acelaşi diametru

măsurat, astfel:

19

diametrul exterior măsurat numărul axelor cu acelaşi diametru

40,002 1

40,003 1

40,004 2

40,005 2

40,006 5

40,007 9

40,008 10

40,009 3

40,010 5

40,011 3

40,012 2

40,013 1

40,014 1

40,015 5

total axe măsurate 50

20

Analizând rezultatele din tabel, se poate stabili că într-un anumit procent de cazuri, diametrul axelor variază între anumite limite.

Valorile pe care le are diametrul axelor sunt considerate a fi valorile unei funcţii reale, definite pe baza mulţimii evenimentelor unui experiment.

În cazul de faţă, variabila aleatoare este valoare măsurată a diametrului axei. Ca şi în cazul măsurătorilor efectuate, pe baza datelor din tabel, se poate afla pentru

orice valoare, probabilitatea ca luând la întâmplare o axă, ea să aibe dmensiunea cuprinsă între anumite limite a şi b, probabilitate care este estimată prin frecvenţa relativă corespunzătoare valorilor diametrului ce variază între limitele a şi b.

Pentru a caracteriza o variabilă aleatorie este necesar să se cunoască mai întâi ce valori poate lua aceasta, adică mulţimea valorilor posibile şi porbabilităţile corespunzătoare.

În acest caz, variabila aleatorie poate lua un număr finit de valori şi, prin urmare, această variabilă aleatorie poate fi caracterizată prin valorile ei şi prin probabilităţile corespunzătoare (aproximate prin frecvenţe).

Fie x1, x2, ..., xn valorile unei anumite variabile aleatorii şi p1, p2,...,pn probabilităţile corepunzătoare, astfel încât p1+p2+..+pn=1.

Se numeşte tabel de repartiţie a variabilei şi se notează cu (X) un tabel care cuprinde pe o linie valorile variabile aleatorii şi pe cea de a doua linie valorile probabilităţilor corespunzătoare:

pi (i=1,2,.....n) este probabilitatea evenimentului notat prin X, astfel încât variabila aleatoare să ia valoarea xi, adică pi = p (X=xi).

npppnxxx

X....... 2 1

........ 2 1 )(

21

Din tabel, probabilităţile pot fi exprimate prin frecvenţe şi astfel vom avea:

22

1.3.3. Funcţia de repartiţie Funcţia de repartiţie. Fie X : Ω→R o variabilă aleatoare de tip continuu. Pentru

fiecare număr real x se consideră evenimentul {X < x}. Se notează cu F(x) probabilitatea evenimentului {X < x}, “X ia valori mai mici decât

x“, adică: (1.3.3) Funcţia F(x) asociată evenimentului X se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei

X şi este o probabilitate. Legătura dintre Fx(x) şi fx(x) este dată de relaţia: în ipoteza că se operează cu variabile aleatoare, definite pe intervalul Proprietăţile funcţiei de repartiţie sunt uşor de dedus, deoarece sunt o consecinţă

directă a proprietăţilor integralei. Graficul funcţiei de repartiţie este o variabilă aleatoare continuă şi este redată în

figura 1.3.3.

xXPxF

),()('

0sau )()( xxfxxF

xdxxxfxxF

).,0[

Fig. 1.3.3. Graficul funcţiei de repartiţie pentru o variabilă aleatoare continuă

23

În legătură cu funcţia de repartiţie, prezintă interes practic evaluarea următoarelor probabilităţi:

a) P (u ≤ X < v) b) P (X ≥ x) c) P (X < x)

şi relaţia , care exprimă probabilitatea ca o variabilă X să ia valori între două limite fixate.

reprezintă probabilitatea ca variabila X să ia cel puţin valoarea x şi, printr-o interpretare ceva mai particulară, aceasta poate fi considerată ca probabilitatea ca un anumit produs să funcţioneze cel puţin x ore.

În cazul particular al fiabilităţii, funcţia F : R → [0, 1], definită prin formula de mai sus, se numeşte funcţia de repartiţie sau funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare X, şi este deci o probabilitate.

Proprietăţile funcţiei de repartiţie Funcţia de repartiţie F : R → [0, 1], definită prin formula (1.3.3) are următoarele

proprietăţi:a. , i.e.[1] funcţia de repartiţie are valori pozitive subunitare,

b. F(x) este o funcţie nedescrescătoare pe R,

c. şi ,

d. F(x) este o funcţie continuă la stânga, ceea ce înseamnă că în orice punct are loc egalitatea:

[1] i.e. – id est, adică.

v

uuxFvxFdxxxfvXuP )()()()(

)(1)( xxFxXP

10 xF

0lim

xFFx

1lim

xFFx

00

0

0

lim0 xFxFxFxxxx

24

Variabilele aleatoare care se folosesc în mod obişnuit în practică au funcţia de repartiţie continuă pe R.

Dacă variabila aleatoare X ia valori discrete, adică dacă ia un număr finit de valori x1, x2,...,xn, având probabilităţile p1, p2,...,pn, atunci:

unde pi = P (X = xi), p ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Funţia de repartiţie este unde xi < x, adică suma se face pentru toate valorile xi mai mici ca x. În cazul în care probabilităţile sunt estimate prin frecvenţe absolute, atunci funcţia

de repartiţie se obţine cumulând valorile frecvenţelor relative pentru toate valorile xi < x.

Din tabelul cu dimensiunile măsurate ale diametrelor axelor, vom avea următoarele funcţii de repartiţie:

.

.

.

. Funcţia de repartiţie este în acest caz o funcţie în scară, deoarece ia valori

constante pe intervalele [xi-1, xi].

n

ipi

1,1

xixpxF i ,)(

04,025

1

50

2

50

1

50

1)003,40()002,40()003,40()003,40( XPXPXPF

08,050

4

50

2

50

1

50

1

)004,40()003,40()002,40()004,40()004,40(

XPXPXPXPF

1)015,40(......)002,40()015,40()015,40( XPXPXPF

25

1.3.4. Densitatea de repartiţie (de probabilitate)

Variabila X are o densitate de repartiţie (sau de probabilitate), dacă există o funcţie f : R → [0, ∞), astfel încât:

(1.3.4)unde:F(x) este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X,f(t) se numeşte densitate de repartiţie sau densitate de probabilitate,

real pozitivă. Dacă în formula de definiţie a densităţii de repartiţie se face x→∞ şi se ţine cont

că F(+∞) = 1, atunci se obţine: (1.3.5)

Funcţia continuă f(t), definită f : R → R, este o densitate de repartiţie a unei variabile aleatoare X, dacă îndeplineşte condiţiile:

f(x) ≥ 0, pentru orice

1.3.5. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatorii

Repartiţia unei variabile aleatorii X ne arată ce valori x1, x2,…,xn poate lua o variabilă aleatorie şi cu ce probabilitate p1, p2,…,pn.

Avem , pi ≥ 0 şi

x

dttfxF

1

dttf

1

dttf

Rx

npppnxxx

X....... 2 1

........ 2 1 )(

n

ipi

1.1

26

În practică, este suficient să cunoaştem numai anumite valori caracteristice, cum ar fi, de exemplu, numărul mediu de maşini unelte (strunguri, maşini de frezat), care efectuează anumite lucrări sau timpul mediu de funcţionare al unei maşini.

1. Valoarea medie a unei variabile aleatorii sau momentul de ordinul 1, care se mai notează m1, este una dintre valorile tipice cele mai frecvent folosite.

Valoarea medie a unei variabile aleatorii X este următoarea:

adică este suma produselor valorilor variabilei cu probabilităţile lor.

Ilustrarea calculului valorilor medii Fie variabila aleatorie X dată de tabelul următor de repartiţie a maşinilor unelte, care

efectuează anumite lucrari,

unde: xi = 1, x2 = 2, x3 = 3 şi

Avem în acest caz Numărul mediu de maşini unelte care funcţionează este în acest caz egal cu 2,1.

2. Momentul de ordinul al doilea al unei variabile aleatoare X este dat de expresia:sau

în cazul unei variabile continue.

npnxpxpxXMm .......2211)(11

15

7

5

1

3

1

3 2 1 )(X

,3

11p 5

12p 15

73p

.1,24,14,03,015

73

5

12

3

113322111 pxpxpxm

n

ipixnpnxpxpxXMm

11

22.......22

212

1)(22

dxxpxm )(2

2

27

În cazul analizat, cu variabila aleatorie (X) dată devom avea momentul de ordinul al doilea:

1.3.6. Elemente de teoria eşantionării, estimaţiei şi verificării ipotezelor statistice

Observaţia asupra unui anumit obiect (fenomen, proces sau caracteristică) înseamnă:

fie efectuarea unor experimente speciale asupra obiectului de studiat, fie urmărirea sa directă în desfăşurarea sa naturală.

De regulă, rezultatele acestor experienţe speciale sau uzuale, se materializează într-o informaţie de măsurare primară, constituită din valori de măsurare (date numerice).

Mulţimea datelor numerice obţinute în urma unor operaţii de măsurare poartă numele de eşantion asupra populaţiei respective.

Pe baza acestei mulţimi constituite se evaluează indicatorii statistici ai eşantionului, care sunt aproximări ale indicatorilor teoretici.

Dacă notăm valorile obţinute prin măsurare sau orice alt procedeu asupra unei caracteristici simbolizate de variabila aleatoare X, prin x1, x2,...,xn,valorile tipice ale principalilor indicatori au expresiile:

15

7

5

1

3

1

3 2 1 )(X

.3,52,48,03,015

63

5

4

3

1

15

7235

1223

1212 m

28

media:

dispersia: sau

abaterea standard:

mediana:

unde x(1) ≤ x(2) ≤...≤ x(n) este o secvenţă ordonată a valorilor eşantionului,

amplitudinea:

De fapt, eşantionul este un fel de populaţie miniaturală. Aceasta înseamnă în primul rând că extragerea din populaţia {X}, modelată de Fx(x ; θ), a valorilor {xi}1 ≤ i ≤ n să fie aleatoare (întâmplătoare).Numărul n, care arată câte valori efective conţine eşantionul avut la dispoziţie, se numeşte volumul eşantionului.Este evident faptul că dacă se dispune de un volum mare al eşantionului, concluziile finale vor fi mai apropiate de situaţia reală.

n

ixixns

1

2111

n

i ixnx1

1

n

ixixns

1

212 1

221

nnss

,2 dacã ,2

1)(

,12 dacã ,)1(

knkx

kx

knkx

mex

11xnxw

29

În practică, se realizează două tipuri de experimente: experimente cenzurate, în cadrul cărora se supun testării n elemente,

experimentul considerându-se încheiat după observarea doar a r (r < n) elemente; în cazul acestui tip de experiment, elementele aleatoare sunt durata experimentului şi valorile observate,

experimente trunchiate, în cadrul cărora se supun testării n elemente, experimentul considerându-se încheiat la consumarea unui timp dinainte fixat T.

În cazul acestui tip de experiment, elementele aleatoare sunt numărul elementelor căzute şi valorile măsurate ale caracteristicii investigate.

1.3.7. Legi clasice de distribuţie În teoria fiabilităţii se operează cu legi clasice de distribuţie, printre cele mai des

folosite fiind: distribuţia Poisson, distribuţia exponenţială, distribuţia Weibull, distribuţia normală.

1.3.7.1. Distribuţia Poisson Se spune că variabila aleatoare discretă X are distribuţie Poisson de parametru λ

> 0, dacă poate lua orice valoare cu probabilitatea:

(1.3.6)

Exemplu Fie variabila aleatoare discretă X, care reprezintă căderile unei instalaţii într-o

perioadă de un an. Se face presupunerea că variabila X are o distribuţie după legea Poisson cu λ = 2 căderi pe an.

......2 ,1 0, k unde ,!

ek

kkXP

30

Probabilitatea de a se produce nu mai mult de o cădere a instalaţiei într-o perioadă de un an de zile este:

(1.3.7)

1.3.7.2. Distribuţia exponenţială Distribuţia (repartiţia) exponenţială a unei variabile aleatoare X, de parametru λ, are

densitatea sa de repartiţie, dată de formula:(1.3.8)

În fig. 1.3.4. (a, b, c) este reprezentată grafic distribuţia exponenţială.

Fig. 1.3.4. (a) Funcţia de fiabilitate exponenţială

1

0406,0

!22

)1(1k k

keFXP

0pentru t),exp(-

0pentru t ,0

ttf

31

Fig. 1.3.4. (b) Distribuţia exponenţială a funcţiei de fiabilitate

Fig. 1.3.4. (c) Densitatea de probabilitate

32

1.3.7.3. Distribuţia Weibull Distribuţia (repartiţia) Weibull a unei variabile aleatoare X, notată ,

de parametri γ, θ, κ, are formula densităţii de distribuţie (repartiţie): (1.3.9)

În general γ = 0, şi θ > 0, κ > 0. Parametrii au următoarea semnificaţie:

γ este un parametru de timp,κ este un parametru de formă,θ este un parametru de scară a timpului, denumit şi durata de viaţă

caracteristică. Depinzând de trei parametri, legea Weibull este mai generală decât legea

exponenţială şi poate cuprinde un număr mai mare de cazuri concrete. Legea Weibull este adecvată unei clase largi de fenomene, de la cel al ruperii

materialelor metalice, fiabilitate şi durabilitate şi până la cel al poluării atmosferei.

1.3.7.4. Distribuţia normală (Gauss – Laplace) Variabila aleatoare de tip continuu X are o distribuţie normală sau urmează o lege de

repartiţie normală, de parametri μ şi σ, notată pe scurt N (t; μ, σ), dată de formula:

(1.3.10) 0,,,

22

2exp

21,;

RRt

ttf

),,;( kxWX

0pentru t,exp1)(1

0pentru t ,0,,;

ktktkktf

33

Graficul funcţiei f (t; μ, σ) are forma unui clopot (“clopotul” lui Gauss), care este simetric faţă de dreapta t = μ şi are punctele de inflexiune , şi (Fig. 1.3.5).

Fig. 1.3.5. Graficul densităţii repartiţiei normale N (μ, σ)

O variabilă aleatoare X, care urmează distribuţia normală N (t ; μ, σ), are valoarea medie şi dispersia date de formulele:

(1.3.11)

Abaterea standard este Dacă m = μ = 0 şi σ = 1, se spune că variabila aleatoare X are repartiţia normală

standard (sau redusă), notată N (t ; 0, 1). În acest caz, densitatea de repartiţie este dată de formula:

(1.3.12)

1t 2t

2)(2)(

XD

mXM

)(XD

Rtttf

,

2

2exp

211,0;

34

Graficul curbei densităţii normale standard, numit şi “clopotul “ lui Gauss, are următoarele proprietăţi (Fig. 1.3.6):

este simetric faţă de axa Oy,

are valoarea maximă , care se obţine pentru cazul când t = 0,

curba are formă concavă pe intervalul (– 1, +1) şi convexă în afara acestuia, aria cuprinsă între graficul curbei şi axa Ox este egală cu 1.

Fig. 1.3.6. Graficul densităţii repartiţiei normale standard N (0, 1)

39894,02

1

35

O variabilă aleatoare X, cu distribuţie normală N (t; μ, σ), are următoarele proprietăţi:

68,26% din valorile lui X cad în intervalul (m – σ, m + σ), 95,45% din valorile lui X cad în intervalul (m – 2σ, m + 2σ), 99,73%, adică practic aproape toate valorile lui X cad în intervalul (m – 3σ, m

+ 3σ), centrat în jurul valorii medii m = μ. Această proprietate se numeşte “regula celor şase sigma“.

Repartiţia normală rezultă din aplicarea principiilor probabilistice unei populaţii statistice infinite.

Rezistenţa mecanică a unui oţel poate fi considerată distribuită normal oricât de numeroşi sunt factorii care o afectează şi oricare ar fi distribuţia acestora.

În general, aria care se află sub curba densităţii de probabilitate este o măsură pentru probabilitatea de defectare.

Repartiţia normală reflectă comportarea multor elemente componente sau instalaţii, supuse fenomenelor de uzare, repartiţia valorilor unor caracteristici de rezistenţă ale materialelor folosite în fabricarea instalaţiilor.