1

Noiuni matematice de baz utilizate n analiza servomotoarelor electrice

Reprezentarea n complex. Fazorul de timp rotitor. Fazorul de timp n complex simplificat

Fie v(t) o mrime sinusoidal de timp de pulsaie :

tsinV2tv ef .

Aceast mrime poate fi reprezentat n complex nesimplificat cu ajutorul fazorilor de timp rotitori (fazorii

temporali Fresnel).

tjefef eV2vtsinV2tv .

n conformitate cu formula lui Euler se poate scrie:

tsinV2jtcosV2v efef ,

vtVtv ef Imsin2 .

Dac se consider forma n cosinus a oscilaiei v(t) se obine:

vtVtv ef Recos2 .

2

n figura1 este artat reprezentarea n planul complex a

fazorului de timp rotitor v , pentru un moment oarecare de timp t.

Fig.1. Reprezentarea n complex nesimplificat a unei mrimi sinusoidale cu ajutorul fazorilor de timp rotitori (fazorii

temporali Fresnel).

La reprezentarea n complex simplificat se ajunge prin

suprimarea factorului tje . n aceast situaie, mrimea v(t) este reprezentat de un fazor de timp obinuit V , staionar fa de un

sistem de axe d q, rotitor n sens trigonometric cu viteza

unghiular .

jefef eVVtsinV2tv

.

3

Fazorul temporal V are modulul de 2 ori mai mic dect

fazorul de timp rotitor v i c de fapt din acesta i rezult, dac

sistemul de axe d q la care se raporteaz se rotete mpreun cu fazorul temporal Fresnel (v. figura 2).

Fig. 2. Explicativ la reprezentarea n complex simplificat a unei mrimi sinusoidale: a raportarea fazorului de timp rotitor la un sistem de

axe nvrtitoare d q; b - reprezentarea simbolic simplificat cu un vector fix n spaiu fazorul de timp.

.

n concluzie, o mrime sinusoidal n timp v(t) poate avea dou reprezentri cu planul complex: fazorul de timp rotitor v

(fazorul temporal Fresnel) i fazorul de timp V .

n cazul sistemului trifazat de mrimi, acesta este reprezentat n complex de trei fazori de timp.

4

4.2.2. Definirea fazorului spaial

Fazorii spaiali reprezint suportul fizic al tratrii matematice a modelelor d q ale mainilor electrice permind totodat realizarea conceptului unitar de model main sistem de reglare.

Fazorii spaiali caracterizeaz ntregul sistem trifazat, avnd un dublu caracter: temporal (prin faptul c arat variaia n timp a mrimilor de faz aceast nsuire justific de fapt utilizarea denumirii de fazor) i spaial (arat totodat i defazajul n spaiu ce apare datorit dispunerii constructive infurrilor de faz).

Pentru aceasta se consider o main trifazat simetric, cu

axele fazelor statorice notate cu as, bs, cs, dispuse la 3

2 radiani

electrici. Axele de timp ta, tb i tc, rotite cu 3

2 n sens

trigonometric, se iau suprapuse peste axele fazelor as, bs i cs. Acestui sistem de axe astfel ales i se asociaz planul

complex, a crui ax real coincide cu axa as ta (v. figura 3). Se presupune c nfurrile mainii sunt repartizate sinusoidal, circuitul magnetic este nesaturat iar ntrefierul este constant. n aceast situaie, curenii variabili oricum n timp care parcurg aceste nfurri genereaz unde nvrtitoare (de exemplu pentru solenaiile rezultante, cmp magnetic principal) de repartiie sinusoidal pe pasul polar. Aceste unde pot fi reprezentate cu ajutorul fazorului spaial, aa cum se va vedea n continuare.

5

Fig. 3. Construcia vectorului spaial trifazat ssv i a

fazorului spaial sv .

Pentru nceput, fie cazul general n care fiecrei nfurri statorice i se asociaz cte o mrime oarecare scalar n timp. Aceste mrimi (tensiuni, cureni, solenaii, fluxuri) se noteaz cu vsa , vsb i vsc. Ele pot fi caracterizate de o variaie oarecare n timp. Fiecrei mrimi i corespunde cte un vector spaial avnd direcia axei spaiale de magnetizare a fazei. Modulul i sensul acestui vector sunt date de valoarea instantanee a mrimii scalare care l-a generat. Dac se iau n considerare toate cele trei faze,

rezult trei vectori spaiali scsbsa vivv , , defazai n spaiu cu

unghiurile 3

2, respectiv

3

4. n cazul mainii trifazate simetrice

considerate, vectorii spaiali se gsesc n planul perpendicular pe axa mainii, fiind caracterizai de o direcie fix (axa spaial de magnetizare a fazei) i modul variabil (corespunztor valorii instantanee a mrimilor scalare). Cei trei vectori spaiali pot fi exprimai cu ajutorul relaiilor:

6

sasa vv ,

sbsb vav ,

sc2

sc vav , n care:

2

3j

2

1ea 3

2j

,

2

3

2

13

2

3

4

2 jeeajj

.

Vectorul spaial trifazat ssv se obine prin nsumarea

vectorial a celor trei vectori spaiali:

scsbsas

s vvvv . )

sc2

sbsa

s

s vavavv .

Fazorul spaial corespunztor celor trei mrimi scalare se

definete prin intermediul relaiei :

sc2sbsas vavav3

2v .

Se observ c:

s

ss v3

2v .

La o variaie oricum n timp a mrimilor scalare vsa, vsb i

vsc, fazorul spaial sv va rezulta ca un vector de lungime variabil

i vitez de rotaie de asemenea variabil fa de axele considerate. El rotete ntr-un plan perpendicular pe axul

mainii, cu viteza de deplasare a undei nvrtitoare rezultante a celor trei mrimi scalare.

7

n continuare se descompune fazorul spaial sv dup cele

dou axe ale planului complex considerat solidar cu statorul, deci staionar. Indicele dup axa real, suprapus axei as, va fi , iar

dup cea imaginar (aceste notaii sunt utilizate n general n

literatura de specialitate pentru axele refereniarului considerat legat de nfurarea statoric).

n urma descompunerii se obine:

sss jvvv .

Descompunerea fazorului spaial n planul complex este reprezentat grafic n figura 4.

Fig. 4. Descompunerea fazorului spaial n planul Complex.

Proieciile fazorului spaial pe cele dou axe obin

urmtoarele relaii de calcul:

8

scsbsass vvvvv

2

1

3

2Re ,

scsbss vvvv 3

1Im .

Se consider n continuare c mrimile scalare vsa, vsb i vsc formeaz un sistem trifazat simetric, echilibrat de variabile sinusoidale n timp:

3

4cos2

3

2cos2

cos2

asefsc

asefsb

asefsa

tVv

tVv

tVv

,

cu

vsa + vsb + vsc = 0 .

Pntru partea real i imaginar a fazorului spaial se obin

urmtoarele expresii:

asef

aaasefss

tV

tttVvv

cos2

3

4cos

2

1

3

2cos

2

1cos

3

22Re

9

asef

aasefss

tV

ttVvv

sin2

]3

4cos

3

2[cos

2

3

3

22Im

Pntru fazorul spaial rezult expresia:

atj

sef

aasefsss

eV2

tsinjtcosV2jvvv

n aceast situaie particular, fazorul spaial va rezulta ca

un vector de lungime constant care rotete n spaiu cu vitez unghiular constant corespunztoare pulsaiei a mrimilor scalare, iar vrful su va descrie un cerc (v. figura 5a); unda spaial pe care o reprezint este o und nvrtitoare circular.

Dac mrimile scalare vsa, vsb, vsc sunt sinusoidale n timp, dar formeaz un sistem trifazat nesimetric, dar echilibrat:

cefssc

befssb

aefssa

tcosV2v

tcosV2v

tcosV2v

,

vsa + vsb + vsc = 0 ,

atunci pentru stabilirea expresiei fazorului spaial se aplic metoda componentelor simetrice.

Se definesc componenta de succesiune direct sdv i cea de

succesiune invers siv prin expresiile:

sc2sbsasd VaVaV3

1V ,

10

scsb2sasi VaVaV3

1V .

n acest caz, vrful fazorului spaial va descrie o elips (v. figura 5b).

Este important de subliniat faptul c dac nu exist component homopolar proiecia fazorului spaial pe cele trei axe ale fazelor determin valorile momentane ale mrimii scalare considerate n faza respectiv.

Se consider acum c mrimile scalare vsa, vsb i vsc nu satisfac condiia . Componenta homopolar va fi:

scsbsas vvvv 31

0 .

n aceast situaie, proiecia fazorului spaial pe cele trei axe ale fazelor va fi egal cu diferena dintre valoarea momentan a mrimii considerate n faza respectiv i componenta homopolar. n [52] se demonstreaz urmtoarele relaii:

'0

'0

22

'0

Re

Re

scsscssasc

sbssbssasb

sassasa

vvvvavaprvpr

vvvvavaprvpr

vvvvpr

.

n prezena componentei homopolare, expresia fazorului

spaial devine:

scsbsas vavavv '2''

3

2

.

11

O alt situaie particular este cea a regimului tranzitoriu cu mrimi amortizate. n acest caz, vrful fazorului spaial descrie o curb spiralat (v. figura 5c).

Un caz special se obine n cazul n care mainile de curent alternativ se alimenteaz de la reea prin intermediul convertoarelor statice cu circuit intermediar de c.c.

Fazorul spaial corespunztor celor trei mrimi de faz va avea o micare intermitent, iar vrful su va descrie un poligon regulat.

Fig. 5 Curba descris de vrful fazorului spaial n siuaia sistemului rifazat de mrimi: a. sinusoidal simetric n reim staionar; b sinusoidal nesimetric n regim staionar; c. sinusoidal n regim tranzitoriu cu mrimi amortizate.

n figura 6sunt prezentate secvenele fazorului spaial, n situaia unui convertor static de frecven cu circuit intermediar de curent continuu. Circuitul intermediar are caracter de surs de curent iar invertorul este realizat cu tiristoare cu stingere

automat. Se consider funcionarea ideal a convertorului.

12

Fig. 6 Secvenele i traiectoria vrfului fazorului saial cu micare intermitent n cazul unui sistem trifazat de mrimi cu variaie n trepte diagrama cu 6 secvene.

Micarea fazorului spaial se produce atunci cnd se comut curentul (sau tensiunea, n cazul circuitului intermediar cu caracter de surs de tensiune). Din figura de mai sus se poate observa c pe durata comutaiei, modulul fazorului spaial este variabil.

13

Deseori, n studiul regimului dinamic al mainilor electrice este mai util folosirea unui sistem de referin dq mobil (fie rigid legat de rotor, fie n cazul general rotitor cu o vitez oarecare b). n noul sistem nvrtitor de axe ortogonale, axa d se ia drept ax

real, iar t este unghiul dintre axele de referin omoloage (v.

figura 7).

Fig. 7. Referitoare la trecerea ntr-un sistem de referin mobil.

Trecerea fazorului sv din sistemul de referin fix n

sistemul de referin dq mobil se face conform relaiei:

tj

ssdq evv

.

n sistemul ortogonal d,q se poate scrie:

sqsdsdq jvvv ,

14

unde vsd i vsq reprezint proieciile dup axele d,q. Ele se mai numesc componente longitudinale i transversale ale mrimilor scalare vsa, vsb i vsc .

n literatura de specialitate exist i alte moduri de definire a fazorului spaial. n esen, diferena este dat numai de un factor de proporionalitate kF. Fazorul spaial este proporional cu vectorul spaial trifazat care se obine prin nsumarea vectorial a celor trei vectori spaiali ai mrimilor de faz . n situaia mrimilor scalare considerate, vsa, vsb i vsc, se poate scrie:

)( 2 scsbsaFs

sFs vavavkvkv .

Factorul kF nu influeneaz ecuaiile tensiunilor, curenilor sau ale fluxurilor, intervenind n schimb n bilanul puterilor modelului fizic i a celui echivalent al mainilor de c.a.. Astfel expresia cuplului electromagnetic momentan al unei maini trifazate de c.a. poate fi generalizat sub forma:

ssmme iIpkm

,

unde s este forma complex conjugat a fazorului spaial de flux

statoric, si fazorul spaial de curent statoric iar p numrul de

perechi de poli.

Coeficienii kF i km sunt legai matematic prin relaia:

3

22 mF kk .

15

n tabelul 1 sunt date cteva valori uzuale pentru kF i km, ntlnite n literatura de specialitate . Tabelul 1. Valori uzuale pentru coeficienii kF i km.

kF km Observaii

3

2

2

3 - aceste valori corespund variantei de fazor cel

mai des ntlnit ;

1 3

2 - aceste valori corespund definiiei vectorului

spaial trifazat conform relaiei ;

3

2

1 - aceast pereche de valori menine invariant puterea electric