electrotehnica - capitolul 6

8/14/2019 Electrotehnica - CAPITOLUL 6.

1/16

337

6. CIRCUITE MAGNETICE

Numim circuit magnetic succesiunea de medii prin care se concentreaz un flux magnetic.

Fluxul este produs de bobine care nlnuie circuitul parial sau n ntregime, numite bobine deexcitaie.

6.1. Definiii, clasificri, aplicaii tehnice

Fluxul prin seciunea transversal a circuitului magnetic se numete flux fascicular. Elrezult ca produs al numrului de spire cu fluxul fascicular mediu.

Fluxul fascicular prin poriunile considerate utile ale circuitului magnetic se numete fluxutil. Fluxul corespunztor liniilor induciei magnetice care se nchid n afara poriunilor utile senumeteflux de dispersie sauflux de scpri.

Poriunea circuitului magnetic pe care este montat bobina de excitaie se numete miez.Poriunile de circuit care servesc la asamblarea miezurilor se numescjuguri.

Circuitele magnetice se confecioneaz de regul din materiale feromagnetice. Din anumitemotive funcionale sau/i tehnologice, poriunile de circuit pot fi ntrerupte cu intervale n aer saupot conine intervale din materiale nemagnetice numite ntrefieruri.

6.1.1. Cteva clasificri

Din punctul de vedere al configuraiei geometrice, existcircuite magnetice neramificate(fig. 6.1a) i circuite magnetice ramificate (fig. 6.1b).

n circuitele magnetice ramificatelaturile, nodurile i ochiurile se definescanalog modului n care se face acest lucru ncircuitele electrice.

Dup felul curentului prin bobinele deexcitaie, numit curent de excitaie, suntcircuite magnetice de curent continuu icircuite magnetice de curent alternativ.Circuitele magnetice de curent alternativ aumiezul divizat n tole subiri, izolate ntre ele i aezate paralel cu liniile de cmp, pentru a reducepierderile prin cureni turbionari (Foucault).

6.1.2. Utilizri n tehnic

Circuitele magnetice se construiesc fie pentru a obine lucru mecanic util pe seamadeformrii lor, fie pentru a obine inducii magnetice mari cu ajutorul unor cureni puin inteni,

pe seama permeabilitii magnetice mari a materialului introdus n cmpul magnetic produs deaceti cureni. Ele sunt elemente componente eseniale ale transformatoarelor, mainilor iaparatelor electrice.

Electromagneii deformabili, concepui pentru a efectua lucru mecanic prin deplasareaarmturii proprii sau a unei alte piese se numesc electromagnei de traciune. Ei sunt excitai n

Fig. 6.1


2/16

338

curent continuu sau alternativ. O alt categorie de electromagnei deformabili o constituieelectromagneii purttori, concepui pentru a reine materialele magnetice cu care sunt pui ncontact i care sunt de obicei alimentai n curent continuu.

Utilizrile electromagneilor n tehnic sunt extrem de variate. O clasificare din acest punctde vedere, dar nu complet, este prezentat n figura 6.2.

Circuitele magnetice potfi construite i din magneipermaneni, fluxul magneticfiind produs de magnetizaiapermanent a unor magnei.

Avantajele acestora consist dinsimplitatea constructiv acircuitului care necesit unspaiu redus, ceeace permiterezolvarea unor probleme cumsunt acelea ale construciei demicromaini.

6.2. Proprietile materialelorferomagnetice

Circuitele magnetice sunt

confecionate, n mareamajoritate a aplicaiilor tehnice,din materiale feromagnetice. Acestea sunt materiale paramagnetice cu susceptivitate pozitiv i

foarte mare de ordinul zecilor de mii. La aceste materiale dependena HB = nu este liniar, eadepinznd de intensitatea cmpului i de strile de magnetizare avute anterior.

6.2.1. Curba de magnetizare

Dependena dintre modulele celor doi vectori, HB = este o dependen ciclic care sepoate ridica experimental cu ajutorul unui montaj ca acela din figura 6.3.

Din materialul de cercetat se execut un inel

omogen pe care se execut dou nfurri din cupruizolat. Dac se ntrerupe sau se stabilete brusccurentul n nfurarea cu 1N spire (nfurarea deexcitaie), se obine prin inducie electromagnetic odeviaie n galvanometrul balistic G conectat lanfurarea cu 2N spire ( nfurarea de msur caremsoar o variaie q a sarcinii n circuit). Variaiade sarcin este o msur a variaiei induciei.

ntr-adevr, curentul indus este:

tN

RtRR

ei

f

=

== 211

,

de unde, n valoare absolut:q

N

Rti

N

Rf ==

22

i

Electromagnei

Purttori Detrac iune

Utilizri:Macarale magneticeCuplaje magnetice

Separatoaremagnetice

Caracteristici:Cursa lung

Armtur greaAc onare lent

Caracteristici:Cursa scurt

Armtur uoarAc ionare rapid

Tipul solenoidpentru:

Frne magneticeDispozitive de

acionareetc

Tipul cu armturn micare

circular pentru:Electromagnei n

Z, V etc.

Tipul U pentru:Clopote electriceCeasuri electrice

Aparate telegraficeetc.

Tipul clapetpentru:Relee

ntreruptoareetc

Fig. 6.2

Fig. 6.3


3/16

339

qNA

R

AB

ff

f =

=2

.

Pe de alt parte, cu ajutorul ampermetrului montat n circuitul de excitaie se stabiletevaloarea intensitii cmpului magnetic:

r

iN

l

iNH

==

211 .

R este rezistena total a circuitului de excitaie iar r este raza medie a torului.Pe baza schemei din figura 6.3 s-au realizat aparate specializate (denumite ferotestere) sau

sisteme ce utilizeaz plci de achiziie a datelori microprocesoare sau calculatoare de tip IBM

PC.n regim staionar se poate trasa curba )(HfB =

mrind treptat curentul de excitaie. Dac materialul nu amai fost magnetizat, prin creterea intensitii cmpuluide la 0 la maxH se obine curba de prim magnetizare

oabc (fig. 6.4). Aceasta prezint o poriune oab aproapeliniar n care inducia crete practic liniar cu intensitateacmpului inductor dup care, pentru intensiti mai maridect aceea corespunztoare punctului b , cretereainduciei este mai puin pronunat. Se parcurge o zonde cot zona cotului de saturaiedup care, dincolo de

punctul c , cruia i se atribuie valoarea maxH aintensitii cmpului, inducia nu mai crete orict s-armri intensitatea cmpului. De la valoarea maxH acmpului, materialul se afl n stare de saturaiemagnetic.

Fenomenul de saturaie magnetic este explicat n teoria microscopic a feromagnetismului prin orientarea spinilorelectronilor. n poriuni microscopice , dar coninnd un numr mare de atomi, numite domenii, toi atomii au momentele orientate nacelai sens, astfel c domeniul este magnetizat permanent. Orientarea diferitelor domenii este ins haotic, ele tinznd s se orientezen direcia cmpului aplicat din exterior. n momentul orientrii complete magnetizaia atinge o valoare limit mumit magnetizaie desaturaie

sM , foarte mare, asfel c .)(

0constMHB

s+ deoarece HM

s>> .

6.2.2. Ciclul de histerezis

Micorndu-se intensitatea cmpului de la maxH ctre 0 , se constat c valorile inducieirmn mai mari dect cele anterioare i c, la anularea cmpului inductor, materialul rmne cuinducia remanent rB . Pentru a o anula, trebuie s se creasc intensitatea cmpului, n sens

contrar celui iniial, pn la o valoare cH numitcmp coercitiv.

Continundu-se variaia cmpului inductor pn la maxH i napoi pn la maxH+ , separcurge o curb nchis numitciclu de histerezis magnetic. Dup 4 5 parcurgeri ale cicluluiacesta ncepe s fie parcurs n mod identic - se spune cciclul de histerezis s-a stabilizat.

6.2.3. Criterii de calitate pentru materialele feromagnetice

Calitatea unui material feromagnetic este apreciat dup urmtoarele criterii:- forma ciclului de histerezis;- curba de magnetizare, care este curba medie a ciclului, media fcndu-se pe abscise;-permeabilitatea magneticiniial, calculat n poriunea liniar a curbei de magnetizare;

Fig. 6.4


4/16

340

-permeabilitatea maxim, calculat ca pant a dreptei ce trece prin origine i este tangentla curba de magnetizare (dreapta OA fig. 6.4)

- inducia remanent;- cmpul coercitiv.

n funcie de aceste criterii, materialele feromagnetice se clasific n materiale magneticemoi, care se magnetizeaz i se demagnetizeaz uor, avnd ciclu de histerezis ngust i cmpcoercitiv mic (80A/cm) i materiale magnetice dure, cu ciclu de hysterezis larg, cu cmpcoercitiv mare (4000A/cm), care se magnetizeazi se demagnetizeaz greu.

Materialele magnetice moi (tabelul 6.1) au permeabiliti foarte mari, datorit cmpuluicoercitiv mic, i pierd practic complet magnetismul la ncetarea aciunii cmpului exterior*i sunt

utilizate la fabricarea circuitelor magnetice ale mainilor, aparatelor i transformatoarelorelectrice.

Tabelul 6.1

MaterialulPermeabilitatea

relativInducie remanent

BrCmp coercitiv

HcIniial Maxim Wb/m2 A/m

Fier pur (tratat cu hidrogen) 25000 250000 1,4 4Tabl silicioas (4% Si) 500 7000 1,8 40Permalloy (78,5%Ni; 21,5%Fe) 10000 50000 0,6 4Supermalloy (79%Ni; 15%Fe; 5%Mo;5%Mn)

100000 300000 0,6 0,4

Ferit de mangan i zinc 2000 3000 0,15 10

Fierul pur, obinut pe cale electrolitic, prezint caliti magnetice foarte ridicate. n generaladausurile i tratamentele termice i mecanice reduc aceste caliti: oelul coninnd peste 0,9%carbon devine prin clire rapid material magnetic dur cu ciclu de histerezis larg. Recoacereaingusteaz ciclul de histerezis; tolele de oel prin nclzire ndelungat i reduc permeabilitateaiar pierderile prin histerezis cresc; manganul produce micorarea induciei remanente dar mretecmpul coercitiv; siliciul n proporie de 4 5% micoreaz cmpul coercitiv, pierderile prinhisterezis i, datorit creterii rezistenei ohmice a oelului, reduce i pierderile prin cureniturbionari.

Materialele magnetice dure (tabelul 6.2) au inducie remanent mare i permeabiliti mici.Ele se utilizeaz la confecionarea magneilor permaneni utilizai la micromotoare,

transformatoare de foarte mic putere, la confecionarea memoriilor. Cifra de calitate amaterialului magnetic dur este valoarea maxim a produsului BH, mrime proporional cuenergia localizat n unitatea de volum a cmpului.

Tabelul 6.2

MaterialulPermeabilitatearelativ iniial

Inducie remanent BrWb/m2

Cmp coercitiv HcAsp/m

Oel (cu 1%C) 40 0,7 5000Oel crom, Oel wolfram 30 1,1 5000Alnico I (12%Al; 20%Ni; 5%Co;63%Fe)

4 0,73 34000

Oerstit 900 (20%Ni; 30%Co; 20%Ti;30%Fe)

3 0,55 65000

Aliaj Platin-Cobalt (77%Pt; 23%Co) 1 0,45 260000Ferit de bariu 1 0,2 ... 0,4 100000 ... 250000

*Pierderea magnetismului nu este datorat unei inducii remanente reduse, ci cmpului coercitiv mic. Expresia des folosit" fier frremanen"este eronat.


5/16

341

6.3. Teoremele circuitelor magnetice

Relaiile fundamentale care modeleaz fenomenele circuitelor magnetice sunt legeacircuitului magnetic i legea fluxului magnetic. n regim staionar i n anumite condiii nregim cvasistaionar, consecine ale acestor legi sunt teoremele lui Ohm i Kirchhoff pentrucircuitele magnetice, al cror nume este atribuit prin analogie, datorit corespondenei duale culegea lui Ohm i teoremele lui Kirchhoff din circuitele electrice.

6.3.1 Teorema lui Ohm extins la circuitele magnetice

Se consider un tub de flux magnetic (fig. 6.5). Alegndu-se elemente de arie Ad orientate

omoparalel cu elementul de arc ld al axei C a tubului de flux, expresia tensiunii magnetice ntredou puncte 1i 2 ale curbei C ia forma:

=

=

==2

1

2

1

2

1

2

1

12

dddd

A

ll

A

ABl

BlHU fm

, (6.1)

unde ABf = este fluxul fascicular, acelai prin orice seciune transversal a tubului.

Mrimea pozitiv, definit de raportul dintretensiunea magnetic 12mU i fluxul fascicular f se

numete reluctansau rezistenmagnetica poriuniide tub (a poriunii neramificate de circuit magnetic):

01212 >=

f

mD

m

UR n

Wb

Asau

H

1(6.2)

Din relaia (6.1) rezult expresia reluctanei:

=2

1

12

d

A

lRm

, (6.3)

iar dac pe poriunea de circuit aria seciunii i permeabilitatea sunt constante atunci:

A

lRm

= . (6.4)

Mrimea pozitiv egal cu raportul dintre fluxul fascicular f i tensiunea magnetic 12mU

se numetepermeana circuitului :0

1

1212

>=

=mm

fD

RUn

A

Wbsau [ ]H . (6.5)

Relaiile:

fmm RU = (6.6)

i

mf U= , (6.7)

sunt numite relaiile lui Ohm pentru circuitemagnetice, prin analogie cu relaiile lui Ohm pentru circuitele electrice. Tot prin analogie, produsele de forma fmR sunt numite cderi

de tensiune magnetic.Se pot alctui scheme echivalente

circuitelor de din figura 6.1 aa cum seprocedeaz n figura 6.6, utilizndu-se simboluri

Fig. 6.5

Fig. 6.6


6/16

342

grafice asemntoare celor din circuitele electrice. Se constat uor, urmtoarele corespondeneduale ntre mrimile din circuitele magnetice i cele din circuitele electrice:

- tensiune electric U tensiune magnetic mU ;

- tensiune electromotoare E tensiune magnetomotoare mU sausolenaie ;

- intensitate a curentului electric i flux fascicular f ;

- rezisten electric R reluctan mR ;- conductan electric G permean .

6.3.2 Teoremele lui Khirchhoff pentru circuitele magnetice

Teorema I a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. n circuitele magneticeramificate fluxurile magnetice se ramific n puncte numite noduri. Poriunea de circuit cuprinsntre dou noduri, de-a lungul creia fluxul fascicular este constant, se numete latur. Osuccesiune nchis de laturi alctuiete un ochi sau bucl.

Din legea fluxului magnetic

aplicat suprafeei care nchidenodul magnetic din figura 6.7a seobine relaia:

0...........21 =++= fnff ,

adic:

(6.8) =

=n

k

fk

1

0 ,

numit teorema I a lul Khirchhoffpentru circuite magnetice, prin analogie

cu relaia =

=n

k

ki

1

0 care se scrie cu

referire la nodul unei reele electrice(fig. 6.7b).

Suma (6.8) este i aici o sum algebric. Se consider pozitive fluxurile al cror sens seasociaz cu sensul normalei la suprafaa (fluxurile care ies din nod) i negative, celelalte.

Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. Se consider un ochi de

circuit magnetic (fig. 6.8a) a crei ax va fi conturul cu referire la care se scrie legea circuituluimagnetic, adoptndu-se un sens de scriere care va fisensul de parcurgere al buclei:

(6.9) =

==n

k

km lHU1

d ,

sau

(6.10) ==

=n

k

k

n

k

mkU11

,

unde mkU sunt tensiunile magnetice (magnetomotoare)

ale laturilor iar k sunt solenaiile acestora.inndu-se seama de relaia (6.6) se mai poate

scrie:

(6.11) = =

=n

k

n

k

kfkmkR1 1

.

Relaia (6.11) este similar cu relaia

Fig. 6.7

Fig. 6.8


7/16

343

==

=n

k

kk

n

k

k IRE11

din teoria circuitelor electrice n regim staionar (fig. 6.8b) i este numit, prin

analogie, teorema a II-a a lui Kirkhhoff pentru circuite magnetice.Sumele din relaia (6.11) sunt, evident, sume algebrice n care produsele fkmkR sunt

pozitive pentru fluxurile al cror sens coincide cu sensul de parcurgere al buclei, iar solenaiile k sunt de asemenea pozitive dac sensul lor se asociaz cu sensul de parcurgere dup regulaburghiului drept.

Tensiunea magnetic ntre dou puncte ale unui circuit magnetic. Pentru a se calculatensiunea magnetic 12mU ,prin aer, ntre punctele 1i 2 ale circuitului magnetic din figura 6.9,

se consider ochiul trasat prin aer de la 1 la 2 care se nchide apoi prin laturile circuitului.Teorema a II-a a lui Kirkhhoff conduce la:

=k

mfkmk

k

k UR 12 ,

de unde:)(12 k

k

fkmkm RU = . (6.12)Teoremele reluctanelor echivalente. Reluctana echivalent ntre dou puncte ale unui

circuit magnetic (fr solenaii pe laturi) este egal curaportul ntre tensiunea magnetic dintre cele doupuncte i fluxul fascicular ce intr prin punctul 1i ieseprin punctul 2:

f

m

me

UR

= . (6.13)

Reluctana echivalent a n laturi n serie (fig.6.10) se calculeaz innd seama c fluxul este acelai prin toate laturile i c tensiunea magnetic ntrepunctele 1i 2 este egal cu suma tensiunilor magnetice ale laturilor. Exist relaiile:

fmnfmfmm RRRU ++= ........2112 ,

unde:

fmem RU =12

i rezult:

==n

k

mkme RR1

. (6.14)

Prin urmare, reluctana echivalent a n laturi n serie este egal cu suma reluctanelorlaturilor.

Fig. 6.9

Fig. 6.10 Fig. 6.11


8/16

344

Reluctana echivalent a n laturi n paralel (fig. 6.11) rezult din aplicarea teoremei I alui Kirchhoff la nod i, inndu-se seama c tensiunea magnetic este aceeai pentru toate laturilese obine:

fnfff +++= ............21 ,

sau:

mn

m

m

m

m

m

me

m

R

U

R

U

R

U

R

U 12

2

12

1

1212 .......... +++= ,

de unde:

mnmmme RRRR

1

..........

111

21 +++=

,

adic:

(6.15) =

=n

k mkme RR 1

11 ,

sau:

(6.16) =

=n

k

ke

1

.

Aici permeana echivalent este egal cu suma permeanelor.Condiia de dispersie magnetic nul a unui circuit magnetic. Se pune problema

repartiiei solenaiei n lungul circuitului magnetic din figura 6.12 astfel ca dispersia magnetic sfie nul.

Se alege pe linia mijlocie a circuitului, avnd lungimea l, un punctde origine O de la care se msoar pe curb lungimea s , la captul creiase stabilete punctul P. Se formeaz un contur nchis cu segmentul decurb OP, segmentele de dreaptPQ i RO normale pe liniile de cmp

i segmentul de curb QR trasat arbitrar prin aer. Tensiunea magnetic de-a lungul curbei este:

=+++=O

R

R

Q

Q

P

P

O

m slHlHlHlHU )(dddd ,

n care )(s este solenaia nlnuit de curba i care este o funcie decoordonata s iar ultimele trei integrale sunt nule: segmentele PQ i RO

sunt normale pe liniile de cmp iar pe poriunea QR s-a presupus dispersianul.

Notndu-se cu )(sRm reluctana poriunii OP rezult:

)()( ssR fm = ,

iar pentru ls = :)()( llR fm = .

Raportndu-se membru cu membru cele dou relaii rezult cdispersia magnetica unuicircuit magnetic se anuleazdac solenaia se repartizeaz n lungul circuitului proporional cureluctana:

(6.17)

)(

)(

)(

)(

lR

sR

l

s

m

m=

.

Pentru circuitul magnetic omogen i de reluctan constant condiia este ndeplinit dacsolenaia este repartizat uniform.

Teoremele generale ale teoriei reelelor magnetice. Analogia dintre teoremele luiKirchhoff pentru circuitele magnetice si teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele electrice permite

Fig. 6.12


9/16

345

s se stabileasc n teoria reelelor magnetice, teoreme analoge celor din teoria reelelor electricede curent continuu: teorema superpoziiei, teorema reciprocitii, teorema Helmoltz -Thevenin,teorema fluxurilor de ochiuri etc (v. cap8). Ele vor fi ns valabile pentru circuitele magneticeliniare (cu .const= ), adic pentru circuite magnetice nesaturate i ale cror laturi nu prezintdispersii.

6.4. Calculul circuitelor magnetice

Calculul unui circuit magnetic const n a determina solenaia care produce un anumit fluxmagnetic sau fluxul magnetic produs de o anumit solenaie. El se face adesea n ipotezesimplificatoare care neglijeaz fluxul de dispersie i care presupun fluxul fascicular repartizatuniform n seciune. Aceste ipoteze revin la a considera vectorii B i Hca fiind aceeai n oricarepunct al unei seciuni transversale pe axa circuitului magnetic i orientai omoparalel cu normalala seciunea respectiv.

6.4.1. Calculul circuitelor magnetice liniare

Sunt considerate liniare acele circuite magnetice a cror permeabilitate magnetic esteconstant. n aceast categorie putem include i circuitele confecionate din materialeferomagnetice dac punctul lor de funcionare rmne ntotdeauna n zona liniar a curbei demagnetizare. Dac este cunoscut geometria circuitului i permeabilitatea, ecuaiile (6.6), (6.8),

(6.11), (6.14) i (6.15) sunt cele necesare rezolvrii oricrui circuit serie sau ramificat.

6.4.2 Calculul circuitelor magnetice neliniare

Practic, circuitele magnetice sunt executate din materiale feromagnetice a cror permeabilitate nu este constant, punctul de funcionare intrnd n zona cotului de saturaie.Permeabilitatea fiind dependent de intensitatea cmpului magnetic materialele sunt neliniare, iarcircuitele magnetice respective sunt circuite neliniare.

Ecuaiile circuitelor neliniare sunt tot ecuaiile lui Ohm i Kirchhoff pentru circuitemagnetice:

,1,......2,1;

,1,....2,1;0

)()(

)(

+==

==

NLpU

Nm

pk

mk

pk

k

mk

fk

(6.18)

numai c tensiunea magnetic a laturii nu mai poate fi exprimat prin produsul dintre fluxulfasciculari reluctan, reluctana ne mai fiind constant.

Dependena )( fkmk fU = , numit caracteristic magnetic a laturii se determin

experimental cu ajutorul curbei de magnetizare a materialului(fig. 6.13): pentru fiecare poriuneomogen de lungime l i seciune constant de arie A ,considerndu-se fluxul repartizat uniform n seciune, se nmulescordonatele cu seciunea iar abscisele cu lungimea poriunii decircuit, obinndu-se diagrama care are n ordonate fluxul fasciculari n abscise tensiunea magnetic (fig. 6.14) conform relaiilor:

==2

1d HllHUm (6.19)

i

== BAABf d . (6.20) Fig. 6.13


10/16

346

Din acest moment, calculul poate decurge dup metodegrafo analitice sau numerice.

Presupunndu-se cunoscute dimensiunile geometrice alecircuitelori curbele de magnetizare se pot efectua calculele decircuite magnetice n cele dou cazuri la care ne-am referit maisus:

a) se cunosc fluxurile magnetice n laturilecircuitului i trebuie determinate solenaiile. Se deduc valorileinduciilor din relaii de forma AB f /= iar din curba de

magnetizare rezult valorile H corespunztoare. Scriindu-seapoi teorema a II-a a lui Kirchhoff pe contururile nchise aleochiurilor se obin ecuaiile necesare determinrii solenaiilor;

b) se cunosc solenaiile i trebuie determinate fluxurile magnetice n diverse laturi alecircuitului. Utilizndu-se curbele )( fkmk fU = sub form grafic, tabelar sau aproximat

polinomial i relaiile (6.18), se determin din aproape n aproape caracteristici magneticeechivalente unor structuri ale circuitelori caracteristica magnetic echivalent ntregului circuit,caracteristici cu ajutorul crora, cunoscndu-se solenaiile, se determin fluxurile.

6.4.3. Definitivarea calculului solenaiilor

Valoarea a solenaiei rezultate din calculul circuitului magnetic reprezint produsul

dintre intensitatea necesar a curentului prin bobini numrul de spire. Ecuaia =Ni fiind oecuaie cu dou necunoscute, explicitarea celor doi factori din primul membru necesit gsireaseciunii potrivite a conductorului, care trebuie nfurat n fereastra de dimensiuni date, pentru ase obine amperspirele necesare la tensiunea dat. Procedeul este urmtorul:

- se presupune un coeficient de umplere 1


11/16

347

- se calculeaz cldura dezvoltat prin efect Joule n nfurare:

22 ==kA

lRIP m (6.25)

i se verific ncadrarea temperaturii de regim a bobinei n valoarea maxim admis.

6.4.4. Calculul circuitelor cu magnei permaneni

Magneii permaneni sunt utilizai pentru producerea unei inducii magnetice ntr-unntrefier de dimensiuni date. Studiul circuitelor magnetice cu magnei permaneni, n care rolulamperspirelor magnetizante este ndeplinit de magnetul permanent, este asemntor cu acela alelectromagneilor, nlocuind solenaia cu produsul Hl.

Din ecuaiile fundamentale ale magnetostaticii (5.12), (5.13), (5.14):

0rot =H , (5.12)

0div =B (5.13)i

pMHB 0+= , (5.14)se pot trage urmtoarele concluzii:

a) ecuaia (5.12) sub form integral se scrie:

= 0dlH . (6.26)

Circulaia intensitii cmpului magnetic pe orice curb nchis fiind nul, rezult c ncondiii magnetostatice ( 0=J i 0

d

d; =

t

) se poate defini un potenial magnetostatic mV astfel

nct:

mVH grad= , (6.27)

cu

=r

r

mm lHrVrV

0

d)()( 0 . (6.28)

Prin urmare, cmpul magnetostatic este un cmp potenial. Ecuaia (6.26) este numit teoremapotenialului magnetostatic ;

b) din ecuaiile (5.13) i (5.14) se obine, aplicndu-se divergena celei de a doua ecuaii:

MH divdiv = , (6.29)din care rezult c pentru a stabili un cmp magnetostatic, n condiiile n care nu existmagnetizaie temporar stabilit de un cmp magnetic exterior, este nevoie de magnetizaiepermanent, adic de magnei permananeni ;

c) dac se scrie ecuaia (6.26) pe o curb ce coincide cu o linie

de cmp, (fig. 6.15), avnd n exteriorul magnetului 0d > lH ,rezult c n interior trebuie s avem 0d


12/16

348

Conform ecuaiei (6.29) vectorii dH i M ar trebui s fie antiparaleli iar inducia iB n

interiorul magnetului omoparalel cu dH . n general ns, n funcie de forma magnetului, liniile

de cmp ale lui iB i dH nu coincid. Raportul componentelor celor doi vectori dup direcia de

versor u :

(6.30)

=

d

i

dH

Bk ,

se numetefactor de demagnetizare.Deoarece materialele din care se confecioneaz magneii permaneni sunt costisitoare,

numai o mic poriune a circuitului va fi constituit din magnet permanent iar jugurile vor ficonfecionate din fier moale. De aceea, stabilirea condiiilor n care un material de magnetpermanent, de volum dat, este utilizat eficient n circuitul magnetic, constituie una din problemelecalcului circuitelor cu magnei permaneni.

Indicele de calitate al magneilor permaneni este valoarea maxim a produsului BH( ); di HHBB == . La valori date ale volumului ntrefierului i la valori date ale induciei n

ntrefier volumul materalului magnetului permanent va fi minim dac produsul diHB este maxim.ntr-adevr, fie circuitul magnetic din figura 6.16 n care, legea fluxului magnetic i legeacircuitului magnetic ne furnizeaz relaiile:(6.31)

iiee ABAB = ,respectiv,(6.32) 0=+ eeid lHlH ,

n careeB i iB sunt induciile magnetice medii n ntrefieri respectiv n magnet, eA i iA sunt

ariile seciunilor utile ale ntrefierului, respectiv magnetului, el i ilsunt lungimile poriunilorcurbei cuprinse n ntrefieri respectiv n magnet.

Dac se nmulesc, membru cu membru, ultimile dou ecuaii i se ine seama c eee vlA =

i iii vlA = sunt valorile volumelor ntrefierului i magnetului i notndu-se eee HB = , se obinerelaia:

(6.33)di

ee

eiHB

Hvv

2= ,

din care rezult c iv este minim atunci cnd produsul de la numitorul fraciei este maxim.Curba )(HfB = a materialului pentru magnei permaneni se poate aproxima cu relaia:

(6.34)

r

c

s

c

B

H

B

H

HHB

+

+= ,

n carecH este cmpul coercitiv, rB inducia remanent, sB inducia la saturaie (fig. 6.17).

Fig. 6.16 Fig. 6.17


13/16

349

Derivata produsului BH, obinut prin multiplicarea cu H a relaiei (6.34), se anuleazpentru:

= 11

r

s

r

s

cmB

B

B

BHH . (6.35)

Introducnd mH cu expresia (6.35) n (6.34) se obine:

= 11

r

s

smB

BBB . (6.36)

Raportarea membru cu membru a ecuaiilor (6.35) i (6.36) va conduce, n continuare, la

relaia:

c

r

m

m

H

B

H

B= , (6.37)

de unde deducem c punctul P corespunztor valorii maxime a produsului BH se afl laintersecia curbei )(HfB = cu diagonala ce trece prin origine, a dreptunghiului cu laturile rB i

cH (fig. 6.17).

Pentru a se determina il i iA cunoscndu-se caracteristicile materialului pentru magnet,

rB , cH i mBH)( , la valori date pentru el i eA , se procedeaz astfel:- din raportul ecuaiilor (6.31) i (6.32) se deduce:

ie

ei

d

i

Al

Al

H

B0=

, (6.38)

relaie valabili pentru ri BB = i cd HH = ;- n acord cu relaia (6.37) rezult:

ie

ei

m

m

Al

Al

H

B0= ; (6.39)

- din ecuaiile (6.34), (6.37) i (6.39) rezult nc:

mc

reei

BHH

BHll

)(= i

mr

c

eeiBHB

HHAA

)(0= (6.40)

6.4.5. Circuite cu scpri de flux

Calculul circuitelor magnetice se complic atunci cnd fluxul de scpri nu mai poate fineglijat.

De exemplu, pentru circuitul magnetic n form de Udin figura (6.18) fluxul util este acelacare de nchide prin poriunile considerate utile ale circuitului i care str bate ntrefierul util.Acele linii de cmp care se nchid total sau parial prin aer constituie,dup cum s-a mai precizat, fluxul de dispersie sau de scpri.

Se cuvine ns, s se deosebeasc dou aspecte n ceea ceprivete fluxul de dispersie: o component a acestuia (numitflux realde dispersie), corespunde liniilor de cmp care, dup un parcurs n aer,ptrunznd n ntrefierul util, particip la lucrul mecanic efectuat dearmtura electromagnetului; o alta (numitflux marginal), corespunde

liniilor de cmp ce nu ajung n ntrefierul util i care poate fi ntr-adevr neglijat.Se ajunge astfel la necesitatea determinrii precise a fluxului n

diferitele poriuni ale circuitului iar pentru aceasta se utilizeazmetodele de analiz numeric a cmpului magnetic cvasistaionar Fig. 6.18


14/16

350

prezentate n subcapitolul 5.6.1.

6.5. Aplicaii

n continuare sunt prezentate, ca aplicaii, dou metode ns aproximative utilizate npractic pentru problema din figura 6.18 considerat suficient de sugestiv pentru nelegereamodului n care pot fi abordate, n mod simplificat, asemenea probleme.

6.5.1. Circuit echivalent cu reluctane concentrate

Se mparte circuitul n poriuni presupuse de reluctan constant i strbtute de fluxconstant, circuitul echivalent celui din figura 6.18 fiind acela din figura 6.19 care con inereluctane concentrate. Fluxul principal se nchide prin ntrefierul util iar fluxurile de scprise nchid ntre coloane.

Cu notaiile din figura 6.19 i presupunnd fluxul n armtur = a , cu ajutorulteoremelor lui Kirchhoff pentru circuite magnetice se stabilesc relaiile:

11 s+= ;

1

1

2

m

mma

sr

RR

+= ;

212 s+= ;

2

11112 2

m

msm

sr

rR += ;

223 sc +== ;

3

22223

2

m

msm

sr

rR += ;

)2( += mmam RRU ;

111 2 mm RU = ;

;2 222 mm RU =

mccmc RU = ;

=+++== miimcmmm RUUUUIw 21 ,

n care: Iw este solenaia circuitului magnetic, i fluxul poriunii i a circuitului magnetic i

miR reluctana poriunii i .Reluctanele diferitelor poriuni ale miezului se calculeaz cu relaia:

i

i

miS

lR

= ,

n care il este lungimea poriunii de circuit, iS aria seciunii iar permeabilitatea materialului presupus constant deoarece, deregul, electromagneii de acest tip sunt dimensionai pentru afunciona n poriunea liniar a caracteristicii de magnetizare.

Calculul reluctanelor cilor fluxului prin aer ( ), mim rR

utilizeaz aceeai relaie ca mai sus, n care 0= iar aria seciuniieste abS= (fig. 6.20).

Prin aceast metod se rezolv direct problema n care se dfluxul n ntrefieri se cere solenaia necesar. Problema invers se va

Fig. 6.19

Fig. 6.20


15/16

351

rezolva ns numai prin aproximri succesive.

6.5.2. Circuit echivalent cu reluctane distribuite uniform

Se consider circuitul din figura 6.21.Pentru acelai electromagnet n form de U, considerndu-se reluctana circuitului

magnetic repartizat uniform, se alege poriunea cuprins ntredou seciuni aflate la distanele x i xx d+ fa de jug.Pentru aceast poriune de circuit se scriu relaiile:

xU um dd = i

xrxl

U mm ddd

= ,

n care: este fluxul n miez naintea seciunii x , d fluxul de scpri ntre cele dou miezuri pe poriunea xd , mU

tensiunea magnetic, mr reluctana pe unitatea de lungime

a miezului i u permeana de scpri pe unitatea delungime a miezului.

mprindu-se cu xd i derivndu-se, ecuaiile de mai sus devin:

=

=

xr

x

Ux

U

x

m

m

m

u

d

d

d

dd

d

d

d

2

2

2

2

; (6.41)

Evident, s-au presupus u i mr constante.Sistemul (6.41) are soluiile:

+=

++=

xrBxrBU

rxrAxrA

umumm

m

umum

2sh2ch

2

12sh2ch

21

21, (6.42)

unde 2121 ,,, BBAA sunt constante de integrare.Particularizarea soluiilor (6.42) n funcie de dispunerea solenaiei conduce la rezultatele ce

urmeaz.i)Electromagnet U cu bobina pe jug (fig. 6.18) :

]

ch11

1[

ch1

10

lshlsh

ll

IwU

u

u

a

j

m

+

+

+

=

,

n care:

+= mmjj

RR1

, iar:

==S

r ummu

Dac j IwUm 0 :

)](

)(ch11

ch[

ch0 xlsh

xlshl

x

l

U u

ua

m

x

+

+

=

;

Fig. 6.21


16/16

352

lshl

U

ua

m

+

+

=

ch11

0 ,

n care:

0mU este tensiunea magnetic ntre coloane pentru 0=x ;

permeana ntrefierului;

a permeana armturii;

u permeana fluxului de scpri, socotit pe o seciune avnd latura n lungul coloanelor

egal cu unitatea;j permeana jugului;

mmr reluctana miezului pe unitatea de lungime;

mjR reluctana jugului;

mR reluctana ntrefierului la mbinarea coloanelor cu jugul;

S aria seciunii miezului;

x fluxul ntr-o seciune a miezului la distana x de jug;

fluxul n ntrefier.Dac:

0mm

r , 01

a

i 01

j

,

atunci:])([ ux xlIw += .

ii)Electromagnet n U cu bobina repartizatpe cele doumiezuri (Fig. 6.21).Fluxul la distana x de jug are expresia:

+++

++++=

ajaj

ajxajjx

mm

xZCZZZAB

AZBZCZCZAZA

lr

Iw

)(

)]1([])1([1

,

n care: lA = ch , xAx = ch , lZB m = sh , ummr = ,u

mm

m

rZ

= ,

m

mmS

r

1 ,mjj RZ +

=

1,

j

j

mjS

l

R =,

maa RZ +=

1, = a

a

maS

lR

Dac 0jZ , 0mmr i 0maR , atunci:

+= 2

22 xlIw ux

, = Iw i

=l

xIw usx 2

2

sx este fluxul de dispersie la distana x de jug. Indicii ,,, jam sunt atribuii miezului, armturii,jugului respectiv ntrefierului. Celelalte simboluri au semnificaia de la punctul i).

electrotehnica - capitolul 6

Documents