electrotehnica - camp capitolul 3

7/24/2019 Electrotehnica - Camp Capitolul 3

1/24

Capitolul 3 Cmp magnetic

3.

CMP MAGNETIC.

n electrostatic i electrocinetic s-au studiat aspectele cmpului electric.Acum se vor studia aspectele cmpului magnetic. Cele dou cmpuri electric imagnetic se condiioneaz direct i reciproc formnd cmpul electromagnetic .

Experimental se constat c n lipsa unui tratament termomecanic i la stareelectrostatic nul cristalele naturale de magnetit ( )!"#$e au proprietatea c ntre

ele i asupra corpurilor din fier co%alt nic&el sau alia'e ale acestora se exercit forei cupluri. n aceste condiii se spune c sistemul format de cristalele de magnetiteste nstare de magnetizarei c n regiunea din spaiu suscepti%il de a exercita nea asupra corpurilor fore i cupluri de aceast natur exist cmp magnetic.

Cmpul magnetic mai poate fi sta%ilit i de conductoare parcurse de curent deconducie, de corpurile ncrcate cu sarcini electrice aflate n micare i de fluxul

electric variabil n timp.Cmpul magnetic produs de su%stanele magnetizate se numete cmp

magnetostatic (n acest regim mrimile de stare nu variaz n timp i nu au loc

transformri de energie).Cmpul magnetic produs de curentul continuu ce trece prin conductoare esteun cmp magnetic staionar ( mrimile de stare nu variaz n timp dar au loctransformri de energie) *ac curentul e varia%il n timp (mrimile de stare variaz ntimp) cmpului magnetic i se asociaz insepara%il cmpul electric i mpreun secondiioneaz reciproc alctuind cmpul electromagnetic. Cmpul magnetic estecmpul electromagnetic considerat din punctul de vedere al proprietilor luimagnetice $enomenul test pentru detectarea speciei de mrimi care caracterizeazcmpul magnetic n vid const din exercitarea de fore i cupluri asupra corpurilor

ncrcate cu sarcini electrice n micare , asupra corpurilor magnetizate, sau asupraconductoarelor parcurse de curent electric de conducie situate n cmp magnetic.+ractic acestea definesc sursele cmpului magnetic

Explorarea cmpului magnetic n vid se poate face fie cu a'utorul unui corp depro% ncrcat cu sarcin electric i aflat n micare fie cu a'utorul unui corp depro% constituit dintr-o %ucl de curent.

,e consider un corp de pro% ncrcat cu sarcin electric utilizat pentruexplorarea cmpului electric si un magnet permanent ce radiaz in spaiulncon'urtor cmp magnetic.. eninut imo%il n cmp electric asupra corpului de

pro% se exercit numai fora electric. +unndu-l n micare se constat c asupralui se exercit o for suplimentar care depinde de sarcina electric care-l ncarc ide viteza cu care se deplaseaz n regiunea din spaiu exist cmp magnetic. *eci

/


2/24


acest corp de pro% pus n micare este adecvat explorrii cmpului magnetic. n pluscorpul de pro% tre%uie s nu fie magnetizat.

0om explora cmpul magnetic invaria%il n timp produs de un sistem decorpuri magnetizate imo%ile sau de un sistem de conductoare parcurse de curentcontinuu cu a'utorul unui mic corp de pro% ncrcat cu sarcina 1 (dar nemagnetizat)

care se deplaseaz cu viteza v.,e msoar fora magnetic care acioneaz asupra corpului de prob desarcin q i vitez v suplimentar fa de fora electric. ,e constat c foramagnetic depinde de sarcina corpului de prob q, de viteza lui v i de poziia n

cmp reperat de raza vectoare r .

( )rv1$$m1m1

= (".2)

Experimental se constat c m1$ acioneaz perpendicular pe v i este egalcu produsul vectorial dintre viteza v i un vector axial depinznd numai de razavectoare r notat cu ( )r3v 4

( )r3v1$vm1

= denumit fora 5orentz (".6)rimea vectorial de stare a cmpului magnetic n vid ( )r3v se numete

inducie magnetic n vid. *eoarece relaia s-a determinat experimental inducia

magnetic n vid este o mrime primitiv.( )

v1

max$3

m1

v = (".")

7nitatea de msur a lui v3 corespunde vectorului cmp n care asupracorpului de pro% ncrcat cu sarcina electric de 2C avnd viteza de 2m8s n direcian care fora este maxim acioneaz o for magnetic egal cu 29. n sistemul de

uniti ,.:. unitatea inducieiv3 se numete tesla ;%

=

3.1 SURSELE CMPULUI MAGNETIC

3.1.1 Sarcini in micare . Fora Lorenticarea purttorilor de sarcin electric fa

de reeaua cristalin constituie curent electric de

conducie. $ora magnetic elementar careacioneaz n cmp magnetic de inducie v3 asuprasarcinii elementare d1 aflat n micare cu viteza v secalculeaz cu formula lui 5orentz4 vm1 3vd1$d = .

*eci micarea purttorilor de sarcin genereaz cmp magnetic. :nduciamagnetic produs de o sarcin 1 aflat in micare cu viteza v tre%uie s conin inexpresie sursa cmpului 1v modul de transmitere al interaciunii la distan i

direcia de manifestare a cmpului relaia de calcul fiindr

rx

r

v1

!3

6

@

= .

3.1.! Con"#ctoare $arc#r%e "e c#reni e&ectrici . Fora La$&ace+resupunem un conductor(fig.".2 a ) ncrcat cu sarcin electric 1 sarcinadistri%uit cu densitatea de volum d0d1 v= ce se deplaseaz ntr-un cmp magnetic


3/24


de inducie v3 . Asupra unui element infinitezimal din conductorul aflat n micare cuviteza v fora elementar 5orentz este vvm1 3d0v$d = .Binnd cont de definiia

curentului electricdt

d1i= ? i a vitezei

dt

ldv= rezult4

vvvmi 3lid3

dt

ldidt3vd1$d === (".!)

Curentul electric generat prin micarea n cmp magnetic a unui conductorncrcat cu sarcin se numete curent de convecie. Acest curent se deose%ete de celde conducie prin a%sena efectului oule 5entz. ,i-n acest caz inducia magnetic cecaracterizeaz cmpul magnetic tre%uie s conin in expresie sursa cmpului modulde transmitere al interaciunii la distan i direcia de manifestare al cmpului

!igura 3."

, considerm un conductor filiform parcurs de curent de conducie i (fig.".2

%) situat ntr-un cmp magnetic de inducie v3 . *in punct de vedere al efectelor

mecanice forei 5orentzm1$ i corespunde fora magnetic4 (care acioneaz asupraconductorului filiform D ). Asupra unei poriuni elementare de conductor parcurs de

curentul i i situat perpendicular pe liniile magnetic se exercit o for 4?3sid$dvmi

= ("./)denumit for 5aplace sau for electromagnetic (interaciunea dintre curentul deconducie i cmpul magnetic). sid element de curent.

n principiu introducerea mrimii primitive v3 se poate face cu a'utoruloricruia dintre curenii electrici de convecie Ci sau de conducie i.

*in punct de vedere experimental se prefer curentul de conducie deoarece

este mai simplu de msurat fora magnetic asupra conductorului fix parcurs decurent electric de conducie dect fora 5orentz asupra firului n micare ncrcat cusarcin electric. :nducia magnetic fiind determinat de fora de natur magneticce acioneaz asupra purttorilor de sarcin aflai n micare se supune principiulsuperpoziiei adic inducia magnetic v3 sta%ilit ntr-un punct din vid de (n)cureni electrici Fi este egal cu suma induciilor Fv3 G26Hn pe care le-ar

produce n acel punct fiecare dintre curenii3.1.3 Cor$#ri ma'netiaten afar de conductoarele parcurse de curent de conducie si

corpurile ncrcate cu sarcini electrice n micare se mai pot exercita)aciuni ponderomotoare si asupra unor corpuri situate n cmp magneticdintre care cele mai importante materiale sunt cele feromagnetice. ateriale

I


4/24


din aceast clas cum este magnetita c&iar i fr un tratament preala%ilproduc cmp magnetic la fel ca sarcinile electrice n micare sau curentulelectric de conducie. Alte materiale din aceeai clas cum este fierul oelulnic&elul co%altul i alia'e ale acestora aduse n preala%il cmp magneticexterior dup suprimarea acestuia produc cmp magnetic la fel ca magnetita.

n aceast stare ele se numesc magnei permaneni. ,tarea corpurilor care ncmp magnetic sunt acionate de forte i cupluri suplimentare fa de celecondiionate de starea lor electrocinetic si de starea de ncrcare cu sarcinelectric n micare se numetestare de magnetizare respectiv depolarizaremagnetic. Corpurile aflate n starea de magnetizare se numescmagnetizate .n principiu toate corpurile -numai cele feromagnetice - se potmagnetiza ns magnetizarea este extrem de redus i din acest motiv sunt

practic nemagnetice

a. Moment ma'netic. ,e consider un cmp magnetic omogen de inducie

(si se aduc ntr-un punct oarecare mici corpuri magnetizate de exemplu%uci mici de fier. #rict de mici ar fi aceste corpuri ele nu pot ficonsiderate puncte materiale deoarece sunt acionate de cupluri. 5sateli%er s roteasc n 'urul axei lor de rotaie se constat c pentru o anumitaorientare a corpurilor n raport cu vectorul inducie magnetic cuplul seanuleaz? dreapta trasat pe corpul aflat n ec&ili%ru sta%il orientat nsensul vectorului ( se numete ax de magnetizare. #n orice poziie s-arafla corpul rotindu-2 n 'urul axei sale de magnetizare de versor #mcuplulrmne nesc&im%at axa de rotaie (axa cuplul) formeaz cu versorul #m i

vectorul (. un triedru drept n poziia de cuplu maxim. 9otnd cu mfunciascalar care depinde numai de starea de magnetizare a corpului - printr-oanaliz similar cu a strii polarizare electric a unui mic corp dielectric-cuplul are o expresie analoag expresiei cuplului electric $xmC= (".)rimea vectorial m )m#m care caracterizeaz starea de magnetizare a miculuicorp magnetizat se numete moment magnetic. *eoarece momentul magnetic m - lafel ca cel electric - s-a introdus exclusiv prin interpretarea datelor experimentaleeste o mrime primitiv. *in punctul de vedere al unitii de msur momentulmagnetic este o mrime secundar. *ac se compar din punct de vederedimensional formulele rezult c dimensiunea momentului magnetic este n sistemul,: -amper metru ptrat (unitatea de moment magnetic Am6).

*. Ma'netiaie +rin fragmentarea macroscopic a unui corp magnetizat finit(fig.".6) fiecare fragment de volum 0 are un moment magnetic m. n acord cu

principiul localizrii aciunilor fizice starea de magnetizare a unui corp finit secaracterizeaz local prin mrimea vectorial egal cu densitatea de volum amomentului magnetic, numit magnetizaie m M 0 .omentul magneticrezultant m al corpului este egal cu integrala magnetizaiei Mefectuat pe volumul0 = % d%m (".I)

liniile vectorului fiind situate n interiorul corpurilor.

J

V

M

m

V

m


5/24


!igura 3. folie de grosime negli'a%il fa de dimensiunile suprafeei i magnetizat se

numete foia magnetic. rimea vectorial egal cu densitatea de suprafa amomentului magnetic se numete magnetizaie de suprafa 'superficial, respectiv

puterea foiei magnetice) (m

s

=

lim

(".J)

omentul magnetic rezultant m al corpului este egal cu integralamagnetizaiei superficiale M% efectuat pe suprafaa A. d(m ( s= .agnetizaiile M i M% sunt mrimi derivate n raport cu dimensiunea curentuluielectric n sistemul de uniti ,: unitatea de magnetizaie este amper pe)metru (A8m)iar a magnetizaiei superficiale este amperul (A).

agnetizare temporar i permanent. +entru ma'oritatea corpurilor experienapune n eviden o dependen mai mare sau mai mic a strii lor de magnetizare decmpul magnetic n care se gsesc situai. Corpurile al cror moment magnetic seanuleaz dup suprimarea cmpului magnetic n care au fost aduse se numesc cu

magnetizaie temporar, iar mrimile care le caracterizeaz sunt momentulmagnetic)temporar mt magnetizaia temporar Mt si magnetizaia superficial)temporar M%t Corpurile care prezint o magnetizare c&iar i n lipsa unui cmpmagnetic produs din exteriorul lor sau care aduse ntr-un cmp magnetic pstreaz omagnetizare dup suprimarea cmpului excitator se numesc cu magnetizaie

permanent. rimile care caracterizeaz starea lor de magnetizare sunt4 momentulmagnetic permanent mp. magnetizaia permanent Mp i magnetizaia superficial

permanent Map..n general momentul magnetic m al unui mic corp magnetizat esteegal cu suma dintre o component temporar mt i o componenta permanent m$m)mt+(,-m$ ,epararea celor dou componente e unic numai dac termenul m$eindependent de (K iar termenul mt+ (, se anuleaz odat cu (. Lelaiei momentuluimagnetic total i corespunde relaii similare pentru magnetizaiile M i M%.

pt * += )( / fiind intensitatea cmpului magnetic n corpuri. +entru unmagnet permanent situat n cmp magnetic exterior sla% componenta temporar amomentului lui magnetic este negli'a%il mti el e caracterizat numai de componentapermanent m$. 7n magnet permanent avnd form cilindric cu axa de magnetizarelongitudinal utilizat ca ac magnetic, introdus n cmp magnetic indic direcialocal si sensul induciei magnetice ( n cmpul magnetic terestru acul magnetic seorienteaz cu extremitile ctre polii magnetici geografici4 extremitatea ctre polul

nord geografic se numete polul nord al acului. magnetic respectiv cealaltextremitate polul sud.n acest sens poriunile de pe suprafaa corpurilor

M


6/24


magnetizate n care liniile magnetizaiei M se termin respectiv ncep sunt depolaritate nord respectiv sud.

!ora exercitat asupra unui mic corp magnetizat. $ora magnetic Fm asupraunui mic corp magnetizat de moment magnetic msituat n cmp magnetic staionar(fig".") i local neomogen (neuniform) se sta%ilete la fel ca fora electric $ i se

o%ine =

vm $mgrad!

(".M)*eoarece produsul scalar m( crete cu modulul vectorului fora

magnetic Fm tinde s deplasezecorpul magnetizat spre regiunileunde cmpul este mai intens. ncmp magnetic uniform fora Fmenul i asupra corpului se exercitnumai cuplul Cm *ealtfel aceastmpre'urare a permis introducerea

speciei de mrimi primitive-moment magnetic - exclusiv princuplul Cm care acioneaz corpulsituat n cmp magnetic omogen.

Aciunile ponderomotoare alecmpului magnetic asupra unuimic corp magnetizat imo%il demoment magnetic m i n stareelectrocinetic nul consist din 4

N fora magnetic Fmnenul numai n cmp magnetic neomogen ?Nmomentul rezultant Cmcare conine o component datorat forei Fmi o

component de forma $xm$gradmxr$xm!xrC +=+= )( (".2@)n care reste raza vectoare a punctului n care se gsete corpul magnetizat n raportcu originea referenialului. Comparnd expresiile cuplului magnetic cu celecorespunztoare din cazul cmpului electric se constata c n cmp magnetic nuintervin termeni similari lui qE i rx1E. *eoarece n natur nu se constata foremagnetice paralele i proporionale cu inducia magnetic (t de forma q( rezultc nu exist sarcin magnetic 'adevrat+ qm, similar sarcinii electrice (adevrate)

1.

3.! 0ETERMINAREA 0ISTRI(UIEI CMPULUI MAGNETIC.

3.!.1 Teoria &a$acean2 a cm$#i ma'netic %taionara, Cm$ ma'netic $ro"#% "e con"#ctoare $arc#r%e "e c#rent e&ectric.

xperienele lui (mp-re

I@

r

2:

6:

!1F

1!4

Cmpul magnetic invaria%il n timp produsde corpuri magnetizate imo%ile i nensoit detransformri ale energiei numit cmpmagnetostatic a fost studiat de Coulom% n modsimilar cu cel electrostatic. surnd forelemagnetostatice ntre magneii permaneniCoulom% a sta%ilit formule asemntoare cuformulele forelor electrostaticeCmpul magneticdeterminat de conductoarele parcurse de curentcontinuu numit cmp magnetic staionar a foststudiat experimental de 3iot i ,avart. Analizateoretic a acestor experiene a fost efectuat n

principal de 5aplace. $orele care se exercitasupra conductoarelor filiforme parcurse decureni electrici numite fore electrodinamice aufost experimentate de AndrO-arie AmpPre.


7/24


$

!igura 3.

$orele 1!F respectiv !1F care se exercit asupra unei poriuni de lungime l afirelor au urmtoarele proprieti4 satisfac principiul aciunii i reciunii. $ora !1F pecare o exercit primul fir asupra celui de-al doilea este egal i de semn opus cu fora

1!F pe care o exercit cel de-al doilea fir asupra primului4 1!F - !1F .

dac firele sunt parcurse de cureni n acelai sensforele sunt de atracie iar dac sunt de semne opuse forele sunt de respingere. n valoare a%solut forele sunt proporionale cu

produsul curenilor 2: i 6: cu lungimea l i invers proporionale cu distana r 4

r

l::6

!$$ 62@

6226

==

unde @ este permea%ilitatea vidului i se refer la proprietile magnetice alevidului

Expresia vectorial a forelor este 2662@

26 Q

r6R

l::Q$

= ? 62

26@

62 Q

r6R

l::Q$

= . (".22)

Binnd seama de definiia intensitatea curentului care prin dou conductoarefiliforme infinit lungi situate paralel n vid la distana de 2m produce o for egal cu

I2@6 9 pe fiecare metru de lungime a conductoarelor) valoarea lui @ se o%inelund4 r 2m l 2m 2: 6: 2A 26$ 62$ I2@6 9 I2@6 9

I2


8/24


m2m2

A2A2

6@

rezultm

S2@! I

@

= .

(".26)Com%innd expresia forei 5aplace ("./) cu relaia o%inut din experienele

Ampere (".22) putem determina relaia induciei magnetice ntr-un punct + situat la

distana rfa de conductorul filiform4 .

e

r

isid!d o

=

6. o%innd

e

r

i$ o

=

6

22 (".2")

!igura 3./

!ormula lui $iot 0 1avart 0 2aplace


9/24


!igura 3.

n concluzie inducia magnetic n punctele ce aparin %isectoarei exterioare a

ung&iului 6este eo

0en)cos2(

r6

:3

= (".2/)

:nducia magnetic n punctele ce aparin %isectoarei exterioare poate ficonsiderat ca produs si de dou conductoare de desc&ide dispuse conform figurii

".I fiecare conductor producnd induciae

o

0e n)cos2(r!

:

3

=

!igura3.4

Considernd o cretere ung&iular d inducia produs de un conductorung&iular de desc&idere ntr-un punct ce aparine %isectoarei exterioare este

e

o

0e n))dcos(2(r!

:)d(3

+

=+ 7tilizarea dezvoltrii


10/24


produs de creterea elementar a lungimii conductorului parcurs de curent relaie

de formaL

Lx

L

s:d

!L

Lsd

!R

:Q3d

6

o

"

@

v

=

= (".2I)

!igura 3.5

Cmpul magnetic produs de conductorul filiform (fig.".M) parcurs de curentuli ntr-un punct oarecare din spaiul ncon'urtor se determin prin integrarea relatiei3iot-,avart-5aplace fiind egal cu suma contri%uiilor in punctul de calcul acmpurilor magnetice produse de poriunile elementare id%5

= D "@

v rrsd

!R

:Q3 . (".2J)

!igura3.6

*aca se consider un conductor masiv parcurs de curentul : care serepartizeaz cu densitatea de curent ( )rC inducia magnetic v3d sta%ilit de tu%ulelementar de curent dAnd: = ntr-un punct ( )r+ din vid se calculeaz cu relaia4

( )"

@

"

@

vr

rsd

!R

dAnCQ

r

rsd

!R

d:Q3d

=

= .+entru tu%ul de curent n care AdUUsdUUC vectorii

C i sd se pot su%stitui iar Adsdd0 = ? prin urmare4

( ) d0r

r

!R

Qr3

0 "

e@v

= (".2M)

+entru o pnz de curent de densitate e pe o suprafa , rezult n mod

similar4 ( ) ( ) dAr

rrR!

Qr3 , "e@

v = (".6@)

I!


11/24


Cmpul magnetic este caracterizat de mrimea inducie magnetica notat (na crei expresie de calcul intervinesursa cmpului modul de transmitere la distana interaciunii (28r6) proprietile mediului in care se transmite interaciunea isensul cmpului fat de poziia sursei .

Cu a'utorul formulei lui 3iot V ,avart V 5aplace Wrassmann a sta%ilit expresia

forelor electrodinamice n regim staionar ntre cureni filiformi oarecaregeneraliznd rezultatele o%inute de AmpPre. Considerm dou fire conductoare62 parcurse de curenii 62 :: . :nducia magnetic n punctul 6+ creat de 2: 4

=2D "

26

2622@

6r

rld

!R

:Q3

!igura 3."7

$ora care se exercit asupra conductorului 6 este

( )

==2 66 D D "

26

262662@

66D626r

rldld

!R

::Q3ld:$ .

$ora electrodinamic este proporional cu produsul curenilor i depinde depoziia relativ a conductoarelor . ,pre exemplificare in figura ".22 sunt redate foreleelectrodinamice exercitate intre doua conductoare cu seciune finita dispuse pe cantrespectiv pe lat respectiv valorile a%solute ale inductiei magnetice

%. $orta electrodinamica

I/

2:

6:

2

61!r2+

6+!&"

2&"


12/24


a Amplitudinea induciei magnetice

!igura3.""

*, Ca&c#& "i%tri*#iei cm$#i ma'netic $ro"#% "e cor$#ri&ema'netiate.

*.1 Mo"e& am$erian a& cor$#ri&or ma'netiaten regim staionar unui corp magnetizat i se asociaz o repartiie fictiv de

curent electric ec&ivalent att din punctul de vedere al aciunilor ponderomotoareexercitate de un cmp magnetic din exterior cit si din punctul de vedere al produceriide cmp magnetic.

$ucla elementar de curent. (ciunile ponderomotoare asupra buclei decurent,o %ectorul arie al unei bucle. 7n conductor filiform parcurs de curent im

formnd o cur% nc&is de arie plan foarte mic (fig. ".26 a) se numete %uclelementar de curent sau spir de pro%. +entru orice suprafa desc&is ,care sespri'in pe cur%a se definete un vector arie A care depinde numai de formacur%ei fiind un invariant al acesteia. +entru calculul vectorului arie Ar se considerun punct ar%itrar # i fie r raza vectoare a elementului dr al cur%ei (fig. ".26 %).

0ectorul arie elementar dAal triung&iului format de elementul dri razele vectoareale extremitilor acestuia orientat n sensul asociat dup regula %urg&iului drept(sensului cur%ei ) are expresia4

rdr6

2Ad

= (".62)

:ntegrnd se o%ine vectorul arie =

rdr6

2A

(".66)

Expresia (".66) este invariant n raport cu punctul #? fie r@raza vectoare n raport cupunctul # a unui punct oarecare #X i rX raza vectoare a elementului dr drX. 0ectorularie XA

n raport cu punctul #X calculat cu formula (".66) are expresia4

+ = += =

rdr6

2drr

6

2dr)rr(

6

2rdr

6

2A @@

XXX

I

idr

r6r

ro

7

76

"A


13/24


!igura.3."&

*eoarece @rd = (".6") rezultXAA = prin urmare vectorul arie este independent

de alegerea punctului #.o (ciunile ponderomotoare n cmp magnetic uniform. $ora magnetic

$m%asupra %uclei de curent(fig.".2") se calculeaz cu formula ("./) i se o%ine4( )

v

X

mv

X

mm% 3dri3dri$ = = (".6!)

Binnd seama de relaia (".6") rezult c n cmp magnetic asupra unei %ucle decurent de form oarecare fora magnetic e nul4 $m&@ (".6/)n raport cu un punct oarecare # cuplul elementar dC% al forei elementare

v

X

m 3rid$d = are expresia4( ) ( ) ( )Xvmv

X

mv

X

mm% rdr3ir3rdi3xrdri$drCd === (".6)

i integrnd se o%ine4 ( ) ( )=

X

vm

X

vm% rdr3irdr3iC (".6I)

7ltimul termen din mem%rul al doilea al relaiei (".6I)pus su% forma

( )

=

6

vm

X

vm r6

2d3irdr3i se anuleaz fiind integrala cur%ilinie a unei difereniale

totale exacte d(r686).( r i dr sunt perpendiculari deci produsul scalar e nul)Binnd seama de formulele

= , Axd)r3(rd)r3( ( ) ( ( ) vvvvv 3rotrrrot33gradrrgrad3r3grad +++= (".6J)

n care vectorul 3veste constant expresia cuplului C%se transform astfel

( ) ( )

====

v, ,

mvmv,

mX

vm% 3Adi3Adir3gradAdirdr3iC

deoarece

=

,

AAd rezult vm% 3AiC = (".6M)

II


14/24


!igura3."3

rimea vectorial egal cu produsul intensitii curentului imprin vectorul arie AD

al unei %ucle de curent se numete moment magnetic al buclei elementare de curent,prescurtare de curent prescurtat momentul %uclei sau moment amperian m%

m% imAD ("."@)Cu aceast notaie relaia (".6M) capt forma

v%% 3mC = ("."2)o (ciuni ponderomotoare n cmp magnetic neuniform. 5ucrul mecanic

elementar d5mefectuat prin deplasarea elementar ds a %uclei de curent su% aciuneaforei magnetice Fm%("./) are expresia

( ) ===

Adsd3roti3rdsdisd$d5 vmvmm%m ("."6)

Binnd seama de relaia ( ) ( ) vvv 3divsd3gradsdsd3rot = i deoarece@3div

v= relaia ("."6) se transform astfel

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ==== ,

v%%vmv,

vmm 3mgradsdm3gradsdAdi3gradsdYAd3gradsdid5 n

care mrimea care se deriveaz este inducia magnetica . :dentificnd factorii caremultiplic scalar elementul ds n relaiile ("."6) i ("."6 a) se o%ine expresia foreimagnetice $m%care se exercit asupra %uclei de curent n cmp magnetic neuniform4

=

vm $mgrad!

("."")

*.! Ec8iva&ena "intre #n mie cor$ ma'netiat c# o *#c&2 "e c#rent.Comparnd relaiile (".) i (".I) cu relaiile ("."2) i ("."") se constat o analogientre aciunile ponderomotoare exercitate de un cmp magnetic exterior asupra unuimic corp magnetizat i asupra unei %ucle de curent. *in corespondena acestor relaiiurmeaz c n regim staionar un mic corp magnetizat de moment mi o %ucl decurent de moment m*(fig.".2!) sunt ec&ivalente dac e satisfcut condiia

bm m(im == lim ("."" a)

n acest fel ec&ivalena exist att din punctul de vedere al forelor i momentelor pecare le exercit asupra lor un cmp magnetic exterior ct i din punct de vedere alcmpului magnetic pe care 2-ar produce fiecare din ele n vid. *emonstraia primei

pri a acestei ec&ivalene este urmtoarea4 se aduc succesiv n acelai punct n care

IJ


15/24


vectorul inducie magnetic este 3v un mic corp magnetizat de moment m i apoi o%ucl elementar de curent de moment m%? forele

=

vm

$mgrad! i

=

vbmb $mgrad! sunt egale respectiv cuplurile vm $mC = i

vbmb$mC = sunt egale dac e satisfcut relaia (".""a). +artea a doua a

ec&ivalenei referitor la cmpul magnetic produs se demonstreaz la fel ca n cazulmicului corp polarizat electric i al dipolului electric

!igura.3."

Ec&ivalena dintre corpurile finite magnetizate i sisteme de %ucle de curentntruct un mic corp magnetizat poate fi nlocuit cu o %ucl de curent (fig. ".2@ a)fiecrei poriuni elementare a unui corp finit magnetizat i se poate su%stitui un sistemde %ucle de curent parcurse de cureni numii amperieni sau moleculari.7nui fragment de corp de forma unei prisme avnd %aza ZAX i nlimea Z%X cumagnetizaia Morientat normal pe ZAX (fig. ".2/) cu momentul magnetic elementarZm (".I)

( ) ( ) XXXXXX ? ((ss(vm ===i se asociaz %ucla de curent de arie ZAX i curent amperian elementar Zi m cu

momentul %ucleiZm% ZimZAX.

:dentificnd expresiile momentelor magnetice Zm i Zm* rezult relaia dintrecurentul elementar Zimrepartizat pe suprafaa lateral a prismei i magnetizaia Zim ZsX respectiv la limit

dim) Md%9. ("."!)n regim staionar orice corp magnetizat poate fi nlocuit din punctul de vedere

al cmpului magnetic produs cu o repartiie fictiv de curent amperian nct fiecreiprisme elementare de lungime dsX i se asociaz o %ucl elementar al crei curent

amperian dimeste egal cu dsX.

!igura 3."/n cazul unei foie magnetizat uniform. %uclele elementare ec&ivalenteelementelor de arie dA ale foiei avnd momentul magnetic

IM


16/24


XXX

s ?-m (((

ss == au acelai curent amperian im i momentul lor

magnetic elementar Zm%este dat de relaiaX(im

mb =

prin urmaresm i = ("."/)

o 8ensitile curentului amperian. $ie ,Do suprafa desc&is trasat ninteriorul unui corp magnetizat (fig. ".2). ,e fragmenteaz corpul in prismeelementare ale cror muc&ii ZsX sunt tangente cur%ei D. n acest fel fiecrei prisme icorespunde curentul amperian elementar dimdat de relaia ("."!). :ntegrnd se o%ineintensitatea curentului amperian prin suprafaa ,Degal cu circulaia magnetizaiei n lungul cur%ei D

= Xsdi

m1 (".")


17/24


Lelaiile de calcul pentru inductia magnetic aplicate curentului de conducie suntvala%ile i pentru corpul magnetizat dup nlocuirea acestuia cu modelul amperian

Aceste relaii sunt 4

( ) ( )

=

=

W"

m@

0"

m@v

r

rsdi

!R

Qd0

r

rr

!R

Qr3

)nxr

r(sdi

!R

Qn

r

rsdi

!R

Qn3

"m@

W "

m@v

=

=

Adir

r)n(

!R

QA)dnx

r

r(roti

!R

Qn3 m"

@

"m@

==

(dir

rn(dnx

r

rrotin$ mm

== "@"@ )(!)(!

cu mimdA relaia devine

)

r

rm(

!

3"

@

= !igura 3."4

3.!.! Teorema ;#n"amenta&2 a cm$#i ma'neticA Inte'ra&a "e &inie a cm$#i ma'neticA1 Inten%itatea cm$#i ma'netic


18/24


>

m ??? =2 ? unde4

22 !

=

=?

m

?=

!

=?

m

la limit4 @22 == m>> ???>>

J6


19/24


#& ma'netic


20/24


,e numete flux magnetic mrimea scalar egal cu integrala de suprafa aprodusului scalar dintre inducia magnetic i elementul de suprafa cu sim%olul

1 dac suprafaa este desc&is ,i dac suprafaa este nc&is 4

=

,

v, dAn( ? . (".!J)

!igura 3.&7

,ensul de referin corespunde sensului versorului n dac suprafaa estenc&is sau sensului versorului elementului de suprafa "A asociat sensului cur%eidac suprafaa este desc&is ,.

,e consider un circuit filiform parcurs de : i care produce un cmp magnetic

a crui inducie ntr-un punct + este4 n

=D "

@

vr

rld

!R

:Q3 Aplicnd acestei relaii

formula integral a divergenei rezult4

=

=

D D "

@

"

@

vr

rlddiv

R!

:Q

r

rlddiv

R!

:Q3div

.

*eoarece """ rrotrot

rrdiv

r"&"&

rr"& =

i rot"&)@ @22

r" =

=

=

rrotgrad

rgradrotrot

r rezult4

div (v @. (".!M)Aceast relaie constituie forma local a teoremei fluxului magnetic n vid.

*ac se calculeaz divergena induciei magnetice sta%ilit de curentul electricrepartizat n conductoare masive sau su% forma pnzei de curent se o%ine acelairezultat.

Aplicnd teorema divergenei (Wauss) fluxului magnetic printr-o suprafanc&is oarecare i innd seama de faptul c div(v @ se o%ine4

.@===

% vv d%divd( (n( ("./@)

Aceast relaie reprezint forma integral a teoremei fluxului magnetic n vid ise enun astfel4 fluxul magnetic prin orice suprafa nc&is trasat n vid este nul.

Observaii

*in anularea divergenei induciei magnetice rezult c nu exist sarcinimagnetice similare celor electrice?

J!


21/24


9u exist puncte ntr-o regiune cu cmp magnetic n care converg saudiverg liniile de cmp. Lezult c liniile de cmp magnetic sunt linii nc&ise. :nduciamagnetic n vid este un cmp de vectori solenoidal.

n ,.:. unitatea de flux magnetic este numit >e%er (>%) i este egal cu fluxulmagnetic printr-o suprafa plan de un metru ptrat transversal pe inducia

magnetic omogen de un otenialul magnetic vector

*eoarece @Adivrot v = i fiindc @3div v = rezult c inducia magneticeste rotorul unui vector vA . Astfel vv Arot3 = ("./2)unde vA numit potenial magnetic vector n vid.

n cazul unui conductor filiform4 ( )

=D "

@

vr

rld

!R

:Qr3

dar4r

ldrotld

r

2gradld

r

r

r

rld""

===

i deci4 ( )

== D

@

D "

@

vr

ld

!R

:Qrot

r

rld

!R

:Qr3

analog4 rezult - potenialul magnetic vector n vid al unui conductor filiform4

= D@

vr

ld

!R

:QA . ("./6)

+entru o nelegere mai profund a noiunilor introduse si-n special a noiuniide potenial vector pentru un conductor parcurs de curentul continuu : conductordispus dup axa #z i de raz r@. s-a determinat prin simulare numeric in +*Ease

potenialul magnetic vector ce satisface ecuaia "./2 potenial ce are direcia axei#z si distri%uia in planul x#T conform figurii c inducia magnetic calculat curelaia "./2 ce are orientarea conform figurii % i valoarea modulului inducieimagnetice in raport cu distana msurat din axa conductorului conform figurii ".62 a

a. odulul inductiei magnetice

J/


22/24


%. 0ectorul inductie c +otentialul magnetic

!igura 3.&"

C Cm$#& ma'netic


23/24


amperian cu densitatea :mcalcula%il cu relaia:mrotM 5 direcia acesteia fiind datde relaia :m)nvxM

Circulaia induciei magnetice pe conturul D este)i9:(ld3 m,o

+= im, unde : Vcurentul %o%inei iar =

X

m, ld-i curentul

amperian. :n forma local aceeai relaie conduce la )-rot(3rot o += relaieec&ivalent cu )-3(rot o = . ntruct intensitatea cmpului magnetic esteindependent de proprietile mediului rezult c si circulaia acesteia pe orice cur%nc&is este independent de proprietile mediului. +entru ca tensiuneamagnetomotoare in lungul oricrei cur%e tre%uie s fie aceeai(curentul :) seintroduce mrimea intensitate a cmpului magnetic n corpuri prin relaia

-3

S

=o


24/24


intensitatea cmpului magnetic este distri%uit numai in vid si-n mediulconductor surs de cmp magnetic

magnetizaia numai in mediul feromagnetic din interiorul %o%inei inducia magnetic in tot spaiu

!igura.3.&&

JJ

electrotehnica - camp capitolul 3

Documents