electrotehnica - capitolul 5

8/14/2019 Electrotehnica - CAPITOLUL 5.

1/48

289

5. CMPUL MAGNETIC

Dup cum s-a artat n primul capitol, cmpul magnetic este produs, de corpurile cu

magnetizaie permanent i de curenii de conducie i hertzieni (de convecie, de deplasare iRoentgen). n fapt, este vorba de cmpul electromagnetic privit prin prisma proprietilor salenumite magneticei caracterizate prin mrimi de stare magnetic.

5.1. Regimul cmpului magnetic

n studiul sistemic al cmpului electromagnetic, mrimile de stare magnetic sunt cuprinsen urmtoarele modele fundamentale (v. subcap. 1.3):

- legea circuitului magnetic:

+= SS

ADt

AJlH d.d

dd.d. ; (5.1)

- legea fluxului magnetic:

= 0d. AB ; (5.2)

- legea legturii dintre inducie, intensitate i magnetizaie n cmp magnetic:

)(0 MHB += . (5.3)Sub forma local, primele dou se scriu:

t

DJH

+=rot (5.4)

i

0div =B . (5.5)

5.1.1. Regimul magnetic cvasistaionar

Regimul cmpului magnetic n care contribuia curenilor hertzieni este neglijabil n raportcu aceea a curenilor de conducie i aceea a corpurilor cu magnetizaie permanent se numeteregim cvasistaionar al cmpului magnetic. Modelul su, exprimat prin forme locale aleecuaiilor fundamentale, este:

JH=rot ; (5.6)

0div =B ; (5.7)

pMHB 0+= . (5.8)

Deoarece divergena rotorului unui cmp de vectori este nul, 0rotdiv =A , rezult c

pentru cmpul induciei magnetice, care este rotaional (pentru c 0rotrot = BJH ) i de

divergen nul ( 0div =B ), se poate defini un vectorA potrivit relaiei:

ABDrot= , (5.9)


2/48

290

numitpotenialmagnetic vector. Acesta satisface ecuaia:

JMA p

=

0rotrot ,

adic:

(5.10) pMJA rotrotrot 0+= .n lipsa magnetizaiei permanente ecuaia (5.10) se reduce la expresia:

(5.11) JA =rotrot .Potenialul vector este o mrime vectorial de calcul, fr semnificaie fizic nemijlocit,

folosit pentru simplificarea tratrii multor probleme ale Fizicii matematice. El este univocdefinit numai dup ce se alege Adiv i originea potenialelor (punctul n care 0=A ).

Pentru orice cmp rotaional V e poate determina un cmp A al crui rotor s fie V , numit potenial vector. Problema

admite, evident, o infinitate de soluii deoarece dac 0A este o soluie a ecuaiei AV rot= atunci i += grad0AA verific ecuaia,

oricare ar fi funcia , ntruct 0gradrot = . Pe de alt parte, se tie c un cmp de vectori A poate fi univoc determinat n

domeniul prin divergena, rotorul i condiiile la limit pe frontiera domeniului.

Deoarece la definirea potenialul vector nu se face nici o referire la divergen a cmpului de vectori A , nsemneaz caceasta poate fi aleas arbitrar, operaie numitetalonare.

Dac dintre soluiile A se alege una pentru care 0div =A (condiia de etalonare Coulomb), adic un cmp care este el nsui

rotaional, aceasta revine la a se determina o funcie care satisface relaia 0graddivdiv 0 =+A adic ecuaia lui Poisson:

0divA= .

Este uor de vzut c unui cmp solenoidal V nu-i va corespunde un singur potenial vector. ntr-adevr, dac unei soluii

i se adug o funcie armonic , ( 0= ), soluia )(grad0 ++=AA este de asemenea un potenial vector al cmpului V .

n concluzie, determinarea potenialului vector al unui cmp solenoidal, se reduce la rezolvarea unei ecuaii cu derivatepariale de ordinul II, ecuaia lui Poisson. Soluia general depinde ns de o funcie arbitrar pentru determinarea creia se puncondiii la limit, dup natura aplicaiei.

Regimul staionar este cazul particular al regimului cvasistaionar n care curenii deconducie sunt invariabili n timp.

5.1.2. Regimul magnetostatic

Un alt caz particular este acela al regimului magnetostatic, produs numai de corpuri cu

magnetizaie permanent aflate n repaus cruia, evident, i va corespunde modelul:(5.12) 0rot =H ;

(5.13) 0div =B ;

(5.14) pMHB 0+= .

n regim magnetostatic legea circuitului magnetic capt forma

= 0.dlH , iar forma sa

local pe domenii de continuitate i netezime (5.12), justific ntroducerea mrimii scalare, funciede punct, mV , numitpotenial magnetic scalar, mrime ce satisface relaia:

(5.14') mVH grad= .Ecuaia (5.14') ntregete cadrul de relaii care permite determinarea cmpului magnetic

asociat magneilor permaneni.Potenialul magnetic scalar introdus prin relaia (5.14') n medii liniare ( const= .), conduce la ecuaia lui Laplace, 02 =

mV ,

valabil n regiunile n care curenii electrici lipsesc i este satisfcut ecuaia (5.12). Determinarea univoc a potenialului magneticscalar dup integrarea ecuaiei lui Laplace se face n funcie de condiiile pe frontier.


3/48

291

5.1.3. Regimul magnetic nestaionar

n regim nestaionar, legea circuitului magnetic n mediile liniare i imobile (v. modelul5.4) se poate scrie:

t

DJB

+=rot (5.15)

sau, introducndu-se potenialul vector:

t

EJA

+=rotrot . (5.16)

Intensitatea cmpului electric E prezint o component potenial (v. ec. 1.41):VEC grad= , (5.17)

n care V este potenialul electrostatic, i una rotaional v. (1.82'):

t

BEs

=rot . (5.18)

Exprimnd n (5.18) inducia magnetic n funcie de potenialul vectori innd seama c

t

AA

t

=

rotrot , rezult relaia:

Vt

AE grad

= . (5.19)

Introducnd relaia (5.19) n ecuaia (5.16) se obine:

)div(grad2

2

t

VAJ

t

AA

++=

, (5.20)

de unde, cu condiia de etalonare a lui Lorentz :

0div =

+t

VA , (5.20')

se obine ecuaia vectorialneomogena undelor(v. 7.1.2.):

Jt

AA =

2

2

. (5.21)

Cu ajutorul ei se modeleaz propagarea la distane foarte mari, sub form de undeelectromagnetice, a cmpului electromagnetic nestaionar produs de surse care ocup domenii

finite (v. .7.12).

5.2. Teoremele cmpului magnetic cvasistaionar

Prin particularizarea legilor cmpului electromagnetic se pot deduce urmtoarele teoremeimportante pentru studiul fenomenelor electromagnetice.

5.2.1. Teorema unicitii determinrii cmpului magnetic cvasistaionar

Cmpul magnetic cvasistaionar din interiorul domeniului , limitat de suprafaa ,

liniar, izotrop, cu permeabilitate magnetic dat, este unic determinat dac se cunosc:a) distribuia densitii curentului electric de conducie J ;

b) intensitatea cmpului magnetic H sau magnetizaia permanent pM n regiunile cumagnetizaie permanent;


4/48


5/48

293

5.2.2. Teorema superpoziiei cmpurilor magnetice cvasistaionare

ntr-un mediu liniari izotrop, reuniunii unor ansambluri de condiii de unicitate icorespunde ca soluie suma soluiilor determinate de fiecare ansamblu de condiii de unicitateseparat.

n paragraful precedent s-a artat c unui ansamblu de condiii de unicitate:

;)(;; tkpkk HMJ (5.25)

i corespunde soluia .,, kkk ABH Urmeaz s se arate c suma soluiilor determinate de fiecareansamblu de condiii de unicitate separat satisface condiiile de unicitate:

= =

=

n

k

n

k

tkpkn

k

k HMJ1 11

.)(;; (5.26)

Suma soluiilor este:

=

=n

k

kHH1

; (5.27-1)

=

=n

k

kBB1

; (5.27-2)

=

=n

k

kAA1

, (5.27-3)

iar condiiile de unicitate corespunztoare sunt:

== =

====n

k

k

n

k

n

k

kk JHHHJ11 1

rotrotrot , (5.28-1)

====

=

=

=

=n

k

pk

n

k

kk

n

k

k

n

k

kp MHBHBHBM1101100

)(1

)(1

)(1

(5.28-

2)i

=

= =

=

n

k

tk

n

k

tkt HHH11

)()( . (5.28-3)

S-au obinut condiiile (5.26), ceea ce atest c soluiile (5.27) sunt unice.

5.2.3.Teorema refraciei cmpului magnetic

n conformitate cu formele locale pe suprafee dediscontinuitate ale legii fluxului magnetic (1.70) i legiicircuitului magnetic (1.89), la trecerea dintr-un mediuntr-altul liniile cmpului magnetic se refract (fig. 5.2).

Fcndu-se raportul, membru cu membru, ale celordou relaii, se obine succesiv:

t

n

t

n

H

B

H

B

2

21

1

1 = ;

t

n

t

n

H

H

H

H

2

22

1

11

=

;

(5.29)2

1

2

1

=

tg

tg.

Ecuaia (5.29) reprezintteorema refraciei liniilor de cmp magnetic.

Fig. 5.2


6/48

294

Dac mediul 1 este nemagnetic, 01 = i mediul 2 este feromagnetic, = Fe1 ,atunci:

(5.30) 0tg

tg

2

1 =

.

Relaia (5.30) este satisfcut fie pentru 01 = , fie pentru 2/2 = .n primul caz, liniile cmpului magnetic, produs de un curent electric aflat n mediul

neferomagnetic sunt normale pe suprafaa de separaie, n acord cu proprietatea de continuitate a

componentelor normale ale induciei magnetice (fig. 5.3). n cellalt caz, liniile cmpuluimagnetic produs de un curent electric aflat n semispaiul feromagnetic sunt paralele cu suprafaade separaie, n acord cu proprietatea de continuitate a componentelor tangen iale ale intensitii

cmpului (fig. 5.4). Relaia (5.30) explici faptul c pe suprafaa polilor magnetici (v. cap. 6),aflai n vid (aer) sau n "ntrefier", liniile de cmp magnetic sunt perpendiculare.

5.3. Calculul cmpului magnetic cvasistaionar

n medii liniare, omogene i izotrope, cmpul magnetic cvasistaionar este descris deecuaiile (5.6), (5.7) i (1.80):

JH=rot ,

0div =B ,

HB = ,iar potenialul magnetic satisface relaia (5.16):

JA =rotrot .

5.3.1. Ecuaia lui Poisson pentru potenialul magnetic vector.

Relaia (5.16), se mai poate scrie:

(5.31) JAAA == 2)()(sau

(5.32) JAA =)div(grad .Cu condiia de etalonare:

0div =A ,

ecuaia (5.32) devine:JA = . (5.33)

ntr-un sistem cartezian, ecuaia vectorial (5.33) se reduce la trei ecuaii scalare de tipPoisson:

Fig. 5.4Fig. 5.3


7/48

295

,

;

;

zz

yy

xx

JA

JA

JA

=

=

=

(5.34)

Ecuaia de tip Poisson, care este o ecuaie cu derivate pariale de ordinul al doilea, se scriesub una din formele:

),,(2

2

2

2

2

2

zyxzyx

=

+

+

,

adic:

=graddiv ,sau= ,

n care este o funcie scalar iar ),,( zyx o funcie "surs" cunoscut. Funcia este diferitde zero ntr-un domeniu . n afara domeniului, 0= iar satisface ecuaia lui Laplace:

02

2

2

2

2

2

=

+

+

zyx

,

a crei soluie este de forma:

vR

zyxd

),,(

4

1

= , (5.35)

unde se poate extinde, n principiu, asupra ntregului spaiu(deoarece n afara lui avem 0= ) iar zyxv dddd = esteelementul de volum al domeniului .

Prin urmare, cu notaiile de la figura 5.5, soluiile sistemului(5.34) vor fi:

=

=

=

J

J

J

vR

JA

vR

JA

vR

JA

zz

yy

xx

,d4

;d4

;d4

(5.36)

n care J este volumul ocupat cu distribuia densitii de curent.Rezult potenialul magnetic vector:

=

J

vR

JA d

4(5.37)

i inducia magnetic:

===

J

vR

JAAB PP d1

4rot . (5.38)

Deoarece J nu este o funcie de punctul P iar3

1

R

R

RP=

, rezult :

(5.39)

=J

vR

RJB d4 3

i

Fig. 5.5


8/48

296

(5.40)

=J

vR

RJH d

4

13

.

5.3.2. Potenialul vector al circuitelor filiforme.

Potenialul vector al unui circuit electric filiform, (fig. 5.6), se

va calcula cu relaia (5.37) n care dlAv .d = iar AJi = . i

deoarece lAJ d|||| , rezult:

lilAJvJ ddd == ,iar expresia potenialului vector devine:

(5.41)

=

R

liA

d

4.

n cazul a n circuite filiforme parcurse de curenii ki potenialul magnetic vector va fi:

(5.42) =

=

n

k

k

k

kR

liA

1

d

4.

Teorema Biot - Savart - Laplace stabilete relaia dintre intensitatea local a cmpuluimagnetic i curentul electric de conducie care produce cmpul.

Ecuaia (5.40) aplicat circuitului din figura 5.6 se transform succesiv, aa cum se

procedeaz mai jos, obinndu-se:

=

=

=

JJ

AJR

RllA

R

RJv

R

RJH ),.(

d

4

1)d.(

4

1d

4

1333

sau

(5.43)

=3

d

4 R

RliH ,

cunoscut sub numele de Teorema Biot - Savart - Laplace.

Integrarea are sens numai pe contururi nchise, liniile de cmp ale densitii curentului elec-

tric de conducie fiind linii nchise. Vectorul R se orienteaz de la elementul ld ctre punctulP.

Dac circuitul i punctul Pse afl n acelai plan (fig. 5.7), atunci nlRRl = sindd , iar expresia intensitii cmpului nPdevine:

(5.44) l

R

inH d

sin

43

= .

Fig. 5.6

Fig. 5.7 Fig. 5.8


9/48

297

Pentru cureni n conductoare masive (fig. 5.8), se poate considera c

intensitatea elementar )(d rH a cmpului magnetic n punctul )(rP este

datorat tubului elementar de curent AnJi d.d = . Expresia acesteia, potrivitecuaiei (5.43) va fi:

33

'd

4

'd).('d

4

d)(d

R

RlAnJ

R

RlirH

=

= .

Deoarece 'd||'d|| AlJ i 'd'd'.d vAl = , se va scrie :

'd)'(

4

1)(d

3v

R

RrJrH

= .

Integrndu-se n raport cu ntreg volumul al conductorului se obine expresia intensitiicmpului produs n exterior de conductoarele masive aflate n regim electrocinetic:

'd)'(

4

1)(

3

= vR

RrJrH . (5.45)

n cazul unei pnze de curent de densitate )'(rJs (fig. 5.9), se obine n mod similar

expresia:

'd)'(

4

1)(

3

=

S

sA

R

RrJrH . (5.46)

5.4. Inductiviti

Prin inductivitate se nelege, la modul general, mrimea egal cu raportul dintre fluxulmagnetic total prin suprafaa limitat de conturul circuitului i curentul care l produce, indiferentdac curentul este stabilit n circuitul nlnuit de flux sau nu. Dac mediul magnetic este liniar (cu permeabilitate magnetic constant, independent de intensitatea cmpului magnetic)inductivitatea este i ea constant, dependent fiind numai de geometria i de dispunereacircuitelor care genereaz flux magnetic, precum i de materialul sistemului fizic.

5.4.1. Inductivitate proprie. Inductivitate mutual

Fie spira din figura 5.10, filiform, nedeformabil, n regim electrocinetic cvasistaionarde intensitate i , situat ntr-un mediu omogen, izotrop i liniar de permeabilitate i aflat n

Fig. 5.10Fig. 5.11

Fig. 5.9


10/48

298

afara influenei oricror fluxuri magnetice exterioare. Raportul pozitiv dintre fluxul

S prin

orice suprafadeschis S, care se sprijinpe curba i curentul i , se numete inductivitateasau inductana proprie a spirei :

(5.47)i

L SD

= .

Fcndu-se convenia calculrii fluxului

S , numitflux propriu al spirei, pentru un sens de

referin al normalei la suprafaa S asociat cu sensul curentului i dupregula burghiului drept,relaia (5.47) definete o mrime pozitiv.

Fie acum o bobin cu N spire, constituit dintr-un conductor filiform cu dou borne deacces (fig. 5.11), n aceleai condiii de mediu i de izolare fa influene magnetice exterioare.Inductivitatea proprie a bobinei se definete ca raport dintre fluxul corespunztor unei suprafee

care se sprijin pe curba nchis ce urmrete fibra medie a conductorului i se nchide princele dou borne i intensitatea curentului prin bobin. Dei poriunea de curb dintre cele douborne nu este univoc determinat, cmpul magnetic din interiorul bobinei fiind mult mai intens

dect cel exterior, alegerea acelei poriuni de curb nu va influena valoarea fluxului prinsuprafaa S

Fluxul

S estefluxul totalal bobinei. El poate fi nlocuit n calcule prin produsul dintre

numrul de spire i fluxul

fS , referitor la o suprafa deschis ce se sprijin pe o singur spir,

numit flux fascicular:(5.48)

= fSS N .

Dac spirele bobinei nu se suprapun (fig. 5.12) i liniile induciei magnetice care determinfluxul bobinei nu nlnuie toate spirele, se definete un flux fascicular mediu, ca raport ntrefluxul total i numrul de spire:

(5.49) NS

fS

= .

Exprimarea fluxului total sub forma (5.48) este util pentru c pune n eviden aportulnumrului de spire la aspectul cantitativ al fenomenului.

Fig. 5.12 Fig. 5.13


11/48

299

Se presupun, n continuare, dou bobine, cu conductoare filiforme, nedeformabile,meninute n aceeai poziie relativi situate n mediul de permeabilitate . Ele sunt reprezentaten figura 5.13 prin cte o singur spir.

Se consider, mai nti, c numai circuitul 1 este parcurs de curentul 1i , n cellalt circuit

curentul 2i fiind nul. Se noteaz cu 11111 fN= fluxul produs de curentul 1i , nlnuit de

circuitul 1 i cu 21221 fN= fluxul produs de curentul 1i care nlnuie circuitul 2 . Raportul:

021

2121

=

=

ii

DL , (5.50)

dintre fluxul 21 prin circuitul 2 , stabilit de curentul 1i din circuitul 1 , prin acest curent, senumete inductivitate mutual sau inductan mutual ntre cele dou circuite.

Se va arta n cele ce urmeaz c exist relaia de reciprocitate:

21

02

1212

1

Li

Li

D

=

==

. (5.51)

Cele expuse sunt suficiente pentru a clarifica modul n care inductivitatea a fost definit,nc de la nceput, ca mrime de relaie ntre un flux i curentul care produce fluxul, indiferentdaccurentul se aflprin circuitul nlnuit de flux sau nu.

Se convine ca notaia fluxurilor s fie afectat de doi indici, primul indicnd circuitulnlnuit de flux iar al doilea indicnd curentul care produce fluxul.Sensul de referin al fiecruia din fluxuri este, prin convenie, asociat dup regula

burghiului drept cu sensul curentului din circuitul nlnuit de flux. Ca urmare fluxul propriu alcircuitului 1 , notat aici cu 11 , este ntotdeauna pozitiv, n timp ce 21 poate fi pozitiv sau

negativ. Corespunztor, inductivitile 21L , 12L pot fi pozitive sau negative.Pentru a indica modul n care trebuie introdus n

calcule inductivitatea mutual se indic prin asteriscuribornele de nceput ale bobinelor (n sensul de bobinare) aaca n figura 5.14. Dac sensurile de referin ale curenilorfa de bornele polarizate ale bobinelor avnd acelai sensde bobinare sunt aceleai pentru ambele bobine,inductivitatea mutual se ia cu semnul plus i cu minus ncaz contrar. Dac sensurile de bobinare nu sunt aceleairegula semnelor se schimb.

Unitatea SI de inductivitate se numete henry (cu simbolul H) i corespunde inductivitiiunei bobine prin care un curent de un amper stabilete fluxul magnetic de 1 weber.

5.4.2. Calculul inductivitilor

Calculul inductivitii unui circuit filiform* presupune, n principiu, parcurgereaurmtoarelor etape: se consider circuitul parcurs de curentul i ; se calculeaz inducia magnetic

a cmpului produs n diferite puncte ale spaiului; se calculeaz fluxul magnetic prin suprafaa cese sprijin pe curba ce coincide cu fibra medie a circuitului; se aplic relaia de definiie:./IL =

*Deoarece fluxul magnetic din relaiile ce se stabilesc aici se refer exclusiv la exteriorul conductoarelor ele definesc inductivitateaexterioarn regim cvasistaionar. Inductivitatea conductoarelor masive se definete cu ajutorul energiei magnetice (v. 5.5.1).

Fig. 5.14


12/48

300

Fie spira din figura 5.10. Inducia magnetic ntr-un punct situat pe S se calculeazutiliznd relaia (5.43):

==

3

d

4 R

RliHB ,

iar fluxul magnetic va fi:

==

3

dd

4d.

R

RlAn

iAB

SS

S .

Rezult inductana spirei:

(5.52)

=

=

3

dd

4 R

RlAn

iL

S

S .

Calculul inductanei bobinei din figura 5.11 va ine seama c fluxul magnetic fascicular estedatorat induciei:

(5.53)

=

3

d

4 R

RlNiB

i va avea expresia:

(5.54)

==

3

dd

4d.

R

RlAn

NiAB

SS

fS.

Fluxul total fiind= SN rezult:

(5.55)

=

=

=

3

2 dd

4 R

RlAn

N

i

N

iL

S

S .

Relaiile (5.52) i (5.55) ne arat c inductivitatea proprie este o mrime de material,dependent de geometria circuitului i de permeabilitate. La concluzia c i inductivitateamutual este o mrime de material vom ajunge stabilind relaia general pentru calculul

inductivitii mutuale a dou circuite ca acelea dinfigura 5.15.

Fluxul magnetic 21 prin circuitul 2 stabilit de

curentul 1i din circuitul 1 are expresia:

(5.56) ===

222

,d.d.rotd. 2122122121 lAAnAAnBSS

n care potenialul vector 1A produs de curentul 1i secalculeaz cu relaia (5.41):

=

1 12

111

d

4 R

liA .

Inductana 21L , calculat potrivit relaiei dedefiniie (5.50) este:

(5.57)

=

=

=1 2

2

12

21

1

21

1

21

21

dd

4

d

R

ll

i

lA

iL

,

de unde rezult c i ea este dependent de geometria circuitelor, de poziia lor reciproc i depermeabilitate.

Relaia (5.57) se numeteformula lui Neumann pentru inductiviti mutuale.

Fig. 5.15


13/48

301

Dac se consider circuitul 2 parcurs de curentul 2i i se calculeaz fluxul 12 prin

circuitul 1 stabilit de curentul 2i :

=1

,d. 1212 lA (5.58)

n care

=

1 12

222

d

4 R

liA , se obine pentru

2

1212 i

L

= tot expresia (5.57). Se demonstreaz astfel

relaia de reciprocitate:MLL == 2112 , (5.59)

M fiind simbolul generic adoptat pentru inductivitatea mutual.Circuitele electrice a cror inductivitate mutual este diferit de zero se numesc circuite

cuplate magnetic.Observaie. Dac se face referire la bobinele din figura 5.13 se va ine seama c fluxurile

12 i 22 au expresiile 12112 fN= i 21221 fN= , unde 12f i 21f au expresii conforme

cu (5.56) i (5.58) i c inducia 1B conformi ea cu (5.53) este:

=

1

312

12111

d

4 R

RliNB ,

iar potenialul vector va fi:

=1 12

1111

d

4 R

liNA .

Astfel, fluxul fascicular 21f va rezulta cu expresia:

=

1 2 12

211121

d.d

4 R

lliNf

,

iar inductivitatea mutual, calculat cu relaia de definiie, va fi:

=

=

=

1 2 12

2121

1

212

1

21 d.d

4 R

llNN

i

N

iM f . (5.60)

5.4.3. Inductiviti utile i de dispersie

Revenindu-se la cele dou bobine cuplate magnetic din figura 5.13 se constat c numai oparte din liniile de cmp ale fluxului fascicular propriu produs de una din bobine nlnuie cealaltbobin. Acestea constituefluxul magnetic fascicular utilsau, pe scurt,fluxul fascicular util.

Liniilor de cmp care se nchid prin aer, fr a nlnui cealalt bobin, le corespundefluxulde dispersie saufluxul de scpri.

Notndu-se cu 11f fluxul fascicular propriu al bobinei 1, cu 21f fluxul fascicular produs

de prima bobin printr-o spir a bobinei 2i cu 21fd fluxul fascicular de dispersie al bobinei 1

fa de bobina 2, rezult relaia:

212111 fdff += .

Partea din inductivitatea proprie 11L a bobinei 1 corespunztoare fluxului de dispersie fa debobina 2 se numete inductivitate de dispersiea bobinei1fade bobina2:


14/48

302

1

21

1

1

111

1

21121 i

Ni

Ni

NLfffd

D

d

=

= .

Deoarece1

11111 i

NL f

= i1

21221 i

NL f

= , relaia de mai sus se scrie

(5.61) 0212

11121 >= LN

NLL

D

d .

Analog, se definete inductivitatea de dispersie a bobinei 2 fa de bobina 1:

(5.62) 0121

2

2212 >= LN

N

LL

D

d .n general 1221 dd LL deoarece MLL == 2112 , conform expresiei (5.59). Termenii:

(5.63) 0212

121 >= LN

NLu

i

(5.64) 0121

212 >= LN

NLu ,

din ecuaiile (5.61) i (5.62) se numesc inductivitatea util a bobinei 1fa de bobina 2,respectiv, inductivitatea utila bobinei2fade bobina1.

Din relaiile (5.61) la (5.63) rezult urmtoarele expresii pentru inductivitile proprii:

(5.65) 212111 ud LLL += i(5.66) 121222 ud LLL += .

Din (5.61) i (5.62) mai rezult c n absena dispersiei (cuplajperfect) avem 22211 MLL = .n realitate nu exist cuplaje pefecte, astfel c dispersia a dou bobine culpate magnetic va ficaracterizat global prin urmtorii indicatori:

- coeficientul de cuplaj :

(5.67)2211LL

Mk= .

Pentru bobinele necuplate, 0=M , 0= k i prin urmare 10


15/48

303

ntr-adevr, dac fluxul total prin circuitul j , produs de curentul ki este jk , atunci,

potrivit principiului superpoziiei (mediul fiind liniar) fluxul total prin circuitul j , produs de toicurenii, se poate calcula ca sum a fluxurilor produse de fiecare curent n parte:

jnjjjjj +++++= ......21 . (5.69)

Fluxurile find funcii liniare de cureni, de forma kjkjk iL= , fluxul j poate fi exprimat

astfel:

njnjjjjjj iLiLiLiL +++++= ......2211 , (5.70)

n care,

jkij

jjj

ki

L

=

=0

(5.71)

este inductivitatea proprie a circuitului j iar:

jkij

kkj

jkik

jjk

kji

Li

L

=

=

==

=

00

(5.72)

este inductivitatea mutual ntre circuitele j i k.Relaiile (5.70) ntre fluxuri i cureni sunt relaiile lui Maxwell pentru inductiviti . Sub

form compact ele se scriu:Li = , (5.73)

unde L este matricea ptratici simetric, de ordin n , a inductivitilor proprii i mutuale:

L=

nnnknn

jnjkjj

nk

nk

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

......

.............................

......

.............................

......

......

21

21

222221

111211

. (5.74)

Dac matricea L este nesingular, ecuaia (5.73) se poate scrie:i = L-1 = , (5.75)

n care este matricea inductivitilor reciproce propriii mutuale.Sistemul (5.75) se scrie desfurat:

njnjjjjjji +++++= ......2211 , (5.76)

unde:

jkj

jjj

k

i

=

=0

, (5.77)

este inductivitatea reciprocproprie a circuitului j i:

jkj

kkj

kjk

jjk

kj

ii

=

=

==

=00

, (5.78)

este inductivitatea reciprocmutualntre circuitele j i k.Dac n relaiile (5.70) curenii sunt variabili n timp, fluxurile vor fi de asemenea variabile

n timp i, ca urmare, n circuitul j se induce tensiunea electromotoare:


16/48

304

(5.79)t

iL

t

iL

t

iL

t

iL

te njn

j

jjjj

j

j d

d...

d

d...

d

d

d

d

d

d2

21

1 =

= ,

ale crei componente sunt:- tensiunea electromotoare de autoinducie

(5.80)t

iLee jjj

jkijjj k d

d0 ==

= ;

- tensiuni electromotoare de inducie mutualntre circuitul j i circuitele k:

(5.81)t

iLee kjk

kjijjk j d

d0 ==

= .

5.4.5. Inductiviti echivalente

Se presupune, mai nti, o bobin ideal, a crei rezisten ohmic este neglijabil,parametrul ce o caracterizeaz fiind numai inductivitatea proprie (fig. 5.16).

Pentru circuitul bobinei ideale din figura 5.16, aflat n regimelectrocinetic variabil n timp, este valabil legea lui Ohm scris subforma:

Rieu =+ .Aici e este tensiunea electromotoare de autoinducie,

tiLe d/d= , iar 0R . Rezult atunci, c ntre tensiunea la bornelebobinei ideale

i curent exist

rela

iile:

(5.82)t

iLu

d

d= ,

(5.83) = udtLi1

.

n circuitele electrice pot exista mai multe bobine conectate ntre ele n diferite moduri.Uneori exist posibilitatea ca ele s fie apreciate printr-o inductivitate unic, numit inductivitateechivalent.

Inductana echivalenta doubobine ideale legate n serie, necuplate inductiv (fig. 5.17),rezult din ecuaia tensiunilor:

21 uuu += ,

unde tiLu d/d11 = , tiLu d/d22 = i tiLu e d/d= .

nlocuind tensiunile cu expresiile lor de mai sus n ecuaia tensiunilor i simplificnd cuti d/d se deduce relaia:

(5.84) 21 LLLe += .Pentru a stabili expresia inductanei echivalente a dou bobine ideale n serie, cuplate

inductiv (fig.5.18), se scrie legea lui Ohm pentru poriunile neramificate de circuit care urmrescfibra medie a conductoarelor celor dou bobine :

Fig. 5.16

Fig. 5.17 Fig. 5.18


17/48

305

0111 =++ meeu ,

,0222 =++ meeu

unde 1e i 2e sunt tensiunile electromotoare de autoinducie iar 1me i 2me sunt tensiunileelectromotoare de inducie mutual.

Deoarece exist relaiile:

t

iLe

d

d11 =

,

t

iLe

d

d22 =

,

t

iMee mm d

d21 ==

,

va rezulta:

t

iM

t

iLu

d

d

d

d11 += , (5.85)

t

iM

t

iLu

d

d

d

d22 +=

. (5.86)

Existnd relaiile:

21 uuu += (5.87)i

tiLu e dd= , (5.88)

rezult, dac se nlocuiesc n (5.87) tensiunile cu expresiile lor (5.85), (5.86) i (5.88):

t

iM

t

iL

t

iL

t

iLe d

d2

d

d

d

d

d

d21 ++=

,

de unde:.221 MLLLe ++= (5.89)

n cazul cuplajului diferenial, se schimb semnul din faa lui M i relaia (5.89) devine:MLLLe 221 += . (5.90)

Inductana echivalent a dou bobine ideale legate n paraleli necuplate inductiv (fig.5.19), rezult din urmtoarele:

- teorema I a lui Kirchhoff (v. cap. 8) aplicat la nod d:21 iii += ;

- prin derivare n raport cu timpul rezult:

t

i

t

i

t

i

d

d

d

d

d

d 21 += ; (5.91)

Fig. 5.19 Fig. 5.20


18/48


19/48


20/48

308

(5.103)22int

2)(2

i

W

i

WWLLL mmimeext =

+=+= ,

sau, n funcie de mrimile de stare ale cmpului:

(5.104)

+=+=

ei vv

ext vHBvHBiLLL d.d.

12int

.

5.5.2. Energia magnetic a unui sistem de circuite

Se consider sistemul de circuite din figura 5.22, aflate n stare electrocinetic. n circuitulk lucreaz sursa cu tensiunea electromotoare ke iar intensitatea curentului este ki . Circuitele pot

fi mobile iar tensiunile electromotoare i curenii pot fi variabili n timp.Energia furnizat de cele n surse trebuie s acopere

pierderile de energie prin efect Joule Lenz n rezistenele kR ale circuitelor, lucrul mecanic efectuat de forele de naturmagnetic ( mL ) i creterea energiei cmpurilor magnetice

( mW ). Pentru intervalul de timp td ecuaia de bilan energetical sistemului este:

(5.105) mmn

kkk

n

kkk WLtiRtie dddd

1

2

1

++= ==

.

Ecuaia de funcionare a unui circuit este, potrivit legiilui Ohm:

kkk

k iRte =

d

d,

adic:

(5.106)

+=t

iRe kkkk d

d

nlocuindu-se tensiunile electromotoare ke n ecuaia (5.105) cu expresiile lor din (5.106)

se obine:

(5.107) =

=n

kmkkm LiW

1

ddd ,

unde mLd este de forma:(5.108) xXLm dd = .Cu X s-a notat componenta forei pe direcia deplasrii fora generalizat , iar cu x coordonata generalizat.

Ecuaia (5.107) exprim variaia energiei magnetice ca urmare a variaiei fluxurilor (deci acurenilor) i ca urmare a deplasrii corpurilor n cmpul magnetic.

n condiiile mediului liniar din punctul de vedere magnetic i al imobilitii corpurilor( 0d =x ) ecuaia (5.107) se reduce la:

(5.109) =

=n

kkkm iW

1

dd .

n cazul unei variaii lente a curenilor (regim cvasistaionar) exist liniaritate ntre fluxuri icureni, liniaritate exprimat de ecuaiile lui Maxwell (5.70):

(5.110) =

=n

jjkjk iL

1

.

Fig. 5.22


21/48

309

Notndu-se valorile curentului i fluxului ntr-o stare intermediar a variaiei curentului dela starea iniial la cea final cu:

finalkk ii = i finalkk = ,

unde 10 , variaia de flux se exprim prin:

finalkk = dd ,

iar variaia de energie se scrie:

=

=n

kfinalkkm iW

1

d)(d . (5.111)

Suma variaiilor de energie din momentul iniial, n care nu exist cmp magnetic, pn nmomentul final, este de fapt energia mW a cmpului magnetic n starea final. Ea se obine

integrnd ecuaia (5.111) pentru variind de la 0 la 1, obinndu-se:

=

=n

kkkm iW

12

1. (5.112)

Precizarea "final" a fost suprimat.Ecuaia prezint analogie formal cu aceea a energiei cmpului electrostatic al unui sistem

de n sarcini (v. 2.6.1).Utilizndu-se relaiile lui Maxwell se poate exprima energia magnetic numai n funcie de

cureni:

= ==n

k

n

j

kjkj

m

iiL

W 1 1 2

(5.113)

i, deoarece exist relaia de reciprocitate jkkj LL = , ecuaia (5.113) se mai scrie:

=

= =

+=n

j

n

jkk

n

jkjjkjjjm iiLiLW

1 1 1

2

2

1, (5.114)

unde termenii primei sume reprezintenergiile magnetice proprii ale circuitelor iar termenii celeide a doua sume reprezintenergii magnetice de interaciune ntre dou circuite.

5.5.3. Energia magnetic a unei distribuii de curent cu densitateaJ

Se presupune o distribuie cu densitatea J a curentului electric de conducie n domeniulj ca n figura 5.23.

Conform ecuaiei (5.97) energia cmpului magnetic localizat n domeniul D , liniar,izotrop, fr magnetizaie permanent, este:

==DD vv

m vAHvHBW drot2

1d.

2

1. (5.115)

inndu-se cont de relaiile:

HAAHHA rotrot)(div = i JH=rot ,se obine:

+=

jDvv

mvJAvHAW d.

2

1d)(div

2

1,

adic:Fig. 5.23


22/48

310

(5.116)

+=

jv

m vJAAnHAW d.2

1d)(

2

1.

Dac domeniul D se extinde la infinit, atunci termenii care intervin n integrala de

suprafa tind ctre zero (aa cum se subliniaz mai jos) i rezult:

(5.117)

=j

v

m vJAW d.2

1.

Pornindu-se de la formulele lui Green se poate stabili expresia integrala potenialului vector nproblema tridimensional:

.d1)rotx(1grad)(1grad).(d)'()( AR

AnR

AnR

nAvR

rJrAv

P

++=

Punctul )(rP figura 5.23G este acela n care se calculeaz potenialul iar )'(' rP este

punctul n care densitatea de curent este J .P

este unghiul solid sub care se vede suprafaa din

punctulP(cu valorile 4 dacPse afl n interiorul domeniului, respectiv 2 dac el se afl pe suprafaa).

Se demonstreaz c cele dou componente , normal nA i tangenial An , ale

potenialului magnetic vector tind ctre zero pentruR cel puin ca 1/R,ceeace reprezintcondiia deregularitate la infinit pentru potenialul magnetic vector n problema tridimensional. innd cont derelaia de definiie a potenialui magnetic vector, rezult i condiia de regularitate la infinit pentru

inducia magneticn problema tridimensional.

Evident, dac domeniul D cuprinde i n circuite filiforme aflate n regim electrocinetic

cvasistaionar, atunci n membrul doi al ecuaiei (5.116) se adaugi un termen de forma (5.112),aceasta devenind:

(5.118) =

++=

n

kkk

v

m ivJAAnHAWj

12

1d.

2

1d)(

2

1,

iar n cazul spaiului infinit rezultnd:

(5.119) =

+=

n

kkk

v

m ivJAWj

12

1d.

2

1.

Observaie . Dac cele n circuite se consider localizate n volumul 'j n care sunt

identificate ca o distribuie cunoscut de cureni, atunci aportul lor la energia cmpului magneticlocalizat n domeniul D se poate calcula cu relaiile (5.116), respectiv (5.117).

Revenindu-se la ecuaia (5.118) n care produsul mixt nHA )( se poate scrie )( tt HA (v. 5.2.1) ajungem la concluzia c pentru calculul energiei cmpului magnetic n domeniulconsiderat este suficient s cunoatem:

- componentele tangeniale ale intensitii cmpului i potenialului magnetic vector pesuprafaa de frontier;

- curenii i fluxurile pentru circuitele filiforme;- potenialul magnetic vector n punctele n care densitatea de curent este nul.

5.5.4. Teoremele aciunilor ponderomotoare n cmp magnetic

Forele magnetice care se exercit ntre conductoare aflate n stare electrocinetic se

numescfore electrodinamice iar cele ce se exercit ntre un conductor n stare electrocineticiun corp feromagnetic, respectiv ntre corpuri feromagnetice se numesc fore electromagnetice.Expresiile lor generale se obin din aceea a energiei magnetice.

Fig. 5.23G


23/48

311

Teorema forelor generalizate la flux magnetic constant. Lucrul mecanicxXL dd = efectuat la o deplasare elementar xd a unui corp n cmpul magnetic, sub aciunea

forei X, se poate calcula cu ajutorul relaiei (5.107):

=

=n

kkkm xXiW

1

ddd .

Dac fluxurile se menin constante aceast relaie capt forma:xXW

kmd)d( .const == ,

de unde:

const.

const.)d(

=

=

== k

k

x

W

dx

W

Xmm

(5.120)Din relaia (5.120) rezult cfora generalizat la fluxuri magnetice meninute constante

este egal cu derivata parial cu semn schimbat a energiei magnetice n raport cu coordonatageneralizat.

Semnul () arat c, n absena fenomenelor de inducie electromagnetic ( .const=k ), nuexist schimb de energie ntre surse i cmp, lucrul mecanic fiind efectuat pe seama scderiienergiei cmpului.

Teorema forelor generalizate la curent constant. O nou teorem se obine dac sepresupun constani curenii din circuite. n acest caz:

xXixXiW

k

k

i

n

kkk

n

kkkim dddd)d(

.const11const.

==

==== .

Potrivit relaiei (5.112) energia magnetic are valoarea:

=

=n

kkkm iW

12

1,

astfel c:

const.1const. d2

1)(

===

=

k

k

i

n

kkkim idW ,

adic:

const.

const.1

)d(2d ===

=

k

k

im

i

n

kkk Wi

i xXWkim

d)d( const. == .

Prin urmare:

const.

const.

d

)d(

=

=

==

k

k

i

mim

x

W

x

WX (5.121)

i deci, fora generalizat X , corespunztoare coordonatei generalizate x , este egal cuderivata pariala energiei magnetice n raport cu coordonata generalizat, la cureni constanin circuite.

n cazul curenilor constani, exist aport de energie de la surse iar lucrul mecanic esteefectuat concomitent cu creterea energiei cmpului cu o valoare egal cu aceea a lucrului efectuatde forele magnetice.

Evident, relaiile (5.120) i (5.121) se refer la aceeai for X care nu va depinde demodul n care a fost calculat.


24/48

312

Teorema tensiunii magnetice. n imediata vecintate a suprafeei unui corp feromagnetic,cu permeabilitatea teoretic infinit mare, liniile cmpului magnetic sunt, n conformitate cu

teorema refraciei liniilor cmpuluimagnetic, fie normale, fie tangenialela suprafaa corpului (v. 5.2.3).

Se poate presupune un elementde arie Ad pe suprafaa de separaie,n imediata vecintate a cruia

intensitatea cmpului magnetic H i

inducia HB 0= pot fi normale sautangeniale la suprafa ca n figurile5.24a, 5,24b.

Densitatea de volum a energiei cmpului magnetic fiind (v. relaia 5.96):

0

22

0 2

1

2

1.

2

1

===

BHHBwm

,

la o deplasare ld a elementului Ad variaia energiei magnetice va fi:

== cosddd.dd AlwAnlwW mmm i va fi maxim pentru 0= .

Fora Fd este maxim dup normala orientat dinspre corpul feromagnetic i are, conformteoremei forelor generalizate (relaia 5.121), intensitatea:

AwxWF m

mn dd

dd == ,

de unde rezult ctensiunea magneticeste valoric egal cu densitatea de volum a energiei:

(5.122) mn

nm wA

FT ==

d

d.

Cmpul magnetic tangenial la suprafaa corpului feromagnetic exercit asupra acestuia opresiune :

(5.123) mn

nm wA

Fp ==

d

d.

Teorema densitii de volum a forei n cmp magnetic staionar. Pentru forele interne

care acioneaz din aproape n aproape n cadrul unui sistem fizic se definete densitatea de voluma forei prin relaia:

(5.124)v

Ff

D

d

d= ,

unde

=v

vfF d este fora rezultant.

Fie sistemul unor conductoare aflate n regim electrocinetic cvasistaionar, situate ntr-un

mediu liniar din punctul de vedere magnetic. Lucrul forelor generalizate la deplasri ld aleconductoarelor va fi egal cu variaia energiei magnetice mW . Presupunndu-se c forele

acioneaz n condiiile meninerii constante a curenilor se obine:

(5.125)

=

==v

immWvlfL

const.|ddd.d ,

unde mW se poate calcula cu oricare din formulele (5.97) sau (5.117):

Fig. 5.24


25/48

313

=

==vvv

m vAJvB

vBHW d.2

1d

2

1d.

2

1 2.

Aici v este volumul spaiului extins teoretic la infinit iar v este

volumul spaiului ocupat de conductoare.Variaiile elementare ale ultimelor dou expresii se pot scrie:

vBBvBWv v

m dd.1

d1

d2

1d ll

21

+

=

i, respectiv:

+=vv

m vAJdvJAW dd.21d.

21d ll2 . (5.127)

Simbolul ld se refer la variaia locala mrimii corespunztoare.

Deoarece AB ll drotd = , termenul vBBv

dd.1

l

se transform astfel:

.dd.d.d).d(d]rot.d)d(div[drot.dd.1

lllllll vAJdvAJAnHAvHAHAAHvBBvvv vv

=+=+==

Integrala de suprafa este nul ca urmare a condiiilor de regularitate la infinit ale lui Hi A .nlocuindu-se termenul astfel dezvoltat n ecuaia (5.127) i deoarece:

mmm WWW ddd 21 == ,rezult:

==v v

lmmm vBvJAWWW d1

d2

1dd.dd2d l

212 . (5.128)

Pentru a se calcula variaia local a lui /1 , mrime care nu satisface o lege de conservare,se presupune cunoscut dependena ei n raport cu densitatea de mas, care se noteaz aici cu i

care se presupune variabil cu deplasarea. Se determin astfel variaia substanial

1

d l prin

intermediul lui )(d l :

,ddiv)/1(

)](divgrad.d[)/1(

).graddd()/1(

d)/1(1

.gradd1

d1

d

ll

llslls

sdss

ss

=

=

=+

=

=

+

=

de unde:

( )ss lll ddiv

/11.gradd

1d

=

. (5.129)

Variaia Jld se calculeaz n ipoteza c intensitatea curentului,

=S

AnJi d. , printr-o

suprafa oarecare S , antrenat de mediul n micare, rmne constant. Ca urmare a deplasrii,

poate varia i densitatea de curent cu Jld ct i S cu Sd , datorit deformrii curbei .Elementul ld al curbei , deplasndu-se cu sd , descrie suprafaa elementar

lsS ddd2 = (fig. 5.25), astfel c

= lsS ddd .

Variaia total a curentului fiind nul:

Fig. 5.25


26/48

314

=+=S

lsJAnLi 0)d.d.(d.dd l

i suprafaa S arbitrar, aplicndu-se teorema lui Stokes i identificndu-se integranzii seobine:

(5.130) )d(rotd l sJJ = .

inndu-se acum seama de relaiile (5.129) i (5.130), expresia (5.128) a lui mWd devine:

(5.131) .d1

gradd2

1dddiv

)/1(

2

1d)d(rotd 22 vsBvsBvsJAW

vvv

m +

+=

Primele dou integrale se transform astfel :{ } ;d)(dd)d(d)d(rot)d(]x)d[(divd)d(rot

=+=+= vvvv

vBJsvBsJAnsJAsJAsJvsJA

,d)/1(

.gradd2

1d

)/1(grad.d

2

1d.d

)/1(

2

1

d)/1(

.gradd2

1dd

)/1(div

2

1dddiv

)/1(

2

1

222

222

=

=

=

=

vv

vvv

vBsvBsAnsB

vBsvsBvsB

integralele de suprafa fiind nule, datorit condiiilor de regularitate la infinit. nlocuind acestevalori n ecuaia (5.131) se obine:

(5.132)

+

= vm vBBBJW d

1

grad2

1)/1(

grad2

1

d22

.

Dac elementele sistemului se pot deplasa independent, sd fiind diferit de zero pentruoricare din ele, prin identificarea ecuaiei (5.132) cu ecuaia (5.125) rezultexpresia densitii devolum a forei n cmp magnetic :

(5.133)

+

=1

grad2

1)/1(grad

2

1 22 BBBJfm ,

iar dac acestea nu se pot deplasa independent unele de altele, formula (5.133) determin forelelagrangeene corespunztoare gradelor de libertate.

Primul termen al ecuaiei (5.133) reprezintdensitatea de volum a forei magnetice Lorentz,al doilea intervine dac permeabilitatea este funcie de punct iar ultimul se datoreaz variaiei

permeabilitii cu densitatea de masi intereseaz la studiul magnetostriciunii .nlocuindu-se n ultimii doi termeni inducia magnetic cu expresia ei HB = i efectundcalculele se obine:

(5.134) )(grad2

1grad

2

1 22

+= HHBJfm .

Tensiuni maxwelliene n cmpul magnetic. Se introduce densitatea de volum a forei necuaia (5.122) care exprim rezultanta forelor de volum mF n funcie de rezultanta tensiunilor

nmT ce acioneaz asupra unitii de suprafa de versor n , obinndu-se:

(5.135)

==v

nmmm ATvfF dd .

Se xprim mf sub forma "' mmm fff += , unde :

= grad2

1 2' HBJfm (5.136)

i


27/48

315

)(grad2

1 2"

= Hfm . (5.137)

Termenul BHrotBJ = )( se transform astfel:

BHHBBHBHBH rot)grad()grad().(grad)rot( +++= . (5.138)Se ine seama de relaiile:

HBHHHHHHHHBH )grad()grad(grad]rotgrad[rotrot 2 +=+== i

HBHHDH )grad()grad()grad( += ,

astfel c relaia (5.138) devine:

,grad2

1)div()](grad

2

1div)grad[(

grad2

1)grad()grad().(grad

2

1)rot(

2

2

++=

=++=

HHBBHHBBH

HHHBHBHBH

n care s-a fcut nlocuirea:

HBBHHH divdiv)grad( = .

Deoarece 0div =B , rezult:

(5.139) ++= grad2

1)].(grad

2

1div)grad[()rot( 2HBHHBBHBH .

Termenii grupai ntre parantezele drepte se dezvolt n modul urmtor:

.T.2

1)()(

)(2

1)(

)()(.2

1)].(grad

2

1div)grad(

mzxyzxz

zyyyxy

zxyxxx

divBHBHz

BHy

BHx

k

BHz

BHBHy

BHx

j

BHz

BHy

BHBHx

iBHHBBH

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=+

(5.140)S-a notat cu mT tensorul a crei matrice este:

=

BHBHBHBH

BHBHBHBHBHBHBHBH

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

.2

1

.2

1.2

1

T . (5.141)

n raport cu un sistem de coordonate triortogonale, tensorul de ordinul al doilea T asociaz unei orientri oarecare o mrime vectorial T , funcie liniar i omogen decosinusurile directoare 1cos , 2cos i 3cos :

332211 coscoscos ++= TTTT ,

n care vectorii 1T , 2T i 3T senumesc componentele vectoriale pe care le asociaz tensorulorientrilor axelor de coordonate de versori 1u , 2u i 3u . Fiind determinat de trei vectori, tensorul

este caracterizat de 9 mrimi scalare reprezentate de componentele scalare ale vectorilor 1T , 2T i

3T .


28/48

316

Deoarece:

3332321313

3232221212

3132121111

332211

,

,

,

uTuTuTT

uTuTuTT

uTuTuTT

uTuTuTT

++=

++=

++=

++=

i

332211 coscoscos ++= uuuu ,rezult:

;coscoscos 3312211111 ++= TTTT

;coscoscos 3322221122 ++= TTTT

;coscoscos 3332231133 ++= TTTT Matricea tensorului T este tabela ale crei coloane conine coeficienii liniilor sistemului de

mai sus:

333231

232221

131211

TTT

TTT

TTT

.

n concluzie, termenul'

mf , dat de ecuaia(5.136), se va scrie, innd cont de relaia

(5.139):

,Tdiv2

1)()(

)(2

1)(

)()(2

1grad

2

1

'2

2

22'

mzxyzxz

zyyyxy

zxyxxxm

HBHz

BHy

BHx

k

BHz

HBHy

BHx

j

BHz

BHy

HBHx

iHBJf

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

==

unde 'Tm , avnd expresia (5.141), este tensorul tensiunilor maxwelliene n cmp magnetic.

Termenului"

mf , cu expresia (5.137), i corespunde tensorul tensiunilor de

magnetostriciune "Tm a crui matrice este:

(5.142) "Tm

= 1

100

010

001

2

1 2H .

Scriindu-se acum ecuaia (5.135) sub forma:

(5.143)

===v v

nmmm ATvfF divdd mT dv

i introducnd componentele tensorului "' TTT mmm += se deduc componentele dup orientarea de

versor n ale tensiunii nmT care sunt:

(5.144) )cos()cos()cos(21 2 knBHjnBHinHBHT zxyxxxmn ++

=

i nc dou similare. Ele conduc la expresia vectorial:


29/48

317

2

2

1)( HnHnBTnm

= , (5.145)

unde:

nHHnBTnm 2'

2

1)( = . (5.146)

Dac liniile de cmp sunt normale la suprafa, ca n figura 5.26a, ecuaiile (5.145) i(5.146) devin:

2

2

1HnTnm

= (5.147)

i

nHTnm 2'

2

1= , (5.148)

iar dac sunt tangeniale la suprafa, ca n figura 5.26b, atunci:

2

2

1HnTnm

= (5.149)

i

nHTnm 2'

2

1= . (5.150)

Pentru o orientare oarecare, se consider elemente de suprafa perpendiculare ntre ele,

dintre care unul omoparalel cu n iar cellalt perpendicular pe n i se aplic relaiile (5.147)

(5.150). n acest fel, tensiunile se reduc la o traciune n direcia cmpului i la o presiune normalpe liniile de cmp, ca i cum liniile de cmp ar fi fire elastice supuse la traciune i, lateral, supuseunei presiuni (fig. 5.27).

Deoarece pe suprafeele corpurilorferomagnetice liniile de cmp sunt fieperpendiculare, fie tangeniale, elementele desuprafa sunt supuse fie la o traciune spreexterior (fig. 5.28a), fie la o presiune spreinterior (fig. 5.28b).

Teorema impulsului electromag-netic. Expresia general a impulsuluielectromagnetic n medii imobile, liniare, izotrope i lipsite de polarizaie permanent se stabilete printr-o interpretare a ecuaiilor cmpului electromagnetic similar cu aceea care a condus laformularea teoremei energiei electromagnetice:

Fig. 5.26 Fig. 5.27

Fig. 5.28


30/48

318

- se multiplic vectorial la dreapta ambii membri ai ecuaiei legii induciei electromagnetice

cu D i ambii membri ai ecuaiei legii circuitului magnetic cu H . Se adun ecuaiile astfelobinute membru cu membru, rezultnd:

(5.151) Bt

DD

t

BBJBHDE

+

=+ )rot()rot( ;

- termenii de forma BHDE )rot(,)rot( se transform aa cum s-a procedat cu ecuaia(5.138) devenit (5.139):

(5.152) ++= grad2

1)div()].(grad

2

1div)grad[()rot( 2EEDDEEDDEDE ,

unde vD =div , i, n conformitate cu (5.139) rezult:

(5.153) ++= grad2

1)].(grad

2

1div)grad[()rot( 2HBHHBBHBH ,

n care:

(5.154) div).(grad2

1div)grad( =+ DEEDDE eT

i

(5.155) div).(grad2

1div)grad =+ BHHBBH mT .

eT i mT sunt: tensorul tensiunilor electrice, respectiv, tensorul tensiunilor magnetice.

Primul termen din membrul al doilea al relaiei (5.151) este densitatea de volum a foreimagnetice a lui Lorenz, mLf , iar ultimul termen al relaiei (5.153), luat cu semn schimbat, este

densitatea de volum a forei magnetice datorat variaiei spaiale a permeabilitii,'

mf :

(5.156) BJfmL = ,

(5.157) = grad2

1 2' Hfm .

Analog, ultimii doi termeni din ecuaia (5.152) reprezint densitatea de volum a forei

electrice, ef , care se exercit asupra sarcinii electrice, respectiv, cu semn schimbat, densitatea de

volum a fortei electrice datorat variaiei spaiale a permitivitii '

ef :

(5.158) Ef ve = ,(5.159) = grad

2

1 2' Efe .

Dac se noteaz:

(5.160)''

mmLeeem fffff +++= i(5.161) meem TTT += ,nlocuindu-se termenii din primul membru al ecuaiei (5.151) cu expresiile lor (5.152), (5.154) i(5.153), (5.155) se obine:

(5.162) div)(d

d= emfBDt em

T .

Integrnd pe volumul v n care se presupune localizat impulsul electomagnetic i aplicndteorema Gauss Ostrogradski ultimului termen rezult:


31/48

319

=v

em

v

vfvBDt

dd)(d

d

emT Ad . (5.163)

n acord cu relaia dintre fori impuls cunoscut de la Mecanic, mai rezult c expresiaimpulsului electromagnetic este:

=v

em vBDP d)( , (5.164)

cu densitatea de volum:

BDgem = . (5.165)Ecuaia (5.163) exprimteorema impulsului electromagnetic: derivata n raport cu timpul

a impulsului electromagnetic este egal cu suma cu semn schimbat a integralei de volum adensitii forei electromagnetice i integrala de suprafaa tensorului tensiunilor maxwelliene ncmp electric i magnetic.

Evident, dac permitivitatea i permeabilitatea sunt variabile cu densitatea de mas amaterialului atunci n expresia (5.160) a densitii forei electromagnetice intervin aditivdensitile de volum aleforelor de electrostriciunei aleforelor de magnetostriciune :

)(grad2

1 2'

= Efes (5.166)

i

)(grad2

1 2'

= Hfem . (5.167)

Momentul cinetic rezult din relaia:

+==

rvfrPrt

M

v

ememem

(d)(d

demT ) Ad . (5.168)

n regim cvasistaionar impulsul electromgnetic este neglijabil iar ecuaiile de mai susdevin:

=v

em vf d

emT Ad ; (5.169)

=

rvfrv

em (d)( emT ) Ad . (5.170)

Ele exprim acum echivalena dintre fora electromagnetic repartizat volumetric i fora

electromagnetic repartizat superficial.

5.6. Aplicaii

n cadrul acestui ultim subcapitol referitor la cmpul magnetic cvasistaionar, se vor analiza(cu titlul de aplicaii), cteva aspecte determinate de modelarea i simularea numeric a cmpuluimagnetic (n vederea rezolvrii unor probleme practice prin metoda elementului finit) i decalculul efectiv al cmpului magnetic n anumite situaii de interes pentru tehnic, inclusiv ctevacazuri clasice de calcul a inductivitii i determinrii aciunilor mecanice n sistemele fiziceelectromagnetice.

5.6.1. Simularea numeric a cmpului magnetic cvasistaionar

Simularea numeric a problemelor de cmp macroscopic se bazeaz n principal peformularea variaional echivalent modelelor difereniale care descriu local starea cmpului, dari pe discretizarea acestor modele difereniale. Modelele discrete fiind prezentate pe larg n


32/48

320

lucrarea noastr Dumitrescu, I. (1983), n acest paragraf se va aborda numai modelareavariaional.

Modelul variaional de cmp magnetic cvasistaionar

Acest model se deduce prin particularizarea adecvat a integralei de aciune (V1),prezentat n paragraful 2.6.3, i asocierea condiiilor de unicitate a determinrii cmpuluimagnetic cvasistaionar (definite n paragraful 5.2.1). ntre aceste condiii de unicitate, oimportan aparte revine condiiei de etalonare a lui Coulomb (v. 5.1.1), necesar pentru definire

univoc a potenilului magnetic vectorA .Se poate demonstra c pentru funcionala energetic asociat cmpului magnetic

cvasisteionar n medii oarecare este suficient s se considere expresia:

(5.171)

+

+

=

d

dAAJAnAHvAAJBHAF

v

B

dd)(d)div(2

d)( 2

0

,

n care, v este volumul domeniului de cmp (reprezentnd o regiune a spaiului

tridimensional), mrginit de suprafaa = rF , n este versorul normalei la (cu sensul spreinteriorul ei), reprezint o eventual suprafaa de discontinuitate din avnd o pnz decurent electric de conducie cu densitatea

dJ , iar ABH ,, i J reprezint vectorii de stare

magnetic a cmpului (intensitatea lui, inducia magnetic i potenilal magnetic vector) ielectrocinetic a mediului din (prin densitatea curentului electric de conducie).

Primii doi termeni ai integralei de volum (5.171) se obin direct din funcionala general(2.68), corespunztor condiiilor regimului magnetic cvasistaionar (care impun: ,0/ = t

0==DE i 0=vq ).Integrala pe din expresia (5.171) include condiiile pe frontier de tip Newmann (v.

2.2.3); ea se anuleaz pentru componenta tangenial la nul a potenialului magnetic vector(adic pentru 0=tA ) sau pentru componenta tangenial la nul a intensitii cmpului

magnetic ( adic pentru 0=tH ) deoarece ntotdeauna produsul vectorial AH este normal pe

versorul n (deci este tangent la , ceea ce implic: 00 == tt HA U ).

Ultimul termen integral din membrul drept al relaiei (5.171) exprim condiia de interfaddd

d

JHnH ==

rot ce se refer la o eventual suprafa fix de discontinuitate d pe

care exist 0=dJ . Ecuaiile de trecere dd

JH =

rot i 0div =d

B (n care intervin rotorul i

divergena de suprafa relativ la d ), caracteristice cmpului magnetic cvasistaionar,reprezint condiiile la limit naturale n procesul de staionarizare a funcionalei (5.171).

n fine, termenul 2/)div( 2A din funcionala (5.171) impune condiia lui Coulomb

0div =A , de etalonare pentru potenialul magnetic vectorA (v. 5.1.1) n funcionala energetic(5.171), conform metodei aa-ziseifuncii de penalitate (noiune introdus de Coulomb, J.L. , nanul 1981, prin teza sa de doctorat susinut la Institutul Naional Politehnic din Grenoble

Frana, cu titlul Analyse tridimensionelledes champ lectriques et magntiques par la mthod deslments finis ). Pe scurt, aceast metod const n : dac )(F , definit pe = U ,reprezint o funcional de staionarizat conform unui principiu variaional convenional i dac seimpune suplimentar satisfacerea unei restricii de egalitate 0)( = pe , atunci se poateadopta ca funcional modificat, corespunztoare principiului variaional constrns expresia


33/48

321

+v

vF d)]([)( 2 , unde (numit parametru de penalitate) este un numr real, pozitiv,

suficient de mare pentru ca restricia impus s fie ct mai bine ndeplinit. n cazul de aici,

2/= i Adiv)( = . Parametrul de penalitate din acest caz, 2/ , cu dimensiunea unei

reluctiviti (adic [ ] 1= ), este dependent de materialul i starea fizic a mediului din cmpul .

Prin explicitarea ecuaiei constitutive cu forma general )(B HB = sau )(H BH= adic

legea legturii dintre B , H i M (magnetizaia) se obin formele specifice ale funcionalei

energetice (5.171), asociat cmpului magnetic cvasistaionar, aa cum se va arta n urmtoareledou aplicaii.

Aplicaia 5.1 Se consider cazul: medii fixe, neliniare, anizotrope, neomogene imagnetizate permanent, pentru care se cere s se stabileasc ce form va avea funcionala(5.171).

n cazul unor astfel de medii, adic: imobile (ceea ce nseamn c viteza este

= rrw 0)( , r fiind raza vectoare a unui punct P fa de un punct de referin

0P ); neuniforme (neomogene i cu ortotropie magnetic) i neliniare ceea ce implic faptul

c mrimile de material i = /1 depind de vectorul induciei magnetice )(rB i de r, astfel

c (de exemplu) reluctivitatea se exprim printr-un tensor ),( rB , avnd i inducie magnetic

remanent )(rB rem , din cauza magnetizaiei permanente, legea legturii dintre B , H i M adic ecuaia constitutiv )(H BH= se scrie sub forma:

= rrBrBrBrH rem )]()()[,()( . (5.1-1)Atunci, cu aceast ecuaie constitutiv (5.1-1), funcionala energetic de staionarizat

(5.171) ia forma:

=

+

+= d

d AAJAnrArHvAAJBrBrBrBAFv

Brem

B

dd)]()([d)div(2

1d)]()()[,()( 2

00

,(5.1-2)

n care reprezint norma canonic a matricei ptrate asociate tensorului simetric de ordinul

doi, , al reluctivitii materialului din .

Funcionala (5.1-2) se obine direct, prin nlocuirea lui H din primul termen al funcionaleigenerale (5.171) cu expresia sa din ecuaia constitutiv (5.1-1).

Aplicaia 5.2. Se consider cazul: medii fixe, liniare, izotrope, omogene i nemagnetizatepermanent, pentru care se cere sse stabileascce formva avea funcionala (5.171).

n cazul acestor medii (liniare, uniforme, imobile adic avnd 0=w peste tot n i cu

0=pM n orice punct din ) de cmp magnetic cvasistaionar, reluctivitatea devine o constant

scalar iar inducia remanent este nul, = rrB rem 0)( .Ca urmare, n aceast situaie, funcionala energetic de staionarizat se poate obine prin

simpla particularizare (la acest caz, al aplicaiei 5.2) a expresiei (5.171) sau prin scrierea ei n

forma specific determinat de faptul c 0dd0

= vBHB

(mediul neavnd nici histerezis), ceea ce

conduce la forma:

(5.2-1) =

=

v kk An

AAvAJAAF ddgrad

2)(

23

1

,


34/48

322

n care suma se refer la componentele scalare ale potenialului magnetic vectorA .n prima integral din expresia (5.2-1), funcia de penalitate pentru impunerea condiiei de

etalonare a lui Coulomb (adic 0div =A ) nu mai apare, deoarece aceast condiie (restricie) estesatisfcut implicit.

A doua integral a funcionalei (5.2-1) corespunde unor condiii mixte la limit, pe

= Fr . Aceast integral se anuleaz pentru condiia Neumann omogen 0/ = NnA pe

N , unde N este poriunea din frontiera pentru care se d condiia la limit de tip

Neumann (referitoare la variaia lui A pe direcia normalei la N ). Condiia de tip Dirichlet,

adic NDrrfA D == )( , reprezint singura condiie la limit esenial, relativ la(5.2-1). Ca urmare, ea trebuie impus explicit clasei de funcii n care se caut soluia de potenialmagnetic vector ce realizeaz valoarea staionar a funcionalei (5.2-1). Desigur, s-a neles c ncele precedente, indicileNse refer la condiiile de tip Neumann iD la cele Dirichlet, care pot fiformulate pe poriunile de frontier N i D , astfel c == FrDNU .

Analiza numeric a problemelor tridimensionale de cmp magnetic cvasistaionar

Se consider cazul cel mai des ntlnit n aplicaiile tehnice (al circuitelor feromagnetice v. cap6), n care materialul din domeniul este uniform ns neliniar. Domeniul este deschisi limitat n 3R , iar potenialul magnetic vectorA are trei componente: ),,(

321

AAAA = , care ntr-

un sistem cartezian ( ),, zyx se scrie =

=zyx

uAA,,

, unde u este versorul direciei zyx ,,= .

n acest caz, funcionala energetic (5.2.-1) devine:

(5.172)

,d)(

ddd]})/()/()/[(2

{)(,,

222

AAn

AA

n

AA

n

A

zyxAJzAyAxAAF

zz

yy

xx

v zyx

NNN N

=

+

+

++

=

deoarece, prin definiie nAngradA = / , cu versorul direciei normalei la = Fr dat de

kzjyixn ddd ++= , astfel c =

++=zyx

zAyAxAA,,

2222 )/()/()/(grad .

Pentru rezolvarea unei probleme practice pe cale numeric ( de exemplu, prin aproximaiasoluiei prin tehnica elementelor finite v. 9.2.4) este suficient ca funcionalei (5.172) s i se

ataeze condiii pe frontier de tip Neumann: )(/ rfnA NN = , Nr , ca o condiie la limit

natural n procesul de staionarizare al funcionalei (5.2-1) funcia )(rfN fiind exprimatnumeric conform problemei practice formulate i modului de partiie a elementelor finite pe ,care conduce la o reea spaial de discretizare.

Atunci studiul unei probleme tridimensionale const n:i) fie o deschidere limitat n 3R , cu frontiera suficient de regulat, pentru care se

noteaz:

(5.173) 0)],(H[,{ 1~

== nvvvW pe } ,

n care:~

W este un spaiu Hilbert, )(H1 desemneaz spaiul Sobolev i v este o variabilvectorial astfel c pe frontiera componenta tangenial este nul;

ii) se consider acea variabil u a spaiului~

W care d produsul scalar:


35/48

323

== xvuxvuvu kk dgradgraddgradgrad .

n fapt aplicaia:

+= 21

22

,1)ddgrad( xuxuuu

este o norm pe~

W , echivalent normei introduse prin norma obinuit a lui 31 )]([H , adic:

+= 21

22

,1)ddgrad( xuxuuu ;

iii) n aceste condiii i) i ii) oricare ar fi u i~

Wv , exist expresia:

+= xvuxvuxvu ddivdivdrotrotdgradgrad , (5.174)

ceea ce se poate demonstra uor pentru funciile suficient de regulate i prin trecerea la limit

pentru~

W ;iu) inndu-se seama de aceste rezultate, problema tridimensional se reduce la problemele

variaionale urmtoare:

a) s se gseasc~

WA astfel ca

=

~2

0dvJdgrad)gradgrad,( WvxxvAAx (5.175)

i

b) s se gseasc~

WA astfel ca

=

~2

0dvJddivdivdrot)rotrot,( WvxxvAxvAAx , (5.176)

probleme care admit fiecare o soluie i numai una. In funcionalele energetice (5.175) i 5.(176) ca parametru de penalitate este reluctivitatea materialului din ;

u) soluia A , adic potenialul magnetic vector, a problemei (5.176) corespunztoarecazului general (i, de asemenea, a problemei (5.175) pentru cazul materialelor liniare) este soluia

problemei cmpului magnetic staionar care verific condiia 0div =A .Soluia problemei b) se obine rezolvndu-se ecuaia (5.176) n sensul distribuiilor

(D~

3))( W :

JAA = divgrad)rot(rot n ,

i pentru c 0div =A , rezult imediat ecuaia lui Maxwell JA = )rot(rot .Pentru aproximarea numeric a soluiei problemelor (5.175) sau (5.176), domeniul de

existen din 3R a cmpului magnetic staionar se partajeaz n tetraedre adecvate geometrieisistemului, pe care potenialul magnetic vector A se aproximeaz prin funcia discret (pe

tetraedre) hA , n spaiul funcional hW~

(care l aproximeaz pe~

W ):

1d,))((|{ ,030

~

= khhhh VCVVW pe 0,3,2,1, == nVkT h pe },

unde T reprezint tetraedrul. Atunci un element hh WV~

are urmtoarea form explicit (ntr-unsistem cartezian zyx ,, ):

),,())(()(6

1),,(

4

1

zyxeVzsyrxqpTv

zyxV ThTj

Tj

Tj

TT j

Tj

Tjh

h

+++=

,


36/48

324

n care, )(Tv reprezint volumul tetraedrului T aparinnd sistemului de tetraedrizaie hT ;The

este funcia caracteristic a tetraedrului T ; TjTj

Tj rqp ,, i

Tjs sunt funcii ale coordonatelor vrfurilor

tetraedrului, iarT

jV este valoarea funciei n vrful j al tetraedrului T .

Atunci problema aproximativ, n tridimensional, pentru cmpul magnetic cvasistaionar

const n gsirea lui hh WA~

astfel ca

(5.177) hhhh WVVGAG~

)()( ,unde G este funcionala energetic relativ la (5.176).

Aceast problem (5.177) discret de optimizare n hW~

admite un rezultat unic, soluiilefiind caracterizate dac variabilele problemei sunt numerotate de la 1 la N prin:

(5.178) NkvAG kh ...,,3,2,10/)( == ,rezolvarea numeric fcndu-se printr-o metod iterativ.

Aplicaia 5.3.S se determine, prin simularea numeric n 3D de tipul (5.176) i (5.178),cmpul induciei magnetice n ntrefierul tridimensional al unui alternator(v. Maini electrice).

Se consider c reluctivitatea relativ a materialului feromagnetic al circuitului magnetic al

alternatorului, adic r (tiind c 0/ = r , cu

H

m

104

170

pentru aer/vid) are forma:

)grad()rot()(222

AAB rrrr ===

din figura 5.29.Pentru a putea fi utilizat n sistemul de calcul automat, ea se introduce ntr-un fiier din

memoria "hard-disc" a calculatorului prin scanare (cu un "scaner"). Dac nu se dispune de ocaracteristic (ca cea din figura 5.29) de precizie, atunci se poate exprima ( cu o aproxima iesuficient de bun) prin expresia analitic:

Tx

xCxy TC +

+=

)()(,,, ,

dedus din distribuia punctelor n planul ),(2

B

rezultat din curba de magnetizare a materialuluiHB = (v. cap.6), cu urmtoarele valori ale

parametrilor:

4

1016,5

= ; 17,0=C ; 14,5= i31075,8 =T care are o eroare de aproximare a curbeidin figura 5.29 de 3 la 4%.

Domeniul tridimensional ales (redat frontal nfigura 5.30) a fost decupat (partajat) n 6160 tetraedrei 1140 noduri.

Prin utilizarea unui produs informatic ANSISEMAG (v. 9.3.2) s-au obinut pe o staie de calcul

IBM RISC System/600 rezultatele scontate, dintre care n figura 5.31 este redat spectrul liniilor

de cmp magnetic (ale induciei magnetice B ), din zona rotor ntrefier/crestturi stator,obinute cu o imprimant cu jet de cerneal.

Fig. 5.29


37/48

325

De fapt, n figura 5.30 este prezentat, numai ca principiu constructiv, o seciunetransversal (normal pe axa mainii) prin circuitul magnetic al alternatorului cu o singur perechede poli (fig. 5.30a) nsoit de un fragment cu detalierea formei crestturilor din miezul statoric(fig. 5.30b), pentru a ntelege de ce n vederea simulrii numerice n 3D a cmpului magneticprin metoda elementului finit a fost necesar o "stilizare" a circuitului magnetic tridimensional

care s permit partajarea lui n tetraedre (tetraedrizarea), conform schiei din figura 5.30c (care serefer numai la trei crestturi).

n principiu, calculul numeric al cmpului magnetic staionar n 3D se face conformurmtorului algoritm (pe care produsul ANSIS EMAG l efectueaz automat):

- partiionarea n tetraedre a domeniului h de studiat;

- se consider o funcie vectorial ),,(),,( 321 UUUzyxU = ce definete potenialul magnetic

vector hA pe h . Aceast funcie ),,( zyxU este aleas pe fiecare tetraedru, fiind continu n aa

fel nct vectorul induciei magnetice B , care este dat de Urot , s fie constant pe fiecareelement tetraedric;

- se alege un punct hzyxM ),,( 000 din care "pornete" n3R o linie de cmp a lui B .

Acest punct aparine unui anumit tetraedru, n care se cunoate

direcia liniei de inducie ( Urot=B ), care este o constant. Estesuficient atunci, s se traseze n acest element (tetraedru) o

liniu care va reprezenta linia de inducie B al crui vrf ladreapta va determina un punct 'M situat n tetraedrul vecin;

- pentru vizualizarea liniilor de inducie magneticB n

spaiu, se traseaz toate liniuele

'MM pe structura de tetraedre

n care a fost partajat sistemul (aa ca n exemplul din figura5.31).

Fig. 5.31

Fig. 5.30


38/48

326

5.6.2. Calculul cmpului magnetic

n cadrul acestui paragraf se prezint calculul analitic al unui cmp magnetic (prin

determinarea mrimilor de stare ,,BH sau A pentru cteva cazuri particulare de interes, ns,pentru aplicaiile practice din tehnic.

Aplicaia 5.4. Sse determine potenialul magnetic vector al unui conductor rectiliniu aflatn regim electrocinetic.

ntruct divergena rotorului vector este identic nul, 0=rotdiv vA i fiindc 0=div vB ,

rezult c inducia magnetic este rotorul unui vector vA :

(5.4-1) vv AB rot= ,numitpotenial magnetic vector n vid, prescurtat potenial vector n vid.

Cu identitatea vectorial:

R

ll

R

1l

R

R

R

Rl '''33

' drotdgradd

d===

,

expresia induciei magnetice n vid Bv a unui curent filiform ia forma:

=

= .

d

4rot

d

40

3

0

R

li

R

Rli(r)B v

''

Identificnd aceast expresie cu (5.4-1) se obine potenialul vector n vid vA al unuiconductor filiform:

(5.179)

=R

liAv

'd

40

,

Observaii. Relaia (5.179) determin numai componenta rotaional a potenialului vector

vA . n general, vsvpv AAA += , n care vpA este componenta rotaional i vpv AA div=div ,

0=rot vpA , iar vsA este componenta solenoidal cu vsvvs AAA rot=rot0,=div . n regim staionar

i cvasistaionar, potenialul vector vA satisface condiia 0=div vA , numitde etalonare de tipCoulomb.

La fel ca n cazul potenialului electrostatic al unui corp filiform ncrcat cu sarcinelectric, contribuia fiecrui element de

lungime 'dl este invers proporional cu

distana R dintre element i punctul n carese calculeaz potenialul vector vA .

Potenialul vector n vid al unui firrectiliniu, infinit lung, aflat sub curentelectric se poate exprima logaritmic.Alegndu-se axa Oz a unui sistem decoordonate cilindrice circulare n lungulfirului i originea O, n piciorulperpendicularei coborte pe fir din punctul

n care se determin potenialul vector n vid vA (fig. 5.32), se obine:

r

lki

lr

lrki

rll

rllki

rz zki

rz zki

rA

ll

l

ll

v

2ln

2

/11

/11lnlim

4

lnlim

4

dlim4d4

0

22

220

22

220

220

220

++

++=

++

++=

=+=+=

)(

dz zz

AP

O

Fig. 5.32


39/48

327

sau,

r

CkirAv ln

2)( 0

= , (5.180)

n care s-a notat cu C constanta: lC 2= .Potenialul vector al unui fir rectiliniu infinit lung, sub curent electric de conducie este

proporional cu logaritmul natural al distanei la fir i se numeste potenial logaritmic. Formula(5.180) este similar cu expresia potenialului electric logaritmic i din acelai motiv intervinelungimea firului n expresia constantei. Acest inconvenient se elimin integrndu-se directecuaia:

rirrAz

= 2)(0 ,

care rezult din (5.179).Integrndu-se ntre un punct de referin la distana a de firi punctul situat la distana r, se

obine expresia:

r

airAz ln2)( 0

= .

Aplicaia 5.5. S se determine expresia intensitii cmpului magnetic al conductoruluiinfinit lung, ntr-un punct aflat la distana d fade conductor (fig. 5.33)

Vectorii elementari Hd sunt perpendiculari pe planul elementelor ld i razelor vectoare R .

Sensul lor este dat de regula efecturii produsului vectorial Rld :

3

d

4d

R

RliH

= .

Pentru ntregul conductor:

+

=3

d

4 R

RliH ,

unde:

+

=3

)sin(d

4 R

RliH .

inndu-se seama de relaiile evidente:

=

= dsind

d;cos

sin2ldl i = sin

dR

,

rezult:

d

i

d

i

d

iH

=

=

=

2cos4

dsin

4

00

. (5.181)

Aplicaia 5.6: S se determine expresia intensitiicmpului magnetic al spirei circulare din figura 5.34.

Fa de centrul spirei sunt ntotdeauna perechi de

elemente ld simetrice, ale cror cmpuri elementare n Paucomponente paralele cu planul spirei egale i opuse. Prinurmare, cmpul rezultant n P va avea numai component

perpendicular pe planul spirei:

==

3

dcos

4cos

R

RliHHz , (5.182)

cu modulul:

Fig. 5.33

Fig. 5.34


40/48

328

(5.183)223

0

2

coscos

4

90sindcos

4 R

iadl

R

i

R

RliHz

=

=

=

,

deoarece ld i R sunt perpendiculari.

Avnd totodat 22 zaR += i Ra /cos = , rezult:

(5.184)2

322

2

)(2 za

iaHz

+= ,

unde z este distana de la punctulP la planul spirei.n centrul spirei, pentru care 0=z , rezult imediat din relaia (5.184):

(5.184')a

iHz 2

= .

Ultima relaie servete i la definirea unitii de msur pentru intensitatea cmpuluimagnetic, numit amper pe metru: A/m. Ea este echivalent cu acea valoare a intensitiicmpului stabilit n centrul unei spire cu diametrul de 1m de un curent cu intensitate de 1A prinspir.

Aplicaia 5.7: S se determine expresia intensitii cmpului magnetic produs de o bobinntr-un punct de pe axa ei (fig. 5.35).

Intensitatea cmpului magnetic n punctul Pva rezulta prin nsumarea n acel punct a

contribuiei fiecrei spire componente a bobinei laformarea cmpului magnetic.Dac se noteaz cu n numrul de spire pe

unitatea de lungime, o poriune ld a bobinei vaconine lnd spire i va produce n P un cmp de

intensitate echivalent cu acela produs de o spirde raz egal cu abobinei, dac se afl sub curentultotal linI d= :

(5.7-1) llR

inR

lR

IRH d

)(2)(2

d2

322

2

2

322

2

+=

+= .

Notndu-se cu unghiul razei vectoare dus din P ctre elementul ld i avndu-se nvedere relaiile:

,sin

;dsin

d;2

222

2 =+

=

=

RlR

Rl

tg

Rl

se obine:

(5.7-2) = dsin2

1d inH ,

de unde, integrndu-se pentru toate valorile unghiului va rezulta:

(5.185) ),cos(cos2

1dsin

2

121

1

2

==

ininH

1 i 2 fiind unghiurile corespunztoare extremitilor solenoidului.n ipoteza teoretic a bobinei infinit lungi (admis de calculele tehnice atunci cnd

dimensiunile seciunii bobinei sunt mici n raport cu lungimea), 01 i 2 iar expresia(5.185) a intensitii cmpului devine:

Fig. 5.35


41/48

329

iL

NniH == , (5.185')

unde N este numrul de spire, iarL lungimea bobinei.

5.6.3. Calculul inductivitilor

n cele ce urmeaz vor fi prezentate trei exemple referitoare la calculul practic alinductivitilor n cazul unor aplicaii tipice din tehnic.

Aplicaia 5.8.Calculul inductivitii mutuale a doubobine cilindrice drepte (fig. 5.36).Dou bobine cilindrice drepte i foarte lungi, dispuse coaxial, cu razele 1a i 12 aa > , cu 1N

i respectiv 2N spire, sunt situate n mediul de permeabilitate constant (v. fig. 5.36).Inductivitatea mutualMse calculeaz considerndu-se de exemplu, bobina exterioar sub

curentul 2i ; fluxul magnetic fascicular 12f

fiind egal cu laiN /2122 , rezult pentru fluxulmagnetic total expresia: -

l

aiNNN f

21221

12112

== din care se

deduce conform definiiei 0212 1|/ == iiM inductivitatea mutual ntre cele dou bobine:

laNN /=M 2121 , (5.186)care admite c ntre cele dou bobine cuplajuleste perfect.

Aplicaia 5.9. Calculul inductivitii mutuale ntre douconductoare filiforme paralele.Cu formula lui Neumann n care integralele de linie se efectueaz pe poriuni deschise de

curbe 1C i 2C se obine:

(5.9-1)

=1 2 12

2121 dd

4

C C R

llNNM ,

care este inductivitatea mutualdintre cele dou poriuni deschise ale curbelor 1C i 2C aparinndcircuitelor nchise 1 i 2 . Aceastmrime este ns o mrime de calculinu trebuie confundat cu inductivitateapropriu-zis care se refer laconductoare alctuind circuite nchise.Ca aplicaie se consider dou firecilindrice circulare de raze a ilungime l dispuse paralel la distana dn mediul de permeabilitate constant (fig. 5.37).

Inductivitatea mutual M secalculeaz cu formula (5.9-1) lund121 ==NN i avndu-se n vedere c

21 d||d ss (deci 2121 dddd ssss = ):

l

N2

N1

2a1

2a2

Fig. 5.36

l

s2

dR12

2a

s1

Fig. 5.37


42/48

330

+

=l l

dss

ssM

0 022

21

21

)(

dd

4

.

inndu-se seama de formulele:

)ln(d 22

22dxx

dx

x++=

+ ,

)()ln(d)ln( 222222 dxxdxxxxdx +++=++ ,se obine:

M=

++

+++ )(2ln

4 22

22

22

lddllld

lldl .

Dac dl>> , dezvoltndu-se n serie radicalii i reinndu-se numai primii doi termeni,expresia lui M devine:

1

2ln

2 d

llM . (5.187)

Aplicaia 5.10. Calculul inductivitii exterioare a unei linii aeriene bifilare (fig. 5.38).Intensitatea cmpului magnetic dat de unul din conductori este:

r

iH

=

2

iar fluxul corespunztor prin suprafaa S:

a

dil

a

adil

r

rilrlHAB

ad

aS

ext

ln2

ln2

d

2d.d

00

00

=

=

===

,

deoarece da


43/48

331

n aceast situaie, variaia energiei cmpului magnetic n care se afl conductorul va fi:= dd iWm . Variaiei elementare de flux magnetic d i se d urmtoarea interpretare: variaia

fluxului este egal cu fluxul vectorului B prin suprafaa descris de elementul de conductor ld n

cursul unei deplasri virtuale cu xd . Atunci:

lxBlxBAB dd)dd(dd === ,

n care succesiunea termenilor xd i ld n produsul vectorial este determinat de necesitatea ca

B , xd i ld s formeze un triedru drept. Pe baza proptietilor produsului vectorial mixt se poate

scrie:xBliiWm d)d(dd == .

Experiena arat c vectorul )d( Bl are ntotdeauna direcia i sensul forei, Fd , la careeste supus elementul de conductori de aceea din relaia:

xBliWxFW m d)d(dddd == ,rezult:

)d(d BliF = , (5.189)cunoscut sub numele defora lui Laplace saufora magnetoelectric.

Aceast determinare nu este riguroas i are mai mult un caracter ilustrativ. Totui,rezultatul (5.189) este corect i are numeroase aplicaii tehnice.

Dac inducia magnetic este uniform, adic .const),( =tPB n oricare punct P aldomeniului i conductorul este rectiliniu i rigid (de lungime l), atunci se poate determina,integrndu-se expresia (5.189), fora rezultant ce acioneaz asupra ntregului conductor:

)d(])d([)d(d00

BliBliBliFFll

====

, (5.189')

iar dac firul conductor este normal pe inducia magnetic ( Bl ) atunci vectorii F, li B suntortonormali i valoarea forei magnetoelectrice este:

ilBF= . (5.189")

Aplicaia 5.12.Fora lui Ampre (fig. 5.40).

Experiena arat c dou conductoare filiforme, rectilinii i paralele, 1 i 2, n stareelectrocinetic (caracterizat se curenii 1i i 2i ) suntsupui unor fore (de atracie cnd curenii au acelaisens fig. 5.40a, sau de respingere cnd 1i i 2i sunt

de sensuri opuse fig. 5.40b), situate n planul formatde conductoare.

Explicaia exercitrii acestor fore esteurmtoarea: fiecare din cel dou conductoare se gseten cmpul magnetic produs de curentul din conductorulvecin i atunci, aplicndu-se (n condiiile din figura5.40) relaia (5.89'), rezult:

)( 211

1 BliF = i )( 122

2 BliF = , (5.12-1)

n care, 11 HB = i 22 HB = , intensitile cmpurilor magnetice avnd valorile conform

relaiei (5.181): diH = 2/11 i diH = 2/22 .Atunci expresiile (5.12-1) ale forelor devin:

Fig. 5.40


44/48

332

(5.12-2) )](2

[ 0|21102

111 = dl

d

iliF i )](

2[ 0|1220

1221

= dld

iliF

unde 0|21d , 0|12d , 10l i 20l sunt versorii distanelor indicate de simbol ( d distana ntre

conductoare i l lungimea lor).

Deoarece F, li B formeaz un triedru drept, valorile forelor date de relaiile (5.12-2)sunt:

(5.190) ld

iiFFF

=== 21212

,

relaie care pn nu de mult era utilizat ca etalon pentru definirea unitii de msur a intensitiicurentului electric de conducie (v. 1.2.1), adic a amperului.

Fora dat de relaia (5.190) este denumitfora lui Ampre saufora electrodinamic.

Aplicaia 5.13.Fore electrodinamice ntre bobine aflate n stare de conducie (fig. 5.41).Se consider bobinele unui electrodinamometru,

una foarte lung, cu 1N spire sub curentul 1i n interiorul

creia se poate roti bobina mobil avnd 2N spire. Cnd

bobina mobil este parcurs de curentul 2i , n cmpul de

inducie 1B , al bobinei fixe, se exercit asupra ei uncuplu de fore care tinde s o roteasc n aa fel nctfluxul util ntre bobina 2i bobina 1 s fie maxim.

Inducia 1B a rezultat din expresia (5.185'):

l

iNHB 110101 ==

,

unde l este lungimea bobinei, iar momentul cuplului se calculeaz cu ajutorul relaiei (5.121):

consti

ma

WC

=

= (cu aCX i x ).

Energia magnetic are expresia (5.114) n care, innd seama c bobinele suntnedeformabile, energiile proprii sunt constante n raport cu aa c inem seama numai deenergiile de interaciune:

12212121 LiiLiiWm == .

Deoarece,

1

212

1

2121

sin

i

ABN

iL

=

= ,

avem:

=

=

=

=

cos21212021

21

.

NNiil

ALii

WC

consti

ma .

Cuplul tinde s roteasc bobina mobil n poziia n care fluxul magnetic 21 i deci i energiamagnetic sunt maxime. n poziia n care planul bobinei mobile conine axul solenoidului ( 0= sau = ), cuplul este maxim n valoare absoluti este nul n poziia n care planul bobinei esteperpendicular pe axul solenoidului ( 2/= ).

Aplicaia 5.14.Fora portanta unui electromagnet (fig. 5.42).Prin for portant a electromagnetului se nelege fora care se opune desprinderii armturii

de miez.

Fig. 5.41


45/48

333

Se presupunem c acionndu-se din exterior s-a desprins armtura producnd ntrefierul delungime xl 20 = . Energia acumulat n cmpul magnetic din ntrefierul care s-a creat este:

xAHBAlHBVWW mm 22

1

2

100 ===

sau

AxB

Wm0

2

= ,

de unde rezult fora portant pF :

ABABxWF mp

0

2

0

2

dd === .

Aplicaia 5.15. Calculul energiei magnetice nmagazinat ncmpul magnetic din interiorul unui conductor cilindric drept de raz ai de lungime foarte mare , al


46/48

334

==8

22int

intl

i

WL

electrotehnica - capitolul 5

Documents