electrotehnica 1

93
UNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS” GALAŢI DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ ŞI CU FRECVENŢĂ REDUSĂ ELECTROTEHNICA Anul II INGINERIA SI PROTECTIA MEDIULUI ÎN INDUSTRIE (IPMI) GALATI 2006

Upload: silviu

Post on 24-Jul-2015

340 views

Category:

Documents


22 download

TRANSCRIPT

Page 1: Electrotehnica 1

UNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS” GALAŢI

DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ ŞI CU FRECVENŢĂ REDUSĂ

ELECTROTEHNICA

Anul II

INGINERIA SI PROTECTIA MEDIULUI ÎN INDUSTRIE (IPMI)

GALATI 2006

Page 2: Electrotehnica 1

CUPRINS

PARTEA I

Cap. I ELECTROSTATICA

1.1. Generalitati………………………………………………………………………... 1.2. Sarcina electrica si campul electric in vid………………………………………. 1.3. Potentialul electric.................................…………………………………………….. 1.4. Tensiunea electrica ……………………....................................................……… 1.5. Camp electric in substanta………………………………………………………… 1.6. Legea fluxului electric…………………………………………………………… 1.7. Condensatorul electric si capacitatea electrica…………………………………… 1.8. Capacitati echivalente. Transfigurarea circuitelor electrice cu condensatoare …

3

3 3 7 8 8

11 13 14

Cap. II ELECTROCINETICA

2.1. Generalitati………………………………………………………………………….. 2.2. Campuri electrice imprimate. Tensiunea electromotoare...………………………… 2.3. Marimi de stare ale electrocineticii……………………………………………….. 2.4. Legile si teoremele electrocineticii………………………………………………..

16

16 16 18 19

Cap. III CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU 3.1. Generalitati .............................................................................................................. 3.2. Conectarea dipolilor. Surse echivalente. Rezistenţe echivalente..............................

24

24 25

Cap. IV ELECTRODINAMICA

4.1. Camp magnetic in vid. Inductia magnetica……………………………………… 4.2. Intensitatea campului magnetic in vid - Formula lui Biot-Savart- Laplace……… 4.3 Tensiunea magnetomotoare. Solenatie. Formula lui Ampere…………………… 4.4 Camp magnetic in substanta…………………………………………………… 4.5. Legea fluxului magnetic…………………………………………………… 4.6. Circuite magnetice…………………………………………………………... 4.7 Legea inductiei electromagnetice……………………………………………

29

29 30 31 32 37 38 38

Cap. V CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM ARMONIC 5.1. Generalitati…………………………………………………………….….. 5.2 . Regimul periodic sinusoidal al circuitelor electrice……………………………… 5.3. Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidal rezolvate prin metoda directă................................................................................................................................

5.3. Reprezentarea fazoriala a marimilor sinusoidale……………………… 5.4. Reprezentarea complexa (simbolica) a marimilor sinusoidale………… 5.5. Circuite simple de curent alternativ sinusoidal analizate prin metoda

reprezentarii in planul complex.................................................................... 5.6. Rezonanta electrica…………………………………………………….. 5.7. Imbunatatirea factorului de putere………………………………………….. 5.8. Conexiunea impedantelor in circuitele de c.a……………………………….. 5.9. Circuite trifazate de c.a. sinusoidal……………………..

41

41 41

45 54 56

60 65 65 67 69

1

Page 3: Electrotehnica 1

Cap. VI MASURARI ELECTRICE 6.1. Măsurări, mijloace şi metode de măsurare....................................................... 6.2. Masurarea marimilor electrice……………………………………………….

76

76 79

BIBLIOGRAFIE Partea I ............................................................................................. 92

PARTEA II

Cap. I - TRANSFORMATORUL ELECTRIC 931.1 Elemente constructive ale transformatorului electric 941.2 Transformatorul monofazat 951.3 Transformatorul trifazat 1081.4. Autotransformatorul 1121.5 Transformatoare de măsură 1131.6 Transformatoare de sudură 114

Cap. II – MASINA ASINCRONA 116

2.1 Câmpuri magnetice în maşinile de curent alternativ 1162.2 Tensiunile electromotoare induse în înfăşurările maşinilor

de c.a. de câmpurile magnetice învârtitoare

1222.3 Cuplu electromagnetic în maşinile trifazate de curent alternativ 1242.4 Fenomenul de reacţie magnetică a indusului 1262.5 Maşina asincronă 127

Cap. III – MASINA SINCRONA 149

3.1 Elemente constructive ale maşinii sincrone trifazate 1493.2 Fenomenul de excitaţie 1493.3 Fenomenul de reacţie magnetică a indusului 1513.4 Regimurile energetice ale maşinii sincrone trifazate 1523.5 Ecuaţiile de funcţionare în regim staţionar ale motorului sincron trifazat 1553.6 Caracteristicile motorului sincron trifazat 159

Cap. IV – MASINA DE CURENT CONTINUU 166

4.1 Elemente constructive de bază ale maşinii de curent continuu 1664.2 Fenomenul de excitaţie 1664.3 Tensiunea electromotoare indusă într-o secţie a înfăşurării rotorice 1684.4 Tensiunea electromotoare a maşinii de curent continuu 1714.5 Cuplul electromagnetic dezvoltat de maşina de curent continuu 1724.6 Fenomenul de reactie magnetica a indusului 1734.7 Regimurile energetice de funcţionare ale maşinii de curent continuu 1754.8 Caracteristicile motoarelor de curent continuu 1804.9 Pornirea motoarelor de curent continuu 184

BIBLIOGRAFIE – Partea II 186

2

Page 4: Electrotehnica 1

PARTEA I

CAPITOLUL I

ELECTROSTATICĂ

1.1. Generalităţi

În electrostatică se studiază stările electrice invariabile în timp, neînsoţite de curenţi

electrici, respectiv de transformări energetice.

Electrostatica analizează, de asemenea, forţele electrice exercitate de corpuri electrizate,

câmpul electrostatic creat de aceste corpuri, potenţialul electric şi tensiunea electrică.

1.2. Sarcina electrică şi câmpul electric în vid

Experienţa pune în evidenţă că frecând, unele de altele anumite corpuri, ca de exemplu o

bara de sticlă şi o bucată de mătase şi apoi separându-le, asupra lor şi în vecinatatea acestora se

exercită forţe şi cupluri de interacţiune.

Starea în care au fost aduse, prin frecare, corpurile se numeşte stare de electrizare, iar

forţele exercitate de aceste corpuri se numesc forţe electrice.

Dupa modelul în care se transmite starea de electrizare, materialele electrotehnice se

împart în conductori electrici (metalele şi aliajele lor, cărbunele, unele soluţii de săruri-baze şi

acizi), care transmit starea de electrizare instantaneu sau aproape instantaneu şi izolanţi electrici

sau dielectrici (sticla, masele plastice, hârtia, porţelanul, aerul uscat, uleiul, ş.a.) care transmit

starea de electrizare în intervale mari de timp (ore, zile).

Se constată experimental că forţele electrice care se exercită între corpurile electrizate,

sunt generate de existenţa în jurul acestora, a unui câmp electric, dependent de forţele electrice

prin relaţia: −−

⋅= vEqF (1.1)

în care: q – reprezintă o mărime ce caracterizează starea de electrizare a corpurilor şi se

masoară în coulombi [C];

3

Page 5: Electrotehnica 1

E v – intensitatea câmpului electric în vid, mărime vectorială care se măsoară în

[V/m].

Coulombul [C], ca unitate de sarcină electrică în sistemul internaţional de unităţi [SI],

este egal cu unitatea de măsură a intensităţii curentului, amperul [A], care trece într-o secundă

prin secţiunea unui conductor electric, adica:

sAC 111 ⋅= (1.2)

Corpurile electrizate pot fi punctiforme, liniare, sub formă de arie sau volum, iar sarcina

electrică cu care sunt încărcate se repartizează în interiorul lor cu o anumită densitate specifică şi

anume: pentru cele liniare cu densitatea lρ , pentru cele superficiale cu densitatea Aρ , iar

pentru cele volumetrice cu densitatea Vρ . Cunoscând densitatile de sarcină lρ , Aρ si Vρ , se pot

determina cantităţile de electricitate cu care sunt încarcate corpurile, folosind expresiile:

∫∫ ∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=Γ A V VVAAll dVqdAqdlq ρρρ ;; (1.3)

în care dl, dA, dV, sunt elementele de linie, de suprafaţă şi de volum ale corpurilor in care

se regasesc distributiile respective ale sarcinilor electrice.

Fig.1.1. Forţele de interacţiune a două corpuri punctiforme, încărcate electric

Fizicianul francez Charles Coulomb (1736 – 1806), a stabilit că între două corpuri

punctiforme, încărcate cu sarcinile electrice q1 şi q2 situate la o distanţă r, se exercită o forţă

(fig.1.1) egală cu:

rr

rqq

F−

⋅⋅

⋅⋅⋅

= 221

124

1επ

(1.4)

unde ε este permitivitatea mediului, considerat omogen, în care sunt plasate corpurile

punctiforme.

4

Page 6: Electrotehnica 1

În cazul când mediul considerat este vidul, atunci permitivitatea lui, conform sistemului

internaţional de unităţi SI, este:

0ε = 910941⋅⋅π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ Nm

C2

2

sau ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡mF (1.5)

pentru alte medii dielectrice, permitivitatea acestora se calculează cu relaţia:

rεεε ⋅= 0 (1.6)

în care rε , este permitivitatea relativă a mediului considerat, o marime adimensionala.

Ţinând seama de relaţiile (1.1) si (1.4), se poate determina intensitatea câmpului electric

produs de un corp incărcat cu sarcina q, cu relaţia:

rr

rqEv

⋅⋅⋅⋅

= 204

1επ

(1.7)

Câmpul electric produs de sarcini electrice invariabile în timp şi fixe în spaţiu, se

numeşte câmp electrostatic sau câmp electric coulombian.

Dacă într-un anumit mediu fizic se află corpuri încarcate cu sarcini electrice punctiforme

sau cu sarcini electrice repartizate liniar, superficial şi volumetric, atunci fiecare din aceste

corpuri produce un anumit câmp electric, iar câmpul electric rezultant ( ) se determină prin

superpoziţia/suprapunerea câmpurilor respective cu expresia:

rE−

∑ ∑ ∑ ∑−−−−−

+++=n n n n

VAlir EEEEE1 1 1 1

(1.8)

în care sunt câmpurile electrice ale corpurilor încarcate cu sarcini

electrice punctiforme, liniare superficiale şi volumetrice.

,,,, VAli EEEE−−−−

Ţinând seama de relaţiile (1.3) si (1.7), relaţia (1.8) devine:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

⋅=

−−−

−−

∫∫∫∫∫∫∑ 3333104

1rrdV

rrdA

rrdl

r

rqE

V VA Ar l

i

in

ir ρρρεπ

(1.9)

Relaţia (1.9) este cunoscută sub numele de teorema superpoziţiei câmpurilor

electrostatice.

5

Page 7: Electrotehnica 1

Câmpul electric se reprezintă grafic prin liniile sale, conform figurii 1.2, unde se dau trei

exemple: câmpul electric creat de o sferă conductoare încărcată cu sarcina electrică pozitivă

(fig.1.2.a); câmpul electric creat de o sfera conductoare încarcată cu sarcina negativă (fig.1.2.b)

şi spectrul liniilor câmpului electric creat de doua sarcini punctiforme q1=q2 situate în apropiere

(fig.1.2.c) şi (1.2.d). Aceste linii încep pe corpurile încarcăte cu sarcina pozitivă şi se termină pe

cele încărcate cu sarcina negativă.

Figura 1.2. Câteva exemple de spectre de linii de câmp.

Vectorul intensitate câmp electric ( ) este totdeauna tangent, în orice punct (P), la

direcţia locală a liniei de câmp (fig.1.3). În locul mărimii vectoriale se poate utiliza tot o

mărime vectorială numită inducţia câmpului electrostatic în vid:

vE−

vE−

vv ED−−

= 0ε [C/m2] (1.10)

Figura 1.3. Reprezentarea vectorului intensitate camp electric

6

Page 8: Electrotehnica 1

1.3. Potenţialul electric

Se poate folosi o mărime scalară care descrie în fiecare punct, câmpul electrostatic.

Această mărime poartă denumirea de potenţialul scalar al câmpului electrostatic şi se notează cu

V(x,y,z).

Pornind de la această funcţie scalară se poate deduce funcţia vectorială cu

ajutorul operatorului de gradient.

( )zyxEV ,,−

Dacă: , atunci componentele vectorului =−

vE +⋅−

iEvx +⋅−

jEvy

⋅KEvz vE se pot deduce

pornind de la funcţia potenţial scalar astfel:

;xVEvx δδ

−= ;yVEvy δδ

−= ;zVEvz δδ

−= (1.11)

sau se poate scrie:

VgradE v −=−

(1.11’)

Notând cu vectorul de poziţie al punctului în care se dă funcţia V(x,y,z) atunci: ( zyxr ,,−

)

rr

drdVE v

−−

⋅−= (1.12)

si de aici se deduce:

dVdrE v −=⋅−−

(1.13)

Dacă integrăm ecuaţia (1.13) de la un punct de referinţă M0 la un alt punct oarecare M

din câmp obţinem:

( )∫ ∫ −−=−=−−M

M MM

M

Mv VVdVdrE0

00

(1.14)

sau: −−

∫+= drEVVM

MvMM

0

0 (1.15)

Relaţia (1.15) ne permite să calculăm potenţialul scalar într-un punct oarecare din câmpul

electrostatic.

7

Page 9: Electrotehnica 1

Dacă punctul de referinţă se alege la infinit, unde considerăm că, , atunci relaţia

(1.15) devine:

0=∞V

−∞ −

∫= drEVM

vM (1.16)

Dacă în relaţia (1.16), se înlocuieşte din relaţia (1.7) se obţine expresia potenţialului

creat într-un punct M situat la distanţa

VE−

r faţă de sarcina q:

rqVM ⋅=

041πε

(1.17)

Unitatea de masură a potenţialului în [SI] este voltul [V].

1.4. Tensiunea electrică se calculează cu ajutorul integralei de linie asupra circulaţiei

elementare a câmpului electrostatic între două puncte oarecare din câmp: −−

∫= drEUB

AvAB (1.18)

1.5 Camp electric in substanta

În cele ce urmează ne vom ocupa de studiul câmpului electric în materiale electroizolante

(dielectrice). Corpurile izolante se caracterizează prin aceea că au în structura lor sarcini electrice

legate. Sarcinile electrice legate sunt ansambluri neutre din punct de vedere electric (sarcini

pozitive şi negative egale, legate între ele prin intermediul unor forţe interne mult mai puternice

decât la materialele conductoare). Sarcinile pozitive şi negative dintr-o moleculă nu o pot părasi.

Aceste sarcini la nivelul moleculei, de multe ori au centrele de acţiune separate dând moleculei

un aspect polar. Modelul fizic care poate descrie aceste molecule polare este dipolul electric

(fig.1.4).

Figura 1.4. Dipol electric

8

Page 10: Electrotehnica 1

Dipolul electric reprezintă un ansamblu de doua sarcini egale şi de semn contrar aflate la

o distanţă numită braţul dipolului. Dipolul electric la rândul sau poate fi descris cu ajutorul unei

mărimi fizice numită

l

momentul electric al dipolului: −−

⋅= lqp [C m⋅ ] (1.19)

1.5.1. Polarizarea mediilor dielectrice

Se consideră un corp izolant introdus într-un câmp electrostatic (−

E ) ca în figura 1.5.

Corpul izolant conţine o mulţime de dipoli orientaţi aleatoriu datorită agitaţiei termice a

moleculelor. Aceşti dipoli vor fi supuşi la cupluri de forţe de forma;

EqlFlC ⋅⋅=⋅=−−−−

(1.20)

unde: este vectorul „lungimea dipolului” de lungime egală cu distanţa dintre sarcinile

dipolului şi orientat de la sarcina negativă spre cea pozitivă.

l

Figura 1.5. Polarizarea corpurilor dielectrice

Cuplul se anulează când // −

C−

l−

E deci şi dipolii se vor orienta dupa direcţia lui −

E .

Fenomenul fizic de orientare a dipolilor sub acţiunea câmpului exterior poartă denumirea

de polarizare. În urma polarizării corpului apare o sarcina în interiorul acestuia cât şi la suprafaţa

lui, sarcini care dau naştere în fiecare punct al materialului la un câmp electrostatic. Acest câmp

electrostatic obţinut prin intermediul polarizării substanţei se poate descrie cu o mărime primitivă

numită vectorul intensitate de polarizatie (−

P ) sau polarizaţie definit cu ajutorul relaţiei:

9

Page 11: Electrotehnica 1

Vp

P i

V Δ= ∑

→Δ

0lim (1.21)

unde: reprezintă suma momentelor dipolilor dintr-un element de volum −∑−

ip VΔ al

substanţei respective.

Vectorul polarizaţie este de aceiaşi natură ca şi vectorul inducţie electrică, având ca

unitate de măsură în [SI]– [C/m2].

1.5.2. Legea polarizatiei temporare

Momentele dipolilor substanţelor izolante pot avea două componente: −−−

+= pt ppp (1.22)

unde: - momentele temporare; momentele permanente. −−

tp −−

pp

Dipolii care au momente temporare se orientează dupa direcţia câmpului exterior (−

E ) iar

în momentul în care acesta îsi încetează existenţa dipolii revin la situaţia anterioară.

Dipolii care au momente permanente rămân orientaţi şi după scoaterea corpului din

câmp. La materialele cu dipoli ce au momente temporare se enunţă legea polarizarii temporare: −−

⋅⋅= Ep eχε 0 (1.23)

unde: −eχ susceptibilitatea electrică de polarizare, o constanta de material.

1.5.3. Polarizarea permanenta

Dielectricii care prezintă o polarizaţie electrică chiar şi în absenţa unui cîmp electric

exterior produsă de factori neelectrici, se numesc dielectrici cu polarizaţie electrică permanentă.

De exemplu, cristalele de cuarţ sau turmalin, prin întindere sau compresiune se

polarizează electric (polarizare piezoelectrica).

Alt procedeu de polarizare a dielectricilor constă în topirea şi solidificarea în câmp

electric a unor substanţe cum e ceara de albine (polarizare de electret).

10

Page 12: Electrotehnica 1

−−−

PsiED, 1.5.4. Legea legăturii dintre

După cum s-a văzut în cele prezentate mai sus, pentru descrierea fenomenelor

electrostatice în dielectrici sunt necesare două mărimi primitive: Experienţa arată că între

cele două mărimi există o relaţie de forma:

.−−

DsiE

−−−

+= PED 0ε (1.24)

numită legea legăturii între −−−

PsiED,

)

care este o lege de material.

În cazul mediilor omogene şi liniare la care se poate scrie legea polarizării temporare

(1.23), relaţia (1.24) devine:

( )−−−−

+=⋅+= EEED ee χεχεε 1000 (1.25)

Notând cu ( eχεε += 10 - permitivitatea absolută obţinem relaţia:

−−

= ED ε (1.26)

Se defineşte şi o permitivitate relativă a mediului:

er χεεε +== 1

0

(1.27)

care arată, contribuţia mediului la fenomenul de polarizare electrică (prin constanta eχ ).

1.6 Legea fluxului electric

Fie suprafaţa închisă de forma oarecare Σ trasată în câmpul de vectori inducţie electrică

, (fig.1.6a) şi un element de suprafaţă considerat ca vector după orientarea din interiorul

spre exteriorul suprafeţei .

D−

dA

Σ

Prin integrala de suprafaţă a vectorului câmp se intelege marimea scalara egala cu

integrala produselor scalare ale acestui vector cu elementul de suprafaţă :

D−

dA ∫∫Σ−−

⋅ dAD . În cazul

câmpului electric, integrala de suprafaţă a inducţiei electrice , se numeşte flux electric: −

D

∫∫Σ−−

Σ ⋅=Ψ dAD (1.28)

11

Page 13: Electrotehnica 1

Ca şi în cazul integralei de linie care poate fi calculată în lungul unei linii închise sau

deschise şi integrala de suprafaţă poate fi calculată pe o suprafaţă închisă (fig.1.6a) sau o

suprafaţă deschisă A

Σ

Γ care se sprijină pe o curba închisă Γ (fig.1.6b).

În cazul suprafeţei deschise AΓ elementul de suprafaţă se consideră vector după

vectorul al cărui sens este asociat regulei burghiului drept, adică sensului de înaintare al

burghiului care se roteşte în sensul curbei Γ (fig.1.6b).

dA

Fig. 1.6 Asocierea sensurilor vectorilor: inducţie electrică şi element de suprafaţă −

D−

dA

Ca urmare se poate defini şi în acest caz fluxul electric printr-o suprafaţă deschisă:

∫∫−−

⋅=Ψr

r AA dAD (1.29)

Karl Friederich Gauss (1777-1855) a demonstrat că fluxul electric , prin orice

suprafaţă închisă este egal cu sarcina electrică conţinută în interiorul acesteia.

ΣΨ

Σq

∫∫Σ Σ

−−

Σ =⋅=Ψ qdAD (1.30)

Dacă se ţine seama de relaţia (1.26), relaţia (1.30) devine:

Σ

−−

ΣΣ =⋅=Ψ ∫∫ qdAEε (1.31)

sau

∫∫ΣΣ

−−

=⋅εqdAE (1.32)

Relaţia (1.31) este cunoscută sub numele de teorema lui Gauss sau legea fluxului electric

în formă integrală.

Din legea fluxului electric în forma integrală rezultă urmatoarele concluzii:

12

Page 14: Electrotehnica 1

fluxul electric este acelaşi prin toate suprafeţele închise de orice forma care închid

aceiaşi sarcină electrică;

fluxul electric nu depinde de forma corpurilor şi de modul de repartiţie al

sarcinilor;

contribuţia la fluxul electric printr-o suprafaţă închisă a sarcinilor electrice din

exteriorul suprafeţei este nulă.

1.7 Condensatorul electric si capacitatea electrica

Două conductoare separate, printr-un dielectric şi încărcate cu sarcini electrice egale şi de

semn contrar (+q, -q), formează un condensator.

Raportul dintre sarcina q a condensatorului şi tensiunea electrică U, dintre armăturile

sale, se numeşte capacitatea condensatorului.

UqC = (1.33)

Unitatea de masură a capacitaţii în sistemul internaţional de unităţi [SI], este faradul [F].

Condensatoarele pot avea mai multe configuraţii geometrice, dintre care mai uzuale sunt:

condensatorul plan (fig. 1.7), condensatorul cilindric şi condensatorul sferic.

Figura 1.7. Secţiunea transversală printr-un condensator plan

Condensatorul plan

Acest condensator este format din două armături plane 1 şi 2 foarte apropiate, de arie A,

separate printr-un dielectric de grosime d şi permitivitate ε . La bornele condensatorului se aplică

tensiunea electrică U (fig.1.7). Conform legii fluxului electric, se poate scrie că:

∫∫Σ−

=⋅ qdAD (1.34)

în care q, este cantitatea de electricitate acumulată pe armăturile condensatorului.

13

Page 15: Electrotehnica 1

Din relatia (1.34) se poate obtine expresia intensităţii câmpului electric:

qAE =⋅⋅ε (1.35)

Pe de altă parte, conform teoremei potenţialului electrostatic, se poate determina

tensiunea electrică dintre armaturi:

∫ ⋅=⋅=−−2

1dEdrEU (1.36)

Ţinând seama de relaţiile (1.35) si (1.36), se deduce capacitatea condensatorului plan:

dEAE

UqC

⋅⋅⋅

==ε (1.37)

sau:

d

AC ⋅=ε (1.38)

1.8. Capacităţi echivalente. Transfigurarea circuitelor electrice cu capacităţi

1.8.1. Capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare conectate în serie

(fig.1.8)

Figura 1.8. Condensatoare conectate în serie

Considerand sistemul de condensatoare dat, capacitatea echivalentă a sistemului este

egală cu:

ABe U

qC = (1.39)

Dar (1.40) ∑=+++=n

knAB UUUUU1

21 .....

Ţinând seama de (1.39), relaţia (1.40), devine:

14

Page 16: Electrotehnica 1

∑=+++=n

kne Cq

Cq

Cq

Cq

Cq

121

1..... (1.41)

Deci, capacitatea echivalentă a sistemului de condensatoare conectate în serie este egală

cu:

∑= n

k

e

C

C

1

11 (1.42)

1.8.2. Capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare conectate în paralel

(Fig.1.9)

Figura 1.9. Condensatoare conectate în paralel

Considerând sistemul de condensatoare (C1,C2,.....Cn), conectate în paralel, capacitatea

echivalentă a sistemului este egală cu:

AB

n

ABe U

qqqU

qC ...21 ++== (1.43)

sau

ne CCCC +++= .....21 (1.44)

Deci capacitatea echivalentă a sistemului este:

∑=n

ke CC1

(1.45)

15

Page 17: Electrotehnica 1

CAPITOLUL II

ELECTROCINETICA

2.1. Generalităţi

Într-o interpretare microscopică simplificată, starea electrocinetică, se poate considera

ca fiind asociată deplasării purtătorilor de sarcini electrice printr-un mediu conductor, adică unui

curent de sarcini electrice în conductoare, numit curent electric de conducţie.

Vom considera că sarcinile acestor purtători sunt invariabile în timp (regim staţionar).

Lanţul închis al conductoarelor, susceptibil a se afla în stare electrocinetică constituie un circuit

electric prin care trece curent electric de conducţie.

Regimul electrocinetic al conductoarelor se poate menţine numai dacă se consumă o

energie neelectrică. Transformarea energiei neelectrice în energie electrică se face prin

intermediul unor sisteme fizice numite surse de energie electrică.

Deci un curent electric poate exista daca avem un sistem de medii conductoare (metale,

soluţii electrolitice, gaze ionizate – care au purtători liberi de sarcini electrice) şi surse de energie

electrică (care întreţin procesul de deplasare a sarcinilor electrice).

La rândul ei, starea electrocinetică este însoţită de dezvoltarea unei energii neelectrice

în mediile conductoare, energie pusă în evidenţă prin efectele pe care le produce: termic, chimic,

luminos, mecanic, magnetic.

2.2. Câmpuri electrice imprimate. Tensiunea electromotoare (t.e.m.)

Prin consumul unei energii neelectrice se obţine o energie electrică înmagazinată într-

un câmp electric din interiorul sursei care poartă numele de câmp electric imprimat. Intensitatea

câmpului electric imprimat ( ) se poate determina cu ajutorul forţei neelectrice ( ) dezvoltată

de acest câmp şi care imprimă o mişcare ordonată purtatorului de sarcină q:

iE−

iF−

16

Page 18: Electrotehnica 1

qFE i

−−

= (2.1)

Câmpul electric imprimat are două aspecte:

a) câmp electric imprimat propriu-zis care produce starea electrocinetică invariabilă

în timp (regim staţionar);

b) câmp electric imprimat solenoid care produce starea electrocinetică variabilă în

timp.

După natura energiei neelectrice care produce câmpul imprimat propriu zis deosebim:

câmp electric imprimat de natura galvanică – obţinut cu ajutorul energiei

reacţiilor chimice;

câmp electric imprimat de natura termica – obţinut cu ajutorul energiei termice

(termoelemente);

câmp electric imprimat de natura luminoasă – obţinut cu ajutorul radiaţiilor

luminoase (fotoelementele);

câmp electric imprimat de concentraţie – obţinut la contactul a doua metale

diferite (ex. Cupru, zinc).

Câmpul electric imprimat solenoidal, se obţine cu ajutorul bobinelor şi a energiei

mecanice. Câmpul electric imprimat se deosebeşte de câmpul electric coulombian prin aceea că

circulaţia lui pe un contur închis (Γ) este nenulă, adică;

∫ ∫Γ Γ

−−−−

=⋅=⋅q

dsFq

dsE ii11 LΓ=eΓ (2.2)

Din expresia (2.2) rezultă – lucrul mecanic al forţelor neelectrice, pentru transportarea

unui purtator de sarcină electrică unitate, pe conturul (Γ), reprezintă de fapt, o mărime electrică

fundamentală pentru sursa de energie electrică numită tensiune electromotoare (t.e.m.).

T.e.m. se exprimă în Sistemul internaţional (SI) în volţi [V]. Sursele de tensiune

electromotoare se simbolizează grafic ca în figura 2.1.

Figura 2.1. Reprezentarea grafică a surselor de t.e.m.

17

Page 19: Electrotehnica 1

2.3. Marimi de stare ale electrocineticii

Starea electrocinetică se poate caracteriza printr-o mărime derivata numită intensitatea

curentului electric, egală cu sarcina electrică care trece în unitatea de timp printr-o secţiune

transversală a conductorului:

dtdqi = (2.3)

În general pentru curentul electric se folosesc urmatoarele notaţii:

I – în regim invariabil in timp (regim stationar);

i – în regim variabil in timp.

Starea electrocinetică se caracterizează de asemenea printr-o mărime derivată numită

densitatea curentului electric. Densitatea de curent este o mărime vectorială funcţie de punct

(fig.2.2), asociată versorului normalei la ( ΓΣ ) în punctul considerat şi poate fi descrisă prin

relaţia: −−

Σ

→ΔΣ

ΣΣ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΣΔ

= nddiniJ

0lim (2.4)

Figura 2.2. Vectorul printr-o suprafaţă −

J ΓΣ care se sprijină pe curba închisă Γ

În baza relaţiei (2.4) se poate calcula curentul electric, ca fiind fluxul densităţii de

curent prin suprafaţa : ΓΣ

∫∫Γ

Γ Σ

−−

Σ Σ⋅= dJi (2.5)

unde −−

⋅Σ=Σ ndd

18

Page 20: Electrotehnica 1

Unitatea de masură a curentului în [SI] este amperul [A], iar a densităţii de curent este

amper pe metru pătrat [A/m2].

2.4. Legile si teoremele electrocineticii

2.4.1. Legea conservării sarcinii electrice

Pentru o suprafaţă închisă (Σ ) care intersectează conductoare, parcurse de curent

electric şi conţine în interior corpuri încărcate cu sarcini electrice, se poate enunţa următoarea

lege: „în fiecare moment, intensitatea curentului electric de conducţie care iese din suprafaţa

închisă , este egală cu viteza de scadere în timp a sarcinii electrice ce încarcă corpurile din

interiorul suprafeţei Σ , independent de starea lor cinematică”:

Σi

Σ Σq

dtdqi Σ

Σ −= (2.6)

Această lege ne arată că suma sarcinilor care pătrund într-un volum din mediu

conductor prin care s-a stabilit un curent electric, este egala cu suma sarcinilor care părăsesc

acest volum; altfel spus în volumul respectiv nu se acumulează sarcina electrică (în caz contrar

sarcina ar varia în timp).

În regim electrocinetic staţionar, curenţii electrici sunt constanţi în timp, adică sunt

curenţi continui.

2.4.2. Legea conducţiei electrice (Legea lui Ohm)

2.4.2.1. Legea conductiei electrice – forma locala

În orice punct al unui conductor electric liniar, izotrop şi neomogen este valabilă

expresia de mai jos:

=−

J ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−−

EEiσ (2.7)

în care: −

J - densitatea de curent;

19

Page 21: Electrotehnica 1

σ - o constanta de material numită conductivitate electrică;

iE−

- câmpul electric imprimat; −

E - câmpul electric creat de deplasarea ordonată a purtatorilor de sarcini electrice.

În locul conductivităţii se poate folosi o alta constantă numită rezistivitate electrică:

σρ 1= (2.8)

În acest caz relaţia (2.7) se poate scrie: −−−

+=⋅ EEJ iρ (2.9)

Unităţile de masură în [SI] sunt: pentru [ ] 1−⋅Ω− mσ , iar pentru [ ]m⋅Ω−ρ .

Expresiile (echivalente) – (2.7) sau (2.9) reprezintă forma locală a legii conducţiei

electrice.

În conductoarele liniare (metale, cărbune, electroliţi) rezistivitatea nu depinde, practic,

de densitatea curentului electric, ci de temperatura conductorului printr-o relatie de forma:

( )[ ]12112

θθαρρ θθθ −+= (2.10)

în care:

21 θθ ρρ si - reprezintă rezistivilităţile electrice la temperaturile 21 θθ si ;

θα - reprezintă coeficientul de temperatură care este pozitiv la metale şi negativ la

carbune şi semiconductoare.

2.4.2.2. Legea conducţiei electrice – forma integrală

a) Forma integrală a legii conducţiei electrice pentru o porţiune de conductor filiform

Figura 2.3 Curentul electric printr-un conductor filiform

Daca scriem relaţia (2.9) pentru punctul P de pe conductorul filiform din figura 2.3

obţinem:

20

Page 22: Electrotehnica 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==⋅

−−−

0; iEEJρ (2.11)

Integrand relaţia (2.11) pe lungimea conductorului obţinem:

∫ ∫−−−−

⋅=⋅⋅l l

dsEdsJ0 0ρ (2.12)

Cum este paralel cu iar −

J−

dsAIJ = , relaţia (2.12) devine:

∫−−

⋅=⋅⋅l

dsElAI

0ρ (2.13)

Dar membrul doi al relaţiei (2.13), ţinând cont de potenţialele celor doua capete ale

conductorului, devine:

∫ =−=⋅−−l

UVVdsE0 1221 (2.14)

Notând de asemenea cu

AlR ⋅= ρ ; (2.15)

forma integrală a legii conducţiei electrice, pentru un conductor omogen devine:

IRU ⋅=12 (2.16)

unde: R – este o marime care depinde de geometria şi natura conductorului şi se numeşte

rezistenţa electrică, iar U12 – este tensiunea masurată între capetele conductorului de lungime l.

Se mai foloseşte şi o altă mărime numită conductanţa electrică:

lA

lA

RG ⋅=

⋅== σρ

1 (2.17)

În sistemul [SI], pentru rezistenţa, unitatea de masură este ohmul [ ], iar pentru

conductanţa este siemensul [S]=[ ].

Ω1−Ω

2.4.3 Teorema I a lui Kirchhoff

Dacă în relaţia (2.3), sarcina electrică nu variaza în timp, spunem că avem un regim

staţionar. Dar pentru acest regim legea conservării sarcinii electrice în forma integrală (2.6) are

forma:

Σq

0=Σi (2.18)

21

Page 23: Electrotehnica 1

Printr-o suprafaţă închisă care intersectează conductoare parcurse de curenţi electrici de

conducţie ca în figura 2.4 relaţia (2.18) devine:

0=∑Σ∈j

ji (2.19)

Figura 2.4. Teorema I a lui Kirchhoff Figura 2.5. Teorema I a lui Kirchhoff

pentru suprafaţa închisă pentru un nod (K) Σ

În ecuaţia (2.19) sumarea este algebrică: „curenţii cu sensurile de referinţă spre

suprafaţa Σ sunt de semn opus faţă de curenţii care ies din suprafaţa Σ ”.

Relaţia (2.19) constituie teorema I a lui Kirchhoff si se enunta astfel: „pentru orice

suprafaţă sau nod K (fig.2.5) ce intersectează conductoarele parcurse de curent electric de

conducţie, suma intensităţilor instantanee ale curenţilor este nulă”.

Σ

0=Σ∈ KKj

i (2.20)

În exemplul din figura (2.5) teorema I a lui Kirchhoff se scrie:

054321 =−++− iiiii (2.21)

2.4.4. Teorema a II-a a lui Kirchhoff

Fie V1, V2,.....Vn potenţialele electrice a „n” puncte din câmp (borne) şi linii ale

tensiunii la borne între perechi de puncte (borne), alcătuind o curbă închisă (fig.2.6).

Din anularea integralei

bjC

Un

jbjC

1=

∫Γ−−

=⋅ 0dsE rezultă:

0=ΣΓ∈ bjju (2.22)

22

Page 24: Electrotehnica 1

Relaţia (2.22) reprezintă teorema a II-a a lui Kirchhoff si se enunta astfel: „în lungul

unei curbe închise constituită din reuniunea unor linii de tensiuni la borne, suma tensiunilor la

borne este în fiecare moment nulă”:

00

=∑∈j

bju (2.23)

Figura 2.6. Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru o buclă de circuit

În ecuaţiile (2.22) si (2.23), suma este algebrică: tensiunile la borne ale căror sensuri de

referinţă coincid cu sensul ochiului „o” (fig. 2.6) se introduc cu semnul plus, iar cele cu sensuri

opuse se introduc cu semnul minus.

2.4.5. Legea transformării energiei ţn procesul de conducţie (Legea lui Joule-Lenz)

Starea electrocinetică este însoţită de dezvoltarea unei cantitaţi de caldură. „Cantitatea

de energie termică care se dezvoltă, într-un mediu conductor, din energia electrică, este

proporţională cu pătratul intensităţii curentului electric şi cu timpul cât circulă acest curent”.

tR

UtIUtIRW ⋅=⋅⋅=⋅⋅=2

2 [J] (2.24)

Dacă energia termică se măsoară în calorii atunci relaţia (2.24) devine:

tIRW ⋅⋅⋅= 224,0 [cal] (2.25)

Fenomenul dezvoltării de căldură în conductoarele parcurse de curent electric de

conducţie se numeşte efect electrocaloric, respectiv efect Joule-Lenz. Căldura dezvoltată în

unitatea de timp reprezintă puterea dezvoltată prin efect electrocaloric:

tWPJ = [W] (2.26)

Efectul termic al curentului electric are numeroase aplicaţii practice în tehnică.

23

Page 25: Electrotehnica 1

CAPITOLUL III

CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

3.1. Generalităţi

Un circuit electric este constituit dintr-un sistem de corpuri prin care trece curentul

electric. Circuitul electric conţine surse şi consumatori (receptoare) de energie electrică. Mai

multe circuite electrice interconectate formează o reţea electrică (fig. 3.1).

Figura 3.1. Reţea electrică

R1, R2, R3, R4, R5, R6 – rezistoare; E5, E6, - surse de tensiune electromotoare

O reţea electrică conţine, din punct de vedere topologic: laturi, noduri şi ochiuri. Latura

reprezintă o porţiune de circuit formată din elemente conectate în serie, parcurse deci de acelaşi

curent şi cuprinse între două noduri. Nodul reprezintă un punct al reţelei în care sunt incidente

cel puţin trei laturi. Ochiul (bucla) este un circuit închis format dintr-o succesiune de laturi ale

reţelei. Se numeşte sistem de ochiuri (bucle) independente un sistem de ochiuri care cuprinde

toate laturile reţelei, fiecare ochi (bucla) diferind de celelalte prin cel puţin o latură.

Într-o reţea electrică cu L laturi şi N noduri, numărul ochiurilor (buclelor) independente

O este egal cu:

O = L – N + l (3.1)

24

Page 26: Electrotehnica 1

În figura 3.1 este ilustrată o reţea cu şase laturi, patru noduri (A, B, C, D) şi trei ochiuri

independente.

Orice latura a unei reţele electrice reprezintă un circuit dipolar, adică un circuit electric

accesibil la două borne. Circuitele dipolare pot fi active (dacă conţin surse de tensiune

electromotoare sau surse de curent) şi pasive (dacă nu conţin surse de tensiune electromotoare

sau surse de curent).

3.2. Conectarea dipolilor. Surse echivalente. Rezistenţe echivalente

3.2.1. Conectarea în serie a dipolilor

Un numar oarecare de dipoli conectaţi în serie se poate echivala cu un singur dipol în aşa

fel încât: rezistenta dipolului echivalent este egală cu suma rezistenţelor dipolilor componenţi, iar

t.e.m. a dipolului echivalent este egală cu suma algebrică a t.e.m. ale dipolilor conectaţi în serie

(fig. 3.2).

Adică:

∑=

=+++=n

kkne RRRRR

121 ..... (3.2)

∑=

=+++=n

kkne eEEEE

121 ..... (3.3)

Figura 3.2. Conectarea în serie a dipolilor

Un caz particular des întâlnit în practica circuitelor electrice este acela în care toţi dipolii

inseriaţi sunt pasivi. Adică rezistenţa echivalentă a „n” rezistenţe legate în serie (fig.3.3), este

dată de relaţia (3.2).

25

Page 27: Electrotehnica 1

Figura 3.3. Sistem de rezistoare conectate în serie

În cazul când se înlocuiesc mărimile rezistenţelor electrice (Rk) prin conductanţe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kk R

G 1 atunci:

∑∑==

== n

k k

n

kk

e

GR

G

11

111 (3.4)

Un alt caz particular este cel al mai multor surse de t.e.m. conectate în serie (E1, E2, E3,

....., En), care se pot înlocui cu o sursa echivalentă de tensiune electromotoare egală cu :

∑=+++=n

kne EEEEE1

21 ..... (3.5)

În expresia (3.5), se ia în consideraţie suma algebrică a surselor ţinandu-se seama de

polaritatea acestora (fig. 3.4).

Figura 3.4. Conexiunea serie a surselor de t.e.m.

Întradevar, acesta este un caz particular al conectarii dipolilor în serie şi anume situaţia în

care, rezistenţele dipolilor sunt nule. Rezistenţa dipolului echivalent este nulă şi ea.

3.2.2. Conectarea în derivaţie (paralel) a dipolilor.

O grupare derivaţie (fig. 3.5), a unui numar de dipoli se poate echivala cu un dipol a carui

rezistenţă echivalentă şi t.e.m. se pot calcula cu relaţiile:

ne RRRR

1...111

21

+++= (3.6)

26

Page 28: Electrotehnica 1

n

nn

e

RRR

RE

RE

RE

E1...11

1...11

21

22

11

+++

⋅++⋅+⋅= (3.7)

Figura 3.5. Conectarea în derivaţie a dipolilor

Notand GR=

1 , relaţiile (3.6) si (3.7) se mai pot scrie:

∑=

=+++=n

kkne GGGGG

121 ..... (3.8)

=

==++++++

= n

kk

n

kkk

n

nne

G

GE

GGGGEGEGE

E

1

1

21

2211

......

(3.9)

În cazul particular în care toţi dipolii sunt pasivi (fig.3.6) este valabilă numai relaţia (3.8).

Figura 3.6. Sistem de rezistoare conectate paralel

Un alt caz particular este cel al mai multor surse de tensiune electromotoare conectate în

paralel (E1, E2, ......, En) cu rezistenţele interne r1, r2, ....., rn care se pot înlocui cu o sursă

echivalentă re (fig. 3.7).

27

Page 29: Electrotehnica 1

Figura 3.7. Conexiunea paralel a surselor de tensiune electromotoare

Conform figurii 3.7 se poate scrie că:

n

n

e

e

rE

rE

rE

rE

+++= ...2

2

1

1 (3.10)

sau:

nnee gEgEgEgE ⋅++⋅+⋅=⋅ ...2211 (3.11)

unde , conductanţa internă echivalentă. ∑=

=n

kke gg

1

Din (3.11) rezultă expresia tensiunii electromotoare echivalente:

=

=

⋅= n

kk

n

kkk

e

g

gEE

1

1 (3.12)

în care valorile surselor de tensiune electromotoare (E1, E2, ......, En) se consideră operate

algebric, ţinând seama de polarităţile acestora. Şi acesta este un caz particular care se obţine din

cazul general de conectare în derivaţie a dipolilor care au rezistenţele nule. Într-adevăr dacă în

relaţia (3.7) se înlocuiesc rezistenţele Rk cu rk se obţine relaţia (3.12).

28

Page 30: Electrotehnica 1

CAPITOLUL IV

ELECTRODINAMICA

4.1. Câmp magnetic în vid. Inducţia magnetică.

Asupra corpurilor se pot exercita forţe şi cupluri de natură diferită de a celor

termodinamice sau electrice, numite forţe şi cupluri magnetice.

Aceste interacţiuni sunt de trei tipuri: magnetostatice, dintre doi magneţi;

electromagnetice, dintre un magnet şi un curent; electrodinamice, dintre doua conductoare

parcurse de curent.

Interacţiunea exercitându-se la distanţă, în spaţiu se manifestă un câmp de forţă, numit

câmp magnetic, care reprezintă forma de manifestare materială a câmpului general

electromagnetic. Pentru punerea în evidenţă şi exploatarea câmpului magnetic, se utilizează un

corp de probă, numit buclă de curent – o spiră foarte subţire străbătută de curentul i (fig. 4.1).

Figura 4.1. a) – bucla de curent; b) – momentul buclei

O mărime specifică buclei de curent este momentul buclei: −−−

⋅⋅=⋅= nAiAimb (4.1)

unde: - este suprafaţa buclei, iar este versorul normalei la planul buclei care se asociază

acesteia cu legea burghiului drept.

A−

n

Asupra buclei de curent, aflată în câmp magnetic, se exercită un cuplu de forţe: −−−

⋅= vb Bmc (4.2)

29

Page 31: Electrotehnica 1

unde: este vectorul −

vB inducţie magnetică care descrie câmpul magnetic si care în Sistemul

Internaţional [SI] se masoară în:

[ ] TmA

NmAmN

mCBb

v 111

11111

2 =⋅

=⋅⋅

== [tesla]

Practic, câmpul magnetic se poate pune în evidentă cu pilitura de fier care se aranjează

după liniile de câmp, iar mărimea vectorială −

H , intensitatea câmpului magnetic – este tangenta

la liniile de câmp (fig. 4.2), sensul acestui vector fiind stabilit de asemeni cu regula burghiului

drept (se roteşte burghiul drept, astfel încât acesta să înainteze în sensul curentului i, iar un punct

de pe generatoarea lui, indică sensul câmpului magnetic −

H ).

Spectrul liniilor de câmp magnetic într-un plan (P), perpendicular pe un conductor

filiform străbătut de curentul i se prezinta in fig. 4.2. În cazul unui solenoid (bobina), sensul

liniilor de câmp se stabileşte tot cu regula burghiului drept (fig.4.3), liniile ies din bobină în

partea de sus şi intră în bobină în partea de jos.

În interiorul bobinei se poate spune că avem un câmp magnetic omogen −

H , liniile fiind

paralele şi intensitatea câmpului constantă.

Figura 4.2. Figura 4.3.

⎟⎠⎞

vH⎜⎛ în vid. Formula lui Biot-Savart-Laplace. 4.2. Intensitatea câmpului magnetic

Fie un conductor filiform Γ străbătut de curentul i (fig. 4.4). Într-un punct P situat la

distanţa −

R de conductorul Γ , în vid, intensitatea câmpului magnetic se calculează cu relaţia:

∫Γ

−−

− ⋅= 34 R

RdsiHv π (4.3)

unde: este elementul de lungime orientat dupa sensul curentului i. −

ds

30

Page 32: Electrotehnica 1

Figura 4.4. Campul magnetic în jurul unui conductor filiform parcurs de curentul electric i.

Sensul vectorului câmp magnetic este dat de regula burghiului drept, sau produsul

vectorial .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

vH

−−

× Rds

Intensitatea câmpului magnetic este o marime derivată a mărimii fundamentale –

inducţia câmpului magnetic şi se determină cu relaţia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

vH

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

vB

= vv

BH (4.4)

unde: mH7

0 104 −⋅= πμ , o constantă universală numită permeabilitate magnetică a vidului.

Deci este un vector coliniar cu , dar având alt modul. −

vB−

vH

În [SI] unitatea de masură a intensităţii câmpului magnetic este;

[ ]mAH = (4.5)

4.3. Tensiunea magnetomotoare. Solenaţie. Formula lui Ampère.

Se numeste tensiune magnetică, integrala de linie a intensităţii câmpului magnetic.

∫Γ−−

⋅= dsHU vm (4.6)

Prin analogie cu t.e.m. (relatia 2.2), se poate defini şi o tensiune magnetomotoare (t.m.m.)

ca fiind tensiunea magnetică de-a lungul unei curbe închise:

∫Γ−−

⋅= dsHU vmm (4.7)

31

Page 33: Electrotehnica 1

Unitatea de masură în [SI] a tensiunii magnetice şi a t.m.m. este amperul [A] sau

amperspira [A·spire].

Ampère făcând un experiment în c.c. a constatat ca t.m.m. pe orice curbă închisă (Γ ),

este egală cu suma algebrică a tuturor curenţilor ce trec printr-o suprafaţă ce se sprijină pe curba

( ) (fig. 4.5). Γ

∫ ∑Γ Γ

−−

==⋅ θK

kv idsH (4.8)

unde: se mai numeşte şi solenaţie. ∑=Γk

kiθ

Sensul solenaţiei se determină cu regula burghiului, iar suma algebrică pentru exemplul

considerat (fig. 4.5) este:

54321 iiiiiik

k −++−−=∑ (4.9)

Figura 4.6. Calculul t.m.m. (solenatiei)

In cazul unei bobine cu N spire strabatute de curentul I, solenatia va avea expresia:

IN ⋅=Γθ (4.10)

4.4. Câmp magnetic în substanţă

În afară de cazul corpurilor străbătute de curenţi, în jurul cărora, aşa cum s-a văzut, ia

naştere un câmp magnetic, există şi corpuri în jurul cărora, deşi nu sunt parcurse de curenţi

macroscopici, întâlnim cămp magnetic. Aceste corpuri (substanţe) vom spune că prezintă starea

de magnetizare. Starea de magnetizare este produsă de mici bucle de curenţi, generaţi de

mişcarea orbitală şi de spin a electronilor.

Aceşti curenţi microscopici produc în spaţiul din jur, câmpuri magnetice care pot fi

descrise prin momentele magnetice m ale acestora (fig. 4.6).

32

Page 34: Electrotehnica 1

Figura 4.6. Momente magnetice ale microcurenţilor

În substanţele obişnuite, mulţimea de momente magnetice ale microcurenţilor este

răspandită haotic, datorită agitaţiei termice, astfel incat la nivelul întregii substanţe, statistic,

rezultanta câmpului magnetic este nula.

În cazul general, momentul magnetic poate avea o componentă permanentă −

m p

independentă de câmpul exterior şi una temporară −

m t dependentă de câmpul exterior şi

anulându-se odată cu acesta. −−−

+= pt mmm (4.11)

Sub acţiunea unui câmp magnetic exterior (de inductie magnetica −

B ), momentele

magnetice elementare sunt supuse la cupluri de forţe: , care tind să le rotească până

când ; deci să fie paralel cu

−−−

⋅= Bmc

0=−

c−

m−

B ( //−

m−

B ) (fig. 4.7).

Figura 4.7. Magnetizarea substanţelor

Aşadar stările de magnetizaţie ale corpurilor pot fi permanente, când nu depind de

campul magnetic exterior sau temporare, cand depind de campul exterior.

Câmpul magnetic propriu pe care-l capată substanţa când se magnetizează poate fi descris

de o mărime numită magnetizaţie sau intensitate de magnetizare (M).

Magnetizaţia sau vectorul magnetizaţie se poate defini cu relaţia:

33

Page 35: Electrotehnica 1

dVdm

V

mM i

i

V

−Δ

=∑

0lim (4.12)

unde: este un volum oricât de mic din substanţa, iar suma momentelor magnetice

elementare din volumul .

VΔ ∑−

iim

Magnetizaţia ( −

M ) descrie în fiecare punct al substanţei câmpul magnetic propriu obţinut

prin orientarea momentelor magnetice elementare.

4.4.1. Legea magnetizaţiei temporare

În substanţele magnetice se poate enunţa o lege numită legea magnetizaţiei temporare

care defineşte variaţia liniară a magnetizaţiei ( tM ) cu intensitatea câmpului magnetic (−

H ) care a

produs-o: −−

⋅= HM mt χ (4.13)

unde: mχ - o constantă de material numită susceptibilitate magnetică.

Funcţie de valorile pe care le poate lua constanta mχ , din punct de vedere magnetic

substanţele se împart în cinci grupe: diamagnetice, paramagnetice, feromagnetice, ferimagnetice

si antiferomagnetice

Materialele diamagnetice sunt caracterizate prin susceptivităţi magnetice mχ < 0.

Susceptivitatea lor magnetică este constantă, negativă şi în valoare absolută foarte mică.

Materialele paramagnetice sunt caracterizate prin susceptivitate magnetică mχ > 0.

Susceptivitatea lor magnetică este pozitivă, foarte mică şi scade cu temperatura.

Materialele feromagnetice sunt caracterizate prin susceptivităţi magnetice foarte mari

(102.....105) şi dependente de intensitatea câmpului magnetic. La aceste materiale există o

temperatură critică (numită temperatura Curie), care dacă este depăşita, materialele magnetice îşi

pierd proprietăţile feromagnetice. Sub temperatura Curie, aceste materiale sunt împărţite în

domenii de structură Weiss cu dimensiuni de ordinul 10-3mm (fig. 4.8). În absenţa unui câmp

magnetic exterior, direcţiile de magnetizare ale domeniilor sunt orientate haotic şi dau o

magnetizaţie macroscopică nulă. În prezenţa unui câmp magnetic domeniile se orientează în

34

Page 36: Electrotehnica 1

sensul câmpului, obtinandu-se o magnetizaţie macroscopică rezultantă, care creşte odată cu

intensitatea câmpului magnetic −

H , pâna la alinierea omoparalela cu −

H , a momentelor

magnetice ale tuturor domeniilor. Se obţine astfel magnetizaţia de saturaţie . −

sM

Fig. 4.8. Domeniile Weiss si momentele magnetice orientate ale acestora

Dependenţa inducţiei magnetice de intensitatea câmpului magnetic este reprezentată sub

forma unui ciclu de histerezis în fig. 4.9. Presupunand că iniţial materialul este demagnetizat, la

aplicarea unui câmp magnetic a cărui intensitate H creste de la 0 la Hm, inducţia magnetică B va

creşte după curba OM1 (denumită curba de primă magnetizare).

Figura 4.9. Curba de primă

magnetizare şi ciclul de histerezis al unui

material feromagnetic; -Hc, +Hc intensităţile

câmpului magnetic coercitiv; -Br, +Br

inducţiile magnetice remanente; M1, M2 –

puncte de saturaţie magnetică.

Punctul M1, în care valorile intensităţii câmpului magnetic şi inducţiei magnetice sunt

maxime (Hm,Bm) se numeşte punct de saturaţie magnetică. Apoi, valorile intensităţilor câmpului

magnetic şi inducţiei scad pâna la punctul M2, după care aceste valori parcurg curba M2M1,

formându-se astfel un contur inchis numit ciclul de histerezis magnetic. Suprafaţa ciclului de

histerezis corespunde unei energii, care se transformă în căldură, la fiecare parcurgere a ciclului.

La magnetizarea în câmp alternativ, a materialelor feromagnetice se produc deci pierderi

de putere prin histerezis, care sunt proporţionale cu numărul de magnetizări în unitatea de timp,

respectiv cu frecvenţa curentului alternativ.

Pe lângă materialele feromagnetice, în aplicaţiile tehnice, se utilizează şi materiale

ferimagnetice, numite generic ferite.

35

Page 37: Electrotehnica 1

Feritele sunt materiale semiconductoare, având rezistivităţi mari (104,.....106 Ω.m.), fiind

compuse din pulberi de nichel, mangan, zinc, cupru, cobalt, bariu şi oxid de fier. Feritele se

folosesc la execuţia antenelor magnetice, memoriile calculatoarelor, miezurilor magnetice ale

transformatoarelor, releelor, microgeneratoarelor, micromotoarelor şi altor echipamente

electrotehnice şi electronice.

4.4.2. Legea legăturii între MsiHB,

După cum s-a văzut mai sus, câmpul magnetic în substanţă se poate descrie prin doua

mărimi primitive între acestea existând o relaţie dată de −−

MsiB legea legăturii dintre −−−

MsiHB, :

−−−

+= MHB 00 μμ (4.14)

Pentru substanţele cu magnetizare temporară, expresia de mai sus devine: −−−

+= HHB mχμμ 00 (4.15)

sau

(4.16) ( )−−

+= HB mχμ 10

Se noteaza cu:

( ) rm μμχμμ ⋅=+= 00 1 (4.17)

unde: μ – permiabilitatea absolută a mediului, iar 0μμμ =r - permiabilitatea relativă a mediului.

Relaţia (4.16) se mai poate scrie: −−

= HB μ (4.18)

Dacă substanţa prezintă şi magnetizare permanentă atunci vectorul magnetizatie are două

componente:

pt MMM +=−

(4.19)

unde: este magnetizaţia temporară dependentă de intensitatea câmpului magnetic

(

−−

= HM mt χ

H ), iar , este magnetizaţia permanentă independentă de intensitatea câmpului magnetic

exterior (

pM−

H ).

36

Page 38: Electrotehnica 1

4.5. Legea fluxului magnetic

Atât în vid cât şi în mediile omogene se poate enunţa legea fluxului magnetic în mod

asemanator câmpului electric (fig. 4.10):

∫∫Γ

Γ⋅=

AA dABφ (4.20)

Figura 4.10. Fluxul magnetic printr-o suprafata deschisa

Pentru suprafeţele închise (Σ ) având în vedere continuitatea liniilor de câmp magnetic

acest flux este identic nul (câte linii de câmp ies din suprafaţa, atâtea linii de câmp intră):

∫∫Σ−−

Σ =⋅=Φ 0dAB (4.21)

Expresia (4.21), reprezintă legea fluxului magnetic forma integrală. Pentru a obţine forma

locala a acestei legi se transformă integrala dubla (4.21) folosind teorema lui Gauss-

Ostrogradski:

∫∫ ∫∫∫Σ

−−−

=⋅=⋅Σ

0dvBdivdABv

(4.22)

unde: este volumul închis de suprafaţa Σ. Σv

Deci:

(4.23) 0=−

Bdiv

Relaţia (4.23) ne arată că în câmpurile magnetice nu sunt sarcini (izvoare) şi că

liniile acestuia nu sunt linii deschise.

37

Page 39: Electrotehnica 1

4.6. Circuite magnetice

Circuitele magnetice sunt constituite din miezuri feromagnetice sau ferimagnetice

împreună cu eventuale întrefieruri (întreruperi scurte ale miezurilor, umplute cu aer sau materiale

nemagnetice), care au proprietatea de a conduce fluxul magnetic. Ca exemplu în fig. 4.11. se dă

un circuit magnetic al unui transformator monofazat. Porţiunile circuitului magnetic pe care se

asează bobinele se numesc coloane, iar restul circuitului magnetic este închis de juguri şi

întrefieruri. Porţiunile mobile (deplasabile) ale circuitului magnetic se numesc armături.

De o parte şi de alta a întrefierului iau naştere polii magnetici. Se consideră convenţional

ca fiind poli nord (N), cei din care ies liniile de câmp magnetic şi poli sud (S), cei in care intră

liniile de câmp.

Liniile inducţiei câmpului magnetic care se închid prin miezul feromagnetic şi prin

întrefieruri se numesc linii principale sau utile şi le corespunde fluxul magnetic principal sau util.

Liniile inducţiei câmpului magnetic care se închid prin aer, între porţiuni ale circuitului

magnetic se numesc linii de dispersie şi le corespunde fluxul magnetic de dispersie.

Figura 4.11. Circuitul magnetic al unui

transformator electric monofazat: 1- jug; 2-

bobine; 3- coloana.

4.7. Legea inducţiei electromagnetice

Experienţa pune în evidentă ca variaţia în timp a câmpului magnetic produce un câmp

electric. Acest fenomen se numeşte inducţie electromagnetică şi a fost descoperit, pentru prima

oara, de fizicianul englez Michel Faraday în anul 1831.

M. Faraday a constatat că prin variaţia fluxului magnetic al unui circuit electric se

produce o tensiune electromotoare. Astfel, dacă se ia un circuit electric filiform închis la

apropierea lui de polul nord (N) al unui magnet, în circuit apare un curent i, al cărui sens se

asociază cu vectorul vitezei de apropiere , dupa regula burghiului drept (fig. 4.12). La

îndepartarea circuitului (fig. 4.12.b) sensul curentului i se schimbă, dar regula de asociere a

sensurilor curentului i şi viteza , se menţine. Repetând experimentul în apropierea polului sud

v

v

38

Page 40: Electrotehnica 1

(S), conform fig. 4.12.c şi fig. 4.12.d, sensurile curentului indus i şi al vitezei , se asociază după

regula burghiului stâng.

v

Figura 4.12. Producerea unei tensiuni

electromotoare, respectiv a unui curent

electric indus într-un circuit electric care se

deplasează în câmpul magnetic al unui

magnet N-S; v – viteza de deplasare a

circuitului; i – curentul electric indus; a, b, c,

d – modalităţi de asociere a sensurilor

câmpului magnetic al magnetului N-S,

vectorul a vitezei de deplasare şi

curentului electric i.

v

Pe baza constatărilor de mai sus a fost formulată legea inducţiei electromagnetice cu

expresia:

dtd

e SΓ−=Γ

φ (4.26)

în care: , este tensiunea electromotoare indusă în circuitul electric închis ( ), iar ,

suprafaţa delimitată de conturul (Γ ).

Γe Γ ΓS

Expresia (4.26) pune în evidentă că tensiunea electromotoare indusă ( ) în circuitul (Γe Γ )

este egală cu viteza de scădere a fluxului magnetic total (ΓS

φ ) prin conturul (Γ ).

Exprimând tensiunea electromotoare în funcţie de intensitatea câmpului electric Γe−

E ,

relaţia (2.2) iar fluxul magnetic ΓS

φ în funcţie de inducţia magnetică −

B , relaţia (4.20), relaţia

(4.26) devine:

∫ ∫∫Γ Γ

−−−−

Γ ⋅−=⋅=s

dABdtddsEe (4.27)

ceea ce reprezintă legea inducţiei electromagnetice scrisă sub forma integrală.

39

Page 41: Electrotehnica 1

In membrul doi al relaţiei (4.27) atât −

B cît şi pot varia în timp; variabil în timp

se obţine prin mişcare (fig. 4.13).

dA−

dA

Figura 4.13. T.e.m. obţinută prin deplasarea conturului în câmpul magnetic constant −

B .

Deci: (4.28) dtdsVdsdxdA ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=×=

−−−−−

Dar: (4.29) dtdsBVdtdsVBdABd S ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=⋅=

−−−−−−−−

Γφ

Sau: −−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−=Γ dsBV

dtd Sφ (4.29`)

Dezvoltând diferenţial, din membrul drept al relaţiei (4.27) se obţin:

∫ ∫∫ ∫∫Γ

−−−

−−−

Γ Γ ∂∂

−∂∂

−=⋅S S t

ABdAtBdsE (4.30)

sau: ∫ ∫∫∫Γ Γ

−−−−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+−

∂∂

−=⋅Γ

dsBVdAtBdsE

S (4.31)

sau: mtr eee +=Γ (4.32)

Relaţia (4.32) pune în evidenţă că tensiunea electromotoare indusă are două

componente:

Γe

o componentă ∫∫Γ−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=str dA

tBe , care se numeşte tensiunea electromotoare de

transformare, preponderentă în aparate electrice statice (transformatoare, relee ş.a.);

o componentă ∫Γ−−−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+= dsBVem numită tensiunea electromotoare de mişcare,

preponderentă în maşini electrice rotative.

40

Page 42: Electrotehnica 1

CAPITOLUL V

CIRCUITE ELECTRICE ÎN REGIM ARMONIC

5.1. Generalităţi

Circuitele electrice de curent variabil în timp se pot studia cu ajutorul legilor şi

teoremelor câmpului electromagnetic, enunţate în capitolele precedente, dacă ele sunt constituite

din conductoare filiforme şi dacă regimul de variaţie în timp al mărimilor de intrare ale câmpului

electromagnetic are un caracter cvasistaţionar (adică variaţia în timp a mărimilor este suficient de

lentă pentru ca peste tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor, să se poată neglija curentul

electric de deplasare în raport cu curentul de conducţie).

În regimul cvasistaţionar al circuitelor electrice filiforme sunt valabile toate legile

electromagnetismului: legea inducţiei electromagnetice; legea conducţiei electrice; legea

transformării energiei în procesul de conducţie; legea conservării sarcinii electrice, cu excepţia

dielectricului condensatoarelor; legea circuitului magnetic sub forma teoremei lui Amperè, cu

excepţia dielectricului condensatoarelor. De asemenea, se mai folosesc teoremele transferului

puterii electrice la borne, teoremele capacităţii şi inductivităţii şi teoremele energiei electrice şi

magnetice.

5.2. Regimul periodic sinusoidal al circuitelor electrice.

Spre deosebire de regimul staţionar, unde tensiunea continuă (constanta), producea în

circuitele electrice curenţi de asemenea continui (fig.5.1), în regim variabil tensiunea şi curentul

sunt funcţii variabile în timp (fig.5.2) – valori instantanee.

Figura 5.1. Mărimi continui Figura 5.2. Marimi variabile

41

Page 43: Electrotehnica 1

Din multitudinea mărimilor variabile vom studia pe cele periodice sinusoidale (alternativ

sinusoidale). În circuitele de curent alternativ acţionează semnale (mărimi) care sunt funcţii

periodice de timp: tensiuni electromotoare [e(t)], curenţi [i(t)] şi căderi de tensiune [u(t)]:

e(t) = e(t + KT) (5.1)

i(t) = i(t + KT) (5.2)

u(t) = u(t + KT) (5.3)

unde: T este perioada funcţiei (intervalul de timp cel mai scurt în care funcţia trece prin toate

valorile, după care se repetă în aceaşi ordine); K este un număr întreg oarecare; numărul de

perioade cuprinse în unitatea de timp reprezinta frecvenţa funcţiei (f), iar mărimea:

fπω 2= (5.4)

poartă numele de pulsaţie.

Pentru o funcţie periodică se pot scrie şi relaţiile:

Tf 1= [Hz.] (5.5)

Tf 122 ⋅== ππω [rad./sec.] (5.6)

unde perioada T se masoară în secunde.

În practica circuitelor de curent alternativ (c.a.) se întâlnesc tensiuni şi curenţi într-un

spectru foarte larg de frecvenţă. Astfel, cu puţine excepţii, reţelele electrice pentru producerea,

transportul şi distribuţia energiei electrice sunt, actualmente, reţele de curent alternativ sinusoidal

cu frecvenţă f = 50 Hz in Europa şi f = 60 Hz in America; circuitele de telecomunicaţii

funcţionează cu frecvenţa de ordinul Kilohertzilor (KHz), iar cele de radiocomunicaţii cu

frecvenţe de ordinul Megahertzilor (MHz).

Mărimile periodice care iau valori de un singur semn se numesc mărimi pulsatorii

(fig.5.3.) iar cele care iau valori de ambele semne se numesc mărimi alternative (fig.5.4.)

Figura 5.3. Mărimi pulsatorii. Figura 5.4. Mărimi alternative.

42

Page 44: Electrotehnica 1

Cea mai mare valoare instantanee (ca modul de pe o perioadă), pe care o ia marimea

alternativă se numeşte valoare de vârf.

Valoarea medie a unei mărimi periodice se determină cu relaţia:

( )dttiT

ITt

tmed ∫+

= 1

1

1 (5.7)

unde t1 este momentul iniţial.

Orice mărime alternativă are valoarea medie pe o perioadă, nulă.

În cazul mărimilor pulsatorii (fig.5.3) valoarea medie este diferită de zero. Se mai

defineşte şi valoarea medie pe o semiperioadă:

( )dttiT

IT

med ∫=2/

0

' 2 (5.8)

Valoarea efectivă (eficace) a unei mărimi alternative se determină cu expresia:

dtiT

ITt

t∫+

⋅= 1

1

21 (5.9)

Prin definiţie, valoarea efectivă a unui curent electric alternativ este egală cu intensitatea

curentului continuu care, în acelaşi rezistor, dezvoltă aceaşi cantitate de căldura în timpul unei

perioade, ca şi curentul continuu.

Figura 5.5. Diagrama de variaţie a unui curent sinusoidal

Se numeşte mărime sinusoidală sau armonică o mărime alternativă (fig.5.5) de forma:

( )γω +⋅= tIi m sin (5.10)

în care: Im este valoarea maximă a mărimii sinusoidale, totdeauna pozitivă; ω – pulsaţia mărimii

sinusoidale, totdeauna pozitivă; γ – faza iniţială care se exprimă în unghiuri cuprinse între –π şi

+π. Perioada mărimii sinusoidale rezultă din relaţia de periodicitate:

( ) πγωγω 2++=++ tTt (5.11)

43

Page 45: Electrotehnica 1

din care se obţine:

fT

sauT ππωπω 222 === (5.12)

Substituind în relaţia (5.9), expresia curentului i, din (5.10), se obţine:

( )∫ +=T

m dttIT

I0

22 sin1 γω (5.13)

sau:

( )22

2cos10

2mTm I

dttTI

I =+−

= ∫γω (5.14)

Ţinând seama de (5.14), mărimea sinusoidală i se mai poate exprima sub forma:

( )γω += tIi sin2 (5.15)

Diferenţa de fază 21 γγϕ −= , ilustrată în fig. 5.6, dintre două mărimi sinusoidale i1 şi i2,

se numeşte defazaj. Dacă defazajul este pozitiv ( )021 >−γγ se spune că mărimea sinusoidală i1

este defazată înaintea mărimii sinusoidale i2. Dacă defazajul este negativ ( )021 >−γγ , se spune

că mărimea sinusoidală i2 este defazată înaintea mărimii sinusoidale i1.

Figura 5.6. Diagramele de variaţie a două mărimi sinusoidale şi defazajele acestora;

21 ,γγ - fazele iniţiale ale celor două mărimi; i1,i2 – mărimi sinusoidale.

Două mărimi sinusoidale sunt:

în faza dacă defazajul dintre ele este nul;

in opozitie, dacă defazajul dintre ele este π± ;

în cuadratură, dacă defazajul dintre ele este 2π

± .

Mărimea pentru care se alege faza initială nulă, se numeşte origine de fază.

44

Page 46: Electrotehnica 1

5.3. Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidal rezolvate prin metoda

directă.

Se vor examina în continuare câteva circuite electrice simple în regim permanent

sinusoidal, rezistorul ideal, bobina ideală, condensatorul ideal, iar apoi circuitul RLC serie şi

RLC derivaţie.

5.3.1. Rezistorul ideal

Este un element de circuit care nu produce câmp magnetic şi nici nu acumulează sarcini

electrice. Schema de principiu a unui rezistor ideal este prezentată în fig.5.7. Aplicând legea

inducţiei electromagnetice pe conturul Г, contur care se închide prin tensiunea la borne u(t) se

obţine:

( ) ( )∫Γ−−

Γ =−== 0tutRidsEe (5.16)

sau

u(t) = Ri(t) (5.17)

Tensiunea u(t) din relaţia (5.17) se mai poate scrie conform relaţiilor de definiţie a unei

mărimi sinusoidale:

( ) tUtu ωsin2= (5.18)

unde s-a considerat că tensiunea de alimentare u(t) are faza iniţială nulă.

Diagramele de variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig.5.8.

Figura 5.7. Rezistorul ideal Figura 5.8. i(t) si u(t) la rezistorul ideal

Ecuaţia de funcţionare a rezistorului ideal este:

tUiRu ωsin2=⋅= (5.19)

din care rezultă curentul:

45

Page 47: Electrotehnica 1

tR

URui ωsin2== (5.20)

Valoarea efectivă a curentului este egală cu:

RUI = (5.21)

Curentul unui rezistor ideal este în fază cu tensiunea la borne şi are valoarea efectivă

proporţională cu tensiunea şi independentă de frecventă.

Unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent este 0=ϕ , deci cele două mărimi sunt în

fază.

5.3.2. Bobina ideală.

Schema de principiu a bobinei ideale este prezentata în fig. 5.9, iar diagramele de variaţie

în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig.5.10.

Figura 5.9. Bobina ideala Figura 5.10. u(t) si i(t) la bonina ideala

Aplicând legea inducţiei electromagnetice pe conturul Г se obţine;

( )∫Γ Γ

−−

−== tuedsE (5.22)

unde:

( )( )dtdiLtLi

dtd

dtde −=−=Φ

−=Γ (5.23)

Ecuaţia de funcţionare a bobinei ideale este:

dtdiLu ⋅= (5.24)

Intrucât:

tUu ωsin2= iar ( )ϕω −= tIi sin2 (5.25)

ecuaţia (5.24) devine:

46

Page 48: Electrotehnica 1

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−= ϕωπωϕωωω tILtILtU

2sin2cos2sin2 (5.26)

deci:

LUIω

= iar 2πϕ = (5.27)

ceea ce face ca expresia curentului instantaneu să aibă forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

2sin2 πω

ωt

LUi (5.28)

Curentul unei bobine ideale este defazat în urma tensiunii la borne cu 2π (fig.5.10).

Pentru o bobină reală acest defazaj este cuprins între 0 si 2π şi spunem că între cele două mărimi

avem un „defazaj inductiv”.

Reactanţa unei bobine ideale se notează, în aplicaţii cu simbolul

LX L ω= (5.29)

5.3.3. Condensatorul ideal.

Schema de principiu a condensatorului ideal este prezentata în fig.5.11, iar diagramele de

variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig.5.12. Aplicând din nou legea

inducţiei electromagnetice se obţine:

( ) ( )∫Γ Γ

−−

=−== 0tutuedsE c (5.30)

unde:

( ) ( ) ( )∫== dttiCC

tqtuc1 (5.31)

Figura 5.11. Condensatorul ideal Figura 5.12. u(t) si i(t) la condensatorul ideal .

47

Page 49: Electrotehnica 1

Ecuaţia de funcţionare a condensatorului ideal este:

dtduCi ⋅= (5.32)

Substituind expresiile tensiunii şi curentului din (5.25) în (5.32) se obţine:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==−

2sin2cos2sin2 πωωωωϕω tCUtCUtI (5.33)

Deci:

UCI ⋅⋅= ω ; iar 2πϕ −= (5.34)

Ceea ce face ca expresia curentului instantaneu să aibă forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=

2sin2 πωω tUCi (5.35)

Curentul care străbate un condensator ideal este defazat înaintea tensiunii la borne cu 2π .

Un condensator ideal nu permite trecerea curentului la frecvenţe joase, iar la frecvenţe înalte el

reprezintă un scurtcircuit. În cazul condensatorului real între tensiunea la borne şi curentul prin

acesta unghiul de defazaj este cuprins între 0 ş i 2π şi spunem că avem un „defazaj capacitiv”.

Reactanţa unui condensator ideal se notează, în aplicaţii cu simbolul C

X c ω1

= .

5.3.4. Circuitul RLC serie.

Schema de principiu a acestui circuit este indicată în fig.5.13.

Figura 5.13. Schema de principiu a circuitului RLC serie: R – rezistenţa rezistorului; L –

inductivitatea bobinei; C – capacitatea condensatorului; uR,ul,uC – tensiunile aplicate la bornele

rezistorului, respectiv la bornele bobinei si condensatorului.

Tensiunea la bornele circuitului RLC serie este egală cu:

48

Page 50: Electrotehnica 1

u = uR + uL+ uc (5.36)

Expresiile tensiunilor uR , uL, uC fiind cunoscute, relaţia (5.36) se mai poate scrie sub

forma:

∫ ⋅++⋅= dtiCdt

diLiRu 1 (5.37)

Substituind expresiile tensiunii u şi curentului i, în relaţia (5.37) rezultă;

( ) ( ) ( ϕωω

ϕωωϕωω −−−+−= tIC

tLItRItU cos21cos2sin2sin2 ) (5.38)

Din relaţia (5.38) se pot obţine valoarea efectivă a curentului I şi defazajul ϕ , pentru

două momente particulare şi anume:

0=−ϕωt si 2πϕω =−t sau ϕω =t si

2πϕω +=t (5.39)

Substituind cele două momente particulare in (5.38) se obţine:

IC

LU ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ωωϕ 1sin si RIU =ϕcos (5.40)

Prin ridicarea la pătrat a expresiilor (5.40) şi adunarea lor precum şi prin impărţirea

acestora rezultă:

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

cLR

UI

ωω

(5.41)

şi

RC

Ltg ω

ωϕ

1−

= (5.42)

unde 2

2 1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

CLRZ

ωω (5.43)

este impedanta circuitului RLC serie.

Folosind notaţiile introduse în acest capitol:

;LX L ω= ;1c

X C ω= ;CL XXX −= relaţiile (5.41), (5.42) şi (5.43) se mai pot scrie:

49

Page 51: Electrotehnica 1

ZUI = (legea lui Ohm pentru circuitul RLC – serie). (5.44)

RX

RXX

tg CL =−

=ϕ (5.45)

( )2222CL XXRXRZ −+=+= (5.46)

Defazajul dintre tensiune şi curent este cuprins în intervalul:

22πϕπ

<−

=<−RXX

arctg CL (5.47)

Din relaţiile determinate anterior se poate construi “triunghiul impedanţelor” – un

triunghi dreptunghic ale cărui elemente sunt reprezentate în figura 5.14.

Figura 5.14. Triunghiul impedanţelor.

5.3.5. Circuite RLC derivaţie

Schema de principiu a circuitului este dată în fig. (5.15).

Figura 5.15. Schema de principiu a circuitului RLC derivaţie; R – rezistenţa rezistorului;

L – inductivitatea bobinei; C- capacitatea condensatorului; iR, iL, iC – curenţii care trec prin

rezistor, bobina şi condensator

Tensiunea la bornele circuitului fiind cunoscută tU ωsin2 ⋅ , valoarea instantanee a

curentului total este egală cu:

i= iR + iL + iC (5.48)

50

Page 52: Electrotehnica 1

Expresiile curenţilor iR, iL si iC fiind cunoscute, relaţia (5.48) se mai poate scrie sub

forma:

∫ ⋅+⋅+=dtduCdtu

LRui 1 (5.49)

Substituind expresiile tensiunii şi curentului i în relaţia (5.49) rezultă:

( ) tCUtL

UtR

UtI ωωωω

ωϕω cos2cos2sin2sin2 +−=− (5.50)

Din relaţia (5.50), se poate obţine valoarea unghiului de defazaj dintre tensiunea u(t) şi

curentul i(t) pentru momentul particular:

0=−ϕωt (5.51)

adică,

ϕωϕω

ϕ coscossin0 CULU

RU

+−= (5.51)

sau,

ϕωω

ϕ cos1sin1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= CLR

(5.52)

deci

GBB

R

CLtg CL −=−

=1

1 ωωϕ (5.53)

De asemeni din relaţia (5.50) se poate obţine valoarea efectivă a curentului I, pentru două

momente particulare:

0=tω si 2πω −=t (5.54)

Substituind relaţiile (5.54) în relaţia (5.50) obţinem, pe rând, expresiile:

UL

CI ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ωωϕ 1sin (5.55)

şi

RUI =ϕcos (5.56)

Ridicând la pătrat expresiile (5.55) şi (5.56) şi apoi adunându-le obţinem:

51

Page 53: Electrotehnica 1

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2222 11

LC

RUI

ωω (5.57)

sau:

( ) UYBBGUI LC =−+= 22 (5.58)

unde:

RG 1= , conductanţa circuitului;

CBC ω= , susceptanţa condensatorului;

LBL ω

1= , susceptanţa bobinei.

( ) 2222 BGBBGY LC +=−+= , admitanţa circuitului RLC derivaţie.

Relaţia (5.58), mai poartă şi numele de legea lui Ohm pentru circuite RLC derivaţie.

Defazajul între tensiune şi curent este cuprins în intervalul:

22πϕϕ

<−

=<−GBB

arctg CL (5.59)

Şi în cazul circuitului RLC derivaţie se poate construi un “triunghi al admitanţelor” –

triunghi dreptunghic ale cărui elemente sunt indicate în fig.5.16.

Figura 5.16. Triunghiul admitanţelor. Figura 5.17. Schema unui dipol

5.3.6. Puteri în regim periodic sinusoidal

În fig. 5.17, se reprezintă un dipol echivalent al unui circuit cu rezistenţe, bobine şi

condensatoare, care absoarbe curentul i(t) de la o reţea cu tensiunea u(t) de urmatoarea formă

analitică:

( ) ( )1sin2 ϕω += tIti (5.60)

52

Page 54: Electrotehnica 1

( ) ( )2sin2 ϕω += tUtu (5.61)

Puterea instantanee absorbită de circuit, este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]212121 2coscossinsin2 ϕϕωϕϕϕωϕω ++−−=++=⋅= tUIttUItitutp (5.62)

Notând cu 21 ϕϕϕ −= , defazajul dintre tensiunea de alimentare şi curentul absorbit se

observă că în expresia puterii din relaţia (5.62), apar două componente, dintre care una constantă

( )ϕcosUI şi una variabilă de pulsaţie dublă fată de cea a tensiunii de alimentare

(( 212cos ))ϕϕω ++− tUI . De asemeni din relaţia (5.62) se observă că puterea instantanee p(t) se

transmite în ambele sensuri atât de la sursă la receptor (p(t)>0) cât şi de la receptor la sursă

(p(t)<0).

În cazul circuitelor de c.a. deosebim trei puteri: activă, reactivă şi aparentă.

Puterea activă este dată de relaţia:

( )∫ ==T

UIdttpT

P0

cos1 ϕ (5.63)

Aşa cum s-a demonstrat anterior (rel.5.47 si 5.59) 22πϕπ

≤≤− ,deci 0cos ≥= ϕUIP .

Unitatea de masură a puterii active în [SI] este wattul [W]. Termenul ϕcos , care apare în

expresia puterii active poartă denumirea de factor de putere.

Se vede că în c.a. puterea activă este maximă când 1cos =ϕ , adică 0=ϕ , deci cazul

unui circuit numai cu rezistor (R) sau cu reactanţele compensate (la rezonantă).

Din relaţia (5.44): U=ZI, deci puterea activă va avea expresia:

ϕcos2ZIP = (5.64)

dar din triunghiul impedanţelor (fig.5.14) se vede că, RZ =ϕcos deci: 2RIP = (5.65)

Relaţia (5.65) ne arată că puterea activă se transformă pe o rezistenţă, în putere termică.

Din relaţia (5.65) se pot defini:

2IPR = si

ϕcos

2

UI

PIG == (5.66)

Puterea reactivă este dată de relaţia:

ϕsinUIQ = (5.67)

sau

53

Page 55: Electrotehnica 1

ϕsin2ZIQ = (5.68)

Din figura (5.14) se obţine XZ =ϕsin , deci: 2XIQ = (5.69)

Relaţia (5.69) ne arată că puterea respectivă este inmagazinată în alimentele reactive de

circuit (în câmpul electric al condensatoarelor şi/sau câmpul magnetic al bobinelor).

Ştiind că unghiul de defazaj ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

2,

2ππϕ din relaţia (5.68) se observă că puterea

reactivă poate fi pozitivă pentru ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛∈

2,0 πϕ sau negativă pentru ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡−∈ 0,

2πϕ , adică de la reţea la

receptor, respectiv de la receptor la reţea. În [SI] puterea reactivă se măsoară în voltamper–

reactiv [VAR].

Puterea aparenta este dată de relaţia:

S=UI (5.70)

sau ţinănd cont de relaţia (5.44):

S= Z I2 (5.71)

Din analiza expresiilor celor trei puteri rezultă:

22 QPS += (5.72)

Deci şi pentru puteri se poate construi un “triunghi al puterilor” – triunghiul dreptunghic

din fig. (5.18). Unitatea de măsură a puterii aparente în [SI] este volt–amperul [VA].

Figura 5.18. Triunghiul puterilor.

5.4. Reprezentarea fazorială a mărimilor sinusoidale

Având în vedere că operaţiile dintre mărimile sinusoidale exprimate sub formă analitică

generează calcule foarte complicate, se utilizează o reprezentare a mărimilor sinusoidale sub

formă de fazori transferând calculul asupra acestora.

54

Page 56: Electrotehnica 1

Oricărei mărimi cu o variaţie sinusoidala în timp: ( ),sin ϕω += tAa m i se poate ataşa un

pseudovector numit fazor (vector rotitor) definit astfel: faţă de o direcţie de referinţa (spre

exemplu axa OX, din fig. 5.19) se ia o direcţie, la un unghi ( )ϕω +t , ce corespunde fazei funcţie

la momentul respectiv. Pe această direcţie se ia un vector având modulul egal cu valoarea

maximă a funcţiei ( )AAm 2= . Vectorul construit se roteşte în spaţiu cu o viteză unghiulară

egală cu pulsaţia funcţiei ( )ω . Întradevăr, proiecţia fazorului pe axa OY, ne dă valoarea

instantanee a funcţiei sinusoidale. Această reprezentare mai poartă şi numele de reprezentare

fazorială cinematică.

Figura 5.19. Reprezentarea fazorială cinematică Figura 5.20. Reprezentarea fazorială statică.

În practica calculului circuitelor de c.a. în regim sinusoidal, de obicei toate mărimile

variabile din circuit au aceiaşi pulsaţie, motiv pentru care se utilizează o reprezentare statică prin

fazori la momentul t=0 (fig.5.20).

De asemenea, pentru ca în rezolvarea circuitelor de c.a. se utilizează mărimile efective,

modulul fazorului se va lua egal cu valoarea efectivă. Aşadar atunci cand se trece de la fazor la

valoarea instantanee se ţine seama de relaţia:

UUm 2= (5.73)

obţinând o reprezentare fazorială statică simplificată.

În circuitele de c.a. se mai utilizează fazorii derivatei sau integralei funcţiei sinusoidale

care descrie mărimea respectivă.

Fazorul derivatei

Pentru funcţia sinusoidală considerată derivată este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2sin πϕωω tA

dtda

m (5.74)

55

Page 57: Electrotehnica 1

După cum se vede fazorul derivatei are modulul de ω ori mai mare decât cel al funcţiei

iniţiale, iar unghiul de defazaj al acestuia este cu 2π înaintea mărimii sinusoidale “a”.

Fazorul integralei

Pentru aceiaşi funcţie integrala este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=∫ 2

sin0

πϕωω

tA

adt mt (5.75)

În acest caz fazorul integralei se obţine din fazorul funcţiei iniţiale, având modulul de ω

ori mai mic, iar unghiul de defazaj este cu 2π în urma fazorului funcţiei iniţiale.

Reprezentarea fazorială statică a mărimilor descrise mai sus este dată în fig. 5.21.

Figura 5.21. Reprezentarea fazorială statică a unei mărimi sinusoidale,

a derivatei şi integralei acesteia.

5.5. Reprezentarea complexă (simbolică) a mărimilor sinusoidale.

Pentru rezolvarea reţelelor complexe de c.a, se foloseşte o a treia metodă de reprezentare

(în afară de cea analitică – 5.3 şi cea fazorială – 5.4), a mărimilor sinusoidale în timp prin funcţii

a căror domenii de existenţă este planul complex.

Astfel funcţiei sinusoidale ( )ϕω += tAa m sin îi corespunde în planul complex funcţia:

a <=> ( )ϕω +

−= tj

meAa (5.76)

unde j este unitatea imaginară 1−=j ce reprezintă un operator de rotaţie cu 2π .

Reprezentarea în planul complex a funcţiei descrisă de relaţia (5.76) este dată în fig. 5.22.

56

Page 58: Electrotehnica 1

Din aceleaşi considerente pe care le-am arătat la reprezentarea fazorială şi în acest caz se

foloseşte o reprezentare complexă simplificată: funcţia sinusoidală este reprezentată de un număr

complex în valoare efectivă (fig. 5.23): ϕjeAA ⋅=

− (5.77)

Figura 5.22. Reprezentarea complexă Figura 5.23. Reprezentarea complexă

a mărimii sinusoidale “a” simplificată.

Deci, se poate stabili o relaţie biunivocă între funcţiile sinusoidale de timp şi funcţiile

complexe.

Trecerea de la funcţii sinusoidale la cele complexe şi invers se poate face cu uşurinţă.

Avantajul mare pe care-l oferă această ultimă metodă, este acela că reprezintarea

complexă, transferă calculul reţelelor de c.a. în algebra numerelor complexe, unde toate

operaţiile algebrice se fac cu uşurinţă.

Derivata complexă. Pentru derivata funcţiei exprimată şi de relatia (5.74) corespondenţa

în planul complex este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2sin πϕωω tA

dtda

m <=>−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−== AjAeA

j

d ωωπ

ϕ2 (5.78)

Deci derivata complexă se obţine din valoarea funcţiei (rel.5.77) multiplicată cu

operatorul ωj .

Integrala complexă. Pentru integrala funcţiei exprimată prin relaţia (5.75), corespondenţa

în planul complex este:

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

t m tA

adt0 2

sin πϕωω

<=> ωωω

πϕ

j

Ae

jAeAA j

j

i

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=== 2 (5.79)

Deci integrala complexă se obţine din valoarea funcţiei (rel.5.77) împarţită la operatorul

ωj .

57

Page 59: Electrotehnica 1

Pe baza rezultatelor obţinute la acest paragraf se pot scrie toate mărimile sinusoidale din

circuitele de c.a. sub formă complexă şi de asemenea toate relaţiile de calcul (legi şi teoreme):

tensiune, curent, impedanţă complexă, admitanţa complexă, putere complexă, legea lui Ohm în

complex, teoremele lui Kirchhoff în complex etc.

5.5.1. Caracterizarea în complex a circuitelor dipolare.

Un circuit dipolar, liniar şi pasiv, sub tensiunea sinusoidală la borne

( βω += tUu sin2 ) , absoarbe curentul sinusoidal ( )γω += tIi sin2 . Tensiunea la borne şi

curentul în complex sunt: βjUeUu =⇔

−; (5.80) γjIeIi =⇔

Cunoscând tensiunea şi curentul se pot defini impedanţa, admitanţa şi puterea complexă.

Impedanţa complexă. Se numeşte impedanţa complexă a unui circuit dipolar raportul

dintre tensiunea complexă la borne şi curentul complex absorbit:

−=I

UZ (5.81)

sau

( ) ϕγβγ

βjj

j

j

ZeeIU

IeUeZ === −

− (5.82)

unde Z este modulul impedanţei, iar ϕγβ =− este defazajul circuitului.

Impedanţa complexă are modulul egal cu impedanţa circuitului şi argumentul egal cu

defazajul circuitului:

ZZ =−

( )−

= Zargϕ (5.83)

Exprimând impedanţa complexă, în forma trigonometrică, se obţine:

ϕϕϕ sincos jZZZeZ j +⋅==−

(5.84)

Aşa cum ştim din triunghiul impedanţelor, mărimea ϕcosZ se numeşte rezistenţa

circuitului şi se notează cu R, iar mărimea ϕcosZ se numeşte reactanţa circuitului şi se notează

cu X. Se poate scrie deci:

58

Page 60: Electrotehnica 1

jXRZ +=−

(5.85)

Partea reală a impedanţei complexe este egală cu rezistenţa circuitului, iar partea

imaginară este egală cu reactanţa circuitului:

= ZR Re ; −

= ZX Im (5.86)

Impedanţa complexă nu depinde de , ci numai de parmetrii elementelor de circuit şi

de frecvenţă.

−−IsiU

Admitanţa complexă. Se numeşte admitanţa complexă raportul dintre curentul complex şi

tensiunea complexă:

ϕβ

γj

j

j

YeUeIe

U

IY −

−=== (5.87)

Exprimând admitanţa, sub formă trigonometrică, se obţine:

ϕϕ sincos jYYjBGY +=+=−

(5.88)

in care G este conductanta circuitului, iar B este susceptanta circuitului.

Conductanta G si susceptanta B se calculeaza deci cu expresiile:

ϕcos⋅= YG si ϕsin⋅= YB (5.89)

Puterea complexă. Puterea activă, reactivă şi aparenta ale unui circuit dipolar se pot

calcula direct cu ajutorul expresiilor mărimilor . Se numeşte −−IsiU putere aparentă complexă,

produsul dintre tensiunea complexă şi valoarea conjugată a curentului complex. Ea se notează cu

şi are expresia: −S

( )γβγβ −−

−−−=⋅== jjj UIeIeUeIUS * (5.90)

unde UI=S este puterea aparentă, iar ϕγβ =− este defazajul.

Prin urmare:

jQPjSSSeS j +=+== +

−ϕϕϕ sincos (5.91)

Din relaţia (5.91) reiese că puterea activă P şi cea reactivă Q se determină cu expresiile:

= SP Re ; −

= SIQ m (5.92)

59

Page 61: Electrotehnica 1

5.6. Circuite simple de curent alternativ sinusoidal analizate prin metoda

reprezentarii in planul complex

5.6.1. Circuite RLC serie

Considerăm circuitul RLC serie din fig. 5.13, alimentat de la o tensiune sinusoidală

tUu m ωsin= . Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff pe conturul circuitului se obţine:

0=−++ uuuu CLR (5.93)

sau:

∫ =++t

m tUidtCdt

diLRi0

sin1 ω (5.94)

După cum se vede pentru a determina curentul prin circuit trebuie să rezolvăm o ecuaţie

integro-diferenţială dată de relaţia (5.94). Rezolvarea o vom face prin cele două metode

prezentate anterior: metoda fazorială şi metoda reprezentării în planul complex.

Schema echivalentă cu mărimi complexe a circuitului RLC serie din fig. 5.13, este

prezentată în fig. 5.24.

Figura 5.24. Schema de principiu şi diagrama fazorială a circuitului RLC – serie.

Metoda fazorială.

Dacă soluţia ecuaţiei (5.94) este de forma:

( )ϕω += tIi m sin (5.95)

pentru ca aceasta să fie determinată trebuiesc determinate: ϕsiIm .

Reprezentând ecuaţia (5.94) prin fazori se obţine diagrama din fig. 5.24.b in care:

RIUR = ; LIUL ω= ; CIUC ω

= ; ZIU = ; C

XLX CL ωω !

=>= (5.96)

deci . CL UU >

60

Page 62: Electrotehnica 1

Din fig. 5.24.b se deduce

( )2

2CL XXR

UI−+

= (5.97)

deci:

IIm 2= (5.98)

iar

RXX

UUU

tg CL

R

CL −=

−=ϕ (5.99)

Relaţiile (5.98) si (5.99) determină curentul i din relaţia (5.95).

Metoda reprezentării în complex

Dacă se reprezintă relaţia (5.93) în valori coplexe se obţine:

0=−++−−−−UUUU CLR (5.100)

sau

−−−−

=++ UICj

ILjIRω

ω 1 (5.101)

De aici:

−−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=Z

U

CLjR

UI

ωω 1

(5.102)

Relaţia (5.102) reprezintă legea conducţiei (Ohm) în valori complexe pentru

circuite RLC – serie si permite determinarea lui , iar apoi: −I

IIII m 2=⇒=−

(5.103)

şi

( )( )−

−=Z

ZIarctg

m

Reϕ (5.104)

Cu mărimile calculate prin relaţiile (5.103) si (5.104) curentul i din circuit (rel. 5.95) este

determinat.

61

Page 63: Electrotehnica 1

5.6.2. Circuite RLC derivaţie

Considerăm circuitul din fig. 5.15 alimentat de la o tensiune tUu m ωsin= .

Aplicând teorema a I-a a lui Kirchhoff în nodul A obţinem:

i = iR + il + iC (5.105)

sau

∫ ++=t

dtduCudt

LRui

0

1 (5.106)

Ca şi în cazul circuitului RLC serie pentru determinarea curentului de forma relaţiei

(5.95) vom utiliza cele două metode: fazorială şi reprezentare în complex.

Schema echivalentă cu mărimi complexe a circuitului RLC derivaţie este prezentată în

fig.(5.25.a).

Figura 5.25. Schema de principiu şi diagrama fazorială a circuitului RLC – derivaţie.

Metoda fazorială

Diagrama fazorială care reprezintă mărimile sinusoidale din ecuaţia (5.106) este dată în

fig. 5.25.b în care:

UBXUCUIUB

XU

LUIGU

RUI C

CCL

LLR ======== ω

ω;; (5.107)

S-a considerat de asemeni BL>BC, deci IL>IC.

Din fig. 5.25.b se deduc:

( )22LC BBGUI −+= IIm 2= (5.108)

şi

62

Page 64: Electrotehnica 1

GBB

tg CL −=ϕ (5.109)

Relaţiile (5.108) şi (5.109), determină curentul i din relaţia (5.95).

Metoda reprezentării în complex

Dacă se reprezintă relaţia (5.105) în complex se obţine:

−−−−++= CLR IIII (5.110)

sau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−−Cj

LjGUI ω

ω1 (5.111)

De aici:

−−−= YUI (5.112)

Relaţia (5.112) reprezintă legea conducţiei (Ohm) în valori complexe pentru circuite RLC

derivaţie şi permite determinarea lui şi apoi: −I

IIII m 2=⇒=−

(5.113)

şi

( )( )−

−=Y

YIarctg

m

Reϕ (5.114)

Cu mărimile calculate prin relaţiile (5.113) şi (5.114) se poate determina valoarea

instantanee a curentului i (rel.5.95).

5.6.3. Condensatorul real

Comportarea unui condensator aşa cum a fost descris pâna aici corespunde aşa numitului

condensator ideal. În realitate se constată că la funcţionarea îndelungată, un condensator se

încalzeşte, deci în el are loc o disipare de putere activă. Dielectricul real nu are o rezistenţă

infinită, deci prin el se închide un curent de conducţie care provoacă o absorbţie de putere RI2 de

la sursa de alimentare.

63

Page 65: Electrotehnica 1

Din punct de vedere al comportării unui condensator real se constată un defazaj mai mic

de 2π între curentul prin condensator şi tensiunea la borne (fig.5.26).

Figura 5.26. Unghiul de pierderi δ al condensatorului real

Mărimea: ϕπδ −=2

poartă numele de unghi de pierderi; un condensator este cu atât mai

bun cu cît δ este mai mic. Pentru condensatorul real curentul complex va fi: ( )δπϕ −

−== 2/jj IeIeI (5.115)

Respectiv puterea aparentă complexă:

jQPjUIUIUIeIUS j −=−=== −

−−−ϕϕϕ sincos* (5.116)

unde:

δδπϕ sin2

coscos UIUIUIP =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== (5.117)

Deci puterea activă absorbită de condensator de la sursă este proporţională cu sinusul

unghiului de pierderi (δ).

5.6.4. Bobina reală

La punctul 5.3.2. (bobina ideală) s-a luat în consideraţie numai inductivitatea bobinei,

neglijându-se rezistenţa ohmica a acesteia şi capacitatea dintre spire.

În realitate la funcţionarea de durată se constată o încalzire a bobinei, deci şi aici are loc o

absorbţie de putere de la sursă, care se pierde pe rezistenţa ohmica a conductorului din care se

realizează înfaşurarea sub forma RI2.

64

Page 66: Electrotehnica 1

Dacă bobina este montată pe un miez din material feromagnetic, ca urmare a regimului

variabil în timp apar şi pierderi de putere activă prin histerezis magnetic şi curenţi turbionari aşa

cum s-a văzut în capitolul IV.

Această putere activă consumată de bobina de la sursă face ca defazajul dintre curent şi

tensiune să fie mai mic de 2π (fig. 5.27). Putem introduce şi aici mărimea: ϕπδ −=

2, numită

unghi de pierderi.

Figura 5.27. Unghiul de pierderi al bobinei reale.

5.7. Rezonanţa electrică

5.7.1. Caracterizarea fenomenului de rezonanţă

Fenomenul de rezonanţă electrică apare în circuitele de curent alternativ, în anumite

cazuri particulare, când defazajul φ dintre tensiunea aplicată şi curentul absorbit este nul.

0==e

e

RX

arctgϕ (5.118)

unde: Xe = 0 este reactanţa echivalentă a circuitului, iar Re este rezistenţa sa echivalentă.

Caracterul fenomenului de rezonanţă depinde de configuraţia circuitului: serie, paralel,

mixt. În fenomenul de rezonanţă se cunosc două cazuri specifice de manifestare ale acestui

fenomen: rezonanţa circuitelor serie numită rezonanţa tensiunilor şi rezonanţa circuitelor cu

ramuri paralele numită rezonanţa curenţilor.

5.8. Imbunătăţirea factorului de putere

Din analiza celor trei feluri de puteri, prezentate la paragraful precedent, se trage

urmatoarea concluzie în ceea ce priveşte vehicularea puterilor în circuitele de c.a.

rezistorul ideal consumă numai putere activă de la reţeaua la care este conectat;

65

Page 67: Electrotehnica 1

bobina ideală consuma numai putere reactivă de la reţeaua la care este conectată;

condensatorul ideal debitează putere reactivă în reţeaua la care este conectat.

Marea majoritate a consumatorilor de energie electrică au caracter inductiv (motoare,

transformatoare etc.). Aceşti consumatori inductivi absorb de la reţea energie reactivă pentru

formarea şi intreţinerea câmpurilor magnetice.

Din expresia puterii active pentru o tensiune de alimentare constantă şi aceeaşi putere:

ϕcosUIP = se obtine: (5.119)

.cos constI =ϕ

Relaţia (5.119) arată că la un factor de putere scăzut (deci la un consum ridicat de putere

reactivă) curentul absorbit de la reţea este mare şi deci pierderile în linia de alimentare (R1I2)

sunt mari. Datorită acestor cauze în practică se urmareşte funcţionarea receptoarelor la un factor

de putere cît mai aproape de 1. O îmbunatăţire a factorului de putere se poate realiza pe două căi:

pe cale naturală sau prin compensarea puterii reactive.

Pe cale naturală factorul de putere se poate îmbunătăţi adoptând măsuri tehnico-

organizatorice, cum ar fi: echiparea motoarelor electrice cu limitatoarelor de mers în gol,

respectarea graficului de întreţinere a motoarelor electrice prin repararea la timp a defectelor etc.

Prin compensarea puterii reactive cu ajutorul condensatoarelor statice sau utilizarea

compensatoarelor (motoarelor) sincrone (această metodă va fi prezentată în partea de

electrotehnica numita „Maşini electrice”).

Pentru compensarea puterii cu ajutorul condensatoarelor statice, se montează în derivaţie

cu receptorul (consumatorul) inductiv (fig.5.28.a) un condensator C0.

a) b)

Figura 5.28. Compensarea factorului de putere cu ajutorul condensatoarelor statice.

Daca U este valoarea efectivă a tensiunii de alimentare, I curentul înainte de montarea

condensatorului C0, ϕcos , factorul de putere înainte de montarea condensatorului iar I’ si

66

Page 68: Electrotehnica 1

'cosϕ , curentul şi respectiv factorul de putere după montarea condensatorului, atunci

reprezentând diagrama fazorială a celor două situaţii ale circuitului (fig.5.28.b) se pot spune

relaţiile:

ϕϕ

ϕcos

sin'

III

OABDAD

OAABtg C−

=−

== (5.120)

Din relaţia (5.34) se poate scrie:

UCIC 0ω= (5.121)

unde, fπω 2= .

Înlocuind relaţia (5.121) în (5.120) se obţine:

ϕωϕ

ϕcos

sin 0'

IUCI

tg−

= (5.122)

sau multiplicând număratorul şi numitorul fracţiei (5.122) cu U se obţine:

ϕωϕ

ϕcos

sin 20'

UIUCUI

tg−

= (5.123)

sau

0

2' C

PUtgtg ωϕϕ −= (5.124)

Din relaţia (5.124) se obţine valoarea capacitătii condensatorului C0 care trebuie conectat

în circuitul dat, astfel încât să se obtină o îmbunătăţire a factorului de putere, de la ϕcos la

ϕ ’: cos

( ) ( )2

'

2

'

0 2 UtgtgP

fUtgtgPC

ωϕϕ

πϕϕ −

=−

= (5.125)

unde, fπω 2= .

5.9. Conexiunea impedantelor in circuitele de c.a.

5.9.1. Conexiunea serie

Fie un număr oarecare de dipoli pasivi, necuplaţi inductiv între ei, conectaţi în serie,

având fiecare impedanţele complexe: (fig.5.29). −−−nZZZ ,.....,, 21

67

Page 69: Electrotehnica 1

Figura 5.29. Dipoli electrici pasivi necuplaţi inductiv, conectaţi în serie.

Tensiunea la borne scrisă în valori instantanee este:

ub = u1+ u2 +.......+ un (5.126)

sau în complex:

−−−−+++= nb UUUU .....21 (5.127)

Utilizând expresia tensiunii la bornele unei impedanţe complexe prin care trece un curent

complex (legea lui Ohm în complex, rel.5.102), expresia (5.127), se poate scrie:

−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=+++= IZZZIZIZIZU nnb .......... 2121 (5.128)

Deci impedanţa echivalentă a circuitului serie este:

==−

− I

UZ

b

e−−−

+++ nZZZ .....21 ∑= −

=n

kkZ

1

(5.129)

Explicitând în părţile reale şi imaginare relaţia (5.129), se obţin expresiile:

∑=

=n

kke RR

1

si (5.130) ∑=

=n

kke XX

1

5.9.2. Conexiunea paralel

Fie „n” dipoli pasivi, necuplaţi inductiv sau cu exteriorul conectaţi în paralel (fig.5.30)

având admitanţele . −−−nYYY ,......,, 21

Figura 5.30. Dipoli electrici pasivi necuplaţi inductiv, conectaţi în paralel.

68

Page 70: Electrotehnica 1

Conform primei teoreme a lui Kirchhoff:

i = i1+ i2 +.......+ in (5.131)

sau în complex:

−−−−−−−−−−+++=+++= bnbbn UYUYUYIIII .......... 2121 (5.132)

Admitanţa complexă echivalentă a circuitului este:

==

be U

IY ∑

= −−−−=+++

n

kkn YYYY

121 ..... (5.133)

Explicitând în parţi reale şi imaginare relaţia (5.133) se obţin expresiile:

∑=

=n

kke GG

1

si (5.134) ∑=

=n

kke BB

1

5.10. Circuite trifazate de curent alternativ sinusoidal

5.10.1. Sisteme de tensiuni

Un ansamblu de circuite în care acţionează trei t.e.m. alternative de aceiaşi frecvenţă

formează un sistem trifazat de circuite electrice, fiecare din aceste circuite constituind fazele

sistemului trifazat.

Fiecare fază a receptorului este caracterizată printr-o impedanţă. Dacă impedanţele

complexe ale celor trei faze sunt egale, spunem că receptorul (consumatorul) este echilibrat, iar

dacă impedanţele nu sunt egale receptorul este dezechilibrat. Având in vadere că în circuitele

electrice trifazate actionează un sistem trifazat de t.e.m. atunci rezultă un sistem trifazat de

tensiuni la borne şi respectiv un sistem trifazat de curenţi electrici.

Sistemul trifazat de tensiuni (curenti) poate fi:

simetric – atunci când cele trei mărimi au aceiaşi amplitudine (sau

valoare efectivă) şi sunt defazate între ele cu acelaşi unghi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32π ;

Nesimetric – atunci când cele trei mărimi au amplitudini diferite şi/sau

unghiurile de defazaj dintre ele, diferite.

69

Page 71: Electrotehnica 1

Sistemele trifazate simetrice pot fi de trei tipuri: succesiune directă, succesiune inversă şi

homopolară.

Sistemul de succesiune directă

Dacă succesiunea fazorilor care formează sistemul trifazat este în sens trigonometric

direct (fig.5.31), sistemul simetric se numeşte direct iar forma acestuia este:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

34sin2

32sin2

sin2

3

2

1

πω

πω

ω

tUu

tUu

tUu

(5.135)

Fig. 5.31

Sistemul de succesiune inversă

Dacă succesiunea fazorilor care formează sistemul trifazat este în sens trigonometric

invers (fig.5.32), sistemul simetric se numeşte invers iar forma acestuia este:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

32sin2

34sin2

sin2

3

2

1

πω

πω

ω

tUu

tUu

tUu

(5.136)

70

Page 72: Electrotehnica 1

Figura 5.32. Sistemul trifazat de succesiune inversă

Sistemul simetric homopolar

Dacă defazajul dintre două mărimi succesive este nul atunci cei trei fazori vor fi în faza

(fig.5.33), iar forma analitică a acestuia este:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

=

tUu

tUu

tUu

ω

ω

ω

sin2

sin2

sin2

3

2

1

(5.137)

Figura 5.33. Sistemul trifazat simetric homopolar

Dacă notam cu 32πj

ea =−

, un număr complex având modulul egal cu unitatea iar faza 3

- numit operator de rotaţie cele trei sisteme (5.135; 5.136 si 5.137) se scriu astfel:

Sistemul simetric direct:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

==

==

==

aUUeU

aUUeU

UUeU

j

j

jo

34

3

232

2

1

π

π

(5.138)

Sistemul simetric invers:

71

Page 73: Electrotehnica 1

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

==

==

==

232

3

34

2

1

aUUeU

aUUeU

UUeU

j

j

jo

π

π

(5.139)

Sistemul simetric homopolar:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

==

==

==

UUeU

UUeU

UUeU

jo

jo

jo

3

2

1

(5.140)

5.10.2. Rezolvarea circuitelor trifazate

Problema rezolvării circuitelor trifazate de c.a. se pune de obicei sub forma: se dă

sistemul de tensiuni trifazate, la bornele sursei de alimentare şi impedanţele fazelor receptorului

trifazat şi se cer curentii din retea. În circuitele trifazate se pot ivi urmatoarele cazuri de reţele:

a) reţele alimentate cu tensiuni simetrice şi receptoare echilibrate (se obţin

curenţi simetrici);

b) reţele alimentate cu tensiuni simetrice şi receptoare dezechilibrate (se

obţin curenţi nesimetrici);

c) reţele alimentate cu tensiuni nesimetrice şi receptoare echilibrate (se obţin

curenţi nesimetrici);

d) reţele alimentate cu tensiuni nesimetrice şi receptoare dezechilibrate (se

obţin curenţi nesimetrici).

Pentru rezolvarea variantelor de circuite prezentate mai sus se utilizează două metode:

metoda directa (care se poate aplica în toate variantele de circuite) şi metoda componentelor

simetrice (care se aplică la rezolvarea reţelelor alimentate de la sisteme trifazate nesimetrice de

tensiuni).

72

Page 74: Electrotehnica 1

5.10.2.1. Receptoare trifazate alimentate cu tensiuni simetrice

Sursele trifazate sau impedanţele trifazate pot fi legate galvanic între ele sau nelegate (fig.

5.34). Legarea galvanică se poate face în două moduri: în stea (Y) sau în triunghi (Δ ). În

practică se utilizează sistemele trifazate legate, care reduc numărul de conductoare ale liniei de

transport a energiei de la sursă la receptor (de la 6 conductoare la 3 sau 4).

Figura 5.34. Sistem trifazat nelegat galvanic

5.10.2.1.1. Receptoare echilibrate – conexiunea în stea (Y)

În fig. 5.35, este reprezentată conectarea în stea a sursei şi receptorului. Conductoarele de

linie se reduc la 3 plus conductorul nul sau neutru, care face legatura între nulul sursei (O) şi

nulul receptorului (O’ ).

Figura 5.35. Conexiunea stea

În cazul sistemelor trifazate legate avem două feluri de mărimi: de faza şi de linie. Astfel

în cazul de faţă avem:

73

Page 75: Electrotehnica 1

−−−CBA UUU ,, - tensiuni de fază;

−−−CABCAB UUU ,, - tensiuni de linie

−−−CBA III ,, - curenţii de linie care la conexiunea stea corespund cu cei de faza.

Deci:

I1 = If (5.141)

iar pentru tensiuni se pot scrie:

( ) 62 31πj

BAAB eUaUUUU−−−−−

=−=−= (5.142)

Cum sursa este simetrică ( )lCABCAB UUUU === şi receptorul echilibrat

( respectiv CBA ZZZ == fCBA UUUU === ) se obţine între valorile efective ale tensiunilor

relaţia:

fl UU 3= (5.143)

Deci tensiunile de linie la legarea în stea au valorile efective de 3 ori mai mari şi

defazate cu π/6, înaintea lui (rel. 5.142). −AU

Conexiunea în triunghi (Δ )

În figura 5.36 este reprezentată conexiunea în triunghi a sursei şi receptorului.

Conductoarele liniei de transport a energiei se reduc în acest caz la 3.

Figura 5.36. Conexiunea triunghi

Se observă în acest caz că între mărimile de fază şi de linie ale tensiunilor există relaţia:

U1 =Uf (5.144)

74

Page 76: Electrotehnica 1

Pentru a determina relaţia dintre curenţi, se scrie teorema a-I-a a lui Kirchhoff în unul din

nodurile receptorului, de exemplu în A’:

63πj

fCAABA eIIII−

−−−=−= (5.145)

Cum sursa este simetrică (IA=IB=IC=Il) şi receptorul echilibrat (IAB=IBC=ICA=If) se obţin

între valorile efective ale curenţilor, relaţia:

fl II 3= (5.146)

Deci curenţii de linie, la legatura în triunghi, sunt de 3 ori mai mari şi defazaţi cu π/6 în

urma lui (rel. 5.145). −ABI

Puteri în reţele trifazate simetrice şi echilibrate

Deoarece în acest caz valorile efective ale curenţilor şi tensiunilor pe fiecare fază sunt

egale, cele trei puteri se pot scrie:

ϕcos3 ff IUP = (5.147)

ϕsin3 ff IUQ = (5.148)

ff IUS 3= (5.149)

Utilizând pentru exprimarea puterilor mărimile de linie (rel.5.141; 5.143; 5.144 si 5.146)

se obţin relaţiile:

la conexiunea în stea a receptorului (fig.5.35).

ϕϕ cos3cos3

3 llll IUI

UP == ; ϕsin3 ll IUQ = ; ll IUS 3= (5.150)

la conexiunea în triunghi a receptorului (fig.5.36).

ϕϕ cos3cos3

3 lll

l IUI

UP == ; ϕsin3 ll IUQ = ; ll IUS 3= (5.151)

Deci indiferent de modul de legare al receptorului puterile au aceiaşi expresie dacă pentru

scrierea lor se utilizează mărimile de linie.

75

Page 77: Electrotehnica 1

CAPITOLUL VI

MASURĂRI ELECTRICE

6.1. Măsurări, mijloace şi metode de măsurare

6.1.1 Măsurări

În activitatea practică se întâlnesc diferite mărimi fizice, care se deosebesc între ele

calitativ, după natura lor (lungimi, suprafeţe, presiuni, temperaturi, tensiuni, puteri, rezistenţe

etc.), şi cantitativ.

Evaluarea cantitativă a unei mărimi de o anumită natură se realizează prin măsurare. Deci

măsurarea este procesul prin care se evaluează cantitativ mărimile fizice de acelaşi fel.

A măsura o mărime M, înseamnă a o compara cu o mărime de aceiaşi natură U,

considerată convenţional drept unitate de masură si a vedea de câte ori unitatea de măsura se

cuprinde în mărimea de măsurat.

Procesul de măsurare se poate exprima prin raportul dintre mărimea de măsurat M şi

unitatea de măsură U, iar rezultatul măsurării reprezintă valoarea numerică V, a mărimii de

măsurat:

VUM

= (6.1)

Conform relaţiei (6.1), mărimea de măsurat se poate exprima prin:

UVM ⋅= (6.2)

OBSERVAŢII

a) Expresia , arată că ori de câte ori se exprimă o anumită mărime, trebuie

menţionată şi

UVM ⋅=

unitatea de măsură, multiplii sau submultiplii acesteia (de exemplu I=2A; R=1KΩ;

C=100μF).

76

Page 78: Electrotehnica 1

b) Unitatea de masură este o mărime de aceeaşi natură cu mărimea de măsurat, aleasă în

mod convenţional.

6.1.2. Procesul de măsurare

Într-un proces de măsurare se porneşte de la mărimea de măsurat, care constituie

obiectul măsurării. Apoi se stabileşte cu ce se va executa măsurarea şi cum se va face aceasta.

Având în vedere cele de mai sus, putem spune că în procesul de măsurare intervin următoarele

elemente:

obiectul măsurării (ce se măsoară?)

mijloacele de măsurare (cu ce se măsoară?)

metode de măsurare (cum se măsoară?)

A. Mijloace de măsurare

Mijloacele de măsurare reprezintă totalitatea mijloacelor tehnice utilizate în procesul de

măsurare. În funcţie de complexitatea lor, mijloacele de măsurare se împart în:

măsuri;

aparate de măsurat;

instalaţii de măsurare.

Măsura este materializarea unităţii de măsura sau a unui multiplu sau submultiplu al

acesteia.

Exemple: metrul (din lemn sau metal), ruleta (de 1m sau de 10m), rezistorul etalon,

condensatorul etalon etc.

Aparatul de măsurat este un sistem tehnic care permite determinarea cantitativă a

mărimilor ce se măsoară.

Exemple: ampermetrul, voltmetrul, ohmetrul etc.

Instalaţia de măsurat este un ansamblu de aparate şi măsuri conectate între ele după o

anumită schemă, în scopul unor măsurări.

Exemple: instalaţia folosită la măsurarea rezistenţelor electrice prin metoda

ampermetrului şi voltmetrului, instalaţiile utilizate la etalonarea aparatelor de măsurat electrice,

instalaţiile de telemăsurari etc.

77

Page 79: Electrotehnica 1

După precizia lor, mijloacele de măsurare se împart în:

mijloace de măsurare etalon sau etaloane;

mijloace de măsurare de lucru.

Mijloace de măsurare etalon sunt cele mai precise mijloace de măsurare. Ele servesc la

definirea, materializarea, conservarea sau reproducerea unităţii de măsură în scopul transmiterii

unităţii către mijloace de măsurare. La rândul lor, etaloanele sunt de mai multe categorii:

etalon primar – etalonul care întruneşte cele mai ridicate calităţi

metrologice. În unele cazuri, etaloanele pot deveni etaloane internaţionale sau etaloane

naţionale. Etaloanele internaţionale sunt recunoscute prin acorduri internaţionale, iar

etaloanele naţionale sunt atestate printr-o decizie oficială a unei ţări şi constituie baza

metrologică a ţării respective;

etaloane secundare. Transmiterea unităţii de măsură se realizează pornind

de la etalonul naţional, care este şi etalon primar cu ajutorul unor instalaţii şi metode

adecvate, se etalonează etaloanele secundare de ordinul I, de la care, prin mijloace

tehnice similare, unitatea de măsură se transmite la etaloanele secundare de ordinul II,

ş.a.m.d.

etalon de lucru – etalonul a carui valoare este atribuită prin comparaţie cu

un etalon secundar şi care serveşte la verificarea mijloacelor de măsurat de lucru.

Mijloacele de măsurare de lucru sunt cele cu care se exercită măsurările cerute de

practică.

B. Metode de măsurare

Metodele de măsurare reprezintă ansamblul de procedee folosite pentru obţinerea

informaţiei de măsurare. Ele arată cum se execută măsurările.

După modul în care se obţine rezultatul măsurării, metodele de măsurare se împart în

metode indirecte şi metode directe.

Metodele de măsurare indirecte sunt acele metode prin care se măsoară alte mărimi, iar

valoarea mărimii de măsurat se obţine prin calcul.

Exemplu: măsurarea rezistenţelor prin metoda ampermetrului şi voltmetrului.

Metodele de măsurare directe, sunt acele metode în care se măsoară nemijlocit mărimea

de măsurat. Metodele directe pot fi cu citire directă sau de comparaţie.

78

Page 80: Electrotehnica 1

Citirea directă se foloseşte în cazul aparatelor care au scară gradată direct în unităţi ale

mărimii de măsurat.

Exemple: ampermetrul, voltmetrul, ohmetre etc.

Metodele de comparaţie pot fi: metode de substituţie, metode diferenţiale, metode de zero

şi altele.

Metoda de substituţie constă în înlocuirea mărimii de măsurat A*, existenta într-o

anumită instalaţie de măsurare, cu o mărime cunoscută şi variabilă A0, care se modifică pâna

când indicaţiile aparatelor de măsurat vor fi aceleaşi ca şi cazul când in instalaţie se află mărimea

A*. În acest caz, A*=A0.

Metoda diferenţială se caracterizează prin aceea că aparatul de măsurat, măsoara

diferenţa A*-A0=A, unde A* este mărimea de măsurat, iar A0, o mărime de aceeaşi natură cu A*,

dar cunoscută cu o anume precizie. Precizia măsurării este cu atât mai mare cu cât diferenţa A

este mai mică.

Metoda de zero se bazează pe acţiunea simultană, dar de sens contrar, a mărimii de

comparaţie şi a mărimii de măsurat asupra unui aparat detector de nul. Mărimea de comparaţie se

variază pâna când detectorul de nul indică zero. În acest caz, valoarea mărimii de măsurat este

dată de valoarea mărimii de comparaţie. Operaţia de măsurare are caracterul unui proces de

reglaj în bucla închisă, ceea ce asigură metodei o precizie ridicată. Metoda de zero se foloseşte la

măsurarea tensiunilor electrice cu compensatoarele şi la măsurarea mărimilor electrice cu punţile

echilibrate.

6.2.Măsurarea mărimilor electrice

6.2.1. Măsurarea intensităţii curentului electric

A. Măsurari în curent continuu

Intensitatea curentului electric este definită drept cantitatea de electricitate ce trece în

unitatea de timp printr-o secţiune a unui circuit. Unitatea de măsură, amperul, este o unitate

fundamentală a sistemului [SI].

In general, intensitatea curentului electric se măsoară prin metode cu citire directă, cu

aparate indicatoare ce se numesc ampermetre.

79

Page 81: Electrotehnica 1

Ampermetrele sunt aparate de măsurat a căror indicaţie depinde de intensitatea curentului

electric ce trece prin ele:

( )If=α (6.3)

Din caracteristica de funcţionare a aparatelor magnetoelectrice, IS ⋅=α se observă că

aceste aparate pot fi folosite ca ampermetre. Ampermetrele magnetoelectrice vor fi numai de

curent continuu deoarece aparatele magnetoelectrice funcţionează numai în curent continuu.

a)Montarea ampermetrelor în circuit

Deoarece la ampermetre indicaţia depinde de intensitatea curentului ce le străbate, pentru

a măsura intensitatea curentului într-un circuit este necesar ca ampermetrul să fie montat în serie

în circuitul respectiv, pentru ca astfel curentul măsurat să treacă prin aparat (fig. 6.1).

Figura 6.1. Montarea ampermetrului în circuitul de măsurare (a-circuitul fără

ampermetru; b-circuitul cu ampermetru)

Orice circuit în care se masoară intensitatea curentului poate fi redus la o schemă

echivalentă care conţine o sursă de tensiune E şi o rezistenţă R (fig.6.1.a). În acest caz

intensitatea curentul va fi:

REI = (6.4)

Dupa montarea ampermetrului, în circuit intervine în serie şi rezistenţa sa proprie ra,

(fig.6.1.b), iar intensitatea curentului va deveni:

arREI+

=1 (6.5)

Ca urmare, măsurarea va fi afectată de o eroare sistematică de metoda. Pentru ca la

montarea ampermetrului într-un circuit funcţionarea circuitului să se modifice cît mai puţin

, este necesar ca ( II ≅1 ) rezistenţa proprie a ampermetrului să fie mult mai mică decât rezistenţa

circuitului adică: ra « R.

80

Page 82: Electrotehnica 1

b) Extinderea domeniului de măsurare la ampermetre

Orice aparat magnetoelectric este construit pentru un anumit domeniu de măsurare,

caracterizat prin valoarea intensităţii curentului nominal Ia (valoarea de la capătul scării) şi are o

rezistenţă proprie ra. Dacă este necesar să se măsoare un curent cu o intensitate I >Ia, se poate

extinde cu ajutorul unor dispozitive auxiliare numite şunturi.

Şuntul este o rezistenţă electrică, de obicei de valoare mică, care se montează în paralel

pe aparatul de măsurat şi prin care trece o parte din curentul de măsurat.

Pentru dimensionarea şunturilor se consideră circuitul din fig.6.2. Notând cu I,

intensitatea curentului de măsurat, cu Is şi rs, intensitatea curentului ce trece prin şunt şi

respectiv, rezistenţa şuntului, Ia si ra, intensitatea curentului ce trece prin aparat şi respectiv,

rezistenţa aparatului, tensiunea între punctele a,b, va fi:

sa

sassaaab rr

rrIrIrIU

+=== (6.6)

Figura 6.2. Ampermetru cu şunt

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în punctul a, se poate scrie:

I = Ia + Is (6.7)

Din relaţiile (6.6) si (6.7), se pot deduce:

s

aas I

rIr

⋅= respectiv Is = I - Ia (6.8)

Relaţiile (6.8) permit dimensionarea şuntului atunci când se cunosc caracteristicile

aparatului magnetoelectric, (Ia si ra) şi intensitatea I a curentului de măsurat.

Din relatia (6.6), se mai pot deduce şi alte formule pentru dimensionarea şunturilor.

Astfel, se poate scrie:

nrr

rrr

II

s

a

s

as

a

=+=+

= 1 (6.9)

81

Page 83: Electrotehnica 1

în care “n” indică de câte ori este mai mare curentul de măsurat decât curentul nominal şi se

numeşte coeficient de multiplicare sau factor de şuntare.

Din relatia:

s

a

rr

n +=1 (6.10)

se obtine:

1−=

nr

r as (6.11)

Relatia (6.11) arată că, pentru a extinde de “n” ori limita de măsurare a unui ampermetru,

este necesar un şunt cu rezistenţa de “n-1”ori mai mică decât rezistenţa aparatului.

B.Masurări în curent alternativ

Pentru măsurarea intensităţii curentului electric alternativ de joasă frecvenţă se utilizează

ampermetre feromagnetice, ampermetre electrodinamice şi ampermetre magnetoelectrice cu

redresor (ampermetre care inglobează în construcţia lor instrumentele de măsurat, cu acelaşi

nume).

Montarea acestor ampermetre, în circuitul de măsură, se face în acelaşi mod ca la

măsurările în curent continuu.

De obicei, ampermetrele de c.a. se realizează pentru intensităţi maxime de 1A sau 5A.

Pentru măsurarea curenţilor de intensităţi mai mari se folosesc transformatoare de curent. Modul

de conectare în circuit a unui ampermetru ce utilizează transformator de curent pentru extinderea

domeniului de măsură este prezentat în fig. 6.3.

Figura 6.3. Montarea transformatoarelor de curent

82

Page 84: Electrotehnica 1

Pentru determinarea valorii intensităţii curentului măsurat prin intermediul unui

transformator de curent se utilizează raportul nominal de transformare între valorile nominale ale

intensităţilor curenţilor I1n si I2n:

n

nIn I

IK

2

1= (6.12)

6.2.2. Măsurarea tensiunilor electrice

A. Măsurări în curent continuu

Tensiunea electrică este definită ca diferenţa de potenţial electric dintre două puncte.

Unitatea de masură pentru tensiuni în sistemul [SI], este voltul, având ca simbol V.

În general, tensiunile electrice se măsoară prin metode de citire directă, cu aparate

gradate în volţi, numite voltmetre. În măsurările de mare precizie se utilizează metode de

compensaţie.

Considerăm un aparat magnetoelectric având rezistenţa proprie ra. La trecerea curentului

electric prin aparat conform legii lui Ohm, la bornele acestuia apare o cădere de tensiune:

arIU ⋅= (6.13)

Rezultă:

ar

UI = (6.14)

Dacă prin aparat trece un curent egal cu curentul său nominal, atunci indicaţia sa va fi

maximă şi tensiunea de la bornele sale va reprezenta tensiunea nominală a aparatului.

aaa rIU ⋅= (6.15)

Deci, orice aparat de măsurat se caracterizează, pe lângă curentul său nominal Ia şi

rezistenţa sa proprie ra, şi prin tensiunea sa nominală Ua.

a) Montarea voltmetrelor în circuit

Pentru ca un voltmetru să măsoare tensiunea electrică între două puncte ale unui circuit,

el trebuie montat în paralel pe circuit între cele două puncte, astfel incât tensiunea de măsurat să

fie egală cu tensiunea de la bornele sale (fig. 6.4).

83

Page 85: Electrotehnica 1

Figura 6.4. Montarea voltmetrului în circuit

(a-circuitul fară voltmetru; b-circuitul cu voltmetru)

Ca şi în cazul ampermetrelor, la montarea voltmetrului în circuit este necesar ca

funcţionarea circuitului să se modifice cât mai puţin. În circuitul din fig. 6.4a, înainte de

montarea voltmetrului, tensiunea între punctele a, b, este:

E

RrrR

REUii

⋅+

=+

=1

1 (6.16)

după montarea voltmetrului (fig. 6.4b), tensiunea între punctele a, b, devine:

v

vi

v

vi

v

v

m

rrR

Rr

EE

rRrR

r

rRrR

U+

⋅+=⋅

+⋅

+

+⋅

=1

(6.17)

Pentru ca este necesar ca raportul mUU ≅v

v

rrR + să fie aproximativ egal cu 1. Acest

lucru este posibil numai dacă rv » R.

CONCLUZIE

Pentru ca la montarea voltmetrului în circuit funcţionarea acestuia din urmă să se

modifice cât mai puţin, este necesar ca rezistenţa voltmetrului să fie mult mai mare decât

rezistenţa în paralel pe care se montează.

b) Extinderea domeniului de măsurare la voltmetre.

De obicei, căderea de tensiune nominală la bornele aparatelor magnetoelectrice este

foarte mică, sub un volt. Când tensiunea de măsurat U, este mai mare decât tensiunea nominală a

aparatului, se poate extinde domeniul de măsurare cu ajutorul unor dispozitive numite rezistenţe

adiţionale.

84

Page 86: Electrotehnica 1

Rezistenţa adiţională este o rezistenţă de valoare mare, care se montează în serie cu

aparatul magnetoelectric şi pe care cade o parte din tensiunea de măsurat.

Pentru dimensionarea rezistenţelor adiţionale se consideră circuitul din fig. (6.5).

Figura 6.5. Voltmetru cu rezistenţă adiţională.

Se observă că atât prin instrumentul de măsurat, cât şi prin rezistenţa adiţională, trece

acelaşi curent, Ia:

adaa

aa rr

Ur

UI

+== (6.18)

Din această relaţie se poate deduce:

nrr

rrr

UU

a

ad

a

ada

a

=+=+

= 1 (6.19)

în care “n” indică de câte ori tensiunea de măsurat este mai mare decât tensiunea nominală şi se

numeşte coeficient de multiplicare.

Din relaţia:

a

ad

rr

n += 1 (6.20)

se obţine:

( )1−= nrr aad (6.21)

Deci, pentru a extinde de “n”ori intervalul de măsurare al unui voltmetru, este necesară o

rezistenţă adiţională de “n-1”ori mai mare decât rezistenţa aparatului magnetoelectric.

B. Măsurări în curent alternativ

Pentru măsurarea tensiunii electrice alternative de joasă frecvenţă se utilizează voltmetre

feromagnetice, voltmetre electrodinamice,voltmetre magnetoelectrice cu redresor etc. (voltmetre

care înglobează în construcţia lor instrumentele de măsurat, cu acelaşi nume).

Montarea acestor voltmetre, în circuitul de măsură, se face în acelaşi mod ca la

măsurările în curent continuu.

85

Page 87: Electrotehnica 1

Pentru extinderea domeniului de măsurare până la câteva sute de volţi, se folosesc

rezistenţe adiţionale. Pentru măsurarea tensiunilor mai mari se folosesc transformatoarele de

tensiune. În secundarul transformatorului de tensiune se conectează voltmetre de 100V sau de

110V. Modul de conectare al voltmetrului prin intermediul transformatorului de tensiune este

prezentat în fig. (6.6).

Figura 6.6. Montarea transformatoarelor de tensiune

Pentru determinarea valorii tensiunii măsurate prin intermediul transformatorului se

utilizeaza raportul nominal de transformare, între valorile nominale ale tensiunilor U1n şi U2n:

n

nU U

UK

n2

1= (6.22)

Raportul nominal de transformare este determinat prin construcţie şi este înscris pe

transformator. Valoarea tensiunii măsurate se calculează cu relaţia:

nUnm KUU ⋅= 2 (6.23)

unde U2 este tensiunea citită la voltmetrul montat în secundarul transformatorului.

Raportul valorilor efective ale tensiunilor U1 si U2, din primarul şi respectiv, secundarul

transformatorului de tensiune, se numeşte raport real de transformare şi se notează cu KU:

2

1

UUKU = (6.24)

6.2.3. Măsurarea rezistenţelor electrice

Rezistenta electrică este o mărime egală cu raportul între tensiunea electrică aplicată între

capetele unui conductor şi intensitatea curentului produs de această tensiune în conductorul

respectiv.

86

Page 88: Electrotehnica 1

Unitatea de măsură pentru rezistenţa electrică în sistemul S.I., este ohmul, având ca

simbol Ω:

AV

111 =Ω (6.25)

În circuitele electrice folosite în practică se intâlnesc rezistenţe electrice cu o gamă largă

de valori, ceea ce a condus la un mare număr de metode de măsurat. Dintre acestea, cele mai

folosite sunt:

metoda indirectă a ampermetrului şi voltmetrului, cu variantele amonte şi

aval;

metodele de comparaţie dintre care amintim doar metodele de punte;

metodele cu citire directă, folosind ohmetre şi megometre.

A. Metoda ampermetrului şi voltmetrului.

Metoda ampermetrului şi voltmetrului este o metodă indirectă: se măsoară tensiunea la

bornele rezistenţei cu voltmetrul şi intensitatea curentului ce trece prin rezistenţă, cu

ampermetrul; valoarea rezistenţei de măsurat se obţine aplicând legea lui Ohm:

IUR = (6.26)

Deoarece se folosesc două aparate de măsurat, se pune problema poziţionării lor

reciproce. Este posibil să se realizeze două variante (fig. 6.7), care diferă între ele prin poziţia

voltmetrului fată de ampermetru. Împrumutând termenii din navigaţia fluvială, se spune că în fig.

6.7a, voltmetrul este în amonte fată de ampermetru, iar în fig. 6.7.b, voltmetrul este în aval faţă

de ampermetru.

Figura 6.7. Măsurarea rezistenţelor prin metoda ampermetrului şi voltmetrului

(a-varianta amonte; b-varianta aval)

87

Page 89: Electrotehnica 1

Oricare variantă se alege, se constată că se introduc erori sistematice de metodă.

Important este să se ştie în ce condiţii aceste erori sunt minime. Pentru aceasta se vor analiza cele

două variante pe rând.

Varianta amonte (fig.6.7a). Cu montajul din fig. 6.7a trebuie să se măsoare valoarea

rezistenţei Rx:

x

xx I

UR = (6.27)

Ampermetrul măsoară I = Ix.

Voltmetrul măsoară U = Ua + Ux unde aa rIU ⋅= , ra fiind rezistenţa ampermetrului.

Cu datele obţinute, aplicând legea lui Ohm, se calculează:

xaxa Rr

IUU

IUR +=

+== (6.38)

Se observă că, în această variantă, se introduce eroarea sistematică de metodă:

ax rRRR =−=Δ (6.29)

Eroarea relativă, care indică precizia măsurării, va fi:

x

a

xr R

rRR

==ε (6.30)

Pentru a obţine o precizie cât mai mare, este necesar ca eroarea relativă să fie cât mai

mică, deci:

ra« Rx (6.31)

CONCLUZIE . Varianta amonte se va volosi numai pentru măsurarea rezistenţelor mari,

mult mai mari decât rezistenţa ampermetrului.

Varianta aval (fig. 6.7b). Cu montajul din fig. 6.7b trebuie să se măsoare valoarea

rezistenţei Rx.

Ampermetrul măsoară I = Ix + Iv, unde Iv este curentul prin voltmetru (v

v rUI = ), rv, fiind

rezistenţa voltmetrului. Voltmetrul măsoară U = Ux.

Cu datele obţinute, aplicând legea lui Ohm, se calculează:

88

Page 90: Electrotehnica 1

v

x

x

x

v

x

x

v

x

vx

rR

R

UU

IIR

II

IU

IIU

IUR

+=

+=

+=

+==

111 (6.32)

Şi în acest caz se introduce o eroare sistematică de metodă:

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−+

=−+

=−=Δ 11

1

1v

xxx

v

x

xx

rR

RR

rR

RRRR ; (6.33)

Eroarea relativă va fi:

11

1−

+=

Δ=

v

xxr

rRR

Rε (6.34)

Pentru a obţine o precizie cât mai mare, eroarea relativă trebuie să fie cât mai mică, deci

rv » Rx.

CONCLUZIE .Varianta aval se va folosi numai pentru măsurarea rezistenţelor mici,

mult mai mici decât rezistenţa voltmetrului.

Metoda ampermetrului şi voltmetrului are avantajul că permite măsurarea rezistenţelor

sub curentul lor nominal, care se poate regla cu rezistenţa variabilă Rh.

6.2.4. Măsurarea puterii electrice

A. Măsurarea puterii electrice în curent continuu

1. Metoda ampermetrului şi voltmetrului

În c.c., puterea se poate calcula cu relaţia:

IUP ⋅= (6.35)

Pornind de la această relaţie, se poate deduce că puterea consumată în c.c. de un receptor

având rezistenţa electrică “R”, se poate măsura cu un voltmetru şi un ampermetru folosind un

montaj ca în fig. 6.8.

89

Page 91: Electrotehnica 1

Figura 6.8. Măsurarea puterii în c.c. cu ampermetrul şi voltmetrul.

Voltmetrul se va monta fie amonte (comutatorul K, pe poziţia a), fie aval (comutatorul K,

pe poziţia b), în funcţie de mărimea rezistenţei “R”. Când R » ra (ra fiind rezistenţa

ampermetrului), se va folosi varianta amonte. Când R « rv (rv fiind rezistenţa voltmetrului), se va

folosi varianta aval.

În varianta amonte, voltmetrul va indica U= UR + Ua, iar ampermetrul va indica I = IR.

Citind indicatiile voltmetrului şi ampermetrului şi aplicând relaţia (6.37), se obtine:

( ) aRaaRaR PPIrRIIUIUIUUIUP +=+=+=+=⋅= 22 (6.36)

unde PR este puterea consumată de receptorul “R”, iar “Pa” este puterea consumată de

ampermetru. Dacă R » ra, atunci Pa« PR şi se poate considera cu o eroare acceptabilă RPP ≅ .

În varianta aval, ampermetrul măsoară I = IR + Iv, iar voltmetrul U = UR. Citind

indicaţiile ampermetrului şi voltmetrului şi aplicând relaţia (6.37):

( ) vRv

vRvR PPr

UR

UIUIUIIUIUP +=+=⋅+⋅=+=⋅=22

(6.37)

unde PR este puterea consumată de receptorul “R”, iar Pv este puterea consumată de voltmetrul.

Dacă R » rv atunci Pv « PR şi se poate considera cu o eroare acceptabilă RPP ≅ .

2. Măsurarea cu Wattmetrul electrodinamic sau ferodinamic

Indicaţia aparatelor electrodinamice şi ferodinamice în c.c. este proporţională cu produsul

intensităţilor curenţilor ce străbat bobinele fixe şi mobile ale aparatelor:

21 IIK ⋅⋅=α (6.38)

Dacă bobinele fixe, numite şi bobine de curent se montează în serie cu un consumator,

atunci I1 = I şi dacă bobina mobilă, numită şi bobina de tensiune, împreună cu o rezistenţă

adiţională, rad, se montează în paralel cu un consumator., atunci I2 = U/rad şi relaţia (6.40) devine:

90

Page 92: Electrotehnica 1

PKIUKrUKIad

11 ===α (6.39)

Relaţia (6.39), arată că indicaţia aparatelor electrodinamice şi ferodinamice este

proporţională cu puterea electrică şi ca urmare ele se pot grada direct în waţi.

Montajul utilizat pentru măsurarea puterii electrice cu wattmetrul electrodinamic sau

ferodinamic este cel din fig. 6.9. In c.a. se utilizeaza acelasi montaj din figura 6.9.

Figura 6.9. Măsurarea puterii în c.c. cu wattmetrul electrodinamic sau (ferodinamic)

91

Page 93: Electrotehnica 1

BIBLIOGRAFIE

Partea I

1. C. CRUCERU, s.a.- ELECTROTEHNICA SI INSTALATII ELECTRICE IN

METALURGIE - Note de curs - Universitatea "Dunărea de jos " din Galaţi, 1994.

2. D. CALUIANU s. a. – Electrotehnica si masini electrice – EDP, Bucuresti, 1983.

3. I. C. Mocanu - Teoria câmpului electromagnetic – EDP, Bucureşti, 1980.

4. M. PREDA s.a. – Electrotehnica, EDP, Bucuresti, 1974.

5. T. MUNTEANU şi M. CULEA – COMPONENTE ELECTRONICE PASIVE-

Note de curs - Universitatea "Dunarea de jos " din Galati, 2001.

6. C. CRUCERU – Masurari electrice, electronice, magnetice si traductoare,

Universitatea din Galati, 1980.

7. A.MILEA – Măsurări electrice. Principii şi metode - Ed. Tehnică, Bucureşti, 1980.

8. C. ILIESCU s.a. – Măsurări electrice şi electronice –EDP, Bucureşti, 1983.

92