electrotehnica - capitolul 9

of 70/70
555 9. COMPENDIU Deoarece nu este posibil ca disciplinele prevăzute pentru pregătirea şi formarea unui specialist, indiferent de domeniul de specializare , să se predea în mod secvenţial , astfel încât toate noţiunile şi cunoştinţele iniţiale necesare predării unei materii– să fie deplin însuşite de la cursurile premergătoare (din „amonte”), s-a prevăzut –în încheiere– acest compendiu, ce cuprinde acele elemente fundamentale „din afara” Bazelor electrotehnicii, care sunt absolut necesare pentru însuşirea temeinică a teoriei câmpului electromagnetic, în viziunea sistemică şi de modelare – simulare pe care ne-am propus-o. Astfel, cursul aşa-numit „Matematici speciale” (care cuprinde capitolele de algebră vectorială, transformări de funcţii, ecuaţiile fizice-matematice etc.) se predă în paralel sau chiar după „Bazele electrotehnicii”. De aceea, s-a ajuns la necesitatea includerii aici a unui compendiu matematic, cu noţiuni strict necesare studierii teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic şi analizei circuitelor electrice. Mai mult, noţiuni de modelare şi simulare asitată de calculator (simulare numerică–discretă) nu se predau –decât ocazional– la unele discipline de automatică şi informatică, dar acestea mult timp după încheierea cursului „Bazele electrotehnicii”. În sfârşit, unele instrumente informatice performante (aşa cum sunt MATLAB-ul şi ANSIS EMAG), deşi se găsesc implementate (sub licenţă) în reţele de calculatoare din U.P.G., de unde sunt simplu de accesat, nu fac obiectul nici unui curs, deşi sunt mult solicitate de către doctoranzi şi de participanţi la cursurile postuniversitare sau la direcţiile de aprofundare. Considerăm că, reunind în acest capitol, acele noţiuni fundamentale de teoria matematică a câmpului, modelare-simulare şi utilizare de produse informatice, dăm posibilitatea cititorului să urmărească mai uşor şi eficient expunerea Bazelor electrotehnicii şi să realizeze numeroase aplicaţii practice utile consolidării pregătirii sale. 9.1. Compendiu matematic Sunt prezentate aici acele noţiuni fundamentale referitoare la teoria matematică a câmpului, fie pentru reamintirea lor, fie pentru expunerea concisă (dar riguroasă) a unor cunoştinţe noi. 9.1.1. Noţiuni de algebră vectorială Produsul scalar a doi vectori. Fie doi vectori oarecare, A şi B ; produsul lor scalar , care se notează cu A B , este –prin definiţie– produsul modulelor celor doi vectori înmulţit cu cosinusul unghiului α dintre direcţiile acestor doi vectori, adică: A B = AB cosα , 0 α π (9.1) rezultatul fiind o mărime scalară (de unde şi numele acestui produs). Produsul scalar poate fi nul chiar dacă A 0 şi B 0 , şi anume atunci când A B deoarece în acest caz unghiul dintre direcţiile vectorilor fiind α =π/2, cosα =π/2=0. Produsul scalar reprezintă produsul dintre A şi măsura proiecţiei lui B pe direcţia A , sau reciproc (fig.9.1).

Post on 12-Jun-2015

3.239 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bazele Electrotehnicii

TRANSCRIPT

5559. COMPENDIU Deoarecenuesteposibilcadisciplineleprevzutepentrupregtireaiformareaunui specialist,indiferentdedomeniuldespecializare,ssepredeanmodsecvenial,astfelnct toate noiunile i cunotinele iniiale necesare predrii unei materii s fie deplin nsuite de la cursurile premergtoare (din amonte), s-a prevzut n ncheiere acest compendiu, ce cuprinde acele elemente fundamentale din afara Bazelor electrotehnicii, care sunt absolut necesare pentru nsuireatemeinicateorieicmpuluielectromagnetic,nviziuneasistemicidemodelare simulare pe care ne-am propus-o. Astfel,cursulaa-numitMatematicispeciale(carecuprindecapitoleledealgebr vectorial,transformridefuncii,ecuaiilefizice-matematiceetc.)seprednparalelsauchiar dup Bazele electrotehnicii. De aceea, s-a ajuns la necesitatea includerii aici a unui compendiu matematic, cu noiuni strict necesare studierii teoriei macroscopice a cmpului electromagnetic i analizei circuitelor electrice. Mai mult, noiuni de modelare i simulare asitat de calculator (simulare numericdiscret) nu se predau dect ocazional la unele discipline de automatic i informatic, dar acestea mult timp dup ncheierea cursului Bazele electrotehnicii. n sfrit, unele instrumente informatice performante (aa cum sunt MATLAB-ul i ANSIS EMAG),deisegsescimplementate(sublicen)nreeledecalculatoaredinU.P.G.,deunde sunt simplu de accesat, nu fac obiectul nici unui curs, dei sunt mult solicitate de ctre doctoranzi i de participani la cursurile postuniversitare sau la direciile de aprofundare. Considerm c, reunind n acest capitol, acele noiuni fundamentale de teoria matematic a cmpului,modelare-simulareiutilizaredeproduseinformatice,dmposibilitateacititoruluis urmreascmaiuorieficientexpunereaBazelorelectrotehniciiisrealizezenumeroase aplicaii practice utile consolidrii pregtirii sale. 9.1. Compendiu matematic Sunt prezentate aici acele noiuni fundamentale referitoare la teoria matematic a cmpului, fie pentru reamintirea lor, fie pentru expunerea concis (dar riguroas) a unor cunotine noi. 9.1.1. Noiuni de algebr vectorial Produsul scalar a doi vectori. Fie doi vectori oarecare,A iB ; produsul lor scalar , care senoteazcuA B ,esteprindefiniieprodusulmodulelorcelordoivectorinmulitcu cosinusul unghiului dintre direciile acestor doi vectori, adic: A B = AB cos , 0 (9.1) rezultatul fiind o mrime scalar (de undei numele acestui produs). ProdusulscalarpoatefinulchiardacA 0iB 0,ianumeatuncicndAB deoarece n acest caz unghiul dintre direciile vectorilor fiind =/2, cos =/2=0. Produsul scalar reprezint produsul dintre A i msura proieciei luiBpe direciaA, sau reciproc (fig.9.1). 556Produsulscalarestecomutativ,adic: A B = A B ,fiindidistributiv(n adunare) adic: A ( B +C )= A B + C A . ncoordonatecarteziene,ncareA arecomponentele(scalare) xA , yA , zA i B componentele xB , yB i zB ,produsul scalar rezult: A B = (Axi + Ayj +Azk ) (Bxi+Byj+ Bzk )= AxBx+ AyBy +Az Bz, deoareceversoriiaxelor( i ,j ,k ),ntredireciilecroraunghiurilesunt/2(idecicosinusul zero), au produsele scalare: i i = ii cos0 = i2= 1, j j = j2=1, k k = k2=1, j i =1 1 cos /2 =0,k j = 0i i k = 0. Produsul vectorial a doi vectori. Acest produs, ce se noteaz cuB A , are ca rezultat o mrime vectorial care prin definiie are modulul egal cu produsul modulelor celor doi vectori nmulit cu sinusul unghiului dintre direciile vectorilor i direcia determinat de versoruln al perpendicularei pe planul format de cei doi vectori, orientat dup regula sistemului drept (aazisa regul a burghiului drept), adic: (9.2)B A = ( AB sin ) n sin > 0.Regulaburghiuluidreptseformuleazastfel:seroteteprimulvectoralprodusului vectorialsprecelde-aldoilea,pedrumulcelmaiscurt(sin>0);cuacestsensderotaiese determin sensul n care avanseaz un burghiu drept , care este chiar sensul versoruluin . Produdul vectorial poate fi nul chiar dac A i B sunt diferii de zero, i anume atunci cndA iBau aceeai direcie, deoarece n acest caz =0 i deci sin =sin0 = 0. Modulul produsului vectorial,adicABsin,reprezintariadeterminatdeceidoivectorifactoriaiprodusului (fig.9.2.). Produsul vectorial nu este comutativ , deoarece : B A= A B , aa cum rezult din definiia (9.2) . Produsul vectorial este distributiv n adunare , adic : A ( B +C ) =B A +C A . n coordonate carteziene, produsul vectorial se exprim, prin distributivitate, astfel: B A = (Axi+A jy +Azk)(Bxi+Byj +Bzk )= = (AyBz-AxBy) i +(AzBx-AxBz) j +(AxBy-AyBx) k, deoarece conform definiiei (9.2) produselei i ,j j ik k sunt nule, iar : j i =k ,k j =i , i k = j i(datoritnecomutativitii)i j = k , j k =i ik i = j .Acestrezultatsepoate obine i prin determinantul: z y xz y xB B BA A Ak j iB A , caresedezvoltdupprimalinie(cuminorii formai din componentele celor doi vectori: pe linia Fig. 9.1 Fig. 9.2 557adouacomponentelevectoruluidelastngaprodusuluivectorialipeceadeadoua componentele vectorului de la dreapta). mprirea cu un vector (?). O astfel de operaie nu este posibil (nu are sens !) deoarece attprodusulscalarcticelvectorialnuadmitoperaiainvers(10).Deexemplu(vezifig. 9.3), n cazul produsului scalar, determinarea unui vectorX , care nmulit cu un vectorA s aib ca rezultat un scalar S, are o infinitate de soluii, cci S =AX cos =AX1cos1= AX2cos2= Produsulmixtatreivectori.Cuoricetreivectorioarecari,A, B iC ,sepoatedefini aa-numitulprodusmixtC B A ,careesteo mrimescalaregalnvaloareabsolutcu volumulparalelipipeduluiconstruitpeceitrei vectori: Permutnd ciclic factorii produsului mixt, rezultatul rmne neschimbat, adic: C B A =A C B =B A C , darseschimbdoifactorintreeiseschimb semnul rezultatului : C B A = C A B etc. Produsul mixt a trei vectori coplanari (care formaz deci un triedru degenerat) este nul. ncoordonatecarteziene,valoarea produsuluimixtatreivectorisepoatecalcula folosind determinantul : C B A = z y xz y xz y xC C CB B BA A A= xA (z yC B y zC B ) +yA (x zC B z xC B ) + zA (y xC B x yC B ). Dublul produs vectorial. Este acel produs ntre trei vectori ( A, BiC ), scris sub forma A ( C B )princareseobinecarezultatunverctorcuprinsnplanuldeterminantdeceidoi vectori din interiorul parantezei, conform urmtoarei formule de dezvoltare: A ( C B ) = ( C A ) B ( B A ) C,(9.4) din care rezult c vectorul dublu produs vectorial este dat prin proieciile sale pe cei doi vectori dintre paranteze. Derivataunuivector.Vectoriipotfiofunciedeunulsaumaimuliparametriiscalari, devenind astfelvectorivariabili. De exemplu, dac un vector (notat la modul generic cuV ) ia o infinitatedevalorinfunciedeunparametruscalart,atunciV esteofuncievectorialde variabil t, ceea ce se scrie sub forma: V =V ( ) t. Prinaceleaiproceduridinteoriafunciilorscalare,seintroducinstudiulfunciilor vectorialenoiunilede:limit,continuitate,derivat,diferenial,derivatparial,integraletc. Astfel, derivata unei funcii vectorial de un singur parametru scalarteste prin definiie: V (t) = tVdd= 0lim t( ) ( )tt V t t V + , (9.5) iar difereniala unei funcii vectoriale de un singur parametru scalar t este : t V V d ' d =. Fig. 9.3 558Dacvectorulestedatprinproieciilesalepeuntriedrutrirectangular(deexemplu: componentele vectorului reprezentat n coordonate carteziene, cu versoriiipe axa x,jpe axa y ikpe axa z ), adick V j V i V Vz y x+ + = , derivata lui poate fi pus sub forma: (9.6)ktVjtVitVtVzyxdddddddd+ + =. Considernd doi vectori oarecari ,uiv , atunci regulile de derivare sunt: ( )tvtuv ut dddddd+ = +, ( )tuutut dddddd += , (9.7)( ) utvvtuv ut dddddd+ = ,( ) utvvtutvu vtuv ut = + = dddddddddd , ( ) | | { }tut ut dddddd = , unde esteunparametruscalar( ) | | t u esteofuncievectorialdeofunciescalardeun parametru scalar t . Derivatele pariale ale vectoruluik V j V i V Vz y x+ + =sunt: kxVjxVixVxVzyx++= , (9.8)kyVjyViyVyVxyx++= , kzVjzVizVzVzyx++= . Difereniala vectoruluiV (x,z,y) este: (9.9)zzVyyVxxVV d d d d++= . Observaiicuprivirelamrimilevectoriale.Aacums-aartatpelargnsubcapitolul 1.2,speciiledemrimifizicecareaparnelectromagnetismsuntreprezentabilenmodeleprin mrimi matematice ca : scalari, vectori, tensori. i)nceeaceprivetemrimilevectoriale,existaa-numiii:vectorilegai(deexemplu, vitezeleunorcorpuri),vectorialunectori(deexemplu,forele)ivectoriliberi(aacumsunt tanslaiile). De aceea, cnd se efectueaz operaii cu astfel de mrimi, trebuie s se in seama de proprietile mrimilor fizice pe care le reprezint. Astfel, dac este vorba de o adunare adic de aplicareareguliiparalelogramuluinuaresenssseadunevitezeleunorpunctediferitesau forele care acioneaz asupra unor particule (corpuri) diferite. De asemenea, compunerea a dou rotaii finitenu se poate face dup regula paralelogramului, dei rotaiile finite pot fi descrise cu aceleai elemente (adic: direcie, sens, modul) ca i vectorii. ii) La schimbarea sistemului de referin trebuie s se in seama de faptul c mai exist i alte tipuri de vectori aa cum sunt: vectorii polari (ca de exemplu, vectorii de poziie) i vectorii axiali(cadeexemplu,produsulvectorial).Primiisuntinvarianifadeschimbareaorientrii 559sistemuluidereferin,pecndlatrecereadelauntriedrudreptlaunulstng,componentele vectorilor axiali (cum este produsul vectorial) i schimb semnul. iii)Mrimilescalare(princaresereprezintnmodelemrimilefizicecatimp,mas, sarcinelectric,intensitateacurentuluielectricdeconducie,temperaturetc.)suntinvariante fa de orice schimbare a triedului de referin (scalarii propriu-zii), pe cnd produsul mixt a trei vectori(deiesteunscalar)ischimbsemnullatrecereadelasistemuldreptlacelstng(de aceea se numete, mai precis, pseudoscalar). iu)Grupuladitivaltranslaiilordinplan(vectoriliberi)esteizomorfcugrupuladitival numerelorcomplexe(darnumaipentruadunare).Deaceea,nmulireaadounumerecomplexe estedefinitcutotulaltfeldectnmulireavectorilor(v.paragraful9.1.3.).Dinaceastcauz, pentrureprezentareanplanulcomplex(1Oj)adreptelor(deexempluceleceunescoriginea axelor1ijcuafixulpunctulcereprezintnumrulcomplex)nuseutilizeazdenumireade vectori, dei regula paralelogramului este comun (fiind aditiv). 9.1.2. Noiuni de teoria cmpului Cmpscalar.Dacntr-undomeniufiecruipunctPicorespundeomrimescalar , funcia scalar de punct (local) definit printr-un anume procedeu se numete cmp scalar. Din punctul de vedere al modelrii (v. paragraful 9.2.1.), adic al matematicii, prin cmp scalar se nelege i mulimea tuturor valorilor funciei scalare de punct:() P P P , . Exempledecmpuriscalaresunt:cmpultemperaturilordintr-uncuptor,cmpul presiuniloratmosferice,cmpulpotenialelorelectrostatice(v.subcap.2.1.),cmpuldensitilor de sarcin electric (v. subcap.1.2.) etc. Suprafee echipoteniale. Locul geometric al punctelor P n care cmpul scalar are o valoare constanta c este o suprafaa echipotenialac: { .} , ) ( | = =c cDP c P P(9.10) Cteva exemple: suprafeele de nivel in cmpul gravitaional sunt suprafee echipoteniale; volumul i suprafaa conductorilor in regim electrostatic sunt echipoteniale (v. subcap. 2.3). Dacdomeniulestedefinitinplan,loculgeometricalpunctelordefinitedemodelul (9.10) este o curba echipotenialac, adic:{ } = = c c P c P P , ) ( | . Printrasareacurbelorechipotenialepentruvalorile:co,co+k,co+2k,co+3k,seobtineo reprezentare geometric intuitiv (dar i cantitativ) a cmpului scalar (v. subcap. 2.7). mpreun cu aa numitele linii de cmp (ce vor fi definite ceva mai ncolo), curbele echipoteniale formeaz ceea ce se numete spectrul cmpului. Dou echipoteniale diferite nu se pot intersecta deoarece c1c2 cn. Gradientulcmpuluiscalar.Fieunpunct Po .ngeneralnjurulpunctuluiPocmpul scalarvafidiferitde(Po)ideaceeaeste importantdetiutcumvariaz(P)npuncteP imediatvecineluiPo,subformadirecieii sensuluincarevariaialui,(P) (Po),este ceamaimare;decimaximulacesteivariaii, consideratdinpunctulPo.Pentruaceastase nconjoar punctul Po cu o suprafaa nchis, ce cuprindevolumulv(fig.9.4),isecalculeaz limita(9.11)careprindefiniiereprezint gradientul cmpului scalar din punctul Po, ceea Fig. 9.4 560ce se noteaz cu (grad )Po sau grad (Po) sau la modul generic grad : (9.11)( )vAv P vDPoo = dlim grad; 0,n care: sunt valorile pe care le ia cmpul scalar pe fiecare element de arie dA, dA sunt vectori elementarinumiivectoridearieorientat,iarintegraladesuprafaanchis dApoart numele de integrala de nveli, rezultatul ei fiind o mrime vectorial. Elementuldearieorientat(v.fig.9.4)esteunvectorelementar,avndmodululegalcu suprafaa elementara dA, orientarea versorului normalein la suprafaa n locul elementului dA ( nesteversorulnormaleilocalelasuprafaaisensulalesarbitrar)deobiceisealegesensul spre exteriorul suprafeei ): n A A d d = . Sevede,din definiia(9.11)ifigura9.4,cdacareaceeaivaloarentoate punctele P , adic(P)=const. in P , atunci (grad )=0, deoarece integrala de nveli devine: 0 d d = = A A , cciintegralapeosuprafaanchisaaelementelordearieorientatacareesteonsumarede elementevectorialedupregulaparalelogramuluiestenul,fiecruielementdearieA dcorespunzndu-iunelementdeariediametral,orientatnsensopus(v.fig.9.4).Daccrete maimultntr-oanumitdirecie,atunciaceadirecievainfluenanceamaimaremsur rezultatul integralei de nveli de la numrtorul definiiei (9.11). Aacumrezultdindefiniia(9.11),gradientulcmpuluiscalaresteunvector perpendicular pe suprafaa echipotenial, fiind orientat n sensul cresctor al cmpului scalar. Se observ c definiia gradientului (9.11) este analoag cu definiia derivatei unei funcii, fapt care va fi dovedit la punctul ce urmeaz. Pentru simplificare, gradientul se poate nota si cu simbolul nabla() : (9.12) = grad, un operator liniar cu caracter diferenial si vectorial. n coordonate carteziene, gradientul se scrie sub forma: kzjyix + + = grad , iar n scriere simbolic: = ||.|

\|++= kzjyizgrad , cuajutorulcreiasepotstabilireguliformeledecalcul,similarecucelealealgebreivectoriale, operatorul nabla avnd expresia kzjyiz ++=. Derivatacmpuluiscalardupodirecie.ConsiderndunpunctoarecarePo situat peosuprafaaechipoteniala ,pentrucare(P)=(Po) o P P, ,iporninddinPo deplasndu-ne n P ,(P) rmne constant. Dacdeplasareasefacenafarasuprafeei,cmpulscalarvaaveaovariaie(P)-(Po) P i o P ,caredepindede punctuliniialPoide punctulfinal P,Po .Prin aceasta deplasare, punctul P descrie un arc PoP al curbei care admite o tangenta determinat n punctulPo.Fies versorulacesteitangente,sensulsuartndsensulpozitivdeparcurgerepe curba (fig. 9.5). Notnd cuP Po labscisa curbilinie a punctului P fa de Po, rezult c valoarea 561absolut | P Po l | este lungimea arcului PoP, iar semnul arat dac deplasarea pe curba de la Po la P se face n sensul pozitiv sau n sensul opus. Punctul Po fiind presupus fix, iar P oricare pe curba , diferena(P) (Po) este o funcie numai deP Po l . Raportul[ (P) (Po)]/ P Po l reprezintvariaia medieafunciei(P)peunitateadedeplasare,n deplasareadelaPolaPpecurba.Atunci,prin definiie, limita acestui raport pentruP Po l 0 (n cazul ncareexist)senumetederivatafuncieiscalare (P)dupdirecias sauderivatacmpuluiscalar sau supa o direcies i se noteaz s : () ( ) = PlP Ps P PolDoPoP , lim0. (9.13) Dac x , y i z exist ntr-o vecintate a punctuluiPoisuntcontinuenPo,limita(9.13)existiesteaceeaipentrutoatecurbele ( ,' ' ', ,)tangentelas nPo.ntr-adevr,dacxo,yo,xosuntcoordonatelecartezieneale punctului Po i x, y, x coordonatele lui P, n ipoteza enunat, diferena(P) (Po)=(x,y,z)- (xo,yo,zo) se mai scrie: (P) (Po)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )03 0 201 0 0 0 z z y y x x z zzy yyx xx + + + + + , ncare( ) z y x i i , , = tindctrezerocnd0 P P ,iarderivatelepariale x , y i z sunt luatenpunctulPo=(xo,yo,zo).mprindnambeleprialeegalitiiprecedentecuP Po l i observnd c, n ipoteza n care admite o tangenta determinat n punctul Po, limitele: , lim0=lx x olPoP lim0=ly y olPoPi lim0=lz z olPoP exista i sunt chiar cosinusurile directoare ( , , ) ale tangentei; deci: k j i s + + = . Atunci, limita (9.13) exist i are expresia: , ddz y x s + + = (9.14) derivatele funciei( ) z y x , , fiind considerate n Po. Cum aceast limit este aceeai pentru toate curbelecareauversorultangenteis nPo,nparticulardeplasareadinPontr-unpunct oarecare din vecintatea P se poate face chiar pe suportuls . Utilizndu-seoperatorul, kzjyix ++= expresia(9.14)semaipoatescriein forma: ( ) ||.|

\|++ + + =kzjyixk j is dd,adic: = ss.(9.15) Fig. 9.5 562Expresiile(9.14)i(9.15),caresuntidenticereprezintexpresiacartezianaderivateifunciei scalare(P) dup direcias . Deoarece,conformexpresiei(9.12), = grad ,derivatacmpuluiscalardupo direcies , se poate scrie i n forma: (9.16)) grad ( = ss,care se consider n punctul P0, adic( )o o P Pss =graddd . n expresiile acestei derivate a cmpului scalar dups , (9.13), (9.14), (9.15) sau (9.16), direcias trebuie considerat ca o direcie nzestrat cu sensul indicat des ; schimbnd sensul luis ,adicnlocuindpes cu 's (vezifig.9.5): 's = s ,pentruaceeaideplasaredinP0nP, lungimile de arc devin:P Po l'=- P Po li deci: ( ) ( ) ( ) ( )P PoP Poo o lP PlP P = ', iar cnd P tinde ctre P0 se obine: s s dddd' =. Prin urmare, cele dou derivate dup direciilessi 's sunt egale n valoare absolut i de semne contrarii, dei, n nelesul geometriei elementare,si 's au aceeai direcie. Derivata cmpului scalar n punctual P0 poate fi calculat dup orice direcies(din P0); uncazposibilesteacelaalnormaleilaplanulnpunctulP0( 0 P ),cazncareseva considera vectorul unitar (versorul) normalein la n P0 (fig. 9.6). Fie P i N punctele n caresinintersecteazosuprafaechiscalarvecinviN P P P l l 0 0 , deplasriledin 0 P nPiN (P,Nv) aa ca n figura 9.6. DeoarecePiNsuntpeoaceeaisuprafa echiscalar,variaiafuncieiesteaceeaipentru ambele deplasri: () ( ) ( ) ( ) 0 0 P N P P = , ceea ce nseamn c se poate scrie: (9.17)() ( ) ( ) ( )N PN PP P P P lllN NlP P000 00 0 = .Aplicndu-serelaiasinusurilorntriunghiul P0PNdinfig.9.6inotndcuunghiuldinN,se obine: ctg sin cos sin) sin(00 + = +=P PN Pll. Deoarecendefiniiaderivateiluidupo direcie,limitaesteconsideratindependentde modul cumP P l 0tinde ctre zero, se poate presupune c P i N tind ctre P0 pstrndu-se mereu pe aceeaisuprafadenivelv,cazncaresecantaPN(v.fig.9.6)tindectreotangentanP0la suprafaa de nivel 0 P i ca urmare tinde ctre2 i ctg0. Cum n acest proces rmne constant: cos lim000=P PN PlllPoP Fig. 9.6 563i trecnd la limit n ambii membrii ai relatei rezult: cosdddds s=sau ( ) ( ) cos grad grad0 0 = P Pn s . De aici rezult ca derivatelui dup o direcie normal lasuprafaa echiscalar, n sensul cresctor al cmpului scalar este chiar |grad |, n timp ce dup o direcie tangenta la suprafa derivata este nul. Prin urmare, gradientul unei funcii scalare , ntr-un punct oarecare 0 P , este un vector care arat dup ce direcie i n ce sens funcia scal (P) este maxim, aceasta fiind ntotdeauna normal la suprafaa 0 P . Cmpulvectorial.Dacintr-undomeniu,fiecruipunctPicorespundeomrime vectorialaE (onotaiegeneric),funciavectorialdepunct,E (P),definitastfelsenumete cmpvectorial.PrincmpvectorialsemainelegeimulimeatuturorvectorilorE din, determinai deE (P): E ={ E (P)| P }. Iatnumaictevaexempledecmpurivectoriale:cmpulvitezelorunuicorpnmicare, cmpul vitezelor unui fluid n micare, cmpul gradientului unui cmp scalar, cmpul densitii de suprafa a curentului de conducie, cmpul induciei magnetice etc. Fluxul unui vector. Este o mrime scalar (s o notam cu ) care pentru un vector notat cuE se definete, printr-o suprafa , de: A EDd = ,(9.18) n careEeste vectorul cmp, iar d A este elementul de arie orientat (v. fig. 9.4) ntr-un punct P de pe suprafa . Se vede ca fluxul poate fi pozitiv sau negativ, dup semnul produsului scalar. Se mai poate scrie i: ( ) = = n E A E A n E , cos d d . TermenulelementarA E d ,asupracruiaopereazintegraladesuprafadindefiniia (9.18), se numete flux elementar, printr-un element de suprafa dA oarecare: A E d d = . Senumetetubdefluxuntubcilindric,laacruisuprafalateralvectorulcmpeste tangent, n lungul cruia fluxul este constant. Linii de cmp. ntr-o prim definiie calitativ, liniile de cmp sunt curbele la care vectorul cmpestetangentlacurbnfiecarepunct(nmodsimilarsedefinescsuprafeeledecmp,la care vectorul cmp este tangent n fiecare punct al suprafeei). Mai util, deoarece intervine i aspectul cantitativ, este definiia prin care linia de cmp este consideratcafiindaxatubuluidefluxunitar.Dacsetraseazaxeletuturortuburilordeflux unitardintr-undomeniu,seobineoreprezentareintuitiv-cantitativacmpuluivectorial, cmpul fiind mai intens acolo unde liniile de cmp sunt mai dese, numrul liniilor de cmp dintr-o seciuneadesenuluiraportatlaariaseciuniireprezentndvaloareaabsolutmedieacmpului vectorial. Divergena cmpului vectorial. ntr-un cmp vectorialEdin domeniul de existenta , se consider un punct oarecare 0 Pi, n jurul lui, o suprafa nchis ce are un volum v . n analiza cmpului vectorial este interesant de tiut dac fluxul vectoruluiEprin suprafaa ce nconjoar ndeaproape punctul P0 este conservativ, adic dac, n jurul punctului P0, fluxul prin suprafaa 0 P estenul( ) 0 d = A E saucualtecuvintefluxulluiE careintrprineste egalcucelcareiesedinaceastsuprafanchis.Atributuldeconservativalfluxuluiunui vectorserefernumailafluxulcalculatprinsuprafeenchise;dacfluxulprintr-oastfelde 564suprafa este diferit de zero, nseamnc n interiorul suprafeeinchise exist surse de cmp (pozitive sau negative, dup cumA E d >0 sau, respectiv,A E d