edcocurs1

Capitolul 1

Primitive

Problema primitivei se formuleaza astfel: fiind data functia f se cere sa se determine functiilederivabile F astfel ncat F 0 = f . Problema primitivelor este deci inversa problemei fun-damentale a calculului diferential (antiderivare) care, dupa cum s-a aratat n alt capitol,consta n determinarea derivatei unei functii date.Derivarea este o aplicatie care asociaza unei functii date f : I R R derivata sa

f 0 : I R R, n timp ce determinarea primitivelor este inversa operatiei unare dederivare, este o functie multivoca care asociaza unei functii date f multimea functiilor Fcu proprietatea F 0 = f .In acest paragraf vom prezenta notiunea de primitiva, proprietatile primitivelor si

metodele generale de calcul al acestora.

Definitia 1.1 Fie f : I R, unde I R este un interval cu interior nevid. FunctiaF : I R se numeste primitiva a functiei f pe intervalul I, dacaa) F este derivabila pe I sib) F 0(x) = f(x),x I.

Daca functia f : I R R are cel putin o primitiva pe I spunem ca functia f admiteprimitive pe I.

Observatia 1.1 Daca functia f : I R R este derivabila pe I atunci f este o primitivape I a derivatei f 0.

Probleme care se pun: data o functie f : I R R1. daca exista functii F care satisfac definitia 1.1;2. n cazul n care exista, daca solutia este unica sau exista mai multe solutii; n cazul

n care solutia nu este unica sa gasim forma ei generala;3. sa stabilim metodele pentru determinarea functiei F a carei derivata este f.Urmatoarea propozitie rezolva cea de a doua problema.

Propozitia 1.1 Daca F este o primitiva a lui f pe I, atunci oricare ar fi constanta realaC, functia G : I R definita prin G(x) = F (x) +C,x I, este de asemenea o primitivaa lui f pe I. Mai mult, orice alta primitiva a lui f pe I este de aceasta forma.

1

2 CAPITOLUL 1. PRIMITIVE

Demonstratie. Intr-adevar, daca G = F+C, atunci G0 = F 0 = f , deci G este o primitivaa lui f pe I.Fie G o alta primitiva a lui f pe I si fie H = G F.Pentru orice x I avem H 0(x) = G0(x) F 0(x) = f(x) f(x) = 0 H(x) = C

G(x) F (x) = C, x I, deci G = F + C pe I.

Definitia 1.2 Daca f : I R admite o primitiva F : I R atunci multimea tuturorprimitivelor functiei f pe I se noteaza cu

Zfdx sau

Zf(x)dx si se numeste integrala

nedefinita a functiei f .

Din propozitia 1.1 rezulta ca

Zf(x)dx = F (x) + C, x I, unde C R.

Urmatorul exemplu si tabloul primitivelor functiilor elementare care va fi prezentat maijos dau raspunsul la prima problema pusa.

Exemplul 1.1 Fie f(x) = cosx. Stim ca (sinx)0 = cosx. Rezulta ca o primitiva a luif(x) = cosx este F (x) = sinx si atunci multimea tuturor primitivelor lui f(x) = cosx esteZcosxdx = sinx+ C

In continuare reamintim tabloul primitivelor functiilor elementare uzuale.

1.

Zxndx =

xn+1

n+ 1+ C, x R, n N,

2.

Zxdx =

x+1

+ 1+ C, x R+, 6= 1,

3.

Z1

xdx = lnx+ C, x (0,) ,

4.

Z1

xdx = ln (x) + C, x (, 0) ,

5.

Zaxdx =

ax

ln a, x R, a > 0, a 6= 1,

6.

Zexdx = ex + C, x R,

7.

Zsinxdx = cosx+ C, x R,

8.

Zcosxdx = sinx+ C, x R,

39.

Z1

cos2 xdx = tg x+ C, x R

n(2k + 1)

2, k N

o,

10.

Z1

sin2 xdx = ctg x+ C, x R {k, k N} ,

11.

Z1

x2 + a2dx =

1

aarctg

xa+ C, x R, a 6= 0,

12.

Z1

x2 a2dx =1

2aln

x ax+ a

+ C, x R, a > 0, |x| 6= a

13.

Z1

a2 x2dx = arcsin

xa+ C, x (a, a) , a > 0.

14.

Zshxdx = chx+ C, x R,

15.

Zchxdx = shx+ C, x R,

16.

Z1

ch2 xdx = thx+ C, x R,

17.

Z1

sh2 xdx = cthx+ C, x R,

18.

Zdx

x2 + a2= ln

x+

x2 + a2

+ C, x R,

19.

Zdx

x2 a2=

lnx+

x2 a2

+ C, x (a,)

lnx

x2 a2

+ C, x (,a) , a > 0.

Din cele prezentate rezulta ca solutia nu este unica. Se pune problema determinariimultimii functiilor care admit primitive. Problema nu este nca complet rezolvata. Secunosc raspunsuri partiale.

Teorema 1.1 Orice functie continua f : I R R are primitive pe I.

Teorema furnizeaza o conditie suficienta pentru ca o functie sa admita primitive. Existafunctii discontinue care au primitive.

Observatia 1.2 O functie f care admite primitive pe un interval I are proprietatea lui Dar-boux pe acel interval. Aceasta deoarece derivata oricarei functii derivabile are proprietatealui Darboux. Mai reamintim ca imaginea unui interval printr-o functie care are proprietatealui Darboux este un interval. Prin urmare, o functie care nu are aceasta proprietate pe uninterval nu admite primitive pe acel interval.


Exemplul 1.2 De exemplu functia f : R R

f(x) =0, x < 01, x 0

nu admite primitive pe R deoarece f nu are proprietatea lui Darboux, f(R) = {0, 1}.

Vom da n continuare cateva proprietati si metode de calcul al primitivelor, atunci candele exista.

1.0.1 Proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

Propozitia 1.2 Fie f, g : I R si fie , R. Daca f si g admit primitive pe I, atuncif + g admite primitive pe I siZ

(f + g) (x)dx = Zf(x)dx+

Zg(x)dx.

Demonstratie. Stim ca

Zf(x)dx = F (x) + C1,

Zg(x)dx = G(x) + C2. Rezulta ca

( (F (x) + C1) + (G(x) + C2))0 = F 0(x) + G0(x) = f(x) + g(x) = (f + g) (x).

1.1 Metode de calcul al primitivelor

1.1.1 Metoda de integrare prin parti

Teorema 1.2 Daca f si g sunt doua functii care au derivatele de ordin ntai continue peI, atunci Z

f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)Zf 0(x)g(x)dx. (1.1)

Demonstratie. Conform regulii de derivare a produsului a doua functii, avem: (fg)0 =f 0g + fg0 de unde rezulta prin integrare

f(x)g(x) =Zf 0(x)g(x)dx+

Zf(x)g0(x)dx

sau relatia (1.1). Formula obtinuta se numeste formula integrarii prin parti.

Exercitiul 1.1 Sa se calculeze

Zxexdx.

Rezolvare. Functia xex este continua pe R f admite primitive pe R.Pentru a calcula primitiva aplicam metoda integrarii prin parti.Notam f(x) = x, g0(x) = ex si aplicam formula (1.1), f 0(x) = x, g(x) = ex,Zxexdx = xex

Zexdx = xex ex + C.

1.1. METODE DE CALCUL AL PRIMITIVELOR 5

Facem observatia ca alegerea functiilor f 0 si g este esentiala n acest caz. Daca am alegef 0(x) = x, g(x) = ex f(x) = x2

2, g0(x) = ex, ceea ce conduce laZ

xexdx = x2

2ex 1

2

Zx2exdx

care conduce la o integrala dificil de calculat. Deci aceasta ultima alegere nu este utila.

Exercitiul 1.2 Sa se calculeze integrala

Zx sin 2xdx.

R:

Zx sin 2xdx = 1

4sin 2x 1

2x cos 2x+ C.


Zx lnxdx.

R:

Zx lnxdx = 1

2x2 lnx 1

4x2 + C.


Zx2exdx.

R:

Zx2exdx = ex (x2 + 2x+ 2) + C.


Zeax sin bxdx, a, b 6= 0.

R:

Zeax sin bxdx = b (cos bx) e

ax aeax sin bxa2 + b2

+ C.


Zeax cos bxdx, a, b 6= 0.

R:

Zeax cos bxdx =

a (cos bx) eax + beax sin bxa2 + b2

+ C.


Z a2 x2dx pentru x (a, a) , a > 0.

Rezolvare. f(x) =a2 x2 este continua pe (a, a) f admite primitive pe (a, a) .

Calculam integralaZ a2 x2dx =

Za2 x2a2 x2

dx = a2 arcsinxaZx

xa2 x2

dx.

Daca notam f(x) = x, g0(x) =x

a2 x2rezulta f 0(x) = 1, g(x) =

a2 x2 si

6 CAPITOLUL 1. PRIMITIVEZx

xa2 x2

dx = xa2 x2 +

Z a2 x2dx.

ObtinemZ a2 x2dx = a2 arcsin x

a+ x

a2 x2

Z a2 x2dx, de unde rezulta

2

Z a2 x2dx = a2 arcsin x

a+ x

a2 x2 + C. DeciZ

a2 x2dx = a2

2arcsin

xa+x2

a2 x2 + C.

Un procedeu analog se aplica pentru calculul integraleiZ a2 + x2dx =

x2

a2 + x2 +

a2

2lnx+

a2 + x2

+ C, x R.

1.1.2 Schimbarea de variabila

Teorema 1.3 (schimbare de variabila n integrala nedefinita)Fie I, J intervale din R si fie u : I J, f : J R functii cu urmatoarele proprietati:a) u este derivabila pe I,b) f admite primitive pe J. Fie F o primitiva a sa.Atunci functia (f u) u0 admite primitive si F u este o primitiva a sa, adicaZ

f (u(x))u0(x)dx = F (u(x)) + C,x I. (1.2)

Demonstratie. Functiile F (ca primitiva pentru f) si sunt derivabile. Folosind teoremade derivare a functiilor compuse rezulta ca F u este derivabila pe I si

(F u)0(t) = F 0(u(t)) u 0(t) = f(u(t)) u 0(t), t I.Deci F u este o primitiva a functiei (f u) u0.Pentru calculul primitivei functiei (f u)u0 se procedeaza astfel:- facem schimbarea de variabila t = u(x), x I.- u este o functie derivabila pe I si avem dt = du(x) = u0(x)dx.

- nlocuim n integrala

Zf (u(x))u0(x)dx si obtinem

Zf(t)dt = F (t) + C, x I.

- revenim, nlocuind t = u(x).


Zsin2 x cosxdx.

Rezolvare. f(x) = sin2 x cosx este continua pe R f admite primitive pe R.Tinand seama ca derivata lui sinx este cosx si luand f(t) = t2, t = sinx, se observa ca

f (u(x))u0(x) = sin2 x cosx. Primitiva lui f se calculeaza mai usorZt2dt =

t3

3+ C. Deci

Zsin2 x cosxdx =

sin3 x3

+ C.


Tabloul primitivelor functiilor compuse uzuale.Fie u : I R J R o functie derivabila pe I cu derivata continua, unde I si J sunt

intervale cu interior nevid din R.

1.

Zu(x)u0(x)dx =

u(x)+1

+ 1+ C, u(x) R+, 6= 1,

2.

Z1

u(x)u0(x)dx = lnu(x) + C, u(x) > 0,

3.

Zau(x)u0(x)dx =

au(x)

ln a, a > 0, a 6= 1,

4.

Zeu(x)u0(x)dx = eu(x) + C, x I,

5.

Zsinu(x) u0(x)dx = cosu(x) + C, x I,

6.

Zcosu(x) u0(x)dx = sinu(x) + C, x I,

7.

Z1

cos2 u(x)u0(x)dx = tg u(x) + C, u(x) 6=

n(2k + 1)

2, k N

o,

8.

Z1

sin2 xu0(x)dx = ctg u(x) + C, u(x) 6= {k, k N} ,

9.

Z1

u2(x) + a2u0(x)dx =

1

aarctg

u(x)a

+ C, x I, a 6= 0,

10.

Z1

u2(x) a2u0(x)dx =

1

2aln

u(x) au(x) + a

+ C, x I, a > 0, |u(x)| 6= a,

11.

Z1p

a2 u2(x)u0(x)dx = arcsin

u(x)a

+ C, u(x) (a, a) , a > 0.

12.

Zshu(x) u0(x)dx = chu(x) + C, x R,

13.

Zchu(x) u0(x)dx = shu(x) + C, x R,

14.

Z1

ch2 xdx = thx+ C, x R,

15.

Z1

sh2 u(x)u0(x)dx = cthu(x) + C, x I,


16.

Zu0(x)dxpu2(x) + a2

= lnu(x) +

pu2(x) + a2

+ C, x I,

17.

Zu0(x)dxpu2(x) a2

=

=

lnu(x) +

pu2(x) a2

+ C, u(x) (a,)

lnu(x)

pu2(x) a2

+ C, u(x) (,a)

, a > 0.

Exercitiul 1.9 Sa se calculezeI =

Rsinxdx, x (0,+)

Rezolvare. g : (0,+) R, g (x) = sinx. g este continua pe (0,+) g admiteprimitive pe J (0,+).Determinam primitiva aplicand a doua teorema de schimbare de variabila de integrare.

Facem schimbarea de variabila de integrare:x = t, t (0,+) x = t2 dx = 2tdt.

I =R(sin t) 2tdt = 2

Rt (cos t)0 dt = 2t cos t+ 2

Rcos tdt

= 2t cos t+ 2 sin t+ C, t (0,+) , C R.Revenim la substitutieI = 2x cosx+ 2 sinx+ C.

1.1.3 Primitivele functiilor rationale

Prin functie rationala se ntelege un raport de doua polinoame (functii polinomiale), adica

o functie de forma R(x) =P (x)Q(x)

, x I unde P si Q sunt polinoame si Q(x) 6= 0, x I.Daca gradul lui P este mai mare decat gradul lui Q, efectuam mpartirea si obtinemP (x)Q(x)

= S(x) +T (x)Q(x)

unde T este un polinom de grad mai mic decat Q.

Vom demonstra ca daca se cunosc radacinile ecuatiei Q(x) = 0, atunci putem determina

o primitiva a functieiP (x)Q(x)

astfel ncat integrarea functiilor rationale se poate efectua.

Definitia 1.3 Se numesc fractii ireductibile functiile rationaleA

(x a)n , x 6= a,Ax+B

((x p)2 + q2)n , n N, a, p, q, A,B R.

Acceptam fara demonstratie urmatorul rezultat:

Teorema 1.4 O functie rationalaR(x)Q(x)

admite o descompunere n factori ireductibili unica

de forma

P (x)Q(x)

=lX

i=1

Ai1

x ai+

Ai2(x ai)2

+ ...+Aiki

(x ai)ki

!+


+nX

j=1

Bj1x+ Cj1(x pj)2 + q2j

+Bj2x+ Cj2

(x pj)2 + q2j2 + ...+ Bjmjx+ Cjmj(x pj)2 + q2j mj

!unde ai, Ajh, Bjh, pj, qj sunt numere reale i = 1, l, h = 1,mj, j = 1, n siQ(x) = (x a1)k1 ... (x al)kl ((x p1)2 + q21)

m1 ... ((x pn)2 + q2n)mn .

Calculul primitivei de forma

Z1

(x a)ndx.

Pentru n = 1,Z

1

x adx = ln |x a|+ C, x 6= a,

Pentru n 2,Z

1

(x a)ndx = 1

n 11

(x a)n1 + C, x 6= a.Cazul n care numitorul functiei are radacini reale si distincte

Exercitiul 1.10 Sa se calculeze primitiva functiei f(x) =2x

x2 x 2 .

Rezolvare. Descompunem n fractii simple2x

x2 x 2 =2x

(x 2) (x+ 1) =A

x 2 +B

x+ 1Varianta I. Pentru calculul lui A si B eliminam numitorii si putem proceda n doua

moduri:

2x = A(x+ 1) +B(x 2) (1.3)

Metoda se bazeaza pe observatia ca doua polinoame sunt egale daca si numai dacacoeficientii termenilor de acelati grad sunt egali

2x = x(A+B) +A 2B A+B = 2, A 2B = 0 A = 43, B =

2

3.

Varianta II. Se dau valorile luate de x ca radacini ale numitorului n (1.3). Pentru

x = 2 A = 43, pentru x = 1 B = 2

3.Z

2xx2 x 2dx =

4

3

Z1

x 2dx+2

3

Z1

x+ 1dx =

4

3ln |x 2|+ 2

3ln |x+ 1|+ C.

Cazul n care numitorul functiei are radacini reale si multiple

Exercitiul 1.11 Sa se calculeze primitiva functiei f(x) =2x2 + 3x(x 1)2 .

Rezolvare. Descompunem n fractii simple2x2 + 3x(x 1)2 =

Ax+

Bx 1 +

C(x 1)2 .

Eliminam numitorii2x2 + 3 = A(x 1)2 +Bx(x 1) + Cx.


Dam valorile x = 1 C = 5, x = 0 A = 3 iar pentru determinarea lui B dam oricealta valoare, de exemplu x = 2 11 = A+ 2B + 2C 11 = 3 + 2B + 10 2B = 2B = 1.

2x2 + 3x(x 1)2 =

3

x+

1x 1 +

5

(x 1)2 ,Z2x2 + 3x(x 1)2dx =

Z3

xdx+

Z 1x 1dx+

Z5

(x 1)2dx = 3 ln |x|ln |x 1|5

x 1+C.

Cazul n care numitorul functiei are radacini reale si complexe simple

Exercitiul 1.12 Sa se calculeze primitiva functiei f(x) =x2 + 5x+ 2

(x+ 1)(x2 + 1).

Rezolvare. Descompunem n fractii simplex2 + 5x+ 2

(x+ 1)(x2 + 1)=

Ax+ 1

+Bx+ Cx2 + 1

.

Eliminam numitoriix2 + 5x+ 2 = A(x2 + 1) + (Bx+ C) (x+ 1),x2 + 5x+ 2 = A+ C + (B + C) x+ (A+B)x2

A+B = 1B + C = 5A+ C = 2

A = 1, B = 2, C = 3.

x2 + 5x+ 2(x+ 1)(x2 + 1)

=1x+ 1

+2x+ 3x2 + 1

.Zx2 + 5x+ 2

(x+ 1)(x2 + 1)dx =

Z 1x+ 1

dx+Z2x+ 3x2 + 1

dx =

= ln |x+ 1|+ ln (x2 + 1) + 3 arctg x+ C.Cazul n care numitorul functiei are radacini reale si complexe multiple

Exercitiul 1.13 Sa se calculeze primitiva functiei f(x) =1

x(x2 + 1)2.

Rezolvare. Descompunem n fractii simpleZ1

x(x2 + 1)2dx =

Ax+Bx+ Cx2 + 1

+Dx+E(x2 + 1)2

.

Eliminam numitorii1 = A(x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2 + 1)x + (Dx+ E)x == (A+ B)x4 + Cx3 + (2A+ B +

D)x2 + (C +E)x+A

A+B = 0C = 0

2A+B +D = 0C +E = 0A = 1

[A = 1, B = 1, C = 0, D = 1, E = 0]

Z1

x(x2 + 1)2dx =

Z1

xdx+

Z xx2 + 1

dx+Z x(x2 + 1)2

dx = lnx12lnx2 + 1

+

1

2 (x2 + 1)


1.1.4 Integrale de tip Euler

Primitivele functiilor de forma Rx,ax2 + bx+ c

, x I, ax2 + bx + c > 0, x I,

a 6= 0, R(u, v) este o functie rationala de argumentele u si v, se reduc la integrale de functiirationale astfel:

I. Daca a > 0 se face transformareaax2 + bx+ c =

ax+ t.

Integrala se transforma ntr-o integrala de functii rationale.


Zdx

x+x2 + 2x+ 2

.

Rezolvare. Se face schimbarea de variabilax2 + 2x+ 2 = x+ t

x2 + 2x+ 2 = x2 + 2tx+ t2 x = t2 2

2(1 t)

dx =2t (1 t) + t2 2

2(1 t)2 dt dx =2t t2 22(1 t)2 dt

x2 + 2x+ 2 =

t2 22(1 t) + t =

t2 + 2t 22(1 t) .

x+x2 + 2x+ 2 =

t2 22(1 t) +

t2 + 2t 22(1 t) =

2t 42(1 t) =

t 21 t

Integrala devineZ1 tt 2

2t t2 22(1 t)2 dt =

Z2t t2 2

2(t 2) (1 t)dt =1

2

Z 1 +

t(t 2)(t 1)

dt =

=1

2

Z 1 +

t(t 2)(t 1)

dt =

1

2(t ln (t 1) + 2 ln (t 2)) + C

RezultaZdx

x+x2 + 2x+ 2

==1

2

x2 + 2x+ 2 x 1

2ln

x2 + 2x+ 2 x 1+

+ ln

x2 + 2x+ 2 x 2+ C.

II. Daca a < 0 trinomul ax2 + bx+ c trebuie sa aiba radacini reale pentru ca integralaZRx,ax2 + bx+ c

dx

sa fie convergenta, deoarece, n caz contrar, trinomul, pastrand semnul lui a, ax2 + bx + ceste ntotdeauna negativ.In ipoteza ca ax2 + bx+ c = a (x ) (x ) , a < 0 se face transformareaax2 + bx+ c =

pa (x ) (x ) = t (x ) .



Z1

4x x2dx, I (0, 4) .


Rezolvare. Deoarece radacinile ecuatiei 4x x2 = 0 sunt x = 0 si x = 4, se faceschimbarea de variabila

4x x2 = tx (la fel de bine se putea face schimbarea de variabila

4x x2 = t (4 x) ).4x x2 = t2x2 4 x = t2x x = 4

t2 + 1 dx = 8tdt

(t2 + 1)2,

4x x2 = 4t

t2 + 1Integrala se transformaZ

14t

t2 + 1

8tdt(t2 + 1)2

= 2Z

1

t2 + 1dt = 2 arctg t+ C

t =4x x2x

DeciZ1

4x x2dx = 2 arctg

4x x2x

+ C.

Exemplul 1.3 Sa se calculeze

Zx

6 + 5x x2dx.

III. Daca a < 0, c > 0 se poate face si substitutiaax2 + bx+ c = tx+

c.



Z1

1 2x x2dx.

Rezolvare. 1 2x x2 0 x 1

2,1 +

2

Pentru x 1

2,1 +

2vom calcula integrala.

Se face schimbarea de variabila1 2x x2 = tx+ 1 1 2x x2 = t2x2 + 2tx+ 1

2 x = t2x+ 2t x = 2t+ 2t2 + 1

, dx = 2t2 + 1 2t2 2t(t2 + 1)2

dt

dx = 2t2 2t+ 1(t2 + 1)2

dt,1 2x x2 = 2t+ 2

t2 + 1t+1 =

2t2 2t+ t2 + 1t2 + 1

=t2 2t+ 1

t2 + 1Integrala devineZ

t2 + 1t2 2t+ 1

2t

2 2t+ 1(t2 + 1)2

dt= 2

Z1

t2 + 1dt = 2 arctg t+ C.

1.1.5 Primitive functiilor rationale dependente de functii trigono-metrice

Primitive de forma ZR(sinx, cosx)dx (1.4)


unde R(u, v) este o functie rationala de argumentele u si v definite pe un interval I.Presupunem ca I ((k 1), k) , k Z si Q(sinx, cosx) 6= 0,x I.Pentru calculul primitivei de forma

ZR(sinx, cosx)dx facem schimbarea de variabila

t = tgx2, x I = (, ) . Inversand functia, obtinem x = 2arctg t si dx = 2

1 + t2dt.

Pe de alta parte avem

cosx =1 tg2 x

2

1 + tg2x2

, sinx =2 tg

x2

1 + tg2x2

.

In urma acestei schimbari de variabila rezulta:ZR(sinx, cosx)dx =

ZR

2t1 + t2

,1 t21 + t2

2

1 + t2dt =

ZR1(t)dt,

unde R1 este o functie rationala de t.

Observatia 1.3 Intervalul I se poate nlocui cu orice alt interval J pe care functia x tg x2

este strict monotona si Q(sinx, cosx) 6= 0, x J.


Zdx

3 + sinx, x ((k 1), k) , k Z.

Rezolvare. Functia f(x) =1

3 + sinxeste continua, deci admite primitive. Pentru a

efectua schimbarea de variabila t = tgx2impunem conditia ca intervalul pe care calculam

primitiva sa sa satisfaca conditia I ((k 1), k) , k Z. Obtinem x = 2arctg t sidx =

2

1 + t2dt. Deoarece sinx =

2t1 + t2

obtinemZ1

3 +2t

1 + t2

2

1 + t2dt =

Z1 + t2

3t2 + 2t+ 32

1 + t2dt =

=

Z2

3t2 + 2t+ 3dt =

2

3

Z2

t+ 13

2+ 8

9

dt =2

3

3

22arctg

t+ 13

223

+ C =

=12arctg

3t+ 122+ C.Z

dx3 + sinx

=12arctg

3 tgx2+ 1

22

+ C


Z1

sinxdx, x I ((k 1), k) , k Z.

Rezolvare. Observam ca f(x) =1

sinxeste continua pentru x I ((k 1), k) , k

Z, deci amite primitive.


Deoarece sinx =2 tg x

2

1 + tg2 x2

x I ((k 1), k) , k Z, putem scrie

1

sinx=1 + tg2 x

2

2 tg x2

=

1cos2 x

2

2 tg x2

=

1cos2 x

2

12

tg x2

=

tg x

2

0tg x

2

.

Facem substitutia t = u(x) = tg x2bijectiva, derivabila, cu derivata nenula x

I ((k 1), k) ,Avem h(t) =

1

t,Z

h(t)dt =Z1

tdt = ln |t|+ C,

H(t) = ln |t|+ C, t = tg x2,

DeciZ1

sinxdx = ln

tgx2

+ C.

Sunt situatii cand alte transformari conduc mai repede la rezultat.

1. Daca R(sinx, cosx) este impara n sinx, adica R( sinx, cosx) = R(sinx, cosx),prin transformarea cosx = t integrala (1.4) se transforma ntr-o integrala de functierationala n t, deoarece R(sinx, cosx) = R1(sin2 x, cosx) sinx siZR(sinx, cosx)dx =

ZR1(sin2 x, cosx) sinxdx =

=

ZR1(sin2 x, cosx)d(cosx).

Pentru cosx = t, sin2 x = 1 t2, d(cos x) = dt, integrala se transforma nZR1(1 t2, t)dt,

adica integrala dintr-o functie rationala n argumentul t.


Zcos2 x sin3 xdx.

Rezolvare. Functia f(x) = cos2 x sin3 este o functie continua pe R, deci admite primitive.Zcos2 x sin3 xdx =

Zcos2 x sin2 xd(cosx)

Daca facem schimbarea cosx = t integrala se transformaZt2 (1 t2) (dt) =

Z(t4 t2) dt = t

5

5 t

3

3+ C.

RezultaZcos2 x sin3 xdx =

sin5 x5

sin3 x3

+ C.

2. Daca R(sinx, cosx) este impara n cosx, adica R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx),prin transformarea sinx = t integrala (1.4) se transforma ntr-o integrala de functierationala n t, deoarece R(sinx, cosx) = R1(sinx, cos2 x) cosx si

1.1. METODE DE CALCUL AL PRIMITIVELOR 15ZR(sinx, cosx)dx =

ZR1(sinx, cos2 x) cosxdx =

=

ZR1(sinx, cos2 x)d(sinx).

Pentru sinx = t, cos2 x = 1 t2,d(sinx) = dt, integrala se transforma n ZR1(t, 1

t2)dt, adica integrala dintr-o functie rationala n argumentul t.


Zcos3 xsin4 x

dx, x 6= k.

Rezolvare. Calculam primitiva pe un interval I ((k 1), k) , k Z. Pe un astfelde interval functia f(x) =

cos3 xsin4 x

este o functie continua, deci admite primitive. Deoarece

cos3 xsin4 x

=cos2 xsin4 x

cosx facem schimbarea de variabila t = sinx atunci dt = cosxdx si integralase transformaZ

1 t2t4

dt =Z

1

t4 1t2

dt = 1

3t3+1

t+ C

Revenim cu schimbarea de variabila si obtinemZcos3 xsin4 x

dx = 13 sin3 x

+1

sinx+ C.

3. Daca R(sinx, cosx) = R1(sin2 x, cos2 x) sau R2(tg x), unde R1 (respectiv R2) suntfunctii rationale, se face schimbarea de variabila t = tg x. Presupunem n plus caI

(2k 1)

2, (2k + 1)

2

, k Z si Q(cosx, sinx) 6= 0, x I.

Inversand functia obtinem x = arctg t si dx =1

1 + t2dt.

Din trigonometrie se stie

cos2 x =1

1 + tg2 xsi sin2 x =

tg2 x1 + tg2 x

.

In urma acestei schimbari de variabile obtinem:ZR1(cos2 x, sin2 x)dx =

ZR1

t2

1 + t2,

1

1 + t2

dt,

respectivZR2(tg x)dx =

ZR2(t)

1

1 + t2dt.

In ambele cazuri problema s-a redus la calculul unor primitive de functii rationale n t.


Z1

2 + sinx cosxdx, x I

(2k 1)

2, (2k + 1)

2

, k

Z.


Rezolvare. Observam ca f(x) =1

2 + sinx cosxeste o functie continua pe R, deci admite

primitive.1

2 + sinx cosx=

1

2 + tg x cos2 x=

1

2 + tg x1

1 + tg2 x

=1 + tg2 x

2 + tg x+ 2 tg2 x.

Facem schimbarea de variabila t = tg x, x 2,2

, obtinemZ

t2 + 12t2 + t+ 2

1

1 + t2dt =

Z1

2t2 + t+ 2dt =

Z1

t+ 14

2+15

16

dt =

=1

2

415arctg

t+ 14

154

+ C.

Revenim la variabila initialaZ1

2 + sinx cosxdx =

215arctg

4 tg x+ 115

+ C.

1.1.6 Primitivele functiilor rationale dependente de functii expo-nentiale

Sunt integrale de formaZR (shx, chx, ex) dx

unde R(u, v, w) este o functie rationala de argumentele u, v si w. O astfel de integrala setransforma ntr-o integrala de functii rationale n argumentul t prin substitutia t = ex.Avem

shx =ex ex

2, chx =

ex + ex

2, dt = exdx dx = dt

t,

iar integrala se transforma n

ZRt 1t2

,t+ 1t2

, tdtt.


Ze2x

1 + exdx, x R.

Rezolvare. Observam ca f(x) =e2x

1 + exeste o functie continua pe R, deci admite

primitive.

Facem schimbarea de variabila t = ex, dt = exdx dx = dtt, si integrala devineZ

t2

1 + tdtt= t ln |t+ 1|+ C.

Deci, revenind la vechea variabila,Ze2x

1 + exdx = ex ln (ex + 1) + C.

edcocurs1

Documents